山东省日照秦楼中心初级中学九年级数学上册《2.7 二次函数与一元二次方程》课件 人教新课标版
部编版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》- 说课稿
部编版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》- 说课稿一、教材分析•《二次函数与一元二次方程》是部编版九年级数学上册的一章内容。
•本章主要涵盖了二次函数的基本概念、图像特征以及一元二次方程的解法与应用。
•本章内容对于学生理解二次函数的性质和运用一元二次方程解决实际问题具有重要意义。
•本章内容需要学生对九年级数学基础知识有一定的掌握。
二、教学目标1. 知识目标•了解二次函数的定义、图像特征和性质。
•掌握二次函数的图像绘制和相关概念的应用。
•理解一元二次方程的解法和实际应用。
•掌握一元二次方程的解的判别式和求解方法。
2. 能力目标•能够绘制二次函数的简单图形并分析其特征。
•能够运用一元二次方程解决实际问题。
•能够理解并解决与二次函数与一元二次方程相关的数学问题。
3. 情感目标•培养学生对数学知识的兴趣和学习的主动性。
•培养学生分析和解决实际问题的能力。
•培养学生合作学习和团队合作的意识。
三、教学重点与难点1. 教学重点•二次函数的定义、图像特征和性质。
•一元二次方程的解法和实际应用。
2. 教学难点•学生对二次函数的图像特征和一元二次方程的应用理解的深度。
•学生对于一元二次方程解法中相关概念的灵活运用。
四、教学过程1. 导入与认知（15分钟）•利用课件或黑板，引导学生回顾九年级数学上册已学的内容，如函数的概念、线性函数等。
•通过问题导入的方式，引发学生对二次函数和一元二次方程的兴趣，激发学生的思考。
2. 知识讲解与示范（40分钟）•分别讲解二次函数的定义、图像特征和性质，引导学生理解二次函数的图像和变化规律。
•通过具体例题和问题分析，讲解一元二次方程的解法和实际应用。
•适时展示示范题目的解题过程和思路，帮助学生理解与掌握相关概念和解题方法。
3. 练习与巩固（30分钟）•提供一定数量的练习题，让学生独立完成并及时检查答案。
•鼓励学生通过小组合作的方式解决难题，促进学生之间的互动和交流。
•定期进行学生的答疑和梳理，及时纠正错误和巩固基础知识。
青岛版九年级上册数学《一元二次方程》PPT教学课件
4. 将下列方程化为一般形式，并分别指 出它们的二次项、一次项和常数项及它 们的系数：
⑴ 6y2 y
⑵ (x 2)(x 3) 8 ⑶ (2 3 x)(2 3 x) (x 3)2
?
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一元一次方程
一元二次方程
ax+b=0 (a≠0） ax2+bx+c=0 (a≠0） 整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
探究
认识了一元二次方程,接下来我们 就要探求一元二次方程的解.
方程解的定义是怎样的呢?
能使方程左右两边相等的 未知数的值就叫方程的解
问题 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之 间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应 邀请多少个队参加比赛?
解:设邀请了x队参加比赛,根据题意得:
1 x(x 1) 28 2
即:x(x-1)=56
思考:
• 你能否说出下列方程的解?
• 1) x2 36 0
• 2) x2 36 0
• 3) (x 6)2 0
一元二次方程的根的情况与一元一 次方程有什么不同吗?
练习:
1)下面哪些数是方程x2 x 6 0 的根?
可以写成：3x2-x-6=0
整理，得： -3x2+x+6=0
二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6。
例：已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一 个根是3，求a的值.
解：由题意得
把x =3代入方程x2+ax+a=0得，
鲁教版初中数学九年级上册《二次函数与一元二次方程(2)》参考教案
3.7 二次函数与一元二次方程（2）教学目标(一)教学知识点1．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．2．进一步发展估算能力．(二)能力训练要求1．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．2．利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想．(三)情感与价值观要求通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力．教学重点1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．教学方法学生合作交流学习法．教具准备投影片三张第一张：(记作§3.7.2A)第二张：(记作§3.7.2B)第三张：(记作§3.7.2C)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．Ⅱ．讲授新课一、利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根．投影片：(§3.7.2A)下图是函数y＝x2＋2x－10的图象．[师]从图象上来看，二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴交点的横坐标一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间，所以方程x2＋2x－10＝0的两个根一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间．这只是大概范围，究竟更接近于哪一个数呢？请大家讨论解决．[生]有关估算问题我们在前面已学习过了，即是用试一试的方法进行的．既然一个根在－5与－4之间，那这个根一定是负4点几，所以个位数就确定下来了，接着确定十分位上的数，这时可以用试一试的方法，即分别把x＝－4.1，－4.2，…，－4.9代入方程进行计算，哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立)，则这个值就是方程的根(或近似根)．[师]由于计算比较烦琐，所以大家可以用计算器进行计算．[生]从图象上看，x的取值应大于－4.5，所以可以只代入－4.1，－4.2，－4.3，－4.4这四个数进行计算，利用计算器进行探索．从上表可知，当x取－4.1，－4.2，－4.3，－4.4时，y的值都不等于0，所以x的取值还不准确，应继续估计百分位上的数，十分位上的数字应取y的值和零最接近的数字．所以x应取负的4点3几．再按同样的方法求百分位上的数字．依次类推，即可求出比较准确的x的值．[师]大家的分析非常到位、确实应按这样的步骤进行，但我们的重点是求解方程的思路，而不是求解的结果．因此本书规定用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位．[生]因此，x＝－4.3是方程的一个近似根．[师]有了上面的分析和结果，求另一个近似根就不困难了，请大家继续．[生]另一个根在2与3之间，应是2点几，再用计算器进行探索．由于当x＝2.3时，y的值最接近0，所以另一个根的近似值为x＝2.3．[师]还有其他的方法吗？[生]有，可以把－5与－4之间的线段十等分再判断交点更接近于哪一个分点．如上题中的两个根可以这样求：投影片：(§3.7.2B)二、做一做利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根．[师]我们可以根据上面的方法来求方程的近似根．但是还与上面的题型不太一样．上面的题是利用二次函数y＝x2＋2x－10的图象估计方程x2＋2x－10＝0的根，现在我们应该利用哪一个函数图象求方程x2＋2x－10＝3的根呢？[生甲]利用函数y＝x2＋2x－13的图象求方程x2＋2x－10＝3的近似根．[生乙]也可以在上题的基础上进行，利用函数y＝x2＋2x－10的图象与直线y ＝3的交点的横坐标求方程x2＋2x－10＝3的解．[师]究竟哪一种方法正确呢？我们下面就来验证一下．[生甲]函数y＝x2＋2x－13的图象如下图(投影片§3.7.2C)：由图可知，图象与x轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索．因此x＝－4.7是方程的一个近似根．另一个根可以类似地求出：因此x＝2.7是方程的另一个近似根．[生乙]分别画出函数y＝x2＋2x－10的图象和直线y＝3，找它们交点的横坐标即可．由图可知两根分别为x＝－4.7和x＝2.7．Ⅲ．课堂练习P109随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习的内容：1．经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系；2．经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图象法求方程近似根的体验．3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h(h是实数)交点的横坐标，发展估算能力．Ⅴ．课后作业习题3.16Ⅵ．活动与探究一元二次方程x2－4x＋2＝－1的根与二次函数y＝x2－4x＋2的图象有何关系？请你把方程的根在图象上表示出来．解：一元二次方程x2－4x＋2＝－1的根可以看成函数y＝x2－4x＋2的图象与直线y＝－1的交点的横坐标．图象略．板书设计§3.7.2 二次函数与一元二次方程(二)一、1．利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10的根(投影片§3.7.2A、B)．2．做一做(利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根)二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。
鲁教版九上2.7二次函数与一元二次方程课件ppt.ppt
一元二次方程x2-4x+4=1的根二次函数y=x2-4x+4
． N
直线y=0
0 12
x
的图象与直线（ 直线y=1 ）交点的横坐标 y
正确？
y=x2-4x+4
方程x2-4x+4=1的根（x1=1 x2= 3 )
2 1
．． M
N
直线y=1
(x-2)2=1
友情提示：二次函数有哪几种表达形式？
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
例2 ：已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（2,0）
并经过点M（0,2），求抛物线的解析式？
思考： 你能用什么方法做呢? 哪个方法更好?
0 123
(x-2)=±1
x
X-2=-1 或 x-2=1
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
想一想
一元二次方ax2+bx+c=k的根是函数y=ax2+bx+c 的图象和 直线y=k 交点横坐标
． ． y 直线y=k
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
复习提问
1、 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = b2-4a。c
有两个不等实数根
方程根的情况是：当△﹥0 时方程
；
初中九年级数学上册,第二十二章第二节,《二次函数与,一元二次方程》,新课教学课件
做一做
作出三个函数的 图像，完成下表
二次函数 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 1 抛物线与x轴 公共点个数 0个 1个 2个 公共点 横坐标 无 0 -2, 1 相应的一元二次 方程的根 x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0，x1=x2=3 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1 y = x2－6x＋9
一个解x的范围是（ C
A. 3< x < 3.23 C. 3.24 <x< 3.25
）
B. 3.23 < x < 3.24 D. 3.25 <x< 3.26
------------强化训练-------------已知二次函数
y x 2 6 x 8 的图象，利用图象回
答问题：
（1）方程 x 2 6 x 8 0 的解是什么？
2
0且k 0，即2 4k (1) 0且k 0，
2
则k 1且k 0
------------强化训练-------------根据下列表格的对应值:
x y=ax2+bx+c 3.23 -0.06 3.24 -0.02 3.25 0.03 3.26 0.09
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)
初中九年级数学上册教学课件
第二十二章《二次函数》
§22.2 二次函数与一元二次方程
复习回忆
你掌握了吗？
曾记否？
一、一次函数y=x+2的图像与x轴的交点坐标为 （-2，0），则一元一次方程x+2=0的根为-2 二、一次函数y=-3x+6的图像与x轴的交点坐标为 （2，0），则一元一次方程-3x+6=0的根为2
(课件1)鲁九上2.7二次函数与一元二次方程
想一想
3
驶向胜利 的彼岸
二次函数与一元二次方程
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的 高度是60cm?你是如何知道的?
解 : 当h 60时, 得 5t 2 40t 60. 解得 : x1 2, x2 6.
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系 如何?
2.2个根,2个相等的根, 无实数根.
想一想
2
二次函数与一元二次方程
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: 有两个交点, 有一个交点, 没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的 横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.
议一议
1
二次函数与一元二次方程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象;1 y=x2-2x+2
(1).每个图象与x轴有几个交点？ (1).2个,1个,0个. (2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二 次方程x2-2x+2=0有根吗?
想一想
1
由上抛小球落地的时间想到
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间 t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是 抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地 面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与 运动时间t(s)的关系如图所示,那么 (1).h和t的关系式是什么？ 解 : 1.h 5t 2 40t. (2).小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴 进行交流. 2.8s, 可以利用图象, 也可以解方程 5t 2 40t 0.
二次函数与一元二次方程 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
2．小组合作，类比探究
归纳 一般地，从二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象可知： （1）如果抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴有公共点， 公共点的横坐标是 x0，那么当 x = x0 时，函数值是 0， 因此 x = x0 是方程 ax2 + bx + c = 0 的一个根． （2）二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置 关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共 点． 这对应着一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的三种 情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等 的实数根．
123456 x
2．小组合作，类比探究
问题4 由二次函数的图象，你能得出相应的一元二次方程 的根吗？二次函数与一元二次方程具有怎样的联系？
y
y = x2- x + 1 6
5
4
3
y = x2+ x - 2
2
1
-3 -2 --1O1 -2
y = x2 - 6x + 9
123456 x
x2+ x - 2 = 0 x2 - 6x + 9 = 0 x2- x + 1 = 0
九年级 上册
22.2 二次函数与一元二次方程
课件说明
• 二次函数与一元二次方程的联系再次展示了函数与方 程的联系，一方面可以深化对一元二次方程的认识， 另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方程的有 关问题．
课件说明
• 学习目标： 了解二次函数与一元二次方程的联系.
• 学习重点： 二次函数与一元二次方程的联系．
人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》课件(共8张PPT)
关闭
C
解析
答案
1
2
3
4
3.二次函数 y=x2-mx+3 的图象与 x 轴的交点如图所示,根据图中信息可得到
m 的值是
.
关闭
把点(1,0)的坐标代入 y=x2-mx+3,得 0=1-m+3,即 m=4.
关闭
4
解析
答案
1
2
3
4
4.若抛物线 y=2x2+8x+m 与 x 轴只有一个公共点,则 m 的值为
.
关闭
因为抛物线 y=2x2+8x+m 与 x 轴只有一个公共点,
所以 82-4×2m=0,解得 m=8.
关闭
8
解析
答案
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另
一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12
A.(0,2)
B.(1,0)
C.(0,-3)
2
3
4
)
D.(0,0)
关闭
A
答案
1
3
2
1
4
2.二次函数 y=x2-6x+ 的图象与 x 轴的交点个数是(
A.0
B.1
C.2
4
)
D.3
关闭
1
4
因为 Δ=(-6)2-4×1× =36-1>0,
1
4
所以二次函数 y=x2-6x+ 的图象与 x 轴的交点个数是 2.故选 C.
You made my day!
九年级数学上册 2.7《二次函数与一元二次方程》学案 鲁教版
一、学习目标： 1、理解二次函数的图象与 X 轴的公共点的个数和一元二次方程的根的判别式之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。
2理解一元二次方程h c bx ax =++2的根就是二次函数c bx ax y ++=2与直线h y =交点的横坐标。
3．经历探索二次函数c bx ax y ++=2和一元二次方程02=++c bx ax 的关系的过程，体会方程与函数之间的关系。
4．通过学习，进一步培养学生团结协作精神和乐于助人的优秀品质。
二、知识链接：1、一元二次方程根的判别式与一元二次方程的根的关系？2、怎样把二次函数转化为一元二次方程？三、探究新知：利用多媒体投放课本67页的问题。
1、议一议：利用多媒体投放二次函数x x y 22+=，122+-=x x y ，222+-=x x y 的图象，回答下面的问题：（1）每个图象分别与x 轴有几个公共点？如果有公共点，说出公共点的坐标。
（2）一元二次方程022=+x x ，0122=+-x x 分别有几个根？它们的根分别是什么？一元二次方程0222=+-x x 有实数根吗？（3）二次函数x x y 22+=和一元二次方程022=+x x 有什么联系？函数x x y 22+=的图象与x 轴的公共点坐标和方程022=+x x 的根之间有什么关系？二次函数122+-=x x y 和一元二次方程0122=+-x x 呢？二次函数222+-=x x y 和一元二次方程0222=+-x x 呢？（4）二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的公共点的个数和一元二次方程02=++c bx ax 的根的判别式有什么关系？（5）二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的公共点坐标和一元二次方程02=++c bx ax 的根有什么关系？回顾反思： 二次函数 c bx ax y ++=2的图象与一元二次方程02=++c bx ax 关系是什么？友情提示：当042>-ac b 时，有两个公共点；当042=-ac b 时，有一个公共点；当042<-ac b 时，没有公共点。
秋鲁教版(五四制)数学九年级上册二次函数与一元二次方程课件
2 y y = x2 … 0.56 0.25 -0.04 -0.31 …
1
–3 –2 –1 O 1
–1
–2
–3
23x y = 2∙x + 1
视察x取何值时，y 值最接近0？
先求位于-3和-2之间的根.
x … -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 …
y
5
y … 0.56 0.25 -0.04 -0.31 …
一想，二次函数与一元
（2）试用含有x的不等式来描述问二题次(1方)。程与一元二次不
解：
等式有什么联系？
（1）当 - 1 x 3 , y 0
2
2
（2）当x - 1 或x 3 , y 0
2
2
对于一元二次方程 ax2 bx c 0 ，
当 b2 4ac 0 时有实数根，
这个实数根就是对应二次函数 y ax2 bx c 的值等于0时自变量x 的一个值，即二次函数的图象与x 轴一个交点的横坐标。
y ax2 y bx c
y ax2 bx x
y
h
教学难点
1、二次函数与一元二次方程的关系的探索过程． 2、准确理解二次函数与一元二次方程的关系
．
情景引入
5y
4
3Leabharlann 21y = 2∙x 3
–3 –2 –1 O 1 2 3 4 x –1 –2 –3
–4
想一想，通–5过一次函数的 图象可以得出哪些结论？
前面我们学习通 过视察一次函数 的图象，研究了 一次函数与一次 方程、一次不等 式之间的关系。
3.7 二次函数与一元二次方程
教学目标
1．知识与技能目标：理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数 之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次 方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
九年级上册数学课件7 二次函数与一元二次方程
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
(-2,0),(1,0) x1=-2,x2=1
(3,0) x1=x2=3
无交点 无实根
由上述问题，你可以得到什么结论呢？
方程ax2+bx+c=0的解就是抛物 线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横 坐标.当抛物线与x轴没有公共点
t
你能结合上图，指出 为什么球的高度不能 达到25m吗？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
解：小球飞出时和落地时的高度均为0m， 当h=0时，0=20t-5t2,
即 t2-4t =0, 解得 t1=0, t2=4.
即0秒时球从地面飞出，4秒时球落回地面.
为一个常数 （定值）
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)何时
为一元二次方程?
一般地，当y取定值时，二次函数为一元二次
方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c
就是一个一元二次方程.
二次函数与一元二次方程的关系(1) 已知二次函数中因变量的值， 求自变量的值
解一元二次方程
观察函数图像回答问题：
答：2个，1个，0个 答：2个不等的实数根，2个相等的实数根，无实数根
一元二次方程 ax2+bx+c=0
根的判别式 Δ=b2-4ac
有两个不相等的实数根 Δ>0
抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有两个交点
有两个相等的实数根 没有实数根
Δ=0 Δ<0
与x轴有一个交点 与x轴没有交点
山东省日照市九年级数学一元二次方程教案
是“ 降次”，把二次转化为一次．这四种方法各有千秋， 在解一元二次方程时可根据方程的
特点，选用最佳解法．
复习策略：灵活选用一元二次方程的解法，可从以下几点考虑： ⑴对于形如 x2＝ a（ a≥0）或（ mx－n）2＝a（ m ≠ 0， a ≥ 0）的方程，可根据平方根的
意义，用直接开平方的方法求解．
ax2＋bx＋c＝0（ a、b、c
为常数， ?a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 一元二次方程的一般形式： ax2＋bx＋c＝0（ a≠0）．
复习策略： 准确理解一元二次方程的定义， 一元二次方程首先是整式方程， 然后是经过
化简后能得到一元二次方程的一般形式的方程才是一元二次方程．
例 1. ⑴下列方程是关于 x 的一元二次方程的是
）
3
3
（ A）－ 1 或 4 （ B）－ 1 （ C） 4 （ D）不存在
用心 爱心 专心
4
⑵（ 2007 四川德阳）阅读材料：设一元二次方程
ax2 bx c 0 的两根为 x1 ， x2 ，则
两根与方程系数之间有如下关系：
x1 x2
b
c
x1x 2
a，
a ．根据该材料填空：
x2 已知 x1 ， x2 是方程 x 2 6x 3 0 的两实数根，则 x1
山东省日照市九年级数学 一元二次方程教案
一 . 教学内容：
复习目标：（辅导时各位老师要学生掌握的点，每节课可以视情况巩固两点）
⑴了解一元二次方程的有关概念．
⑵能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、
?因式分解法解一元二次方程．
⑶会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．
⑷知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有关问题．
二次函数与一元二次方程 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
y＝x2－2x＋1 (1,0)
x2－2x＋1＝0 x1＝x2 ＝1
y＝x2－2x＋2 图像与x轴没有交点．
x2－2x＋2＝0
没有实数根．
22.2 二次函数与一元二次方程(1)
归纳总结
y
43 2 1 -3-2--110 1 2 3 x -2 -3
二次函数与一元二次方程
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和x轴交点有三种情况：
?
22.2 二次函数与一元二次方程(1)
随堂练习
1. 方程 x2＋4 x－5＝0的根是 －5，1 ；则函数 y＝x2＋4 x－5 的图像与x轴的交点有 2 个，其坐标
是（-5，0）、（1，0） ．
2. 方程 x2＋10x－25＝0 的根是 x1＝x2＝5 ；
则函数 y＝－x2＋10 x－25 的图像与x轴的交点有_1 个，其坐标是 （5，0） ．
图像与x轴没有交点．
22.2二次函数与一元二次方程(1)
观察思考
二次函数与一元二次方程
y
y=x2－2x －3
4
3
2
1
-3-2 -1-10 1 2 3 x -2 -3
y=x2−2x −3
y＝x2－2x＋1
y＝x2－2x＋2
图像与x轴有2个交点．图像与x轴有1个交点．图像与x轴没有交点．
x2−2x −3 ＝0
初中数学 九年级(上册)
22.2 二次函数与一元二次方程(1)
22.2 二次函数与一元二次方程(1)
教学目标
1．体会函数与方程之间的联系，初步体会利用 函数图像研究方程问题的方法； 2．理解二次函数图像与x轴（横轴）交点的个数 与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方 程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实 根的函数图像特征； 3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h （h是实数）图像交点的横坐标．
山东省日照秦楼中心初级中学九年级数学《二次函数的图象和性质（1）》课件
You made my day!
我们，还在路上……
二次函数的图 象和性质（1）
(1)观察y= x2的表达式，选 择适当的x值，并计算相应 的y值，完成下表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x2 9 4 1 0 1 4 9
(2)在直角坐标系中描点． （按x的值从小到大，从左 到右描点）
(3)用光滑的曲线连接各点， 便得到函数y=x2的图象． （能用直线连接吗？）
• （5）因为图像有最低点，所 以函数有最小值，当x=0时， y最小＝0.
做一做
二次函数的图象y=-x²是什么形状? 先想一想,然后作出它的图象
它与二次函数y=x²的图象有什么关 系?与同伴交流。
总结： 二次函数y=-x2的图象是抛物线.
（1）抛物线的开口向下； （2）它的图象有最高点，最高点 的坐标是（0，0）； （3）它是轴对称图形，对称轴是 y轴。在对称轴左侧，y随x的增大 而增大；在对称轴右侧，y随x的增 大而减少。
二次函数y=x2的图象是抛物线.
• （1）抛物线的开口向上； • （2）它的图象有最低点，最低点的
坐标是（0，0）； • （3）它是轴对称图形，对称轴是y
轴。在对称轴左侧，y随x的增大而 减少；在对称轴右侧，y随x的增大 而增大。
• （4）图象与x轴有交点，这 个交点也是对称轴与抛物线 的交点，称为抛物线的顶点， 同时也是图象的最低点，坐 标为（0，0）；
议一议
对于二次函数y=x2的图象， (1)你能描述图象的形状吗?
(2)图象与x轴有交点吗? 如果有，交点坐标是什么? (3)当x<0时，随着x值的增大， y的值பைடு நூலகம்何变化?当x>0时呢?
(4)当x取什么值时，y的值最小?
3.7 二次函数与一元二次方程(1)(数学鲁教版九年级上册)
知识小结
知识点 二次函数的图象与x轴的交点和一元二次方程根的情况
之间的关系
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的交点有三种情况：有
两个交点、有一个交点、没有交点．与此相对应，一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0 的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两
个相等的实数根、没有实数根．
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交点的横坐标就是一元 二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根．
选 B.
以上分析过程正确吗？若不正确，请给出正确答案．
反思
[答案] 不正确．以上分析过程漏掉了图象与 y 轴交点的情况． 正解：令 x＝0，得 y＝2， ∴抛物线与 y 轴的交点坐标为(0，2)． 令 y＝0，得－x2＋x＋2＝0， 解得 x1＝2，x2＝－1， ∴抛物线与 x 轴的交点坐标分别为(2，0)，(－1，0)． 综上，抛物线与坐标轴的交点个数为 3.
故选 A.
课后作业
1、完成教材相应习题； 2、完成同步练习册相应习题。
文本
文本
文本
文本
鲁教版九年级上册
第三章 二次函数
3.7 二次函数与一元二次 方程
第1课时二次函数图象与x轴 的交点与一元二次方程
新课目标
1．经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，理 解二次函数与一元二次方程的关系，能利用其关系解 决实际问题． 2．通过对二次函数图象及意义的理解，会求二次函数 图象与坐标轴及其他函数图象的交点坐标．
新课进行时
解：联立两函数表达式，得yy＝ ＝2－xx＋2＋m，3x＋4， 消去 y，整理得 x2－x＋m－4＝0. ∵二次函数 y＝－x2＋3x＋4 的图象与一次函数 y＝2x＋m 的图象有交点， ∴b2－4ac＝1－4(m－4)≥0，解得 m≤147. [归纳总结] 求二次函数的图象与一次函数的图象的交点 的实质就是求二次函数的表达式与一次函数的表达式所组成 的二元一次方程组的解．
初中数学九年级上册 22《二次函数》二次函数与一元二次方程课件
轴的位置关系。
随堂练习
1、方程 x2 4x 5 0 的根是 -5，1 ； 则有2、函2方数程个y ，xx其2 2坐104标xx是255（的0-5的图，根象0是与）、xx轴1（的1x2，交．05；点） 则有3、函1下数列个y 函，数其x2 的坐1图0标x 象是2中5 的（，5图与，象x0轴与）没x轴有的公交共．点
3y4 2 1 -3 -2 -1 0 --112 2 3 x
-3
y x2 2x 3
3y4 2 1 -3 -2 -1 0 --112 2 3 x
-3
根据一元二次方程 x2 4 0的根的情况，
判断二次函数 y x2 4 图象与x轴交点
坐标是什么？
3y4
2
N
1
M
-3 -2 -1 0 --112 2 3 x
-3
根据一元二次方程 x2 4x 6 的0 根的情况，
判断二次函数 y x2 4x 6图象与x轴的
位置关系。
3y4 2 1 -3 -2 -1 0 --112 2 3 x
-3
例题讲解
不画图象，你能判断函数 y x 2 x 6
的图象与x轴是否有公共点吗？请说 明理由。
二次函数与一元二次方程(1)
y x2 2x 3
观察二次函数
的图象：
你能确定一元二次方程 x2 2x 3 0的根吗？
y
4
3 2
N1
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 x -1
-2
-3
观察下列图象，分别说出一元二次方程
x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况.
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2.2个根,2个相等的根, 无实数根.
想一想
2
二次函数与一元二次方程
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: 有两个交点, 有一个交点, 没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的 横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.
一般地,当y取定值时, 二次函数即为一元二次方程.
随堂练习 5
二次函数与一元二次方程
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? 15 7 x x x x 解 : 1. 4 y 7 x x 15. 得, y 由 . 4 2 x 15 7 x x x 2
想一想
1
由上抛小球落地的时间想到
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间 t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是 抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地 面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与 运动时间t(s)的关系如图所示,那么 (1).h和t的关系式是什么？ 解 : 1.h 5t 2 40t. (2).小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴 进行交流. 2.8s, 可以利用图象, 也可以解方程 5t 2 40t 0.
议一议
1
二次函数与一元二次方程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2 x y=x2-2x+1 y=x2-2x+2
(1).每个图象与x轴有几个交点？ (1).2个,1个,0个. (2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二 次方程x2-2x+2=0有根吗?
2.窗户面积S 2 xy
独立 作业
知识的升华
习题2.7 1,2,3题.
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
下课了!
结束寄语
•
不知道并不可怕和有害,任何人都不可能什 么都知道,可怕的和有害的是不知道而伪装 知道.
想一想
2
二次函数与一元二次方程
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
2 x 2 4 2 y 2 7 2 15 7 15 225 x x x . 2 2 2 14 56 b 15 4ac b 2 225 或用公式 : 当x 1.07时, y最大值 4胜利 的彼岸
二次函数与一元二次方程
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的 高度是60cm?你是如何知道的?
解 : 当h 60时, 得 5t 2 40t 60. 解得 : x1 2, x2 6.
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系 如何?
九年级数学(上)第二章 二次函数
2.7. 二次函数与一元二次方程
想一想
1
由上抛小球落地的时间想到
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间 t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是 抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地 面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与 运动时间t(s)的关系如图所示,那么 (1).h和t的关系式是什么？ (2).小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴 进行交流.