第五章 连续系统的s域分析 5.3
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连续时间系统的s域分析讲解
1 1 s 1 1 s
1 1 2 s 1 s
1 s 1 s 2 5s 2 s s2 2 1 s 1 s 1 s 2 2s 1 V1 ( s ) 2 s s 2 1 s
1 1 V1 ( s ) s 2 1 1 s 0 0
2 s 2 2s 1 I 2 ( s) 2 V1 ( s) s 5s 2
解法二：先求系统的冲激响应（应用2.3节的方法）
h(t ) (et e2t )u(t )
则
1 1 1 H ( s) 2 s 1 s 2 s 3s 2
输入信号 S R1
例： 图示电路，开关S在t = 0时刻闭合，以v2(t)作为响应，
x(t ) Eet u (t ),
(1)
（1）
y ( k ) (0 ) 0, x( k ) (0 ) 0
对式（1）两边取拉氏变换得：
bm s m bm1s m1 b1s b0 Yzs (s) X ( s) n n 1 an s an1s a1s a0
Yzs ( s ) bm s m bm1s m1 b1s b0 H ( s) n n 1 X ( s ) an s an 1s a1s a0
结论：
左半s平面→h(t)衰减
极点： 右半s平面→h(t)增长
一阶极点→h(t) 等幅振荡或阶跃 虚轴上 二阶极点→h(t) 呈增长形式 h(t)衰减 h(t)增长 稳定系统（极点在左半s平面） 非稳定系统（极点在右半s平面） 一阶：阶跃或等幅振荡（临界稳定） 如果在虚轴上→
二阶：以上不稳定系统
H(s)零点的位置对系统的特性有何影响呢？
1Ω
1F + V1(s) I1(s)
第5章-连续系统的s域分析
L[ f (t )] F[ f (t )e t ]
if , t 0, f (t ) 0
单边拉氏变换
s j
f (t )(0 t )
傅立叶变换和单边拉氏变换是双边拉氏变换的特殊情况
23
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换
对于单边拉氏变换 讨论：①有界的非周期 信号的拉氏变换一定存 在 满足
1 st e s
例：求L[ (t )]
0
1 s
解：L[ (t )] (t )e st dt 1
0
例：求L[ (t )]
解：L[ (t )] (t )e st dt
0
-(- s)e- st
t 0
s
18
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换
f (t )
1 2
j
j
j
Fb ( s )e st ds
1 对比：f (t ) 2
F ( j )e jt d
Laplace变换重新选取函数空间的基底，以 衰减振荡函数集 e ( j )t 为基底构成函数空 间，用来展开信号。
7
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 收敛域
1 e (t ) , Re[s] b s b 当 b 0 时，上述ROC有公共部分，
bt
1 1 X b ( s) s b s b
b Re[s] b
当 b 0 时，ROC 无公共部分，表明
12
X b ( s) 不存在。
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 收敛域
信号与系统第5章-S域分析
，求系统的零状态响应
yzs (t )
某连续时间系统的S域框图如图所示：
1 F(s) +
P267 5.21 (b)题
- -
S-1 3 2
S-1
S-1
4
+
+
Y(s)
（1）求系统函数H(S)。（5分） （2）求系统的单位冲击响应h(t)。（5分） （3）写出该系统的微分方程。（3分） （4）写出该系统的频率响应函数H(jω)的表达式。（2分）
某连续时间系统的S域框图如图所示：
2 3 F(s) +
P267 5.21 (a)题
- -
S-1 5 6
S-1
4
- + -
Y(s)
（1）求系统函数H(S)。 （2）求系统的单位冲击响应h(t)。 （3）写出该系统的微分方程。 （4）写出该系统的频率响应函数H(jω)的表达式。 （5）若系统输入信号 f (t ) et (t )
第5章 连续系统的S域分析
1. 拉普拉斯变换概念
因果信号拉普拉斯变换的收敛域为复平面的 (左、右)半平面。
4t 5t f ( t ) ( e e ) (t ) ,做拉普拉斯变换的收敛域（ ） 信号
（A）Re[s] >4
3t 5t
（B） Re[s]>5
（C）Re[s]<-4
（D）Re[s]<-5
[2e 3e ] (t ) 的拉普拉斯变换为（ ）
（A） 2 3 s3 s5
2 3 2 2 3 （B） s 3 s 5 （C） （D） s3 s5
3 s3 s5
2. 拉普拉斯变换性质
f(t)的单边拉普拉斯变换计为F(S), 的单边拉普拉斯变换为( ) （A）SF(S)-3 （B）SF(S) （C）
第5章 拉普拉斯变换
F ( s ) F1 ( s ) F1 ( s )e Ts F1 ( s )e 2Ts 1 F ( s) Ts 1 1 e
结论：单边周期信号的拉普拉斯变换 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以
例9 、 周期冲击序列T (t ) (t )的拉氏变换为
1 1 e Ts
jω
0
α
σ
收敛边界
收敛域
例2、反因果信号f2(t)= et(-t) ，求拉氏变换。
( s )t e t st 0 e e dt 解: F2 b ( s ) (s ) 1 [1 lim e ( ) t e j t ] t (s ) jω 0
0
F ( s ) e st0
已知，f (t ) (t ) F (s), Re[s] 0
(a,b正实常数)
与尺度变换相结合
f(at-b)(at-b)←→
1 e a
b s a
s F a
0
f1(t) 1 1 f2(t) 1 t
例6、求如图信号的单边拉氏变换。 解：f1(t) = (t) –(t-1)，f2(t) = (t+1) –(t-1) 1 s ( 1 e ) F1(s)= s F2(s)= F1(s)
s τ a
1 s dτ F a a
三、时移特性
若L f (t ) F ( s)， L f (t t0 ) (t t0 ) F ( s) e st0 ,
Re[ s] 0 , 且实常数t0 0, 则 Re[ s] 0
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初 始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉 氏变换式写为
结论：单边周期信号的拉普拉斯变换 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以
例9 、 周期冲击序列T (t ) (t )的拉氏变换为
1 1 e Ts
jω
0
α
σ
收敛边界
收敛域
例2、反因果信号f2(t)= et(-t) ，求拉氏变换。
( s )t e t st 0 e e dt 解: F2 b ( s ) (s ) 1 [1 lim e ( ) t e j t ] t (s ) jω 0
0
F ( s ) e st0
已知，f (t ) (t ) F (s), Re[s] 0
(a,b正实常数)
与尺度变换相结合
f(at-b)(at-b)←→
1 e a
b s a
s F a
0
f1(t) 1 1 f2(t) 1 t
例6、求如图信号的单边拉氏变换。 解：f1(t) = (t) –(t-1)，f2(t) = (t+1) –(t-1) 1 s ( 1 e ) F1(s)= s F2(s)= F1(s)
s τ a
1 s dτ F a a
三、时移特性
若L f (t ) F ( s)， L f (t t0 ) (t t0 ) F ( s) e st0 ,
Re[ s] 0 , 且实常数t0 0, 则 Re[ s] 0
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初 始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉 氏变换式写为
信号与系统教案第5章连续系统的s域分析
04
连续系统的s域响应分析
初始状态下的s域响应
01
初始状态下的s域响应是指系统 在输入信号和初始状态共同作 用下的输出信号。
02
在s域中，系统的初始状态可以 表示为s的函数，即系统的初始 值。
03
通过求解线性常微分方程或传 递函数，可以得到系统在初始 状态下的s域响应。
零输入响应和零状态响应
零输入响应是指系统在没有输入信号作用下的自由响应，由系统的内部动 态特性决定。
通过分析极点和零点，可以预测系统在不同输入信号 下的行为，从而对系统进行优化和控制。
05
连续系统的s域设计方法
系统函数的合成与分解
线性时不变系统函数的合成
通过组合简单系统函数，构建复杂系统函数。
系统函数的分解
将复杂系统函数分解为简单系统函数的组合， 便于理解和分析。
传递函数表示法
利用传递函数表示系统函数，便于分析系统 的性能和稳定性。
硬件实现
根据系统函数的数学表达式，选择合适的硬件 平台实现系统函数。
软件实现
利用编程语言或仿真软件实现系统函数，并进 行仿真验证。
实验验证
通过实验测试，验证系统函数的正确性和性能指标的符合程度。
THANK YOU
感谢聆听
02
连续系统的s域分析基础
s域的基本概念
80%
s域
复平面上的一个区域，用于描述 线性时不变系统的传递函数。
100%
传递函数
描述系统输入与输出之间关系的 复数函数。
80%
系统函数
描述系统对不同频率输入信号的 响应。
s域分析的优点
方便数学处理
s域中的传递函数可以进行代 数运算和微积分，便于分析和 设计系统。
信号与线性系统分析_第五章__连续系统的S域分析5-4
待求
back
第
二、系统函数
• 系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比 叫系统函数 Y ( s) B( s )
H (s)
f
7 页
F (s)
A( s )
f(t) F(s)
h(t) LT[h(t)]
y(t)
f
Y(s)
f
y f t f t h t
Y f ( s ) F ( s ) L T [ h ( t )]
+
U s (s)
uC (0 ) s
1 sC
1 )Y ( s ) Li L ( 0 ) sL R 1
-
Y (s)
R2
(
1 s3
s 1 )Y ( s )
8 (s 2)
2
2 s3
6
6 (s 2)
1 s3
2
12 s
3 s 3 s 2 (s 2)
a
F (s)
F1 ( s ) F2 ( s )
f
数乘器
f1 (t )
a
aF ( s )
F1 ( s ) F 2 ( s )
加法器
f2 (t )
f1 (t ) f 2 (t )
( 1)
积分器 积分器
f (t )
t
(0 )
F (s) f
( 1)
f ( x ) dx
s
(0 )
§5.4 连续系统的复频域分析
物电学院
黎小琴
第
主要内容：
2 页
微分方程的s域求解 系统函数 框图的S域模型 电路的S域模型
信号与线性系统分析 第五章 连续系统的S域分析2021精选PPT
整理得：
H(s)Yf (s) F(s)
s2s3s32
与原系统方程对比，可得系统函数H(s)与微分方程之间的对应关系
h ( t) L 1 [ H T ( s ) ] ( 2 e t e 2 t)( t)
back
三、系统的S域框图
时域模型
S域模型
f (t)
数乘器
f1 (t )
加法器 f2(t)
sG(s)
1 s
F (s) s
G(s)
例
f (t)
3
1
x(t) 3
y f (t)
2
F (s)
s2 X (s)
1
sX (s)
s
3
1
1 s
X(s)
3
Y
f
(
s
)
2
s 2 X (s ) 3 s( X s ) 2 X (s ) F (s ) H(s)Yf (s) s3
Yf(s)sX (s)3X (s)
积分器 f (t)
a af (t)
F ( s) a aF(s)
F1 ( s )
f1(t)f2(t)
F2 ( s)
F1(s)F2(s)
t
f (x)dx F (s)
f (1)(0 ) s
1 s
F(s) f(1)(0)
s
s
积分器 f (t)
（零状态） g(t)
t
f (x)dx g(t)
F (s)
u(t)
di(t) L
dt
1t
i(t) u(x)d L0
x iL(0)
y ( i) ( 0 ) y ( x i) ( 0 ) y ( i) ( 0 ) y ( f i) ( 0 )
第五章 连续系统的s域分析
w
S ＋ w s S 2＋ w
2
0
R e s R e s
0 0
5.1 拉普拉斯变换
例5、求L[e (t )]
解： L[e (t )]
lim[e (t )e st ] 0
t
0
e (t )e dt e
st 0
st
1 st dt e s
S(复频)域~拉(普拉)斯变换 代数方程
简单的初等函数
相乘 Y(S) =Yzi(S) + Yzs(S) 为很多不满足绝对可 积的函数f (t)找到变换 域的分析方法。
st
3) 卷积
4) y(t) =yzi(t) + yzs(t) 5) 不满足绝对可积 条件的f (t)
S(复频)域分析法中基本变量为S = s +jw ， e 为基本信 号
0
确定收敛域的一般规律
2）周期信号及幅度稳定信号(只需少加衰减) s >s0 = 0 3）其增长速度比指数函数的衰减慢的信号 s > s0 = 0 如 f ( t ) t n lim t n e s t = 0 s s0 0
t
1）时限信号（能量有限信号）s0 = -(即全部S平面收敛)
例1 因果信号f1(t)= eat e(t) ，求其拉普拉斯变换。 解 F1b (s) 0 e e
at
st
e ( s a )t dt (s a )
0
1 [1 lim e (s a )t e jw t ] t (s a )
收敛轴
1 s a , Re[s ] s a 不定 ， s a 无界 ， s a 对于因果信号，当Re[s]=s>a时，
连续系统的s域分析知识讲解
或 f(t)←→ F(s)
▲
■
第 11 页
四、常见函数的拉普拉斯变换
1、(t) ←→1，> -∞
2、(t)或1 ←→1/s ，> 0
3、指数函数e-s0t ←→ 1
s s0
> -Re[s0]
s
cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ←→
s2
2 0
sin0t = (ej0t– e-j0t )/2j ←→
连续系统的s域分析
▲
■
第1页
§5.1 拉普拉斯变换
• 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 • 收敛域 • (单边)拉普拉斯变换 • 常见函数的拉普拉斯变换 • 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
▲
■
第2页
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适 当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅度趋 近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
F(s) f(t)estdt 0
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]> ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
▲
■
第 10 页
三、单边拉氏变换
F(s)deff(t)estdt 0
f(t)def21j jj F(s)esd t s(t)
简记为F(s)=£ [f(t)] f(t)=£-1[F(s)]
f1[0.5(t-2)] ←→ 2F1(2s)e-2s f2(t) ←→ 2F1(2s)(1 –e-2s)
▲
■
第5页
例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求拉氏变换。
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■
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四、常见函数的拉普拉斯变换
1、(t) ←→1，> -∞
2、(t)或1 ←→1/s ，> 0
3、指数函数e-s0t ←→ 1
s s0
> -Re[s0]
s
cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ←→
s2
2 0
sin0t = (ej0t– e-j0t )/2j ←→
连续系统的s域分析
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§5.1 拉普拉斯变换
• 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 • 收敛域 • (单边)拉普拉斯变换 • 常见函数的拉普拉斯变换 • 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
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第2页
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适 当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅度趋 近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
F(s) f(t)estdt 0
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]> ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
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三、单边拉氏变换
F(s)deff(t)estdt 0
f(t)def21j jj F(s)esd t s(t)
简记为F(s)=£ [f(t)] f(t)=£-1[F(s)]
f1[0.5(t-2)] ←→ 2F1(2s)e-2s f2(t) ←→ 2F1(2s)(1 –e-2s)
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第5页
例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求拉氏变换。
第五章连续系统的s域分析
例5.1-5 求复指数函数
0
f t e t
so t
s s0 t
的象函数。 式中 s 为复常数
e 解： L e t e e dt 0 s s0 0 1 Res Res0 s s0
s0 t s0 t st
s
平面。
st de ' ' st st L t t e dt se s t 0 0 dt t 0
'
t 1
Re s
t s
Re s
中国石油大学（华东）
逆变换简记为:
L1 F s f t
f t F s
其变换与逆变换也简记为:
中国石油大学（华东）
2．收敛定理（存在条件） 若因果函数 f t ：对此有如下定理： (1) 在有限区间 a t （2）存在某个 0 有
b 内可积。
0
的收敛域
如果
，拉氏变换存在
如果
则没有共同的收敛域，Fb s 不存在
中国石油大学（华东）
因果函数 的收敛域
f1 t e t
t
双边函数
反因果函数 的收敛域
f 2 t e t t
e t t 0 的收敛域 f t f1 t f 2 t t t0 e 当收敛域包含虚轴时，拉氏变换 与傅氏变换同时存在，将 s j 代入即可得其傅氏变换。
t e ,t 0 t 例5.1-2 设反因果信号 f 2 t e t 0 , t 0 求其双边拉氏变换。 为实数，
《信号与系统》第五章连续系统的s域分析
有理多项式P(s)与有理真分式之和。若 bn 1 可提出bn 。
下面主要讨论有理真分式的情形。 部分分式展开法 若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写为
式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为 特征方程，它的根称为特征根，也称为系统的固 有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的 极点。
F(s) 必然不同！
三、单边拉普拉斯变换
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时
刻为0。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为:
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是
Re[s]>α ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
f(t) ←→ F(s)
四、常见函数的拉普拉斯变换
et (t) 1 , Re[ s] s
5.2拉氏变换的基本性质
一 线性（Linearity ）：
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2
则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2)
例：教材第217页例 5.2-1
cos(t) (t)
s2
f3(t)= e -3t(t) – e-2t(– t)
解:
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉 氏变换必须标出收敛域。
结论：
1、对于双边拉普拉斯变换而言，F(s)和收敛域 一起，可以唯一地确定f(t)。即：
2、不同的信号可以有相同的F(s)，但他们的收敛
域不同；不同信号如果有相同的收敛域，则他们的
1、F(s)有单极点（特征根为单根）
例1:
下面主要讨论有理真分式的情形。 部分分式展开法 若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写为
式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为 特征方程，它的根称为特征根，也称为系统的固 有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的 极点。
F(s) 必然不同！
三、单边拉普拉斯变换
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时
刻为0。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为:
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是
Re[s]>α ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
f(t) ←→ F(s)
四、常见函数的拉普拉斯变换
et (t) 1 , Re[ s] s
5.2拉氏变换的基本性质
一 线性（Linearity ）：
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2
则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2)
例：教材第217页例 5.2-1
cos(t) (t)
s2
f3(t)= e -3t(t) – e-2t(– t)
解:
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉 氏变换必须标出收敛域。
结论：
1、对于双边拉普拉斯变换而言，F(s)和收敛域 一起，可以唯一地确定f(t)。即：
2、不同的信号可以有相同的F(s)，但他们的收敛
域不同；不同信号如果有相同的收敛域，则他们的
1、F(s)有单极点（特征根为单根）
例1:
连续系统的S域分析
(e st
)
t 0
s
L [ (n) (t)] (n) (t)estdt 0
sn
2、阶跃信号 (t)
L [ (t)] est dt est 1 , ( 0)
0
ss
0
3、指数信号 e t (t)
L [e t (t)] e test dt e( s)t 1 , ( )
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变 换必须标出收敛域。
结论：
对于双边拉普拉斯变换而言，F(S)和收敛域 一起，可以唯一地确定f(t)。即：
三、常用信号的拉普拉斯变换
1、(t)
L [ (t)]
(t )e st dt
e st
1
0
t0
推广：
L [ '(t)]
'(t)estdt
0
d ds
f1(t) 1
例3 求函数 敛域。
f3(t)
e t
e
t
t 0 的双边拉氏变换及其收 t0
其双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
仅当>时，其收敛域 为 <Re[s]< 的一个带 状区域，如图所示。
结论
右边信号收敛域在收敛轴的右边 左边信号收敛域在收敛轴的左边 双边信号收敛域为带状区域
➢双边拉氏，单边拉氏和傅里叶变换的关系
0
双边拉氏变换
s j
f (t)( t )
t 0
f (t) 0
付氏变换
s j
f (t)( t )
L [ f (t)] F [ f (t)et ] if ,t 0, f (t) 0
单边拉氏变换
s j
f (t)(0 t )
第五章 连续系统的S域分析
Re[s ] = σ > σ 0 = 0
t e t ε (t ) 、 t ε (t )
增长比任何指数阶都快，所以不存在拉氏变换。
另外，要注意还有一类信号：时限信号
∫
∞
0
f (t ) e −σt dt
T1 T2
f (t )
f (t )
=∫
f (t ) e −σt dt < ∞
0
T1
(a )
T2
t
0
2
t
满足绝对可积的条件。
3
假设 f (t )e −σt 满足绝对可积条件，则
ℱ
[ f (t )e ] = ∫ f (t )e
−σ t ∞ −∞ ∞
−σ t
e − jω t dt
收敛
上述积分结果是 (σ + jω )的函数，令其为 Fb (σ + jω ) 即：
=∫
−∞
f (t )e − (σ + jω ) t dt
σ 的值使
∫
∞ −∞
f (t ) e − σ
e −σ t ,适当
t
当
t → ±∞ 时,
信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：
f (t )e −σ t dt < ∞
例如
f (t ) = e 2 t ε (t )
2t ∞
∫
∞
−∞
e ε (t )dt = ∫ e 2 t dt
0
不满足绝对可积的条件。 只要
......
......
(1)
(2)
Fb (s ) 称为 f (t )的双边拉氏变换（或象函数）；
f (t ) 称为Fb (s )的双边拉氏逆变换（或原函数）。
连续系统的s域分析
5.2 拉普拉斯变换性质
5.2 拉普拉斯变换性质
0、引言
利用常用信号的拉普拉斯变换对和拉普拉斯变换 的性质，可以求解复杂信号的拉氏变换和反变换。
常用信号的拉普拉斯变换对 f(t) ←→ F(s)
(t) ←→1 (t) ←→ 1/s
t n (t )
n! s n 1
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■
sin0t = (ej0t–e-j0t )/2j ←→
0 s 2 02
第第44--1133页页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电电子子教教案案
5.1 拉普拉斯变换
4、周期信号fT(t)
FT
(s)
0
fT
(t)
est
d
t
T
0
fT
(t)
est
d
t
2T
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信号与系统 电电子子教教案案
5.2 拉普拉斯变换性质
常用信号的拉普拉斯变换对（续） f(t) ←→ F(s)
e at ( t )
1
s a
t n e at (t )
n! ( s a ) n 1
cos( t)(t)
s2
s 2
sin( t )(t )
在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频
域来解决这些问题。 本章引入复频率 s = σ+jω,以复指数函数est为基本
信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之 和。这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s 域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。
第第44--22页页
信号与系统课件第五章-连续系统的S域分析
拉氏变换的基本性质
⑻ 复频域微分与积分特性
若 f t Fs
则
t f t d Fs
ds
,
tn
f
t
dn dsn
Fs
f
t
t
s
F
d
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2022/1/13
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
24
拉氏变换的基本性质
⑼ 初值定理：若 f 及t 其各阶导数存在，不包含 及 t其 各
阶导数，且有
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2022/1/13
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
3
引言
傅里叶变换是将一个连续时间信号从 时域特性的描述变换为频域特性的描述， 而拉普拉斯变换是将时域特性描述变换为 复频域特性的描述。
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2022/1/13
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
4
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
1
复频域分析
通过变换将时间变量转变为复频率 变量，在复频域内分析信号特性、系统 特性及其系统响应的方法。
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信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
2
本章主要内容
拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯反变换 系统响应的分析
13
拉氏变换的收敛域
拉氏变换有收敛域：要注意的是并不是 f te一t概可积， 而要取决于 的性f t质 及σ 的大小，在一个区域可积，在另一 个区域不一定可积。
收敛域：满足绝对可积时， f te中tσ 的取值范围。对大部 分信号而言，收敛域是存在的，故后面将不再讨论（研究）收 敛域而直接变换。
信号与系统-连续系统的S域分析
Fb ( j )
f (t )e ( j )t dt
1 ( j ) t f (t ) F ( j ) e d b 2π
为简化起见，令 s j ，可得：
Fb ( s )
f (t )e st dt
1 j st f (t ) F ( s ) e ds b 2πj j
t2
page16
Chapter 5 连续系统的s域分析
5.1 拉普拉斯变换
另外，还有一类可积的时限（时间有限）信号：
f(t) f(t)
例：
0 T1
T2
t
0
2
t
要求： 0 f (t )e t dt 由于：
page17
T2 T1
f (t )e t dt
Re[ s]
$5.2
线性 尺度变换 时移 复频移 时域微分 拉普拉斯变换的性质（时域积分 卷积 s域微积分 初/终值定理）
$5.3 拉普拉斯逆变换（查表法 部分分式展开法） $5.4 复频域分析（微分方程变换解 系统函数 系统s域框图
电路的s域模型 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系）
page4
Chapter 5 连续系统的s域分析
如果有双边信号
t e t 0 t t f ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t ) e ( t ) e ( t ) t e t 0 其双边拉普拉斯变换为： Fb ( s) Fb1 ( s) Fb 2 ( s)
st
L [ (t )] (t )e st dt
0
5第五章 连续系统的S域分析
0 0
s ω cosω0t = (ejω0t+ e-jω0t )/2 ←→ 2 ω 2 s + ω0
4、周期信号fT(t) 、周期信号
FT ( s ) = ∫ f T (t ) e − st d t
0 ∞ ∞
= ∫ f T (t ) e d t + ∫
0
T
− st
2T
T
f T (t ) e d t + ..... = ∑ ∫
二、尺度变换
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>σ0，且有实数 σ 且有实数a>0 ， 则f(at) ←→ 1 s F( ) Re[s]>aσ0 σ a a
e −s 如图信号f(t)的拉氏变换 的拉氏变换F(s) = 2 (1 − e − s − s e − s ) 例：如图信号 的拉氏变换 s
F ( s) = ∫ f (t ) e − st d t
0 ∞
Re[s]>σ0 σ
F (jω ) = ∫ f (t ) e
−∞
∞
− jω t
dt
要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。 必须为因果信号。 要讨论其关系， 必须为因果信号 根据收敛坐标σ 的值可分为以下三种情况： 根据收敛坐标σ0的值可分为以下三种情况： 的收敛域包含jω （1）σ0<0，即F(s)的收敛域包含 ω轴，则f(t)的傅里叶 ） ， 的收敛域包含 的傅里叶 F(jω)=F(s) s=jω 变换存在， ω ω 变换存在，并且 如f(t)=e-2tε(t) ←→F(s)=1/(s+2) , σ>-2； ； 则 F(jω)=1/( jω+2) ω ω
∫
∞
−∞
Fb (σ + jω ) e (σ + jω ) t d ω
s ω cosω0t = (ejω0t+ e-jω0t )/2 ←→ 2 ω 2 s + ω0
4、周期信号fT(t) 、周期信号
FT ( s ) = ∫ f T (t ) e − st d t
0 ∞ ∞
= ∫ f T (t ) e d t + ∫
0
T
− st
2T
T
f T (t ) e d t + ..... = ∑ ∫
二、尺度变换
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>σ0，且有实数 σ 且有实数a>0 ， 则f(at) ←→ 1 s F( ) Re[s]>aσ0 σ a a
e −s 如图信号f(t)的拉氏变换 的拉氏变换F(s) = 2 (1 − e − s − s e − s ) 例：如图信号 的拉氏变换 s
F ( s) = ∫ f (t ) e − st d t
0 ∞
Re[s]>σ0 σ
F (jω ) = ∫ f (t ) e
−∞
∞
− jω t
dt
要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。 必须为因果信号。 要讨论其关系， 必须为因果信号 根据收敛坐标σ 的值可分为以下三种情况： 根据收敛坐标σ0的值可分为以下三种情况： 的收敛域包含jω （1）σ0<0，即F(s)的收敛域包含 ω轴，则f(t)的傅里叶 ） ， 的收敛域包含 的傅里叶 F(jω)=F(s) s=jω 变换存在， ω ω 变换存在，并且 如f(t)=e-2tε(t) ←→F(s)=1/(s+2) , σ>-2； ； 则 F(jω)=1/( jω+2) ω ω
∫
∞
−∞
Fb (σ + jω ) e (σ + jω ) t d ω
第五章：连续系统的s域分析
根据线性性质可得
1 jβ t − jβ t sin( β t )ε (t ) ↔ l[ (e − e )ε (t )] 2j
1 1 jβ t l[e ε (t )] − l[e − j β t ε (t )] = 2j 2j 1 1 1 1 = − 2 j s − jβ 2 j s + jβ =
β
s +β
2 2
Re[ s ] > 0 ，
二﹑尺度变换
f (t ) ↔ F ( s )， Re[ s ] > σ 0 ，则有 若
1 s f (at ) ↔ F ( )， Re[ s ] > aσ 0， (a为实常数且a > 0) a a
证明如下
l[ f (at )] = ∫ f (at )e − st dt
f (t )e sat ↔ F ( s − sa )， Re[ s ] > σ 0 + σ a， (sa =σ a +jσ a为复常数)
证明如下
∞ ∞
l［f (t )e ］＝∫ - f (t )e e dt = ∫ − f (t )e − ( s − sa )t dt
sa t sa t − st 0 0
ε (t ) 的傅立叶变换，但有些函数如单位阶跃函数 虽然
存在傅立叶变换，却很难求得；而另一些函数如指数 增长函数 ，不存在傅立叶变换。 eα t ε (t )(α > 0) 为克服困难，可以用衰减因子 乘 eσ t (σ 为实常数) 信号 f (t ) ，若用 F(σ +jω )表示该信号的傅里叶变 换，根据傅里叶变换的定义， 则有
1 σ + j∞ st f (t ) = F s e ds t > −∞ ( ) b ∫ j σ − ∞ 2π j
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（2）F(s)有重极点（重根）
• 若A(s) = 0在s = p1处有r重根，
例:
5.3 拉普拉斯逆变换
直接利用定义式求反变换---复变函数积分。
比较困难 • 通常的方法: （1）查表法 （2）利用性质 （3） 部分分式展开-----结合 • 若象函数F(s)是s的有理分式，可写为
若m≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多 项式P(s)与有理真分式之和。
例如：
（1）F(s)为单极点（单根）
B( s ) B( s ) 或，Ki lim A(si ) s si A( s) A( si ) s si 特例：F(s)包含共轭复根时(p1,2 = –±j)
若取
K1 | K1 | e
j
取逆变换
f1 (t ) | K1 | e( j )t e j | K1 | e( j )t e j
求其逆变换
• 求其逆变换 • 解： 长除法
F (s)
s3 F2e-t[Acos(t) –Bsin(t)](t)
例4： 求象函数F(s)的原函数f(t)。
• 解：A(s)=0有6个单根，它们分别是s1=0，s2= –1， • s3,4= ±j1 ，s5,6= – 1±j1，故
由于L-1[1]=δ(t)， L -1[sn]=δ(n)(t)，故多项式P(s)的拉普 拉斯逆变换由冲激函数构成。 所以我们下面主要讨论有理真分式的情形。
一、部分分式展开法 • 若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可 写为
式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方 程，它的根称为特征根，也称为系统的固有频率（或自 然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。
| K1 | e t [e j ( t ) e j ( t ) ] 2 | K1 | e
t
cos(t )
K1 K2 F1 ( s) s j s j
若取K1,2 =A±jB, f1(t)= 2e-t[Acos(t) –Bsin(t)](t)