高中数学-空间向量的基本定理练习

高中数学-空间向量的基本定理练习

课后导练

基础达标

1.若对任意一点O ，且OP =y x +,则x+y=1是P 、A 、B 三点共线的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件 答案：C

2.已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM OM=x +

31+31,则x 的值为…( ) A.1 B.0 C.3 D.

3

1 答案：D

3.在以下命题中,不正确的个数是（ ）

①已知A,B,C,D 是空间任意四点,则DA CD BC AB +++=0 ②|a |+|b |=|a +b |是a ,b 共线的充要条件 ③若a 与b 共线,则a 与b 所在的直线的平行 ④对空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若z y x ++=,(其中x,y,z∈R ),则P,A,B,C 四点共面

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：C

4.设命题p:a ,b ,c 是三个非零向量;命题q:{a ,b ,c }为空间的一个基底,则命题p 是命题q 的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 答案：B

5.下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM --= B.MC MB MA ++=0 C.3

13131++++ D.OC OB OA OM +-=2

答案：B

6.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为矩形ABC Ｄ的对角线的交点，设A 1=a,11B A =b,11D A =c,则E A 1=____________.

答案：a +21b +21c 7.设O 为空间任意一点,a,b 为不共线向量,OA =a,OB =b,OC =ma+nb,(m,n∈k)若A,B,C 三点共线,则m,n 满足____________.

答案：m+n=1.

8.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，在下列各条件下，点P 是否与A 、B 、C 一定共面？ (1)OP =52OA +51OB +5

2OC ； (2)OP=2OA-2OB-OC. 解：(1)OP =

52OA +51OB +52OC . ∵1525152=++,∴P 与A 、B 、C 共面. (2)OP =OC OB OA --22. ∵2-2-1=-1,∴P 与A 、B 、C 不共面.

9.如右图，已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF =32CB ,CG =3

2CD .

求证：四边形EFGH 是梯形．

证明：∵E、H 分别是AB 、AD 的中点,

∴=

21,=2

1， EH =-=21AD -21AB =21(AD -AB )=21BD =2

1(CB CD -) =21(23CG -23CF )=43(-)=4

3. ∴EH ∥FG 且|EH |=43|FG |≠|FG |. ∴四边形EFGH 是梯形.

综合运用

10.如右图，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A =a ，11D A =b ，11A A =c ，则下列向量中与B 1M 相等的向量是（ ）

A.21-a+21b+c

B.21a+2

1b+c C.21a-21b+c D.21-a-21b+c 答案：A

11.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底，则从以下各向量a,b,c,a+b,a-b,a+c,a-c ，b+c,b-c 中选取出三个向量，使它们构成空间的基底，请你写出三个基底：_____________________. 答案：{a ,b ,c }或{a +b ,a +c ,b +c }或{a -b ,a -c ,b -c }等.

12.如右图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 是边OA 的中点，G 是△ABC 的重心，则用基向量OA 、OB 、OC 表示向量MG 的表达式为_______________.

答案：=6

1-OA +31OB +31OC 13.已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定在下列各条件下，点P 是否与A 、B 、M 一定共面?

(1)OM -=+3

(2)OM --=4.

解法一:(1)原式可变形为OP =OM +(OP OA -)+(OP OB -)=PB PA OM ++. 由共面向量定理的推论知P 与A 、B 、M 共面．

(2)原式可变形为=2+-OM -+=++2.

由共面向量定理的推论可得

P 位于平面ABM 内的充要条件可写成y x ++=.

而此题推得=++2,

∴P 与A 、B 、M 不共面．

解法二:（1）原式可变形为--=3.

∵3+（-1）+（-1）=1,

∴B 与P 、A 、M 共面,

即P 与A 、B 、M 共面.

（2）OP =OM OB OA --4,

∵4+（-1）+（-1）=2≠1,

∴P 与A 、B 、M 不共面.

拓展研究

14.已知P 是ABCD 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC 、PD ，点E 、F 、G 、H 分别是△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 的重心.求证：

(1)E 、F 、G 、H 四点共面; (2)平面EFGH∥平面ABCD.

证明：(1)如右图,证存在实数λ，u 使EG =EF λ+EH u .

连结PE 、PF 、PG 、PH 并延长分别交AB 、BC 、CD 、DA 于点M 、N 、Q 、R.则M 、N 、Q 、R 为ABCD

各边的中点，顺次连结M 、N 、Q 、R 所得四边形为平行四边形. +==(PM -)+(-),

又PE=

PM 32,PF=PN 32,PG=PQ 32, PH=PR 3

2, ∴MQ =23(-)+23(-)=2

3(+). 又∵-==23(-)=2

3EG , ∴EH EF EG +=.∴E、F 、G 、H 四点共面.

(2)证EF 、EG∥平面ABCD.

∵=23EG ,=PM -=23(-)=2

3EF ,∴MQ∥EG,MN∥EF. ∴平面EFGH∥平面ABCD.