定理(伯恩斯坦定理)设、是两个非空集合,如果存
实变函数与泛函分析电子版15~36页
第 16页定义1 设,A B 为两个非空集合，如果有某一法则ϕ，使每个x A ∈有唯一确定的y B ∈和它对应，则称ϕ为Ａ到Ｂ内的映射，记为:A B ϕ→.当映射ϕ使ｙ和ｘ对应时，y 称为x 在映射ϕ下的像，记作(x)y ϕ=，也可表示为:xy ϕ.对于任一固定的y,称适合关系(x)y ϕ=的x 的全体是元素y 在ϕ之下的原像，集合Ａ称为映射ϕ的定义域，记为()βϕ，设Ｃ是Ａ的子集，Ｃ中所有元素的像的全体，记为(c)ϕ，称它是Ｃ在ϕ之下的像，(A)ϕ称为映射ϕ的值域，记为()ϕℜ。
定义２ 设Ａ和Ｂ是两非空集合，若存在从集合Ａ到Ｂ上的一一映射ϕ ，即满足：⑴ 单设：对任意x,y A ∈，若(x)(y)ϕϕ=,则x=y ；⑵ 满射：对任意y B ∈，存在x A ∈，使得(x)y ϕ=.则称Ａ和Ｂ对等，记为A B ，规定φφ。
例 １我们可给出有限集合的一个不依赖于元素个数概念的定义，集合Ａ称为有限集合，如果A=φ或者A 和正整数的某截段{1,2，......n}对等。
例 2 { 正奇数全体 }{ 正偶数全体 }，事实上，只要令(x)x 1ϕ=+ 即可。
例 3{ 正整数全体}{ 正偶数全体}，这只需令(x)2x ϕ=，第17页X 是整数。
例4 区间（0,1）和全体实数R 对等，只需对每个(0,1)x ∈，令(x)t a n (x )2πϕπ=-。
例5 设A与B是两个同心圆周（图1.4），显然A~B。
事实上，对A上每一点x 与同心圆的圆心的连线与B相交且交与一点，值得注意的是，若将此圆的两周展开为线段时，则这两条线段的长度并不相同。
这告诉我们，一个较长的线段并不例4表明，无限长的“线段”也不比有限比另一个较短线段含有“更多的点”。
长的线段有“更多的点”。
例 3和例4说明一个无限集可以和它的一个真子集对等（可以证明，这一性质正是无限极的特征，常用来作为无限极的定义）。
这一性质对于有限集来说显然不能成立，由此可以看到有限集和无限极之间的诧异。
banach-alaoglu定理
banach-alaoglu定理
Banach-Alaoglu定理是泛函分析中的一个重要定理，它描述了柯西序列闭包的单位球在弱*拓扑下的紧性质。
该定理以波兰数学家斯蒂凡·巴拿赫（Stefan Banach）和美国数学家理查德·阿拉奥格鲁（Richard C. Alaoglu）的名字命名。
具体来说，Banach-Alaoglu定理说明了在赋范空间的双共轭空间中，单位球面的弱*闭包是一个紧致集。
这个定理的形式陈述如下：
设X是一个赋范空间，X是其双共轭空间（也即X的对偶空间），D是X的单位球面，即D = {x* ∈X* : ||x*|| ≤1}。
则D在弱*拓扑下是紧致的。
这个定理的重要性在于它提供了一个十分有用的工具来证明许多泛函分析中的重要结果，例如贝尔空间理论、测度论、概率论等。
它也是功能分析领域中的一个基本结果，为许多其他定理的证明提供了基础。
总之，Banach-Alaoglu定理是泛函分析中一个重要的紧致性定理，描述了双共轭空间中单位球的弱*紧致性。
最新-创新大课堂2021届高三数学文一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用 第1节 精品
跟踪训练 (1)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，则 f(x)＝________. (2)已知 f(x)为二次函数且 f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.则 f(x)的解析式为________． [解析] (1)令 t＝ x＋1，∴t≥1，x＝(t－1)2. 则 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
【名师说法】
函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函 数)，可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法， 此时要注意新元的取值范围；
[答案] C
角度三 已知定义域确定参数问题 5．(2016·合肥模拟)若函数 f(x)＝ x2＋2ax－a的定义域为 R，则 a 的取值范围为________． [解析] 函数 f(x)的定义域为 R，所以 x2＋2ax－a≥0 对 x ∈R 恒成立，因此有 Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. [答案] [－1,0]
[质疑探究] 函数的值域是由函数的定义域、对应关系唯 一确定的吗？
提示：是．函数的定义域和对应关系确定后函数的值域就 确定了，在函数的三个要素中定义域和对应关系是关键．
(3)相等函数：如果两个函数的_定__义__域___和__对__应__关__系__完全 一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
D．[0，lg 2]
大数定律和强大数定律的推广
大数定律和强大数定律的推广1 引言大数定律和强大数定律是概率论中两个重要的概念，围绕这两个概念有许多重要的定理，并且许多重要的定理证明和实际问题中都要应用这两个概念及其相关定理，鉴于这些定理在理论推导和实际应用方面的举足轻重的作用，很有必要推广这两个概念及其定理．2 大数定律2．1 大数定律的叙述定义2．1．1 设｛X n ｝为随机变量序列，它们都有有限的数学期望E(X n )．如果n1∑=-nk k kX E X1)]([−→−p0，则称｛X n ｝满足大数定律．定理2．1．1 （马尔可夫大数定律）设｛X n ｝是方差有限的随机变量列，如果有0)(112→∑=nk n X D n 则｛X n ｝满足大数定律．推论2．1．2（切贝谢夫大数定律） 若序列｛X n ｝两两不相关且方差有界：D(X n )≤C(n ≥1)，则｛X n ｝满足大数定律．推论2．1．3（伯努利大数定律） 设n μ为n 重伯努利试验中成功次数，则当n →∞时有nnμ−→−p p ．定理2．1．4（辛钦大数定律） 对于独立同分布随机变量列｛X n ｝，大数定律成立的充分必要条件是E(n ξ)=a 有限．证明 必要性是大数定律的定义所要求的．只需证明充分性．假定｛X n ｝之共同的特征函数为f(t)，则由引理2．8（《概率论》杨振明 科学出版社 P213）知t 0→时有f(t)＝1+iat+o(t)从而∑=nk k X n 11的特征函数为n n n to n t ia n t f )](1[)]([++=运用如下分析事实：对复数列｛c n ｝而言c n c →蕴含(1+nc n )nc e →， 便可得证iat n n n n e nto n iat n n t f =∙++=)])([11(lim )]([lim ． 根据连续性定理1．10（《概率论》杨振明 科学出版社 P204）及定理1．6（《概率论》杨振明 科学出版社 P141）便得∑=nk k X n 11依概率收敛到a ．事实上该定理证明用到了概率论中弱收敛和特征函数收敛之间的等价关系，而几种收敛性之间的互推关系是一个重要的内容，这将在本文的最后一节加以阐述．2． 2 大数定律的推广2．2．1 大数定律定义的推广首先介绍几个引理．定义 称r ．v ．'s 序列｛X n ｝和｛Y n ｝是尾列等价的，若 P(X n ≠Y n ，i ．o ．)＝0称r ．v ．'s 序列｛X n ｝和｛Y n ｝是收敛等价的，若它们的收敛点集只相差一个零测集．引理1 （等价性引理）设r ．v ．’s 序列｛X n ｝和｛Y n ｝满足∞<≠∑∞=1)(n n n Y X P ，则下列叙述成立．(1) ｛X n ｝和｛Y n ｝是尾列等价的； (2) ｛X n ｝和｛Y n ｝是收敛等价的；(3) 若b n ∞↑，则｛b1-n∑=nk kX1｝和｛b1-n∑=nk kY1｝是收敛等价的，且在公共收敛点上，它们的极限相同．证 P(X n n Y ≠，i ．o ．)＝∞→n lim P( n k k k Y X ≥≠)()∑≥≠≤nk k k Y X P )(lim =0，故(1)成立，而(2)和(3)的成立是显然的．定义2．2．1 设{ X n }为一列r ．v ．序列，如果存在常数列｛A n ｝和正常数序列｛B n ｝,其中B n ∞→，使nb B S －A n −→−p则称{ X n }服从弱大数定律（简称大数定律）．定义2．2．1是定义2．1．1的推广，但事实上我们所主要讨论的仍然是独立r ．v ．列以及B n =n 这种形式．2．2．2 ｛X n ｝为任意r ．v ．列．定理2．2．1 （格涅坚科定理） 对随机变量序列｛i X ｝，若记Sn=n1(X 1+X2+．．．+Xn)，a n =)(121n EX EX EX n+++ ，则｛X n ｝服从大数定律的充要条件是})(1)({lim 22n n n n n a S a S E -+-∞→＝0 证 （充分性）令n η＝S n －a n =)(1n n ES S n-＝∑=-n k k k EX X n 1)(1，设其分布函数为F n (x)，则P(()ε≥-∑=nk k k EX X n 11)=P(εη≥n )=⎰≥εx n x dF )(⎰≥++≤εεεx n x dF x x )(112222=⎰≥++εεεx n x dF x x )(112222⎰∞+∞-++≤)(112222x dF x x n εε=⎪⎭⎫ ⎝⎛++222211n n E ηηεε0→ 故｛X n ｝服从弱大数定律．（必要性） ｛X n ｝服从大数定律，所以0>∀ε))(1(lim 1ε≥-∑=∞→nk k k n EX X n P =))(1(lim ε≥-∞→n n n ES S n P=0)(lim =≥∞→εηn n P (*)P(εη≥n )=⎰≥εx n x dF )(=222222222)1()(1)(1)(1εηηεε-+≥+-+=+⎰⎰⎰<∞+∞-≥nn x n n x n E x dF x x x dF x x x dF x x 令n ∞→ 由(*)及ε的任意性可得 })(1)({lim 22n n n n n a S a S E -+-∞→＝0定理2．2．2 （伯恩斯坦定理）已知随机变量序列｛X n ｝的方差有界：DX n C ≤，并且当∞→-j i 时，相关系数r ij 0→，则｛n X ｝满足大数定律．证 因当∞→-j i 时，r ij 0)()()cov(→-=j i j i X D X D X X ，且D(X n )C ≤故0)()(),c o v (),c o v (→≤j i j i j i X D X D X X CX X 当∞→-j i 时所以对于任意0>ε，),cov(j i X X εC ≤．εn n n C X X X D n X D n nnj i j i nk k n k k 1)),cov(2)((1)(1,11212-+≤+=∑∑∑≤≤== 又由ε的任意性可知01)(112→-+≤∑=εn n n C X D n nk k n ∞→时 由定理2．1．1可知｛X n ｝符合大数定律．2．2．3 {X n }为独立r ．v ．列定理2．2．3 设{ X n }为一列独立的r ．v ．序列，则nS n −→−p0的充分必要条件是(i) ∑=≥nk k n X P 1)(→0；(ii) 21n∑=<nk n X kk I XD 1)(][→0；(iii)n1∑=<nk X kn I XE k 1][→0；证 令Y k =X k I )(n X k <充分性 由Chebushev 不等式，独立性条件(ii)，对ε∀>0，我们有P(n1∑=-nk k kEY Y1)(ε≥)≤2-εn2-∑=nk kYVar 1)(→0因而有n1∑=-nk k kEY Y1)(−→−p由条件(iii)有n1∑=nk kY1)(−→−p0 (2．1)由条件(i)，｛X n ｝和｛Y n ｝尾列等价，由引理1得∑=-n k k n Y n n S 11−→−p再由(2．1)式即得0−→−p nnS ．必要性 设0−→−pn nS ，以k μ表示r ．v ．X k 的中位数，f k 表示X k 的c ．f ．，g n (t)为n S n 的c ．f ，，则由完全收敛性准则g n (t)=∏=→nk k n tf 11)(．设c>1，由命题5．12（）知在每个有限区间［－c ，c ］上g n (t)一致收敛，因此当n 充分大时log )(t g n →0，故由弱对称化不等式及c ．f ．性质6的第二个不等式有21∑∑==≥≤≥-nk nk k k k c n X P c n X P 112)1()1(μ ⎰-≤c n du u g c02)(log 7→0 (n ∞→) (2．2) 又因为nX n ＝111-⋅---n S n n n S n n 0−→−p 所以0→nnμ，注意到c<1，由(2．2)式即得(i)．由c ．f ．的性质8的第一个不等式及g n (t)→1，当n 充分大时2∑=nk k n Y Var 1)(=∑=n k s k n Y Var 1)(≤∑=-n k k e n f R 12)])1((1[3≤－3∑=nk k n f 12)1(log=－3log 2)1(ng n →0 (2．3)因此(iii)成立．由于0−→−p n nS ，由(i)和引理1有∑=−→−n k pk Y n 101，有chebushev不等式和(2．3)式，P(ε≥-∑=nk k k EY Y n 1)(1)∑=→≤nk knY Var 120)(1ε 故0)(11−→−-∑=pn k kk EY Y n 从而∑=n k k EY n 11＝0)(11→-∑=nk k k EY Y n即(i)成立．2．2．4 ｛X n ｝为独立同分布r ．v ．序列．推论2．2．2 若｛X n ｝为独立同分布r ．v ．序列（简记为i ．i ．d ．序列），则0−→−p n nS 的充分必要条件是 (i)＇ nP(n X >1)0→ (ii)＇ EX 1I )(1n X <0→证 我们只要证明(i)能推出定理中的条件(ii)即可．由于｛X n ｝为i ．i ．d ，条件(ii)等价于)(1)(11n X I X D n<→0 (2．4) 事实上，我们由(i)＇可推出01)(211→<n X I EX n(2．5) 这是由于EX )(211n X I <=∑=≤≤-nj j X j I EX 1)1(211∑=<≤-≤nj j X j P j 112)1(∑∑==<≤-≤n j ji j X j iP 111)1(2=2∑∑==<≤-ni nj j X j P i 111)1(=2∑=<≤-ni n X i iP 11)1(∑∑==≥+≤-≥≤ni n i i X ip i X ip 1111)(22)1(2 (2．6)注意到如果a n →0，则∑=nk k a n 110→这一事实，由条件(i)＇和(2．6)式即知(2．5)式成立，从而(ii)成立．如果EX 1存在有限，则EX 1I)(1n X >0→，由Chebyshev 不等式知nP(n X ≥1)≤E[X 1I )(1n X ≥]0→，因此我们可以得到．推论2．2．3 如果｛X n ｝为i ．i ．d ．r ．v ．序列，则1EX nS pn −→−的充分必要条件是EX 1有限．事实上推论2．2．3就是我们所熟悉的辛钦大数定律．上面我们对于推广后大数定律的结论的讨论是遵循一定顺序的，主要是按照随机序列所满足条件的严格性的变化来讨论的，很明显，首先是在任意随机序列的基础上添加一定条件得到格捏坚科定理和伯恩斯坦定理，然后要求随机序列依次满足独立条件和独立同分布条件，得到大数定律的充分条件和充分必要条件．2．3 大数定律的进一步推广定义2．3．1 称r ．v ．序列｛X n ；n 1≥｝是弱稳定的，如果存在常数序列｛a n ｝和｛b n ｝，0<a n ∞↑，使得n n nb Y a -10−→−p(2．3．1) 定义2．3．2 称r ．v ．序列｛X n ；n 1≥｝服从大数定律，如果{S n }是弱稳定的，这里S n =∑=nk k X 1．若记X nk =nka X ，引入组列｛X nk ；k=1，2，．．．，n ，n ＝1，2，．．．｝，可用组列的概念定义大数定律，并且推广一些定理．定义2．3．3 称r ．v ．组列｛X nk ；k=1，2，．．．，k n ，n ＝1，2，．．．｝服从大数定律，如果存在常数列｛b n ｝，使得0−→−-∑pn knkb X换言之，｛X nk ｝服从大数定律，当且仅当存在常数列｛b n ｝，使得nknk b X -∑的分布弱收敛于退化分布D(x)=⎩⎨⎧><0,10,0x x 若 若引入组列的概念后，就可以给出定理2．2．1的更一般的形式．即下述定理．定理2．3．1 独立r ．v ．组列｛X nk ｝满足无穷小条件且0−→−∑p knkX的充要条件是对任给的0>ε和某个0>τ∑→≥knkXP 0}{ε． ∑<knk nkX I XE )}({τ0→． ∑<knk nkX I XD )}({τ0→．我们可把“对任给0>ε和某个0>τ”换作“任给的0>ε和任给0>τ”． 证：3 强大数定律3．1 强大数定律的叙述定义3．1．1 设｛X n ｝为随机变量列，它们都有有限的数学期望E(X n )．如果−→−-∑=..1)]([1s a n k k k X E X n 0则称｛X n ｝满足强大数定律．在独立情形下讨论强大数定律．定理3．1．1 柯尔莫戈洛夫强大数定律 设｛X n ｝是独立随机变量序列，满足∑∞=+∞<12)(k k k D ξ 则强大数定律成立．证明可查看由杨振明编著的《概率论》的P221，本定理的证明用到了概率论中非常重要的截尾法。
集合论中的集合运算律与集合恒等式
集合论中的集合运算律与集合恒等式在集合论中，集合运算律和集合恒等式是研究集合之间关系和性质的重要工具。
本文将介绍并讨论几个常见的集合运算律和集合恒等式，包括并集、交集、差集和补集的运算律，以及集合恒等式的性质和应用。
一、并集运算律并集是指将两个或多个集合中的所有元素都放在一起形成的一个集合。
在集合论中，有以下几个并集的运算律：1. 交换律：对于任意集合A和B，A∪B = B∪A。
即并集运算满足交换律，集合A和B的并集与集合B和A的并集相等。
2. 结合律：对于任意集合A、B和C，(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
即并集运算满足结合律，集合A、B和C的并集可以按照不同的顺序进行运算，结果是相等的。
3. 吸收律：对于任意集合A和B，A∪(A∩B) = A。
即并集运算满足吸收律，集合A和集合A与B的交集的并集等于集合A本身。
二、交集运算律交集是指两个或多个集合中共同包含的元素所构成的集合。
在集合论中，有以下几个交集的运算律：1. 交换律：对于任意集合A和B，A∩B = B∩A。
即交集运算满足交换律，集合A和B的交集与集合B和A的交集相等。
2. 结合律：对于任意集合A、B和C，(A∩B)∩C =A∩(B∩C)。
即交集运算满足结合律，集合A、B和C的交集可以按照不同的顺序进行运算，结果是相等的。
3. 吸收律：对于任意集合A和B，A∩(A∪B) = A。
即交集运算满足吸收律，集合A和集合A与B的并集的交集等于集合A本身。
三、差集运算律差集是指一个集合中去除另一个集合中的元素所得到的集合。
在集合论中，有以下几个差集的运算律：1. 非交换律：对于任意集合A和B，A-B ≠ B-A。
即差集运算不满足交换律，集合A减去集合B得到的差集与集合B减去集合A得到的差集一般不相等。
2. 结合律：对于任意集合A、B和C，(A-B)-C = A-(B∪C)。
即差集运算满足结合律，集合A减去集合B再减去集合C的结果与集合A减去集合B与C的并集的结果相等。
hahn-banach.定理
Hahn-Banach 定理是泛函分析领域中一个非常重要且深刻的定理，它是由德国数学家 Hans Hahn 和 Stefan Banach 在20世纪初提出，并在后来的发展中得到完善和推广。
该定理主要用于研究泛函空间中的超平面和支撑超平面的性质，为泛函分析中的许多基本问题提供了重要的工具和方法。
在介绍 Hahn-Banach 定理之前，首先需要了解一些基本概念。
泛函分析是数学中的一个分支，它研究的是无限维空间中的向量和函数的性质，是实分析和线性代数的结合。
在泛函分析中，一个重要的概念就是泛函空间，它是一个线性空间，其元素是函数或者算子，通常被定义在某个定义域上。
而超平面和支撑超平面则是泛函空间中的重要概念，它们在研究空间分离性、可分性、极值性等方面起着关键作用。
接下来，我们将介绍 Hahn-Banach 定理的内容和证明过程：1. 定理内容Hahn-Banach 定理主要讨论的是泛函空间中的超平面和支撑超平面的性质。
具体来说，设 X 是实或复线性空间，p 是 X 上的一个次线性泛函，M 是 X 的子空间且 f 是 M 上的线性泛函，如果 f 的模不超过 p的模，即|f(x)| ≤ p(x) 对所有x ∈ M 成立，那么可以把 f 扩张到 X 上的一个泛函 F，使得 F 的模不超过 p 的模。
即存在 F 属于 X*（X 的对偶空间）且 F 的模不超过 p 的模，使得 F 对于 M 上的元素和 f 完全相同。
2. 定理证明Hahn-Banach 定理的证明是基于 Zorn 引理和 Zorn 引理的等价形式。
Zorn 引理是集合论中一个非常重要的命题，它断言每个非空的偏序集合中的每个链都有上界，则这个偏序集合中存在极大元素。
利用 Zorn 引理，我们可以证明存在一个线性泛函 F，满足 F 属于 X*，并且 F 的模不超过 p 的模。
证明思路主要是利用 Zorn 引理构造出泛函 F 的集合，然后证明这个集合中存在一个最大的泛函 F。
实变函数(程其襄版)第一至四章课后习题答案
.
3.集合相等
若集合A和B满足关系：A B且B A,则称A和B相等，记为A=B.
例9 设 在R上定义，且在R上有上界M，则 R={ ： M}={ ： M+1}
例10 若 在[a,b]上连续，则由连续函数的性质， ，其中
1.集合的表示
一个具体集合A可以通过例举其元素 来定义，可记
也可以通过该集合中的各个元素必须且只需满足的条件p来定义，并记为
A={x：x满足条件p}
如例1可以表示为｛4，7，8，3｝例3可以表示为
设A是一个集合，x是A的元素，我们称x属于A，记作 ，x不是A的元素，记作 。
为方便表达起见， 表示不含任何元素的空集，例如
(1)单射:对任意 ,若 ,使得 ;
(2)满射:对任意 ,存在 ,使得 .
则称A和B对等,记为 ,规定 .
例1 我们可给出有限集合的一个不依赖与于元素个数概念的定义:集合A称为有限合,如果 或者A和正整数的某截断 对等。
注：有限集合的一个不依赖与于元素个数概念的定义，例如A的总个数与正整数的某个截断相对应。
实变函数论建立在实数理论和集合论的基础上，对于实数的性质，我们假定读者已经学过，所以本书只是介绍集合论方面的基本知识。
§1 集合的表示
集合是数学中所谓原始概念之一，不能用别的概念加以定义，就目前来说，我们只要求掌握一下朴素的说法：
在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称作一个集合，其中每一个个体事物叫做该集合的元素。
{ ： >1}=
习惯上，N表示自然数集，（本书中的自然数集不包含0），Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.
泛函分析
《泛函分析》题库建设填空题（120个空）一、填空题（120个空）1、在度量空间],[d X 的定义中，X 不等于 集，距离d 应满足 ； ； 三个条件，度量空间X 的完备的充要条件是 。
2、设Y X ,是两个线性空间，若存在X 到Y 的双射T 满足条件： ； ；则称T 为X 到Y 同构映射，这时Y X ,两个空间 同构。
3、在赋范线性空间X 中，对于X 中的任意两个元素y x ,，由范数导出的距离=),(y x d ；完备的赋范线性空间称为 空间。
4、设Y X ,是两个赋范线性空间，T 是X 的线性子空间)(T D 到Y 中的线性算子，集合}),(|),{()(Tx y T D x y x T G =∈=称为线性算子T 的 。
如果)(T G 是Y X ⨯中的闭集，则称T 是 算子。
5、设X 施一个内积空间，若X y x ∈,，则y x 与直交的充要条件是 ；若X N X x ⊂∈,，则x 与N 直交的充要条件是 ；若X N M ⊂,，则N M 与直交的充要条件是 。
6、在离散空间X 中，y x ,两点的距离=),(y x d ；],[b a C 空间中两点y x ,的距离=),(y x d ；在有界函数空间)(A B 中，两点y x ,的距离=),(y x d ；7、巴拿赫空间中的基本定理有 定理； 定理； 定理； 定理。
8、在复内积空间X 中，内积具有如下三个基本属性① ；② ；③ ；9、设Y X ,是两个线性空间，T 是X 的线性子空间)(T D 到Y 中的映射，若)(,T D y x ∈∀以及数α满足① ；② ；则称T 为)(T D 到Y 中的线性算子，)(T D 称为T 的 ；Y 称为T 的 域。
10、设),(d X 为度量空间，X x ∈0，集合}),(,|{0ε<∈x x d X x x 称为 ；又若X M ⊂，则),()(sup ,y x d M My x ∈=δ称为 ；若+∞<)(M δ，称M 为 集。
实变函数参考答案
习题1解答（A 组题）一、选择题1、C ；2、A ；3、D ；4、C ；5、C ；6、A ；7、A ；8、B ；9、D ；10、C 二、判断题1、×；2、×；3、×；4、×；5、√；6、×；7、×；8、×；9、×； 10、× 三、填空题1、＝；2、∅；3、()0,1；4、[]1,1-；5、,EF EF ；6、()2,3-；7、≥；8、c9、设有两个集合A 和B ，若≤A B ，≥A B ，则=A B 。
四、证明题1、（1）()()()()()\\====C C CC A A B A A B AAB A A AB A B ；（2）()()()()()()\\==C C CC A B CD A B CD A C B D()()()()\==CA C BD A C BD 。
2、111\lim \∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C Cn n n n n N n N N n N N n N A B A B A B AB ()111lim(\)∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C C C n n n n n N n N N n N N n N A B A B A B A B 。
同理可证第2个集合等式。
3、当A =∅时，{}∅张成的环和σ-环均为它自身；张成的代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A X =时，{}X张成的环、σ-环、代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A 为X 的非空真子集时，{}A 张成的环和σ-环均为{},A ∅；张成的代数和σ-代数均为{},,,cA A X∅。
4、首先，令()()tan 12π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦f x x ，由于()f x 是()0,1上的严格单调递减的连续函数，且()()()0,10,=+∞f，所以()f x 是()0,1到()0,+∞的一一映射。
nullstellensatz定理
nullstellensatz定理，又称为零点定理，是代数几何学中的一个重要定理。
它描述了代数闭域上的多项式环的结构和理想的关系，从而在代数几何学和交换环论中发挥着重要作用。
它的证明融合了代数和几何的方法，深刻而美妙，对于理解代数几何学的核心思想具有极其重要的意义。
nullstellensatz定理的内容非常深刻，它表明了代数闭域上的多项式环与代数闭域上的代数集之间存在着一种紧密的联系。
几何上来看，nullstellensatz定理告诉我们一个多项式在代数闭域上有零点当且仅当它在对应的代数集上为零。
这种联系的建立，使得我们可以从代数的角度来研究几何问题，从而拓展了几何学研究的范围和深度。
这个定理的发现和证明过程也是非常有意思的。
早在19世纪，代数几何学家们就对这个问题进行了探索，其中包括高斯、赫尔姆霍兹、魏尔斯特拉斯等杰出数学家的努力。
这个定理的完整表述和证明则要追溯到20世纪初，由德国数学家埃米尔·诺特（Emmy Noether）给出。
她在证明nullstellensatz定理时，使用了交换环理论的方法，凭借出色的代数技巧和几何直觉，最终完成了这个重要的定理。
nullstellensatz定理的重要性不仅在于它本身的深刻，更在于它在代数几何学和其他数学领域的深远影响。
它为代数几何学提供了一种新的工具，使得代数和几何之间的联系变得更加紧密。
通过nullstellensatz定理，我们可以更好地理解代数几何学中的零点、代数集、素谱等基本概念，对于研究代数几何学有着非常重要的指导作用。
在实际应用方面，nullstellensatz定理也有着重要的意义。
它在求解多项式方程组的正整数解、数论中的一些定理证明等方面都有着广泛的应用。
其深刻的结论和丰富的内涵，使得它成为了代数几何学中不可或缺的一部分。
nullstellensatz定理是代数几何学中的一个核心定理，其深刻的内容和广泛的应用价值使得它成为了数学领域中的经典之作。
近世代数学习系列-b2 集合论笔记(续)
近世代数预备知识集合论（续）____对“集合”的一些看法集合可以说是最简单的结构。
或者说简直简单得没有结构。
对于一个抽象的集合（意思是说，我们只知道它是一个集合，其他什么也不知道）来说，它的每个元都是完全一样的，元和元的相互之间也没有任何关系——当然，要说的话还是有那么一点关系，我们总是能判断两个元是否相等。
从这个角度来看，我们关于一个抽象的集合所能知道的唯一信息，就是它的元的“个数”。
这是集合这种“结构”的最重要的“不变量”，也是唯一的不变量。
当然我还根本没有说过所谓“个数”是什么。
OK，那现在我就这样来定义：所谓个数，就是指集合的不变量。
讲这话并不是找打。
我们已经定义了集合的“同构”，也就是一一对应（参看前文《映射》）。
所谓“不变量”，当然是指“在同构映射下不变的东西”，于是我们就得到下面的定义：定义。
如果两个集合A和B是同构的（也就是说它们之间存在一一对应），我们就说它们同等。
写做A~ B。
这显然是一个等价关系（参看前文《关系》）。
我们把关于这个等价关系的任意等价类称为个数，或者为了区别于我们的直观，换一个词称做浓度。
对于任意一个集合A，它的浓度当然定义为与A同等的所有集合做成的等价类。
从我们的直观上来说，“部分”的个数要比“全体”的个数来的“小”。
这句话中已经暗示了一个重要的定理。
首先，所谓“部分”当然可以指“子集”。
而鉴于现在我们考虑的同等关系，下面的定义应该是恰当的：定义。
如果存在一个从集合A到集合B的单射f: A→ B（这时A和f( A) 同等），我们就说A比B小。
写做A≤ B。
而所谓的“小”，当然不只是说说就算了。
我们谈论大小的时候在暗默中就假定了一些事，关于这个请参看前文《关系》。
这些“暗默中假定的事”确实成立，这就是下面的定理。
定理。
≤ 是一个偏序关系。
证明。
显然对任意集合A都有A≤ A。
而如果A≤ B，B≤ C，只要考虑映射的合成我们就有A≤ C。
这个定理最主要的部分在于，如果A≤ B且B≤ A，就一定有A~ B。
实变函数论教案第一章
引 言函数论与测度(实变函数论)是一门什么样的课程，它研究的是什么样的问题，这是初学者首先想要知道的事情。
1902年，法国数学家Lebesgue 发表了题为《积分，长度与面积》的博士论文，利用以集合论为基础的“测度”概念建立了所谓的“Lebesgue 积分"，从而形成了一个新的数学分支—实变函数论。
因此实变函数论的核心内容是Lebesgue 积分。
Lebesgue 积分是什么样的积分，它是怎么定义的，它与数学分析课程研究的Riemann 积分有什么不同。
我们先回顾一下Riemann 积分的定义。
定义 设():[,]f x a b R →(实数集）,011:i i n T a x x x x x b -=<<<<<<=（区间[,]a b 的一个分割）。
f 关于T 的Riemann 和1(,)()ni i i R f T f x ξ==∆∑。
其中1[,]i i i x x ξ-∈，1,1,2,,i i i x x x i n -∆=-=。
设1max{}i i nT x ≤≤=∆若存在常数A ，使对[,]a b 的任意分割T ，及任意的1[,]i i i x x ξ-∈1,2,,i n =。
有1lim ()ni i T i f x A ξ→=∆=∑，则称()f x 在[,]a b 上Riemann 可积，A 称为()f x 在[,]a b 上的Riemann 积分.记为()()baA R f x dx =⎰或()baA f x dx =⎰.总而言之，Lebesgue 积分比较Riemann 积分有许多优越之处。
那么，Lebesgue 积分是怎样定义的，下面给出有界函数Lebesgue 积分概念的描述: 设:[,]f a b R →是有界函数,即()A f x B ≤≤，[,]x a b ∈。
设D 是区间[,]A B 的一个分割，011:i i n D A y y y y y B -=<<<<<<=，f 关于D 的Lebesgue 和11(,){:()}ni i i i L f D m x y f x y η-==<≤∑，其中1[,]i i i y y η-∈，1{:()}i i m x y f x y -<≤是点集1{:()}i i x y f x y -<≤的“长度"(在实变函数课程中称为测度）。
伯恩斯坦多项式
i 1 n
1 -范数
1 2
x
2
n 2 xi i 1
2 -范数
类似地，在连续函数空间C[a, b] ，可定 义三种常用的范数如下： -范数 f max f ( x)
a x b
f
f
1
f ( x) dx
a
b f 2 ( x)dx a 1 2
3.1.3 内积与内积空间
定理：设
X
为一个内积空间，对 u, v X
2
有
(u, v) (u, u )( v, v)
成立，该不等式称为Cauchy-Schwarz不等式。 则称 (u, v)为 X 上 u与 v 的内积。定义了 内积的线性空间称为内积空间。 如果 (u, v) 0 ，则称 u 与 v 正交。
n
数逼近问题就是对任何 f C[a, b]，在子空
Bn ( f , x)
有良好的逼近性质，但它收敛太
慢，故实际中很少采用。
伯恩斯坦多项式
更一般地，可以用一组在C[a, b上线性无关 ] 的函数集合 i ( x) 来逼近 f C[a, b]。函 i 0
n
数逼近问题就是对任何 f C[a, b]，在子空 间 span{ 0 ( x),1 ( x),, n ( x)} 中找一个元
k 0
伯恩斯坦多项式
有界，故 Bn ( f , x)是稳定的。至于Lagrange
多项式，由于 | lk ( x) | 无界，因而不能保证
k 0
n
高阶插值的稳定性与收敛性。相比之下。
Bn ( f , x)
有良好的逼近性质，但它收敛太
慢，故实际中很少采用。
abel第二定理
abel第二定理Abel第二定理是数学中一个重要的定理，在代数域论中有很重要的应用。
该定理是由挪威数学家阿贝尔（Niels Henrik Abel）在19世纪提出的。
Abel第二定理是代数基本定理的推广，它是通过使用Galois理论中的一些基本思想证明的。
在代数基本定理中，我们知道每个非常数多项式在复数域上都有一个根。
然而，在代数基本定理中，我们仅仅是考虑了复数域上的多项式。
而在Abel第二定理中，我们考虑了更广泛的域。
具体来说，我们考虑了一个特定的域，即代数闭域。
Abel第二定理的内容是：设F是一个代数闭域，f(x)是F[x]中的一个不可约多项式，g(x)是F[x]中的一个多项式。
如果g(x)不是f(x)的倍式，那么f(x)和g(x)在F[x]中有一个非常数的最大公因式。
换句话说，如果f(x)和g(x)在F[x]中没有公共因子，那么它们的最大公因式不是1。
这个结果非常重要，因为它为我们提供了一种方法来刻画在代数闭域上的多项式环的结构。
Abel第二定理的证明基于一些基本的Galois理论的思想。
具体来说，这个证明涉及到一些关于Galois群和Galois扩张的性质。
这个证明是相当技术性的，因此在这里不能完全展开。
然而，我们可以简单介绍一下证明的大致思路。
首先，我们需要使用代数闭域的性质来保证某些多项式的因子分解存在。
然后，我们需要利用Galois扩张的性质来将问题转化为更简单的形式。
最后，我们使用一些代数基本定理的推广来得到Abel第二定理。
Abel第二定理是一个非常重要的定理，它在代数基本定理的推广中发挥着重要的作用。
该定理的证明基于一些基本的Galois理论的思想，证明过程非常技术性。
该定理为我们提供了一种刻画在代数闭域上的多项式环的结构的方法。
better 定理
better 定理Better定理是数学中的一个重要定理，它是由德国数学家戈特洛布·弗雷格（Gödel Friedrich Ludwig Frege）于19世纪末提出的。
该定理主要讨论了集合论的一些基本概念和性质，并在数学研究中起到了重要的作用。
Better定理的内容涉及到集合的交、并、差、补等运算。
在集合论中，交集指的是两个集合中共有的元素构成的新集合；并集则是将两个集合中的所有元素合并成一个新集合；差集是将一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的新集合；补集是指一个集合中不属于另一个集合的所有元素构成的新集合。
根据Better定理，对于任意的集合A和B，存在如下关系：1. A∩B⊆A，即交集A∩B中的元素都属于集合A；2. A∩B⊆B，即交集A∩B中的元素都属于集合B；3. A⊆A∪B，即集合A中的元素都属于并集A∪B；4. B⊆A∪B，即集合B中的元素都属于并集A∪B；5. A∖B⊆A，即差集A∖B中的元素都属于集合A；6. A∖B∪B=A，即差集A∖B与集合B的并集等于集合A。
通过Better定理，我们可以进一步推导出一些重要的性质。
例如，根据第1条和第2条，我们可以得出A∩B=A或A∩B=B的结论。
这是因为如果交集A∩B中的元素都属于集合A，那么A中的所有元素都属于交集A∩B；同理，如果交集A∩B中的元素都属于集合B，那么B中的所有元素都属于交集A∩B。
因此，当交集A∩B中的元素完全等于集合A或者完全等于集合B时，我们可以得出A∩B=A或A∩B=B的结论。
Better定理还有一些其他的推论，例如：1. A∩B=B∩A，即交集的运算满足交换律；2. A∪B=B∪A，即并集的运算满足交换律；3. (A∩B)∪C=A∩(B∪C)，即交集和并集的运算满足结合律；4. (A∪B)∩C=A∪(B∩C)，即并集和交集的运算满足结合律。
Better定理在数学研究中具有广泛的应用。
它不仅可以用于集合论的证明和推导，还可以用于其他数学分支中的问题解决。
第三章 基数(集合论讲义)
定理 1.1 自然数集 是无限集。
证明：由定义 3.2, 只要证明 不是有限集即可。假设 是有限集，则存在 n ，使得存在双 射 f ：{0,1, 2, , n −1} → 。令 k = 1+ max{ f (0), f (1), , f (n −1)}，显然 k ∈ ，但 对于任意 x ∈{0,1, 2, , n −1} ，有 f (x) ≠ k （ f (x) < k ），与 f 是满射矛盾。所以 不是
集合规模是否相同取决于它们之间是否存在一一映射。
定义 1.1 设 A ， B 是任意两个集合，若存在一个双射 f ： A → B ，则称 A 和 B 等势，或 称 A 和 B 的基数相同，记为 A ∼ B ， A 的基数记为 | A | 。
下面给出有限集和无限集的严格定义。
定义 1.2 设 A 为一个集合，若 A 为空集或与集合{0,1, 2, , n −1} 的基数相同，则称 A 为有 限集。此时，| A |= n ∈ （ A 为空集时，| A |= 0 ），若集合 A 不是有限集，则称 A 为无限
引理 2.1 (Cantor) 对于任何区间[a,b] 和任何实数序列{an}n∈ 来说，存在 c ∈[a, b] ，使得 c 不等于任何 an 。
证明：记 I = [a, b] ，将 I 均分成三个小闭区间，令 I0 为其中第一个不含 a0 的小区间；又将
I0 均分成三个小闭区间，令 I1 为第一个不含 a1 的小区间；继续这种操作，得到闭区间套
由定理 2.1 知，ℵ0 是最小的无限基数，问：是否有最大的无限基数。下面的定理回答这个
问题。
定理 3.5 （Cantor）对于任何集合 A ，必有 | A |<| ρ( A) | 。
关于集合可数的若干证明方法 毕业论文
关于集合可数的若干证明方法[摘 要] 本文主要介绍了有关集合可数的五种证明方法,这些方法是:一.依据定义构造无穷序列证明集合可数;二.依据伯恩斯坦定理通过建立映射证明集合可数;三.通过集合之间取并集来证明有些集合可数;四.用数学归纳法证明集合可数;五.运用转化的思想.通过以上方法的讨论,本文对有关集合可数的证明做了一个比较全面的介绍.[关键词] 可数集;1-1映射;无穷序列１ 引言集合是整个数学理论的基础,可数集是实变函数中的一个最基本的概念,对后续的测度论以及Lebesgue 积分的学习起着很重要的作用而且作为一类最简单的集合在数学的各个分支中也有广泛的应用.基于此判断并证明集合可数便显得尤为重要,虽然可数集合数目众多,种类繁杂,但集合可数的证明方法无分就几类.本文将主要介绍其中常用的五种方法.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些证明方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍解题方法,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明.２ 预备知识定义 2.1[1]设,A B 是两个集合,如果存在二者元素之间的一个对应关系φ,使A 中任意元素x ,通过φ都恰与B 中某一个元素y 对应,而B 中任意的元素y 也一定是A 中某一x 通过φ在B 中的对应元素,则我们就说A 和B 是对等的.记为A B .定义2.2[2] 凡与自然数集对等的集合称为可列集.可列集与有限集统称可数集.定理2.1[3](Cantor —Bernstein) 若**,X Y Y Y X X ⊂⊂ ,则X Y .定理2.2[4] 任何无穷集合必有可数子集.基于以上两个定理,我们给出集合可数的如下两个充分条件.定理2.3 设A 为任意无穷集,X 为一可数集,且存在满射:f X A →,则A 可数.证明 由已知必存在集合M X ⊂,使得f 在M 上的限制是一个双射,即存在集合M X ⊂,使得:f M A →为一个双射,也就是说A M X ⊂ .又由定理 2.2,A 必有可数子集,即存在B A ⊂,且B X ,也就是说X B A ⊂ .从而由定理2.1知A X ,又X N ,故A N 即A 可数. 定理2.4 设A 为任意无穷集,X 为一可数集,且存在单射:f A X →,则A 可数.证明 由已知()f A X ⊂,而:()f A f A →显然为一双射,故()A f A X ⊂ .由定理2.2知A 必有可数子集,即存在B ,使得X B A ⊂ ,因此由定理2.1知A X ,即A 可数.定理2.5[5] 若,A B 都是可数集合,则A B 是可数的.用数学归纳法不难把定理2.7的结论推广到n 个集合的情形,即推论2.1[1] 若对于每一个,(1)i i i n A ≤≤是可数集合,则1nii A = 是可数集合. 下面的定理2.6我们再将结论进一步推广到可数个集合的情形.定理2.6[6] 如果()1,2,3,i A i = 的每一个都是可数集合,则1ii A ∞= 也是可数集合. 3 关于集合可数的一些证明方法以下文中例题选自参考文献[7,8,9,10].3.1 依据定义构造无穷序列证明集合可数依据上面的定义无穷集合可数与可列等价,那么要证明一个无穷集合可数只要找到其元素的一个无穷序列便可.例3.1 全体有理数构成的集合Q 可数.证明 由于任意有理数都可以用分数表示, 我们构造集合集合序列如下,{}{}{}1111222212123123123,,,,,,,,,,,,,,,,,,ii i i i j j j A A A === , 则这些所有集合的全体元素可做排列312121112123,,,,,,,,i j,其排列规则为11排第一位,当2i j +>时,ij 排在第n 位,21i j k n j k +-==+∑, 将上述排列中的重复元素只取其一个最简形式,便可得到一个全体有理数的无穷序列为,3121111213,,,,,,,i j,故而由定义可知全体有理数构成一可数集. 例3.2 证明直线上以有理数为端点的区间全体所组成的集合可数.证明 设直线上的全体有理点为12,,,,n a a a ,令(,)(,)ij i j i j A a a i j a a =≠<,则{}ij A 中的元素可排列如下：1213141,,,,,n A A A A ,23242,,,,n A A A , 343,,,n A A ,将以上排列重排成无穷序列如下：1213232434123,,,,,,,,n n n A A A A A A A A .故{}ij A 可数.例3.3 证明整数集可数.证明 整数集中的元素可做如下无穷序列:0,1,1,2,2,3,3,--- ,故整数集可数.根据定义构造无穷序列来证明集合可数的方法关键在于构造无穷序列,而这其中是有很多技巧的,还要通过多做练习,细加揣摩,还有多注意总结前人的经验才能掌握.3.2 依据伯恩斯坦定理通过建立映射证明集合可数例3.4 直线上互不相交的开区间构成的集合可数.证明 记直线上互不相交的开区间构成的集合为F ,建立有理数集Q 到M 的映射如下,(),(,)Y f x x Y Q Y =∈∈ 其中F ,对于任意的Y ∈F ,由有理数的稠密性知,存在x Y Q ∈ ,即存在x ,使得()f x Y =,故:f Q →F 是一个满射,从而根据定理2.3,F 可数.例3.5 若直线上的集合E 的任意两点间的距离大于１,则集合E 可数.证明 用点0,1,2,3,±±± 将直线分成可数个闭区间.易知每一个闭区间至多含有已知集合E 的一个点,因而在集合E 中的点到闭区间之间存在一个单射,故集合E 可数.例3.6 直线上的集合A 称为离散集是指,对任意给定的x A ∈,存在0δ>使得(;)U x δ 与A 不相交,即x 不是A 的聚点.求证直线上的离散集为可数集.证明 依据题意,,,,x x x A a b Q ∀∈∃∈使得(,){}x x a b A x = .于是我们可以建立如下这般映射 :(,)x x f x a b →,其中,x x a b 满足(,){}x x a b A x = .易见f 是一单射,而{}(,)|,x x x x a b a b Q ∈是可数集.从而根据定理2.4知集合A 是可数集.例3.7 函数()f x 的真正极值是指,对于定义域内一点0x ,如果存在0δ>,使0()()f x f x <对 于任意(;)x U x δ∈ 均成立,则称0()f x 为函数()f x 的真正极大值,相应的称0x 为()f x 的真正极大值点.设:f R R →为实函数,令{}()|M f x x R f =∈为的真正极大值点,则M 为一可数集.证明 设x 为f 的真正极大值点,选区间(,)x x αβ,使得(,),,x x x x x αβαβ∈为有理数且对于任意的(,),x x u u x αβ∈≠,有()()f u f x <,.由真正极大值的定义知映射:,()(,)x x M Q Q y f x φαβ→⨯= ,为单射.于是由定理2.4M 为一可数集.此法主要建立在伯恩斯坦定理的基础之上,根据集合对等的定义,通过建立映射来证明集合可数.集合对等的定义中要求两个集合之间存在双射,此方法在伯恩斯坦定理的基础之上得到两个定理,并通过此二定理将集合可数的条件减弱为单射或满射.映射是数学中的一个基本的概念,在数学的各个分支中均可看见映射的踪影,映射也是一个大家都很熟悉的概念,因此在证明集合可数时不妨试试建立映射.此法的关键是建立合适的映射.3.3 通过集合之间取并集来证明有些集合可数.例3.8 证明平面上坐标为有理数的点组成可数集合.证明 首先记平面上坐标为有理数的点组成的集合为E ,将（－∞,＋∞）中有理数全体排列起来12,,,,n a a a .记横坐标为n a ,纵坐标为有理数的点的全体构成的集合为n A ,显然1n n E A ∞== ,而且易知(1,2,)n A n = 为可数集合,故E 为可数集合.例3.9 所有系数为有理数的多项式组成一个可数集.证明 记所有系数为有理数的多项式组成的集合为A ,记1n -次有理系数多项式为 12121n n n n a x a x a x a ---++++ ,（0n a ≠）.由于多项式由其系数所唯一确定,因此所有1n -次有理系数多项式组成的集合可记为{}1,2(,,);0n n i n A a a a a Q a =∈≠ 且令{}12(,,,);n n i B b b b b Q =∈ ,易知n B 可数.建立映射,:()n n f A B f x x →=显然这是一个单射,于是由定理2.4n A 可数.又1n n A A∞== ,故A 可数.例3.10 全体代数数所组成的集合可数.证明 首先我们基于这样一个事实,对于任意给定的自然数,n 全体n 次整系数多项式所组成的集合可数.由代数学知识可知,n 次多项式至多有n 个根.从而对于任意自然数n ,所有n 次整系数多项式的全体根所组成的集合可数,记为n E .令1n n E E∞== ,易知E 即为全体代数数所组成的集合.而且易见E 可数.例3.11 当g 取遍所有正整数时,所有g 进制有限小数组成一可数集.证明 记所有g 进制有限小数组成的集合为E ,下证E 可数.对于任意的给定的g ,g 进制有限小数全体显然组成可数集记为g E ,则1g g E E∞== ,由定理2.6知E 为一可数集.数学中有这么一句话,所谓的复杂问题只不过是简单问题的组合而已.这句话说得有一点夸大,但是对我们处理有些数学问题还是有一些启示的.比如在证明集合可数时,当我们没有办法证明一个比较复杂的集合可数时,不妨把它分解成很多个（当然不能超过可数多个）简单集合的并集,再证明每一个简单集合可数,从而根据定理说明并起来的复杂集合也是可数的.当然分解的时候至多分解为可数多个简单集合.此法的关键是找出合适的简单集合,使之并起来为所要证明的复杂集合.这部分主要是利用定理2.5、2.6以及推论2.1采用分解之法,其它化复杂为简单之法将在3.5有所体现.3.4 用数学归纳法证明集合可数例3.12 n 维空间中以有理数为坐标的点构成的集合可数.证明 记{}12(,,,,);,1,2,n n i A x x x x Q i =∈= .当1n =时,1A Q =是可数集合,命题成立.假设n k =时命题成立,即k A 可数,我们将其表示成无穷序列的形式,{}12,,,,k k k k n A a a a = ,其中每一个k i a 是一个k 维向量.给每一个k i a （1,2,i = ）添加一个有理数坐标便可以将其扩展成一个1k +维向量,当添加的坐标取遍所有理数时,每一个k i a 被扩展成可数个1k +维向量,我们将这可数个1k +维向量组成的集合记为i B ,易见11k i i A B ∞+==,故1k A +可数.综上,由归纳法原理,对于任意自然数n ,n A 可数.原命题成立.例3.13 可数集合的所有有限子集所组成的集合可数.证明 记A 为一可数集合,则A 可以表示为12{,,,}n a a a ,记12{,,,}i i i i n E e e e = ,其中对于任意(1)j j n ≤≤,ij e 是A 的i 元子集,用E 表示A 的所有有限子集所组成的集合,则显然1ni i E E == .下面用数学归纳法证明对于任意n ,n E 可数,从而证明E 可数.首先112{{},{},,{},}n E a a a = 显然可数.假设n E 可数,下证1n E +可数,1n E +中的元素可以按照这样的方式构成,给n E 中的每一个元素集添加一个元素.即nj n e E ∀∈给nj e 添加一个元素,使之变成11n jn e E ++∈,从这个变换过程还可以看出实际上已经建立了一个从A 到n E 的满射111:;,n n j j j j n f a e a A e E +++→∈∈,其中j a 为从n j e 变到1n j e +所添加的那个元素.故1n E +可数.综上根据归纳法原理,对于任意自然数,n n E 可数.其实从以上证明可以看出可数集合的所有可数子集所组成的集合也是可数的.数学归纳法是一个应用很广泛的而又很基本的数学方法,可以说凡是有自然数的地方都可以看到数学归纳法.而在处理与自然数相关的问题时使用数学归纳法也的确会得心应手,需要注意的是数学归纳法基本的三个步骤缺一不可.集合可数的命题中也有很多与自然数相关,尤其是n 维空间的子集,可谓和自然数直接相关,譬如例3.12,因此在证明此类集合可数时数学归纳法也不失为一种可行 之法.3.5 运用转化的思想解决数学问题的基本的思路之一便是将复杂问题转化为简单问题,将陌生问题转化为熟知问题,将未知问题转化为已知问题.在集合可数性的证明中这一方法也可派上用场.我们通过六个例题简单地介绍了此法,转化与化归的思想方法是初等数学的四大思想方法之一,是一个在大的方向上提供思路的方法,并不能提供具体的解题之招,因此具体的转化技巧的掌握还要经过多练习,多揣摩.例3.14 证明定义在整个数轴上的单调函数之间断点所组成的集合可数.证明 不妨设函数()y f x =()x -∞<<+∞为单调增函数,其间断点的全体记为E .由文献[10]知：⑴(,)x ∀∈-∞+∞.0lim ()(0)x f x x f x ∆→+∆=+及0lim ()(0)x f x x f x ∆→-∆=-存在. ⑵x E ∈的充要条件为(0)(0)f x f x +>-.⑶12,x x E ∀∈,若12x x <,则1122(0)(0)(0)(0)f x f x f x f x -<+≤-<+.故每一个x E ∈对应于直线上的开区间((0),(0))f x f x -+.且由⑶可知这样的开区间是互不相交的,因此E 可数.例3.15 设(0,1)E ⊂是无限集,若从E 中任意选取不同的数所组成的无穷项正项级数总是收敛 的,试证明E 可数.证明 如果1(0,)E n -是有限集合的话,则11[(0,)]n E E n ∞==- 是可数集.下面我们用反证法证明1(0,)E n-确实是有限集合. 假定1(0,)E n -是无限集,我们从中选取无穷多个数,记为(1,2)n a n = 则有1n a n>,由于级数11n n ∞=∑发散,从而有级数1n n a ∞=∑发散.这与题设矛盾,因此假设错误,原命题成立,即1(0,)E n -是有限集. 例3.16 设{}I J αα∈是R 上的闭区间族,试证明点集I I J J αααα∈∈⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是可数集.证明 我们通过证明I I J J αααα∈∈⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是离散集进而说明其可数.为叙述方便我们记I I J J J αααα∈∈⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦,假定x 是其聚点.则0,x J δ'∀>∃∈,使得(,)x x x δδ'∈-+.这已经构成矛盾,故J 为离散集.例3.17 由自然数组成且公差也是自然数的等差数列之全体组成的集合可数.证明 等差数列的通项公式为1(1)n a a n d =+-,故每个等差数列由其首项与公差所唯一决定.这样便可在等差数列与二元实数对12(,)x x （其中1x 为其首项,2x 为其公差.）之间建立一个一一映射.记如题所述之集合为E ,则{}1212(,)|,E x x x x N ∈ ,而后者是一个可数集,从而E 可数.例 3.18 若()f x 是R 上的实值函数,集合E 的元素e 满足,()f x 在e 点不连续,但是右极限(0)f e +存在.试证明集合E 可数.证明 令{}|(0)S x R f x =∈+存在.对于任意自然数n ,做{}|0,,(,),|()()|1n E x R x x x x f x f x n δδδ''''''=∈∃>∀∈-+-<使得.则显然,1n n E ∞= 是()f x 的连续点集,故1111()n n n n n n n n E S E S E S E S E ∞∞∞∞====⎡⎤=-===-⎢⎥⎣⎦ C C ,从而只需指出(1,2,3,)n S E n -= 是可数集即可.任意取定一个n ,并设n x S E ∈-,则存在0δ>,使得1|()(0)|,2f x f x n'-+<对于任意 (,)x x x δ'∈+成立.从而当,(,)x x x x δ'''∈+时,就有|()()|1f x f x n '''-<.这说明(,)n x x E δ+⊂,也就是说n S E -中每一个点x 都可以作为左端点构成开区间(,)x I x x δ=+,且x I 与n S E -不相交.因此当12,n x x S E ∈-且12x x ≠时,我们有12x x I I =∅ .其实,我们记12111222(,),(,)x x I x x I x x δδ=+=+,且不妨假定12x x <,若1211x x x δ<<+,则12x x I ∈,故1()x n I S E -≠∅ ,矛盾.所以211x x δ≥+因此12x x I I =∅ .于是区间族{}|x n I x S E ∈-是可数集.我们可以建立n S E -到区间族{}|x n I x S E ∈-的满射为()x f x I =,故由定理2.3n S E -是可数集.例3.19 ()f x 是(,)a b 上的实值函数,(,)x X a b ∈⊂满足'()f x -及'f +均存在,但''f f -+≠.试证 明集合X 可数.证明 令{}''(,)|()()A x a b f x f x +-=∈<,{}''(,)|()()B x a b f x f x +-=∈>.则只需证明,A B 为可数集即可.下面证明A 为可数集,对于B 则情形与A 类似,同理可得.对任意的x A ∈,取有理数x r 满足''()()x f x r f x +-<<.再取x s 及x t ,x x a s t b <<<,使得()(),x x f y f x r s y x y x -><<-,以及()(),x x f y f x r x y t y x-<<<-,合并这两式我们便可以得到 ()()()x f y f x r y x -<-,其中y x ≠且x x s y t <<.我们依此便可以建立从A 到3Q 的映射如下 :(,,)x x x f x r s t →,下证其为单射,从而说明A 是可数集.任取12,x x A ∈,假定向量111222(,,)(,,)x x x x x x r s t r s t =,则区间1122(,)(,)x x x x s t s t =且均含有1x 及2x 于其内,于是我们有以下二式12121()()()x f x f x r x x -<-,21212()()()x f x f x r x x -<-.而12x x r r =,故得矛盾.这说明f 确系一单射.例3.20 设:(,)f a b R →为凸函数,则f 的不可导点组成一可数集.证明 :(,)f a b R→为凸函数,故对于任意的1212,(,),x x a b x x ∈<,由文献[11]有 1212()()()()f x f x f x f x x x x x--≤--. 此外对22x x x '<<由文献[11]有 22222()()()()f x f x f x f x x x x x'--≤'--. 再由222()()f x f x x x '-'-是2x '的增函数,故而由文献[10]知 2222()()()()()lim x x f x f x f x f x f x x x x x+++'→'--'=≤<+∞'--. 同理,()f x -'存在且满足()()f x f x -+''-∞<≤<+∞.根据例3.19的结论便有(,)a b 上的凸函数之不可导点的集合为可数集.应用本文所介绍的方法,简单的集合可数问题的证明就可以顺利解决了.最后一部分主要是体现转化的思想.一个集合的可数性不容易证明时,不妨转化为另一个集合.集合可数的证明有方法很多种,在处理问题时需要根据具体问题选取合适的方法.而且更多的时候用一种方法是很难凑效的,而需要综合好几种方法.例如例 3.12总体是数学归纳法,但同时也用到了集合取并集.总之注意多积累、多揣摩、多总结.参考文献[1] 江泽坚,吴智泉.实变函数论[M].北京:高等教育出版社,2003.12-13.[2] 胡适耕.实变函数[M].北京:高等教育出版社,1999.10-17.[3] 徐森林.实变函数论[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2006.23-24.[4] 周民强.实变函数论[M].北京:北京大学出版社,2004.19-21.[5] H.L.Royden.Real Analysis,Third Edition[M]. 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Through discussion about the above methods, this paper makes a comprehensive introduction about the proof of the countability of the set. Key words: Coutable set; One-to-one maping; Infinite sequence。
hahn-banach.定理 -回复
hahn-banach.定理-回复【Hahn-Banach定理】是数学分析中的一项重要定理，它在泛函分析中起到了关键的作用。
该定理是由德国数学家Hans Hahn和波兰数学家Stefan Banach独立发现的，因此被称为Hahn-Banach定理。
Hahn-Banach定理为泛函分析的研究提供了基础，广泛应用于许多领域，如函数分析、泛函微积分和最优化等。
本文将一步一步回答关于Hahn-Banach定理的问题，以便更好地理解它的含义和应用。
首先，我们需要明确Hahn-Banach定理的基本概念和背景知识。
Hahn-Banach定理属于泛函分析中的线性算子理论，它主要涉及线性泛函和线性空间的问题。
线性泛函是指将一个线性空间中的向量映射到实数或复数的函数，而线性空间是指满足线性性质的集合。
在泛函分析中，我们通常研究的对象是线性空间上的线性泛函。
接下来，我们来介绍Hahn-Banach定理的主要内容。
Hahn-Banach定理可以分为几个不同的版本，但它们的核心思想相同。
这些版本包括有界线性泛函版本、单返回线性泛函版本和凸分离定理版本。
在本文中，我们重点讨论有界线性泛函版本。
有界线性泛函版本的Hahn-Banach定理主要有两个重要结果。
首先是有界线性泛函的延拓性质，即给定一个定义在一个线性子空间上的有界线性泛函，我们可以将它延拓为整个线性空间上的有界线性泛函。
延拓是指在保持泛函的线性性质和有界性质的同时，将定义域扩展到整个空间。
其次是分离性质，即给定两个不交的凸集合，我们可以通过一个有界线性泛函将它们分离开。
凸集合是指对于集合中的任意两点，连接这两点的线段上的所有点也都属于该集合。
分离是指通过一个线性泛函，将两个凸集合分离开来，即一个集合在泛函值小于等于某个常数时，而另一个集合在泛函值大于等于该常数时。
我们继续解答下一个问题，即为什么Hahn-Banach定理具有重要性。
Hahn-Banach定理为泛函分析提供了一个重要的工具，它解决了许多关键问题，如线性泛函的延拓、凸分离和存在性等。