九年级数学下册第三章圆3.5确定圆的条件同步练习新版北师大版135
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章3.5确定圆的条件 同步测试
北师大版九年级数学下册第三章3．5确定圆的条件同步测试(原卷版)一．选择题1．已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是（）A．P在圆内B．P在圆上C．P在圆外D．无法确定2．给定下列图形可以确定一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．已知三个点3．如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，∠OAC＝20°，则∠ABC的度数为（）A．140°B．110°C．70°D．40°4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）5.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）A．三边的垂直平分线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点6．下列语句中正确的是（）A．直径是弦，弦是直径．B．相等的圆心角所对的弦相等C．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴D．三点确定一个圆7．直角三角形两直角边长分别为和1，那么它的外接圆的直径是（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知等边三角形的外接圆半径为2，则该等边三角形的边长是（）A．2 B．4 C．D．29.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AC=5，DC=3，AB=，则⊙O的直径AE=（）A．．5 C．．10．下列说法正确的是（）A．任意三点可以确定一个圆B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分该弦所对的弧C．相等圆周角所对的弧也相等D．等弧所对的圆周角相等11.如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边分别记为a，b，c，O是△ABC 的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（）A．a：b：c B．111::a b cC．cosA：cosB：cosC D．sinA：sinB：sinC12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD ＝8，则AC的长为（）A．4 B．4C．D．2二．填空题13．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为．14.平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径为．16．在坐标系中，以O为圆心，5为半径的⊙O与点P（﹣4，4）的位置关系是：点P在⊙O（填“内”、“上”或“外”）．17.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°，点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3，那么△ABC和△ACD的外心距是 .18．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则其外接圆的直径为 ．三．解答题19．小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P 1P 2＝；他还证明了线段P 1P 2的中点P （x ，y ）的坐标公式是：x ＝，y ＝； 启发应用请利用上面的信息，解答下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，已知A （8，0），B （0，6），C （1，7），⊙M 经过原点O 及点A 、B ．（1）求⊙M 的半径及圆心M 的坐标；（2）判断点C 与⊙M 的位置关系，并说明理由．20．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B．C．D．E 在以点M为圆心的同一个圆上．21．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A（2，3），B（﹣3，﹣7），C（5，11）是否可以确定一个圆．22.如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF=AD．若AF=3，tan∠ABD=34，求⊙O的直径．23．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB＝90°．（1）求证：＝（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求线段AC的长．24．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD．（1）求证：P是线段AQ的中点；（2）若⊙O的半径为5，D是的中点，求弦CE的长．25．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．（1）求证：∠ABD＝2∠C．（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点M从C点开始以1cm/s的速度沿CB向B点运动，点N从A点开始以2cm/s的速度沿AC向C点运动，点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．（1）2秒时，△MCN的面积是；（2）求经过几秒，△MCN的面积是3cm2；（3）试说明△MCN外接圆的半径能否是cm．北师大版九年级数学下册第三章3．5确定圆的条件同步测试(解析版)一．选择题1．已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是（）A．P在圆内B．P在圆上C．P在圆外D．无法确定解：∵r＝4，d＝4.5，∴d＞r，∴点P在⊙O外．故选：C．2．给定下列图形可以确定一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．已知三个点解：A、不能确定．因为半径不确定，故不符合题意；B、不能确定．因为圆心的位置不确定，故不符合题意；C、能确定，给定一直径，则圆心和半径确定，所以可以确定一个圆，故符合题意；D、不能确定，不在同一直线上三点可以确定一个圆．故不符合题意；故选：C．3．如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，∠OAC＝20°，则∠ABC的度数为（）A．140°B．110°C．70°D．40°解：在优弧AMC上任取一点P，连接AP，CP，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝20°，∴∠AOC＝180°﹣2×20°＝140°，∴∠P＝70°，∵∠ABC+∠P＝180°，∴∠ABC＝110°，故选：B．4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）解：如图：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O即为圆心，且坐标1是（3，1）．故选D．5.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）A．三边的垂直平分线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点解：因为到三角形各顶点的距离相等的点，需要根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，只有分别作出三角形的两边的垂直平分线，交点才到三个顶点的距离相等．故选：A6．下列语句中正确的是（）A．直径是弦，弦是直径．B．相等的圆心角所对的弦相等C．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴D．三点确定一个圆解：A、直径是圆中特殊的弦，它经过圆心，但弦不一定是直径，故本选项不符合题意；B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故本选项不符合题意；C、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故本选项符合题意；D、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意．故选：C．7．直角三角形两直角边长分别为和1，那么它的外接圆的直径是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长＝＝2，∴它的外接圆的直径是2，故选：B．8．已知等边三角形的外接圆半径为2，则该等边三角形的边长是（）A．2 B．4 C．D．2解：如图所示：∵⊙O是等边△ABC的外接圆，OB＝2，∴∠OBD＝30°，过点O作OD⊥BC于点D，则BD＝BC，OD＝OB＝1，在Rt△OBD中，BD＝＝，∴BC＝2BD＝2，故选：D．9.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AC=5，DC=3，AB=，则⊙O的直径AE=（）A． B．5 C．．解：如图：连接BE ，则∠BEA=∠ACB ，且三角形ABE 是直角三角形．2222534DC45AD AC 的直径52sin AB AEBEA10．下列说法正确的是（ ）A ．任意三点可以确定一个圆B ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分该弦所对的弧C ．相等圆周角所对的弧也相等D ．等弧所对的圆周角相等解：A 、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误；B 、平分弦的直径，垂直于弦并且平分弦所对的弧，此弦不能是直径，故本选项说法错误；C 、在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等，故本选项说法错误；D 、等弧所对的圆周角相等，故本选项说法正确．故选：D ．11.如图，△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的三边分别记为a ，b ，c ，O 是△ABC 的外心，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，则OD ：OE ：OF=（ ）A．a：b：c B．111::a b cC．cosA：cosB：cosC D．sinA：sinB：sinC解：设三角形的外接圆的半径是R．连接OB，OC．∵O是△ABC的外心，且OD⊥BC．∴∠BOD=∠COD=∠A在直角△OBD中，OD=OB•cos∠BOD=R•cosA．同理，OE=R•cosB，OF=R•cosC．∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC．故选C．12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD ＝8，则AC的长为（）A．4 B．4C．D．2解：连接CD，∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵∠CAD＝30°，AD＝8，∴CD＝AD＝4，∴AC＝＝＝4，故选：B．二．填空题13．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 5 ．解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，故答案为：5．14.平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．解：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）能确定一个圆．故答案为：能．15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径为3．解：如图，连接OA，OB，∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝OB＝AB＝3，即⊙O的半径是3，故答案为：3．16．在坐标系中，以O为圆心，5为半径的⊙O与点P（﹣4，4）的位置关系是：点P在⊙O外（填“内”、“上”或“外”）．解：∵点P（﹣4，4），∴OP＝＝4，∴OP大于圆的半径5，∴点P在⊙O外，故答案为：外．17.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，∠ACB=∠ACD=90°，点D 在边BC 的延长线上，如果BC=DC=3，那么△ABC 和△ACD 的外心距是 .解：∵∠ACB=∠ACD=90°，∴Rt △ABC 和Rt △ACD 分别是AB ，AD 的中点，∴两三角形的外心距为△ABD 的中位线，即为12BD=3．故答案为：3．18．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则其外接圆的直径为 ． 解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，∴AB ＝＝＝， ∵直角三角形的外心为斜边中点，∴Rt △ABC 的外接圆的直径为． 故答案为：． 三．解答题19．小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P 1P 2＝；他还证明了线段P 1P 2的中点P （x ，y ）的坐标公式是：x ＝，y ＝；启发应用请利用上面的信息，解答下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B．（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．解：（1）∵∠AOB＝90°，∴AB是⊙M的直径，∵A（8，0），B（0，6），∴AB＝＝10，∴⊙M的半径为5，由线段中点坐标公式x＝，y＝，得x＝4，y＝3，∴M（4，3），（2）点C在⊙M上，理由：∵C（1，7），M（4，3），∴CM＝＝5，∴点C在⊙M上．20．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B．C．D．E 在以点M为圆心的同一个圆上．证明：连接ME、MD，∵BD、CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，∴ME＝MD＝MC＝MB＝BC，∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．21．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A（2，3），B（﹣3，﹣7），C（5，11）是否可以确定一个圆．解：设经过A，B两点的直线解析式为y＝kx+b，由A（2，3），B（﹣3，﹣7），得，解得．∴经过A，B两点的直线解析式为y＝2x﹣1；当x＝5时y＝2x﹣1＝2×5﹣1＝9≠11，所以点C（5，11）不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一直线上，因为“两点确定一条直线”，所以A，B，C三点可以确定一个圆．22.如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF=AD．若AF=3，tan∠ABD=34，求⊙O的直径．解：如图，连接BE．∵AF=AD，AB⊥EF，∴BF=BD．是直径∵AB=AC，∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E．∵tan∠ABD=34，∴tanE=tan∠FBA=34．在Rt△ABF中，∠BAF=90°．∵tan∠FBA=AFAB=34，AF=3，∴AB=4．∵∠BAE=90°，∴BE是⊙O的直径．∵tanE=tan∠FBA=34，AB=4，∴设AB=3x，AE=4x，∴BE=5x，∵3x=4，∴BE=5x=203，即⊙O的直径是203．23．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB＝90°．（1）求证：＝（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求线段AC的长．（1）证明：连BO并延长BO交AC于T．∵AO＝BO，∴∠OAB＝∠OBA，又∵∠BAC+∠OAB＝90°，∴∠BAC+∠OBA＝90°，∴∠BTA＝90°，∴BT⊥AC，∴＝．（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．∵CD⊥AB于D，∴∠CDA＝90°，∴∠OAB+∠AED＝90°，∵∠OAB+∠BAC＝90°，∴∠AED＝∠BAC＝∠FEC，∵AF为⊙O直径，∴∠ACF＝90°，同理：∠FCE＝∠BAC，∴∠FEC＝∠FCE，∴FE＝FC，∵AO＝3，AE＝4，∴OE＝1，FE＝FC＝2，在Rt△FCA中∴AC＝＝424．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD．（1）求证：P是线段AQ的中点；（2）若⊙O的半径为5，D是的中点，求弦CE的长．（1）证明：∵CE⊥AB，AB是直径，∴，又∵∴，∴∠CAD＝∠ACE，∴AP＝CP，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90˚，∴∠ACE+∠BCP＝90°，∠CAD+∠CQA＝90°，∴∠BCP＝∠CQA，∴CP＝PQ，∴AP＝PQ，即P是线段AQ的中点；（2）解：∵，AB是直径，∴∠ACB＝90˚，∠ABC＝30˚，又∵AB＝5×2＝10，∴AC＝5，BC＝5，∴CH＝BC＝，又∵CE⊥AB，∴CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×＝5．25．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．（1）求证：∠ABD＝2∠C．（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．（1）证明：∵C是的中点，∴＝，∴∠ABC＝∠CBD，点F是AD的中点，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，∴∠ABD＝∠ABC+CBD＝2∠C；（2）解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝6，∵C是的中点，∴OC⊥AD，∴OA2﹣OF2＝AF2＝AC2﹣CF2，∴52﹣OF2＝62﹣（5﹣OF）2，∴OF＝1.4，又∵O是AB的中点，F是AD的中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD＝2OF＝2.8．26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点M从C点开始以1cm/s的速度沿CB向B点运动，点N从A点开始以2cm/s的速度沿AC向C点运动，点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．（1）2秒时，△MCN的面积是4cm2；（2）求经过几秒，△MCN的面积是3cm2；（3）试说明△MCN外接圆的半径能否是cm．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝8，根据题意得，AN＝4，CM＝2，∴CN＝4，∴S△CMN＝×4×2＝4（cm2）；故答案为4cm2；（2）设经过x秒，根据题意得，（8﹣2x）•x＝3，解得x1＝1，x2＝3；即经过1秒或3秒，△MCN的面积是3cm2；（3）∵△MNC为直角三角形，∠C＝90°，∴MN为△MCN外接圆的直径，假设△MCN外接圆的半径为cm，则MN＝2cm，设M点运动的时间为t秒，则NC＝8﹣2t，CM＝t，根据题意得，（8﹣2t）2+t2＝（2）2，整理得5t2﹣32t+52＝0，∵△＝（﹣32）2﹣4×5×52＝﹣16＜0，∴原方程没有实数解，∴△MCN外接圆的半径不能是cm．。
北师大版九年级数学下《3.5确定圆的条件》同步习题含答案
北师大版九年级数学下册 第三章 圆 3.5 确定圆的条件 同步俩习题一、选择题(8分×3＝24分)1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．等边三角形外接圆的半径等于边长的____倍．( )A.12B.32C.33D. 33．如图，点P 是等边三角形ABC 外接圆⊙O 上的点，在以下判断中，不正确的是( )A ．当弦PB 最长时，△APC 是等腰三角形B ．当△APC 是等腰三角形时，PO ⊥ACC ．当PO ⊥AC 时，∠ACP ＝30°D ．当∠ACP ＝30°时，△BPC 是直角三角形二、填空题(8分×3＝24分)4．如图，△ABC 的外心坐标是_________．5．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形外接圆的半径是_______．6．如图，在△ABC 中，BC ＝3cm ，∠BAC ＝60°，那么△ABC 能被半径至少为______cm 的圆形纸片所覆盖．三、解答题(15分＋17分＋20分＝52分)7．如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A 、B 、C.(1)用尺规作图法找出BAC ︵所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法)；(2)设△ABC 是等腰三角形，底边BC ＝8cm ，腰AB ＝5cm ，求圆片的半径R.8．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AC ＝5，DC＝3，AB＝42，求⊙O的直径AE.9．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD、CD.(1)求证：BD＝CD；(2)请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由答案:1. D2. C3. C4. (－2，－1)5. (10或8)6. 37. 解：(1)分别作AB 、AC 的垂直平分线，两线交于点O ，则点O 为BAC ︵所在圆的圆心(2)连接OA ，则OA ⊥BC ，设垂足为D ，在Rt △ABD 中，易求AD ＝3cm.连接OB ，在Rt △OBD 中，设OB ＝R ，易求得R ＝256cm.8. 解：连接BE.∵AE 为⊙O 直径，∴∠ABE ＝90°，∵AD 为△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ABE ＝∠ADC ，∵∠E ＝∠C ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC ，∵Rt △ADC 中，AC ＝5，DC ＝3，∴AD ＝4， ∴424＝AE 5，∴AE ＝5 29. 解：(1)∵AD 为直径，AD ⊥BC ，∴BD ︵＝CD ︵，∴BD ＝CD(2)B 、E 、C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上，理由：由(1)知BD ︵＝CD ︵，∴∠BAD ＝∠CBD.∵∠DBE ＝∠CBD ＋∠CBE ， ∠DEB ＝∠BAD ＋∠ABE ，∠CBE ＝∠ABE ，∴∠DBE ＝∠DEB ， ∴DB ＝DE.由(1)知BD ＝CD ，∴DB ＝DE ＝DC ，∴B 、E 、C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上。
北师大版数学九年级下册3.5确定圆的条件同步测试题
北师大版数学九年级下册3.5确定圆的条件同步测试题3.5确定圆的条件同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计小题，每题分，共计27分，）1.已知⊙O的半径为3，线段OP的长度为2，则点P与⊙O的位置关系是（）A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.无法确定2.平面上有4个点，它们不在一条直线上，但有3个点在同一条直线上．过其中3个点作圆，可以作的圆的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=5，BC=12，则其外接圆半径为（）A.5B.12C.13D.6.54.如图，点ABC在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是（）B.2个C.3个D.4个5.在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，CD⊥AB于D，以点C为圆心，2.5长为半径画圆，则下列说法正确的是（）A.点A在⊙C上B.点A在⊙C内C.点D在⊙C上D.点D在⊙C内6.已知⊙O的半径长为5，若点P在⊙O内，那么下列结论正确的是（）A.OP>5B.OP=5C.0D.0≤OP<57.下列命题中，正确的命题是（）A.三点确定一个圆B.经过四点不能作一个圆C.三角形有一个且只有一个外接圆D.三角形外心在三角形的外面8.平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（）A.1个或3个B.3个或4个C.1个或3个或4个D.1个或2个或3个或4个9.如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A.73B.63D.43二、填空题（本题共计小题，每题分，共计24分，）10.在锐角△ABC中，外心、重心到边AB的距离分别为4和3，则垂心到AB的距离为________．11.已知⊙O的半径为5cm，线段OP=4cm，则点P与⊙O的位置关系是________．12.已知圆O的直径为6，点M到圆心O的距离为4，则点M与⊙O的位置关系是________．13.若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有________个．14.若直角三角形的两条直角边为5和12，则这个直角三角形的内切圆半径为________.15.在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=5，BC=8，如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，点B在圆C外，那么圆C半径r的取值范围为________．16.在△ABC中，AB=AC=5，且△ABC的面积为12，则△ABC外接圆的半径为________．17.如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=24，AH=18，⊙O的半径OC=13，则AB=________．三、解答题（本题共计小题，共计69分，）18.已知在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，求△ABC外接圆的半径．19.在平面直角坐标系中，A(0, 4),B(4, 4),C(6, 2).(1)在图中画出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；(2)点M的坐标为________.20.已知：如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为4，∠A=30∘，求BC的长．21.如图，点0是△ABC的外心，∠C=30∘，AB=2cm，求△ABC的外接圆半径．22.如图．点O是△ABC的外心．∠A=72∘．（1）求∠COB的度数．（2）若BC=24cm．求△ABC外接圆的半径（精确到0.1cm）．23.如图：y轴上正半轴上一点O1为圆心的圆交两坐标轴与A、B、C、D四点，已知B(-3, 0)，AB=310（1）求O1的坐标；（2）过B作BH⊥AC于H交AO于E，求S△BDE；（3）作⊙O1的内接锐角△BKJ，作BM⊥KJ与M，作JN⊥BK与N，BM、JK交于H点，当锐角△BKJ的大小变化时，给出下列两个结论：①BK2+JH2的值不变；②|BK2-JH2|的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．。
九年级数学下册第3章圆3.5确定圆的条件测试北师大版(2021年整理)
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《确定圆的条件》分层练习◆基础题1．给出下列四个结论,其中正确的结论为（)A．三点确定一个圆B．同圆中直径是最长的弦C．圆周角是圆心角的一半D．长度相等的弧是等弧2．给定下列图形可以确定一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点3．下列命题正确的个数有（)①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，⊙O是△ABC的外接圆,∠BOC=120°，则∠BAC的度数是（）A．120°B．80°C．60°D．30°5．过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多为个．6．平面直角坐标系内的三个点A（1,0)、B（0，﹣3)、C（2，﹣3) 确定一个圆（填“能”或“不能"）．7．如图△ABC中外接圆的圆心坐标是．8．直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是．9．如图所示,破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．（1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹）；(2)求（1)中所作圆的半径．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在△ABC的高CD上，点E、F 分别是边AC和BC的中点,请你判断四边形CEDF的形状，并说明理由．◆能力题1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（)A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块2．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0)，点B的坐标是(3,0），在y轴的正半轴上取一点C,使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径,则点C的坐标是( ）A．（0，3）B．3，0）C．（0，2）D．（2，0)3．如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C(0，4），⊙P经过点A、B、C,则点P的坐标为（）A．（6，8）B．（4，5) C．（4，318）D．（4，338）4．若A(1，2），B(3，﹣3)，C(x,y）三点可以确定一个圆，则x、y需要满足的条件是．5．已知直线l：y=x﹣4，点A（0，2），点B(2,0）,设点P为直线l上一动点，当P的坐标为时，过P,A,B三点不能作出一个圆．6．等边三角形的边长为4厘米,它的外接圆的面积为平方厘米．7．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．8．如图，AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD，CD．（1）求证:BD=CD;(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．◆提升题1．△ABC的三边长分别为6、8、10，则其外接圆的半径是（)A．3 B．4 C．5 D．102．如图,O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（）C．cosA：cosB：cosC D．sinA:sinB：A．a：b：c B．111::a b csinC3．如图所示:在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0,2）,∠OCB=60°,∠COB=45°，则OC= ．4．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．若在△ABC中,AB=5，AC=3，BC=4,则△ABC的最小覆盖圆的半径是；若在△ABC中,AB=AC,BC=6，∠BAC=120°,则△ABC的最小覆盖圆的半径是．5．已知:如图，在△ABC中,点D是∠BAC的角平分线上一点,BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．6．如图,四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E,延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE．求证:（1）AB=AF；(2)A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．答案和解析◆基础题1．【答案】B解：A、错误，不在同一直线上的三点确定一个圆；B、正确；C、错误，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；D、错误，能够重合的弧是等弧．2．【答案】D解:A、已知圆心只能确定圆的位置不能确定圆的大小,故错误；B、C、已知圆的半径和直径只能确定圆的大小并不能确定圆的位置，故错误;D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故正确．3．【答案】B解：①过两点可以作无数个圆,正确；②经过三点一定可以作圆，错误；③任意一个三角形有一个外接圆,而且只有一个外接圆,正确；④任意一个圆有且只有一个内接三角形，错误，正确的有2个．4．【答案】C解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=120°，∴∠BAC=12∠BOC=12×120°=60°．5．【答案】4解:过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多4个．6．【答案】能解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3)，∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1,0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．7．【答案】（6，2)解：分别做三角形的三边的垂直平分线，可知相交于点（6，2),即△ABC中外接圆的圆心坐标是（6,2）．8．【答案】5解:如图,∵AC=8，BC=6，∴AB=2268=10，∴外接圆半径为5．9．解:（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O 为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm,OD=（x﹣8）cm，则根据勾股定理列方程：x2=122+（x﹣8）2，解得:x=13．答：圆的半径为13cm．10．解：四边形CEDF为菱形．证明:∵AB为弦，CD为直径所在的直线且AB⊥CD，∴AD=BD，又∵CD=CD，∴△CAD≌△CBD,∴AC=BC；又∵E，F分别为AC,BC的中点，D为AB中点,∴DF=CE=12AC,DE=CF=12BC，∴DE=DF=CE=CF,∴四边形CEDF为菱形．◆能力题1．【答案】A解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦,作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．2．【答案】A解：如图,连结AC ，CB ．依相交弦定理的推论可得：OC 2=OA •OB ，即OC 2=1×3=3，解得:OC =3或﹣3（负数舍去），故C 点的坐标为（0，3）．3．【答案】C解：∵⊙P 经过点A 、B 、C ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴点P 的横坐标为4,设点P 的坐标为(4，y ）,作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OC 与F ，由题意，得()2222441y y +-=+,解得，y =318．4．【答案】5x +2y ≠9解：设直线AB 的解析式为y =kx +b ，∵A （1，2），B （3，﹣3），∴2k b +=，33k b +=-，解得：k =﹣52，b =92，∴直线AB 的解析式为y =﹣52x +92,∵点A （1，2)，B （3，﹣3），C （x ,y ）三点可以确定一个圆时,∴点C 不在直线AB 上,∴5x +2y ≠9．5．【答案】（3，﹣1)解：设直线AB 的解析式为y =kx +b ,∵A （0，2），点B （2，0），∴220b k b =⎧⎨+=⎩，解得21b k =⎧⎨=-⎩，∴y =﹣x +2．解方程组24y x y x =-+⎧⎨=-⎩，得31x y =⎧⎨=-⎩，∴当P 的坐标为（3，﹣1）时，过P ，A ,B 三点不能作出一个圆．6．【答案】16 3π解：∵等边三角形的边长为4厘米，OD⊥AB，∴AD=2厘米,又∵∠DAO=1 2∠BAC=60°×12=30°，∴AO=cos30AD︒=433，∴S=π×(433）2=163π平方厘米．7．证明:如图所示,取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，12 BC为半径的圆上．8．（1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC,∴由垂径定理得：BD CD=，∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD．（2)解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：BD CD=，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，∵BE是∠ABC的平分线,∴∠4=∠5，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．由（1）知：BD=CD，∴DB=DE=DC．∴B,E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．◆提升题1．【答案】C解：∵62+82=102，∴△ABC为直角三角形,∴△ABC的外接圆的半径=5．2．【答案】C解：如图，连接OA、OB、OC；∵∠BOC=2∠BAC=2∠BOD，∴∠BAC=∠BOD；同理可得：∠BOF=∠BCA，∠AOE=∠ABC;设⊙O的半径为R，则：OD=R•cos ∠BOD=R•cos∠BAC，OE=R•cos∠AOE=R•cos∠ABC,OF=R•cos∠BOF=R•cos ∠ACB，故OD:OE：OF=cos∠BAC:cos∠ABC：cos∠ACB．3．【答案】1+3解：连接AB,则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO=∠OCB=60°，∴OB=3OA=3×2=6．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB=45°,则OD=BD=22OB=3．Rt△BCD中，∠OCB=60°，则CD=33BD=1．∴OC=CD+OD=1+3．4．【答案】2.5；3解：如图1，要求△ABC的最小覆盖圆的半径，即求其外接圆的半径．∵AB=5，AC=3，BC=4．∴△ABC是直角三角形．∴其外接圆的半径，即为斜边的一半,是2。
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件 同步练习题(含答案)
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件同步练习题A组(基础题)1．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A．点P B．点Q C．点R D．点M2．在同一平面上有A，B，C三点，若经过A，B，C这三点画圆，则可画( )A．0个 B．1个C．0个或1个D．无数个3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，则下列三角形中，外心不是点O的是( )A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( )A．第①块 B．第②块C．第③块D．第④块5．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A的度数．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A ＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是( )A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值6．若一个直角三角形的两条直角边长分别为7 cm 和24 cm ，则这个三角形的外接圆的直径长为_____cm.7．已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是_____．8．已知直线l ：y ＝x －4，点A(1，0)，点B(0，2)，设点P 为直线l 上一动点，则当点P 的坐标为_____时，过P ，A ，B 不能作出一个圆．9．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC 中，AB ＝8米，AC ＝6米，∠BAC ＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．B 组(中档题)10．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是_____11．(2020·成都树德中学二诊)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB 于点D.若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，则AC ＝_____，CD ＝_____12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵(可以是劣弧、优弧或半圆)上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧，例如，图中DE ︵是△ABC 其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F(0，4)，O(0，0)，H(4，0)，在△FOH 中，M ，N 分别是FO ，FH 的中点，则△FOH 的中内弧MN ︵所在圆的圆心P 的纵坐标m 的取值范围是_____13．如图，已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R.(1)求证：ACsinB＝2R；(2)若在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝3，求BC的长及sinC的值．14．已知：如图1，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．C组(综合题)15．如图，在正方形ABCD中，AB＝42，E，F分别为BC，AD上的点，过点E，F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG 的最小值为_____．参考答案2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件同步练习题A组(基础题)1．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)A．点P B．点Q C．点R D．点M2．在同一平面上有A，B，C三点，若经过A，B，C这三点画圆，则可画(C)A．0个 B．1个C．0个或1个D．无数个3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，则下列三角形中，外心不是点O的是(B)A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(B)A．第①块 B．第②块C．第③块D．第④块5．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A的度数．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A ＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是(A)A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值6．若一个直角三角形的两条直角边长分别为7 cm和24 cm，则这个三角形的外接圆的直径长为25cm.7．已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是8．已知直线l：y＝x－4，点A(1，0)，点B(0，2)，设点P为直线l上一动点，则当点P的坐标为(2，－2)时，过P，A，B不能作出一个圆．9．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．解：(1)用尺规作出AB，AC的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出⊙O，⊙O即为花坛的位置，如图．(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，∴BC＝10米．∴△ABC外接圆的半径为5米．∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．B组(中档题)10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片311．(2020·成都树德中学二诊)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB于点D.若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，则AC CD ＝9013．12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵(可以是劣弧、优弧或半圆)上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧，例如，图中DE ︵是△ABC 其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F(0，4)，O(0，0)，H(4，0)，在△FOH 中，M ，N 分别是FO ，FH 的中点，则△FOH 的中内弧MN ︵所在圆的圆心P 的纵坐标m 的取值范围是m ≤1或m ≥2．13．如图，已知锐角△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R. (1)求证：ACsinB＝2R ；(2)若在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，AC ＝3，求BC 的长及sinC 的值．解：(1)证明：连接AO 并延长交⊙O 于点D ，连接CD ， ∵AD 为直径， ∴∠ACD ＝90°.在Rt △ACD 中，sin ∠ADC ＝AC AD ＝AC2R ，∵∠B ＝∠ADC ，∴sinB ＝AC2R .∴ACsinB＝2R. (2)由(1)知AC sinB ＝2R ，同理可得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC＝2R. ∴2R ＝3sin60°＝2.∴BC ＝2R ·sin ∠BAC ＝2sin45°＝ 2. 作CE ⊥AB ，垂足为E ， ∴BE ＝BC ·cosB ＝2cos60°＝22， AE ＝AC ·cos ∠BAC ＝3cos45°＝62. ∴AB ＝AE ＋BE ＝62＋22. ∴sin ∠ACB ＝AB 2R ＝6＋24.14．已知：如图1，在△ABC 中，BA ＝BC ，D 是平面内不与A ，B ，C 重合的任意一点，∠ABC ＝∠DBE ，BD ＝BE.(1)求证：△ABD ≌△CBE ；(2)如图2，当点D 是△ABC 的外接圆圆心时，请判断四边形BECD 的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠DBE ， ∴∠ABD ＝∠CBE.又∵BA ＝BC ，BD ＝BE ， ∴△ABD ≌△CBE(SAS)． (2)四边形BECD 是菱形．证明：∵△ABD ≌△CBE ，∴AD ＝CE. ∵点D 是△ABC 的外接圆圆心， ∴AD ＝BD ＝CD.又∵BD ＝BE ，∴BD ＝BE ＝EC ＝CD. ∴四边形BECD 是菱形．C 组(综合题)15．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝42，E ，F 分别为BC ，AD 上的点，过点E ，F 的直线将正方形ABCD 的面积分为相等的两部分，过点A 作AG ⊥EF 于点G ，连接DG ，则线段DG的最小值为。
九年级数学北师大版下册 3.5 确定圆的条件 同步测试题
3.5确定圆的条件同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，则该圆的直径是（）A.1.5cmB.1.5cm或4.5cmC.4.5cmD.3cm或9cm2. 在一个三角形中，已知AB=AC=6cm，BC=8cm，D是BC的中点，以D为圆心作一个半径为5cm的圆，则下列说法正确的是（）A.点A在⊙D外B.点B在⊙D上C.点C在⊙D内D.无法确定3. 已知三角形ABC，若过点A、点B作圆，那么下面说法正确的是（）A.这样的圆只能作出一个B.这样的圆只能作出两个C.点C不在该圆的外部，就在该圆的内部D.圆心分布在AB的中垂线上4. 已知⊙O的半径为3cm，PO=5cm，则下列说法正确的是（）A.点P在⊙O上B.点P在⊙O外C.点P在⊙O内D.无法确定5. Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=5，BC=12，则这个三角形外接圆的半径为（）A.2.5B.6C.6.5D.8.56. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB、OC，若⊙O的半径为2，∠BAC=60∘，则BC 的长为（）A.√3B.2√3C.4D.4√37. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是AB边的中点，OA＝6，∠ACB＝30∘，则OD＝（）A.6B.3√3C.3D.3√328. 下列给定的三点能确定一个圆的是（）A.线段AB的中点C及两个端点B.角的顶点及角的边上的两点C.三角形的三个顶点D.矩形的对角线交点及两个顶点9. 如图，△ABC内接于圆O，AD是圆O的直径，∠ABC=30∘，则∠CAD的度数等于（）A.45∘B.50∘C.55∘D.60∘10. 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB上的高，AC=4，BC=3，如果圆C是以C为圆心，2.5长为半径的圆，那么下列说法正确的是（）A.点D在圆C上B.点D在圆C内，点A、B均在圆C外C.点A、B、D均在圆C外D.点B、D均在圆C内，点A在圆C外二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 若△ABC的三边长分别为8，15，17，则△ABC的外接圆半径为________．12. 已知等边△ABC的边长为4cm，AD，BE，CF是三条高，若以点A为圆心，以2√3cm为半径画圆，则A，B，C，D，E，F中，点________在⊙A上，点________在⊙A内，点________在⊙A外．13. 在△ABC，∠C=90∘，AC=3，BC=4，点O是△ABC的外心，现在以O为圆心，分别以2、2.5、3为半径作⊙O，则点C与⊙O的位置关系分别是________．14. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60∘，AB=AC=2，则弦BC=________．15. 我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB＝∠ACD＝90∘，点D在边BC的延长线上，如果BC＝DC＝3，那么△ABC和△ACD的外心距是________．16. 有一长、宽分别为4cm，3cm的矩形ABCD，以A为圆心作圆，若B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙O的半径r的取值范围是________．17. △ABC中，∠C=90∘，AC=20，AB=25，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在⊙C外，点B在⊙C内，则r的取值范围是________．18. 如图是一把T字型木工尺，已知AD垂直平分BC，AD=BC=40cm，则过A、B、C三点的圆的半径是________cm．19. 如图，在△ABC中，点O是△ABC的外心，过点O作OD⊥AC，交AC于点D，连接BO，过点A作AE⊥BC，垂足为E，若BO=7，OD=3，则cos∠BAE的值为________．20. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在圆O上，BD＝CD，AB＝10，AC＝6，连接OD交BC于点E，DE＝________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC＝4，∠A＝30∘，求⊙O的直径．22. 如图所示，CD是△ABC的中线，AB=2CD，∠B=60∘．求证：△ABC的外接圆的半径为CB．23. 已知：如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为4，∠A=30∘，求BC的长．24. 如图，已知在△ABC中，∠ACB=90゜，AB=10，BC=8，CD⊥AB于D，O为AB的中点．（1）以C为圆心，6为半径作圆C，试判断点A、D、B与⊙C的位置关系；（2）⊙C的半径为多少时，点D在⊙C上？25. 如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE=DB：（2）若∠BAC=90∘，BD=4，求△ABC外接圆的半径；（3）若BD=6，DF=4，求AD的长26. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90∘，则该损矩形的直径是线段________．（2）①在损矩形ABCD内是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；②如图，直接写出符合损矩形ABCD的两个结论（不能再添加任何线段或点）．。
北师大版九年级数学下册 3.5 确定圆的条件 同步测试题
3.5 确定圆的条件同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. ⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（）A.在⊙O内或⊙O上B.在⊙O外C.在⊙O上D.在⊙O外或⊙O上2. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则下列各点中在⊙A外的是（）A.点AB.点BC.点CD.点D3. 下列命题中是真命题的是（）A.经过两点不一定能作一个圆B.经过三点不一定能作一个圆C.经过四点一定不能作一个圆D.一个三角形有无数个外接圆4. 下列命题中正确的为（）A.三点确定一个圆B.圆有且只有一个内接三角形C.三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点D.面积相等的三角形的外接圆是等圆5. 如图，△ABC内接于圆O，AD是圆O的直径，∠ABC=30∘，则∠CAD的度数等于（）A.45∘B.50∘C.55∘D.60∘6. 在数轴上，点A所表示的实数为2，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3．若点B在⊙A外，则a的值可能是()A.−1B.0C.6D.57. 下列命题中，正确的命题是（）A.三点确定一个圆B.经过四点不能作一个圆C.三角形有一个且只有一个外接圆D.三角形外心在三角形的外面8. 设P为⊙O外一点，若点P到⊙O上的点的最短距离为3，最长距离为7，则⊙O的半径为（）A.1B.2C.4D.59. 平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（）A.1个或3个B.3个或4个C.1个或3个或4个D.1个或2个或3个或4个10. 三角形外接圆的圆心为（）A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条垂直平分线的交点D.三条中线的交点二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 一个三角形的外心在这个三角形的边上，且有2边长分别为3厘米和4厘米，则这个三角形外接圆的半径是________．12. 若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为________．13. 已知⊙O的半径为5cm，线段OA=4cm，OB=6cm，OC=5cm．则点A在⊙O________，点B在⊙O________，点C在⊙O________．14. 一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，该圆的直径是________．15. 已知△ABC的外心为点O，且BO+AO=6，则CO的长为________．16. 已知在直角ABC中，∠C=90∘，AC=8，BC=6，则△ABC的外接圆半径长为________．17. 如图所示，在矩形ABCD的顶点A处拴了一只小羊，在B、C、D处各有一筐青草，要使小羊至少能吃到一筐子里的草，且至少有一个筐子里的草吃不到．如果AB=5，BC=12，则拴羊绳的长l的取值范围是________．18. 在同一平面内，一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是________cm．19. 在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以√5cm长为半径画圆，则点M与⊙C的位置关系是________．20. 如图，在△ABC中，∠A=60∘，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是________cm．三、解答题（本题共计5 小题，共计60分，）21. 已知如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=2，BC=3，AB的中点为点M．（1）以点C为圆心，2为半径作⊙C，则点A、B、M分别与⊙C有怎样的位置关系？（2）若以C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C外，则⊙C的半径r的取值范围是什么？22. 如图，O是△ABC的外心，D是圆上一点，且OD⊥BC，AE是BC边上的高．试探索∠OAD与∠EAD的大小关系，并说明理由．23. 在Rt△ABC中，已知∠C=90∘，BC=3，AC=4，以点B为圆心，3为半径作圆B，则：（1）AB与AC的中点D，E与圆B有怎样的位置关系？（2）若要让点A和点C有且只有一个点在圆B内，则圆B的半径应满足什么条件？24. 已知：如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为4，∠A=30∘，求BC的长．25. 如图：y轴上正半轴上一点O1为圆心的圆交两坐标轴与A、B、C、D四点，已知B(−3, 0)，AB=3√10（1）求O1的坐标；（2）过B作BH⊥AC于H交AO于E，求S△BDE；（3）作⊙O1的内接锐角△BKJ，作BM⊥KJ与M，作JN⊥BK与N，BM、JK交于H点，当锐角△BKJ的大小变化时，给出下列两个结论：①BK2+JH2的值不变；②|BK2−JH2|的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】解：∵ d≥R，∵ 点P在⊙O上或点P在⊙O外．故选D．2.【答案】C【解答】解：连接AC，∵ AB=3cm，AD=4cm，∵ AC=5cm，∵ AB=3<4，AD=4=4，AC=5>4，∵ 点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外．故选C．3.【答案】B【解答】解：A、经过两点可作无数个圆，所以A选项错误；B、经过三点不一定能作一个圆，所以B选项正确；C、经过四点可能作一个圆，如过矩形的四个顶点可作一个圆，所以C选项错误；D、一个三角形只有一个外接圆，所以D选项错误．故选B．4.【答案】C【解答】解：根据不在同一直线上的三点只能确定一个圆，所以：A不正确利用一个圆的图形，可以划出无数个内接三角形，所以：B不正确根据三角形的外心作法，可知：C正确面积相等的三角形不一定全等，所以外接圆有大有小，所以面积相等的三角形的外接圆不是等圆，所以：D不正确故选：C5.【答案】D【解答】解：∵ ∠ABC=30∘，∵ ∠ADC=30∘，∵ AD是⊙O的直径，∵ ∠ACD=90∘，∵ ∠CAD=90∘−30∘=60∘．故选D．6.【答案】C【解答】解：由于圆心A在数轴上的坐标为2，圆的半径为3，∵ 当d=r时，⊙A与数轴交于两点：−1，5，当d>r即当a<−1或a>5时，点B在⊙A外．只有C符合题意.故选C.7.【答案】C【解答】解：A、不共线的三点可以确定一个圆，故该选项错误；B、若四点共线就不能确定一个圆，故该选项错误；C、三角形有一个且只有一个外接圆，该选项正确；D、三角形外心不一定在三角形的外面，还可能在三角形上，故该选项错误；故选C．8.【答案】B【解答】解：如图，PA的长是P到⊙O的最长距离，PB的长是P到⊙O的最短距离，∵ 圆外一点P到⊙O的最长距离为7，最短距离为3，∵ 圆的直径是7−3=4，∵ 圆的半径是2．故选B．9.【答案】C【解答】解：(1)当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；(2)当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；(3)当四个点共圆时，只能确定一个圆．故选C．10.【答案】C【解答】解：A、三角形三条高的交点是三角形的垂心，故A错误；B、三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，故B错误；C、由于三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，故C正确；D、三角形三边中线的交点是三角形的重心，故D错误；故选C．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】5或22【解答】解：∵ 三角形的外心在这个三角形的边上，∵ 这个三角形为直角三角形，且斜边为它的外接圆的直径，；当3和4为直角边时，斜边=√32+42=5，这个三角形外接圆的半径为52当4为斜边时，这个三角形外接圆的半径为2，或2．∵ 这个三角形外接圆的半径为52或2．故答案为5212.【答案】30∘或150∘【解答】如图边AB与半径相等时，则∠AOB＝60∘，∠AOB＝30∘，当等径角顶点为C时，∠C=12当等径角顶点为D时，∠C+∠D＝180∘，∠D＝150∘，13.【答案】内,外,上【解答】解：∵ OA=4cm<5cm，OB=6cm>5cm，OC=5cm，∵ 点A在⊙O内，点B在⊙O外，点C在⊙O上．14.【答案】9cm或3cm【解答】解：分为两种情况：①当点在圆内时，如图1，∵ 点到圆上的最小距离MB=3cm，最大距离MA=6cm，∵ 直径AB=3cm+6cm=9cm；②当点在圆外时，如图2，∵ 点到圆上的最小距离MB=3cm，最大距离MA=6cm，∵ 直径AB=6cm−3cm=3cm；故答案为：9cm或3cm．15.【答案】3【解答】解：∵ 点O为△ABC的外心，∵ OA=OB=OC，∵ BO+AO=6，∵ CO=3，故答案为：3．16.【答案】5【解答】解：由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√82+62=10，∵ △ACB是直角三角形，∵ △ABC的外接圆半径长为斜边的一半，即是5，故答案为：5．17.【答案】5≤r<13【解答】解：根据题意画出图形如下所示：AB=CD=5，AD=BC=12，根据矩形的性质和勾股定理得到：AC=√52+122=13．∵ AB=5，BC=12，AC=13，而A，C，D中至少有一个点在⊙A内，且至少有一个点在⊙A外，∵ 点B在⊙A内，点C在⊙A外．∵ 要使小羊至少能吃到一筐子里的草，且至少有一个筐子里的草吃不到，拴羊绳的长l的取值范围是：5<r<13．故答案是：5≤r<13．18.【答案】6.5cm或2.5【解答】解：点P应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是4+9=13cm，因而半径是6.5cm；②当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是9−4=5cm，因而半径是2.5cm．故答案为：6.5cm或2.5．19.【答案】M在⊙C上【解答】解：∵ ∠ACB=90∘，AC=2cm，BC=4cm，∵ AB=√22+42=2√5.∵ CM是中线，AB=√5，∵ CM=12∵ 点M在⊙C上．故答案为：M在⊙C上.20.【答案】【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共计5 小题，每题10 分，共计50分）21.【答案】解：（1）∵ 在△ABC中，∠C=90∘，AC=2，BC=3，AB的中点为点M，∵ AB=√AC2+BC2=√22+32=√13，CM=12AB=√132，∵ 以点C为圆心，4为半径作⊙C，∵ AC=2，则A在圆上，CM=√132<2，则M在圆内，BC=2>2，则B在圆外；（2）以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内时，r>√132，当至少有一点在⊙C外时，r<3，故⊙C的半径r的取值范围为：√132<r<3．【解答】解：（1）∵ 在△ABC中，∠C=90∘，AC=2，BC=3，AB的中点为点M，∵ AB=2+BC2=√22+32=√13，CM=12AB=√132，∵ 以点C为圆心，4为半径作⊙C，∵ AC=2，则A在圆上，CM=√132<2，则M在圆内，BC=2>2，则B在圆外；（2）以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内时，r>√132，当至少有一点在⊙C外时，r<3，故⊙C的半径r的取值范围为：√132<r<3．22.【答案】解：∠OAD=∠EAD，理由是：∵ OD⊥BC，AE是BC边上的高，∵ OD // AE，∵ ∠EAD=∠ODA，∵ OA=OD，∵ ∠OAD=∠ODA，∵ ∠OAD=∠EAD．【解答】解：∠OAD=∠EAD，理由是：∵ OD⊥BC，AE是BC边上的高，∵ OD // AE，∵ ∠EAD=∠ODA，∵ OA=OD，∵ ∠OAD=∠ODA，∵ ∠OAD=∠EAD．23.【答案】解：（1）如图，∵ ∠C=90∘，BC=3，AC=4，∵ AB=√BC2+AC2=5，∵ D为AB的中点，∵ BD=2.5，∵ 点D在圆B内，∵ BE>BC，即BE>3，∵ 点D在圆B外；（2）设圆B的半径为r，当3<r<5时，点A和点C有且只有一个点在圆B内．【解答】解：（1）如图，∵ ∠C=90∘，BC=3，AC=4，∵ AB=√BC2+AC2=5，∵ D为AB的中点，∵ BD=2.5，∵ 点D在圆B内，∵ BE>BC，即BE>3，∵ 点D在圆B外；（2）设圆B的半径为r，当3<r<5时，点A和点C有且只有一个点在圆B内．24.【答案】BC的长为2．【解答】解：作直径CD，连接BD．∵ CD是直径，∵ ∠CBD=90∘．又∠D=∠A=30∘，CD=4，∵ BC=2，25.【答案】解：（1）∵ AD垂直平分BC，OB=3，AB=3√10，∵ OA=9；又∵ OA⋅OD=OB⋅OC，∵ OD=1，则AD=10，∵ O1D=5，∵ O1的坐标为(0, 4)．（2）连接BD，如图，∵ BH⊥AC，∵ ∠1=∠2，而∠1=∠3，∵ ∠2=∠3，∵ 直角△OBE∽直角△OAB，∵ OB2=OE⋅OA，而OB=3，OA=9，∵ OE=1，则DE=2；×3×2=3∵ S△BDE=12（3）结论①正确．证明如下：过B点作直径BE，连EJ，如图；∵ BE是直径，∵ ∠BJE=90∘，∵ BM⊥KJ，∵ ∠BMK=90∘；又∵ ∠K=∠E，∵ △BEJ∽△KBM，∵ BKBE =BMBJ，则BK2BE2=BM2BJ2；①∵ JN⊥BK，∵ ∠MHJ=∠K=∠E，∵ 直角△JHM∽直角△BEJ，∵ JHBE =JMBJ，则JH2BE2=JM2BJ2，②由①，②得BK 2+JH2BE2=BM2+JM2BJ2=1，而BE为直径等于10．∵ BK2+JH2=100．【解答】解：（1）∵ AD垂直平分BC，OB=3，AB=3√10，∵ OA=9；又∵ OA⋅OD=OB⋅OC，∵ OD=1，则AD=10，∵ O1D=5，∵ O1的坐标为(0, 4)．（2）连接BD，如图，∵ BH⊥AC，∵ ∠1=∠2，而∠1=∠3，∵ ∠2=∠3，∵ 直角△OBE∽直角△OAB，∵ OB2=OE⋅OA，而OB=3，OA=9，∵ OE=1，则DE=2；∵ S△BDE=12×3×2=3（3）结论①正确．证明如下：过B点作直径BE，连EJ，如图；∵ BE是直径，∵ ∠BJE=90∘，∵ BM⊥KJ，∵ ∠BMK=90∘；又∵ ∠K=∠E，∵ △BEJ∽△KBM，∵ BKBE =BMBJ，则BK2BE2=BM2BJ2；①∵ JN⊥BK，∵ ∠MHJ=∠K=∠E，∵ 直角△JHM∽直角△BEJ，∵ JHBE =JMBJ，则JH2BE2=JM2BJ2，②由①，②得BK 2+JH2BE2=BM2+JM2BJ2=1，而BE为直径等于10．∵ BK2+JH2=100．。
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-5确定圆的条件》同步达标测试(附答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.5确定圆的条件》同步达标测试（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．若点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为（）A．a＜﹣1B．a＞3C．﹣1＜a＜3D．a≥﹣1且a≠0 2．菱形ABCD中，AB＝4，AC＝6，对角线AC、BD相交于点O，以O为圆心，以3为半径作⊙O，则A、B、C、D四个点在⊙O上的个数为（）A．1B．2C．3D．43．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．34．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．+1B．+C．2+1D．2﹣5．如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于F，若CD＝3，AB＝8，则EF的最大值是（）A．B．4C．D．66．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．1B．1.6C．﹣2D．27．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，连接AO并延长，交BC于点D，OE⊥BC于点E．设∠B＝α，∠C＝β，∠DOE＝γ，α＜β，则α，β，γ的关系正确的是（）A．β+γ＝2αB．α+β﹣γ＝90°C．α+β+γ＝180°D．α+γ＝β8．已知△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，则△ABC的外心在（）A．△ABC内B．△ABC外C．BC边中点D．AC边中点二．填空题（共8小题，满分40分）9．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，﹣1）、B（0，2）、C（3，3）都在⊙M上，则圆心M的坐标为．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以顶点A为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，则r的取值范围是．11．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是．12．一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为．13．如图，若每个小正方形的边长为1，则△ABC的外接圆的半径为．14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上，BC＝2，∠ACB＝∠D，则AB的长是．15．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠BAC与∠BOC互补，则∠BOC的度数为．16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝10，∠ABC＝∠DAC，则AC长为．三．解答题（共4小题，满分40分）17．如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），P是△AOB外接圆⊙C 上的一点，OP交AB于点D．（1）当OP⊥AB时，求OP；（2）当∠AOP＝30°时，求AP．18．如图，已知△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r．（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外．（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，求AP的最小值．20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于另一点D，作直径AE，连接EF并延长交AC于点G，连接BE，BD，四边形BDGE是平行四边形．（1）求证：AB＝BF．（2）当F为BC的中点，且AC＝3时，求⊙O的直径长．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：∵点B（a，0）在以点A（1，0）为圆心，以2为半径的圆内，∴|a﹣1|＜2，∴﹣1＜a＜3．故选：C．2．解：如图所示，∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，∵AB＝4，∴DO＝BO＝＝＝，∵r＝3＝AO＝CO，BO＝DO＝＜3，∴A、B、C、D四个点在⊙O上的有点A、C两个点，故选：B．3．解：∵抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，∴A、B两点坐标为（﹣3，0）、（3，0），∵D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理，得BC＝5，∵E是线段AD的中点，O是AB中点，∴OE是三角形ABD的中位线，∴OE＝BD，即点B、D、C共线时，BD最小，OE就最小．如图，连接BC交圆于点D′，∴BD′＝BC﹣CD′＝5﹣1＝4，∴OE′＝2．所以线段OE的最小值为2．故选：A．4．解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM 最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝2+1，∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；故选：B．5．解：如图，延长CF交⊙O于T，连接DT．∵AB是直径，AB⊥CT，∴CF＝FT，∵DE＝EC，∴EF＝DT，当DT是直径时，EF的值最大，最大值＝×8＝4，故选：B．6．解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠P AB＝∠PBC∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝3，OB＝2，∴OC＝＝＝，∴CP＝OC﹣OP＝﹣2．∴CP最小值为﹣2．故选：C．7．解：连接OB，OC，∵OB＝OC，∴OE⊥BC，∴∠BOE＝∠COE，即∠BOC＝2∠COE，∵∠BOC＝2∠BAC，∴∠BAC＝∠COE＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣α﹣β，∵∠AOC＝2∠ABC，∠B＝α，∴∠AOC＝2α，又∵∠AOC+∠DOE+∠COE＝180°，∴2α+γ+180°﹣α﹣β＝180°，∴α+γ＝β．故选：D．8．解：如图∵△ABC中，32+42＝52，∴△ABC是直角三角形，则其外心是AC的中点，故选：D．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：设M点的坐标为（x，y），由题意知，MA＝MB＝MC，∴，化简得，x+y＝﹣3x﹣3y+8＝﹣2y+1，即，解得，∴M．故答案为：．10．解：在直角△ABD中，CD＝AB＝6，AD＝8，则BD＝＝10．由图可知6＜r＜10．故答案为：6＜r＜10．11．解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为：（2，1）．12．解：当点P在圆内时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是16cm，因而半径是8cm；当点P在圆外时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为11cm，则直径是6cm，因而半径是3cm．故答案为：3cm或8cm．13．解：如图，作线段AB和BC的垂直平分线交于点E，则点E即为△ABC外接圆的圆心，连接AE，∴AE＝＝2，故△ABC的外接圆的半径为2．14．解：∵∠A＝∠D，∠ACB＝∠D，∴∠A＝∠ACB，∴AB＝BC＝2．故答案为：2．15．解：∵∠BAC和∠BOC所对的弧都是，∴∠BAC＝∠BOC∵∠BAC+∠BOC＝180°，∴∠BOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝120°．故答案为120°．16．解：连接CD，如图，∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵∠ABC＝∠ADC，而∠ABC＝∠DAC，∴∠ADC＝∠DAC，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC＝AD＝×10＝5．故答案为5．三．解答题（共4小题，满分40分）17．解：（1）∵A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），∴AO＝2，OB＝10，∵AO⊥BO，∴AB＝＝4，∵OP⊥AB，∴＝，OD＝DP，∴OD＝，∴OP＝2OD＝；（2）连接CP，∵∠AOP＝30°，∴∠ACP＝60°，∵CP＝CA，∴△ACP为等边三角形，∴AP＝AC＝AB＝2．18．解：（1）当0＜r＜3时，点A、B在⊙C外；（2）当3＜r＜4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．19．解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，∵AE＝＝，P2E＝1，∴AP2＝﹣1．20．解：（1）连接AF，∵AE是⊙O的直径，∴AF⊥EG，∵四边形BDGE是平行四边形，∴BD∥EG，∴BD⊥AF，∵∠BAC＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴BD垂直平分AF，∴AB＝BF；（2）∵当F为BC的中点，∴BF＝BC，∵AB＝BF，∴AB＝BC，∵∠BAC＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝，∵AB＝BF，∴∠ABD＝30°，∴BD＝2，∴⊙O的直径长为2．。
(完整word版)新北师大版九年级下册第三章圆同步练习题
直线和圆的位置关系练习题一、填空题1、已知圆的直径为13 cm，设直线和圆心的距离为d，(1)若d＝4.5 cm，则直线与圆________，直线与圆有______个公共点；(2)若d＝6.5 cm，则直线与圆________，直线与圆有______个公共点；(3)若d＝8 cm，则直线与圆________，直线与圆有______个公共点．2、如图，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径AB＝2，弦AC＝1，则∠CAD＝________.3、⊙A的直径为6，点A的坐标为(－3，－4)，则⊙A与x轴、y轴的位置关系分别是______________．4、如图，正三角形的内切圆半径为1 cm，正三角形的边长是________．5、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，⊙A与BC相切于点D，与AB相交于点E，则∠ADE＝______.二、选择题6、直线l和⊙O有公共点，则直线l与⊙O( )A．相离 B．相切C．相交 D．相切或相交7、如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点是A，B.如果OA＝4，PO＝8，那么∠AOB＝( ) A．90°B．100°C．110°D．120°8、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB 为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为(0,8)，则圆心M的坐标为( ) A．(4,5) B．(－5,4) C．(－4,6) D．(－4,5)三、简答题9、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，且∠A＋∠CDB＝90°，过点A，D 作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E.求证：直线BD与⊙O相切．10、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，内切圆⊙I与BC相切于点D，∠BIC ＝105°，AB＝8 cm，求：(1)∠IBA和∠A的度数；(2)BC和AC的长．11、如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心在射线OA 上，开始时，PO＝6 cm，如果⊙P以1 cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t(单位：秒)满足什么条件时，⊙P与直线CD相交？参考答案一、填空题1、(1)相交 2 (2)相切 1 (3)相离0 2、30°3、相离、相切4、2 cm5、60°二、选择题6、D 7、D 8、D三、简答题9、证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO.又∵∠A＋∠CDB＝90°，∴∠ADO＋∠CDB＝90°.∴∠ODB＝180°－(∠ADO＋∠CDB)＝90°.∴BD⊥OD.∴BD是⊙O切线．10、解：(1)∵∠ACB＝90°，I为内心，∴∠ICB ＝45°.∵∠BIC＝105°，∴∠IBA＝∠IBC＝30°，∠ABC ＝60°.∴∠A＝30°.(2)∵AB＝8 cm，∴BC＝4 cm.∴AC ＝＝4 (cm)．11、解：如图D34，当⊙P运动到⊙P′时，⊙P′与CD相切．作P′E⊥CD于点E.∵⊙P′半径为1 cm.∴P′E＝1.又∠AOC＝30°，P′E⊥CD，∴P′O ＝2.∴t＝4.同理，当点P在OB上时，也存在一圆与CD 相切，即圆中的⊙P，此时，t＝8.综上所述，4<t<8。
初中北师大版数学九年级下册3.5【同步练习】《确定圆的条件》
《确定圆的条件》同步练习◆选择题1.下列命题中，正确的是（）A．平面上三个点确定一个圆B．等弧所对的圆周角相等C．平分弦的直径垂直于这条弦D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线2.下列说法错误的是（）A．直径是弦B．最长的弦是直径C．垂直弦的直径平分弦D．经过三点可以确定一个圆3.下列命题中的假命题是（）A．三点确定一个圆B．三角形的内心到三角形各边的距离都相等C．同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等D．同圆中，相等的弧所对的弦相等4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）5.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块6.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）A．三边的垂直平分线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点7.小红的衣服被铁钉划了一个呈直角三角形的洞，其中三角形的两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这块圆布的直径最小应等于（）A．2cm B．3cm C．2cm或3cm D．2cm或5cm8.下列说法中错误的是（）A．三角形的外心不一定在三角形的外部B．圆的两条非直径的弦不可能互相平分C．两个三角形可能有公共的外心D．任何梯形都没有外接圆9.如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为1，D，E分别为AB，AC的中点，则sin∠BAC 的值等于线段（）A．BC的长B．DE的长C．AD的长D．AE的长10.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AC=5，DC=3，AB=42，则⊙O的直径AE=（）A．52B．5 C．42D．3211.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，⊙O的半径R=2，sinB=34，则弦AC的长为（）A．3 B．C．D．。
九年级数学下册第三章圆3.5确定圆的条件同步练习新版北师大版135
9．直角三角形两边的长分别为
图 K － 24－ 4 16 和 12，则此三角形的外接圆半径是 ________.
链接听课例 2归纳总结
10．2018·内江已知△ ABC 的三边长 a，b，c 满足 a＋ b2＋|c － 6| ＋ 28＝ 4 a－ 1＋ 10b，
则△ ABC 的外接圆半径为 ________． 三、解答题 11．如图 K － 24－ 5，已知弧上三点
＝90°，∴ AB＝ BC2＋ AC 2＝ 52＋ 122＝13.∵ OA ＝ OB ，AE ＝ CE，∴ OE 为△ ABC 的中位
1
1
线，∴ OE ＝ BC＝ 2.5，∴ DE ＝ OD － OE ＝ × 13－ 2.5＝ 4.故选 C.
2
2
6． [ 解析 ] C ①当点 O 在三角形的内部时，
25 ∴ AD ＝ 4，∴ AE ＝ 4 .
解法 2：由 (2)得 AO ＝BO ，∴∠ ABO ＝∠ BAO. ∵∠ ABE ＝ 90°， ∴∠ ABO ＋∠ OBE ＝∠ BAO ＋∠ OEB ＝ 90°， ∴∠ OBE ＝∠ OEB ，∴ OB ＝ OE.
1 在 Rt△ ABD 中，∵ AB ＝ 5， BD ＝2BC＝3，
1 如图①所示，则∠ BAC＝ 2∠BOC＝ 35°；
②当点 O 在三角形的外部时，如图②所示，则∠
1 BAC ＝2(360°－ 70° )＝ 145° .故选 C.
7． [ 答案 ] 25π [解析 ] 因为 62＋ 82＝ 102，所以△ ABC 为直角三角形，且斜边长为 半径为 5 cm，所以外接圆的面积为 25πcm2. 8． [ 答案 ] 2
∴ BE＝ EC＝ 3，∠ BOE ＝∠ COE＝ 60°，∴∠ OBE ＝ 30°，∴ OB＝ 2OE.
数学九年级下北师大版3.5确定圆的条件同步练习1
确定圆的条件
一、填空题
1、经过一点可以作个圆，经过两点可以作个圆，经过不在同一条直线上的三个点个圆；
2、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的，这个圆的圆心是三角形三条边的的交点，叫做三角形的，它到三角形的距离相等；
3、锐角三角形的外心位于，直角三角形的外心位于，钝角三角形的外心位于．
二、判断题
1、钝角三角形的外心在三角形的外部．（）
2、锐角三角形的外心在三角形的内部．（）
3、有一个三角形的外接圆的圆心在它的某一边上则这个三角形一定是直角三角形．（）
三、选择题
1、下列条件，可以画出圆的是（）
A．已知圆心 B．已知半径
C．已知不在同一直线上的三点 D．已知直径
2、三角形的外心是（）
A．三条中线的交点 B．三条边的中垂线的交点
C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点
3、下列命题不正确的是（）
A．三点确定一个圆 B．三角形的外接圆有且只有一个C．经过一点有无数个圆 D．经过两点有无数个圆
4、一个三角形的外心在它的内部，则这个三角形一定是（）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
四、计算题
cm，cm，，求它的外接圆半径．
已知三角形的三边长分别为
参考答案
一、填空题
1、无数，无数，只可以作一；
2、外接圆，垂直平分线，外心，三个顶点；
3、三角形内部，斜边的中点，三角形外部．
二、判断题
1、√
2、√
3、√
三、选择题
1、C
2、B
3、A
4、C、D
四、计算题。
北师大版数学九年级下册3.5《确定圆的条件》同步练习
35确定圆的条件一、选择题1．若△ABC 的外接圆的圆心在△ABC 的外部，则△ABC 是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定2．可以作圆且只可以作一个圆的条件是 ( )A ．已知圆心B ．已知半径C ．过三个已知点D ．过不在同一条直线上的三个点3．半径为R 的圆内接正三角形的面积是 ( )A ．232RB ． πR 2C ．2332RD ．2334R 4．如图3－81所示，△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°．AB ＝4，则⊙O的半径为 ( )A ．22B ．4C ．23D ．55．（2014•山西，第8题3分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA 、OB ，∠OBA=50°，则∠C 的度数为（ ）A ． 30°B． 40°C． 50°D．80°6 （2014•丽水，第9题3分）如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC 的弦心距等于（ ）A．B．C．4 D．3二、填空题7．等腰三角形ABC内接于半径为 5 c的⊙O，若底边BC＝8 c，则△ABC的面积是．8．若等边三角形的边长为4 c，则它的外接圆的面积为．9．已知Rt△ABC的两条直角边长为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1＝0的两根，则Rt△ABC的外接圆面积为．10 （2014•黑龙江龙东,第6题3分）直径为10c的⊙O中，弦AB=5c，则弦AB所对的圆周角是30°或150°．11 （2014•湖南衡阳,第17题3分）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为65°．三、作图与解答题12．如图3－82所示，已知两点A，B及直线l，求作经过A，B两点，且圆心在直线l 的圆．13．先阅读，再解答．我们在判断点(－7，20)是否在直线y＝2x＋6上时，常用的方法是：把x＝－7代入y ＝2x＋6中，由2×(－7)＋6＝－8≠20，判断出点(－7，20)不在直线y＝2x＋6上．小明由此方法并根据“两点确定一条直线”，推断出点A(1，2)，B(3，4)，C(－1，6)三点可以确定一个圆，你认为他的推断正确吗?请你利用上述方法说明理由．14．如图3－83所示，等腰三角形ABC内接于半径为5的⊙O中，AB＝AC，且tan B＝13．(1)求BC的长；(2)求AB边上的高．参考答案1．C2．D［提示：D既固定了圆的位置，又固定了圆的大小，保证了所要求的唯一性．] 3．D4．A[提示：连接OA，OB．∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴在Rt△AOB中，OA＝OB ＝22．故选A．]5B6D7．8 c2或32 c28．163π c2 [提示：作弦心距，易求r＝433．]9．74π [提示：a＋b＝3，ab＝1，c2＝(a＋b)2－2ab＝7，2724cSππ⎛⎫==⎪⎝⎭．]10解答：解：连接OA、OB，∵AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠C=30°，∴∠D=180°﹣30°=150°．故答案为30°或150°．11解答：解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵∠B=∠ACD=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．故答案为：65°．点评：考查了圆周角定理的推论．构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一．12．提示：连接AB，作线段AB的垂直平分线l′交直线l于O；以O为圆心，OA长为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆．图略．13．分析判断A，B，C三点是否可以确定一个圆，只需求出过任意两点的直线，再看第三点是否在所求直线上，若不在，说明三点不在同一条直线上，可以确定一个圆．解：他的推断是正确的．因为“两点确定一条直线”，设经过A，B两点的直线的解析式为y＝kx＋b．由A(1，2)，B(3，4)，得2,34,k bk b+=⎧⎨+=⎩解得1,1,kb=⎧⎨=⎩∴经过A，B两点的直线的解析式为y＝x＋1．把x＝－1代入y＝x＋1中，由－1＋1≠6，可知点C(－1，6)不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一条直线上．所以A，B，C三点可以确定一个圆．【解题策略】掌握“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解此题的关键．14．解：(1)连接OA交BC于D，连接OB，OC，则AO垂直平分线段BC．设AD＝x，∵tan B＝13，∴BD＝3x．在Rt△ODB中，(5－x)2＋(3x)2＝52，解得x＝1，∴BC＝2BD＝6． (2)过C作CE⊥AB交BA的延长线于E，∵tan B＝13，BC＝6，∴CE2＋(3CE)2＝62，∴CE＝3105．【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
北师大版九年级数学下册 3.5.2：确定圆的条件同步练习题(无答案,Word版)
北师大版九年级数学下册第三章圆3.5.2：确定圆的条件同步练习一、选择题1、下列命题为真命题的是（）A．平面内任意三点确定一个圆B．五边形的内角和为540°C．如果a＞b，则ac2＞bc2D．如果两条直线被第三条直线所截，那么所截得的同位角相等2、下列叙述正确的是（）A．三点确定一个圆B．对角线相等的四边形为矩形C．顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等3、如图，在5×5 正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M4、如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C 的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，﹣2），则△ABC 外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）5、如图所示，△ABC 中，∠B=90°，AB=21，BC=20．若有一半径为10 的圆分别与AB、BC 相切，则下列何种方法可找到此圆的圆心（）A．∠B 的角平分线与AC 的交点B．AB 的中垂线与BC 中垂线的交点C．∠B 的角平分线与AB 中垂线的交点D．∠B 的角平分线与BC 中垂线的交点6、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块7、如图，设AD，BE，CF 为三角形ABC 的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE 的长为（）A．185B．4 C．215D．245二、填空题8、正方形的四个顶点和它的中心共5 个点能确定个不同的圆．9、如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B 点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．10、平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P 上．（1）在图中清晰标出点P 的位置；（2）点P 的坐标是．11、在△AOB 中，AB=OB=2，△COD 中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P 分别为OA、OD、BC 的中点．①若A、O、C 三点在同一直线上，且∠ABO=2α，则ADBC= （用含有α的式子表示）；②固定△AOB，将△COD 绕点O 旋转，PM 最大值为．三、解答题12、如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C，交弦AB 于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径．13、已知：如图，在△ABC 中，点D 是∠BAC 的角平分线上一点，BD⊥AD 于点D，过点D 作DE∥AC 交AB 于点E．求证：点E 是过A，B，D 三点的圆的圆心．14、如图，AB 为⊙0的直径，点C 在⊙O上，延长BC 至点D，使DC＝CB，延长DA 与⊙の的另一个交点为E，连接AC，CE(1)求证:∠B＝∠D(2)若AB＝4，BC-AC＝2，求CE 的长.15、如图，AD 为△ABC 外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC 的平分线交AD 于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由．16、如图，在▱ABCD 中，∠BAD 为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．（1）求证：A、E、C、F 四点共圆；（2）设线段BD 与（1）中的圆交于M、N．求证：BM=ND．17、如图，点A，B，D，C 在⊙0上，AD 平分∠BAC，交BC 于点E.(1)求证:BD＝CD;(2)求证:DC2＝DE ・DA(3)若DC＝AE＝4，求DE 的长。
北师大版九年级数学下册 3.5 确定圆的条件 同步检测试题
真情提示5. 有一个三角形的外接圆的圆心在它的某一边上，则这个三角形一定是（）A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形P△ABC∠A=75∘∠BPC6. 如图，点是外接圆的圆心，已知，则的度数为（）A.150∘B.165∘C.142∘30'D.127∘30'ABC∠ACB=90∘CD AB AC=4BC=37. 如图，在直角三角形中，，是上的高，，，C C 2.5如果圆是以为圆心，长为半径的圆，那么下列说法正确的是（）D C D C A B CA.点在圆上B.点在圆内，点、均在圆外A B D C B D C A CC.点、、均在圆外D.点、均在圆内，点在圆外⊙O△ABC∠A=80∘∠BOC8. 如图，是的外接圆，，则等于（）三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）A B C⊙O⊙O A B C21. 已知三点、、，用直尺和圆规作，使过点、、．（不写作法，保留痕迹）△ABC⊙O4∠A=30∘BC22. 已知：如图，的外接圆的直径为，，求的长．△ABC∠BAC BC D E 23. 已知：如图，在中，的平分线与边和外接圆分别相交于点和，求证：△ABD∽△AEC（1）．AB⋅AC=AD⋅AE=AD2+BD⋅DC（2）．Rt△ABC BC=15cm AC=20cm AB CD24. 如图，的两条直角边，，斜边上的高为．若以C r1=11cm r2=12cm r3=13cm D为圆心，分别以，，为半径作圆，试判断点与这三个圆的位置关系．ABCD AD // BC AD=1BC=9M AB CD 25. 如图，在直角梯形中，，，，为的中点，以为直P径画圆．M P CD（1）当点在圆外时，求的长的取值范围；M P CD（2）当点在圆上时，求的长；M P CD（3）当点在圆内时，求的长的取值范围．∠BAC△ABC D BC F∠ABC26. 如图，的平分线交的外接圆于点，交于点，的平分线交AD E于点．DE=DB（1）求证：：∠BAC=90∘BD=4△ABC（2）若，，求外接圆的半径；BD=6DF=4AD（3）若，，求的长。
北师大版九年级下册数学3.5 确定圆的条件同步测试含答案
3.5 确定圆的条件同步测试含答案一、单选题1．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块 2．已知⊙O 的半径为1,点P 到圆心的距离为m,且关于x 的一元二次方程x 2−2x+m=0有两个不相等实数根，则点P 与⊙O 位置关系是( )A ．点p 在⊙O 内B ．点p 在⊙O 上C ．点p 在⊙O 外D ．以上都不对 3．已知：不在同一直线上的三点A,B,C求作：⊙O ，使它经过点A,B,C作法：如图，（1）连接AB ,作线段AB 的垂直平分线DE ；（2）连接BC ,作线段BC 的垂直平分线FG,交DE 于点O ；（3）以O 为圆心，OB 长为半径作⊙O ．⊙O 就是所求作的圆.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（ ）A ．连接AC, 则点O 是△ABC 的内心B ．B ．AD BG =C ．连接OA,OC ，则OA, OC 不是⊙o 的半径D ．若连接AC, 则点O 在线段AC 的垂直平分线上4．如图，用尺规作出Rt ABC 的外接圆，90C ∠=︒，根据作图痕迹，下列结论错误的是（）A．12AO AB=B．PQ AB⊥C．OBC是等边三角形D．PA OA>5．已知△ABC的外接圆⊙O，那么点O是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线交点6．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=3,AB=5,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作O,设线段CD的中点为P,则点P与O的位置关系是（）A．点P在O外B．点P在O上C．点P在O内D．无法确定二、填空题7．已知⊙O的半径为4，若OP=3，则点P在圆_____．8．平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则点A（4，3）在⊙O_____（填：“内”或“上“或“外”）9．O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心O的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与O的位置关系是：点A在________；点B在________；点C在________．10．如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________ 次就可以找到圆形工件的圆心.11．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是_______．（填序号）12．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在☉O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是_____．13．已知直线l:y=x−4，点A(0,2)，点B(2,0)，设点P为直线l上一动点，当P的坐标为______时，过P，A，B三点不能作出一个圆.14．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是_____．三、解答题15．如图，已知△ABC，作⊙O，使它经过点A、B、C（保留作图痕迹，不写作法）．16．如图，AB为⊙O的直径，弦AC的长为8cm．（1）尺规作图：过圆心O作弦AC的垂线DE，交弦AC于点D，交优弧ABC于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）若DE的长为8cm，求直径AB的长．参考答案1．B由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块，故选B.2．A【详解】∵a=1，b=−2，c=m，∴△=b2−4ac=(−2)2−4×1×m=4−4m>0，解得：m<1.则点P在⊙O内部.故答案为A.3．D【详解】A:连接AC, 根据题意可知，点O是△ABC的外心，故A错误；B: 根据题意无法证明AD BG=，故B错误；C: 连接OA,OC，则OA, OC是⊙o的半径，故C错误，D: 若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上，故D正确故答案为：D.4．C解：由作图痕迹可知作的是线段AB的垂直平分线，∴12AO AB=，PQ AB⊥，∴PA OA>，故A，B，D的结论正确，故选：C．5．C【详解】已知⊙O是△ABC的外接圆，那么点O一定是△ABC的三边的垂直平分线的交点，故选：C．【点拨】本题考查三角形外接圆圆心的确定，属基础题.6．C【详解】∵CD是斜边AB上的中线，∴AD=12AB=52，∵点O为AC的中点，P为CD的中点，∴OP为△CAD的中位线，∴OP=12AD=54，而AC为⊙O的直径,即半径为32，∴点P到圆心O的距离小于圆的半径，∴点P在⊙O内.故选C.7．内解：∵⊙O的半径为4，若OP=3，3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．故答案为：内．【点拨】本题考查点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键．8．上．解：∵点A（4，3）到圆心O的距离OA5，∴OA＝r＝5，∴点A在⊙O上，故答案为：上．9．圆内圆上圆外【详解】∵OA=8cm＜10cm，∴点A在圆内.∵OB=10cm，与圆的半径相等，∴点B在圆上.∵OC=12cm＞10cm，∴点C在圆外.故答案为：圆内；圆上；圆外.10．两详解：如图所示，根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．故利用这样的工具最少使用2.次．故答案为2.11．③【详解】①、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；②、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于12两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；③、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似;④、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；故答案为:③.12．60°；解：连接OD，∵CD＝OA＝OD，∠C＝20°，∴∠ODE＝2∠C＝40°，∵OD＝OE，∴∠E＝∠EDO＝40°，∴∠EOB＝∠C＋∠E＝40°＋20°＝60°．13．(3,−1)【详解】设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A(0,2)，点B(2,0)，∴220bk b=⎧⎨+=⎩，解得12kb=-⎧⎨=⎩，∴y=−x+2.解方程组24y xy x=-+⎧⎨=-⎩，得31xy=⎧⎨=-⎩，∴当P的坐标为(3,−1)时，过P，A，B三点不能作出一个圆.故答案为(3,−1).14．28°．解：由AB＝OC，得AB＝OB，∠A＝∠AOB．由BO＝EO，得∠BEO＝∠EBO．由∠EBO是△ABO的外角，得∠EBO＝∠A＋∠AOB＝2∠A，∠BEO＝∠EBO＝2∠A．由∠EOD是△AOE的外角，得∠A＋∠AEO＝∠EOD，即∠A＋2∠A＝84°，解得：∠A＝28°．故答案为：28°．15．见解析.解：如图所示，O即为所要求作的圆．16．（1）见解析；（2）10cm．【详解】（1）如图所示：（2）∵DE⊥AC，∴AD＝CD＝4cm，∵AO2＝DO2+AD2，∴AO2＝（DE﹣AO）2+16，∴AO＝5，∴AB＝2AO＝10cm．。
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课时作业(二十四)[第三章 5 确定圆的条件]一、选择题1．下列四个命题中正确的有( )①经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任何一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；④三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．A．1个B．2个C．3个D．4个2．三角形的外心具有的性质是( )A．到三个顶点的距离相等B．到三条边的距离相等C．是三角形三条角平分线的交点D．是三角形三条中线的交点图K－24－13．2017·市中区三模如图K－24－1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是( )A．(0，0) B．(1，0)C．(－2，－1) D．(2，0)4．如图K－24－2，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( )图－24－2A．△ABE B．△ACFC．△ABD D．△ADE5．如图K －24－3，AB 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD ⊥AC ，垂足为E ，BC ＝5，AE ＝6，则DE 的长为( )图K －24－3 A ．4 2 B ．3 3 C ．4 D .726．若点O 是△ABC 的外心，且∠BOC ＝70°，则∠BAC 的度数为( ) A ．35° B ．110°C ．35°或145°D ．35°或140° 二、填空题7．已知△ABC 的三条边长分别为6 cm ，8 cm ，10 cm ，则这个三角形的外接圆的面积为________cm 2.(结果用含π的代数式表示)8．2017·十堰模拟如图K －24－4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB ，OC ，若∠BAC ＋∠BOC ＝180°，BC ＝2 3 cm ，则⊙O 的半径为________cm .图K －24－49．直角三角形两边的长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________.链接听课例2归纳总结 10．2018·内江已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足a ＋b 2＋|c －6|＋28＝4 a －1＋10b ，则△ABC 的外接圆半径为________．三、解答题11．如图K －24－5，已知弧上三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法，找出BAC ︵所在圆的圆心O(保留作图痕迹，不写作法)； (2)设△ABC 为等腰三角形，底边BC ＝16 cm ，腰AB ＝10 cm ，求圆片的半径R. 链接听课例1归纳总结图K －24－512.2017·安徽如图K－24－6，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆⊙O于点E，连接AE.(1)求证：四边形AECD为平行四边形；(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.图K－24－613．如图K－24－7，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(6，8)，点B的坐标为(12，0)．(1)求证：AO＝AB；(2)用直尺和圆规作出△AOB的外心P；(3)求点P的坐标．图K－24－714．如图K－24－8，D是△ABC 的边BC 的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD 上，AO＝CO，BC∥EF.(1)求证：AB＝AC；(2)求证：点O是△ABC外接圆的圆心；(3)当AB＝5，BC＝6时，连接BE，若∠ABE＝90°，求AE的长．图K－24－8探究题我们知道：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆，那么我们来探究过四边形四个顶点作圆的条件．(1)分别测量图K－24－9①②③中四边形的内角．如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？图K－24－9(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图K－24－9④⑤说明其中的道理(提示：考虑∠B＋∠D与180°之间的关系)；(3)由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] B 2．[答案] A3．[解析] C ∵△ABC 的外心就是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图如图， ∴EF 与MN 的交点O′就是所求的△ABC 的外心，∴△ABC 的外心坐标是(－2，－1)．故选C .4．[解析] B 只有△ACF 的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O 的是△ACF.5．[解析] C ∵OD ⊥AC ，∴AE ＝CE ＝6.∵AB 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝52＋122＝13.∵OA ＝OB ，AE ＝CE ，∴OE 为△ABC 的中位线，∴OE ＝12BC ＝2.5，∴DE ＝OD －OE ＝12×13－2.5＝4.故选C . 6．[解析] C ①当点O 在三角形的内部时， 如图①所示，则∠BAC ＝12∠BOC ＝35°；②当点O 在三角形的外部时，如图②所示，则∠BAC ＝12(360°－70°)＝145°.故选C .7．[答案] 25π[解析] 因为62＋82＝102，所以△ABC 为直角三角形，且斜边长为10 cm ，则其外接圆的半径为5 cm ，所以外接圆的面积为25π cm 2.8．[答案] 2[解析] 如图，过点O 作OE ⊥BC 于点E.∵∠BAC ＋∠BOC ＝180°，∠BOC ＝2∠BAC ， ∴∠BOC ＝120°，∠BAC ＝60°.∵OE ⊥BC ，∴BE ＝EC ＝3，∠BOE ＝∠COE ＝60°，∴∠OBE ＝30°，∴OB ＝2OE.设OE ＝x cm ，则OB ＝2x cm ，∴4x 2＝x 2＋(3)2，∴x ＝1(负值已舍去)，∴OB ＝2 cm . 9．[答案] 10或8[解析] 分类讨论：①当16和12是两直角边长时，可得此直角三角形的斜边长为20，其外接圆的半径为10；②当16和12分别是斜边长和直角边长时，可由直角三角形的外接圆半径为直角三角形斜边长的一半，知其外接圆的半径为8.10．[答案] 258[解析] 原式整理，得b 2－10b ＋25＋a －1－4 a －1＋4＋|c －6|＝0，即(b －5)2＋(a －1)2－4 a －1＋4＋|c －6|＝0，(b －5)2＋(a －1－2)2＋|c －6|＝0.∵(b －5)2≥0，(a －1－2)2≥0，|c －6|≥0，∴b ＝5，a ＝5，c ＝6，∴△ABC 为等腰三角形．如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，设O 为外接圆的圆心，则OA ＝OC ＝R ，∵AC ＝BC ＝5，AB ＝6，∴AD ＝BD ＝3，∴CD ＝AC 2－AD 2＝4，∴OD ＝CD －OC ＝4－R.在Rt △AOD 中，R 2＝32＋(4－R)2，解得R ＝258. 11．[解析] (1)作AB ，AC 的中垂线即得圆心O ；(2)已知BC 和AB 的长度，所以可以构造直角三角形，利用勾股定理可求得半径R.解： (1)如图，作AB ，AC 的垂直平分线，垂直平分线的交点就是圆心，标出圆心O. (2)连接AO 交BC 于点E ，连接BO.∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵， ∴AE ⊥BC ， ∴BE ＝12BC ＝8 cm .在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝100－64＝6(cm )．在Rt △OBE 中，R 2＝82＋(R －6)2， 解得R ＝253 cm ，即圆片的半径R 为253 cm .12．证明：(1)由圆周角定理，得∠B ＝∠E.又∠B ＝∠D ，∴∠E ＝∠D.∵CE ∥AD ，∴∠D ＋∠ECD ＝180°， ∴∠E ＋∠ECD ＝180°，∴AE ∥CD ，∴四边形AECD 为平行四边形．(2)如图，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，ON ⊥CE 于点N ， ∵四边形AECD 为平行四边形，∴AD ＝CE. 又AD ＝BC ，∴CE ＝BC ， ∴OM ＝ON.又OM ⊥BC ，ON ⊥CE ，∴CO 平分∠BCE.13．解：(1)证明：过点A 作AC ⊥x 轴于点C. ∵A(6，8)，∴OC ＝6，AC ＝8.∵B(12，0)，∴OB ＝12，∴BC ＝6＝OC ， ∴AC 是OB 的垂直平分线，∴AO ＝AB.(2)如图，作OA 的垂直平分线交AC 于点P ，点P 就是所求的外心． (3)连接PO.∵点P 是△AOB 的外心，∴PA ＝PO ＝r.∵AC ＝8，∴PC ＝8－r.在Rt △POC 中，PO 2＝OC 2＋PC 2， ∴r 2＝62＋(8－r)2，解得r ＝254，∴PC ＝74，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，74.14．解：(1)证明：∵AE ⊥EF ，EF ∥BC ，∴AD ⊥BC. 又∵D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC.(2)证明：连接BO ，由(1)知AD 是BC 的垂直平分线，∴BO ＝CO. 又∵AO ＝CO ，∴AO ＝BO ＝CO ， ∴点O 是△ABC 外接圆的圆心．(3)解法1：∵∠ABE ＝∠ADB ＝90°， ∴∠ABD ＋∠BAD ＝∠AEB ＋∠BAE ＝90°， ∴∠ABD ＝∠AEB. 又∵∠BAD ＝∠EAB ， ∴△ABD ∽△AEB ，∴AB AE ＝ADAB.在Rt △ABD 中，∵AB ＝5，BD ＝12BC ＝3，∴AD ＝4，∴AE ＝254.解法2：由(2)得AO ＝BO ，∴∠ABO ＝∠BAO. ∵∠ABE ＝90°，∴∠ABO ＋∠OBE ＝∠BAO ＋∠OEB ＝90°， ∴∠OBE ＝∠OEB ，∴OB ＝OE.在Rt △ABD 中，∵AB ＝5，BD ＝12BC ＝3，∴AD ＝4.设 OB ＝x, 则 OD ＝4－x ， 由32＋(4－x)2＝x 2，解得x ＝258，∴AE ＝2OB ＝254.[素养提升]解：(1)对角互补(对角之和等于180°)． (2)没有．题图④中，∠B ＋∠D ＜180°； 题图⑤中，∠B ＋∠D ＞180°.(3)过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是：四边形的对角互补(对角之和等于180°)．。