方波的傅里叶分解 第一章用

8A 25π 2
5 7
k 9
三角波的频谱图
其谐波振幅与k 2成反比
下面是几种常见周期函数的傅里叶级数
f ( t )的波形图
f ( t )的傅里叶级数
f (t ) 4A 1 1 (sin t sin 3t sin 5t π 3 5
1 sin kt ) (k为奇数) k
2 ） 非正弦周期电压源或电流源（例如方波、锯齿波） uS uS
t t
O
(a)
O
图8.1 方波和锯齿波电压
(b)
引起的响应也是非正弦周期量，如何求响应？
3 ） 有非线性元件引起的非正弦周期电流或电压。例如，由半波 整流，全波整流得到的电压，电流
i
ui
D
uo
t
ui
R
(a)
uo
t
O
(b)
f (t ) A0 [ Amk cos k cos(k t ) Amk sin k sin(k t )]

A0 Am k cos(k t k )
k 1

k 1
(8.6)
2 Am k ak bk2 bk k arctg ak
(8.1)、(8.6)式比较，得
T /2 0
因为ak=0，所以 Am k bk , k 90 于是得到
f (t ) A 2A 1 1 [cos( t 90 ) cos(3 t 90 ) cos(5 t 90 ) ] 2 π 3 5 A A 2A 1 1 (sin t sin 3 t sin 5 t ) 2 π 3 5
提要 随着科技的发展，非正弦周期函数的电流和电压愈
加普遍。本章介绍应用傅里叶级数和叠加定理分析非正弦 周期电流电路的方法，讨论非正弦周期电流、电压有效值 和平均功率的计算，简要介绍非正弦周期信号频谱的概念 和对称三相电路中的谐波。
本章目次
1 非正弦周期电流和电压 2 周期函数分解为傅里叶级数 3非正弦周期量的有效值、平均功率 4 非正弦周期电流电路的计算
1 T /2 A A d t T 0 2 2 T /2 2A T /2 ak A cos(k t )d t cos(k t )d(k t ) 0 0 T kT 2A 2A 2π /2 sin(k t ) T sin( k )0 0 kT kT 2 A0
A t
[解 ] 写出所给波形在一个周期内 的表达式
T/2
O
图
周期性方波
T
A,当0 t T / 2 f (t ) 0,当T / 2 t T
8.3
非正弦周期量的有效值 平均功率
基本要求：透彻理解非正弦周期量有效值和平均功率的定义。
有效值：周期量的有效值等于其瞬时值的方均根值，即
1 T 2 A [ f ( t )] dt T 0
(8.11)
1．当给出函数 f ( t ) 在一个周期内的表达式，便可以直接代入上 式计算有效值。 [补充8.2] 计算图示方波的有效值

A 2A 1 sin[(2n 1) t ] 2 π n 1 2n 1
直流 分量

t
T 图8.4 周期性方波
A/ 2
O
T/2
说明: 式中引入新的正整数 n 以区别原来的正整数 k 。
这一方波的分解情况如图8.5所示 方波振幅频谱和相位频谱如下所示
2A π
A 2
O
t
2A/ π
(a)
k
2A 3π 2 A 2 A
5π 7π
O
基波 分量
O
(b)Biblioteka tO2A 9π
3 5 7 9
k
2 A /(3π)
3 5 7 9 k
(a)

π 2
(b)
图8.6 周期性方波的振幅频谱和相位频谱
3 次谐 波分量
t
O
(c)
图8.5 周期性方波的波形分解
3. 周期函数的波形与傅里叶系数的关系 当周期函数的波形具有某种对称性质时，利用函数对称性可使系数 A0、ak、bk的确定简化。 只含有正弦项, 不含恒定分量和余弦项, 3.1 f (t)为奇函数如图 因为恒定分量和余弦项都是偶函数. f (t ) 3.2 f (t)为偶函数，即 f (t ) f (t ) 函数 对称于纵轴，如图 T
[解] f (t)=-f(-t)，A0=0，ak=0，只需求 bk
f(t)=-f(t±T/2)，展开式中只有奇次谐波 存在两个对称条件，可在T /4内积分，并乘以4 4A 当 0 t T / 4 时 f (t ) ( )t T
三角波的振幅频谱如图所示
8A π2 8A 9π 2
O
3
4 2 T /4 8 T /4 4A bk f (t )sin(k t )d t t sin(k t )d t 0 0 T T T 8A ,当k 1,5,9, 2 2 8A kπ k π 2 2 sin k π 2 8A 2 2 ,当k 3, 7,11, k π
[补充8.1] 求图所示三角波的傅里叶展开式
f (t )
A
t
代入 f (t ) A0 (ak cos k t bk sin k t )
k 1

T 2
O T 4
T 2
得 f (t )
8A 1 1 (sin t sin 3 t sin 5t ) 2 π 9 25
即
f


T 0
f (t ) d t
存在
( t )可以分解为如下的傅里叶级数
f (t ) A0 [ ak cos(k t ) bk sin(k t )]
k 1
(8.1)
f (t ) A0 [ak cos(k t ) bk sin(k t )]
k 1

(8.1)
2．谐波分析—
将周期函数分解为恒定分量、基波分量和各次谐
波的方法。 谐波振幅Amk随角频率 kω变动的情形如图8.3所示 A1 m 图中竖线称为谱线，长度表示Amk的量值； 相邻两谱线的间隔等于基波角频率ω。这 A2 m 种谱线间具有一定间隔的频谱称为离散 A3 m A4 m A 5 m A6 m 频谱。同样可以画出相位频谱，用以表 k k kω变动 示各次谐波的初相 随角频率 O 2 4 6 的情形。 图 8.3 振幅频谱
即 f (t ) f (t ) 时，函数关 于原点对称， 有 A0 0 ，a k 0 , bk 0
周期性偶函数
3.3 f(t)为镜像对称函数如图
f (t )
t
T /2
O
T /2
T
上下半波镜像对称的函数
即 f (t ) f (t T 2) ，A0=0
a2k b2k 0
例题
8.1
求图所示周期性方波的傅里叶展开式，并画其频谱。
A t
O
T/2
T
2 T 1 2 ak f (t ) cos(kt )dt f (t ) cos(kt )d( t ) T 0 π 0 2 T 1 2 bk f (t ) sin(kt )dt f (t ) sin(kt )d( t ) T 0 π 0
ak Am k cos k
bk Am k sin k
f (t ) A0 Am k cos(k t k )
k 1

(8.6)
恒定分量（直流分量）
1 —基波初相 k =1 — 基波； Am1 — 基波振幅 ， k =2,3,等 — 分别称为二次，三次谐波，统称为高次谐波 由于傅里叶级数是收敛的，一般谐波次数越高，振幅越小
A
f (t )
t
2π 4π
A A 1 1 - (sin t sin2 t sin3 t 2 π 2 3
O
1 sin kt ) k
f ( t ) A
t
A
2A 1 (sin πcos t sin2 πcos2 t π 2 )
O π
2π
1．傅里叶级数 周期为T ，角频率为ω的周期函数 f ( t ) 可表示为
f (t ) f (t kT )
当其满足狄里赫利条件即：
k 0, 1, 2
1) f ( t ) 在任何一个周期内，连续或存在有限个间断点；
2) f ( t ) 在任何一个周期内，只有有限个极大值和极小值；
3) 在任何一个周期内，函数绝对值的积分为有界值，
图8.4 周期性方波
所给波形在一个周 期内的表达式：
A, 当0 t T / 2 f (t ) 0, 当T / 2 t T
解
根据下式求A0、ak和bk
1 T 1 2 A0 f (t )d t f (t )d( t ) 0 0 T 2π
2 T /2 2A bk A sin(k t )d t ( cos k t ) 0 T kT 2A A , k 1,3,5, (1 cos kπ) kπ kπ 0, k 2, 4, 6,
O
(c)
图8.2 二极管整流电路及半波整流电压
响应也是非正弦周期量，如何求响应？ 这些非正弦周期函数首先分解为不同频率的傅里叶级数，然后求 解不同频率的正弦激励的响应，最后将瞬时值结果叠加 。 非正弦周期电流电路分析方法：谐波分析法
8.2
周期函数分解为傅里叶级数
基本要求：掌握傅里叶级数的三角形式，理解谐波概念。
8.1
非正弦周期电流和电压
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。
1. 非正弦周期电流的产生 1 ） 当电路中有多个不同频率的电源同时作用，如图所示