离散数学复习资料

考纲：第一章数理逻辑§1命题及其真值命题概念，命题联结词，命题真值表，命题符号化§2重言式命题公式的性质，逻辑等价公式，永真蕴含公式，命题公式推倒（化简与证明）§3范式指派，析取范式，合取范式，极小项，极大项，主范式的求法，与真值表之间的关系§4联结词的扩充与归约功能完备集，与非，或非§5推理规则和证明方法CP规则，直接证明法、条件证明法、反证法，命题公式证明§6谓词和量词全称量词，存在量词，基于谓词的命题符号化，公式的解释§7谓词演算的永真公式谓词公式的等价公式和永真蕴含公式，前束范式§8 谓词演算的推理规则基于谓词的推理，ES、EG、US、UG规则第二章集合§1集合论的基本概念集合的定义，表示方法§2集合的运算交，并，补，差，环和，环积，定义和谓词表示方法，幂集§3 自然数定义（了解）§4 集合的笛卡儿乘积笛卡尔成绩的计算第三章二元关系§1关系的基本概念二元关系的定义、性质判断及证明（自反，反对称，对称，反对称，传递）、关系图、关系矩阵§2关系的运算二元关系的合成运算、逆运算、矩阵表示，§3关系上的闭包运算自反闭包，对称闭包，传递闭包，求法和性质证明§4次序关系篇序关系的定义，哈斯图，8种特殊元素§5等价关系和划分等价关系的定义，等价划分，等价关系的证明。

第四章函数§1函数的基本概念定义、合成运算§2特殊函数类单射，满射，双射的判断§3逆函数定义第八章图论§1图的基本概念图、点、边的相关概念§2路径和回路基本路径，简单路径，基本回路，简单回路§3图的矩阵表示关联矩阵，邻接矩阵，可达性矩阵，权矩阵，最短路径（迪克斯特拉算法）§4 欧拉图和哈密尔顿图欧拉图的定义、判断方法；哈密尔顿图的应用-最小哈密尔顿回路（TSP）问题（最邻近算法）§5*二部图和平面图定义，应用§6树树的定义，性质，生成树，最小生成树（克鲁斯克儿算法）§7有向树二元树的定义，遍历，二元树与普通树的转换，表达式的计算等试卷类型：闭卷题型：填空题、命题符号化、作图、证明、计算离散数学练习题一、填空题1. 仅用∨和┐写出下列表达式的等价形式a) ⌝(P ∨ Q) ∧ ⌝R ⇔ b) ⌝A→(D ∨ ⌝E) ⇔ 2. 仅用∧和┐写出下列表达式的等价形式a) ⌝(P ∨ Q) ∧ ⌝R ⇔ b) ⌝Q →(P ∧Q) ⇔ ；3. 构造公式P ∧ (P ∨ Q) ↔Q的真值表。

4. 公式A有三个命题变元P、Q、R组成，其主合取范式为A⇔ 0 1 7 M ∧ M ∧ M ，则其主析取范式为：5. 公式A有三个命题变元P、Q、R组成，其主析取范式为A⇔ 0 2 5 6 m ∨ m ∨ m ∨ m ，则其主合取范式为：6. 设A = {a , b , c , d }, A 上的二元关系：R = {< a, a >,< a,b >,< b, d >,< c, a >,< c,c >}，S = {< a,c >,< b,b >,< c,b >,< c,c >,< d,d >}则S -1 οR = RοS= r(R) = s(R)= t(S ) = 7. 给定如图所示的二元树：按先根次序遍历访问结点的顺序为：按中根次序遍历访问结点的顺序为：按后根次序遍历访问结点的顺序为：8. A = {1,2}, B = {a,b}, A⨯ B2 =∃xP(x,2) ___ __; ∀yP(1, y) __ ___; ∀x∀yP(x, y) ) __ ___。

∀x∃yP(x, y) ___;10. 集合A = {{Φ, 2},{2 }}的幂集ρ ( A)= 。

11. 设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A={1,2,4,5,6}, B={2,4,6,8,10},则：(A ∪B)-B =  , B - A =,B ⊕A=  ,B ⊗A= 12. A = {{1,2}}, B = {a ,b }, A ⨯ B = 。

13. 给定集合 S={a,b,c,d}，S 上的等价关系R 能产生划分{{a},{b},{c,d}}，则R ＝ 14. 指出下列映射是单射、满射、双射还是既非单射也非满射： a) f : Z + → R , f (x ) = ln x ； (Z+: 表示正整数集)   。

b) + f : R → R ， f (x ) = x 2 +1 （ + R 表示不小于0 的实数） 。

c) + f : R → R ， f (x ) = x 2 （ + R 表示不小于0 的实数） 。

d) f : A → B , g : B →C , g ο f 是双射，则 f 是e) f : R → R ，  15. 请说出以下二元关系是否满足自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。

(a)：  (b)：(c)： (d)  ：16. 某单位装配了30 辆汽车，其中15 辆有录音机，8 辆有空调，6 辆有座位调节，三种设备都有的有2 辆，问这三种设备都不具备的汽车至少有辆？17. 设无向图中有6 条边，有一个3度结点和一个5 度结点，其余结点的度数为2，则该。

图的结点数为： 二、命题符号化：18. 李明和王平是大学同学。

19. 不是所有的哺乳动物都是胎生的。

20. 任何一个公式总存在一个与之等价的主析取范式。

21. 有些人对某些药品过敏。

22. 参加考试的人不一定取得好成绩。

23. 发光的不都是金子。

24. 有的兔子比所有的乌龟跑的快。

25. 所有猫都是动物，但有些动物不是猫。

三、作图：26. 用二元有序树表示命题公式：（见课后习题P320 2）27. 将下图所示的普通的树转换为等价的二叉树。

28. 将下图所示的二叉树T转换为等价的普通树或树林。

29. 用克鲁斯克尔算法求出左图的最小生成树。

（见课后习题P309 11）四、证明题：30. A ∨ B →C ∧ D,D ∨ E →G ⇒ A→G31. 证明下列论证：如果甲参加球赛，则乙或丙也将参加球赛；如果乙参加球赛，则甲不参加球赛；如果丁参加球赛，则丙不参加球赛；所以，如果甲参加球赛，则丁不参加球赛。

32. 设R为二元关系，S = {< a,b >| ∃c,< a,c >∈ R∧ < c,b >∈ R}，证明，若R是等价关系，则S也是等价关系。

33. 试证明：在任何一棵树T(n,m)中均有m=n-1。

五、计算题：34. 设集合A＝{2,3,4,5,6,8,12,18,36}，R是A上的整除关系，(1) 画出偏序集(A, R)的哈斯图；(2) 写出集合A的最大元，最小元，极大元，极小元。

(3) 写出A的子集{2, 3, 6}的上界，下界，最小上界，最大下界；(4) 写出A的子集{2, 4, 6}的上界，下界，最小上界，最大下界；35. 在下图中用迪克斯特拉算法求从a到z最经济道路的长度以及该道路所经过的结点，并给出求解过程。

（见课后习题P278 18）__答案：一.1.a：⌝(P∨Q∨P)B: A∨D∨⌝E2.a:⌝P∧⌝Q∧⌝RB:Q3.P Q P∨Q P∨(P∧Q) P∧(P∨Q)↔Q0 0 0 0 10 1 1 0 01 0 1 1 01 1 1 1 14.A ⇔M2∨M3∨M4∨M5∨M65. A ⇔M2∧M3∧M4∧M76.{<c,a>,<c,b>,<b,d>,<b,a>,<b,c>,<c,c>}{<a,c>,<a,b>,<b,d>,<c,c>,<c,b>}{<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<a,b>,<b,d>,<c,a>}{<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,d>,<d,b>,<c,a>,<a,c>,<c,c>}{<a,c>,<b,b>,<c,b>,<c,c>,<d,d>,<a,b>}7.ABDGHCEFIBGDHAECIFGHDBEIFCA8.{<1,a,a>,<1,a,b>,<1,b,b>,<1,b,a>,<2,a,a>,<2,a,b>,<2,b,b>,<2,b,a>}9. 1 0 0 110.{ Φ,{ Φ,2},{2},{{ Φ,2},{2}}}11.{1,5} {2,4,6} {1,5,8,10} {2,3,4,6,7,9}12.{<{1,2},a>,<{1,2},b>}13.{<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<c,d>,<d,c>}14.单射既非单射也非满射满射单射双射15.a：反自反，对称，反对称，传递b:自反，反对称，传递c:自反，反对称传递d：自反，对称传递16.517.4二18.设A是“李明”B是“王平”F（x，y）：“x与y是大学同学”，F（A,B）19.设P(x)为“x是哺乳动物”Q(x)为“x是胎生的”¬∀x（P(x)→Q(x)）20设p(x)为“x是一个公式”，Q(x)为“x是一个主析取范式”,M(x,y)为“x 与y等价”∀x(P(x)→∃y(Q(y)∧M(x,y))21.设P(x)为“x是人”Q(x)为“x是药品”S(x,y)为“x对y过敏”∃x∃y(P(x) ∧Q(y) ∧S(x,y))22.设P(x)为“参加考试的人”Q(x)为“x取得好成绩”∃x（P(x)∧¬Q(x)）23设p(x)为“x发光”Q(x)为“x是金子”¬∀x(P(x)→ Q(x))24设P(x)为“x是兔子”Q(x)为“x是乌龟”H(x,y)为“x比y跑的快”∃x(P(x)∧∀y(Q(y)→H(x,y)))25设P(X)为“x是猫”，Q(x)为“x是动物”∀x（P(x)→ Q(x)）∧∃想（Q(x)∧¬ P(x)）三：略四30设A成立则推出A∨B与A∨B→C∧D则推出C∧D即D即D∨E又D∨E→G故G则A→G 31设甲乙丙丁参加球赛为ABCDA→B∨CB→¬A ⇒ A→¬DD→¬C又¬A∨B∨C与¬B∨¬A推出C且¬D∨¬C故D联立A→¬D得A→¬D32.①自反性∀x R自反∴<x,x>∈R∧<x,x>∈Q∴<x,x>∈S②对称性∀x,y若<x,y>∈S ∃c使<x,c>∈R∧<c,y>∈R R对称∴<y,c>∈R∧<C,x>∈R∴<t,x>∈S③传递性∀x,y,z若<x,y>∈S,<y,z>∈S ∃C1使<x,C1>∈R∧<C1y>∈R,∃C2使<y,C2>∈R∧<C2y>∈RR是传递∴<x,y>∈R∧<Y,z>∈R∴<x,z>∈S34.①如图②A的最大元36最小元无极大元36极小元2，3，5③{2，3，6}上界6，12，18，36下界无最小上界6最大下界无④{2，4，6}上界12，16下界2最小上界12最大下界235node P/T pro l(t)a 1b 2 a ①c 6 h 10 10 10 10 ⑨d 4e 6 6 ⑤e 3 a 3 ③f 7 c ∞ 11 11 11 11 ⑩g 9 f ∞∞∞∞ 13 13 12 ⑿h 5 d ∞∞ 9 ⑧I 8 e/h ∞∞ 11 11 11 11 ⑾Z g ∞∞∞∞ 16 16 15 15 15 14 故aedhcfgz。