一类幂等半环的性质和结构
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上 也有 记 号 和 Ｌ ． 于其 他 的 Ｇｒｅ 。关 ｅ ｎ关 系 ，
ａ ｂ Ｓ 则 有 ，∈ ，
， ， 也 有 类 似 的记 号． 样 ， Ｓ是 幂 等 元 半 环 ， 这 若
ａ黝 ㈢ ａ —ａ和 ｂ ｂ ａ— ｂ， ａ珊 ㈢ ｎ 一 ｂ和 ｂ ６ ａ＝ ａ， ａ ６㈢ ａ ａ— ａ 和 ｂ ｂ ｂ ｂ ａ — ，
［ 图分 类 号 ］ Ｏ１ ３ 中 ５
［ 献标识码］Ａ 文
［ 章 编 号 ］ １７ —４ ４ ２ ０ ）５０ １－５ 文 ６ ２１５ （０ ７ ０— １９０
１ 引
言
半 环 （ ， ， 是 一个 代数 ， 里 （ ＋） （ ・） 是 半 群 ， 满 足分 配 律 （ Ｓ ＋ ・） 这 Ｓ， 和 Ｓ， 都 且 ｙ＋ｚ ≈ ＋ｘ ） ｚ和 （ ＋ ） ≈ｚ ＋ ｚ 若 半群 ｓ的每一 元 都是 幂等 元 ， 称半 群 Ｓ是 带 ． 环 （ ＋ ， 称 为 幂等 元 半环 ， ｚ ｚ ｚ ． 则 半 Ｓ， ・） 如果 它的加 法半 群 （ ＋） Ｓ， 和乘 法半 群 （ Ｓ，・ 都 是带 ． ） 于是 ， 个半 环 是幂 等 半环 ， 果 它满 足 附加 恒 等 一 如 式 ＋ ≈ 和 ． ． ７ 幂等半 环 的全体 是 满 足 上述 分 配 律 与 附加 恒 等 式 的半 环 类 ， 为幂 等 元 半环 ７ ７ Ｃ Ｃ・ Ｃ ， ￣． 称 簇 ， 为 ． 记 在 半环 理论 中 ， 环结 构是 一项 重要 的研 究 内容 ， 半 幂等 元半 环是 半环结 构 研究 的纽 带． 近几年 ， 有许 多 文献 致力 于幂 等元 半环 的研究 ． 了推 广 Ｓ ｎ Ｇｕ 为 ｅ ， ｏ和 Ｓ ｕ 在 文献 ［ ］ ｈｍ １ 中的 工 作 ， 也为 了引 进和
朱 天 民 ， 赵 小 鹏
（ 南 师 范 学 院 数 学 与应 用 数 学 研 究 所 ， 西 渭 南 ７ ４ ０ ） 渭 陕 １ ００
［ 摘 要 ］ 研 究 了加 法 半 群 为半 格 的 半环 类 ｓ 中 的乘 法 带 半 环 和 矩 形 带 半 环 类 Ｂ 中 的 乘 法 带 半 环 ； Ｒ 给 出 了 Ｉ 半 环 中乘 法 带 半 环 的结 构 定 理 ， Ｉ Ｄ 即 ＤｎＲ。 Ｄ—Ｌ ＶＲ ＶＤ． ［ 键 词 ］ 乘 法 带 半 环 ；Ｄ 半 环 ； 关 Ｉ 次直 积 分 解
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第２ ３卷 第 ５期
２０ ０ ７年 １ 月 ０
大 学 数 学
Ｃ（ ＬＩＥＧ Ｅ ＡＴ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ ） Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ３， ． １２ № ５
Ｏ ｃ ．２ ０ ｔ ０７
一
类 幂 等 半 环 的性 质 和结 构
研 究所谓 的乘 法 Ｃ ｌｏ ｄ半环 ， 献 ［ ］ ｌｆｒ ｉ 文 ５ 首先 研究 了幂 等元 半环 族 的子 簇Ｒ。 称 其 成员 为乘 法 带半 环 ， Ｄ，
它 们是满 足恒 等式 ＋ ≈ 和 ｘ ｘ＋ ≈ 的 幂等 元 半 环 的全 体 ． 文 首 先对 加 法 半群 是 半 格 的乘 ｙ 本 法 带半环 作深 入研 究 ， 到乘 法 带半 环 的一些性 质 ， 得 最后 给 出幂等 分 配半环 中乘 法带 半 环的结 构． 有关 半群 和泛 代数 的知 识 ， 可分别 参考 ［ ，］ 下 列 概念 和符 号 对研 究 是 必 要 的． ８９． 对任 一 半 环 Ｓ， 它 的乘 法半 群上 的 Ｇｒｅ ’ 关 系 为记 ， ｅｎ Ｓ Ｓ中任 一 元 素 “所在 的 类 记 为Ｌ ． 相应 地 ， Ｓ的 加 法半 群 在
设 为 给定 的半 群类 ， 用 ［ 表示乘 ［ ］ ］ 加 法半 群属 于 的半 环 的全体． 对本 文 中所 涉及 到 的半 环
类 ， 用 文献 ［ ］ 延 ５ 的记 法．
２ 加 法 半 群 为 半 格 的 乘 法 带 半 环 的 性 质
我们 用５ 表示 加法 半群 是半 格 的幂等元 半环 的全 体 ， 它是 满 足 附加 恒 等式 ＋ ≈ ＋ 的幂 等 元
＋
ａ
㈢ ａ＋ ｂ ａ和 ｂ＋ ａ— ｂ — ，
ａ珊 ㈢ ａ＋ ｂ ｂ和 ｂ＋ ａ一 Ⅱ， ＝ ａ 『㈢ ａ ｂ ａ— ｎ 和 ｂ＋ ａ＋ ６ ｂ ） ＋ ＋ 一 ．
两个 幂等元 半环类 和 ｗ 的 Ｍａ’ｅ ｌｃｖ的积 记为 。 ， ｗ 它是幂 等元 半环 类 ｛ ｌ Ｊ ｏ （ ） ｓ ｐ Ｓ∈ （ ０ ∈Ｃ ｎ Ｓ ） ／
大 学 数 学
第 ２ ３卷
∈ｗ 和（ ＥＳ ∈Ｖ｝这 里 是 幂等元 半 环 的全 体 和 Ｃ ｎ Ｓ 是幂 等元 半环 Ｓ上 同余 的全体 ． Ｖａ ） ， ｏ （）
为 了研 究和 应用方 便 ， 出一 些 带簇 （ 给 即幂 等元 半 群簇 ） 的记 号 和 相应 的恒 等 式 ， 用乘 法 的形 式 并
［ 稿 日期 ］ ２ ｏ— ２１ 收 ｏ ５１－ ２ ［ 金 项 目］ 陕 西 省 自然 科 学 研 究 项 目（Ｏ ３ Ｏ 资 助 ； 南 师 范 学 院科 研 项 目（６ Ｓ ２ ） 助 基 ２ Ｏ ＡＬ ） 渭 ０ ＹＫ ０ １ 资
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１０ ２
给 出
左 零带族 右 零带族 半格 族
矩形 带簇
Ｌ： ｘ ｙ≈ｚ， Ｒ ≈ ， Ｓ ｘ ｙ￣ｙ ｘ，
Ｒ ｘ ｘ≈ ， ｙ
左 正则带 簇 右 正则带 簇
正规 带簇
Ｌ ｘ ｘ￣ｘ Βιβλιοθήκη ｙ ｙ， Ｒ ｘ ｘ≈ ｙ ｚ，
Ｎ ｘ ｚ ￣ｘ ｙ ． ｙｘ ｚ ｘ
半环簇 的子簇． Ｂ 表示 加法 半群 和乘法 半群 都是 矩形 带 的幂 等元 半环 的全 体 ， 是满 足 附加 恒等 式 用 Ｒ 它
＋ ＋ ≈ 和 ｘ ｘ≈ 的幂 等元 半环簇 的 子簇． ｙ 引理 １５ 设 Ｓ为幂等 元半 环 ， 下列命 题 等价 ＿ ｌ ］ 则 （） 是 Ｓ上 的最 小分 配格 同余 ； ｉ
上 也有 记 号 和 Ｌ ． 于其 他 的 Ｇｒｅ 。关 ｅ ｎ关 系 ，
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［ 图分 类 号 ］ Ｏ１ ３ 中 ５
［ 献标识码］Ａ 文
［ 章 编 号 ］ １７ —４ ４ ２ ０ ）５０ １－５ 文 ６ ２１５ （０ ７ ０— １９０
１ 引
言
半 环 （ ， ， 是 一个 代数 ， 里 （ ＋） （ ・） 是 半 群 ， 满 足分 配 律 （ Ｓ ＋ ・） 这 Ｓ， 和 Ｓ， 都 且 ｙ＋ｚ ≈ ＋ｘ ） ｚ和 （ ＋ ） ≈ｚ ＋ ｚ 若 半群 ｓ的每一 元 都是 幂等 元 ， 称半 群 Ｓ是 带 ． 环 （ ＋ ， 称 为 幂等 元 半环 ， ｚ ｚ ｚ ． 则 半 Ｓ， ・） 如果 它的加 法半 群 （ ＋） Ｓ， 和乘 法半 群 （ Ｓ，・ 都 是带 ． ） 于是 ， 个半 环 是幂 等 半环 ， 果 它满 足 附加 恒 等 一 如 式 ＋ ≈ 和 ． ． ７ 幂等半 环 的全体 是 满 足 上述 分 配 律 与 附加 恒 等 式 的半 环 类 ， 为幂 等 元 半环 ７ ７ Ｃ Ｃ・ Ｃ ， ￣． 称 簇 ， 为 ． 记 在 半环 理论 中 ， 环结 构是 一项 重要 的研 究 内容 ， 半 幂等 元半 环是 半环结 构 研究 的纽 带． 近几年 ， 有许 多 文献 致力 于幂 等元 半环 的研究 ． 了推 广 Ｓ ｎ Ｇｕ 为 ｅ ， ｏ和 Ｓ ｕ 在 文献 ［ ］ ｈｍ １ 中的 工 作 ， 也为 了引 进和
朱 天 民 ， 赵 小 鹏
（ 南 师 范 学 院 数 学 与应 用 数 学 研 究 所 ， 西 渭 南 ７ ４ ０ ） 渭 陕 １ ００
［ 摘 要 ］ 研 究 了加 法 半 群 为半 格 的 半环 类 ｓ 中 的乘 法 带 半 环 和 矩 形 带 半 环 类 Ｂ 中 的 乘 法 带 半 环 ； Ｒ 给 出 了 Ｉ 半 环 中乘 法 带 半 环 的结 构 定 理 ， Ｉ Ｄ 即 ＤｎＲ。 Ｄ—Ｌ ＶＲ ＶＤ． ［ 键 词 ］ 乘 法 带 半 环 ；Ｄ 半 环 ； 关 Ｉ 次直 积 分 解
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Ｖｏ ． ３， ． １２ № ５
Ｏ ｃ ．２ ０ ｔ ０７
一
类 幂 等 半 环 的性 质 和结 构
研 究所谓 的乘 法 Ｃ ｌｏ ｄ半环 ， 献 ［ ］ ｌｆｒ ｉ 文 ５ 首先 研究 了幂 等元 半环 族 的子 簇Ｒ。 称 其 成员 为乘 法 带半 环 ， Ｄ，
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设 为 给定 的半 群类 ， 用 ［ 表示乘 ［ ］ ］ 加 法半 群属 于 的半 环 的全体． 对本 文 中所 涉及 到 的半 环
类 ， 用 文献 ［ ］ 延 ５ 的记 法．
２ 加 法 半 群 为 半 格 的 乘 法 带 半 环 的 性 质
我们 用５ 表示 加法 半群 是半 格 的幂等元 半环 的全 体 ， 它是 满 足 附加 恒 等式 ＋ ≈ ＋ 的幂 等 元
＋
ａ
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两个 幂等元 半环类 和 ｗ 的 Ｍａ’ｅ ｌｃｖ的积 记为 。 ， ｗ 它是幂 等元 半环 类 ｛ ｌ Ｊ ｏ （ ） ｓ ｐ Ｓ∈ （ ０ ∈Ｃ ｎ Ｓ ） ／
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∈ｗ 和（ ＥＳ ∈Ｖ｝这 里 是 幂等元 半 环 的全 体 和 Ｃ ｎ Ｓ 是幂 等元 半环 Ｓ上 同余 的全体 ． Ｖａ ） ， ｏ （）
为 了研 究和 应用方 便 ， 出一 些 带簇 （ 给 即幂 等元 半 群簇 ） 的记 号 和 相应 的恒 等 式 ， 用乘 法 的形 式 并
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给 出
左 零带族 右 零带族 半格 族
矩形 带簇
Ｌ： ｘ ｙ≈ｚ， Ｒ ≈ ， Ｓ ｘ ｙ￣ｙ ｘ，
Ｒ ｘ ｘ≈ ， ｙ
左 正则带 簇 右 正则带 簇
正规 带簇
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Ｎ ｘ ｚ ￣ｘ ｙ ． ｙｘ ｚ ｘ
半环簇 的子簇． Ｂ 表示 加法 半群 和乘法 半群 都是 矩形 带 的幂 等元 半环 的全 体 ， 是满 足 附加 恒等 式 用 Ｒ 它
＋ ＋ ≈ 和 ｘ ｘ≈ 的幂 等元 半环簇 的 子簇． ｙ 引理 １５ 设 Ｓ为幂等 元半 环 ， 下列命 题 等价 ＿ ｌ ］ 则 （） 是 Ｓ上 的最 小分 配格 同余 ； ｉ