十年高考数学真题分类解析_第4章__三角函数[1]
高考数学10年真题解析— 三角函数图象与性质
三角函数图象与性质年份题号考点考查内容2011课标理11三角函数性质三角函数的周期性、奇偶性、单调性课标文11三角函数性质三角公式、诱导公式、三角函数的性质及分析处理问题能力．2012课标理9三角函数性质三角函数的单调性课标文9三角函数性质三角函数的对称轴等性质2013卷2文16三角函数图像变换三角函数图像平移变换2014卷1文7三角函数图像本三角函数的周期性．2015卷1理8文8三角函数图像已知三角函数图像求解析式及三角函数的单调性．2016卷3理14三角函数图像变换两角和与差的三角公式及图像平移变换．卷1文6三角函数图像变换三角函数周期、三角函数的平移变换．卷2文3三角函数图像已知三角函数图像求解析式卷3文14三角函数图像辅助角公式及三角函数平移变换．2017卷1理9三角函数图像变换诱导公式、三角函数图像变换，化归与转化思想卷3理6三角函数性质三角函数周期、对称性、零点与单调性．卷2文3三角函数性质三角函数周期性2018卷2理10三角函数性质辅助角公式、三角函数的单调性，运算求解能力与化归与转化思想．卷3理15三角函数性质三角函数的零点、转化与化归思想与运算求解能力卷2文10三角函数性质辅助角公式、三角函数的单调性，运算求解能力与化归与转化思想．卷3文6同角三角函数基本关系三角函数性质同角三角函数基本关系与三角函数的周期，运算求解能力与化归与转化思想．2019卷2理9三角函数性质含绝对值的三角函数的周期性与单调性，转化与化归思想．卷3理12三角函数性质含绝对值的三角函数的周期性、单调性、极值与零点，转化与化归思想．卷1文15三角函数性质诱导公式、三角函数的最值，转化与化归思想．卷2文8三角函数性质三角函数的极值、周期等性质．2020卷1理7三角函数图象及其性质三角函数的图象，三角函数的周期性文7三角函数图象及其性质三角函数的图象，三角函数的周期性卷3理16三角函数图象及其性质三角函数最值，三角函数图象的对称性文12三角函数图象及其性质三角函数最值，三角函数图象的对称性考点39三角函数性质1．(2020全国Ⅲ文12理16)已知函数()1sin sin f x x x=+，则()A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称【答案】D【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A ；根据奇偶性可判断B ；根据对称性判断C ，D ．【解析】sin x 可以为负，所以A 错；()()()1sin 0,,sin sin x x k k f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-Z Q Q ，()f x ∴关于原点对称；11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x xππ-=--≠-=+=Q 故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对，故选D ．2．(2019•新课标Ⅱ，理9)下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π单调递增的是()A ．()|cos 2|f x x =B ．()|sin 2|f x x =C ．()cos ||f x x =D ．()sin ||f x x =【答案】A【解析】()sin ||f x x =不是周期函数，可排除D 选项；()cos ||f x x =的周期为2π，可排除C 选项；()|sin 2|f x x =在4π处取得最大值，不可能在区间(4π，)2π单调递增，可排除B ．故选A ．3．(2019•新课标Ⅲ，理12)设函数()sin(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是12[5，29)10其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】当[0x ∈，2]π时，[55x ππω+∈，25ππω+，()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点，5265πππωπ∴+< ，∴1229510ω<，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当(0,)10x π∈时，[55x ππω+∈，(2)]10ωπ+，若()f x 在(0,10π单调递增，则(2)102ωππ+<，即3ω<，1229510ω<，故③正确，故选D ．4．(2019•新课标Ⅱ，文8)若14x π=，234x π=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则(ω=)A ．2B ．32C ．1D ．12【答案】A 【解析】14x π= ，234x π=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，322()44T ππππω∴=-==，2ω∴=，故选A ．5．(2018•新课标Ⅱ，理10)若()cos sin f x x x =-在[a -，]a 是减函数，则a 的最大值是()A ．4πB ．2πC ．34πD ．π【答案】A【解析】()cos sin (sin cos )2sin()4f x x x x x x π=-=--=--，由ππk 22+-≤πππk x 224+≤-，k Z ∈，得ππππk x k 24324+≤≤+-，k Z ∈，取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，由()f x 在[a -，]a 是减函数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥-434ππa a ，∴4π≤a ，则a 的最大值是4π，故选A ．6．(2018•新课标Ⅱ，文10)若()cos sin f x x x =-在[0，]a 是减函数，则a 的最大值是()A ．4πB ．2πC ．34πD ．π【答案】C【解析】()cos sin (sin cos )2sin()4f x x x x x x π=-=--=--，由22422πππππ+≤-≤+-k x k ，k Z ∈，得43224ππππ+≤≤+-k x k ，k Z ∈，取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，由()f x 在[0，]a 是减函数，得43π≤a ，则a 的最大值是34π，故选C ．7．(2018•新课标Ⅲ，文6)函数2tan ()1xf x tan x=+的最小正周期为()A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】C【解析】函数222tan sin cos 1()sin 21cos sin 2x x x f x x tan x x x ===++的最小正周期为22ππ=，故选C ．8．(2017新课标卷3，理6)设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是()A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D ．9．(2017新课标卷2，文3)函数()f x =πs i n （2x +）3的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】C【解析】由题意22T ππ==，故选C ．10．(2014新课标I ，文7)在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y =，③)62cos(π+=x y ，④42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③【答案】C【解析】∵|2|cos x y ==cos 2x ，∴T =22π=π；由|cos |x y =图像知其周期为π，由周期公式知，62cos(π+=x y 为π，)42tan(π-=x y 为2π，故选C ．11．(2012全国新课标，理9)已知ω＞0，函数()f x =sin()4x πω+在(2π，π)单调递减，则ω的取值范围是()A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0，2]【答案】A【解析】∵ω＞0，x ∈(2π，π)，∴4x πω+∈(24ωππ+，4πωπ+)，∵()f x =sin()4x πω+在(2π，π)单调递减，∴(24ωππ+，4πωπ+)⊂(2π，32π)，∴2π≤24ωππ+且4πωπ+≤32π，解得12≤ω≤54，故选A ．12．(2012全国新课标，文9)已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=()(A)π4(B)π3(C)π2(D)3π4【答案】A【解析】由题设知，πω=544ππ-，∴ω=1，∴4πϕ+=2k ππ+(k Z ∈)，∴ϕ=4k ππ+(k Z ∈)，∵0ϕπ<<，∴ϕ=4π，故选A ．13．(2011全国课标，理11)设函数()f x =sin()cos()x x ωϕωϕ+++(ω＞0，||ϕ＜2π)的最小正周期为π，且()f x -=()f x ，则()f x (A)在(0，2π)单调递减(B)在(4π，34π)单调递减(C)在(0，2π)单调递增(D)在(4π，34π)单调递增【答案】A【解析】∵()f x +4x πωϕ+，由题意知2πω=π且+4πϕ=2k ππ+，解得ω=2，ϕ=4k ππ+，又∵||ϕ＜2π，∴ϕ=4π，∴()f x +)2x π2x ，当x ∈(0，2π)时，2x ∈(0，π)，故()f x 在(0，2π)单调递减，故选A ．14．设函数()f x =sin(2cos(244x x ππ+++，则y =()f x (A)在(0，2π)单调递增，其图像关于直线x =4π对称(B)在(0，2π)单调递增，其图像关于直线x =2π对称(C)在(0，2π)单调递减，其图像关于直线x =4π对称(D)在(0，2π)单调递减，其图像关于直线x =2π对称【答案】D【解析】()f x =sin(2cos(2)44x x ππ+++2x π+2x ，∵2u x =在(0，2π)上是增函数，值域为(0,)π，y u =在(0,)π是减函数，∴()f x 在(0，2π)是减函数，又∵(4f π)4π⨯=0，不是最值，()2f π2π⨯）=是最小值，∴()f x 图像关于直线x =2π对称，故选D ．15．(2017天津)设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A 【解析】由题意5π8x =取最大值，11π8x =与x 相交，设()f x 周期为T ，所以11538844T πππ-==或34T，所以3T π=或T π=，又()f x 的最小正周期大于2π，所以3T π=，所以223T πω==，排除C 、D ；由5π()28f =，即252sin()238πϕ⨯+=，102242k ππϕπ+=+，即212k πϕπ=+，令0k =，12πϕ=．选A ．16．(2015四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是A ．cos(22y x π=+B ．sin(2)2y x π=+C ．sin 2cos 2y x x =+D ．sin cos y x x=+【答案】A【解析】由cos(2sin 22y x x π=+=-，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A ．17．(2015安徽)已知函数()()sin f x Αx ωϕ=+(Α，ω，ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是A ．()()()220f f f <-<B ．()()()022f f f <<-C ．()()()202f f f -<<D ．()()()202f f f <<-【答案】A【解析】∵()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期为π，且23x π=是经过函数()f x 最小值点的一条对称轴，∴2326x πππ=-=是经过函数()f x 最大值的一条对称轴．∵12|2|66ππ--=，512|(2)|66πππ---=，|0|66ππ-=，∴|2||(2)||0|666ππππ->-->-，且2233ππ-<<，2233πππ-<-<，2033ππ-<<，∴(2)(2)(0)f f f π<-<，即(2)(2)(0)f f f <-<，故选A ．18．(2011山东)若函数()sin f x x ω=(ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=A ．23B ．32C ．2D ．3【答案】B【解析】由于()sin f x x ω=的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象可知，3π为函数()f x 的四分之一周期，故243ππω=，解得32ω=．19．(2011安徽)已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且(()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】因为当x R ∈时，()|(|6f x f π≤恒成立，所以()sin()163f ππϕ=+=±，可得26k πϕπ=+或526k πϕπ=-，k Z ∈，因为()sin()sin ()sin(2)sin 2f f ππϕϕππϕϕ=+=->=+=，故sin 0ϕ<，所以526k πϕπ=-，所以5()sin(26f x x π=-，由5222262k x k πππππ-+-+≤≤(k Z ∈)，得263k x k ππππ++≤≤(k Z ∈)，故选C ．20．(2019•新课标Ⅰ，文15)函数3()sin(23cos 2f x x x π=+-的最小值为．【答案】4-【解析】3()sin(23cos 2f x x x π=+- 2cos 23cos 2cos 3cos 1x x x x =--=--+，令cos t x =，则11≤≤-t ，2()231f t t t =--+ 的开口向上，对称轴34t =-，在[1-，1]上先增后减，故当1t =即cos 1x =时，函数有最小值4-．21．(2018•新课标Ⅲ，理15)函数()cos(36f x x π=+在[0，]π的零点个数为．【答案】3【解析】()cos(3)06f x x π=+= ，362x k πππ∴+=+，k Z ∈，193x k ππ∴=+，k Z ∈，当0k =时，9x π=，当1k =时，49x π=，当2k =时，79x π=，当3k =时，109x π=，[0x ∈ ，]π，9x π∴=，或49x π=，或79x π=，故零点的个数为3．22．(2018北京)设函数π()cos(0)6f x x ωω=->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___．【答案】23【解析】由于对任意的实数都有π()(4f x f ≤成立，故当4x π=时，函数()f x 有最大值，故(14f π=，246k πωππ-=(k ∈Z )，∴283k ω=+(k ∈Z )，又0ω>，∴min 23ω=．23．(2018江苏)已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是．【答案】π6-【解析】由函数sin(2)(22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，得2sin()13πϕ+=±，因为22ϕππ-<<，所以27636πππϕ<+<，则232ππϕ+=，6πϕ=-．24．(2011安徽)设()f x =sin 2cos 2a x b x +，其中,a b ∈R ，0ab ≠，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11()012f π=②7()10f π＜()5f π③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像不相交以上结论正确的是(写出所有正确结论的编号)．【答案】①③【解析】()sin 2cos 2)f x a x b x x ϕ=+=+(其中tan baϕ=)，因此对一切x R ∈，()|()|6f x f π≤恒成立，所以sin()13πϕ+=±，可得()6k k Z πϕπ=+∈，故())6f x x π=+．而1111(012126f πππ=⨯+=，所以①正确；74717|()||||123030f πππ==，17|()||530f ππ=，所以7|()||()|105f f ππ=，故②错；③明显正确；④错误：由函数())6f x x π=+和()6f x x π=+的图象(图略)可知，不存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图象不相交，故⑤错误．25．(2017浙江)已知函数22()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ．(Ⅰ)求2(3f π的值；(Ⅱ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【解析】(Ⅰ)由2sin32π=，21cos 32π=-，2()3f π223131(()2222=---⨯-得2()23f π=．(Ⅱ)由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 222sin(26f x x x x π=-=-+所以()f x 的最小正周期是π由正弦函数的性质得3222262k x k πππππ+++≤≤，k ∈Z 解得263k x k ππππ++≤≤，k ∈Z 所以()f x 的单调递增区间是2[,]63k k ππππ++(k ∈Z )．26．(2013北京)已知函数21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+(1)求()f x 的最小正周期及最大值；(2)若(,)2παπ∈，且2()2f α=，求α的值．【解析】：(1)21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+1cos 2sin 2cos 42x x x =+11sin 4cos 422x x=+2sin(424x π=+所以，最小正周期242T ππ==当4242x k πππ+=+(k Z ∈)，即216k x ππ=+(k Z ∈)时，max 2()2f x =．(2)因为22()sin(4242f παα=+=，所以sin(4)14πα+=，因为2παπ<<，所以9174444πππα<+<，所以5442ππα+=，即916πα=．27．(2012广东)已知函数()2cos()6f x x πω=+，(其中0ω>，x R ∈)的最小正周期为10π．(1)求ω的值；(2)设,[0,2παβ∈，56(5)35f απ+=-，516(5)617f βπ-=，求cos()αβ+的值．【解析】(1)21105T ππωω==⇔=．(2)56334(5)cos(sin ,cos 352555f ππαααα+=-⇔+=-⇔==516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔==．4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-．28．(2018上海)设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+．(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；(2)若(14f π=+，求方程()1f x =-ππ-［，］上的解．【解析】(1)若()f x 为偶函数，则对任意∈R x ，均有()()=-f x f x ；即22sin 22cos sin 2()2cos ()+=-+-a x x a x x ，化简得方程sin 20=a x 对任意∈R x 成立，故0=a ；(2)2()sin(22cos (11444πππ=⨯+=+=+f a a ，所以=a故2()22cos =+f x x x ．则方程()1=f x 222cos 1+=x x ，222cos 1+-=x x ，化简即为2sin(26π+=x ，即2sin(2)62π+=-x ，解得1124ππ=-+x k 或524ππ'=-+x k ，,'∈Zk k 若求该方程在[,]ππ-上有解，则1335[,2424∈-k ，1929[,]2424'∈-k ，即0=k 或1；0'=k 或1，对应的x 的值分别为：1124π-、1324π、524π-、1924π．考点40三角函数图像1．(2020全国Ⅰ文理7)设函数()cos π6f x x ω=+⎛⎫⎪⎝⎭在[],-ππ的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为()A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C【思路导引】由图可得：函数图像过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图像与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解．【解析】由图可得：函数图像过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图像与x 轴负半轴的第一个交点，∴4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=，∴函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===，故选C ．2．(2020浙江4)函数cos sin y x x x =+在区间[],-ππ的图像大致为()A ．B ．C ．D．【答案】A【思路导引】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图像．【解析】()()()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x -=--+-=-+=-，[],x ππ∈-，∴函数是奇函数，故排除C ，D ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos sin 0x x x +>，∴排除B ，故选A ．3．(2020山东10)右图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()=x ωϕ+()A ．πsin()3x +B ．πsin(2)3x -C ．πcos(2)6x +D ．5πcos(2)6x -【答案】BC【思路导引】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果．【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A ，当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，故选BC ．4．(2016全国新课标卷2，文3)函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则(A)2sin(2)6y x π=-(B)2sin(2)3y x π=-(C)2sin(+)6y x π=(D)2sin(+)3y x π=【答案】A5．(2015新课标Ⅰ，理8)函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为()(A)(kπ−14，kπ+34，)，k ∈ (B)(2kπ−14，2kπ+34)，k ∈ (C)(k −14，k +34)，k ∈(D)(2k −14，2k +34)，k ∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为(124k -，324k +)，k Z ∈，故选D ．6．(2011辽宁)已知函数)(x f =A tan(ωx +ϕ)(2||,0πϕω<>)，y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πf A ．3B 3C ．33D ．23-【答案】B【解析】半周期为3884πππ-=，即最小正周期为2π，所以2ω=．由题意可知，图象过定点3(,0)8π，所以30tan(2)8A πϕ=⨯+，即34k πϕπ+=()k Z ∈，所以3()4k k Z πϕπ=-∈，又||2πϕ<，所以4πϕ=，又图象过定点(0,1)，所以1A =．综上可知()tan(2)4f x x π=+，故有(tan(2)tan242443f ππππ=⨯+==7．(2014江苏)已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是．【答案】6π【解析】由题意交点为1(,)32π，所以21sin()32πϕ+=，又0ϕπ<≤，解得6πϕ=．8．(2011江苏)函数()sin(),(,,f x A x A w ωϕϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则(0)f =．【答案】62【解析】由图可知：A =，741234T πππ=-=，所以T π=，22T πω==，又函数图象经过点(,0)3π，所以23πϕπ⨯+=，则3πϕ=，故())3f x x π=+，所以6(0)32f π==．9．(2012湖南)函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y轴的交点，A ，C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点．(1)若6πϕ=，点P 的坐标为(0，332)，则ω=；(2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为．【答案】(1)3；(2)4π【解析】(1)()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为(0，332)时33cos ,362πωω=∴=；10．(2016江苏省)定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是．【答案】7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．11．(2012湖南)已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(,x R ∈0ω>，0)2πϕ<<的部分图像如图所示．(Ⅰ)求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)求函数()(()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间．【解析】(Ⅰ)由题设图像知，周期11522(),21212T Tππππω=-=∴==．因为点5(,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即．又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+ 从而，即=6πϕ．又点0,1（）在函数图像上，所以sin1,26A A π==，故函数()f x 的解析式为()2sin(26f x x π=+(Ⅱ)()2sin[2()2sin[2()]126126g x x x ππππ=-+-++2sin 22sin(23x x π=-+132sin 22(sin 2cos 2)22x x x =-+sin 232x x =-2sin(23x π=-由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦考点41三角函数图像变换1．(2020天津8)已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【思路导引】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可．【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin(3y x π=+的图象，故③正确．故选B ．2．(2017课标卷1，理9)已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是()A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C B ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理，πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ，注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ，根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．3．(2016•新课标Ⅰ，文6)将函数2sin(26y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A ．2sin(2)4y x π=+B ．2sin(2)3y x π=+C ．2sin(2)4y x π=-D ．2sin(23y x π=-【答案】D【解析】函数2sin(26y x π=+的周期为22T ππ==，由题意即为函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移4π个单位，可得图象对应的函数为2sin[2()]46y x ππ=-+，即有2sin(2)3y x π=-，故选D ．4．(2016北京)将函数sin(23y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s (0s >)个单位长度得到点P '．若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则A ．12t =，s 的最小值为6πB ．32t =，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．32t =，s 的最小值为3π【答案】A 【解析】因为点(,)4P t π在函数sin(23y x π=-的图象上，所以sin(2)43t ππ=⨯-=1sin 62π=，又1(,42P s π'-在函数sin 2y x =的图象上，所以1sin 2()24s π=-，则2()246s k πππ-=+或52()246s k πππ-=+，k Z ∈，得6s k ππ=-+或6s k ππ=--，k Z ∈．又0s >，故s 的最小值为6π，故选A ．5．(2019天津理7)已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且π4g ⎛⎫=⎪⎝⎭，则3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．CD ．2【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，所以0ϕ=，()sin f x A x ω=．将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为()g x ，即()1sin 2g x A x ω⎛⎫=⎪⎝⎭，因为()g x 的最小正周期为2π，所以2212ωπ=π，得2ω=，所以()sin g x A x =，()sin 2f x A x =．若24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2sin 2442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，即2A =，所以()2sin 2f x x =，3322sin 22sin 228842f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．6．(2015山东)要得到函数4sin(4)3y x π=-的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像A ．向左平移12π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位【答案】B【解析】sin 4(12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位，故选B ．7．(2014浙江)为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数2y x =的图像A ．向右平移12π个单位B ．向右平移4π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移4π个单位【答案】A 【解析】因为sin 3cos32)2)412y x x x x ππ=+=-=-，所以将函数2y x =的图象向右平移12π个单位后，可得到24y x π=-的图象，故选A ．8．(2013福建)将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点23,0(P ，则ϕ的值可以是A ．35πB ．65πC ．2πD ．6π【答案】B【解析】把23,0(P 代入22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=，所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ，故选B 9．(2012安徽)要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位【答案】C【解析】cos 2y x =向左平移12→1cos 2(cos(21)2y x x =+=+，故选C ．10．(2012浙江)把函数cos 21y x =+的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】cos 21cos 1cos(1)1cos(1)y x y x y x y x =+⇒=+⇒=++⇒=+，故选A ．11．(2012天津)将函数()sin f x x ω=(其中ω>0)的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点3(,0)4π，则ω的最小值是A ．13B ．1C ．53D ．2【答案】D 【解析】函数向右平移4π得到函数4sin(4(sin 4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0443(sin =-ππω，即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω，所以ω的最小值为2，选D ．12．(2020江苏10)将函数3sin(24y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是．【答案】524x π=-【解析】∵()3sin(24f x x π=+，将函数()3sin(2)4f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得()()3sin(2)3sin(263412g x f x x x ππππ=-=-+=-，则()y g x =的对称轴为2122x k πππ-=+，k Z ∈，即7242k x ππ=+，k Z ∈，0k =时，724x π=，1k =-时，524x π=-，∴平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是524x π=-．13．(2016新课标卷3，理14)函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π【解析】因为sin 2sin(3y x x x π=+=+，sin 2sin()3y x x x π=-=-＝2sin[(]33x π2π+-，所以函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到．14．(2016全国新课标卷3，文14)函数sin y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】3π【解析】因为sin 2sin()3y x x x π=-=-，所以函数sin y x x =-的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3π个单位长度得到．15．(2013新课标Ⅱ，文16)函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右单位后，与函数的图象重合，则ϕ=_________．【解析】因为cos(2)y x ϕ=+=cos(2)x ϕ--=16．(2014重庆)将函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf ______．【答案】22【解析】把函数sin y x =图象向左平移6π个单位长度得到sin()y x ωϕ=+的图象，再把函数sin()6y x π=+图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数1()sin(26f x x π=+的图象，所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf 1sin()sin 26642πππ⨯+==．。
十年高考真题汇编(答案)——三角函数和解三角形
11．D【解析】由θ
∈
π 4
，π 2
可得
2θ
∈[π 2
,π ] ， cos 2θ
=
−
1 − sin 2 2θ
= −1 ， 8
sinθ = 1 − cos 2θ = 3 ，答案应选 D．
2
4
另解：由θ
∈
π 4
＝ 2 10
10 1 sin 2π
10
= 10
= cos π10 3 ，选 C．
25
10
6．C【解析】 tan α > 0 知α 的终边在第一象限或第三象限，此时 sin α 与 cosα 同号，
= 故 sin 2α 2sinα cosα > 0 ，选 C．
sin α
7．B【解析】由条件得
= 1+ sin β
+
π 5
∈
π 5
,
(ω
+ 2)π 10
，
若
f
(x)
在
0,
π 10
单调递增，
则
(ω
+
2)π
<
π
，即 ω
<
3
12
，因为
ω
<
29
，故③正确．
10 2
5
10
故选 D．
3.解析 因为 f ( x) 是奇函数，所以ϕ = 0 ， f ( x) = Asin ωx .
将 y = f ( x) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的
全国卷历年高考三角函数真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考三角函数真题归类分析
(含答案)
介绍
这份文档旨在对全国卷历年高考三角函数真题进行归类分析，
并提供相应的答案。
通过分析历年真题，可以帮助考生了解三角函
数的重要考点和解题技巧，为高考复提供指导。
归类分析
以下是对历年高考三角函数真题的归类分析：
三角函数的基本概念
- 考查正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义和性质。
- 考查角度与弧度的转换。
- 考查三角函数的图像和性质。
三角函数的性质和公式
- 考查三角函数的周期性和对称性。
- 考查三角函数之间的关系和性质，如和差化积、倍角公式等。
三角函数的应用
- 考查三角函数在几何中的应用，如求直角三角形的边长和角度、解三角形等。
- 考查三角函数在物理和工程问题中的应用，如力的分解、振动问题等。
答案
以下是对每个归类的真题的答案：
三角函数的基本概念
三角函数的性质和公式
三角函数的应用
结论
通过分析历年高考三角函数真题并掌握相关的解题技巧，考生可以在高考中更好地应对三角函数相关的考题。
这份文档提供了归类分析和相应答案，希望能够对考生的复习有所帮助。
(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：三角函数(含解析)
(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：三角函数（含解析）1.(2019·全国2·理T10文T11)已知α∈0，π2，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=()A.15B.√55C.√33D.2√55【答案】B【解析】∵2sin 2α=cos 2α+1，∴4sin αcos α=2cos2α.∵α∈（0，π2），∴cos α>0，sin α>0，∴2sin α=cos α.又sin2α+cos2α=1，∴5sin2α=1，即sin2α=15.∵sin α>0，∴sin α=√55.故选B.2.(2019·全国2·文T8)若x1=π4，x2=3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=()A.2B.32C.1 D.12【答案】A【解析】由题意，得f(x)=sin ωx的周期T=2πω=23π4−π4=π，解得ω=2，故选A.3.(2019·全国2·理T9)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|【答案】A【解析】y=|cos 2x|的图象为，由图知y=|cos 2x|的周期为π2，且在区间（π4，π2）内单调递增，符合题意;y=|sin 2x|的图象为，由图知它的周期为π2，但在区间（π4，π2）内单调递减，不符合题意;因为y=cos|x|=cos x，所以它的周期为2π，不符合题意;y=sin |x|的图象为，由图知其不是周期函数，不符合题意.故选A.4.(2019·天津·理T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g（π4）=√2，则f（3π8）=()A.-2B.-√2C.√2D.2【答案】C【解析】已知函数为奇函数，且|φ|<π，故φ=0. f(x)=Asin ωx.∴g(x)=Asin x.∵g(x)的最小正周期为2π，∴2πω=2π，∴ω=1. ∴g(x)=Asin x.由g（π4）=√2，得Asin π4=√2，∴A=2.∴f(x)=2sin 2x.∴f（3π8）=2sin 3π4=√2.故选C.5.(2019·北京·文T8)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β+4cos βB.4β+4sin βC.2β+2cos βD.2β+2sin β【答案】B【解析】(方法一)如图，设圆心为O ，连接OA ，OB ，半径r=2，∠AOB=2∠APB=2β，阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S 1=βr 2=4β为定值，S △OAB =12|OA||OB|sin 2β=2sin 2β为定值，全部阴影部分的面积S=S △PAB +S 1-S △OAB .当P 为弧AB 的中点时S △PAB 最大，最大值为12(2|OA|sin β)(OP+|OA|cosβ)=2sin β(2+2cos β)=4sin β+2sin 2β，所以全部阴影部分的面积S 的最大值为4β+4sin β，故选B.(方法二)观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β，面积S的最大值为βr 2+S △POB +S △POA =4β+12|OP||OB|sin(π-β)+12|OP||OA|sin(π-β)=4β+2sin β+2sinβ=4β+4sin β，故选B.6.(2019·全国3·理T12)设函数f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论:①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点 ②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点 ③f(x)在(0，π10)单调递增 ④ω的取值范围是[125，2910) 其中所有正确结论的编号是( )A.①④B.②③C.①②③D.①③④ 【答案】D【解析】∵f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有5个零点， ∴5π≤2πω+π5<6π， 解得125≤ω<2910，故④正确.画出f(x)的图像(图略)，由图易知①正确，②不正确. 当0<x<π10时，π5<ωx+π5<ωπ10+π5， 又125≤ω<2910，∴ωπ10+π5<29π100+20π100=49π100<π2，∴③正确.综上可知①③④正确.故选D.7.(2018·北京·文T7)在平面直角坐标系中，AB ⏜，CD ⏜，EF ⏜，GH ⏜是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( ) A.AB⏜ B.CD⏜C.EF ⏜ D.GH ⏜【答案】C【解析】若P 在AB⏜上，则由角α的三角函数线知，cos α>sin α，排除A;若P 在CD ⏜上，则tan α>sin α，排除B;若P 在GH⏜上，则tan α>0，cos α<0，sin α<0，排除D;故选C. 8.(2018·全国1·文T11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α=23，则|a-b|=( ) A.15 B.√55C.2√55D.1【答案】B。
专题08 三角函数选择题丨十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(解析版)(共35页)
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！1十年（2014－2023）年高考真题分项汇编三角函数选择题目录题型一：三角函数的概念..............................................................................................1题型二：三角恒等变换..................................................................................................3题型三：三角函数的图像与性质.................................................................................8题型四：正余弦定理....................................................................................................26题型五：三角函数的综合应用 (33)题型一：三角函数的概念一、选择题1．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第2题)若α为第四象限角，则()A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0【答案】D解析：方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，所以34244,k k k Zππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<故选：D ．方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误；当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．2．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第9题)已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=()A ．3B ．23C ．13D ．9【答案】A【解析】3cos 28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=(舍去)，又(0,),sin 3απα∈∴== ．故选：A ．【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题．3．(2021年高考全国甲卷理科·第9题)若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=()A ．15B ．55C ．3D ．3【答案】A 解析：cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，15cos 4α∴==，sin 15tan cos 15ααα∴==．故选：A ．【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α．4．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第9题)已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=()A ．–2B ．–1C ．1D ．2【答案】D解析：2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题．题型二：三角恒等变换一、选择题1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第8题)已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=()．A ．79B ．19C ．19-D ．79-【答案】B解析：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=．故选：B2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第7题)已知α为锐角，1cos 4α=，则sin 2α=()．A ．358B ．158-C ．354D ．14-【答案】D解析:因为21cos 12sin 24αα+=-=，而α为锐角，解得：sin 2α=514==．故选：D ．3．(2021年高考浙江卷·第8题)已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是()A ．0B ．1C ．2D ．3解析:法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12．取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 424242αββγγα=<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选C ．法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<，由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12．取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<==，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选C ．4．(2021年新高考Ⅰ卷·第6题)若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+()A .65-B ．25-C ．25D ．65【答案】C解析:将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++,故选C ．5．(2022新高考全国II 卷·第6题)若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+⎪⎝⎭，则()A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C .()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-解析：由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=,所以()tan 1αβ-=-,故选：C6．(2019·上海·第16题)已知)tan(tan tan βαβα+=⋅.①存在α在第一象限，角β在第三象限；②存在α在第二象限，角β在第四象限；A.①②均正确；B ．①②均错误；C ．①对，②错；D ．①错，②对【答案】D【解析】(推荐)取特殊值检验法：例如：令31tan =α和31tan -=α，求βtan 看是否存在.(考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)，选D.(一般方法)设tan ,tan ,x y αβ==则2()1x yxy xy xy x y xy +=⇒-=+-；以y 为主元则可写成：22(1)0,x y x y x +-+=其判别式23(1)4x x ∆=--；设函数()()2314g x x x =--，并设12x x <，则()()()12221211221222222121212()24()11320222g x g x x x x x x x x x x x x x x x -=+--++-⎛⎫⎛⎫=-+-------< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()g x 单调递减；而()()01,14g g ==-，故()0g x =的零点在()0,1上，设为a ；则当x a <时，()0g x >，当x a ≥时，()0g x ≤；故存在0x >使得23(1)40x x ∆=-->而对方程()2210x y x y x +-+=，根据韦达定理，1221211x y y x y y x -⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩存在0x >时，而01x <<使得对应的y 存在，而此时12120y y y y +<⎧⎨⋅>⎩，故此时y 必为负数，即β在Ⅱ或Ⅳ象限；也同样存在0x <，使得对应的y 存在，此时12120y y y y +<⎧⎨⋅>⎩，故此时必存在一个y 值为负数，另一个y为正数，即β在Ⅱ、Ⅳ象限或Ⅰ、Ⅲ象限均可，故选D ．【点评】本题主要考三角恒等变换、不等式综合.7．(2019·全国Ⅱ·理·第10题)已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos 21αα=+，则sin α=()A ．15B．5C．3D．5【答案】B【解析】∵2sin 2cos 21α=α+，∴24sin cos 2cos α⋅α=α.0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴cos 0α>，sin 0α>，∴2sin cos α=α，又22sin cos 1αα+=，∴25sin 1α=，21sin 5α=，又sin 0α>，∴sin 5α=，故选B ．【点评】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．8．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理）·第4题)若1sin 3α=，则cos 2α=()A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】B解析：2217cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，故选B ．9．(2014高考数学课标1理科·第8题)设(0,)2πα∈,(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=,则()A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=【答案】B解析:∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==,∴sin cos cos cos sin αβααβ=+()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭,,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-,即22παβ-=,选B 10．(2015高考数学重庆理科·第9题)若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 解析：由已知，3cos(10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin555ππππππ+=-33cos cos 2sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==，选C ．11．(2015高考数学新课标1理科·第2题)sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=()A ．32-B ．32C ．12-D ．12【答案】D解析：原式=oooosin 20cos10cos 20sin10+=osin 30=12，故选D ．考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式．12．(2015高考数学陕西理科·第6题)“sin cos αα=”是“cos 20α=”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A解析：因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos 20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件，故选A ．13．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第5题)若3tan 4α=,则2cos 2sin 2αα+=()A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=,得3sin 5α=,4cos 5α=或3sin 5α=-,4cos 5α=-所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=,故选A.14．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第9题)若π3cos 45α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α=()A ．725B ．15C ．15-D ．725-【答案】C 【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．题型三：三角函数的图像与性质一、选择题1．(2023年全国乙卷理科·第6题)已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条相邻对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A ．B ．12-C ．12D ．2【答案】D解析：因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2w T ==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5πsin 1232f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D ．2．(2023年全国甲卷理科·第10题)函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解析：因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3．故选：C ．3．(2021年新高考Ⅰ卷·第4题)下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是()A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A解析:因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件,故选A ．4．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第9题)已知曲线1:cos C y x =,22π:sin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则下面结论正确的是()A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2C B ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2C 【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同,所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名,则22π2πππ:sin 2cos 2cos 23326C y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =,再将曲线向左平移π12个单位得到2C ,故选D ．5．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第7题)设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为()()A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题．6．(2022高考北京卷·第5题)已知函数22()cos sin f x x x =-，则()A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】C解析:因为()22cos sin cos 2f x x x x =-=．对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错；对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错．故选,C ．7．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第12题)已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则()A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭所以11tan44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A8．(2022年浙江省高考数学试题·第6题)为了得到函数2sin 3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有的点()A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度【答案】D解析:因为ππ2sin 32sin 3155y x x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，所以把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数2sin 3y x =的图象．故选,D ．9．(2022新高考全国I 卷·第6题)记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫=⎪⎝⎭()A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】A解析:由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得223πππω<<，解得23ω<<，又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3,24k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A10．(2021高考北京·第7题)函数()cos cos 2f x x x =-是()A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为98【答案】D解析：由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98．故选：D ．11．(2020天津高考·第8题)已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是()A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51(sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin(3y x π=+的图象，故③正确．故选：B ．12．(2019·天津·理·第7题)已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()A ．2-B ．C D ．2【答案】答案：C解析：()f x 是奇函数，,k k ϕπ∴=∈Z ，又因为,0ϕπϕ<∴=，()sin2x g x A ω=，因为()g x 的最小正周期为2π，且0ω>，所以2212ππω=，2ω=，sin 442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭2A =，()2sin 2f x x =，332sin 84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭．13．(2019·全国Ⅱ·理·第9题)下列函数中，以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是()()A ．()cos 2f x x =B ．()sin 2f x x =C ．()cos f x x =D ．()sin f x x=【答案】A【解析】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos 2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除B ，故选A.【点评】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；③函数()y f x ==，再利用降幂公式及三角函数公式法求三角函数的周期，例如，cos 2y x ===，所以周期242T ππ==.14．(2019·全国Ⅰ·理·第11题)关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增③()f x 在[,]ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【答案】答案：C解析：作出函数sin ,sin ,sin sin y x y x y x x ===+的图象如图所示，由图可知，()f x 是偶函数，①正确，()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，②错误，()f x 在[,]ππ-有3个零点，③错误；()f x 的最大值为2，④正确，故选C ．15．(2018年高考数学天津(理)·第6题)将函数sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数()A ．在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．在区间3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．在区间53,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】A解析：将函数sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，得sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，当35,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，352,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数值从1-增加到1，所以所得图象对应的函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选A ．16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第10题)若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是()A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π【答案】A解析：由已知()sin cos 0f x x x '=--≤，得sin cos 0≥x x +，即04)≥x π+，解得322,()44≤≤k x k k Z ππππ-++∈，即[]3,,44a a ππ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦，所以434≥≤a a a a ππ⎧⎪-<⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩，得04≤a π<，所以a 的最大值是4π，故选A ．17．已知函数()sin cos f x a x b x =-(a b ，为常数，0a x ≠∈R ，)的图象关于直线π4x =对称，则函数3π()4y f x =-是Ａ．偶函数且它的图象关于点(π0)，对称B ．偶函数且它的图象关于点3π02⎛⎫⎪⎝⎭，对称()Ｃ．奇函数且它的图象关于点3π02⎛⎫⎪⎝⎭，对称Ｄ．奇函数且它的图象关于点(π0)，对称【答案】D解：已知函数()sin cos f x a x b x =-(a 、b 为常数,0,)a x R ≠∈，∴22()sin()f x a b x ϕ=+-的周期为2π，若函数的图象关于直线4x π=对称，不妨设()sin()4f x x π=+，则函数3()4y f x π=-=3sin()sin()sin 44x x x πππ-+=-=，所以3()4y f x π=-是奇函数且它的图象关于点(,0)π对称，选D ．18．设ππ22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，那么“αβ<”是“tan tan αβ<”的Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件()Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件【答案】C解：在开区间(,)22ππ-中，函数tan y x =为单调增函数，所以设,(,),22ππαβ∈-那么""αβ<是"tan tan "αβ<的充分必要条件，选C ．19．(2014高考数学浙江理科·第4题)为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像()A ．向右平移4π个单位B ．向左平移4π个单位C ．向右平移12π个单位D ．向左平移12π个单位【答案】C解析：函数33y sin x cos x =+=，故只需将函数23y cos x =的图象向右平移个单位，得2y ==的图象．故选：C ．20．(2014高考数学四川理科·第3题)为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图像上所有的点()A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A解析：因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到21．(2014高考数学陕西理科·第2题)函数()cos(26f x x π=-的最小正周期是()A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】B解析:应用()()sin f x A x ωφ=+与()()cos f x A x ωφ=+的最小正周期为2||T πω=．因为2=ω，所以2T ππω==，故选B ．22．(2014高考数学辽宁理科·第9题)将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数()A ．在区间7[,1212ππ上单调递减B ．在区间7[,1212ππ上单调递增C ．在区间[,63ππ-上单调递减D ．在区间[,63ππ-上单调递增【答案】B解析：将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得函数为23sin 23sin 2233y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以23222232k x k πππππ+≤-≤+，解得7131212k x k ππππ+≤≤+，所以函数在区间713[,]1212k k ππππ++上单调递减，所以A,C 都不正确；2222232k x k πππππ-+≤-≤+，解得71212k x k ππππ+≤≤+，所以函数在区间7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递增，当k=0时，函数在在区间7[,]1212ππ上单调递增．23．(2014高考数学课标2理科·第12题)设函数xf x m()sin π=．若存在f x ()的极值点x 0满足x f x m 22200[()]+<，则m 的取值范围是()A ．(,6)(6,)-∞-⋃+∞B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞C ．(,2)(2,)-∞-⋃+∞D ．(,1)(4,)-∞-⋃+∞解析：π()3sinx f x m =的极值为3±，即200||[()]3,||2m f x x =£，2222200[()]3344m m x f x m \+³+\+<，，解得||2m >，故选C 。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题05 三角函数(含解析)
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题05 三角函数1.(2019·全国2·理T10文T11)已知α∈0,π2,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( ) A.15 B.√55C.√33D.2√55【答案】B【解析】∵2sin 2α=cos 2α+1, ∴4sin αcos α=2cos 2α.∵α∈（0,π2）,∴cos α>0,sin α>0, ∴2sin α=cos α. 又sin 2α+cos 2α=1, ∴5sin 2α=1,即sin 2α=15. ∵sin α>0,∴sin α=√55. 故选B.2.(2019·全国2·文T8)若x 1=π4,x 2=3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( ) A.2 B.32C.1D.12【答案】A【解析】由题意,得f(x)=sin ωx 的周期T=2πω=23π4−π4=π,解得ω=2,故选A.3.(2019·全国2·理T9)下列函数中,以π2为周期且在区间π4,π2单调递增的是( ) A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| 【答案】A【解析】y=|cos 2x|的图象为,由图知y=|cos 2x|的周期为π2,且在区间（π4,π2）内单调递增,符合题意;y=|sin 2x|的图象为,由图知它的周期为π2,但在区间（π4,π2）内单调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cos x,所以它的周期为2π,不符合题意;y=sin |x|的图象为,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.4.(2019·天津·理T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g（π4）=√2,则f（3π8）=()A.-2B.-√2C.√2D.2 【答案】C【解析】已知函数为奇函数,且|φ|<π,故φ=0. f(x)=Asin ωx.∴g(x)=Asin x.∵g(x)的最小正周期为2π,∴2πω=2π,∴ω=1. ∴g(x)=Asin x.由g（π4）=√2,得Asin π4=√2,∴A=2.∴f(x)=2sin 2x.∴f（3π8）=2sin 3π4=√2.故选C.5.(2019·北京·文T8)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β+4cos βB.4β+4sin βC.2β+2cos βD.2β+2sin β【答案】B【解析】(方法一)如图,设圆心为O,连接OA,OB,半径r=2,∠AOB=2∠APB=2β,阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S1=βr2=4β为定值,S△OAB=12|OA||OB|sin 2β=2sin 2β为定值,全部阴影部分的面积S=S△PAB+S1-S△OAB.当P为弧AB的中点时S△PAB最大,最大值为12(2|OA|sin β)(OP+|OA|cos β)=2sin β(2+2cos β)=4sin β+2sin 2β,所以全部阴影部分的面积S的最大值为4β+4sin β,故选B.(方法二)观察图象可知,当P 为弧AB 的中点时,阴影部分的面积S 取最大值,此时∠BOP=∠AOP=π-β,面积S 的最大值为βr 2+S △POB +S △POA =4β+12|OP||OB|sin(π-β)+12|OP||OA|sin(π-β)=4β+2sin β+2sin β=4β+4sin β,故选B.6.(2019·全国3·理T 12)设函数f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点 ③f(x)在(0,π10)单调递增 ④ω的取值范围是[125,2910) 其中所有正确结论的编号是( ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④【答案】D【解析】∵f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点, ∴5π≤2πω+π5<6π, 解得125≤ω<2910,故④正确.画出f(x)的图像(图略),由图易知①正确,②不正确. 当0<x<π10时,π5<ωx+π5<ωπ10+π5,又125≤ω<2910,∴ωπ10+π5<29π100+20π100=49π100<π2, ∴③正确.综上可知①③④正确.故选D.7.(2018·北京·文T7)在平面直角坐标系中,AB⏜,CD ⏜,EF ⏜,GH ⏜是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边.若tan α<cos α<sin α,则P 所在的圆弧是( ) A.AB⏜ B.CD⏜C.EF ⏜ D.GH⏜【答案】C【解析】若P 在AB⏜上,则由角α的三角函数线知,cos α>sin α,排除A;若P 在CD ⏜上,则tan α>sin α,排除B;若P 在GH⏜上,则tan α>0,cos α<0,sin α<0,排除D;故选C. 8.(2018·全国1·文T11)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=23,则|a-b|=( ) A.15 B.√55C.2√55D.1【答案】B【解析】因为cos 2α=2cos 2α-1=23,所以cos 2α=56,sin 2α=16.所以tan 2α=15,tan α=±√55. 由于a,b 的正负性相同,不妨设tan α>0,即tan α=√55, 由三角函数定义得a=√55,b=2√55,故|a-b|=√55. 9.(2018·全国3·T4)若sin α=13,则cos 2α=( ) A.89B.79C.-79D.-89【答案】B【解析】cos 2α=1-2sin 2α=1-2×(13)2=79. 10.(2018·全国3·文T6)函数f(x)=tanx1+tan 2x的最小正周期为( )A.π4 B.π2 C.π D.2π【答案】C【解析】f(x)=tanx1+tan 2x =sinx cosx1+sin 2x cos 2x=sinxcosxcos 2x+sin 2x =12sin 2x,∴f(x)的最小正周期是π.故选C.11.(2018·全国1·文T8)已知函数f(x)=2cos 2x-sin 2x+2,则( ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4 【答案】B【解析】因为f(x)=2cos 2x-(1-cos 2x)+2=3cos 2x+1=3×1+cos2x 2+1=32cos 2x+52,所以函数f(x)的最小正周期为2π2=π,当cos 2x=1时,f(x)max =4.12.(2018·天津·理T 6)将函数y=sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( )A.在区间[3π4,5π4]上单调递增B.在区间[3π4,π]上单调递减 C.在区间[5π4,3π2]上单调递增D.在区间[3π2,2π]上单调递减 【答案】A【解析】函数y=sin (2x +π5)y=sin [2(x -π10)+π5]=sin 2x.当-π2+2k π≤2x≤π2+2k π,k ∈Z,即-π4+k π≤x≤π4+k π,k ∈Z 时,y=sin 2x 单调递增. 当π2+2k π≤2x≤3π2+2k π,k ∈Z,即π4+k π≤x≤3π4+k π,k ∈Z 时,y=sin 2x 单调递减, 结合选项,可知y=sin 2x 在[3π4,5π4]上单调递增.故选A. 13.(2018·全国2·理T 10)若f(x)=cos x-sin x 在[-a,a]是减函数,则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D .π【答案】A【解析】f(x)=cos x-sin x=-√2sin x ·√22-cos x ·√22=-√2sin x-π4,当x ∈[-π4,34π],即x-π4∈[-π2,π2]时,y=sin x-π4单调递增,y=-√2sin x-π4单调递减.∵函数f(x)在[-a,a]是减函数,∴[-a,a]⊆[-π4,34π],∴0<a≤π4,∴a 的最大值为π4.14.(2017·全国3·文T4)已知sin α-cos α=43,则sin 2α=( ) A.-79B.-29C.29D.79【答案】A【解析】∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α=169,∴sin 2α=-79. 15.(2017·山东·文T4)已知cos x=34,则cos 2x=( ) A.-14 B.14C.-18D.18【答案】D【解析】cos 2x=2cos2x-1=2×(34)2-1=18.16.(2017·全国3·理T6)设函数f(x)=cos (x +π3),则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称 C.f(x+π)的一个零点为x=π6D.f(x)在(π2,π)单调递减 【答案】D【解析】由f (x )=cos (x +π3)的【解析】式知-2π是它的一个周期,故A 中结论正确;将x=8π3代入f (x )=cos (x +π3),得f (8π3)=-1,故y=f (x )的图象关于直线x=8π3对称,故B 中结论正确;f (x+π)=cos (x +4π3),当x=π6时,f (x+π)=cos (π6+4π3)=0,故C 中结论正确;当x ∈(π2,π)时,x+π3∈(5π6,4π3),显然f (x )先单调递减再单调递增,故D 中结论错误. 17.(2017·全国2·文T3)函数f(x)=sin (2x +π3)的最小正周期为( ) A.4π B.2π C .πD.π2【答案】C【解析】T=2π2=π,故选C .18.(2017·天津·T7)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f (5π8)=2,f (11π8)=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( ) A .ω=23,φ=π12B .ω=23,φ=-11π12C .ω=13,φ=-11π24 D .ω=13,φ=7π24 【答案】A 【解析】∵f （5π8）=2,f （11π8）=0,且f (x )的最小正周期大于2π,∴f (x )的最小正周期为4（11π8−5π8）=3π. ∴ω=2π3π=23,∴f (x )=2sin （23x+φ）. ∴2sin （23×5π8+φ）=2,∴φ=2k π+π12,k ∈Z . 又|φ|<π,∴取k=0,得φ=π12.19.(2017·山东·文T7)函数y=√3sin 2x+cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3C .π D.2π【答案】C【解析】因为y=√3sin 2x+cos 2x=2(√32sin2x +12cos2x)=2sin (2x +π6),所以其最小正周期T=2π2=π. 20.(2017·全国1·理T 9)已知曲线C 1:y=cos x,C 2:y=sin (2x +2π3),则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2 B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2 C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2 D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2 【答案】D【解析】曲线C 1的方程可化为y=cos x=sin (x +π2),把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得曲线y=sin (2x +π2)=sin 2(x +π4),为得到曲线C 2:y=sin 2(x +π3),需再把得到的曲线向左平移π12个单位长度.21.(2017·全国3·文T 6)函数f(x)=15sin (x +π3)+cos (x -π6)的最大值为( ) A.65 B.1C.35D.15【答案】A【解析】因为cos (x -π6)=cos [π2-(x +π3)]=sin (x +π3),所以f (x )=15sin (x +π3)+sin (x +π3)=65sin (x +π3),故函数f (x )的最大值为65.故选A .22.(2016·全国2·理T9)若cos (π4-α)=35,则sin 2α=( ) A.725B.15C.-15D.-725【答案】D【解析】cos [2(π4-α)]=2cos 2(π4-α)-1=2×(35)2-1=-725,且cos [2(π4-α)]=cos (π2-2α)=sin 2α,故选D .23.(2016·全国3·理T5)若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( ) A.6425 B.4825C.1D.1625【答案】A 【解析】由tan α=34,得cos2α+2sin 2α=cos 2α+4sinαcosαcos 2α+sin 2α=1+4tanα1+tan 2α=1+4×341+(34)2=42516=6425.故选A .24.(2016·全国3·文T6)若tan θ=-13,则cos 2θ=( ) A.-45B.-15C.15D.45【答案】D【解析】cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=1-(-13)21+(-13)2=45.故选D .25.(2016·全国1·理T12)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2),x=-π4为f (x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(π18,5π36)单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5【答案】B【解析】由题意知π4--π4=T4+kT2,k ∈Z,即π2=2k+14T=2k+14·2πω,k ∈Z,又ω>0,所以ω=2k+1,k ∈Z .又因为f (x )在(π18,5π36)单调, 所以5π36−π18≤T2,T ≥π6,即2πω≥π6,ω≤12.因为ω>0,所以0<ω≤12.若ω=11,又|φ|≤π2,则φ=-π4,此时f (x )=sin 11x-π4,f (x )在π18,3π44单调递增,在3π44,5π36单调递减,不满足条件;若ω=9,又|φ|≤π2,则φ=π4,此时f (x )=sin 9x+π4,满足f (x )在π18,5π36单调的条件,由此得ω的最大值为9.26.(2016·山东·理T7)函数f(x)=(√3sin x+cos x)(√3cos x-sin x)的最小正周期是( ) A.π2 B .πC.3π2D.2π【答案】B【解析】f (x )=2sin (x +π6)×2cos (x +π6)=2sin (2x +π3),故最小正周期T=2π2=π,应选B .27.(2016·浙江·理T5)设函数f(x)=sin 2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期( ) A.与b 有关,且与c 有关 B.与b 有关,但与c 无关 C.与b 无关,且与c 无关 D.与b 无关,但与c 有关 【答案】B【解析】f (x )=sin 2x+b sin x+c=1-cos2x2+b sin x+c =-12cos 2x+b sin x+12+c.当b=0时,f (x )=-12cos 2x+12+c ,周期T=π; 当b ≠0时,f (x )=-12cos 2x+b sin x+12+c ,∵y=-12cos 2x 的周期为π,y=b sin x 的周期为2π, ∴f (x )的周期T=2π.∴f (x )的最小正周期与b 有关,但与c 无关.故选B .28.(2016·全国2·文T3)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( ) A.y=2sin (2x -π6) B.y=2sin (2x -π3)C.y=2sin (x +π6)D.y=2sin (x +π3)【答案】A【解析】由题图知,A=2,周期T=2[π3-(-π6)]=π, 所以ω=2ππ=2,y=2sin(2x+φ). 因为函数图象过点(π3,2), 所以2=2sin (2×π3+φ).所以2π3+φ=2k π+π2(k ∈Z).令k=0,得φ=-π6,所以y=2sin (2x -π6),故选A .29.(2016·全国2·理T 7)若将函数y=2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ) A.x=kπ2−π6(k ∈Z) B.x=kπ2+π6(k ∈Z) C.x=kπ2−π12(k ∈Z) D.x=kπ2+π12(k ∈Z)【答案】B【解析】由题意可知,将函数y=2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度得函数y=2sin [2(x +π12)]=2sin (2x +π6)的图象,令2x+π6=π2+k π(k ∈Z),得x=kπ2+π6(k ∈Z).故选B .30.(2016·全国1·文T 6)将函数y=2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin (2x +π4) B .y=2sin (2x +π3)C.y=2sin (2x -π4) D.y=2sin (2x -π3) 【答案】D【解析】由已知周期T=π,右移14T=π4后得y=2sin [2(x -π4)+π6]=2sin (2x -π3)的图象,故选D .31.(2016·四川·理T 3)为了得到函数y=sin (2x -π3)的图象,只需把函数y=sin 2x 的图象上所有的点( ) A.向左平行移动π3个单位长度 B.向右平行移动π3个单位长度 C.向左平行移动π6个单位长度 D.向右平行移动π6个单位长度 【答案】D【解析】y=sin (2x -π3)=sin [2(x -π6)].32.(2016·北京·理T 7)将函数y=sin (2x -π3)图象上的点P (π4,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x 的图象上,则( ) A.t=12,s 的最小值为π6B.t=√32,s 的最小值为π6C.t=12,s 的最小值为π3 D.t=√32,s 的最小值为π3【答案】A【解析】设P'(x ,y ).由题意得t=sin (2×π4-π3)=12,且P'的纵坐标与P 的纵坐标相同,即y=12.又P'在函数y=sin 2x 的图象上,则sin 2x=12,故点P'的横坐标x=π12+k π(k ∈Z)或5π12+k π(k ∈Z),结合题意可得s 的最小值为π4−π12=π6.33.(2016·全国2·文T 11)函数f(x)=cos 2x+6cos (π2-x)的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B【解析】因为f (x )=1-2sin 2x+6sin x=-2sin x-322+112,而sin x ∈[-1,1],所以当sin x=1时,f (x )取最大值5,故选B .34.(2015·福建·文T6)若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于( ) A.125B.-125C.512 D.-512【答案】D【解析】∵sin α=-513,且α为第四象限角,∴cos α=√1-sin 2α=1213.∴tan α=sinαcosα=-512.35.(2015·全国1·理T 2,)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) A.-√32 B.√32C.-12D.12【答案】D【解析】sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(10°+20°)=sin 30°=12.36.(2015·重庆·理T9)若tan α=2tan π5,则cos (α-3π10)sin (α-π5)=( )A.1B.2C.3D.4 【答案】C【解析】因为tan α=2tan π5,所以cos (α-3π10)sin (α-π5)=sin (α-3π10+π2)sin (α-π5)=sin (α+π5)sin (α-π5)=sinαcos π5+cosαsin π5sinαcos π5-cosαsin π5=tanα+tan π5tanα-tan π5=3tan π5tan π5=3.37.(2015·重庆·文T6)若tan α=13,tan(α+β)=12,则tan β=( ) A.17 B.16C.57D.56【答案】A【解析】tan β=tan[(α+β)-α]=tan (α+β)-tanα1+tan (α+β)tanα=12-131+12×13=17.38.(2015·安徽·理T10)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=2π3时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( ) A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(-2) C.f(-2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2) 【答案】A【解析】将要比较的函数值化归到函数的同一单调区间内.∵f (x )的最小正周期为π,∴f (-2)=f (π-2).又当x=2π3时,f (x )取得最小值, 故当x=π6时,f (x )取得最大值,π6,2π3是函数f (x )的一个递减区间.又∵π6<π-2<2<2π3,∴f (π-2)>f (2),即f (-2)>f (2).再比较0,π-2与对称轴x=π6距离的大小.∵π-2-π6-0-π6=5π6-2-π6=2π3-2>0, ∴f (0)>f (π-2),即f (0)>f (-2),综上,f (0)>f (-2)>f (2).故选A .39.(2015·全国1·T8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( ) A.(kπ-14,kπ+34),k ∈ZB.(2kπ-14,2kπ+34),k ∈Z C.(k -14,k +34),k ∈ZD.(2k -14,2k +34),k ∈Z 【答案】D【解析】不妨设ω>0,由函数图象可知,其周期为T=2×(54-14)=2,所以2πω=2,解得ω=π.所以f (x )=cos(πx+φ).由图象可知,当x=12(14+54)=34时,f (x )取得最小值,即f (34)=cos (3π4+φ)=-1, 解得3π4+φ=2k π+π(k ∈Z),解得φ=2k π+π4(k ∈Z). 令k=0,得φ=π4,所以f (x )=cos (πx +π4). 令2k π≤πx+π4≤2k π+π(k ∈Z), 解得2k-14≤x ≤2k+34(k ∈Z).所以函数f (x )=cos (πx +π4)的单调递减区间为[2k -14,2k +34](k ∈Z).结合选项知选D .40.(2015·陕西·理T 3文T 14)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin (π6x +φ)+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.10 【答案】C【解析】因为sin (π6x +φ)∈[-1,1],所以函数y=3sin (π6x +φ)+k 的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知k-3=2,解得k=5. 所以y 的最大值为k+3=5+3=8.故选C .41.(2015·山东·理T 3文T 4)要得到函数y=sin (4x -π3)的图象,只需将函数y=sin 4x 的图象( ) A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位 D.向右平移π3个单位【答案】B【解析】∵y=sin (4x -π3)=sin [4(x -π12)],∴只需将函数y=sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可.42.(2014·全国1·T 文2)若tan α>0,则( ) A.sin α>0 B.cos α>0 C.sin 2α>0 D.cos 2α>0【答案】C【解析】由tan α>0知角α是第一或第三象限角,当α是第一象限角时,sin 2α=2sin αcos α>0;当α是第三象限角时,sin α<0,cos α<0,仍有sin 2α=2sin αcos α>0,故选C . 43.(2014·大纲全国·文T2)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ) A.45B.35C.-35D.-45【答案】D【解析】设角α的终边上点(-4,3)到原点O 的距离为r ,r=√(-4)2+32=5,∴由余弦函数的定义,得cos α=x r =-45,故选D .44.(2014·全国1·理T8)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则( ) A.3α-β=π2 B.3α+β=π2 C.2α-β=π2 D.2α+β=π2【答案】C 【解析】由已知,得sinαcosα=1+sinβcosβ, ∴sin αcos β=cos α+cos αsin β. ∴sin αcos β-cos αsin β=cos α. ∴sin(α-β)=cos α, ∴sin(α-β)=sin (π2-α). ∵α∈(0,π2),β∈(0,π2), ∴-π2<α-β<π2,0<π2-α<π2,∴α-β=π2-α,∴2α-β=π2.故选C .45.(2014·大纲全国·理T3)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b 【答案】C【解析】∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,c=tan 35°=sin35°cos35°, ∴sin35°cos35°>sin 35°>sin 33°.∴c>b>a.故选C .46.(2014·全国1·文T7)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos (2x +π6),④y=tan (2x -π4)中,最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③【答案】A【解析】由于y=cos|2x|=cos 2x,所以该函数的周期为2π2=π;由函数y=|cos x|的图象易知其周期为π;函数y=cos (2x +π6)的周期为2π2=π;函数y=tan （2x-π4）的周期为π2,故最小正周期为π的函数是①②③,故选A.47.(2014·全国1·理T 6)如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )【答案】C【解析】由题意知|OM|=|cos x|,f(x)=|OM||sin x|=|sin xcos x|=12|sin 2x|,由此可知C 项中图符合.故选C .48.(2014·浙江·理T 4)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x 的图象,可以将函数y=√2cos 3x 的图象 ( ) A.向右平移π4个单位 B.向左平移π4个单位 C.向右平移π12个单位 D.向左平移π12个单位【答案】C【解析】y=sin 3x+cos 3x=√2cos (3x -π4)=√2cos [3(x -π12)],因此需将函数y=√2cos 3x 的图象向右平移π12个单位.故选C .49.(2013·浙江·理T6)已知α∈R,sin α+2cos α=√102,则tan 2α=( ) A.43B.34C.-34 D.-43【答案】C【解析】由sin α+2cos α=√102,得sin α=√102-2cos α. ① 把①式代入sin 2α+cos 2α=1中可解出cos α=√1010或cos α=3√1010, 当cos α=√1010时,sin α=3√1010; 当cos α=3√1010时,sin α=-√1010. ∴tan α=3或tan α=-13,∴tan 2α=-34.50.(2013·大纲全国·文T2)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=( ) A.-1213B.-513C.513D.1213【答案】A 【解析】∵α是第二象限角,∴cos α=-√1-sin 2α=-√1-(513)2=-1213.故选A . 51.(2013·广东·文T4)已知sin (5π2+α)=15,那么cos α=( ) A.-25 B.-15C.15 D.25【答案】C【解析】∵sin (5π2+α)=sin (π2+α)=cos α=15,∴cos α=15.52.(2013·全国2·文T6)已知sin 2α=23,则cos 2(α+π4)=( )A.16 B.13C.12D.23【答案】A【解析】由降幂公式变形,可得cos 2(α+π4)=1+cos (2α+π2)2=1-sin2α2=1-232=16.53.(2012·全国·理T9)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)单调递减,则ω的取值范围是()A.[12,54] B.[12,34] C.(0,12] D.(0,2]【答案】A【解析】结合y=si n ωx的图象可知y=sin ωx在[π2ω,3π2ω]单调递减,而y=sin（ωx+π4）=sin[ω（x+π4ω）],可知y=sin ωx的图象向左平移π4ω个单位之后可得y=sin(ωx+π4)的图象,故y=sin(ωx+π4)在[π4ω,5π4ω]单调递减,故应有[π2,π]⊆[π4ω,5π4ω],解得12≤ω≤54.54.(2012·全国·文T9)已知ω>0,0<φ<π,直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=()A.π4B.π3C.π2D.3π4【答案】A【解析】由题意可知函数f(x)的周期T=2×(5π4-π4)=2π,故ω=1,∴f(x)=sin(x+φ).令x+φ=kπ+π2,将x=π4代入可得φ=kπ+π4,∵0<φ<π,∴φ=π4.55.(2011·全国·理T5文T7)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=( )A.-45B.-35C.35D.45【答案】B【解析】由三角函数的定义知tan θ=2,且θ为第一或第三象限角,故由“1”的代换得cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos 2θ-sin2θcos2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=1-221+22=-35.56.(2011·全国·理T11)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则()A.f(x)在(0,π2)单调递减B.f(x)在(π4,3π4)单调递减C.f(x)在(0,π2)单调递增D.f(x)在(π4,3π4)单调递增【答案】A【解析】∵f (x )=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin ωx+φ+π4,又∵f (x )的最小正周期为π,∴2πω=π,即ω=2.又f (-x )=f (x ),故f (x )是偶函数,即φ+π4=π2+k π(k ∈Z),φ=k π+π4(k ∈Z).因|φ|<π2,取k=0,则φ=π4,从而f (x )=√2cos 2x ,且在(0,π2)上单调递减,故选A .57.(2011·全国·文T11)设函数f(x)=sin (2x +π4)+cos (2x +π4),则( ) A.y=f(x)在(0,π2)单调递增,其图象关于直线x=π4对称B.y=f(x)在(0,π2)单调递增,其图象关于直线x=π2对称C.y=f(x)在(0,π2)单调递减,其图象关于直线x=π4对称D.y=f(x)在(0,π2)单调递减,其图象关于直线x=π2对称 【答案】D【解析】∵f (x )=sin (2x +π4)+cos (2x +π4)=√2sin (2x +π4+π4)=√2cos 2x ,∴f (x )在(0,π2)内单调递减,且图象关于直线x=π2对称.故选D . 58.(2010·全国·理T9)若cos α=-45,α是第三象限的角,则1+tan α21-tanα2=( )A.-12B.12C.2D.-2【答案】A【解析】∵cos α=-45,α为第三象限角,∴sin α=-35.1+tan α21-tan α2=1+sin α2cos α21-sin α2cos α2=cos α2+sin α2cos α2-sin α2=(cos α2+sin α2) 2(cos α2+sin α2)(cos α2-sin α2)=1+sinαcos 2α2-sin 2α2=1+sinαcosα=-12.59.(2010·全国·文T10)若cos α=-45,α是第三象限的角,则sin (α+π4)等于( )A.-7√210B.7√210C.-√210 D.√210【答案】A【解析】因为α是第三象限的角,所以sin α<0.sin α=-√1-cos 2α=-√1-(-45)2=-35.故sin (α+π4)=sin αcos π4+cos αsin π4=√22(sin α+cos α)=√22(-35-45)=-7√210.60.(2010·全国·文T 6)如图,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P 0(√2 ,-√2),角速度为1,那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数大致图象为( )【答案】C【解析】因为d 是圆周上的点P 到x 轴的距离,所以每转半周,即π弧度,d 的值就会周期性出现,又质点P 的角速度为1,可知,该函数的周期为T=π1=π.起始点为P 0(√2,-√2)在第四象限,对应的d=√2,逆时针旋转到x 轴时,d 的值逐渐减小到0且此时t=π4.综上,只有C 项满足,故选C .61.(2019·江苏·T13)已知tanαtan (α+π4)=-23,则sin 2α+π4的值是 .【答案】√210 【解析】由tanαtan (α+π4)=tanαtanα+11-tanα=tanα(1-tanα)tanα+1=-23,得3tan 2α-5tan α-2=0,解得tan α=2或tan α=-13.又sin (2α+π4)=sin 2αcos π4+cos 2αsin π4=√22(sin 2α+cos 2α)=√22×2sinαcosα+cos 2α-sin 2αsin 2α+cos 2α=√22×2tanα+1-tan 2αtan 2α+1. (*) ①当tan α=2时,(*)式=√22×2×2+1-2222+1=√22×15=√210;②当tan α=-13时,(*)式=√22×2×(-13)+1-(-13)2(-13)2+1=√22×13-19109=√210.综上,sin (2α+π4)=√210.62.(2019·全国1·文T 15)函数f(x)=sin (2x +3π2)-3cos x 的最小值为.【答案】-4【解析】f(x)=sin (2x +3π2)-3cos x =-cos 2x-3cos x =-2cos 2x-3cos x+1=-2(cosx +34)2+178. ∵-1≤cos x≤1,∴当cos x=1时,f(x)min =-4. 故函数f(x)的最小值是-4.63.(2018·全国2·理T15)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= . 【答案】—12【解析】∵(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=1,∴sin 2α+cos 2β+cos 2α+sin 2β+2sin αcos β+2sin βcos α=1+1+2sin(α+β)=1. ∴sin(α+β)=−12.64.(2018·全国2·文T15)已知tan α-5π4=15,则tan α=_________.【答案】32【解析】∵tan (α-54π)=tanα-tan 54π1+tanαtan 54π=tanα-11+tanα=15,∴5tan α-5=1+tan α.∴tan α=32.65.(2018·北京·理T11)设函数f(x)=cos (ωx -π6)(ω>0).若f(x)≤f (π4)对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为____________. 【答案】23【解析】∵f(x)≤f (π4)对任意的实数x 都成立,∴当x=π4时,f(x)取得最大值,即f (π4)=cos (π4ω-π6)=1, ∴π4ω-π6=2k π,k ∈Z,∴ω=8k+23,k ∈Z. ∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值23.66.(2018·全国3·理T 15)函数f(x)=cos (3x +π6)在[0,π]的零点个数为 . 【答案】3【解析】令f(x)=cos (3x +π6)=0,得3x+π6=π2+k π,k ∈Z,∴x=π9+kπ3=(3k+1)π9,k ∈Z.则在[0,π]的零点有π9,4π9,7π9.故有3个.67.(2018·全国1·理T 16)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 . 【答案】3√32【解析】由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin 2x 的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.由f(x)=2sin x+sin 2x,得f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cos 2x+2cos x-2. 令f'(x)=0,可得cos x=12或cos x=-1,x ∈[0,2π)时,解得x=π3或x=5π3或x=π. 因为f(x)=2sin x+sin 2x 的最值只能在x=π3,x=5π3,x=π或x=0时取到,且f (π3)=3√32,f (5π3)=-3√32,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为-3√32.68.(2018·江苏·T 7)已知函数y=sin(2x+φ)-π2<φ<π2的图象关于直线x=π3对称,则φ的值为_______. 【答案】−π6【解析】由题意可得sin (2π3+φ)=±1,解得2π3+φ=π2+k π(k ∈Z),即φ=-π6+k π(k ∈Z). 因为-π2<φ<π2,所以k=0,φ=-π6.69.(2017·北京·文T9)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则sin β= 【答案】13【解析】由角α与角β的终边关于y 轴对称,得α+β=2k π+π,k ∈Z,即β=2k π+π-α,k ∈Z,故sinβ=sin(2k π+π-α)=sin α=13.70.(2017·全国1·文T15)已知α∈(0,π2),tan α=2,则cos (α-π4)=__________.【答案】3√1010【解析】由tan α=2,得sin α=2cos α. 又sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=15.因为α∈(0,π2),所以cos α=√55,sin α=2√55.因为cos (α-π4)=cos αcos π4+sin αsin π4,所以cos (α-π4)=√55×√22+2√55×√22=3√1010.71.(2017·北京·理T12)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则cos(α-β)=________________. 【答案】-79【解析】由角α与角β的终边关于y 轴对称可得β=(2k+1)π-α,k ∈Z,则cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos 2α=2sin 2α-1=2×(13)2-1=-79.72.(2017·江苏·T5)若tan (α-π4)=16,则tan α=________.【答案】75【解析】因为tan (α-π4)=tanα-tan π41+tanα·tan π4=tanα-11+tanα=16,所以tan α=75.73.(2017·全国2·理T 14)函数f(x)=sin 2x+√3cos x-34(x ∈[0,π2])的最大值是________. 【答案】1【解析】由题意可知f (x )=1-cos2x+√3cos x-34=-cos 2x+√3cos x+14=-(cosx -√32)2+1.因为x ∈[0,π2],所以cos x ∈[0,1]. 所以当cos x=√32时,函数f (x )取得最大值1.74.(2017·全国2·文T 13)函数f(x)=2cos x+sin x 的最大值为 . 【答案】√5【解析】因为f (x )=2cos x+sin x=√5sin(x+φ)(其中tan φ=2),所以f (x )的最大值为√5. 75.(2016·全国1·文T14)已知θ是第四象限角,且sin (θ+π4)=35,则tan (θ-π4)= . 【答案】-43【解析】∵sin (θ+π4)=35,∴cos (θ-π4)=cos [(θ+π4)-π2]=35.又θ是第四象限角,∴θ-π4是第三或第四象限角.∴sin (θ-π4)=-45.∴tan (θ-π4)=-43.76.(2016·四川·文T 11)sin 750°= . 【答案】12【解析】sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=12. 77.(2016·四川·理T11)cos 2π8-sin 2π8=_________. 【答案】√22【解析】cos 2π8-sin 2π8=cos π4=√22.78.(2016·浙江·T10)已知2cos 2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=√2,b= . 【答案】1【解析】因为2cos 2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=√2sin (2x +π4)+1,所以A=√2,b=1.79.(2016·全国3·理T 14)函数y=sin x-√3cos x 的图象可由函数y=sin x+√3cos x 的图象至少向右平移_______个单位长度得到. 【答案】2π3【解析】因为y=sin x+√3cos x=2sin (x +π3),y=sin x-√3cos x=2sin （x-π3）=2sin[（x-2π3）+π3],所以函数y=sin x-√3cos x 的图象可由函数y=sin x+√3cos x 的图象至少向右平移2π3个单位长度得到.80.(2015·江苏·理T8)已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为 . 【答案】3【解析】tan β=tan[(α+β)-α]=tan (α+β)-tanα1+tanαtan (α+β)=17+21-27=3.81.(2015·四川·理T 12)sin 15°+sin 75°的值是_____________. 【答案】√62【解析】sin 15°+sin 75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=2sin 45°cos 30°=2×√22×√32=√62. 82.(2015·四川·文T13)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos 2α的值是 . 【答案】-1【解析】由sin α+2cos α=0,得tan α=-2.所以原式=2sinαcosα-cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα-1tan 2α+1=2×(-2)-1(-2)2+1=-55=-1. 83.(2015·天津·文T14)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx (ω>0),x ∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为 . 【答案】√π2【解析】f (x )=sin ωx+cos ωx=√2sin ωx+π4,因为f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f (ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+π4=2k π+π2,k ∈Z,所以ω2=π4+2k π,k ∈Z . 又ω-(-ω)≤2πω2,即ω2≤π2,所以ω=√π2.84.(2015·湖南·文T15)已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2√3,则ω=____________. 【答案】π2【解析】如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图象,A ,B 为符合条件的两交点.则A (π4ω,√2),B (-3π4ω,-√2), 由|AB|=2√3,得√(πω)2+(2√2)2=2√3,解得πω=2,即ω=π2.85.(2014·全国2·理T14)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 . 【答案】1【解析】∵f (x )=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sin φ=sin[(x+φ)-φ]=sin x.∴f(x)max=1.86.(2014·全国2·文T14)函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为. 【答案】1【解析】∵f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x=sin x cos φ+cos x sin φ-2sin φcos x=sin x cos φ-cos x sin φ=sin(x-φ),∴f(x)max=1.87.(2014·重庆·文T13)将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤φ<π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sin x的图象,则f(π6)=______.【答案】√22【解析】本题可逆推,将y=sin x的图象向左平移π6个单位长度得到y=sin(x+π6)的图象,再保持纵坐标不变,横坐标伸长为原来的两倍,得到f(x)=sin(12x+π6)的图象.所以f(π6)=sin(π12+π6)=sinπ4=√22.88.(2014·全国2·理T14)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为. 【答案】1【解析】∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sin φ=sin[(x+φ)-φ]=sin x.∴f(x)max=1.89.(2014·全国2·文T14)函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为. 【答案】1【解析】∵f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x=sin x cos φ+cos x sin φ-2sin φcos x=sin x cos φ-cos x sin φ=sin(x-φ),∴f (x )max =1.90.(2013·全国2·理T15)设θ为第二象限角,若tan (θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 【答案】-√105【解析】由tan (θ+π4)=1+tanθ1-tanθ=12,得tan θ=-13,即sin θ=-13cos θ.将其代入sin 2θ+cos 2θ=1,得109cos 2θ=1.因为θ为第二象限角,所以cos θ=-3√1010,sin θ=√1010,sin θ+cos θ=-√105.91.(2013·全国2·文T 16)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y=sin (2x +π3)的图象重合,则φ=_________. 【答案】A【解析】由降幂公式变形,可得cos 2(α+π4)=1+cos (2α+π2)2=1-sin2α2=1-232=16.92.(2013·全国1·理T 15文T 16)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则cos θ= . 【答案】−2√55【解析】∵f (x )=sin x-2cos x=√5sin(x-φ), 其中sin φ=2√55,cos φ=√55.当x-φ=2k π+π2(k ∈Z)时,f (x )取最大值. 即θ-φ=2k π+π2(k ∈Z),θ=2k π+π2+φ(k ∈Z).∴cos θ=cos (π2+φ)=-sin φ=-2√55. 93.(2011·江西·理T14)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-2√55,则y= . 【答案】-8【解析】∵sin θ=-2√55<0及P (4,y )是角θ终边上一点,∴θ为第四象限角.又由三角函数的定义得√4+y 2=-2√55,且y<0,∴y=-8(合题意),y=8(舍去).故y=-8.94.(2019·浙江·T18)设函数f(x)=sin x,x ∈R. (1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值; (2)求函数y=f x+π122+f x+π42的值域.【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),。
十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解4三角函数解三角形部分
⼗年⾼考分类北京⾼考数学试卷精校版含详解4三⾓函数解三⾓形部分⼗年⾼考分类北京⾼考数学试卷精校版含详解4三⾓函数解三⾓形部分⼀、选择题（共23⼩题；共115分）1. 已知cosθtanθ<0，那么⾓θ是A. 第⼀或第⼆象限⾓B. 第⼆或第三象限⾓C. 第三或第四象限⾓D. 第⼀或第四象限⾓2. 在函数y=sin2x，y=sin x，y=cos x，y=cot x2中，最⼩正周期为π的函数是A. y=sin2xB. y=sin xC. y=cos xD. y=cot x23. 某班设计了⼀个⼋边形的班徽（如图），它由腰长为1、顶⾓为α的四个等腰三⾓形，及其底边构成的正⽅形所组成，该⼋边形的⾯积为A. 2sinα?2cosα+2B. sinα?3cosα+3C. 3sinα?3cosα+1D. 2sinα?cosα+14. 在△ABC中，a=3，b=5，sin A=13，则sin B=A. 15B. 59C. 535. " α=π6 "是" cos2α=12"的A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若A，B，C是△ABC的三个内⾓，且A 2，则下列结论中正确的是A. tan AB. cot AC. sin AD. cos A7. 设M和m分别表⽰函数y=13cos x?1的最⼤值和最⼩值，则M+m等于A. 23B. ?23C. ?43D. ?28. 已知cosθ?tanθ<0，那么⾓θ是A. 第⼀或第⼆象限⾓B. 第⼆或第三象限⾓C. 第三或第四象限⾓D. 第⼀或第四象限⾓9. “ cos2α=?32”是“ α=kπ+5π12,k∈Z”的A. 必要⾮充分条件B. 充分⾮必要条件C. 充分必要条件D. 既⾮充分⼜⾮必要条件10. " φ=π "是"曲线y=sin2x+φ过坐标原点"的A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件11. 已知△ABC中，a=2，b=3，B=60°，那么⾓A等于A. 135°B. 90°C. 45°D. 30°12. 函数f x=1?cos2xcos xA. 在0,π2,π2,π上递增，在π,3π2,3π2,2π上递减B. 在0,π2, π,3π2上递增，在π2,π ,3π2,2π上递减C. 在π2,π ,3π2,2π上递增，在0,π2, π,3π2上递减D. 在0,3π2,3π2,2π上递增，在0,π2,π2,2π上递减13. 函数f x=sin2x?cos2x的最⼩正周期是A. π2B. πC. 2πD. 4π14. 函数y=1+cos x的图象A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线x=π2对称15. " α=π6+2kπk∈Z "是" cos2α=12"的A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16. 将函数y=sin2x?π3图象上的点Pπ4,t 向左平移s s>0个单位长度得到点P?．若P?位于函数y=sin2x的图象上，则A. t=12，s的最⼩值为π6B. t=32，s的最⼩值为π6C. t=12，s的最⼩值为π3D. t=32，s的最⼩值为π317. 若A、B是锐⾓△ABC的两个内⾓，则点P cos B?sin A,sin B?cos A在A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限18. 函数y=12+sin x+cos x的最⼤值是A. 22?1 B. 22+1 C. 1?22D. ?1?2219. 已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为∣a∣，∣b∣，∣c∣的三⾓形A. 是锐⾓三⾓形B. 是直⾓三⾓形C. 是钝⾓三⾓形D. 不存在20. " cos2α=?32 "是" α=2kπ+5πA. 必要⾮充分条件B. 充分⾮必要条件C. 充分必要条件D. 既⾮充分⼜⾮必要条件21. 从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝⾓三⾓形的个数为m，则mn等于A. 110B. 15C. 310D. 2522. 设α，β是⼀个钝⾓三⾓形的两个锐⾓，下列四个不等式中不正确的是A. tanα tanβ<1B. sinα+sinβ<2C. cosα+cosβ>1D. 12tanα+β223. 已知sinθ+π<0，cosθ?π>0，则下列不等关系中必定成⽴的是A. tanθ22B. tanθ2>cotθ2C. sinθ22D. sinθ2⼆、填空题（共30⼩题；共150分）24. 函数f x=sin x cos x的最⼩正周期是．25. 在△ABC中，若tan A=13，C=150°，BC=1，则AB=．26. 函数y=cos2π3x+π4的最⼩正周期是．27. 函数y=sin2x+1的最⼩正周期为．28. 若sinθ=?45，tanθ>0，则cosθ=．29. 2002年在北京召开的国际数学家⼤会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直⾓三⾓形与⼀个⼩正⽅形拼成的⼀个⼤正⽅形（如图）．如果⼩正⽅形的⾯积为1，⼤正⽅形的⾯积为25，直⾓三⾓形中较⼩的锐⾓为θ，那么cos2θ的值等于．30. 若⾓α的终边经过点P1,?2，则tan2α的值为．31. 在平⾯直⾓坐标系xOy中，⾓α与⾓β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=13，则sinβ=．32. 在△ABC中，若b=1，c=3，∠C=2π3，则a=．33. 在△ABC中，若a=2，b+c=7，cos B=?14，则b=．34. 在△ABC中．若b=5，∠B=π4，sin A=13，则a=．35. 在△ABC中，若b=5，B=π，tan A=2，则sin A=；a=．36. 函数f(x)=cos2x?2x cos x的最⼩正周期是．37. 2002年在北京召开的国际数学家⼤会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直⾓三⾓形与⼀个⼩正⽅形拼成的⼀个⼤正⽅形（如图）．如果⼩正⽅形的⾯积为1，⼤正⽅形的⾯积为25，直⾓三⾓形中较⼩的锐⾓为θ，那么cos2θ的值等于．38. sin(α+30°)?sin(α?30°)cosα的值为．39. 已知tanα2=2，则tanα的值为，tan α+π4的值为．40. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c．若sin A:sin B:sin C=5:7:8，则a:b:c=，∠B的⼤⼩是．41. 在△ABC中，若sin A:sin B:sin C=5:7:8，则∠B的⼤⼩是．42. 在△ABC中，∠A=2π3，a=c，则bc=．43. 在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则sin2Asin C=．44. 已知函数f x=x2?cos x，对于 ?π2,π2上的任意x1、x2，有如下条件：①x1>x2；②x12>x22；③∣x1∣>x2．其中能使f x1>f x2恒成⽴的条件序号是．45. 设函数f x=A sinωx+φ（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）．若f x在区间π6,π2上具有单调性，且fπ2=f2π3=?fπ，则f x的最⼩正周期为．46. 在平⾯直⾓坐标系xOy中，⾓α与⾓β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=13，则cosα?β=．47. 在△ABC中，∠A=2π3，a=3c，bc=．48. 在△ABC中，a=1，b=2，cos C=14，则c=；sin A=．49. 椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若∣PF1∣=4，则∣PF2∣=；∠F1PF2的⼤⼩为．50. 已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均为锐⾓），那么cosαcosβcosγ的最⼤值等于．51. 在△ABC中，若b=5，∠B=π4，tan A=2，则sin A=；a=．52. 在函数f x=lg1+x2，g x=x+2,x0,∣x∣≤1,x+2,x>1,x=tan2x中，为偶函数的是．53. 曲线C是平⾯内与两个定点F1?1,0和F21,0的距离的积等于常数a2a>1的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的⾯积不⼤于12a2．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（共23⼩题；共299分）54. 已知函数f x=2sin x2cos x22sin2x2．（1）求f x的最⼩正周期；（2）求f x在区间?π,0上的最⼩值．55. 已知函数f x=sin x?23sin2x2．（1）求f x的最⼩正周期；（2）求f x在区间0,2π3上的最⼩值．56. 函数f x=3sin2x+π6的部分图象如图所⽰．（1）写出f x的最⼩正周期及图中x0，y0的值；（2）求f x在区间 ?π2,?π12上的最⼤值和最⼩值．57. 已知函数f x=2cos2x+sin2x．（1）求fπ3的值；（2）求f x的最⼤值和最⼩值．58. 已知函数f x=2sinωx cosωx+cos2ωxω>0的最⼩正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f x的单调递增区间．59. 在△ABC中，∠A=60°，c=37a．（1）求sin C的值；（2）若a=7，求△ABC的⾯积．60. 已知函数f x=3cos2x?π32sin x cos x．（1）求f x的最⼩正周期；（2）求证：当x∈ ?π4,π4时，f x≥?12．61. 已知函数f x=4cos x sin x+π61．（1）求f x的最⼩正周期；（2）求f x在区间 ?π6,π4上的最⼤值和最⼩值．62. 在△ABC中，a=3，b=26，∠B=2∠A．（1）求cos A的值；（2）求c的值．63. 已知函数f x=sin x?cos x sin2xsin x．（1）求f x的定义域及最⼩正周期；（2）求f x的单调递增区间．64. 已知函数f x=cos4x?2sin x cos x?sin4x．（1）求f x的最⼩正周期；（2）若x∈0,π2，求f x的最⼤值、最⼩值．65. 已知函数f x=1?2sin2x?π4cos x．（2）设α是第四象限的⾓，且tanα=?43，求fα的值．66. 已知函数f x=2cos2x?1sin2x+12cos4x．（1）求f x的最⼩正周期及最⼤值；（2）若α∈π2,π，且fα=22，求α的值．67. 已知函数f x=2sinπ?x cos x．（1）求f x的最⼩正周期；（2）求f x在区间 ?π6,π2上的最⼤值和最⼩值．68. 在△ABC中，sin A+cos A=22，AC=2，AB=3，求tan A的值和△ABC的⾯积．69. 如图，在△ABC中，∠B=π3，AB=8，点D在BC上，且CD=2，cos∠ADC=17．（1）求sin∠BAD；（2）求BD,AC的长．70. 在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π3，cos A=45，b=3．（1）求sin C的值；（2）求△ABC的⾯积．71. 已知函数f x=6cos4x?5cos2x+1cos2x，求f x的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．72. 已知函数f x=sin2ωx+3sinωx sin ωx+πω>0的最⼩正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f x在区间0,2π3上的取值范围．73. 已知函数f x=6cos4x+5sin2x?4cos2x，求f x的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．74. 已知函数f x=1?sin2xcos x．（1）求f x的定义域；（2）设α是第四象限的⾓，且tanα=?43，求fα的值．75. 在△ABC中，⾓A，B，C对边分别为a，b，c，证明：a2?b2c =sin A?Bsin C．76. 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知a，b，c成等⽐数列，且a2?c2=ac?bc，求∠A的⼤⼩及b sin Bc的值．答案第⼀部分1. C2. A3. A 【解析】四个等腰三⾓形的⾯积之和为412×1×1×sinα =2sinα．由余弦定理可得正⽅形的边长为12+12?2×1×1×cosα=2?2cosα，故正⽅形的⾯积为2? 2cosα．故所求⼋边形的⾯积为2sinα?2cosα+2．4. B 【解析】由正弦定理：asin A =bsin B及已知得31=5sin B所以sin B=59．5. A6. C7. D8. C9. A 10. A11. C 12. A 【解析】f x=1?cos2x cos x =1?1?2sin2xcos x=2∣sin x∣cos x．当x∈0,π2或x∈π2,π时，sin x≥0，f x=2tan x在0,π2,π2,π上为递增；当x∈π,3π2或x∈3π2,2π时，sin x≤0，f x=?2tan x在π,3π2,3π2,2π上为递减．13. B 14. B 15. A【解析】cos2α=12，所以2α=2kπ±π3k∈Z，故α=kπ±πk∈Z．16. A 【解析】因为点P在y=sin2x?π3的图象上，所以t=sin2×π4?π3=12．点Pπ4,12向左平移s s>0个单位长度得到P?π4s,12．因为P?π4?s,12在y=sin2x的图象上，所以12=sin2π4s =cos2s．所以2s=±π3+2kπk∈Z，所以s=±π6+kπk∈Z．⼜s>0，所以s min=π617. B 【解析】因为A、B是锐⾓三⾓形的两个内⾓，所以A+B>90°，所以90°>B>90°?A> 0°，所以cos Bcos A，故点P cos B? sin A,sin B?cos A在第⼆象限．18. B 【解析】y=12+sin x+cos x =2+2sin x+π4≤2?2=1+22．19. B 20. A21. B 【解析】提⽰：当取出的线段长为2、3、4或2、4、5时，可组成钝⾓三⾓形．22. D 【解析】因为对于钝⾓三⾓形，必定有α+β<90°，所以A．tanαtanβB．sinα+sinβcosα+cos90°?α=cosα+sinα=2sinα+45°>1，故C对．。
2020年高考数学十年真题精解(全国Ⅰ卷)专题04 三角函数与解三角形(word档含答案)
2020年高考数学十年高考真题精解（全国卷I）专题4 三角函数与解三角形十年树木，百年树人，十年磨一剑。
本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，对全国卷Ⅰ具有重要的应试性和导向性。
三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）。
（一）2020考纲（二）本节考向题型研究汇总一、考向题型研究一：三角化简求值（2019新课标I卷T7文科）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+【答案】D【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解．【解析】解：tan255°＝tan（180°+75°）＝tan75°＝tan（45°+30°）＝＝＝．故选：D．【点睛】本题考查三角函数的取值，考查诱导公式与两角和的正切，是基础题．（2015新课标I 卷T2理科）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A ） （B （C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. （2010新课标I 卷T1文科）cos300︒=(A)2-(B)-12 (C)12(D) 2 【答案】C【分析】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒=（2011新课标I 卷T7文科）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（ ） A ．﹣B ．﹣C ．D ．【答案】B【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值． 【解析】解：根据题意可知：tanθ=2，所以cos 2θ===，则cos2θ=2cos 2θ﹣1=2×﹣1=﹣．故选：B ．【点睛】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．注意： (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．（2010新课标I 卷T2理科）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=A.k B. -kC.【答案】B【分析】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析】sin80=o,所以tan100tan80︒=-osin 80cos80=-=o o一、角的有关概念1．定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．分类（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角． （2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合·3{|}60,S k k ββα==+︒∈Z ．3．象限角与轴线角第一象限角的集合为π2π2π,2k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第二象限角的集合为π2π2ππ,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第三象限角的集合为3π2ππ2π,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第四象限角的集合为3π2π2π2π,.2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 终边与x 轴非负半轴重合的角的集合为{}2π,k k αα=∈Z ；终边与x 轴非正半轴重合的角的集合为{}2ππ,k k αα=+∈Z ；终边与x 轴重合的角的集合为{}π,k k αα=∈Z ；终边与y 轴非负半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴非正半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴重合的角的集合为ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与坐标轴重合的角的集合为π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ． 象限角和终边相同的角的判断及表示方法： 1．已知θ所在的象限，求nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k ）表示，然后两边同除以n 或乘以n ，再对k 进行讨论，得到nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限．2．象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k ·360°＋α（0°≤α<360°，k ∈Z ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解. 二、弧度制1．1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 规定：,ll rα=是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．2．弧度制用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． 3．弧度与角度的换算180π180πrad ,1rad =57.3,1=rad π180⎛⎫︒=︒≈︒︒ ⎪⎝⎭． 4．弧长公式l r α=，其中α的单位是弧度，l 与r 的单位要统一.角度制下的弧长公式为：π180n rl =（其中n 为扇形圆心角的角度数）. 5．扇形的面积公式21122S lr r α==.角度制下的扇形面积公式为：2π360n r S =（其中n 为扇形圆心角的角度数）.三、任意角的三角函数 1．定义设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0OP r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan y x y r r xααα===． 注意：正切函数tan y x α=的定义域是ππ,2k k αα⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R .2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即()cos ,sin P αα，其中cos ,sin ,OM MP αα==单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan AT α=．我们把有向线段,,OM MP AT 分别叫做α的余弦线、正弦线、正切线．各象限内的三角函数线如下： 角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形三角函数线的应用：1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.4．特殊角的三角函数值补充：sin15cos 75,sin 75cos15,44︒=︒=︒=︒=tan152,tan 752︒=︒=+四、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系22sin cos 1αα+=．2．商的关系sin cos tan ααα=． 3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；（2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=； （3）2222111tan 1,1cos sin tan αααα-=-=． 同角三角函数基本关系式的应用：1．利用22sin +cos 1αα=可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan ααα=可以实现角α的弦切互化．2．sin ,cos αα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin ,cos αα的齐次式，或含有22sin ,cos αα及sin cos αα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“22sin +cos 1αα=”代换后转化为“切”后求解.二、考向题型研究二：三角恒等变换（2017新课标I卷T15文科）已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）=．【答案】【分析】根据同角的三角函数的关系求出sinα=，cosα=，再根据两角差的余弦公式即可求出．【解析】解：∵α∈（0，），tanα=2，∴sinα=2cosα，∵sin2α+cos2α=1，解得sinα=，cosα=，∴cos（α﹣）=cosαcos+sinαsin=×+×=，故答案为：【点睛】本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式，考查了学生的运算能力，属于基础题（2016新课标I 卷T14文科）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ-π4)= . 【答案】43-【解析】依题θ+π4是第一象限角，cos(θ+π4)=45，tan(θ-π4)=- tan(π4-θ) =- tan[π2-(θ+π4)]=- sin[π2-(θ+π4)]/cos[π2-(θ+π4)]=- cos(θ+π4)/ sin(θ+π4)=43-（2010新课标I 卷T14文科）已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= .【答案】247-【分析】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为α为第二象限的角,又3sin 5α=, 所以4cos 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==-,所22tan 24tan(2)1tan 7ααα==--(2014新课标Ⅰ卷T8理科)设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ ）A. 3α﹣β=B .3α+β= C. 2α﹣β=D.2α+β=【答案】C 【分析】化切为弦，整理后得到sin （α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A ，B ，然后验证C 满足等式sin （α﹣β）=cosα，则答案可求【解析】 解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα， sin （α﹣β）=cosα．由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关． 排除选项A ，B 后验证C ， 当时，sin （α﹣β）=sin （）=cosα成立．故选：C ．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题（2010新课标I 卷T14理科）已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= .【答案】17-【分析】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解析】因为α为第三象限的角,所以2(2(21),2(21))()k k k Z απππ∈+++∈，又3cos 25α=-<0, 所以2(2(21),2(21))()2k k k Z παπππ∈++++∈,于是有4sin 25α=,sin 24tan 2cos 23ααα==-,所以tan(2)4πα+=41tantan 2134471tan tan 2143παπα-+==--+.1.三角函数的诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化． *诱导公式的应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． *诱导公式的应用：1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 3．利用诱导公式化简三角函数式的思路： （1）分析结构特点，选择恰当公式； （2）利用公式化成单角三角函数； 4．巧用相关角的关系能简化解题的过程． 常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等； 常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等. 2.．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+（2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-（3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+（4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-（5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z3．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- （3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且4．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±m ；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==，tan baϕ=5．半角公式（1）sin2α=（2）cos2α=（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图： 6．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=；cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-.*三角函数的求值问题1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解. 2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： （1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： （1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. 4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.（2）互余与互补关系例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=.（3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.三、考向题型研究三：三角函数图像的平移、伸缩和翻折问题（2017新课标I卷T9理科）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解析】解：把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin （2x+）的图象，即曲线C 2，故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．（2016新课标I 卷T6文科）若将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y =2sin(2x +4π)B ．y =2sin(2x +3π)C ．y =2sin(2x –4π)D ．y =2sin(2x –3π) 【答案】D【解析】对应的函数为y =2sin[ 2(x -14π⨯)+6π]，即y =2sin(2x –3π)，故选D*y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念*用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：*函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径*图像变换规律：设函数为()y f x =（所涉及参数均为正数）1、函数图像的平移变换：（1）()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位 （2）()f x a -：()f x 的图像向右平移a 个单位 （3）()f x b +：()f x 的图像向上平移b 个单位 （4）()f x b -：()f x 的图像向下平移b 个单位 2、函数图像的放缩变换：（1）()f kx ：()f x 的图像横坐标变为原来的1k（图像表现为横向的伸缩） （2）()kf x ：()f x 的图像纵坐标变为原来的k 倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换： （1）()fx ：()f x 在x 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y 轴对称的图像（2）()f x ：()f x 在x 轴上方的图像不变，x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折即可（与原x 轴下方图像关于x 轴对称） *图像变换中要注意的几点：1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换例如：()31y f x =+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤 ()2y f x =-+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现： （1）加“常数”⇔ 平移变换 （2）添“系数”⇔放缩变换 （3）加“绝对值”⇔翻折变换3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x 发生相应变化 ③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行 例如：()()21y f x y f x =→=+有两种方案方案一：先放缩：()()2y f x y f x =→=，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即()()()221y f x y f x =→=+方案二：先平移：()()1y f x y f x =→=+，则再放缩时，若纵坐标变为原来的a 倍，那么()()()11y f x y a f x =+→=+，无论a 取何值，也无法达到()21y f x =+，所以需要对前一步进行调整：平移12个单位，再进行放缩即可（2a =） 四、考向题型研究四：三角函数)sin(φ+=wx A y 的图像和性质（2015新课标I 卷T8文科）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A ．1(4k π-，3)4k π+，k z ∈B ．1(24k π-，32)4k π+，k z ∈C ．1(4k -，3)4k +，k z ∈ D ．1(24k -，32)4k +，k z ∈ 【答案】D【解析】解：由函数()cos()f x x ωφ=+的部分图象，可得函数的周期为2512()244πω=-=，ωπ∴=，()cos()f x x πφ=+．再根据函数的图象以及五点法作图，可得42ππφ+=，k z ∈，即4πφ=，()cos()4f x x ππ=+．由224k x k πππππ++剟，求得132244k x k -+剟，故()f x 的单调递减区间为1(24k -，32)4k +，k z ∈，故选：D ．（2019新课标I 卷T11理科）．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．（2015新课标I 卷T8理科）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） （A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 【点睛 】三角函数图像与性质（2011新课标I 卷T11文科）设函数，则f （x ）=sin （2x+）+cos （2x+），则（ ）A ．y=f （x ）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B ．y=f （x ）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C ．y=f （x ）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D ．y=f （x ）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称【答案】D【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f （x ）=sin （2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f （x ）在（0，）单调性，即可得到答案．【解析】解：因为f （x ）=sin （2x+）+cos （2x+）=sin （2x+）=cos2x ．由于y=cos2x 的对称轴为x=kπ（k ∈Z ），所以y=cos2x 的对称轴方程是：x=（k ∈Z ），所以A ，C 错误；y=cos2x 的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k ∈Z ），即（k ∈Z ），函数y=f （x ）在（0，）单调递减，所以B 错误，D 正确． 故选：D ．【点睛】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．（2016新课标I 卷T12文科）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(-∞,+∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[-1,1]B ．[-1,13]C ．[-,13]D ．[-1,-13] 【答案】C【解析】2()sin cos sin 3f x x -x x a x =+Q ，222'()1(cos sin )cos 3f x -x x a x ∴=-+，依题f'(x )≥0恒成立，即a cos x ≥2cos213x -恒成立，而(a cos x )min =-|a |，21111cos21||[]33333x a a -≤-∴-≥-∈-，，解得，，故选C（2012新课标I 卷T9文科）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4【答案】A【解析】由题设知，πω=544ππ-，∴ω=1，∴4πϕ+=2k ππ+（k Z ∈），∴ϕ=4k ππ+（k Z ∈），∵0ϕπ<<，∴ϕ=4π，故选A.（2011新课标I 卷T11理科）设函数f （x ）=sin （ωx+φ）+cos （ωx+φ）的最小正周期为π，且f （﹣x ）=f （x ），则（ ）A ．f （x ）在单调递减B ．f （x ）在（，）单调递减C ．f （x ）在（0，）单调递增D ．f （x ）在（，）单调递增【答案】A【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选． 【解析】解：由于f （x ）=sin （ωx+ϕ）+cos （ωx+ϕ）=，由于该函数的最小正周期为T=，得出ω=2，又根据f （﹣x ）=f （x ），得φ+=+kπ（k ∈Z ），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f （x ）=cos2x ，若x ∈，则2x ∈（0，π），从而f （x ）在单调递减，若x ∈（，），则2x ∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B ，C ，D 都错，A 正确．故选：A．【点睛】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．(2014新课标Ⅰ卷T6理科)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A ．B．C．D．【答案】C【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择【解析】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．【点睛】本题考查三角函数图像的性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． (2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z)3．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.（2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. （4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解，令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x .利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解，令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴.4．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的物理意义当函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0,[0,)x ∈+∞）表示一个简谐振动量时，则A 叫做振幅，T =2ωπ叫做周期，f =12πT ω=叫做频率,x ωϕ+叫做相位，x =0时的相位ϕ叫做初相.5、三角函数的综合应用（1）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的定义域均为R ；函数tan()y A x ωϕ=+的定义域均为ππ{|,}2k x x k ϕωωω≠-+∈Z . （2）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最大值为||A ，最小值为||A -；函数tan()y A x ωϕ=+的值域为R .（3）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期为2πω；函数tan()y A x ωϕ=+的最小正周期为πω．（4）对于()sin y A x ωϕ=+，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为奇函数，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为偶函数；对于()cos y A x ωϕ=+，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为奇函数，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为偶函数；对于()tan y A x ωϕ=+，当且仅当()π2k k ϕ=⋅∈Z 时为奇函数．（5）函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式ππ2π2π(22k x k k ωϕ-≤+≤+ )∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()π3π2π2π22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 来确定；函数()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()2ππ2πk x k k ωϕ-≤+≤∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()2π2ππk x k k ωϕ≤+≤+∈Z 来确定；函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()ππππ22k x k k ωϕ-<+<+∈Z 来确定． 【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+（ω有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把ω化为正数后再求解． （6）函数sin()y A x ωϕ=+图象的对称轴为ππ()2k x k ϕωωω=-+∈Z ，对称中心为π(,0)()k k ϕωω-∈Z ；函数cos()y A x ωϕ=+图象的对称轴为π()k x k ϕωω=-∈Z ，对称中心为ππ(,0)()2k k ϕωωω-+∈Z ；函数tan()y A x ωϕ=+图象的对称中心为π(,0)()2k k ϕωω-∈Z .【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线都为对称轴. 函数tan()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点都为对称中心，无对称轴.(7)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(8)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点． (9)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.6、关于辅助角公式：()sin cos a b αααϕ+=+：sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭② 二找：由221⎛⎫⎛⎫+=，故可看作同一个角的正余弦（称ϕ为辅助角），如cos ϕϕ==，可得：)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+③ 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+注意事项：① 在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角② 此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角， 7、表达式的化简攻略：可化简的表达式多种多样，很难靠列举一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，所以说几条适用性广的建议： （1）观察式子：主要看三点① 系统：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦），确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）② 确定研究对象：是以x 作为角来变换，还是以x 的表达式（例如2x ）看做一个角来进行变换。
十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之三角函数
十年高考真题（2011-2020）（北京卷）专题05三角函数与解三角形本专题考查的知识点为：三角函数与解三角形，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：三角函数的性质，正余弦定理解三角形，正余弦定理的实际应用，三角函数的实际应用，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以三角函数的性质，正余弦定理解三角形的方法为重点较佳.1．【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“ 割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）． A ．3n (sin 30°n +tan 30°n ) B ．6n (sin 30°n +tan 30°n) C ．3n (sin60°n+tan60°n)D ．6n (sin60°n+tan60°n)2．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线x ﹣my ﹣2＝0的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．【2016年北京理科07】将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P （π4，t ）向左平移s （s ＞0）个单位长度得到点P ′，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则（ ） A ．t =12，s 的最小值为π6 B ．t =√32，s 的最小值为π6 C ．t =12，s 的最小值为π3D ．t =√32，s 的最小值为π34．【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 5．【2019年北京理科09】函数f （x ）＝sin 22x 的最小正周期是 ．6．【2018年北京理科11】设函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ．7．【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=13，则cos（α﹣β）＝．8．【2015年北京理科12】在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin2AsinC=．9．【2014年北京理科14】设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f（π2）＝f（2π3）＝﹣f（π6），则f（x）的最小正周期为．10．【2012年北京理科11】在△ABC中，若a＝2，b+c＝7，cos B=−14，则b＝．11．【2011年北京理科09】在△ABC中．若b＝5，∠B=π4，tan A＝2，则sin A＝；a＝．12．【2020年北京卷17】在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）sinC和△ABC的面积．条件①：c=7,cosA=−17；条件②：cosA=18,cosB=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．13．【2019年北京理科15】在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B=−12．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．14．【2018年北京理科15】在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B=−17．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．15．【2017年北京理科15】在△ABC中，∠A＝60°，c=37a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．16．【2016年北京理科15】在△ABC中，a2+c2＝b2+√2ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求√2cos A+cos C的最大值．17．【2015年北京理科15】已知函数f（x）=√2sin x2cos x2−√2sin2x2．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．18．【2014年北京理科15】如图，在△ABC中，∠B=π3，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC=17．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．19．【2014年北京理科18】已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x，x∈[0，π2]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜sinxx ＜b对x∈（0，π2）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．20．【2013年北京理科15】在△ABC中，a＝3，b＝2√6，∠B＝2∠A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求c的值．21．【2012年北京理科15】已知函数f（x）=(sinx−cosx)sin2xsinx．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．22．【2011年北京理科15】已知f（x）＝4cos x sin（x+π6）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．1．sin75o cos30o−cos75o sin30o的值为（）A．1B．12C．√22D．√322．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】在△ABC中，a＝7，c＝3，∠A＝60°，则△ABC的面积为（）A．152√3B．154√3C．12√3D．6√33．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】函数y=2cos2x−1的最小正周期为（）A．π2B．πC．2πD．4π4．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y=x+2B．y=sinx C．y=x−x3D．y=2x5．【北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）】下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=12sinx B．y=sin12xC．y=cos(x+π4)D．y=12tanx6．把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为（）A．y=sin(2x−π3),x∈R B．y=sin(2x+π3),x∈RC．y=sin(12x−π6),x∈R D．y=sin(12x+π6),x∈R7．【北京市人大附中2019届高三高考信息卷（三）】在三角形ABC中,AB=1,AC=√2,∠C=π6,则∠B=（）A．π4B．π4或π2C．3π4D．π4或3π48．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=（）A．sin(2x+π6)B．sin(2x+2π3)C．cos2x D．−cos2x9．【北京市西城外国语学校2019-2020学年高一第二学期诊断性测试】为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π8个单位长度D．向右平移π8个单位长度10．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】已知△ABC，则sinA=cosB”是△ABC是直角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．【北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是32，则b=（）A．1+√3B．1+√32C．2+√32D．2+√312．【2020届北京市高考适应性测试】为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向左平移π3个单位B．向左平移π6个单位C．向右平移π3个单位D．向右平移π6个单位13．【北京市第四中学2019届高三高考调研】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=a(cosC+√33sinC )，a=2，c=2√63，则角C=()A．π3B．π6C．3π4D．π414．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】若f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A>0，|φ|<π2）的图象如图，为了得g(x)=sin(2x−π3)的图象，则需将f(x)的图象（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π3个单位15．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】在△ABC中，若a=7，b=8，cosB=−17，则∠A的大小为（）A．π6B．π4C．π3D．π216．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)．若关于x的方程f(x)= 1在区间[0 ， π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（）A．3B．4C．5D．617．【2020届北京市第22中学高三第一学期第二次阶段性考试】为了得到函数y=sin(2x−π3)的图像，只需将函数y=sin2x的图像（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π3个单位18．【2019届北京市十一学校高考前适应性练习】在ΔABC中，A=60°，B=75°，BC=10，则AB= A．5√2B．10√2C．5√6D．10√6319．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin(2x+π4)B．y=2sin(2x+π3)C．y=2sin(2x−π4)D．y=2sin(2x−π3)20．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12(ω>0，x∈R)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的最大值是()A．512B．56C．1112D．3221．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】设函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，其中0<ω<3.已知f(π6)=0.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[−π4,3π4]上的最小值.22．【北京市人大附中2019届高考信息卷（二）】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋√3asinC－b－c＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cosB ＝17，AD ＝√1292，求△ABC 的面积．23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，b =2√3，c =3，cosB =−13． （1）求sinC 的值； （2）求ΔABC 的面积．24．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】如图，在四边形ABCD 中，∠A =60°，∠ABC =90°，已知AD =√3，BD =√6.（1）求sin∠ABD 的值；（2）若CD =2，且CD >BC ，求BC 的长.25．【北京市西城区第八中学2019-2020学年高三上学期期中】ΔABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且cosA =13．(1)求sin 2B+C 2+cos2A 的值；(2)若a =√3，求△ABC 面积的最大值．26．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】在ΔABC 中，c =1，A =2π3，且ΔABC 的面积为√32． （1）求a 的值；（2）若D 为BC 上一点，且，求sin∠ADB 的值．从①AD =1，②∠CAD =π6这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．27．【2020届北京市房山区高三第一次模拟】在△ABC 中，a =√2，c =√10，________.（补充条件） （1）求△ABC 的面积；（2）求sin （A +B ）.从①b ＝4，②cosB =−√55，③sinA =√1010这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.28．【2020届北京市海淀区高三一模】已知函数f(x)=2cos 2ω1x +sinω2x . (I)求f (0)的值；(II)从①ω1=1,ω2=2；②ω1=1,ω2=1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在[−π2,π6]上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.29．【北京市第十三中学2020届高三下学期开学测试】已知△ABC 同时满足下列四个条件中的三个： ①A =π3；②cosB =−23；③a =7；④b =3． （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由； （Ⅱ）求△ABC 的面积．30．【2020届北京市石景山区高三4月统一测试】已知锐角△ABC ，同时满足下列四个条件中的三个： ①A =π3②a =13③c =15④sinC =13 （1）请指出这三个条件，并说明理由； （2）求△ABC 的面积.1．【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A．3n(sin30°n +tan30°n)B．6n(sin30°n+tan30°n)C．3n(sin60°n +tan60°n)D．6n(sin60°n+tan60°n)【答案】A 【解析】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n，单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n ，其周长为12ntan30°n，∴2π=12nsin 30°n+12ntan30°n2=6n(sin30°n+tan30°n)，则π=3n(sin30°n +tan30°n).故选：A.2．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】解：由题意d=√12+m2=|√m2+1sin(θ+α)−2|√m2+1，tanα=1m =yx，∴当sin（θ+α）＝﹣1时，d max＝1√m2+1≤3．∴d的最大值为3．故选：C ．3．【2016年北京理科07】将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P （π4，t ）向左平移s （s ＞0）个单位长度得到点P ′，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则（ ） A ．t =12，s 的最小值为π6B ．t =√32，s 的最小值为π6C ．t =12，s 的最小值为π3D ．t =√32，s 的最小值为π3【答案】解：将x =π4代入得：t ＝sin π6=12，将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P 向左平移s 个单位，得到P ′（π4−s ，12）点，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上， 则sin （π2−2s ）＝cos2s =12，则2s =±π3+2k π，k ∈Z ，则s =±π6+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k ＝0时，s 的最小值为π6，故选：A ．4．【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 【答案】π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可） 【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.故答案为：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）.5．【2019年北京理科09】函数f （x ）＝sin 22x 的最小正周期是 ． 【答案】解：∵f （x ）＝sin 2（2x ）， ∴f （x ）=−12cos(4x)+12， ∴f （x ）的周期T =π2，26．【2018年北京理科11】设函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ．【答案】解：函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，可得：ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23，k ∈Z ，ω＞0则ω的最小值为：23．故答案为：23．7．【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sin α=13，则cos （α﹣β）＝ ．【答案】解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sin α＝sin β=13，cos α＝﹣cos β，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β＝﹣cos 2α+sin 2α＝2sin 2α﹣1=29−1=−79 方法二：∵sin α=13，当α在第一象限时，cos α=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=−2√23， ∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79：∵sin α=13，当α在第二象限时，cos α=−2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第一象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=2√23， ∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79综上所述cos （α﹣β）=−79，98．【2015年北京理科12】在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2AsinC = ． 【答案】解：∵△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴cos C =16+25−362×4×5=18，cos A =25+36−162×5×6=34∴sin C =3√78，sin A =√74， ∴sin2AsinC =2×√74×343√78=1．故答案为：1．9．【2014年北京理科14】设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f （2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ． 【答案】解：由f （π2）＝f （2π3），可知函数f （x ）的一条对称轴为x =π2+2π32=7π12，则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0），由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T4⇒T ＝π． 故答案为：π．10．【2012年北京理科11】在△ABC 中，若a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14，则b ＝ ． 【答案】解：由题意，∵a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14， ∴b 2=22+(7−b)2−2×2×(7−b)×(−14)∴b ＝4 故答案为：411．【2011年北京理科09】在△ABC 中．若b ＝5，∠B =π4，tan A ＝2，则sin A ＝ ；a ＝ ．【答案】解：由tan A ＝2，得到cos 2A =11+tan 2A =15， 由A ∈（0，π），得到sin A =√1−15=2√55，根据正弦定理得：asinA=b sinB，得到a =bsinA sinB=5×2√55√22=2√10．故答案为：2√55；2√10 12．【2020年北京卷17】在△ABC 中，a +b =11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sinC 和△ABC 的面积． 条件①：c =7,cosA =−17；条件②：cosA =18,cosB =916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sinC =√32,S =6√3；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sinC =√74,S =15√74. 【解析】选择条件①（Ⅰ）∵c =7,cosA =−17，a +b =11∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ∴a 2=(11−a)2+72−2(11−a)⋅7⋅(−17)∴a =8（Ⅱ）∵cosA =−17，A ∈(0,π)∴sinA =2A =4√37由正弦定理得：a sinA =c sinC ∴4√37=7sinC ∴sinC =√32S =12basinC =12(11−8)×8×√32=6√3选择条件②（Ⅰ）∵cosA =18,cosB =916，A,B ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =3√78,sinB =√1−cos 2B =5√716由正弦定理得：asinA =bsinB ∴3√78=5√716∴a =6（Ⅱ）sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =3√78×916+5√716×18=√74S =12basinC =12(11−6)×6×√74=15√74. 13．【2019年北京理科15】在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B ﹣C ）的值．【答案】解：（Ⅰ）∵a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． ∴由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B =9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)， ∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（Ⅱ）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32， 由正弦定理有：csinC =b sinB，∴sinC =csinB b=5×√327=5√314， ∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C =1114，∴sin （B ﹣C ）＝sin B cos C ﹣cos B sin C=√32×1114−(−12)×5√314=4√37． 14．【2018年北京理科15】在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B =−17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】解：（Ⅰ）∵a ＜b ，∴A ＜B ，即A 是锐角， ∵cos B =−17，∴sin B =√1−cos 2B =√1−(−17)2=4√37， 由正弦定理得a sinA =b sinB 得sin A =asinB b=7×4√378=√32， 则A =π3．（Ⅱ）由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 即64＝49+c 2+2×7×c ×17， 即c 2+2c ﹣15＝0， 得（c ﹣3）（c +5）＝0，得c ＝3或c ＝﹣5（舍）， 则AC 边上的高h ＝c sin A ＝3×√32=3√32． 15．【2017年北京理科15】在△ABC 中，∠A ＝60°，c =37a ． （1）求sin C 的值；（2）若a ＝7，求△ABC 的面积． 【答案】解：（1）∠A ＝60°，c =37a ，由正弦定理可得sin C =37sin A =37×√32=3√314， （2）a ＝7，则c ＝3， ∴C ＜A ，∵sin 2C +cos 2C ＝1，又由（1）可得cos C =1314， ∴sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C =√32×1314+12×3√314=4√37， ∴S △ABC =12ac sin B =12×7×3×4√37=6√3．16．【2016年北京理科15】在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． （Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）求√2cos A +cos C 的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． ∴a 2+c 2﹣b 2=√2ac ． ∴cos B =a 2+c 2−b 22ac=√2ac2ac=√22， ∴B =π4（Ⅱ）由（I ）得：C =3π4−A ，∴√2cos A +cos C =√2cos A +cos （3π4−A ） =√2cos A −√22cos A +√22sin A =√22cos A +√22sin A ＝sin （A +π4）． ∵A ∈（0，3π4），∴A +π4∈（π4，π），故当A +π4=π2时，sin （A +π4）取最大值1， 即√2cos A +cos C 的最大值为1．17．【2015年北京理科15】已知函数f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2 =√22sin x −√22（1﹣cos x ） ＝sin x cos π4+cos x sin π4−√22＝sin （x +π4）−√22， 则f （x ）的最小正周期为2π； （Ⅱ）由﹣π≤x ≤0，可得 −3π4≤x +π4≤π4，即有﹣1≤sin(x +π4)≤√22， 则当x =−3π4时，sin （x +π4）取得最小值﹣1， 则有f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1−√22． 18．【2014年北京理科15】如图，在△ABC 中，∠B =π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC =17． （1）求sin ∠BAD ； （2）求BD ，AC 的长．【答案】解：（1）在△ABC 中，∵cos ∠ADC =17，∴sin ∠ADC =√1−cos 2∠ADC =√1−(17)2=√4849=4√37， 则sin ∠BAD ＝sin （∠ADC ﹣∠B ）＝sin ∠ADC •cos B ﹣cos ∠ADC •sin B =4√37×12−17×√32=3√314． （2）在△ABD 中，由正弦定理得BD =AB⋅sin∠BAD sin∠ADB=8×3√3144√37=3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos B ＝82+52﹣2×8×5×12=49， 即AC ＝7．19．【2014年北京理科18】已知函数f （x ）＝x cos x ﹣sin x ，x ∈[0，π2] （1）求证：f （x ）≤0； （2）若a ＜sinx x＜b 对x ∈（0，π2）上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．【答案】解：（1）由f （x ）＝x cos x ﹣sin x 得 f ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ， 此在区间∈（0，π2）上f ′（x ）＝﹣x sin x ＜0， 所以f （x ）在区间∈[0，π2]上单调递减， 从而f （x ）≤f （0）＝0． （2）当x ＞0时，“sinx x＞a ”等价于“sin x ﹣ax ＞0”，“sinx x＜b ”等价于“sin x ﹣bx ＜0”令g （x ）＝sin x ﹣cx ，则g ′（x ）＝cos x ﹣c ， 当c ≤0时，g （x ）＞0对x ∈（0，π2）上恒成立，当c ≥1时，因为对任意x ∈（0，π2），g ′（x ）＝cos x ﹣c ＜0，所以g （x ）在区间[0，π2]上单调递减，从而，g （x ）＜g （0）＝0对任意x ∈（0，π2）恒成立，当0＜c ＜1时，存在唯一的x 0∈（0，π2）使得g ′（x 0）＝cos x 0﹣c ＝0， g （x ）与g ′（x ）在区间（0，π2）上的情况如下：x （0，x 0） x 0 （x 0，π2） g ′（x ） + ﹣ g （x ）↑↓因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）＝0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立，当且仅当g(π2)=1−π2c≥0即0＜c≤2π综上所述当且仅当c≤2π时，g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，π2）恒成立，所以若a＜sinxx ＜b对x∈（0，π2）上恒成立，则a的最大值为2π，b的最小值为120．【2013年北京理科15】在△ABC中，a＝3，b＝2√6，∠B＝2∠A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求c的值．【答案】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a＝3，b=2√6，∠B＝2∠A，利用正弦定理可得asinA =bsinB，即3sinA=2√6sin2A=2√62sinAcosA．解得cos A=√63．（Ⅱ）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即9=(2√6)2+c2﹣2×2√6×c×√63，即c2﹣8c+15＝0．解方程求得c＝5，或c＝3．当c＝3时，此时a＝c＝3，根据∠B＝2∠A，可得B＝90°，A＝C＝45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2＝b2，故舍去．当c＝5时，求得cos B=a 2+c2−b22ac=13，cos A=b2+c2−a22bc=√63，∴cos2A＝2cos2A﹣1=13=cos B，∴B＝2A，满足条件．综上，c＝5．21．【2012年北京理科15】已知函数f（x）=(sinx−cosx)sin2xsinx．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．【答案】解：f(x)=(sinx−cosx)sin2xsinx =(sinx−cosx)2sinxcosxsinx=2(sinx−cosx)cosx＝sin2x﹣1﹣cos2x=√2sin（2x−π4）﹣1k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z}（1）原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π．（2）由2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，原函数的单调递增区间为[kπ−π8，kπ)，k∈Z，(kπ，kπ+3π8]，k∈Z22．【2011年北京理科15】已知f（x）＝4cos x sin（x+π6）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．【答案】解：（Ⅰ）∵f(x)=4cosxsin(x+π6)−1，＝4cos x（√32sinx+12cosx）﹣1=√3sin2x+2cos2x﹣1=√3sin2x+cos2x＝2sin（2x+π6），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵−π6≤x≤π4，∴−π6≤2x+π6≤2π3，∴当2x+π6=π2，即x=π6时，f（x）取最大值2，当2x+π6=−π6时，即x=−π6时，f（x）取得最小值﹣1．1．sin75o cos30o−cos75o sin30o的值为（）A．1B．12C．√22D．√32【答案】C 【解析】sin75o cos30o−cos75o sin30o2．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】在△ABC中，a＝7，c＝3，∠A＝60°，则△ABC的面积为（）A．152√3B．154√3C．12√3D．6√3【答案】D【解析】∵a＝7，c＝3，∠A＝60°，∴由正弦定理可得：sin C=c•sin Aa=3×√327=3√314，∵a＞c，C为锐角，∴cos C=√1−sin2C=1314，∴可得：s inB=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C＝=√32×1314+12×3√314=4√37，∴SΔABC=12ac sin B=12×7×3×4√37=6√3．故选D．3．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】函数y=2cos2x−1的最小正周期为（）A．π2B．πC．2πD．4π【答案】B【解析】由题可知：y=2cos2x−1=cos2x所以最小正周期为T=2π|ω|=2π2=π故选：B4．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y=x+2B．y=sinx C．y=x−x3D．y=2x【答案】C【解析】A.y=x+2，值域为R，非奇非偶函数，排除；B.y=sinx，值域为[−1,1]，奇函数，排除；C.y=x−x3，值域为R，奇函数，满足；D.y=2x，值域为(0,+∞)，非奇非偶函数，排除；故选：C.5．【北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）】下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=12sinx B．y=sin12xC．y=cos(x+π4)D．y=12tanx【答案】D【解析】由函数y=12sinx的最小正周期为2π，故排除A；由函数y=sin12x的最小正周期为2π12=4π，故排除B；由函数y=cos(x+π4)的最小正周期为2π，故排除C；由正切函数的最小正周期的公式，可得函数y=12tanx的最小正周期为π，故D满足条件，故选：D.6．把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为（）A．y=sin(2x−π3),x∈R B．y=sin(2x+π3),x∈RC．y=sin(12x−π6),x∈R D．y=sin(12x+π6),x∈R【答案】D 【解析】由题意将函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度可得到函数y=sin(x+π6)(x∈R)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(12x+π6),x∈R的图象.故选：D.7．【北京市人大附中2019届高三高考信息卷（三）】在三角形ABC中,AB=1,AC=√2,∠C=π6,则∠B=（）A．π4B．π4或π2C．3π4D．π4或3π4【答案】D 【解析】由正弦定理得ABsinC =ACsinB∴1sinπ6=√2sinB,sinB=√22∴B=π4或B=3π4，选D.8．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=（）A．sin(2x+π6)B．sin(2x+2π3)C．cos2x D．−cos2x 【答案】C【解析】由题意g(x)=sin[2(x+π3)−π6]=sin(2x+π2)=cos2x.故选：C.9．【北京市西城外国语学校2019-2020学年高一第二学期诊断性测试】为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π8个单位长度D．向右平移π8个单位长度【答案】D 【解析】sin(2x−π4)=sin2(x−π8)，据此可知，为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移π8个单位长度.本题选择D选项.10．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】已知△ABC，则sinA=cosB”是△ABC是直角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】若sinA=cosB，则A+B=π2或A=B+π2，不能推出△ABC是直角三角形；若A=π2，则sinA≠cosB，所以△ABC是直角三角形不能推出sinA=cosB;所以sinA=cosB”是△ABC是直角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D.11．【北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是32，则b=（）A．1+√3B．1+√32C．2+√32D．2+√3【答案】A 【解析】由已知S=12acsinB=12acsin30°=14ac=32，ac=6，所以b2=a2+c2−2accos30°=(a+c)2−2ac−√3ac=4b2−6(2+√3)，解得b=√3+1．故选：A．12．【2020届北京市高考适应性测试】为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向左平移π3个单位B．向左平移π6个单位C．向右平移π3个单位D．向右平移π6个单位【答案】D【解析】因为，所以为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象向右平移π6个单位；故选D．13．【北京市第四中学2019届高三高考调研】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=a(cosC+√33sinC )，a=2，c=2√63，则角C=()A．π3B．π6C．3π4D．π4【答案】D 【解析】∵b =a (cosC +√33sinC)， ∴由正弦定理可得：sinB =sinAcosC +√33sinCsinA ，又∵sinB =sin (A +C )=sinAcosC +cosAsinC ， ∴可得：√33sinA =cosA ，可得：tanA =√3，∵A ∈(0,π)，∴A =π3，可得：sinA =√32， 又∵a =2，c =2√63， ∴由正弦定理可得：sinC =c ⋅sinA a=2√63×√322=√22，∵c <a ，C 为锐角，∴C =π4．故选：D ．14．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】若f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，|φ|<π2）的图象如图，为了得g(x)=sin(2x −π3)的图象，则需将f(x)的图象（）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向左平移π3个单位【答案】B 【解析】由已知中函数f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，|φ|<π2）的图象， 可得：A =1,T =4(7π12−π3)=π，即ω=2 即f (x )=sin(2x +φ)，将(7π12,−1)点代入得：7π6+φ=3π2+2kπ,k ∈Z 又由|φ|<π2∴φ=π3∴f(x)=sin(2x +π3)，即f(x)=sin(2x +π3)=sin2(x +π6)g(x)=sin(2x −π3)=sin2(x −π6)所以将函数f (x )的图象向右平移π6−(−π6)=π3个单位得到函数g(x)=sin(2x −π3)的图象， 故选：B15．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】在△ABC 中，若a =7，b =8，cosB =−17，则∠A 的大小为（） A ．π6 B ．π4C ．π3D ．π2【答案】C 【解析】cosB =−17，B ∈(π2,π)，故sinB =√1−cos 2B =4√37，根据正弦定理：a sinA =bsinB ，故sinA =7×4√378=√32，A ∈(0,π2)，故A =π3.故选：C.16．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】已知函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)．若关于x 的方程f(x)=1在区间[0 ， π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】令t =ωx +π6，∵x ∈[0 ， π]，∴π6≤ωx +π6≤ωπ+π6，∵y =sint 的图象如图所示，∵关于x 的方程f(x)=1在区间[0，]上有且仅有两个不相等的实根，∴y=sint=1在[π6,ωπ+π6]上有且仅有两个不相等的实根，∴5π2≤ωπ+π6≤17π4⇒52≤ω≤4912，∴ω的最大整数值为4，故选：B.17．【2020届北京市第22中学高三第一学期第二次阶段性考试】为了得到函数y=sin(2x−π3)的图像，只需将函数y=sin2x的图像（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π3个单位【答案】A 【解析】根据函数平移变换,由y=sin2x变换为y=sin(2x−π3)=sin2(x−π6),只需将y=sin2x的图象向右平移π6个单位，即可得到y=sin(2x−π3)的图像，故选A.18．【2019届北京市十一学校高考前适应性练习】在ΔABC中，A=60°，B=75°，BC=10，则AB= A．5√2B．10√2C．5√6D．10√63【答案】D【解析】由内角和定理知C=180°−(60°+75°)=45°，所以ABsinC =BCsinA，即AB=BCsinCsinA =10×sin45°sin60°=10√63，故选D.19．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin(2x+π4)B．y=2sin(2x+π3)C．y=2sin(2x−π4)D．y=2sin(2x−π3)【答案】D 【解析】函数y=2sin(2x+π6)的周期为π，将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得图象对应的函数为y=2sin[2(x−π4)+π6)]=2sin(2x−π3)，故选D.20．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12(ω>0，x∈R)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的最大值是()A．512B．56C．1112D．32【答案】C 【解析】f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12=√32sinωx+12cosωx=sin(ωx+π6),令f(x)=0,ωx+π6=kπ(k∈Z),x=kπω−π6ω(k∈Z)，函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，{kπω−π6ω≤π(k+1)πω−π6ω≥2π解得k−16≤ω≤k+12−112(k∈Z)，ω>0,∴k=0,0<ω≤512，k=1,56<ω≤1112ω的最大值是1112.故选:C.21．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】设函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，其中0<ω<3.已知f(π6)=0.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[−π4,3π4]上的最小值.【答案】(Ⅰ)ω=2.(Ⅱ)−32. 【解析】（Ⅰ）因为f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)， 所以f(x)=√32sinωx −12cosωx −cosωx=√3sinωx −3cosωx =√3(12sinωx −√32cosωx)=√3(sinωx −π3)由题设知f(π6)=0， 所以ωπ6−π3=kπ，k ∈Z . 故ω=6k +2，k ∈Z ，又0<ω<3， 所以ω=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=√3sin(2x −π3) 所以g(x)=√3sin(x +π4−π3)=√3sin(x −π12). 因为x ∈[−π4,3π4]，所以x −π12∈[−π3,2π3]，当x −π12=−π3，即x =−π4时，g(x)取得最小值−32.22．【北京市人大附中2019届高考信息卷（二）】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acosC ＋√3asinC －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cosB ＝17，AD ＝√1292，求△ABC 的面积．【答案】（1）A ＝60°；（2）10√3 【解析】(1)acosC ＋√3asinC －b －c ＝0，由正弦定理得sinAcosC ＋√3sinAsinC ＝sinB ＋sinC ， 即sinAcosC ＋√3sinAsinC ＝sin(A ＋C)＋sinC ，又sinC≠0，所以化简得√3sinA －cosA ＝1，所以sin(A －30°)＝12. 在△ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°. (2)在△ABC 中，因为cosB ＝17，所以sinB ＝4√37. 所以sinC ＝sin(A ＋B)＝√32×17＋12×4√37＝5√314. 由正弦定理得，a c =sin A sinC =75.设a ＝7x ，c ＝5x(x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BDcosB， 即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x×12×7x×17，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5，故S △ABC ＝12acsinB ＝10√3.23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，b =2√3，c =3，cosB =−13． （1）求sinC 的值； （2）求ΔABC 的面积． 【答案】（1）√63；（2）√2【解析】（1）在ΔABC 中，cosB =−13， ∴sinB =√1−cos 2B =√1−(13)2=2√23， ∵b =2√3，c =3，由正弦定理b sinB =csinC 得√32√23=3sinC ，∴sinC =√63．（2）由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得12=a 2+9−2×3a ×(−13)， ∴a 2+2a −3=0，解得a=1或a=−3（舍）∴SΔABC=12acsinB=12×1×3×2√23=√2．24．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=90°，已知AD=√3，BD=√6.（1）求sin∠ABD的值；（2）若CD=2，且CD>BC，求BC的长.【答案】（1）√64（2）BC=1【解析】（1）在△ABD中，由正弦定理，得ADsin∠ABD =BDsin∠A，因为∠A=60°，AD=√3，BD=√6，所以sin∠ABD=ADBD ×sin∠A=√2×√32=√64；（2）由（1）可知，sin∠ABD=√64，因为∠ABC=90°，所以cos∠CBD=cos(90°−∠ABD)=sin∠ABD=√64，在△BCD中，由余弦定理，得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BDcos∠CBD，因为CD=2，BD=√6，所以4=BC2+6−2BC×√6×√64，即BC2−3BC+2=0，解得BC=1或BC=2，又CD>BC，则BC=1.25．【北京市西城区第八中学2019-2020学年高三上学期期中】ΔABC中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且cosA=13．(1)求sin2B+C2+cos2A的值；(2)若a=√3，求△ABC面积的最大值．【答案】（1）−19；（2）3√24【解析】 (1)sin 2B +C 2+cos 2A =sin 2π−A 2+2cos 2A −1=cos 2A +2cos 2A −1=1+cos A +2cos 2A −1=1+132+2×19−1=−19；(2)由cos A =13，可得sin A =√1−19=2√23，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bc cos A =b 2+c 2−23bc ≥2bc −23bc =43bc ，即有bc ≤34a 2=94，当且仅当b =c =32，取得等号．则△ABC 面积为12bc sin A ≤12×94×2√23=3√24．即有b =c =32时，△ABC 的面积取得最大值3√24．26．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】在ΔABC 中，c =1，A =2π3，且ΔABC 的面积为√32．（1）求a 的值；（2）若D 为BC 上一点，且，求sin∠ADB 的值．从①AD =1，②∠CAD =π6这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【答案】（1）a =√7；（2）选①，sin∠ADB =√217；选②，sin∠ADB =2√77．【解析】（1）由于c =1，A =2π3，S ΔABC =12bcsinA ，所以b =2，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，解得a =√7．（2）①当AD =1时，在ΔABC 中，由正弦定理b sinB =BC sin∠BAC ，即2sinB =√7√32，所以sinB =√217．因为AD =AB =1，所以∠ADB =∠B ．所以sin∠ADB =sinB ，即sin∠ADB =√217．②当∠CAD =30°时，在ΔABC 中，由余弦定理知，cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =2√7×1=2√77．因为A =120°，所以∠DAB =90°，所以∠B +∠ADB =π2，所以sin∠ADB =cosB ，即sin∠ADB =2√77．27．【2020届北京市房山区高三第一次模拟】在△ABC 中，a =√2，c =√10，________.（补充条件） （1）求△ABC 的面积；（2）求sin （A +B ）.从①b ＝4，②cosB =−√55，③sinA =√1010这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】详见解析【解析】选择①（1）在△ABC 中，因为a =√2，c =√10，b ＝4，由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =√2)22√10)22×2×4=√22，因为C ∈（0，π），所以sinC =√1−cos 2C =√22，所以S =12absinC =12×√2×4×√22=2.（2）在△ABC 中，A +B ＝π﹣C.所以sin(A +B)=sinC =√22.选择②（1）因为cosB =−√55，B ∈（0，π），所以sinB =√1−cos 2B =2√55，因为a =√2，c =√10，所以S =12acsinB =12×√2×√10×2√55=2.（2）因为a =√2，c =√10，cosB =−√55，。
十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解4三角函数解三角形部分
十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解4三角函数解三角形部分一、选择题（共7小题；共35分）1. 已知a∈R，函数f(x)=sinx−∣a∣(x∈R)为奇函数，则a=( )A. 0B. 1C. −1D. ±12. 若sin(π6−α)=13，则cos(2π3+2α)=( )A. −79B. −13C. 13D. 793. 下列函数中，周期为π2的是( )A. y=sin x2B. y=sin2x C. y=cos x4D. y=cos4x4. 为了得到函数y=2sin(x3+π6),x∈R的图象，只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上的所有点( )A. 向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）B. 向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）C. 向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D. 向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）5. 已知x∈(−π2,0)，cosx=45，则tan2x=( )A. 724B. −724C. 247D. −2476. 函数f(x)=sinx−√3cosx(x∈[−π,0])的单调递增区间是( )A. [−π,−5π6] B. [−5π6,−π6]C. [−π3,0] D. [−π6,0]7. △ABC中，A=π3，BC=3，则△ABC的周长为( )A. 4√3sin(B+π3)+3 B. 4√3sin(B+π6)+3C. 6sin(B+π3)+3 D. 6sin(B+π6)+3二、填空题（共23小题；共115分）8. 如图，函数y=Asin(ωx+φ)（A,ω,φ为常数，A>0，ω>0）在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω=．9. 函数 y =3sin (2x +π4) 的最小正周期为 .10. 已知函数 y =cosx 与 y =sin (2x +φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为 π3 的交点，则 φ的值是 ．11. 若函数 f (x )=cos (ωx −π6)(ω>0) 最小正周期为 π5，则 ω= ． 12. 在 △ABC 中，已知 BC =12 ， A =60∘ ， B =45∘ ，则 AC = ．13. 定义在区间 [0,3π] 上的函数 y =sin2x 的图象与 y =cosx 的图象的交点个数是 ． 14. 若 tan (α−π4)=16，则 tanα= ．15. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 △ABC 顶点 A (−4,0) 和 C (4,0) ，顶点 B 在椭圆x 225+y 29=1 上，则sinA+sinC sinB= ．16. 函数 f (x )=Asin (ωx +φ)，（A,ω,φ 是常数，A >0,ω>0）的部分图象如图所示，则f (0)= ．17. 已知 tan (x +π4)=2, 则 tanxtan2x的值为 ．18. 若 △ABC 的内角满足 sinA +√2sinB =2sinC ，则 cosC 的最小值是 ． 19. 若 cos (α+β)=15，cos (α−β)=35，则 tanαtanβ= ． 20. 设 α 为锐角，若 cos (α+π6)=45，则 sin (2α+π12) 的值为 ．21. 如图，在同一个平面内，向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为 1，1，√2，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 α，且 tanα=7，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 45∘．若 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R )，则 m +n = ．22. 已知 tanα=−2，tan (α+β)=17，则 tanβ 的值为 ．23. 定义在区间 (0,π2) 上的函数 y =6cosx 的图象与 y =5tanx 的图象的交点为 P ，过点 P 作 PP 1⊥x 轴于点 P 1，直线 PP 1 与 y =sinx 的图象交于点 P 2，则线段 P 1P 2 的长为 ． 24. cot20∘cos10∘+√3sin10∘tan70∘−2cos40∘= ．25. 在锐角 △ABC 中，sinA =2sinBsinC ，则 tanAtanBtanC 的最小值是 ． 26. 设向量 a k ⃗⃗⃗⃗ =(coskπ6,sin kπ6+coskπ6)（k =0,1,2,⋯,12），则 ∑(a k ⃗⃗⃗⃗ ⋅a k+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )11k=0 的值为 ．27. 在锐角△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，ba +ab=6cosC，则tanCtanA+tanCtanB=．28. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=，其中t∈[0,60]．29. 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．30. 满足条件AB=2，AC=√2BC的三角形ABC的面积的最大值是．三、解答题（共17小题；共221分）31. 在△ABC中，AC=6，cosB=45，C=π4．（1）求AB的长；（2）求cos(A−π6)的值．32. 已知α∈(π2,π)，sinα=√55．（1）求sin(π4+α)的值；（2）求cos(5π6−2α)的值．33. 已知a=(cosα,sinα)，b⃗=(cosβ,sinβ)，0<β<α<π．（1）若∣∣a−b⃗∣∣=√2，求证：a⊥b⃗；（2）设c=(0,1)，若a+b⃗=c，求α,β的值．34. 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10√7cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．35. 已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．36. 在 △ABC 中，已知 AB =2，AC =3，A =60∘．（1）求 BC 的长； （2）求 sin2C 的值．37. 设向量 a =(4cosα,sinα)，b ⃗ =(sinβ,4cosβ)，c =(cosβ,−4sinβ)．（1）若 a 与 b ⃗ −2c 垂直，求 tan (α+β) 的值； （2）求 ∣∣b ⃗ +c ∣∣ 的最大值；（3）若 tanαtanβ=16，求证：a ∥b⃗ ．38. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α，β，它们的终边分别与单位圆相交于 A ，B 两点，已知 A ，B 的横坐标分别为 √210，2√55．求：（1）tan (α+β) 的值； （2）α+2β 的值．39. 已知函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,0≤φ≤π) 是 R 上的偶函数，其图象关于点 M (3π4,0) 对称，且在区间 [0,π2] 上是单调函数，求 φ 和 ω 的值．40. 在 △ABC 中，已知 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． （1）求证：tanB =3tanA ； （2）若 cosC =√55，求 A 的值．41. 如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径．一种是从 A 沿直线步行到 C ，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到 C ．现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50m/min ．在甲出发 2min 后，乙从 A 乘缆车到 B ，在 B 处停留 1min 后，再从 B 匀速步行到 C ．假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min ，山路 AC 长为 1260m ，经测量，cosA =1213,cosC =35．（1）求索道 AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短? （3）为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内? 42. 在平面直角坐标系 xOy 中，设 P (x,y ) 是椭圆 x 23+y 2=1 上的一个动点，求 S =x +y 的最大值．43. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．)=2cosA，求A的值；（1）若sin(A+π6，b=3c，求sinC的值．（2）若cosA=1344. 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），示意图如图所示，垂直放置的标杆BC高度ℎ=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α−β最大．45. 已知△ABC的三边长为有理数．（1）求证：cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．46. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90∘，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．（1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点A1到平面AED的距离．47. 在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1−EF−B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（3）求二面角B−A1P−F的大小．（用反三角函数表示）答案第一部分 1. A2. A【解析】cos (2π3+2α)=cos [π−(π3−2α)]=−cos [2(π6−α)]=2sin 2(π6−α)−1=−79.3. D4. C5. D6. D7. D【解析】在 △ABC 中，由正弦定理得：ACsinB =√32，化简得 AC =2√3sinB ，AB sin(π−B−π3)=√32，化简得 AB =2√3sin (2π3−B)， 所以三角形的周长为：3+AC +AB=3+2√3sinB +2√3sin (2π3−B)=3+3√3sinB +3cosB=6sin (B +π6)+3.第二部分 8. 3 9. π 【解析】T =2π2=π10. π6【解析】由题意，得 sin (2×π3+φ)=cos π3，则 φ=π6适合题意．11. 10【解析】因为 f (x )=cos (ωx −π6) 的最小正周期为 2πω=π5．所以 ω=10． 12. 4√6 13. 7【解析】画出两个函数的图象，经观察共有 7 个交点．14. 75 15. 54 16. √62【解析】由图可知，A =√2，T4=7π12−π3=π4，所以 T =2πω=π，ω=2．从而 2×7π12+φ=2kπ+3π2，φ=2kπ+π3，其中 k ∈Z ．则 f (0)=√2sin (2kπ+π3)=√62． 17. 49【解析】tanx=tan (x +π4−π4)=tan (x +π4)−11+tan (x +π4)=13．tanx tan2x=tanx 2tanx 1−tan 2x =(1−tan 2x )2=49. 18.√6−√24【解析】因为 sinA +√2sinB =2sinC ，由正弦定理得 a +√2b =2c ． 所以cosC =a 2+b 2−c 22ab =4a 2+4b 2−(a+√2b)28ab=3a 2+2b 28ab −√24≥2√3a 2⋅2b 28ab−√24=√64−√24,当且仅当 3a 2=2b 2 即 √3a =√2b 时取等号． 19. 12【解析】cos (α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=15, ⋯⋯①cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=35. ⋯⋯②由 ①②，得 cosαcosβ=25，sinαsinβ=15， 故 tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=12．20.17√250【解析】因为 cos (α+π6)=45，所以 α+π6∈(0,π2)．所以 sin (α+π6)=35．所以 sin (2α+π3)=2sin (α+π6)cos (α+π6)=2×35×45=2425， cos (2α+π3)=2cos 2(α+π6)−1=725． 所以sin (2α+π12)=sin [(2α+π3)−π4]=sin (2α+π3)cos π4−cos (2α+π3)sin π4=17√250.21. 3 22. 3 23. 23【解析】由题意知线段 P 1P 2 长即为垂线 PP 1 与 y =sinx 图象交点的纵坐标．因为 {y =6cosx,y =5tanx, 所以6cosx =5tanx ．即 6(cosx )2=5sinx ．即 6(sinx )2+5sinx −6=0．因为 x ∈(0,π2)．所以 sinx =23，即 P 1P 2=23． 24. 2【解析】cot20∘cos10∘+√3sin10∘tan70∘−2cos40∘=tan70∘(cos10∘+√3sin10∘)−2cos40∘=2tan70∘sin40∘−2cos40∘=−2(cos70∘cos40∘−sin40∘sin70∘)cos70∘=−2cos110∘cos70∘=2.25. 8【解析】因为 sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC ， 所以由已知得 sinBcosC +cosBsinC =2sinBsinC (∗)． 由三角形 ABC 为锐角三角形，得 cosB >0，cosC >0．在 (∗) 式两端同时除以 cosBcosC ，得 tanB +tanC =2tanBtanC ， 又 tanA =−tan (B +C )=−tanB+tanC 1−tanBtanC(#)，则 tanAtanBtanC =−tanB+tanC 1−tanBtanC×tanBtanC =−2(tanBtanC )21−tanBtanC．令 tanBtanC =t ．由 (#) 及 tanA >0，tanB >0，tanC >0，得 1−tanBtanC <0，即 t >1． tanAtanBtanC =−2t 21−t =−21t 2−1t=21t(1−1t)．因为 1t (1−1t )≤(1t +1−1t2)2=14，所以当且仅当 t =2 时，tanAtanBtanC 的最小值为 8．当 t =2，即 {tanB +tanC =4,tanBtanC =2,，亦即 {tanB =2+√2,tanC =2−√2,tanA =4 或 {tanB =2−√2,tanC =2+√2,tanA =4时，tanAtanBtanC 的最小值为 8． 26. 9√3【解析】提示：a k ⃗⃗⃗⃗ ⋅a k+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3√34+sin 2k+16π+12cos 2k+16π．27. 4【解析】由已知 ba+ab =6cosC 及余弦定理 cosC =a 2+b 2−c 22ab，可得2a 2+2b 2=3c 2. ⋯⋯①而tanC tanA +tanC tanB =sin 2C cosCsinAsinB =6c 2a 2+b 2, 将①代入可得结果为 4． 28. 10sin πt60【解析】如图，设 ∠AOB =θ,θ∈[0,π]，由垂径定理，得 d =2×5sin θ2=10sin θ2．因为θ={πt 30,t ∈[0,30],2π−πt30,t ∈(30,60],所以d ={10sinπt 60,t ∈[0,30],10sin (π−πt60),t ∈(30,60],化简即得d =10sin πt60,t ∈[0,60].29. 8【解析】由 sinA =sin (B +C )=2sinBsinC ， 得 sinBcosC +cosBsinC =2sinBsinC ． 两边同时除以 cosBcosC ， 得 tanB +tanC =2tanBtanC ． 令 tanB +tanC =2tanBtanC =m ， 又 △ABC 是锐角三角形，所以 2tanBtanC =tanB +tanC >2√tanB ⋅tanC ， 则 tanBtanC >1，所以 m >2．又在三角形 ABC 中，有tanAtanBtanC=−tan (B +C )tanBtanC =−m1−12m ⋅12m=m 2m−2=(m −2)+4m−2+4≥2√(m −2)⋅4m−2+4=8,当且仅当 m −2=4m−2， 即 m =4 时取等号，故 tanAtanBtanC 的最小值为 8． 30. 2√2【解析】设 BC =x ，则 AC =√2x ，根据面积公式，得 S △ABC =12AB ⋅BCsinB =x√1−cos 2B ． 根据余弦定理，得 cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=4+x 2−2x 24x=4−x 24x，于是 S △ABC =x √1−(4−x 24x)2=√128−(x 2−12)216．由三角形三边关系有 {√2x +x >2,x +2>√2x,解得 2√2−2<x <2√2+2，故当 x =2√3 时，S △ABC 取到最大值 2√2． 第三部分31. （1） 由 cosB =45，得 sinB =35． 由 ABsinC =ACsinB ，得 AB =ACsinC sinB=6×√22×53=5√2．（2） cosA =−cos (C +B )=sinBsinC −cosBcosC=35×√22−45×√22=−√210.由 A 为三角形的内角，得 sinA =7√210．cos (A −π6)=cosAcos π6+sinAsin π6=−√210×√32+7√210×12=7√2−√620.32. （1） 因为 α∈(π2,π),sinα=√55， 所以 cosα=−√1−sin 2α=−2√55． 故sin (π4+α)=sin π4cosα+cos π4sinα=√22×(−2√55)+√22×√55=−√1010.（2） 由（1）知 sin2α=2sinαcosα=2×√55×(−2√55)=−45，cos2α=1−2sin 2α=1−2×(√55)2=35，所以cos (5π6−2α)=cos5π6cos2α+sin 5π6sin2α=(−√32)×35+12×(−45)=−4+3√310.33. （1） 由题意得 ∣∣a −b ⃗ ∣∣2=2，即(a −b ⃗ )2=a 2−2a ⋅b⃗ +b ⃗ 2=2. 又因为 a 2=b ⃗ 2=∣a ∣2=∣∣b ⃗ ∣∣2=1，所以2−2a ⋅b⃗ =2, 即 a ⋅b ⃗ =0，故 a ⊥b⃗ ． （2） 因为 a +b ⃗ =(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1)， 所以 {cosα+cosβ=0,sinα+sinβ=1,由此得cosα=cos (π−β),由 0<β<π，得0<π−β<π.又 0<α<π，故 α=π−β．代入 sinα+sinβ=1，得sinα=sinβ=12,而 α>β，所以α=5π6,β=π6.34. （1） 设玻璃棒在 CC 1 上的点 M ，玻璃棒与水面的交点为 N ， 如图 1，在平面 ACM 中，过 N 作 NP ∥MC ，交 AC 于点 P ，因为ABCD−A1B1C1D1为正四棱柱，所以CC1⊥平面ABCD，又因为AC⊂平面ABCD，所以CC1⊥AC，所以NP⊥AC，所以NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，因为NP∥MC，所以△ANP∽△AMC，所以ANAM =NPMC，AN40=1230，得AN=16cm．所以玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，如图2，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，因为EFGH−E1F1G1H1为正四棱台，所以EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，所以EE1G1G为等腰梯形，画出截面E1EGG1，因为E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，所以E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，所以sin∠EE1G1=45，sin∠EGM=sin∠EE1G1=45，cos∠EGM=−35，根据正弦定理得：EMsin∠EGM =EGsin∠EMG，所以sin∠EMG=725，cos∠EMG=2425，所以sin∠GEM=sin(∠EGM+∠EMG)=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=35,所以EN=NPsin∠GEM =1235=20cm．所以玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．35. 因为a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．所以ac+bd=8(cosαcosβ+sinαsinβ)=8cos(α−β)≤8．当且仅当cos(α−β)=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)=4×16=64，当且仅当ac =bd时取等号．所以−8≤ac+bd≤8．36. （1）由余弦定理知，BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cosA=4+9−2×2×3×12=7，所以BC=√7．（2）由正弦定理知，ABsinC =BCsinA，所以sinC=ABBC ⋅sinA=∘√7=√217．因为AB<BC，所以C为锐角，则cosC=√1−sin2C=√1−37=2√77．因此sin2C=2sinC⋅cosC=2×√217×2√77=4√37．37. （1）因为a与b⃗−2c垂直，所以a⋅(b⃗−2c)=4cosαsinβ−8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=4sin(α+β)−8cos(α+β)=0,因此tan(α+β)=2.（2）由b⃗+c=(sinβ+cosβ,4cosβ−4sinβ),得∣∣b⃗+c∣∣=√(sinβ+cosβ)2+(4cosβ−4sinβ)2=√17−15sin2β≤4√2,又当β=kπ−π4,k∈Z时，等号成立，所以∣∣b⃗+c∣∣的最大值为4√2．（3）由tanαtanβ=16,得4cosαsinβ=sinα4cosβ,所以a∥b⃗.38. （1）由已知，点A，B的坐标分别为(cosα,sinα)，(cosβ,sinβ)．因为α、β都是锐角，且cosα=√210,cosβ=2√55,所以sinα=7√210,sinβ=√55, 则tanα=7,tanβ=12,tan (α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−3.（2） 由 tanβ=12 得tan2β=2tanβ1−tan 2β=43,所以tan (α+2β)=tanα+tan2β1−tanαtan2β=−1.又 α，β∈(0,π2)，所以 α+2β∈(0,3π2)，故α+2β=3π4.39. 由 f (x )=sinωxcosφ+cosωxsinφ 是偶函数，得 cosφ=0． 依题设 0≤φ≤π，所以解得 φ=π2．由 f (x ) 的图象关于点 M 对称，得 f (3π4)=0．所以3ωπ4+π2=π+kπ,k =0,1,2⋯ ∴ω=23(2k +1),k =0,1,2,⋯当 k =0 时，ω=23，f (x )=sin (23x +π2) 在 [0,π2] 上是减函数； 当 k =1 时，ω=2，f (x )=sin (2x +π2) 在 [0,π2] 上是减函数； 当 k ≥2 时，ω≥103，f (x )=sin (ωx +π2) 在 [0,π2] 上不是单调函数． 综上得 ω=23 或 ω=2．40. （1） 因为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AB ⋅AC ⋅cosA =3BA ⋅BC ⋅cosB,即AC ⋅cosA =3BC ⋅cosB,由正弦定理知AC sinB =BCsinA, 从而sinBcosA =3sinAcosB,又因为 0<A +B <π，所以cosA >0,cosB >0,所以 tanB =3tanA ． （2） 因为 cosC =√55,0<C <π，所以sinC =√1−cos 2C =2√55, 从而 tanC =2，于是 tan [π−(A +B )]=2．即tan (A +B )=−2,亦即tanA +tanB1−tanAtanB=−2,由（1）得4tanA1−3tan 2A=−2,解得tanA =1或−13,因为 cosA >0，故 tanA =1．所以 A =π4．41. （1） 在 △ABC 中，因为 cosA =1213,cosC =35，所以sinA =513,sinC =45, 从而sinB=sin [π−(A +C )]=sin (A +C )=sinAcosC +cosAsinC =513×35+1213×45=6365. 由正弦定理ABsinC=AC sinB，得AB=ACsinB⋅sinC =12606365×45=1040(m ),所以索道 AB 的长为 1040m ．（2） 设乙出发 tmin 后，甲、乙两游客距离为 d ， 此时，甲行走了 (100+50t )m ，乙距离 A 处 130tm ， 所以，由余弦定理得d 2=(100+50t )2+(130t )2−2×130t ×(100+50t )×1213=200(37t 2−70t +50).由于 0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8,故当 t =3537(min ) 时，甲、乙两游客距离最短．（3） 由正弦定理 BC sinA=AC sinB，得BC=ACsinB ⋅sinA =12606365×513=500(m ).乙从 B 出发时，甲已走了50×(2+8+1)=550(m ),还需走 710m 才能到达 C ．设乙步行的速度为 vm/min ，由题意得−3≤500v −71050≤3,解得125043≤v ≤62514, 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3min ， 乙步行的速度应控制在 [125043,62514]（单位：m/min ）范围内．42. 由已知可设 P(√3cosφ,sinφ)(0≤φ<2π)，则S =x +y=√3cosφ+sinφ=2sin (φ+π3),所以当 φ=π6 时，S 取最大值 2． 43. （1） 因为sin (A +π6)=√32sinA +12cosA =2cosA,所以 sinA =√3cosA ，所以 A =π3． （2） 因为 cosA =13，b =3c ，所以a 2=b 2+c 2−2bccosA =8c 2,a =2√2c.由正弦定理得：2√2c sinA =csinC, 而 sinA =√1−cos 2A =2√23，所以 sinC =13．44. （1） 因为tanα=AE AB ,tanβ=AE AD, 所以tanαtanβ=AD AB =3130. 又tanα=HAB,tanβ=4AD−AB,所以H AB ⋅AD−AB4=ADAB,把ADAB =3130代入得H=124m．（2）由题设知d=AB，从而tanα=Hd．由AB=AD−BD=Htanβ−ℎtanβ,得tanβ=H−ℎd.所以tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=ℎd+H(H−ℎ)d≤ℎ2√H(H−ℎ),当且仅当d=H(H−ℎ)d，即d=√H(H−ℎ)=√125×(125−4)=55√5时，上式取等号．所以当d=55√5时，tan(α−β)最大．因为0<β<α<π2，则0<α−β<π2，所以当d=55√5时，α−β最大．故所求的d是55√5m．45. （1）由AB，BC，AC为有理数及余弦定理知cosA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC是有理数．（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA⋅sinnA都是有理数．①当n=1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA⋅sinA=1−cos2A也是有理数．②假设当n=k(k≥1)时，coskA和sinA⋅sinkA都是有理数．当n=k+1时，由cos(k+1)A=cosA⋅coskA−sinA⋅sinkA,sinA⋅sin(k+1)A=sinA⋅(sinA⋅coskA+cosA⋅sinkA)=(sinA⋅sinA)⋅coskA+(sinA⋅sinkA)⋅cosA,由①和归纳假设，知cos(k+1)A与sinA⋅sin(k+1)A都是有理数，即当n=k+1时，结论成立．综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数．46. （1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，从而∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．设F为AB中点，连结EF、FC，因为E是A1B的中点，所以EF∥AA1，且EF=12AA1，又D是CC1的中点，所以CD∥AA1，且CD=12AA1，从而EF∥CD，且EF=CD，所以EFCD为平行四边形．又DC⊥平面ABC，所以EFCD为矩形．连结DF，G是△ADB的重心，则G∈DF．在Rt△EFD中，EF2=FG⋅FD=13FD2.由EF=1，解得FD=√3，从而ED=√2,EG=1×√2√3=√63.在Rt△ABC中，因为FC=ED=√2，所以AB=2√2,A1B=2√3,EB=√3.在Rt△EBG中，sin∠EBG=EGEB=√23.因此，A1B与平面ABD所成的角是arcsin√23．（2）因为ED⊥AB，ED⊥EF，EF∩AB=F，所以ED⊥平面A1AB．设A1到平面AED的距离为ℎ，由V A1−AED =V D−AA1E，得S△AED⋅ℎ=S△A1AE⋅ED,因为S △A 1AE =12S △A 1AB =√2,S △AED =12AE ⋅ED =√62.所以ℎ=√2×√2√62=2√63. 因此，A 1 到平面 AED 的距离为 2√63． 47. （1） 不妨设正三角形 ABC 的边长为 3，则在图 1 中，取 BE 的中点 D ，连结 DF ． ∵ AE ∶EB =CF ∶FA =1∶2，∴ AF =AD =2，而 ∠A =60∘， ∴ △ADF 为正三角形． 又 AE =DE =1，∴ EF ⊥AE ． 从而在图 2 中，EF ⊥A 1E ． ∵ 二面角 A 1−EF −B 为直二面角， ∴ A 1E ⊥平面 BEP ．（2） 在图 2 中，∵ A 1E ⊥平面 BEP ， ∴ A 1E ⊥BP ，由线面垂直的判定与性质，得 BP 垂直于 A 1E 在面 A 1BP 内的射影． 设 A 1E 在平面 A 1BP 内的射影为 A 1Q ，且 A 1Q 交 BP 于 Q ．则 ∠EA 1Q 就是 A 1E 与平面 A 1BP 所成的角，且 BP ⊥A 1Q ． 在 △EBP 中，∵ BE =BP =2，∠EBP =60∘， ∴ △EBP 为正三角形，∴ BE =EP ． 又 ∵ A 1E ⊥平面 BEP ，∴ A 1B =A 1P ， ∴ Q 为 BP 的中点，且 EQ =√3，而 A 1E =1， ∴ 在 Rt △A 1EQ 中，tan∠EA 1Q =EQA 1E=√3. 因此，直线 A 1E与面 A 1BP 所成角为 60∘．（3）在图2中，过F作FM⊥A1P于M，连结QM、QF．∵CF=CP=1，∠C=60∘，∴△FCP为正三角形，从而PF=1．又∵PQ=12BP=1，∴PF=PQ．⋯⋯①∵A1E⊥平面BEP，EQ=EF=√3，∴A1F=A1Q，∴△A1FP≌△A1QP，从而∠A1PF=∠A1PQ．⋯⋯②由①、②及MP为公共边，得△FMP≌△QMP，∴∠QMP=∠FMP=90∘，且MF=MQ，从而∠FMQ为二面角B−A1P−F的平面角．在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，∴A1P=√5．由MQ⊥A1P，得MF=MQ=A1Q⋅PQA1P=2√55.在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60∘．由余弦定理，得QF=√3，在△FMQ中，cos∠FMQ=MF2+MQ2−QF22MF⋅MQ=−78.因此，二面角B−A1P−F的大小为π−arccos78．第21页（共21 页）。
十年高考数学山东卷精校版含详解——4三角函数(含解三角形)部分
十年高考数学山东卷精校版含详解——4三角函数（含解三角形）部分一、选择题（共34小题；共170分）1. 已知cosx=34，则cos2x=( )A. −14B. 14C. −18D. 182. 将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A. 3π4B. π4C. 0D. −π43. △ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2(1−sinA)，则A= ( )A. 3π4B. π3C. π4D. π64. 若点(a,9)在函数y=3x的图象上，则tan aπ6的值为( )A. 0B. √33C. 1D. √35. 函数y=2sin(πx6−π3)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )A. 2−√3B. 0C. −1D. −1−√36. 若θ∈[π4,π2]，sin2θ=3√78，则sinθ=( )A. 35B. 45C. √74D. 347. △ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=2A，a=1，b=√3，则c=( )A. 2√3B. 2C. √2D. 18. 函数y=sin(2x+π6)+cos(2x+π3)的最小正周期和最大值分别为( )A. π,1B. π,√2C. 2π,1D. 2π,√29. 要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos(x−π3)的图象( )A. 向右平移π6个单位 B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π3个单位 D. 向左平移π6个单位10. 已知cos(α−π6)+sinα=4√35，则sin(α+7π6)的值是( )A. −2√35B. 2√35C. −45D. 4511. 将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A. y=cos2xB. y=2cos2xC. y=1+sin(2x+π4) D. y=2sin2x12. 要得到函数y=sin(4x−π3)的图象，只需要将函数y=sin4x的图象( )A. 向左平移π12个单位 B. 向右平移π12个单位C. 向左平移π3个单位 D. 向右平移π3个单位13. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=π3，a=√3，b=2，则c= ( )A. 1B. 2C. √3−1D. √314. 若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则z2=−1的θ值可能是( )A. π6B. π4C. π3D. π215. 已知函数y=sin(x−π12)cos(x−π12)，则下列判断正确的是( )A. 此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(π12,0)B. 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(π12,0)C. 此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(π6,0)D. 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(π6,0)16. 已知函数y=sin(x−π12)cos(x−π12)，则下列判断正确的是( )A. 此函数的最小周期为2π，其图象的一个对称中心是(π12,0)B. 此函数的最小周期为π，其图象的一个对称中心是(π12,0)C. 此函数的最小周期为2π，其图象的一个对称中心是(π6,0)D. 此函数的最小周期为π，其图象的一个对称中心是(π6,0)17. 已知实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是( )A. x3>y3B. sinx>sinyC. ln(x2+1)>ln(y2+1)D. 1x2+1>1y2+118. 要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos(x−π3)的图象( )A. 向右平移π6个单位 B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π3个单位 D. 向左平移π6个单位19. 函数y=xcosx+sinx的图象大致为( )A. B.C. D.20. 函数 f (x )=(√3sinx +cosx)(√3cosx −sinx) 的最小正周期是 ( )A. π2B. πC. 3π2D. 2π21. 在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 △ABC 为锐角三角形，且满足 sinB (1+2cosC )=2sinAcosC +cosAsinC ，则下列等式成立的是 ( ) A. a =2bB. b =2aC. A =2BD. B =2A22. 函数 y =√3sin2x +cos2x 的最小正周期为 ( )A. π2B. 2π3C. πD. 2π23. 已知 a ，b ，c 为 △ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边，向量 m ⃗⃗ =(√3,−1)，n ⃗ =(cosA,sinA )．若 m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，且 acosB +bcosA =csinC ，则角 A ，B 的大小分别为 ( ) A. π6,π3 B. 2π3,π6C. π3,π6 D. π3,π324. 已知实数 x,y 满足 a x <a y (0<a <1) ，则下列关系式恒成立的是 ( )A. x 3>y 3B. sinx >sinyC. ln (x 2+1)>ln (y 2+1)D. 1x 2+1>1y 2+125. 已知实数 x ，y 满足 a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是 ( )A.1x 2+1>1y 2+1B. ln (x 2+1)>ln (y 2+1)C. sinx >sinyD. x 3>y 326. △ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 B =2A ，a =1，b =√3，则 c = ( )A. 2√3B. 2C. √2D. 127. 若函数 f (x )=sinωx (ω>0) 在区间 [0,π3] 上单调递增，在区间 [π3,π2] 上单调递减，则 ω=( ) A. 3B. 2C. 32D. 2328. 函数 f (x )={sin (πx 2),−1<x <0,e x−1,x ≥0.若 f (1)+f (a )=2，则 a 的所有可能值为 ( )A. 1B. −√22C. 1,−√22D. 1,√2229. 将函数 y =sin (2x +φ) 的图象沿 x 轴向左平移 π8 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 φ 的一个可能取值为 ( )A. 3π4B. π4C. 0D. −π430. 设命题 p: 函数 y =sin2x 的最小正周期为 π2 ；命题 q: 函数 y =cosx 的图象关于直线 x =π2 对称．则下列判断正确的是 ( )A. p为真B. ¬q为假C. p∧q为假D. p∨q为真31. 函数f(x)=cos6x2x−2−x的图象大致为( )A. B.C. D.32. 函数y=lncosx(−π2<x<π2)的图象是( )A. B.C. D.33. 在区间[−π2,π2]上随机取一个数x，cosx的值介于0到12之间的概率为( )A. 13B. 2πC. 12D. 2334. 给出下列三个等式：f(xy)=f(x)+f(y)，f(x+y)=f(x)f(y)，f(x+y)=f(x)+f(y)1−f(x)f(y)．下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )A. f(x)=3xB. f(x)=sinxC. f(x)=log2xD. f(x)=tanx二、填空题（共9小题；共45分）35. 若“∀x∈[0,π4],tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．36. 在 △ABC 中，已知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =tanA ，当 A =π6 时，△ABC 的面积为 ． 37. 函数 y =sinx +cosx 的最小正周期为 ．38. 在 △ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 a =√2，b =2，sinB +cosB =√2，则角 A 的大小为 ．39. 已知 a ，b ，c 为 △ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边，向量 m ⃗⃗ =(√3,−1)，n ⃗ =(cosA,sinA )．若 m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，且 acosB +bcosA =csinC ，则角 B = ．40. 观察下列等式： (sin π3)−2+(sin 2π3)−2=43×1×2； (sin π5)−2+(sin 2π5)−2+(sin 3π5)−2+sin (4π5)−2=43×2×3；(sin π7)−2+(sin 2π7)−2+(sin 3π7)−2+⋯+sin (6π7)−2=43×3×4；(sin π9)−2+(sin2π9)−2+(sin3π9)−2+⋯+sin (8π9)−2=43×4×5；⋯照此规律， (sin π2n+1)−2+(sin2π2n+1)−2+(sin3π2n+1)−2+⋯+(sin2nπ2n+1)−2= ．41. 已知向量 m ⃗⃗ =(cosθ,sinθ)，n ⃗ =(√2−sinθ,cosθ)，θ∈(π,2π)，且 ∣m ⃗⃗ +n ⃗ ∣=8√25，则 cos (θ2+π8) 的值为 ．42. 下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）．①将函数 y =∣x +1∣ 的图象按向量 v =(−1,0) 平移，得到的图象对应的函数表达式为 y =∣x ∣； ②圆 x 2+y 2+4x +2y +1=0 与直线 y =12x 相交，所得的弦长为 2；③若 sin (α+β)=12，sin (α−β)=13，则 tanα⋅cotβ=5；④如图，已知正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1，P 为底面 ABCD 内一动点，P 到平面 AA 1D 1D 的距离与到直线 CC 1 的距离相等，则 P 点的轨迹是抛物线的一部分．43. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1)，此时圆上一点 P 的位置在 (0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于 (2,1) 时，OP⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 ．三、解答题（共30小题；共390分）44. 已知函数 f (x )=2sinxcos 2φ2+cosxsinφ−sinx (0<φ<π) 在 x =π 处取最小值．（1）求 φ 的值；（2）在 △ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，已知 a =1，b =√2，f (A )=√32，求角 C ．45. 已知函数 f (x )=12sin2xsinφ+cos 2xcosφ−12sin (π2+φ)(0<φ<π)，其图象过点 (π6,12)．（1）求 φ 的值；（2）将函数 y =f (x ) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 12，纵坐标不变，得到函数 y =g (x ) 的图象，求函数 g (x ) 在 [0,π4] 上的最大值和最小值．46. 已知向量 m ⃗⃗ =(sinx,1)，n ⃗ =(√3Acosx,A2cos2x) (A >0)，函数 f (x )=m ⃗⃗ ⋅n ⃗ 的最大值为 6．（1）求 A ；（2）将函数 y =f (x ) 的图象向左平移 π12 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 12 倍，纵坐标不变，得到函数 y =g (x ) 的图象，求 g (x ) 在 [0,5π24] 上的值域．47. 已知向量 a =(m,cos2x )，b ⃗ =(sin2x,n )，函数 f (x )=a ⋅b ⃗ ，且 y =f (x ) 的图象过点 (π12,√3) 和点 (2π3,−2)．（1）求 m ，n 的值；（2）将 y =f (x ) 的图象向左平移 φ(0<φ<π) 个单位后得到函数 y =g (x ) 的图象．若 y =g (x ) 的图象上各最高点到点 (0,3) 的距离的最小值为 1，求 y =g (x ) 的单调增区间．48. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 2(tanA +tanB )=tanAcosB +tanBcosA ．（1）证明：a +b =2c ； （2）求 cosC 的最小值.49. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 b =3，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，S △ABC =3，求 A 和 a ．50. 设函数 f (x )=sin (ωx −π6)+sin (ωx −π2)，其中 0<ω<3，已知 f (π6)=0．（1）求 ω；（2）将函数 y =f (x ) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 π4个单位，得到函数 y =g (x ) 的图象，求 g (x ) 在 [−π4,3π4] 上的最小值．51. 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD （及其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴旋转120∘ 得到的，G 是 DF⏜ 的中点．（1）设 P 是 CE ⏜ 上的一点，且 AP ⊥BE ，求 ∠CBP 的大小； （2）当 AB =3，AD =2 时，求二面角 E −AG −C 的大小．52. 已知函数 f (x )=sin (π−ωx )cosωx +cos 2ωx (ω>0) 的最小正周期为 π．（1）求 ω 的值；（2）将函数 y =f (x ) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 12，纵坐标不变，得到函数 y =g (x ) 的图象，求函数 y =g (x ) 在区间 [0,π16] 上的最小值．53. △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 a =3，cosA =√63，B =A +π2．（1）求 b 的值； （2）求 △ABC 的面积．54. 设 f (x )=sinxcosx −cos 2(x +π4)．（1）求 f (x ) 的单调区间；（2）在锐角 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 f (A2)=0，a =1，求 △ABC面积的最大值．55. △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 cosB =√33，sin (A +B )=√69，ac =2√3，求 sinA 和 c 的值．56. 已知函数 f (x )=Asin 2(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π2)，且 y =f (x ) 的最大值为 2，其图象相邻两对称轴间的距离为 2，并过点 (1,2)． （1）求 φ； （2）计算 f (1)+f (2)+⋯+f (2008)．57. 设 f (x )=2√3sin (π−x )sinx −(sinx −cosx )2．（1）求 f (x ) 的单调递增区间；（2）把 y =f (x ) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 π3 个单位，得到函数 y =g (x ) 的图象，求 g (π6) 的值．58. 如图，甲船以每小时 30√2 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 A 1 处时，乙船位于甲船的北偏西 105∘ 的方向 B 1 处，此时两船相距 20 海里．当甲船航行 20 分钟到达 A 2 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120∘ 方向的 B 2 处，此时两船相距 10√2 海里，问乙船每小时航行多少海里?59. 设函数f(x)=cos(2x+π3)+sin2x．（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期．（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=13，f(C2)=−14，且C为锐角，求sinA．60. 设函数f(x)=√32−√3sin2ωx−sinωxcosωx(ω>0)，且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4．（1）求ω的值；（2）求f(x)在区间[π,3π2]上的最大值和最小值．61. 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a+c=6，b=2，cosB=79．（1）求a,c的值；（2）求sin(A−B)的值．62. 已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)（0<φ<π,ω>0）为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2．（1）求f(π8)的值；（2）将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．63. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC．（1）求证：a，b，c成等比数列；（2）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．64. 已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)（0<φ<π,ω>0）为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2．（1）求f(π8)的值；（2）将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．65. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA−2cosCcosB =2c−ab．（1）求sinCsinA的值；（2）若cosB=14，b=2，求△ABC的面积S．66. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA−2cosCcosB =2c−ab．（1）求 sinCsinA 的值； （2）若 cosB =14，△ABC 的周长为 5，求 b 的长．67. 已知函数 f (x )=Asin 2(ωx +φ)，其中 A >0，ω>0，0<φ<π2，且 y =f (x ) 的最大值为 2，其图象相邻两对称轴间的距离为 2，并过点 (1,2)． （1）求 φ；（2）计算 f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+⋯+f (2008)．68. 在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，tanC =3√7．（1）求 cosC ；（2）若 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =52，且 a +b =9，求 c ．69. 已知向量 m ⃗⃗ =(cosθ,sinθ) 和 n ⃗ =(√2−sinθ,cosθ)，θ∈(π,2π)，且 ∣m ⃗⃗ +n ⃗ ∣=8√25，求 cos (θ2+π8) 的值．70. 如图，已知四棱锥 P −ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形，AB ∥DC ，AC ⊥BD ，AC 与 BD 相交于点 O ，且顶点 P 在底面上的射影恰为 O 点，又 BO =2，PO =√2，PB ⊥PD ．（1）求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值； （2）求二面角 P −AB −C 的大小； （3）设点 M 在棱 PC 上，且 PMMC =λ，问 λ 为何值时，PC ⊥平面 BMD ．71. 如图，已知平面 A 1B 1C 1 平行于三棱锥 V −ABC 的底面 ABC ，等边 △AB 1C 所在的平面与底面ABC 垂直，且 ∠ACB =90∘，设 AC =2a ，BC =a ．（1）求证直线 B 1C 1 是异面直线 AB 1 与 A 1C 1 的公垂线； （2）求点 A 到平面 VBC 的距离；（3）求二面角A−VB−C的大小．72. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30∘，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点．（1）求异面直线AE与BF所成的角；（2）求平面BDF与平面A1AB所成的二面角（锐角）的大小；（3）求点A到平面BDF的距离．73. 已知动圆过定点(p2,0)，且与直线x=−p2相切，其中p>0．（1）求动圆圆心C的轨迹的方程；（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且α+β为定值θ(0<θ<π)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．答案第一部分 1. D2. B【解析】f (x )=sin (2x +φ) 向左平移 π8 个单位长度得 g (x )=sin [2(x +π8)+φ]=sin (2x +π4+φ)．若 g (x ) 为偶函数，则 π4+φ=π2+kπ，k ∈Z ． 令 k =0，得 φ=π4． 3. C【解析】由余弦定理及 b =c ，得 a 2=b 2+c 2−2bccosA =2b 2(1−cosA )，又由 a 2=2b 2(1−sinA )，得 cosA =sinA ，即 tanA =1，所以 A =π4． 4. D 【解析】由点在曲线上可得 3a =9=32，解得 a =2，故 tan aπ6=tan π3=√3.5. A【解析】因为 0≤x ≤9，所以 0≤πx 6≤9π6，−π3≤πx 6−π3≤9π6−π3，即 −π3≤πx 6−π3≤7π6，所以当π6x −π3=−π3 时，函数 y 有最小值，为 2sin (−π3)=−√3，当 π6x −π3=π2 时，函数 y 有最大值，为 2sin π2=2，所以 y 的最大值与最小值之和为 2−√3 ． 6. D 【解析】∵ θ∈[π4,π2]，∴ 2θ∈[π2,π]，∴ cos2θ=−18．而 cos2θ=1−2sin 2θ，∴ sinθ=34． 7. B【解析】由正弦定理得1sinA=√3sin2A ．所以 1sinA=√32sinAcosA．所以 cosA=√32． 又 0∘<A <180∘．所以 A =30∘．B =60∘．C =90∘． 所以 c =√a 2+b 2=√12+(√3)2=2． 8. A【解析】y=sin (2x +π6)+cos (2x +π3)=sin2xcos π6+cos2xsin π6+cos2xcos π3−sin2xsinπ3=cos2x.于是 T =π，y max =1． 9. A10. C【解析】依题有 cos (α−π6)+sinα=√32cosα+12sinα+sinα=√3(12cosα+√32sinα)=4√35，解得 sin (α+π6)=45，所以 sin (α+7π6)=sin (α+π6+π)=−sin (α+π6)=−45． 11. B 【解析】将函数 y =sin2x 的图象向左平移 π4 个单位，得到函数 y =sin2(x +π4)，即 y =sin (2x +π2)=cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式为 y =1+cos2x =2cos 2x ．12. B 13. A 14. D 15. B【解析】y =sin (x −π12)cos (x −π12)=12sin (2x −π6)，它的最小正周期为 T =π，对称中心的横坐标为 x =kπ2+π12,k ∈Z ，当 k =0 时，对称中心为 (π12,0)．16. B 17. A 【解析】因为实数 x ，y 满足 a x <a y (0<a <1)，所以 x >y ，A ．当 x >y 时，x 3>y 3，恒成立，B ．当 x =π，y =π2 时，满足 x >y ，但 sinx >siny 不成立．C ．若 ln (x 2+1)>ln (y 2+1)，则等价为 x 2>y 2 成立，当 x =1，y =−1 时，满足 x >y ，但 x 2>y 2 不成立．D ．若 1x 2+1>1y 2+1，则等价为 x 2+1<y 2+1，即 x 2<y 2，当 x =1，y =−1 时，满足 x >y ，但 x 2<y 2 不成立．18. A 【解析】y =cos (x −π3)=sin (x +π6)，向右平移 π6 个单位即得 y =sin (x −π6+π6)=sinx ．19. D 【解析】因为函数 y =xcosx +sinx 为奇函数，所以排除选项B ； 当 x =π2时，y =π2×cos π2+sin π2=1>0；当 x =π 时，y =π×cosπ+sinπ=−π<0， 由此可排除选项A 和选项C ． 20. B【解析】f (x )=2sin (x +π6)×2cos (x +π6)=2sin (2x +π3)，故最小正周期 T =2π2=π．21. A 【解析】在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，满足 sinB (1+2cosC )=2sinAcosC +cosAsinC=sinAcosC +sin (A +C )=sinAcosC +sinB,可得：2sinBcosC =sinAcosC ， 因为 △ABC 为锐角三角形， 所以 2sinB =sinA ， 由正弦定理可得：2b =a ．22. C 【解析】因为函数 y =√3sin2x +cos2x =2sin (2x +π6)，因为 ω=2， 所以 T =π．23. C 【解析】m ⃗⃗ ⋅n ⃗ =0=√3cosA −sinA ⇒tanA =√3，又 A 为三角形的内角，故 A =π3．由 acosB +bcosA =csinC 及正弦定理知 sinAcosB +sinBcosA =sin 2C =sin (A +B )=sinC ， ⇒sinC =1 或 sinC =0（舍去），故 C =π2，于是 B =π−A −C =π6．24. A 25. D26. B 【解析】因为 B =2A ，a =1，b =√3，所以在 △ABC 中，由正弦定理 asinA =bsinB ，得 1sinA =√32sinAcosA．因为 A 为三角形的内角，所以 sinA ≠0．所以 cosA =√32．又因为 0<A <π，所以 A =π6，所以 B =2A =π3．所以 C =π−A −B =π2，所以 △ABC 为直角三角形．由勾股定理，得 c =√12+(√3)2=2．27. C 【解析】依题意，当 x =π3 时，函数有最大值，且 T4≥π3，所以 {π3ω=π2+2kπ,k ∈Z2πω≥4π3,ω>0.∴ ω=32．28. C 【解析】由题可知 f (1)=e 0=1，f (a )=1． 当 a ≥0 时，f (a )=e a−1=1，解得 a =1； 当 −1<a <0 时，f (a )=sin (πa 2)=1，解得 a =−√22． 29. B 【解析】函数 y =sin (2x +φ) 的图象沿 x 轴向左平移 π8 个单位后得到的函数为 y =sin (2x +π4+φ)，要成为一个偶函数，需要满足 π4+φ=π2+kπ，k ∈Z ，于是可得结果． 30. C31. D 【解析】首先由奇偶性判断是奇函数，然后再判断 x 轴正半轴初始函数值的正负，最后由函数的零点和变化趋势得出选项．32. A 【解析】y =cosx 在 (−π2,0) 上单调增，在 (0,π2) 上单调减，又 y =lnx 在其定义域上单调增，故复合函数 y =lncosx (−π2<x <π2) 在 (−π2,0) 上单调增，在 (0,π2) 上单调减．33. A 34. B 第二部分 35. 1 36. 16【解析】由已知，得 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣cos π6=tan π6，解得 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=23，所以 △ABC 的面积为 S =12∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣sinA =16． 37. 2π 38. π6【解析】由 sinB +cosB =√2，得 sin (B +π4)=1．∵B 为三角形的内角，∴0<B <π，从而有 π4<B +π4<5π4．∴B +π4=π2，∴B =π4．结合正弦定理，有 sinA =asinB b=12．∵a <b ，∴A <B ，∴A =π6． 39. π6【解析】m ⃗⃗ ⋅n ⃗ =0⇒√3cosA −sinA =0⇒tanA =√3， 又 A 为三角形的内角，故 A =π3．由 acosB +bcosA =csinC 及正弦定理知，sinAcosB +sinBcosA =sin 2C ⇒sin (A +B )=sin 2C ， ⇒sinC =1 或 sinC =0（舍去），故 C =π2，于是 B =π−A −C =π6． 40. 43n (n +1) 41. −45【解析】利用向量模的公式，将条件 ∣m ⃗⃗ +n ⃗ ∣=8√25转化为关于角 θ 的三角函数式，再运用三角函数恒等变换，即可得到所求．因为 m ⃗⃗ +n ⃗ =(cosθ−sinθ+√2,cosθ+sinθ)， 所以∣m ⃗⃗ +n ⃗ ∣=√(cosθ−sinθ+√2)2+(cosθ+sinθ)2=√4+2√2(cosθ−sinθ)=√4+4cos (θ+π4)=2√1+cos (θ+π4).因为 ∣m ⃗⃗ +n ⃗ ∣=8√25， 所以 cos (θ+π4)=725． 所以 2cos 2(θ2+π8)−1=725， 所以 cos 2(θ2+π8)=1625． 因为 θ∈(π,2π)， 所以 5π8<θ2+π8<9π8，所以 cos (θ2+π8)=−45． 42. ③④【解析】①函数 y =∣x +1∣ 按向量 v =(−1,0) 平移后所得图象对应的函数为 y =∣(x +1)+1∣=∣x +2∣，故①错；②因为圆心 (−2,−1) 在直线 y =12x 上，所以直线 y =12x 被圆所截得的弦长为 2r =4，故②错；③由 {sin (α+β)=12,sin (α−β)=13解得，sinαcosβ=512，cosαsinβ=112，所以 tanαcotβ=5，故③正确；④ P 到平面 AA 1D 1D 的距离即为 P 到直线 AD 的距离，P 到 CC 1 的距离即为 P 到 C 的距离，故结合题意可知，点 P 到直线 AD 的距离等于点 P 到 C 的距离，由抛物线的定义可知，点 P 的轨迹是以点 C 为焦点以直线 AD 为准线的抛物线在平面 ABCD 内的部分，故④正确． 43. (2−sin2,1−cos2)【解析】设 A (2,0)，B (2,1)，由题意知劣弧长为 2，由于圆的半径为 1，所以 ∠ABP =21=2 ．设 P (x,y )，则x =2−1×cos (2−π2)=2−sin2， y =1+1×sin (2−π2)=1−cos2， 所以 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 (2−sin2,1−cos2) ．第三部分 44. （1）f (x )=2sinx1+cosφ2+cosxsinφ−sinx =sinx +sinxcosφ+cosxsinφ−sinx =sinxcosφ+cosxsinφ=sin (x +φ).因为 f (x ) 在 x =π 处取最小值，所以sin (π+φ)=−1,故 sinφ=1．又 0<φ<π，所以 φ=π2． （2） 由（1）知f (x )=sin (x +π2)=cosx.因为 f (A )=cosA =√32，且 A 为 △ABC 的内角，所以 A =π6．由正弦定理得sinB =bsinA a =√22,又 b >a ，所以 B =π4或 B =3π4．当 B =π4时，C =π−A −B =π−π6−π4=7π12, 当 B =3π4时，C =π−A −B =π−π6−3π4=π12. 综上所述，C =7π12或 C =π12． 45. （1） 因为f (x )=12sin2xsinφ+cos 2xcosφ−12sin (π2+φ)(0<φ<π),所以f (x )=12sin2xsinφ+1+cos2x 2cosφ−12cosφ=12sin2xsinφ+12cos2xcosφ=12(sin2xsinφ+cos2xcosφ)=12cos (2x −φ). 又函数图象过点 (π6,12)，所以12=12cos (2×π6−φ), 即cos (π3−φ)=1,又 0<φ<π，所以 φ=π3． （2） 由（1）知f (x )=12cos (2x −π3),将函数 y =f (x ) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 12，纵坐标不变，得到函数 y =g (x ) 的图象，可知g (x )=f (2x )=12cos (4x −π3),因为 x ∈[0,π4]，所以 4x ∈[0,π]，因此4x −π3∈[−π3,2π3], 故−12≤cos (4x −π3)≤1, 所以−14≤g (x )≤12, 所以 y =g (x ) 在 [0,π4] 上的最大值和最小值分别为 12和 −14．46. （1） 由题意得f (x )=m ⃗⃗ ⋅n ⃗=√3Asinxcosx +A2cos2x =A (√32sin2x +12cos2x)=Asin (2x +π6).因为 A >0，由题意知 A =6．（2） 由（1）f (x )=6sin (2x +π6)．将函数 y =f (x ) 的图象向左平移 π12个单位后得到 y =6sin [2(x +π12)+π6]=6sin (2x +π3) 的图象； 再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的 12 倍，纵坐标不变，得到 y =6sin (4x +π3) 的图象． 因此 g (x )=6sin (4x +π3)．因为 x ∈[0,5π24]，所以 4x +π3∈[π3,7π6]，故 g (x ) 在 [0,5π24] 上的值域为 [−3,6]． 47. （1） 由题意知f (x )=a ⋅b⃗ =msin2x +ncos2x, 因为 f (x ) 的图象过点 (π12,√3),(2π3,−2)，所以f (π12)=msin π6+ncos π6=√3,f (2π3)=msin 4π3+ncos 4π3=−2,可得{ 12m +√32n =√3,−√32m −12n =−2,解得{m =√3,n =1.（2） 由（1）和题意可知f (x )=√3sin2x +cos2x =2sin (2x +π6),g (x )=f (x +φ)=2sin (2x +2φ+π6).设 g (x ) 的对称轴为 x =x 0， 因为 d =√1+x 02=1 解得 x 0=0， 所以 g (0)=2，解得 φ=π6，可得g (x )=2sin (2x +π3+π6)=2sin (2x +π2)=2cos2x,故 −π+2kπ≤2x ≤2kπ,k ∈Z ，−π2+kπ≤x ≤kπ,k ∈Z, 因此 g (x ) 的单调增区间为 [−π2+kπ,kπ],k ∈Z ．48. （1） 由题意知 2(sinAcosA +sinBcosB )=sinAcosAcosB +sinBcosAcosB ， 化简得 2(sinAcosB +sinBcosA )=sinA +sinB ， 即 2sin (A +B )=sinA +sinB ． 因为 A +B +C =π，所以 sin (A +B )=sin (π−C )=sinC ． 从而 sinA +sinB =2sinC ． 由正弦定理得 a +b =2c ． （2） 由1知 c =a+b 2，所以 cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−(a+b 2)22ab=38(b a +a b )−14≥12， 当且仅当 a =b 时，等号成立． 故 cosC 的最小值为 12．49. 由 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6 可得 bccosA =−6, ⋯⋯① 由三角形的面积公式可得 S △ABC =12bcsinA =3, ⋯⋯② 所以 tanA =−1，因为 0<A <180∘， 所以 A =135∘， 所以 c =3×√22=2√2，由余弦定理可得 a 2=b 2+c 2−2bccosA =9+8+12=29， 所以 a =√29． 50. （1） 函数f (x )=sin (ωx −π6)+sin (ωx −π2)=sinωxcos π6−cosωxsin π6−sin (π2−ωx)=√32sinωx −32cosωx=√3sin (ωx −π3).又 f (π6)=√3sin (π6ω−π3)=0， 所以 π6ω−π3=kπ,k ∈Z ． 解得 ω=6k +2,k ∈Z ． 又 0<ω<3， 所以 ω=2；（2） 由（1）知，f (x )=√3sin (2x −π3)，将函数 y =f (x ) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变）， 得到函数 y =√3sin (x −π3) 的图象； 再将得到的图象向左平移 π4 个单位， 得到 y =√3sin (x +π4−π3) 的图象， 所以函数 y =g (x )=√3sin (x −π12)；当 x ∈[−π4,3π4]，x −π12∈[−π3,2π3]，所以 sin (x −π12)∈[−√32,1]， 所以当 x =−π4 时，g (x ) 取得最小值是 −√32×√3=−32．51. （1） 因为 AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，且 AB,AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP =A ， 所以 BE ⊥平面ABP ，又 BP ⊂平面ABP ， 所以 BE ⊥BP ，又 ∠EBC =120∘， 因此 ∠CBP =30∘； （2） 解法一、取 EC⏜ 的中点 H ，连接 EH ，GH ，CH ，因为 ∠EBC =120∘， 所以四边形 BECH 为菱形，所以 AE =GE =AC =GC =√32+22=√13． 取 AG 中点 M ，连接 EM ，CM ，EC ， 则 EM ⊥AG ，CM ⊥AG ，所以 ∠EMC 为所求二面角的平面角． 又 AM =1，所以 EM =CM =√13−1=2√3． 在 △BEC 中，由于 ∠EBC =120∘，由余弦定理得：EC 2=22+22−2×2×2×cos120∘=12， 所以 EC =2√3，因此 △EMC 为等边三角形， 故所求的角为 60∘ .解法二、以 B 为坐标原点，分别以 BE ，BP ，BA 所在直线为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．由题意得：A (0,0,3)，E (2,0,0)，G(1,√3,3)，C(−1,√3,0)， 故 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−3)，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,3)． 设 m ⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1) 为平面 AEG 的一个法向量，由 {m ⃗⃗ ⋅AE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗ ⋅AG⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得 {2x 1−3z 1=0,x 1+√3y 1=0, 取 z 1=2，得 m ⃗⃗ =(3,−√3,2)；设 n ⃗ =(x 2,y 2,z 2) 为平面 ACG 的一个法向量， 由 {n ⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 可得 {x 2+√3y 2=0,2x 2+3z 2=0, 取 z 2=−2，得 n ⃗ =(3,−√3,−2)．所以 cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣m ⃗⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣=12． 所以二面角 E −AG −C 的大小为 60∘．52. （1） 因为f (x )=sin (π−ωx )cosωx +cos 2ωx,所以f (x )=sinωxcosωx +1+cos2ωx2=12sin2ωx +12cos2ωx +12=√22sin (2ωx +π4)+12, 由于 ω>0，依题意，得 2π2ω=π，所以 ω=1． （2） 由（1）知f (x )=√22sin (2x +π4)+12, 所以g (x )=f (2x )=√22sin (4x +π4)+12. 当 x ∈[0,π16] 时，π4≤4x +π4≤π2, 所以√22≤sin (4x +π4)≤1, 因此1≤g (x )≤1+√22, 故 g (x ) 在区间 [0,π16] 上的最小值为 1．53. （1） 因为 cosA =√63， 所以 sinA =√1−69=√33， 因为 B =A +π2．所以 sinB =sin (A +π2)=cosA =√63， 由正弦定理知 a sinA=b sinB ， 所以 b =a sinA⋅sinB =√33√63=3√2． （2） 因为 sinB =√63，B =A +π2>π2所以 cosB =−√1−69=−√33，sinC =sin (π−A −B )=sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√33×(−√33)+√63×√63=13,所以 S =12a ⋅b ⋅sinC =12×3×3√2×13=3√22． 54. （1） 由题意知 f (x )=sin2x 2−1+cos(2x+π2)2=sin2x 2−1−sin2x2=sin2x −12．由 −π2+2kπ≤2x ≤π2+2kπ,k ∈Z ，可得 −π4+kπ≤x ≤π4+kπ,k ∈Z ； 由 π2+2kπ≤2x ≤3π2+2kπ,k ∈Z ，可得 π4+kπ≤x ≤3π4+kπ,k ∈Z ．所以 f (x ) 的单调递增区间是 [−π4+kπ,π4+kπ](k ∈Z )；单调递减区间是 [π4+kπ,3π4+kπ](k ∈Z )．（2） 由 f (A2)=sinA −12=0，得 sinA =12， 由题意知 A 为锐角，所以 cosA =√32． 由余弦定理 a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得 1+√3bc =b 2+c 2≥2bc ， 即 bc ≤2+√3，当且仅当 b =c 时等号成立． 因此 12bcsinA ≤2+√34．所以 △ABC 的面积的最大值为 2+√34．55. 在 △ABC 中，由 cosB =√33，得 sinB =√63， 因为 A +B +C =π， 所以 sinC =sin (A +B )=√69． 因为 sinC <sinB ，所以 C <B ，可得 C 为锐角， 所以 cosC =5√39， 因此 sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC =√63×5√39+√33×√69=2√23． 由 asinA =csinC ，可得 a =csinA sinC=2√23c √69=2√3c ．又 ac =2√3，所以 c =1．56. （1） 因为 f (x )=A2−A2cos (2ωx +2φ)，且 y =f (x ) 的最大值为 2, 所以 A 2+A2=2,A =2. 又因为其图象相邻两对称轴间的距离为 2，所以12(2π2ω)=2,ω=π4, 从而f (x )=1−cos (π2x +2φ).因为 y =f (x ) 过 (1,2) 点，所以cos (π2+2φ)=−1.即π2+2φ=2kπ+π,k ∈Z, 解得φ=kπ+π4,k ∈Z,又 0<φ<π2，因此φ=π4.（2） 由（1）可得f (x )=2sin 2(π4x +π4),所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=2+1+0+1=4.又因为 y =f (x ) 的周期为 4，且 2008=4×502，所以f (1)+f (2)+⋅⋅⋅+f (2008)=4×502=2008.57. （1）f (x )=2√3sin (π−x )sinx −(sinx −cosx )2=2√3sin 2x −(1−2sinxcosx )=√3(1−cos2x )+sin2x −1=sin2x −√3cos2x +√3−1=2sin (2x −π3)+√3−1.由 2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2(k ∈Z )，解得 kπ−π12≤x ≤kπ+5π12(k ∈Z )．因此，f (x ) 的单调递增区间是 [kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z )．（2） 把 y =f (x ) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得到 y =2sin (x −π3)+√3−1 的图象，再把得到的图象向左平移 π3 个单位，得到 y =2sinx +√3−1 的图象，即 g (x )=2sinx +√3−1，从而 g (π6)=2sin π6+√3−1=√3．58. 如图，连接 A 1B 2，A 2B 2=10√2，A 1A 2=2060×30√2=10√2，∠B 2A 2A 1=60∘， 所以 △A 1A 2B 2 是等边三角形，所以 ∠B 1A 1B 2=105∘−60∘=45∘，A 1B 2=10√2．在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22−2A1B1⋅A1B2cos45∘=202+(10√2)2−2×20×10√2×√2 2=200,即B1B2=10√2．因此乙船的速度的大小为10√220×60=30√2．答：乙船每小时航行30√2海里．59. （1）f(x)=cos2xcos π3−sin2xsinπ3+1−cos2x2=12cos2x−√32sin2x+12−12cos2x=12−√32sin2x.所以当2x=−π2+2kπ，即x=−π4+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，f(x)max=1+√32,f(x)的最小正周期T=2π2=π,故函数f(x)的最大值为1+√32，最小正周期为π．（2）由f(C2)=−14，即12−√32sinC=−14,解得sinC=√3 2,又C为锐角，所以C=π3 .由cosB=13求得sinB=2√2 3.因此sinA=sin [π−(B +C )]=sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC =2√23×12+13×√32=2√2+√36.60. （1）f (x )=√32−√3sin 2ωx −sinωxcosωx =√32−√3⋅1−cos2ωx 2−12sin2ωx =√32cos2ωx −12sin2ωx =−sin (2ωx −π3).因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 π4，又 ω>0 ，所以2π2ω=4×π4, 因此 ω=1 ．（2） 由（1）知 f (x )=−sin (2x −π3) ．当 π≤x ≤3π2时，5π3≤2x −π3≤8π3. 所以−√32≤sin (2x −π3)≤1. 因此−1≤f (x )≤√32. 故 f (x ) 在区间 [π,3π2] 上的最大值和最小值分别为 √32,−1 ． 61. （1） 结合已知条件a +c =6,b =2,cosB =79,由余弦定理cosB=a 2+c 2−b 22ac =(a +c )2−2ac −b 22ac ,可得 ac =9，解{a +c =6,ac =9,可得a =c =3.（2） 在 △ABC 中，由 cosB =79，易得sinB =4√29, 结合（1），由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc =4+9−92×2×3=13, 所以 sinA =2√23，因此 sin (A −B )=sinAcosB −cosAsinB=2√23×79−13×4√29=10√227.62. （1）f (x )=√3sin (ωx +φ)−cos (ωx +φ)=2[√32sin (ωx +φ)−12cos (ωx +φ)]=2sin (ωx +φ−π6)因为 f (x ) 为偶函数，所以对 x ∈R ，f (−x )=f (x ) 恒成立，因此sin (−ωx +φ−π6)=sin (ωx +φ−π6).即 −sinωxcos (φ−π6)+cosωxsin (φ−π6)=sinωxcos (φ−π6)+cosωxsin (φ−π6) 整理得sinωxcos (φ−π6)=0.因为 ω>0，且 x ∈R ，所以cos (φ−π6)=0.又因为 0<φ<π，故 φ−π6=π2．所以f (x )=2sin (ωx +π2)=2cosωx.由题意得 2πω=2⋅π2，所以 ω=2．故 f (x )=2cos2x ． 因此f (π8)=2cos π4=√2.（2）g(x)=f(x−π6)=2cos(2x−π3)，当2kπ≤2x−π3≤2kπ+π(k∈Z),即kπ+π6≤x≤kπ+2π3(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z).63. （1）对已知等式两边同乘以cosAcosC，化简可得：sinAsinC=sinB(sinAcosC+cosAsinC)=sinBsin(A+C)=sin2B,再由正弦定理可得：b2=ac,所以a，b，c成等比数列．（2）若a=1，c=2，则b2=ac=2，因此可得出cosB=a2+c2−b22ac=34,sinB=√1−cos2B=√7 4,所以△ABC的面积为S=12 acsinB=12×1×2×√74=√7 4.64. （1）f(x)=√3sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)=2[√32sin(ωx+φ)−12cos(ωx+φ)]=2sin(ωx+φ−π6)因为f(x)为偶函数，所以对x∈R,f(−x)=f(x)恒成立，因此sin(−ωx+φ−π6)=sin(ωx+φ−π6).即−sinωxcos(φ−π6)+cosωxsin(φ−π6)=sinωxcos(φ−π6)+cosωxsin(φ−π6)整理得sinωxcos(φ−π6)=0.因为ω>0，且x∈R，所以cos(φ−π6)=0．又因为0<φ<π，故φ−π6=π2．所以f (x )=2sin (ωx +π2)=2cosωx.由题意得 2πω=2⋅π2，所以 ω=2．故 f (x )=2cos2x ．因此 f (π8)=2cos π4=√2．（2） 将 f (x ) 的图象向右平移 π6 个单位后，得到 f (x −π6) 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到 f (x4−π6) 的图象． 所以g (x )=f (x 4−π6)=2cos [2(x 4−π6)]=2cos (x 2−π3)当2kπ≤x 2−π3≤2kπ+π.(k ∈Z ) 即4kπ+2π3≤x ≤4kπ+8π3(k ∈Z )时, g (x ) 单调递减，因此 g (x ) 的单调递减区间为 [4kπ+2π3,4kπ+8π3]（k ∈Z ）．65. （1） 在 △ABC 中，由cosA −2cosC cosB =2c −ab,及正弦定理可得cosA −2cosC cosB =2sinC −sinAsinB,即cosAsinB −2cosCsinB =2sinCcosB −sinAcosB,则cosAsinB +sinAcosB =2sinCcosB +2cosCsinB,sin (A +B )=2sin (C +B ).而 A +B +C =π，则 sinC =2sinA ，即sinCsinA=2.（2） 由 sinCsinA =2，得 c =2a ，由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB,及cosB =14,b =2,可得4=a 2+4a 2−4a 2×14=4a 2, 解得 a =1，从而 c =2，S=12 acsinB=12×1×2×√1−cos2B=√15 4,即S=√15 4.66. （1）由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,所以cosA−2cosCcosB =2c−ab=2sinC−sinAsinB,即sinBcosA−2sinBcosC=2sinCcosB−sinAcosB,即有sin(A+B)=2sin(B+C),也就是sinC=2sinA,所以sinCsinA=2.（2）由（1）知sinCsinA =2，所以有ca=2，即c=2a,又因为△ABC的周长为5，所以b=5−3a,由余弦定理得：b2=c2+a2−2accosB,即(5−3a)2=(2a)2+a2−4a2×1 4 ,解得a=1，所以b=2．67. （1）因为f(x)=A2−A2cos(2ωx+2φ)的最大值为2，所以A2+A2=2,解得A=2．。
2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 三角函数概念诱导公式与恒等变换
7.（2017 新课标Ⅲ）已知 sin cos 4 ，则 sin 2 = 3
A． 7 9
B． 2 9
2
C．
9
【答案】A.
7
D．
9
【解析】由 sin cos 4 ，两边平方得1 sin 2 16 ，所以 sin 2 7 ，选 A．
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【解析】由
tan tan(
)
2 3
，得
4
tan tan tan
4
2 ， 3
1 tantan
4
所以
tan (1 tan 1 tan
)
2 3
，解得
tan
2
或
tan
1 3
．
当 tan
2 时， sin2
2tan 1 tan2
1 2
2
22
2
1 2
22
sin
4 4sin .
故选 B.
2.（全国Ⅱ文
11）已知
a∈（0，
π 2
），2sin2α=cos2α+1，则
sinα=
A．
1 5
【答案】B.
B． 5 5
C． 3 3
D． 2 5 5
【解析】由 2sin 2 cos 2 1，得 4sin cos 2 cos2 .
A． 4 5
B． 1 5
C． 1 5
D． 4 5
【答案】D.
十年高考理科数学真题 专题四 三角函数与解三角形 十 三角函数的图象与性质及答案
专题四 三角函数与解三角形 第十讲 三角函数的图象与性质2019年1.解析：因为21cos411sin 2cos 422x f x x x -===-（）（）， 所以f x （）的最小正周期2π4T ==2.解析 当[0,2]x ∈π时，,2555x ωωπππ⎡⎤+∈π+⎢⎥⎣⎦， 因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，所以5265ωπππ+<π„， 所以1229510ω<„，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,)10x π∈时，(2),5510x ωωππ+π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，若()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ω+ππ<，即3ω<，因为1229510ω<„，故③正确． 故选D ．3.解析 因为()f x 是奇函数，所以0ϕ=，()sin f x A x ω=.将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x ，即()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()g x 的最小正周期为2π，所以2212ωπ=π，得2ω=， 所以()sin g x A x =，()sin 2f x A x=.若4g π⎛⎫=⎪⎝⎭sin 442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭2A =，所以()2sin 2f x x =，332sin 22sin 2884f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ．2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π2．(2018天津)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017新课标Ⅰ）已知曲线1C ：cos y x =，2C ：2sin(2)3y x π=+，则下面结论正确的是A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π 个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C5．（2017新课标Ⅲ）设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在(,)2ππ单调递减6．（2017天津）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=- C ．13ω=，24ϕ11π=- D ．13ω=，24ϕ7π=7．（2016北京）将函数sin(2)3y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s (0s >)个单位长度得到点P '．若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则A ．12t =，s 的最小值为6π B ．t =，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3π D ．t =，s 的最小值为3π8．（2016山东）函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是A ．2πB ．πC ．32πD ．2π9．（2016全国I ）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ωϕωϕ=>=-，≤为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7 D ．5 10．（2016全国II ）若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈ D ．()212k x k Z ππ=+∈11．(2015山东)要得到函数4sin(4)3y x π=-的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位12．（2015四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是A ．cos(2)2y x π=+B ．sin(2)2y x π=+C ．sin 2cos 2y x x =+D ．sin cos y x x =+13．（2015新课标Ⅱ）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为．A ．13(,)44k k ππ-+，k Z ∈ B ．13(2,2)44k k ππ-+，k Z ∈ C ．13(,)44k k -+，k Z ∈ D ．13(2,2)44k k -+，k Z ∈14．（2015安徽）已知函数()()sin f x Αx ωϕ=+（Α，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是 A ．()()()220f f f <-< B ．()()()022f f f <<- C ．()()()202f f f -<< D ．()()()202f f f <<- 15．（2014新课标Ⅰ）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③16．（2014浙江）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数y x =的图像A ．向右平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π个单位17．(2014安徽)若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y轴对称，则ϕ的最小正值是A ．8π B ．4πC ．83πD ．43π18．（2014福建）将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期是πC ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称 D ．()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫-⎪⎝⎭19．（2014辽宁）将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 20．（2013广东）已知51sin()25πα+=，那么cos α=A ．25-B ．15-C ．15D ．2521．（2013山东）将函数()sin 2y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为A ．34π B ．4πC ．0D ．4π- 22．（2013福建）将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ，则ϕ的值可以是A ．35πB ．65πC ．2πD ．6π23．（2012新课标）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π424．（2012安徽）要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位 25．（2012浙江）把函数cos 21y x =+的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是26．（2012山东）函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为A ．23-B ．0C ．－1D ．13-27．（2012天津）将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点3(,0)4π，则ω的最小值是 A ．13 B ．1 C ．53D ．228．（2012新课标）已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是 A ．]45,21[B ．]43,21[C ．]21,0(D ．]2,0(29．（2011山东）若函数()sin f x x ω=（ω>0）在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=A ．23 B ．32C ．2D ．330．（2011新课标）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称31．（2011安徽）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ C ．2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦32．（2011辽宁）已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πfA ．3B 3C 3D ．23 二、填空题33．(2018北京)设函数π()cos()(0)6f x x ωω=->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___．34．(2018全国卷Ⅲ)函数()cos(3)6f x x π=+在[0,]π的零点个数为_____． 35．(2018江苏)已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ．36．（2016年全国III ）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．37．(2015浙江)函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是________，单调递减区间是_______．38．（2014山东）函数22cos 2y x x =+的最小正周期为 . 39．（2014江苏）已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ． 40．（2014重庆）将函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ______． 41．（2014安徽）若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是________．42．(2013新课标Ⅰ)设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ= ． 43．（2013新课标Ⅱ）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________．44．（2013江西）设()cos3f x x x =+，若对任意实数x 都有()f x a ≤，则实数a 的取值范围是 ．45．（2013江苏）函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 .46．（2011江苏）函数()sin(),(,,f x A x A w ωϕϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则(0)f = ．47．(2011安徽)设()f x =sin 2cos2a x b x +，其中,a b ∈R ，0ab ≠，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11()012f π= ②7()10f π＜()5f π ③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像不相交 以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号)． 48．（2010江苏）定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像的交点为P ，过点P 作1PP ⊥x 轴于点1P ，直线1PP与sin y x =的图像交于点2P ，则线段12P P 的长为 ．49．（2010福建）已知函数()=3sin()(>0)6f x x πωω-和g()=2cos(2+)+1x x ϕ的图象的对称轴完全相同．若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是 ．三、解答题50．（2018上海）设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+．(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；(2)若()14f π=，求方程()1f x =ππ-［，］上的解．51．（2017江苏）已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈．（1）若∥a b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 52．（2017山东）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<．已知()06f π=．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值．53．（2016年天津）已知函数()4tan cos cos()3f x x x x π=-(Ⅰ)求()f x 的定义域与最小正周期； (Ⅱ)讨论()f x 在区间[,44ππ-]上的单调性．54．（2015北京）已知函数2()cos 222x x x f x =．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．55．（2015湖北）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：((Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．56．（2014福建）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）求5()4f π的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．57．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．58．（2014福建）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. (Ⅰ)若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值； (Ⅱ)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． 59．（2014北京）函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示． （Ⅰ）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．60．（2014天津）已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 61．（2014重庆）已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（I ）求ω和ϕ的值； （II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫⎝⎛+23cos πα的值．62．(2013山东)设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π． (Ⅰ)求ω的值； (Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值．63． (2013天津)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R ．(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期；(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．64．（2013湖南）已知函数()cos cos 3f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）求2()3f π的值； （2）求使 1()4f x <成立的x 的取值集合．65．(2012安徽) 设函数2())sin 4f x x x π=++ （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时，1()()2g x f x =-； 求()g x 在[,0]π-上的解析式． 66．（2012湖南）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (,x R ∈0ω>,0)2πϕ<<的部分图像如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间．67．（2012陕西）函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值． 专题四 三角函数与解三角形 第十讲 三角函数的图象与性质答案部分 2019年1.（2019北京9）函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是 ________. 2.（2019全国Ⅲ理12）设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A ． ①④B ． ②③C ． ①②③D ． ①③④3.（2019天津理7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且π4g ⎛⎫=⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.2-B.D.22010-2018年1．A【解析】解法一()cos sin )4=-=+πf x x x x ，且函数cos =y x 在区间[0,]π上单调递减，则由04ππ+≤≤x ，得344ππ-≤≤x ． 因为()f x 在[,]-a a 上是减函数，所以434ππ⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≤a a ，解得4π≤a ，解法二 因为()cos sin =-f x x x ，所以()sin cos '=--f x x x ， 则由题意，知()sin cos 0'=--≤f x x x 在[,]-a a 上恒成立， 即sin cos 0+≥x x)04π+≥x ，在[,]-a a 上恒成立，结合函数)4π=+y x 的图象可知有044πππ⎧-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≤a a ，解得4π≤a ，所以04π<≤a ， 所以a 的最大值是4π，故选A ． 2．A 【解析】把函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度得函数 ()sin[2()]sin 2105g x x x ππ=-+=的图象，由22222k x k ππππ-++≤≤(k ∈Z )得44k x k ππππ-++≤≤(k ∈Z )，令1k =，得3544x ππ≤≤， 即函数()sin 2g x x =的一个单调递增区间为35[,]44ππ，故选A ． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ． 4．D 【解析】把2C 的解析式运用诱导公式变为余弦，2C ：22sin(2)cos[(2)]cos[(2)]cos(2)32366y x x x x πππππ=+=-+=-+=+ 则由1C 图象横坐标缩短为原来的12，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C ．选D5．D 【解析】∵()cos()3f x x π=+的周期为2k π，k ∈Z ，所以A 正确；∵8()cos313f ππ==-，所以B 正确； 设4()()cos()3g x f x x ππ=+=+，而3()cos 062g ππ==，C 正确；选D ．6．A 【解析】由题意5π8x =取最大值，11π8x =与x 相交，设()f x 周期为T ，所以11538844T πππ-==或34T ，所以3T π=或T π=， 又()f x 的最小正周期大于2π，所以3T π=，所以223T πω==，排除C 、D ； 由5π()28f =，即252sin()238πϕ⨯+=，102242k ππϕπ+=+， 即212k πϕπ=+，令0k =，12πϕ=．选A ．7．A 【解析】因为点(,)4P t π在函数sin(2)3y x π=-的图象上，所以sin(2)43t ππ=⨯-=1sin62π=，又1(,)42P s π'-在函数sin 2y x =的图象上，所以1sin 2()24s π=-，则2()246s k πππ-=+或52()246s k πππ-=+，k Z ∈，得6s k ππ=-+或 6s k ππ=--，k Z ∈．又0s >，故s 的最小值为6π，故选A ．8．B 【解析】由题意得()2sin()2cos()2sin(2)663f x x x x πππ=+⨯+=+，故该函数的最小正周期22T ππ==．故选B ． 9．B 【解析】因为4x π=-为函数()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，所以2π24kT T=+（k Z ∈，T 为周期），得221T k π=+（k Z ∈）．又()f x 在5(,)1836ππ单调，所以11,62T k π厔，又当5k =时，11,4πωϕ==-，()f x 在5(,)1836ππ不单调；当4k =时，9,4πωϕ==，()f x 在5(,)1836ππ单调，满足题意，故9ω=，即ω的最大值为9．10．B 【解析】函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得()ππ26k x k =+∈Z ，所以所求对称轴的方程为()ππ26k x k =+∈Z ，故选B ． 11．B 【解析】sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位． 12．A 【解析】采用验证法，由cos(2)sin 22y x x π=+=-，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A ． 13．D 【解析】由图象可知242m ωπϕπ+=+，32425ωm πϕπ+=+，m Z ∈， 所以,2,4m m Z πωπϕπ==+∈，所以函数()cos(2)cos()44πππππ=++=+f x x m x 的单调递减区间为，224k x k πππππ<+<+，即132244k x k -<<+，k Z ∈．14．A 【解析】∵()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期为π，且23x π=是经过函数()f x 最小值点的一条对称轴，∴2326x πππ=-=是经过函数()f x 最大值的一条对称轴．∵12|2|66ππ--=，512|(2)|66πππ---=，|0|66ππ-=， ∴|2||(2)||0|666ππππ->-->-，且2233ππ-<<，2233πππ-<-<，2033ππ-<<， ∴(2)(2)(0)f f f π<-<，即(2)(2)(0)f f f <-<．15．A 【解析】①|2|cos x y =，最小正周期为π；②|cos |x y =，最小正周期为π；③)62cos(π+=x y ，最小正周期为π；④)42tan(π-=x y ，最小正周期为2π．最小正周期为π的函数为①②③．16．A 【解析】因为sin 3cos3))412y x x x x ππ=+=-=-，所以将函数y x =的图象向右平移12π个单位后，可得到)4y x π=-的图象，故选A ．17．C 【解析】())4f x x π=+，将函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位得()2)4f x x πϕ=+-，由该函数为偶函数可知2,42k k Z ππϕπ-=+∈，即328k ππϕ=+，所以ϕ的最小正值是为38π． 18．D 【解析】函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()sin()cos 2f x x xπ=+=的图象，()cos f x x =为偶函数，排除A ；()cos f x x =的周期为2π，排除B ； 因为()cos022f ππ==，所以()cos f x x =不关于直线2x π=对称，排除C ；故选D ．19．B 【解析】 将3sin(2)3y x π=+的图象向有右移2π个单位长度后得到 3sin[2()]23y x ππ=-+，即23sin(2)3y x π=-的图象，令2222232k x k πππππ-+-+≤≤，k Z ∈，化简可得7[,]1212x k k ππππ∈++，k Z ∈， 即函数23sin(2)3y x π=-的单调递增区间为7[,]1212k k ππππ++，k Z ∈， 令0k =．可得23sin(2)3y x π=-在区间7[,]1212ππ上单调递增，故选B ．20．C 【解析】51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C.22．B 【解析】把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=， 所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ， 观察选项，故选B23．A 【解析】由题设知，πω=544ππ-，∴ω=1，∴4πϕ+=2k ππ+（k Z ∈）， ∴ϕ=4k ππ+（k Z ∈），∵0ϕπ<<，∴ϕ=4π，故选A.24．C 【解析】cos 2y x =向左平移12→1cos 2()cos(21)2y x x =+=+． 25．A 【解析】cos 21cos 1cos(1)1cos(1)y x y x y x y x =+⇒=+⇒=++⇒=+，故选A ．26．A 【解析】709,,sin()1,3636263x x x ππππππ∴≤≤∴-≤-≤∴-≤-≤max min 2,y y ∴==故选8．27．D 【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0)443(sin =-ππω，即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω，所以ω的最小值为2，选D ．28．A 【解析】函数)4sin()(πω+=x x f 的图像可看作是由函数()sin f x x =的图像先向左平移4π个单位得()sin()4f x x π=+的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍，纵坐标不变得到的，而函数()sin()4f x x π=+的减区间是5[,]44ππ，所以要使函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上是减函数，需满足142514ππωππω⎧⨯⎪⎪⎨⎪⨯⎪⎩≤≥，解得1524ω≤≤． 29．B 【解析】由于()sin f x x ω=的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象可知，3π为函数()f x 的四分之一周期，故243ππω=，解得32ω=． 30．D 【解析】∵()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++)22x x π+=，所以2y x =在(0,)2π单调递减，对称轴为2x k π=，即()2k x k Z π=∈．31．C 【解析】因为当x R ∈时，()|()|6f x f π≤恒成立，所以()sin()163f ππϕ=+=±，可得26k πϕπ=+或526k πϕπ=-，k Z ∈，因为()sin()sin ()sin(2)sin 2f f ππϕϕππϕϕ=+=->=+=故sin 0ϕ<，所以526k πϕπ=-，所以5()sin(2)6f x x π=-，由5222262k x k πππππ-+-+≤≤（k Z ∈）， 得263k x k ππππ++≤≤（k Z ∈），故()f x 的单调递增区间是2[,]63k k ππππ++（k Z ∈）． 32．B 【解析】半周期为3884πππ-=，即最小正周期为2π，所以2ω=．由题意可知，图象过定点3(,0)8π，所以30tan(2)8A πϕ=⨯+，即34k πϕπ+= ()k Z ∈所以3()4k k Z πϕπ=-∈，又||2πϕ<，所以4πϕ=， 又图象过定点(0,1)，所以1A =．综上可知()tan(2)4f x x π=+，故有()tan(2)tan 242443f ππππ=⨯+==33．23【解析】由于对任意的实数都有π()()4f x f ≤成立，故当4x π=时，函数()f x 有最大值，故()14f π=，246k πωππ-=(k ∈Z )，∴283k ω=+(k ∈Z )， 又0ω>，∴min 23ω=． 34．3【解析】由题意知，cos(3)06x π+=，所以362x k πππ+=+，k ∈Z ，所以93k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，9x π=；当1k =时，49x π=；当2k =时，79x π=，均满足题意，所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3．35．π6-【解析】由函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，得2sin()13πϕ+=±，因为22ϕππ-<<，所以27636πππϕ<+<， 则232ππϕ+=，6πϕ=-．36．32π【解析】函数sin 2sin()3y x x x π==-的图像可由函数sin y x =+2sin()3x x π=+的图像至少向右平移23π个单位长度得到． 37．π、]87,83[ππππk k ++ (Z k ∈)【解析】23)42sin(22)(+-=πx x f ，故最小正周期为π，单调递减区间为]87,83[ππππk k ++ (Z k ∈)．38．π【解析】22cos y x x =+=1112cos 2sin(2)2262y x x x π=++=++，所以其最小正周期为22ππ=． 39．6π【解析】由题意交点为1(,)32π，所以21sin()32πϕ+=，又0ϕπ<≤，解得6πϕ=．40．2【解析】把函数sin y x =图象向左平移6π个单位长度得到sin()y x ωϕ=+的图象，再把函数sin()6y x π=+图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数1()sin()26f x x π=+的图象，所以=⎪⎭⎫⎝⎛6πf 1sin()sin 2664πππ⨯+==41．38π【解析】()sin[2()]sin(22)44f x x x ππϕϕϕ-=-+=+-∴2()42k k Z ππϕπ-=+∈，∴()82k k Z ππϕ=--∈，当1k =-时min 38πϕ=．42．5-【解析】∵()f x =sin 2cos x x -)x x令cos ϕ=5，sin 5ϕ=-，则()f x cos sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+，当x ϕ+=2,2k k z ππ+∈，即x =2,2k k z ππϕ+-∈时，()f x 取最大值，此时θ=2,2k k z ππϕ+-∈，∴cos θ=cos(2)2k ππϕ+-=sin ϕ=. 43．56π【解析】函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+， 即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++ 5cos(2)6x π=+，即56πϕ=．44．2a ≥【解析】()3cos32sin(3)f x x x x φ=+=+得|()|2f x ≤故2a ≥． 45．π【解析】2==2T ππ．46A =，741234T πππ=-=，所以T π=，22Tπω==，又函数图象经过点(,0)3π，所以23πϕπ⨯+=，则3πϕ=，故())3f x x π=+，所以(0)3f π==．47．①③【解析】()sin 2cos2)f x a x b x x ϕ=++（其中tan b aϕ=），因此对一切x R ∈，()|()|6f x f π≤恒成立，所以sin()13πϕ+=±，可得()6k k Z πϕπ=+∈，故())6f x x π=+．而1111())012126f πππ=⨯+=，所以①正确；74717|()||||123030f πππ==，17|()|||530f ππ=，所以7|()||()|105f f ππ=，故②错；③明显正确；④错误：由函数())6f x x π=+和())6f x x π=+的图象（图略）可知，不存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图象不相交，故⑤错误．48．23【解析】线段12P P 的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos 5tan x x =，解得sin x =23．线段12P P 的长为23． 49．3[,3]2-【解析】由题意知，2ω=，因为[0,]2x π∈，所以52[,]666x πππ-∈-，由三角函数图象知：()f x 的最小值为33sin ()=62π--，最大值为3sin =32π，所以()f x 的取值范围是3[,3]2-．50．【解析】(1)若()f x 为偶函数，则对任意∈R x ，均有()()=-f x f x ；即22sin 22cos sin 2()2cos ()+=-+-a x x a x x ， 化简得方程sin 20=a x 对任意∈R x 成立，故0=a ；(2)2()sin(2)2cos ()11444πππ=⨯+=+=f a a ，所以=a故2()22cos =+f x x x ．则方程()1=-f x 222cos 1+=x x222cos 1+-=x x ，化简即为2sin(2)6π+=x即sin(2)6π+=x ，解得1124ππ=-+x k 或524ππ'=-+x k ，,'∈Z k k 若求该方程在[,]ππ-上有解，则1335[,]2424∈-k ，1929[,]2424'∈-k ， 即0=k 或1；0'=k 或1， 对应的x 的值分别为：1124π-、1324π、524π-、1924π．51．【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，∥a b ，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan x = 又[0,]x π∈，所以56x π=．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为[0,]x π∈，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，()f x 取到最小值-52．【解析】（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin )22x x ωω=-)3x πω=-由题设知()06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈．故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<， 所以2ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=-．因为3[,]44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-． 53．【解析】(Ⅰ)()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈．()4tan cos cos()3f x x x x π=--4sin cos()3x x π=--14sin (cos )2x x x =+-22sin cos x x x =+-sin 2cos2)x x =+--sin 2x x =-2sin(2)3x π=-所以()f x 的最小正周期22T ππ==． ()II 令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦I ． 所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减．54．【解析】（Ⅰ）因为()cos )f x x x =-sin()4x π=+所以()f x 的最小正周期为2π． （Ⅱ）因为0x π-≤≤，所以3444x πππ-≤+≤． 当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值．所以()f x 在区间[],0π-上的最小值为3()142f π-=--． 55．【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ． 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 56．【解析】解法一：（Ⅰ）5555()2cos (sin cos )4444f ππππ=+ 2cos(sincos )444πππ=---2=（Ⅱ）因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++.所以22T ππ==. 由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 解法二：因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++（Ⅰ）511()112444f πππ=+=+=．（Ⅱ）22T ππ==．由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈.57．【解析】（Ⅰ）ππ(8)108sin 81212f =⨯-⨯()()2π2π10sin 33=-110()102=--=.故实验室上午8时的温度为10 ℃．（Ⅱ）因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+， 又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<，ππ1sin()1123t -≤+≤．当2t =时，ππsin()1123t +=；当14t =时，ππsin()1123t +=-． 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.58．【解析】解法一：(Ⅰ)因为0,2πα<<sin 2α=所以cos 2α=．所以11()()22222f α=+-=． (Ⅱ)因为2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-11sin 2cos 2)2224x x x π=+=+, 所以22T ππ==.由222,,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈.解法二：2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-11sin 2cos 2)224x x x π=+=+（Ⅰ）因为0,2πα<<sin 2α=所以4πα=从而31()sin(2)24242f ππαα=+== （Ⅱ）22T ππ== 由222,,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 59．【解析】：（I ）()f x 的最小正周期为π，076x π=，03y =.（II ）因为[,]212x ππ∈--，所以52[,0]66x ππ+∈-，于是当206x π+=，即12x π=-时，()f x 取得最大值0；当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 取得最小值3-.60．【解析】（Ⅰ）由已知，有21()cos sin 224f x x x x x 骣÷ç÷=?-+ç÷ç÷ç桫21sin cos 224x x x =?+)1sin 21cos2444x x =-++1sin 24x x =-1sin 223x p 骣÷ç=-÷ç÷ç桫. 所以，()f x 的最小正周期22T pp ==. （Ⅱ）因为()f x 在区间,412p p 轾犏--犏臌上是减函数，在区间,124p p 轾犏-犏臌上是增函数. 144f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，1122f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，144f p 骣÷ç=÷ç÷ç桫.所以，函数()f x 在闭区间,44p p 轾犏-犏臌上的最大值为14，最小值为12-.61．【解析】：（I ）因()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==.又因()f x 的图象关于直线3π=x 对称，所以2,0,1,2,,32k k ππϕπ⋅+=+=±±L 因22ππϕ-≤<得0k =．所以2236πππϕ=-=-.（II ）由（I ）得22264f ααπ⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 由263ππα<<得0,62ππα<-<所以cos 6πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭ 因此3cos sin sin 266πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin cos cos sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1142428⨯+=．62．【解析】(1)()f x ＝22ωx －sin ωx cos ωx1cos 21sin 222x x ωω--ωx －12sin 2ωx ＝πsin 23x ω⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4， 又ω＞0，所以2ππ=424ω⨯．因此ω＝1． (2)由(1)知()f x ＝πsin 23x ⎛⎫--⎪⎝⎭．当π ≤x ≤3π2时，5π3≤π8π233x -≤．所以πsin 2123x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，因此－1≤()f x ≤2．故()f x 在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1．63．【解析】(1)()f x ＝sin 2x ·ππcossin 44x ⋅＋3sin 2x －cos 2x＝2sin 2x －2cos 2x ＝π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 所以，()f x 的最小正周期T ＝2π2＝π． (2)因为()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数．又f (0)＝－2，3π8f ⎛⎫=⎪⎝⎭，π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为，最小值为－2． 64．【解析】(1)41)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos (cos cos )(+⋅+⋅=⋅+⋅⋅=x x x x x x f ππ41)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=⇒++=ππππf f x 所以． （2）由（1）知，111()sin(2)sin(2)0(2)(2,2)264466f x x x x k k ππππππ=++<⇒+<⇒+∈- .),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈⇒ππππππππ所以不等式的解集是：65．【解析】2111())sin cos 2sin 2(1cos 2)4222f x x x x x x π=++=-+- 11sin 222x =-． （I ）函数()f x 的最小正周期22T ππ==． （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，11()()sin 222g x f x x =-=．当[,0]2x π∈-时,()[0,]22x ππ+∈,11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=-当[,)2x ππ∈--时，()[0,)2x ππ+∈,11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得：函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩．66．【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期11522(),21212T Tππππω=-=∴==． 因为点5(,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即．又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+Q 从而，即=6πϕ． 又点0,1（）在函数图像上，所以sin 1,26A A π==，故函数()f x 的解析式为()2sin(2).6f x x π=+（Ⅱ）()2sin[2()]2sin[2()]126126g x x x ππππ=-+-++2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin 22(sin 22)2x x x =-sin 22x x =-2sin(2),3x π=-由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 67．【解析】（Ⅰ）∵函数()f x 的最大值是3，∴13A +=，即2A =．∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴最小正周期T π=，∴2ω=． 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16f x x π=-+．（Ⅱ）∵()2f α2sin()126πα=-+=，即1sin()62πα-=，∵02πα<<，∴663πππα-<-<，∴66ππα-=，故3πα=．。
十年高考分类解析：第4章 三角函数
十年高考分类解析 第四章 三角函数一、选择题1.（2003京春文，2）设M 和m 分别表示函数y =31cos x －1的最大值和最小值，则M +m 等于（ ）A.32 B.－32C.－34 D.－2 2.（2003京春，文6，理5）若A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且A <B <C （C ≠2π），则下列结论中正确的是（ ） A.sin A <sin CB.cot A <cot CC.tan A <tan CD.cos A <cos C3.（2003上海春，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A.（1－y ）sin x +2y －3=0B.（y －1）sin x +2y －3=0C.（y +1）sin x +2y +1=0D.－(y +1)sin x +2y +1=04.（2003上海春，16）关于函数f （x ）=sin 2x －（32）|x |+21，有下面四个结论，其中正确结论的个数为（ ）①f （x ）是奇函数 ②当x >2003时，f （x ）>21恒成立 ③f （x ）的最大值是23 ④f （x ）的最小值是－21A.1B.2C.3D.4 5.（2002春北京、安徽，5）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.（2002上海春，14）在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形7.（2002京皖春文，9）函数y =2sin x 的单调增区间是（ ） A.［2k π－2π，2k π＋2π］（k ∈Z ） B.［2k π＋2π，2k π＋23π］（k ∈Z ）C.［2k π－π，2k π］（k ∈Z ）D.［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ）8.（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（ ） A.（4π，2π）∪（π，45π） B.（4π，π）C.（4π，45π）D.（4π，π）∪（45π，23π） 9.（2002北京，11）已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图4—1所示，那么不等式f （x ）cos x ＜0的解集是（ ）A.（0，1）∪（2，3）B.（1，2π）∪（2π，3）C.（0，1）∪（2π，3） D.（0，1）∪（1，3）10.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2π，π）上为减函数的是（ ） A.y =cos 2xB.y ＝2|sin x |C.y ＝(31)cos xD.y =－cot x11.（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ）12.（2002北京文，8）若1cos 2cot +θθ＝1，则cos2θ的值为（ ）A.53 B.－53C.552 D.－552 13.（2002北京理，8）若1cos 2cot +θθ＝1，则θθ2sin 12cos +的值为（ ）A.3B.－3C.－2D.－2114.（2002河南，1）函数f （x ）=xxcos 2sin 的最小正周期是（ ） A.2π B.πC.2πD.4π15.（2001春季北京、安徽，8）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 16.（2001全国理，1）若sin θcos θ＞0，则θ在（ ） A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限 17.（2001全国文，1）tan300°+cot405°的值是（ ）A.1＋3B.1－3C.－1－3D.－1＋318.（2001全国，8）若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则（ ）A.a ＜bB.a ＞bC.ab ＜1D.ab ＞219.（2001全国理，6）函数y =cos x +1（－π≤x ≤0）的反函数是（ ） A.y =－arccos （x －1）（0≤x ≤2） B.y =π－arccos （x －1）（0≤x ≤2） C.y =arccos （x －1）（0≤x ≤2） D.y =π+arccos （x －1）（0≤x ≤2） 20.（2001天津理，1）函数y =3sin （32π+x ）的周期、振幅依次是（ ） A.4π，3B.4π，－3C.π，3D.π，－321.（2000京、皖春理，10）函数y ＝xx cos sin 21++的最大值是（ ）A.22－1 B.22＋1C.1－22D.－1－22 22.（2000京、皖文，10）函数y ＝sin x ＋cos x ＋2的最小值是（ ） A.2－2B.2＋2C.0D.123.（2000全国，4）已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是（ ） A.若α、β是第一象限角，则cos α＞cos β B.若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β C.若α、β是第三象限角，则cos α＞cos β D.若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β24.（2000全国，5）函数y ＝－x cos x 的部分图象是（ ）25.（2000上海文，13）函数y ＝sin （x ＋2π）（x ∈［－2π，2π］）是（ ）A.增函数B.减函数C.偶函数D.奇函数26.（2000春季北京、安徽，12）设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确．．．的是（ ） A.tan α²tan β＜1 B.sin α＋sin β＜2C.cos α＋cos β＞1D.21tan （α+β）<tan 2βα+27.（2000全国理，12）如图4—2，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（ ）A.arccos321 B.arccos 21C.arccos 21 D.arccos 421 28.（2000上海理，16）下列命题中正确的命题是（ ） A.若点P （a ，2a ）（a ≠0）为角α终边上一点，则sin α=552 B.同时满足sin α=21，cos α=23的角α有且只有一个C.当|a |<1时，tan(arcsin a )的值恒正D.方程tan （x +3π）=3的解集为{x |x =k π，k ∈Z }29.（1999全国，4）函数f （x ）=M sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0），在区间［a ，b ］上是增函数，且f （a ）=－M ，f （b ）=M ，则函数g （x ）=M cos （ωx ＋ϕ）在［a ，b ］上（ ）A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值－D.可以取得最小值－m30.（1999全国，11）若sin α＞tan α＞cot α（－2π＜α＜2π)，则α∈（ ）A.（－2π，－4π） B.（－4π，0）C.（0，4π） D.（4π，2π）31.（1999全国文、理，5）若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ） A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x 32.（1998全国文、理，1）sin600°的值是（ ） A.21 B.－21 C.23 D.－23 33.（1998全国，6）已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ）A.（2π，43π）∪（π，45π） B.（4π，2π）∪（π，45π） C.（2π，43π）∪（45π，23π） D.（4π，2π）∪（43π，π） 34.（1998上海，12）下列函数中，周期是2π的偶函数是（ ）A.y ＝sin4xB.y ＝cos 22x －sin 22xC.y ＝tan2xD.y ＝cos2x 35.（1998全国理，14）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为（ ） A.arccos215- B.arcsin 215- C.arccos 251- D.arcsin 251- 36.（1998上海，16）设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin A ²x +ay +c =0与bx －sin B ²y +sin C =0的位置关系是（ ）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直37.（1997全国文，10）函数y ＝cos 2x －3cos x ＋2的最小值为（ ）A.2B.0C.－41D.638.（1997全国，5）函数y ＝sin （3π－2x ）＋cos2x 的最小正周期是（ ）A.2π B.π C.2π D.4π39.（1997全国，3）函数y =tan （3121-x π）在一个周期内的图象是（ ）40.（1997全国文，6）使tan α≥cot α成立的角α的一个取值区间是（ ） A.（0，4π] B.［0，4π］C.［4π，2π］ D.［4π，2π）41.（1996全国文，6）已知α是第三象限角，并且sin α=－2524，则tan 2α等于（ ） A.34B.43C.－43D.－34 42.（1996上海，2）在下列各区间中，函数y =sin （x ＋4π）的单调递增区间是（ ）A.［2π，π］ B.［0，4π］ C.［－π，0］ D.［4π，2π］43.（1996全国，6）当－2π≤x ≤2π时，函数f （x ）=sin x ＋3cos x 的（ ）A.最大值是1，最小值是－1B.最大值是1，最小值是－21 C.最大值是2，最小值是－2D.最大值是2，最小值是－144.（1996全国理,8）若0＜α＜2π，则arcsin ［cos （2π＋α）］＋arccos ［sin （π＋α）］等于（ ）A.2πB.－2π C.2π－2α D.－2π－2α45.（1996全国）若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是（ ） A.{x |2k π－43π<x <2k π+4π，k ∈Z } B.{x |2k π+4π<x <2k π+45π，k ∈Z }C.{x |k π－4π<x <k π+4π，k ∈Z } D.{x |k π+4π<x <k π+43π，k ∈Z } 46.（1995上海，3）方程tan （2x ＋3π）＝33在区间［0，2π)上解的个数是（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 47.（1995全国文，7）使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是（ ）A.［－43π，4π］B.［－2π，2π］C.［－4π，43π］ D.［0，π］48.（1995全国，3）函数y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是（ ）A.6πB.2πC.32πD.3π49.（1995全国，9）已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝95，那么sin2θ等于（ ） A.322 B.－322 C.32D.－32 50.（1995上海，1）y ＝sin 2x 是（ ） A.最小正周期为2π的偶函数 B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数51.（1994全国文，14）如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称，那么a等于（ ）A.2B.－2C.1D.－152.（1994全国，4）设θ是第二象限角，则必有（ ） A.tan2θ>cot 2θ B.tan 2θ<cot 2θ C.sin2θ>cos 2θD.sin2θ－cos 2θ53.（1994全国，6）下列函数中，以2π为周期的函数是（ ）A.y =sin2x +cos4xB.y =sin2x ²cos4xC.y =sin2x +cos2xD.y =sin2x ²cos2x54.（1994上海，19）在直角坐标系中，曲线C 的方程是y =cos x ，现平移坐标系，把原点移到点O ′（2π，－2π)，则在坐标系x ′O ′y ′中，曲线C 的方程是（ ） A.y ′=sin x ′+2πB.y ′=－sin x ′+2πC.y ′=sin x ′－2π D.y ′=－sin x ′－2π二、填空题55.（2003京春文，13）函数y =sin2x +1的最小正周期为 . 56.（2003上海春，3）已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限.57.（2003上海春，8）不等式（l g 20）2cos x >1（x ∈（0，π））的解为_____. 58.(2002上海春，6)已知f （x ）=x x+-11.若α∈（2π,π）,则f （cos α）＋f （－cos α）可化简为 .59.（2002京皖，4）如果cos θ＝－1312，θ∈（π，23π），那么cos （θ＋4π）的值等于 .60.（2002天津文，14）已知sin2α＝－sin α（α∈（2π，π）），则cot α＝ .61.（2002上海春，9）若f （x ）=2sin ωx （0＜ω＜1)在区间［0，3π］上的最大值是2，则ω＝ .62.（2002北京文，13）sin52π，cos 56π，tan 57π从小到大的顺序是 . 63.（2002上海，10）设函数f （x ）=sin2x ，若f （x +t ）是偶函数，则t 的一个可能值是 . 64.（2002全国，15）已知sin α=cos2α（α∈（2π，π）），则tan α=_____.65.（2001全国春季北京、安徽，5）已知sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1（α、β、γ均为锐角），那么cos αcos βcos γ的最大值等于 .66.（2001上海春）函数y =xxcos 1sin -的最小正周期为_____.67.（2001上海春）关于x 的函数f （x ）=sin （x +ϕ）有以下命题： ①对任意的ϕ，f （x ）都是非奇非偶函数；②不存在ϕ，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数； ③存在ϕ，使f （x ）是奇函数； ④对任意的ϕ，f （x ）都不是偶函数.其中一个假命题的序号是_____.因为当ϕ=_____时，该命题的结论不成立. 68.（2000上海春，1）若sin （2π＋α）＝53，则cos2α＝ . 69.（2000上海春，5）在三角形ABC 中，2 sin A ＝A cos 3，则∠A ＝ .70.（2000春季北京、安徽，5）函数y ＝cos （432ππ+x ）的最小正周期是 . 71.（1999上海，16）函数y =2sin x cos x －2sin 2x +1的最小正周期是_____. 72.（1999上海理，7）函数y =2sin （2x +6π）（x ∈［－π，0］）的单调递减区间是_____.73.（1998上海理，2）若函数y =2sin x ＋a cos x ＋4的最小值为1，则a = .74.（1998全国理，19）关于函数f （x ）=4sin （2x ＋3π）（x ∈R ），有下列命题：①由f （x 1）＝f （x 2）＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y =f （x ）的表达式可改写为y =4cos （2x －6π）；③y =f （x ）的图象关于点（－6π，0）对称；④y ＝f （x ）的图象关于直线x =－6π对称.其中正确的命题的序号是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上）. 75.（1997上海理，12）函数f （x ）=3sin x cos x －4cos 2x 的最大值是_____. 76.（1997上海文，12）函数f （x ）=3sin x cos x －1的最大值为_____. 77.（1997上海，8）方程sin2x =21在［－2π，2π］内解的个数为_____. 78.（1997全国，18）︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_____.79.（1996全国，18）tan20°+tan40°+3tan20°²tan40°的值是_____.80.（1995全国理，18）函数y ＝sin （x －6π）cos x 的最小值是 .81.（1995上海，17）函数y ＝sin2x ＋cos 2x在（－2π，2π）内的递增区间是 . 82.（1995全国文，18）函数y =cos x +cos （x +3π）的最大值是_____.83.（1994上海，9）函数y ＝sin2x －2cos 2x 的最大值是 . 84.（1994全国，18）已知sin θ＋cos θ＝51，θ∈（0，π），则cot θ的值是 . 三、解答题85.（2003京春，18）已知函数f （x ）=xx x 2cos 1cos 5cos 624+-，求f （x ）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.86.（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图4—3所示.求直线y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标.87.（2002全国文，17）如图4—4，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b .（Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式.88.（2002京皖春，17）在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tanCA C A ++的值. 89.（2002全国理，17）已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1,α∈（0,2π）.求sin α、tan α的值.90.（2002天津理，17）已知cos （α＋4π）＝2,53π≤α＜23π，求cos （2α＋4π）的值.91.（2001上海春）已知αααtan 12sin sin 22++=k (4π<α<2,53π),试用k 表示sin α－cos α的值.92.（2001上海，17）已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积.若a =4，b =5，S =53，求c 的长度.93.（2001河南、广东，17）求函数y =（sin x +cos x ）2+2cos 2x 的最小正周期.94.（2001全国文，19）已知圆内接四边形ABCD 的边长AB =2，BC =6，CD =DA =4.求四边形ABCD 的面积.95.（2001天津理，22）设0<θ<2π，曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ－y 2sin θ=1有4个不同的交点.（1）求θ的取值范围；（2）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围.96.（2000京皖春，理19，文20）在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c .证明：CB A c b a sin )sin(222-=-. 97.（2000全国理，17）已知函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1，x ∈R .（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 98.（2000全国文，17）已知函数y ＝3sin x ＋cos x ，x ∈R .（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 99.（1998上海理，17）设α是第二象限的角，sin α=53，求sin （637π－2α）的值. 100.（1998全国理，20）在△AB C 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a +c =2b ，A －C =3π.求sin B 的值.101.（1997上海理，17）已知tan212=α，求sin （α＋6π）的值.102.（1996上海,19）已知sin （4π+α）sin （4π－α）=61,α∈（2π，π）,求sin4α. 103.（1996全国，21）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：A ＋C ＝2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2CA -的值. 104.（1995全国理，22）求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值. 105.（1994上海，21）已知sin α＝53，α∈（2π，π），tan （π－β）＝21， 求tan （α－2β）的值.106.（1994全国文，21）求函数y =xxx x x 2cos cos 3cos sin 3sin 233⋅++sin2x 的最小值.107.（1994全国理，22）已知函数f （x ）=tan x ，x ∈（0，2π），若x 1、x 2∈（0，2π），且x 1≠x 2，证明21［f （x 1）＋f （x 2）］＞f （221x x +）.●答案详析1.答案：D解析：因为函数g （x ）=cos x 的最大值、最小值分别为1和－1.所以y =31cos x －1的最大值、最小值为－32和－34.因此M +m =－2. 2.答案：D解析一：因为A <C .在△ABC 中，大角对大边.因此c >a ，即2R sin C >2R sinA.所以sin C >sin A . 解析二：利用特殊情形.因为A 、B 、C 为△ABC 的三个内角.因此，存在C 为钝角的可能，而A 必为锐角.此时结论仍然正确.而cos A 、tan A 、cot A 均为正数，cos C 、tan C 、cot C 均为负数.因此B 、C 、D 均可排除.解析三：作差sin A －sin C =2cos2C A +²sin 2CA -，A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，又A <C .因此0<A +C <π，0<2C A +<2π，－π<A －C <0，－2π<2C A -<0.所以cos 2C A +>0，sin2CA -<0，可得sin A <sin C . 评述：本题入口较宽，做为考查三角函数的基本题，有一定的深刻性，尤其是被选项的设计隐藏着有益的提示作用.为观察、思考能力强的考生提供了快速解题的可能性.本题在考查基础知识的同时，考查了逻辑思维能力及灵活运用知识解题的能力.3.答案：C解析：将原方程整理为：y =x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位，因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y +1）cos （x －2π）+2（y +1）－1=0，即得C 选项.4.答案：A解析：因为f （x ）=sin 2x －（32）|x |+||||)32(2cos 21121)32(22cos 121x x x x --=+--=.显然f (x )为偶函数.结论①错.对于结论②,当x =1000π时,x >2003，sin 21000π=0,∴f （1000π）=21)32(211000<-π，∴结论②是错误的. 又－1≤cos2x ≤1，－21≤1－21cos2x ≤23，∴1－21cos2x －（23）|x |<23，结论③错. f （x ）=sin 2x －（32）|x |+21中，sin 2x ≥0，－（32）|x |≥－1,∴f （x ）≥－21.所以A 选项正确. 评述：本题考查了三角函数的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径.5.答案：B解析：sin2α＝2sin αcos α＜0 ∴sin αcos α＜0 即sin α与cos α异号，∴α在二、四象限， 又cos α－sin α＜0 ∴cos α＜sin α由图4—5，满足题意的角α应在第二象限 6.答案：C解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B 7.答案：A解析：函数y =2x 为增函数，因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间.8.答案：C解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4π和45π，由图4—6可得C 答案.图4—6 图4—7解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7）9.答案：C解析：解不等式f （x ）cos x ＜0⎪⎩⎪⎨⎧<<><⎪⎩⎪⎨⎧<<<>⇒300cos 0)(300cos 0)(x x x f x x x f 或∴⎩⎨⎧<<<<⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1010231x x x x 或ππ ∴0＜x ＜1或2π＜x ＜310.答案：B解析：A 项：y =cos 2x =22cos 1x +，x =π，但在区间（2π，π）上为增函数.B 项：作其图象4—8，由图象可得T =π且在区间（2π，π）上为减函数.C 项：函数y =cos x 在(2π，π)区间上为减函数,数y =（31）x 为减函数.因此y =（31）cos x在（2π，π）区间上为增函数.D 项：函数y ＝－cot x 在区间（2π，π）上为增函数.11.答案：C解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］为非奇非偶函数. 选项A 、D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数. 12.答案：A解析：由1cot 21cot +-θθ＝1解得：tan θ＝－21，∴cos2θ＝53411411tan 1tan 122=+-=+-θθ 13.答案：A 解析：由1cot 21cot +-θθ＝1，解得：tan θ＝－21∴54411212tan 1tan 22sin ,53tan 1tan 12cos 222-=+⋅-=+==+-=θθθθθθ，∴351532sin 12cos =-=+θθ14.答案：C解析：∵f （x ）=2sin x （x ∈R ，x ≠k π+2π，k ∈Z ），∴f （x ）的最小正周期为2π.故应选C.评述：本题重点考查二倍角公式及sin x 的周期性. 15.答案：B解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B ＞90°， ∴B ＞90°－A ，∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，故选B. 16.答案：B解析：∵sin θcos θ＞0，∴sin θ、cos θ同号.当sin θ＞0，cos θ＞0时，θ在第一象限，当sin θ＜0，cos θ＜0时，θ在第三象限，因此，选B.17.答案：B解析：tan300°＋cot405°＝tan(360°－60°)＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－3.18.答案：A 解析：∵a ＝2sin （α＋4π），b ＝2sin （β＋4π），又4π＜α＋4π＜β＋4π＜2π.而y ＝sin x 在［0，2π］上单调递增，∴sin （α＋4π）＜sin （β＋4π）.即a ＜b .19.答案：A解析：根据反函数的值域应为原函数的定义域［－π，0］， ∴B 、C 、D 都被排除，A 正确． 20.答案：A 解析：由y =3sin （321π+x ）得，振幅A =3，周期T =4π. 评述：本题主要考查形如y =A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0）的振幅和最小正周期的概念，以及最小正周期的计算公式.21.答案：B解析：221221)4sin(221cos sin 21+=-≤+++++=πx xx y.22.答案：A解析：y ＝sin x ＋cos x ＋2＝2sin （x ＋4π）＋2.∴y min ＝2－2.23.答案：D解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A 、C ，在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同.24.答案：D解析：因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当 x ∈（0，2π）时，y ＝－x cos x ＜0.25.答案：C 解析：y ＝sin （x ＋2π）＝cos x ，（x ∈［－2π，2π］），由余弦函数的性质知，y ＝cos x为偶函数.26.答案：D解法一：取特殊情况，若α＝β，则0＜α＜4π，0＜tan α＜1，0＜1－tan 2α＜1.∵21tan （α＋β）＝21tan2α＝2tan tan tan 1tan 2βαααα+=>-. 解法二：∵α＋β＜2π，∴α＜2π－βtan α在［0，2π)上是增函数，∴tan α＜tan （2π －β）＝cot β，∴tan αtan β＜tan β²cot β＝1，∴A 正确. 其他同解法一 27.答案：D解析：如图4—9，由题意知，31πr 2h ＝61R 2h ， ∴r =2R，又△ABO ∽△AO C ，∴R OA OA r =， ∴OA 2＝r ²R ＝44221cos ,2,2===R OA R OA R θ. 28.答案：D解析：由tan （x +3π）=3，得x +3π=k π+3π（k ∈Z ），∴x =k π（k ∈Z ）.评述：本题考查判断命题正确性的能力以及考查三角函数的定义，已知三角函数值求角等知识和方法.29.答案：C解法一：由已知得M ＞0，－2π＋2k π≤ωx ＋ϕ≤2π＋2k π（k ∈Z ），故有g （x ）在［a ，b ］上不是增函数，也不是减函数，且当ωx ＋ϕ＝2k π时g （x ）可取到最大值M ，答案为C.解法二：由题意知，可令ω＝1，ϕ＝0，区间［a ，b ］为［－2π，2π］，M ＝1，则g （x ）为cos x ，由基本余弦函数的性质得答案为C.评述：本题主要考查函数y =A sin （ωx ＋ϕ）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.30.答案：B解法一：取α＝±3π，±6π代入求出sin α、tan α、cot α之值，易知α＝－6π适合，又只有－6π∈（－4π，0），故答案为B.解法二：先由sin α＞tan α得：α∈（－2π，0），再由tan α＞cot α得:α∈（－4π，0）评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995年、1997年曾出现此类题型，运用特殊值法求解较好.31.答案：B解析：取f （x ）=cos x ，则f （x ）²sin x =21sin2x 为奇函数，且T =π. 评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式. 32.答案：D解析：sin600°=sin （600°－720°）=sin （－120°）=－22.评述：本题主要考查诱导公式及特殊角三角函数值. 33.答案：B解法一：P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，有tan α＞0， A 、C 、D 中都存在使tan α＜0的α，故答案为B.解法二：取α＝3π∈（2,4ππ），验证知P 在第一象限，排除A 、C ，取α＝65π∈（43π，π），则P 点不在第一象限，排除D,选B.解法三：画出单位圆如图4—10使sin α－cos α＞0是图中阴影部分，又tan α＞0可得24παπ<<或π＜α＜45π，故选B. 评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法.34.答案：B解析：y =cos 22x －sin 22x =cos4x ，T =2π.35.答案：B解析：设sin α，cos α，1成等比数列，则1－sin 2α＝sin α，解得sin α＝215-或 sin α＝215--（舍）∴α＝arcsin 215-，故应选B.评述：本题综合考查了直角三角形的性质、等比数列、三角变换、反三角方程等知识，构造方程求解为常规解法.36.答案：C解析：b sin A +a ²（－sin B ）=2R sin B sin A －2R sin A sin B =0.评述：本题考查判定两条直线垂直的充分条件以及正弦定理. 37.答案：B解析：y =cos 2x －3cos x +2=（cos x －23）2－41.所以cos x =1时，y 的最小值为y =12－3²1+2=0. 评述：本题主要考查三角函数的有界性、二次函数在指定区间上的值域、配方法等.38.答案：B 解析：y ＝sin （3π－2x ）＋cos2x ＝sin （3π－2x ）＋sin （2π＋2x ）＝2sin125πcos （2x ＋12π）,显然函数的最小正周期为π，故选B. 评述：本题考查了和差化积公式和函数最小正周期的求法. 39.答案：A 解析：y ＝tan （3121-x π）＝tan 21（x －32π），显然函数周期为T ＝2π，且x ＝32π时，y =0，故选A.评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键. 40.答案：D 解析：α∈［2,4ππ)⇒tan α≥1，cot α≤1⇒tan α≥cot α.41.答案：D 解析：sin α=－2524，α是第三象限角⇒cos α=－257⇒tan 34sin cos 12-=-=ααα. 评述：本题主要考查半角公式、同角三角函数的关系和象限角.42.答案：B 解析：当2k π－2π≤x +4π≤2k π+2π，k ∈Z 时，函数单调递增.解得2k π－43π≤x ≤2k π+4π，k ∈Z .显然当x ∈［0，4π］时，函数单调递增. 43.答案：D解析：由已知f （x ）=2sin （x ＋3π），－6π≤x ＋3π≤65π，故－1≤f （x ）≤2，所以选D.评述：本题考查了两角和的正弦公式和自变量在给定区间上函数最值的求法. 44.答案：A解法一：取α＝4π满足0＜α＜2π，则原式＝arcsin （－22）＋arccos （－22）＝2π，故选A. 解法二：arcsin ［cos （2π＋α）］＋arccos ［sin （π＋α）］＝arcsin （－sin α）＋arccos （－sin α）＝－arcsin （sin α）＋π－arccos （sin α） ＝－α＋π－arccos ［cos （2π－α）］＝－α＋π－（2π－α）＝2π，所以选A.评述：本题主要考查反三角函数的基础知识，概念性强，对观察、判断能力要求高. 45.答案：D解析一：由已知可得cos2x =cos 2x －sin 2x <0，所以2k π+2π<2x <2k π+23π，k ∈Z .解得k π+4π<x <k π+43π，k ∈Z （注：此题也可用降幂公式转化为cos2x <0）.解析二：由sin 2x >cos 2x 得sin 2x >1－sin 2x ，sin 2x >21.因此有sin x >22或sin x <－22.由正弦函数的图象（或单位圆）得2k π+4π<x <2k π+43π或2k π+45π<x <2k π+47π（k ∈Z ），2k π+45π<x <2k π+47π可写作（2k +1）π+4π<x <（2k +1）π+43π，2k 为偶数，2k +1为奇数，不等式的解可以写作n π+4π<x <n π+43π，n ∈Z . 评述：本题考查三角函数的图象和基本性质，应注意三角公式的逆向使用. 46.答案：B解析：由已知得2x ＋3π＝3π＋k π（k ∈Z ），x ＝2πk （k ∈Z ），x ＝0，2π，π，23π.故选B.47.答案：Ass解法一：由已知得：2 sin （x －4π）≤0，所以2k π＋π≤x－4π≤2k π＋2π，2k π＋45π≤x ≤2k π＋49π，令k =－1得－43π≤x ≤4π，选A.解法二：取x ＝32π，有sin 2132cos ,2332-==ππ，排除C 、D ，取x ＝3π，有sin 3π＝213cos ,23=π，排除B ，故选A. 解法三：设y ＝sin x ，y ＝cos x .在同一坐标系中作出两函数图象如图4—11，观察知答案为A.解法四：画出单位圆，如图4—12，若sin x ≤cos x ，显然应是图中阴影部分，故应选A.评述：本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象，属基本求范围题，入手容易，方法较灵活，排除、数形结合皆可运用.48.答案：C解析：y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）＝5［54sin （3x ＋4π）＋53cos （3x ＋4π）］＝5sin （3x ＋4π＋ϕ）（其中tan ϕ＝43） 所以函数y ＝sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是T ＝32π. 故应选C.评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝22b a +sin （α＋ϕ），其中sin ϕ＝22ba b +，cos ϕ＝22ba a +，及正弦函数的周期性.49.答案：A解法一：将原式配方得（sin 2θ＋cos 2θ）2－2sin 2θcos 2θ＝95于是1－21sin 22θ＝95，sin 22θ＝98，由已知，θ在第三象限， 故2k π＋π＜θ＜2k π＋23π从而4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π 故2θ在第一、二象限，所以sin2θ＝322，故应选A. 解法二：由2k π＋π＜θ＜2k π＋23π，有4k π＋2π＜4k π＋3π（k ∈Z ），知sin2θ＞0，应排除B 、D ，验证A 、C ，由sin2θ＝322，得2sin 2θcos 2θ＝94，并与sin 4θ＋cos 4θ＝95相加得（sin 2θ＋cos 2θ）2＝1成立，故选A. 评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别.50.答案：C解析：y ＝sin 2x ＝22cos 1x-，显然cos2x 为偶函数且最小正周期为π 51.答案：D解析：函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称，表明：当x =－8π时，函数取得最大值12+a ，或取得最小值－12+a ,所以有［sin （－4π）+a ²cos （－4π）］2=a 2+1，解得a =－1.评述：本题主要考查函数y =a sin x +b cos x 的图象的对称性及其最值公式. 52.答案：A解法一：因为θ为第二象限角，则2k π＋2π＜θ＜2k π＋π（k ∈Z ），即2θ为第一象限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13，所以tan2θ＞cot 2θ. 解法二：由已知得：2k π＋2π＜θ＜2k π＋π，k π＋4π＜2θ＜ k π＋2π，k 为奇数时，2n π＋45π＜2θ＜2n π＋23π（n ∈Z ）； k 为偶数时，2n π＋4π＜2θ＜2n π＋2π（n ∈Z ），都有tan2θ＞cot2θ，选A. 评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本. 53.答案：D解析：y =sin2x ²cos2x =21sin4x ，因此周期为2π. 54.答案：B解析：曲线C ：y =cos x ，利用移轴公式：⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=22ππy y x x C ：y ′－2π=cos （x ′+2π） ⇒C ：y ′=－sin x ′+2π.评述：本题主要考查移轴公式和三角函数的诱导公式. 55.答案：π解析：因为y =sin2x +1，利用T =22π=π.因此，周期T =π. 56.答案：二解析：因为点P （tan α，cos α）在第三象限，因此有⎩⎨⎧<<0cos 0tan αα，tan α<0⇒α在二、四象限，cos α<0⇒α在二、三象限（包括x 轴负半轴），所以α为第二象限角.即角α的终边在第二象限.57.答案：（0，2π）解析：∵20>10，∴lg20>lg10=1，∴对数函数单调递增.又（lg20）2cos x >1=（lg20）0. ∴2cos x >0⇒x 在一、四象限（包括x 轴正半轴），又x ∈（0，π）.所以原不等式的解为 （0，2π）. 58.答案：2csc α解析：f （cos α）＋f （－cos α）＝2cot 2tan cos 1cos 1cos 1cos 1αααααα+=-+++-＝ααααααααααcsc 2sin 2112cos2sin2cos 2sin 2sin2cos 2cos2sin22==+=+59.答案：－2627 解析：∵cos （θ＋4π）＝cos θcos4π－sin θsin4π又∵θ∈（π，23π），cos θ＝－1312 ∴sin θ＝－135∴原式＝－1312³26272213522-=⨯+ 60.答案：－33解析：∵sin2α＝－sin α ∴2sin αcos α＝－sin α ∴sin α（2cos α＋1）＝0 ∴α∈（2π，π）∴sin α≠0∴2cos α＋1＝0 ∴cos α＝－21 ∴α＝32π ∴cot α＝－3361.答案：43 解析：∵0＜ω＜1 ∴T ＝ωπ2＞2π ∴f （x ）在［0，3π］区间上为单调递增函数∴f （x ）max ＝f （3π）即2sin23=ωπ又∵0＜ω＜1 ∴解得ω＝4362.答案：cos 56π＜sin 52π＜tan 57π解析：cos56π＜0，tan 57π＝tan 52π ∵0＜x ＜2π时，tan x ＞x ＞sin x ＞0 ∴tan52π＞sin 52π＞0 ∴tan 57π＞sin 52π＞cos 56π 63.答案：4π、43π、 (4)π（2k ＋1）（k ∈Z ） 解析：∵f （x +t ）=sin2（x ＋t ）＝sin （2x ＋2t ）又f （x +t ）是偶函数∴f （x +t ）=f （－x +t ）即sin （2x ＋2t ）＝sin （－2x ＋2t ）由此可得2x +2t =－2x +2t +2k π或2x +t =π－（－2x ＋2t ）＋2k π（k ∈Z ）∴t ＝412+k π（k ∈Z ） 64.答案：－33 解析：∵sin α=cos2α，∴sin α=1－2sin 2α⇒2sin 2α+sin α－1=0，∴sin α=21或－1，又2π<α<π，∴sin α=21，∴α=65π，∴tan α=－33.评述：本题侧重考查二倍角公式以及三角函数值在各象限内的变化规律.65.答案：692 解析：由sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1可得1－cos 2α+1－cos 2β+1－cos 2γ=1， 即cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2，由公式a 2+b 2+c 2≥33222c b a ⋅⋅等号成立条件为a 2=b 2=c 2.因此cos 2α²cos 2β²cos 2γ≤（3cos cos cos 222γβα++）3=（32）3，所以cos α²cosβ²cos γ≤692（等号成立条件为cos α=cos β=cos γ）.故cos αcos βcos γ的最大值为692. 66.答案：2π 解析：y =2cot cos 1sin xx x =-，∴周期T =2π.评述：本题考查半角公式和三角函数的周期性. 67.答案：①，k π（k ∈Z ）；或者①，2π+k π（k ∈Z ）；或者④，2π+k π（k ∈Z ）解析：当ϕ=2k π，k ∈Z 时，f （x ）=sin x 是奇函数.当ϕ=2（k +1）π，k ∈Z 时f （x ）=－sin x 仍是奇函数.当ϕ=2k π+2π，k ∈Z 时，f （x ）=cos x ，或当ϕ=2k π－2π，k ∈Z 时，f （x ）=－cos x ，f （x ）都是偶函数.所以②和③都是正确的.无论ϕ为何值都不能使f （x ）恒等于零.所以f （x ）不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.评述：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k ∈Z 不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分.68.答案：－257 解析：sin （2π＋α）＝53即cos α＝53，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－25769.答案：60°解析：2sin 2A ＝3cos A ，2（1－cos 2A ）＝3cos A ，（2cos A －1）（cos A ＋2）＝0， ∴cos A ＝21，A ＝60°. 70.答案：T ＝3 71.答案：π解析：∵y =2sin x cos x －2sin 2x +1=sin2x －2²22cos 1x -+1=sin2x +cos2x =2sin （2x +4π），∴该函数的最小正周期是π.72.答案：［3,65ππ--］ 解析：因为f （x ）=2sin （2x +6π）单调递减.所以2π+2k π≤2x +6π≤23π+2k π，k ∈Z ，6π+k π≤x ≤23π+k π，k ∈Z ，又x ∈［－π，0］，令k =－1，得－65π≤x ≤－3π.73.答案：5 解析：y ＝a +4sin （x ＋ϕ）＋4在x ∈R 时，y min ＝4－a +4而4－a +4＝1解得a ＝5.74.答案：②③解析：①由f （x ）=0有2x +3π＝k π（k ∈Z ），得x =2πk －6π，令k ＝0、1，有x 2＝ －6π，x 1＝2π－6π，则x 1－x 2＝2π，故命题①不正确；②利用诱导公式知正确；③对称点坐标满足关系式③知正确；④在对称轴处的纵坐标应为最值.综上知，②、③正确.75.答案：21 解析：f （x ）=23sin2x －2cos2x －2=25sin （2x －ϕ）－2， 其中tan ϕ=34.∴f （x ）max =21. 评述：本题考查y =a sin x +b cos x 的最值问题.只需要关注22b a +即可.76.答案：21 解析：f （x ）=23sin2x －1，f （x ）max =23－1=21.77.答案：8解析一：因为sin2x =21，x ∈［－2π，2π］，∴2x ∈［－4π，4π］，∴2x =6π，65π，6π+2π，65π+2π，6π－2π，65π－2π，6π－4π，65π－4π;∴x =12π，125π，1213π，1217π，－1211π，－127π，－1223π，－1219π.故有8个解. 解析二：因为f （x ）=sin x =21时，在一个周期内有两个角与21相对应.而y =sin2x 的周期为π，而区间［－2π，2π］的长度为4π，故应有8个解.评述：本题考查应用周期性分析问题解决问题的能力.78.答案：2－3解析：︒︒︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒=︒︒-︒︒︒+︒8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin3230sin 30cos 115tan -=︒︒-=︒=.评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点. 79.答案：3解析：tan60°=︒︒-︒+︒40tan 20tan 140tan 20tan ，∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°，∴tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3.80.答案：－43 解析：y ＝sin （x －6π）cos x ＝21［sin （2x －6π）－sin 6π］＝21［sin （2x －6π）－21］当sin （2x －6π）＝－1时，函数有最小值，y 最小＝21（－1－21）＝－43. 评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）. 81.答案：［2,23ππ-］解析：y ＝sin2x ＋cos 2x ＝2sin （42π+x ），当2k π－2π≤2x ＋4π≤2k π＋2π（k ∈Z ）时，函数递增，此时4k π－23π≤x ≤4k π＋2π（k ∈Z ），只有k ＝0时，［－23π，2π］（－2π，2π）. 82.答案：3解析：y =2cos （x +6π）²cos （－6π）=3cos （x +6π），∴y max =3.83.答案：2－1解析：y ＝sin2x －（1＋cos2x ）＝2sin （2x －4π）－1，因为|sin （2x －4π）|＜1，所以y 最大值＝2－1.84.答案：－43 解法一：设法求出sin θ和cos θ，cot θ便可求了，为此先求出sin θ－cos θ的值. 将已知等式两边平方得1＋2sin θcos θ＝251 变形得1－2sin θcos θ＝2－251， 即（sin θ－cos θ）2＝2549 又sin θ＋cos θ＝51，θ∈（0，π） 则2π＜θ＜43π，如图4—14 所以sin θ－cos θ＝57，于是 sin θ＝54，cos θ＝－53，cot θ＝－43.解法二：将已知等式平方变形得sin θ²cos θ＝－2512，又θ∈（0，π），有cos θ＜0＜sin θ，且cos θ、sin θ是二次方程x 2－51x －2512＝0的两个根，故有cos θ＝－53，sin θ＝54，得cot θ＝－43.评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活. 85.解：由cos2x ≠0得2x ≠k π+2π，解得x ≠42π+k ，k ∈Z ，所以f （x ）的定义域为{x |x ∈R 且x ≠42ππ+k ，k ∈Z } 因为f （x ）的定义域关于原点对称，且f （－x ）=xx x x x x 2cos 1cos 5cos 6)2cos(1)(cos 5)(cos 62424+-=-+---=f （x ）所以f （x ）是偶函数. 又当x ≠42ππ+k （k ∈Z ）时， f （x ）=1cos 32cos )1cos 3)(1cos 2(2cos 1cos 5cos 622224-=--=+-x xx x x x x . 所以f （x ）的值域为{y |－1≤y <21或21<y ≤2}. 评述：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 86.解：根据图象得A =2，T =27π－（－2π）=4π，∴ω=21，∴y =2sin （2x +ϕ） 又由图象可得相位移为－2π，∴－21ϕ=－2π，∴ϕ=4π.即y =2sin （21x +4π）.根据条件3=2sin （421π+x ），∴421π+x =2k π+3π,(k ∈Z )或421π+x =2k π+32π（k ∈Z ）∴x =4k π+6π（k ∈Z ）或x =4k π+65π（k ∈Z ）.∴所有交点坐标为（4k π+3,6π）或（4k π+3,65π）（k ∈Z ） 87.解：（1）由题中图所示，这段时间的最大温差是30－10＝20（℃）.（2）图中从6时到14时的图象是函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b 的半个周期的图象， ∴21²ωπ2＝14－6，解得ω＝8π.由图示，A ＝21（30－10）＝10，b ＝21（30＋10）＝20. 这时y =10sin （8πx ＋ϕ）＋20.将x =6，y =10代入上式，可取ϕ＝43π. 综上，所求的解析式为y =10sin （8πx ＋43π）＋20，x ∈［6，14］ 88.解：因为A 、B 、C 成等差数列，又A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120° 从而2CA +＝60°，故tan32=+C A .由两角和的正切公式， 得32tan2tan 12tan 2tan=-+C A C A . 所以,2tan 2tan 332tan 2tanC A C A -=+ 32tan 2tan 32tan 2tan=++CA C A . 89.解：由倍角公式，sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝2cos 2α－1，由原式得 4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0 ⇔2cos 2α（2sin 2α＋sin α－1）＝0⇔2cos 2α（2sin α－1）（sin α＋1）＝0， ∵α∈（0，2π），∴sin α＋1≠0，cos 2α≠0，。
2017高考十年高考数学(文科)分项版 专题04 三角函数与三角形(浙江专版)(解析版) 含解析
一．基础题组1. 【2014年。
浙江卷。
文4】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数x y 3cos 2=的图象( )A 。
向右平移12π个单位长 B 。
向右平移4π个单位长C.向左平移12π个单位长 D.向左平移4π个单位长【答案】A考点：三角函数的图象的平移变换，公式)4sin(2cos sin π+=+x x x 的运用,容易题。
2。
【2013年。
浙江卷。
文6】函数f （x )＝sin x cos x ＋3cos 2x 的最小正周期和振幅分别是（ ）．A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2 【答案】：A【解析】：由y ＝sin x cos x 3x ＝12sin 2x 3x ＝πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,因为ω＝2,所以T ＝2πω＝π,又观察f (x )可知振幅为1,故选A 。
3. 【2012年。
浙江卷。
文6】把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变）,然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（ ）【答案】A 【解析】y ＝cos2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1＝cos x ＋1,再向左平移1个单位长度得y 2＝cos(x ＋1）＋1,再向下平移1个单位长度得y 3＝cos （x ＋1）,故相应的图象为A 项．4。
【2011年。
浙江卷.文5】在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分,,a b c 。
若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=（A ）— 12（B)12（C) -1（D) 1【答案】D【解析】∵B b A a sin cos =,∴B A A 2sin cos sin =， ∴1cos sin cos cos sin 222=+=+B B B A A ，故选D.5。
【2010年。
浙江卷.文12】函数2()sin(2)4f x x π=-的最小正周期是 . 【答案】2π6。
十年高考理科数学真题 专题四 三角函数与解三角形 十一 三角函数的综合应用及答案
专题四 三角函数与解三角形 第十一讲 三角函数的综合应用2019年1.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．2010-2018年一、选择题1．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．42．（2016年浙江）设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关 3．（2015陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为A ．5B ．6C ．8D ．10 4（2015浙江）存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有A ．(sin 2)sin f x x =B ．2(sin 2)f x x x =+ C ．2(1)1f x x +=+ D ．2(2)1f x x x +=+5．（2015新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，∠BOP =x ．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为A B C D6．（2014新课标Ⅰ）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为A ．B ．C ．D ．7．（2015湖南）已知函数230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且则函数()f x 的图象的一条对称轴是 A ．56x π= B ．712x π= C ．3x π= D ．6x π= 二、填空题8．（2016年浙江）已知22cos sin 2sin((>0)x x A x b A ωϕ+=+)+,则A =__，b =__． 9．(2016江苏省) 定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 ． 10．（2014陕西）设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1θθθ==，，，a b ，若∥a b ， 则=θtan _______．11．(2012湖南)函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A ,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.（1）若6πϕ=，点P 的坐标为（0，332），则ω= ；（2）若在曲线段¼ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 ．三、解答题12．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．NM POAB CD(1)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 13．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．14．（2015山东）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c ，若()02Af =，1a =，求△ABC 面积的最大值．15．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()103cossin 1212f t t t =--，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天的最大温差； （Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？16．（2014陕西）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，． （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值．17．（2013福建）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． (1)求函数()f x 与()g x 的解析式； (2)是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．(3)求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点．专题四三角函数与解三角形第十一讲三角函数的综合应用答案部分2019年1.解析解法一：（1）过A作AE BD⊥，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，6,8DE BE AC AE CD=====.'因为PB⊥AB，所以84cos sin105PBD ABE∠=∠==.所以12154cos5BDPBPBD===∠.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，联结AD，由（1）知2210AD AE ED=+=，从而2227cos0225AD AB BDBADAD AB+-∠==>⋅，所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H. 以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q（a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+2010-2018年1．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ． 2．B 【解析】由于21cos2()sin sin sin 2xf x x b x c b x c -=++=++． 当0b =时，()f x 的最小正周期为π； 当0b ≠时，()f x 的最小正周期2π；c 的变化会引起()f x 的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B ．注：在函数()()()f x h x g x =+中，()f x 的最小正周期是()h x 和()g x 的最小正周期的公倍数．3．C 【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 4．D 【解析】对于A ，当4x π=或54π时，sin 2x 均为1，而sin x 与2x x +此时均有两个值，故A 、B 错误；对于C ，当1x =或1x =-时，212x +=，而|1|x +由两个值，故C 错误，选D ．5．B【解析】由于(0)2,()1()()424f f f f ===<πππ，故排除选项C 、D ；当点P 在BC上时，()tan )4f x BP AP x x =+=π≤≤．不难发现()f x 的图象是非线性，排除A ．6．C 【解析】由题意知，()|cos |sin f x x x =⋅，当[0,]2x π∈时，1()sin cos sin 22f x x x x ==；当(,]2x ππ∈时，1()cos sin sin 22f x x x x =-=-，故选C ． 7．A【解析】由223301sin()cos()|cos cos 02x dx x ππϕϕϕϕϕ-=--=+=⎰，得tan ϕ=()3k k Z πϕπ=+∈，所以()sin()()3f x x k k Z ππ=--∈，由正弦函数的性质知sin()3y x k ππ=--与sin()3y x π=-的图象的对称轴相同，令32x k πππ-=+，则5()6x k k Z ππ=+∈，所以函数()f x 的图象的对称轴为5()6x k k Z ππ=+∈，当0k =，得56x π=，选A ． 81【解析】22cos sin 2)14x x x π+++，所以 1.A b ==9．7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．10．12【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cos θθ=，∴22sin cos cos θθθ=，∵(0,)2πθ∈， ∴1tan 2θ=．11．（1）3；（2）4π【解析】（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为（0，cos 36πωω=∴=； （2）曲线()y f x '=cos()x ωωϕ=+的半周期为πω，由图知222T AC ππωω===， 122ABC S AC πω=⋅=V ，设,A B 的横坐标分别为,a b ．设曲线段¼ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S 则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABC S P S ππ===V ． 12．【解析】(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．θHE KGNM PO ABC D过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以COE θ∠=， 故40cos OE θ=，40sin EC θ=，则矩形ABCD 的面积为240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )θθθθθ⨯+=+，CDP ∆的面积为1240cos (4040sin )1600(cos sin cos )2θθθθθ⨯⨯-=-．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则10GK KN ==． 令0GOK θ∠=，则01sin 4θ=，0(0,)6πθ∈． 当0[,)2πθθ∈时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是1[,1)4．答：矩形ABCD 的面积为800(4sin cos cos )θθθ+平方米，CDP ∆的面积为1600(cos sin cos )θθθ-，sin θ的取值范围是1[,1)4．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (0)k >， 则年总产值为4800(4sin cos cos )31600(cos sin cos )k k θθθθθθ⨯++⨯-8000(sin cos cos )k θθθ=+，0[,)2πθθ∈．设()sin cos cos f θθθθ=+，0[,)2πθθ∈，则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ'=--=-+-=--+． 令()0f θ'=，得π6θ=，当0(,)6πθθ∈时，()>0f θ′，所以()f θ为增函数； 当(,)62ππθ∈时，()<0f θ′，所以()f θ为减函数， 因此，当π6θ=时，()f θ取到最大值．答：当π6θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．13．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处． 因为107AC =，40AM =． 所以2240(107)30MN =-=，从而3sin 4MAC ∠=． 记AM 与水平的交点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足， 则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =， 从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，1OO ⊥平面 EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1OO ⊥EG . 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，1OO ⊥11E G . 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处.过G 作GK ⊥11E G ，K 为垂足， 则GK =1OO =32. 因为EG = 14，11E G = 62，所以1KG =6214242-=，从而140GG ===. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是sin sin()sin()sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+∠42473(35)525255=⨯+-⨯=. 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则 22P Q ⊥平面EFGH ，故22P Q =12，从而 2EP =2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)14．【解析】（Ⅰ）由题意1cos(2)12()sin 222x f x x π++=-x x 2sin 21212sin 21+-= 212sin -=x ．由ππππk x k 22222+≤≤+-(Z k ∈)，可得ππππk x k +≤≤+-44(Z k ∈)；由ππππk x k 223222+≤≤+(Z k ∈)，得ππππk x k +≤≤+434(Z k ∈)；所以)(x f 的单调递增区间是]4,4[ππππk k ++-（Z k ∈）； 单调递减区间是]43,4[ππππk k ++（Z k ∈）． （Ⅱ）1()sin 022A f A =-=Q ，1sin 2A ∴=，由题意A 是锐角，所以 cos 2A =． 由余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=，可得2212b c bc =+≥32321+=-≤∴bc ，且当c b =时成立．2sin 4bc A ∴≤．ABC ∆∴面积最大值为432+．15．【解析】（Ⅰ）因为1()10sin )102sin()12212123f t t t t ππππ--+--+， 又240<≤t ，所以373123ππππ<+≤t ，1)312sin(1≤+≤-ππt ， 当2=t 时，1)312sin(=+ππt ；当14=t 时，1)312sin(-=+ππt ；于是)(t f 在)24,0[上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12C ︒，最低温度为8C ︒，最大温差为4C ︒ （Ⅱ）依题意，当11)(>t f 时实验室需要降温. 由（Ⅰ）得)312sin(210)(ππ+-=t t f ，所以11)312sin(210>+-ππt ，即1sin()1232t ππ+<-， 又240<≤t ，因此61131267ππππ<+<t ，即1810<<t ， 故在10时至18时实验室需要降温.16．【解析】（1）Q c b a ，，成等差数列，2a c b ∴+= 由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+Q()sin sin 2sin A C A C ∴+=+（2）Q c b a ，，成等比数列，22b ac ∴=由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==== 222a c ac +≥Q （当且仅当a c =时等号成立） 2212a c ac+∴≥（当且仅当a c =时等号成立）2211112222a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立）即1cos 2B ≥，所以B cos 的最小值为1217．【解析】（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω=又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 2x <<10cos 22x <<， 所以sin cos2sin cos2x x x x >>．问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()042G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意． （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π=． 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点；当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点；当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点。
4三角函数十年高考题(带详细解析)
姓名———————— 一、选择题1.（2003京春文，2）设M 和m 分别表示函数y =31cos x －1的最大值和最小值，则M +m 等于（ ） A.32 B.－32C.－34 D.－2 2.若54sin =α，且α是第二象限角，则αtan 的值为（ ） A 、34- B 、43 C 、43± D 、34±3.（2002河南，1）函数f （x ）=xxcos 2sin 的最小正周期是（ ） A.2π B.πC.2πD.4π4.（2000上海文，13）函数y ＝sin （x ＋2π）（x ∈［－2π，2π］）是（ ）A.增函数B.减函数C.偶函数D.奇函数5.（1999全国文、理，5）若f （x ）是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ） A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x6.（1998全国文、理，1）sin600°的值是（ ） A.21 B.－21 C.23 D.－23 7. 函数y = sin(2x+25π)的图象的一条对称轴方程是 ( ) A x = －2π B x = －4π C x = 8π D x =45π8.（1996上海，2）在下列各区间中，函数y =sin （x ＋4π）的单调递增区间是（ ）A.［2π，π］ B.［0，4π］ C.［－π，0］ D.［4π，2π］9. 若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是( ) A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==10.（1995全国文，7）使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是（ ）A.［－43π，4π］ B.［－2π，2π］ C.［－4π，43π］ D.［0，π］ 11.（1995上海，1）y ＝sin 2x 是（ ） A.最小正周期为2π的偶函数 B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数12.（1996全国，6）当－2π≤x ≤2π时，函数f （x ）=sin x ＋3cos x 的（ ）A.最大值是1，最小值是－1B.最大值是1，最小值是－21 C.最大值是2，最小值是－2D.最大值是2，最小值是－1二、填空题13.（2002京皖，4）如果cos θ＝－1312，θ∈（π，23π），那么cos （θ＋4π）的值等于 . 14.（2000上海春，1）若sin （2π＋α）＝53，则cos2α＝ . 15.（2000春季北京、安徽，5）函数y ＝cos （432ππ+x ）的最小正周期是 . 16.（1999上海理，7）函数y =2sin （2x +6π）（x ∈［－π，0］）的单调递减区间是_____..三、解答题.86.（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图4—3所示.求直线y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标.87.（2002全国文，17）如图4—4，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b .（Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式.图4— 3图4—4答案解析1.答案：D解析：因为函数g （x ）=cos x 的最大值、最小值分别为1和－1.所以y =31cos x －1的最大值、最小值为－32和－34.因此M +m =－2.2.答案：D解析一：因为A <C .在△ABC 中，大角对大边.因此c >a ，即2R sin C >2R sinA.所以sin C >sin A .解析二：利用特殊情形.因为A 、B 、C 为△ABC 的三个内角.因此，存在C 为钝角的可能，而A 必为锐角.此时结论仍然正确.而cos A 、tan A 、cot A 均为正数，cos C 、tan C 、cot C 均为负数.因此B 、C 、D 均可排除.解析三：作差sin A －sin C =2cos2C A +·sin 2CA -，A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，又A <C .因此0<A +C <π，0<2C A +<2π，－π<A －C <0，－2π<2C A -<0.所以cos 2C A +>0，sin 2CA -<0，可得sin A <sin C . 评述：本题入口较宽，做为考查三角函数的基本题，有一定的深刻性，尤其是被选项的设计隐藏着有益的提示作用.为观察、思考能力强的考生提供了快速解题的可能性.本题在考查基础知识的同时，考查了逻辑思维能力及灵活运用知识解题的能力.3.答案：C解析：将原方程整理为：y =x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位，因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y +1）cos （x －2π）+2（y +1）－1=0，即得C 选项.4.答案：A解析：因为f （x ）=sin 2x －（32）|x |+||||)32(2cos 21121)32(22cos 121x x x x --=+--=.显然f (x )为偶函数.结论①错.对于结论②,当x =1000π时,x >2003，sin 21000π=0,∴f （1000π）=21)32(211000<-π，∴结论②是错误的. 又－1≤cos2x ≤1，－21≤1－21cos2x ≤23，∴1－21cos2x －（23）|x |<23，结论③错.f （x ）=sin 2x －（32）|x |+21中，sin 2x ≥0，－（32）|x |≥－1,∴f （x ）≥－21.所以A 选项正确.评述：本题考查了三角函数的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径. 5.答案：B解析：sin2α＝2sin αcos α＜0 ∴sin αcos α＜0 即sin α与cos α异号，∴α在二、四象限， 又cos α－sin α＜0 ∴cos α＜sin α由图4—5，满足题意的角α应在第二象限 6.答案：C解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B 7.答案：A解析：函数y =2x 为增函数，因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间. 8.答案：C解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4π和45π，由图4—6可得C 答案.图4—6 图4—7解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7） 9.答案：C解析：解不等式f （x ）cos x ＜0⎪⎩⎪⎨⎧<<><⎪⎩⎪⎨⎧<<<>⇒300cos 0)(300cos 0)(x x x f x x x f 或∴⎩⎨⎧<<<<⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1010231x x x x 或ππ ∴0＜x ＜1或2π＜x ＜3 10.答案：B解析：A 项：y =cos 2x =22cos 1x +，x =π，但在区间（2π，π）上为增函数. B 项：作其图象4—8，由图象可得T =π且在区间（2π，π）上为减函数.C 项：函数y =cos x 在(2π，π)区间上为减函数,数y =（31）x 为减函数.因此y =（31）cos x 在（2π，π）区间上为增函数.D 项：函数y ＝－cot x 在区间（2π，π）上为增函数.11.答案：C解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］为非奇非偶函数. 选项A 、D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数.图4— 5 图4—812.答案：A解析：由1cot 21cot +-θθ＝1解得：tan θ＝－21，∴cos2θ＝53411411tan 1tan 122=+-=+-θθ 13.答案：A 解析：由1cot 21cot +-θθ＝1，解得：tan θ＝－21∴54411212tan 1tan 22sin ,53tan 1tan 12cos 222-=+⋅-=+==+-=θθθθθθ， ∴3541532sin 12cos =-=+θθ14.答案：C解析：∵f （x ）=2sin x （x ∈R ，x ≠k π+2π，k ∈Z ），∴f （x ）的最小正周期为2π.故应选C.评述：本题重点考查二倍角公式及sin x 的周期性.15.答案：B解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B ＞90°， ∴B ＞90°－A ，∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，故选B. 16.答案：B解析：∵sin θcos θ＞0，∴sin θ、cos θ同号.当sin θ＞0，cos θ＞0时，θ在第一象限，当sin θ＜0，cos θ＜0时，θ在第三象限，因此，选B. 17.答案：B解析：tan300°＋cot405°＝tan(360°－60°)＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－3.18.答案：A 解析：∵a ＝2sin （α＋4π），b ＝2sin （β＋4π），又4π＜α＋4π＜β＋4π＜2π.而y ＝sin x 在［0，2π］上单调递增，∴sin （α＋4π）＜sin （β＋4π）.即a ＜b .19.答案：A解析：根据反函数的值域应为原函数的定义域［－π，0］， ∴B 、C 、D 都被排除，A 正确． 20.答案：A 解析：由y =3sin （321π+x ）得，振幅A =3，周期T =4π. 评述：本题主要考查形如y =A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0）的振幅和最小正周期的概念，以及最小正周期的计算公式. 21.答案：B解析：221221)4sin(221cos sin 21+=-≤+++++=πx x x y . 22.答案：A解析：y ＝sin x ＋cos x ＋2＝2sin （x ＋4π）＋2.∴y min ＝2－2.23.答案：D解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A 、C ，在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同.24.答案：D解析：因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当 x ∈（0，2π）时，y ＝－x cos x ＜0.25.答案：C 解析：y ＝sin （x ＋2π）＝cos x ，（x ∈［－2π，2π］），由余弦函数的性质知，y ＝cos x 为偶函数.26.答案：D解法一：取特殊情况，若α＝β，则0＜α＜4π，0＜tan α＜1，0＜1－tan 2α＜1.∵21tan （α＋β）＝21tan2α＝2tan tan tan 1tan 2βαααα+=>-.解法二：∵α＋β＜2π，∴α＜2π－βtan α在［0，2π)上是增函数，∴tan α＜tan （2π －β）＝cot β，∴tan αtan β＜tan β·cot β＝1，∴A 正确. 其他同解法一 27.答案：D解析：如图4—9，由题意知，31πr 2h ＝61R 2h ， ∴r =2R，又△ABO ∽△AO C ，∴R OA OA r =， ∴OA 2＝r ·R ＝44221cos ,2,2===R OA R OA R θ.28.答案：D 解析：由tan （x +3π）=3，得x +3π=k π+3π（k ∈Z ），∴x =k π（k ∈Z ）.评述：本题考查判断命题正确性的能力以及考查三角函数的定义，已知三角函数值求角等知识和方法.29.答案：C图4—9解法一：由已知得M ＞0，－2π＋2k π≤ωx ＋ϕ≤2π＋2k π（k ∈Z ），故有g （x ）在［a ，b ］上不是增函数，也不是减函数，且当ωx ＋ϕ＝2k π时g （x ）可取到最大值M ，答案为C.解法二：由题意知，可令ω＝1，ϕ＝0，区间［a ，b ］为［－2π，2π］，M ＝1，则g （x ）为cos x ，由基本余弦函数的性质得答案为C.评述：本题主要考查函数y =A sin （ωx ＋ϕ）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.30.答案：B解法一：取α＝±3π，±6π代入求出sin α、tan α、cot α之值，易知α＝－6π适合，又只有－6π∈（－4π，0），故答案为B.解法二：先由sin α＞tan α得：α∈（－2π，0），再由tan α＞cot α得:α∈（－4π，0）评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995年、1997年曾出现此类题型，运用特殊值法求解较好.31.答案：B解析：取f （x ）=cos x ，则f （x ）·sin x =21sin2x 为奇函数，且T =π. 评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式. 32.答案：D解析：sin600°=sin （600°－720°）=sin （－120°）=－22. 评述：本题主要考查诱导公式及特殊角三角函数值. 33.答案：B解法一：P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，有tan α＞0， A 、C 、D 中都存在使tan α＜0的α，故答案为B.解法二：取α＝3π∈（2,4ππ），验证知P 在第一象限，排除A 、C ，取α＝65π∈（43π，π），则P 点不在第一象限，排除D,选B.解法三：画出单位圆如图4—10使sin α－cos α＞0是图中阴影部分，又tan α＞0可得24παπ<<或π＜α＜45π，故选B.评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法.34.答案：B解析：y =cos 22x －sin 22x =cos4x ，T =2π.35.答案：B解析：设sin α，cos α，1成等比数列，则1－sin 2α＝sin α，解得sin α＝215-或图4—10sin α＝215--（舍）∴α＝arcsin 215-，故应选B.评述：本题综合考查了直角三角形的性质、等比数列、三角变换、反三角方程等知识，构造方程求解为常规解法.36.答案：C解析：b sin A +a ·（－sin B ）=2R sin B sin A －2R sin A sin B =0.评述：本题考查判定两条直线垂直的充分条件以及正弦定理. 37.答案：B解析：y =cos 2x －3cos x +2=（cos x －23）2－41.所以cos x =1时，y 的最小值为y =12－3·1+2=0. 评述：本题主要考查三角函数的有界性、二次函数在指定区间上的值域、配方法等.38.答案：B 解析：y ＝sin （3π－2x ）＋cos2x ＝sin （3π－2x ）＋sin （2π＋2x ）＝2sin125πcos （2x ＋12π）,显然函数的最小正周期为π，故选B.评述：本题考查了和差化积公式和函数最小正周期的求法. 39.答案：A解析：y ＝tan （3121-x π）＝tan 21（x －32π），显然函数周期为T ＝2π，且x ＝32π时，y =0，故选A. 评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键.40.答案：D 解析：α∈［2,4ππ)⇒tan α≥1，cot α≤1⇒tan α≥cot α.41.答案：D 解析：sin α=－2524，α是第三象限角⇒cos α=－257⇒tan 34sin cos 12-=-=ααα. 评述：本题主要考查半角公式、同角三角函数的关系和象限角.42.答案：B 解析：当2k π－2π≤x +4π≤2k π+2π，k ∈Z 时，函数单调递增.解得2k π－43π≤x ≤2k π+4π，k ∈Z .显然当x ∈［0，4π］时，函数单调递增. 43.答案：D解析：由已知f （x ）=2sin （x ＋3π），－6π≤x ＋3π≤65π，故－1≤f （x ）≤2，所以选D. 评述：本题考查了两角和的正弦公式和自变量在给定区间上函数最值的求法. 44.答案：A 解法一：取α＝4π满足0＜α＜2π，则原式＝arcsin （－22）＋arccos （－22）＝2π，故选A.解法二：arcsin ［cos （2π＋α）］＋arccos ［sin （π＋α）］＝arcsin （－sin α）＋arccos （－sin α）＝－arcsin （sin α）＋π－arccos （sin α） ＝－α＋π－arccos ［cos （2π－α）］＝－α＋π－（2π－α）＝2π，所以选A.评述：本题主要考查反三角函数的基础知识，概念性强，对观察、判断能力要求高. 45.答案：D解析一：由已知可得cos2x =cos 2x －sin 2x <0，所以2k π+2π<2x <2k π+23π，k ∈Z .解得k π+4π<x <k π+43π，k ∈Z （注：此题也可用降幂公式转化为cos2x <0）.解析二：由sin 2x >cos 2x 得sin 2x >1－sin 2x ，sin 2x >21.因此有sin x >22或sin x <－22.由正弦函数的图象（或单位圆）得2k π+4π<x <2k π+43π或2k π+45π<x <2k π+47π（k ∈Z ），2k π+45π<x <2k π+47π可写作（2k +1）π+4π<x <（2k +1）π+43π，2k 为偶数，2k +1为奇数，不等式的解可以写作n π+4π<x <n π+43π，n ∈Z . 评述：本题考查三角函数的图象和基本性质，应注意三角公式的逆向使用. 46.答案：B 解析：由已知得2x ＋3π＝3π＋k π（k ∈Z ），x ＝2πk （k ∈Z ），x ＝0，2π，π，23π.故选B. 47.答案：Ass 解法一：由已知得：2 sin （x －4π）≤0，所以2k π＋π≤x －4π≤2k π＋2π，2k π＋45π≤x ≤2k π＋49π，令k =－1得－43π≤x ≤4π，选A.解法二：取x ＝32π，有sin 2132cos ,2332-==ππ，排除C 、D ，取x ＝3π，有sin 3π＝213cos ,23=π，排除B ，故选A.解法三：设y ＝sin x ，y ＝cos x .在同一坐标系中作出两函数图象如图4—11，观察知答案为A. 解法四：画出单位圆，如图4—12，若sin x ≤cos x ，显然应是图中阴影部分，故应选A.评述：本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象，属基本求范围题，入手容易，方法较灵活，排除、数形结合皆可运用.48.答案：C解析：y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）＝5［54sin （3x ＋4π）＋53cos （3x ＋4π）］＝5sin （3x ＋4π＋ϕ）（其中tan ϕ＝43）图4—11图4—12所以函数y ＝sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是T ＝32π. 故应选C.评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝22b a +sin （α＋ϕ），其中sin ϕ＝22ba b +，cos ϕ＝22ba a +，及正弦函数的周期性.49.答案：A解法一：将原式配方得（sin 2θ＋cos 2θ）2－2sin 2θcos 2θ＝95于是1－21sin 22θ＝95，sin 22θ＝98，由已知，θ在第三象限， 故2k π＋π＜θ＜2k π＋23π从而4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π 故2θ在第一、二象限，所以sin2θ＝322，故应选A. 解法二：由2k π＋π＜θ＜2k π＋23π，有4k π＋2π＜4k π＋3π（k ∈Z ），知sin2θ＞0，应排除B 、D ，验证A 、C ，由sin2θ＝322，得2sin 2θcos 2θ＝94，并与sin 4θ＋cos 4θ＝95相加得（sin 2θ＋cos 2θ）2＝1成立，故选A.评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别.50.答案：C 解析：y ＝sin 2x ＝22cos 1x-，显然cos2x 为偶函数且最小正周期为π 51.答案：D解析：函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称，表明：当x =－8π时，函数取得最大值12+a ，或取得最小值－12+a ,所以有［sin （－4π）+a ·cos （－4π）］2=a 2+1，解得a =－1.评述：本题主要考查函数y =a sin x +b cos x 的图象的对称性及其最值公式.52.答案：A解法一：因为θ为第二象限角，则2k π＋2π＜θ＜2k π＋π（k ∈Z ），即2θ为第一象限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13，所以tan2θ＞cot 2θ. 解法二：由已知得：2k π＋2π＜θ＜2k π＋π，k π＋4π＜2θ＜图4—13k π＋2π，k 为奇数时，2n π＋45π＜2θ＜2n π＋23π（n ∈Z ）； k 为偶数时，2n π＋4π＜2θ＜2n π＋2π（n ∈Z ），都有tan2θ＞cot 2θ，选A. 评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本.53.答案：D解析：y =sin2x ·cos2x =21sin4x ，因此周期为2π. 54.答案：B解析：曲线C ：y =cos x ，利用移轴公式：⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=22ππy y x x C ：y ′－2π=cos （x ′+2π）⇒C ：y ′=－sin x ′+2π. 评述：本题主要考查移轴公式和三角函数的诱导公式.55.答案：π解析：因为y =sin2x +1，利用T =22π=π.因此，周期T =π. 56.答案：二解析：因为点P （tan α，cos α）在第三象限，因此有⎩⎨⎧<<0cos 0tan αα，tan α<0⇒α在二、四象限，cos α<0⇒α在二、三象限（包括x 轴负半轴），所以α为第二象限角.即角α的终边在第二象限.57.答案：（0，2π）解析：∵20>10，∴lg20>lg10=1，∴对数函数单调递增.又（lg20）2cos x >1=（lg20）0. ∴2cos x >0⇒x 在一、四象限（包括x 轴正半轴），又x ∈（0，π）.所以原不等式的解为 （0，2π）.58.答案：2csc α解析：f （cos α）＋f （－cos α）＝2cot 2tan cos 1cos 1cos 1cos 1αααααα+=-+++-＝ααααααααααcsc 2sin 2112cos2sin2cos 2sin 2sin2cos 2cos2sin22==+=+59.答案：－2627 解析：∵cos （θ＋4π）＝cos θcos4π－sin θsin4π又∵θ∈（π，23π），cos θ＝－1312 ∴sin θ＝－135∴原式＝－1312×26272213522-=⨯+ 60.答案：－33解析：∵sin2α＝－sin α ∴2sin αcos α＝－sin α ∴sin α（2cos α＋1）＝0 ∴α∈（2π，π）∴sin α≠0∴2cos α＋1＝0 ∴cos α＝－21 ∴α＝32π ∴cot α＝－3361.答案：43 解析：∵0＜ω＜1 ∴T ＝ωπ2＞2π ∴f （x ）在［0，3π］区间上为单调递增函数∴f （x ）max ＝f （3π）即2sin23=ωπ又∵0＜ω＜1 ∴解得ω＝4362.答案：cos56π＜sin 52π＜tan 57π 解析：cos 56π＜0，tan 57π＝tan 52π ∵0＜x ＜2π时，tan x ＞x ＞sin x ＞0∴tan52π＞sin 52π＞0 ∴tan 57π＞sin 52π＞cos 56π 63.答案：4π、43π、 (4)π（2k ＋1）（k ∈Z ） 解析：∵f （x +t ）=sin2（x ＋t ）＝sin （2x ＋2t ）又f （x +t ）是偶函数∴f （x +t ）=f （－x +t ）即sin （2x ＋2t ）＝sin （－2x ＋2t ）由此可得2x +2t =－2x +2t +2k π或2x +t =π－（－2x ＋2t ）＋2k π（k ∈Z ）∴t ＝412+k π（k ∈Z ） 64.答案：－33解析：∵sin α=cos2α，∴sin α=1－2sin 2α⇒2sin 2α+sin α－1=0，∴sin α=21或－1，又2π<α<π，∴sin α=21，∴α=65π，∴tan α=－33. 评述：本题侧重考查二倍角公式以及三角函数值在各象限内的变化规律. 65.答案：692解析：由sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1可得1－cos 2α+1－cos 2β+1－cos 2γ=1， 即cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2，由公式a 2+b 2+c 2≥33222c b a ⋅⋅等号成立条件为a 2=b 2=c 2.因此cos 2α·cos 2β·cos 2γ≤（3cos cos cos 222γβα++）3=（32）3，所以cos α·cos β·cos γ≤692（等号成立条件为cos α=cos β=cos γ）.故cos αcos βcos γ的最大值为692. 66.答案：2π 解析：y =2cot cos 1sin xx x =-，∴周期T =2π.评述：本题考查半角公式和三角函数的周期性. 67.答案：①，k π（k ∈Z ）；或者①，2π+k π（k ∈Z ）；或者④，2π+k π（k ∈Z ）解析：当ϕ=2k π，k ∈Z 时，f （x ）=sin x 是奇函数.当ϕ=2（k +1）π，k ∈Z 时f （x ）=－sin x 仍是奇函数.当ϕ=2k π+2π，k ∈Z 时，f （x ）=cos x ，或当ϕ=2k π－2π，k ∈Z 时，f （x ）=－cos x ，f （x ）都是偶函数.所以②和③都是正确的.无论ϕ为何值都不能使f （x ）恒等于零.所以f （x ）不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.评述：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k ∈Z 不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分.68.答案：－257 解析：sin （2π＋α）＝53即cos α＝53，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－25769.答案：60°解析：2sin 2A ＝3cos A ，2（1－cos 2A ）＝3cos A ，（2cos A －1）（cos A ＋2）＝0， ∴cos A ＝21，A ＝60°. 70.答案：T ＝3 71.答案：π解析：∵y =2sin x cos x －2sin 2x +1=sin2x －2·22cos 1x -+1=sin2x +cos2x =2sin （2x +4π），∴该函数的最小正周期是π.72.答案：［3,65ππ--］ 解析：因为f （x ）=2sin （2x +6π）单调递减.所以2π+2k π≤2x +6π≤23π+2k π，k ∈Z ，6π+k π≤x ≤23π+k π，k ∈Z ，又x ∈［－π，0］，令k =－1，得－65π≤x ≤－3π. 73.答案：5 解析：y ＝a +4sin （x ＋ϕ）＋4在x ∈R 时，y min ＝4－a +4而4－a +4＝1解得a ＝5.74.答案：②③解析：①由f （x ）=0有2x +3π＝k π（k ∈Z ），得x =2πk －6π，令k ＝0、1，有x 2＝ －6π，x 1＝2π－6π，则x 1－x 2＝2π，故命题①不正确；②利用诱导公式知正确；③对称点坐标满足关系式③知正确；④在对称轴处的纵坐标应为最值.综上知，②、③正确.75.答案：21 解析：f （x ）=23sin2x －2cos2x －2=25sin （2x －ϕ）－2， 其中tan ϕ=34.∴f （x ）max =21. 评述：本题考查y =a sin x +b cos x 的最值问题.只需要关注22b a +即可.76.答案：21 解析：f （x ）=23sin2x －1，f （x ）max =23－1=21. 77.答案：8解析一：因为sin2x =21，x ∈［－2π，2π］，∴2x ∈［－4π，4π］，∴2x =6π，65π，6π+2π，65π+2π，6π－2π，65π－2π，6π－4π，65π－4π;∴x =12π，125π，1213π，1217π，－1211π，－127π，－1223π，－1219π.故有8个解.解析二：因为f （x ）=sin x =21时，在一个周期内有两个角与21相对应.而y =sin2x 的周期为π，而区间［－2π，2π］的长度为4π，故应有8个解.评述：本题考查应用周期性分析问题解决问题的能力.78.答案：2－3解析：︒︒︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒=︒︒-︒︒︒+︒8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin3230sin 30cos 115tan -=︒︒-=︒=.评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点. 79.答案：3解析：tan60°=︒︒-︒+︒40tan 20tan 140tan 20tan ，∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°，∴tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3.80.答案：－43解析：y ＝sin （x －6π）cos x ＝21［sin （2x －6π）－sin 6π］＝21［sin （2x －6π）－21］当sin （2x －6π）＝－1时，函数有最小值，y 最小＝21（－1－21）＝－43.评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）. 81.答案：［2,23ππ-］ 解析：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin （42π+x ），当2k π－2π≤2x ＋4π≤2k π＋2π（k ∈Z ）时，函数递增，此时4kπ－23π≤x ≤4k π＋2π（k ∈Z ），只有k ＝0时，［－23π，2π］（－2π，2π）. 82.答案：3解析：y =2cos （x +6π）·cos （－6π）=3cos （x +6π），∴y max =3.83.答案：2－1解析：y ＝sin2x －（1＋cos2x ）＝2sin （2x －4π）－1，因为|sin （2x －4π）|＜1，所以y 最大值＝2－1.84.答案：－43 解法一：设法求出sin θ和cos θ，cot θ便可求了，为此先求出sin θ－cos θ的值.将已知等式两边平方得1＋2sin θcos θ＝251 变形得1－2sin θcos θ＝2－251， 即（sin θ－cos θ）2＝2549 又sin θ＋cos θ＝51，θ∈（0，π） 则2π＜θ＜43π，如图4—14 所以sin θ－cos θ＝57，于是 sin θ＝54，cos θ＝－53，cot θ＝－43.解法二：将已知等式平方变形得sin θ·cos θ＝－2512，又θ∈（0，π），有cos θ＜0＜sin θ，且cos θ、sin θ是二次方程x 2－51x －2512＝0的两个根，故有cos θ＝－53，sin θ＝54，得cot θ＝－43. 评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活.85.解：由cos2x ≠0得2x ≠k π+2π，解得x ≠42π+k ，k ∈Z ，所以f （x ）的定义域为{x |x ∈R 且x ≠42ππ+k ，k ∈Z }因为f （x ）的定义域关于原点对称，且f （－x ）=xx x x x x 2cos 1cos 5cos 6)2cos(1)(cos 5)(cos 62424+-=-+---=f （x ） 所以f （x ）是偶函数. 又当x ≠42ππ+k （k ∈Z ）时， f （x ）=1cos 32cos )1cos 3)(1cos 2(2cos 1cos 5cos 622224-=--=+-x xx x x x x . 所以f （x ）的值域为{y |－1≤y <21或21<y ≤2}. 评述：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.图4—1486.解：根据图象得A =2，T =27π－（－2π）=4π，∴ω=21，∴y =2sin （2x +ϕ）又由图象可得相位移为－2π，∴－21ϕ=－2π，∴ϕ=4π.即y =2sin （21x +4π）. 根据条件3=2sin （421π+x ），∴421π+x =2k π+3π,(k ∈Z )或421π+x =2k π+32π（k ∈Z ）∴x =4k π+6π（k ∈Z ）或x =4k π+65π（k ∈Z ）. ∴所有交点坐标为（4k π+3,6π）或（4k π+3,65π）（k ∈Z ）87.解：（1）由题中图所示，这段时间的最大温差是30－10＝20（℃）.（2）图中从6时到14时的图象是函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b 的半个周期的图象， ∴21·ωπ2＝14－6，解得ω＝8π.由图示，A ＝21（30－10）＝10，b ＝21（30＋10）＝20. 这时y =10sin （8πx ＋ϕ）＋20.将x =6，y =10代入上式，可取ϕ＝43π. 综上，所求的解析式为y =10sin （8πx ＋43π）＋20，x ∈［6，14］ 88.解：因为A 、B 、C 成等差数列，又A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120° 从而2CA +＝60°，故tan 32=+C A .由两角和的正切公式， 得32tan2tan 12tan 2tan=-+C A CA . 所以,2tan 2tan 332tan 2tanC A C A -=+ 32tan 2tan 32tan 2tan=++CA C A . 89.解：由倍角公式，sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝2cos 2α－1，由原式得 4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0 ⇔2cos 2α（2sin 2α＋sin α－1）＝0⇔2cos 2α（2sin α－1）（sin α＋1）＝0，∵α∈（0，2π），∴sin α＋1≠0，cos 2α≠0， ∴2sin α－1＝0，即sin α＝21. ∴α＝6π，∴tan α＝33 90.解：cos （2α＋4π）＝cos2αcos4π－sin2αsin4π＝22（cos2α－sin2α）. ∵47443ππαπ<+≤，cos （α＋4π）＞0，由此知47423ππαπ<+<， ∴sin （α＋4π）＝－54)53(1)4(cos 122-=--=+-πα.从而cos2α＝sin （2α＋2π）＝2sin （α＋4π）cos （α＋4π）＝2×（－54）×53＝－2524，sin2α＝－cos （2α＋2π）＝1－2cos 2（α＋4π）＝1－2×（53）2＝257.∴cos （2α＋4π）＝22×（－2524－257）＝－50231.91.解：ααααααααcos sin 1)cos (sin sin 2tan 12sin sin 22++=++ =2sin αcos α，∴k =2sin αcos α. 而（sin α－cos α）2=1－2sin αcos α=1－k .又4π<α<2π，于是：sin α－cos α>0，所以sin α－cos α=k -1.92.解：∵S ＝21ab sin C ，∴sin C ＝23，于是∠C ＝60°或∠C ＝120° 又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，当∠C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－ab ，c ＝21 当∠C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2＋ab ，c ＝61∴c 的长度为21或61评述：本题考查三角函数中角的多值性及余弦定理等基本知识.93.解：y =1+sin2x +2cos 2x =sin2x +cos2x +2=2sin （2x +4π）+2.故最小正周期为π.94.解：如图4—15，连结BD ，则四边形面积S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝21AB ·AD sin A ＋21B C ·C D sinC ∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ， ∴S ＝21（AB ·AD ＋B C ·CD ）·sin A ＝16sin A 由余弦定理：在△ABD 中，BD 2＝22＋42－2·2·4cos A ＝20－16cos A 在△CDB 中，BD 2＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C 又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－21， ∴A ＝120°，∴S ＝16sin A ＝83.95.解：（1）解方程组⎩⎨⎧=-=+1sin cos 1cos sin 2222θθθθy x y x ，得⎩⎨⎧-=+=θθθθsin cos cos sin 22y x 故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为⎩⎨⎧>->+0sin cos 0cos sin θθθθ，（0<θ<2π）⇔0<θ<4π.（2）设四个交点的坐标为（x i ，y i ）（i =1，2，3，4），则：x i 2+y i 2=2cos θ∈（2，2）（i =1，2，3，4）.故四个交点共圆，并且这个圆的半径r =2cos θ∈（2,24）.评述：本题注重考查应用解方程组法处理曲线交点问题，这也是曲线与方程的基本方法，同时本题也突出了对三角不等关系的考查.96.证明：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B .整理得 cAb B ac b a c o s c o s 222-=-. 依正弦定理，有CBc b C A c a s i n s i n ,s i n s i n ==， ∴CB AC A B B A c b a sin )sin(sin cos sin cos sin 222-=-=- 评述：本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函数简单的变形技能. 97.解：（1）y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1 ＝41（2cos 2x －1）＋41＋43（2sin x cos x ）＋1 ＝41cos2x ＋43sin2x ＋45图4—15＝21（cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π）＋45＝21sin （2x ＋6π）＋45y 取得最大值必须且只需2x ＋6π＝2π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝6π＋k π，k ∈Z .所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛x |x ＝6π＋k π，k ∈Z ｝.（2）将函数y ＝sin x 依次进行如下变换： ①把函数y ＝sin x 的图象向左平移6π，得到函数y ＝sin （x ＋6π）的图象；②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数 y ＝sin （2x ＋6π）的图象；③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数 y ＝21sin （2x ＋6π）的图象；④把得到的图象向上平移45个单位长度，得到函数y ＝21sin （2x ＋6π）＋45的图象；综上得到函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1的图象. 评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力. 98.解：（1）y ＝3sin x ＋cos x ＝2（sin x cos6π＋cos x sin6π）＝2sin （x ＋6π），x ∈Ry 取得最大值必须且只需x ＋6π＝2π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π＋2k π，k ∈Z .所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛x |x ＝3π＋2k π，k ∈Z ｝（2）变换的步骤是：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移6π，得到函数y ＝sin （x ＋6π）的图象；②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝2sin （x ＋6π）的图象；经过这样的变换就得到函数y ＝3sin x ＋cos x 的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.99.解：∵sin α=53，α是第二象限角，∴cos α=－54，sin2α=－2524且2k π+43π<α<2k π+π， ∴4k π+23π<2α<4k π+2π.cos2α=257， 故sin （637π－2α）=sin （6π－2α）=)2524(2325721)26sin(--⨯=-απ 32512507+=. 100.解：由正弦定理和已知条件a +c =2b 得sin A ＋sin C ＝2sin B由和差化积公式得2sin 2cos 2C A C A -+＝2sin B 由A ＋B ＋C ＝π，得sin2cos 2B C A =+ 又A －C ＝3π得2cos 23B ＝sin B ∴2cos 2sin 22cos 23B B B = ∵2cos ,220B B π<<≠0 ∴432sin =B ，从而4132sin 12cos 2=-=B B ∴sin B ＝839413432=⨯⨯. 评述：本题考查数列的基本概念、三角函数的基础知识及准确的推理和运算能力.101.解：∵tan 212=α，∴sin α=532tan 12tan 1cos ,544112122tan 12tan 2222=+-==+⋅=+ααααα. ∴sin （α+6π）=sin αcos 6π+cos αsin 6π=10343+. 102.解：∵sin （4π+α）sin （4π－α）=61， ∴sin （4π+α）cos ［2π－（4π－α）］=61， 即sin （4π+α）cos （4π+α）=61， ∴sin （2π+2α）=31，即cos2α=31，∵α∈（2π，π），则2α∈（π，2π）， ∴sin2α=2322cos 12-=-α.于是sin4α=2sin2αcos2α=－924. 103.解：由已知可得B ＝60°，A ＋C ＝120°，,cos cos 22cos cos 22cos 1cos 1cos 2cos 1cos 1C A C A CA B C A -=+⇒-=+⇒-=+ 变形得)]cos()[cos(22cos 2cos 2C A C A C A C A -++-=-+ 将cos 2C A +＝cos60°＝21，cos （A ＋C ）＝－21代入上式得 )cos(2222cos C A C A --=-， 将cos 2（A －C ）＝2cos 22C A -－1代入上式并整理得0232cos 22cos 242=--+-C A C A ， 即（2cos 2C A -－2）（22·cos 2CA -＋3）＝0，因为22cos 2CA -＋3≠0，所以2cos 2C A -－2＝0，从而cos 2C A -＝22 评述：本题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力.104.解：原式＝21（1－cos40°）＋21（1＋cos100°）＋21（sin70°－sin30°） ＝1＋21（cos100°－cos40°）＋21sin70°－41 ＝43－sin70°sin30°＋21sin70° ＝43－21sin70°＋21sin70°＝43. 评述：本题考查三角恒等式和运算能力.105.解：由题设sin α＝53，α∈（2π，π）， 可知cos α＝－54，tan α＝－43 又因tan （π－β）＝21，tan β＝－21，所以tan2β＝34tan 1tan 22-=-ββ tan （α－2β）＝2471134432tan tan 12tan tan =++-=+-βαβα. 106.解：因为sin3x ·sin 3x +cos3x cos 3x =（sin3x sin x ）sin 2x +（cos3x cos x ）cos 2x =21［（cos2x －cos4x ）sin 2x +（cos2x +cos4x ）cos 2x ］=21［（sin 2x +cos 2x ）cos2x +（cos 2x －sin 2x ）cos4x ］=21（cos2x +cos2x cos4x ）=21cos2x （1+cos4x ）=cos 32x 所以y =xx 2cos 2cos 23+sin2x =cos2x +sin2x =2sin （2x +4π） 当sin （2x +4π）=－1时，y 取最小值－2.107.证明：tan x 1＋tan x 2＝2121212211cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x +=+ 2121cos cos )sin(x x x x +=)cos()cos()sin(2212121x x x x x x -+++= 因为x 1，x 2∈（0，2π），x 1≠x 2，所以2sin （x 1＋x 2）＞0，cos x 1cos x 2＞0，且0＜cos （x 1－x 2）＜1， 从而有0＜cos （x 1＋x 2）＋cos （x 1－x 2）＜1＋cos （x 1＋x 2）， 由此得tan x 1＋tan x 2＞)cos(1)sin(22121x x x x +++， 所以21（tan x 1＋tan x 2）＞tan 221x x + 即21［f （x 1）＋f （x 2）］＞f （221x x +）. 评述：本题考查三角函数的基础知识，三角函数性质和推理能力.。
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十年高考分类解析与应试策略数学第四章 三角函数●考点阐释近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点.在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.三角函数线是三角函数的一种几何表示，是用规定了方向的线段来表示三角函数的值.每种三角函数的定义及其相应的函数线之间的对应都是：“数”与“形”的对应，前者是代数形式，后者是几何形式，代数形式便于计算，几何形式形象直观.同角三角函数的基本关系和诱导公式也是高考重点考查的内容，因为在已知三角函数值求角，求任意角的三角函数值，化简三角函数式，证明三角恒等式等问题，都要用到这些知识，它们的应用非常广泛，所以也是本章复习的重点.在复习时要注意掌握任意角的三角函数定义，因为三角函数的定义域，三角函数的值域，三角函数值的符号，同角三角函数的基本关系式都是根据三角函数的定义推导得出的，诱导公式的导出也直接或间接地应用了三角函数的定义，因此正确理解和运用任意角的三角函数定义是复习好同角三角函数的基本关系式和诱导公式的关键.众多的三角变换公式是解决三角学中一系列典型问题的工具，也是深入研究三角函数的图象与性质的重要工具.掌握三角函数的奇偶性和单调性，能利用它们解决问题.反三角函数的内容是三角函数及其性质的运用和延伸，它们和三角函数是紧密相联的，经常转化为与三角函数有关问题来进行研究.重点掌握：（1）熟练掌握函数y =A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0）的图象及其性质，以及图象的五点作图法、平移和对称变换作图的方法.（2）利用单位圆、函数的单调性或图象解决与三角函数有关的不等式问题.（3）各类三角公式的功能：变名、变角、变更运算形式；注意公式的双向功能及变形应用；用辅助角的方法变形三角函数式.●试题类编 一、选择题1.（2003京春文，2）设M 和m 分别表示函数y =31cos x －1的最大值和最小值，则M +m 等于（ ） A.32 B.－32C.－34 D.－2 2.（2003京春，文6，理5）若A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且A <B <C （C ≠2π），则下列结论中正确的是（ ） A.sin A <sin CB.cot A <cot CC.tan A <tan CD.cos A <cos C3.（2003上海春，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A.（1－y ）sin x +2y －3=0B.（y －1）sin x +2y －3=0C.（y +1）sin x +2y +1=0D.－(y +1)sin x +2y +1=04.（2003上海春，16）关于函数f （x ）=sin 2x －（32）|x |+21，有下面四个结论，其中正确结论的个数为（ ）①f （x ）是奇函数 ②当x >2003时，f （x ）>21恒成立 ③f （x ）的最大值是23 ④f （x ）的最小值是－21A.1B.2C.3D.45.（2002春北京、安徽，5）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.（2002上海春，14）在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形7.（2002京皖春文，9）函数y =2sin x 的单调增区间是（ ） A.［2k π－2π，2k π＋2π］（k ∈Z ）B.［2k π＋2π，2k π＋23π］（k ∈Z ） C.［2k π－π，2k π］（k ∈Z ） D.［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ）8.（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（ ） A.（4π，2π）∪（π，45π）B.（4π，π） C.（4π，45π）D.（4π，π）∪（45π，23π） 9.（2002北京，11）已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图4—1所示，那么不等式f （x ）cos x ＜0的解集是（ ）A.（0，1）∪（2，3）B.（1，2π）∪（2π，3）C.（0，1）∪（2π，3） D.（0，1）∪（1，3）10.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2π，π）上为减函数的是（ ）A.y =cos 2xB.y ＝2|sin x |C.y ＝(31)cos xD.y =－cot x11.（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ）12.（2002北京文，8）若1cos 2cot +θθ＝1，则cos2θ的值为（ ）A.53 B.－53C.552 D.－552 13.（2002北京理，8）若1cos 2cot +θθ＝1，则θθ2sin 12cos +的值为（ ）A.3B.－3C.－2D.－2114.（2002河南，1）函数f （x ）=xxcos 2sin 的最小正周期是（ ） A.2π B.πC.2πD.4π15.（2001春季北京、安徽，8）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 16.（2001全国理，1）若sin θcos θ＞0，则θ在（ ） A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限17.（2001全国文，1）tan300°+cot405°的值是（ ） A.1＋3B.1－3C.－1－3D.－1＋318.（2001全国，8）若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则（ ）A.a ＜bB.a ＞bC.ab ＜1D.ab ＞2 19.（2001全国理，6）函数y =cos x +1（－π≤x ≤0）的反函数是（ ） A.y =－arccos （x －1）（0≤x ≤2） B.y =π－arccos （x －1）（0≤x ≤2） C.y =arccos （x －1）（0≤x ≤2） D.y =π+arccos （x －1）（0≤x ≤2） 20.（2001天津理，1）函数y =3sin （32π+x ）的周期、振幅依次是（ ） A.4π，3B.4π，－3C.π，3D.π，－321.（2000京、皖春理，10）函数y ＝xx cos sin 21++的最大值是（ ）A.22－1 B.22＋1C.1－22D.－1－22 22.（2000京、皖文，10）函数y ＝sin x ＋cos x ＋2的最小值是（ ） A.2－2B.2＋2C.0D.123.（2000全国，4）已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是（ ） A.若α、β是第一象限角，则cos α＞cos β B.若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β C.若α、β是第三象限角，则cos α＞cos β D.若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β24.（2000全国，5）函数y ＝－x cos x 的部分图象是（ ）25.（2000上海文，13）函数y ＝sin （x ＋2π）（x ∈［－2π，2π］）是（ ） A.增函数 B.减函数 C.偶函数 D.奇函数26.（2000春季北京、安徽，12）设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正．．确．的是（ ） A.tan α²tan β＜1 B.sin α＋sin β＜2C.cos α＋cos β＞1D.21tan （α+β）<tan 2βα+27.（2000全国理，12）如图4—2，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（ ）A.arccos321B.arccos21 C.arccos 21D.arccos421 28.（2000上海理，16）下列命题中正确的命题是（ ） A.若点P （a ，2a ）（a ≠0）为角α终边上一点，则sin α=552 B.同时满足sin α=21，cos α=23的角α有且只有一个 C.当|a |<1时，tan(arcsin a )的值恒正D.方程tan （x +3π）=3的解集为{x |x =k π，k ∈Z } 29.（1999全国，4）函数f （x ）=M sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0），在区间［a ，b ］上是增函数，且f （a ）=－M ，f （b ）=M ，则函数g （x ）=M cos （ωx ＋ϕ）在［a ，b ］上（ ）A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值－D.可以取得最小值－m30.（1999全国，11）若sin α＞tan α＞cot α（－2π＜α＜2π)，则α∈（ ）A.（－2π，－4π） B.（－4π，0） C.（0，4π）D.（4π，2π） 31.（1999全国文、理，5）若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ） A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x 32.（1998全国文、理，1）sin600°的值是（ ） A.21 B.－21 C.23 D.－23 33.（1998全国，6）已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ）A.（2π，43π）∪（π，45π） B.（4π，2π）∪（π，45π）C.（2π，43π）∪（45π，23π） D.（4π，2π）∪（43π，π）34.（1998上海，12）下列函数中，周期是2π的偶函数是（ ） A.y ＝sin4x B.y ＝cos 22x －sin 22x C.y ＝tan2x D.y ＝cos2x35.（1998全国理，14）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为（ ） A.arccos215- B.arcsin215- C.arccos 251-D.arcsin251- 36.（1998上海，16）设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin A ²x +ay +c =0与bx －sin B ²y +sin C =0的位置关系是（ ）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直37.（1997全国文，10）函数y ＝cos 2x －3cos x ＋2的最小值为（ ）A.2B.0C.－41 D.638.（1997全国，5）函数y ＝sin （3π－2x ）＋cos2x 的最小正周期是（ ） A.2πB.πC.2πD.4π39.（1997全国，3）函数y =tan （3121-x π）在一个周期内的图象是（ ）40.（1997全国文，6）使tan α≥cot α成立的角α的一个取值区间是（ ） A.（0，4π] B.［0，4π］C.［4π，2π］ D.［4π，2π） 41.（1996全国文，6）已知α是第三象限角，并且sin α=－2524，则tan 2α等于（ ）A.34B.43 C.－43D.－34 42.（1996上海，2）在下列各区间中，函数y =sin （x ＋4π）的单调递增区间是（ ）A.［2π，π］ B.［0，4π］C.［－π，0］D.［4π，2π］ 43.（1996全国，6）当－2π≤x ≤2π时，函数f （x ）=sin x ＋3cos x 的（ ） A.最大值是1，最小值是－1 B.最大值是1，最小值是－21C.最大值是2，最小值是－2D.最大值是2，最小值是－144.（1996全国理,8）若0＜α＜2π，则arcsin ［cos （2π＋α）］＋arccos ［sin （π＋α）］等于（ ）A.2πB.－2πC.2π－2α D.－2π－2α45.（1996全国）若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是（ ） A.{x |2k π－43π<x <2k π+4π，k ∈Z } B.{x |2k π+4π<x <2k π+45π，k ∈Z } C.{x |k π－4π<x <k π+4π，k ∈Z }D.{x |k π+4π<x <k π+43π，k ∈Z }46.（1995上海，3）方程tan （2x ＋3π）＝33在区间［0，2π)上解的个数是（ ） A.5 B.4 C.3 D.247.（1995全国文，7）使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是（ ） A.［－43π，4π］ B.［－2π，2π］ C.［－4π，43π］ D.［0，π］48.（1995全国，3）函数y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是（ ）A.6πB.2πC.32πD.3π 49.（1995全国，9）已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝95，那么sin2θ等于（ ） A.322 B.－322 C.32D.－32 50.（1995上海，1）y ＝sin 2x 是（ ） A.最小正周期为2π的偶函数 B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数51.（1994全国文，14）如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称，那么a 等于（ ）A.2B.－2C.1D.－152.（1994全国，4）设θ是第二象限角，则必有（ ） A.tan2θ>cot 2θB.tan2θ<cot 2θC.sin2θ>cos 2θD.sin2θ－cos 2θ 53.（1994全国，6）下列函数中，以2π为周期的函数是（ ） A.y =sin2x +cos4x B.y =sin2x ²cos4x C.y =sin2x +cos2x D.y =sin2x ²cos2x54.（1994上海，19）在直角坐标系中，曲线C 的方程是y =cos x ，现平移坐标系，把原点移到点O ′（2π，－2π)，则在坐标系x ′O ′y ′中，曲线C 的方程是（ ） A.y ′=sin x ′+2πB.y ′=－sin x ′+2π C.y ′=sin x ′－2π D.y ′=－sin x ′－2π 二、填空题55.（2003京春文，13）函数y =sin2x +1的最小正周期为 .56.（2003上海春，3）已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限. 57.（2003上海春，8）不等式（l g 20）2cos x >1（x ∈（0，π））的解为_____. 58.(2002上海春，6)已知f （x ）=xx+-11.若α∈（2π,π）,则f （cos α）＋f （－cos α）可化简为 .59.（2002京皖，4）如果cos θ＝－1312，θ∈（π，23π），那么cos （θ＋4π）的值等于 . 60.（2002天津文，14）已知sin2α＝－sin α（α∈（2π，π）），则cot α＝ .61.（2002上海春，9）若f （x ）=2sin ωx （0＜ω＜1)在区间［0，3π］上的最大值是2，则ω＝ . 62.（2002北京文，13）sin52π，cos 56π，tan 57π从小到大的顺序是 . 63.（2002上海，10）设函数f （x ）=sin2x ，若f （x +t ）是偶函数，则t 的一个可能值是 . 64.（2002全国，15）已知sin α=cos2α（α∈（2π，π）），则tan α=_____.65.（2001全国春季北京、安徽，5）已知sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1（α、β、γ均为锐角），那么cos αcos βcos γ的最大值等于 .66.（2001上海春）函数y =xxcos 1sin -的最小正周期为_____.67.（2001上海春）关于x 的函数f （x ）=sin （x +ϕ）有以下命题： ①对任意的ϕ，f （x ）都是非奇非偶函数；②不存在ϕ，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数； ③存在ϕ，使f （x ）是奇函数； ④对任意的ϕ，f （x ）都不是偶函数.其中一个假命题的序号是_____.因为当ϕ=_____时，该命题的结论不成立. 68.（2000上海春，1）若sin （2π＋α）＝53，则cos2α＝ .69.（2000上海春，5）在三角形ABC 中，2 sin A ＝A cos 3，则∠A ＝ . 70.（2000春季北京、安徽，5）函数y ＝cos （432ππ+x ）的最小正周期是 . 71.（1999上海，16）函数y =2sin x cos x －2sin 2x +1的最小正周期是_____. 72.（1999上海理，7）函数y =2sin （2x +6π）（x ∈［－π，0］）的单调递减区间是_____.73.（1998上海理，2）若函数y =2sin x ＋a cos x ＋4的最小值为1，则a = .74.（1998全国理，19）关于函数f （x ）=4sin （2x ＋3π）（x ∈R ），有下列命题：①由f （x 1）＝f （x 2）＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y =f （x ）的表达式可改写为y =4cos （2x －6π）；③y =f （x ）的图象关于点（－6π，0）对称；④y ＝f （x ）的图象关于直线x =－6π对称.其中正确的命题的序号是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上）. 75.（1997上海理，12）函数f （x ）=3sin x cos x －4cos 2x 的最大值是_____. 76.（1997上海文，12）函数f （x ）=3sin x cos x －1的最大值为_____. 77.（1997上海，8）方程sin2x =21在［－2π，2π］内解的个数为_____. 78.（1997全国，18）︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_____.79.（1996全国，18）tan20°+tan40°+3tan20°²tan40°的值是_____.80.（1995全国理，18）函数y ＝sin （x －6π）cos x 的最小值是 .81.（1995上海，17）函数y ＝sin2x ＋cos 2x在（－2π，2π）内的递增区间是 . 82.（1995全国文，18）函数y =cos x +cos （x +3π）的最大值是_____. 83.（1994上海，9）函数y ＝sin2x －2cos 2x 的最大值是 .84.（1994全国，18）已知sin θ＋cos θ＝51，θ∈（0，π），则cot θ的值是 . 三、解答题85.（2003京春，18）已知函数f （x ）=xx x 2cos 1cos 5cos 624+-，求f （x ）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.ω>0，x86.（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （ωx +ϕ）（A >0，∈R ）在一个周期内的图象如图4—3所示.求直线y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标.87.（2002全国文，17）如图4—4，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b .（Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式.88.（2002京皖春，17）在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tanCA C A ++的值. 89.（2002全国理，17）已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1,α∈（0,2π）.求sin α、tan α的值.90.（2002天津理，17）已知cos （α＋4π）＝2,53π≤α＜23π，求cos （2α＋4π）的值. 91.（2001上海春）已知αααtan 12sin sin 22++=k (4π<α<2,53π),试用k 表示sin α－cos α的值.92.（2001上海，17）已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积.若a =4，b =5，S =53，求c 的长度.93.（2001河南、广东，17）求函数y =（sin x +cos x ）2+2cos 2x 的最小正周期.94.（2001全国文，19）已知圆内接四边形ABCD 的边长AB =2，BC =6，CD =DA =4.求四边形ABCD 的面积.95.（2001天津理，22）设0<θ<2π，曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ－y 2sin θ=1有4个不同的交点.（1）求θ的取值范围；（2）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围.96.（2000京皖春，理19，文20）在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c .证明：CB A c b a sin )sin(222-=-.97.（2000全国理，17）已知函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1，x ∈R . （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 98.（2000全国文，17）已知函数y ＝3sin x ＋cos x ，x ∈R .（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y ＝sin x （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 99.（1998上海理，17）设α是第二象限的角，sin α=53，求sin （637π－2α）的值. 100.（1998全国理，20）在△AB C 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a +c =2b ，A －C =3π.求sin B 的值.101.（1997上海理，17）已知tan212=α，求sin （α＋6π）的值. 102.（1996上海,19）已知sin （4π+α）sin （4π－α）=61,α∈（2π，π）,求sin4α. 103.（1996全国，21）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：A ＋C ＝2B ，BC A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos2CA -的值. 104.（1995全国理，22）求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值. 105.（1994上海，21）已知sin α＝53，α∈（2π，π），tan （π－β）＝21，求tan （α－2β）的值.106.（1994全国文，21）求函数y =xxx x x 2cos cos 3cos sin 3sin 233⋅++sin2x 的最小值. 107.（1994全国理，22）已知函数f （x ）=tan x ，x ∈（0，2π），若x 1、x 2∈（0，2π），且x 1≠x 2，证明21［f （x 1）＋f （x 2）］＞f （221x x +）.●答案解析 1.答案：D解析：因为函数g （x ）=cos x 的最大值、最小值分别为1和－1.所以y =31cos x －1的最大值、最小值为－32和－34.因此M +m =－2. 2.答案：D解析一：因为A <C .在△ABC 中，大角对大边.因此c >a ，即2R sin C >2R sinA.所以sin C >sin A .解析二：利用特殊情形.因为A 、B 、C 为△ABC 的三个内角.因此，存在C 为钝角的可能，而A 必为锐角.此时结论仍然正确.而cos A 、tan A 、cot A 均为正数，cos C 、tan C 、cot C 均为负数.因此B 、C 、D 均可排除.解析三：作差sin A －sin C =2cos2C A +²sin 2CA -，A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，又A <C .因此0<A +C <π，0<2C A +<2π，－π<A －C <0，－2π<2C A -<0.所以cos 2C A +>0，sin 2CA -<0，可得sin A <sin C . 评述：本题入口较宽，做为考查三角函数的基本题，有一定的深刻性，尤其是被选项的设计隐藏着有益的提示作用.为观察、思考能力强的考生提供了快速解题的可能性.本题在考查基础知识的同时，考查了逻辑思维能力及灵活运用知识解题的能力.3.答案：C解析：将原方程整理为：y =xcos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位，因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y +1）cos （x －2π）+2（y +1）－1=0，即得C 选项.4.答案：A解析：因为f （x ）=sin 2x －（32）|x |+||||)32(2cos 21121)32(22cos 121x x x x --=+--=.显然f (x )为偶函数.结论①错.对于结论②,当x =1000π时,x >2003，sin 21000π=0,∴f （1000π）=21)32(211000<-π，∴结论②是错误的.又－1≤cos2x ≤1，－21≤1－21cos2x ≤23，∴1－21cos2x －（23）|x |<23，结论③错. f （x ）=sin 2x －（32）|x |+21中，sin 2x ≥0，－（32）|x |≥－1,∴f （x ）≥－21.所以A 选项正确.评述：本题考查了三角函数的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径.5.答案：B解析：sin2α＝2sin αcos α＜0 ∴sin αcos α＜0 即sin α与cos α异号，∴α在二、四象限， 又cos α－sin α＜0 ∴cos α＜sin α由图4—5，满足题意的角α应在第二象限 6.答案：C解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B 7.答案：A解析：函数y =2x 为增函数，因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间. 8.答案：C解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4π和45π，由图4—6可得C 答案.图4—6 图4—7解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7） 9.答案：C解析：解不等式f （x ）cos x ＜0⎪⎩⎪⎨⎧<<><⎪⎩⎪⎨⎧<<<>⇒300cos 0)(300cos 0)(x x x f x x x f 或∴⎩⎨⎧<<<<⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1010231x x x x 或ππ ∴0＜x ＜1或2π＜x ＜3 10.答案：B解析：A 项：y =cos 2x =22cos 1x +，x =π，但在区间（2π，π）上为增函数. B 项：作其图象4—8，由图象可得T =π且在区间（2π，π）上为减函数.C 项：函数y =cos x 在(2π，π)区间上为减函数,数y =（31）x 为减函数.因此y =（31）cos x 在（2π，π）区间上为增函数.D 项：函数y ＝－cot x 在区间（2π，π）上为增函数.11.答案：C解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］为非奇非偶函数. 选项A 、D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数. 12.答案：A解析：由1cot 21cot +-θθ＝1解得：tan θ＝－21，∴cos2θ＝53411411tan 1tan 122=+-=+-θθ 13.答案：A 解析：由1cot 21cot +-θθ＝1，解得：tan θ＝－21∴54411212tan 1tan 22sin ,53tan 1tan 12cos 222-=+⋅-=+==+-=θθθθθθ， ∴3541532sin 12cos =-=+θθ14.答案：C解析：∵f （x ）=2sin x （x ∈R ，x ≠k π+2π，k ∈Z ），∴f （x ）的最小正周期为2π.故应选C.评述：本题重点考查二倍角公式及sin x 的周期性.15.答案：B解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B ＞90°， ∴B ＞90°－A ，∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，故选B. 16.答案：B解析：∵sin θcos θ＞0，∴sin θ、cos θ同号.当sin θ＞0，cos θ＞0时，θ在第一象限，当sin θ＜0，cos θ＜0时，θ在第三象限，因此，选B. 17.答案：B解析：tan300°＋cot405°＝tan(360°－60°)＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－3.18.答案：A 解析：∵a ＝2sin （α＋4π），b ＝2sin （β＋4π），又4π＜α＋4π＜β＋4π＜2π.而y ＝sin x 在［0，2π］上单调递增，∴sin （α＋4π）＜sin （β＋4π）.即a ＜b .19.答案：A解析：根据反函数的值域应为原函数的定义域［－π，0］， ∴B 、C 、D 都被排除，A 正确． 20.答案：A 解析：由y =3sin （321π+x ）得，振幅A =3，周期T =4π. 评述：本题主要考查形如y =A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0）的振幅和最小正周期的概念，以及最小正周期的计算公式.21.答案：B解析：221221)4sin(221cos sin 21+=-≤+++++=πx x x y . 22.答案：A解析：y ＝sin x ＋cos x ＋2＝2sin （x ＋4π）＋2.∴y min ＝2－2.23.答案：D解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A 、C ，在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同.24.答案：D解析：因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当 x ∈（0，2π）时，y ＝－x cos x ＜0. 25.答案：C解析：y ＝sin （x ＋2π）＝cos x ，（x ∈［－2π，2π］），由余弦函数的性质知，y ＝cos x 为偶函数.26.答案：D解法一：取特殊情况，若α＝β，则0＜α＜4π，0＜tan α＜1，0＜1－tan 2α＜1.∵21tan （α＋β）＝21tan2α＝2tan tan tan 1tan 2βαααα+=>-. 解法二：∵α＋β＜2π，∴α＜2π－βtan α在［0，2π)上是增函数，∴tan α＜tan （2π －β）＝cot β，∴tan αtan β＜tan β²cot β＝1，∴A 正确. 其他同解法一 27.答案：D解析：如图4—9，由题意知，31πr 2h ＝61R 2h ， ∴r =2R，又△ABO ∽△AO C ，∴R OA OA r =， ∴OA 2＝r ²R ＝44221cos ,2,2===R OA R OA R θ.28.答案：D解析：由tan （x +3π）=3，得x +3π=k π+3π（k ∈Z ），∴x =k π（k ∈Z ）.评述：本题考查判断命题正确性的能力以及考查三角函数的定义，已知三角函数值求角等知识和方法.29.答案：C解法一：由已知得M ＞0，－2π＋2k π≤ωx ＋ϕ≤2π＋2k π（k ∈Z ），故有g （x ）在［a ，b ］上不是增函数，也不是减函数，且当ωx ＋ϕ＝2k π时g （x ）可取到最大值M ，答案为C.解法二：由题意知，可令ω＝1，ϕ＝0，区间［a ，b ］为［－2π，2π］，M ＝1，则 g （x ）为cos x ，由基本余弦函数的性质得答案为C.评述：本题主要考查函数y =A sin （ωx ＋ϕ）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.30.答案：B解法一：取α＝±3π，±6π代入求出sin α、tan α、cot α之值，易知α＝－6π适合，又只有－6π∈（－4π，0），故答案为B. 解法二：先由sin α＞tan α得：α∈（－2π，0），再由tan α＞cot α得:α∈（－4π，0） 评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995年、1997年曾出现此类题型，运用特殊值法求解较好.31.答案：B解析：取f （x ）=cos x ，则f （x ）²sin x =21sin2x 为奇函数，且T =π. 评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式. 32.答案：D解析：sin600°=sin （600°－720°）=sin （－120°）=－22. 评述：本题主要考查诱导公式及特殊角三角函数值. 33.答案：B解法一：P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，有tan α＞0， A 、C 、D 中都存在使tan α＜0的α，故答案为B.解法二：取α＝3π∈（2,4ππ），验证知P 在第一象限，排除A 、C ，取α＝65π∈（43π，π），则P 点不在第一象限，排除D,选B. 解法三：画出单位圆如图4—10使sin α－cos α＞0是图中阴影部分，又tan α＞0可得24παπ<<或π＜α＜45π，故选B. 评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法.34.答案：B解析：y =cos 22x －sin 22x =cos4x ，T =2π. 35.答案：B解析：设sin α，cos α，1成等比数列，则1－sin 2α＝sin α，解得sin α＝215-或 sin α＝215--（舍）∴α＝arcsin 215-，故应选B.评述：本题综合考查了直角三角形的性质、等比数列、三角变换、反三角方程等知识，构造方程求解为常规解法.36.答案：C解析：b sin A +a ²（－sin B ）=2R sin B sin A －2R sin A sin B =0.评述：本题考查判定两条直线垂直的充分条件以及正弦定理. 37.答案：B解析：y =cos 2x －3cos x +2=（cos x －23）2－41.所以cos x =1时，y 的最小值为y =12－3²1+2=0.评述：本题主要考查三角函数的有界性、二次函数在指定区间上的值域、配方法等. 38.答案：B 解析：y ＝sin （3π－2x ）＋cos2x ＝sin （3π－2x ）＋sin （2π＋2x ）＝2sin125πcos （2x ＋12π）,显然函数的最小正周期为π，故选B.评述：本题考查了和差化积公式和函数最小正周期的求法. 39.答案：A解析：y ＝tan （3121-x π）＝tan 21（x －32π），显然函数周期为T ＝2π，且x ＝32π时，y =0，故选A.评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键. 40.答案：D解析：α∈［2,4ππ)⇒tan α≥1，cot α≤1⇒tan α≥cot α.41.答案：D 解析：sin α=－2524，α是第三象限角⇒cos α=－257⇒tan 34sin cos 12-=-=ααα. 评述：本题主要考查半角公式、同角三角函数的关系和象限角.42.答案：B 解析：当2k π－2π≤x +4π≤2k π+2π，k ∈Z 时，函数单调递增.解得2k π－43π≤x ≤2k π+4π，k ∈Z .显然当x ∈［0，4π］时，函数单调递增. 43.答案：D解析：由已知f （x ）=2sin （x ＋3π），－6π≤x ＋3π≤65π，故－1≤f （x ）≤2，所以选D.评述：本题考查了两角和的正弦公式和自变量在给定区间上函数最值的求法.44.答案：A 解法一：取α＝4π满足0＜α＜2π， 则原式＝arcsin （－22）＋arccos （－22）＝2π，故选A. 解法二：arcsin ［cos （2π＋α）］＋arccos ［sin （π＋α）］＝arcsin （－sin α）＋arccos （－sin α）＝－arcsin （sin α）＋π－arccos （sin α）＝－α＋π－arccos ［cos （2π－α）］＝－α＋π－（2π－α）＝2π，所以选A. 评述：本题主要考查反三角函数的基础知识，概念性强，对观察、判断能力要求高. 45.答案：D解析一：由已知可得cos2x =cos 2x －sin 2x <0，所以2k π+2π<2x <2k π+23π，k ∈Z .解得k π+4π<x <kπ+43π，k ∈Z （注：此题也可用降幂公式转化为cos2x <0）. 解析二：由sin 2x >cos 2x 得sin 2x >1－sin 2x ，sin 2x >21.因此有sin x >22或sin x <－22.由正弦函数的图象（或单位圆）得2k π+4π<x <2k π+43π或2k π+45π<x <2k π+47π（k ∈Z ），2k π+45π<x <2k π+47π可写作（2k +1）π+4π<x <（2k +1）π+43π，2k 为偶数，2k +1为奇数，不等式的解可以写作n π+4π<x <nπ+43π，n ∈Z . 评述：本题考查三角函数的图象和基本性质，应注意三角公式的逆向使用. 46.答案：B解析：由已知得2x ＋3π＝3π＋k π（k ∈Z ），x ＝2πk （k ∈Z ），x ＝0，2π，π，23π.故选B.47.答案：Ass 解法一：由已知得：2 sin （x －4π）≤0，所以2k π＋π≤x －4π≤2k π＋2π，2k π＋45π≤x ≤2k π＋49π，令k =－1得－43π≤x ≤4π，选A. 解法二：取x ＝32π，有sin 2132cos ,2332-==ππ，排除C 、D ，取x ＝3π，有sin 3π＝213cos ,23=π，排除B ，故选A. 解法三：设y ＝sin x ，y ＝cos x .在同一坐标系中作出两函数图象如图4—11，观察知答案为A.解法四：画出单位圆，如图4—12，若sin x ≤cos x ，显然应是图中阴影部分，故应选A.评述：本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象，属基本求范围题，入手容易，方法较灵活，排除、数形结合皆可运用.48.答案：C解析：y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）＝5［54sin （3x ＋4π）＋53cos （3x ＋4π）］＝5sin （3x＋4π＋ϕ）（其中tan ϕ＝43） 所以函数y ＝sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是T ＝32π. 故应选C.评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝22b a +sin （α＋ϕ），其中sin ϕ＝22ba b +，cos ϕ＝22ba a +，及正弦函数的周期性.49.答案：A解法一：将原式配方得（sin 2θ＋cos 2θ）2－2sin 2θcos 2θ＝95于是1－21sin 22θ＝95，sin 22θ＝98，由已知，θ在第三象限， 故2k π＋π＜θ＜2k π＋23π从而4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π 故2θ在第一、二象限，所以sin2θ＝322，故应选A. 解法二：由2k π＋π＜θ＜2k π＋23π，有4k π＋2π＜4k π＋3π（k ∈Z ），知sin2θ＞0，应排除B 、D ，验证A 、C ，由sin2θ＝322，得2sin 2θcos 2θ＝94，并与sin 4θ＋cos 4θ＝95相加得（sin 2θ＋cos 2θ）2＝1成立，故选A.评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别. 50.答案：C解析：y ＝sin 2x ＝22cos 1x-，显然cos2x 为偶函数且最小正周期为π 51.答案：D解析：函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称，表明：当x =－8π时，函数取得最大值12+a ，或取得最小值－12+a ,所以有［sin （－4π）+a ²cos （－4π）］2=a 2+1，解得a =－1. 评述：本题主要考查函数y =a sin x +b cos x 的图象的对称性及其最值公式.52.答案：A解法一：因为θ为第二象限角，则2k π＋2π＜θ＜2k π＋π（k ∈Z ），即2θ为第一象限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13，所以tan2θ＞cot 2θ. 解法二：由已知得：2k π＋2π＜θ＜2k π＋π，k π＋4π＜2θ＜ k π＋2π，k 为奇数时，2n π＋45π＜2θ＜2n π＋23π（n ∈Z ）； k 为偶数时，2n π＋4π＜2θ＜2n π＋2π（n ∈Z ），都有tan 2θ＞cot 2θ，选A. 评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本.53.答案：D解析：y =sin2x ²cos2x =21sin4x ，因此周期为2π. 54.答案：B解析：曲线C ：y =cos x ，利用移轴公式：⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=22ππy y x x C ：y ′－2π=cos （x ′+2π） ⇒C ：y ′=－sin x ′+2π.评述：本题主要考查移轴公式和三角函数的诱导公式. 55.答案：π解析：因为y =sin2x +1，利用T =22π=π.因此，周期T =π. 56.答案：二解析：因为点P （tan α，cos α）在第三象限，因此有⎩⎨⎧<<0cos 0tan αα，tan α<0⇒α在二、四象限，cos α<0⇒α在二、三象限（包括x 轴负半轴），所以α为第二象限角.即角α的终边在第二象限.57.答案：（0，2π）解析：∵20>10，∴lg20>lg10=1，∴对数函数单调递增.又（lg20）2cos x >1=（lg20）0. ∴2cos x >0⇒x 在一、四象限（包括x 轴正半轴），又x ∈（0，π）.所以原不等式的解为 （0，2π）.58.答案：2csc α解析：f （cos α）＋f （－cos α）＝2cot 2tan cos 1cos 1cos 1cos 1αααααα+=-+++-＝ααααααααααcsc 2sin 2112cos2sin2cos 2sin 2sin2cos 2cos2sin22==+=+59.答案：－2627 解析：∵cos （θ＋4π）＝cos θcos4π－sin θsin4π又∵θ∈（π，23π），cos θ＝－1312∴sin θ＝－135∴原式＝－1312³26272213522-=⨯+ 60.答案：－33解析：∵sin2α＝－sin α ∴2sin αcos α＝－sin α ∴sin α（2cos α＋1）＝0 ∴α∈（2π，π）∴sin α≠0∴2cos α＋1＝0 ∴cos α＝－21 ∴α＝32π ∴cot α＝－3361.答案：43解析：∵0＜ω＜1 ∴T ＝ωπ2＞2π ∴f （x ）在［0，3π］区间上为单调递增函数∴f （x ）max ＝f （3π）即2sin23=ωπ 又∵0＜ω＜1 ∴解得ω＝4362.答案：cos56π＜sin 52π＜tan 57π 解析：cos56π＜0，tan 57π＝tan 52π ∵0＜x ＜2π时，tan x ＞x ＞sin x ＞0 ∴tan52π＞sin 52π＞0 ∴tan 57π＞sin 52π＞cos 56π 63.答案：4π、43π、…4π（2k ＋1）（k ∈Z ） 解析：∵f （x +t ）=sin2（x ＋t ）＝sin （2x ＋2t ） 又f （x +t ）是偶函数∴f （x +t ）=f （－x +t ）即sin （2x ＋2t ）＝sin （－2x ＋2t ）由此可得2x +2t =－2x +2t +2k π或2x +t =π－（－2x ＋2t ）＋2k π（k ∈Z ）∴t ＝412+k π（k ∈Z ） 64.答案：－33 解析：∵sin α=cos2α，∴sin α=1－2sin 2α⇒2sin 2α+sin α－1=0，∴sin α=21或－1，又2π<α<π，∴sin α=21，∴α=65π，∴tan α=－33.评述：本题侧重考查二倍角公式以及三角函数值在各象限内的变化规律. 65.答案：692 解析：由sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1可得1－cos 2α+1－cos 2β+1－cos 2γ=1， 即cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2，由公式a 2+b 2+c 2≥33222c b a ⋅⋅等号成立条件为a 2=b 2=c 2.因此cos 2α²cos 2β²cos 2γ≤（3c os c os c os 222γβα++）3=（32）3，所以cos α²cos β²cos γ≤692（等号成立条件为cos α=cos β=cos γ）.故cos αcos βcos γ的最大值为692. 66.答案：2π解析：y =2cot cos 1sin xx x =-，∴周期T =2π.评述：本题考查半角公式和三角函数的周期性.67.答案：①，k π（k ∈Z ）；或者①，2π+k π（k ∈Z ）；或者④，2π+k π（k ∈Z ） 解析：当ϕ=2k π，k ∈Z 时，f （x ）=sin x 是奇函数.当ϕ=2（k +1）π，k ∈Z 时f （x ）=－sin x 仍是奇函数.当ϕ=2k π+2π，k ∈Z 时，f （x ）=cos x ，或当ϕ=2k π－2π，k ∈Z 时， f （x ）=－cos x ，f （x ）都是偶函数.所以②和③都是正确的.无论ϕ为何值都不能使f （x ）恒等于零.所以f （x ）不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.评述：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k ∈Z 不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分.68.答案：－257 解析：sin （2π＋α）＝53即cos α＝53，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－25769.答案：60°解析：2sin 2A ＝3cos A ，2（1－cos 2A ）＝3cos A ，（2cos A －1）（cos A ＋2）＝0， ∴cos A ＝21，A ＝60°. 70.答案：T ＝3 71.答案：π解析：∵y =2sin x cos x －2sin 2x +1=sin2x －2²22cos 1x -+1=sin2x +cos2x =2sin （2x +4π），∴该函数的最小正周期是π.72.答案：［3,65ππ--］ 解析：因为f （x ）=2sin （2x +6π）单调递减.所以2π+2k π≤2x +6π≤23π+2k π，k ∈Z ，6π+k π≤x ≤23π+k π，k ∈Z ，又x ∈［－π，0］，令k =－1，得－65π≤x ≤－3π. 73.答案：5解析：y ＝a +4sin （x ＋ϕ）＋4在x ∈R 时，y min ＝4－a +4而4－a +4＝1解得a ＝5.74.答案：②③解析：①由f （x ）=0有2x +3π＝k π（k ∈Z ），得x =2πk －6π，令k ＝0、1，有x 2＝－6π，x 1＝2π－6π，则x 1－x 2＝2π，故命题①不正确；②利用诱导公式知正确；③对称点坐标满足关系式③知正确；④在对称轴处的纵坐标应为最值.综上知，②、③正确.75.答案：21解析：f （x ）=23sin2x －2cos2x －2=25sin （2x －ϕ）－2， 其中tan ϕ=34.∴f （x ）max =21.评述：本题考查y =a sin x +b cos x 的最值问题.只需要关注22b a +即可.76.答案：21解析：f （x ）=23sin2x －1，f （x ）max =23－1=21.77.答案：8解析一：因为sin2x =21，x ∈［－2π，2π］，∴2x ∈［－4π，4π］，∴2x =6π，65π，6π+2π，65π+2π，6π－2π，65π－2π，6π－4π，65π－4π;∴x =12π，125π，1213π，1217π，－1211π，－127π，－1223π，－1219π.故有8个解. 解析二：因为f （x ）=sin x =21时，在一个周期内有两个角与21相对应.而y =sin2x 的周期为π，而区间［－2π，2π］的长度为4π，故应有8个解.评述：本题考查应用周期性分析问题解决问题的能力.78.答案：2－3解析：︒︒︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒=︒︒-︒︒︒+︒8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 3230sin 30cos 115tan -=︒︒-=︒=.评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点. 79.答案：3解析：tan60°=︒︒-︒+︒40tan 20tan 140tan 20tan ，∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°，∴tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3.80.答案：－43 解析：y ＝sin （x －6π）cos x ＝21［sin （2x －6π）－sin 6π］＝21［sin （2x －6π）－21］ 当sin （2x －6π）＝－1时，函数有最小值，y 最小＝21（－1－21）＝－43. 评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）. 81.答案：［2,23ππ-］ 解析：y ＝sin2x ＋cos 2x ＝2sin （42π+x ），当2k π－2π≤2x ＋4π≤2k π＋2π（k ∈Z ）时，函数递增，此时4k π－23π≤x ≤4k π＋2π（k ∈Z ），只有k ＝0时，［－23π，2π］（－2π，2π）.82.答案：3解析：y =2cos （x +6π）²cos （－6π）=3cos （x +6π），∴y max =3.83.答案：2－1解析：y ＝sin2x －（1＋cos2x ）＝2sin （2x －4π）－1，因为|sin （2x －4π）|＜1，所以y 最大值＝2－1.84.答案：－43 解法一：设法求出sin θ和cos θ，cot θ便可求了，为此先求出sin θ－cos θ的值.将已知等式两边平方得1＋2sin θcos θ＝251变形得1－2sin θcos θ＝2－251， 即（sin θ－cos θ）2＝2549 又sin θ＋cos θ＝51，θ∈（0，π） 则2π＜θ＜43π，如图4—14 所以sin θ－cos θ＝57，于是 sin θ＝54，cos θ＝－53，cot θ＝－43.解法二：将已知等式平方变形得sin θ²cos θ＝－2512，又θ∈（0，π），有cos θ＜0＜sin θ，且cos θ、sin θ是二次方程x 2－51x －2512＝0的两个根，故有cos θ＝－53，sin θ＝54，得cot θ＝－43.评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活. 85.解：由cos2x ≠0得2x ≠k π+2π，解得x ≠42π+k ，k ∈Z ，所以f （x ）的定义域为{x |x ∈R 且x ≠42ππ+k ，k ∈Z } 因为f （x ）的定义域关于原点对称，且f （－x ）=xx x x x x 2cos 1cos 5cos 6)2cos(1)(cos 5)(cos 62424+-=-+---=f （x ） 所以f （x ）是偶函数.。