利用函数思想解题策略
数学中的五大主要解题思路
数学中的五大主要解题思路数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
今天小编给大家讲讲数学中的五大主要解题思路，希望可以帮助到大家。
函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。
利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。
数形结合思想中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。
它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此我们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。
特殊与一般的思想用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，我们可以直接确定选择题中的正确选项。
不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样精彩。
(某些选择题的最佳方法) 极限思想解题步骤极限思想解决问题的一般步骤为：(1)对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量;(2)确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;(3)构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。
分类讨论思想我们常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。
引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。
在分类讨论解题时，要做到标准统一，不重不漏。
抽象函数问题解法
抽象函数问题解法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。
它与函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等函数性质联系在一起，具有很强的抽象性。
这类问题主要考查数学思想方法的运用能力，以及对数学语言以及符号的阅读理解能力。
本文结合具体问题分类剖析这类问题的求解策略。
一、利用函数性质的解题思想函数性质是反映函数特征的主要途径，充分利用题设条件中已表明或隐含的函数性质，选择适当的方法解决抽象函数问题。
1.利用对称性，数形结合例1：已知函数f（x）对一切实数x都有f（2+x）= f（2-x），如果方程f（x）=0恰好有4个不同的实根，求这些实根之和。
策略：由f（2+x）= f（2-x）可知是函数图像关于直线x=2对称。
又f（x）=0四个根按由小到大的顺序可设为x1、x2、x3、x4，则x1+x4=2×2=4，x2+x3=2×2=4，∴x1+x2+x3+x4=8。
2. 利用奇偶性分析函数特征例2：已知函数f（x）=ax+bsinx+3，且f（-3）=7，求f（3）的值。
策略：注意到g（x）=ax+bsinx=f（x）-3是奇函数，可得g（-3）= -g（3），即f（-3）-3= -[f（3）-3]，f（3）=6-f（-3）= -1。
3. 利用单调性等价转化例3：已知奇函数f（x）在定义域（－１，1）上是减函数，试求满足不等式f（１－a）+f（1-a2）4.利用周期性研究函数特征例4：已知f（x）是定义在正整数集上的函数，对任意正整数x 都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），且f（1）=2002，求f（2002）。
分析：根据x的任意性，判断函数的周期。
略解：由f（x）=f（x-1）+f（x+1），可得：f（x+3）=-f（x）。
∴f（x+6）=-f（x+3）=[-f（x）]=f（x），∴f（x）是以6为周期的周期函数，∴f（2002）=f（333×6+4）=f（４）＝f（３＋１）＝－f（１）＝－２００２。
用函数思想解决不等式问题
函数思想在解决不等式问题中的应用河南省新乡市第一中学 吴 磊函数思想是贯穿于高中数学课程的一条主线，它是高考试题的主要内容.由于函数在某个区间上的正、负与不等式问题直接相关，故用函数的理论方法处理不等式问题大有用武之地.函数思想是用运动与变化的观点分析问题中的数量关系，通过函数形式把相关变量的数量关系表示出来加以研究，从而使问题得以解决的策略思想.函数思想在不等式中的应用大致分为以下几个方面：一、 函数的单调性证明不等式函数的单调性的应用之一就是由自变量的大小得出函数值的大小，利用这一性质即可证明某些不等式.例1、 求证：b a ba b ba a+++≥+++111 简析：由所证不等式构造函数x x x f +=1)(，易知)(x f 在[)+∞,0上为增函数，由b a b a +≥+，可知)()(b a f b a f +≥+，即b a ba b a ba +++≥+++11，所以只需证明b a b a b b aa+++≥+++111即可，接下来的工作可由放缩法解决， 即b a ba b a bb a a b ba a+++=+++++≥+++11111.二、用函数图象的相对位置解不等式例2设函数ax x x f -+=1)(2，其中a ＞0，解不等式1)(≤x f .解：1)(≤x f 等价于ax x +≤+112.设y x =+12，122=-∴x y （y ＞0） 设ax y +=1,则所研究的问题为直线ax y +=1位于双曲线122=-x y 上半支上方时x 的范围,如下图所示,(1) 当0＜a ＜1时,直线l 与双曲线c 有两个交点,横坐标分别为212,0a a x x -==,此时不等式的解为2120a a x -≤≤; (2) 当1≥a 时,直线与双曲线只有 一个(0,1)交点,故只要x ≥0,原不等式就成立,综合(1)、(2)可知，当0＜a ＜1时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤2120a a x x ； 当1≥a 时，原不等式的解集为{}0≥x x三、变量的取值范围，可考虑将一个变量表示为另一变量的函数处理 例3、若正数b a ,满足3++=b a ab ，求ab 的取值范围. 解：.13,3-+=∴++=b b a b a ab 又∵a ＞0,b ＞0,13-+∴b b ＞0,∴b ＞1. ()()()()951412514114414411443132=+--≥+-+-=-++=-++-=-+-+=-+=∴b b b b b b b b b b b b b b b ab 当且仅当141-=-b b ，即b =3时，等号成立， ∴ab 的取值范围是[)+∞,9四、 整体分析把不等式问题转化为函数问题解决例4、对于满足40≤≤p 的实数p ，不等式32++px x ＞p x +4恒成立，求x 的取值范围.简析：我们习惯于以x 为自变量构造函数()p x p x y -+-+=342，于是问题转化为当[]4,0∈p 时，y ＞0恒成立，求x 的范围，此时可用二次方程区间实根分布的问题解决，但过程相当繁杂；如果设)34()1()(2+-+-=x x p x p f ＞0 对一切[]4,0∈p 恒成立，则对于一次函数)(p f ，只需)0(f ＞0且)4(f ＞0即可，从而得出()()+∞⋃-∞-∈,31,x，所以用函数思想解题往往能起到“润物细无声”的效果.。
54[1].利用函数思想解不等式的几种策略(王照区)
![54[1].利用函数思想解不等式的几种策略(王照区)](https://img.taocdn.com/s3/m/a574e9b3f121dd36a32d8259.png)
・ 二当 当
当一 ｉ ＜ｘ － ＜ｌ － 时， ｆ （ ｘ ） ＞
一 １ 城ｘ ＿ ｝ － ０
Ｏ ｝ｘ ＿ｌ
ａ 簇 ０ 时， 不等式解集为〔 １ ， 十０ ０） ；
３ ４
解题探讨
今
中学生理科月刊． ２ ０ ０ ４ 一１
浙江省瑞安市第十中 学 ③ 王照区 （ ３ ２ ５ ２ ０ ０ ）
解不等式的基本思想是等价转化， 而在转化变形 过程中， 常出现增根 、 失根的情况， 即不等价变形， 或 出现计算、 讨论较复杂情况． 若巧妙地利用函数思想 方法来解不等式 ， 往往可以使问题简化． 下面通过实 例谈一谈利用函数思想解不等式的几种策略．
原不等式的解集为Ｒ ｃ ＝ ＞ ｆ （ ｘ ） ｍ ｉ ， ＞ ａ ， ｆ （ ｘ ） ）一 ３ ， ａ ＜一 ３ ， 即ａ 的 取值范围 是（ 一 ０ ， 一 ３ ） ．
函数与不等式的知识综合是高考考查的重点内 （ １ ） 求当、 〔［ 一 １ ， １ ］ 时， 函数ｆ （ ｘ ） 的表达式； 容之一， 利用函数的性质解不等式， 可以达到事半功 （ ２ ） 若函数ｆ （ ｘ ） 的最大值为 １ ／ ２ ， 解关于 ｘ 的不 倍的效果， 平时应多加强训练．
直接解不等式．
； ｘ ２ ＋ － ｘ ａ ＋ ｘ １ （ ａ ４ ５ ２ 且 ・ ‘ “ ，
（ １ ） ． ． ｆ （ ｘ ） 是偶函 数，
（ １ ） 求ｘ ＜ ０ 时， ｆ （ ｘ ） 的解析式； （ ２ ） 解不等式ｆ （ ｘ ） ）１ ． ｆ （ 一 ｘ ） ＝ ｆ （ ｘ ） ． ｘ ＜ ０ 时， ｆ （ ｘ ） ＝ ｆ （ 一 ｘ ） ＝ ｘ ２ 一ｘ＋１
浅析初中数学中函数思想和方程思想的应用
周刊28教学创新|实践创新摘 要：伴随新课改逐渐深入，如今初中时期的数学教学愈发重视实际问题的分析以及解决，除了重视初中生对于所学知识的实际理解以及掌握之外，而且还注重借助所学知识对一些实际问题加以解决。
为此，教学期间，数学教师需指导初中生对一些数学思想以及数学方法加以灵活运用，这样才可有效提升初中生的学习效率以及解题效率。
基于此，本文旨在对初中阶段数学教学当中方程和函数思想的具体应用展开探究，希望能为实际教学提供些许参考。
关键词：初中数学；函数思想；方程思想前言：在以往教学当中，数学教师通常把教学内容当作依据制定具体教学计划，并未对初中生实际需求与教学情况加以充分考虑，并且忽略了培养初中生的数学思想。
实际上，在数学教学当中，数学思想占据重要位置，能够对初中生解题思路与解题效率产生直接影响。
方程和函数思想可以帮助初中生对数学知识进行透彻理解，有效提升初中生的解题能力。
为此，对初中阶段数学教学当中方程和函数思想的具体应用展开探究有着重要意义。
一、关于方程和函数思想的概述方程和函数思想是指用函数和变量对问题加以思考，对问题当中的已知与未知关系加以转换。
实际解题期间，把函数思想当作主导，需把字母当作变量，把代数当作函数，借助函数对问题加以分析以及解决。
如果把方程思想当作主导，需把含字母等式当作方程，研究方程的根。
实际解题期间，方程和函数思想存在紧密关联。
如今，在初中阶段的数学教学当中，常见的几种数学思想包含方程和函数思想、数学模型、图形运动与数形结合等。
在这之中，方程和函数思想是最常用，也是最基础的一种思想方法。
在初中阶段的数学教学当中对方程和函数思想加以运用，可以借助方程和函数思想把抽象事物变成具体模型，有效搭建逻辑知识与数学思维之间的联系，借助此种方式把复杂数学关系串联起来，有效拓展初中生解题思路，促使初中生的学习效率以及解题效率有效提高。
二、初中阶段数学教学当中方程和函数思想的具体应用1.方程思想的具体应用例如，已知0))((4)(2=−−−−c b b a a c ，证明：b c a 2=+.分析，通过已知条件0))((4)(2=−−−−c b b a a c 可以联想到二次方程当中AC 4B 2−这个根的判别式，所以可设a c B −=，b a A −=，c b C −=，之后便能构造出一个二次方程0)()(2=−+−+−c b x a c x b a .因此可以得到以下解法：在b a =之时，根据已知能得到c b a ==，因此存在b c a 2=+.当ba ≠之时，可构造一个二次方程0)()(2=−+−+−c b x a c x b a ，通过对方程当中各项系数进行观察可发现，0)()(=−+−+−c b a c b a ，因此方程存在一个根是1。
函数思想在解题中的应用
函数思想在解题中的应用作者：王晓丽来源：《新教育时代·教师版》2018年第47期数学是一门逻辑性与抽象性思维都很强的学科，在解析数学题时，需要应用一些数学思想方法，主要是利用一种数学规律来进行题目解析，能大大提高题目解析的正确率与解题效率。
在数学题目解析过程中，常用的数学思想包含分类讨论、化归与转化、函数与方程、数形结合思想等。
在本次研究，针对函数思想在数学题解析中的应用情况展开分析，旨在为后续学生对函数思想的应用提供借鉴。
一、函数思想的基本概述函数思想就是高中数学中的一种基本解题方法，是数学思想系统中的一员。
函数思想就是一种运用运动与变化观点、综合集合与对应思想来处理数学问题等量关系，构建相应的函数关系，可利用函数图像与性质来分析和转化数学问题，能将数学题从复杂转化为简单，进而达到解决数学问题的目的。
处理数学问题时，可从函数角度来审题与分析，主要将数学题目放置在一个动态环境之中去考查。
可见，函数思想对于数学题目解析而言意义重大，成为当前常见的一种数学题处理策略。
应用函数思想，便于简化数学题目求解过程，此类思想广泛的被应用在综合性强的题目处理与解答上。
使用函数思想来解题，需要从量的关系上着手，旨在探求事物运动的基本发展规律，从而把握事物间所存在的联系。
使用函数思想来进行题目的解析，应将常量看作变量，把离散性数据看作成连续性的数据，结合实际情况设定函数关系模型，能把具体问题及时转化成一定的辅助性函数。
函数思想始终贯穿在整个的高中数学教材之中，因此，在实际教学中，教师应及时将函数思想的本质传递给学生，让学生了解函数思想的真实价值，激发学生的学习热情，能利用好函数思想来解答各类题型，还能锻炼学生构建数学模型的能力，对学生数学能力的提升具有重要意义。
二、函数思想在解题中的应用当前，在高中数学题目解析中，多种类型题目都应用到函数思想，如三角函数、向量、方程解析等，能借助函数思想直观、形象的分析题意，把握解题思路，从而实现题目解析。
--函数思想在解题中的应用
函数思想在解题中的应用摘要：函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题的数量关系．用函数思想解题，就是根据问题中的内在联系，或数式的结构特征，构造相关的函数，通过函数的性质、图像等知识使问题获解，用函数思想解题常可达到化难为易，避繁就简的目的。
关键词：函数思想；解题；应用；引言函数是中学数学的重要内容，函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,与数学的其它知识之间有着广泛而又密切的联系,揭示并认识这种内在联系,对提高分析问题的能力具有重要的意义．函数思想又渗透到数学的各个领域．函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题的数量关系．用函数思想解题，就是根据问题中的内在联系，或数式的结构特征，构造相关的函数，通过函数的性质、图像等知识使问题获解，用函数思想解题常可达到化难为易，避繁就简的目的．对此，本文通过实例，从以下几个方面予以说明．1、 利用函数的单调性解题单调性是函数的重要性质，某些数学问题通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为 自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的．别是在比较数式大小、证明不等式、求值或最值、解方程（组）等方面应用十分广泛．例1 解不等式05110)1(833>--+++x x x x 分析：如果去分母化为整式不等式来求解，则问题就变得相当复杂。
观察不等式的结构，对不等式变形得：x x x x 5125)12(33+>+⋅++ 于是可构造函数x x x f 5)(3+=再利用单调性求解． 解：构造函数x x x f 5)(3+=∵3x 及x 5均为增函数．∴x x x f 5)(3+=在R 上是增函数． 又原不等式等价于)()12(x f x f >+． ∴由)(x f 的单调性可知: x x >+12． 解得11<<-x 或2-<x ,此即为原不等式的解． 例２解方程0)3)12(2)(12()392(322=+++++++x x x x 解：构造函数)32()(2++=m m m f ，则方程变为)3()12(x f x f -=+又因)(m f 在R 上是单调递增函数，故有x x 312-=+．解得51-=x ．经检验知51-=x 是方程的解．规律概括：不等式问题往往可通过构造函数的方法将问题转化为函数的图像或单调性问题．２、利用函数的奇偶性解题奇偶性是函数的又一重要性质，常利用它进行区间过渡，即将不同区间的问题转化到同一区间中进行研究，从而达到化难为易之目的．例３已知：4040221052345234)57473()57473(x a x a x a a x x x x x x x x ++++=-++---++ 试求4020a a a +++ 的值．分析：设52345234)57473()57473()(-++---++=x x x x x x x x x f ．即可知)()(x f x f =-即)(x f 是偶函数,从而使问题获解．解：构造函数52345234)57473()57473()(-++---++=x x x x x x x x x f . ∵52345234]5)(7)(4)(7)(3[]5)(7)(4)(7)(3[)(--+-+-------+-+-=-x x x x x x x x x f 52345234)57473()57473(-++---++=x x x x x x x x)(x f =∴)(x f 为偶函数．∴404022104040332210x a x a x a a x a x a x a x a a ++++=++-+-从而039531=====a a a a∴1024)57473()57473()1(554020=-++---++==+++f a a a规律概括：仔细观察目标式的结构特征，运用构造函数的方法，将问题转化为函数问题是一种常用的解题策略．本题正是通过构造函数，并利用函数的奇偶性从而使问题顺利获解．3、 利用函数值域解题求函数的值域,涉及到众多的数学知识,构成了中学数学的重要横向知识体系,同时也为利用函数值域解题提供了广阔天地．尤其对某些含参数的不等式,在分离参数的基础上,通过求函数的值域进而达到确定参数的取值范围,从而避免了对参数的繁琐讨论． 例4 当m 为何值时,方程02122=--+m x x 有实根 分析：x x m 2122-+=则方程有根的条件,即转化为函数的值域问题． 解：方程变形为x x m 2122-+=． 令)0(12,212≥-=-=t t x x t 则则45)21(1222+--=++-=t t t m ∵4545)21(,02≤+--≥t t 则 ∴452≤m 解得2525≤≤-m 即当2525≤≤-m 时，原方程有实根． 规律概括：如果函数用解析式表示)(x f y =，则解析式可看作关于y x ,的方程，反之，方程0)(=-y x f 又可看作函数)(x f y =，于是使关于x 的方程0)(=-y x f 有解的y 的范围，即是函数)(x f y =的值域．４、利用一次函数的保号性解题某些数学问题，通过构造一次函数，将问题转化为判断一次函数)(x f 在区间],[b a 上函数值的符号问题,从而使问题获解．例５ 设c b a ,,为绝对值小于１的实数，求证：01>+++ca bc ab证明：∵11,11,111)(1<<-<<-<<-+++=+++c b a bc a c b ca bc ab 且∴当0=+c b 时，有0112>-=+++c ca bc ab ．当0≠+c b 时，构造函数1)()(+++=bc x c b x f ，由0)1)(1(1)1(>++=+++=c b bc c b f ；0)1)(1(1)1(>--=++--=-c b bc c b f ．知对11<<-x ，都有0)(>x f 成立，所以0)(>a f ，即01>+++ca bc ab ．规律概括：不等式问题通常可以通过构造一次函数的方法将问题转化为一次函数在某一区间上的函数值的符号问题从而使问题得以解决．５、利用二次函数的性质解题二次函数的应用十分广泛，当所给问题含有形如q mn p n m ==+,的等式，或含有与二次函数的判别式相似的结构时，常可通过构造相关的二次函数来促使问题的解决．例６已知b a c R a +>∈+2,，求证：ab c c a ab c c ab c -+<<-->222;．证明：构造函数0,0)1(,2,2)(2><+>+-=a f b a c b cx ax x f 又因知由，故函数图像与x 轴在1=x 的两边各有一个交点，从而有0442>-=∆ab c ，即ab c >2．解方程02)(2=+-=b cx ax x f ，得a ab c c x a ab c c x -+=--=2221,． ∴aab c c a ab c c -+<<--221，即ab c c a ab c c -+<<--22 规律概括：将目标式构造成二次函数，并利用二次函数的性质解题是一种重要的方法，往往是利用二次函数的图像与x 轴的交点和判别式来求解．总结：从以上几例的解答中，我们已初步看到了函数思想的应用，函数思想的应用相当广泛，函数思想在解题当中所具有神奇力量也可见一斑．但这些方面都涉及到最基础知识．构造函数，利用函数思想解题，需要解题者不断强化训练，在解题过程当中“悟出”函数来．只要在学习中扎扎实实地掌握基础知识，学会全面地分析问题，并注意在解题中不断总结经验，就一定会真正掌握运用函数思想解题的思路和方法，从而收到事半功倍的效果．。
函数思想在高中数学解题中的应用研究
函数思想在高中数学解题中的应用研究摘要：函数思想是数学思想中的重要内容，是指用函数概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思维策略，在高中数学解题的过程中发挥着非常重要的作用。
高中数学教师将函数思想应用于解题练习中，会进一步提升高中生的解题能力。
为此，本文对函数思想在高中数学解题中的应用进行了研究，以供参考。
关键词：函数思想；高中数学；解题；应用前言：数学是高考中十分重要的考试科目，分值所占比例也比较大。
但高中数学知识复杂程度、抽象度等都较高，高中生学习起来会面临较大的阻力，所以一些高中生对于数学课程有畏难心理，同时也直接影响了他们的数学成绩。
教师通过将函数思想应用到数学题解答中，可以有效帮助高中生加深对数学知识的理解，并不断提升高中生的解题能力。
一、应用函数思想解答实际优化问题数学与生活有密切联系，数学知识可以良好解决许多生活问题。
但一些数学知识解答生活中的问题，需要高中生经过较为复杂的一个过程。
而一些数学知识解答生活中同样的实际问题，就可以十分简单。
比如，函数思想就可以将复杂的解题过程，进行高效优化。
并且，还会让实际生活问题加简单、系统，令高中生更快理解。
在实际生活中，存在许多量与量之间关系的问题。
如，路程方面的问题，需要考虑速度、路程、时间三个量之间的关系；生产方面的问题，需要考虑总数、价格、时间三者的关系。
其中价格方面的问题，又包括采购价格和售价，这些因素也都可以对应应用函数中的变量。
在数学试卷中，涉及实际优化问题的数学题也占有相当重的比重，教师指导高中生应用函数思想去解答，会更利于高中生提高解答问题的准确率。
在《函数的应用（一）》一课的讲解中，就涉及许多实际优化问题。
教师在提出问题后，就可以引入实际问题，来指导高中生应用函数思想来解答。
如：“距离甲船只正北方向200海里的位置，有船只乙，以每个小时40海里的速度，沿北偏西70度角的方向行驶，甲船只以每个小时20海里的速度向正北方向行驶。
函数与方程思想在解题中的应用及其教学策略
函数与方程思想在解题中的应用及其教学策略作者：关香贻来源：《学校教育研究》2020年第15期摘要：数学思想方法一直都是高考考查的重点内容，而函数与方程思想方法正是其中其一，是中学数学的重要内容，占据了重要的地位。
必须要在教学的过程中深刻理解函数的本质，从函数与方程思想的角度指导学生解题，才能帮助学生提高解决问题的能力。
关键词：数学思想方法，函数与方程思想方法，数学，函数思想一、函数与方程思想方法分析函数是刻画现实世界中一类重要变化规律（运动变化）的模型，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。
函数思想的实质是：用联系及变化的观点提出（数学对象）——抽象（数量特征）——建立（函数关系），即从已知事物中提炼数学语言，构造函数关系，再用函数关系解决问题。
函数思想方法的应用非常广泛——建立函数关系或构造函数，运用函数图象及其性质去分析问题，转化问题，和解决问题。
函数思想是高中数学中最重要的数学思想方法之一。
高中涉及的函数很多，比如：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、复合函数等等。
还包括定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，以及与图像的联系等函数的性质。
方程，不等式，数列等等同样是与函数有关的知识点。
二、在解题中的应用（一）在导数中的应用一个函数的导函数仍然是函数，通过研究导函数图象和性质可以研究原函数的图象和性质。
【例1】的极值点，则的极小值为（）A.-1 ; ; ; ; ; ;B. ; ; ; ; ; ; ; ;C. ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;D.1【评注】在利用导数求函数的极值（零点或最值）的过程中，都需要经过列方程（组）的过程。
【解析】因为所以 ;.因为是函数的极值点，所以-2是的根，所以，。
令，解得令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，且选择A。
（二）在数列中的应用数列是定义在正整数集或它的有限子集上的函数。
抽象函数题的十种解题策略
抽象函数题的十种解题策略湖南省冷水江市第六中学（417500）邓赞武我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数。
由于它既能考查函数的概念与性质，又能考查学生的思维能力及对函数思想的理解程度，因而在高考中备受青睐。
本文结合实例，介绍求解抽象函数题的十种常用策略。
策略一：活用定义与性质以函数“三性”为突破口，紧扣其定义及性质间的相互联系，经推理或计算求解问题。
例1：己知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x+32)=-f(x)且y=f(x-34)是奇函数，给出以下四个命题：（1）函数f(x)是周期函数，（2）函数f(x)的图象关于点（-34，0）对称，（3）函数f(x)是偶函数，（4）函数f(x)是R上的单调函数，以上四个命题中，真命题序号是。
解析：∵f(x+32)=-f(x) ∴f(x)=-f(x-32)两式相减得：f(x+32)= f(x-32)即f(x+3)=f(x)故（1）正确∵y=f(x-34)是奇函数所以f(-x- 34)= -f(x-34)即f(-x- 34)+f(x-34)=0 即f(x)的图象关于点（-34，0）对称。
故（2）正确；又由f(-x- 34)= -f(x-34)用x-34代替x得：f(-x)=-f(x+32) 而f(x+32)=-f(x) ∴f(-x)=f(x) 故（3）正确，从而（4）错误∴真命题是（1）、（2）、（3）策略二：巧妙赋值抽象函数常以函数方程的形式出现，求解这类问题常赋予变量恰当的数值或代数式，经运算与推理，得出结论：例2、己知定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2，满足关系f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2，（1）证明f(x)的图象关于点（0，-2）成中心对称，（2）若x>0，则有f(x)>-2，求证：f(x)是R 上的增函数。
证明：（1）令x1=x2=0,则f(0)=-2,对任意实数x,令x1=x，x2=-x，则有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2即f(x)+f(-x)=-4，故f(x)的图象关于点（0，-2）成中心对称。
函数思想在解题中的应用
函数思想在解题中的应用函数思想是一种方法或策略，它将一个复杂的问题分解为更小的子问题，并通过解决这些子问题来解决整个问题。
在计算机科学和数学中，函数思想广泛应用于问题求解、算法设计和编程等方面。
本文将从几个不同的角度探讨函数思想在解题中的应用。
一、抽象和封装函数思想的一个核心概念是抽象和封装。
通过将一组操作封装到一个函数中，我们可以将其视为一个黑盒，只关注其输入和输出，而不需要了解内部的具体实现细节。
这种抽象和封装的方式使得我们能够更加专注于问题的本质，提高代码的可读性和可维护性。
例如，在一个数字列表中找到最大值的问题中，我们可以定义一个函数`find_max(`来实现。
这个函数接收一个数字列表作为输入，并返回列表中的最大值。
在使用这个函数时，我们只需要关注输入和输出，而不需要了解函数内部是如何实现的。
这种抽象和封装的方式使得我们可以将注意力集中在解决问题本身上，而不需要关注底层的实现细节。
二、模块化和复用函数思想能够将一个大问题分解为更小的子问题，从而实现模块化和复用。
通过将一些常用的操作封装到函数中，我们可以在解决不同的问题时重复使用这些函数，提高代码的重用性和效率。
例如，在一个学生成绩管理系统中，我们可以定义一个函数`calculate_average(`来计算一个学生的平均分数。
在需要计算多个学生的平均分数时，我们可以重复调用这个函数，从而实现代码的复用和简化。
这种模块化和复用的方式不仅提高了代码的效率，还使得代码更加清晰和易于理解。
三、递归和分治递归和分治是函数思想的两个重要概念，它们在解决问题中起到了重要的作用。
递归是指一个函数可以在其定义中调用自身的过程。
递归可以将一个复杂的问题分解为更小的相似子问题，并通过解决这些子问题来解决原始问题。
递归通常使用递归函数来实现，其中递归函数是一个对自身进行调用的函数。
例如，求阶乘是一个经典的递归问题。
我们可以定义一个递归函数`factorial(n)`来计算一个数字n的阶乘。
函数思想在解题中的应用
第22卷第6期2006年12月赤峰学院学报Journal o f Ch ifeng C olleg eV ol.22N o.6D ec.2006函数思想在解题中的应用刘 锐(赤峰市翁旗乌丹第一中学,内蒙古 赤峰 024000) 摘 要:纵观整个中学数学内容,函数的思想就如一根红线把中学数学的各个分支紧紧地连在一起,构成有机的知识网络.掌握其思想就能用最短的时间投入获得最佳的学习和解题效果.关键词:高中数学;函数思想;应用中图分类号:G633.6文献标识码:A文章编号:1673-260X(2006)06-0117-01 函数的有关概念、性质以及几类典型的常用函数是函数思想的载体,解题时可利用的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性、连续性、对称性、特殊点处的函数值,函数图像的变化趋势,函数图像的凸性.纵观历年的高考试题,以函数为核心编制而成的综合题立意新颖,知识覆盖面广,灵活机动性强,具有特别理想的选拔功能.因此,在高中数学复习时主要以概念为指导,熟悉常用的基本函数的属性、一般函数的各种性质以及沟通各个性质之间的联系,并逐步渗透引导学生用函数的思想看待问题,揭示其内在联系,用最短的时间投入获得最佳的复习效果,这不仅是在知识上实现观念的指导,又是处理问题时策略上的最佳选择.1 以函数为桥梁,实现函数与方程、不等式之间的相互转化函数与方程、不等式有着内在联系,函数性质的研究依赖不等式及方程的知识.如求定义域实质上就是解不等式(组),函数单调性的证明归根到底就是不等式的证明等等;另一方面方程、不等式内容又都统一到函数思想下进行研究,如解方程就是求函数f(x)零点,解不等式f(x)<0就是求函数f(x)的正负区间.在解题过程中,应重视以函数为桥梁培养和增强交叉运用方程、不等式和函数知识的意识.例1 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-(x)=0的两根x1,x2满足0<x1<x2<1a.(1)当x∈(0,x1)时,证明x<f(x)<x1(2)设函数的图象关于x=x0对称,证明x0<x1 2证明 (1)设f(x)-x=a(x-x1)(x-x2),当x∈(0,x1)时由于x1x2有(x-x1)(x-x2)>0,又a>0∴f(x)-x>0,即x<f(x)又x1-f(x)=x1-x+[x-f(x)]=x1-x+a(x1-x)=(x1-x)(x-x2)[1+a(x-x2)],由于0<x<x1<x2<1a∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0∴x1-f(x)> 0,f(x)<x()依题意知x=,其中x,x是方程f(x)x=的根.即x1,x2是ax2+(b-1)x+c=0的根,∴x1+x2=-b-1ax0=-b2a=a(x1+x2)-12a=ax1+x2-12a∵ax2<1∴x0<ax12a=x12说明:这是二次方程的实根分布问题,实质上是二次函数f(x)=ax2+bx+c的零点分布问题,通过把条件:“方程f(x)-x=0的两根x1、x2满足0<x1<x2<1a”转化为二次函数f(x)-x=0的特点的函数值符号.即:通过构造二次函数化归为二次方程的实根分布实现了函数、方程、不等式之间的相互转化.2 以函数为纽带,促成函数与角的转化三角函数的功能是把角的变化与函数值的变化联系起来,由于角与相应三角函数的相依关系,我们又通过函数来研究角.例2 设复数z=3cosθ+i·sinθ,求函数y=θ-arg z(0<θ<π2)的最大值及对应的θ的值.分析:所求是两个动态角之间的函数最大值,而求一个角的最大(小)值,一般要转化为求这个角的某个三角函数的最大(小)值,故先求tgy的最大值,进而利用正切函数的单调性,求出y的最大值及对应的θ值.解 0<θ<π2知tgθ>0于是tg y=tg(θ-arg z)=tgθ-23tgθ1+tgθ·23tgθ=tgθ3+2tg2θ=13tgθ+2tgθ=126=612当且仅当3tgθθ=2tgθ即θ=arctg612时上式取“=”.因为tgy在(-π2,π2)内是递增函数,故y也取得最大值arctg 612,此时θ=arctg612.3 以函数为背景,实现函数思想在数列中的应用(下转第页)120b-2a12-0119感体验.我们可以在提出一系列数学问题时,揭示它的新颖、奇异和它独有的对称美、错落美,以此来引起学生学习的好奇心、求知欲;在分析和解决问题时,让他们感受到数学的思维美和方法美,以促使他们主动而自觉地去掌握知识;在整理知识的过程中,让他们体验数学的和谐统一美和简洁美,这样就可以减轻学习枯燥的负担,取而代之的是品尝到数学知识结构的美妙.在当代社会,我们的教育是为了适应高速发达的社会发展需要而设定的.数学的发展方向是什么,现在我们可能是无从考证,但是我们肩负的责任是不可推卸的,这就要求我们现在时代的中专数学教师有责任、有义务把手头的工作做好,使得数学教育在这里延续下去.4.2 树立人生目标,确定学习目的,激发学生学习欲望现代人中,没有无理想的人.要帮助学生树立正确的人生观,确定正确的人生目标.学习的目的是多方面的,不同的学生有不同的学习目的,那么怎么把这些有不同目的的学生集中起来,在一个课堂上调动起来,就需要我们每位教育工作者用心去挖掘学生的内心世界,把学生潜在的东西提到前面来,以此来激励学生珍惜每一分、每一秒,学到真正的知识,为将来打下坚实的基础.(责任编辑 白海龙)(上接第117页) 因为数列可看作定义域为N或N的某个子集(从1到n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,因此研究函数常用方法、技巧以及函数本身的性质对于解决数列问题是有用的.例3 设等差数列{a n}的前几项和为S n,已知S3=12, s12>0,s13<0.(1)求公差d的取值范围.(2)指出S1,S2……S12中哪一个最大并说明理由.解 (1)易求得-247<d<-3(2)∵a1=12-2d,S n=n(12-2d)+n(n-1)d2=d2n2+(12-52d)n因此二次函数的对称轴方程,n=-12-52d2·d2=52-12d∵-247<d<-3 6<52-12d<6.5又S n的图象为开口向下的抛物线∴S n当且仅当n=6时值最大,即S6最大.说明:首项为a1公差为d的等差数列前n项和公式S n=na1+n(n-1)2d即S n=d2n2+(a1-d2)n,显然S n是关于n的二次函数,因此对于求等差数列前n项和S n的最大值一类的问题可以应用二次函数的性质来解决.其方法是最接近于二次函数的对称轴的自然数n就是使S n取得最大值的n.4 以基本函数为背景,考查抽象函数问题f(x)是一个抽象的记号,只有抽象记号而没有具体解析式的函数问题,称之为抽象函数问题,由于此类抽象函数问题将函数的多种性质及图形的变化溶于一体,由于隐去了解析式这个函数的要素,问题变得扑朔迷离,增加了求解难度,解决抽象函数问题的关键是化抽象为具体,应用背景函数的具体性质,使问题迎刃而解.例4 设f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称,对任意x1,x2∈[0,12]都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)Ⅰ)设f(1)=2,求f(12),f(14).Ⅱ)证明:f(x)为周期函数.解 Ⅰ)由于f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),x1,x2∈[0,1]知f(x)=f(x2)·f(x2)=[f(x2)]2≥0,x∈[0,1]∵f(1)=f(12+12)=f(12)·f(12)=[f(12)]2又f(1)=2∴[f(12)]2=2∴f(12)=212∵f(12)=f(14+14)=f(14)·f(14)=[f(14)]2而f(12)=212∴f(14)=214Ⅱ)证明:依题意设y=f(x)关于直线x=1对称故f(x)=f(2-x)x∈R又由f(x)为偶函数知f(-x)=f(x)x∈R∴f(-x)=f(2-x)x∈R.将上式中-x用x代换得:f(x)=f(x+2)x∈R,这表明f(x)是R上的周期函数,且又是它的一个周期.说明:联想教材中的指数函数y=a x(0≤x≤12)求函数值.赋值递推法,是实现化抽象为具体的好方法,而确定函数的周期,常利用函数的性质,将抽象问题通过函数式揭示出来,然后根据周期函数的定义作出判断,将抽象函数放到简单背景函数模型中去考虑,通过对其性质的研究(虽然不能代替证明)能找到某些抽象函数y=f(x)的若干性质的证明通道.函数的思想作为中学数学内容的主线,其思想的高瞻性、应用的广泛性、解法多样性和思维创造性,确定它是考试命题的常用素材.近十多年的高考命题的趋势说明函数在考卷中比例很大,不仅会出现有关函数性质巧妙组合的小题,而且会更多出现融入各方面知识的函数压轴题,考查学生推理、论证的能力.(责任编辑 白海龙)。
函数零点问题的题型归类及解题策略
函数零点问题的题型归类及解题策略一、函数零点问题的题型归类在数学中，函数零点问题是一个常见的题型，通常是要求求出一个函数的零点或根。
根据不同的函数形式和解法，可以将这些题型分为以下几类：1. 多项式函数的零点问题：多项式函数是指由一系列单项式相加或相减而成的函数，例如f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5就是一个三次多项式函数。
对于多项式函数而言，求解它的零点通常使用因式分解、配方法、牛顿迭代法等方法。
2. 三角函数的零点问题：三角函数包括正弦、余弦、正切等等，例如f(x) = sin(x) - x就是一个三角函数。
对于三角函数而言，求解它的零点通常使用周期性、奇偶性等特征来进行简化。
3. 指数和对数函数的零点问题：指数和对数函数包括指数、自然对数等等，例如f(x) = e^x - x就是一个指数和对数函数。
对于指数和对数函数而言，求解它们的零点通常需要使用到特殊技巧如换底公式、取对数等方法。
4. 分段定义的复合函数的零点问题：分段定义的复合函数是指一个函数在不同的区间内采用不同的定义方式，例如f(x) = {x^2 + 1, x < 0; x - 1, x >= 0}就是一个分段定义的复合函数。
对于这类函数，求解它们的零点通常需要将其分成不同的部分进行讨论。
二、解题策略针对以上不同类型的函数零点问题，我们可以采用以下几种解题策略：1. 因式分解法因式分解法是一种常见的求多项式函数零点的方法。
对于一个多项式函数f(x)，我们可以先将其进行因式分解，然后再求出每个因子的零点。
例如f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x可以写成f(x) = x(x-1)(x-2)，然后再求出每个因子的零点即可得到f(x)在实数范围内所有的零点。
2. 配方法配方法也是一种常见的求多项式函数零点的方法。
对于一个二次或三次多项式函数，我们可以通过配方将其转化为完全平方或完全立方形式，然后再根据完全平方或完全立方公式来求解它们的零点。
高中数学函数问题解题策略探究
技法点拨高中数学函数问题解题策略探究■闫楠摘要：在高中数学教学中，函数问题是最主要且重要的教学内容，而其中尤其以圆锥曲线问题与导数问题最为复杂，是学生解题面临的重要困境与阻碍，因此，教师应提高学生解决函数问题的能力，通过多种方法与技巧，提升学生的解题思维与策略，帮助学生获得更好的成绩与数学素养。
本文即以圆锥曲线与导数相关的解题策略为探究对象，探求数学教学的有效策略与措施。
关键词：高中；数学；函数问题；解题策略在高考数学教学中，圆锥曲线与导数问题往往是压轴大题的选择方向，不仅考点覆盖率高，而且考试难度相对较大，是教师教学中的难点与重点。
为进一步提高学生的函数解题能力，教师必须通过有效的方法指导与策略讲解，提升学生解决该类问题的基本能力。
一、高中数学圆锥曲线解题策略教学（一）借助图形，巧找参数关系对于圆锥曲线相关的试题，首先需要快速发现各个参数之间的关系，进而才能展开后续的解题思路。
因此，在教学过程中，教师第一步应帮助学生掌握探寻参数间关系的能力。
而针对这一问题，数形结合思想的应用效果十分突出，教师应在例题讲解过程中，突出该思想的渗透与引导，一方面要以此为切入点，深化学生对各类圆锥曲线几何性质的认知，帮助学生建立明确的记忆与理解点，从各个参数的内在关联入手思考；另一方面则要督促学生审题严谨，从细节着手，发现隐藏的条件与内涵，进而在确定参数范围绘制正确的图形。
例如在某双曲线方程中，已知曲线上存在某一点P，且已知该点与双曲线左右焦点形成三角形的内切圆与x轴相交一点M，求M与P点及右焦点的向量积。
在该问题中就需要借助绘图的方式，可以快速发现P点与内切圆交点以及左右焦点之间的向量关系，进而可以推导出相应的向量坐标，得出最终的结果。
（二）运用结论，少走解题弯路圆锥曲线相关的问题具有很多的现成结论，这些结论往往就是解题过程中的隐含条件，尤其很多结论具有较高的普遍性，在大多数问题中都可以直接运用，进而有效简化计算，可以快速推导并得出结果，有效提升学生解题的思路与效率。
初中生应用函数思想解决问题的调查研究
初中生应用函数思想解决问题的调查研究初中生应用函数思想解决问题的调查研究引言函数是数学中一个广泛应用的概念，也是数学与实际问题联系紧密的一环。
随着数学教育的发展，初中生的数学学习逐渐以应用为导向，函数作为一种强大的工具被引入到数学课堂中。
那么，初中生是否能够熟练应用函数解决实际问题呢？本文将以一个调查研究的方式，探究初中生应用函数思想解决问题的能力。
研究方法本次调查研究选取了某市某初中七年级的学生作为调查对象，共计300名学生参与。
调查采取了问卷调查和个别访谈相结合的方式进行，问卷主要包括选择题和简答题，访谈则通过对部分学生进行深入访谈，了解他们的思维过程和解题策略。
数据分析后，将得出初中生应用函数思想解决问题的现状，并提出相应的改进措施。
调查结果经过数据分析，我们发现初中生在应用函数思想解决问题方面存在以下问题：1. 概念理解不准确。
约有30%的学生对函数的概念理解上存在模糊和错误，不清楚函数的定义和特性。
2. 应用能力薄弱。
约有40%的学生在应用函数解决实际问题时，无法正确识别问题中涉及到的函数关系，缺乏构建函数模型的能力。
3. 解题思路单一。
约有20%的学生在解决函数问题时，只依赖于记忆公式和机械计算，缺乏灵活运用函数思想的能力。
调查结果展示了初中生在应用函数思想解决问题方面存在的问题，但也揭示了解决这些问题的路径。
改进措施为了提高初中生应用函数思想解决问题的能力，我们可以从以下几个方面着手：1. 概念讲解的重要性。
在教学中要注重对函数概念的讲解，引导学生深刻理解函数的定义和特性。
通过实例的引导，让学生明确函数的内涵和外延。
2. 实际问题的应用。
教学中要将函数与实际问题相结合，引导学生发现问题中的函数关系。
通过让学生分析问题，构建函数模型，引导他们应用函数思想解决实际问题，培养他们的解决问题的能力。
3. 多样化的解题思路。
在教学中要鼓励学生探索不同的解题思路，培养他们灵活运用函数思想解决问题的能力。
4321核心素养视角下函数问题解决策略--以“二次函数”问题解决为例
解题探索4321:核心素养视角下函数问题解决策略—以“二次函数”问题解决为例徐菊萍(江苏省苏州市吴中区石湖中学，215128)当下的数学教育不仅要传授知识，还需要培养 学生的能力和素养.在平时的教学中，如何培养学生 核心素养能力？近几年我研读了数学界多篇数学核 心素养的经典论述，结合平时教学实践，探索易行有 效的问题解决策略，总结了“4321函数问题解决四 步法策略”，即：“建立思维导图（四导）—阅读数学 语言（三读）—活用代几推理（二推）—培养应用意 识(一用）”，操作程序见图1图11思维导图建结构—“四导”数学教学评价标准已经从传统的考查学生 对知识点“了解、理解、掌握的程度”转移到评价 学生核心素养能力，即“考查学生对概念的理解， 以及学生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象 力等，尤其是要关注学生的思维品质，考查学生 的思维能力.”在核心素养视角下，构建思维导图 不能局限于“知识”层面，还应顾及基本能力、基 本思想方法、基本活动经验等.教材对三类函数 模型（一次函数、反比例函数、二次函数）的讲解 都是由实际问题抽象成函数模型，根据模型特点 来解决实际问题.故二次函数专题的思维导图可进行图2的“四导”1. 1 一导“基础知识”三类函数研究方式基本相同，可建立类似的思 维导图，呈现函数问题涉及的基础知识，如函数概 念、表达式、图象与性质.1.2二导“基本技能”函数问题考查学生的画图技能（描点法）、识图 技能（图象特征）、运算技能（包括与方程、不等式相 结合的运算能力）、解析技能（包括与几何图形的联系）、检验技能（解模、检验解释实际问题）等，在导图中也要呈现这些技能要素，让学生知晓解决函数 问题要熟练掌握的操作技能和心智技能.1.3 三导“基本思想方法”数学思想方法是运用数学知识和技能解决问题的策略.用思维方法的分析带动具体知识内容的教 学，能帮助学生更好地理解相关的数学知识，将数学 课“教活”、“教懂”、“教透”.在导图中呈现数学思想方法，便于统领数学知 识，探索解题途径，优化解题方法.函数思想、建模思 想是本章核心，同时，“数形结合”“转化”“运动变 换”都属于这类导引.1.4 四导“基本活动经验”核心素养视角下，学生不仅要掌握知识技能， 还要积累数学活动过程以及思想方法的产生、发• 68•展等过程中的经验，深度理解感悟数学的本质.因 此，导图要有帮助学生“知识再现”的功能，如在探 究函数问题过程中，学生经历了建模、解模、用模，在图2中呈现，帮助学生巩固函数探究的经验，并 迁移解决其他新型函数问题，形成自己的数学学 习经验.学完一种函数模型后，如果学生能就这类函数的主要内容整理一幅思维导图，那么在运用函数模 型解决问题时，就能从导图库中搜索出“四基”资 源，从而提高自己的问题解决能力.2数学语言善阅读—“三读”史宁中教授将数学核心素养归结为“三用”：会 用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界.数学语言有文字语言、符 号语言、图式语言.对于函数问题，我们要善于如下 “三读”语言：2.1 —读“字符”主要阅读蕴含数学信息的文字、函数解析式、自变量范围等.例1(2019年温州中考题）已知二次函数;r=*2 -4*+2,关于该函数在-1 矣*矣3的取值范围内，下列说法正确的是 （）(A)有最大值-1，有最小值-2(：6)有最大值0，有最小值-1(C) 有最大值7,有最小值-1(D) 有最大值7,有最小值-2分析:关注函数解析式y= *2 - 4* + 2中各项系 数及其意义，如由二次项系数为1可得图象开口向 上，函数在实数范围内有最小值，无最大值.继续阅 读自变量范围-1矣*矣3,考虑范围内是否含有顶 点.通过将函数转化为顶点式得y=*2-4*+2 = (* -2)2-2，可知在-1矣*矣3内，当*=2时，7有最 小值-2;当* =-1时，y有最大值7.故选D.此题学生常会忽略顶点处最值，将自变量最小 值* = - 1对应的函数值作为最小值（在4点处），将自变量最大值*=3对应的函数值作为最大值(在 S点处），若将“字符语言”转化成图象语言，化抽象 为具象，结合图象（图3)，实线部分为自变量范围对 应的图象部分，可直观感受最小值和最大值的取值 位置，精准解决问题.解决函数问题，数学语言相互转化是读题的有 效策略，也是数形结合思想的充分运用.2.2 二读“表格”函数三类表达形式中，“解析法”属符号语言，“表格”和“图象”属图式语言.例2 (2019年烟台中考题）已知二次函数y= a*2 + + C中的y与*的部分对应值如下表：*-10234y50-4-30下列结论:①抛物线的开口向上;②抛物线的对 称轴为直线;③当0 <* <4时，>0;④抛物线与* 轴的两个交点间的距离是4;⑤若4 (*，2)，B(*2，3) 是抛物线上两点，则* <*2.其中正确的个数是()(A)2 (B)3 (C)4 (D)5分析:读表提取如下数据：(1)*=0,对应图象与y轴交点(0,0);(2斤=0，对应图象与*轴交点(0,0)，（4,0);(3)有两组变量值y相等，对应图象的对称轴 是直线*=2.由此得②④正确.对于①③⑤，仅观察表格并不 是最佳方式，若依据表中数据画出部分图象（见图4) ，可看出抛物线开口向上，①正确；当0 <*<4时，y<0,③错误;当纵坐标为2或3时，抛物线上对应 点均有两个4(*，2)，_S(*2,3),既可能* <*2,也可 能* > *，⑤错误.故选项B正确.可见，读表格信息时也要画出图象，再根据图象 挖掘有效信息.• 69•2.3 三读“图象”例3 (2019年遂宁中考题）二次函数y=*2 -〇■■* +厶的图象如图5所示，对称轴为直线* =2,下列结论不正确的是 （）(A) a=4(B)当6 = - 4时，顶点 图5的坐标为(2, -8)(C) 当*=-1 时，>-5(D) 当* >3时，随*的增大而增大分析:观察图象可知：(1对称轴：对称轴既能将函数表达式中的二次项系数与一 次项系数建立联系，又能将图象与*轴的两个交点 的横坐标建立联系，是数与形的联系桥梁.由对称轴为直线* = 2可得= 2,. a =4,选项A正确；由对称轴以及图象与*轴左半轴交点的横坐标，可 得图象与*轴右半轴交点的横坐标为* = 3，由图象 可以看出当* >3时，在对称轴的右侧，y随*的增大而增大，选项D正确.(2)特殊点：由A选项求出的a值和B选项的6值，可得函 数解析式y= *2 - 4* - 4，再由顶点坐标公式，可得当 *=2时，y = - 8,顶点的坐标为（2，- 8),选项B 正确；由图象与*轴左边交点可知，*= -1时，y=0, 代人解析式得6 =-5，选项C错误.由以上“三读”可见，解析法与列表法较抽象，要引导学生用函数图象直观描述函数，提高学生识 图、读图能力；同样，读表、读图也要结合对应的函数 解析式，求相应的数据.数学的三种语言各有特点又 互相依存，要根据问题情境相互转换，将直观想象素 养和抽象思维水平相融合，更好地理解函数本质.3代几推理齐联想一一“二推”在史宁中教授看来，所谓数学的思维，本质就是 推理，推理使得数学具有严谨性.在现行教学中，我 们更多地关注几何推理，对论证三段式了然于心，新 一轮课程改革正呼吁提高代数推理的地位，函数离 不开代数推理，同时函数图象与几何图形的结合也 离不开几何推理.解决函数问题需要“代数推理和 几何推理”相互结合.例4 (2019年乐山中考题）如图6,抛物线y=f*2-4与*轴交于两点，P是以点C(0,3)为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结〇<?，则线段〇<?的最大值是(A)3 (B)^(分析：(1）几何推理本题首先关注的是几何问题:线段〇<?的最大值.由二次函数图象对称性知〇是的中点，又0是线段^的中点，连接(见图7)，结合几何知识可知，〇<?是AAPB的中位线，〇<?长转化为f P S长.点S是圆C外一点，当洲过圆心c时，最大，0(?也最大.这是几 何推理，考查了三角形中位线.()代数推理如何求P S长呢？考虑到点S是抛物线与*轴的交点，利用一元二次方程与二次函数的关系，令y =f*2 _4=0,得*=±4,得图象与*轴的交点横坐标( - 4，0)，（4，0)，此处是代数推理，得到线段 OS= 4，又转化成几何推理，又OC = 3，由勾股定理可得^：=5，户方=^：+/^=5+2=7，从而0(?=士洲==7，故选匕本题以函数为依托，联系代数式、方程和不等式 的知识进行代数推理，同时结合几何图形进行几何 推理，考查了学生的识图能力、运算能力和抽象思维 能力.4迁移训练通一类—“一用”“新课标”中10个核心概念之一“应用意识”，落实到函数专题，就是运用函数思想建模、抽象、解 释、检验实际问题，对已学函数的学习经验迁移解决 其他新型函数问题.例51.问题背景()士 （D)4• 70•若固定矩形的周长为1，则矩形的面积S与一 边长^的函数关系式为s = -%2>0)，该矩形面积的最大值为丄(）2. 提出新问题若固定矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大(小）值是多少？3. 分析问题若设该矩形的一边长为％，周长为7,则y与* 的函数关系式为：=2 (*++)(*>0 )，问题就转化为研究该函数的最大(小）值了.4. 解决问题借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数 y=2(x+|)(>0)的最大(小)值.()实践操作:填写下表，并用描点法画出函数y= 2(x++)(>0)的图象:X123(2)观察猜想:观察该函数的图象，猜想当* = ______时，函数y=2卜+去)（>0)有最_____值(填“大”或“小”），是_____.(3)推理论证:问题背景中提到，通过配方可求二次函数•?= -*2+^2(*>0)的最大值，请你尝试通过配方求函数y =2(*+ |)( >0)的最大（小）值，以证明你的猜想.(提示：当* >0时，=(槡)2)分析：本题是阅读理解型问题，考查学生建模、画函数 图象及根据图像求函数最值的观察力，整合了 “4321”策略：导图、阅读、推理、应用的综合应用能力.(1)填表、画图如下:X士1234y8士6夺5456夺8+(2) 1，小，4.(3) 证明：因为y =2[(槡)2+(M=2[(槡)2+ 1 2~2槡+2槡一1](槡）槡 槡J,1、2所以当槡=+时，即* =1时，有最小值为4.这类题让学生在掌握了已有函数模型解决策略 的基础上，用研究二次函数的思想来研究新函数. 即：实际生活数学化—建立函数模型—分析函数图 象及性质—解模求得数学结果—生活化到实际问 题，检验解释实际意义，解决实际问题.这正切合了 本专题思维导图和本文“4321四步法”策略.在数学教学中，教师要善于发现研究问题本质，归纳解决问题的一般策略，并精选习题辅助学生体 会并熟练运用这一策略.正如“4321四步法”，通过 探索已学函数的研究思路，推广研究其他函数，让学 生储备研究函数的学习经验，正向迁移到高中阶段 函数模型的学习，这是培养学生核心素养能力的要 义，也将有效的学习能力伴随到今后的学习生涯.参考文献：[1]史宁中.学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例[J].中小学管理，2017(1)35 -37.[]郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”[J].数学教育学报，2016,25(3) :1 -5.[]刘祖希.访史宁中教授:谈数学基本思想、数 学核心素养等问题[].数学通报，2017,56(5):1 -5.[4]江春莲，胡玲.基于APOS理论和R M I原则 的二次函数图象平移教学实验研究[J].数学教育 学报，2020,29(6) ：2 -39.• 71•。
分步解题——初中函数有效性教学策略分析
函 数 的知 识 讲解 要 遵 循 由易 到
难 、由 浅入 深 过 程 ，它是 循 序 渐进 的 ，而不 是 “ 一 口吃成 胖 子 ” 的 教 学模 式 ，它 是 一 个逐 步 推 进 的 过 程 ，学 生 学 习 函数也 必须 要 有 这个
实 际 过 程 的积 累 ，这 就Biblioteka 要 教 师 多 ７ ｌ
ｆ ＾Ｊ
书 书
一
步 ，分 析 学 生 的思 维 ，教 师根 据学
生 的数 学 气 质来 选 取 例 题 ，如 有 的 学生 偏 重 代 数 ，有 的学 生 偏 重 几何 等等 。 以上 步 骤需 要 教 师 对 学 生 的
气质 特 点 有 充 分 的 了解 ，再 找 出适 合学 生 解 题 的 分 步方 法 ，引 导 学 生 找 出 两个 变 量 间 的关 系 ，并 能 用 图 像 、图标 等 形 式 表示 出来 ，促 使 学
步 ：得 出 结 果 。数 形 结 合 的要 点 在
于对 函数 性 质 的把 握 ，以 及对 变 量 ｋ或 变 量 ｋ与 ｂ 的 范 围 的 正 确 判
断 ，进 而 得 出正 确 的结 果 。 三 、 结合 学 生 心 理分 步 解 题
讲 授 的 同时 ，也 要 多举 实 例 ，让学
生 理解 得 更 透 彻 。
浮躁 不 踏 实 等缺 点 。教 师 要善 于 引
导 学 生 ，帮 助 学 生 理 清 基 本 概 念 ， 使 得 学 生 在 结 合 自身 经 验 的 同 时 ， 能够 分 析 自身不 足 ，正 确 面对 函数
的学 习。
结 合 生 活实 际 中的 函数 例 子 ，分 步 讲 解 分 析 ，在 调 动 学 生积 极 性 的 同 时 ，更 将 数 学 回归 生 活 ，使 学 生对 于 知识 的掌 握 更 牢 固 。 例１ ：学 校 准备 组 织 学生 进行
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用作者：蔡慧鸿来源：《黑河教育》2020年第01期[摘要]函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思想。
它是高中数学解题的重要思维策略，是一种考虑对应、运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法。
函数比较抽象，学生单纯依靠题意和理论理解难度很大，这就要求学生必须运用一定的数学思想才能化繁为简，以达到理清函数的本质，并找到抽象问题解决的突破口，进而实现完美解答的目的。
本文以函数思想在高中数学解题中的应用为研究载体，阐述培养学生多元思维的方法。
[关键词]函数思想;构造函数;函数模型;函数性质近年来，高考数学试题落实新课程标准要求，以高中数学六大主干知识为考查的重难点，同时兼顾向量、不等式等非主干知识，通过模块间的综合、渗透，突出能力的考查，力求综合考量学生的数学素养，包括数学运算、数据分析、数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等核心素养。
高中数学教学的重要环节是提高学生的解题能力，增强学生的数学思想应用意识，不断提高學生的数学素养。
高中数学题型多变，如何快速、正确解题也成为影响学生数学成绩提高的重要因素。
分析发现，高中数学解题并非无章可循，应用正确的数学思想往往能达到事半功倍的效果。
其中，函数思想是重要的一种思维策略。
那么，如何引领学生应用函数思想来解题呢？一、将代数式看作函数来解题解答高中数学部分题型时，直接进行解答难度较大，而且部分学生因无法处理已知量与未知量之间的关系，导致解题出错。
此时，如能结合题目中的已知条件，将代数式看作函数来解题，可使数学解题柳暗花明。
函数思想的应用意识培养，要求教师多呈现相关题型，通过对比分析提升学生的代入感，并在解题中形成良好的思维习惯。
例如，已知函数f（x）=ax3-x+1，为能保证x∈[-2，3]，总有f（x）≥0成立，请问实数a 的取值范围是什么？分析：解答该类恒成立问题的题目时，不少学生认为应将a分离出来而后进行解答，此种解题思路是正确的，不过在分离参数之前，应当先通过对式子、数据进行分析，显然本题在分离参数a时，不等式两边同时除以a的系数，因此需要对a的系数的正负情况进行讨论，即，当x=0时，显然f（x）=1>0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用函数思想解题策略刘厚顺函数是高中数学中的重要内容，函数思想是最基本的数学思想．函数的有关概念、性质以及几类典型的常用函数是函数思想的载体，解题时可利用的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性、连续性、特殊点处的函数值、函数图象的变化趋势、函数图象的某种对称性等去解决问题．1．利用函数概念例1 曲线C是定义在R上的函数y＝f(x)的图象，则( )A．曲线C与直线x＝1可能有两个交点 B．曲线C与直线x＝1一定有一个交点C．曲线C与直线x＝1一定有两个交点 D．曲线C与直线y＝1有且仅有一个交点分析与解：对于函数y=f(x)定义域为A，值域为B，则对任x∈A，都有唯一的y∈B与之相对应，故选B．例2 若函数y＝f(x)存在反函数，则方程f(x)＝C(C为常数)A．有且只有一个实根 B．至少有一个实根 C．至多有一个实根D．没有实根分析与解：函数y＝f(x)存在反函数，则此函数的对应必是一对一的，若C在函数f(x)的值域中，则必有唯一实根，若C不在函数f(x)的值域中，则无实根，选C．2．利用函数的奇偶性奇偶性(即对称性)是函数的又一重要性质，常利用它进行区间过渡，即将不同区间的问题转化到同一区间中进行研究，从而达到化难为易之目的．(1)利用函数奇偶性解方程(组)例3 解方程 (3x3-4)3+4x3+x-4=0 (只求实数根)分析与解：原方程可变为(3x3-4)3+(3x3-4)=-(x3+x).........①，令f(x)=x3+x，易证f(x)是奇函数且在R上是增函数，方程①就是f(3x3-4)=-f(x)=f(-x)。
由f(x)的单调性知3x3-4=-x，即3x3+x-4=0，此方程显然有一根为1，故原方程就是(x-1)(3x2+3x+1)=0，因为3x2+3x+1=0无实根，所以x=1为原方程的实数根。
（2）利用函数奇偶性求值例4．设(2-3sinx+4sin2x+5sin3x)7·(2+3sinx+4sin2x-5sin3x)7=a0+a1sinx+a2si n2x+…… +a42sin42x, 求a1+a5+a9+……+a41的值。
分析与解：令f(x)=(2-3sinx+4sin2x+5sin3x)7(2+3sinx+4sin2x-5sin3x)7= a0+a1sinx+a2sin2x+……+a42sin42x,易证f(x)是R上的偶函数，故a1=a3=a5=……=a41=0，所以a1+a5+a9+……+a41=0.（3）利用函数奇偶性证明不等式例5．求证：<2x (x≠0).分析与证明：设f(x)=- 2x(x≠0). 因为f(-x)=241x xx +---=2144x x x x +-⋅-=x x 41-[1-(1-4x )]+ 2x=-x+2x =-2x =f(x)，所以f(x)是偶函数，图象关于y 轴相对称。
因为当x>0时，1-4x <0，所以f(x)<0，即xx 41-<2x(x≠0)。
（4）利用函数奇偶性证明恒等式例6．已知，α≠k π+2π, β≠k π(k ∈z)且(tan α+3cot β)3+tan α+cot 3β+4cot β=0,求证sin2αsin β+4cos2αcos β+4cos β=0.分析与证明：已知式可变为(tan α+3cot β)3+(tan α+3cot β)=-(cot 3β+cot β) ....① 令f(x)=x 3+x ，易证f(x)是奇函数且在R 上单调递增，①式即f(tan α+3cot β)=-f(cot β)=f(-cot β)所以，tan α+3cot β=-cot β,即tan α+4cot β=0, ααcos sin +βαβαβαββsin cos cos cos 4sin sin sin cos 4s +==0,所以sin αsin β+4cos αcos β=0，所以sin αsin β+4cos αcos β+4cos β=2sin αcos αsin β+4(2cos 2α-1)cos β+4cos β=2sin αcos αsin β+8cos 2αcos β=2cos α(sin αsin β+4cos αcos β)=(2cos α⨯0)=0.（5）利用函数奇偶性比较大小例7．已知x ≠0，a>0，且a ≠1，试比较xlog a (1-x)与xlog a (1+x)的大小。
分析与解：设f(x)=xlog a (1-x)-xlog a (1+x)=xlog a x x+-11.因为f(x)=-xlog a x x -+11=-xlog a (x x +-11)-1=xlog a x x+-11=f(x)，所以f(x)是偶函数，图像关于y 轴对称。
若a>1，由已知得-1<x<1且x ≠0，所以当-1<x<0时，x x+-11>1，所以log a x x +-11>0, xlog a x x+-11<0即f(x)<0，由图像的对称性知，当0<x<1时，f(x)<0，故xlog a (1-x)<xlog a (1+x).若0<a<1同理可得，xlog a (1-x)>xlog a (1+x).综上，当a>1时，xlog a (1-x)<xlog a (1+x).当0<a<1时，xlog a (1-x)>xlog a (1+x).3．利用函数的单调性单调性是函数的重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性，可将函数值间的关系转化为自变量间的关系研究，从而达到化繁为简的目的。
特别是在比较数式大小，证明不等式，求值或最值，解方程（组）等方面应用十分广泛。
例8．已知不等式12121312111>+++++++n n n n log a (a-1)+32对于一切大于1的自然数n 都成立，求实数a 的取值范围。
分析：注意到不等式仅仅左边是与n 有关的式子，从函数的观点看，左边是关于n 的函数，要使原不等式成立，转化为这函数的最小值大于右式，如何求这个函数的最小值呢？这又是一个非常规问题，应该从研究此函数的单调性入手。
解：设f(n)= n n n n 21312111+++++++ (n ∈N, n≥2). f(n+1)-f(n)=()1(213121++++++n n n )-(n n n 212111+++++ )=11221121+-+++n n n =)22)(12(1++n n >0,∴ f(n)是关于n(n∈N,n≥2）的递增函数，则f(n)>f(2)=127. 要使不等式成立，只须121log a (a-1)+32<127，解之得1<a<251+. 例9．已知y=log a (2-ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）。
A 、(0,1)B 、(1,2)C 、(0,2)D 、(2,+∞)解：显然a>0，且a≠1，易得函数定义域为x<a 2,又函数在[0，1]上有意义，则a 2>1，即a<2,令u=2-ax ，以下分类讨论。
（1）若0<a<1，则u=2-ax 在[0，1]上递减，则y=log a (2-ax)在[0，1]上递增。
（2）若1<a<2，则u=2-ax 在[0，1]上递减，则y=log a (2-ax)在[0，1]上递减，综上所述，选B 。
说明：这里通过取特殊值a=21, a=2，可排除A 、C 、D ，故选B 。
4．利用函数周期性例10．设函数f(x)定义在R 上且f(1+x)=-f(x), f(1)=4,则f(1999)=_______.解：∵ f(1+x)=-f(x), ∴ f(2+x)=-f(1+x)=f(x)∴ f(x)周期为2，f(1999)=f(2×999+1)=f(1)＝4例11设定义在R 上的奇函数满足f(x+2)=-f(x),当x∈(0,1)时，f(x)=2x，则f(21log 24)=______. 解：∵f(-x)=-f(x), f(x+2)=-f(x)， ∴周期T=4， f(21log 24)=f(-log 224)=-f(log 224)=-f(log 224-4)=-f(log 223)=23log 22-=-23.5．利用函数图像例12．解不等式52+x >x+1.解：令y 1=52+x ，y 2=x+1，在同一坐标系内画出这两个函数的图象（如图1），然后“看图说话”，找出y 1在图象在y 2的图象上方时所对应的x的集合。
易得，原不等式解集为[-25,2).例13．已知n 为正整数，实数a>1，解关于x 的不等式。
x a log -4x a 2log x a 3log 12+x n na n log )2(1--++ >3)2(1n --log a (x 2-a).(1991年全国高考理25题)解：将原来不等式化简得3)2(1n --log a x>3)2(1n--log a (x 2-a)......(1)作函数y 1=x 和y 2=x 2-a 的图象（如右图）因x>0，且x 2-a>0, ∴x>a .由x=x 2-a 解得两图象交点的横坐标为x 0=2411a++, 因而当n 为奇数时(1)⇔⎪⎩⎪⎨⎧->>a x x a x 2 此时原不等式解集为{x|a <x<2411a ++}，当n 为偶数时，原不等式解集为{x|x>2411a++}。
6．利用函数的值域求函数的值域，涉及到众多数学知识，构成了中学数学的重要横向知识体系，同时也为利用函数值域解题提供了广阔的天地，尤其对某些含参数的不等式，在分离参数的基础上，通过求函数的值域进而达到确定参数的取值范围，从而避免了对参数的繁锁讨论。
例14．已知不等式1≤cos 2x+sinx+a≤417,对于一切x∈R 恒成立，求a的取值范围。
解：令f(x)=cos 2x+sinx+a=-sin 2x+sinx+1+a=-(sinx-21)2+45+a.∴ f min (x)=-1+a, f max (x)=45+a. 要使命题成立，只须⎪⎩⎪⎨⎧≤≥417)(1)(max min x f x f 即⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+-4174511a a 解得 2≤a≤3. 例15．若方程sin 2x+cosx+a=0有解，求实数a 的取值范围。
解：由方程得a=cos 2x-cosx-1，设f(x)=cos 2x-cosx-1, 要方程有解，只须a 在f(x)的值域内即可，而f(x)=(cosx-21)2-45, ∵-1≤cosx≤1, ∴-45≤f(x)≤1, ∴ -45≤a≤1.例16．若cos2x-3>2kcosx-4k, x∈[0,4π]时恒成立，求实数k 的范围。