备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题13导数与函数的单调性问题(原卷版)
数学黄金答题模板
导数的简单运算一、基本导数公式①x x cos 'sin =）（；x x sin )'(cos -= ②）＞（01)'(ln x x x =，），且＞，＞（）（100ln 1'log ≠=a a x ax x α ③xxe e ='）（，），且＞（）（10ln '≠=a a a a a xx二、导数的四则运算法则①）（）（）（）（）（）（）（x f x f x f x f x f x f v u v u n n ''']'['''2121+⋯⋯++=+⋯⋯++⇒+=± ②为常数）（）（）（c cv cv v c cv u v vu uv '''''''=+=⇒+=③）（）（0'''2≠-=v v uv vu v u解三角函数的步骤步骤一、化简1.处理像x 2cos 或）（6sin 2π-x 这样的部分 (倍半，降升幂） 2.处理）（），（x x --ππsin 2sin这种形式的东西 （诱导公式）3.特殊角意识4.和差公式步骤二、答题空间位置关系的证明方法（1）线面平行：α∥αα∥a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂，α∥ββ∥αa a ⇒⎭⎬⎫⊂，α∥αββαa a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥.（2）线线平行：b a b a a ∥βαβα∥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂ ，b a b a ∥αα⇒⎭⎬⎫⊥⊥，b a b a ∥γβγαβ∥α⇒⎪⎭⎪⎬⎫== ，b c c a b a ∥∥∥⇒⎭⎬⎫.（3）面面平行：β∥αβ∥β，∥αα，⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂b a O b a b a ，β∥αβα⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ， γ∥αβ∥γβ∥α⇒⎭⎬⎫.（4）线线垂直：b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα.（5）线面垂直：ααα，⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⊂⊂l b l a l O b a b a , ，βα，βαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⊥a l a a l ，βαβ∥α⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a ，αα∥⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a .（6）面面垂直：βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a ，βααβ∥⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a .圆锥曲线的求解方法一、轨迹方程的求解第一步：建系设点，依据题意建立适当的坐标系，设出动点坐标，例如M （x,y ）第二步：明确点M 的变化因素，利用距离、斜率、中点等题目中的要求列出等量关系，注意联系所学过的曲线定义。
2017年高考通关讲练导数(数学(文))：三、函数的单调性与导数 含解析
三、函数的单调性与导数考纲要求1．了解函数的单调性和导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．命题规律利用导数研究函数的单调性是高考考查的重点，具体形式为: (1）利用导数求函数（函数中常含有参数）的单调区间，或由函数的单调性求参数的取值范围。
一般以解答题的形式出现，有时也出现在选择题或填空题中.（2)利用函数的单调性比较大小、证明不等式、判断函数零点个数等，题目综合性强，有一定的难度，一般以解答题的形式出现.1．函数的单调性与导数的关系一般地，在某个区间(a，b）内：①如果()0f x'>，函数f （x）在这个区间内单调递增;②如果()0f x'<，函数f (x)在这个区间内单调递减；③如果()=0f x',函数f （x)在这个区间内是常数函数．2．单调性的应用（1）在某个区间内，()0f x'<）是函数f (x）在此区间内单调f x'>(()0递增（减）的充分条件，而不是必要条件。
例如,函数3=在定f x x()义域(,)-∞+∞上是增函数，但2'=≥。
()30f x x(2)函数f （x）在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是()0f x'≤）f x'≥(()0在（a,b)内恒成立，且()f x'在（a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0f x'=,不影响函数f （x)在区间内的单调性。
如图所示是函数f (x)的导函数f ′（x)的图象,则下列判断中正确的是A．函数f (x）在区间（−3，0)上是减函数B．函数f (x)在区间(−3，2)上是减函数C．函数f (x）在区间（0,2）上是减函数D．函数f （x)在区间(−3，2)上是单调函数【答案】A【解析】由导函数的图象易判断在区间（−3,0）上f ′(x)〈0，所以f （x)在(−3，0)上单调递减，故选A。
导数与函数的单调性解析与归纳
导数与函数的单调性解析与归纳导数与函数的单调性在微积分中占据着重要的地位，它们能够帮助我们更深入地了解函数的性质。
本文将围绕导数与函数的单调性展开讨论，并对其中的解析与归纳进行详细阐述。
一、导数的定义与计算方法函数的导数可以理解为函数在某一点上的变化率。
导数的定义可以用极限来表达，即函数在某点处的导数等于该点附近的函数值变化量与自变量变化量的比值，在数学中可以表示为：\[ f'(x) = \lim_{{\Delta x\to 0}}\frac{{f(x+\Delta x)-f(x)}}{{\Delta x}} \]具体计算导数的方法有多种，如基本的导数运算法则、链式法则、高阶导数等。
这些计算方法能够帮助我们在具体问题中快速求得函数的导数。
二、导数与单调性的关系函数的单调性指的是函数在定义域上的增减性质。
导数与函数的单调性有着密切的联系，具体而言，函数在某一区间上单调递增的条件是其导函数大于零，而单调递减的条件是导函数小于零。
通过导数的符号变化，我们可以判断函数的单调性。
三、导数与函数单调性的解析和证明为了判断函数的单调性，我们需要分析函数的导数在定义域内的符号变化。
具体解析单调性的方法有以下几个步骤：1. 求得函数的导数；2. 找出导数的零点，即导数为零的点，这些点即为函数可能改变单调性的位置；3. 针对导函数的零点，作出符号变化表，利用导函数的符号变化可以得出函数的单调性。
举个例子，考虑函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，我们可以按照上述步骤解析其单调性：1. 求导得到 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$；2. 根据 $f'(x) = 0$，我们可以解得导数的零点为 $x_1 = 1-\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}$ 和 $x_2 = 1+\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}$；3. 绘制导数的符号变化表：\[\begin{array}{ccccc}x & (-\infty, x_1) & x_1 & (x_1, x_2) & x_2 \\f'(x) & \text{负} & 0 & \text{正} & \text{负} \\\end{array}\]根据符号变化表可以得出函数在 $(-\infty, x_1)$ 单调递减，在 $(x_1, x_2)$ 单调递增，在 $(x_2, +\infty)$ 单调递减。
利用导函数解决函数单调性问题
利用导函数解决函数单调性问题函数在数学中是一个非常重要的概念，在数学中广泛应用。
在学习函数的过程中，其中一个特性就是函数的单调性。
函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
利用函数的导数可以帮助我们解决函数的单调性问题，本文将从导数的概念入手，依次介绍如何通过导数判断函数的单调性。
一、导数的概念首先，我们需要了解导数的概念。
在数学中，导数是函数在某一点的变化率。
可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。
常见的记作方式为f'(x)，表示函数f(x)在x处的导数。
二、导数与函数单调性的关系导数与函数的单调性之间有着密不可分的联系。
一般来说，在函数的单调性问题中，我们需要判断函数的导数是否大于等于0或小于等于0，从而来判断函数的单调性。
1.导数大于0的函数如果一个函数在其定义域内的任意一点处的导数大于0，则说明该函数在该点左侧是单调递增的，在该点右侧是单调递减的。
换言之，如果一个函数在每个点的导数都大于0，则该函数是单调递增的。
2.导数小于0的函数如果一个函数在其定义域内的任意一点处的导数小于0，则说明该函数在该点左侧是单调递减的，在该点右侧是单调递增的。
换言之，如果一个函数在每个点的导数都小于0，则该函数是单调递减的。
3.导数等于0的函数如果一个函数在其定义域内的任意一点处的导数等于0，则需要进一步分析该点的特性。
如果该点左侧的导数小于0，右侧的导数大于0，则该函数在该点达到局部最小值；反之，如果该点左侧的导数大于0，右侧的导数小于0，则该函数在该点达到局部最大值。
如果该点左右两侧的导数符号相同，则该点为函数的拐点。
三、使用导数解决函数单调性问题的例题下面我们通过一个例题来演示如何利用导数解决函数单调性问题。
例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 12x + 5，求函数f(x)的单调区间。
解题思路：1.首先求函数f(x)的一阶导数：f '(x) = 6x^2 - 12 。
2.分析一阶导数的符号：当6x^2 - 12 > 0时，即x^2 > 2，x > sqrt(2)或x < -sqrt(2)时，f(x)单调递增。
数学黄金答题模板
导数的简单运算一、基本导数公式①x x cos 'sin =）（；x x sin )'(cos -= ②）＞（01)'(ln x x x =，），且＞，＞（）（100ln 1'log ≠=a a x ax x α ③xxe e ='）（，），且＞（）（10ln '≠=a a a a a xx二、导数的四则运算法则①）（）（）（）（）（）（）（x f x f x f x f x f x f v u v u n n ''']'['''2121+⋯⋯++=+⋯⋯++⇒+=± ②为常数）（）（）（c cv cv v c cv u v vu uv '''''''=+=⇒+=③）（）（0'''2≠-=v v uv vu v u解三角函数的步骤步骤一、化简1.处理像x 2cos 或）（6sin 2π-x 这样的部分 (倍半，降升幂） 2.处理）（），（x x --ππsin 2sin这种形式的东西 （诱导公式）3.特殊角意识4.和差公式步骤二、答题空间位置关系的证明方法（1）线面平行：α∥αα∥a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂，α∥ββ∥αa a ⇒⎭⎬⎫⊂，α∥αββαa a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥.（2）线线平行：b a b a a ∥βαβα∥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂ ，b a b a ∥αα⇒⎭⎬⎫⊥⊥，b a b a ∥γβγαβ∥α⇒⎪⎭⎪⎬⎫== ，b c c a b a ∥∥∥⇒⎭⎬⎫.（3）面面平行：β∥αβ∥β，∥αα，⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂b a O b a b a ，β∥αβα⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ， γ∥αβ∥γβ∥α⇒⎭⎬⎫.（4）线线垂直：b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα.（5）线面垂直：ααα，⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⊂⊂l b l a l O b a b a , ，βα，βαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⊥a l a a l ，βαβ∥α⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a ，αα∥⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a .（6）面面垂直：βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a ，βααβ∥⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a .圆锥曲线的求解方法一、轨迹方程的求解第一步：建系设点，依据题意建立适当的坐标系，设出动点坐标，例如M （x,y ）第二步：明确点M 的变化因素，利用距离、斜率、中点等题目中的要求列出等量关系，注意联系所学过的曲线定义。
利用导数求函数的单调性-高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第六篇函数与导数专题02利用导数求函数的单调性类型对应典例不含参数的函数单调性典例1含参函数中主导函数是一次函数典例2含参函数中主导函数是类一次函数典例3含参函数中主导函数是二次函数（不能因式分解）典例4含参函数中主导函数是二次函数（能因式分解）典例5含参函数中主导函数是类二次函数典例6利用函数单调性求参数取值范围典例7【典例1】已知函数()()1ln f x x a R ax=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行．(1)求实数a 的值，并判断函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x m =有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>．【典例2】已知函数op =−En −.（1）讨论函数op 的单调性.（2）若∀>0，op ≥0，求B 的最大值.【典例3】已知函数ln ()(,)x af x bx a b R x-=-∈.（1）当0b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()f x g x x=在x =e 为自然对数的底）时取得极值，且函数()g x 在(0,)e 上有两个零点，求实数b 的取值范围.【典例4】已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.【典例5】已知函数22()ln f x x ax a x =--.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()0f x ≥，求a 的取值范围.【典例6】已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．【典例7】已知函数()ln ()x e f x x x ax a R =-+∈.（1）若函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）若1a =，求()f x 的最大值.1.已知函数()()22122()2xf x x x e ax a R =-+-∈.（1）当a e =时，求函数()f x 的单调区间；（2）证明：当2a ≤-时，()2f x ≥.2.已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．3.已知函数()()2()1ln 1(0)f x a x x x ax a =++-->是减函数.（1）试确定a 的值；（2）已知数列{}()()*123ln 11n n n n n a a T a a a a n N n +==∈+ ，求证：()ln 212n nn T +<-⎡⎤⎣⎦.4.已知函数()22ln .f x a x x =-()1讨论函数()f x 的单调性；()2当0a >时，求函数()f x 在区间()21,e 上的零点个数.5.已知函数()()ln f x x ax a R =-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1a =-，当0x >时，函数()()()220g x x mf x m =->有且只有一个零点，求m 的值.6.设22(),()11x e f x xe ax g x nx x x a=-=+-+-．（1）求()g x 的单调区间；（2）讨论()f x 零点的个数；（3）当0a >时，设()()()0h x f x ag x =-恒成立，求实数a 的取值范围．7.已知函数2()2ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，当a ≥()()21f x f x -的最大值.参考答案【典例1】【详解】（1）函数()f x 的定义域：()0,+∞，()11112f a =-='，解得2a =，()1ln 2f x x x ∴=+，()22112122x f x x x x -∴=-='令()0f x '<，解得102x <<，故()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减；令()0f x '>，解得12x >，故()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增.（2）由12,x x 为函数()f x m =的两个零点，得121211ln ,ln 22x m x m x x +=+=两式相减，可得121211ln ln 022x x x x -+-=即112212ln 2x x x x x x -=，1212122ln x xx x x x -=，因此1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=令12x t x =，由12x x <，得01t <<.则121111+=2ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=，构造函数()()12ln 01h t t t t t =--<<，则()()22211210t h t t t t -=+-=>'所以函数()h t 在()0,1上单调递增，故()()1h t h <，即12ln 0t t t--<，可知112ln t t t->.故命题121x x +>得证.【典例2】解：（1）函数op 的定义域为(0,+∞)，由op =−En −，得n(p =1−=K，当≤0时，n(p >0，所以函数op 在(0,+∞)上单调递增.当>0时，则∈(0,p 时，n(p <0，函数op 在(0,p 上单调递减；∈(s +∞)时，n(p >0，函数op 在(s +∞)上单调递增.（2）由（1）可知，当<0时，函数op 在(0,+∞)上单调递增，当→0时，op →−∞与op ≥0相矛盾；当=0时，∀>0，op ≥0，所以≤0，此时B =0.当>0时，函数op 在(0,p 上单调递减，函数op 在(s +∞)上单调递增.op min =op =−En −≥0，即−En ≥，则B ≤2−2lno >0).令op =2−2lno >0)，则n(p =o1−2lnp .令n(p >0，则0<<，令n(p <0，则>，当=时，op =2，即当=，=B 的最大值为2.综上，B 的最大值为2.【典例3】【详解】（1）当0b =时，()ln x af x x-=，()()221ln 1ln x x a a x x f x x x ⋅--+-=='，令()0f x '=，得1a x e +=，当()10,ax e+∈时，()0f x '>，当()1,ax e+∈+∞时，()0f x '<.所以函数()f x 在()10,ae+上单调递增，在()1,ae++∞上单调递减.（2）()()2ln f x x a g x b x x-==-，()()2431ln 2122ln x x a xa x x g x x x ⋅--⋅-=='+，∵()g x在x =∴0g '=即1210a +-=，∴0a =.所以()2ln x g x b x =-，()312ln xg x x-'=，函数()g x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，得函数的极大值12gb e=-，∴当函数()g x 在()0,e 上有两个零点时，必有()0,10,2g e b e ⎧<⎪⎨->⎪⎩得2112b e e<<.当2112b e e <<时，210g e b e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭.∴()g x的两个零点分别在区间1e ⎛ ⎝与)e 中.∴的取值范围是211,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭.【典例4】【详解】(1)()f x 的定义域为()()()210,0x ax f x x x，+++∞=>'，对于函数210y x ax =++≥，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立.()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立.()f x ∴在()0,+∞为增函数；②当0∆>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得42a x --<或42a x ->，44022a a --<<，()f x ∴在40,2a ⎛-- ⎪⎝⎭为增函数，44,22a a ⎛--+ ⎪⎝⎭减函数.,2a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭为增函数，当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解20---导数与函数的单调性
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第20讲导数与函数的单调性考向预测核心素养考查函数的单调性，利用函数单调性解不等式，求参数范围，题型以解答题为主，中高档难度.逻辑推理、数学运算一、知识梳理1．函数单调性与导数符号的关系在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减．2．函数值的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．3．判断函数y＝f(x)的单调性的步骤第1步：确定函数的定义域．第2步：求出导数f′(x)的零点．第3步：用f′(x)的零点将函数的定义域分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．常用结论1．“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上单调递增(减)”的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒为零．二、教材衍化1．(人A 选择性必修第二册P 86例2改编)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2，1)上，f (x )单调递增B ．在区间(1，3)上，f (x )单调递减C ．在区间(4，5)上，f (x )单调递增D ．在区间(3，5)上，f (x )单调递增解析：选C.在区间(4，5)上，f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在区间(4，5)上单调递增．2．(人A 选择性必修第二册P 97习题5.3 T 1(2)改编)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则函数f (x )的单调递增区间是________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )≥0，则f (x )在此区间内单调递增．( )(2)在(a ，b )内f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个，则f (x )在(a ，b )内是减函数．( )(3)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内不具有单调性．( )答案：(1)×(2)√(3)√二、易错纠偏1．(求单调区间忽视定义域致误)函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( ) A．(0，1) B.(0，＋∞)C．(1，＋∞) D.(－∞，0)，(1，＋∞)解析：选A.函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)<0，得0<x<1，故f(x)的单调递减区间为(0，1)．2．(求参数范围忽视等号成立致误)若y＝x＋a2x(a>0)在[2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．解析：由y′＝1－a2x2≥0，得x≤－a或x≥a.所以y＝x＋a2x的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)．因为函数在[2，＋∞)上单调递增，所以[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，所以a≤2.又a>0，所以0<a≤2.答案：(0，2]考点一不含参数的函数的单调性(自主练透) 复习指导：直接利用导函数的符号求函数的单调区间．1．当x>0时，f(x)＝x＋4x的单调递减区间是( )A．(2，＋∞) B.(0，2) C．(2，＋∞) D.(0，2)解析：选 B.令f ′(x )＝1－4x 2＝（x －2）（x ＋2）x2<0，则－2<x <2，且x ≠0.因为x >0，所以x ∈(0，2)，故选B.2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B.(0，3) C ．(1，4)D.(2，＋∞)解析：选 D.f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.3．函数f (x )＝x ＋21－x 的单调递增区间是________；单调递减区间是________．解析：f (x )的定义域为{x |x ≤1}，f ′(x )＝1－11－x. 令f ′(x )＝0，得x ＝0. 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x <0时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(0，1)． 答案：(－∞，0) (0，1)4．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln 2x ，则f (x )的单调递增区间为________． 解析：f ′(x )＝2x －5＋2x ＝（2x －1）（x －2）x(x ＞0)．由f ′(x )>0可得(2x －1)(x －2)>0， 所以x >2或0<x <12，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(2，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(2，＋∞)利用导函数求函数单调区间的注意点(1)当f ′(x )＝0无解时，可根据f ′(x )的结构特征确定f ′(x )的符号． (2)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．考点二 含参数的函数的单调性(综合研析)复习指导：含参数的函数，要根据f ′(x )的形式讨论f ′(x )的符号，确定函数的单调性．已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)(a >0)．试讨论f (x )的单调性． 【解】 由题意得f ′(x )＝e x[ax 2＋(2a －2)x ](a >0)， 令f ′(x )＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2－2aa.①当0<a <1时，令f ′(x )>0，得x <0或x >2－2aa ，令f ′(x )<0，得0<x <2－2aa；②当a ＝1时，f ′(x )≥0在R 上恒成立； ③当a >1时，令f ′(x )>0， 得x >0或x <2－2aa，令f ′(x )<0，得2－2aa<x <0.综上所述，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2－2a a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a 和(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0上单调递减．(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论；划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．(2)对参数的分类讨论要明确标准，不重不漏，体现了逻辑推理的核心素养．|跟踪训练|(2022·辽宁省辽西联合校测试)讨论函数f (x )＝x 3－a ln x (a ∈R )的单调性． 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3x 2－a x ＝3x 3－ax(x >0)，①若a ≤0时，f ′(x )>0，此时函数在(0，＋∞)上单调递增；②若a >0时，令f ′(x )>0，可得x >3a 3，f ′(x )<0，可得0<x <3a 3，所以函数在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，3a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3a3，＋∞上单调递增． 考点三 函数单调性的应用(多维探究)复习指导：利用导数与函数的单调性可以比较大小、求参数的范围等，其关键是明确函数的单调性．角度1 比较大小或解不等式(1)(2021·新高考八省联考模考)已知a <5且a e 5＝5e a ，b <4且b e 4＝4e b ，c <3且c e 3＝3e c ，则( )A ．c <b <a B.b <c <a C ．a <c <bD.a <b <c(2)(2022·南昌摸底调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意x >0都有2f (x )＋xf ′(x )>0成立，则( )A．4f(－2)<9f(3) B.4f(－2)>9f(3)C．2f(3)>3f(－2) D.3f(－3)<2f(－2)(3)(2022·沈阳一模)函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)＋2xf(x)＞0，则不等式（x＋2 023）f（x＋2 023）3＜3f（3）x＋2 023的解集为( )A．{x|x＞－2 020} B.{x|x＜－2 020}C．{x|－2 023＜x＜0} D.{x|－2 023＜x＜－2 020} 【解析】(1)由题意得0<a<5，0<b<4，0<c<3.令f(x)＝e xx(x>0)，则f′(x)＝e x（x－1）x2，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，因为a e5＝5e a，所以e55＝e aa，即f(5)＝f(a)，而0<a<5，故0<a<1.同理0<b<1，0<c<1，f(4)＝f(b)，f(3)＝f(c)．因为f(5)>f(4)>f(3)，所以f(a)>f(b)>f(c)，所以0<a<b<c<1.故选D.(2)根据题意，令g(x)＝x2f(x)，其导数g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，由题意可知，当x>0时，有g′(x)＝x(2f(x)＋xf′(x))>0恒成立，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，则有g(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝g(x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(－2)＝g(2)，且g(2)<g(3)，则有g(－2)<g(3)，即有4f(－2)<9f(3)．故选A.(3)根据题意，设g(x)＝x2f(x)(x＞0)，则导函数g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)．函数f(x)在区间(0，＋∞)上，满足f′(x)＋2xf(x)＞0，则有x 2f ′(x )＋2xf (x )＞0，所以g ′(x )＞0，即函数g (x )在区间(0，＋∞)上为增函数．（x ＋2 023）f （x ＋2 023）3＜3f （3）x ＋2 023⇒(x ＋2 023)2f (x ＋2 023)＜32f (3)⇒g (x ＋2023)＜g (3)，则有0＜x ＋2 023＜3， 解得－2 023＜x ＜－2 020，即此不等式的解集为{x |－2 023＜x ＜－2 020}． 【答案】 (1)D (2)A (3)D角度2 已知函数单调性求参数的取值范围(链接常用结论2)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围． 【解】 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2<0有解．即a ＞1x 2－2x有解，设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a ＞G (x )min 即可．而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a ＞－1，因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．(2)由题意得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以当x ＝4时，G (x )max ＝－716， 所以a ≥－716，因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)．1．本例条件变为：若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递增，求a 的取值范围．解：由h (x )在[1，4]上单调递增得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )≥0恒成立，所以当x ∈[1，4]时，a ≤1x 2－2x恒成立，又当x ∈[1，4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x min ＝－1，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．2．若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围． 解：h (x )在[1，4]上存在单调递减区间， 则h ′(x )<0在[1，4]上有解， 所以当x ∈[1，4]时，a >1x 2－2x有解，又当x ∈[1，4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－2x min＝－1，所以a >－1，因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )在区间(a ，b )上为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．|跟踪训练|1．(多选)已知定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，且恒有cosxf ′(x )＋sin xf (x )＜0成立，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 B.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4解析：选CD.根据题意，令g (x )＝f （x ）cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋sin xf （x ）cos 2x ，又由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且恒有cos xf ′(x )＋sin xf (x )＜0，则有g ′(x )＜0，即函数g (x )为减函数．由π6＜π3，则有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cosπ6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3，分析可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3；又由π6＜π4，则有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cosπ4，分析可得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.2．若f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1) B.(－∞，1] C ．(－∞，2)D.(－∞，2]解析：选D.由f (x )＝x 2－a ln x ， 得f ′(x )＝2x －a x，因为f (x )在(1，＋∞)上单调递增， 所以2x －a x≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立， 因为当x ∈(1，＋∞)时，2x 2>2， 所以a ≤2.3．(2022·宁波市北仑中学期中测试)函数f (x )＝x 22－ln x 在其定义域内的一个子区间[k －1，k ＋1]内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝x 22－ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x.令f ′(x )＝0，因为x >0，可得x ＝1，列表如下：所以，函数f (x )在x ＝1处取得极小值，由于函数f (x )＝x 22－ln x 在其定义域内的一个子区间[k －1，k ＋1]内不是单调函数，则1∈(k －1，k ＋1)，由题意可得⎩⎨⎧k －1<1，k ＋1>1，k －1>0，解得1<k <2.因此，实数k 的取值范围是(1，2)． 答案：(1，2)[A 基础达标]1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是() A ．(0，1) B.(1，＋∞) C ．(－∞，1)D.(－1，1)解析：选A.因为f ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x(x >0)，令f ′(x )<0得0<x <1，所以函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是(0，1)． 2．函数f (x )＝e xx的图象大致为()解析：选B.函数f (x )＝e xx的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，当x >0时，函数f ′(x )＝x e x －e xx 2，可得函数的极值点为x ＝1，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )是减函数，当x >1时，f ′(x )＞0，函数f (x )是增函数，并且f (x )>0，选项B ，D 满足题意．当x <0时，函数f (x )＝exx<0，选项D 不正确，选项B 正确．3．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的大小关系为()A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)解析：选A.f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )， 所以函数f (x )是偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0， 所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5.4．(2022·天津市高三模拟)函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为() A.⎝⎛⎭⎪⎫0，1a B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1aD.(－∞，a )解析：选A.函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )＝1x －a >0，得0<x <1a.所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a .5．已知函数f (x )＝x 2＋ax，若函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为()A ．(－∞，8) B.(－∞，－8)∪(8，＋∞) C ．(－∞，16]D.(－∞，－16]∪[16，＋∞)解析：选C.由题意得f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2≥0在[2，＋∞)上恒成立，则a ≤2x 3在[2，＋∞)上恒成立， 所以a ≤16.6．函数f (x )＝x 4＋54x －ln x 的单调递减区间是________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜5，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，5)． 答案：(0，5)7．f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为________．解析：构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， 当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，可以推出当x <0时，F ′(x )<0，F (x )在(－∞，0)上单调递减． 因为f (x )为偶函数，y ＝x 为奇函数， 所以F (x )为奇函数，所以F (x )在(0，＋∞)上也单调递减，根据f (－4)＝0可得F (－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(0，4)．答案：(－∞，－4)∪(0，4)8．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________．解析：由f (x )图象特征可得，f ′(x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12和[2，＋∞)上大于0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上小于0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎨⎧x ≥0，f ′（x ）≥0或⎩⎨⎧x ≤0，f ′（x ）≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)9．已知函数f (x )＝a ln x －x －a ＋1x (a ∈R )．求函数f (x )的单调区间．解：由题知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1＋1＋a x 2＝－（x ＋1）[x －（1＋a ）]x 2，①当a ＋1>0，即a >－1时，在(0，1＋a )上f ′(x )>0，在(1＋a ，＋∞)上，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(0，1＋a )，单调递减区间是(1＋a ，＋∞)； ②当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞)上，f ′(x )<0， 所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间． 10．已知函数f (x )＝x ＋ax＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在(1，2)上为单调函数，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2.当a ≤0时，显然f ′(x )>0(x ≠0)，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，－a )和(a ，＋∞)上是增函数， 在(－a ，0)和(0，a )上是减函数． (2)因为函数f (x )在(1，2)上为单调函数， 若f (x )在(1，2)上为单调递增函数， 则f ′(x )≥0在x ∈(1，2)时恒成立，所以x 2－a ≥0，即a ≤x 2在x ∈(1，2)时恒成立， 所以a ≤1.若f (x )在(1，2)上为单调递减函数， 则f ′(x )≤0在x ∈(1，2)时恒成立，所以x 2－a ≤0，即a ≥x 2在x ∈(1，2)时恒成立， 所以a ≥4.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，1]∪[4，＋∞)．[B 综合应用]11．(多选)定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cosx ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0成立，则有()A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 B.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 解析：选CD.构造函数g (x )＝f （x ）cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <π2，则g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋f （x ）sin x（cos x ）2<0， 即函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，同理，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.故选CD.12．(多选)(2022·辽宁压轴试题)已知正数α，β满足e α＋12β＋sin β>e β＋12α＋sin α，则()A ．2α－β＋1>2 B.ln α＋α<ln β＋βC.1α＋1β>4α＋β D.1e α＋1α<1e β＋1β 解析：选ACD.由题意，得e α－12α＋sin α>e β－12β＋sin β，构造函数f (x )＝e x －12x ＋sin x，x >0，令g (x )＝2x ＋sin x ，则g ′(x )＝2＋cos x >0恒成立， 所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知－12x ＋sin x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝e x －12x ＋sin x在(0，＋∞)上单调递增，由f (α)>f (β)，可得α>β>0，对于A ，由α>β，可得α－β＋1>1，所以2α－β＋1>2，故A 正确；对于B ，由α>β>0，可得ln α>ln β，则ln α＋α>ln β＋β，故B 错误； 对于C ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋1β(α＋β)＝2＋αβ＋βα>2＋2αβ·βα＝4，所以1α＋1β>4α＋β，故C 正确；对于D ，由α>β>0，可得e α>e β>0，1α<1β，所以1e α<1e β，所以1e α＋1α<1e β＋1β，故D 正确．13．已知g (x )＝2x＋x 2＋2a ln x 在[1，2]上是减函数，则实数a 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax，由已知得g ′(x )≤0在[1，2]上恒成立， 可得a ≤1x－x 2在[1，2]上恒成立．又当x ∈[1，2]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 2min ＝12－4＝－72.所以a ≤－72.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－7214．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－（x －1）（x －3）x，由f ′(x )＝0，得函数f (x )的两个极值点为1和3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 答案：(0，1)∪(2，3)[C 素养提升]15．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .由题意知，f ′(x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上有解，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时， f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a . 令29＋2a >0，解得a >－19， 所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞16．(2022·北京高三一模)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)； 当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常数函数，没有单调区间． (2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，所以f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.所以g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ，所以g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.因为g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点． 由于g ′(0)＝－2，所以⎩⎨⎧g ′（t ）<0，g ′（3）>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意的t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9； 由g ′(3)>0，即m >－373.所以－373<m <－9.21 / 21 即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
高二导数的单调性知识点
高二导数的单调性知识点导数是高中数学中的重要概念之一，它能够帮助我们研究函数的变化趋势和特性。
其中，导数的单调性是我们需要重点掌握和应用的知识点之一。
在本文中，我将为您详细介绍高二导数的单调性知识点。
一、导数的定义回顾在开始介绍导数的单调性之前，我们需要回顾一下导数的定义。
对于函数y = f(x)，在某一点x处可导的充分必要条件是在该点存在极限lim(x->a)[f(x)-f(a)]/(x-a)，这个极限称为函数的导数。
通常用符号f'(x)来表示函数f(x)的导数。
二、导数的单调性定义导数的单调性是指函数的导数在自变量的取值范围内的变化趋势。
具体来说，若对于自变量的取值范围内的任意两个实数x1和x2，当x1 < x2时，如果f'(x1) < f'(x2)，则称函数在这个区间上是增函数；当f'(x1) > f'(x2)时，则称函数在这个区间上是减函数。
三、导数的单调性判定方法1. 利用导数的符号为了判定函数的单调性，我们需要找到函数的导数。
然后，我们可以通过判断导数的符号来确定函数的单调性。
具体而言，如果导数在某个区间内始终大于零，则函数在该区间上是递增的；如果导数在某个区间内始终小于零，则函数在该区间上是递减的。
例如，对于函数f(x) = x^2，在整个实数域上f'(x) = 2x。
由于2x恒大于零，因此函数f(x)在整个实数域上是递增的。
2. 利用导数的增减性除了导数的符号，我们还可以通过导数的增减性来判定函数的单调性。
如果函数的导数在某点x处递增，那么函数在这个点的左邻域是递增的；类似地，如果函数的导数在某点x处递减，那么函数在这个点的右邻域是递增的。
四、导数的单调性应用举例1. 求函数的极值点通过研究函数的单调性，我们可以进一步求出函数的极值点。
具体来说，当函数在极值点处单调性发生改变，即从递增变为递减或从递减变为递增时，该点就是函数的极值点。
艺术生高考数学专题讲义：考点13导数与函数的单调性
1 (2) 由 (1)得 f′x（)＝ xex(1 －x －xln x)，x∈ (0，＋∞ )，
令 h(x) ＝ 1－ x－ xln x， x∈ (0，＋∞ )，
当 x∈ (0,1) 时， h(x)>0 ；当 x∈ (1，＋∞ )时， h(x)<0. 又 ex>0，所以 x∈ (0,1)时， f′x（)>0 ；
答案 ④
②在 (0， +∞）上是减少的
1
④在 (0， )上是减少的
e
解析 因为函数 f(x)= xln x，所以 f′x（)=ln x+1， f′x（)>0，解得 x> 1 ，则函数的单调增区间为 e
1
( ,+ ∞，）又
f′x（)<0 ，解得
0<x< 1 ，则函数的单调减区间为
(0, 1 )，故选④ .
因此当 a≤0 时， f(x) 的单调增区间为 R， 当 a>0 时， f(x)的单调增区间为 [ln a，＋∞ )． (2) ∵ f′x（)＝ ex－ a≤ 0 在( － 2,3)上恒成立． ∴a≥ ex 在 x∈ (－ 2,3)上恒成立． ∴e－ 2<ex<e3，只需 a≥e3. 当 a＝ e3 时， f′x（)＝ ex－ e3<0 在 x∈ (－ 2,3)上恒成立，即 f(x)在 (－ 2,3)上为减函数，∴ a≥ e3. 故存在实数 a≥ e3，使 f(x)在 (－ 2,3)上为减函数．
3．函数 f(x)＝x＋ elnx 的单调递增区间为 ________．
答案 (0，＋ ∞）
解析
函数定义域为
(0，＋∞
)，
f′
(x)＝
1＋
e x>0
函数的单调性求解技巧
函数的单调性求解技巧函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质，也就是函数图像的上升或下降趋势。
在数学中，确定函数的单调性是解决不等式和优化问题的重要步骤。
本文将介绍一些常用的技巧和方法，帮助读者更好地求解函数的单调性。
一、导数法求解函数的单调性最常用的方法就是使用导数。
利用导数可以确定函数的增减性。
具体步骤如下：1.求函数的导数。
设函数为f(x)，则求导得到f'(x)。
2.求出f'(x)的零点。
零点即为f(x)的增减区间的分界点。
3.根据f'(x)的正负确定f(x)的单调性。
当f'(x)>0时，f(x)在该区间上单调递增；当f'(x)<0时，f(x)在该区间上单调递减。
例如，求解函数f(x) = x^2 + 3x + 2的单调性：1.求导得到f'(x) = 2x + 3。
2.令f'(x) = 0，解得x = -3/2。
3.当x < -3/2时，f'(x) < 0，函数f(x)在该区间上单调递减；当x > -3/2时，f'(x) > 0，函数f(x)在该区间上单调递增。
二、二阶导数法除了使用一阶导数外，还可以通过二阶导数的正负确定函数的凹凸性，从而进一步确定函数的单调性。
1.求函数的二阶导数。
设函数为f(x)，求导得到f''(x)。
2.求出f''(x)的零点。
零点即为f(x)的拐点。
3.根据f''(x)的正负确定f(x)的凹凸性。
当f''(x)>0时，f(x)在该区间上为凹函数，即函数图像上凹；当f''(x)<0时，f(x)在该区间上为凸函数，即函数图像下凸。
4.进一步根据一阶导数f'(x)的正负确定f(x的单调性。
当f''(x)>0且f'(x)>0时，f(x)在该区间上单调递增；当f''(x)>0且f'(x)<0时，f(x)在该区间上单调递减。
高中数学函数的单调性解题技巧
高中数学函数的单调性解题技巧在高中数学中，函数的单调性是一个重要的概念，它描述了函数在定义域上的增减情况。
掌握函数的单调性解题技巧，不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还能够提高我们的解题效率。
本文将从题目的角度出发，结合具体的例题，介绍一些解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握函数的单调性。
一、常见的函数类型在解题过程中，我们会遇到各种不同类型的函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
不同类型的函数具有不同的性质和特点，因此我们需要根据具体的函数类型来确定解题的方法。
例如，对于线性函数y=kx+b，其中k和b为常数，我们可以通过求导或者观察系数k的正负来确定函数的单调性。
如果k>0，那么函数是递增的；如果k<0，那么函数是递减的。
这个规律可以帮助我们快速判断线性函数的单调性。
二、函数图像的分析函数的图像是我们解题的重要工具之一，通过观察函数的图像，我们可以获得很多关于函数单调性的信息。
例如，对于二次函数y=ax^2+bx+c，我们可以通过函数的开口方向来判断函数的单调性。
如果a>0，那么函数的图像开口向上，函数是递增的；如果a<0，那么函数的图像开口向下，函数是递减的。
此外，我们还可以通过函数的极值点来判断函数的单调性。
对于二次函数来说，极值点就是顶点，如果顶点是最小值，那么函数是递增的；如果顶点是最大值，那么函数是递减的。
三、函数的导数分析函数的导数是描述函数变化率的重要工具，通过求导数，我们可以得到函数的增减情况。
对于单调递增的函数来说，导数始终大于等于0；对于单调递减的函数来说，导数始终小于等于0。
例如，对于指数函数y=a^x，其中a>0且a≠1，我们可以通过求导数来判断函数的单调性。
求导后得到的导数为ln(a)*a^x，由于ln(a)是一个常数，所以导数的正负取决于a^x的正负。
如果a>1，那么函数是递增的；如果0<a<1，那么函数是递减的。
如何快速解决高考数学中的函数单调性
如何快速解决高考数学中的函数单调性高考数学中的函数单调性是一个非常重要的知识点，也是考生容易出错的地方。
在高考数学中，函数单调性通常会与函数的导数相关联，因此高考数学也常常被称为“导数的大千世界”。
因此，在备考高考数学时，如何快速解决高考数学中的函数单调性成为了每个考生都需要面对的问题。
1. 掌握函数的导数要解决高考数学中的函数单调性问题，首先需要掌握函数的导数知识。
函数的导数是指函数在某一点处的变化率，也就是函数曲线在该点处的切线斜率。
在高考数学中，函数单调性的问题通常都与函数的导数相关联，因此要想快速解决函数单调性的问题，必须掌握函数导数的求法及其应用。
2. 判断函数的单调性要判断一个函数的单调性，首先需要求出其导数，并确定其在定义域内的符号变化。
具体来说，如果导数在某一点的值大于零，那么函数在该点处是单调递增的；如果导数在某一点的值小于零，那么函数在该点处是单调递减的；如果导数在某一点的值等于零，那么函数在该点处是极值点（无论是极大值点还是极小值点）。
3. 利用函数的图像判断单调性在高考数学中，判断函数单调性的另一种方法就是利用函数的图像。
具体来说，如果函数的图像在某个区间上是单调递增的，那么该函数在此区间上是单调递增的；如果函数的图像在某个区间上是单调递减的，那么该函数在此区间上是单调递减的。
4. 应用函数单调性的知识进行解题在高考数学中，函数单调性的知识常常会被应用到解题中。
例如，在求函数的最大值或最小值时，常常需要先求出函数的导数并确定其符号变化，再确定函数的极值点；在求函数的零点或其它特殊点时，也常常需要先判断函数的单调性，再根据单调性来确定函数的零点或其它特殊点。
5. 练习高考数学试题要掌握函数单调性的知识，只有理论知识是远远不够的。
在备考高考数学时，需要密切结合真题进行练习，多切身感受函数单调性的应用。
只有在实际练习中不断地巩固所学知识，才能够真正掌握函数单调性的知识，并在高考中得到高分。
函数单调性求解技巧
1) 若f'(x)>0，则f(x)单调递增。
2) 若f'(x)<0，则f(x)单调递减。
3) 若f'(x)恒大于0，则f(x)单调不减。
4) 若f'(x)恒小于0，则f(x)单调不增。
以上是求解函数单调性的一些常用技巧。求解函数单调性的目的是为了更好地理解函数的变化规律和确定函数的性质。在应用数学、优化算法等领域中，特别是在函数的最优解问题中，确定函数的单调性是至关重要的。因此，掌握这些技巧并加以灵活运用，对于解决实际问题将具有重要的参考价值。
3 < x < +∞：k(x)的零点个数为0，为偶数，所以k(x)在此区间单调性不变。
四、辅助图像法
在一些问题中，辅助图像法可以有效地求解函数的单调性。通过作出函数的函数图像和导数的图像，并分析两个图像的关系，可以得到函数的单调性。
例5：求函数y=f(x)在区间[a,b]上的单调性。
首先作出函数y=f(x)的图像，然后求出y=f(x)的导数f'(x)的图像。
由于g'(x)=3x^2大于0的只有x>0的区间，所以g(x)在x>0的区间上单调递增，在x<0的区间上单调递减。
二、二阶导数法
对于函数的单调性问题，二阶导数法是常用的求解技巧之一。具体来说，对于二阶可导的函数，若函数的一阶导数恒大于0（小于0），则函数的二阶导数恒大于等于0（小于等于0），函数在该区间上单调递增（递减）；若一阶导数恒小于等于0（大于等于0），则二阶导数恒小于等于0（大于等于0），函数在该区间上单调不增（不减）。
例3：求函数h(x)=x^4的单调性。
首先求导：h'(x)=4x^3。再求二阶导数：h''(x)=12x^2。
高中数学导数与函数的单调性知识
2·由单调性求抽象函数不等式
3·利用导数判断单调性和求单调区间
用导数求函数的单调性是高考必考查的内容因此弄清导数与函数的单调性的关系单调区间的求解过程和函数单调区间的合并是十分有必要的
高中数学导数与函数的单调ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知识
用导数求函数的单调性是高考必考查的内容，因此弄清导数与函数的单调性的关系、单调区间的求解过程和函数单调区间的合并是十分有必要的。
高考中的单调性题型归纳
方法技巧专题12函数单调性极值最值与导数问题
方法技巧专题12函数单调性极值最值与导数问题函数单调性、极值、最值与导数问题是高中数学中的重要内容，也是解析几何和微积分的基础。
本文将详细介绍函数单调性、极值、最值与导数的概念、判定方法和解题技巧。
一、函数的单调性：函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
具体来说，如果函数值随自变量的增大而增大，则函数是递增的；如果函数值随自变量的增大而减小，则函数是递减的。
若函数在定义域内递增且递减，则称为函数在该定义域上是严格递增、严格递减的。
判定函数单调性的方法：1.寻找函数的一阶导数或导数表达式。
2.求解一阶导数的值域。
a.若导数恒大于0，则函数在该定义域上是递增的。
b.若导数恒小于0，则函数在该定义域上是递减的。
c.若导数恒大于等于0，则函数在该定义域上是非递减的。
d.若导数恒小于等于0，则函数在该定义域上是非递减的。
e.若导数恒等于0，则函数在该定义域上是常数函数。
二、函数的极值和最值：函数的极值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
特别地，最值包括函数的最大值和最小值。
判定函数极值的方法：1.求解函数的一阶导数或导数表达式的零点。
a.若导数在特定点的左侧为正，右侧为负，则该点是函数的极大值点。
b.若导数在特定点的左侧为负，右侧为正，则该点是函数的极小值点。
2.比较函数在定义域内的值和极值点对应的函数值。
a.若函数在极值点对应的函数值最大或最小，则该函数具有极大值或极小值。
b.若函数在极值点对应的函数值没有最大或最小值，则该函数没有极值。
三、导数的应用：导数的应用主要包括函数特性的研究、曲线的绘制和问题求解。
1.研究函数的特性：a.利用导数表达式或图像分析函数的单调性、凹凸性、最值等。
b.确定函数的零点，即导数为0的点，可以帮助求解方程。
c.利用导数的正负判断函数在区间内的增减关系。
2.绘制曲线：a.利用导数的正负确定函数的上升区间和下降区间，结合截距和极值确定函数的大致形态。
b.利用导数的凹凸确定函数的拐点和凹凸区间。
高考数学复习点拨：运用导数解决有关单调性问题
运用导数解决有关单调性问题一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内可导．如果f '(x )＞0，则f (x )为增函数；如果f '(x )＜0，则f (x )为减函数．单调性是导数应用的重点内容，主要有三类问题：①运用导数判断单调区间或证明单调性；②已知单调性求参数；③先证明其单调性，再运用单调性证明不等式等问题．下面举例说明．一、求单调区间或证明单调性单调区间的求解过程：已知)(x f y =（1）分析 )(x f y =的定义域；（2）求导数 )(x f y '='；（3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间．例1 求下列函数单调区间（1）5221)(23+--==x x x x f y （2）xx y 12-= （3）x xk y +=2)0(>k （4）αln 22-=x y解：（1）232--='x x y )1)(23(-+=x x ， )32,(--∞∈x ),1(∞+Y 时0>'y )1,32(-∈x 0<'y ∴ )32,(--∞，),1(∞+为增区间， )1,32(-为减区间．（2）221xx y +='，∴ )0,(-∞，),0(∞+为增区间． （3）221xk y -=， ∴ ),(k x --∞∈),(∞+k Y ，0>'y ．),0()0,(k k x Y -∈，0<'y∴ ),(k --∞，(,)k +∞为增区间； )0,(k -，),0(k 减区间．（4）xx x x y 14142-=-='，定义域为),0(∞+ )21,0(∈x 0<'y 减区间； ),21(∞+∈x 0>'y 增区间．二、已知单调性求参数例2 求满足条件的a ：（1）使ax x y +=sin 为R 上增函数．（2）使a ax x y ++=3为R 上增函数．解：（1）a x y +='cos ，∴ 1>a ， 1=a 时，x x y +=sin 也成立．∴ ),1[∞+∈a（2）a x y +='23，0>a ，0=a 时，3x y =也成立． ∴ ),0[∞+∈a三、证明不等式若)(x f y =，],[b a x ∈⑴0)(>'x f 恒成立，∴)(x f y =为),(b a 上↑．∴ 对任意),(b a x ∈ 不等式)()()(b f x f a f << 恒成立（2）0)(<'x f 恒成立，∴ )(x f y =在),(b a 上↓∴ 对任意),(b a x ∈不等式)()()(b f x f a f >> 恒成立例3 求证下列不等式（1）πxx 2sin > )2,0(π∈x（2）x x x x -<-tan sin )2,0(π∈x 证： （1）原式π2sin >⇔x x ，令 sin ()x f x x = ． 又)2,0(π∈x ，0cos >x ，0tan <-x x ∴ 2)tan (cos )(xx x x x f -='， ∴ )2,0(π∈x ，0)(<'x f ，)2,0(π↓，ππ2)2(=f ，∴ πx x 2sin > （2）令x x x x f sin 2tan )(+-=，0)0(=f ．x x x x x x x f 222cos )sin )(cos cos 1(cos 2sec )(+-=+-=' )2,0(π∈x ，0)(>'x f ．∴ ↑)2,0(π∴ x x x x sin tan ->-．。
备战2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽 专题13 导数法巧解单调性问题 Word版含解析
【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第13讲 导数法巧解单调性题考纲要求:1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次). 基础知识回顾:用导数研究函数的单调性 （1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'()f x ≥（≤）0 （2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求D P ,得函数的单调递增（减）区间。
一般地，函数()f x 在某个区间可导 ，'()f x ＞0 ⇒ ()f x 在这个区间是增函数 一般地，函数()f x 在某个区间可导 ，'()f x ＜0 ⇒ ()f x 在这个区间是减函数（3）单调性的应用（已知函数单调性）一般地，函数()f x 在某个区间可导，()f x 在这个区间是增(减)函数⇒'()f x ≥()≤0【注】①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式'()f x ＞（＜)0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。
②已知函数的增（减）区间，应得到'()f x ≥（≤）0，必须要带上等号。
③求函数的单调增（减）区间，要解不等式'()f x ＞()<0，此处不能带上等号。
④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“ ”连接。
应用举例:类型一、判断或证明函数的单调性【例1】【2017山东济南市高三摸底考试】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)．试讨论f (x )的单调性． 【答案】见解析【例2】【2017广东省珠海市高三摸底考试】函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)．讨论f (x )的单调性． 【答案】见解析【解析】f(x)的定义域为(－1，＋∞)，又))(1()]2([)(2a x x a a x x x f ++--='. ①当1<a<2时，若x ∈(－1，a2－2a)，则)(x f '>0，f(x)在(－1，a2－2a)内是增函数；若x ∈(a2－2a,0)，则)(x f '<0，f(x)在(a2－2a,0)内是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则)(x f '>0，f(x)在(0，＋∞)内是增函数．②当a ＝2时，)(x f '≥0，)(x f '＝0成立当且仅当x ＝0，f(x)在(－1，＋∞)内是增函数．③当a>2时，若x ∈(－1,0)，则)(x f '>0，f(x)在(－1,0)内是增函数；若x ∈(0，a2－2a)，则)(x f '<0，f(x)在(0，a2－2a)内是减函数； 若x ∈(a2－2a ，＋∞)，则)(x f '>0，f(x)在(a2－2a ，＋∞)内是增函数．点评：导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的3步骤(1)一求．求f ′(x )；(2)二定．确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)三结论．作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．类型二、求函数的单调区间【例3】【2017河南省洛阳市一中高三入学考试】定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f ′ 12²e2x －2＋x 2－2f (0)x ，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14x 2＋(1－a )x ＋a .(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )的单调区间． 【答案】见解析【例4】【2017四川省成都市高三摸底】已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R)在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值； (2)若g (x )＝f (x )e x，求g (x )的单调区间． 【答案】a ＝12.；减区间为(－∞，－4)和(－1,0)，增区间为(－4，－1)和(0，＋∞)．【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x ，因为f(x)在x ＝－43处取得极值，所以f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a²169＋2²⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x3＋x2ex ，故g′(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x2＋2x ex ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x3＋x2ex ＝12x(x ＋1)(x ＋4)ex.令g′(x)＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4.当x ＜－4时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数； 当－4＜x ＜－1时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数；当－1＜x ＜0时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数； 当x ＞0时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数．综上知，g(x)的减区间为(－∞，－4)和(－1,0)，增区间为(－4，－1)和(0，＋∞)． 点评：确定函数单调区间4步骤(1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．类型三、已知函数的单调性求参数的范围【例5】【2017山东莱芜高三阶段测试】已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围． 【答案】a ＝12.；减区间为(－∞，－4)和(－1,0)，增区间为(－4，－1)和(0，＋∞)．【解析】(1)f′(x)＝3x2－a.①当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a ＞0时，令3x2－a ＝0得x ＝±3a 3； 当x ＞3a 3或x ＜－3a 3时，f′(x)＞0；当－3a 3＜x ＜3a 3时，f′(x)＜0. 综上可知，当a≤0时，f(x)在R 上为增函数；当a ＞0时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．(2)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在 (－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x ∈R 恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a ＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R 上是增函数， 所以a≤0，即实数a 的取值范围为(－∞，0].【例6】【2017山西省长治二中等四校高三联考】已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈，函数g (x )＝x 3＋x 2²⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′ x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．【答案】a ＝12.；减区间为(－∞，－4)和(－1,0)，增区间为(－4，－1)和(0，＋∞)．(2)由(1)及题意得f′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f(x)＝－2ln x ＋2x －3，f′(x)＝2x －2x.∴g(x)＝x3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x2－2x ，∴g′(x)＝3x2＋(m ＋4)x －2. ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′ t ＜0，g ′ 3 ＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈恒成立，由于g ′(0)＜0， 故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9；由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.点评：根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0，且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． 方法、规律归纳:1、利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．2、求函数的单调区间的“两个”方法方法一：(1)确定函数y ＝f (x )的定义域；(2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′ (x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 方法二：(1)确定函数y ＝f (x )的定义域；(2)求导数y ′＝f ′(x )，令f ′(x )＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； (3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 实战演练:1．【2017广东省珠海市高三摸底考试】函数5xy x xe =-在区间()3,3-上的图像大致是A B C D【答案】B.【解析】因为5x y x xe =-，所以)(54'x x xe e x y +-=，当1-<x 时，0'>y ，所以函数5x y x xe =-在)1,(--∞上单调递增，所以排除A,C ；又因为当2=x 时，02225>⨯-=e y ，所以排除D ，故应选B .2．【2017河北正定一中高三月考】函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 【答案】D3．【2017江苏省南通市如东县一中高三月考】已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．4．【2017山东省枣庄八中高三月考】如图，是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）)(x f y =)(x f 'A ．在区间（－2，1）上是增函数 B ．在区间（1，3）上是减函数 C ．在区间（4，5）上是增函数 D ．当时，取极大值． 【答案】C【解析】导数大于0的区间是函数的增区间，导数小于0的区间是函数的减区间，所以根据图像知道，，此区间是函数的增区间，故选C ． 5．【2017西安八校联考】若，则A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】，当时，，则在上单调递减，又，。
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备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题
13 导数与函数的单调性问题（原卷版）
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专题13 导数与函数的单调性问题
【高考地位】
在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用:一是分析函数的单调性;二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.
【方法点评】
类型一求已知函数的单调区间
使用情景:已知函数的解析式判断函数的单调性 fx()
解题模板:第一步计算函数的定义域; fx()
'第二步求出函数的导函数; fx()fx()
''第三步若，则为增函数;若，则为减函数. fx()0,fx()0,fx()fx()
12例1 函数的单调递增区间为___________( fxxxx()ln(1)5,，,,，2
lnx0,,,abe【变式演练1】若，，则有( ) fx(),x
A( B( fafb()(),fafb()(),
C( D( fafb()(),fafb()()1,
2【变式演练2】函数，的单调减区间为 ( fxxx()2ln,,x,，,(0,)
2lnxlnxlnx212,,x【变式演练3】设，则，，的大小关系是( ) ()2xxx
22lnlnlnxxxlnlnlnxxx22(),,,,()A( B( 22xxxxxx
22lnlnlnxxxlnlnlnxxx22(),,,,()C( D( 22xxxxxx
,【变式演练4】若fxxxx()ln,,,,,，则的解集为( ) fx'(),,
(，)(，)-+,,,,UA( B( C( (,),，,(,),，,
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D( (,)-,,
类型二求含参数的函数的单调区间使用情景:函数的解析式中含有参数 fx() '解题模板:第一步计算函数的定义域并求出函数的导函数; fx()fx()fx() '第二步讨论参数的取值范围，何时使得导函数按照给定的区间大于0fx() 或小于0;
第三步求出不同情况下的极值点进而判断其单调区间.
332例2 已知函数(讨论函数的单调区间. f(x)fxxaxaxaR()(1)31,，,,，,，2 a【变式演练5】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
fxaxx()ln,,(1,2)__________(
21x,fxaxxaR,,，,ln,【变式演练6】已知. ，，，，2x
fx(1)讨论的单调性; ，，
3x,1,2fxfx,，'a,1(2)当时, 证明对于任意的成立. ,,，，，，2
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专业文档【变式演练7】已知函数. f(x),lnx
a(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数g(x,,f(x)，,1(2,g(2))x，
2y,1,0x
的值; a
b(x,1)(2)若在定义域上是增函数，求实数的取值范围; h(x),f(x),bx，1 m,nlnm,lnn(3)若，求证. ,m,n,0m，n2
2x【变式演练8】函数(讨论的单调性( fxaxxea()(1)(0),，,,fx()
a【变式演练9】已知函数，，其中a?R. fxx()ln,,gxfxaxx()()6ln,，,x(?)当a,1时，判断f(x)的单调性; (?)若g(x)在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围
【高考再现】
1. 【2016高考天津理数】(本小题满分14分)
3x,Rfxxaxb()(1),,,,设函数,其中，(I)求的单调区间; a,b,Rf(x)，
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2.【2015高考湖南，文8】设函数，则是( ) fxxx()ln(1)ln(1),，,,fx()A、奇函数，且在(0,1)上是增函数 B、奇函数，且在(0,1)上是减函数 C、偶函数，且在(0,1)上是增函数 D、偶函数，且在(0,1)上是减函数
'3. 【2015课标2理12】设函数是奇函数的导函数，，当
x,0fx()fxxR()(),f(1)0,,
时，
'，则使得成立的的取值范围是( ) xxfxfx()()0,,fx()0,
A( B( (,1)(0,1),,,:(1,0)(1,),，,:
C( D( (,1)(1,0),,,,:(0,1)(1,):，,
ax4.【2015高考安徽，文21】已知函数 f(x),(a,0,r,0)2(x，r)
的定义域，并讨论的单调性; (?)求f(x)f(x)
2(1)x,fxfxx()ln,,5.【2015高考福建，文22】已知函数((?)求函数的单调递增，，2
区间;
,fxf01,,fx6.【2015高考福建，理10】若定义在上的函数满足，其导函数R，，，，，，
,fxk,,1满足，则下列结论中一定错误的是( ) ，，
1111111k,,,,,,,,A( B( C( D( f,f,f,f,,,,,,,,,kk,,11kk,,11kkkk,1,,,,,, ,,
7.【2015高考江苏，19】(本小题满分16分)
32f(x),x，ax，b(a,b,R) 已知函数.(1)试讨论的单调性; f(x)
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n8.【2015高考天津，理20(本小题满分14分)已知函数，其中fxxxxR()n,,,, *. n,n2,,N
(I)讨论的单调性; fx()
229.【2015高考四川，理21】已知函数，其中.
a,0fxxaxxaxaa()2()ln22,,，，,,，
(1)设是的导函数，评论的单调性; gx()fx()gx()
【反馈练习】
1. 【2015-2016年河北保定一中高二下第一次段考数学试卷，文5】函数的fxxx()3ln,，单调递减区间是( )
1111A( (,e) B( (0,) C((,,,) D( (,，,) eeee
2. 【2015-2016学年四川省达州市高二下学期期末考试数学，试卷理3】函数
x的单调递增区间是( ) f(x),(x,3)e
A( B( C( D( (0,3)(1,4)(2,，,)(,,,2)
3. 【2017届新疆生产建设兵团二中高三上月考二数学试卷，文10】若函数
2132t(,),,在内是减函数，则实数的取值范围为( )
fxxtxxtR()1(),，，，,33
A( B( (2,)，,[2,)，,
77[,)，,(,)，,C( D( 44
,fxfx4. 【2016届新疆乌鲁木齐八一中学高三上学期月考一数学试卷，理8】是函数，，，，
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fx，，,fxfx的导数，函数是增函数(是自然对数的底数)，与的
e,,,,2.718281828，，，，xe
大小关系是( )
,,fxfx,fxfx,A( B( ，，，，，，，，
,,fxfx,fxfx,C( D( ，，，，，，，，
5. 【2016届河南郑州一中教育集团高三押题二数学试卷，文12】定义在上的函数Rf(x)
xx满足:，，则不等式(其中为自然对数的底数)eef(x),e，3f(x)，
f'(x),1f(0),4
的解集为 (
6. 【2014-2015学年四川省达州市高二下学期期末考试数学试卷，理6】已知
32,,fxxxx,,，，692fxfxfxfx，是的导数，和单调性相同的区间是，，，，，，，，，，( )
1,23,:，,1,23,，,A( B(和，，,,,,,,
,,,22,，,C( D( ，，,,
7. 【2014-2015学年山东省济南一中高二下学期期末理科数学试卷，理7】已知函数
32在上是单调函数，则实数a的取值范围是( ) fxxaxx()1,,，,,(,),,，, A( B( [3,3],(3,3),
C( D( (,3)(3,),,,，,:(,3)(3,),,,，,:
fxxax,，ln8. 【2016届江西省临川一中高三上学期期中数学试卷，文9】若函数不，，
a是单调函数，则实数的取值范围是( )(
0,，,,,,0,,,00,，,A( B( C( D( ，，，，，，,,
fx9. 【2017届重庆市育才中学高三上学期入学考试数学试卷，文14】函数在定义域R，，
,fxfx,,2x,,,,1xfx,,10af,0内可导，若，且当时，，设，，，，，，，，，，，，，
1,,cf,3abc，，则，，的大小关系为 . bf,，，,,3,,
10. 【2017届河北省定州中学高三上学期周练9.25数学试卷，理12】函数
32,1,2b，c在区间上是减函数,则的最大值为 ( fxxbxcxd(),，，，,,
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