参数方程与极坐标、几何证明选讲
极坐标参数方程与几何证明题型方法归纳(1对1辅导精品)
222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩极轴一、 极坐标与参数方程选讲 1、极坐标与直角坐标的公式转换：2、点的极坐标含义(,)M ρθ： 练习：（1）在直角坐标系中曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-，写出曲线C 的直角坐标方程 ．04222=+-+y x y x（2）在平面直角坐标系xOy 中，点P的直角坐标为(1,.若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是 ．(2,2)()3k k Z ππ-∈（3）在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为3,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,6π⎛⎫⎪⎝⎭，则△AOB （其中O 为极点）的面积为 ． 提示：1sin 2S ab C ==3 （4）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ 与cos 1p θ=- 的交点的极坐标为______．3)4π提示：这两条曲线的普通方程分别为222,1x y y x +==-．解得1,1.x y =-⎧⎨=⎩ （5）已知直线l 的参数方程为：2,14x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C的极坐标方程为ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为 . 相交（6）已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线12cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）相交于两点A 和B ，则（7）若直线12,23.{x t y t =-=+（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k =________.6-=k（8）设直线1l 的参数方程为113x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为_______【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。
解析：由题直线1l 的普通方程为023=--y x ，故它与与2l 的距离为510310|24|=+。
参数方程与极坐标(精华版)
参数方程与极坐标(精华版)y y tsin注意：倾角为的直线，斜率为tan，所以tan=tan，即tcos=tsin，所以cos=sin，即=45，即直线与x轴或y轴夹45角。
Eg：已知直线L过点（1，2）且与x轴夹45角，求直线L的方程。
解：设直线L的参数方程为x=1+tcos45，y=2+tsin45，即x=1+t/2，y=2+t/2，将y=mx+b代入得到m=1，b=3/2，即直线L的方程为y=x+3/2.四、极坐标1、定义：在平面直角坐标系中，点P到原点O的距离r和OP与x轴正半轴的夹角唯一确定点P的位置，称（r，）为点P的极坐标，r为极径，为极角，记作P（r，）。
2、极坐标与直角坐标的转换x=r cos，y=r sinr2=x2+y2，tan=y/x3、常见曲线的极坐标方程1）圆：r=a2）半直线：=0或=3）双曲线：r=a sec或r=a cosec4）椭圆：r=a bcos或r=a sin5）心形线：r=a(1+cos)6）阿基米德螺线：r=a+b7）对数螺线：r=a e b8）伯努利双曲线：r2=a2 sec29）费马螺线：r=2a sin(/2)10）旋轮线：r=a或r=a sin(n)/sin（n为正整数）总结：极坐标的方程形式比较简单，但是不同曲线的极坐标方程需要记忆，转换成直角坐标系方程需要用到三角函数的知识。
P点的有向距离在点P两侧t的符号相反，可以通过直线的参数方程来表示。
其中，t代表有向距离的几何意义。
需要注意的是，t的符号相对于点P，正负在P点两侧，且|PP|=|t|。
直线参数方程可以有多种变式，比如y=y+tsinα和x=x+at，y=y+bt，但此时t的几何意义不是有向距离。
只有当t前面系数的平方和为1时，t的几何意义才是有向距离。
因此，可以将直线参数方程整理为x=x+a2+b2t，XXX，让a2+b2t作为t，这样t的几何意义就是有向距离了。
例如，对于直线x=-1+3t，y=2-4t，可以求其倾斜角。
2013年数学高考备考二轮复习 核心考点五 第16课时 极坐标、参数方程与几何证明选讲
1．(2012 年广东)如图 1，直线 PB 与圆 O 相切于点 B，D
是弦 AC 上的点，∠PBA＝∠DBA，若 AD＝m，AC＝n，则 AB
mn ＝________.
图1 解析：∠PBA＝∠DBA＝∠ACB，∠BAD＝∠CAB ⇒ AB AD △BAD∽△CAB，得 ＝ ⇔AB2＝AC· AD＝mn⇔AB＝ mn. AC AB
3 轴交点为 ，0 2
x＝t＋1， 化为普通方程为 C1： y＝1－2t，
y＝3－2x，与
x
.
x＝asinθ， 曲线C2： y＝3cosθ
x2 y 2 化为普通方程为a2＋ 9 ＝1，与x轴
点为(－a,0)，(a,0)， 由 a>0，曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上，
(0≤θ<p)和
52 x＝ t ， 4 (t∈R)，它们的交点坐标为________． y＝t
x＝ 5cosθ， y＝sinθ
解析：曲线参数方程
x2 2 表示椭圆 5 ＋y ＝1(－ 5<x≤ 5且0≤y≤1)，
52 4 x＝ t ， 2 曲线参数方程 4 表示抛物线 y ＝5x. y＝t
又∵OA⊥PA，∴∠P＝180 ° ° ° －90 －60 ＝30°，∴PA＝AD. 在△AOD 中，由余弦定理， 得 AD＝ 12＋12－2×1×1×cos120° 3，故PA＝ 3. ＝ 答案： 3
4．(2011 年广东)已知两曲线参数方程分别为
x＝ 5cosθ， y＝sinθ
3．(2012 年广东)如图 2，圆 O 的半径为 1，A，B，C 是圆 周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点 A 作圆 O 的切线与 OC
艺术生高考数学专题讲义考点60极坐标与参数方程
艺术生高考数学专题讲义考点60极坐标与参数方程一、极坐标与参数方程的基本概念及性质1.极坐标：在平面直角坐标系中，以极轴为基准，通过极径和极角来确定一个点的坐标。
极坐标中，点的坐标表示为(r,θ)，其中r为极径，θ为极角。
2.参数方程：用一个参数t表示自变量，由参数方程可以将二维平面上的点的坐标表示为一对关于参数t的函数。
一般形式为{x=f(t),y=g(t)}。
二、极坐标和参数方程的转化1. 极坐标转参数方程：通过极坐标的关系式，将r和θ用参数t表示，并转化为参数方程。
例如，直角坐标系中的点{(x,y)}可以用极坐标{(r,θ)}表示，其中x=r cosθ，y=r sinθ。
将x和y分别用参数t表示，可得到参数方程{x=f(t), y=g(t)}。
2. 参数方程转极坐标：反过来，将参数方程中的x和y分别转化为极坐标中的r和θ。
例如，参数方程{x=f(t), y=g(t)}可以表示为极坐标{(r, θ)}，其中r²=f²(t)+g²(t)，tanθ=g(t)/f(t)。
1.圆的极坐标和参数方程：极坐标：r=a；参数方程：{x=a cosθ, y=a sinθ}。
2.直线的极坐标和参数方程：极坐标：θ=α；参数方程：{x=a sec(θ-α), y=a tan(θ-α)}。
3.椭圆的极坐标和参数方程：极坐标：r=a√(1-ε²cos²θ)；参数方程：{x=a cosθ, y=b sinθ}。
4.渐近线的极坐标和参数方程：极坐标：θ=π±α；参数方程：{x=a cos(θ±α), y=a sin(θ±α)}。
四、极坐标与参数方程的应用1.曲线的表示：极坐标和参数方程可以用来表示一些特殊的曲线，如圆、椭圆、双曲线等。
通过改变参数的取值范围和数值，可以得到不同形状的曲线。
2.确定曲线的方程：已知一些特征点的极坐标或参数方程，可以借助与直角坐标系的关系，确定曲线的方程。
高考专题复习(几何证明选讲、参数方程)PPT教学课件
四、本部分考查能力 1、识图能力； 2、逻辑推理能力； 3、概念、定理灵活运用的能力。
2020/12/09
7
PPT精品课件
谢谢观看
Thank You For Watching
2020/12/09
8
2020/12/09
1
第一部分：几何证明选讲
一、高考考查内容和要求
1、理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理 2、会证明和应用以下定理 （1）直角三角形射影定理； （2）圆周角定理； （3）圆的切线判定定理与性质定理； （4）相交弦定理； （5）圆内接四边形的性质定理与判定定理； （6）切割线定理
2020/12/09
3
(2008)如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP
垂直直线OM，垂足为P。
（1）证明：OM·OP = OA2；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点
的切线交直线ON于K。证明：∠OKM = 90°。
B A
N
O
P
K M
考查内容：1、割线定理的运用； 2、相似三角形的判定及应用
考查内容： 1、弦切角定理； 2、三角形相似性的判定（证两次相似，找边角关系）
2020/12/09
6
三、本部分常考知识点： 1、相似三角形的判定及应用； 2、四点共圆的判定及性质的应用； 3、圆弧与圆周角的关系（同弧所对的圆周角相等）； 4、 弦切角定理（过同一点的切线与割线构成的夹角问题）； 5、切割线定理； 6、相交弦定理；
几何证明选讲、坐标系与参数方程
几何证明选、坐标系与参数方程为高考3道选修题 中的两道，是每年高考必考题，从2007年—2012年考 查的情况来看，两道题考查的知识点均与课本上所提及 的公理、定理、定义、公式等的运用为主，题型变化不 大。因高考中考生从3道题中选择一道题作答，下面就 分几何证明选讲、坐标系与参数方程两部分对高考考查 情况进行分析
极坐标与参数方程数学讲义
极坐标与参数方程一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程. 二、知识结构1.参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
常见的曲线的参数方程2.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数，其几何意义是．．．．．PM ．．的数量．．．) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00(t 为参数，1tan t α=) ② 3.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数) (3)抛物线 抛物线px y 22=的参数方程为()为参数t pty pt x ⎩⎨⎧==2224.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.注意：①点),(θρP 与点),(1θρ-P 关于极点中心对称；②点),(θρP 与点),(2πθρ+-P 是同一个点；③如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
高三数学几何证明选讲坐标系与参数方程知识精讲
高三数学几何证明选讲；坐标系与参数方程、综合复习（理）人教实验版（A ）【本讲教育信息】一. 教学内容：4—1模块 几何证明选讲4—4模块 坐标系与参数方程、综合复习二. 重点、难点：1. 相似三角形的判定及有关性质2. 直角三角形的射影定理3. 直线与圆的位置关系4. 圆锥曲线性质5. 极坐标系，柱坐标系，球坐标系6. 曲线的参数方程及其应用7. 渐开线与摆线【典型例题】[例1] 梯形ABCD 中，BA//CD ，对角线AC 、BD 交于点E ，过E 作FG//AB ，交AD 、BC 于G 、F 点。
（1）求证：EF=EG ；（2）求证：FGCD AB 211=+； （3）若直线l 平行于底边但不过E ，与BC 、AC 、BD 、AD 分别交于F '、M 、N 、G '，试问：M F '与N G '有何关系？并说明理由。
证明：（1）∵AB//FG//CD ∴ABEGDA DG CB CF AB EF === ∴EF=EG（2）∵EF//AB EC EFAC AB EC AC EF AB ⋅=⇒=⇒同理，AEEGAC CD ⋅= 由（1）知EF=EG∴ EG AC AE EC CD AB ⋅+=+11FGEG EF EG EG 22221=+=== （3）∵G F FG ''// ∴ GENG DG G D CF F C EF M F '='='='而GE EF = ∴N G M F '='[例2] △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，D 、E 为垂足，求证：AEBEAC AB =22。
思路分析：左边是平方，需设法将左边降幂或将右边升幂或者利用相似三角形面积比等于相似比的平方。
证法一：由射影定理得BC CD AC BC BD AB ⋅=⋅=22,∴ CD BDBC CD BC BD AC AB =⋅⋅=22 ∵DE ⊥AB ∴ CA ⊥AB ∴DE//AC ∴ AE BECD BD =∴ AEBE AC AB =22 证法二：∵ DE//AC ∴ △BED ∽△BAC ∴DEBEAC AB =∴ 2222DE BE AC AB = 由射影定理BE AE DE ⋅=2∴ AEBEBE AE BE AC AB =⋅=222 证法三：易证△ABD ∽△CAD ∴ 222)(AC AB AC AB S S ACD ABD ==∆∆ 又DC BD AD CD ADBD S S ACDABD=⋅⋅=∆∆2121∵ DE//AC ∴ AE BE DC BD = ∴ AE BEACAB =22 证法四：∵△ABD ∽△CBA ∴ADBDAC AB = ① ∵ △ACD ∽△BCA ∴ CDADAC AB = ② ∴ ①×②，CD BDCD AD AD BD ACAB =⋅=22而∵ACDE//，∴AEBECDBD=∴AEBEACAB=22[例3] 已知△ABC中，DE//BC，且ABAFAD⋅=2，求证：EF//CD。
极坐标与参数方程知识讲解
极坐标与参数方程知识讲解参数方程和极坐标系（一）曲线的参数方程的定义:在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变 数叫做参变数，简称参数.（二）常见曲线的参数方程如下：1. 过定点（X o ，y o ），倾角为a 的直线：其中参数t 是以定点P （x o ，y o ）为起点，对 应于t 点M （x, y ）为终点的有向线段PM 的数量, 又称为点P 与点M 间的有向距离.根据t 的几何意义，有以下结论.①.设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的 参数分别为 t A 和 t B ，则 |AB = |t^t A= J （tBYA ）' -4t A t B .2. 中心在（x o , y o ），半径等于r 的圆:知识要点X=X 0tcos ：y = y 0（t 为参数）（2 .线段AB 的中点所对应的参数值等于t A t Bx =X Q r COST y = y 0 rsin3 •中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的 椭圆： 沃 •为参数）（或 ）1y 二 bs iny = asi nr 丿中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上 的椭圆的参数方程x]xo：cos[ X-为参数）y = y 0 +bsi na.焦点在x 轴（或y 轴）上的2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③ 长度单位；④角度单位及它的方向.极坐标与直角 坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐 标系下，一对有序实数 —对应惟一点P （，）， 但平面内任一个点P 的极坐标不惟一.一个点可以 有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，PC'，） （极点除外）的全部坐标为C',r + 2k ：J 或（（2k l ）：）,（k Z ）.极点的极径为0,而极角任意取.若5. 线：顶点在原点， 焦点在X 轴正半轴上的抛物x =2pt 2y = 2pt （t 为参数， 4. 双曲线:（A 为参数） （或（二为参数） 中心在原点，P> 0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （X o, y°）,倾斜角为a的直线的参数方程是其阳瞌；（t为参数）.J3.2极坐标系1、定义：在平面内取一个定点0，叫做极点，引一条射线Ox,叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
极坐标与参数方程讲义(教师版)
极坐标与参数方程一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 3.常见圆与直线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆）（πθθρ≤≤=0sin 2r 过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 二、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化 例题1、在极坐标中，求两点)4,2(),4,2(ππ-Q P 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。
高考第一轮复习几何证明选讲;参数方程与极坐标;矩阵与变换-
年级高三学科数学版本通用版课程标题高考第一轮复习——几何证明选讲；参数方程与极坐标；矩阵与变换编稿老师纪占岭一校林卉二校黄楠审核王百玲考点几何证明选讲参数方程与极坐标矩阵与变换考纲解读1. 考查相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影定理的应用。
2. 考查圆的切线定理和性质定理的应用。
3. 考查相交弦定理，切割线定理的应用。
考查圆内接四边形的判定与性质定理。
复习时，只要掌握好教材上的内容，熟练教材上的习题即可达到高考的要求，该部分重点以基本知识、基本方法为主，通过典型的题组训练，掌握解决问题的基本技能。
1. 考查极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题。
2. 考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题。
复习时，要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法。
1. 高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算，多考查平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，进而研究新图形的性质。
2. 高考命题的另一个热点是逆矩阵，主要考查行列式的计算、逆矩阵的性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题。
复习时：1. 认真理解矩阵相等的概念，知道矩阵与矩阵的乘法的意义，并能熟练进行矩阵的乘法运算。
2. 掌握几种常见的变换，了解其特点及矩阵表示，注意结合图形去理解和把握矩阵的几种变换。
3. 熟练进行行列式的求值运算，会求矩阵的逆矩阵，并能利用逆矩阵解二元一次方程组。
题型填空题或解答题通常作为选做题出现在填空题的最后一题和解答题的最后一题。
以解答题为主分值０—10分０—10分0—12分二、重难点提示重点：参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化；几何证明选讲：求角度，线段长度，面积，比值等；求常见的平面变换公式及其矩阵；复数的概念及其代数运算。
01几何证明选讲参数方程与极坐标系
几何证明选讲、参数方程与极坐标系——北京四中：吕宝珠学习要求◆掌握与圆有关的切线、割线、面积、四点共圆及相似三角形的问题．◆能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.◆能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.◆了解参数方程，了解参数的意义.◆分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.真题体验1．如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF 与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是( )A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：①项，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB ＋BC，故①正确；③项，延长AD 于M ，连结FD ，∵AD 与圆O 切于点D ，则∠GDM ＝∠GFD ，∴∠ADG ＝∠AFD ≠∠AFB ，则△AFB 与△ADG 不相似，故③错误，故选A.2． 极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t(t 为参数) 所表示的图形分别是( )．A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线解析：由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，以12为半径的圆． 由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，代入y ＝2＋t 中，得y ＝1－x 表示直线．答案：D3． 在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心极坐标是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π) 解析：把圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，得圆心的直角坐标为(0，－1)，故选B.答案：B4． 在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ圆心的距离为( )． A ．2 B. 4＋π29 C. 1＋π29 D. 3解析 点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3化为直角坐标为(1，3)， 方程ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，故圆心为(1,0)，则点(1，3)到圆心(1,0)的距离为3，故选D.答案：D5． 已知圆C 的圆心是直线⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝1＋t(t 为参数)与x 轴的交点， 且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．解析：直线⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋t (t 为参数)与x 轴的交点为(－1,0)， 故圆C 的圆心为(－1,0)．又圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，∴圆C 的半径为r ＝|－1＋0＋3|2＝2， ∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝26．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．解析：曲线ρ＝2sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由ρcos θ＝－1可化为x ＝－1.将x ＝－1代入x 2＋y 2－2y ＝0得x ＝－1，y ＝1，因此交点的直角坐标为(－1,1)，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4相似三角形的判定及有关性质(1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似．判定定理2：两角对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．(3)相似三角形的性质①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．(4)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项．几何证明的难度应严格控制，在解决同一个问题的过程中，相似三角形(或全等三角形)的使用不超过两次，添置的辅助线一般不超过三条．直线与圆的位置关系(1)圆内接四边形的性质与判定定理性质：①圆的内接四边形对角互补．②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．判定：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．(3)相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(4)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点的割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(5)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．直角坐标与极坐标的互化如图，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．直线、圆的极坐标方程(1)直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置直线的极坐标方程①直线过极点：θ＝α；②直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；③直线过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . (2)几个特殊位置圆的极坐标方程①圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；②圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；③圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 参数方程(1)直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆、椭圆的参数方程①圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． ②椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．高考对该部分内容的考查以极坐标参数方程化为普通方程为主，注重基本运算，题型为填空题，难度不大．【例题1】►在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1， 解得a ＝2或a ＝－8.故a 的值为－8或2.在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标不唯一．极坐标和直角坐标互化关系式⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0是解决该类问题的关键．高考对该部分内容的考查多以填空题、解答题为主，考查简单的极坐标系中直线和圆的方程，或者求解极坐标中曲线的某个特征值．【例题2】► 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，点P 满足 OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ， 求|AB |.解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，由于M 点在C 1上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)． (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.解决这类问题一般有两种思路：一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．参数方程的应用是高考的热点．主要考查直线和圆的参数方程、判断直线和圆的位置关系，求解有关最值问题等．题型为填空题、解答题，难度中等．【例题3】►已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 解：(1)平方相加得：x 2＋y 2＝16，故曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t ，代入x 2＋y 2＝16，并整理得t 2＋33t －9＝0，设A 、B 对应的参数为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝37.(1)参数方程化普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行．(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数．。
极坐标与参数方程有什么区别和联系
极坐标与参数方程有什么区别和联系一、引言极坐标和参数方程是数学中常见的两种表达方式，它们在描述曲线、方程和函数等问题时有着自己独特的优势和应用场景。
本文将详细介绍极坐标和参数方程的概念、特点以及它们之间的区别和联系。
二、极坐标极坐标是一种表示平面上点位置的方式，使用极径和极角来表示点的坐标。
其中，极径表示点到极点的距离，极角表示点与固定方向的夹角。
在极坐标系中，每个点的坐标可以表示为(r, θ)，其中r为极径，θ为极角。
极径可以是实数，而极角则是一个弧度值。
极角逆时针增加，范围通常为[0, 2π]或[-π, π]。
极坐标的一个重要特点是可以简洁地描述圆形、螺旋线等曲线。
例如，直线在极坐标系中可以用极角表示，而圆可以用一个常数的极径和极角范围描述。
三、参数方程参数方程是一种用参数表示的方程形式，通过引入参数，可以将平面上的点的坐标表示为参数的函数。
参数方程一般用一对方程表示(x=f(t), y=g(t))，其中x和y表示点的坐标，而f(t)和g(t)则是关于参数t的函数。
相比于直角坐标系下的方程，参数方程引入了参数t，使得曲线上的每个点可以用单独的参数值来表示。
参数方程可以灵活地描述各种曲线，包括直线、圆、椭圆、双曲线等。
参数方程的参数范围可以是实数，也可以是一个有限或无限的区间。
参数方程通常具有较好的可变性，可以轻松地改变曲线的形状和位置。
四、极坐标与参数方程的区别和联系极坐标和参数方程都是描述平面上点的位置的方式，它们在表示方式、使用场景和计算方法上存在一定的差异和联系。
1.表示方式的不同：–极坐标使用极径和极角表示点的位置，而参数方程使用参数表示点的坐标。
2.使用场景的不同：–极坐标主要适用于描述圆形、螺旋线等以某个点为中心的曲线。
–参数方程适用于描述各种曲线，包括直线、圆、椭圆等。
参数方程的引入可以更灵活地改变曲线的形状和位置。
3.计算方法的不同：–极坐标下，点的坐标可以通过极径和极角的关系计算得到。
解析几何中的参数方程与极坐标系
解析几何中的参数方程与极坐标系在解析几何中，参数方程和极坐标系是两种常用的坐标系统，它们在描述曲线和曲面的特征方程中起到了重要作用。
本文将对参数方程和极坐标系进行解析和比较，并探讨它们在几何学中的应用。
一、参数方程参数方程是一种用参数表示的函数方程，其中自变量和因变量都是参数的函数。
在解析几何中，参数方程常用于描述平面曲线和空间曲线。
以平面曲线为例，设曲线上的点坐标为(x, y)，则可以用参数t表示，即x = x(t)，y = y(t)。
参数t的取值范围可以是一个区间，例如t∈[a, b]，也可以是整个实数集。
通过参数方程，我们可以灵活地描述各种曲线，包括直线、抛物线、椭圆等。
例如，对于直线来说，可以选择参数t为直线上的点到某一点的距离，这样就可以用参数方程表示直线的方程。
在空间曲线的描述中，参数方程同样起到了重要作用。
例如，对于螺旋线来说，可以选择参数t为螺旋线上的点到某一轴线的距离，这样就可以用参数方程表示螺旋线的方程。
参数方程的优点在于可以简化对曲线的描述，而且可以方便地求解曲线上的点和曲线之间的关系。
但是参数方程也存在一些问题，比如在计算曲线的长度和曲率时相对复杂。
二、极坐标系极坐标系是一种用极径和极角表示的坐标系统，常用于描述平面上的曲线和曲面。
在极坐标系中，一个点的坐标由极径r和极角θ确定，记作(r, θ)。
其中，极径表示点到原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。
通过极坐标系，我们可以方便地描述各种曲线，包括圆、椭圆、双曲线等。
例如，对于圆来说，可以选择极径r为圆心到圆上任一点的距离，这样就可以用极坐标系表示圆的方程。
在极坐标系中，曲线的方程通常是一个关于极径r和极角θ的函数。
通过改变极径和极角的取值，我们可以得到曲线上的不同点。
极坐标系的优点在于可以简化对曲线的描述，特别适用于具有对称性的曲线。
而且在计算曲线的长度和曲率时相对简单。
但是极坐标系也存在一些问题，比如在描述某些非对称曲线时相对困难。
苏教版高中数学高考总复习(理科)知识讲解_几何证明选讲、参数方程与极坐标
高考总复习：几何证明选讲、参数方程与极坐标【考纲要求】1、相似三角形的判定及有关性质（1）了解平行线分线段成比例定理。
（2）会证明并应用直角三角形射影定理。
2、直线与圆的位置关系（1）会证明并应用圆周定理、圆的切线的判定定理及性质定理。
（2）会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
3、极坐标（1）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置。
能进行极坐标和直角坐标的互化；（2）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。
4、参数方程（1）了解参数方程，了解参数的意义；（2）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。
【知识网络】【考点梳理】考点一、相似三角形的判定及有关性质 1．平行线等分线段定理及其推论（1）定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
（2）推论：①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
如右图：l 1∥l 2∥l 3，则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===2．平行线分线段成比例定理及推论（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
3．相似三角形的判定及性质 （1）相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
（2）相似三角形的判定①预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
如图，若EF//BC ，则⊿AEF ∽⊿ABC 。
②判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。
③判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
④判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
高考数学总复习含答案：知识讲解_几何证明选讲、参数方程与极坐标
高考总复习：几何证明选讲、参数方程与极坐标【考纲要求】1、相似三角形的判定及有关性质（1）了解平行线分线段成比例定理。
（2）会证明并应用直角三角形射影定理。
2、直线与圆的位置关系（1）会证明并应用圆周定理、圆的切线的判定定理及性质定理。
（2）会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
3、极坐标（1）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置。
能进行极坐标和直角坐标的互化；（2）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。
4、参数方程（1）了解参数方程，了解参数的意义；（2）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。
【知识网络】【考点梳理】考点一、相似三角形的判定及有关性质 1．平行线等分线段定理及其推论（1）定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
（2）推论：①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
如右图：l 1∥l 2∥l 3，则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===2．平行线分线段成比例定理及推论（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
3．相似三角形的判定及性质 （1）相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
（2）相似三角形的判定①预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
如图，若EF//BC ，则⊿AEF ∽⊿ABC 。
坐标系与参数方程坐标系极坐标系 曲线的极坐标方程 圆的极坐标方程曲线的参数方程 直线和圆的参数方程圆锥曲线的参数方程 一些常见曲线的参数方程参数方程②判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
参数方程与极坐标
考点：1. 用极坐标表示点的位置，极坐标和直角坐标互化 2. 直线、圆和圆锥曲线的参数方程
练习题：
1．已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，π4cos 002ρθρθ⎛⎫=< ⎪⎝
⎭
，≥≤，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 ． 2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3
3x t y t
=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方
程为2cos 2sin 2x y θ
θ=⎧⎨
=+⎩
（参数[0,2]θπ∈），则圆C 的圆心坐标为_______，圆心到直线l 的距离
为______.
3、在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ 与cos 1p θ=- 的交点的极坐标为______。
4.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别
为
(0)sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨
=⎪⎩ 和25()4x t t R y t
⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________.
5、在极坐标系中，点P =1的距离等于____________。
6. 已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是______
7. 在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,
1sin x y αα
=⎧⎨
=+⎩（α为参数）在极坐
标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 。
8. 若曲线的极坐标方程为p=2sin 4cos θθ+，以极点为原点，极轴为x 轴正半
轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为
N 几何证明选讲
考点：1. 平行线截割定理、直角三角形射影定理
2. 弦切角定理、相交弦定理、切割线定理、圆内接四边形的性质
1．如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 交于点P ， 若3AB =，1CD =，则sin APD ∠= ．
2．如下图，⊙'
O 和⊙O 相交于A 和B ， PQ 切⊙O 于P ，
交⊙'
O 于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3,NQ ＝15，则 PN ＝__________．
3．如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，
E 为⊙O 上一点，弧AC AE 弧=，DE 交AB 于点
F ，且42==BP AB ， E 则=PF _________
4．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，
AE 交BC 于F ，则=FC
BF
.
5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，
∙
=∠25MAB ，则=∠D .
8．已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A,B 两点，割线PCD 经过圆心，若PA=3,AB=4,PO=5
，
则
⊙
O
的
半
径
_______________
9．如图，已知DE ∥BC ，△ADE 的面积是2
2cm ，梯形DBCE 的面积
为26cm ，则:DE
BC 的值是 。
A A B
C
D E。