二阶三点方程组的正解存在性
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一类奇异二阶脉冲微分方程三点边值问题正解存在性
引理 １ 设 Ｑ。 是 Ｅ 中 以 ０为 中心 的 开球 ， ０ 翻 ， Ｑ２ 且 ∈
解以及多个正解 的存在性． 抽象空 间中带脉冲的奇异边 值问
题是脉冲微分方程领域 比较新的分支 ， 文献 ［ ． ］ ７ 【 分别讨 论 ］８
了两类奇异脉 冲微分方 程解及正解 的存在性 ． 文献【】 Ｒ １在
ｙｘ ．∈ＣＰＰ， ∈ｃＰＸＥＰ，＝ｘ Ｃ［ＥＸ １ ｔ － ∈ＰＩ ［， Ｉ ［ ，］ ｛∈Ｐ ，］ （ｔ ｋ 】ｋ Ｑ Ｊ ｘ） ＞０ ∈
非线性脉冲微分方程是微分方程的一个 重要分支 ， 文献
【 ， 】 ［， 】１１ １【 及 ６ 【 ， ０针对不 同的方程类型， 】２ 】９ ［ 在不同的空 间中分
Ｐ ［Ｅ＝ｘ －￣， （ ｔ 续 ， ｔｔ左 连 续 右 极 限 ＣＪ Ｉ｛Ｊ－ ｘ Ｉ ＃ｔ连 ， ：－Ｅ ’） 在 在 ＝ｋ
引理 ２ ｘ Ｃ【Ｅ ｎｃ［，】 【 ＥＰ ，］ 。’ 是方 程（） 剖 Ｊ ＪＥ １的正解 当且仅 当 ｘ Ｃ［Ｅ是方程（ 正的不动点． ＥＰ ，］ Ｊ ２ ）
则 Ａ在 Ｐ ｃｎ。 ｎ（ ） 中至少有一个不动点． 考察算子方程 Ａ （＝ （ 中 ｘＩｘ１ ） ） 其
解的存在性 ， ２ Ｂ ｎｃ 间中利用严格集压缩算子 范 文【】 ａａｈ空 在
数形式 的锥拉伸锥压缩不动点定理讨论 了方程（） １的一种特
Ａ（ Ｇ，（ （ｘ） ＋ Ｉ （＋—ｉ （ｘ ） ｘ： （），）（ｄ ∑［ｘ）（Ｏ（ｋ’ ］ ｔ ） ｔ ｓ ｓ ・ ｓ ｋｔ ｔ ｋｔ ㈨ ｓ ｘ ，ｓ ｆ ） （ｋ ｔ ｘ） ） ，
，
ｓ１ｔ ｃ （７ （ ） ｃｔ － ＋ ｑ－ ￣
１ ｅｑ － ｃ
Ｔ≤ｓ ≤１ ｌ ≤ｔ
记 Ｉ ｂ】 。 ＝ ’ ．
解以及多个正解 的存在性． 抽象空 间中带脉冲的奇异边 值问
题是脉冲微分方程领域 比较新的分支 ， 文献 ［ ． ］ ７ 【 分别讨 论 ］８
了两类奇异脉 冲微分方 程解及正解 的存在性 ． 文献【】 Ｒ １在
ｙｘ ．∈ＣＰＰ， ∈ｃＰＸＥＰ，＝ｘ Ｃ［ＥＸ １ ｔ － ∈ＰＩ ［， Ｉ ［ ，］ ｛∈Ｐ ，］ （ｔ ｋ 】ｋ Ｑ Ｊ ｘ） ＞０ ∈
非线性脉冲微分方程是微分方程的一个 重要分支 ， 文献
【 ， 】 ［， 】１１ １【 及 ６ 【 ， ０针对不 同的方程类型， 】２ 】９ ［ 在不同的空 间中分
Ｐ ［Ｅ＝ｘ －￣， （ ｔ 续 ， ｔｔ左 连 续 右 极 限 ＣＪ Ｉ｛Ｊ－ ｘ Ｉ ＃ｔ连 ， ：－Ｅ ’） 在 在 ＝ｋ
引理 ２ ｘ Ｃ【Ｅ ｎｃ［，】 【 ＥＰ ，］ 。’ 是方 程（） 剖 Ｊ ＪＥ １的正解 当且仅 当 ｘ Ｃ［Ｅ是方程（ 正的不动点． ＥＰ ，］ Ｊ ２ ）
则 Ａ在 Ｐ ｃｎ。 ｎ（ ） 中至少有一个不动点． 考察算子方程 Ａ （＝ （ 中 ｘＩｘ１ ） ） 其
解的存在性 ， ２ Ｂ ｎｃ 间中利用严格集压缩算子 范 文【】 ａａｈ空 在
数形式 的锥拉伸锥压缩不动点定理讨论 了方程（） １的一种特
Ａ（ Ｇ，（ （ｘ） ＋ Ｉ （＋—ｉ （ｘ ） ｘ： （），）（ｄ ∑［ｘ）（Ｏ（ｋ’ ］ ｔ ） ｔ ｓ ｓ ・ ｓ ｋｔ ｔ ｋｔ ㈨ ｓ ｘ ，ｓ ｆ ） （ｋ ｔ ｘ） ） ，
，
ｓ１ｔ ｃ （７ （ ） ｃｔ － ＋ ｑ－ ￣
１ ｅｑ － ｃ
Ｔ≤ｓ ≤１ ｌ ≤ｔ
记 Ｉ ｂ】 。 ＝ ’ ．
一类二阶三点非齐次边值问题正解的存在性
（ ｐｒ ｅｔ ｆ ａｌ ａｃ ａｄｃｍ ｕ ｒＧ ｉ ｏ ｏ ｌ ｎ ｅｓｙＧ ｉ ｎ ，５０ １ ３Ｄ ａｍ ｎ ｏ ｆ ｍ ｔｓｎ ｏ ｐｔ ， ｕ ｈｕｎｒ ｉ ｒｔ， ｕ ａｇ５００ ） ｅ ｔ ｍｌ ｅ ｉ ｅ ｚ ｍａｕ ｖ ｉ ｙ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｉ ｈｓｐ ｐ ｒ ｗ ｕ ｙｔ ｅｅ ｉ ｅ ｃ ｆ ｏｉ ｖ ｏｕｉｎｏ ｅ ｉｄ—ｏ ｄ ｒ ｈｅ ｓ ｒ ｃ ｎｔｉ ａ ｅ ， ｅ ｓ ｄ ｈ ｘｓ ｎ ｅｏ ｐ ｓｔ ｅｓ ｌｔ ｆ ａ ｓｃｎ ｔ ｔ ｉ ｏ ｒｅ ｔｒｅ—ｐ ｉ ｔ ｏ ｈ ｍｏ ｅ ｅ ｕ ｏ ｎ － ｏｎ ｎ ｏ ｇ ｎ ｏ ｓ ｂ ｕ ｄ ｎ ａｙ ｖ ｌ ｅ ｐ ｒ ａ ｗ￣ｅ Ｂ ｓｎ ｃ ａ ｄ ｒｆ ｅ ｏｎ ｅ ｒ ｍ， ｅ ｇ ｔａｒ ｓｌ ｏ ｅ ｅ ｉ ｅ ｃ ｅ ｐ ｓ ｉｅ ｓ ｌｔ ｎ ｕ ｍ． ｙ ｕ ｉｇ Ｓ ｈ ｎ ｅ ｘ ｄ ｐ ｉ ｔ ｈ ｏｅ ｗ ｅ ｕｔｆ ｔ ｘｓ ｎ ｅｏ ｔ ｏ ｉ ｖ ｏｕｉ ． ｉ ｔ ｅ ｈ ｔ ｆ ｈ ｔ ｏ Ｋｅ ｗ ｒ ｓ Ｂ Ｌ１ａ ｙｖ ｌ ｅ ｐ ｙ ｏ ｄ ｏｕｄ ｒ ａｕ ｗ￣ｅ ｆ ｅ ｏｎ ｅ ｒ ｍ ｅ ｉ ｅ ｃ ｆｔｅ ｐ ｓ ｉｅｓ ｌｔ ｎ ｍ ｉ ｄ ｐ ｉｔｔ ｏ ｅ ｘｓ ｎ ｅｏ ｏｉ ｖ ｏｕｉ ｘ ｈ ｔ ｈ ｔ ｏ
１ 引 言
非线性 微 分方程 边 值 问题 的研究 首先 是 由 Ｉ’ Ｉｉ 始的 ， ｕｔ讨 论 了几类 三 点 问题 。后 ｎ开 Ｇｐ ａ
来更多的多点边值 问题引起人们更加普遍的兴趣。刘斌 ［］ １ 讨论了下面的边值问题 ：
（ ） （ ）（ （ ） ＝ （ ＜ｆ ） ｕ（） ０ ｕ １ ＝Ⅱ （ ） ｆ ＋Ⅱ ｆ 厂ｕ ｆ） ｏｏ ＜１， Ｏ ＝ ， （ ） ｕ 叩 （ ．） １１ 其中 ０ ＜１０ ７ ， ＝［，］ Ｅ Ｃ ［ ， ＜ａ ， ＜７ ＜１， ０ １． （０ ＋∞）［ ， ｆ ， ＋∞） ； （ ） （０ １，０ ＋∞）并 ０ ） Ⅱ ｆ ∈Ｃ ［ ，］ ［ ， ）
Ａｂ ｔａ ｔ Ｉ ｈｓｐ ｐ ｒ ｗ ｕ ｙｔ ｅｅ ｉ ｅ ｃ ｆ ｏｉ ｖ ｏｕｉｎｏ ｅ ｉｄ—ｏ ｄ ｒ ｈｅ ｓ ｒ ｃ ｎｔｉ ａ ｅ ， ｅ ｓ ｄ ｈ ｘｓ ｎ ｅｏ ｐ ｓｔ ｅｓ ｌｔ ｆ ａ ｓｃｎ ｔ ｔ ｉ ｏ ｒｅ ｔｒｅ—ｐ ｉ ｔ ｏ ｈ ｍｏ ｅ ｅ ｕ ｏ ｎ － ｏｎ ｎ ｏ ｇ ｎ ｏ ｓ ｂ ｕ ｄ ｎ ａｙ ｖ ｌ ｅ ｐ ｒ ａ ｗ￣ｅ Ｂ ｓｎ ｃ ａ ｄ ｒｆ ｅ ｏｎ ｅ ｒ ｍ， ｅ ｇ ｔａｒ ｓｌ ｏ ｅ ｅ ｉ ｅ ｃ ｅ ｐ ｓ ｉｅ ｓ ｌｔ ｎ ｕ ｍ． ｙ ｕ ｉｇ Ｓ ｈ ｎ ｅ ｘ ｄ ｐ ｉ ｔ ｈ ｏｅ ｗ ｅ ｕｔｆ ｔ ｘｓ ｎ ｅｏ ｔ ｏ ｉ ｖ ｏｕｉ ． ｉ ｔ ｅ ｈ ｔ ｆ ｈ ｔ ｏ Ｋｅ ｗ ｒ ｓ Ｂ Ｌ１ａ ｙｖ ｌ ｅ ｐ ｙ ｏ ｄ ｏｕｄ ｒ ａｕ ｗ￣ｅ ｆ ｅ ｏｎ ｅ ｒ ｍ ｅ ｉ ｅ ｃ ｆｔｅ ｐ ｓ ｉｅｓ ｌｔ ｎ ｍ ｉ ｄ ｐ ｉｔｔ ｏ ｅ ｘｓ ｎ ｅｏ ｏｉ ｖ ｏｕｉ ｘ ｈ ｔ ｈ ｔ ｏ
１ 引 言
非线性 微 分方程 边 值 问题 的研究 首先 是 由 Ｉ’ Ｉｉ 始的 ， ｕｔ讨 论 了几类 三 点 问题 。后 ｎ开 Ｇｐ ａ
来更多的多点边值 问题引起人们更加普遍的兴趣。刘斌 ［］ １ 讨论了下面的边值问题 ：
（ ） （ ）（ （ ） ＝ （ ＜ｆ ） ｕ（） ０ ｕ １ ＝Ⅱ （ ） ｆ ＋Ⅱ ｆ 厂ｕ ｆ） ｏｏ ＜１， Ｏ ＝ ， （ ） ｕ 叩 （ ．） １１ 其中 ０ ＜１０ ７ ， ＝［，］ Ｅ Ｃ ［ ， ＜ａ ， ＜７ ＜１， ０ １． （０ ＋∞）［ ， ｆ ， ＋∞） ； （ ） （０ １，０ ＋∞）并 ０ ） Ⅱ ｆ ∈Ｃ ［ ，］ ［ ， ）
Banach空间中二阶三点系统边值问题正解的存在性
（ ） ＝ “ ７） Ｔ （７
（ ） ：Ｏ （／ Ｔ ｄ ｒ Ｕ ）
算 子 ４： Ｄ— Ｄ严 格集 压 缩 ， Ａ在 Ｄ 中必 存在 不动 则
本 文在 Ｃ ［ ， ｔ Ｅ］中 研 究 系 统 式 （ ） 若 ｌ ∈ ， １， Ｚ ，
正 解 的存 在 性 。设 （ ，Ｉ・ ｝）是 Ｂ ｎ ｃ 『 Ｉ ａ ａｈ空 间 ， Ｐ
正解 当且 仅 当 （ ，） ∈ Ｃ［ ， １ Ｚ ＪＰ］×Ｃ［ ， ＪＰ］是 下 列
引理 １
设 Ｍ ∈ Ｃ ．Ｅ ［ ， ］等度 连续 的有界 集 ， ，
Ｉ ｏ
【 ＝『 （ ｓ （， ｓ） ） ｎ ）ｓ（ ｄ （ ，ｇ ｕ ） ｓ Ｇ
（ ２ ）
则 Ｏ（ ／ Ｍ）＝ Ｏ （ Ｊ ）＝ ｍ ｘ∈ ｌ （ ｔ ）Ｉ ｔ Ｍ（ ） ａ ｃ』ｌ Ｍ（） Ｉ，
（ （）ｔ Ｊｔ ： ｄ ∈Ｈ ≤ Ｉ （ （）ｄ 。 ） Ｈ ｆ）ｔ
引理３
相对紧。
（ ｓｏｉ ｒｅ ） ∈Ｃ Ｊ Ｅ］是相 对 Ａ ｃｌ Ａ ｚｌ Ｈ — ａ ［，
究 了 Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空 间二 阶三点 系统 边 值 问题 ：
Ｍ － ｔ （） ＋厂 ， ｔ ）＝０， （ ｔ∈ ［ ， ］ ０ Ｔ
则称 满 足于 系统 式 （ ）的 ， 系统 式 （ ）正解 。 １ 为 １
锥 。由 锥 ｃ ， 引 入 Ｃ［ ， 中 的 半 序 ： ≤ ［ Ｐ］ ． Ｅ］ ， ｙ Ｖｔ ， ｔ 甘 ∈． （）≤Ｙ ｔ 。 文 Ｅ， Ｊ Ｅ］中有界 集 ， （） 本 Ｃ［ ，
的非 紧性 测 度 分 别 用 （ ） ， ・ ・ ， （ ）表 示 ， 素 的 范 元
⑥
２ １ ＳｉＴ ｃ． ｎｎ ． ０ ０ ｃ． ｅｈ Ｅ ｇｇ
非线性二阶三点边值问题系统正解的存在性
第15卷第3期2013年9月应用泛函分析学报A C TA A N A L _ySI S FU N C T I O N A L I S A PPL I C A T A V 01．15．N O ．3Sep ．，2013D O I ：10．3724／SP ．J ．1160．2013．00265文章编号：1009-1327(2013)03—0265-07非线性二阶三点边值问题系统正解的存在性王静，何明霞甘肃联合大学师范学院，兰州730000摘要：考虑二阶三点边值问题系统一u Ⅳ=f (t ，u)，t ∈(0，1)，--V ”=g(t ，u)，t ∈(0，1)，u(0)=Q 札(叩)，u(1)=p 札(叩)，v(O )=n"(叩)，v(1)=pu(叼)，其中，，g ∈c (【o ，1】×冗+，R +)，g(t ，0)三0，叩∈(0，1)且0<卢≤Q <1．首先给出了线性边值问题的G r een 函数；其次，给出了G r een 函数的一些很好的性质；最后，运用锥上拉伸与压缩不动点定理研究了上述边值问题系统至少一个或多个正解的存在性．关键词：系统；二阶三点边值问题；正解；不动点；锥中图分类号：0175文献标志码：A二阶微分方程在应用数学与物理领域中有着极为广泛的应用背景，特别是在经典力学、化学及电学中更为普遍【1】．近来，二阶边值问题系统受到了广泛的关注[2--6]．文【2]利用G uo —K r as nosel ’s ki i 不动点定理讨论了二阶三点边值问题J 乱Ⅳ(t )+A q(t )f (t ，u(t ))=0，0<t <1，I u(o)=Q u(?7)，乱(1)=pu(叩)正解的存在性，其中0<叩<1，0≤p ≤a<1，A >0为参数，q ：(0，1)一[0，。
)，f ：【0，1]X (0，∞)一[0，∞)是连续的．本文讨论了如下常微分方程系统边值问题f —u Ⅳ=，(t ，u)，t ∈(0，1)，㈦-v"…=g(㈤t,u ，匕：豸竺‰㈣u(o)=Q u(叩)，u(1)=p “(叼)，、‘7【u(o)=(Y u(叼)，v(1)=p"(?7)正解的存在性，其中f ，g ∈C ([o ，1]×R +，R +)，g(t ，0)兰0，0<叼<1，0<p ≤O t <1．为了便于讨论，我们做如下记号：护一lim 垤in 【。
一类变号二阶三点边值问题正解的存在性
题等 ¨ ］ ． 近年来 ， 二 阶微 分方 程 多点边 值 问题 受到 了广 泛 的关注 ， 如文［ ２ — ７ ］ ．文献 ［ ５ ］ 研究 了非线 性项 ／为半正 情 况下半正二 阶三点边值 问题
ｒ ＋Ａ ｆ （ ｔ ， Ｍ （ ￡ ） ）＝ ０ ， ０＜ｔ ＜１ ，
另外对于 ［ ０ ， １ ］ 上的任一子区间 ， ｈ （ ｔ ） 不恒为零 ； （ Ｈ ３ ）Ａ Ｓ ｈ （ 叼一 ８ ｔ ） ≥ 一 （ ７ ７ ＋ｔ ） ， ｔ ∈［ ０ ， １一 叼］ ， 其 中 ｈ （ ｔ ）＝ｍ ａ ｘ ｛ ｈ （ ｔ ） ， ０｝ ， ｈ 一 （ ｔ ） ＝一 ｍ ｉ ｎ ｛ ｈ （ ｔ ） ， ０｝ ， 且
∈［ ０ ， １ ］ ， ｕ （ ０ ）＝ （ ７ ／ ） ， Ｍ （ １ ）＝ １ ３ ｕ （ 叼） 至少一 个正解的存在性．
关键 词 ： 变号 ； 边值 问题 ； 格 林 函数 ； 正 解 中图分类号 ： ０ １ ７ ５ ． １ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ ３ － ０ ９ ７ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ ０１ － ６ ５ － ０ ４
（ Ｈ１ ） ＿ 厂 ∈Ｃ （ ［ ０， ＋。 。） ， （ ０， ＋ ） ） ， 且ｊ Ｅ 减； （ Ｈ ２ ）ｈ∈Ｃ （ ［ ０， １ ］ ， Ｒ） 且ｈ （ ｔ ） ＞０ Ｉ ， ｔ ∈［ ０ ， ］ ； （ ｔ ） ≤
０ ， ｔ ∈［ ， １ ］ ．
由 Ⅳ部分不同密度 构成 的金属 支索 丝一致 截 面 的振动 问
信 阳师范学 院学报 ： 自然科 ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｘｉ ｎ ｙ ａ ｎ ｇ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｖｏ １ ． ２ ６ Ｎｏ ． ２ Ａ ｐ ｒ ． ２ ０ １ ３
ｒ ＋Ａ ｆ （ ｔ ， Ｍ （ ￡ ） ）＝ ０ ， ０＜ｔ ＜１ ，
另外对于 ［ ０ ， １ ］ 上的任一子区间 ， ｈ （ ｔ ） 不恒为零 ； （ Ｈ ３ ）Ａ Ｓ ｈ （ 叼一 ８ ｔ ） ≥ 一 （ ７ ７ ＋ｔ ） ， ｔ ∈［ ０ ， １一 叼］ ， 其 中 ｈ （ ｔ ）＝ｍ ａ ｘ ｛ ｈ （ ｔ ） ， ０｝ ， ｈ 一 （ ｔ ） ＝一 ｍ ｉ ｎ ｛ ｈ （ ｔ ） ， ０｝ ， 且
∈［ ０ ， １ ］ ， ｕ （ ０ ）＝ （ ７ ／ ） ， Ｍ （ １ ）＝ １ ３ ｕ （ 叼） 至少一 个正解的存在性．
关键 词 ： 变号 ； 边值 问题 ； 格 林 函数 ； 正 解 中图分类号 ： ０ １ ７ ５ ． １ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ ３ － ０ ９ ７ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ ０１ － ６ ５ － ０ ４
（ Ｈ１ ） ＿ 厂 ∈Ｃ （ ［ ０， ＋。 。） ， （ ０， ＋ ） ） ， 且ｊ Ｅ 减； （ Ｈ ２ ）ｈ∈Ｃ （ ［ ０， １ ］ ， Ｒ） 且ｈ （ ｔ ） ＞０ Ｉ ， ｔ ∈［ ０ ， ］ ； （ ｔ ） ≤
０ ， ｔ ∈［ ， １ ］ ．
由 Ⅳ部分不同密度 构成 的金属 支索 丝一致 截 面 的振动 问
信 阳师范学 院学报 ： 自然科 ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｘｉ ｎ ｙ ａ ｎ ｇ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｖｏ １ ． ２ ６ Ｎｏ ． ２ Ａ ｐ ｒ ． ２ ０ １ ３
一类奇异二阶三点边值方程组正解的存在性
ｌ Ｅ Ｑ－Ｎ ｌ ， ａ Ｋ，Ｉ ≤ ｌ １ １ Ａｕ
容易证明： 如果 （） Ａ在 ｃ ｏ １ 中的一个 ｔ是 ［ ，］ 不 动点 ， 么边 值 问题 （ ．） 那 １ １ 有一个 解 （ ， ， 中 “ ）其
Ｉ ， ｎ Ｋ， ｌ ｕＥ ａ “
那 么 Ａ 至少 有一 个不 动点在 Ｋ Ｎ （ ＼ 。 Ｑ ） 引 理 ２２ ． 列边值 问题 设 ａ≠ １则 对 于 ｙＥ ｃ－ ，］下 ， ｌ １， ｏ
研 究 的文 章却 很少 见 。 文献 ［ ］ 究 了一类 二 阶 三 ７研
定 义 （ ）∈ Ｃ（ ，） ０ １ 被称 为边值 ， ０ １ ×ｃ（ ，） 问题 （ ．）的 一 个 正 解 ， 果 （ ， ）满 足 边 值 问 题 １１ 如 Ⅱ秽
（ ．） １ １ 且对于 Ｖ ∈ （ ，）有 （ ）＞ ０ （ ）＞ ０ ０１， ， ｔ 。
２ １ 年 ８月 ０１
廊坊师范学 院学报 （ 自然科学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ａ ｇａｇＴ ａｈｒ Ｃ Ｕｇ （ ａｕｎｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏｒａ ｏ ｎ ｆｎ ｅｃｅｓ ｏ ｅｅ Ｎ ｔｒａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ Ｌ ｅ ｉ
Ａｕ ２ ｇ． ０１ｌ
第 １ 卷 第 ４期 １
ｆｔ （， ）≤ Ｐ （ ） １ ， （ ， ）≤ Ｐ （ ） ２ Ｙ ， １ｔ ｑ（ ｇ ｔＹ ） ２ ｔ ｑ （ ）
点边值方程组正解的存在性 。本文主要研究下列奇 异 非线 性 二 阶三点边 值 方程组
卜 Ｍ ＝ 厂 ｔ ） ｔ （ ， ） （ ， ， ∈ ０ １ ｛ 一 ＝ ｇ（ ， ， ∈ （ ， ） ｔ ） ｔ ０ １ （ ．） １ １ “（ ）＝ （ ）＝０ Ｍ １ ０ ０ ， （）＝ 口 （ ） １ （ ） 叩 ， ）＝ （ 叼
具有变号非线性项的二阶三点边值问题多个正解的存在性
Ｅ中定义雒
ｍ Ｐ（ ＝ｕＥＥｕＩ ｌ（≥ｏ． ｉ ｕ） Ｙ １ ） 。— ｎ （ ［ ｌ ｔ ￣ “Ｉ ｝
。
（ ｆ，］ Ｏ ＋ ）咄 连续 ， 日 ０ １ （ ， — ｘ 且存在 Ｍ Ｏ ＞ 使得 ｔＵ≥— （，）ຫໍສະໝຸດ ０ １ｘ ，） ， ｕ ∈［，］Ｒ １
记 设 Ｐ Ｂｎｃ 是 ｏａｈ空间 中 Ｅ的锥 ． 映射 口 『， ） ： Ｏ ＋ 连续 ， 果对所 如 以 ｘｙ ．∈Ｐ． ≤￡ Ｏ ≤１有 ａ ｘ （ ｃ ） ｃ ＋１ ｃ （ ， （ ＋１ ） ≥ｆ （ ） ｙ ｔ 一 ｙ 缸） 一 ｎ ） 定 理 １ 条件 。㈣ 成立 ， 在 常熟 口ｂｃＮ满足 胛 ＜ 如＋ 若 ） ， 存 ，，， 口 则称 ａ 是锥 Ｐ 的非负连续凹泛 函． 上 设常数 ｂａＯ口 ＞＞ ． 为锥 Ｐ 的 上 非负连续凹泛函 ． 凸集 定义 Ｍ ＜ ＜ ｃ ‘ ＜ｃ 且 ，） 下列条件 ｒ ｂ￣ ， Ⅳ Ｌ ｕ 满足
山东 滕州 ２ ７ ０ ） ７５ ０
【 要】 摘 非线性泛 函分析是现代分子数学的一个重要分 支， 因其能很好的解释 自然界 中的各种各样的 自然现 象受到 了越 来越 多的数 学工
作者的关 注。其 中。 非线性 非局部 边值问题 来源于应用数学和物理的 多个分 支， 目 是 前分析数 学 中 究最为 活跃 的领域之 一。利用 Ｌｇｅ — 研 ｅｇｔ ｔ
，ｌ １ ｌｎ ｌ ３
ｔ』 ） ＝（ － ）击 』１ 出 ＋ 而 ｆ１ ‘ 而 ） 打， ）
其中
一 ａ
存在 ｔ ［，１ 。 ｏｌ ｃ 使得 ａｏ０ （＞ ． ｔ 作者利用锥拉伸与压缩不动点定理在非线 ） 性项 ， 满足超线性 或者次线性 的条 件下得到 了正解的存 在性和 多解
ｍ Ｐ（ ＝ｕＥＥｕＩ ｌ（≥ｏ． ｉ ｕ） Ｙ １ ） 。— ｎ （ ［ ｌ ｔ ￣ “Ｉ ｝
。
（ ｆ，］ Ｏ ＋ ）咄 连续 ， 日 ０ １ （ ， — ｘ 且存在 Ｍ Ｏ ＞ 使得 ｔＵ≥— （，）ຫໍສະໝຸດ ０ １ｘ ，） ， ｕ ∈［，］Ｒ １
记 设 Ｐ Ｂｎｃ 是 ｏａｈ空间 中 Ｅ的锥 ． 映射 口 『， ） ： Ｏ ＋ 连续 ， 果对所 如 以 ｘｙ ．∈Ｐ． ≤￡ Ｏ ≤１有 ａ ｘ （ ｃ ） ｃ ＋１ ｃ （ ， （ ＋１ ） ≥ｆ （ ） ｙ ｔ 一 ｙ 缸） 一 ｎ ） 定 理 １ 条件 。㈣ 成立 ， 在 常熟 口ｂｃＮ满足 胛 ＜ 如＋ 若 ） ， 存 ，，， 口 则称 ａ 是锥 Ｐ 的非负连续凹泛 函． 上 设常数 ｂａＯ口 ＞＞ ． 为锥 Ｐ 的 上 非负连续凹泛函 ． 凸集 定义 Ｍ ＜ ＜ ｃ ‘ ＜ｃ 且 ，） 下列条件 ｒ ｂ￣ ， Ⅳ Ｌ ｕ 满足
山东 滕州 ２ ７ ０ ） ７５ ０
【 要】 摘 非线性泛 函分析是现代分子数学的一个重要分 支， 因其能很好的解释 自然界 中的各种各样的 自然现 象受到 了越 来越 多的数 学工
作者的关 注。其 中。 非线性 非局部 边值问题 来源于应用数学和物理的 多个分 支， 目 是 前分析数 学 中 究最为 活跃 的领域之 一。利用 Ｌｇｅ — 研 ｅｇｔ ｔ
，ｌ １ ｌｎ ｌ ３
ｔ』 ） ＝（ － ）击 』１ 出 ＋ 而 ｆ１ ‘ 而 ） 打， ）
其中
一 ａ
存在 ｔ ［，１ 。 ｏｌ ｃ 使得 ａｏ０ （＞ ． ｔ 作者利用锥拉伸与压缩不动点定理在非线 ） 性项 ， 满足超线性 或者次线性 的条 件下得到 了正解的存 在性和 多解
奇异非线性二阶三点边值问题正解的存在性
摘 要： 利用 Ｋ ａ ｓｏｅ’ ｉ不动点理论 ， 究 了奇异非线 ｝ ｒｎｎ ｓｌｋｉ ｓ 研 生
定 理 ｌ 设 Ｅ 是 Ｂａ ａ ｈ空 间 ， 是 一 个 ｎｃ Ｋ ｃＥ 锥 ， 和 Ｑ２ Ｅ 中满 足 ０ Ｑ１ 为 ∈Ｑｌ ， ｃ Ｑ２的有 界 开 １ 子 集 ， Ｔ： 设 Ｋｎ（ ＼ ） Ｋ 是 一 个 全 连 续 算 子 ． ２ Ｑｔ 如 果下 列条 件之 一成 立 ：
：，
近 年 来， 常微 分 方 程 多 点边 值 问题 的研 究 受 到 了人们 的广 泛关 注．线 性微 分 方程 的 多点边 值 问题 的研 究起 源于 Ｉ’ 和 Ｍｏｓｅ ［］ Ｉｎ ｉ ｉ ｖ２， ｅ 其后 Ｃ ｐａ４研 究 ｕ ｔ［］ 了非 线 性三 点边 值 问题 ．此 后， 多 作者 借 助 于不 许 动 点理论 、迭 合度 理论 及非 线性 抉择 等研 究 了更一 般 的非 线 性 多 点边 值 问题 ，取得 了许 多研 究成 果 ． 但 这 些 结果 大 多 是建 立 在 非 线性 项 非 负 的基础 上 ，
上（ ＜，边 问 ｙ） ｏ 值 题 ｏ 则
＜
究 尚不 多见．本 文考虑 以下边值 问题
Ｉｕ Ｏ 一 （ ＝０ （ ＋ ，） ｕｑ （ ０ ｕ １ （ ： （ ａ ） ） ， Ｚ ） １＝ ｂ ）
有 唯一 解．
Ｉ （ ＋ ｈ）（ ＝ ， ＜ ＜． ｆ Ａ（ｆｕ ０ ０ ｔ １ Ｍ ） ｔ ） 一 Ｉｕ ） ｐ ） ０ （ ＋ ＇（ ＝ ｕ １ 一 （ 一 ｕ ０ ＝ ， １ ｂ ，） ｂ （） ａ０ （ ） ｕ１ ｒ
二 阶 三 点 边值 问题
ｒ
Ｉ ） ｈｔ （） ， ＜ｔ ； “（ ＋Ａ （ｆ ｕ ＝０ ０ ＜ｌ ）
Ｉ （ 一 （） ， （ ＋６ ） 易（） ｆ） ０＝０ １ ｕ １＝ “ ． ０ ， ） （
定 理 ｌ 设 Ｅ 是 Ｂａ ａ ｈ空 间 ， 是 一 个 ｎｃ Ｋ ｃＥ 锥 ， 和 Ｑ２ Ｅ 中满 足 ０ Ｑ１ 为 ∈Ｑｌ ， ｃ Ｑ２的有 界 开 １ 子 集 ， Ｔ： 设 Ｋｎ（ ＼ ） Ｋ 是 一 个 全 连 续 算 子 ． ２ Ｑｔ 如 果下 列条 件之 一成 立 ：
：，
近 年 来， 常微 分 方 程 多 点边 值 问题 的研 究 受 到 了人们 的广 泛关 注．线 性微 分 方程 的 多点边 值 问题 的研 究起 源于 Ｉ’ 和 Ｍｏｓｅ ［］ Ｉｎ ｉ ｉ ｖ２， ｅ 其后 Ｃ ｐａ４研 究 ｕ ｔ［］ 了非 线 性三 点边 值 问题 ．此 后， 多 作者 借 助 于不 许 动 点理论 、迭 合度 理论 及非 线性 抉择 等研 究 了更一 般 的非 线 性 多 点边 值 问题 ，取得 了许 多研 究成 果 ． 但 这 些 结果 大 多 是建 立 在 非 线性 项 非 负 的基础 上 ，
上（ ＜，边 问 ｙ） ｏ 值 题 ｏ 则
＜
究 尚不 多见．本 文考虑 以下边值 问题
Ｉｕ Ｏ 一 （ ＝０ （ ＋ ，） ｕｑ （ ０ ｕ １ （ ： （ ａ ） ） ， Ｚ ） １＝ ｂ ）
有 唯一 解．
Ｉ （ ＋ ｈ）（ ＝ ， ＜ ＜． ｆ Ａ（ｆｕ ０ ０ ｔ １ Ｍ ） ｔ ） 一 Ｉｕ ） ｐ ） ０ （ ＋ ＇（ ＝ ｕ １ 一 （ 一 ｕ ０ ＝ ， １ ｂ ，） ｂ （） ａ０ （ ） ｕ１ ｒ
二 阶 三 点 边值 问题
ｒ
Ｉ ） ｈｔ （） ， ＜ｔ ； “（ ＋Ａ （ｆ ｕ ＝０ ０ ＜ｌ ）
Ｉ （ 一 （） ， （ ＋６ ） 易（） ｆ） ０＝０ １ ｕ １＝ “ ． ０ ， ） （
二阶三点半正边值问题的解和正解的存在性
＝
（
１ — ｄ
＿ｃ ） （ ， （ ）一 ） ｄ ＋ （ ｓｗ ｓ ｗ ）ｓ 』
’
１ 一 ｄ
＿ｃｈ ｓｗ（ ）一 ） ｄ ）（， ｓ ｗ ）ｓ
＋』 二 （
一ｓ ｈ ｓ ｗ ｓ ｗ＋ ｓ ） ｓ ） （ ， （ ）一 （ ） ｄ 。
＋
＿ｃｈ ｓｗ（ ） ） ｄ ’ ） （ ， ｓ 一ｗ ） ｓ０≤ｔ 。 ≤ｌ
简单 检验 后 ， 们得 知 ： 我 引理 ２ １ （ ） ： ［ ，］ ｃ ０，］ ． １ Ｔ Ｃ＋ ０ １ 一 ［ １ 有定 义且 连续 。 （） ２ ｗ∈Ｃ＋０，］ 问题 （ 的解 当且 仅 当 是 算子 Ｔ的不 动点 。 ［ １且 Ｐ）
引理 ２ ２ Ｗ 是 问题 （ ） ． Ｐ 的解 当且 仅 当 Ｗ ＋ 是 （ 的解 。 Ｗ Ｐ）
ｆ１ ｗ（ ＋（ ｗ ） ＝ ， ０ Ｐ ｆ”） ，（ ） ０ ≤≤ ，
【 ０ ０， Ｗ （ ）＝ Ｏ（ ｗ ）＝Ｗ １ ， （ ） 其 中 ０＜ ＜１０＜ａ ， ＜１ ａ 。 且 ≠１
在本 文 中 ， 我们 没 有对 ｆ 附加 较 强 的增 性假 设条 件 ， 并且将 允 许非 线性 项 中 ｆ 有一 个 负 的下 界 ， 即允许
文 献标识 码 ： Ａ
文章 编 号 ：６ １ ４ ８ （０ ７ ０ ０ ｌ ０ １７ — ２ ８ ２ ０ ）６— ｌ７— ４
非 线性 微积 分方 程 的半正 边值 问题 是微 分方 程 中一个 十分 重要 的研 究领 域 ， 近年 来 ， 有许 多 文献 对 半 正 边值 问题 进行 了研究 见 文 ［ — ］ １ ５。 本 文 的 目的是 考察 下列 非线 性 二阶 三点边 值 问题 的解 和正解 的存 在性
（
１ — ｄ
＿ｃ ） （ ， （ ）一 ） ｄ ＋ （ ｓｗ ｓ ｗ ）ｓ 』
’
１ 一 ｄ
＿ｃｈ ｓｗ（ ）一 ） ｄ ）（， ｓ ｗ ）ｓ
＋』 二 （
一ｓ ｈ ｓ ｗ ｓ ｗ＋ ｓ ） ｓ ） （ ， （ ）一 （ ） ｄ 。
＋
＿ｃｈ ｓｗ（ ） ） ｄ ’ ） （ ， ｓ 一ｗ ） ｓ０≤ｔ 。 ≤ｌ
简单 检验 后 ， 们得 知 ： 我 引理 ２ １ （ ） ： ［ ，］ ｃ ０，］ ． １ Ｔ Ｃ＋ ０ １ 一 ［ １ 有定 义且 连续 。 （） ２ ｗ∈Ｃ＋０，］ 问题 （ 的解 当且 仅 当 是 算子 Ｔ的不 动点 。 ［ １且 Ｐ）
引理 ２ ２ Ｗ 是 问题 （ ） ． Ｐ 的解 当且 仅 当 Ｗ ＋ 是 （ 的解 。 Ｗ Ｐ）
ｆ１ ｗ（ ＋（ ｗ ） ＝ ， ０ Ｐ ｆ”） ，（ ） ０ ≤≤ ，
【 ０ ０， Ｗ （ ）＝ Ｏ（ ｗ ）＝Ｗ １ ， （ ） 其 中 ０＜ ＜１０＜ａ ， ＜１ ａ 。 且 ≠１
在本 文 中 ， 我们 没 有对 ｆ 附加 较 强 的增 性假 设条 件 ， 并且将 允 许非 线性 项 中 ｆ 有一 个 负 的下 界 ， 即允许
文 献标识 码 ： Ａ
文章 编 号 ：６ １ ４ ８ （０ ７ ０ ０ ｌ ０ １７ — ２ ８ ２ ０ ）６— ｌ７— ４
非 线性 微积 分方 程 的半正 边值 问题 是微 分方 程 中一个 十分 重要 的研 究领 域 ， 近年 来 ， 有许 多 文献 对 半 正 边值 问题 进行 了研究 见 文 ［ — ］ １ ５。 本 文 的 目的是 考察 下列 非线 性 二阶 三点边 值 问题 的解 和正解 的存 在性
一类奇异二阶三点边值问题正解的存在性
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２一ｌ ｌ 一 ２ １
基金项 目： 甘肃省 自然科 学基金项 目 （ ３ Ｚ Ｓ ４ ２一Ｂ ０ ２ ５—０ ２ １ ） ； 甘 肃省教 育厅科研 项 目（ １ ０ １ ３ Ｂ一 ０ ３ ）
作者简 介： 魏
２ ０
嘉（ １ ９ ８ ２ 一） ， 男， 甘 肃靖远 人． 讲 师， 硕士 ， 主要从 事微分方程边值 问题研 究．
一
类奇异 二阶 三点边值 问题正解 的存在性
魏 嘉， 王 静
（ 甘 肃联 合 大 学 师 范 学院 ， 甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ０ ０ ）
摘 要： 运 用锥 上的 Ｇ ｕ ｏ —Ｋ ｒ ａ ｓ ｎ ｏ ｓ ｅ ｌ ｓ ｋ ｉ ｉ ’ ｓ不动点定理证明 了奇异二阶 三点边值 问题 一 ＝ Ａ ｈ （ ｔ ） ｔ ， Ｈ ） ， ０
Ｉ
— 一
一 一 ．
方程多点边值问题受到了广泛 的关注 ， 其研究成 果 如文 献 ［ ２— ６ ］ ． 在文 ［ ２］ 中， Ｓ ｕ ｎ和 Ｗｅ ｉ 通 过 运
用 锥上 的拉 伸与 压缩 不动 点定 理证 明了半 正二 阶 三 点边值 问题 ｕ ” ＋Ａ ｆ （ ｔ ， ｕ （ ｔ ） ）＝ ０， ０＜ｔ ＜１ ， ｕ （ ｏ ）
＜ ｔ ＜ １ ， ｕ （ ０ ）＝ｏ ｔ ｕ （ ｒ ／ ） ， “ （ １ ）： （ ）至 少一 个或 两个正解的存； 锥不动点定理 ； 正解
中图 分 类 号 ： ０ １ ７ ５ 文 献 标 志码 ： Ａ 文章编 号 ： １ ６ ７ ４— ５ ２ ４ ８ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２— ０ ０ ２ ０— ０ ４
魏
嘉， 王
静： 一类奇异二阶 三点边值 问题 正解的存在性
二阶三点边值问题的正解
分方程 ， 借助于锥上的不动点指数理论，给出了该 问题 单个 正解和多个正解存在的与其 相应线 性问题 的第一特征值有关的最佳充分性条件． 关键 词：正解；锥；不动点指 数；第一特征值．
ＭＲ（０ ０ ２ ０ １主题分类：４ １ 中图分类号： １５ 文献标识码： ３Ｂ ５ Ｏ ７． ８ Ａ
本文的直接推论，并且纠正了该文的一个错误 （ 见本文注 ３ ） 注意到此时的 Ｈ ｍ ｅ ｔｉ ．． １ ａ ｍｒｅ ｓ ｎ
型积分方程 的核 函数不具 有对 称性 ，就 笔者所 知 ，利用 相应 的线性算 子 的第一 特征值 刻化 非 自共轭 的 非线性 方程 正解存 在性 的文 献 尚不 多见 ．
３４ ７
数
学
物
理
学 报
Ｖ １８ ｏ． Ａ ２
２ 预 备 知 识
在实 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空间 Ｅ ＝ ［ １ 中，范数记为 ｌ １ 即 ｌ ０］ ， １ｌ ．，
ｍ ａｘ 。＜ ＜ １
） ｌ １对任意给定的 （．
ｒ ， 中的开球 ｛ ＞０ Ｅ ∈Ｅ： ｌ ） ＜ｒ 记为 ， 并用 和 ａ 分别表示 的闭包和边界． 直接验证，容易得到下列引理． 引理 ２１ 问题 （） Ｃ。 ，］ ． １在 ［ １ 中的解 等价 于 Ｈａ ０ ｍｍｅｓ ｉ ｒ ｅｎ积分 方 程 ｔ
Ｐ＝｛∈ （ ０ ∈［ １ ， Ｅ： ， ０ ］ ） ，｝
并 用锥 Ｐ规 定 Ｅ 中 的半 序 ， 即若 ， ｕ∈Ｅ， ｕ当且仅 当 ｕ—ｕ Ｐ． ｃ 同时 定义算 子
，１
（ ４ ）
（ｕ（ ＝／Ｇ ）ｓ （（）ｓ Ｖ ∈０１ Ａ ）） ｔ （ｓ （ｆ ｓｄ， ｔ ［ ］ ，ｂ）ｕ ） ，，
Ｇ（，） ｔｓ
— — １
ＭＲ（０ ０ ２ ０ １主题分类：４ １ 中图分类号： １５ 文献标识码： ３Ｂ ５ Ｏ ７． ８ Ａ
本文的直接推论，并且纠正了该文的一个错误 （ 见本文注 ３ ） 注意到此时的 Ｈ ｍ ｅ ｔｉ ．． １ ａ ｍｒｅ ｓ ｎ
型积分方程 的核 函数不具 有对 称性 ，就 笔者所 知 ，利用 相应 的线性算 子 的第一 特征值 刻化 非 自共轭 的 非线性 方程 正解存 在性 的文 献 尚不 多见 ．
３４ ７
数
学
物
理
学 报
Ｖ １８ ｏ． Ａ ２
２ 预 备 知 识
在实 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空间 Ｅ ＝ ［ １ 中，范数记为 ｌ １ 即 ｌ ０］ ， １ｌ ．，
ｍ ａｘ 。＜ ＜ １
） ｌ １对任意给定的 （．
ｒ ， 中的开球 ｛ ＞０ Ｅ ∈Ｅ： ｌ ） ＜ｒ 记为 ， 并用 和 ａ 分别表示 的闭包和边界． 直接验证，容易得到下列引理． 引理 ２１ 问题 （） Ｃ。 ，］ ． １在 ［ １ 中的解 等价 于 Ｈａ ０ ｍｍｅｓ ｉ ｒ ｅｎ积分 方 程 ｔ
Ｐ＝｛∈ （ ０ ∈［ １ ， Ｅ： ， ０ ］ ） ，｝
并 用锥 Ｐ规 定 Ｅ 中 的半 序 ， 即若 ， ｕ∈Ｅ， ｕ当且仅 当 ｕ—ｕ Ｐ． ｃ 同时 定义算 子
，１
（ ４ ）
（ｕ（ ＝／Ｇ ）ｓ （（）ｓ Ｖ ∈０１ Ａ ）） ｔ （ｓ （ｆ ｓｄ， ｔ ［ ］ ，ｂ）ｕ ） ，，
Ｇ（，） ｔｓ
— — １
奇异非线性二阶三点边值问题正解的存在性
正解 的存 在性 ， 这里 刁 ０ １ 是 一个 常数 ， （ ，） Ｅ ， 。 ） ∈（ ，） ｆＥ Ｃ（ ０ １ ，ｏ ＋。 ） 。
（ １ ）
二 阶多点 边值 问题在 弹性稳 定性 理论 中有 着 广泛 的应 用 ， 的研究 始 于 Ⅱ ｉ 它 ｎ和 Ｍｏ —ｓｅ ［ ， ｉ ｅｖ ２ 近 － Ｊ
Ｃ［ ，］ ０ １ 均有 ａ Ｔｕ （ ） ｆ Ｔ ）（ ） ，Ｔ“ （ ） ｋ Ｔ ） 一０ （ ） ０ －ｌ ｕ ０ 一０ （ ） １ － （ ｕ （ ） 。 （
（ ４ ）
容易 验证 “ ∈Ｃ［ ，］ 问题 （ ） ｏ １是 １ 的解 当且 仅 当 “是 Ｔ 在 Ｃ［ ，］ 的不动 点 ， ０１中 此外 不难 看 出 Ｖｕ Ｅ
非负 连续解 的存 在唯 一性 。 本文研 究 了边值 问题 （ ） １ 的正 解 ， 们不要 求 厂关 于 “的单调 性 ， 且允 许 ｆ ｔ“ 在 ￡ ，一１处 我 并 （， ） 一０ ｔ 具有 奇性 。主要是 应用 ｓ ａ ｌｅ ｈ ｕｄ 不动点 定理 。
２ 预 备 知 识
本文取 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 Ｅ— ＣＥ ，］ 范 数 为最 大 值 范 数 。记 集合 Ｋ（ ） ｛ ∈ Ｃ Ｅ ， ］： ｌ“ｌ≤ １， ｏ ｒ一 “ ｏ１ ｌ ｌ
钟 召 平 ， 冯 强 ， 增 勤 。 赵
（ 潍 坊职业 学 院 ， 山东
潍坊
２ １ ４ 。曲阜 师范 大学 ， ６ ０ １； 山东 曲阜
２３６ ） ７１５
摘 要 ： 用 Ｓ ａ ｌｅ 应 ｈ ｕｄ ｒ不 动点定 理 ， 立 了奇异 非线 性 二阶三 点边 值 问题 建
ｆ （）ｔ （， （） ＝ ０， Ｏ ｔ ｌ， ￡－ ｆ ｔ“ ￡） － ＜ ＜
（ １ ）
二 阶多点 边值 问题在 弹性稳 定性 理论 中有 着 广泛 的应 用 ， 的研究 始 于 Ⅱ ｉ 它 ｎ和 Ｍｏ —ｓｅ ［ ， ｉ ｅｖ ２ 近 － Ｊ
Ｃ［ ，］ ０ １ 均有 ａ Ｔｕ （ ） ｆ Ｔ ）（ ） ，Ｔ“ （ ） ｋ Ｔ ） 一０ （ ） ０ －ｌ ｕ ０ 一０ （ ） １ － （ ｕ （ ） 。 （
（ ４ ）
容易 验证 “ ∈Ｃ［ ，］ 问题 （ ） ｏ １是 １ 的解 当且 仅 当 “是 Ｔ 在 Ｃ［ ，］ 的不动 点 ， ０１中 此外 不难 看 出 Ｖｕ Ｅ
非负 连续解 的存 在唯 一性 。 本文研 究 了边值 问题 （ ） １ 的正 解 ， 们不要 求 厂关 于 “的单调 性 ， 且允 许 ｆ ｔ“ 在 ￡ ，一１处 我 并 （， ） 一０ ｔ 具有 奇性 。主要是 应用 ｓ ａ ｌｅ ｈ ｕｄ 不动点 定理 。
２ 预 备 知 识
本文取 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 Ｅ— ＣＥ ，］ 范 数 为最 大 值 范 数 。记 集合 Ｋ（ ） ｛ ∈ Ｃ Ｅ ， ］： ｌ“ｌ≤ １， ｏ ｒ一 “ ｏ１ ｌ ｌ
钟 召 平 ， 冯 强 ， 增 勤 。 赵
（ 潍 坊职业 学 院 ， 山东
潍坊
２ １ ４ 。曲阜 师范 大学 ， ６ ０ １； 山东 曲阜
２３６ ） ７１５
摘 要 ： 用 Ｓ ａ ｌｅ 应 ｈ ｕｄ ｒ不 动点定 理 ， 立 了奇异 非线 性 二阶三 点边 值 问题 建
ｆ （）ｔ （， （） ＝ ０， Ｏ ｔ ｌ， ￡－ ｆ ｔ“ ￡） － ＜ ＜
一类二阶三点边值问题无穷多个正解的存在性
边 值 问题
ｆ （ ）一 （） ‘ ￡ ）一 ０ ０＜ ｔ １ ￡ ￡／（ ） （ ， ＜ ， ，
改进 和 推广文 献 ［ ］的相关 结论． １ 引理 １ ［ 设 ０＜ ｊ １ ａ∈ Ｒ， ７ ， ＜ 则对 Ｙ∈ ｃ［ ， ｏ １， ］ 边值 问题
Ｉｏ一 ，） （ 一 ） （ 一 ，） ｏ （ ， １
ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｌ ｐｅ ｏ ｉ ｖ ｓ ｌｔ ｎ ｆｒ ｉｄ ｏ ｅ ｏ ｄ．ｒ ｅ ｔ ｒｅｐ ｉｔ ｂ ｕ ｄ ｒ ｖ ｌｅ ｘｓｅ ｃ ｆ ｍｕｔ ｌ ｉ ｐ ｓ ｉｅ ｏｕ ｉ ｓ ｏ ａ ｋｎ ｆ ｓｃ ｎ ． ｄ ｒ ｈ ｅ． ｏｎ ｏ ｎ ａ ｙ ａｕ ｔ ｏ ｏ ．
一
类二 阶三点 边值 问题
［， ） Ｏ ∞ 连续 且存 在 ｔ ∈ （ ， ） 使得 ａ ｔ） ０ 厂： 。 Ｏ１ ， （。 ＞ ；
Ｉ（＋ （ （￡ 一 ， ｔ ＇ ｆ ￡ ａ）ｕ） ０ ＜ ＜１ ） ｔ （） ０ ” ｆ
，ｏ （ ）一 ｏ， １ （ ）＋ ， 叩 （ ）一 ０
摘要 ： 利用 Ｋｒｓｏｅ’ ｉ锥 拉 伸 与 锥压 缩 不 动点 定 理 ， 究 一 类 二阶 三点 边 值 问题 ａｎ ｓｌ ｋｉ ｓ 研
｛。２），，：＜＜ 的解在问， 其穷个解在的分件 进 ）。ｆｕ）０ ｈ正存性题 到无多正存性充条， 和 ｕ）ａ１ ’ ＂－，）（＝０ （：（（ｔ）。 ｔ ｔ） －（ Ｉｔ＋ （ 得 改
汪 灵枝 ， 晓 洁 ， 发 金 姚 秦
ＷＡＮＧ Ｌｎ —ｈ ， ｉｇｚ ｉＹＡＯ Ｘ ａ — ｅ ＱＩ ａｊ ｉｏｊ ， Ｎ Ｆ — ｎ ｉ ｉ
（ 州师 范高 等专科 学校 数学 与计算 机科 学 系 ， 西柳 州 ５ ５ ０ ） 柳 广 ４ ０ ４
ｆ （ ）一 （） ‘ ￡ ）一 ０ ０＜ ｔ １ ￡ ￡／（ ） （ ， ＜ ， ，
改进 和 推广文 献 ［ ］的相关 结论． １ 引理 １ ［ 设 ０＜ ｊ １ ａ∈ Ｒ， ７ ， ＜ 则对 Ｙ∈ ｃ［ ， ｏ １， ］ 边值 问题
Ｉｏ一 ，） （ 一 ） （ 一 ，） ｏ （ ， １
ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｌ ｐｅ ｏ ｉ ｖ ｓ ｌｔ ｎ ｆｒ ｉｄ ｏ ｅ ｏ ｄ．ｒ ｅ ｔ ｒｅｐ ｉｔ ｂ ｕ ｄ ｒ ｖ ｌｅ ｘｓｅ ｃ ｆ ｍｕｔ ｌ ｉ ｐ ｓ ｉｅ ｏｕ ｉ ｓ ｏ ａ ｋｎ ｆ ｓｃ ｎ ． ｄ ｒ ｈ ｅ． ｏｎ ｏ ｎ ａ ｙ ａｕ ｔ ｏ ｏ ．
一
类二 阶三点 边值 问题
［， ） Ｏ ∞ 连续 且存 在 ｔ ∈ （ ， ） 使得 ａ ｔ） ０ 厂： 。 Ｏ１ ， （。 ＞ ；
Ｉ（＋ （ （￡ 一 ， ｔ ＇ ｆ ￡ ａ）ｕ） ０ ＜ ＜１ ） ｔ （） ０ ” ｆ
，ｏ （ ）一 ｏ， １ （ ）＋ ， 叩 （ ）一 ０
摘要 ： 利用 Ｋｒｓｏｅ’ ｉ锥 拉 伸 与 锥压 缩 不 动点 定 理 ， 究 一 类 二阶 三点 边 值 问题 ａｎ ｓｌ ｋｉ ｓ 研
｛。２），，：＜＜ 的解在问， 其穷个解在的分件 进 ）。ｆｕ）０ ｈ正存性题 到无多正存性充条， 和 ｕ）ａ１ ’ ＂－，）（＝０ （：（（ｔ）。 ｔ ｔ） －（ Ｉｔ＋ （ 得 改
汪 灵枝 ， 晓 洁 ， 发 金 姚 秦
ＷＡＮＧ Ｌｎ —ｈ ， ｉｇｚ ｉＹＡＯ Ｘ ａ — ｅ ＱＩ ａｊ ｉｏｊ ， Ｎ Ｆ — ｎ ｉ ｉ
（ 州师 范高 等专科 学校 数学 与计算 机科 学 系 ， 西柳 州 ５ ５ ０ ） 柳 广 ４ ０ ４
二阶常微分方程的三点边值问题的正解
如果 y≥0 并且 0 ＜ β ＜ u（ t） ＜
t∈ ［η， 1 ］
}
（ 1 － β） t + βη 1 － αη － β（ 1 － η）
∫ （ 1 － s） y（ s） ds，
0
1
0， 1］ × C［ 0， 1］为 Banach 空间并 令 X = C［ 赋予范数为 v） ‖ = max｛ | u | ， | v| ｝ ， v） ∈ X ‖（ u ， （ u ， 其中 w = max w （ t） t∈ ［0 ， 1 ］ v） 是 ． v ） 是式 （ 1 ） ， 当（ u ， 式 （ 2 ） 的解当且仅当 （ u，
同理 | A2 v | =
∫
1 0
G（ t， s） b（ s） f（ u（ s） ） ds s） b（ s） ） ds ∫ G（ t，
0 1
≤L
v） ‖ = max ｛ | A1 v | ， | A2 u | ｝ 有界， 因此‖A（ u， A 有界． （ c） 从（ a ） 知道 A 对 （ u， v ） 连续， v） 对 t 而 （ u， ［ 0 ， 1 ］ ， A 在闭区间 上连续 所以 是等度连续映射． Ascoli 定理［ 5］得知 A 是全连续 根据 Arzela映射．
二阶常微分方程的三点边值问题的正解
李刚钊， 欧阳自根
（ 南华大学 数理学院， 湖南 衡阳 421微分方程的三点边值问题的正解 ， 通过将微分方程转化为 ， ， 等价的积分方程 利用锥不动点定理 获得了方程解的存在性的充分条件 ．
关键词： 正解； 三点边值问题； 锥不动点定理 中图分类号： O241. 81 文献标识码： A
0
1
0
+ ε） H1
1 － αη － β（ 1 － η） · 1 － β + βη
一类二阶三点边值问题正解存在性
（，）∈ ［ ，】 ｔｕ ０ １ ｝×【 ＋∞） ０． ｝＝一Ｍ ＜０，
（２ Ｈ ）一∞ ＜ ｉｆｇ ｔＭ ： ｎ ｛ （ ， ）
１９ ９９年， 马如云首先研究三点边值问题 『 ” （） ｕ ＝０ ＋口 ￡ ） ，
【 （ ）＝０ ａ （ ） ＝Ｍ １ ， ＜叼 ＜１ ｕ０ ，ｕ 卵 （ ）０ 正解 的存 在性 ， 出研究 这类 问题 的关 键条 件 提 ０＜口７＜１， 在非 线性项 满 足超线 性或 次线 性 的 ７ 并 前 提下 ， 立 了正 解 的存 在 性 结 果 ． 后 ， ａａ ｏ． 建 此 Ｋ ｒｋ ｓ
一
类 二 阶 三 点 边 值 问题 正福建 泉州 ３２ ０ ） ６０ ０
摘
要： 二阶边值 问题在控制理论 中有 重要 的应 用价值。Ａ－］ ４ 常常需要 知道在非 线性项满足超 线性或次线性的情况 ＇ ｔ
下正解的存在性的结论 。文章利 用 Ｋａｎ ｓｇｉ ｒｓｏｅｋＵ不动点定理 ， 立 了一类二阶广 义 Ｓｕｍ—ｉ ｖｌ 边值 问题 在有限区间上 建 ｔｒ Ｌｏ ｉｅ ｕ ｌ
ｔ 和 Ｔｓ ａ ｓＷｅｂ Ｐ ｌ ｉｅ， ｅｗ ｉａ 人 推 ａ ｓ ａｍ ｔ ， ｂ ，ａ ｍｄｓＧ ｅ ｏ等 ｏ ａ ｇ 广 和发展这些 结果 到更 广泛 的边 界条 件 的情形 ．
，
ｇ ｕ ｆ ｔｕ ｉ ＂＋Ａ （ ， ） ＋ｆ
其 中 Ａ ＞０ ＞００ ＜ｒ ， ， ／＜１０＜ａ＜１． ， 并且 作如 下假设 ：
（ ）一∞ ＜ ｉｆ ｔⅡ ： Ｈ１ ｎ ｛ ， ）
ｆ” ｔ“ ｕ ＋ ， ）＝０ ， 【 （ ）＝０ ａ 田 ＝ｕ （ ）０ ＜叼 ＜ １ ｕ０ ，／ （ ） ｚ １ ， 。
ＨＥ Ｊａ － ｎ ｉｎ ｆ ｇ ｅ
半直线上二阶三点边值问题正解的存在性
上 十
是
有 界 的 。事 实上 ，
ｉ ， ＿
，
０ ｓ －ｎ７ ＜＋ ≤ ≤ ｛ ， ７ ｝ ∞，
０≤ ｓ 叼 ＜ ＋∞ ， ≤ ≤
’
ｌ ＋ｔ
１ 准备工作
弓理 １ ｌ 对Ｖ ｔ （ ）∈Ｌ ［ ，＋∞ ） ｔ（ ）∈ ０ 且 ｖｔ
≤
＋ 一 １ ’卵 ≤ ＋， ＋ ， ≤。 ∞ Ｉ ｌ ｔ ｓ＜ ｏ ＜ ｆ
定 义 Ｐ上 算子 Ａ：
叼 ＋ １ ａａ ０Ｏ ｎｘｒ ｝ ＜＋ｏ （－ ）＞ ， ＜￣ ｛￣ ／ ｏ。 ｓ ，
一
０ ｓ ｛ ｒ＜＋ｏ ≤ ≤Ｉ ， ｝ ｏ，
（ ） ） Ｇ ， （ ｓ） （ Ａ （ ＝ｌ （ｓ ｓ（ ｄ ２ ） ， ） ｓ ） ｆ
则 Ａ的不动 点 （） 是 Ｂ Ｐ １ 的解 ． ￡就 Ｖ （） 引理 ３ ［ 设 Ｐ 是 实 Ｂ ｎｅ ａａｈ空 间 中 的锥 ， Ｑ。Ｑ： ， 是 中 的有 界 开 集 ， ０∈Ｑ Ｑ ， Ｐｎ ， ｃ Ｑ Ａ：
＠
２ １ Ｓｉ ｅｈ Ｅ ｇｇ ０ ｃ Ｔ ｃ ． ｎｎ． １ ．
半 直 线 上 二 阶 三 点边 值 问题正 解 的存 在 性
刘 琦 黄 明明 路 慧芹
（ 山东师范大学数学科学学院 ， 济南 ２ ０ １ ） ５０ ４
摘
要
研 究 了如下半 直线上二阶三点微分 方程的边 值 问题 ， 立了特殊 的锥 ， 建 主要利 用锥 中的不 动点定理得到 了正解 的存
∞ ＝ ｚｔ Ｊ － １ｏ ） （ ｓ
Ｌ ｏ ｎ－ ｔ （
：： ：
ｆ ” ｔ ，∈Ｊ∈［ ＋∞） — ＝ ， ｔ ） ０，
【（ ） 似 （ ） （。 ＝ ｘ０ ： ７ ， ｏ） ０ ／
是
有 界 的 。事 实上 ，
ｉ ， ＿
，
０ ｓ －ｎ７ ＜＋ ≤ ≤ ｛ ， ７ ｝ ∞，
０≤ ｓ 叼 ＜ ＋∞ ， ≤ ≤
’
ｌ ＋ｔ
１ 准备工作
弓理 １ ｌ 对Ｖ ｔ （ ）∈Ｌ ［ ，＋∞ ） ｔ（ ）∈ ０ 且 ｖｔ
≤
＋ 一 １ ’卵 ≤ ＋， ＋ ， ≤。 ∞ Ｉ ｌ ｔ ｓ＜ ｏ ＜ ｆ
定 义 Ｐ上 算子 Ａ：
叼 ＋ １ ａａ ０Ｏ ｎｘｒ ｝ ＜＋ｏ （－ ）＞ ， ＜￣ ｛￣ ／ ｏ。 ｓ ，
一
０ ｓ ｛ ｒ＜＋ｏ ≤ ≤Ｉ ， ｝ ｏ，
（ ） ） Ｇ ， （ ｓ） （ Ａ （ ＝ｌ （ｓ ｓ（ ｄ ２ ） ， ） ｓ ） ｆ
则 Ａ的不动 点 （） 是 Ｂ Ｐ １ 的解 ． ￡就 Ｖ （） 引理 ３ ［ 设 Ｐ 是 实 Ｂ ｎｅ ａａｈ空 间 中 的锥 ， Ｑ。Ｑ： ， 是 中 的有 界 开 集 ， ０∈Ｑ Ｑ ， Ｐｎ ， ｃ Ｑ Ａ：
＠
２ １ Ｓｉ ｅｈ Ｅ ｇｇ ０ ｃ Ｔ ｃ ． ｎｎ． １ ．
半 直 线 上 二 阶 三 点边 值 问题正 解 的存 在 性
刘 琦 黄 明明 路 慧芹
（ 山东师范大学数学科学学院 ， 济南 ２ ０ １ ） ５０ ４
摘
要
研 究 了如下半 直线上二阶三点微分 方程的边 值 问题 ， 立了特殊 的锥 ， 建 主要利 用锥 中的不 动点定理得到 了正解 的存
∞ ＝ ｚｔ Ｊ － １ｏ ） （ ｓ
Ｌ ｏ ｎ－ ｔ （
：： ：
ｆ ” ｔ ，∈Ｊ∈［ ＋∞） — ＝ ， ｔ ） ０，
【（ ） 似 （ ） （。 ＝ ｘ０ ： ７ ， ｏ） ０ ／
二阶三点边值问题正解的存在性
引理３ 设假设（） （） １，２成立， 那么 ： — 全连续 ． Ｋ
易知 ∈ｃ［ １是边值问题（ 的解当且仅当 ｏ】 ， １ ） ∈ｃ［ １是 的不动点． ｏ】 ，
我们的主要方法是利用下面 的不动点指数定理．
定理 １ ４ ５ ［，１ １１ 设Ｅ 是Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空间， Ｃ Ｅ 是Ｅ 中的锥． Ｋ 令 ＝ ｛ ∈Ｋ ：ｌｌ ｝ 假 ｌｌ ≤ｒ，
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４２ ４
高 校 应 用 数 学 学 报
第２卷第４ ２ 期
对 函数ａ ， ， 我们作如下假设
（ ，： ，。 一 ［ 。） １ ） ［ 。） ０ 。连续； ０ ， （） ａ ［ １一 ［ 。） ２ ：， ０ 】 ０ 。连续且存在ｔ ∈（ 叩 使ａ ｏ ＞０ ， ｏ ０ ） （） ， ｔ
§ 引理 ２
在叙述 并证 明主要结果之前， 先给 出要用到 的几个引理 ， 其证明 司见文献 ［ 】 １． ｌ
引理１ 设０ ＜叩 ， ∈Ｒ． ＜１ 则对 ∈ｃｏ１ 边值问题 ［ 】 ，，
‘ ０ ０ （）。 叩 ＝０ ｊ（） （ 。＋＜（），． 【 ＝ １ ）， ＋ ， ＿
有 唯 一 解
ｌ （ ２ ） ｌ ～
且当 ＞０ Ｙ 时， ０１ ， ≥０ （在［ 】 ） ， 上非负． 进一步， 若存在ｔ ∈（，） （ ） ， （ 在［ １ ｏ ０叩使ｙｔ ＞０ 则 ０ 】 ｏ ） ， 上
正．
（ Ｊ ｙｓＬｙｓ厂—（． 厂一 （ ／（ 一 ｓ ）／ ｓ￣０ｓ Ｊ一 ） ＝ （ｓ） ｏ ） ／ ｓ ｄ ０ ）ｄＯ ｄ ０ ） ｓ １ Ｊ （ｙ ｔ
在『 １的某子区间上为正的解） ０ １ ， 的存在 性． 最近文献 『 １ ￣Ｌ ｒｙＳｈ ｕ ｅ￣线性抉择研究 了 １ 借助 ＝ ｅａ—ｃ ａ ｄ ｒ １ 非线性三 点边值 问题 （） 在， １， 满足一定 的增长性 的条件 下证 明了非线 性三 点边值 问题（） １非平凡
易知 ∈ｃ［ １是边值问题（ 的解当且仅当 ｏ】 ， １ ） ∈ｃ［ １是 的不动点． ｏ】 ，
我们的主要方法是利用下面 的不动点指数定理．
定理 １ ４ ５ ［，１ １１ 设Ｅ 是Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空间， Ｃ Ｅ 是Ｅ 中的锥． Ｋ 令 ＝ ｛ ∈Ｋ ：ｌｌ ｝ 假 ｌｌ ≤ｒ，
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第２卷第４ ２ 期
对 函数ａ ， ， 我们作如下假设
（ ，： ，。 一 ［ 。） １ ） ［ 。） ０ 。连续； ０ ， （） ａ ［ １一 ［ 。） ２ ：， ０ 】 ０ 。连续且存在ｔ ∈（ 叩 使ａ ｏ ＞０ ， ｏ ０ ） （） ， ｔ
§ 引理 ２
在叙述 并证 明主要结果之前， 先给 出要用到 的几个引理 ， 其证明 司见文献 ［ 】 １． ｌ
引理１ 设０ ＜叩 ， ∈Ｒ． ＜１ 则对 ∈ｃｏ１ 边值问题 ［ 】 ，，
‘ ０ ０ （）。 叩 ＝０ ｊ（） （ 。＋＜（），． 【 ＝ １ ）， ＋ ， ＿
有 唯 一 解
ｌ （ ２ ） ｌ ～
且当 ＞０ Ｙ 时， ０１ ， ≥０ （在［ 】 ） ， 上非负． 进一步， 若存在ｔ ∈（，） （ ） ， （ 在［ １ ｏ ０叩使ｙｔ ＞０ 则 ０ 】 ｏ ） ， 上
正．
（ Ｊ ｙｓＬｙｓ厂—（． 厂一 （ ／（ 一 ｓ ）／ ｓ￣０ｓ Ｊ一 ） ＝ （ｓ） ｏ ） ／ ｓ ｄ ０ ）ｄＯ ｄ ０ ） ｓ １ Ｊ （ｙ ｔ
在『 １的某子区间上为正的解） ０ １ ， 的存在 性． 最近文献 『 １ ￣Ｌ ｒｙＳｈ ｕ ｅ￣线性抉择研究 了 １ 借助 ＝ ｅａ—ｃ ａ ｄ ｒ １ 非线性三 点边值 问题 （） 在， １， 满足一定 的增长性 的条件 下证 明了非线 性三 点边值 问题（） １非平凡
二阶三点边值问题正解的存在性
＠
２ １ ＳｉＴ ｃ． ｎｎ． ０ ０ ｃ． ｅｈ Ｅ ｇ ｇ
二 阶 三 点边 值 问题 正 解 的存 在 性
李娜娜 范进 军
（ 山东师范大学数 学科学学 院， 济南 ２ ０ １ ５ ０４）
摘
要
利用锥拉压定理研 究一类二阶奇异微分 方程 三点边值 问题正解的存在性 ， 改进和推广 了已有 结果 。 二阶方程 三点边值条件 锥拉压定理 Ａ
ｈ ｔ ｌ（ １ｈ （ ， ） （ ，＋∞ ） 其 中 ｑ∈ （）Ｉ ）Ｉ， ： ０ １ ０ ｇ ，
＝ｍ Ｉ ｔ Ｉ 其 中 ∈ ｌ ）ｌ， （
ｃ ，， ）＜ 并 ［Ｐ ＋ 且 詈】 ∞
） 坠 ｇ ［
（ Ｈ）
仙】 ＜
引理 １ 设 Ｓ Ｃ Ｊ 有界， Ｌ在 ＿ 等岗 ， ［ ３ Ｃ （， ＿ ） 且 ｓ ，Ｅ 续 贝 （） ｓ （（）， ．ｆ ＝｛（） Ｓｔ ． 。 ０ ｓ ＝ｌ ５ ）其中 ｓ ） ｔ： ，∈， ｌ （ ｅ ） 引理 ２ … 设 Ｖ＝｛ ） ［ ， 且 存 在 ｇ∈ ｃ ， Ｅ］
理， 研究 Ｂ ｎ ｃ ａａ ｈ空 间中一类 带奇 异 的二 阶微 分 方程
（ｉ ∈Ｐ，Ｉ ｌ＝ｒ ， 不 大 于等 于 ， 当 ｉ ） Ｉ １ 时 且 ｌ ｌ ｓ Ｉ ｌ＝ 时 不小 于 等于 ； 则 Ａ在 Ｐ（ 中至 少具 有一个 不 动点 。 ）
２ 主要结果
边值问题 ， 得到有两个正解存在的结果 。
（） １
并设 Ａ Ｐ ｒ 一Ｐ为严格集压缩算子且满足下面两 ： ｆ） ．
条件 之一 ：
（） ∈Ｐ，ｌ ｌ ｉ Ｉ ｌ＝ｒ ， 不 小 于 等 于 ， 当 时 Ａ 且 Ｉ ｌ ｓ ， 不大 于等 于 ； ｌ ｌ＝ 时
拟线性二阶方程三点边值问题对称正解的存在性
研 究 了二 阶边 值 问题 多重解 的存 在性 ，文献 ［ －］ 究 了 二 阶 多点 边 值 问 题 解 的存 在 性 ，文 献 ［—０ ４８ 研 ９１ ］ 研 究 了 ｐＬｐａｅ算子 方 程 的边值 问题 ， 献 ［ １ 利用 Ａ ｅ —ｅ ｒ ｎ不 动 点定 理研 究 了具ｐＬｐａｅ －ａｌｃ 文 １］ ｖｒ Ｐｔ ｓ ｙ ｅｏ －ａｌｃ算
Ａ ｓｒｃ ： ｎ ｉ ｎｉｎ —ａ ｌ ｅｅｕ ｔ ｎ （ （ ｔ ） ＋ｑ ｔｆ ｔ ｕ ｔ ， ｔ ）＝０ ｗ ｔ ｂｕ ｄ ｒ ｂ ｔ ｔ Ｏ ｅｄｍｅｓ Ｌ ｐａ ｑ ａｉ Ｍ （ ） ） ａ ｏＰ ｃ ｏ （） （ ， （） “ （） ｉ ｏｎ ａ ｈ ｙ
ｖｌｅｃｎ ｉｏ ｓ （）＝ １ ） ／ （ ）一 （ ）＝Ｍ １ ）ｗ ｓｓ ｄｅ ．Ｕ ｄ ｒ ｅ ａ ｏ ｄｔ ｎ ｅａｏｅ ａ ｏｄｔ ｎ ｔ （ 一ｔ ，／ ０ １ ｕ ｉ Ｍ ， （／ ２ ａ ｔ ｉ ｕ ｄ ｎ ｅ ｒ ｉ ｃｎ ｉｏ ｓ ｈ ｂ ｖ ｃ ｔｎ ｉ ｔ
收稿 日期 ： ０ ９０ —ｌ ２ ０ －５３ ，
作者简介：李圆 晓（ ９ ６ ） １８ 一 ，女 ，汉 族 ，博士研究 生 ，从 事应用数 学 的研究 ，Ｅ ｍ ｉ ｉｕｎ ｉ １８ ０ １ — ａｌ ｙ ａｘａ ９ ６ １５＠１３ ｔｍ．通讯作 者： ：ｌ ｏ ６ ．ｏ
Ｌ ｕ ｎｘ ｏ Ｉ ａ — ａ ，ＷＥ ｉｇ ｉ，Ｇ Ｏ Ｗｅ ’ｅ Ｙ ｉ Ｉ ｎ —ｅ Ａ ｎｊ Ｙ ｊ ｉ
（ｎｔｕ Ｉｓｔｔ ｏ ｉ ｅ ｆＭａｈｍ ｔｓ Ｊｌ ｎ ｅ ｉ ， ｈ ｎ ｃｕ ３ ０ ２ Ｃ ｉ ） ｔｅ ａｉ ， ｉｎＵ ｉ ｒ ｔ Ｃ ａｇｈ ｎ１０ １ ， ｈｎ ｃ ｉ ｖ ｓｙ ａ
Ｅｘ ｓ ｅ ｃ ｆＳ ｍ ｍ ｅ ｒ ｃ Ｐｏ ｉｉ ｅ Ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｔ ｒ ｅ Ｐｏ ｎ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｙ ｔ ｉ ｓｔｖ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ Ｔｈ ｅ － ｉ ｔ
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０ ， （ 。若 Ｆ； ｎ （ ＼ ） 是 全 连 续 算 子 ， 要 么 ： ∈ 二 ， ＝ 一 且
（） ｌ ｉ ｌ ｌ Ｆｕ ｌ （ｉ ＩＦ １ ｉ １ “Ｉ ）
ｌ ｌ Ｕ ｌ ｌ， ∈Ｋ ；ｌ “ｌ三 Ｉ ， ∈Ｋ Ｕ ｎａ Ｉ Ｆ Ｉ三 ｌ “ 三ｌ Ｉ Ｕ ｎａ Ｉ ， ∈Ｋ ；１ “Ｉ １ ｌ“ １ Ｕ ｎａ ＩＦ １ Ｉ ， ∈Ｋ １ １ ＩＵ Ｕ ｎａ
有 唯 一 解
） 一 一 一 ∽ 一 ￣７ （ １
－
（ ）一 ０ 口 （ ０ ， ）一 ｕ １ （）
（） ２
㈤ 南 一 ＋
０ 则 （ ） 唯 一解 （） ０ ｔ ［ ， ３ ， ２的 ｆ ，Ｅ ０ １ ．
引 理 ２。 设 ０ 口 １ ， ｙＥｃＥ ，３ ［ ＜ ＜ ／ 若 ｏ １ 且
一
｛ ｚ，， ： ｚ，， （ ｊ） （ ｊ）∈ Ｘ ， ， 三 Ｙ三三０，ｍ ｉ （ ｆ ｎ （）＋ ｊ（） 三 ｙ ｌ ｌ ，ｆ ）三 （１ ｌ＋ Ｉ ） （ ） ＝ Ｉ ｌ ） ４ １ Ｙ
…
—
其 中 ７ ａｉ ａ ， （ 一 ） （ － ａ ） ｝ Ｉ Ｉ ｓ ｐ Ｉ （） ， Ｉ（ ）Ｉ一 Ｉ ＋ Ｉ ． ＝ｒ ｎ｛ｔ ａ １ ／ ／１ ｔ ， ／ Ｉ — ｕ “ ￡ Ｉ令 １ ， １ １ Ｉ “Ｉ １ １ Ｉ ｚ １ Ｙ
则 Ｆ 在 ｎ（／＼ ） ｉ２ 中至 少 有 一个 不 动点 ． ＇ 容 易 验 证 方 程 组 （） １ 等价 于 以 下 积 分 方 程 组
（ ） 一 一 ｆ （ ｆ— ｓ） ， ） ｊ （ ｓ一 ｏ ｔ ｔ
Ｊ（ 一 ［ ＂
。
ｓ ｊ（ ） ），ｓ
＋ 『＝
∽ 一 一
（ １一
ｉ ｆ （ ） ７ｌ ｎｕ ｔ ＞ “ ｌ
， ［ ∈ ¨
引 理 ３。 设 Ｏ ａ ｌＴ 若 ＹＥＣ［ ，３ ［ ＜ ￣ ／， ］ ｏ １ 且 三 ０ 则 （ ） 唯 一 解 Ｕ满 足 三 ， ２的
］
ｌ， 中 ｙ ｌ其 —ｍｉ 口 ， （ —７ ／ 一口 ， ｝ ｎ：】 口 １ ） １ 】 】 ・ ７ ７ ７
∽
（ ｊ）ｆ ，，（）
＠ ｃ ∽
＇ （ － ｓ ｙ（ ） ｔ－ ） ｓ ｄｓ一
ｏ
＋ｒ （一ｓ，） Ｂｚｊ（ 兰 １ ）（ ｊｓ （， ｆ ，） ）
记 Ｆ ， （） （ ｚ， （） Ｂ（ ） ｆ ） Ｘ＝ＣＥ ， ］ 定 义 如 下锥 ： ） ｆ 一 Ａ（ ） ｆ ， ｘ， （） ， Ｏ１。
摘 要 ：本 文 考 虑 二 阶 三 点 边 值 边 值 方 程 组 的 正 解 存 在 性 ， 出 了 在 超 线 性 或 次 线 性 条 件 下 给
正 解存 在 的充分 条件 ．
关 键 词 ：三 点 边 值 问 题 ； 程 组 ； 解 ； 方 正 锥
Ｍ Ｒ（ ０ ０ 主 题 分 类 号 ：３ Ｂ１ ２０ ） ４ ５ 中 图 法 分 类 号 ： ７ ． ０１ ５ １
－
收 稿 日期 ： ０ ０ ０ — ５ ２ ０ — ５１ ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
接 受 日期 ：２ ０ — １ ０ ０ ０ １－ ６
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４６ ３
数
学
杂
志
ＶＯ． ２ Ｉ２
引理 ４
设 Ｂ是 Ｂ ｎｃ ａ ａ ｈ空 间 ， Ｋ Ｂ 是 Ｂ 中 的 一 个 锥 ， ， 为 Ｂ 中 的有 界 开 集 ，
点 方 程 组 的研 究 尚不 多见 ， 文 试 图 利 用 锥 上 的不 动点 定 理 ， 论 在 超 线 性或 次线 性 情形 下 本 讨 三 点 边 值 方 程 组 的 正解 存 在 性 结 果 ．
１ 预 备 引 理
引理 ｌ。 设 叼 ≠ １ 则 对 ｙＥＣＥ ， ３ 方 程 ［ ， ｏ１， ”＋ （）＝ ０ ｔＥ ［ ， ３ ｆ ０ １
引 理 ５ Ｆ： — 全 连 续 且 Ｆ（ ） Ｋ Ｋ Ｃ
证 由 Ａｒｅａ Ａｓｏｉ ｚｌ－ ｃ ｌ 定理 易 知 Ｆ 全 连 续 ．
ｍ ｉ Ａ（ ｊ） 三 ７ｌ ｎ ， （）三 ， 三 ｌ
１ ］
对Ｖ （ ｊ ∈Ｋ， ， ） ， 由引 理 ４知 ｍｉ Ｂ（ ｊ）ｆ 三 ｙ Ｉ ｘ，， ｌ ｎ ｘ， （）三 Ｂ（ ｊ ， 三 Ｉ ）ｌ
ａ／ ｌ； ｒ ￣ ０＜ ｆ １． ＜
关 于 类 似 方 程 组 的两 点 边 值 问题 在 文 ［ ］ 已 有 研 究 ， ｎ １中 Ｆｉｋ针 对 一个 参 数 用 打 靶 法 研 究 了 方 程 组 解 与 的关 系 ， Ｅ Ｉ Ｄｕ ｎｎ ｅ 文 ２中 ｎ ｉｇ ｒ研 究 了 椭 圆方 程 组 的正 解 存 在 性 ． 于 多 对
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Ｖｏ ． ２ ２ ０ ） １２ （ ０ ２
Ｎ ｏ．４
数 学 杂 志
Ｊ ｏ ａ ｈ． ＰＲＣ） ． ｆＭ ｔ （
二 阶三 点 方 程 组 的正 解 存 在 性 。
吴 红 萍
（ 北 师 范大 学数 学 系 ， 州 ， ３ ０ ０ 西 兰 ７０７）
文 献标 识码 ： Ａ
文 章 编 号 ： ０ ５ — ７ ７ ２ ０ ）４ ０ ３ — ４ ２ ５７ ９ （０ ２ ０ —４ ５０
考 虑 如 下 边 值 问题
ｆ ＋ （） ‘ ）一 ０ ｆ／（ ｚ，
【 ０ Ｘ（ ）一 （ ）一 ０ ０
Ｙ ”＋ １ （） ｚ， １ ｆｇ（ ）一 ０ ５
（ ） １
Ｏ ）一 （ ） ｔ Ｘ（ １，
ａ ｙ ｙ（ ）一 （ ） １
（ Ｈ）ｆ， ［ ， 。 ×［ ， 。 一 ［ ，。 ｇ： ０ 。 ） ０ 。 ） ０ 。 ）连 续 ； ＞ ０ ＞ ０ “， ： ０ １ 一 ［ ， 。 连 续 ０ ｒ ｌ ２ ， ； ｂ［ ，］ ０。］ ＜／ ， ＜