高中数学人教A版必修4《3.1.1》练习.docx
高中数学 3.1.1两角差的余弦公式(讲)新人教A版必修4-新人教A版高中必修4数学教案
设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识。
设角 终边与单位圆地交点为P1， 。
过点P作PM⊥X轴于点M，那么OM就是 的余弦线。
过点P作PA⊥OP1于A，过点A作AB⊥x轴于B，过点P作PC⊥AB于C
那么OA表示 ，AP表示 ，并且
（1） ；（2）
（让学生联系公式 和本题的条件，考虑清楚要计算 ，应作那些准备。）
解：由 ，得
又由 ， 是第三象限角，得
所以
让学生结合公式 ，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。
变式训练：
（三）、质疑答辩，排难解惑，发展思维
1.利用两角和（差）的余弦公式，求
【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如： ，要学会灵活运用.
2.求值
3．化简
提示：利用拆角思想 的变换技巧
（设计意图：通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。）
（四）发导学案、布置预习
本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式 的推导，能熟练运用公式 ，注意公式 的逆用。在解题过程中注意角 、 的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业，课本 习题2.3.4
3.1.1两角差的余弦公式(讲)
一、教材分析
《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。
人教A版高中数学必修四《1.3.1公式二三四》练习题.docx
§1．3 三角函数的诱导公式§1．3 .1公式二三四【学习目标、细解考纲】诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明【知识梳理、双基再现】1、公式一，，。
2、公式二，，。
3、公式三，，。
4、公式四，，。
我们可以用一段话来概括公式一～四:α+2k π⋅(Z k ∈), -α, πα±的三角函数值，等于 ，前面加上一个 。
【小试身手、轻松过关】5、下列各式不正确的是 （ ）A ． sin （α＋180°）=－sin αB ．cos （－α＋β）=－cos （α－β）C ． sin （－α－360°）=－sin αD ．cos （－α－β）=cos （α＋β）6、 600sin 的值为（ ）A ． 21B ． 21- C ． 23D ． 23-7、⎪⎭⎫ ⎝⎛-π619sin 的值等于（ ）A ． 21B ． 21- C ． 238、对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（ ）A ．α一定是锐角B ．0≤α＜2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角【基础训练、锋芒初显】9、若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是 （ ）A ． 53B ． 53-C ． 54D ． 54-10、sin 34π·cos 625π·tan 45π的值是A ．－43B ．43C ．－43D ．4311、)2cos()2sin(21++-ππ等于 （）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos212、已知()21sin -=+πα，则()πα7cos 1+的值为 （ ）A ． 332B ． －2C ． 332-D ． 332±13、tan2010°的值为 ．14、化简：)(cos )5sin()4sin()3(sin )(cos )4cos(222πθθππθπθπθπθ--+-+++＝______ ___． 15、已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan = ．16、若a =αtan ，则()()απαπ+--3cos 5sin ＝ ____ ____．17、求cos （－2640°）+sin1665°的值．【举一反三、能力拓展】18、化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 610sin 21．19、已知()413sin =+θπ， 求)cos()cos()2cos()2cos(]1)[cos(cos )cos(θθππθπθθπθθπ-+++-+-++的值．20、已知()θ+ 75cos 31=，θ为第三象限角，求()()θθ++-- 435sin 255cos 的值．【名师小结、感悟反思】1、 在三角恒等变形过程中，经常用到诱导公式，一定要准确熟练灵活地加以应用。
高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A版必修208192187
对应学生用书P57知识点一直线的倾斜角高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A 版必修2081921871．给出下列命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l 的倾斜角，且sinα＝22，则α＝45°． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误． ④中α＝0°时sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．2．已知直线l 过点(m ，1)，(m ＋1，1－tanα)，则( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角 B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．180°－α不一定是直线l 的倾斜角 D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角 答案 C解析 设θ为直线l 的倾斜角，则tanθ＝1－tanα－1m ＋1－m ＝－tanα．当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－33，此时θ＝150°．比较各选项可知选C ．知识点二直线的斜率3．下列叙述不正确的是( )A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应C．与y轴垂直的直线的斜率为0D．与x轴垂直的直线的斜率不存在答案 B解析每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率；垂直于y 轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故A，C，D正确．4．如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列选项中正确的是( )A．k3>k1>k2B．k1－k2＞0C．k1·k2＜0D．k3＞k2＞k1答案 D解析由图可知，k1＜0，k2＜0，k3＞0，且k2＞k1，故选D．知识点三斜率公式的应用①A(－2，0)，B(－5，3)；②A(3，2)，B(5，2)；③A(3，－1)，B(3，3)；(2)已知直线l过点A(2，1)，B(m，3)，求直线l的斜率及倾斜角的范围．解(1)①∵A(－2，0)，B(－5，3)，∴k AB＝3－0－5－－2＝3－3＝－1，直线AB的倾斜角为135°．②∵A(3，2)，B(5，2)，∴k AB ＝2－25－3＝0．直线AB 的倾斜角为0°．③∵A(3，－1)，B(3，3)；∴直线AB 的倾斜角为90°，斜率不存在． (2)设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α， 当m ＝2时，A(2，1)，B(2，3)．直线AB 的倾斜角为90°，斜率k 不存在； 当m ＞2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＞0，此时，直线l 的倾斜角为锐角，即α∈(0°，90°)； 当m ＜2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＜0，此时，直线l 的倾斜角为钝角，即α∈(90°，180°)．知识点四三点共线问题6．若A(a ，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则a ＋b ＝________．答案 －12解析 由题意得b ＋22＝2a ＋2，ab ＋2(a ＋b)＝0，1a ＋1b ＝－12．对应学生用书P58一、选择题1．已知直线l 的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是( ) A ．0°≤β＜180° B．15°＜β＜180° C ．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° 答案 D解析 因为直线l 的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜2．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3 答案 B解析 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0．故选B ．3．若直线l 的斜率为k ，且二次函数y ＝x 2－2kx ＋1的图象与x 轴没有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0°，90°) B．(135°，180°)C ．[0°，45°)∪(135°，180°) D．[0°，180°) 答案 C解析 由抛物线y ＝x 2－2kx ＋1与x 轴没有交点，得(－2k)2－4＜0，解得－1<k<1，所以直线l 的倾斜角的取值范围是[0°，45°)∪(135°，180°)，故选C ．4．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 设A(a ，b)是直线l 上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA′＝b ＋2－b a －2－a＝－1．故选B ．5．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足( )A ．k≥34或k≤－4B ．k≥34或k≤－14C ．－4≤k≤34D ．34≤k≤4答案 A解析 如图所示，过点P 作直线PC⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线PA ，PB ．①直线l 与线段AB 的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k≤k PA ．②直线l 与线段AB 的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是因为k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34，所以直线l 的斜率k 满足k≥34或k≤－4．二、填空题6．已知M(2m ，m ＋1)，N(m －2，1)，则当m ＝________时，直线MN 的倾斜角为直角． 答案 －2解析 由题意得，直线MN 的倾斜角为直角，则2m ＝m －2，解得m ＝－2．7．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．答案 (1，－5)解析 设P 点坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5，即P 点坐标为(1，－5)．8．若经过点P(1－a ，1)和Q(2a ，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13解析 ∵直线PQ 的斜率k ＝3－12a －1－a ＝23a －1，且直线的倾斜角为钝角，∴23a －1<0，解得a<13．三、解答题9．已知点A(1，2)，在坐标轴上有一点P ，使得直线PA 的倾斜角为60 °，求点P 的坐标．解 ①当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)． ∵A(1，2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1．又直线PA 的倾斜角为60 °， ∴－2a －1＝3，解得a ＝1－233， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0．②当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)． 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0，2－3)．综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0或(0，2－3)．10．已知实数x ，y 满足关系式x ＋2y ＝6，当1≤x≤3且x≠2时，求y －1x －2的取值范围．解y －1x －2的几何意义是过M(x ，y)，N(2，1)两点的直线的斜率．因为点M 在y ＝3－12x 的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB ，其中A1，52，B3，32．由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是－∞，－32∪12，＋∞．。
高中数学 人教A版必修4 第3章 3.1.1两角差的余弦公式
cos(α－β)≠cos α－cos β；
π π π 3 再如：当 α＝3，β＝6时，cos(α－β)＝cos 6＝ 2 ， 本
课 时 栏 目 开 关
π π 1－ 3 而 cos α－cos β＝cos 3－cos 6＝ 2 ， cos(α－β)≠cos α－cos β.
研一研·问题探究、课堂更高效
本 课 时 栏 目 开 关
3.1.1
3．1.1
【学习要求】
两角差的余弦公式
1．了解两角差的余弦公式的推导过程．
本 2．理解用向量法导出公式的主要步骤． 课 时 3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进 栏 目 行求值、计算． 开 关 【学法指导】
1．学习两角差的余弦公式时，应从特例入手，归纳、提炼、拓展 到一般的两角差的余弦公式，从单位圆上的三角函数和向量两 种不同的途径探索、推导公式．
3.1.1
问题 2
请你计算下列式子的值， 并根据这些式子的共同特征，
写出一个猜想． ①cos 45° cos 45° ＋sin 45° sin 45° ＝1 ； 3 ②cos 60° cos 30° ＋sin 60° sin 30° ＝ 2 ； ③cos 30° cos 120° ＋sin 30° sin 120° ＝0 ； 1 ④cos 150° cos 210° ＋sin 150° sin 210° ＝2 . 猜想： cos αcos β＋sin αsin β＝ cos(α－β) ； 即： cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β .
3.1.1
2．要利用两角差的余弦公式来求具体的三角函数值，就要善于把 所求值的三角函数先转化为余弦函数，再把其角转化为两个特
本 课 殊角(30° ，45° ，60° ，„)的差，利用公式求其值． 时 栏 3．当给出 α、β 的某个三角函数值，在求 cos(α－β)值时，要善于 目 开 利用同角间的三角函数关系式求出 α、β 的正弦和余弦值，再 关
高中数学3.1.1课后强化训练(含详解)新人教A版必修4
高中数学 3.1.1课后强化训练（含详解） 新人教A 版必修4一、选择题1．已知锐角α、β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β＝( )A.3365B ．－3365C.5475 D ．－5475[答案] A[解析] ∵α、β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝－513×35＋1213×45＝3365.2．cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是( ) A ．0 B.12 C.32D ．－12[答案] B[解析] 原式＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15° ＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.3．已知cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝( )A.33－410B.33＋410C.33－45D.32[答案] B[解析] ∵cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin θ＝45， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝cos θ·cos π6＋sin θ·sin π6 ＝35×32＋45×12＝33＋410. 4．α、β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( ) A.5665 B.1665 C.5665或1665 D ．以上均不对 [答案] A[解析] ∵α，β为锐角，∴0<α＋β<π， 又∵cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，∴0<2α＋β<π，又∵cos(2α＋β)＝35，∴0<2α＋β<π2，∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.5．(08·山东理)已知cos(α－π6)＋sin α＝435，则sin(α＋7π6)的值是( )A ．－235B.235 C ．－45D.45 [答案] C[解析] ∵cos(α－π6)＋sin α＝cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453， ∴12cos α＋32sin α＝45， ∴sin(α＋7π6)＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－32sin α－12cos α＝－45.故选C. 6．已知0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－35，则cos β的值为( )A ．－1B ．－1或－725C ．－2425D ．±2425[答案] C[解析] ∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<32π，∴sin α＝45，cos(α＋β)＝－45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－45×35＋⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425， 故选C.7．在△ABC 中，若cos A ＝1213，cos B ＝725，则cos C 的值是( )A.36325 B.204325 C.36325或204325 D ．－36325[答案] A[解析] 在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，cos A ＝1213，cos B ＝725，∴sin A ＝513，sin B ＝2425，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝－cos[A －(－B )]＝－cos A cos(－B )－sin A sin(－B ) ＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝513×2425－1213×725＝36325，故选A. 8．cos π12＋3sin π12的值为( )A ．－ 2 B. 2 C.12 D. 3 [答案] B[解析] ∵cos π12＋3sin π12＝2⎝⎛⎫12cos π12＋32sin π12 ＝2⎝⎛⎭⎫cos π3cos π12＋sin π3sin π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－π12＝2cos π4＝ 2. [点评] 创造条件应用公式是三角恒等变换的重要技能技巧．9．已知α、β为锐角，cos α＝45，cos β＝1213，则tan(α－β)的值为( )A.1516 B.1663 C.6365 D.1615 [答案] B[解析] ∵α、β为锐角，∴－π2<α－β<π2，又∵cos α＝45，cos β＝1213，∴sin α＝35，sin β＝513，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝45×1213＋35×513＝6365. ∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，sin α＝35>513＝sin β，∴α>β. ∴0<α－β<π2，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫63652＝1665.∴tan(α－β)＝sin(α－β)cos(α－β)＝1663.10．若sin α－sin β＝32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A.12 B.32 C.34D ．1 [答案] A[解析] 将条件式两边分别平方相加得： 2－2sin αsin β－2cos αcos β＝1，∴2－2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝12.二、填空题11.⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12＝________. [答案]32[解析] ⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12 ＝cos π12cos π12－sin π12sin π12＝cos π12cos ⎝⎛⎭⎫－π12＋sin ⎝⎛⎭⎫π12sin ⎝⎛⎭⎫－π12 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－⎝⎛⎭⎫－π12＝cos π6＝32. 12.12cos15°＋32sin15°＝________. [答案]22[解析] 12cos15°＋32sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15° ＝cos(60°－15°)＝cos45°＝22. 13．若α、β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则cos β的值为________．[答案]2425[解析] ∵cos α＝45，α为锐角，∴sin α＝35.又∵cos(α＋β)＝35，α、β为锐角，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝35×45＋35×45＝2425.14．化简2cos10°－sin20°cos20°＝________.[答案] 3[解析] 2cos10°－sin20°cos20°＝2cos(30°－20°)－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝ 3.三、解答题15．已知cos θ＝－1213，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值． [解析] ∵cos θ＝－1213，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－12132＝－513， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝cos θ·cos π4＋sin θ·sin π4 ＝－1213·22＋⎝⎛⎭⎫－513·22＝－17226.16．设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2. [分析] 观察已知角和所求角，可知α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β，故可利用两角差的余弦公式求解． [解析] ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝1－181＝459. cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2·sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋23×459＝7527.17．已知△ABC 中，sin C ＝45，cos B ＝－23，求cos A .[解析] 在△ABC 中，由cos B ＝－23，可得sin B ＝53，且B 为钝角，∴C 为锐角，∴cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ＝－1－sin 2C ＝－35.sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ＝45，∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ] ＝－35×⎝⎛⎭⎫－23＋45×53＝6＋4515. [点评] 本题易错点为忽视角范围的讨论，错误得出cos(A ＋B )＝35⎝⎛⎫或±35而致误． 18．已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos β的值． [解析] ∵cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.又cos(α＋β)＝－1114，0<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β) ＝1－⎝⎛⎭⎫－11142＝5314.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437 ＝60－1198＝12.。
高一数学人教A版必修4第三章3.1.1 两角差的余弦公式 教案
《两角差的余弦公式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4课题：3.1.1 两角差的余弦公式课时：1课时一、教学内容分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.二、教学目标1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.三、学生学情分析学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.四、教学过程设计1.创设情景【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB 建筑市郊的一座小山CD 上,从山脚A 测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB ∠)为60︒，从A 点观测塔顶B 的视角（CAB ∠）约为45︒，求：A,B 两点间的距离.（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×50×()cos 6045︒-︒=100cos15︒.教师引导说明15︒角的余弦值是未知的，而60︒角、45︒角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045︒-︒的余弦值.）【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.【思考1】()cos 6045︒-︒如何求角60︒，45︒的正弦、余弦值来表示呢？ （请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差αβ-的余弦值与这两个角,αβ的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.2.新知探究【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？（请学生思考说明：诱导公式()cos cos πββ-=-，cos sin 2πββ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.） ()()cos cos cos 2πβαβπβ--−−−→⎛⎫- ⎪⎝⎭特殊化 【说明】观察以上两式就是把角α用特殊角π、2π来替换.由于特殊中往往能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.【探究1】()cos πβ-如何用角π和β的正弦、余弦值来表示呢？本环节以教师引导探究为主，展现知识的生成过程.【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,P P 的坐标吗?（请学生说明，点 ()()12cos ,sin ,cos ,sin P P ππββ.）【问题2】根据三角函数的定义，()cos πβ-是角πβ-的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角πβ-的终边吗？（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：方法一：由角β的终边画出角β-的终边，然后将角β-旋转角π，得角πβ-的终边；方法二：以角π的终边为始边旋转角β，得角πβ-的终边.设角πβ-的终边与单位圆交于点3P ，则点3P 的坐标为()()()cos ,sin πβπβ--）【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题.【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？（请学生说明：0312P OP POP ∠=∠，又向量的模相等，0312OP OP OP OP ∴⋅=⋅，由向量数量积的坐标运算得：()cos cos cos sin sin πβπβπβ-=+.）【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）β的终边y x π-β的终边1,0()π的终边P3P1P2O P0上完成图1对应的表格.【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.【探究2】根据上述做法， cos 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值如何用角,2πβ的正弦、余弦值来表示呢？（请学生根据学案中的图2，四人一组完成探究. 教师引导说明角2πβ-的终边的形成过程，学生类比()cos πβ-的推导过程，以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：0312OP OP OP OP ⋅=⋅βπβπβπsin 2sin cos 2cos 2cos +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,αβ是任意角，那么()cos αβ-= ？（学生观察上式，归纳说明.）【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.【探究3】你能否证明自己的猜想？π（请学生类比上面两式的推导过程，在学案中自主探究完成，并与周围同学相互交流，解决自己存在的问题.其中，差角αβ-的形成过程教师可利用几何画板旋转得到，帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程，并请该生解说： 0312OP OP OP OP ⋅=⋅()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+）【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.【归纳】两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式.3.应用举例例.求cos15︒的值.（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.4.课堂小结【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？（学生说明，师生共同归纳总结.）（1）两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）向量作为工具性知识的运用；（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.β的终边α)【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.5.作业布置（1）课本127页，练习2,3题；（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.。
高中数学人教A版必修4课件-3.1.1两角差的余弦公式1
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6 2 4
OA cosα,sinα OB cosβ,sinβ
OA OB OA OB cos( )
cos( )
A
∵ OA OB
-1
cos cos sin sin
y 1
α -β
B
α
β
o
1x
-1
∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
对于任意角 α,β
结 论 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
3.1.1 两角差的余弦公式
两个向量的数量积
温 a b a b cosθ 其中θ∈[0，π ]
故
知 新
a x1, y1 b x2, y2
a b x1x2 y1y2
复习回顾：
向量的数量积以及两个向量夹角的余弦值公式. 练习：已知向量 a (cos45o ,sin 45o )，b (cos30o ,sin 30o )， 求 a,b夹角 的余弦 解： | a | cos2 45o sin2 45o 1
思考题：已知α，β都是锐角, cosα=
4 5
，
cosα+β 5 求cosβ的值 13
变角: β= α+β α
分析：cos三角函c数os中一定要 注意视
c察o5s角α=4度β之α 12c间o+的3sβ α关系si，n例α如βsinα
13=5 ( 13 -5 )+
16 65
课堂练习： P127 练习 3、4题
22
22
6 2 4
思考：你会求sin75 的值吗?
学 以 致 用
例1已知
cosα=
-
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2019_2020学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式练习新人教A版必修4
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式[A 基础达标]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 的值为( ) A.1925 B.1625 C.1425D.725解析：选D.因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝725.2．已知sin α＝55，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C.15D.35解析：选 D.cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝35.3．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2解析：选 C.因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13，则sin(－3π＋2α)＝( ) A.79B ．－79C.35 D ．－35解析：选A.易得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132－1＝－79.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin 2α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝79.故选A.5．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( ) A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28°解析：选A.tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A. 6．已知sin α－2cos α＝0，则tan 2α＝________． 解析：由sin α－2cos α＝0，得tan α＝sin αcos α＝2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×21－22＝－43. 答案：－437．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________．解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1 ＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 答案：－568.1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________．解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1.答案：19．已知sin 2α＝513，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α的值．解：由π4<α<π2，得π2<2α<π.因为sin 2α＝513，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169；cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝119169.10．已知π2<α<π，sin α＝45.(1)求tan 2α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4的值．解：(1)由题意得cos α＝－35，所以tan α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－831－169＝247. (2)因为sin α＝45，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725，sin 2α＝2sin α·cos α＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＝cos 2α·cos π4＋sin 2α·sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－725×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×22＝－31250. [B 能力提升]11．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4等于( )A.43 B ．－43C.34D ．－34解析：选C.tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x＝－1－tan 2x 2tan x ＝4－12×2＝34.12．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________． 解析：1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝2 2 ⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)， 所以sin 2θ＝－12，所以sin θ＋cos θ<0，所以θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以cos 2θ＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 2θ·cos π3＋sin π3cos 2θ＝12.答案：1213．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．解：因为0<x <π4，所以0<π4－x <π4.又因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213.因为cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，所以cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413.14．(选做题)已知sin x 2－2cos x2 ＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ）的值．解：(1)由sin x 2－2cos x2＝0，知cos x 2≠0，所以tan x2＝2，所以tan x ＝2tanx21－tan 2 x 2＝2×21－22＝－43.(2)由(1)知tan x ＝－43，所以cos 2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ）＝cos 2x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x （－sin x ）＝cos 2x －sin 2x⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x sin x＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22（cos x －sin x ）sin x＝2×cos x ＋sin xsin x＝2×1＋tan x tan x ＝24.。
人教A版新课标高中数学必修4第一章《三角函数》综合练习题(含答案)
第一章《三角函数》综合练习一、选择题1.已知角α的终边经过点0p （-3，-4），则)2cos(απ+的值为（ ）A.54-B.53C.54D.53-2.半径为πcm ，圆心角为120︒所对的弧长为（）A .3πcmB .23πcmC .23πcm D .223πcm 3.函数12sin[()]34y x π=+的周期、振幅、初相分别是（ ）A .3π，2-，4πB .3π，2，12πC .6π，2，12πD .6π，2，4π4.sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，然后把图象沿x 轴向右平移3π个单位，则表达式为（ ） A .1sin()26y x π=-B .2sin(2)3y x π=-C .sin(2)3y x π=-D .1sin()23y x π=-5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于点(π3，0)对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称6.如图，曲线对应的函数是 （ ） A ．y=|sin x | B ．y=sin|x |C ．y=－sin|x |D ．y=－|sin x |7．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（）A ．2B ．0C ．41 D ．68．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π6(x ∈[0，π])的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，11π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，11π12 9.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（ ）A.4=AB.1ω=C.6πϕ= D.4=B10.已知1cos()63πα+=-，则sin()3πα-的值为（）A .13B .13-C .233D .233-11.已知α、β是第二象限的角，且βαcos cos >，则 （ ）A.βα<;B.βαsin sin >；C.βαtan tan >；D.以上都不对12.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于( )A. 1B.22C. 0D.22-二、填空题13．函数x x f cos 21)(-=的定义域是______________ 14．若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin αcos α的值是_____________.15、函数])32,6[)(6cos(πππ∈+=x x y 的值域是 ． 16．函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是__________.三、解答题17.已知α是第二象限角，sin()tan()()sin()cos(2)tan()f πααπαπαπαα---=+--．（1）化简()f α； （2）若31sin()23πα-=-，求()f α的值．18.已知tan 3α=，求下列各式的值： （1）4sin cos 3sin 5cos αααα-+ ；（2）212sin cos cos ααα+．19．（1）画出函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － 2x 在一个周期的函数图像；（2）求出函数的对称中心和对称轴方程．20．已知y ＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)判断其奇偶性．(2)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最大值，并求取得最大值时的x ；21．已知函数45)62sin(21++=πx y (1)求函数的单调递增区间； (2)写出y=sinx 图象如何变换到15sin(2)264y x π=++的图象第一章《三角函数》综合练习答案一、选择题1-5 CDCBB 6-10 CBBCA 11-12 BB 二、填空题13、5[2,2],33k k k Z ππππ++∈14、31015、1[]216、13k << 17. 解析：（1）sin (tan )1()sin cos (tan )cos f ααααααα-==---；（2）若31sin()23πα-=-，则有1cos 3α=-，所以()f α=3。
人教A版数学必修四练习：第3章 三角恒等变换 3.1.3
第三章 3.1 3.1.3A 级 基础巩固一、选择题1．(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)＝( D )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[解析] 原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.2．若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( D )A ．2B ．3C ．4D ．6[解析] 原式＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝6.3．已知sin(π4－x )＝35，则cos(π2－2x )的值为( D )A ．1925B ．1625C ．1425D ．725[解析] cos(π2－2x )＝1－2sin 2(π4－x )＝1－1825＝725.4．若α为锐角，3sin α＝tan α＝2tan β，则tan2β等于( D ) A ．34B ．43C ．－34D ．－43[解析] 由3sin α＝tan α，得cos α＝13，∴sin α＝223.∴2tan β＝3sin α＝22，tan β＝2. ∴tan2β＝2tan β1－tan 2β＝－43.5．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( A )A ．－53B ．－59C ．59 D ．53[解析] sin α＋cos α＝33，两边平方可得1＋sin2α＝13⇒sin2α＝－23. α是第二象限角，因此sin α>0，cos α<0， 所以cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1＋23＝－153， ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－53. 6．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( A ) A ．－35B ．－15C ．15D ．35[解析] sin 4α－cos 4α＝－(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝－cos2α＝2sin 2α－1＝－35.二、填空题7．已知α∈(π2，π)，sin α＝55，则tan2α＝__－43__.[解析] 由题意可知，tan α＝－12，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－11－14＝－43.8．化简：2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α＝__tan2α__.[解析] 原式＝4sin α·cos α2cos 2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝2sin α·cos αcos 2α－sin 2α＝2tan α1－tan 2α＝tan2α.三、解答题9．求下列各式的值： (1)2cos 2α－12tan (π4－α)sin 2(π4＋α)；(2)23tan15°＋tan 215°； (3)sin10°sin30°sin50°sin70°.[解析] (1)原式＝cos2α2tan (π4－α)cos 2(π2－π4－α)＝cos2α2tan (π4－α)cos 2(π4－α)＝cos2α2sin (π4－α)cos (π4－α)＝cos2αsin (2×π4－2α)＝cos2αcos2α＝1. (2)原式＝3tan30°(1－tan 215°)＋tan 215° ＝3×33(1－tan 215°)＋tan 215°＝1. (3)方法一：sin10°sin30°sin50°sin70° ＝12cos20°cos40°cos80° ＝2sin20°cos20°cos40°cos80°4sin20°＝sin40°cos40°cos80°4sin20°＝sin80°cos80°8sin20°＝116·sin160°sin20°＝116.方法二：令x ＝sin10°sin50°sin70°，y ＝cos10°cos50°cos70°，则xy ＝sin10°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70°，＝12sin20°·12sin100°·12sin140° ＝18sin20°sin80°sin40° ＝18cos10°cos50°cos70°＝18y . ∵y ≠0，∴x ＝18.从而有sin10°sin30°sin50°sin70°＝116. 10．已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求sin2α，cos2α，tan2α的值．[解析] ∵sin α＋cos α＝13∴sin 2α＋cos 2α＋2sin α·cos α＝19，∴sin2α＝－89且sin αcos α＝－49<0.∵0<α<π，sin α>0，∴cos α<0，∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝1－sin2α＝173， ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)＝13×(－173)＝－179，∴tan2α＝sin2αcos2α＝81717. B 级 素养提升一、选择题1．已知锐角α的终边经过点P (cos50°，1＋sin50°)，则锐角α等于( C ) A ．10° B ．20° C ．70°D ．80°[解析] 由三角函数的定义tan α＝1＋sin50°cos50°＝1＋cos40°sin40°＝2cos 220°2sin20°cos20°＝cos20°sin20°＝sin70°cos70°＝tan70°.所以α＝70°.2.2－2cos8＋21－sin8的化简结果是( A ) A ．2cos4－4sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4D ．－2sin4[解析] 原式＝2(1－cos8)＋21－2sin4cos4 ＝2·1－(1－2sin 24)＋2(sin4－cos4)2 ＝2|sin4|＋2|sin4－cos4|＝2cos4－4sin4.3．若cos2αsin (α－π4)＝－22，则cos α＋sin α的值为( C )A ．－72B ．－12C ．12D ．72[解析] cos2αsin (α－π4)＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝－2(cos α＋sin α)＝－22.∴sin α＋cos α＝12.4．已知cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( B ) A ．1318B ．1118C ．79D ．－1[解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118.二、填空题5．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于[解析] 由sin 2α＋cos2α＝14得sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∵α∈(0，π2)，∴cos α＝12，∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3.6．已知α为第三象限角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝__－17__.[解析] 由题意sin2α＝45，∴tan2α＝－43.∴tan(π4＋2α)＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43＝－17.三、解答题7．已知向量m ＝(cos α－23，－1)，n ＝(sin α，1)，m 与n 为共线向量，且α∈[－π2，0]． (1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．[解析] (1)∵m 与n 为共线向量， ∴(cos α－23)×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)由(1)得1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∵(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，∴(sin α－cos α)2＝2－(23)2＝169. 又∵α∈[－π2，0]，∴sin α－cos α<0，sin α－cos α＝－43.因此，sin2αsin α－cos α＝712.8．求值：sin50°(1＋3tan10°)． [解析] 原式＝sin50°(1＋3sin10°cos10°)＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°·2(12cos10°＋32sin10°)cos10°＝sin50°·2(sin30°cos10°＋cos30°sin10°)cos10°＝sin50°·2sin40°cos10°＝2cos40°sin40°cos10°＝sin80°cos10°＝cos10°cos10°＝1. 9．(广东高考)已知tan α＝2. (1)求tan(α＋π4)的值；(2)求sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1的值．[解析] (1)tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.由Ruize收集整理。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式练习(含解析)新人教A版必修4
高中数学第三章三角恒等变换3.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式练习（含解析）新人教A 版必修41．设α是第四象限角，已知sin α＝－35，则sin2α，cos2α和tan2α的值分别为( )A ．－2425，725，－247B ．2425，725，247C ．－2425，－725，247D ．2425，－725，－247答案 A解析 因为α是第四象限角，且sin α＝－35，所以cos α＝45，所以sin2α＝2sin αcos α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝725，tan2α＝sin2αcos2α＝－247．2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210，cos2α＝725，则cos α＝( )A ．45B ．－45C ．－35D ．35 答案 A解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210，∴22sin α＋22cos α＝7210，即sin α＋cos α＝75，∵cos2α＝725，∴cos 2α－sin 2α＝725，即(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725，∴cos α－sin α＝15，可得cos α＝45，故选A ．3．1－tan 215°2t an15°等于( )A ． 3B ．33C ．1D ．－1 答案 A解析 原式＝12tan15°1－tan 215°＝1tan30°＝3．4．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值等于( ) A ．62 B ．32 C ．54 D ．1＋34答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋14＝54．5．sin65°cos25°＋cos65°sin25°－tan 222.5°2tan22.5°等于( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2 答案 B解析 原式＝sin90°－tan 222.5°2tan22.5°＝1－tan 222.5°2tan22.5°＝1tan45°＝1．6．3－sin70°2－cos 210°的值是________． 答案 2 解析3－sin70°2－cos 210°＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝23－cos20°3－cos20°＝2． 7．若cos(75°－α)＝13，则cos(30°＋2α)＝________．答案 79解析 由cos(75°－α)＝13，得cos(150°－2α)＝2cos 2(75°－α)－1＝－79，则cos(30°＋2α)＝cos[180°－(150°－2α)] ＝－cos(150°－2α)＝79．8．若α∈2，2，则1＋sin α＋1－sin α的值为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2 C ．2sin α2 D ．－2sin α2 答案 D解析 ∵α∈5π2，7π2，∴α2∈5π4，7π4，∴原式＝sin α2＋cos α2＋sin α2－cos α2＝－sin α2－cos α2－sin α2＋cos α2＝－2sin α2． 9．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos2α－π4sin α＋π2等于( )A ．25B ．75C ．145D ．－25 答案 C解析 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45．∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin2α＝2sin αcos α＝2425，∴原式＝1＋2cos2αcos π4＋sin2αsinπ4cos α＝1＋cos2α＋sin2αcos α＝145．10．已知sin x 2－2cos x2＝0．(1)求tan x 的值；(2)求cos2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin π＋x 的值．解 (1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43．(2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin π＋x ＝cos2x－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin x＝cos 2x －sin 2x⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x sin x＝cos x －sin x cos x ＋sin x22cos x －sin x sin x＝2×cos x ＋sin x sin x ＝2×1＋tan x tan x ＝24．对应学生用书P90一、选择题1．12－sin 215°＝( ) A ．64 B ．6－24 C ．32 D ．34答案 D解析 原式＝12－1－cos 2×15°2＝cos30°2＝34．2．函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 答案 C解析 ∵f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－1＝－cos2x 2＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x ，∴函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－1是最小正周期为2π的奇函数．3．已知cos π4－x ＝35，则sin2x 的值为( )A ．1825B ．725C ．－725D ．－1625 答案 C解析 因为sin2x ＝cos π2－2x ＝cos2π4－x ＝2cos 2π4－x －1，所以sin2x ＝2×352－1＝1825－1＝－725．4．已知cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A ．1318 B ．1118 C ．79 D ．－1 答案 B解析 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118．5．若cos2αsin α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72 B ．－12C ．12D ．72 答案 C解析 cos2αsin α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝cos α＋sin αcos α－sin α22sin α－cos α＝－2(cos α＋sin α)＝－22． ∴sin α＋cos α＝12．二、填空题6．已知tan x ＋π4＝2，则tan xtan2x 的值为________．答案 49解析 ∵tan x ＋π4＝2，∴tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13．∴tan x tan2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x＝1－tan 2x2＝1－192＝49． 7．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈0，π2，则 α＝________．答案π6解析 ∵sin 22α＋sin2αcos α－(cos2α＋1)＝0． ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0． ∵α∈0，π2．∴2cos 2α>0．∴2sin 2α＋sin α－1＝0．∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6．8．设a ＝12cos7°－32sin7°，b ＝2cos12°·cos78°，c ＝1－cos50°2，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c >b >a解析 a ＝12cos7°－32sin7°＝sin30°cos7°－cos30°sin7°＝sin(30°－7°)＝sin23°，b ＝2cos12°cos78°＝2sin12°·cos12°＝sin24°，c ＝1－cos50°2＝1－1－2sin 225°2＝sin 225°＝sin25°，所以c >b >a ．三、解答题9．求下列各式的值：(1)sin π8sin 3π8；(2)cos 215°－cos 275°；(3)2cos25π12－1；(4)tan30°1－tan 230°； (5)求s in10°sin30°sin50°sin70°的值． 解 (1)∵sin 3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π8＝cos π8，∴sin π8sin 3π8＝sin π8cos π8＝12·2sin π8cos π8＝12sin π4＝24．(2)∵cos 275°＝cos 2(90°－15°)＝sin 215°， ∴cos 215°－cos 275°＝cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32． (3)2cos25π12－1＝cos 5π6＝－32． (4)tan30°1－tan 230°＝12×2tan30°1－tan 230°＝12tan60°＝32． (5)解法一：∵sin10°sin50°sin70°＝sin20°sin50°sin70°2cos10°＝sin20°cos20°sin50°2cos10°＝sin40°sin50°4cos10°＝sin40°cos40°4cos10°＝sin80°8cos10°＝18，∴sin10°sin30°sin50°sin70°＝116．解法二：sin10°sin30°sin50°sin70°＝12cos20°cos40°cos80°＝2sin20°cos20°cos40°cos80°4sin20°＝sin40°cos40°cos80°4sin20°＝sin80°cos80°8sin20°＝116·sin160°sin20°＝116．10．已知α为钝角，且tan π4－α＝2．(1)求tan α的值；(2)求sin2αcos α－sin αcos2α的值．解 (1)tan π4－α＝1－tan α1＋tan α，所以1－tan α1＋tan α＝2，1－tan α＝2＋2tan α，所以tan α＝－13．(2)sin2αcos α－sin αcos2α＝2sin αcos 2α－sin αcos2α＝sin α2cos 2α－1cos2α＝sin αcos2αcos2α＝sin α．因为tan α＝－13，所以cos α＝－3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110，又α为钝角，所以sin α＝1010， 所以sin2αcos α－sin αcos2α＝1010．。
高中数学 3-1-1精品练习 新人教A版必修4
3.1.1一、选择题1．已知锐角α、β满足coα＝错误!，coα＋β＝－错误!，则coβ＝B．－错误!D．－错误![答案] A[解析] ∵α、β为锐角，coα＝错误!，coα＋β＝－错误!，∴inα＝错误!，inα＋β＝错误!∴coβ＝co[α＋β－α]＝coα＋β·coα＋inα＋β·inα＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!2．co75°co15°－in255°in15°的值是A．0D．－错误![答案] B[解析] 原式＝co75°·co15°＋in75°in15°＝co75°－15°＝co60°＝错误!3．已知coθ＝错误!，θ∈错误!，则co错误!＝[答案] B[解析] ∵coθ＝错误!，θ∈错误!，∴inθ＝错误!，∴co错误!＝coθ·co错误!＋inθ·in错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!4．α、β为锐角，coα＋β＝错误!，co2α＋β＝错误!，则coα的值为或错误!D．以上均不对[答案] A[解析] ∵α，β为锐角，∴00，∴0错误!＝inβ，∴α>β∴0<α－β<错误!，∴inα－β＝错误!＝错误!＝错误!∴tanα－β＝错误!＝错误!10．若inα－inβ＝错误!，coα－coβ＝错误!，则coα－β的值为D．1[答案] A[解析] 将条件式两边分别平方相加得：2－2inαinβ－2coαcoβ＝1，∴2－2coα－β＝1，∴coα－β＝错误!二、填空题错误!＝________[答案] 错误![解析] 错误!错误!＝co错误!co错误!－in错误!in错误!＝co错误!co错误!＋in错误!in错误!＝co错误!＝co错误!＝错误!co15°＋错误!in15°＝________[答案] 错误![解析] 错误!co15°＋错误!in15°＝co60°co15°＋in60°in15°＝co60°－15°＝co45°＝错误!13．若α、β为锐角，且coα＝错误!，coα＋β＝错误!，则coβ的值为________．[答案] 错误![解析] ∵coα＝错误!，α为锐角，∴inα＝错误!又∵coα＋β＝错误!，α、β为锐角，∴inα＋β＝错误!＝错误!＝错误!，∴coβ＝co[α＋β－α]＝coα＋βcoα＋inα＋βinα＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!14．化简错误!＝________[答案] 错误![解析] 错误!＝错误!＝错误!＝错误!三、解答题15．已知coθ＝－错误!，θ∈错误!，求co错误!的值．[解析] ∵coθ＝－错误!，θ∈错误!，∴inθ＝－错误!＝－错误!＝－错误!，∴co错误!＝coθ·co错误!＋inθ·in错误!＝－错误!·错误!＋错误!·错误!＝－错误!16．设co错误!＝－错误!，in错误!＝错误!，其中α∈错误!，β∈错误!，求co错误![分析] 观察已知角和所求角，可知错误!＝错误!－错误!，故可利用两角差的余弦公式求解．[解析] ∵α∈错误!，β∈错误!，∴α－错误!∈错误!，错误!－β∈错误!，∴in错误!＝错误!＝错误!＝错误!co错误!＝错误!＝错误!＝错误!∴co错误!＝co错误!＝co错误!co错误!＋in错误!·in错误!＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!17．已知△ABC中，in C＝错误!，co B＝－错误!，求co A[解析] 在△ABC中，由co B＝－错误!，可得in B＝错误!，且B为钝角，∴C为锐角，∴co A＋B＝coπ－C＝－co C＝－错误!＝－错误!in A＋B＝inπ－C＝in C＝错误!，∴co A＝co[A＋B－B]＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误![点评] 本题易错点为忽视角范围的讨论，错误得出co A＋B＝错误!错误!而致误．18．已知coα＝错误!，coα＋β＝－错误!，且α、β∈错误!，求coβ的值．[解析] ∵coα＝错误!，α∈错误!，∴inα＝错误!＝错误!＝错误!又coα＋β＝－错误!，0<α＋β<π，∴inα＋β＝错误!＝错误!＝错误!∴coβ＝co[α＋β－α]＝coα＋βcoα＋inα＋βinα＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!＝错误!。
高中数学(人教A版)必修4：3-1-1同步试题(含详解)
＝ 2＋ 2cos(α－ β) 1
＝ 2＋ 2× 3 8
＝ 3. 5． 已知 sinα＋ sinβ＋ sinγ＝ 0， cosα＋ cosβ＋ cosγ＝ 0，求 cos(α－ β)的值． 解 由 sin α＋ sinβ＋ sinγ＝ 0， cosα＋ cosβ＋ cosγ＝0，得
sinα＋ sinβ＝－ sinγ①
AC 3
BC 4
sinB＝ AB＝ 5， cosB＝ AB＝ 5，
∴cos(A－ B)＝ cosAcosB＋sinAsinB
＝
35×
45＋
45×
35＝
24 25.
答案 C
6．已知平面向量
a＝ (cosα， sinα)，b＝ (cosβ， sinβ)(α， β∈ R)，当
α＝512π，
β＝
π时， 4
a·b
14 故 u 的最大值为 2 ，
14 即 cosα＋ cosβ的最大值为 2 .
10．已知函数 f (x)＝ Asin(x＋ φ)(A>0,0< φ<π，）x∈ R 的最大值是
1，其图像经过点
M
π， 1 32
.
(1)求 f (x)的解析式；
(2)已知
α， β∈
π 0， 2 ，且
f(α)＝ 3， f(β)＝12，求
⑤ cos(α－ β)＝ cosαcosβ＋ sinαsinβ
A．0 个 答案 B
B．1 个
C．2 个
D．3 个
2． cos45 °cos15 °＋ sin45 s°in15 的°值为 ( )
2 A. 2
3 B. 2
1 C．－ 2
3 D．－ 2
解析
原式＝
2020人教A版数学必修四 3.1.1
第三章 3.1 3.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．化简：cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果是( A ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32[解析] cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)＝cos[(45°－α)＋(α＋15°)] ＝cos60°＝12.2．满足cos αcos β＝32－sin αsin β的一组α，β的值是( B ) A ．α＝1312π，β＝3π4B ．α＝π2，β＝π3C ．α＝π2，β＝π6D ．α＝π3，β＝π4[解析] 由条件cos αcos β＝32－sin αsin β得 cos αcos β＋sin αsin β＝32，即cos(α－β)＝32，α＝π2，β＝π3满足条件． 3．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则22cos(α－π4)＝( B )A ．110B ．710C ．－710D ．－110[解析] α∈(0，π2)，sin α＝35，cos α＝45，原式＝22(cos α·22＋sin α·22) ＝12(cos α＋sin α)＝710. 4．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin(π2＋φ)＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( B )A ．－55B ．55C ．11525D ． 5[解析] ∵sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，可解得：sin θ＝35，cos θ＝－1－sin 2θ＝－45，又∵sin(π2＋φ)＝－255，φ是第三象限角，cos φ＝－255，sin φ＝－1－cos 2φ＝－55，∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝(－45)×(－255)＋35×(－55)＝55.5．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( B ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2xD ．－cos2y[解析] 原式＝cos(x ＋y )cos(x －y )＋sin(x ＋y )·sin(x －y )＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y . 6．已知sin(30°＋α)＝35，60°<α<150°，则cos α＝( A )A ．3－4310B ．3＋4310C ．4－3310D ．4＋3310[解析] ∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°， ∴cos(30°＋α)＝－45，又cos α＝cos[(30°＋α)－30°]＝cos(30°＋α)cos30°＋sin(30°＋α)sin30°＝－45×32＋35×12＝3－4310.二、填空题7．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则cos(α－π3)的值是__45__.[解析] cos(α－π6)＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453，12cos α＋32sin α＝45， ∴cos(α－π3)＝12cos α＋32sin α＝45.8．已知tan θ＝－34，θ∈(π2，π)，则cos(θ－π3)的值为10[解析] ∵tan θ＝－34，∴sin θ＝35，cos θ＝－45，∴cos(θ－π3)＝cos θcos π3＋sin θsin π3＝－45×12＋35×32＝33－410.三、解答题9．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1213，且π4<α<3π4，求cos α的值． [解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1213，且π4<α<3π4， ∴π2<α＋π4<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－⎝⎛⎭⎫12132＝－513. ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4 ＝－513×22＋1213×22＝7226.10．已知α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，求cos(α＋π4)的值．[解析] ∵α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，∴α＋β∈(3π2，2π)，β－π4∈(π2，3π4)，∴cos(α＋β)＝1－(－35)2＝45，cos(β－π4)＝－1－(1213)2＝－513，∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)·cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)＝45×(－513)＋(－35)×1213＝－5665. B 级 素养提升一、选择题1.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形与大正方形面积之比为4﹕9，且直角三角形的两锐角分别为α，β，则cos(α－β)的值为( A )A ．59B ．49C ．23D ．0[解析] 设大正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为4﹕9，可得小正方形的边长为23，所以有sin α－cos α＝23，①cos β－sin β＝23，②由图可得cos α＝sin β，sin α＝cos β，①×②可得49＝sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＋cos αsin β＝cos 2β－(cos αcos β＋sin αsin β)＋sin 2β＝1－cos(α－β)，解得cos(α－β)＝59.2．若32sin x ＋12cos x ＝4－m ，则实数m 的取值范围是( A ) A ．3≤m ≤5 B ．－5≤m ≤5 C ．3<m <5 D ．－3≤m ≤3[解析] ∵32sin x ＋12cos x ＝cos x cos π3＋sin x sin π3＝cos(x －π3)＝4－m ，∴cos(x －π3)＝4－m ，∴|4－m |≤1，解得3≤m ≤5.3．cos α＝35，cos(α－β)＝7210，且0<β<α<π2，那么β＝( D )A ．π12B ．π6C ．π3D ．π4[解析] 由0<β<α<π2，得0<β－α<π2，又cos α＝35，cos(α－β)＝7210，所以sin α＝1－cos 2α＝45，sin(β－α)＝－sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－210， 则cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α ＝7210×35－(－210)×45 ＝22. 所以β＝π4.4．已知sin α＋sin β＝45，cos α＋cos β＝35，则cos(α－β)的值为( D )A ．925B ．1625C ．12D ．－12[解析] 由已知，得(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫352＝1， 所以2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1， 即2＋2cos(α－β)＝1. 所以cos(α－β)＝－12.二、填空题5．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)sin(31°＋2α)＝2[解析] 原式＝cos[(61°＋2α)－(31°＋2α)] ＝cos30°＝32.6．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos α，则tan α＝3[解析] cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3 ＝12cos α＋32sin α＝cos α， ∴32sin α＝12cos α，∴sin αcos α＝33，即tan α＝33. 三、解答题7．已知：cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β)． [解析] 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π.因为cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π.所以sin(2α－β)＝22. 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2，因为sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2， 所以cos(α－2β)＝22. 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－22×22＋22×22＝0. 8．已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0,0<φ<π，x ∈R )的最大值是1，其图象经过点M (π3，12)．(1)求f (x )的解析式；(2)已知α、β∈(0，π2)，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (α－β)的值．[解析] (1)由题意，知A ＝1，则f (x )＝sin(x ＋φ)．将点M (π3，12)代入，得sin(π3＋φ)＝12.而0<φ<π，∴π3＋φ＝56π，∴φ＝π2，故f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x .(2)由题意，有cos α＝35，cos β＝1213.∵α、β∈(0，π2)，∴sin α＝1－(35)2＝45，sin β＝1－(1213)2＝513，∴f (α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×1213＋45×513＝5665.。