高二数学下期中试题及答案
河南省实验中学2022-2023学年下期期中高二数学试卷含答案
河南省实验中学2022-2023学年下期期中试卷高二 数学（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数()sin cos f x x x x =+，则()(f x '= ) A ．cos x xB ．cos x x -C ．2sin cos x x x +D ．sin x x2.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且3781a a =，则313539log log log (a a a ++= ) A ．3B ．4C ．5D ．63.将3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有( )排法． A ．120B ．24C ．48D ．964.已知n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且51013S S =，那么520(=SS ) A ．19B ．110C ．18D ．135.若443243210(1)x a x a x a x a x a -=++++，则41032(-+-=+a a a a a ) A ．1-B ．1C ．15D ．166.数列{}n a 中，11a =，12(2nn n a a n a +=+为正整数），则(n a = ) A ．12n + B ．21n + C ．21nn + D ．12n n+ 7.函数3211()132=++-f x x ax x 存在两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．()()+∞-∞-,,22B ．(][)+∞-∞-,,22C ．()22,-D ．[]22,-8.将4个A 和2个B 随机排成一行，则2个B 不相邻的概率为( ) A ．13B ．25C ．23D ．459.函数2()2f x lnx ax =+-在区间(1,4)内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是( ) A ．1(,)32-∞-B ．1(,)2-∞-C ．1(,]32-∞-D ．1(,]2-∞-10.数列{}n a 满足14a =，132n n a a +=-，*n N ∀∈，(1)28n n a a λ-<-，则实数λ的取值范围是( ) A ．(,9)-∞-B ．(,8)-∞-C ．(12,9)--D ．(12,7)--11.设函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，且满足()()1f x f x >'+，(0)2023f =，则不等式()2022x x e f x e -->+（其中e 为自然对数的底数）的解集是( ) A ．(2022,)+∞ B ．(,2023)-∞C ．(0,2022)D ．(,0)-∞12.设1111,tan ,101011a lnb c ===，则( ) A ．a b c << B ．c b a << C ．a c b << D ．c a b <<二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.在26(21)+x 的展开式中，2x 的系数为 ．（用数字作答） 14.设数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，若2339-=+n n S n T n ，则22=a b ． 15.在学雷锋志愿活动中，安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有 种．16.已知正实数x ，y 满足xe ylnx ylny =+，则-xe lny x的最小值为 ．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，其 余试题每题12分）17.已知{a n }满足：()*+-∈≥+=N n ,n a a a n n n 2211，11=a ，3235a a =．(1)求a n ； (2)令()*n n n N n a a b ∈⋅=+11，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x ()R a ∈．(1)若函数在x ＝1处的切线与直线x －y －2＝0垂直，求实数a 的值； (2)当a >0时，讨论函数的单调性．19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*∈=+N n a S n n 312． (1)求n a ； (2)求数列{}n na 的前n 项和n T ．20.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，PD CD AD 22==，M 为BC 的中点．(1)证明：AM ⊥平面PBD ； (2)求二面角P －AM －D 的正弦值．21.已知椭圆()2222:10+=>>x y C a b a b ，离心率12=e ，过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． (1)求C 的方程；(2)直线l 过点()10,M ，交椭圆与A 、B 两点，记()30,N ，证明0=+NB NA k k ．22.已知函数()1=--x f x e ax ．(1)若0>x 时，()0>x f 恒成立，求a 的取值范围； (2)记()221x x g =，讨论函数()x f 与()x g 的交点个数．河南省实验中学2022--2023高二数学期中考试答案13． 12 14．615．150 16．1 9.解：函数2()2f x lnx ax =+-的定义域是(0,)+∞，2121()20+'=+=<ax f x ax x x在()41,有解，即大212⎪⎭⎫⎝⎛-<x a ，即1612-<a ，解得132a <-，所以a 的取值范围是1(,)32-∞-．10.解：数列{}n a 满足132n n a a +=-，则113(1)n n a a +-=-，且113a -=，∴数列{1}n a -是以3为首项，3为公比的等比数列，则11333n n n a --=⨯=，即31n n a =+，又*n N ∀∈，(1)28n n a a λ-<-，转化为3327n n λ<-对*n N ∈恒成立，即2713nλ<-， 又数列27{1}3n -是递增数列，则当1n =时，27(1)83min n-=-，即8λ<-， 故实数λ的取值范围是(,8)-∞-． 11.解：设()1()xf xg x e -=，()()1f x f x >'+，即()()10f x f x '-+<，()()1()0xf x f xg x e '-+∴'=<，()g x ∴在R 上单调递减，又(0)2023f =，∴不等式0()1(0)1()20222022(0)1x x x f x f e f x e f e e ---->+⇔>=-=， 即()(0)g x g >，0x ∴<，∴原不等式的解集为(,0)-∞． 12.解：由11(1)tan 1010a b ln -=+-，令()(1)tan f x ln x x =+-，0x >， 所以211()1cos f x x x '=-+，因为21cos [1,1],(,1]cos x x∈--∈-∞-， 因为0x >，所以11x +>，1011x <<+，故()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减， 又(0)(10)tan00f ln =+-=，所以1()(0)010f f <=，所以11(1)tan 01010ln +-<，即111tan 1010ln <，所以a b <． 由11(1)1111a c ln -=---，令()(1)gx l n x x =---，01x <<，所以1()1011xg x x x'=-=>--，所以()g x 在(0,1)上单调递增，所以1()(0)10011g g ln >=--=，所以11(1)01111ln --->，即1111011ln>，所以a c >，综上，c a b <<． 16.解：x e ylnx ylny =+，x e ylnxy ∴=即x xe xylnxy =，设()x f x xe =，则()()f x f lnxy =，且()(1)x f x e x '=+，所以()f x 在(1,)-+∞上单调递增， 正实数x ，y ，01x e ylnxy e ∴=>=，即10l n x y y>>，所以()()f x f lnxy =，等价于x lnxy =， 即=x e y x ，则ln 1⎛⎫-=-=-≥⎪⎝⎭x xx e e e lny ln y y x x x，于是最小值为1． 17.解：(1){a n }满足：()*+-∈+=N n a a a n n n 112，则{a n }为等差数列，11=a ，3235a a =， 即()()d d 21315+=+，解得2=d ，12-=n a n ；......................5分 (2) ()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=⋅=+121121*********n n n n a a b n n n ，则12121121121121513131121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-=n nn n n T n ．......................10分 18.解：函数定义域为(0，＋∞)，求导得f ′(x )＝2x －2＋ax ．(1)由已知得f ′(1)＝2×1－2＋a ＝－1，得a ＝－1．..............4分(2)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x(x >0)，对于方程2x 2－2x ＋a ＝0，记Δ＝4－8a . ①当Δ≤0，即a ≥12时，f ′(x )≥0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当Δ>0，即0<a <12时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝1－1－2a 2，x 2＝1＋1－2a 2.又a >0，故x 2>x 1>0. 当 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--∈22110a ,x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞-+,a 2211时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， 当⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--∈22112211a ,a x 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 综上所述，当a ≥12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当0<a <12时，函数f (x )在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22110a ,上单调递增，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--22112211a ,a 上单调递减， 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞-+,a 2211上单调递增．..............12分 19.解：(1)当n ＝1时，2a 1+1＝3a 1，∴a 1＝1，又 ，∴可知a n ≠0， 当n ≥2时，由 ，得2S n ﹣1+1＝3a n ﹣1， 两式相减得2a n ＝3a n ﹣3a n ﹣1，∴a n ＝3a n ﹣1，∴{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴ ．..............6分(2)由(1)可得 ，∴ ， ∴ ， ∴，∴．..............12分 20.解： (1)证明：M 为BC 的中点，∴AD ABAB AM==又四棱锥P ABCD -的底面是矩形， ∴2DAB MBA π∠=∠=，Rt DAB Rt ABM ∴∆∆∽，DBA AMB ∴∠=∠， 又2MBD DBA π∠+∠=，∴2MBD ANB AM DB π∠+∠=⇒⊥，PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ， PD AM ∴⊥，又DBPB B =，且DB ，PB ⊂平面PBD ，AM ∴⊥平面PBD ．........5分(2)PD ⊥平面ABCD ，又AD ，DC ⊂平面ABCD ，PD AD ∴⊥，PD DC ⊥，又四棱锥P ABCD -的底面是矩形，AD DC ∴⊥，∴建立如下图所示的空间直角坐标系，设1=CD ：(0,0,0),(0,0,1),D P A M ，∴(2,0,1)=-PA ，2(1,0)2=-MA ，(0,0,1)=DP ， PD ⊥平面ABCD ，∴平面AMD 的法向量为(0,0,1)=DP ，设平面APM 的法向量为(,,)n x y z =， 则20202⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n PA x z n MA x y ，取(2,1,2)n =， ∴二面角P －AM －D 的余弦值为：||4|cos ,|||||27DP n DP n DP n ⋅<>===，于是二面角P －AM －D 的正弦值为721...............12分21.解：(1)由题得22222191412⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎪⎩a b c e a a b c ，解得32==b ,a ，于是22:143+=x y C ；..............4分(2)直线l 的斜率不存在时，易得0=+NB NA k k ；直线l 的斜率存在时，可设为1+=kx y :l ，联立方程即221431⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y y kx ， 消y 可得()0884322=-++kx x k ，易得0>∆，设()()2211y ,x B ,y ,x A ， 韦达定理可得221221438438k x x ,k k x x +-=+-=+； 212121221122112211222233x x x x k x x k x kx x kx x y x y k k NB NA +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=-+-=+， 韦达代入得08822222221212121=---=+-=+-=+kk x x x x k x x x x k k k NB NA ，得证．..............12分 22..解：(1)()1=--x f x e ax ，()∴'=-x f x e a ．0x >，1x e ∴>，当1a …时，()0x g x e a '=-…，()g x 单调递增，()(0)0g x g ∴>=，不等式成立， 当1a >时，()0g lna '=．(0,)x lna ∴∈，()0g x '<，()g x 单调递减，()(0)0g x g ∴<=，这与题设矛盾．综上，a 的取值范围为(-∞，1]．..............5分(2) 记()()()2112=-=---x F x f x g x e x ax ，则()00=F ，()'=--x F x e x a ． 记()()'==--x h x F x e x a ，则()1'=-x h x e ，()'h x 单调递增，且由唯一零点0，于是()h x 在()0，∞-单调递减，()∞+，0单调递增，()h x 在0处取得最小值()01=-h a ．当()010=-≥h a ，即1≤a 时，()0≥h x ，故()F x 在R 上单调递增，()F x 在R 上有唯一零点0;当()010=-<h a ，即1>a 时，()()lim lim →+∞→+∞=--→+∞x x x h x e x a ，()()lim lim →-∞→-∞=--→-∞x x x h x e x a ，于是()h x 有两个零点，且210x x <<，于是()F x 在()1x ，∞-单调递增，()21x x ，单调递减，()∞+，2x 单调递增， 又()00=F ，则()10>F x ，()20<F x ，()21lim lim 12→+∞→+∞⎛⎫=---→+∞ ⎪⎝⎭x x x F x e x ax ，()21lim lim 12→-∞→-∞⎛⎫=---→-∞ ⎪⎝⎭x x x F x e x ax ，则由零点存在定理可得()F x 在()1x ，∞-存在唯一零点，()F x 在()∞+，2x 存在唯一零点，故此时有三个零点． 综上可得1≤a 时，有一个交点；1>a 时，有三个交点．..............12分。
2022-2023学年北京市朝阳区高二下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市朝阳区高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．某质点沿直线运动的位移与时间的关系是，则质点在时的瞬时()m s ()min t ()2s t t t=+2min t =速度为（ ）A ．B ．C ．D ．2m/min 4m/min 5m/min 6m/min【答案】C【分析】根据导数的物理意义，求导即可得到瞬时速度.【详解】解：，当时，.()()21v t s t t '==+2t =()25v =故选：C.2．对变量x ，y 由观测数据得散点图1；对变量y ，z 由观测数据得散点图2．由这两个散点图可以判断（ ）．A ．变量x 与y 正相关，x 与z 正相关B ．变量x 与y 正相关，x 与z 负相关C ．变量x 与y 负相关，x 与z 正相关D ．变量x 与y 负相关，x 与z 负相关【答案】D【分析】利用散点图判断.【详解】解：由散点图知：变量x 与y 负相关，y 与z 正相关，所以x 与z 负相关．故选：D ．3．一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除了颜色外完全相同，从中模出2个球，恰有一个黑球的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．1556152832838【答案】B【分析】根据组合计数，结合古典概率公式求解即可.【详解】解：由题知，从装有5个白球和3个黑球，模出2个球，共有种，2828C =其中，恰有一个黑球的共有种，115315C C =所以，恰有一个黑球的概率为.1528P =故选：B4．在5道题中有3道数学题和2道物理题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到数学题条件下，第二次抽到数学题的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．310123513【答案】B【分析】法一：分析出第一次抽到数学题条件下，剩余试题的特征，从而求出概率；法二：设出事件，利用条件概率公式进行求解.【详解】法一：因为第一次抽到数学题条件下，还剩下4道试题，有2道数学题和2道物理题，因此第二次抽到数学题的概率是；12法二：设第二次抽到数学题为事件，第一次抽到数学题为事件，A B 则，，()2325C 3C 10P AB ==()1315C 3C 5P B ==则.()()()3110325P AB P A B P B ===故选：B 5．已知，则（ ）()10210012101x a a x a x a x -=++++ 1210a a a +++= A ．B ．1C ．D ．10-1011-【答案】D 【分析】令，利用赋值法可得出()()10210012101f x x a a x a x a x =-=++++ ，即可得解.()()121010a a a f f +++=- 【详解】令，()()10210012101f x x a a x a x a x =-=++++ 则，()()()121001210010011a a a a a a a a f f +++=++++-=-=-=- 故选：D.6．已知函数，则的极小值点为（ ）2()(3)xf x x e =-()f x A ．B ．C ．D ．3-136e-2e-【答案】B 【分析】的定义域为R ，求导得，分析的符号，的单调性，()f x ()(3)(1)x f x x x e '=+-()f x '()f x 极值点，即可得出答案．【详解】解：的定义域为R ，()f x ，22()2(3)(23)(3)(1)x x x x f x xe x e x x e x x e '=+-=+-=+-所以在上，单调递增，()3∞--，()0f x '>()f x 在上，单调递减，()31-，()0f x '<()f x 在上，单调递增，()1+∞，()0f x '>()f x 所以是的极小值点，1x =()f x 故选：B ．7．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）ξ()22,N σ()020.3P ξ<<=()4P ξ>=A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2【答案】D【分析】根据随机变量服从正态分布，求得其图象的对称轴，再根据曲线的对称性，()22,N σ2x =即可求解答案．【详解】解：由题意，随机变量服从正态分布，所以，即图象的对称轴为，()22,N σ2μ=2x =又由，则，()020.3P ξ<<=()240.3P ξ<<=则，()1(04)40.22P P ξξ-<<>==故选：D ．8．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）()()20x f x a x a =>-()1,2a A ．或B ．C ．或D ．1a ≤2a ≥2a ≥2a ≥1a =1a ≥【答案】C【分析】由题可求导函数，利用导函数与单调性的关系可得在恒成立，即求.220x ax -≤()1,2【详解】由题意，在恒成立，则，0x a -≠()1,2()1,2a ∉又，()22222()2()()x x a x x axf x x a x a ---'==--∴在恒成立，()0f x '≤()1,2∴即在恒成立，∴，220x ax -≤2xa ≥()1,21a ≥综上，或.2a ≥1a =故选：C.9．笛卡尔心形线的极坐标方程是．某同学利用GeoGebra 电脑软件将(1sin )(0)a a ρθ=->，“心形线”．观察()f x =()g x =-图形，当时，的导函数的图象为（ ）0x >()g x ()g x 'A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】易得函数表示如图“心形线”中轴下方的图象，再根据函数的单调性及切线斜()g x x ()g x 率的变化情况即可得解.【详解】因为，，()0f x =≥()0g x =-所以函数表示如图“心形线”中轴下方的图象，()g x x由，所以()g x =-1022x -≤≤由图可知函数在上单调递增，可得，故排除BC ，()g x ()0,2()0g x '>又函数在时的图象的切线斜率先减小后增大，排除D ，()g x 0x >故函数的先减后增，故只有A 选项符合题意.()g x '故选：A.10．二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数(）对应的十进制数记为，即()0122k a a a a ⋯*k N ∈k m 其中， ，则在1001122...22k k k k k m a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯，01a ={}01123i a i k ∈=⋯，（，，，，）中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（ ）0128a a a a ⋯，，，0182(...)a a a A ．1910B ．1990C ．12252D ．12523【答案】D【分析】利用等比数列前n 项和以及组合数问题可解【详解】根据题意得 ，因为在中恰好有2个8760812812222m a a a =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯0128a a a a ⋯，，，0的有=28种可能，即所有符合条件的二进制数的个数为28．28C ()01282 a a a a ⋯所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现=28次，，…，2，均()01282 a a a a ⋯8228C 726202出现=21次，所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制27C 0128a a a a ⋯，，，()01282 a a a a ⋯数的和为27602878C 2+2+...+2+2+C 2=21255+28256=12523⨯⨯（）故选：D ．二、填空题11．二项式展开式中的常数项是__．（用数字作答）61()x x +【答案】20【分析】根据二项式的展开公式求解即可.【详解】二项式展开式的通项公式为，61()x x +6261661C ()C r r r r r r T x x x --+=⋅⋅=令，得，260r -=3r =所以展开式中的常数项是．36C 20=故答案为:20.12．世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在年和年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．如今，哥德巴赫猜想仍未解决．哥19761994德巴赫猜想描述为：任何不小于的偶数，都可以写成两个质数之和．（质数是指在大于的自然数41中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数）．在不超过的质数中，随机选取两个不同的117数，其和为奇数取法有________种．【答案】6【分析】列举出不超过的质数，分析可知必取，然后在剩余个奇数中任选一个即可，即可得1726出不同的选法种数.【详解】不超过的质数有：、、、、、、，共个，1723571113177在这个数中随机选取两个不同的数，其和为奇数，则必取，72然后在剩余个奇数中任选一个即可，6所以，不同的取法种数为种.6故答案为：.613．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为4%，加工出来的零件混放在一起；已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．现任取一个零件，则该零件是次品的概率为___________．【答案】/4.25%0.0425【分析】根据条件，结合全概率公式求解即可.【详解】解：由全概率公式可得，任取一个零件，则该零件是次品的概率为.()0.250.050.30.040.450.04100% 4.25%⨯+⨯+⨯⨯=故答案为：4.25%14．函数有两个零点，则写出符合上述要求的一个实数k 的值为________．ln ()2e x kf x x =-【答案】1（答案不唯一，满足即可）()0,2k ∈【分析】根据题意分析可得原题意等价于与有两个交点，求导，利用导数判断()y g x =2e ky =的单调性与最值，结合图象分析运算.()y g x =【详解】令，则，ln ()02e x kf x x =-=ln 2e x k x =构造，原题意等价于与有两个交点，()ln x g x x =()y g x =2e ky =因为，()21ln xg x x -'=令，则；令，则；()0g x '>0e x <<()0g x '<e x >则在上单调递增，在上单调递减，()g x ()0,e ()e,+∞可得，()()1e e g x g ≤=且当x 趋近于0，趋近于，当x 趋近于，趋近于0，()g x -∞+∞()g x 结合的图象可知：若与有两个交点，则，()g x ()y g x =2e ky =102e e k <<解得，02k <<所以实数k 的取值范围为，且.()0,2()10,2∈故答案为：1（答案不唯一，满足即可）()0,2k ∈【点睛】三、双空题15．我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第行的各数就是的展开式的二项式系数.n ()na b +则第10行共有___________个奇数；第100行共有___________个奇数.【答案】48【分析】根据图2可知第7行的数全部是奇数，再进一步得到第15行也全部是奇数，从而找到规律，即可得答案；【详解】由杨辉三角可得如下表：第1行，2个；第2行，2个；第3行，4个； 第4行，2个； 第5行，4个； 第6行，4个；第7行，8个；第8行，2个；第9行，4个；第10行，4个； 第11行，8个； 第12行，4个； 第13行，8个；第14行，8个；第15行，16个；第16行，2个；第17行，4个；第18行，4个； 第19行，8个； 第20行，4个； 第21行，8个；第22行，8个；第23行，16个；第96行，4个；第97行，8个；第98行，8个； 第99行，16个； 第100行，8个；故答案为：4；8.四、填空题16．已知函数，关于函数给出下列命题：()22xf x x e=-()f x ①函数为偶函数；()f x ②函数在区间单调递增；()f x 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦③函数存在两个零点；()f x ④函数存在极大值和极小值．()f x 其中正确命题的序号是________．【答案】①②④【分析】①根据偶函数的定义，即可判断①正确；②当时，求出，并分析其单调性，得对恒成立，则函数0x >()4x f x x e '=-()0f x ¢>1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦在区间单调递增，②正确；()f x 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦③由②可知，当时的单调性，并由零点存在定理可知其有两个零点，进而判断出0x >()f x '的单调性，再根据零点存在定理可判断在上有两个零点，由为偶函数可知，()f x ()f x (0,)+∞()f x 其在上存在四个零点，故③错误；R ④由③可知，存在极大值和极小值，故④正确.()f x 【详解】①：定义域为，，R ()()222()2xxf x x ex e f x --=--=-=则函数为偶函数，故①正确；②：当时，，0x >()4xf x x e '=-令，则，()()g x f x '=()4xg x e '=-由解得，()0g x '=ln 4x =则当时，单调递增，(0,ln 4)x ∈()0g x '>()g x又由及可知，102g ⎛⎫> ⎪⎝⎭11(0,ln 4)2⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，即对恒成立，()0g x >()0f x ¢>1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则函数在区间单调递增，故②正确；()f x 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦③：由②可知，在单调递增，单调递减，()4xf x x e '=-(0,ln 4)(ln 4,)+∞又，，，()010f '=-<()2280f e '=->()33120f e '=-<由零点存在定理知，，使得，12(0,2),(2,3)x x ∃∈∈()()120f x f x ''==在单调递减，单调递增，单调递减.()f x 1(0,)x 12(,)x x 2(,)x +∞又，，，()010f =-<()2280f e =->()33180f e =-<由零点存在定理可知，在上有两个零点，()f x (0,)+∞又由为偶函数可知，其在上存在四个零点，故③错误；()f x R ④：由③可知为极小值，为极大值，()1f x ()2f x 又由偶函数可知，为极小值，为极大值，()1f x -()2f x -故④正确.故答案为：①②④.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对导函数继续进行求导，以及利用零点存在定理，找到导函数的单调区间，则可求得原函数的单调性，同时又可以判断函数的零点个数和极值.五、解答题17．为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课.为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，调查了高一年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表：(1)补全2×2列联表；选书法选剪纸共计男生4050女生共计30(2)是否有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？（计算结果保留到小数点后三位，例如：95%3.841）参考附表：α0.1000.0500.0250x 2.706 3.841 5.024参考公式：，其中.()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++【答案】(1)列联表见解析(2)有【分析】（1）直接根据表中数据即可完成列联表；（2）根据公式求出，再对照临界值表，即可得出结论.2χ【详解】（1）根据题意补全2×2列联表，如下：选书法选剪纸共计男生401050女生302050共计7030100（2）根据列联表中数据，得，()2210040201030 4.762 3.84150507030χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有的把握认为选“书法”或“剪纸”与性别有关.95%18．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心．据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，关注生态文明建设的约占80%．现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)求a 的值；(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；(3)用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X ．求随机变量X 的分布列及期望．【答案】(1)0.035(2)910(3)125【分析】（1）根据频率和为1求；a （2）根据题意结合古典概型分析运算；（3）根据题意可得，根据二项分布求分布列和期望.43,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【详解】（1）由小矩形面积和等于1可得：，解得.(0.010.0150.030.01)101++++⨯=a 0.035a =（2）第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30根据分层抽样可得：第1组抽取人，第2组抽取人205250⨯=305350⨯=再从这5人中抽取3人，设至少1人的年龄在第1组中的事件为A ，其概率为.()3335C 91C 10P A =-=（3）由题意可知：，则有：43,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，，311(0)(5125P X ===()21341121C 55125P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，. ()22341482C 55125P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭3464(3)(5125P X ===∴X 的分布列为：X0123P 1125121254812564125可得的数学期望.X 412()355E X =⨯=19．已知函数．3()3f x x x =-(1)求的值；(0)f '(2)求在区间上的最值；()f x 33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3)若，求的单调区间．3()()(1)g x f x a x =+-()g x 【答案】(1)3-(2)最大值为，最小值为218-(3)答案见解析【分析】（1）求导，再令即可得解；0x =（2）利用导数求出函数的单调区间，在求出函数的极值和端点的函数值，即可得出函数的最值；（3）求导，再分和两种情况讨论即可得解.0a ≤0a >【详解】（1），则；2()33f x x '=-(0)3f '=-（2），()()2()33311f x x x x '=-=+-当或时，，当时，，31x -<<-312x <<()0f x ¢>11x -<<()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x ()33,1,1,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭()1,1-又，()()()39318,12,12,28f f f f ⎛⎫-=--==-=- ⎪⎝⎭所以在区间上的最大值为，最小值为；()f x 33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦218-（3），，33()()()31x g a x f x a x x ==-+-()()231g x ax '=-当时，，所以函数在上单调递减，0a ≤()0g x '<()g x (),-∞+∞当时，，当，0a >x >x <()0g x '>x <<()0g x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()g x ,,⎫⎛+∞-∞⎪ ⎪ ⎭⎝⎛ ⎝综上所述，当时，的单调减区间为，无增区间；0a ≤()g x (),-∞+∞当时，的单调增区间为，单调减区间为；0a >()g x ,,⎫⎛+∞-∞⎪ ⎪ ⎭⎝⎛ ⎝20．已知函数.()()2sin cos f x x x x ax a =--∈R （1）若曲线在点处的切线与直线平行.()y f x =()()0,0f 2y x =+（i ）求a 的值；（ii ）证明：函数在区间内有唯一极值点；()f x ()0,π（2）当时，证明：对任意，.1a ≤()0,πx ∈()0f x >【答案】（1）（i ）；（ii ）证明见解析；（2）证明见解析.0a =【分析】（1）（i ）求出，由直线平行的充要条件得到切线的斜率，根据导数的几何意义求出()f x 'a 的值，即可得到答案；（ii ）求出，令，利用导数研究的单调性，从而得到的取值情况，由()f x '()()g x f x '=()g x ()g x 此得到的单调性，结合极值的定义进行分析，即可证明；()f x （2）利用（1）中的单调性，分，两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，确1a ≤-11a -<≤定函数的取值情况，由此证明结论.()f x 【详解】（1）（i ）解：因为函数，()2sin cos f x x x x ax =--所以，()cos sin f x x x x a '=+-因为曲线在点处的切线与直线平行，()y f x =()()0,0f 2y x =+所以切线的斜率为1，则，即，解得，()01f '=11a -=0a =检验：当时，，因此切线方程为，符合题意，0a =()00f =y x =故.0a =（ii ）证明：由（i ）可知，，则，0a =()cos sin f x x x x '=+令，则，()()cos sin g x f x x x x '==+()cos g x x x'=当时，，则单调递增，即单调递增，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '>()g x ()f x '当时，，则单调递减，即单调递减，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '<()g x ()f x '又，，，()010f '=>ππ022f ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭()π10f '=-<故存在唯一的，使得，0π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00f x '=当时，，则单调递增，()00,x x ∈()0f x ¢>()f x 当时，，则单调递减，()0,πx x ∈()0f x '<()f x 所以当时，函数取得极大值，0x x =()f x ()0f x 故函数在区间内有唯一极值点.()f x ()0,π（2）证明：由（1）可知，当时，单调递增，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x '当时，单调递减，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x '因为，则，且，1a ≤()010f a '=-≥()π1f a'=--①若，即时，则，10a --≥1a ≤-()π0f '>所以在上恒成立，即在上单调递增，()0f x ¢>()0,π()f x ()0,π故，符合题意；()()02sin 00f x f >==②若，即时，，10a --<11a -<≤()π0f '<因为，ππ022f a ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭故存在，使得，0π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00f x '=当时，，单调递增，()00,x x ∈()0f x ¢>()f x 当时，，则单调递减，()0,πx x ∈()0f x '<()f x 所以当时，函数取得极大值，0x x =()f x ()0f x 即且，符合题意.()()00f x f >=()()()ππ10f x f a >=->综上所述，当时，对任意，.1a ≤()0,πx ∈()0f x >21．对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称{}n c *,N m n ∈m n ≠*N k ∈m n k c c c +=为“数列”．{}n c G (1)若数列的通项公式为的通项公式为，分别判断是否为“数列”{}n b {}2,n n b n t =21n t n =+{}{},n n b t G ，并说明理由；(2)已知数列为等差数列，{}n a ①若是“数列，，且，求所有可能的取值；{}n a G *128,N a a =∈21a a >2a ②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”．*n ∈N *N k ∈k n a S ={}n a G 【答案】(1)是“数列”，不是“数列”；{}n b G {}n t G (2)①9,10,12,16；②证明见解析．【分析】（1）根据“数列”的定义验证即可；G （2）①设公差为，利用“数列”定义得是8的正约数：1，2，4，8，分别求出并验证符合d G d 2a 题意即得；②利用，求出公差与首项的关系，然后表示出通项公式，再根据“数列”定122k a a S a +==d 1a n a G 义证明．【详解】（1），对任意的，，，，2n b n =,N *m n ∈m n ≠2m b m =2n b n =，222()m n b b m n m n +=+=+取，则，∴是“数列”，k m n =+m n k b b b +={}n b G ，对任意的，，，，21n t n =+,N *m n ∈m n ≠21m t m =+21n t n =+为偶数，而为奇数，因此不存在2222(1)m n t t m n m n +=++=++21n t n =+N *k ∈使得，∴不是“数列”；m n k t t t +={}n t G （2）数列为等差数列，{}n a ①若是“数列，，且，，，{}n a G *128,N a a =∈21a a >210d a a =->N *d ∈，8(1)n a n d=+-对任意的，，，，,N *m n ∈m n ≠8(1)m a m d =+-8(1)n a n d =+-，由题意存在，使得，88(2)m n a a m n d +=+++-N *k ∈m n k a a a +=即，显然，88(2)8(1)m n d k d +++-=+-k m n ≥+所以，，(2)8(1)m n d k d +-+=-(1)8k m n d --+=，所以是8的正约数，即，2，4，8，1k m n --+N *∈d 1d =时，，；1d =29a =7k m n =++时，，；2d =210a =3k m n =++时，，；4d =212a =1k m n =++时，，．8d =216a =k m n =+综上，的可能值为9，10，12，16；2a ②若对任意，存在，使得成立，*n ∈N *N k ∈k n a S =所以存在，，，N *t ∈122t a a S a +==3t ≥设公差为，则，，{}n a d 112(1)a d a t d+=+-1(2)a t d =-，(2)(1)(3)n a t d n d t n d=-+-=+-对任意的，，，，,N *m n ∈m n ≠(3)m a t m d =+-(3)n a t n d =+-，取，则，(26)m n a a t m n d +=++-3N*k t m n =++-∈(3)(26)k m n a t k d t m n d a a =-+=++-=+所以是“数列”．{}n a G 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是理解新定义并应用新定义求解．第（2）问中，第一个问题是直接利用等差数列的通项公式根据新定义进行验证即可，第二个问题关键是确定数列的通项公式，因此根据已知条件求得数列的首项与公差的关系，这样通项公式中相当于只含有一个参数（或），然后利用通项公式进行检验．d 1a。
2023-2024学年浙江省宁波市高二下学期期中数学试题(含答案)
2023-2024学年浙江省宁波市高二下册期中数学试题一、单选题1．已知集合{}2N 340A x x x =∈--<，{}N 12B x x =∈-<≤，则A B = （）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3C ．∅D ．()1,2-【正确答案】A【分析】计算{}0,1,2,3A =，{}0,1,2B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2N 340N 140,1,2,3A x x x x x =∈--<=∈-<<=，{}{}N 120,1,2B x x =∈-<≤=，故{}0,1,2A B = .故选：A2．设,R x y ∈，则“x y <”是()2“0x y x -⋅<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】x ，R y ∈，若0,0x y =>满足x y <，则()20x y x -⋅=，即()20x y x -⋅<不成立；若()20x y x -⋅<，即有0x ≠，必有20x >，从而得0x y -<，即x y <成立，所以x y <是()20x y x -⋅<成立的必要不充分条件.故选：B3．已知随机变量()2~20,2X N ，则(16)P X <=（）(附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，()220.9545P μσξμσ-≤≤+≈)A ．0.02275B ．0.1588C ．0.15865D ．0.34135【正确答案】A【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.【详解】由题意可得：20,2μσ==，则()16240.9545P ξ≤≤≈，所以()1(16)1160.02274522P X P ξ≤≤≈<=-⎡⎤⎣⎦.故选：A.4．如表为某商家1月份至6月份的盈利y （万元）与时间x （月份）的关系，其中123 6.5t t t ++=，其对应的回归方程为 0.7y x a=+，则下列说法正确的是（）x123456y0.31t 2.22t 3t 4.5A ．y 与x 负相关B ． 0.2a=C ．回归直线可能不经过点()3.5,2.25D ．2023年10月份的盈利y 大约为6.8万元【正确答案】D【分析】0.70>，y 与x 正相关，A 错误，计算中心点带入计算得到B 错误，回归直线一定经过中心点，C 错误，带入数据计算得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：回归方程为 0.7y x a=+，0.70>，y 与x 正相关，错误；对选项B ：1234563.56x +++++==，1235 0.3 2.2 2.64.25y t t t +==++++，故 2.250.7 3.5a=⨯+，解得0.2a =-，错误；对选项C ：回归直线一定经过点()3.5,2.25，错误；对选项D ： 0.70.2y x =-，当10x =时， 6.8y =，正确.故选：D5．函数21()|1|21f x x x x =---+的部分图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】分析函数的定义域排除A ，利用()()11f x f x +=-判断函数对称性排除D ，再代入特殊点，计算(0)0f =，排除B.【详解】由函数解析式可得，函数()21()|1|1f x x x =---，定义域为()(),11,x ∈-∞+∞ ，所以排除A ；因为()2211(1)|11|11f x x x x x -=---=---，()()2211(1)|11|111f x x x f x x x +=+---=-+-所以函数图像关于直线1x =对称，故排除AD ；又因为()21(0)|01|001f =--=-，所以排除B.故选：C6．我们把各个数位上的数字之和为8的三位数称为“幸运数”，例如“170，332，800”都是“幸运数”.问“幸运数”的个数共有（）A ．35个B ．36个C ．37个D ．38个【正确答案】B【分析】按照首位数字为18 进行分类，相加得到答案.【详解】当首位数字为1时，后两位相加为7，共有8种；当首位数字为2时，后两位相加为6，共有7种；当首位数字为3时，后两位相加为5，共有6种；当首位数字为4时，后两位相加为4，共有5种；当首位数字为5时，后两位相加为3，共有4种；当首位数字为6时，后两位相加为2，共有3种；当首位数字为7时，后两位相加为1，共有2种；当首位数字为8时，后两位相加为0，共有1种；故共有1234567836+++++++=个数.故选：B7．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<【正确答案】D【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解.【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<.则随机变量ξ的分布列为:ξ1P1p-p所以()()(),1E p D p p ξξ==-随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E pηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):ηp1p-P1p-p则()()()()1121E p p p p p pη=-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p pη=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误.()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确故选:D本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.8．设()f x 是定义在D 上的函数，如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ³，则称()f x 为D 上的“非严格递减函数”，已知集合12345{,,,,}A a a a a a =，其中12345a a a a a <<<<，集合*110{N |C 45}n B n +=∈≥，则满足定义域是A ，值域是B 的子集的非严格递减函数有（）个A ．56B ．126C ．252D ．462【正确答案】D【分析】计算17n ≤≤得到1,2,3,4,57{},6,B =，转化为1234511()4()3()2()1()1f a f a f a f a f a ≥+>+>+>+>>，计算得到答案.【详解】281010C C 45==，110C 45n +≥，故218n ≤+≤，17n ≤≤，故集合1,2,3,4,57{},6,B =，由12345a a a a a <<<<，则123457()()()()()1f a f a f a f a f a ≥≥≥≥≥≥，即有1234511()4()3()2()1()1f a f a f a f a f a ≥+>+>+>+>≥，则共有511C 462=个函数，故选：D.二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．命题“存在0x >，使得不等式210x x ++<成立”的否定是“任意0x ≤，都有不等式210x x ++≥成立”.B ．若事件A 与B 相互独立，且()01P A <<，()01P B <<，则()()P A B P A =.C ．已知24a b <+<，02a b <-<，则3311a b <+<.D ．在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好.【正确答案】BD【分析】对于A ：根据特称命题的否定分析判断；对于B ：根据独立事件的概率乘法公式结合条件概率公式分析运算；对于C ：以,a b a b +-为整体表示3a b +，结合不等式的性质分析运算；对于D ：根据残差的定义分析判断.【详解】对于A ：“存在0x >，使得不等式210x x ++<成立”的否定是“任意0x >，都有不等式210x x ++≥成立”，故A 错误；对于B ：由条件概率可知：()()()P AB P A B P B =，∵事件A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =⋅，∴()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ⋅===，故B 正确；对于C ：∵()()32a b a b a b +=++-，由24a b <+<，02a b <-<，可得()428a b <+<，∴4310a b <+<，故C 错误；对于D ：根据残差的定义可知：残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故D 正确；故选：BD.10．已知关于x 的函数：2()21f x ax ax =-+，其中a ∈R ，则下列说法中正确的是（）A ．当1a =时，不等式()4f x >的解集是(1,3)-.B ．若不等式()0f x ≤的解集为空集，则实数a 的取值范围为(0,1).C ．若方程()0f x =的两个不相等的实数根都在()0,2内，则实数a 的取值范围为()1,+∞.D ．若方程()0f x =有一正一负两个实根，则实数a 的取值范围为(),0∞-.【正确答案】CD【分析】对于A ：解一元二次不等式即可；对于B ：分析可得原题意等价于2210ax ax -+>恒成立，结合恒成立问题运算求解；对于C 、D ：整理可得212x x a-=-，根据题意结合图象分析运算.【详解】对于A ：当1a =时，不等式2()214f x x x =-+>，即2230x x -->，解得3x >或1x <-，即不等式()4f x >的解集是()(),13,-∞-⋃+∞，故A 错误；对于B ：若不等式()0f x ≤的解集为空集，等价于2210ax ax -+>恒成立，当0a =时，则10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2Δ440a a a >⎧⎨=-<⎩，解得01a <<；综上所述：实数a 的取值范围为[)0,1，故B 错误；若方程2()210f x ax ax =-+=有根，则有：当0a =时，则10=不成立，不符合题意；当0a ≠时，则212x x a -=-，即22y x x =-与1=-y a有交点，结合图象，对于C ：若方程()0f x =的两个不相等的实数都在()0,2内，则22y x x =-与1=-y a有交点横坐标均在()0,2内，可得110a-<-<，解得1a >，所以实数a 的取值范围为(1,)+∞，故C 正确；对于D ：若方程()0f x =有一正一负两个实根，则22y x x =-与1=-y a有交点横坐标一个为正数一个为负数，可得10a->，解得a<0，所以实数a 的取值范围为(),0∞-，故D 正确；故选：CD.11．已知正数x 、y ，满足2x y +=，则下列说法正确的是（）A ．xy 的最大值为1.B 的最大值为2.C ．21x y+的最小值为3.D ．2211x y x y +++的最小值为1.【正确答案】ABD【分析】对于AB ，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD ，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断.【详解】对于A ，因为0,0,2x y x y >>+=，所以2x y =+≥1xy ≤，当且仅当x y =且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，所以xy 的最大值为1，故A 正确；对于B ，因为()2222222()2()0a b a b a b ab a b +-+=+-=-≥，所以()222()2a b a b +≤+，当且仅当a b =时，等号成立，所以()222224x y ⎡⎤≤+=+=⎣⎦2≤，=且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，2，故B 正确；对于C ，211213()313222212y x x y x y y y x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当2y xx y=且2x y +=，即42x y =-=-时等号成立，所以21x y +的最小值为32，故C 错误；对于D ，令1s x =+，1t y =+，则1x s =-，1y t =-，24s t x y +=++=，0,0s t >>，所以()()22221111112211s t x y s t x y s t s t s --+=+=-++-+=+++()11111221444ts s t s t s t ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当s t =且4s t +=，即2s t ==，即1x y ==时，等号成立，所以2211x y x y +++的最小值为1，故D 正确.故选：ABD.12．已知()f x 为非常值函数，若对任意实数x ，y 均有()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，且当0x >时，()0f x >，则下列说法正确的有（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 是()0,∞+上的增函数C ．()1f x <D ．()f x 是周期函数【正确答案】ABC【分析】令0x y ==，代入()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，即可得到()0f 再由()00f =，分别应用函数的奇偶性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D 选项即可【详解】对于A:由题意()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，令0x y ==，()()()202100f f f =+,解得：()00f =或()01f =±当()01f =时，令0y =，则()()()()()()()1==11100f x f f x f x f x f f x ++=+⋅+恒成立，又已知()f x 为非常值函数故舍去，当()01f =-时，令0y =，则()()()()()()()1==11100f x f f x f x f x f f x +-=-+⋅-恒成立，又已知()f x 为非常值函数故舍去，∴()00f =，令y x =-，则()()()()()=010f x f f f x f x x -+⋅-+=，所以()()=0f x f x +-，即()()=f x f x --，所以()f x 为奇函数，故A 正确；对于C ：令2x x y ==，()2222112222x x f f f f x x x x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为212,22x x f f ⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若12x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则()222112x f f x x f ⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又()f x 为非常值函数故舍去，所以12x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，所以212,22x x f f ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()222112x f f x x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=<⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故C 正确:对于B:设任意的12,R x x ∈且120x x <<令21,x x y x ==-所以()()()()()2121211f x f x f x x x x f f +-+⋅--=，又因为()f x 为奇函数，所以()()()()()1122121f x f x f x x f x x f --=-⋅，()()121,1,f x f x <<()()()()11221,10x f x f f x f x ⋅<-⋅>又因为当0x >时，()0f x >，所以()()210,0f x f x >>，210x x ->，()()()()()21212101f x f x f x x f x f x --=>-⋅,即()()21f x f x >，所以()f x 是()0,∞+上的增函数,故B 正确;对于D:因为()f x 是()0,∞+上的增函数,又因为()f x 为奇函数且()00f =,所以()f x 是(),-∞+∞上的增函数,故()f x 不是周期函数,故D 错误.故选:ABC.三、填空题13．已知条件:11p k x k -<<+，3:21x q x -≥+，p 是q 的充分条件，则实数k 的取值范围是_______.【正确答案】[]4,2--【分析】先根据分式不等式求出q ，设条件p 对应的集合为A ，条件q 对应的集合为B ，由p 是q 的充分条件，可得A B ⊆，进而可得出答案.【详解】由321x x -≥+，得501x x +≤+，解得51x -≤<-，设{}{}11,51A x k x k B x x =-<<+=-≤<-，因为p 是q 的充分条件，所以A B ⊆，所以1511k k -≥-⎧⎨+≤-⎩，解得42k -≤≤-，所以实数k 的取值范围是[]4,2--.故答案为.[]4,2--14．已知：8290129(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++- ，则4a =______.【正确答案】14【分析】变换()()()8881211(11)x x x x x =----+--，再利用二项式定理得到()()3434488C 1C 1a =-+-，计算得到答案.【详解】()()()()()888811111111)1(2x x x x x x x =-+--=---+---，()811x --展开式的通项为()()818C 11rrrr T x -+=--，()()3434488C 1C 1567014a =-+-=-+=.故1415．若函数2(2)3,14(),142,4a x a x f x x x x ax x -+≤⎧⎪⎪<≤⎨⎪-+>⎪⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为_______．【正确答案】17(2,]8【详解】因为()22,4f x x ax x =-+>，是开口向下的二次函数，故只能是在4x >上单减，故要求整个函数在R 上都是减的，每一段都是减的，则要求20,17234281816a a a a a -<⎧⎪-+≥⇒<≤⎨⎪≥-⎩，故答案为172,8⎛⎤⎥⎝⎦．点睛：这个题目考查了，已知分段函数的单调性求参的问题，一般这类题目要满足两个条件，一是分段函数每一段都是单调的，且要求在定义域上函数是上台阶或下台阶的，即每段的连接点处必须是连接起来的或者都是向下或向上的趋势，不能错位．16．将1，2，3，……，9，10这10个整数分别填入图中10个空格中，样本空间Ω为满足“每一行的最大数比上一行的最大数要大”的所有样本点构成的集合，事件A 为“第四行有一个数字是1”，事件B 为“第三行有一个数字是2”，则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为_______.【正确答案】310/0.3【分析】利用排列组合的性质和条件概率公式即可求解.【详解】假设每一行数字由小到大排列（最后再乘每一行的排列数），那么当每一行最后一个数字给定，只需挑出每一行的前几个数字即可，且10在第四行第4个数.当1在第四行时，第四行前3个数字选法28C ，第三行前2个数字选法25C ，第二行第1个数字选法12C .当1在第四行，2在第三行时，第四行前3个数字选法27C ，第三行前2个数字选法14C ，第二行第1个数字选法12C .所以2114321742432122143218524321C C C A A A A ()3(|)()C C C A A A A 10P AB P B A P A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故答案为.310四、解答题17．在21nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（n 为正整数）二项展开式中，若012C C C C 64nn n n n ++++= ，求：(1)展开式中所有项的系数之和；(2)展开式中含21x 的项的系数.【正确答案】(1)729(2)240【分析】（1）根据题意结合二项式系数的性质求得=6n ，再令1x =，求所有项的系数之和；（2）利用二项展开式的通项公式运算求解.【详解】（1）由题意可得0122=C C C C 64n n n n n n ++++= ，可得=6n ，故二项式为621x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令1x =，可得661237291⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以展开式中所有项的系数之和为729.（2）设621x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的通项为(6521662661C 2C rr rrr r rT x x -+--⎛⎫⋅==⋅ ⎪⎝⎭，令6522r -=-时，则2r =，此时2236422C 240T x x --⋅=⋅=，故展开式中含21x 的项的系数为240.18．为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场，得到天数与直播间人数的数据如下表所示：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代码x 1234567直播间人数y （万人）4122123252728(1)求直播间人数y 和与日期代码x 的样本相关系数（精确到0.01）；(2)若使用ln y c d x =+作为y 关于x 的回归方程模型，计算该回归方程（结果保留1位小数），并预测至少要到哪一天直播间人数可以超过30万人.参考公式和数据：相关系数ni ix y nx yr -⋅=∑，其中711ln ,7i i i i u x u u ===∑，回归直线方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y n x yb a y b xxn x ==-⋅⋅==-⋅-⋅∑∑【正确答案】(1)0.93(2)ˆ5.212.3ln y x =+，第8天【分析】（1）根据题意可求得4,20x y ==，结合题中数据和公式运算求解；（2）根据题意令ln u x =，可得y c du =+，结合题中数据和公式求,cd ，进而根据回归方程运算求解.【详解】（1）由题意可得：777117722111114,2140,30,268666,77i i i i i i i i i i i x y x y x x y y ============∑∑∑∑∑，则ni i x ynx yr -⋅=∑530.932.65210.8≈≈⨯⨯，故直播间人数y 和与日期代码x 的样本相关系数为0.93.（2）∵ln y c d x =+，由题意令ln u x =，则y c du =+，可得77211213.20, 1.2,206.4,i i i i i u y u y u ===≈≈≈∑∑，则717221206.47201.2ˆ12.313.27 1.21.2i i ii i u yn u y dunu==-⋅⋅-⨯⨯=≈≈-⨯⨯-∑∑，ˆˆ2012.31.2 5.2cy d u =-⋅≈-⨯≈，所以ˆ 5.212.3yu =+，故y 关于x 的回归方程为 5.212.3ln y x =+⨯$，令 5.212.3ln 30y x =+>$，整理得ln 2.0x >，则2e 7.39x >≈，且*x ∈N ，所以8x ≥，故至少要到第8天才能超过30万人.19．对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是16，命中Ⅱ部分的概率是13，命中Ⅲ部分的概率是12，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立.(1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；(2)求击落飞机的命中次数X 的分布列、数学期望和方差.【正确答案】(1)14(2)分布列见解析，()83E X =，19()18D X =【分析】（1）恰好在第二次射击后击落飞机存在两种情况，一种是连续命中Ⅱ部分两次，另一种情况是第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，根据这两种情况即可求出概率；（2）根据题意可知，击落飞机的次数可为1，2，3，4四种取值情况，根据四种取值情况求出对应概率即可求出分布列、数学期望和方差.【详解】（1）设恰好在第二次射击后击落飞机为事件A ，满足事件A 的情况有连续命中Ⅱ部分两次，或者第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，则25111()()6634P A =⨯+=.（2）依题意，X 的可能取值为1，2，3，4，1(1)6P X ==，1(2)4P X ==，12211111111(3)C ()()()32632623P X ==⨯⨯⨯++⨯+=，123111(4)C ()1324P X ==⨯⨯⨯=，所以X 的分布列为：X1234P16141314X 的数学期望()11118123464343E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.2X 14916P16141314()21111491491664346E X =⨯+⨯+⨯+⨯=X 的方差()22496419()(())6918D XE XE X =-=-=20．已知()224ax bx cf x x ++=+是定义在[]22-,上的函数，若满足()()0f x f x +-=且()115f =.(1)求()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在[]22-,上的单调性（不用证明），并求使()()22110f t f t ++-<成立的实数t的取值范围；(3)设函数2()24(R)g x x mx m =-+∈，若对任意12,[1,2]x x ∈，都有21()()g x f x <恒成立，求m 的取值范围.【正确答案】(1)()24x f x x =+(2)单调递增，302t -≤<(3)125m >【分析】（1）确定函数为奇函数，()00f =，()115f =，()115f -=-，代入数据计算得到答案.（2）确定函数单调递增，根据函数的奇偶性得到222212212211t t t t -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+<-⎩，解得答案.（3）只要2max 1min ()()g x f x <，最小值为1(1)5f =，题目转化为max 1925m x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，根据单调性计算最值得到答案.【详解】（1）[]2,2x ∈-，且()()0f x f x +-=，所以()f x 为奇函数，将0x =代入()()0f x f x +-=可得()00f =，即04c=，所以0c =，即()224ax bxf x x +=+，因为()115f =，所以()115f -=-，代入可得155155a b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，故()24xf x x =+；()24x f x x =+，()()24xf x f x x -==-+，函数为奇函数，满足，故()24x f x x =+.（2）设1222x x -≤<≤，则()()()()()()211221212222212144444x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，1222x x -≤<≤ ，211200,4x x x x ∴-->>，()()210f x f x ∴->，即()()21f x f x >，故函数()24x f x x =+在[]22-,上单调递增，因为()24xf x x =+为奇函数，所以()()22110f t f t ++-<，即()()()222111f t f t f t +<--=-，根据单调性及定义域可得：222212212211t t t t -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+<-⎩，解得312220t t t ⎧-≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪-<<⎪⎪⎩302t -≤<.（3）只要2max 1min ()()g x f x <，函数()f x 在[]1,2上单调递增，最小值为1min 1()(1)5f x f ==.法一：21()245g x x mx =-+<在[]1,2上恒成立，只要max 1925m x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，195y x x =+在1,5⎡⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,25⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，当1x =时，192455x x +=，当2x =时，1939245105x x +=<，故当1x =时，max 192455x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以125m >.法二：222()24()4g x x mx x m m =-+=-+-，[]1,2x ∈，当32m ≤时，max 1()(2)5g x g =<，14445m -+<，解得3920m >，舍去；当32m >时，max 1()(1)5g x g =<，11245m -+<，解得125m >，因此125m >，综上所述.125m >21．数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200(1)根据0.010α=的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？(2)根据22⨯列联表的信息，A 表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B 表示“选到的学生数学成绩不优秀”，求()|P B A 的值；(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数X 的概率分布列及数学期望.附.()()()()22()n ad bc a b c d a c b dχ-=++++α0.0500.0100.001x α3.8416.63510.828【正确答案】(1)能(2)311(3)分布列见解析，158【分析】（1）计算216.498 6.635χ≈>，得到答案.（2）()(|)()P AB P B A P A =，计算得到答案.（3）根据分层抽样比例关系得到人数，确定随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】（1）零假设0H ：数学成绩与语文成绩无关，则22200(50803040)16.498 6.6359011012080χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，根据小概率值0.010α=的2χ的独立性检验，我们推断0H 不成立，故认为数学成绩与语文成绩有关；（2）()(|)()30311110P AB P B A P A ===，（3）按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()3338C 10C 56P X ===，()125338C C 151C 56P X ===，()215338C C 30152C 5628P X ====，()3538C 1053C 5628P X ====，故X 的概率分布列为：X0123P15615561528528数学期望()11515510515012356562828568E X =⨯+⨯+⨯+⨯==.22．设0a >，0b >，函数2()f x ax bx a b =--+.(1)求不等式()(1)f x f <的解集；(2)若()f x 在[]0,1上的最大值为b a -，求ba的取值范围；(3)当[0,]x m ∈时，对任意的正实数a ，b ，不等式()(1)|2|f x x b a ≤+-恒成立，求m 的最大值.【正确答案】(1)答案见解析(2)[)1,+∞(3)1【分析】（1）变换得到(1)()0x ax a b -+-<，考虑1b a a ->，1b a a -<，1b aa-=三种情况，解不等式得到答案.（2）确定函数对称轴为2b x a=，考虑1022b a <<和122b a ≥两种情况，计算最值得到范围.（3）注意分类讨论的思想，分当2b a ≥时和当2b a <时两种情况进行讨论，当2b a ≥时2310b b x x a a ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭注意用换元法把b a 换成t ，得到()2310x t x x +--≥又由题意对任意的12t ≥不等式恒成立，而310x +>，只要12t =时不等式成立即可从而解出m 的取值范围，同理可求另一种情况【详解】（1）()(1)f x f <即()0f x <，即(1)()0x ax a b -+-<，()()10x ax a b -+-=的两根为1和b aa-当1b a a ->，即20b a >>时，解集为1,b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当1b a a -<，即02b a <<时，解集为,1b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当1b aa-=，即20b a =>时，解集为∅.综上所述：当20b a >>时，解集为1,b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当02b a <<时，解集为,1b a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；当20b a =>时，解集为∅.（2）因为0a >，0b >，所以0ba >，2()f x ax bx ab =--+的对称轴为2b x a=，当1022b a <<时，即b a <时，()()max 10f x f b a ==>-，不合题意；当122b a ≥时，即b a ≥时，()()max 0f x f =，而(0)0(1)f b a f =-≥=，符合题意.故ba取值范围为[)1,+∞.（3）①当2b a ≥时，不等式即为：()222ax bx a b b a x b a --+≤-+-，整理得：()230ax b a x b ---≤即：2310b b x x a a ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭，令bt a=，则12t ≥，所以不等式即()2310x t x t ---≤，即：()2310x t x x +--≥，由题意：对任意的12t ≥不等式恒成立，而310x +>，∴只要12t =时不等式成立即可，211022x x ∴--≤，112x ∴-≤≤而[]0x m ∈，，01m ∴<≤；②当2b a <时，同理不等式可整理为：23120b b x x a a ⎛⎫---+≤ ⎪⎝⎭，令b t a =，则102t <<，所以不等式即()21230x t x t ---+≤，即：()2320x t x x ++--≤，由题意：对任意的102t <<不等式恒成立，而30x +>，∴只要12t =时不等式成立即可，211022x x ∴--≤，112x ∴-≤≤而[]0x m ∈，，01m ∴<≤；综上，m 的最大值为1关键点睛：本题考查了解不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力。
2023—2024学年陕西省咸阳市高二下学期期中数学(文科)试题(含答案)
2023-2024学年陕西省咸阳市高二下册期中数学（文）试题一、单选题1．复数23i z =-的虚部为（）A ．3B ．3-C ．3iD ．i3-【正确答案】B【分析】直接求出虚部即可.【详解】虚部为3-.故选：B.2．为了调查中学生近视情况，某校160名男生中有90名近视，150名女生中有75名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（）A ．平均数B ．方差C ．回归分析D ．独立性检验【正确答案】D【分析】近视与性别时两类变量，根据分类变量的研究方法即可确定答案.【详解】解：近视与性别时两类变量，在检验两个随机事件是否相关时，最有说服力的方法时独立性检验.故选：D.3．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）A ．14320r r r r <<<<B ．41320r r r r <<<<C ．42310r r r r <<<<D ．24130r r r r <<<<【正确答案】A【分析】根据题中给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据散点图的集中程度分析相关系数的大小【详解】解：由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关，囷1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以1r 接近于1-，2r 接近1，所以14320r r r r <<<<，故选：A4．下列的三句话，若按照演绎推理的“三段论”模式，排列顺序正确的应是（）①()cos y x x R =∈是周期函数；②()cos y x x R =∈是三角函数；③三角函数是周期函数；A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①【正确答案】D【分析】本题可根据“三段论”的相关性质得出结果.【详解】由“三段论”易知：三角函数是周期函数，()cos y x x R =∈是三角函数，()cos y x x R =∈是周期函数，故选：D.5．用反证法证明命题“a ，b ，R c ∈，若0a b c ++>，则a ，b ，c 中至少有一个正数”时，假设应为（）A ．a ，b ，c 均为负数B ．a ，b ，c 中至多一个是正数C ．a ，b ，c 均为正数D ．a ，b ，c 中没有正数【正确答案】D【分析】由反证法的概念判断即可.【详解】由题，“至少有一个”相对的情况就是“一个都没有”，故应假设a ，b ，c 中没有正数，故选：D6．已知x ，y 的取值如下表所示：x234y546如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为72y bx =+，则b 等于（）A ．12-B ．12C ．110-D ．110【正确答案】B【分析】求出x 、y 的值，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程，即可求得实数b 的值.【详解】由表格中的数据可得23433x ++==，54653y ++==，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程得7352b +=，解得12b =.故选：B.7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（）A ．35B ．59C ．15D ．110【正确答案】B【分析】根据给定条件，以第一次摸到正品的事件为样本空间，利用古典概率公式计算作答.【详解】用A 表示事件“第一次摸到正品”，B 表示“第二次摸到正品”，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，相当于以A 为样本空间，事件B 就是积事件AB ，显然()9n A =，()5n AB =，所以在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是()5(|)()9n AB P B A n A ==.故选：B8．设,R a b ∈，“复数i a b +是纯虚数”是“0a =”的（）A ．充分而不必要条件；B ．必要不充分条件；C ．充分必要条件；D ．既不充分也不必要条件.【正确答案】A【分析】根据纯虚数的定义，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.【详解】当i a b +是纯虚数时，一定有0a =，但是当0a =时，只有当0b ≠时，i a b +才能是纯虚数，所以“复数i a b +是纯虚数”是“0a =”的充分而不必要条件，故选：A9．已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,2A ，()1,3B -，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】D【分析】由123,12i 1i =+=-+z z ，代入复数12z z ，利用复数的除法运算和几何意义可得答案.【详解】因为复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,2A ，()1,3B -，所以123,12i 1i =+=-+z z ，则复数()()()()1212i 13i 12ii 3111213i 1i 23i +--+-+-+-=-==-z z ，在复平面内对应的点1122，⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D.10．若实数,a b满足12a b+=ab 的最小值为AB ．2C．D ．4【正确答案】C【详解】121200a b ab a b a b +=∴=+≥=∴≥ ＞，＞，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab的最小值为 C.基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．11．如图所示的是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴， ，按此规律，则第2022个图形用的火柴根数为（）A ．20192022⨯B ．20192023⨯C ．30332021⨯D ．30332023⨯【正确答案】D【分析】根据已知条件，进行归纳推理即可求解.【详解】由图可知第1个图形用了31(11)32⨯⨯+=根火柴第2个图形用了32(21)92⨯⨯+=根火柴，第3个图形用了33(31)182⨯⨯+=根火柴，……归纳得，第n 个图形用了3(1)3(123)2n n n +++++= 根火柴，当2022n =时，3(1)303320232n n +=⨯.故选：D.12．学校开设了多种体有类的校本选修课程，以更好的满足学生加强体有锻炼的需要.该校学生小明选择确定后，有三位同学根据小明的兴趣爱好，对他选择的体育类的校本课程进行猜测.甲说“小明选的不是游泳，选的是武术”，乙说“小明选的不是武术，选的是体操”，丙说“小明选的不是武术，也不是排球”，已知这三人中有两个人说的全对，有一个人只说对了一半，则由此推断小明选择的体育类的校本课程是（）A ．游泳B ．武术C ．体操D ．排球【正确答案】C【分析】根据题意，分别分析甲乙说的全对，甲丙全对，乙丙全对三种情况，分析即可得答案.【详解】若甲说的全对，则小明选的是武术，若乙说的全对，则小明选的是体操，矛盾，若甲说的全对，则小明选的是武术，若丙说的全对，则小明选的不是武术，矛盾，若乙说的全对，则小明选的是体操，若丙说的全对，不是武术也不是排球，满足题意，此时甲说的不是游泳正确，是武术错误，所以甲说的半对，满足题意，所以小明选择的是体操，故选：C 二、填空题13．若复数21iz =+，z 是其共轭复数，则z =_______.【正确答案】1i +/1i +【分析】根据复数的四则运算法则化简计算z ，再由共轭复数的概念写出z .【详解】化简()()()21i 222i 1i 1i 1i 1i 2z --====-++-，所以1i z =+.故1i+14．在等差数列{}n a 中，若50a =，则有1290a a a +++= 成立．类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若91b =，则存在的等式为______．【正确答案】12171b b b = 【分析】由29117n n b b b +-=⋅，利用类比推理即可得出.【详解】利用类比推理，借助等比数列的性质可知29117n n b b b +-=⋅，即291172168101b b b b b b b ===== ，可知存在的等式为12171b b b = .故12171b b b = 15．执行下面的程序框图，若输入的0k =，0a =，则输出的k 为_______.【正确答案】4【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】输入0k =，0a =，则第一次循环：1a =，1k =，不符合判断框条件，继续循环；第二次循环：3a =，2k =，不符合判断框条件，继续循环；第三次循环：7a =，3k =，不符合判断框条件，继续循环；第四次循环：15a =，4k =，此时满足判断框条件10a >，退出循环，输出4k =.故416．在复平面内，平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D 对应的复数为_________【正确答案】3+5i【详解】试题分析：,,A B C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，(1,3),(0,1),(2,1)A B C ∴-，设(,)D x y ，则：(1,4),(2,1)AB DC x y =--=--，在平行四边形ABCD 中，有AB DC =，即(1,4)(2,1)x y --=--，213{{145x x y y -=-=∴⇒-=-=，即(3,5)D 对应的复数为.35i +故答案应填：35i +．复的几何意义．三、解答题17．计算：（1）(1)(1)(1)i i i +-+-+；（2）2020121()341i i i i+++--【正确答案】（1）1i +（2）4255i +【分析】（1）根据复数的运算法则可得结果；（2）根据复数的除法运算和乘法运算可得结果.【详解】（1）原式2111111i i i i =--+=+-+=+.（2）原式()()()()()()()2020212341343411i i i i i i i ⎛⎫+++ ⎪=+ ⎪-+-+⎝⎭()505451025ii -+=+12155i =-++4255i =+.18．当实数m 取何值时，在复平面内复数()()222334i z m m m m =--+--对应的点满足下列条件：(1)在实轴上；(2)z 是纯虚数.【正确答案】(1)1m =-或4m =(2)3m =【分析】（1）由虚部为0得出m 的值；（2）由纯虚数的定义得出m 的值.【详解】（1）复数z 在复平面内的坐标为22(23,34)m m m m ----因为复数z 对应的点在实轴上，所以2340m m --=，解得1m =-或4m =即1m =-或4m =（2）因为z 是纯虚数，所以2230m m --=且2340m m --≠，解得1m =-（舍）或3m =故3m =19．某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.9，乙机床的次品率是0.2，现从它们制造的产品中各任意抽取一件.(1)求两件产品都是正品的概率；(2)求恰好有一件是正品的概率；(3)求至少有一件是正品的概率.【正确答案】(1)0.72(2)0.26(3)0.98【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据相互独立事件、互斥事件概率计算公式，计算出所求概率.（3）由（1）（2）求得至少有一件是正品的概率.【详解】（1）两件产品都是正品的概率为()0.910.20.72⨯-=.（2）恰好有一件是正品的概率为()()0.90.210.910.20.26⨯+-⨯-=.（3）由（1）（2）得至少有一件是正品的概率为0.720.260.98+=20．证明：(1)>(2)如果0,0,a b >>则ln ln ln22a b a b++≥.【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的性质结合分析法证明即可；（2）由基本不等式结合ln y x =的单调性证明即可.【详解】（1>只需证22>即证1414+>+即证即证126>因为126>（2）当0,0a b >>时，a b +≥2a b+≥a b =时，等号成立ln y x = 在(0,)+∞上单调递增ln2a b+∴≥即11ln ln (ln ln )222a b ab a b +≥=+ln ln ln22a b a b ++∴≥21．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别抽查了两台机床生产的产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床30乙机床40合计90200(1)请将上述22⨯列联表补充完整；(2)能否有99.9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.100.050.0100.0050.001k 2.706 3.841 6.6357.87910.828【正确答案】(1)列联表见解析(2)有99.9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异【分析】（1）直接计算补充列联表即可；（2）先计算2K ，再和10.828比较作出判断即可.【详解】（1）补充完整的22⨯列联表如下：一级品二级品合计甲机床3070100乙机床6040100合计90110200（2）∵()222003040706018.1810.82890110100100K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有99.9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．22．“俯卧撑”是日常体能训练的一项基本训练，坚持做可以锻炼上肢､腰部及腹部的肌肉.某同学对其“俯卧撑”情况作了记录，得到如表数据.分析发现他能完成“俯卧撑”的个数y (个)与坚持的时间x (周)线性相关.x1245y5152535（1）求y 关于x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+；（2）预测该同学坚持10周后能完成的“俯卧撑”个数.参考公式：121()()()niii nii x x y y b x x ∧==--=-∑∑，a y b x ∧∧=-，其中x ，y 表示样本平均值.【正确答案】（1）71y x ∧=-；（2）69个.【分析】（1）根据数据求得均值，代入公式求得回归方程；（2）令10x =代入预测出函数值.【详解】（1）由所给数据计算得1(1245)34x =⨯+++=，1(5152535)204y =⨯+++=，44211()()70,()10,i i i i i x x yy x x ==--=-=∑∑所以，41421()()70710()i i i i i x x y y b x x ∧==--===-∑∑1a yb x ∧∧=-=-故y 关于x 的线性回归方程是71y x ∧=-（2）令10x =，得710169,y ∧=⨯-=故预测该同学坚持10周后能完成69个“俯卧撑”.23．已知函数()ln 3f x a x x =+-．(1)若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()f x 的最小值为2-，求a 的值．【正确答案】(1)240x y --=(2)1a =-【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案.（2）利用函数的导数判断函数的单调性，求得函数的最小值并令其等于-2，得到()1ln 10a a---=，构造函数()1ln 1x g x x =+-,利用导数确定a 的值.【详解】（1）∵()ln 3f x a x x =+-，∴()1a x a f x x x +'=+=,∴当1a =时，()12f =-，()12f '=,∴()221y x +=-,∴所求切线方程为240x y --=．（2）由（1）知，()x a f x x+'=，0x >．当0a ≥时，()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，此时无最小值；当a<0时，令()0f x '=，得x a =-，当()0,x a ∈-时，()0f x '<；当(),x a ∈-+∞时，()0f x ¢>,∴()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增，∴()f x 的最小值为()()ln 32f a a a a -=---=-，则()1ln 10a a---=．令()1ln 1x g x x =+-，则()21x g x x -'=，∴当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>．∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∵()10g =，∴()0g x =有一个根1x =，∴1a -=，即1a =-．。
2023-2024学年四川省成都市高二下学期期中联考数学(理)试题(含解析)
2023-2024学年四川省成都市高二下册期中联考数学（理）试题一、单选题1．AB BC BA ++=（）A ．AC B ．BCC ．ABD ．0【正确答案】B【分析】利用向量加法的运算法则求解即可．【详解】AB BC BA AC BA BC ++=+=，故选：B ．2．函数()2sin x f x x =+的导函数为（）A ．)2cos x f x x '(=-B ．)2ln2cos x f x x '(=-C ．)2cos x f x x '(=+D ．)2ln2cos x f x x'(=+【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用求导公式及导数运算法则求解作答.【详解】函数()2sin x f x x =+，求导得)2ln2cos x f x x '(=+.故选：D3．若可导函数()f x 满足()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆，则()1f '=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】根据导数定义可直接得到结果.【详解】由导数的定义知.()()()111lim 3x f x f f x∆→+∆-'==∆故选：C.4．已知直线l 的方向向量为1,2,4)m (-= ，平面α的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面α平行，则实数x 的值为（）A ．12B ．12-C ．10D ．10-【正确答案】C【分析】依题意可得m n ⊥ ，即可得到0m n ⋅=，从而得到方程，解得即可.【详解】因为直线l 的方向向量为1,2,4)m (-= ，平面α的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面α平行，则m n ⊥ ，即0m n ⋅=，即280x --=，解得10x =.故选：C ．5．若定义在R 上的函数()f x 的导数()f x '的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增B ．函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减C ．函数()f x 在1x =处取极大值，无极小值D ．函数()f x 在0x =处取极大值，无极小值【正确答案】A【分析】根据导函数的正负可确定()f x 单调性，结合极值点定义可确定正确选项.【详解】对于AB ，由()f x '图象可知：当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，A 正确，B 错误；对于CD ，由单调性可知：()f x 在0x =处取得极小值，无极大值，CD 错误.故选：A.6．若函数()ln f x x x =在点00(,())x f x 处的切线斜率为1，则0x =（）A ．e -B ．eC ．1-D ．1【正确答案】D【分析】先求出()f x '，由已知得0()1f x '=列出方程，求解即可．【详解】因为()ln 1f x x '=+，所以()f x 在点00(,())x f x 处的切线斜率为00()ln 11k f x x '==+=，解得01x =，故选：D ．7．若关于x 的不等式e 0x x a -->恒成立，则a 的取值范围为（）A ．()e,+∞B ．(),1-∞C ．[)1,+∞D ．(],0-∞【正确答案】B【分析】令()e xf x x a =--，将问题转化为()min 0f x >，利用导数可求得()f x 单调性，从而得到()min f x ，解不等式即可求得结果.【详解】令()e xf x x a =--，则()0f x >恒成立，()min 0f x ∴>；()e 1x f x '=- ，∴当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()min 010f x f a ∴==->，解得：1a <，即a 的取值范围为(),1-∞.故选：B.8．已知正四面体A BCD -的棱长为2，若M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为（）A ．2BCD ．2【正确答案】B【分析】以AC 、AB、AD 作为一组基底表示出MN ，再根据数量积的运算律求出MN ，即可得解.【详解】111222MN MA AN AB AC AD =+=-++，又AC 、AB、AD 两两的夹角均为π3，且2AB AC AD === ，22111222MN AB AC ⎛⎫∴=-++ ⎪⎝⎭ ()22212224AB AC AD AB AC AB AD AD AC =++-⋅-⋅+⋅2221πππ2cos 2cos 2cos 24333AB AC AD AB AC AB AD AD AC ⎛⎫=++-⋅-⋅+⋅= ⎪⎝⎭，MN ∴.故选：B ．9．函数e ()1xf x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】根据图象结合函数定义域、单调性判断B ，C 错误；由函数在0x <时函数值的符号可判断D.【详解】由定义域为{1}x |x ≠，∴排除B ；又2e 2))1)x x f x x (-'(=(-，令)0f x '(>，得2x >，()f x ∴的单增区间为2,)(+∞，∴排除C ；当0x <时，()0f x <，∴排除D ；故选：A ．10．若函数()2ln f x x ax x =-+有两个极值点，则a 的取值范围为（）A ．02a <<B ．2222a -<<C ．22a <-22a >D ．22a >【正确答案】D【分析】函数有两个不同的极值点，则()0f x '=在()0,∞+上有两个不同的实数解，转化为二次方程在()0,∞+有两个不同的实数解，求解即可.【详解】由题意可得()f x 的定义域为()0,x ∈+∞，()21212x ax f x x a x x-+'=-+=，因为函数()f x 有两个极值点，所以2210x ax -+=在()0,∞+上有两个不同的实数解，所以28002a a ⎧->⎪⎨>⎪⎩，解得a >故选：D11．如图，半径为1的球O 是圆柱12O O 的内切球，线段AB 是球O 的一条直径，点P 是圆柱12O O 表面上的动点，则PA PB ⋅的取值范围为（）A ．[0,1]B．C ．[0,2]D ．[1,2]【正确答案】A【分析】先把,PA PB 都用PO 表示，再根据PO的模长的范围求出数量积的范围即可.【详解】))PA PB PO OA PO OB ⋅=(+⋅(+，因为线段AB 是球O 的一条直径，,1OA OB OA OB ∴-=== ,222))1PA PB PO OA PO OA PO OA PO ⋅=(+⋅(-=-=- ，又min1PO=，maxPO = [0,1]PA PB ∴⋅∈，故选：A ．12．若关于x 的不等式2(2)ln 1k x x x +≤+的解集中恰有2个整数，则k 的取值范围是（）A ．113k <≤B ．ln21183k +<≤C ．ln31ln21158k ++<≤D ．ln41ln312415k ++<≤【正确答案】C【分析】将不等式变形为ln 1(2)x k x x ++≤，令()f x =ln 1x x+，)2)g x k x (=(+，数形结合，转化为两个函数图象相交情况分析.【详解】0x >，∴不等式2(2)ln 1k x x x +≤+可化为ln 1(2)x k x x++≤，令()f x =ln 1x x+，2ln ()xf x x -∴='，由()0f x '>解得01x <<，由()0f x '<解得1x >，()f x ∴在0,1)(为增函数，()f x 在,)(1+∞为减函数，令)2)g x k x (=(+，则()g x 的图象恒过2,0)(-，若解集恰有2个整数，当0k ≤时，有无数个整数解，不满足题意；当0k >时，如图，2满足不等式且3不满足不等式，即8ln21k ≤+且15ln31k >+，ln31ln21158k ++∴<≤.故选：C ．二、填空题13．已知2,1,3)OA =(- ，1,2,4)OB =(- ，则AB =______．【正确答案】3,3,1)(-【分析】利用空间向量的坐标运算求解作答.【详解】因为2,1,3)OA =(- ，1,2,4)OB =(- ，所以3,3,1)AB OB OA =-=(-.故3,3,1)(-14．11)d x x -(2+1=⎰______．【正确答案】2【分析】利用微积分基本定理直接运算求值.【详解】()1211(21)d 2021x x x x -+=+=+=-⎰，故2．15．若函数()cos f x kx x =-在区间()0,π上单调递减，则k 的取值范围是______．【正确答案】(],1-∞-【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，利用分离参数法解决恒成立问题，结合三角函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，()sin f x k x '=+，因为()f x 在区间()0,π单调递减，所以()sin 0f x k x '=+≤在()0,π上恒成立，等价于()()min sin ,0,πk x x ≤-∈即可，因为()0,πx ∈，所以0sin 1x ≤≤，即1sin 0x -≤-≤，于是有1k ≤-，所以k 的取值范围是(],1-∞-.故(],1-∞-．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若空间中的动点P 满足1AP AB AD AA λμν=++，[0,1]λμν∈，，，则下列命题正确的是______．（请用正确命题的序号作答）①若12λμν===，则点P 到平面1AB C ②若12λμν===，则二面角P AB C --的平面角为π4；③若12λμν++=，则三棱锥1P BDA -的体积为2；④若12λμν+-=，则点P 的轨迹构成的平面图形的面积为【正确答案】②④【分析】分别以AB ，AD ，0AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，对于①：直接应用点到平面距离的向量公式，即可判断；对于②：直接应用面面角的向量公式，即可判断；对于③：先求出点P 到平面1BDA 的距离，即可计算出1P BDA V -，得出判断；对于④：延长1A A 至点0A ，使得102A A AA = ，取AB 中点0B ，AD 中点0D ，连接00A B ，00A D ，作出平面000B D A 与正方体的00022122)0B P D P A P λμλμ++(--=，根据空间向量共面定理得点P 在平面000B D A 上，即可作出判断．【详解】对于①：由空间向量的正交分解及其坐标表示可建立如图空间直角坐标系，所以1,1,1)P (，1(2,0,2)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,2)A ，向量1,1,1)AP =( ，设平面1AB C 的法向量1111,,)n x y z =(，由1(2,0,2)AB =，(2,2,0)AC =uuu r，则11100AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111220220x z x y +=⎧⎨+=⎩，取11x =-则11,1,1)n =(- ，则点P 与平面1AB C的距离为11|AP n |d |n |⋅=，故①错误；对于②：设平面ABP 的法向量2222,,)n x y z =(，又1,1,1)AP =(，1,0,0)AB =(，2200AP n AB n ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩即2222=00x y z x ++⎧⎨=⎩，取21y =-，则20,1,1)n =(- ，易得平面ABC 的一个法向量3(0,0,1)n =，设二面角P AB C --的平面角为θ，则3232cos n n |n ||n |θ⋅=⋅ θ 是锐角，∴二面角P AB C --的平面角为π4，故②正确；对于③：1AP AB AD AA λμν=++ ，(2,0,0)AB = ，(0,2,0)AD = ，1(0,0,2)AA =，2,2,2)AP λμν∴=( ，则112,2,22)A P AP AA λμν=-=(-，设平面1BDA 的法向量为4444,,)n x y z =(，由(2,2,0)BD =-，1(2,0,2)BA =- ，则4444220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取41x =则41,1,1)n =( ，则点P 到平面1BDA的距离为144A P n d n ⋅== 由12λμν++=得3d易知12BDA S =(=△则三棱锥111233P BDA BDA V S d -=⋅=△，故③错误；对于④：延长1A A 至点0A ，使得102A A AA = ，取AB 中点0B ，AD 中点0D ，连接00A B ，00A D 并延长，交棱1BB ，1DD 于点E ，F ，交11A B ，11A D 延长线于点M ，N ，连接MN ，交棱11B C ，11C D 于点G ，H ，连接EG ，HF ，如图所示，则平面000B D A 与正方体的截面为六边形00B D FHGE，00B D =在平面11ABB A 中，01//AA BB ，点0B 为AB 中点，000B A A B EB ∴∠=∠，00AB BB =，在00AB A 和0BB E 中00000000AA B BEB AB A BB E AB BB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，000()AB A BB E AAS ∴≅ ，01AA BE ∴==，1B E BE ∴=，即点E 为1BB 中点，0B E =，同理可得，0EG GH HF D F ===∴六边形00B D FHGE则其面积26S ==12λμν+-= ，1AP AB AD AA λμν=++，10001)22122)2AP AB AD AA AB AD AA λμλμλμλμ∴=++(+-=++(-- ，整理得00022122)0B P D P A P λμλμ++(--=，∴点P 在平面000B D A 上，∴当12λμν+-=，点P 的轨迹构成的平面图形的面积为故②④．三、解答题17．已知空间向量1,0,1)a =(，2,1,0)b =(- ，4,,)c λλλ=(+- ．(1)若(a b )//c +，求λ；(2)若ka b + 与2a b -相互垂直，求k ．【正确答案】(1)2λ=(2)12k =【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.【详解】（1）311a b (,,)+=- ，()//a b c+ (a b )c μ∴+= ，R μ∈，即34)μλ=(+，且1μλ-=-，1μλ=，解得2λ=；（2）(2,1,)ka b k k +=+- ，2012a b (,,)-= ，又2210(ka b )(a b )k +⋅-=-= ，解得12k =．18．已知函数3215()2333f x x x x =-++．(1)求曲线()y =f x 在点1,1))f ((处的切线方程；(2)求函数在区间[1,4]-的最大值与最小值．【正确答案】(1)3y =(2)max )3f x (=；min 11)3f x (=-【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，并结合切点得到切线方程；（2）先利用导数求得()f x 在区间[1,4]-上的单调区间，进而求得()f x 在区间[1,4]-上的最大值与最小值.【详解】（1）1)3f (= ，∴切点为1,3)(，又2)43f x x x '(=-+ ，1)0f '∴(=，∴切线方程为301)y x -=(-，即3y =，即曲线()y =f x 在点1,1))f ((处的切线方程为3y =；（2）由（1）知2)43f x x x '(=-+，令)0f x '(>，得1x <或3x >，令)0f x '(<，得13x <<，∴函数()f x 在区间[1,1)-，3,4](为增函数，在区间[1,3]为减函数，又1)3f (= ，4)3f (=，max )1)4)3f x f f ∴(=(=(=；又111)3f (-=- ，53)3f (=，min 11)1)3f x f ∴(=(-=-.19．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ==D 是1BB 的中点．(1)求异面直线1A D 与BC 所成角的余弦值；(2)证明：平面11A DC ⊥平面ADC ．【正确答案】77；(2)证明见解析.【分析】（1）分别作AC ，11A C 的中点O ，1O ，连接OB ，1OO ，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，1OO 所在直线为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，求出直线1A D 与BC 的空间向量，即可利用线线角的公式求解.（2）分别求出平面11A DC 和平面ADC 的法向量，利用法向量数量积为0，即可证明.【详解】（1）如图，分别作AC ，11A C 的中点O ，1O ，连接OB ，1OO ，在正三棱柱111ABC A B C -中，1OO ⊥底面ABC ，且BO AC ⊥，则OA ，OB ，1OO 互相垂直，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，1OO 所在直线为x y z ，，轴，建立如图空间直角坐标系，已知1323AA ==11,0,23)A (，0,3,3)D (，0,3,0)B (，1,0,0)C (-，设异面直线1A D 与BC 所成角为θ，2]π(0,θ∈，1A D =(-，1,BC =(--，11cos |A D BC ||A D ||BC |θ⋅∴==⋅uuu r uu u r uuu r uu u r （2）由题可知1,0,0)A (，1C (-，112,0,0)A C =(-，AD =(- ，2,0,0)AC =(-，设平面11A DC 的法向量为()111,,m x y z =r ，则1111111020m A D x m A C x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令11y =，0,1,1)m ∴=(r ，设平面ADC 的法向量为222,,)n x y z =(r，则2222020n AD x n AC x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，0,1,1)n ∴=(-r ，110m n ⋅=-=r r Q ，∴平面11A DC ⊥平面ADC .20．制作一个容积为V 的圆柱体容器（有底有盖，不考虑器壁的厚度），设底面半径为r ．(1)把该容器外表面积S 表示为关于底面半径r 的函数；(2)求r 的值，使得外表面积S 最小．【正确答案】(1)()222πV S r r r=+，()0,r ∈+∞(2)r =【分析】（1）根据圆柱体积公式可表示出圆柱的高h ，结合圆柱表面积公式可表示出()S r ；（2）利用导数可求得()S r 的单调性，进而确定最值点.【详解】（1）设圆柱体水杯的高为h ，则2πV h r =，∴表面积()2222π2π2πV S r r rh r r =+=+，即()222πV S r r r=+，()0,r ∈+∞.（2）由（1）得：()224πV S r r r'=-；令()0S r '=，解得：r则当0r <<()0S r '<，()S r单调递减；当r >时，()0S r '>，()S r 单调递增；∴当r ()S r 取得最小值．21．在如图①所示的长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，E 是DC 上的点且满足3DC EC =，现将三角形ADE 沿AE 翻折至平面APE ⊥平面ABCD （如图②），设平面PAE 与平面PBC 的交线为l ．(1)求二面角B l A --的余弦值；(2)求l 与平面ABCE 所成角的正弦值．【正确答案】(1)6655【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角B l A --的余弦值；（2）设直线AE 与BC 相交于点F ，PF 即为l ，PFO ∠是l 与平面ABCE 所成角，计算求解即可．【详解】（1）如图，取AE 的中点O ，连接PO ，2AD DE ==，则PO AE ⊥，又 平面PAE ⊥平面ABCE ，又平面PAE 平面ABCE AE =，又PO ⊂平面PAEPO ∴⊥平面ABCE ，延长DO 交AB 于点G ，由DE AB ∥，O 为AE 的中点，则2AG DE ==，OG AE ⊥，2OG OA ==，分别以OA OG OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，)2,0,0A ,()2,0G ，()0,2,0D -，()2,0,0E ，(2P ，232B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，PO ⊥ 平面ABCE ，OG ⊂平面ABCE ，OG OP ∴⊥，又OG AE ⊥ ，AE OP O = ，,AE OP ⊂平面PAE ，所以OG ⊥平面PAE ，∴平面PAE 的法向量为OG ，且2,0)OG =，又(2,2,0)CB DA == ，232(,2)PB = ，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，则0022CB n PB n x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，则(1,1,2)n =- ，设二面角B l A --的平面角为θ，cos ,OG n OG n OG n⋅= 由题知π(0,2θ∈，二面角B l A --（2）设直线AE 与BC 相交于点F ，F BC ∈ ，F ∈平面PBC ，同理F ∈平面PAE，由平面公理3可得∈F l ，又P l ∈，PF ∴即为l ，PO ⊥ 平面ABCE ，OF ∴是PF 在平面ABCE 内的投影，PFO ∴∠是l 与平面ABCE 所成角，由PO =，又OF =PF ∴sin PO PFO PF ∠=l ∴与平面ABCE22．已知函数()ln 1)f x x =(+，)e )x g x f x (=(．(1)求函数()g x 的导函数在0,)(+∞上的单调性；(2)证明：0,)a b ∀∈(+∞，，有)))g a b g a g b (+>(+(．【正确答案】(1)()g x '在0,)(+∞上单调递增；(2)证明见解析.【分析】（1）直接对函数求导，利用导数与函数间的关系即可求出结果；（2）构造函数()()()(00)F x g x a g x x a =+->>，，将求证结果转化判断函数值大小，再利用函数的单调性即可求出结果.【详解】（1）因为)e ()e ln(1)x x g x f x x (==+，所以e 1)e ln(1)+=e [ln(1)]11x xx g x x x x x '(=+++++，令))h x g x '(=(，即1)=e [ln(1)]1x h x x x (+++，又因为222121)e [ln(1)]=e [ln(1)]11)1)x x x h x x x x x x +'(=+++++(+(+，又因为0,)x ∈(+∞，所以11,)x +∈(+∞，即有221ln(1)0,0(1)x x x ++>>-，所以()0h x '>，所以)h x (在区间0,)(+∞上单调递增，即()g x '在0,)(+∞上单调递增；（2）由题知(0)0g =，要证)))g a b g a g b (+>(+(，即证)))0)g a b g b g a g (+-(>(-(，令()()()(00)F x g x a g x x a =+->>，，则()()()F b g b a g b =+-，(0)()(0)F g a g =-即证)0)F b F (>(，由（1）知()g x '在区间0,)(+∞上单调递增，又因为x a x +>，所以)))0F x g x a g x '''(=(+-(>，所以))()F x g x a g x (=(+-在区间0,)(+∞上单调递增，因为0b >，所以)0)F b F (>(，故命题得证．。
2022-2023学年湖南省娄底市高二下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年湖南省娄底市高二下学期期中数学试题一、单选题1．设集合，，则（ ）{}2,0,1,2A =-{}21B x x x =-或()R A B ⋂= A ．B ．C ．D ．{}2-{}1{}2,0,1-{}0,1,2【答案】C【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解作答.【详解】由得：，而，{}21B x x x =-或R{|21}B x x =-≤≤ {}2,0,1,2A =-所以.(){}R 2,0,1A B =- 故选：C2．设，则“”是“”的（ ）x ∈R 112x <-3x >A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先求解分式不等式，然后根据两者的关系判断是什么条件.【详解】由可得，，即，可等价变形为：，即112x <-131022x x x --=<--302x x ->-(2)(3)0x x -->或，显然“或”是“”的必要不充分条件.3x >2x <3x >2x <3x >故选：B3．若函数的值域为，则函数的大致图象是（ ）||(01)x y a a a =>≠且[1,)+∞log ||a y x =A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先由题意得，再结合的奇偶性和单调性分析即可.1a >log ||a y x =【详解】∵，且的值域为，∴，||0x ≥||x y a =[1,)+∞1a >当时，在上是增函数．0x >log ||log a a y x x ==(0,)+∞又函数，所以为偶函数，图象关于y 轴对称，log ||log ||a a y x x ==-log ||a y x =所以的大致图象应为选项A ．log ||a y x =故选：A ．4．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的10g 5g 砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，5g 再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（ ）附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左、右盘中物体质量，1122m L m L =1m 2m 、分别为左右横梁臂长．1L 2L A ．等于B ．小于C ．大于D ．不确定10g 10g10g【答案】C【分析】设天平左臂长，右臂长，且，根据已知条件求出、的表达式，利用基本1x 2x 12x x ≠1a 2a 不等式比较与的大小关系，即可得出结论.12a a +10【详解】设天平左臂长，右臂长，且，1x 2x 12x x ≠设天平右盘有克黄金，天平左盘有克黄金，所以，1a 2a 11221255x a x a x x =⎧⎨=⎩所以，，则．1125x a x =2215xa x=1212215510x x a a x x +=+>=故选：C ．5．天文学中常用“星等”来衡量天空中星体的明亮程度，一个望远镜能看到的最暗的天体星等称为这个望远镜的“极限星等”．在一定条件下，望远镜的极限星等M 与其口径D （即物镜的直径，单位：mm ）近似满足关系式，例如：口径的望远镜的极限星等约为10.3．则1.8g 5l D M =+50mm 口径的望远镜的极限星等约为（ ）200mmA ．12.8B ．13.3C ．13.8D ．14.3【答案】B【分析】根据口径的望远镜的极限星等求出的估值，即可求出口径的望远镜的极50mm lg 5200mm 限星等.【详解】解：由题意，1.85lg 5010.3+≈∴，10.3 1.8lg 501lg 5 1.75-=+≈=∴．lg 50.7≈∴．()1000.185lg 200185lg1853lg 3.15..53+=+=+-≈故选：B.6．2023年3月，某校A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学参加了中学生地球科学奥林匹克竞赛，均在比赛中取得优异成绩，现这6名同学和他们的主教练共7人站成一排合影留念，则主教练和A 站在两端，B 、C 相邻，B 、D 不相邻的排法种数为（ ）A ．36B ．48C ．56D ．72【答案】D【分析】按照特殊位置优先，分步排列计算即可.【详解】分2步进行分析：第一步：主教练和A 站在两端，有种情况；22A 2=第二步：中间5人分2种情况讨论：若B 、C 相邻且与D 相邻，有种安排方法；2323A A 12=若B 、C 相邻且不与D 相邻，有种安排方法，222223A A A 24=则中间5人有种安排方法，122436+=故共有种不同的安排方法．23672⨯=故选：D ．7．已知，，，则（ ）15log 2x =22ln 0x x +=3233log x x -=A ．B ．C ．D ．123x x x <<213x x x <<132x x x <<231x x x <<【答案】A【分析】证明，设，证明，设，证明，11x 2<()ln f x x x =+2112x <<()21log 3xh x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭312x <<即得解.【详解】，1551log 2log 2x =<=设，因为函数在上递增（增+增=增），()ln f x x x =+()f x ()0,∞+，，即，由零点存在定理可1111ln ln 02222f ⎛⎫=+===< ⎪⎝⎭()11f =()1102f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭知；2112x <<设函数，易知在上递减（减+减=减），，，()21log 3xh x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()h x ()0,∞+()113h =()12109h =-<即，由零点存在定理可知.()()210h h <312x <<即.123112x x x <<<<故选：A ．8．记，设函数，若函数恰有三个零点，{},max ,,p p q p q q q p ≥⎧=⎨>⎩()221max e 1,2x f x x mx -⎧⎫=--+-⎨⎬⎩⎭()f x 则实数的取值范围的是（ ）mA ．B ．((9,4⎫-∞⎪⎭C ．D ．99,44⎛⎫⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎭ (),-∞+∞ 【答案】B【分析】分析可知函数的两个零点均为负数或两个零点都在内，根据二次()212h x x mx =-+-()0,2函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.m m 【详解】设，，()2e1x g x -=-()212h x x mx =-+-则函数在上递增，且，且函数至多有两个零点，()g x (),-∞+∞()20g =()h x 当时，，2x >()0g x >若函数在上有零点，则在上有零点，不妨设零点为，则，()f x ()2,+∞()h x ()2,+∞0x02x >此时，则，与题意矛盾，()()000g x h x >=()()(){}()0000max ,0f xg xh x g x ==>故函数在上无零点.()f x ()2,+∞二次函数图象的对称轴为直线，()h x 2m x =若，当，解得时，设函数的两个零点为、，0m ≤2Δ20m =->m <()h x 1x 2x 则，则，，函数有两个负零点，符合题意；12120102x x m x x +=<⎧⎪⎨=>⎪⎩10x <20x <()h x 若，且需符合题意时，函数在上有两个零点，所以，0m >()h x ()0,2()222Δ2092202mm h m ⎧<⎪⎪=->⎨⎪⎪=-<⎩，94m <<综上，．(9,4m ⎫∈-∞⋃⎪⎭故选：B.二、多选题9．若，给出下列不等式正确的是（ ）11<<0a b A ．B ．C ．D ．11<a b ab +0a b +>11a b a b->-22ln ln a b>【答案】AC【分析】由题知，再结合不等式的性质依次讨论各选项即可得答案.0b a <<【详解】因为，所以 ， 11<<0a b 0b a <<故对于A 选项，，故A 选项正确；11<0<a bab +对于B 选项，由于，，即：，故B 选项错误；0b a <<a b<0a b +<对于C 选项，由于，故，所以0b a <<10,0a b ab ->>，所以，故C 选项正确；()()11110a b a b a b a b a b ab ab -⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11a b a b ->-对于D 选项，由于，所以，所以，故D 选项错误.0b a <<22b a >22ln ln a b <故选：AC【点睛】本题考查不等式的性质比较大小，解题的关键在于利用作差法比较大小和结合函数的单调性比较大小，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.10．某计算机程序每运行一次都随机出现一个n 位二进制数，其中a1234n A a a a a a = ，若在A 的各数位上出现0和1的概率均为，记，则()1,2,3,,{0,1}=∈ i n 12123=++++ n X a a a a 当程序运行一次时（ ）A ．B ．()102==nP X ()()()*0,N P X k P X n k k n k ===-≤≤∈C ．X 的数学期望D ．X 的方差()2nE X =()24=n D X 【答案】ABC【分析】确定，计算得到AB 正确，根据数学期望和方差的公式计算得到C 正确，D 1,2X B n ⎛⎫~ ⎪⎝⎭错误，得到答案.【详解】由二进制数A 的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，每位数出现0，1是独立的，所以，所以，故A 正确；1,2X B n ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()001110C 1222nn n P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；()()1111C 1C12222kn kn kkk n k nnP X k P X n k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，所以，故C 正确，D 错误.1,2X B n ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()()111122224n n E X n D X n ⎛⎫=⨯==⨯⨯-=⎪⎝⎭，故选：ABC11．红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有红黄蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，两人分别进行等量调配，A 表示事件“甲调配出红色”；B 表示事件“甲调配出绿色”；C 表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（ ）．A ．事件A 与事件C 是独立事件B ．事件A 与事件B 是互斥事件C ．D ．()14P C A =()()P B P C =【答案】BD【分析】对于AB 选项，根据独立事件和互斥事件的概念即可判断；对于C 选项根据条件概率公式判定；对于D 项，将B 、C 事件的各种情形一一分析得出其概率即可.【详解】解：根据题意，A 事件两瓶均为红色颜料，C 事件为一瓶红色，一瓶蓝色颜料，则A 发生C 必定不能发生，∴,故A 、C 不为独立事件，为互斥事件，即A 错误；()()()0,0,0P AC P A P C =≠≠∴，即C 错误；()()()P AC P C A P A ==若调出红色，需要两瓶颜料均为红色，若调出绿色，则需1瓶黄色和1瓶蓝色，此时调出红色和调出绿色不同时发生，故A 、B 为互斥事件，即B 正确；则，若C 事件发生，则甲有三种情况，分别为甲取两瓶黄色；甲取1瓶黄色和()112226C C 4C 15P B ⋅==1瓶红色或蓝色；甲取1瓶红色，1瓶蓝色，则，即D ()21111111222242222264C C C C C C C C 4C C 15P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅==⋅正确.故选：BD12．对于定义在区间上的函数，若满足：，且，都有，则称D ()f x 1x ∀2x D ∈12x x <()()12f x f x ≤函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”，且，()f x D ()f x []0,2()22f =，又当时，恒成立，下列命题中正确的有（ ）()()22f x f x +-=3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()21f x x ≤-A ．B ．，()11f =03,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()01f x <C ．D ．，12257443184f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭10,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()()()2f f x f x ≤-+【答案】ACD【分析】利用已知条件和函数的性质对选项逐一判断即可得正确答案.【详解】A.因为，所以令得，所以，故A 正确；()()22f x f x +-=1x =()()1212f f +-=()11f =B.由当，恒成立，令，则，由为区间上的“非减3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()21f x x ≤-32x =312f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()f x []0,2函数”，则，所以，则，，故B 错误；()3112f f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()312f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭C.，，而，13,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()3122f f x f ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13222f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，，13122f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1f x =由， ，，则，则17244f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213,322⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2513,1822⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2511823f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；12257443184f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时，，，10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()100,12f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()[]0,1f x ∈令，则，，()[]0,1t f x =∈()[]0,1f t ∈[]21,2t -+∈则，即，故D 正确.()2f t t ≤-+()()()2f f x f x ≤-+故选：ACD三、填空题13．已知，则的最小值为__________．0039x y x y xy ++=＞，＞，，3x y +【答案】6【详解】试题分析：由已知0039x y x y xy ++=＞，＞，，则×，当且仅当时，取“=”则此时，由19333x y xy x y -+==⨯⨯≤（）132()43x y +3x y =39{3x y xy x y ++==于，解得，,故答案为．00x y ＞，＞31x y =⎧⎨=⎩36x y +=6【解析】1.基本不等式；2.方程组的解法.14．函数的值域为R ，则的取值范围是________.22log (2)y x ax a =-+a 【答案】(][),01,-∞⋃+∞【分析】由函数的值域为R ，可得能够取到大于的所有数，再由22log (2)y x ax a =-+22t x ax a =-+0判别式，即 可 求 解．0∆≥【详解】解：∵函数的值域为R ，22log (2)y x ax a =-+能够取到大于的所有数，22t x ax a ∴=-+0则，()2224440a a a a ∆=--=-≥解得：或，0a ≤1a ≥∴实数的取值范围是．a (][),01,-∞⋃+∞故答案为：．(][),01,-∞⋃+∞15．已知，则()()5234560123456211x x a a x a x a x a x a x a x -+=++++++___________．（用数字作答）2345a a a a +++=【答案】34【分析】令可得，令可得，再利用展开式的通项求出，0x =0a 1x =0123456a a a a a a a ++++++6a ，即可得解.1a 【详解】因为，()()5234560123456211x x a a x a x a x a x a x a x -+=++++++令，得；0x =01a =-令，得；1x =50123456232a a a a a a a ++++++==又，()()()()555211211x x x x x -=-+++二项式的通项公式为，5(1)x +55155C 1C rrr rr r T xx --+=⋅⋅=⋅则，，0652C 2a =⨯=41521(1)C 3a =⨯+-⨯=-所以．2345322(3)(1)34a a a a +++=-----=故答案为：3416．若对于任意实数x 及，则实数a 的取值范围是1t ≤≤()22211()8x t x at ++++≥_____________．【答案】3,2∞∞⎫⎛⎤-⋃+⎪ ⎥⎪⎝⎦⎭【分析】将问题转化为对任意的()221128t at +-≥1t ≤≤计算即可.【详解】由，()()2222221()1()x t x at x t x at ++++=+++--≥()()22221122x tx at t at ++--+-=结合条件可知，只需要即可，()221128t at +-≥即对于任意的恒成立，()221114t t at ≤≤+-≥等价于对任意的，或．21112t t at ≤≤-+≥2112t at -+≤-当时，由于，记，2112t at -+≥1t ≤≤12a t t ≤+12yt t =+由对勾函数的性质知在上递减，在上递增．12y t t =+⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭于是在上递增，此时；12y t t =+min 13122a y ≤=+=当时，由于，记，2112t at -+≤-1t ≤≤32a t t ≥+32y t t =+根据对勾函数性质知在上递减，在上递增，32y t t =+⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭于是在上递减在上递增，32y tt =+⎡⎢⎣当，，51,2t y ==t y==52>故当，故．1t ≤≤max y =a ≥综上，．3,2a ⎫⎛⎤∈-∞+∞⎪⎥⎝⎦⎭【点睛】本题的关键在于利用不等式将三个变量转化为两个变量，再分离参数结合对勾函数求定区间的最值，需要较高的转化能力.四、解答题17．已知关于x 的函数，其中．()2()42x xf x λλ=-+R λ∈(1)当时，求的值域；12λ=()f x (2)若当时，函数的图象总在直线的上方，为整数，求的值．(,2]x ∈-∞()f x =2y -λλ【答案】(1)(0,)+∞(2)或1．0λ=【分析】（1）用换元法转化函数为二次函数在部分区间的值域问题，由二次函数的单调性计算即可；（2）分离参数将问题转化为恒成立，计算在上的最大值后解2224xx λλ--->2142x x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(,2]-∞一元二次不等式即可.【详解】（1）当时，，12λ=1()424x xf x =⋅+令，则，20xt =>2211(2)144y t t t =+=+-显然该二次函数在上单调递增，(0,)+∞所以的值域为．()f x (0,)+∞（2）由题可知，在上恒成立．()2f x >-(,2]x ∈-∞，22221442x xx x λλ--⎛⎫->=-+ ⎪⎝⎭又易知在上单调递增．2142x x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(,2]-∞所以，max 2213428x x x y =⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭因此，238λλ->-λ<<又为整数，所以或1．λ0λ=18．已知函数.2()(1)2f x ax a x a =+-+-(1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围；()2f x ≥-x a (2)若，解关于的不等式.a<0x ()1f x a <-【答案】(1)；1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)答案见解析.【分析】(1)根据给定条件利用一元二次不等式恒成立求解作答.(2)在给定条件下分类解一元二次不等式即可作答.【详解】（1），恒成立等价于，，R x ∀∈()2f x ≥-R x ∀∈2(1)0ax a x a +-+≥当时，，对一切实数不恒成立，则，0a =0x ≥x 0a ≠此时必有，即，解得，220Δ(1)40a a a >⎧⎨=--≤⎩20Δ3210a a a >⎧⎨=+-≥⎩13a ≥所以实数的取值范围是.a 1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（2）依题意，因，则，a<02()1(1)101()(1)0f x a ax a x x x a <-⇔+-⇔--+><当时，，解得，1a =-11a -=1x ≠当时，，解得或，10a -<<11a ->1x <1x a >-当时，，解得或，1a <-101a <-<1x a <-1x >所以，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为1a =-{R |1}x x ∈≠10a -<<或；{|1x x <1}x a >-当时，原不等式的解集为或.1a <-1{|x x a <-1}x >19．如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，.111ABC A B C -,E F 11,AB B C 2ACB π∠=(1)证明：；EF BC ⊥(2)若，平面与平面所成的锐二面角的角余弦值为，求直线与平面2,4AC BC ==1A EFABC 13EF所成角的正弦值.ABC 【答案】(1)证明见解析.【分析】（1）取BC 的中点，连接DE ，DF ，证明平面DEF ，即可证明.BC ⊥EF BC ⊥（2）建立空间直角坐标系，由平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求得的长，ABC 1A EF 131AA计算即可.sin FED ∠【详解】（1）证明：取BC 的中点，连接DE ，DF ，因为D ，E 分别为BC ，BA 的中点，所以，//DE AC 又因为，所以，π2ACB ∠=BC DE ⊥因为D ，F 分别为BC ，的中点，所以，11B C 1//DF CC 又因为为直三棱柱，所以，所以，111ABC A B C -1CC BC ⊥BC DF ⊥因为，平面DEF ，平面DEF ，DE DF D ⋂=DE ⊂DF ⊂所以平面DEF ，因为平面DEF ，所以.BC ⊥EF ⊂EF BC ⊥（2）设（），以C 为原点，CA ，CB ，分别为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系，1AA a=0a >1CC因为，，则，，，2AC =4AB =(1,2,0)E 1(2,0,)A a (0,2,)F a ，，1(1,2,)A E a =--1(2,2,0)A F =- 设平面的一个法向量，1A EF(,,)n x y z = 则，即，取，1100A E n A F n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20220x y az x y -+-=⎧⎨-+=⎩(,,1)n a a = 为平面的一个法向量，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，1(0,0,)CC a =ABC ABC 1A EF 13所以，解得，1111cos ,3n CC n CC n CC ⋅===⋅1a =由（1），即直线EF 与平面ABC 所成的角，FED ∠EF ==，所以直线EF 与平面ABC.sin DF FED EF ∠==20．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码x12345云计算市场规模y /亿元692962133420913229经计算得：=36.33，=112.85.51ln ii y=∑51(ln )iii x y =∑(1)根据以上数据，建立y 关于x 的回归方程（为自然对数的底数）.ˆˆˆe bxa y+=e (2)云计算为企业降低生产成本､提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差，其中m 为单件产品的成本（单位：元），且4~(0,)N m ε=0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差.若保持单件(11)P ε-<<1~(0,)N m ε产品的成本不变，则将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），(11)P ε-<<则单件产品的成本将会下降多少？附：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分1122(,),(,),,(,),n n x y x y x y ⋯ˆˆˆyx βα=+别为=，.ˆβ1221ni ii nii x y nx yxnx ==--∑∑ˆˆy x αβ=-若，则，，2~(,)XN μσ(||)0.6827P X μσ-<=(|2)0.9545P X μσ-<=(||3)0.9973.P X μσ-<=【答案】(1)0.386 6.108ˆe x y+=(2)，成本下降3元.(11)0.9545P ε-<<=【分析】(1)将非线性回归模型转化为线性回归模型求解；(2)利用正态分布的概率模型求解，并结合特殊概率值求解.【详解】（1）因为，所以，ˆˆˆe bx a y +=ˆˆˆln ybx a =+所以，()551152221ln ln 112.85336.33 3.86ˆ0.38614916255310iiii i ii x y x yb xnx ===--⨯====++++-⨯-∑∑∑所以，5111ˆˆln 36.330.3863 6.10855i i ay bx ==-=⨯-⨯=∑所以.ˆˆ0.386 6.108ˆe ebx a x y++==（2）未引入云算力辅助前，，所以40,N m ε⎛⎫~ ⎪⎝⎭0,μσ==又，所以.(11)0.6827()P P εεμσ-<<==-<1=4m =引入云算力辅助后，，所以，10,N m ε⎛⎫~ ⎪⎝⎭0,μσ==若保持产品成本不变，则，114,0,,42m N εσ⎛⎫=~==⎪⎝⎭所以(11)(2)0.9545P P εεμσ-<<=-<=，所以，1=1m =所以单件产品成本可以下降元.413-=21．2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市．为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如图数据：(1)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X 为可作为“基地学校”的学校个数，求X 的分布列和数学期望；(2)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校中恰有一所参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，抽到学校中恰有一所学校“单板滑雪”超过30人的概率；(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影13响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？【答案】(1)分布列见解析，65(2)310(3)12轮【分析】（1）由图形分析得X 的可能取值为0，1，2，3．再计算其各自概率，得出分布列及期望即可；（2）先计算得出事件“从这10所学校中抽3所学校恰有一个参与‘自由式滑雪’的人数超过40人”及事件“从这10所学校中抽3所学校恰有一个参与‘单板滑雪’的人数超过30人”的概率，再由条件概率计算即可.（3）先计算得出小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率，再由二项分布计算期望即可判定.【详解】（1）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校有4所，则X 的可能取值为0，1，2，3．．031221464646333101010C C C C C C 113(0),(1),(2),C 6C 2C 10P X P X P X =========34310C 1(3)C 30P X ===所以X 的分布列为：X123P1612310130所以．11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由题可知，参与“自由式滑雪”的人数超过40人的学校，且参加“单板滑雪”的人数不超过30人的学校为C 、G ，参与“自由式滑雪”的人数超过40人，且参加“单板滑雪”的人数超过30人的学校为D 、I ，参与“自由式滑雪”的人数不超过40人，且参加“单板滑雪”的人数超过30人的学校为A 、B 、E 、H ，参与“自由式滑雪”的人数不超过40人，且参加“单板滑雪”的人数不超过30人的学校为F 、J ，设事件A 为“从这10所学校中抽3所学校恰有一个参与‘自由式滑雪’的人数超过40人”．事件B 为“从这10所学校中抽3所学校恰有一个参与‘单板滑雪’的人数超过30人”．则．1246310C C 1()C 2P A ⋅==若“自由式滑雪”的人数超过40人和“单板滑雪”人数超过30人为同一个学校，则有种情1222C C 2⋅=况，若“自由式滑雪”的人数超过40人和“单板滑雪”人数超过30人非同一个学校，则有种情况，，111242C C C 16⋅⋅=3102163()C 20P AB +==所以．()()()310P AB P B A P A ==（3）由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为：．2323331117C 1C 33327P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以小明在n 轮测试中获得“优秀”的次数Y 满足，由，得7,27Y B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 7()327E Y n =⋅≥．8111.67n ≥≈所以理论上至少要进行12轮测试．22．已知函数，函数，函数．1()lg 1xf x x -=+()2(0,1)xg x a a a =->≠13()(0)13x x mh x m m -⋅=≠+⋅(1)求不等式的解集；(())(lg 2)0f f x f +>(2)若存在，使得成立，求实数a 的取值范围；12,[0,1)x x ∈()()12f x g x =(3)定义在I 上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，()F x x I ∈0M >()M F x M -≤≤则称函数是I 上的有界函数，其中M 称为函数在I 的上界．讨论函数在上是()F x ()F x ()h x (0,1)x ∈否存在上界？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)19,311⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)(2,)+∞(3)答案见解析【分析】（1）判定为上单调递增的奇函数，解不等式即可；()f x ()1,1-（2）由题意可得和的值域需要存在交集，分类讨论a 的范围求的值域即可；()f x ()g x ()g x （3）化简得，分类讨论的取值范围，再由定义计算即可.2()1(0)13x h x m m =-+≠+⋅m 【详解】（1）因为，则，解得，1()lg1xf x x -=+101x x ->+11x -<<而，所以为奇函数，1()lg ()1xf x f x x +-==--()f x 且时递减，可得在递减，且的值域为，01x <<2()lg 11f x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭()f x (1,1)-()f x R 不等式，即为，则，(())(lg 2)0f f x f +>(())(lg 2)(lg 2)f f x f f >-=-1()lg 2f x -<<-即，即为，解得，111lglg12x x --<<+1111012x x -<<+19311x <<则原不等式的解集为．19,311⎛⎫⎪⎝⎭（2）函数，()2(0,1)xg x a a a =->≠若存在，使得成立，12,[0,1)x x ∈()()12f x g x =当的值域为，101,()lg1xx f x x -≤<=+(,0]-∞当时，在递减，可得的值域为，1a >()g x [0,1)()g x (2,1]a -由题意可得和的值域需要存在交集，即有，即；()f x ()g x 20a -<2a >若，则在递增，可得的值域为，01a <<()g x [0,1)()g x [1,2)a -可得和的值域不存在交集，故不符合题意．()f x ()g x 综上可得a 的范围是．(2,)+∞（3），132()1(0)1313x x xm h x m m m -⋅==-+≠+⋅+⋅（ⅰ）当，0,131xm m >+⋅>则在上单调递减，()h x (0,1)∴，131()131m mh x mm --<<++①若，即时，存在上界，113113m m m m --≥++m ⎛∈ ⎝1,,1m M M m -⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭②若，即时，存在上界；113113m m m m --<++m ⎫∈+∞⎪⎪⎭31,,13m M M m -⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭（ⅱ）当时，0m <①若时，在上单调递增，，存在上界103m -<<()h x (0,1)113(),113m m h x m m --⎛⎫∈ ⎪++⎝⎭；13,,13m M M m -⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭②若时，在上单调递增，，故不存在上界；13m =-2()11133xh x =-+-⋅(0,1)()(2,)h x ∈+∞③若时，在上单调递增，在上单调递增，113m -<<-()h x 310,log m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31log ,1m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故不存在上界；131(),,131m m h x m m --⎛⎫⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭ ④若，在上单调递增，，故不存在上界；21,()113x m h x =-=-+-(0,1)()(,2)h x ∈-∞-⑤若在上单调递增，，而，故存在上界1,()m h x <-(0,1)113(),113m m h x m m --⎛⎫∈ ⎪++⎝⎭13013m m -<+．1,,1m M M m -⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭综上所述，当时，存在上界，1m <-1,,1m M M m -⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭当时，不存在上界，113m -≤≤-当时，存在上界，103m -<<13,,13m M M m -⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭当时，存在上界，m ⎛∈ ⎝1,,1m M M m -⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭当时，存在上界．m ⎫∈+∞⎪⎪⎭31,,13m M M m -⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭【点睛】关键点睛：本题第一问解题关键在于确定的单调性与奇偶性，再利用性质解不等式；()f x 第二问关键在于将双变量的能成立问题转化为两个函数值域有交集，讨论计算的值域即可；()g x 第三问关键在于分类讨论的正负来确定在上的单调性，再比较两端的最值绝对值大小，M ()h x (0,1)讨论比较详细，容易遗漏而错，题目较难.。
2022-2023学年山东省枣庄市高二下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省枣庄市高二下学期期中数学试题一、单选题1．若277C C x =，则x =（）A ．2B ．5C ．2或5D ．7【答案】C【分析】由组合数的性质，即可求解.【详解】由组合数性质C m n mn n C -=，可知2x =或5x =.故选：C2．()51x -的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）A ．0B ．1-C ．32-D ．32【答案】D【分析】根据()na b +的二项展开式系数之和为2n 求解即可【详解】()51x -的二项展开式中所有项的二项式系数之和为5232=故选：D3．如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（）A ．48种B ．72种C ．64种D ．256种【答案】A【分析】利用分步乘法原理求解即可【详解】从A 开始摆放花卉，A 有4种颜色花卉摆放方法，C 有3种颜色花卉摆放方法，B 有2种颜色花卉摆放方法；由D 区与A ，B 花卉颜色不一样，与C 区花卉颜色可以同色也可以不同色，则D 有2种颜色花卉摆放方法.故共有432248⨯⨯⨯=种绿化方案.故选：A4．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【答案】C【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.5．函数(e 3)()x f x x =-的单调递减区间是（）A ．(),2-∞B ．()0,3C ．()1,4D ．()2,+∞【答案】A【分析】求出导函数()f x '，由()0f x '<得减区间．【详解】由已知()(3)(2)x x x f x e x e x e '=+-=-，2x <时，()0f x '<，2x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间是(,2)-∞，增区间是(2,)+∞；故选：A ．6．已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下面四个图象中，()y f x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先利用函数()y xf x '=的图象求得函数()f x 的单调区间，进而得到正确选项.【详解】由题给函数()y xf x '=的图象，可得当1x <-时，()0xf x '<，则()0f x '>，则()f x 单调递增；当10x -<<时，()0xf x '>，则()0f x '<，则()f x 单调递减；当01x <<时，()0xf x '<，则()0f x '<，则()f x 单调递减；当1x >时，()0xf x '>，则()0f x '>，则()f x 单调递增；则()f x 单调递增区间为(),1-∞-，()1,+∞；单调递减区间为()1,1-故仅选项C 符合要求.故选：C7．已知函数()2ln xaf x x x=-有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()0,∞+C ．1e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】将问题转化为方程ln xa x=有三个根，令ln ()x g x x =（0x >），分析()g x 的单调性，作出()g x 的图像，结合函数图像可得答案【详解】解：因为函数()2ln xaf x x x=-有三个零点，所以方程2ln 0x a x x -=有三个根，即方程ln xa x =有三个根，令ln ()xg x x=（0x >），当1x >时，ln ()x g x x =，则'21ln ()x g x x -=，当1e x <<时，'()0g x >，当>x e 时，'()0g x <，所以()g x 在(1,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，所以当x e =时，()g x 取得极大值1(e)g e=，当1x =时，()0g x =，当01x <<时，ln ()x g x x =-，则'21ln ()0x g x x -+=<，所以ln ()x g x x=-在(0,1)上递减，所以ln ()xg x x=的大致图像如图所示，由图像可得当10a e <<时，直线y a =与ln ()x g x x=的图像有三个交点，所以实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，故选：D8．对任意的(]12,1,3x x ∈，当12x x <时，1122ln 03x a x x x -->恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．()3,+∞C ．[)9,+∞D ．()9,+∞【答案】C【分析】将不等式等价变形，构造函数()ln 3af x x x =-，再借助函数单调性、最值求解作答.【详解】依题意，11211222ln 0ln (ln )0333x a a a x x x x x x x -->⇔--->，令()ln 3af x x x =-，(1,3]x ∈，则对任意的12,(1,3]x x ∈，当12x x <时，12()()f x f x >，即有函数()f x 在(1,3]上单调递减，因此，(1,3]x ∀∈，()1033af x a x x'=-≤⇔≥，而max (3)9x =，则9a ≥，所以实数a 的取值范围是[9,)+∞.故选：C二、多选题9．下列求导运算正确的是（）A ．()1ln 22'=B ．()1xx'=C ．()sin cos x x '=D ．()()22212x x ''-=【答案】CD【分析】根据函数求导公式和运算法则，计算即可.【详解】对于A 选项：（()ln 20'=，所以A 选项错误；对于B 选项：()111221212x x x x -'⎛⎫'===⎪⎝⎭，所以B 选项错误；对于C 选项：由公式得()sin cos x x '=，所以C 选项正确；对于D 选项：()()()()22221212x x x ''''-=+-=，所以D 选项正确；故选：CD.10．已知()1nx +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（）A ．8n =B ．()1nx +的展开式中2x 项的系数为56C ．奇数项的二项式系数和为128D ．()21nx y +-的展开式中2xy 项的系数为56【答案】AC【分析】利用二项式定理求得()1nx +的展开通项公式，从而得到关于n 的方程，解出n 的值判断AB ，利用所有奇数项的二项式系数和为12n -判断C ，根据二项式定理判断D.【详解】因为()1nx +的展开式通项为1C C k k k kr n n T x x +==，所以()1nx +的展开式的第1k +项的二项式系数为C kn ，所以26C C n n =，解得8n =，A 正确；2x 的系数为28C 28=，B 错误；奇数项的二项式系数和为1722128n -==，C 正确；根据二项式定理，()821x y +-表示8个()21x y +-相乘，所以()21x y +-中有1个选择x ，1个选择2y -，6个选择1，所以()21nx y +-的展开式中2xy 项的系数为()71187C C 156-=-，D 错误；故选：AC11．（多选）将《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和《中华戏曲》7本书放在一排，则（）A ．戏曲书放在正中间位置的不同放法有77A 种B ．诗集相邻的不同放法有662A 种C ．四大名著互不相邻的不同放法有3434A A 种D ．四大名著不放在两端的不同放法有45A 种【答案】BC【分析】根据题设，依次分析各选项的条件，再列式即可判断作答.【详解】对于A ，戏曲书只有1本，将戏曲书放在正中间，其余6本书全排列，不同放法种数为66A ，A 错误；对于B ，诗集共2本，把2本诗集看为一个整体，则7本书的不同放法种数为266266A A 2A =，B 正确；对于C ，四大名著互不相邻，先将四大名著全排列，再在每种排列的中间3个空隙中放置其他书，共有33A 种放法，则不同放法种数为3434A A ，C 正确；对于D ，在第2至第6这5个位置上任选4个位置放四大名著，共有45A 种放法，其余3本书在剩下的3个位置上全排列，则不同放法种数为4353A A ，D 错误．故选：BC12．已知函数()f x 为定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，若当0x <时，()()0xf x f x '->，且()20f =，则（）A ．()()πe e πf f <B ．当2m <时，()()22f m mf >C ．()()43340f f -+<D ．不等式()0f x >解集为()(),20,2-∞- 【答案】CD【分析】构造函数()()f xg x x=，其中0x ≠，分析函数()g x 的奇偶性与单调性，利用函数()g x 的单调性与奇偶性可判断AC 选项；取2m =-可判断B 选项；分0x <、0x >解不等式()0f x >，可判断D 选项.【详解】构造函数()()f xg x x=，其中0x ≠，因为函数()f x 为定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，则()()f x f x -=-，所以，()()()()f x f x g x g x x x--===-，故函数()g x 为偶函数，当0x <时，()()()20'-'=>xf x f x g x x ，所以，函数()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，因为()20f =，则()()2202f g ==，则()()220g g -==.对于A 选项，()()e<πe πg g ∴> ，，即()()e πe πf f >，所以，()()πe e πf f >，A 错；对于B 选项，不妨取2m =-，则()()220g g -==，即()()2222f f -=-，此时()()2222f f -=-，B 错；对于C 选项，因为偶函数()g x 在()0,∞+上单调递减，则()()()334g g g -=>，即()()3434f f ->-，整理可得()()43340f f -+<，C 对；对于D 选项，当0x <时，由()0f x >可得()()()02f x g x g x=<=-，解得<2x -，当0x >时，由()0f x >可得()()()02f x g x g x=>=，解得02x <<.综上所述，不等式()0f x >解集为()(),20,2-∞- ，D 对.故选：CD.【点睛】结论点睛：四种常用的导数构造法：（1）对于不等式()()0f x g x ''+>（或0<），构造函数()()()F x f x g x =+；（2）对于不等式()()0f x g x ''->（或0<），构造函数()()()F x f x g x =-；（3）对于不等式()()0xf x cf x '+>（或0<）（其中c 为常数且0c ≠），构造函数()()c F x x f x =；（4）对于不等式()()0f x cf x '+>（或0c <）（其中c 为常数），构造函数()()e cx F x f x =.三、填空题13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】310/0.3【分析】根据古典概型计算即可【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率310P =.故答案为：310.解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10=甲、乙都入选的方法数为13C 3=，所以甲、乙都入选的概率310P =故答案为：31014．已知567117C C 10C m m m -=，则8C m=____________.【答案】28【分析】由已知条件，利用组合数公式求出m 的值，即可求解8C m的值.【详解】解：567117C C 10C m m m -= ，!(5)!!(6)!7!(7)!5!6!107!m m m m m m ⨯-⨯-⨯-∴-=⨯，且05,m m Z ≤≤∈，两边乘以5!!(5!)m m -，得67(7)(6)161076m m m ----=⨯⨯，即223420m m -+=，解得m =2或m =21，05,m m Z ≤≤∈，2m ∴=，28887C C 2821m=⨯∴==⨯.故答案为：28．15．设点A 在直线310x y -+=上，点B 在函数()ln f x x =的图象上，则AB 的最小值为___________.【答案】11ln34+【分析】设函数()ln f x x =与直线310x y -+=平行的切线为l ，利用导数的几何意义得出切点P ，再由距离公式得出AB 的最小值.【详解】设函数()ln f x x =与直线310x y -+=平行的切线为l ，则l 的斜率为3，由()13f x x '==，得33x =，所以切点为31,ln332P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则点P 到直线l 的距离就是AB 的最小值，即11ln31121ln324++=+.故答案为：11ln34+.16．若112222log 2023xx x x ⋅=⋅=，则12x x 值为________．【答案】2023【分析】利用对数运算法则得到22log 22222log 2log xx x x ⋅=⋅，构造函数()2(0)x f x x x =⋅>，利用其单调性得到122log x x =，进而求出结果.【详解】因为122log 12222220232log 2log x xx x x x ==⋅=⋅⋅，令()2(0)x f x x x =⋅>，则()(ln 21)20x f x x '=⋅+⋅>在区间(0,)+∞上恒成立，即()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，所以122log x x =，则12222log 2023x x x x =⋅=，故答案为：2023.四、解答题17．若122nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项为352，求正整数n 的值【答案】4【分析】由题可得211222nn x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用通项公式即得.【详解】因为211222nn x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其通项公式为2121C ()()(02,N)2r n rr r n T x r n r x-+=-≤≤∈，则由通项知，展开式的常数项为()()()22211351C 1C 222nnnn n nn n n x x ⎛⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为3502>，故n 为偶数，解得4n =.18．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【答案】（1）115（2）186【详解】（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，红球4个，取法有种，红球3个和白球1个，取法有种；红球2个和白球2个，取法有种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有12490115++=种．（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.第一种，4红1白，取法有41466C C =种；第二种，3红2白，取法有324660C C ⋅=种，第三种，2红3白，取法有2346120C C ⋅=种，根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有660120186.++=19．已知()32f x x a x=--(1)若0a =，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；(2)若过点(1,0)P -的直线l 与曲线()f x 在1x =处相切，求实数a 的值.【答案】(1)560x y --=(2)11-【分析】（1）先对函数()f x 求导得到()f x '，从而得到曲线()f x 在1x =处的切线斜率，再求得点()()1,1f ，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）利用导数的几何意义得到()15f '=，再根据两点间的斜率公式得到关于a 方程，即可求解.【详解】（1）当0a =时，()32f x x x =-，则()()22230f x x x x'=+≠，所以()11f =-，()15f '=所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()151y x +=-，即560x y --=.（2）由()32f x x a x =--，得()()22230f x x x x'=+≠，因为直线l 与曲线()f x 在1x =处相切，所以直线l 的斜率()15k f '==，又()()()1011111222f a k f -===----，所以1522a --=，解得：11a =-，故实数a 的值为11-.20．已知函数f (x )＝x ＋4x，g (x )＝2x ＋a .（1）求函数f (x )＝x ＋4x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）若∀x 1∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[5,17]2；（2）1a ≤.【解析】（1）先求导数，判断函数单调性，结合单调性求解值域；（2）把条件转化为()()12min min f x g x ≥，分别求解()()12,f x g x 的最小值可得实数a 的范围.【详解】（1）()222441x f x x x -'=-=，因为1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()0f x '<，即函数()f x 为减函数，因为()51217,12f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以值域为[5,17]2.（2）因为∀x 1∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，所以()()12min min f x g x ≥，因为2[2,3]x ∈，所以()2224a g x a ≥+=+，所以54≥+a ，即1a ≤.21．设e ()x x f x =-.(1)求函数()f x 的极小值点.(2)若函数()(2)=-+g x f x a 满足22(0)2e g '=-+，求a 的值.(3)求函数()()()'=-h x xf x f x 的单调区间.【答案】(1)0(2)2-(3)在(,0)-∞和(ln2,)+∞上严格增，在(0,ln 2)上严格减【分析】(1)先对函数求导，求出导函数的零点，列表表示出函数随自变量变化情况，即可求解；(2)根据题意，写出函数()g x 的解析式，对函数求导，根据导函数的值即可求解；(3)结合（1）求出函数()h x 的解析式，对其求导，并用表格列出函数随自变量变化情况，即可求出结果.【详解】（1）因为函数e ()x x f x =-，所以()e 1x f x '=-，令()e 10x f x '=-=，解得：0x =，列表如下：x(,0)-∞0(0,)+∞()f x '-0+()f x 单调递减极小值单调递增所以极小值点为0.（2）因为2()(2)e 2x a g x f x a x a -+=-+=+-，所以()22e2x a g x -+'=-+，又因为()2202e 22e a g =-+=-+'，所以2a =-.（3）由（1）可知：2()()()e e 1x x h x xf x f x x x '=-=--+，所以()e 2x h x x x '=-，令()e 20x h x x x '=-=，解得：0x =或ln 2x =，列表如下：x (,0)-∞0(0,ln 2)ln 2(ln2,)+∞()h x '+0-0+()h x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数()h x 在区间(,0)-∞和(ln2,)+∞上单调递增，在区间(0,ln 2)上单调递减.22．已知函数()ln 22f x x ax =++.(1)讨论()f x 的单调性(2)若函数()()12e ax g x f x x +=-有且只有12,x x 两个零点，证明：122x x a+>-.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求得()1f x a x'=+，分0a ≥和a<0，两种情况分类讨论，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；（2）化简()()11ln 2e 2e 1ax ax g x x x ++=-+，令12e ax t x +=，得到()11ln 2e 2e 1ax ax x x ++-+ln 1t t =-+，令()ln 1(0)h t t t t =-+>，利用导数求得函数的单调性转化为()g x 有且只有12,x x 两个零点等价于函数()12e 1ax x x ϕ+=-有且只有12,x x 两个零点，利用导数求得()x ϕ的单调性，分0a ≥和a<0，两种情况讨论得到要使()x ϕ有12,x x 两个零点，转化为1210a a ϕ⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭，不妨令1210x x a <<-<，令()1142e 2e ax ax H x x x a +--⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用导数求得函数单调性，即可求解.【详解】（1）解：因为()ln22(0)f x x ax x =++>，所以()1f x a x'=+.若0a ≥，则()0f x ¢>恒成立；若a<0，令()0f x '=，解得1x a=-，当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；当1,x a ∈-+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，综上所述，当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当a<0时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.（2）证明：()()()11112e ln22e 2ln 2e 2e 1ax ax ax ax g x f x x x x ax x x ++++=-=-++=-+，令12e ,0ax t x t +=>，则()11ln 2e 2e 1ln 1ax ax x x t t ++-+=-+，令函数()ln 1(0)h t t t t =-+>，则()11h t t'=-，可得()h t 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又由()10h =，所以()h t 有且仅有一个零点1t =，即12e 1ax x +=，故函数()g x 有且只有12,x x 两个零点等价于函数()12e1(0)ax x x x ϕ+=->有且只有12,x x 两个零点，可得()()121e ax x ax ϕ+'=+，若0a ≥，则()0x ϕ'>恒成立，()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，则()x ϕ最多只有一个零点，不符合题意；若a<0，则当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增；当1,x a ∈-+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭()(),0,x x ϕϕ<'单调递减.当0x →或x →+∞时，()0x ϕ<，故要使()x ϕ有12,x x 两个零点，则需1210a a ϕ⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭，即20a -<<，不妨令1210x x a <<-<，今函数()()112412e 2e 0ax ax H x x x x x x a a a ϕϕ+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=++<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()()21122e 1e ax ax ax H x +++⎡=-'⎤⎢⎥⎣⎦，因为120,0a x a-<<<<-，所以110,e 1ax ax ++>>，故()()0,H x H x '>在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，又因为10H a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()10H x <，即()()1212x x x a ϕϕϕ⎛⎫=<-- ⎪⎝⎭，因为()121,x x a a ϕ-->-在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减，所以212x x a >--，即122x x a +>-.。
江苏省南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题(含简单答案)
南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，，若，则（ ）A. B. C. 4D. 22. 记函数的导函数为.若，则（ ）A. B. 0C. 1D. 23. 某产品的广告费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下关系：2456830405060已知与的线性回归方程为，则等于（ ）A. 68B. 69C. 70D. 714. 已知函数，则的图象大致为（ ）A. B.(1,,2)a m = (2,4,)b n =- //a bm n +=4-6-()f x ()f x '()sin f x x x =+()0f '=1-x y x yay x 715y x =+a ()ln f x x x =-()f xC. D.5. 在的展开式中，含项的系数为（ ）A 16B. -16C. 8D. -86. 甲､乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响.现每人分别投篮2次，则甲与乙进球数相同的概率为（ ）A.B.C. D.7. 今年春节，《热辣滚汤》､《飞驰人生2》､《熊出没之逆转时空》､《第二十条》引爆了电影市场，小帅和他的同学一行四人决定去看电影.若小帅要看《飞驰人生2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）A.B.C.D.8. 已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（ ）A. 共有120种不同的排法B. 当2名教师相邻时，共有24种不同的排法C. 当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法D. 当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法.4(1)(2)x x -+3x 121373611361336173696491619324564()21ln 2f x a x x =+1x ()212x x x ≠()()12121f x f x x x ->-10,4⎛⎤ ⎝⎦10,4⎛⎫⎪⎝⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭10. 已知，则（ ）A. 展开式各项的二项式系数的和为B. 展开式各项的系数的和为C.D. 11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点．则（ ）A. 平面平面B. 为的中点时，C. 存在点，使得直线与的距离为D. 存在点，使得直线与平面所成的角为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知随机变量，且，则__________.13. 已知事件相互独立.若，则__________.14. 若函数有绝对值不大于1的零点，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求在上的最值.1002100012100(12)x a a x a x a x -=++++ 10021-024********a a a a a a a a ++++>++++ 123100231000a a a a ++++< ABF DCE -AB AF ⊥4AB AD AF ===G »CDADG ⊥BCGG »CD//BF DG G EFAG G CF BCG 60()22,X N σ:(1)0.7P X >=(23)P X <<=,A B ()()0.6,0.3P A P B A ==()P AB =()334f x x x a =-+a ()()1e xf x x =-()y f x =()()1,1f ()f x []1,2-16. 如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，且是的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角正弦值.17. “五一”假期期间是旅游的旺季，某旅游景区为了解不同年龄游客对景区的总体满意度，随机抽取了“五一”当天进入景区的青､老年游客各120名进行调查，得到下表：满意不满意青年8040老年10020（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否满意”与“游客年龄”有关联；（2）若用频率估计概率，从“五一”当天进入景区的所有游客中任取3人，记其中对景区不满意的人数为，求的分布列与数学期望.附：，其中.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.已知函数.（1）讨论单调性；的的1111ABCD A B C D -ABCD //AB ,DC DA DC ⊥111,2AD DD CD AB E ====AB C 1BC D 1B C D E --0.005α=X X ()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++()20P x χ≥0x 21()(1)ln ,R 2f x ax a x x a =+--∈()f x（2）当时，证明：；（3）若函数有两个极值点，求的取值范围.19. 现有外表相同，编号依次为的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球.（1）当时，①假设已知选中恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率；②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率；（2）记第三次取到白球的概率为，证明：.的0a >3()22f x a≥-2()()F x ax x f x =--11222,()3x x x x <<12()()F x F x -()1,2,3,,3n n ≥ n ()1,2,3,,k k n = k n k -4n =p 2p 1<南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学简要答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】AC【11题答案】【答案】AB三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】##【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）；（2），.【16题答案】【答案】（1（2）.【17题答案】【答案】（1）能认有关 （2）分布列略，【18题答案】【答案】（1）答案略； （2）证明略； （3）.【19题答案】【答案】（1）①；② （2）证明略为0.2150.1232511,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦e e 0x y --=2max ()(2)e f x f ==min ()(0)1f x f ==-13()34E X =3(0,ln 2)4-1216。
河北省石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（时间：120分钟，分值150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.2. 设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A. 0B.C. 2D. 33. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望E(Y)等于（）012A. B. C. D.4. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.5. 为了培养同学们的团队合作意识，在集体活动中收获成功、收获友情、收获自信、磨砺心志，2023年4月17日，石家庄二中实验学校成功举办了首届“踔厉奋发新征程，勇毅前行赢未来”25公里远足活动. 某班()22x x'-=-()2e2ex x'=()cos cos sinx x x x x'=-()()122xx x-'=⋅()e xf x a b=+()πcos2xg x c=+()02P，+ab cπX Y21Y X=-YXP1613a43835373()(1)ln1f x x x=+-现有5名志愿者分配到3个不同的小组里协助班主任摄影，记录同学们的青春光影，要求每个人只能去一个小组，每个小组至少有一名志愿者，则不同的分配方案的总数为（ ）A 120B. 150C. 240D. 3006. 的展开式中的系数为（ ）A B. 17C. D. 137. 设，，，则（ ）A. B. C. D. 8. 若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 展开式中最大的系数为10. 已知函数，下列说法正确的有（ ）A. 若，，则函数F (x )有最小值B. 若，，则过原点可以作2条直线与曲线相切C. 若，且对任意，恒成立，则D. 若对任意，任意，恒成立，则的最小值是11 已知函数，若且，则有（ ）...()632x x ⎛- ⎝6x 17-13-35ln 23a =253e 5b =1c =c b a >>a b c >>a c b >>c a b>>()()23ln 12ln x a x ax x x--=a 224e 104e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，224e 114e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，()224e 10114e 4e ⎛⎫+⋃ ⎪-⎝⎭，，()224e 1014e 4e ⎧⎫+⋃⎨⎬-⎩⎭，()62601262a a x a x a x =+++⋯+3360a =-()()2202461351a a a a a a a +++-++=(6612622a a a ++⋯+=--2a ()()()2e 114ax F x m x m =++++0m =1a =-1m =-0a ≠()y F x =0a =m ∈R ()0F x >11x -<<R m ∈0x >()0F x ≥a 2e()()y f x x =∈R ()0f x >()()0f x xf x '+>A. 可能是奇函数或偶函数B. C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 为弘扬我国古代“六艺文化”，某夏令营主办方计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有______种排法.13. 某校辩论赛小组共有5名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为，则抽到2名男生的概率为_____________.14. 若，使得成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，（1）求的值；（2）求其展开式中所有的有理项．16. 某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．（1）如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率；（2）若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率．17. 已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对任意恒成立，求的最大整数值.18. 张强同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前的()f x ()()11f f -<ππ42x <<()()cos22sin e cos x f x f x >()()01f >35[]0,2x ∃∈()1eln e e 1ln xa a x x a --+≥-+e 2.71828= a nx ⎛- ⎝a b 32a b +=n 5343222()ln f x x x x =+()f x ()()1k x f x -<1x >k 1312两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，如果前两次投篮均未命中，则第三次投篮命中的概率为.（1）求张强同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记张强同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布.19. 设定义在R 上的函数．（1）若存在，使得成立，求实数a 的取值范围；（2）定义：如果实数s ，t ，r 满足，那么称s 比t 更接近r ．对于（1）中的a 及，问：和哪个更接近？并说明理由．石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】B 【5题答案】【答案】B 【6题答案】2315ξξ()()e xf x ax a =-∈R [)01,x ∈+∞()0e f x a <-s r t r -≤-1x ≥ex1e x a -+ln x【答案】C 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）4 （2）【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）极小值，无极大值为1441100.121e,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦42135,54,81T x T x T x-===377122e --（2）3【18题答案】【答案】（1）；（2）答案略.【19题答案】【答案】（1） （2）比更接近，理由略1115e a >ex1e x a -+ln x。
2022-2023学年河南省驻马店市高二下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年河南省驻马店市高二下学期期中数学试题一、单选题1．等比数列的前项和为，且，， 成等差数列，若，则{}n a n n S 14a 22a 3a 11a =4s =A ．7B ．8C ．15D ．16【答案】C【详解】试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n 项和公式．【解析】1．等比数列通项公式及前n 项和公式；2．等差中项．2．已知能够被15整除，则的一个可能取值是（ ）202274a +a A ．1B ．2C ．0D ．1-【答案】D【分析】利用二项展开式写出，由展开式可知需要能被15整除，结合选项可得答案.202274a +1a +【详解】,()20220202212021220202021202220222022202220222022751C 75C 75C 75C 75C a a-+=-+-⋅⋅⋅-++75能够被15整除，要使原式能够被15整除，则需要能被15整除，将选项逐个检验可知的1a +a 一个可能取值是，其他选项均不符合题意，1-故选：D3．已知，若直线：与直线：平行，则它们之间的距离为a<01l 210ax y ++=2l ()140x a y ++-=（ ）A B C D 【答案】A【分析】根据题意结合两直线平行求得，再代入两平行线间距离公式运算求解.2a =-【详解】若直线：与直线：平行，则，解得1l 210ax y ++=2l ()140x a y ++-=()120a a +-=或，1a =2a =-当时，直线：与直线：平行；1a =1l 210x y ++=2l 240x y +-=当时，直线：与直线：平行；2a =-1l2210x y --=2l 40x y --=综上所述：若直线与直线平行，则或.1l2l 1a =2a =-∵，则，此时直线：，直线：，a<02a =-1l2210x y --=2l 2280x y --=故直线、之间的距离.1l 2ld 故选：A.4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题．现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）{}n a 10a =A ．55B ．49C ．43D ．37【答案】A【分析】由条件写出通项公式，即可求解.【详解】正整数中既能被3除余1且被2除余1的数，即被6除余1，那么，有.()11665n a n n =+-⨯=-1055a =故选：A5．设抛物线的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，过P 作l 的垂线，26y x =垂足为Q ，若直线QF 的倾斜角为，则（ ）120︒PF =A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B【分析】根据几何图形，结合抛物线的定义的性质，即可判断.【详解】依题意，，，，π3QFH ∠=3HF =QH =6QF =又，，则为等边三角形，有，PF QP =π3PQF ∠=PQF △6PF =故选：B6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（ ）A ．寸B ．2寸C ．寸D ．3寸5373【答案】C【分析】由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案．【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为18寸，下底面半径为6寸，高为18寸．积水深9寸，水面半径为寸，∴1(186)122+=则盆中水的体积为（立方寸）．221π9(612612)756π3⨯⨯++⨯=平地降雨量等于（寸．∴2756π7π183=⨯)故选：C ．7．已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则()0,+∞()f x ()f x '()()0xf x f x '-<()54f =的解集为（ ）()54f x x<A ．B ．C ．D ．()0,4()4,+∞()5,+∞()0,5【答案】C【分析】根据给定不等式构造函数，借助导数确定函数的单调性，再解不等式作()()0xf x f x '-<答.【详解】令，，因为，则，()()f x g x x =()0,+x ∞∈()()0xf x f x '-<()()2()0xf x f x g x x '-'=<因此函数在上单调递减，则，解得，()g x ()0,∞+()45()4()(5)5f x f x x g x g x <⇔<⇔<5x >所以的解集为.()54f x x<()5,+∞故选：C8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，若是“斐波那契数{}n a 列”，则的值为（ ）.()()()222132243354a aa a a a a a a ---⋅⋅⋅()2202020222021a a a -A ．B ．1C ．D ．21-2-【答案】B【解析】由已知数列的特点依次求出，，，的值，发现这些数依次为2132a a a -2243a a a -2354a a a -⋅⋅⋅，进而可求出答案1,1,1,1,1,1---⋅⋅⋅⋅【详解】由题设可知，斐波那契数列为：{}n a 1,1,2,3,5,8,⋅⋅⋅⋅⋅⋅其特点为：前两个数为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，由此可知：，213221211a a a =⨯-=-，232241321a a a =⨯-=--，235422531a a a =⨯-=-，452263851a a a -=⨯-=-，22020202220211a a a -=-则()()()222132243202020222021a a a a a a a a a --⋅⋅⋅⋅⋅⋅-.()1010101011=⨯-1=故选：B.二、多选题9．袋中装有除颜色外完全相同的3个红球和6个白球，从袋中一次抓出2个球，记事件A =“两球同色”，事件B =“两球异色”，事件C =“至少有一红球”，则（ ）A ．事件A 与事件B 是对立事件B ．事件A 与事件B 是相互独立事件C ．D ．()()P A P B =()712P C =【答案】ACD【分析】由对立事件的定义可判断A 选项；利用独立事件的定义可判断B 选项；由古典概型的概率公式求解判断C 选项；利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可判断D 选项．【详解】对于A 选项，由对立事件的定义可知，事件A 、B 互为对立事件，A 对；对于B 选项，，，，显然，故B 不正确；()0P AB =()0P A >()0P B >()()()P A P B P AB ≠对于C 选项，，，所以，故C 正确；()223629C C 1C 2P A +==()113629C C 1C 2P B ==()()P A P B =对于D 选项，，故D 正确，()1120363629C C C C 7C 12P C +==故选：ACD ．10．函数f (x )＝b （x -a ）2（x -b ）的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【分析】首先根据解析式确定零点类型，再结合图象，判断选项.【详解】由函数解析式可知，是不变号零点，是变号零点，a b A.由图可知，变号零点是0，则，则，不成立，故A 错误；0b =()0f x =B.由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则，此时，当，0,0b a <=()()2f x b x b x =-x b <，当，，当时，，满足图象，故B 正确；()0f x >0b x <<()0f x <0x >()0f x <C.由图可知，，，当时，，当时，0b a >>()()()2f x b x b x a =--x a <()0f x <a x b <<，当时，，满足图象，故C 正确；()0f x <x b >()0f x >D.由图可知，，，当时，，与图象不符，所以D 错误.0a b <<()()()2f x b x b x a =--x a <()0f x >故选：BC11．在平行六面体中，已知，1111ABCD A B C D -1111,60AB AD AA A AB A AD BAD ∠∠∠======则下列说法错误的是（ ）A ．为中点，为中点，则与为异面直线E 11C D F 11B C DE BFB ．线段1A C C ．为中点，则平面M 1AA 1A C BDMD ．直线与平面1A C ABCD 【答案】ABD【分析】利用棱台的定义判断A ，利用空间向量的数量积运算律求解B,利用线面平行的判定定理判断C ，利用线面角的定义判断D.【详解】对于A ，如图，连接， 为中点，为中点，,,EF DE BF E 11C DF 11B C由图可知，且11,,22EC DC FC BC ////11,,22EC DC FC BC ==设则重合，11,,DE CC G BF CC H ⋂=⋂=111,C G C H CC G H ==⇒即与相交，故A 错误；DE BF 对于B ，因为，1111,60AB AD AA A AB A AD BAD ∠∠∠====== 所以，22211AB AD AA === 11111cos 60,2AB AD AB AA AD AA ︒⋅=⋅=⋅=⨯⨯= 所以222111()A A C AB AA C AD ==+- 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅-⋅-⋅ 1111112,=+++--=所以故B 错误；21A C = 因为为中点，连接交于点，M 1AA AC BD O 再连接，,,OM BM DM 则在中，，1△ACA 1A C OM∥平面，平面,1A C ⊄BDM OM ⊂BDM 所以平面，C 正确；1A C BDM 对于D:在平行六面体中，1111ABCD A B C D -四边形是菱形，则,ABCD AC BD ⊥又,()11110BD AA AD AB AA AD AA AB AA ⋅=-⋅=⋅-⋅= 所以，平面，1BD AA ⊥11,,AC AA A AC AA ⋂=⊂1ACA 所以平面，BD ⊥1ACA 又因为平面，BD ⊂ABCD 所以平面平面，1ACA ⊥ABCD 过点作于点，1A 1A P AC ⊥P 平面平面，1ACAABCD AC =平面所以平面，1A P ⊂1,ACA 1A P ⊥ABCD 所以直线与平面所成角为，1A C ABCD 1A CA ∠AC AB =+= 所以,22211AA A C AC+=所以，所以，故D 错误；11AA A C⊥11sin AA A CA AC ∠==故选:ABD.12．已知直线l ：y =kx +m 与椭圆交于A ，B 两点，点F 为椭圆C 的下焦点，则下列结22:134x y C +=论正确的是（ ）A ．当时，，使得1m =k ∃∈R ||||3FA FB +=B ．当时，，1m =k ∀∈R ||2FA FB +> C ．当时，，使得1k =m ∃∈R 11||||2FA FB +=D ．当时，，1k =m ∀∈R 6||5FA FB +≥【答案】BCD【分析】对于A ，将直线的方程与椭圆方程联立，求出的取值范围，可求得的取值l ABFA FB+ 范围，可判断A 选项；求出线段中点的轨迹方程，可求得的取值范围，可判断B 选项；AB FA FB+ 将直线的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式结合可求得的取值范围，可判断C l 0∆>FA FB+ 选项；求出线段中点的轨迹方程，可求得的最小值，可判断D 选项.AB FA FB+【详解】在椭圆中，，，，C 2a =b 1c =由题意可得，上焦点记为，()0,1F -()01F ,'对于A 选项，设点、，()11,A x y ()22,B x y 联立可得，2214312y kx x y =+⎧⎨+=⎩()2234690k x kx ++-=，()()22236363414410k k k ∆=++=+>由韦达定理可得，，122634kx x k +=-+122934x x k =-+()2212134k k +==+，[)2443,434k =-∈+所以，，故A 错误；(]484,5FA FB a AB AB +=-=-∈对于B 选项，设线段的中点为，AB (),M x y 由题意可得，两式作差可得，22112222134134x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22221212034x x y y --+=因为直线的斜率存在，则，所以，，AB 12x x ≠121212122423y y y y y k x x x x x -+⋅=⋅=--+整理可得，又因为，消去可得，其中，43ky x =-1y kx =+k 224330x y y +-=0y >所以，，()()()()11221212,1,1,22,22FA FB x y x yx x y yx y +=+++=+++=+所以，FA +== ，故B 正确；2=>对于C 选项，当时，直线的方程为，即，1k =l y x m =+x y m =-联立可得，224312x y m x y =-⎧⎨+=⎩22784120y my m -+-=，解得()()2226428412162130m m m ∆=--=->m <<由韦达定理可得，，1287my y +=2124127m y y -=，11222y y ===+同理，所以，，222y FB =+ 124444427y y mFA FB ⎛++=+=+∈ ⎝ 因为，所以，当时，，使得，故C 正确；11442⎛∈ ⎝1k =m ∃∈R 112FA FB +=对于D 选项，设线段的中点为，AB (),M x y 由B 选项可知，，即，即，121212122423y y y y y x x x x x-+⋅==--+43y x=-430x y +=由可得的横坐标的取值范围是，22434312y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩x =M ⎛ ⎝而点到直线的距离为，F 430xy +=35d ==由可得，当且仅当点时，430314x y y x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩1225x ⎛=∈ ⎝1216,2525M ⎛⎫- ⎪⎝⎭取最小值，故D 正确.FA FB+ 65故选：BCD【点睛】方法点睛:圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略:(1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围;(2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;(3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;(4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;(5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.三、填空题13．已知直线与曲线相切，则m 的值为______．32y x m =-1ln 2y x x =+【答案】1【分析】求出函数的导数，设切点为，利用导数的几何意义求出切点坐标，代1ln 2y x x =+00(,)x y 入切线方程，即可求得答案.【详解】由题意，可得，1ln 2y x x=+112y x '=+直线与曲线相切，设切点为，32y x m =-1ln 2y x x=+00(,)x y 则，则，00113,122x x +=∴=00011ln 22y x x =+=即切点为，将该点坐标代入，可得，1(1,)232y x m =-1m =故答案为：114．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一X ()2110,10N 个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，ξ90110ξ<≤A 80100ξ<≤B 则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果用分数表示）A B ()P B A =附参考数据：；；()0.68P X μσμσ-<≤+=()220.95P X μσμσ-<≤+=．()330.99P X μσμσ-<≤+=【答案】2795【分析】计算出和，然后利用条件概率公式可得出的值.()P AB ()P A ()()()P AB P B A P A =【详解】由题意可知，，事件为，，，110μ=10σ=AB 90100ξ<≤902μσ=- 100μσ=-所以，()()()901002P AB P P ξμσξμσ=<≤=-<≤-，()()220.950.682722200P X P X μσμμσμσσ-<≤+-=+=-<≤-=，()()()()95901102222200P A P P P X ξμσξμμσμσ=<≤=-<≤=-≤+=<由条件概率公式得，故答案为.()()()27200272009595P AB P B A P A ==⋅=2795【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布原则计算概率，解题时要将相应的3σ事件转化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题.15．函数的最小值为______．()|1|ln f x x x=--【答案】0【分析】求出函数定义域，对分段去绝对值，当时，分析函数的单调性；当时，利用x 01x < 1x >导数分析函数的单调性并求最小值，即可得到的最小值．()f x 【详解】解：函数的定义域为．()|1|ln f x x x=--(0,)+∞当时，，此时函数在上为减函数，01x < ()1ln f x x x=--()f x (]0,1当时，，1x >()|1|ln 1ln f x x x x x=--=--则，所以在上单调递增，11()10x f x x x -'=-=>()f x ()1,+∞在上是连续函数，()f x (0,)+∞当时，单调递减，当时，单调递增．∴(]0,1x ∈()f x ()1,x ∈+∞()f x 当时取得最小值为．∴1x =()f x ()()min 111ln10f x f ==--=故答案为：0．16．已知函数，数列满足，给出下列两个()[)32(0),1,f x x mx m x ∞=-+>∈+{}n a (),N n a f n n +=∈条件：①函数是递减函数；②数列是递减数列.试写出一个满足条件②但不满足条件①()f x {}n a 的函数的解析式：__________.()f x ()f x =【答案】（答案不唯一，均可）322x x -+37,23m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【分析】若函数是递减函数，则恒成立，由此可得不是递减函数的条件为()f x ()0f x '≤()f x ，后结合任意，函数，，可得满足题意的的范围.32m >1n ≥N n +∈()()1f n f n +<m 【详解】若函数是递减函数，则在恒成立.()f x ()0f x '≤[)1,x ∞∈+则.()m 2in 333320222x x f x x mx m m ⎛⎫'=-+≤⇒≤⇒≤= ⎪⎝⎭则若在上不是递减函数，可得；()f x [)1,x ∞∈+32m >数列是递减数列，等价于对任意，函数，，{}n a 1n ≥N n +∈()()1f n f n +<又，，则在上单调递减.()233f x x x m ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭213m >()f x 23,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭则可使满足：，则取即可满足②，不满足①.m ()()2233731482312mm m m m f f ⎧<<⎧⎪⇒⇒<<⎨⎨->-⎩⎪>⎩2m =故答案为：（答案不唯一，均可）322x x -+37,23m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭四、解答题17．已知函数，.()()322113f x x ax a x b =-+-+(),R a b ∈(1)若为的极小值点，求的值；1x =()f x a (2)若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值.()y f x =()()1,1f 30x y +-=()f x []2,4-【答案】(1)0a =(2)8【分析】（1）求导，根据导数判断极值情况，进而确定参数值；（2）求导，根据导数的几何意义可得切线方程，进而确定参数值及最值情况.【详解】（1），()()322113f x x ax a x b =-+-+则，()2221f x x ax a '=-+-为的极小值点，1x = ()f x ，解得或，()2120f a a '∴=-=0a =2当时，，0a =()21f x x '=-令，解得，()210f x x '=-=1x =±x(),1-∞-1-()1,1-1()1,+∞()f x '+0-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增此时是的极小值点；1x =()f x 当时，，2a =()243f x x x =-+'令，解得或，()2430f x x x '=-+=1x =3x =x(),1-∞1()1,33()3,+∞()f x '+0-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增此时是的极大值点，不成立；1x =()f x 所以；0a =（2）在上，()()1,1f 30x y +-=，()12f ∴=在上，()1,2∴()y f x =，21213a a b=-+-+∴又，()11f '=-，21211a a ∴-+-=-解得，，1a =83b =，，()321833f x x x ∴=-+()22f x x x '=-令，解得或，()220f x x x '=-=0x =2x =x[)2,0-0()0,22(]2,4()f x '+0-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增，，，，()803f =()423f =()24f -=-()48f =所以函数在区间上的最大值为．()f x []2,4-818．已知数列，满足：，，.{}n a {}n b 1121a b +=1342n n n b a a +=-13224nn n a b b +=-(1)求证：数列是等比数列；{}2n n a b +(2)若___________（从下列三个条件中任选一个），求数列的前项和.①；②{}n a n n S 1121a b -=；③.218b =-2221a b -=【答案】(1)证明见解析(2)2122n n n S +=-【详解】（1）证明：因为，1133,24224n n n n n n b a a a b b ++=-=-所以，()113312242242n n n n n n n n b a a b a b a b +++=-+-=+所以，112122n n nn a b a b +++=+又因为，所以数列是首项为1公比为的等比数列；1121a b +={}2nn a b +12（2）由（1）知，1122n n n a b -+=又因为，1133224224n n n n n n n nb a a b a b a b ++-=--+=-所以数列为常数列.{}2n n a b -若选条件①或③，均可得，21n n a b -=所以，所以.1122n n a =+2122nn n S +=-若选②，因为，所以，又因为，2113,2824nn n a b b b +=-=-11311244b a -=-1121a b +=所以，所以，所以，所以.111,0a b ==1121a b -=1122n n a =+2122nn n S +=-19．已知四棱锥中，平面，，，，P ABCD -PA ⊥ABCD AD BC ∥BC AB ⊥12AB AD BC ==，BD =PD =(1)求直线与平面所成角的正弦值；PC PBD (2)线段上是否存在一点M ，使得平面？若存在，请指出点M 的位置；若不存在，请PB CM ⊥PBD 说明理由．【答案】(1)49(2)不存在点M ，理由见解析【分析】（1）求出相关线段的长，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面的一个法PBD 向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案；（2）假设存在满足条件的点M ，表示出其坐标，利用向量的垂直列出方程，根据方程解的情况可得出结论.【详解】（1）因为，BC ⊥AB ，所以AD ⊥A B ．AD BC ∥又因为，，所以 ．12AB AD BC ==BD =1,2AB AD BC ===因为平面，平面，平面，PA ⊥ABCD AB ⊂ABCD AD ⊂ABCD所以．又．,PA AB PA AD ⊥⊥PD =2PA ==以A 为坐标原点，以所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,,AB AD AP则，，，．(1,0,0)B (1,2,0)C (0,1,0)D (0,0,2)P所以，，．(1,2,2)PC =-(1,1,0)BD =- (1,0,2)BP =- 设平面的法向量为，PBD (,,)n x y z =则，即，得，00BD n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩12y x z x =⎧⎪⎨=⎪⎩令，可得平面的一个法向量为．2x =PBD (2,2,1)n =设直线与平面所成的角为，，PC PBD θπ[0,]2θ∈则，4sin |cos ,9PC n θ=〈〉= 所以直线与平面所成角的正弦值为．PC PBD 49另解：如图，连接AC ．因为，BC ⊥AB ，所以AD ⊥AB ．AD BC ∥因为，，所以．12AB AD BC ==BD =1,2AB AD BC ===因为BC ⊥AB ，所以AC ==因为平面，平面，平面，平面，PA ⊥ABCD AB ⊂ABCD AC ⊂ABCD AD ⊂ABCD 所以．,,PA AB PA AC PA AD ⊥⊥⊥因为，所以，2PA ==3PC ==PB ==所以，．1322PBDS ==△1121122BCD S BC AB =⨯⨯=⨯⨯=△设点C 到平面的距离为h ，PBD 由，得，即，解得．P BDC C PBD V V --=1133BCD PBD PA S h S ⨯⨯=⨯⨯△△11321332h ⨯⨯=⨯⨯43h =设直线 与平面所成的角为，，则．PC PBD θπ[0,2θ∈4sin 9h PC θ==所以直线与平面所成角的正弦值为．PC PBD 49（2）不存在点M ，理由如下：假设存在满足条件的点M （如图）．可设，，所以，(,0,2)BM BP λλλ==-[0,1]λ∈(1,0,2)M λλ-所以．(,2,2)CM λλ=--又由（1）知为平面的一个法向量，所以，(2,2,1)n = PBD CM n ∥即，无解．22221λλ--==所以线段PB 上不存在满足条件的点M ．另解：不存在点M ，理由如下：假设存在满足条件的点M ，由平面，平面，平面，得，且，CM ⊥PBD PB ⊂PBD BD ⊂PBD CM PB ⊥CM BD ⊥因为平面，平面，所以．PA ⊥ABCD BC ⊂ABCD PA BC ⊥因为，且，平面，平面，BC AB ⊥PA AB A = PA ⊂PAB AB ⊂PAB 所以平面．又平面，所以．BC ⊥PAB PB ⊂PAB BC PB ⊥若存在满足条件的点M ，则点M 必与点B 重合．又与不垂直，所以线段上不存在满足条件的点M ．BC BD PB 20．区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术．区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2018年至2022年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列．现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表：年份20182019202020212022编号x12345企业总数量y （单位：千个）2.1563.7278.30524.27936.224(1)根据表中数据判断，与（其中e ＝2.71828…为自然对数的底数），哪一个回归方y a bx =+e dxy c =程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）(2)根据（1）的结果，求关于的回归方程；（结果精确到小数点后第三位）y x 附：线性回归方程中，，ˆˆˆybx a =+1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑ˆˆay bx =-参考数据：，，，ln z y = 5140.457i i i x z ==∑52155i i x ==∑5511113, 2.19655i i i i x x z z ======∑∑(3)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲133512公司获得“优胜公司”的概率最大？【答案】(1)适宜e dxy c =(2)0.7520.060ˆe x y -=(3)甲公司获得“优胜公司”的概率最大【分析】（1）根据增加速度逐渐变快即可得解；（2）对两边取自然对数，得，转化为线性相关，再利用最小二乘法求出线性e dxy c =ln ln y c dx =+回归方程，再转化为关于的回归方程即可；y x （3）对于首场比赛的选择分A ：甲与乙先赛；B ：甲与丙先赛；C ：丙与乙先赛，三种情况讨论，分别求出对应概率，即可得出结论.【详解】（1）根据表中数据可知增加的速度逐渐变快，所以回归方程适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；e dxy c =（2）对两边取自然对数，得，e dxy c =ln ln y c dx =+令，得,ln ,ln ˆˆˆ,z y a c b d === z a bx =+ 由于，，，5140.457i i i x z ==∑52155i i x ==∑5511113, 2.19655i i i i x x z z ======∑∑则，12221540.45753 2.1960.75255535ˆni ii nii x y x zb xx ==-⋅-⨯⨯==≈-⨯-∑∑，ˆˆ 2.1960.75230.060a z bx =-=-⨯=-∴关于的回归直线方程为，z x ˆ0.7520.060zx =-则关于的回归方程为；y x 0.7520.060ˆe x y -=（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A ：甲与乙先赛；B ：甲与丙先赛；C ：丙与乙先赛，由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，133512则甲公司获胜的概率分别是，131311113113()111353523325345P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯⨯+-⨯-⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31311331139()111535325523525P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯-⨯+-⨯⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1311131()12532355P C ⎛⎫=-⨯⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭由于，913125455>>∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大．21．过点的动直线与双曲线交于两点，当与轴平行时，()4,2l ()2222:10,0x y E a b a b -=>>,M N l x与轴平行时，MN =l y MN =(1)求双曲线的标准方程；E (2)点是直线上一定点，设直线的斜率分别为，若为定值，求点的坐P 1y x =+,PM PN 12,k k 12k k P 标．【答案】(1)22144x y -=(2)()3,4P 【分析】（1）根据与坐标轴平行的情况可得双曲线上的点的坐标，代入双曲线方程即可求得结果；l（2）方法一：由三点共线可整理得到，代入双曲线方程可整理得到()()12124121x x y y λλλλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，结合两点连线斜率公式可化简得到22122y x λ=-+，根据为常数可构造方程求得，进而得到()()()022002002022001231212223422x y x x x y x x x x y x x x k k ⎛⎫-+-- ⎪-+⎝⎭=⋅-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭12k k 0x 点坐标，验证可知符合题意；P 方法二：设，与双曲线方程联立可得一元二次方程，根据该方程的根可()():420MN y k x k =-+≠化简得到，同理可得()()()()2220001024241x k x k x x x x --+-=---⎡⎤⎣⎦，由此可化简得到()()()()222220001022441y k k y k k y y y y -+--=---，由为常数可构造方程求得点坐标，验证可知()()()()2220012222012816448164168y k y k y y k k x x k x k x -++-+-+=-+-+-++-12k k P 当直线斜率为和斜率不存在时依然满足题意，由此可得结论.MN 0【详解】（1）由题意可知：双曲线过点，，()2222:10,0x y E a b a b-=>>()2±(4,±将其代入方程可得：，解得：，222284116121a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩2244a b ⎧=⎨=⎩双曲线的标准方程为：.∴E 22144x y -=（2）方法一：设，()()1122,,,M x y N x y 点与三点共线，， ()4,2,M N 12122244y y x x --∴=--（其中，），，()()12124422x x y y λλ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩R λ∈0λ≠()()12124121x x y y λλλλ⎧=+-⎪∴⎨=+-⎪⎩，又，()()222241214x y λλλλ⎡⎤⎡⎤∴+--+-=⎣⎦⎣⎦22224x y -=整理可得：，()()2212420x y λλλλ--+-=当时，，，不合题意；1λ=12x x =12y y =当时，由得：，1λ≠222420x y λλλ-+-=22122y x λ=-+设，则，()00,P x y 001y x =+()()102012102011y x y x k k x x x x -+-+∴⋅=⋅--()()()22220202202220222211243222y y x x x y x y x x x y x x ⎛⎫-+--++ ⎪-+⎝⎭=⋅-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭，()()()0220020020220031212223422x y x x x y x x x x y x x x ⎛⎫-+-- ⎪-+⎝⎭=⋅-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭若为定值，则根据约分可得：且，解得：；12k k 000121x x x --=-00114222x x x --=--03x =当时，，此时；03x =()3,4P 22122226441322x y k k x y --=⋅=--当时，为定值.∴()3,4P 124k k =方法二：设，直线，()()()112200,,,,,M x y N x y P x y ()():420MN y k x k =-+≠由得：，()22424y k x x y ⎧=-+⎨-=⎩()224240x k x ⎡⎤--+-=⎣⎦为方程的两根，12,x x ()224240x k x ⎡⎤--+-=⎣⎦，()()()()222124241x k x k x x x x ⎡⎤∴--+-=---⎣⎦则，()()()()2220001024241x k x k x x x x --+-=---⎡⎤⎣⎦由得：，()42y k x =-+24y x k -=+由可得：，22244y x k x y -⎧=+⎪⎨⎪-=⎩222440y y k -⎛⎫+--= ⎪⎝⎭同理可得：，()()()()222220001022441y k k y k k y y y y -+--=---则()()()()()()()()()()201020102122121211k y y y y y y y y k k x x x x k x x x x -----==-----()()2222002200244424y k k y k x k x -+--=--+-⎡⎤⎣⎦，()()()()2220222012816448164168y k y k y y x x k x k x -++-+-+=-+-+-++-若为定值，则必有，12k k 22000022000012816448164168y y y y x x x x -+--+==-+--+-解得：或或，0034x y =⎧⎨=⎩00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又点在直线上，点坐标为；P 1y x =+∴P ()3,4当直线斜率为时，坐标为，若，MN 0,M N ()2±()3,4P此时；124k k ==当直线斜率不存在时，坐标为，若，MN ,M N (4,±()3,4P此时；124k k ==综上所述：当时，为定值.()3,4P 124k k =【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线中的定点定值问题的求解，本题求解的基本思路是能够利用直线与双曲线相交的位置关系确定两交点横纵坐标所满足的等量关系，进而通过等量关系化简所求的，根据为常数来构造方程求得定点的坐标.12k k 12k k 22．已知函数．()ln 2R af x x a x =+-∈()(1)讨论的单调性；()f x (2)若方程有两个不同的实数根，求的取值范围．()2af x ax x =+a 【答案】(1)答案见解析(2)510,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）对求导，分类讨论和时的正负，即可得出的单调性；()f x 0a ≤0a >()f x '()f x （2）解法一：“方程有两个不同的实数根”等价于“函数有两个零()2af x ax x =+()2ln 2g x x ax =--点”．对求导，讨论的单调性和最值，即可得出答案；解法二：由方程得()g x ()g x ()2a f x ax x =+，转化为与的图象有两个交点，对求导，得出的单调性和2ln 2x a x -=()2ln 2x k x x -=y a =()k x ()k x最值即可得出答案.【详解】（1）由条件知，，()2211x af x a x x x -⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭0x >当时，在上恒成立，所以在单调递增．0a ≤()0f x ¢>()0,∞+()f x ()0,∞+当时，令，得，令，得，0a >()0f x '<x a <()0f x ¢>x a >所以在上单调递减，在上单调递增．()f x ()0,a (),a +∞（2）解法一：由方程得，“方程有两个不同的实数根”()2a f x ax x =+2ln 20x ax --=()2a f x ax x =+等价于“函数有两个零点”．()2ln 2g x x ax =--，．()21122ax g x ax x x -='=-0x >①当时，，在上是增函数，最多只有一个零点，不符合题意；0a ≤()0g x '>()g x ()0,∞+②当时，由得0a >()0g x '=x =当时，，在上单调递增，当，在0x <<()0g x '>()g x ⎛ ⎝x>()0g x '<()g x 上单调递减．⎫+∞⎪⎭（ⅰ）若，则，最多只有一个零点；512e a ≥()502gx g ≤=≤（ⅱ）若，且，，512e a ≤52e 1>>0g >()120g a =--<所以在区间内有一个零点．()g x ⎛⎝令函数，则，．()ln 1h x x x =-+()11h x x '=-0x >当时，，在上是增函数；01x <<()0h x '>()h x ()0,1当时，，在上是减函数.1x >()0h x '<()h x ()1,+∞所以，故．()()10h x h ≤=ln1x x ≤-所以，又，1111ln 21230g a a a a ⎛⎫=--<--=-< ⎪⎝⎭1a>所以在区间内有一个零点．()gx 1a ⎫⎪⎭综上可知：当时，有两个零点，即方程有两个不同的实数根，5102e a <<()g x ()2a f x ax x =+故a 的取值范围为．510,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭解法二：由方程得．()2af x ax x =+2ln 2x a x -=设函数，则，．()2ln 2x k x x -=()()24312ln 252ln x x x x x k x x x ⋅---=='0x >令，得，设，()0k x '=52e x =520ex =则当时，，当时，，00x x <<()0k x '>0x x >()0k x '<所以在上单调递增，在上单调递减，()k x ()00,x ()0,x +∞所以的极大值也就是最大值为，()k x ()0512e k x =且当，x 趋近于0时，趋近于负无穷，当趋近于正无穷时，，且趋近于0x >()k x x ()0k x >()k x 0．方程有两个不同的实数根，转化为直线与的图象有两个交点，()2af x ax x =+y a =()y k x =结合函数图象可知a 的取值范围是．510,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
高二数学下学期期中考试试卷含答案
高二数学下学期期中考试试卷含答案高二下学期数学期中考试试卷（含答案）时量：120分钟满分：150分一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1.已知全集 $U=R$，集合 $M=\{x|x<1\}$，$N=\{y|y=2x,x\in R\}$，则集合 $\complement_U (M\cup N)$ =（）A。
$(-\infty。
-1]\cup [2,+\infty)$B。
$(-1,+\infty)$C。
$(-\infty,1]$D。
$(-\infty,2)$2.曲线 $f(x)=2x-x^2+1$ 在 $x=1$ 处的切线方程为（）A。
$5x-y-3=0$B。
$5x-y+3=0$C。
$3x-y-1=0$D。
$3x-y+1=0$3.已知函数 $f(x)=\sin(\omegax+\frac{\pi}{3})(\omega>0,0<\frac{\pi}{3}<\omega<\frac{\pi}{2 })$ 的图象与直线 $y=1$ 的交点中相邻两点之间的距离为$2\pi$，且函数 $f(x)$ 的图象经过点 $(\frac{\pi}{6},0)$，则函数 $f(x)$ 的图象的一条对称轴方程可以为（）A。
$x=\frac{\pi}{6}$B。
$x=\frac{\pi}{4}$C。
$x=\frac{\pi}{3}$D。
$x=\frac{\pi}{2}$4.函数 $f(x)=\frac{e^x-1}{x(x-3)}$ 的图象大致是（）A.图略]B.图略]C.图略]D.图略]5.在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为$a,b,c$，$C=120^\circ$，若 $b(1-\cos A)=a(1-\cos B)$，则$A=$（）A。
$90^\circ$B。
$60^\circ$C。
$45^\circ$D。
北京市2023-2024学年高二下学期期中测试数学试卷含答案
北京市2023～2024学年第二学期高二数学期中测试（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第2页至第6页，答题纸第1页至第3页．共150分，考试时间120分钟．请在答题纸上侧密封线内书写班级、姓名、准考证号．考试结束后，将本试卷的答题纸交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）1.函数1()f x x =在3x =处的瞬时变化率为（）A.3- B.9- C.13-D.19-【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 在3x =处的导数值即得.【详解】由1()f x x =，求导得21()f x x'=-，所以1(3)9f '=-.故选：D2.设函数()y f x =的导函数图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.()exf x = B.()ln f x x=C.()e xf x x =⋅ D.()ln f x x x=⋅【答案】D 【解析】【分析】由图象可得导函数的定义域及单调性，再逐项求导并判断得解.【详解】观察图象知，函数()y f x =的导函数定义域为(0,)+∞，且在(0,)+∞上单调递增，有一个正零点，对于A ，()e x f x '=，其定义域为R ，无零点，不符合题意，A 不是；对于B ，()ln f x x =定义域为(0,)+∞，求导得1()f x x'=，函数()f x '在(0,)+∞上单调递减，不符合题意，B 不是；对于C ，()(1)e x f x x '=+定义域为R ，而零点为1-，不符合题意，C 不是；对于D ，函数()ln f x x x =⋅定义域为(0,)+∞，()1ln f x x '=+在(0,)+∞上单调递增，有唯一零点1ex =，符合题意，D 是.故选：D3.设ξ的分布列如表所示，又设25ηξ=+，则()E η等于（）ξ1234P16161313A.76B.176C.173D.323【答案】D 【解析】【分析】根据分布列求出()E ξ，再根据期望的性质计算可得.【详解】解：依题意可得111117()123466336E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以1732()(25)2()52563E E E ηξξ=+=+=⨯+=．故选：D ．4.已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则（）A.()()2sin f x f x x '+=B.()()2cos f x f x x '+=C.()()2sin f x f x x -'-=D.()()2cos f x f x x-'-=【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的求导公式结合导数的加法运算法则即可得出答案.【详解】解：因为()sin cos f x x x =+，所以()cos sin f x x x '=-，所以()()2cos f x f x x '+=，()()2sin f x f x x '-=.故选：B.5.从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是()A.25B.12C.35D.34【答案】D 【解析】【分析】设事件i A 为“第i 次抽到偶数”，i ＝1，2，则所求概率为()()()12211n A A P A A n A =∣【详解】设事件i A 为“第i 次抽到偶数”，i ＝1，2，则事件“在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数”的概率为：()()()1122321124111C C 3C C 4n A A P A A n A ===∣.故选：D.6.某校高二年级计划举办篮球比赛，采用抽签的方式把全年级10个班分为甲、乙两组，每组5个班，则高二（1）班、高二（2）班恰好都在甲组的概率是（）A.14B.29C.49D.12【答案】B 【解析】【分析】利用概率的古典概型计算公式结合组合的应用即可求得结果.【详解】易知将10个班分为甲、乙两组共有510C 种分组方式，其中高二（1）班、高二（2）班恰好都在甲组的情况共有38C 种，所以高二（1）班、高二（2）班恰好都在甲组的概率是38510C 2C 9P ==.故选：B7.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【解析】【详解】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A ．考点：次独立重复试验．8.设函数()324f xax bx x =++的极小值为－8，其导函数()y f x ='的图象过点（－2，0），如图所示，则()f x ＝（）A.32243x x x --+ B.3224x x x --+C.34x x -+ D.3224x x x-++【答案】B 【解析】【分析】由题设2()324f x ax bx '=++，根据所过的点可得31b a =+，结合图象求出极小值点并代入()f x 求参数，即可得解析式，注意验证所得参数是否符合题设.【详解】由题设，2()324f x ax bx '=++，则(2)12440f a b '-=-+=，故31b a =+，所以2()32(31)4(32)(2)f x ax a x ax x '=+++=++，令()0f x '=，可得2x =-或23x a=-，由图知：a<0且2x =-处有极小值，所以8488a b -+-=-，即1a =-，2b =-，经验证满足题设，故32()24f x x x x =--+.故选：B9.一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为13，而乱猜时，4个答案都有机会被他选择，则他答对正确答案的概率是（）A.13B.512C.12D.712【答案】C【分析】依题意分两种情况对答对正确答案进行讨论，再利用全概率公式计算可得结论.【详解】根据题意可设“知道正确答案”为事件A ，“他答对正确答案”为事件B ；易知()()13P AB P A ==；而()()()()6141123P AB P A P B =-=⨯=；因此他答对正确答案的概率是()()()216131P B P AB P AB =+=+=.故选：C10.设P 为曲线e x y =上一点，Q 为曲线ln y x =上一点，则|PQ |的最小值为（）A.2B.1C.D.2【答案】C 【解析】【分析】由导数求出两曲线的切线【详解】e x y =，e x y '=，0x =时，1y '=，1y =，所以1y x =+是e x y =图象的一条切线，切点为(0,1)，ln y x =，1y x'=，1x =时，1y '=，0y =，所以1y x =-是ln y x =的图象的一条切线，切点为(1,0)，10101k -==--，这两条切线平行，两切点连线恰好与切线垂直，|PQ |的最小值即为两切点间的距离．所以min PQ =，故选：C ．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11.设函数()ln xf x x=，则(1)f '=___．【答案】1【解析】【分析】求出函数的导函数，代入计算可得；【详解】解：因为()ln x f x x =，所以()21ln x f x x -'=，所以()21ln1111f -'==；故答案为：112.某不透明纸箱中共有8个小球，其中2个白球，6个红球，它们除颜色外均相同．一次性从纸箱中摸出4个小球，摸出红球个数为X ，则()E X =______．【答案】3【解析】【分析】根据给定条件，可得X 服从超几何分布，再利用超几何分布的期望公式计算即得.【详解】依题意，摸出红球个数X 服从超几何分布，63,484p n ===，所以()3==E X np .故答案为：313.已知随机变量X 的分布列如下：X012Pp0.6若() 1.2E X =，则p =______；当p =______时，()D X 最大．【答案】①.0.1##110②.0.2##15【解析】【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，期望公式计算得p 值；利用方差与期望的关系建立关于p 的函数，探讨函数的最大值即可.【详解】由() 1.2E X =，得010.62(0.4) 1.2p p ⨯+⨯+⨯-=，因此0.1p =；依题意，() 1.42E X p =-，2222()010.62(0.4) 2.24E X p p p =⨯+⨯+⨯-=-，因此()()()()()()2222 2.24 1.4240.20.4D X E X E Xp p p =-=---=--+，则当0.2p =时，()D X 取得最大值.故答案为：0.1；0.214.李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A 商品获利8元．现计划在“五一”期间对A 商品进行广告促销，假设售出A 商品的件数m （单位：万件）与广告费用x （单位：万元）符合函数模型231m x =-+．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x 应投入_______万元．【答案】3【解析】【分析】设李明获得的利润为()f x 万元，求出()f x 关于x 的表达式，利用基本不等式可求得()f x 的最小值及其对应的x 的值.【详解】设李明获得的利润为()f x 万元，则0x ≥，则()()2161688324251252111f x m x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=--=--=-+≤- ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦25817=-=，当且仅当1611x x +=+，因为0x ≥，即当3x =时，等号成立.故答案为：3.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15.函数()e ln kxf x x =⋅（k 为常数）的图象可能为______．（选出所有可能的选项）①②③④【答案】①②③【解析】【分析】求导可得()1e ln kxf x k x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭'，并构造函数()1ln g x k x x=+，对参数k 的取值进行分类讨论并得出函数()g x 的最值，进而求得函数()f x 的单调性，即可求得结论.【详解】易知函数()e ln kxf x x =⋅的定义域为()0,∞+，则()1e ln kxf x k x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭'，令()1ln g x k x x =+，可得()2211k kx g x x x x='-=-；显然当0k =时，()ln f x x =，没有对应函数图象；因此0k ≠，当0k <时，易知()210kx g x x -'=<在()0,∞+恒成立，可知()1ln g x k x x=+在()0,∞+上单调递减，易知()110g =>，即()10f '>；当x 趋近于+∞时，()1ln g x k x x=+趋近于-∞；即存在()01,x ∞∈+，使得()00g x =，也即()00f x '=;所以当()00,x x ∈时，()00f x '>，此时()f x 单调递增，当()0,x x ∞∈+时，()00f x '<，此时()f x 单调递减，又易知()10f =，且1x >时()0f x >，1x <时()0f x <，此时图象可能为③；当0k >时，令()210kx g x x -'==，解得1x k=；当10,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，此时()g x 在10,k ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1,x k ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()0g x '>，此时()g x 在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增；即()()min 11ln 1ln g x g k k k k k k ⎛⎫==+=-⎪⎝⎭，若0e k <≤时，()()min 1ln 0g x k k =-≥，即()1e ln 0kxf x k x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭'恒成立，此时函数()f x 单调递增，且()10f =，此时图象可能为①；若e k >时，()()min 1ln 0g x k k =-<，即存在两个实数根12,x x ，且()12,0,1x x ∈满足()1ln 0g x k x x=+=，不妨取()120,1x x <∈，因此可得当()10,x x ∈时，()0g x '>，此时()g x 在()10,x 上单调递增；当()12,x x x ∈时，()0g x '<，此时()g x 在()12,x x 上单调递减；当()2,x x ∞∈+时，()0g x '>，此时()g x 在()2,x ∞+上单调递增；且()10f =，因此图象可能为②.由于()0f x =时，1x =，函数不可能有2个零点，故④不可能，故答案为：①②③【点睛】关键点点睛：本题关键在于对函数()f x 求导，构造函数并对参数k 的取值进行分类讨论，进而得出函数单调性即可得出结论.三、解答题：（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16.已知函数32()324f x x x x=+-（1）求()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）1550x y ++=；（2）单调递增区间是(,4),(2,)-∞-+∞，单调递减区间是(4,2)-.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即得.（2）由（1）的导函数，解导函数大于0，小于0的不等式即可.【小问1详解】函数32()324f x x x x =+-，求导得2()3624f x x x '=+-，则(1)15f '=-，而(1)20f =-，所以()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为2015(1)y x +=--，即1550x y ++=.【小问2详解】函数32()324f x x x x =+-的定义域为R ，由（1）得)()34((2)f x x x +'=-，由()0f x '>，得<4x -或2x >，由()0f x '<，得42x -<<，所以函数()f x 的单调递增区间是(,4),(2,)-∞-+∞，单调递减区间是(4,2)-.17.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．（1）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X 表示这2名学生中获奖的人数，求X 的分布列和数学期望EX ；（3）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为0p ；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为1p ；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为2p ，试比较0p 与122p p +的大小．（结论不要求证明）【答案】（1）1240（2）分布列见解析，期望12EX =（3）1202p p p +>【解析】【分析】（1）直接计算概率11102511200300C C ()C C P A =；（2）X 的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；（3）计算出01350p =，12124p p +=，比较大小即可.【小问1详解】设事件A 为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获一等奖”，则11102511200300C C 1()C C 240P A ==，【小问2详解】随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.记事件B 为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,事件C 为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件B ,C 相互独立,且()P B 估计为1015151,()2005P C ++=估计为252540330010++=.所以1328(0)()()()1151050P X P BC P B P C ⎛⎫⎛⎫====-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,131319(1)()()()()()1151051050P X P BC BC P B P C P B P C ⎛⎫⎛⎫==⋃=+=⨯-+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,133(2)()()()51050P X P BC P B P C ====⨯=.所以X 的分布列为X012P28501950350故X 的数学期望()2819310125050502E X =⨯+⨯+⨯=【小问3详解】1202p p p +>，理由：根据频率估计概率得04090135250050200p +===，由（2）知115p =，2310p =，故1213150510224200p p ++===，则1202p p p +>.18.为了解甲、乙两厂的产品质量，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取了几件测量产品中的微量元素x 的含量（单位：毫克）．规定微量元素x 的含量满足：160170x ≤<（单位：毫克）为优质品．甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表如下：含量频数[)150,1551[)155,1602[)160,1654[)165,1702[]170,1751（1）从乙厂抽取的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中优质品数ξ的分布列及其数学期望；（2）从甲乙两厂的产品中各随机抽取2件，求其中优质品数之和为2的概率；（3）在（2）的条件下，写出甲乙两厂的优质品数之和η的数学期望．（结论不要求证明）【答案】（1）分布列见解析，65（2）37100；（3）115.【解析】【分析】（1）求出ξ的可能值及对应的概率，列出分布列并求出数学期望.（2）利用频率估计概率，求出甲乙厂产品中优质品率，再分别求出抽出的2件产品中优质品数的概率，进而求出优质品数和为2的概率.（3）由（2）的信息求出η的分布列及数学期望.【小问1详解】乙厂抽取的10件产品中优质品数有6件，ξ的可能取值为0,1,2，11224664222101010C C C C 281(0),(1),(0)C 15C 15C 3P P P ξξξ=========，所以ξ的分布列为：ξ012P21581513数学期望为2816()012151535E ξ=⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】记甲乙两厂的优质品数分别为,X Y ，由样本频率估计：甲厂产品中优质品率为12，乙厂产品中优质品率为35，21221111111(0)(1),(1)C (1),(2)()2422224P X P X P X ==-===⋅⋅-====，()212234331239(0)(1),(1)C (1,2(5255525525P Y P Y P Y ==-===⋅⋅-====，(2)(0,2)(1,1)(2,0)P X Y P X Y P X Y P X Y +====+==+==191121437425225425100=⨯+⨯+⨯=，所以优质品数之和为2的概率为37100.【小问3详解】由（2）知，η的可能值为0,1,2,3,4，14111214137(0),(1),(2)425254252255100P P P ηηη==⨯===⨯+⨯===，191123199(3),(4)22542510425100P P ηη==⨯+⨯===⨯=，所以η的数学期望11373911()01234255100101005E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.已知函数()1e xaxf x +=（1）当13a =-时，求()f x 的极值；判断此时()f x 是否有最值，如果有请写出最值（结论不要求证明）（2）若()f x 是单调函数，求a 的取值范围．【答案】（1）()f x 的极小值为413e -，无极大值；最小值为413e-，无最大值；（2）{}0【解析】【分析】（1）求函数()f x 求导，代入13a =-得出函数()f x 在定义域内的单调性可得()f x 在4x =处取得极小值()4143e f =-，也是最小值；（2）对参数a 的取值范围进行分类讨论，得出不同情况下的单调性，满足()f x 是单调函数即可得出结论.【小问1详解】易知()f x 的定义域为R ，由()1exaxf x +=可得()()()2e 1e 1e e x xxxa ax a axf x -+--=='，当13a =-时，()111433e 3ex xxx f x --+-=='，令()0f x '=可得4x =；因此当(),4x ∞∈-时，()0f x '<，此时()f x 在(),4∞-上单调递减，当()4,x ∞∈+时，()0f x '>，此时()f x 在()4,∞+上单调递增，因此可得()f x 在4x =处取得极小值()4143ef =-；所以()f x 的极小值为413e -，无极大值；根据极值与最值得关系可得，此时()f x 在4x =处也取得最小值413e -，无最大值；【小问2详解】由（1）可知，()1e xa axf x '--=，显然当0a =时，()10ex f x '-=<恒成立，此时()f x 为R 上单调递减函数，满足题意；当0a ≠时，令()10e x a axf x --'==，解得1a x a-=；由一次函数1ax y a -=+-的性质可知，当0a >时，1ax y a -=+-为单调递减，若1,a x a ∞-⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 为1,a a ∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增函数；若1,a x a ∞-⎛⎫∈+⎪⎝⎭，()0f x '<，此时()f x 为1,a a ∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减函数；显然此时()f x 不是单调函数，不满足题意；当a<0时，1ax y a -=+-为单调递增，若1,a x a ∞-⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '<，此时()f x 为1,a a ∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减函数；若1,a x a ∞-⎛⎫∈+⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 为1,a a ∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增函数；显然此时()f x 不是单调函数，不满足题意；综上可知，0a =;即a 的取值范围为{}0.20.已知函数()(m )e ,x f x x m R =-∈，.（1）若2m =，求()f x 在区间[1,2]-上的最大值和最小值；（2）设()()=g x x f x ，求证：()g x 恰有2个极值点；（3）若[2,1]x ∀∈-，不等式e 2x k x ≥+恒成立，求k 的最小值.【答案】（1）()()max min e,0f x f x ==.（2）证明见解析（3）min ek =【解析】【分析】（1）求得()(1)e x f x x '=-，令()0f x '=，可得1x =，求得函数的单调区间，结合极值的概念与计算，即可求解；（2）求得2()[(2)]e x g x x m x m '=----，结合0∆>，得到方程2(2)0x m x m ---=有两个不同的根，结合极值点的定义，即可求解；（3）根据题意转化为[2,1]x ∀∈-，不等式2e x x k +≥恒成立，设2()xx h x +=e，利用导数求得函数()h x 的单调性与最大值，即可求解.【小问1详解】解：由函数()(2)e x f x x =-，可得()(1)e x f x x '=-，令()0f x '=，可得1x =，则()(),,x f x f x '的关系，如图下表：x1-(1,1)-1(1,2)2()f x '+0-()f x 3(1)ef -=极大值(1)ef =(2)0f =综上可得，函数max min ()(1),()(2)0f x f e f x f ====.【小问2详解】解：由函数2()()()x g x xf x mx x e ==-，可得22()(2)e [(2)]e x x g x mx x m x x m x m '=-+-=----，因为22(2)440m m m ∆=-+=+>，所以方程2(2)0x m x m ---=有两个不同的根，设为12,x x 且12x x <，则有x1()x -∞，1x 12()x x ，2x 2(,)x ∞+()g x '-0+0-()g x极小值极大值综上可得，函数()g x 恰有2个极值点.【小问3详解】解：因为e 0x >，所以[2,1]x ∀∈-，不等式2e xx k +≥恒成立，设2()xx h x +=e，可得2(2)(1)()x x x x e x e x h x e e -+--'==，所以()(),,x h x h x '的关系，如图下表：x 2-(2,1)--1-(1,1)-1()h x '+0-()h x (2)0h -= 极大值(1)eh -=3(1)eh =所以max ()(1)e k h x h ≥=-=，所以实数k 的最小值为e .【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．21.对任意正整数n ，记集合(){}121212,,,,,,,n nnn A a a a a a aa a a n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈++⋅⋅⋅+=N ，(){}121212,,,,,,,2n n n n B b b b b b b b b b n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈++⋅⋅⋅+=N ．()12,,,n n a a a A α=⋅⋅⋅∈，()12,,,n n b b b B β=⋅⋅⋅∈，若对任意{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅都有i i a b ≤，则记αβ<．（1）写出集合2A 和2B ；（2）证明：对任意n A α∈，存在n B β∈，使得αβ<；（3）设集合(){},,,n nnS A B αβαβαβ=∈∈<．求证：nS中的元素个数是完全平方数．【答案】（1）()()(){}22,0,0,2,1,1A =，()()()()(){}24,0,3,1,2,2,1,3,0,4B =（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合n A 与n B 的定义，写出集合2A 和2B 即可；（2）任取()12,,,n n a a a A α=⋅⋅⋅∈，令()121,1,,1n a a a β=++⋅⋅⋅+，只需证明n B β∈，即可证明结论成立；（3）通过集合n A 、n B 、n S 的定义，说明满足条件的解对()()()1212,,,,,,,nna a ab b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与方程12n x x x n ++⋅⋅⋅+=的两解组成对()()()1212,,,,,,,n n a a a z z z ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是一一对应的关系.进而证明n S 中的元素个数是完全平方数.【小问1详解】()()(){}22,0,0,2,1,1A =，()()()()(){}24,0,3,1,2,2,1,3,0,4B =【小问2详解】任取()12,,,n n a a a A α=⋅⋅⋅∈，令()121,1,,1n a a a β=++⋅⋅⋅+，则αβ<，同时1i a +∈N ，{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅且()1112n niii i a n an ==+=+=∑∑，则n B β∈，所以对任意n A α∈，存在n B β∈，使得αβ<；【小问3详解】设方程：12n x x x n ++⋅⋅⋅+=①，122n y y y n ++⋅⋅⋅+=②()12,,,n a a a ⋅⋅⋅是方程①的解，()12,,,n b b b ⋅⋅⋅是方程②的解；若()12,,,n a a a α=⋅⋅⋅，()12,,,n b b b β=⋅⋅⋅，αβ<，即()()()1212,,,,,,,nna a ab b b ⋅⋅⋅ 是一个满足条件的解对，令i i i z b a =-（1i =，2，…，n ），则122n z z z n n n ++⋅⋅⋅+=-=，则（1z ，2z ，…，n z ）是方程①的解，即当()()()1212,,,,,,,nna a ab b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是满足条件的解对时，()()()1212,,,,,,,nna a a z z z ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是方程①的一对解对；反之()()()1212,,,,,,,nna a a z z z ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是方程①的解时，令i i i b a z =+，则()()()1212,,,,,,,nna a ab b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是满足条件的解对．即满足条件的解对()()()1212,,,,,,,nna a ab b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与方程①的两解组成对()()()1212,,,,,,,nna a a z z z ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是一一对应的关系．所以满足条件解对个数2m m m ⨯=，即n S 中的元素个数是完全平方数．。
2022-2023学年北京市高二下学期期中练习数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市高二下学期期中练习数学试题一、单选题1．在等差数列中，，则的值为（ ）{}n a 456300a a a ++=46aa +A ．50B ．100C ．150D ．200【答案】D【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】因为数列为等差数列，所以，{}n a 4652a a a +=又因为，所以，456300a a a ++=46200a a +=故选：D.2．可以化简为（ ）()()*32113333N n f n n +=+++++∈ A ．B ．312n -1312n +-C ．D ．2312n +-3312n +-【答案】C【分析】根据等比数列求和公式计算可得.【详解】.()()322211133113333132n n n f n +++⨯--=+++++==- 故选：C3．已知随机变量，，那么（ ）()22,X N σ ()40.8P X ≤=()24P X ≤≤=A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.8【答案】B【分析】根据正态分布的性质计算可得.【详解】因为，所以，又，()22,X N σ ()20.5P X ≤=()40.8P X ≤=所以.()()()24420.80.50.3P X P X P X ≤≤=≤-≤=-=故选：B 4．已知，随机变量的分布列如下，当增大时（ ）103a <<ξaξ1-01Pa13a -23A ．增大，增大B ．减小，增大()E ξ()D ξ()E ξ()D ξC ．增大，减小D ．减小，减小()E ξ()D ξ()E ξ()D ξ【答案】B【解析】利用数学期望和方差公式得出关于的函数，根据函数单调性判断和的变化情a ()E ξ()D ξ况．【详解】解：，2(3)E a ξ=-当增大时，减小，∴a ()E ξ，22222117()()()()(522333339)3D a a a a a a a ξ=-++--++=-++在上随的增大而增大，()D ξ∴1(0,3a 故选：B ．【点睛】熟记期望和方差的公式，并能进行准确的运算，是求解的关键.5．已知某同学在高二期末考试中，A 和B 两道选择题同时答对的概率为，在A 题答对的情况下，23B 题也答对的概率为，则A 题答对的概率为89A ．B ．C ．D ．1 4341279【答案】B【分析】根据条件概率公式计算即可.【详解】设事件A ：答对A 题，事件B ：答对B 题，则，()()()23P AB P A P B =⋅=.()()()8|9P AB P B A P A ∴==.()34P A ∴=故选：B.【点睛】本题考查了条件概率的计算，属于基础题.6．在用数学归纳法证明的过程中，从“到”()()()()()*12213521N n n n n n n n +++=⋅⋅⋅-∈ k 1k +左边需增乘的代数式为（ ）A ．B ．22k +()()2122k k ++C ．D ．221k k ++()221k +【答案】D【分析】根据题意，分别得到和时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果.n k =1n k =+【详解】当时，左边，n k =(1)(2)()(1)(2)(2)A k k k k k k k =+++=++ 当时，左边，1n k =+()()()()()()23112322B k k k k k k k =+++++=+++ 则.(2)(3)(2)(21)(22)(21)(22)2(21)(1)(2)(2)1B k k k k k k k k A k k k k ++++++===++++ 故选：D.7．设函数在R 上可导，其导函数为，已知函数的图象如图所示，有下列()f x ()f x '(1)()y x f x '=-结论：①有极大值()f x ()2f -②在区间上是增函数()f x ()1,+∞③的减区间是；()f x ()2,-+∞④有极小值.()f x ()1f 则其中正确结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【分析】根据，的正负求出的正负，可得函数的单调性及极值，判断选项.1x -(1)()y x f x '=-()f x '【详解】当时，由的图象可知，所以，<2x -(1)()y x f x '=-0y >()0f x '>当时，由的图象可知，所以，2<<1x -(1)()y x f x '=-0y <()0f x '<当时，由的图象可知，所以，1x >(1)()y x f x '=-0y >()0f x '<即函数在上递增，在上单调递减，()f x (,2)-∞-(2,)-+∞所以有极大值.()f x ()2f -故①③正确，②④错误.故选：C8．函数的单调递增区间是（ ）2()e xf x x -=⋅A ．B ．()2,0-()(),2,0,-∞-+∞C ．D ．()0,2()(),0,2,-∞+∞【答案】C【分析】求得函数的导数，令，即可求解函数的递增区间.()(e 2)x x x f x --'=()0f x ¢>【详解】由题意，函数，可得，()22ee xxx f x x -=⋅=()(e 2)x x x f x --'=令，即，解得，()0f x ¢>(2)0x x -<02x <<所以函数的递增区间是.2e xy x -=⋅()0,2故选：C.9．已知是等比数列，则“”是“是增数列”的（ ）{}n a 124a a a <<{}n a A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据递增数列的定义并结合对项取值，可得结果【详解】由数列是等比数列，可假设，{}n a 12,2a q =-=-则，12342,4,8,16a a a a =-==-=可知，但数列不是递增数列，124a a a <<{}n a 若数列是递增等比数列，由定义可知，，故{}n a 124a a a <<“”是“是递增数列”的必要不充分条件124a a a <<{}n a 故选：B 10．设函数定义域为D ，若函数满足：对任意，存在，使得()f x ()f x c D ∈,a b D ∈成立，则称函数满足性质.下列函数不满足性质的是（ ）()()()f a f b f c a b -'=-()f x ΓΓA ．B ．C ．D ．2()f x x=3()f x x=()xf x e=()ln f x x=【答案】B 【解析】构造函数，可得，则在定义域内正负号不变时()()()g x f x f c x'=-()()g x f x ''''=()f x ''满足性质，若有唯一变号零点时不满足性质，则通过计算即可判断.Γ()f x ''0x Γ()f x ''【详解】可化为，()()()f a f b f c a b -'=-()()()()f a f c a f b f c b ''-=-令，()()()g x f x f c x '=-则，，()()()g x f x f c '''=-()()g x f x ''''=若在定义域内正负号不变，那么是的变号零点，则在的两侧的单调性∴()f x ''x c =()g x '()g x x c =不一致，因此满足性质；Γ若有唯一变号零点，那么取，则在定义域内的正负号不变，进而函数在()f x ''0x 0c x =()g x '()g x 定义域内单调，因此不满足性质.Γ对于A ，，则，所以满足性质；()2f x x'=()20f x ''=>Γ对于B ，，则有唯一变号零点0，所以不满足性质；()23f x x '=()6f x x''=Γ对于C ，，则，所以满足性质；()xf x e '=()0x f x e ''=>Γ对于D ，，则，所以满足性质.()1f x x '=()210f x x ''=-<Γ故选：B.【点睛】本题考查利用导数解决新定义问题，属于较难题.二、填空题11．某质检员检验一件产品时，把正品误判为次品的概率是，把次品误判为正品的概率0.1是．如果一箱产品中含有件正品，件次品，现从中任取件让该质检员检验，那么出现误判0.05821的概率为___________．【答案】0.09【详解】取得正品的概率为，则取得正品且误判的概率为；80.810=0.10.80.08⨯=取得次品的概率为，则取得次品且误判的概率为，20.210=0.050.20.01⨯=故出现误判的概率是．0.080.010.09+=12．若数列满足，则通项公式为__________.{}n a ()*111,1N n n a a a n n +==++∈n a =【答案】(1)2n n +【分析】根据题意，利用累加法即可求解.【详解】因为，()*11N n n a a n n +=++∈所以当时，2n ≥11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+ (1)321n n =+-++++ ，(1)2n n +=当时，，满足，所以，1n =11212a ⨯==11a =(1)2n n n a +=故答案为：.(1)2n n +13．若数列的前项和为,则的通项公式是_______．{}n a n 213n n S a =+{}n a n a =【答案】()132n -⋅-【分析】利用与的关系即得.n a n S 【详解】因为，213n n S a =+所以，，111213a S a ==+13a =当时，，2n ≥11122221(1)3333n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+=-所以，12n n a a -=-∴是以3为首项，为公比的等比数列，{}n a 2-所以．13(2)n n a -=⋅-故答案为：．13(2)n n a -=⋅-14．点在函数的图像上，点在函数的图像上，则的最小值为__________.P e xy =Q ln y x =PQ【分析】由解析式可分析两函数互为反函数，则图象关于对称，则点到的距离的最小y x =P y x =值的二倍即为所求，利用导函数即可求得最值.【详解】因为与互为反函数，两函数图象关于对称，e xy =ln y x =y x =设点为，则到直线的距离为P (),e xx y x =d 设，则，令，即，()e x h x x=-()e 1x h x '=-()0h x '=0x =所以当时，即单调递减，(),0x ∈-∞()0h x '<()h x 当时，即单调递增，()0,x ∈+∞()0h x '>()h x所以，则，()()min 01h x h ==min d ==所以的最小值为.PQmin 2d =三、双空题15．设是集合且中所有的从小到大排成的数列，即{}n a {220t ss t +≤<∣},s t Z ∈，……将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成1234563,5,6,9,10,12a a a a a a ======{}n a 如下的三角形数表：（1）则这个三角形数表的第四行的数分别为__________.；（2）__________.100a =【答案】17,18,20,【分析】根据题意找出规律即可求解.【详解】根据数列中的项与集合中的元素的关系，{}n a 数列的第一项对应，0,1s t ==数列的第二项对应，0,2s t ==数列第三项对应，1,2s t ==数列第四项对应，0,3s t ==数列第五项对应，1,3s t ==数列第六项对应，2,3s t ==由此可得规律，数表中的第行对应n ,0,1,2,3,,(1).t n s n ==- 用记号表示的取值，那么数列中的项对应的也构成一个三角表：(,)s t ,s t {}n a (,)s t因此第四行的数是；；；；042217+=142218+=242220+=342224+=由，知在第十四行中的第9个数，13(131)12313912⨯+++++== 100a 所以，1100842216640=+=a 故答案为：17,18,20,24；16640.四、解答题16．为等差数列的前项和，且，公差不为零，若成等比数列，求：n S {}n a n 11a =124,,,m S S S S (1)数列的通项公式及实数的值；{}n a m (2)若数列满足，求数列的前项和；{}n b ()*11n n n b a a n +⋅⋅=∈N {}n b n nT(3)若数列满足，求的和.{}n c ()2*1234nn a c c c c n ++++=∈N 13521n c c c c -++++ 【答案】(1)，21n a n =-8m =(2)21nn +(3)21224n n -+【分析】（1）根据题意，由等比中项的性质即可得到等差数列的公差，从而得到其通项公式，{}n a d 再列出方程即可得到；m （2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果；（3）根据题意，由数列与其前项和的关系即可得到其通项公式，然后结合等差数列的前项{}n c n n 和公式即可得到结果.【详解】（1）因为，成等比数列，设等差数列公差为，111a S ==124,,S S S {}n a d 则，即，化简可得，2214S S S =⋅()212114342a a a a d ⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()20d d -=因为，即，所以，0d ≠2d =()11221n a n n =+-⨯=-因为成等比数列，所以，124,,,m S S S S 124m S S S S ⋅=⋅则，求得.()()1111432422m m d ma a d a d -⨯⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭8m =（2）因为，所以，11n n n b a a +⋅⋅=()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭所以123n nT b b b b =++++ 1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11122121n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭（3）因为，()222123211444nn n a c c c c n n -++++===-+ 设数列的前项和为，即，{}n c n n H 214n H n n +=-当时，，2n ≥()()211114n H n n -=---+所以，()()12212211144n n n c n n n H n n H -=-=-⎡⎤-+-=-⎢⎥⎣⎦--+当时，，不满足上式，1n =1114c H ==所以，1,1422,2n n c n n ⎧=⎪=⎨⎪-≥⎩则是以为首项，以为公差的等差数列，35721,,,,n c c c c - 44所以13521n c c c c -++++ ()()()162102444n =+-+-++- ()()214441122424n n n n -+-=+=-+17．某地区教委要对高三期中数学练习进行调研，考查试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分：第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：第一空得分情况得分03人数200800第二空得分情况得分02人数700300(1)这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率作为该同学相应的各种得分情况的概率，试求该同学这道题的得分的分布列与数学期望；X (2)从该地区高三学生中，随机抽取2位同学，以样本中各种得分情况的频率作为概率，求这2人中恰好有一个同学得满分的概率.【答案】(1)分布列见详解，数学期望为3；(2)0.3648.【分析】（1）根据表中得分情况先算出频数估计概率，分析得出该生这道题的得分的取值可以为：X 0,2,3,5，分别求出概率列出分布列，求出数学期望即可；（2）先找出学生得满分的概率和得不到满分的概率，再求解2人中恰好有一个同学得满分的概率.【详解】（1）由表格数据分析知学生得0分的频率为，0.20.70.14⨯=得2分的频率为：，得3分的频率为：，0.20.30.06⨯=0.80.70.56⨯=得5分的频率为：0.80.30.24⨯=由题意分析得的取值可以为：0,2,3,5，X 则，，，.()00.14P X ==()20.06P X ==()30.56P X ==()50.24P X ==故的分布列为：X X0235P0.140.060.560.24所以的数学期望为：X 00.1420.0630.5650.243⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由题意知某位学生要得满分的概率为：，0.80.30.24⨯=得不到满分的概率为：，10.240.76-=所以随机抽取2位同学，这2人中恰好有一个同学得满分的概率为：.12C 0.240.760.3648⨯⨯=18．某超市销售种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指5该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：牙膏品牌A B CD E销售价格152552035市场份额15%10%25%20%30%（1）从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，估计其销售价格低于元的概率；5125（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取管牙膏进行质检，其中和共抽取了管．20A B n ①求的值；n ②从这管牙膏中随机抽取管进行氟含量检测．记为抽到品牌的牙膏数量，求的分布列和n 3X B X 数学期望．（3）品牌的牙膏下月进入该超市销售，定价元/管，并占有一定市场份额．原有个品牌的牙F 255膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管元，下月牙膏的平均1μ销售价为每管元，比较的大小．（只需写出结论）2μ12,μμ【答案】（1）；（2）①；②分布列见解析；期望为；（3）．0.65n =6512μμ<【分析】（1）求出销售价格低于元的频率，用频率来衡量概率；25（2）①利用分层抽样的定义求解即可，②随机变量的可能取值为，然后求出各自对应的X 0,1,2概率，即可列出分布列，求出期望；（3）求出平均值比较即可【详解】解：（1）记“从该超市销售的牙膏中随机抽取管，其销售价格低于元”为事件．125K 由题设，．()0.150.250.20.6P K =++=（2）①由题设，品牌的牙膏抽取了管，A 2015%3⨯=品牌的牙膏抽取了管，B 2010%2⨯=所以．325n =+=（ⅱ）随机变量的可能取值为．X 0,1,2；33351(0)10C P X C ===；2132353(1)5C C P X C ===．1232353(2)10C C P X C ===所以的分布列为：X X12P11035310的数学期望为．X 1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=（3）．12μμ<（理由：，设品牌的市场占有额为，11515%2510%525%2020%3530%20.5μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=F m 市场占有额分别为，则,,,,A B C D E 3,2,5,4,6x x x x x2153252552043562520x x x x x mx mμ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=+）11532525520435620.520x x x x xx μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯>==19．已知函数.()()11ln f x kx k x x =-+-(1)当时，求函数的增区间；12k =()f x (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.（其中）x ()1f x ≤[]1,e k e 2.71828= 【答案】(1)，()0,1()2,+∞(2)1k ≤【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调递增区间；（2）依题意可得函数在区间上的最大值小于等于，求出函数的导函数，分、()f x []1,e 10k =、、、五种情况讨论，分别得到函数的最大值，即可求出参数的取值范围.0k <1k =1k >01k <<【详解】（1）因为，，()()11ln f x kx k x x =-+-()0,x ∈+∞所以，()22211(1)1k kx k x f x k x x x +-++'=-+=当时，，令，解得或，12k=()21(2)(1)2x x f x x --'=()0f x ¢>01x <<2x >所以函数的单调递增区间为，．()f x ()0,1()2,+∞（2）不等式在区间上恒成立，()1f x ≤[]1,e 即函数在区间上的最大值小于等于，()f x []1,e 1当时，则，当时，0k =()1ln f x x x =--()22111xf x x x x -=-+'=1e x <≤()0f x '<所以在上单调递减，所以，符合题意；()f x []1,e ()()max 11f x f ==-当时，0k ≠()()211k x x k f x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=令，得，，()0f x '=11x k =21x =当时则当时，0k <1e x <≤()0f x '<所以在上单调递减，所以，所以，解得，()f x []1,e ()()max11f x f k ==-110k k -≤⎧⎨<⎩0k <当时，所以当时，1k >101k <<1e x <≤()0f x ¢>所以在上单调递增，所以，()f x []1,e ()()max 1e e 1ef x f k k ==---所以，不等式组无解，不符合题意；1e 11e 1k k k ⎧---≤⎪⎨⎪>⎩当时，所以当时，1k =11k =1e x <≤()0f x ¢>所以在上单调递增，所以，()f x []1,e ()()max 1e e 111ef x f ==---<符合题意，当时，则，01k <<11k >当时，对成立，函数在区间上单调递减， 1e k ≥()0f x '≤[]1,e x ∈()f x []1,e 所以函数在区间上的最大值为，()f x []1,e ()111f k =-<所以不等式在区间上恒成立，()1f x ≤[]1,e 当时，，随的变化情况如下表：1e k <()f x '()f x x x11,k ⎛⎫⎪⎝⎭1k 1,e k ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '-0+()f x 单调递减极小值单调递增所以函数在区间上的最大值为或，()f x []1,e ()1f ()e f 此时，，()111f k =-<()1e e (1)ef k k =-+-所以．()1111e 1e (1)1(e 1)2(e 1)2e 30e e e ef k k k -=-+--=---<---=--<所以当时，不等式在区间上恒成立．01k <<()1f x ≤[]1,e 综上可得.1k ≤20．已知函数，直线．21()2f x x x =+1l y kx =-：（Ⅰ）求函数的极值；()f x （Ⅱ）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；R k ∈l ()y f x =（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由．()y f x =l 【答案】（Ⅰ）极小值，无极大值；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）当时，曲线与直(1)3f =2k =()y f x =线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点．l 2k ≠()y f x =l 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出函数定义域再求导，得令，解得的值，画出 当()f x ()0f x '=x 变化时，与的变化情况表所示，可得函数的单调区间，从而得到函数x ()0f x '=()f x ()y f x =有极小值，无极大值()y f x =(1)3f =（Ⅱ）对于是否存在问题，先假设存在某个，使得直线与曲线相切，先设出切点，R k ∈l ()y f x =再求，()f x '求得切线满足斜率，又由于过点，可得方程显然无解，所以假设不成立． 所以对于任意，A R k ∈直线都不是曲线的切线.l ()y f x =（Ⅲ）写出“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.()y f x =l 由分离系数法得，令，得，其中，且.考察函数3112k x x =++1t x =32k t t =++t R ∈0t ≠，其中，求导得到函数的单调性，从而得到方程根的情况，命题得证3()2h t t t =++t R ∈试题解析：函数定义域为，()f x {|0}x x ≠求导，得，32()2f x x =-'令，解得．()0f x '=1x =当变化时，与的变化情况如下表所示：x ()f x '()fx 所以函数的单调增区间为，，单调减区间为， ()y f x =(,0)-∞(1,)+∞(0,1)所以函数有极小值，无极大值．()y f x =(1)3f =（Ⅱ）证明：假设存在某个，使得直线与曲线相切，R k ∈l ()y f x =设切点为，又因为，00201(,2)A x x x +32()2f x x =-'所以切线满足斜率，且过点，所以，3022k x =-A 002300122(2)1x x x x +=--即，此方程显然无解，所以假设不成立．2031x =-所以对于任意，直线都不是曲线的切线. R k ∈l ()y f x =（Ⅲ）解：“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.()y f x =l 由方程，得. 2121x kx x +=-3112k x x =++令，则，其中，且.考察函数，其中，1t x =32k t t =++t R ∈0t ≠3()2h t t t =++t R ∈因为时，所以函数在单调递增，且. 2()310h t t +'=>()h t R ()h t R∈而方程中， ，且.32k t t =++t R ∈0t ≠所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一根，(0)2k h ==32k t t =++2k ≠32k t t =++故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个2k =()y f x =l 2k ≠()y f x =l 交点.【解析】导数的单调性与导数及导数的几何意义.21．给定项数为的数列，其中.若存在一个正整数()*N ,3m m m ∈≥{}na {}()0,11,2,,ia i m ∈= ，若数列中存在连续的项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，()21k k m ≤≤-{}n a k k 则称数列是“阶可重复数列”，例如数列.因为与按次序{}n a k {}:0,1,1,0,1,1,0n a 1234,,,a a a a 4567,,,a a a a 对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”.{}n a (1)分别判断下列数列①.{}:0,0,0,1,1,0,0,1,1,0n b ②.{}:1,1,1,1,1,0,1,1,1,1n c 是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；(2)若项数为的数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由；m {}n a m (3)假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是{}n a m a “5阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值.41a ={}n a m a 【答案】(1)①是，重复五项为0，0，1，1，0；②不是(2)11，理由见解析(3)1【分析】（1）观察数列特点看元素是否按次序对应相等即可判断数列是否为5阶可重复数列；（2）项数为的数列一定是3阶可重复数列，数列的每一项只可以是0或1，则连续3项共m {}n a 有8种不同的情况，分别讨论，，时情况可得结论；11m =10m =310m ≤<（3）由于数列在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是：“5阶可重复数列”，{}n a m a 则存在，使得与按次序对应相等，或与i j ≠1234,,,,i i i i i a a a a a++++321,,,,0m m m m a a a a ---1234,,,,j j j j j a a a a a ++++按次序对应相等，经分析可得.321,,,,1m m m m a a a a ---4m a a =【详解】（1）记数列①为，因为与按次序对应相等，{}n b 23456,,,,b b b b b 678910,,,,b b b b b 所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0，0，1，1，0;记数列②为，因为、{}n c 12345,,,,c c c c c 、、、、没有完全相同的，23456,,,,c c c c c 34567,,,,c c c c c 45678,,,,c c c c c 56789,,,,c c c c c 678910,,,,c c c c c 所以不是“5阶可重复数列”.{}n c （2）因为数列的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有种不同的情形.{}n a 328=若，则数列中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的11m ={}n a 数列一定是“3阶可重复数列”；若，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可{}n a 10m =重复数列”；则3≤m < 10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列. 所以，要使数列一定是{}n a {}n a “3阶可重复数列”，则的最小值是11.m （3）由于数列在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是：“5阶可重复列”，即{}n a m a 在数列的末项后再添加一项0或1，则存在，使得与{}n a m a i j ≠1234,,,,i i i i i a a a a a ++++按次序对应相等，321,,,,0m m m m a a a a ---或与按次序对应相等，1234,,,,j j j j j a a a a a ++++321,,,,1m m m m a a a a ---如果与不能按次序对应相等，1234,,,a a a a 321,,,m m m m a a a a ---那么必有，使得、与按次序对应相24,,i j m i j -≤≤≠123,,,i i i i a a a a +++123,,,j j j j a a a a +++321,,,m m m m a a a a---等.此时考虑和，其中必有两个相同，这就导致数列中有两个连续的五项恰按次序对应11,i j a a --4m a -{}n a相等，从而数列是“5阶可重复数列”，这和题设中数列不是“5阶可重复数列”矛盾；{}n a {}n a 所以与按次序对应相等，从而.1234,,,a a a a 321,,,m m m m a a a a ---41m a a ==【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，因此理解新定义是解题的关键之一，同时需要使用分类讨论的思想与方法是关键点之二，其三本题推理过程中反证法思想的应用也是解题的关键.。
浙江省宁波市镇海2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷含答案
镇海2023学年第二学期期中考试试题高二年级数学学科（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{230}P x x x =+-<∣，集合3{1}Q x x =>-∣，则P Q = （）A.()3,1- B.()2,1- C.()1,1- D.()1,3-【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再结合交集的定义，即可求解．【详解】集合2{|230}{|31}P x x x x x =+-<=-<<，集合{}{}311Q x x x x =-=-，故(1,1)P Q ⋂=-．故选：C ．2.已知函数4log ,01()2,1xx x f x x <<⎧=⎨≥⎩，则21()(log 3)4f f +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用指、对数的运算性质，即可求出结果.【详解】因为4log ,01()2,1xx x f x x <<⎧=⎨≥⎩，所以411()log 144f ==-，又2log 31>，所以2log 32(log 3)23f ==，则21((log 3)1324f f +=-+=，故选：B.3.22cos 25sin 25sin110cos 70︒-︒=︒⋅︒（）A.1-B.1C.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．【详解】22cos 25sin 25cos50cos50sin 40211sin110cos 70sin 70cos 70sin140sin 4022︒-︒︒︒︒====︒⋅︒︒⋅︒︒︒．故选：D ．4.在ABC 中，“cos sin A B =”是“90C =︒”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先证明条件是必要的，再构造反例说明条件不是充分的.【详解】若90C =︒，则()()cos cos 180cos 90sin A C B B B =︒--=︒-=，故条件是必要的；当10A =︒，100B =︒，70C =︒时，有cos cos10sin100sin A B =︒=︒=，7090C =︒≠︒，故条件不是充分的.故选：B.5.函数}}:f →，}}:g →，如图所示，则()(){}x f g x g f x ⎡⎤⎡⎤<=⎣⎦⎣⎦∣（）A.{}ln2B.C.{}cos2 D.【答案】A 【解析】【分析】对x =，ln 2x =cos 2x =，分别计算可判断[()][()]f g x g f x <是否成立，可求{|[()][()]}x f g x g f x <.【详解】当x =时，[()](cos 2)ln 20f g x f ==>，[()]cos 20g f x g ==<，不满足[()][()]f g x g f x <，当ln 2x =时，[()](ln 2)cos 20f g x f ==<，[()](cos 2)0g f x g ==>，满足[()][()]f g x g f x <，当cos 2x =时，[()]f g x f ==[()](ln 2)ln 21g f x g ==<，不满足[()][()]f g x g f x <，综上所述：{|[()][()]}{ln 2}x f g x g f x <=.故选：A.6.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等.已知函数()()πtan 06h x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象中的两条相邻“平行曲线”与直线2024y =相交于A 、B 两点，且3AB =，则34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.B.C.2D.2+【答案】D 【解析】【分析】由“平行曲线”的性质和周期公式求出ω，再代入函数值结合两角和的正切展开式计算即可.【详解】由“平行曲线”的性质可得函数的最小正周期为3T AB ==，所以ππ3T ω==，所以()ππtan 36h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以ππtantan 13π3πππ463tan tan 2ππ43464631tan tan 463f ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⨯故选：D.7.如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，π2ABC ∠=，点E 是BC 上一点，π24,3CE BE AED ==∠=，ADE V的面积为AD 的长为（）A.B. C.8D.【答案】A 【解析】【分析】设,AB x CD y ==，求得24tan(π)124x y AED x y +-∠=-420x y ---=，再由ADE V的面积为2x y +=,x y 的值，即可求解.【详解】由题意，设,AB x CD y ==，则24tan(π)tan()124x y AED AED CED x y +-∠=∠+∠=-，可得2π24tan3124x y x y +==-420x y ---=，又由111()624222x y x y =+⨯-⋅-⋅，即2x y +=联立可得24xy =，联立方程组242xy x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ==所以AD ==.故选：A.8.已知0.5log x x =，0.5log yx y =，0.5log zx z =，则（）A.z x y <<B.y z x <<C.x y z<< D.y x z<<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()0.5log x f x x =-，利用零点存在定理得到112x <<；由0.5log 0yx y =>得01y <<，从而有0.50.5log log y x >，得到y x <，由0.5log zx z =得到log log x x z x <，得到z x >，从而求出结果.【详解】令()0.5log x f x x =-，易得()f x 单调递增，又0.50log 111112222f ⎛⎫=-=-<⎪⎝⎭，()0.511110log f =-=>，所以()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一零点，因为0.5log x x =，所以112x <<，由0.5log 0y x y =>，知01y <<，所以0.50.5log log yx y x x =>=，又函数0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，所以y x <，由0.5log zx z =，知0z >，所以00.5log 1log zx x z x <=<=，所以z x >，综上，y x z <<.故选：D.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于构造函数()0.5log x f x x =-，利用零点存在定理得到112x <<，再利用指对数函数的单调性解决问题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若2x a x ++-的最小值是1，则实数a 的值可以为（）A.1-B.2- C.3- D.4-【答案】AC 【解析】【分析】根据条件，利用绝对值三角不等式，即可求出结果.【详解】因为22x a x a ++-≥+，当且仅当(2)()0x a x +-≥取等号，又2x a x ++-的最小值是1，所以21a +=，解得1a =-或3a =-，故答案为：AC.10.已知函数()1e exxm f x m -⋅=+是定义域上的奇函数，则下列选项中错误．．的是（）A.1m = B.()1f x =有解C.()()210f f +-=D.()2y f x =+与()4y f x =-的图象关于3x =对称【答案】ABCD【解析】【分析】对于A ，验证1m =-符合题意即可说明选项错误；对于B ，假设()1f x =，再得出矛盾即可说明选项错误；对于C ，利用单调性和奇偶性可验证结论不成立，从而说明选项错误；对于D ，利用图象对称对应的恒等式，验证其不恒成立，即可说明选项错误.【详解】对于A ：若1m ≠-，则由0e 0m +≠知()f x 的定义域包含0x =，再由()f x 是奇函数有()00f =，代入得101mm -=+，故1m =，经检验符合题意.若1m =-，则()1e e 11e e 1x x xxf x ++==-+-，其定义域0x ≠关于原点对称，且()()e 11e e 1e 11e e 1x x x x xx f x f x --+++-===-=----，从而()f x 是奇函数.这表明m 的所有可能值是1m =或1m =-，故A 错误；对于B ：由上面的结论知()1e 1e x xf x -=+或()e 1e 1x x f x +=-.无论哪种情况，()1f x =都意味着e 1e 1xx+=-，两边同时平方得到22e 2e 1e 2e 1x x x x ++=-+，即4e 0x =，这是不可能的.所以()1f x =无解，故B 错误；对于C ：若()1e 1e x x f x -=+，则由()1e 211e 1e x x xf x -==-+++知()f x 单调递减；若()e 1e 1x x f x +=-，则由()e 121e 1e 1x x xf x +==+--知()f x 在()0,∞+上单调递减.无论怎样，都有()f x 在()0,∞+上单调递减，故()()21f f <.所以()()()()21210f f f f +-=-<，故C 错误；对于D ：该选项的描述即为()()()264f x f x +-=-（若等号两边都有意义）.即()()84f x f x -=-（若等号两边都有意义）.但根据上面的论证，知()f x 在()0,∞+上单调递减，故4x <时必有()()84f x f x -<-.故D 错误.故选：ABCD.11.若a ，b 为函数()()2sin 1f x x m x =++-的两个不同零点，令()h m a b =-，则下列命题正确的是（）A.π是函数()h m 的一个周期B.02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，是函数()h m 的一个单调递减区间C.函数()h m 的图象是轴对称图形 D.函数()h m 的图象是中心对称图形【答案】BC 【解析】【分析】由于此题的零点无法求解，因此联想到数形结合来做，即通过分析特殊值来确定选项A ，再通过24x x m π⎛⎫⎝⎭=--⎪的解来分析选项BC ，利用反证法可判断D .【详解】对于A ，若π2m =时，()2cos 1f x x x =+-，此时()sin 2f x x x '=-+，设()sin 2s x x x =-+，则()cos 20s x x '=-+>，故()f x '为R 上的增函数，而()00f '=，故当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，而()00f =，故()f x 仅有一个零点，与题设矛盾，故π2m ≠.同理π2π,Z 2m k k ≠+∈，当3π2m =时，()2cos 1f x x x =-+-，此时()sin 2f x x x '=+，同理可得()f x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，而()020f =-<，()()223cos 20f f =-=->，故此时()f x 有两个不同的零点，故()h m 的周期不是π，故A 错误.对于B ，()()2sin 1f x x m x =++-的x m =-的零点差的绝对值,其中π2π,Z 2m k k ≠+∈.设()n 24g x x π⎛⎫- ⎪⎝=⎭=，其图像如图所示，根据对称性及A 中讨论，24x x m π⎛⎫⎝⎭=--⎪在ππ,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的两个不同零点差的绝对值，其中02m π<<，设该方程较大的零点为b ，较小的零点为a ，则π02b <<，因为πππ222m m g ⎛⎫--=+>=- ⎪⎝⎭，故π2a >-.设1202m m π<<<，1x m =-的两个根为11,a b ，且11ππ22a b -<<<，11m a =-11b m =-11b a +=-.同理()22sin 1y x m x =++-的两边不同的零点22,a b 也满足：22b a +-，其中1212ππ22a ab b <<<-<<，而ππ,22y x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎣⎭为减函数，<，<，故2211b a b a -<-即()()12h m h m >，故()h m 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 成立.对于C ，结合B 中()g x 的图像关于直线2x π=对称可知22h m h m ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()h m 的图象关于直线2m π=对称，即选项C 是正确的；对于D ，当R m ∈且π2π,Z 2m k k ≠+∈时，结合()g x 的图像可得()h m 的最小正周期为2π，且()h m 的图象有两类对称轴：π2π,Z 2m k k =+∈，3π2π,Z 2m k k =+∈，若()h m 图像有对称中心()00,m h ，根据()h m 的最小正周期为2π及对称性不妨设0π3π,22m ⎛⎤∈⎥⎝⎦，且()()0022h m m h m n -+=，而()()πh m h m -=，故()()002π2h m m h m n -+-=，故()()002π2h m m h m n -++=，所以()()00042π2π2h m m h m m n -++-+=，故()()042πh m m h m -+=，故()h m 的周期为042m π-，但(]04π,4πm π-∈，结合最小正周期为2π可得042π4πm -=即03π2m =，但直线03π2m =为对称轴，故()h m 的图像无对称中心.故D 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：复杂函数的零点问题，可利用变换转化为简单函数的图象的交点问题，而抽象函数的性质的讨论，可以依据定义来进行判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.用列举法表示集合6{|}9x x∈∈-N N 的结果为_____________.【答案】{}1,2,3,6【解析】【分析】根据题意可9x -知为6的约数，求得x 的取值，用列举法表示集合即可.【详解】由6N 9x∈-可知9x -为6的约数，所以91,2,3,6x -=，因为N x ∈，所以8,7,6,3x =，此时，66,3,2,19x=-集合为{}1,2,3,6.故答案为：{}1,2,3,6.13.将函数()π3cos 2y x ϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移π3个单位得到曲线C .若曲线C 的图象关于直线π4x =对称，则ϕ的值为_________.【答案】π6##1π6【解析】【分析】先求出曲线C 的解析式π3cos 23y x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后根据图象的对称性即得πcos 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，最后利用余弦函数的性质及ϕ的范围可求得ϕ的值.【详解】将函数()3cos y x ϕ=+的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，得到函数()3cos 2y x ϕ=+的图象；再将函数()3cos 2y x ϕ=+的图象向右平移π3个单位，得到曲线π3cos 23y x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由条件知该曲线关于直线π4x =对称，故对应函数在π4x =处取得最大值或最小值，从而ππcos 2143ϕ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πcos 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.从而()ππ6k k ϕ-=∈Z ，即()ππ6k k ϕ=+∈Z .再由π2ϕ<即ππ22ϕ-<<，就得到2133k -<<，从而0k =，故π6ϕ=.故答案为：π6.14.已知1x >，1y >，1z >，且满足log 10log 10log 10log 101x y xy z +=+=，则z 的最大值为_________.【答案】4310【解析】【分析】由已知结合对数的换底公式进行化简，然后结合基本不等式即可求解．【详解】因为1x >，1y >，1z >，且满足log 10log 10log 10log 101x y xy z +=+=，所以111lg lg x y +=，111lg()lg xy z+=，所以2lg lg lg lg lg lg (2x y x y x y +⋅=+≤，当且仅当100x y ==时取等号，所以lg lg 4x y +≥，110lg lg 4x y <≤+，因为111lg()lg xy z+=，所以111311[,1)lg lg()lg lg 4z xy x y =-=-∈+，所以41lg 3z <≤，所以431010z <≤，故z 的最大值为4310．故答案为：4310．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知不等式603xx -≥-的解集为A ，函数()()2lg 2f x x x a =-+的定义域为B .（1）求A ；（2）若A B ⊆，求a 的范围.【答案】（1）(3,6]（2）[3,)-+∞【解析】【分析】（1）直接利用分式不等式的解法求出结果；（2）利用对数的定义域和集合间的关系求出参数a 的取值范围．【小问1详解】不等式603x x -≥-，整理得：603x x -≤-，即(3)(6)030x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得：36x <≤，故集合A 的解集为(3,6]．【小问2详解】由于(3A =,6]，由于A B ⊆，则2()lg(2)f x x x a =-+的定义域满足对(3A ∀=,6]，220x x a -+>恒成立，故满足2360a -+≥，整理得3a ≥-，故实数a 的取值范围[3,)-+∞．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()223f x f x x +-=+.（1）求()f x ；（2）若函数()()()33f x x g x t f t =+⋅-，[]1,1x ∈-，是否存在实数t 使得()g x 的最小值为3-？若存在，求出实数t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()21f x x =+（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）将已知中的x 替换为x -，得出方程组，求解即可得到答案；（2）由（1）可得()21323x x g x t +=+⋅，利用换元法令3x u =，结合一元二次函数的单调性讨论即可.【小问1详解】由()()223f x f x x +-=+可得()()223f x f x x -+=-+，联立()()()()223223f x f x x f x f x x ⎧+-=+⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得()21f x x =+.【小问2详解】由（1）可得()()21213231323x x x x g x t t t ++=+⋅⨯+-=+⋅，令3x u =，则当[]1,1x ∈-时，1,33u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()232g u u tu =+，所以()g u 在,3t ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在,3t ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，当133t -≤，即1t ≥-时，()2min111323333g u g t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5t =-，与1t ≥-矛盾，当33t-≥，即9t ≤-时，()()2min 333233g u g t ==⨯+⨯=-，解得5t =-，与9t ≤-矛盾，当1333t <-<，即91t -<<-时，()2min323333t t t g u g t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1t =±，与91t -<<-矛盾，综上不存在实数t 使得()g x 的最小值为3-.17.已知函数()()2cos 2sin 10f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在区间[]π,αα-内既有最大值又有最小值，求α的取值范围.【答案】（1）1ω=，πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦（2）5π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得π()2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由周期公式及正弦函数的单调性求解即可；（2）首先根据区间形式得到π2α>，再利用整体法结合正弦函数性质得到不等式组，解出即可.【小问1详解】()2πcos 2sin 12cos 22sin 26f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，由题意可得：2π==π2T ω，则1ω=，∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤-≤+∈，则ππππ,Z 63k x k k -≤≤+∈∴函数()f x 的单调增区间为πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦；【小问2详解】根据区间形式得παα>-，则π2α>，又因为[]π,x αα∈-，则11πππ222666x αα-≤-≤-，π5π266α->，若()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]π,αα-内既有最大值又有最小值，则11ππ262α-≤-，解得7π6α≥；或者π3π26211ππ262αα⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得5π6α≥；综上两者取并集得5π6α≥.所以α的取值范围为5π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()sin cos cos cos B c B b C B +=.（1）求B ；（2）若π2C =，且C 的角平分线交AB 于P ，Q 为边AC 的中点，CP 与BQ 交于点D .求cos PDQ ∠；（3）若5b =，求ABC 内切圆半径r 的取值范围.【答案】（1）π3B =（2）42214cos 14PDQ -∠=（3）ABC 内切圆半径r 的取值范围为(0,]6【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin (sin cos sin cos )cos B C B B C A B +=，利用三角恒等变换可得B ；（2）设2BC a =，可求得cos BQC ∠，sin BQC ∠，利用cos cos()PDQ PCQ BQC ∠=∠+∠，可求值；（3）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，可求得510a c <+≤，进而可得325acr a c =++，进而计算可求得ABC 内切圆半径r 的取值范围.【小问1详解】由sin (cos cos )cos B c B b C B +=,结合正弦定理得sin (sin cos sin cos )cos B C B B C A B +=，所以sin sin()cos B C B A B +=，所以sin sin(π)cos B A A B -=,所以sin sin cos B A A B =，因为sin 0A ≠，所以sin B B =，所以tan B =，因为(0,π)B ∈，所以π3B =.【小问2详解】当π2C =时，设2BC a =，由（1）可知π3B =，则AC =，因为Q是AC的中点，故QC=，所以BQ==，所以cosCQBQCBQ∠==sin BCBQCBQ∠==，所以πππcos cos()cos()cos cos sin sin444 PDQ PCQ BQC BQC BQC BQC ∠=∠+∠=+∠=∠-∠2214=-=；【小问3详解】由余弦定理可得2222cosb ac ac B=+-，所以222222125()3()3(()24a ca c ac a c ac a c a c+=+-=+-≥+-=+，当且仅当5a c==时取等号，所以10a c+≤，又5a c b+>=，所以510a c<+≤,因为1111sin2222ABCar br cr S ac B++==，由225()3a c ac=+-，可得21[()25]3ac a c=+-，所以213[()25]32(5)25256a cac acr a ca b c a c a c+-====+-++++++，所以06r<≤，所以ABC内切圆半径r的取值范围为(0,6.19.已知函数()2241mx xf xx+=+，函数()22mg x x=+.（1）若0m=，求()f x的值域；（2）若(]0,4m∈：（ⅰ）解关于x的不等式：()()f xg x≤；（ⅱ）设,a b∈R，若实数t满足()()2f a f b t⋅=-，比较()()1g t m g--与18的大小，并证明你的结论.【答案】（1）[]22-,（2）（ⅰ）4,m ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭（ⅱ）当2t =且12m =时，()()118g t m g --=；当2t ≠或12m ≠时，()()118g t m g --<，证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性和双勾函数的性质可求值域.（2）利用()()()()()221421x mx g x f x x -+-=+即可求出不等式的解集，然后证明2t ≤，再代入解析式证明()()118g t m g --≤，最后判断不等号两边相等的条件即可.【小问1详解】当0m =时，()241xf x x =+，其定义域为R ，而()()241xf x f x x -=-=-+，故()f x 为奇函数，当0x =时，()0f x =;当0x >时，()41f x x x=+，而1y x x=+在()0,+∞上的值域为[)2,+∞,故此时()(]0,2f x ∈，结合()f x 为奇函数可得()f x 的值域是[]22-,.【小问2详解】若(]0,4m ∈：（ⅰ）由于()()()()()()()2222224144412421212121x mx x mx m mx x mx x g x f x x mx x x x x +-+++⎛⎫-=+-=-=-+= ⎪++++⎝⎭，故不等式()()f x g x ≤等价于()()2140x mx -+≥，即40mx +≥或1x =.由4m -是负数，知原不等式的解集为4,m ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭；（ⅱ）由于关于x 的方程()2241mx x f a x +=+有解x a =，故关于x 的方程()()()240f a m x x f a --+=有解.如果()0f a m -≠，则该方程是二次方程，所以其判别式非负，即()()()1640f a f a m --≥.从而()0f a m -=和()()()1640f a f a m --≥这两个结论中，至少有一个成立.但当()0f a m -=时，亦有()()()164160f a f a m --=≥.故()()()1640f a f a m --≥一定成立，所以()()()4f a f a m -≤.同理()()()4f b f b m -≤，所以()(),22m m f a f b ⎡-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦.故()()2422m m t f a f b +-=≥⋅=-，所以22t -≤≤.所以由0m >，2t ≤即可得到()()()()()211111221122228228m m m m g t m g t m t m m m ⎛⎫--=-+--=--≤-=--≤ ⎪⎝⎭.根据上面的证明过程显然能够得出，不等号两边相等当且仅当2t =且12m =.综上，比较的结果为：当2t =且12m =时，()()118g t m g --=；当2t ≠或12m ≠时，()()118g t m g --<.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将函数的解析式与不等式结合，利用函数的性质即可更容易地解出与之相关的不等式.。
北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
中国人民大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学说明：本试卷共六道大题，26道小题，共6页，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1. 已知数列的通项公式是，则是该数列的（）A. 第9项B. 第10项C. 第11项D. 第12项2. 若函数，则（ ）A. B. C. D. 3. 等差数列中，若，，则其公差等于（ ）A. 2B. 3C. 6D. 184. 如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）A. 是区间上的增函数B. 是区间上的减函数C. 1是的极大值点D. 4是的极小值点5. 若是等差数列的前项和，，则（）A. B. C. D. 6. 若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C.D. {}n a 21n a n =+1222()f x x =0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆1234{}n a 1233a a a ++=45621a a a ++=()y f x =()f x '()f x []3,1-()f x []1,2()f x ()f x n S {}n a n ()*88,N n S S n n >≠∈890,0a a ≥<890,0a a ><890,0=<a a 890,0a a >=()3213f x x x ax =-+a (],1-∞(),1-∞()1,+∞[)1,+∞7. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ）A. B. C. 4D. 8. 已知在处可导，在附近x 的函数值，可以用“以直代曲”的方法求其近似代替值：．对于函数的近似代替值（ ）A. 大于m B. 小于mC. 等于mD. 与m 的大小关系无法确定9. 设为无穷等比数列前n 项和，则“有最大值”是“有最大值”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件10. 设函数定义域为D ，若函数满足：对任意，存在，使得成立，则称函数满足性质.下列函数不满足性质的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11. 函数，则_____.12. 用数学归纳法证明命题“，时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式______．13. 已知函数，若在区间上是增函数，则实数a 的取值范围是 ________．14. 小杰想测量一个卷纸展开后的总长度，卷纸中的纸是单层的，且卷纸整体呈一个空心圆柱形，即大圆柱在其正中间挖去了一个小圆柱，测得小圆柱底面的直径为5厘米，大圆柱底而的直径为11厘米．由于单层纸的厚度不易测量，小杰利用游标卡尺测得10层纸的总厚度为0.3厘米．试估算这个卷纸的总长度（单位：米）为______．（结果精确到个位，取）15. 与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线．关于曲线的法线有下列四种说法：①存在一类曲线，其法线恒过定点；的.{}n a 124,,a a a 2a =10-6-4-()f x 0x x =0x ()f x ()()()()000f x f x f x x x '≈+-()f x =()4.001m f =n S {}n a {}n a {}n S ()f x ()f x c D ∈,a b D ∈()()()f a f b f c a b-'=-()f x ΓΓ2()f x x =3()f x x =()xf x e =()ln f x x=()sin 2f x x =()f x '=*n ∀∈N ()()()()1221321nn n n n n ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-n k =1n k =+21()2ln 2f x x ax x =+-()f x 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦π 3.14=②若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为；③存在两条直线既是曲线的法线，也是曲线的法线；④曲线的任意法线与该曲线的公共点个数均为1．其中所有说法正确的序号是______．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16. 已知函数，在处取得极值．（1）求在区间上的平均变化率；（2）求曲线在点处的切线方程；（3）求曲线过点的切线方程．17. 设等差数列的前项和为，，．（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求．18. 已知函数，其中．（1）当时，求的极值；（2）讨论当时函数的单调性；（3）若函数有两个不同的零点、，求实数a 的取值范围.第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19. 已知函数满足：对任意，由递推关系得到的数列是单调递增的，则该函数的图象可以是（ ）A. B.4y x =34e x y =ln y x =sin y x =()2f x x ax =-()f x 0x =()f x []2023,2024()y f x =()()22f ,()y f x =()2,0{}n a n n S 53a =535S ={}n a {}n a n n T 10T ()()22ln f x ax a x x =-++R a ∈1a =-()f x 0a >()y f x =2()()g x f x ax =-1x 2x ()y f x =()10,1a ∈()1n n a f a +={}n aC. D.20. 设数列的前n 项和，若，则（ ）A. 数列满足B. 数列为递增数列C.的最小值为D. ，，不成等差数列21. 已知正项数列满足为前项和，则“是等差数列”是”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件22. 已知无穷数列，．性质，，，性质，，，，给出下列四个结论：①若，则具有性质；②若，则具有性质；③若具有性质，则；④若等比数列既满足性质又满足性质，则其公比的取值范围为．则所有正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23. 写出一个满足的函数______．24. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若，，均不相等，且，则___.25. 若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列曲的.{}n a n S 23n S n n =++{}n a ()1122n n n a a a n -+=+≥{}n a nn S a n+17242S S -64S S -86S S -{}n a 213,n a a S ={}n a n {}n a {}n a 11a =:s m ∀*n ∈N m n m n a a a +>+:t m ∀*n ∈N 2m n ≤<11m n m n a a a a -++>+32n a n =-{}n a s 2n a n ={}n a t {}n a s n a n ≥{}n a s t ()2,+∞()221f x x '=+()f x =()()()()()1230f x a x x x x x x a =--->()y f x =()(),i i x f x ()1,2,3i k i =1x 2x 3x 22k =-1311k k +=()y f x =()y f x =线中，所有存在“自公切线”的序号为______．①；②；③；④．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）26. 已知无穷数列满足：①；②．设为所能取到的最大值，并记数列．（1）若数列为等差数列且，直接写出其公差的值；（2）若，求值；（3）若，，求数列的前100项和．的()y f x =22y x x =-3sin 4cos y x x =+13y x x=+y ={}n a ()*1,2,i a i ∈=⋅⋅⋅N ()11,2,,1,2,,3i j i j i j a a a a a i j i j ++≤≤++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+≥*i a ()1,2,i a i =⋅⋅⋅{}*n a {}n a 11a =d 121a a ==*4a 11a =22a ={}*n a中国人民大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学 简要答案第Ⅰ卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】B 【3题答案】【答案】A 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】B 【6题答案】【答案】B 【7题答案】【答案】C 【8题答案】【答案】A 【9题答案】【答案】D 【10题答案】【答案】B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】2cos 2x 42k【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】①②④三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）【16题答案】【答案】（1）4047 （2） （3）或【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）的极大值为，无极小值. （2）答案略（3）．第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）【19题答案】【答案】C 【20题答案】【答案】C 【21题答案】【答案】C3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2544y x =-0y =816y x =-132n a n =-52()f x 3ln24--12,2e⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）【23题答案】【答案】（答案不唯一）【24题答案】【答案】##【25题答案】【答案】①②④三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）【26题答案】【答案】（1）或 （2） （3）()ln 21x +120.51237500。
2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．2344A C -=（）A ．6B ．12C ．8D ．20【答案】C【分析】根据组合数与排列数的运算即可得答案.【详解】∵24A 4312=⨯=，34432C 4321⨯⨯==⨯⨯，∴2344A C 1248-=-=.故选：C.2．下列结论中正确的是（）A ．若0a b >>，0c d <<，则b a c d>B ．若0x y >>且1xy =，则()21log 2xy x x y y +>>+C ．设{}n a 是等差数列，若210a a >>，则213a a a <D ．若[)0,x ∈+∞，则()21ln 18x x x+≥-【答案】A【分析】根据不等式的性质判断A ，利用特殊值判断B ，根据等差数列的性质及基本不等式判断C ，构造函数，利用导数判断D.【详解】选项A ，由0c d <<，可得0c d ->->，则110d c->->，又0a b >>，所以a b d c ->-，则b ac d >，故A 正确.选项B ，取12,2x y ==，则221154,,log ()log 1282x y x x y y +==+=>，则不等式()21log 2xyx x y y +>>+不成立，故B 不正确.选项C ，由题意得1322a a a +=且13a a ≠，所以213131311=()222a a a a a a a +>⨯=，故C 不正确.选项D ，设21()ln(1)8h x x x x =+-+，则1(3)()1144(1)x x x h x x x -'=-+=++，当03x <<时，()0h x '<，则()h x 单调递减，()(0)0h x h <=，即()21ln 18x x x +<-，故D 不正确.故选：A.3．函数21e xy -=的导数是（）A ．()2211e xy x -'=-B ．212e x y x -'=C ．()21exy x '=-D ．21e xy -'=【答案】B【分析】根据复合函数的求导公式求解即可.【详解】解：由已知可得()22121e 12e x x y x x --''=⋅-=，故选：B.4．在等差数列{}n a 中，若12a =，24a =，则4a =（）A ．6B ．8C ．16D ．32【答案】B【解析】先求出公差，再利用等差数列的通项公式可得答案.【详解】因为等差数列{}n a 中，12a =，24a =，所以公差21422d a a =-=-=，，则4132328a a d =+=+⨯=，故选：B.5．已知等比数列{}n a 各项均为正数，且25392a a a =⋅，则q =（）A ．12B ．2C ．2D ．22【答案】D【分析】利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】由25392a a a =⋅可得：()24281112a q a q a q =⋅，即28210112a q a q =，因为10a ≠，0q ≠，所以221q =，解得：22q =或22q =-（舍），故选：D.6．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：在等差数列{a n }中，若a 2＞a 1，则d ＞0，即数列{a n }为单调递增数列，若数列{a n }为单调递增数列，则a 2＞a 1，成立，即“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”充分必要条件，故选C ．【解析】必要条件、充分条件与充要条件的判断．7．某质点沿直线运动，位移y （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为2()34y t t =+，则质点在2t =时的瞬时速度为（）A ．8m/sB ．12m/sC ．18m/sD ．24m/s【答案】B【分析】利用导数的物理意义，即可求解.【详解】()6y t t '=，当2t =时，212t y ='=，所以质点在2t =时的瞬时速度为12/m s .故选：B8．曲线221y x =+在点()1,3P -处的切线方程为（）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+【答案】A【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.【详解】求导函数4y x '=，当=1x -时，()414y '=⨯-=-，∴曲线221y x =+在点()1,3P -处的切线方程为：()341y x -=-+，即41y x =--.故选：A.9．如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路.从甲地到丁地的不同路线共有（）A ．12条B ．15条C ．18条D ．72条【答案】C【分析】分甲乙丁与甲丙丁两种情况分类,再根据乘法原理分别求解再求和即可.【详解】若线路为甲乙丁则有326⨯=,路线为甲丙丁则有3412⨯=.故共有61218+=.故选：C【点睛】本题主要考查了分步与分类计数的方法,属于基础题.10．由1，2，3，4，5组成的无重复数字的3位数有（）A ．48个B ．60个C ．96个D ．120个【答案】B【分析】根据排列数的意义求解即可.【详解】根据题意，由1，2，3，4，5组成的无重复数字的3位数有：35A 54360=⨯⨯=.故选：B.11．函数()()3e xf x x =-的单调增区间是（）A ．(),2-∞B ．()0,3C ．()1,4D ．()3,+∞【答案】A【分析】求导函数，令()0f x ¢>，解不等式即可得函数单调增区间.【详解】()()3e xf x x =-，定义域为R则()()()e 3e 2e x x xf x x x =-+-=-'，令()0f x ¢>，解得2x <，故函数()f x 的单调增区间为(),2-∞.故选：A.12．函数322y x x =--+的极值情况是（）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既无极大值也无极小值D ．既有极大值又有极小值【答案】D【分析】对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值.【详解】∵322y x x =--+，∴223y x x '=--，由0y '=，得0x =或23x =-，2,3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，0'<y ；2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0'>y ；()0,x ∈+∞时，0'<y ，∴函数232y x x =--的递减区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,∞+；递增区间是2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴当23x =-时，函数取得极小值，当0x =时，函数取得极大值，∴函数232y x x =--既有极大值又有极小值.故选：D.13．已知函数()y f x ='的图象如图所示，那么下列结论正确的是（）A ．()0f a =B ．()f x '没有极大值C ．x b =时，()f x 有极大值D ．x c =时，()f x 有极小值【答案】D【分析】根据函数()y f x ='的图象可知，()f x '有极大值()f b '，()f a 的值无法确定，再根据()y f x ='的图象确定()y f x =的单调性，从而可说明b 不是函数()f x 的极值点，c 是函数()f x 的极小值点.【详解】解：如图所示，设函数()y f x ='的图象在原点与(,0)c 之间的交点为(,0)d ．由图象可知：()()()0f a f d f c '='='=.当x a <时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；当a x d <<时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；当d x c <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；当c x <时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增．可得：a 是函数()f x 的极小值点，d 是函数()f x 的极大值点，c 是函数()f x 的极小值点．b 不是函数()f x 的极值点，()0f a =不一定成立．且由图知，()f x '有极大值()f b '.故选：D ．14．设a R ∈，若函数e x y ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则（）A ．1a <-B ．1a >-C ．1a e<-D ．1a e>-【答案】A【详解】题意即0x e a +=有大于0的实根,数形结合令12,xy e y a ==-,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得11a a ->⇒<-,选A.15．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足()()10x f x -'≥则必有A ．()()()0221f f f +<B ．()()()0221f f f +≤C ．()()()0221f f f +≥D ．()()()0221f f f +>【答案】C【分析】先由题意得到函数的单调性,然后跟根据单调性进行判断可得结论.【详解】()()10x f x -'≥ 若()0f x '=，则()f x 为常数函数,()()()02=21f f f +;若()0f x '=不恒成立,∴当1x >时,()0f x '≥,()f x 递增，当1x <时,()0f x '≤,()f x 递减.(0)(1),(2)(1)(0)(2)2(1)f f f f f f f ∴>>∴+>，.故选:C.【点睛】本题考查函数最值和单调性的关系,考查对基本概念的理解,解题时可根据导函数的符号得到函数的单调性,进而得到函数的最值情况,属于中档题.二、填空题16．在等比数列{}n a 中，242,4a a ==，则6a =.【答案】8【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可.【详解】设该等比数列的公比为q ，因为242,4a a ==，所以22422a q q a =⇒=，因此264428a a q =⋅=⨯=，故答案为：817．已知函数()32f x x =，则()()11limx f x f x→+-=△△△.【答案】6【分析】利用求导公式对()f x 进行求导，根据导数的定义即可求值.【详解】解：∵()32f x x =，∴()26f x x '=，∴()16f '=，则()()()011lim16x f x f f x→+-'==△△△.故答案为：6.18．已知函数()sin f x x =，则2f π⎛⎫'=⎪⎝⎭【答案】0【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.【详解】解：∵()sin f x x =，∴()cos f x x '=，∴cos 022f ππ⎛⎫'== ⎪⎝⎭；故答案为：019．函数222y x x -=+在[]0,4上的最大值为.【答案】10【分析】对二次函数配方后，根据二次函数的性质可求得其最大值.【详解】解：根据题意，函数()222211y x x x =-+=-+，当0x =时，2y =，当4x =时，10y =，故函数222y x x -=+在[]0,4上的最大值为10.故答案为：10.三、双空题20．已知二项式2()nx x+的展开式中各项二项式系数和是16，则n ＝，展开式中的常数项是．【答案】424【分析】由二项式的和有216n =求n 值，写出二项式展开式通项，进而求常数项.【详解】由题意216n =，则4n =，故二项式42()x x+展开式的通项为4214C 2r r rr T x -+=，令420r -=，得2r =，故展开式中的常数项为2234C 2T ==24.故答案为：4，24四、填空题21．数列{}n a 中，若13a =，11n n na a n +=+，则n a =.【答案】3n【分析】根据数列的递推关系式结合累乘法即可得n a .【详解】由题意，13a =，11n n na a n +=+可得0n a ≠，所以11n n a n a n +=+，所以1211211213312n n n n n a a a n n a a a a a n n n-----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=- .故答案为：3n.22．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则n a =.【答案】21n -【解析】根据()12n n n a S S n -=-≥，求出通项，再验证1n =也满足所求式子即可.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和2n S n =，所以()()2211212n n n a S S n n n n -=-=--=-≥，又111a S ==也满足上式，所以21n a n =-.故答案为：21n -.【点睛】本题主要考查由n S 求数列的通项，属于基础题型.23．若曲线()()21e x f x ax -=-在点()()22f ,处的切线过点()3,2，则实数a 的值为.【答案】45/0.8【分析】根据导数的几何意义结合导数的运算即可确定切线方程，根据切线方程过点()3,2，列方程求解实数a 的值.【详解】由()()21e x f x ax -=-，得()()22e 1e x xf x a ax --=+-'，∴()22131f a a a '=+-=-，又()221f a =-，∴曲线()()21x f x ax e -=-在点()()22f ,处的切线方程为()()21312y a a x -+=--，代入()3,2，得3231a a -=-，解得45a =.故答案为：45.24．已知函数3()f x mx x =-在()-∞+∞上是减函数，则m 的取值范围是．【答案】0m ≤【分析】根据导数与单调性的关系,对3()f x mx x =-求导,并令'()0f x ≤,即可求得m 的取值范围.【详解】因为函数3()f x mx x =-则2'()31f x mx =-因为()f x 在()-∞+∞上是减函数所以'()0f x ≤在()-∞+∞上恒成立即2310mx -≤则当0x =时,'(0)10f =-≤恒成立当0x ≠时,213m x ≤在()-∞+∞上恒成立,则0m ≤综上所述,m 的取值范围是0m ≤【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用,二次函数恒成立问题,属于基础题.25．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下．如果函数()y f x =满足如下条件：（1）在闭区间[],a b 上是连续的；（2）在开区间(),a b 上可导.则在开区间(),a b 上至少存在一点ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中ξ被称为“拉格朗日中值”．则()x g x e =在区间[]0,1上的“拉格朗日中值”ξ=．【答案】()ln e 1-【分析】先求()g x '，结合拉格朗日中值的定义，可得()()()()1010g g g ξ'-=-求得ξ的值即可.【详解】由()e xg x =可得()e xg x '=，所以()e g ξξ'=，由拉格朗日中值的定义可知()()()10e 110g g g ξ-'==--，即e e 1ξ=-，所以()ln e 1ξ=-．故答案为：()ln e 1-.五、解答题26．有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(结果用数字回答)（1）选4人排成一排;（2）排成前后两排,前排1人，后排4人;（3）全体排成一排,女生必须站在一起;（4）全体排成一排,男生互不相邻;（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边;（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边;（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前.【答案】（1）120；（2）120；（3）36；（4）72；（5）72；（6）78；（7）20.【分析】（1）（2）直接利用排列求解；（3）利用捆绑法求解；（4）利用插空法求解；（5）利用优先法求解；（6）利用间接法求解；（7）利用整体法求解.【详解】（1）选4人排成一排，有45120A =种；（2）排成前后两排,前排1人，后排4人，有45120A =种；（3）全体排成一排,女生必须站在一起，有333336A A ⋅=种；（4）全体排成一排,男生互不相邻，有323472A A ⋅=种；（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边，有143472A A ⋅=种；（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有5443544378A A A A --+=种；（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前，有2520A =种.27．已知数列{}n a 满足11a =，12n na a +=，等差数列{}nb 满足13b a =，21b a =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和.【答案】（1）12n n a -=，73n b n =-；（2）2113212nn n --+【分析】（1）依题意{}n a 为等比数列，由等比数列的通项公式计算可得n a ；由13b a =，21b a =，求出公差，进而得到n b ；（2）求得1273n n n a b n -+=+-，利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【详解】解：（1）由11a =，12n na a +=，可得12n n a -=；设等差数列{}nb 的公差为d ，由134b a ==，211b a ==，可得213d b b =-=-，则43(1)73n b n n =--=-；（2）1273n n n a b n -+=+-，可得数列{}n n a b +的前n 项和为1(124...2)(41...73)n n -++++++++-2121113(473)211222n n n n n n --=++-=-+-．28．已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，43a =-再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)数列{}n a 的通项公式；(2)n S 的最小值，并求n S 取得最小值时n 的值．条件①：424S =-；条件②：132a a =．【答案】(1)条件①：211,N n a n n +=-∈；条件②：315,Nn a n n +=-∈(2)条件①：5n =时，最小值为525S =-；条件②：4n =或5n =时，最小值为4530S S ==-.【分析】（1）根据等差数列定义，设出公差d 利用所选条件分别解得1a 和d ，即可写出数列的通项公式；（2）根据通项公式可得前n 项和为n S 的表达式，再根据二次函数性质即可求得最小值.【详解】（1）若选择条件①：设等差数列{}n a 的公差为d ，由43a =-可得133a d +=-；又424S =-，得1434242a d ⨯+=-，即12312a d +=-；解得19,2a d =-=，所以()()11921211n a a n d n n =+-=-+-=-；即数列{}n a 的通项公式为211,N n a n n +=-∈.若选择条件②：设等差数列{}n a 的公差为d ，由43a =-可得133a d +=-；又132a a =，即()1122a a d =+，得140a d +=；解得112,3a d =-=；所以()()151313121n a a n d n n =-=+--=-+；即数列{}n a 的通项公式为315,N n a n n +=-∈.（2）若选择条件①：由211,N n a n n +=-∈可得，()22(1)92105252n n n S n n n n -=-+⨯=-=--；根据二次函数的性质可得当5n =时，25n S =-为最小；即5n =时，n S 取最小值，且最小值为525S =-.若选择条件②：由315,N n a n n +=-∈可得，()22(1)339243123922228n S n n n n n n -⎛⎫=-+⨯=-=-- ⎪⎝⎭；根据二次函数的性质可得当4n =或5n =时，30n S =-为最小；即4n =或5n =时，n S 取最小值，且最小值为4530S S ==-.29．已知曲线C ：()3f x x x =-.(1)求()1f '的值；(2)求曲线C 在点()()1,1P f 处的切线方程；(3)求函数()f x 的极值.【答案】(1)2(2)220x y --=(3)极大值为239，极小值为239-【分析】（1）根据题意，求导之后代入计算即可得到结果；（2）根据题意，求导之后，由导数的几何意义即可得到结果；（3）根据题意，求导之后，代入计算，即可得到极值.【详解】（1）已知()3f x x x =-，函数定义域为R ，可得()231f x x '=-，所以()213112f '=⨯-=；（2）由（1）知()12f '=，又()31110f =-=，所以曲线C 在点()()1,1P f 处的切线方程为()021y x -=-，即220x y --=；（3）由（1）知()231f x x '=-，令()0f x '=，解得33x =-或33x =，当33x <-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当3333x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当33x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()f x 在33x =-处取得极大值239，在33x =处取得极小值239-.30．已知函数()()22ln f x ax a x x =-++.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的倾斜角；(2)当0a >时，函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为2-，求a 的取值范围；(3)若对任意1x 、()20,x ∈+∞，12x x <，且()()112222f x x f x x +<+恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)0(2)[)1,+∞(3)[]0,8【分析】（1）求出()1f '的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的倾斜角；（2）求得()()()()1210ax x f x x x --'=>，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()f x 在[]1,e 上的单调性，结合()min 2f x =-可得出实数a 的取值范围；（3）设()2ln g x ax ax x =-+，分析可知，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，对实数a 的取值进行分类讨论，结合2210ax ax -+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）解：当1a =时，()23ln f x x x x =-+，()123f x x x'=-+，则()10f '=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的倾斜角为0.（2）解：函数()()22ln f x ax a x x =-++的定义域为()0,∞+，当0a >时，()()()()()1211220ax x f x ax a x x x --'=-++=>，令()0f x '=，可得12x =或1x a =.①当101a<≤时，即1a ≥时，()f x 在[]1,e 上单调递增，所以()f x 在[]1,e 上的最小值是()12f =-；②当11e a <<，即11ea <<时，若11x a <<，则()0f x '<，此时函数()f x 在11,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，当1e x a <<时，即()0f x ¢>，此时函数()f x 在1,e a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以，()f x 在[]1,e 上的最小值是()112f f a ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，不合题意；③当1e a ≥，即10ea <≤时，对任意的[]1,e x ∈时，()0f x '≤，则()f x 在[]1,e 上单调递减，所以()f x 在[]1,e 上的最小值是()()e 12f f <=-，不合题意.综上可得1a ≥，故a 的取值范围为[)1,+∞.（3）解：设()()2g x f x x =+，则()2ln g x ax ax x =-+，对任意1x 、()20,x ∈+∞，12x x <，且()()112222f x x f x x +<+恒成立，等价于()g x 在()0,∞+上单调递增.而()21212ax ax g x ax a x x-+'=-+=，①当0a =时，()10g x x'=>，此时()g x 在()0,∞+单调递增；②当0a ≠时，只需()0g x '≥在()0,∞+恒成立，因为()0,x ∈+∞，只要2210ax ax -+≥，则需要0a >，二次函数221y ax ax =-+的对称性为直线14x =，只需280a a ∆=-≤，即08a <≤.综上可得08a ≤≤，所以a 的取值范围为[]0,8.【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数()f x 在区间[],a b 上单调，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数()f x 在区间[],a b 内有极值，则要求先求出函数()f x 在区间[],a b 上的极值，再与()f a 、()f b 比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数()f x 在区间[],a b 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.。
2022-2023学年江苏省淮安市高二下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省淮安市高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知离散型随机变量的概率分布如表：则其数学期望等于（ ）ξ()E ξξ135P 0.5m 0.2A ．1B ．0.6C ．D ．2.423m+【答案】D【解析】根据所给的分布列，根据分布列中所有的概率之和是1，求出m 的值，求期望即可．【详解】∵分布列中出现的所有的概率之和等于1，∴0.5+m +0.2＝1，∴m ＝0.3，∴随机变量的数学期望E （ξ）＝1×0.5+3×0.3+5×0.2＝2.4．故选：D ．【点睛】本题考查分布列的性质和方差，本题解题的关键是根据分布列的性质做出分布列中未知的字母，本题是一个基础题．2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种【答案】D【分析】由分步乘法原理计算．【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.5232=故选：D3．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为1111ABCD A B C D -D E 1BB F 的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（ ）．11A D AEFA ．（1，，4）B ．（，1，）2-4-2-C ．（2，，1）D ．（1，2，）2-2-【答案】B【分析】设正方体的棱长为2，依次求出各点坐标，设向量是平面的法向量，根据(,,)n x y z =AEF 法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案．【详解】解：设正方体的棱长为2，则，，(2,0,0),(2,2,1)A E (1,0,2)F ∴，(0,2,1),(1,0,2)AE AF ==-设向量是平面的法向量，(,,)n x y z = AEF 则取，得，20,20,n AE y z n AF x z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩1y =2,4z x =-=-则是平面的一个法向量，(4,1,2)n =-- AEF 结合其他选项，只需和共线即可，(4,1,2)n =--检验可知，ACD 选项均不与共线.(4,1,2)n =-- 所以能作为平面的法向量只有选项B AEF 故选：B ．4．已知随机变量，，且，，则（ ）()6,X B p ~()2,Y N μσ()122P Y ≥=()()E X E Y =p =A ．B ．C ．D ．12131416【答案】B【分析】根据随机变量可知，再根据，，()6,X B p ~()6E x p=()2Y N μσ，()122P Y ≥=可求出，利用，建立方程，即可求出结果.()2E Y =()()E X E Y =【详解】因为随机变量，所以，()6,X B p ~()6E X p=因为，，所以，即，()2Y N μσ，()122P Y ≥=2μ=()2E Y =又()()E X E Y =所以，即.62p =13p =故选：B.5．从甲､乙､丙､丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有（ ）A ．24种B ．18种C ．21种D ．9种【答案】B【分析】参赛方案可分两步完成，第一步从乙，丙，丁三人中选两人，第二步将甲和所选两人安排去参加三个不同科目的竞赛，故这是一个分步完成的排列组合综合问题.【详解】参赛方案可分两步完成，第一步从乙，丙，丁三人中选两人，有种方法，23C 第二步将甲和所选两人安排去参加三个不同科目的竞赛，有种方法，33A 由分步乘法计数原理可得共有种方法.233318C A =故选：B.6．的展开式的常数项是（ ）()51211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．10-9-119【答案】B【分析】写出的展开式的通项为，分别令，511⎛⎫- ⎪⎝⎭x ()51551C 11C rr r r r rr T x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭1r -=-，即可求得常数项.0r -=【详解】因为的展开式的通项为，511⎛⎫- ⎪⎝⎭x ()51551C 11C rr r r rr r T x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭所以令，，则，，1r -=-0r -=0r =1r =所以的展开式为常数项的是()51211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()1011005521C 11C 1019x x x -⋅-+⋅-=-+=-故选：B7．甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比13赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．5277272919【答案】B【分析】按照相互独立事件的概率乘法法则，分类计算求和即可.【详解】分三类：①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为：；131139⨯=②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为：；1112(1)33327-⨯⨯=③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为：.1112(1)33327⨯-⨯=故甲获胜的概率为：.12279272727++=故选：B.8．已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，在底面ABC 上的射111ABC A B C -1A 影D 为BC 的中点，则异面直线AB 与所成的角的为（ ）1CCA ．B ．C ．D ．6π4π3π2π【答案】C 【分析】连接，由，得到为异面直线与所成的角，结合余弦11,,A D AD A B11//CC AA 1A AB ∠AB 1CC 定理，即可求解.【详解】连接，由，所以为异面直线与所成的角，11,,A D AD A B11//CC AA 1A AB ∠AB 1CC 因为三棱锥的底面是边长为的等边三角形，且侧棱长为，111ABC A B C -23在底面ABC 上的射影D 为BC 的中点，1A可得,11AD A D A B ======由余弦定理，可得，19471cos 2322A AB +-∠==⨯⨯因为，所以，1(0,]2A AB π∠∈13A AB π∠=所以异面直线AB 与所成的角的为.1CC 3π故选：C.二、多选题9．下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（ ）A ．B ．A C !mmnnn =()()2221A A m m n n n n ++++=C ．D ．111C C C m m m n n n +++=+1232C C C C n nn n n n =++++ 【答案】BC【分析】对于AC,根据组合数的公式即可;对于B ，根据排列数的公式即可;对于D ，根据二项式定理即可.【详解】对于A,,故A 错误；A C !mmnnm =对于B ，，故B 正确；()()()121221A 2A A m m m n n n n n n ++++++=+=对于C ，组合数的性质，，故C 正确；111C C C m m m n n n +++=+对于D ，由二项式定理知，=，故D 错误；()012311C C C C +C nnn n n n n+=++++ 2n故选：BC.10．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（ ）A ．从中任取3球，恰有一个白球的概率是35B ．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43C ．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25D ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627【答案】ABD【解析】A.由古典概型的概率求解判断；B.根据取到红球次数X ～B ，再利用方差公式求解判26,3⎛⎫ ⎪⎝⎭断；C ．设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．由P (B |A )＝求解判断；D ．易()()p A B P A ⋂得每次取到红球的概率P ＝，然后再利用对立事件求解判断.23【详解】A.恰有一个白球的概率，故A 正确；12243635p C CC ==B.每次任取一球，取到红球次数X ～B ，其方差为，故B 正确；26,3⎛⎫ ⎪⎝⎭22461333⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭C ．设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．则P (A )＝，P (A ∩B )＝，所以23432655⨯=⨯P (B |A )＝，故C 错误；()()35p A B P A ⋂=D ．每次取到红球的概率P ＝，所以至少有一次取到红球的概率为，故D 正确．23322611327⎛⎫--=⎪⎝⎭故选：ABD.11．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（ ）A ．若女生必须站在一起，那么一共有种排法5335A AB ．若女生互不相邻，那么一共有种排法3434A A C ．若甲不站最中间，那么一共有种排法1666C AD ．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法7676A 2A -【答案】AC【分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.【详解】选项,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有种，加上4名男生一共A 33A有5个个体，则有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；55A 5335A A A 选项,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有种，再将3名女生插入空中，B 44A 有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故不正确；35A 4345A A B 选项,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方C 式有种，再将剩余的6人全排列，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故16C 66A 1666C A 正确；C 选项,利用间接法，3人站成一排共有种排法，若甲站最左边有种排法，乙站最右边有D 77A 66A种排法，甲站最左边且乙站最右边有种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共66A 55A 有种排法，故不正确；765765A 2A A -+D 故选：AC.12．如图所示，在棱长为2的正方形中，点，分别是，的中点，则（ 1111ABCD A B C D -E F BC 1CC ）A ．1A D AF⊥B ．与平面1D CAEF C ．二面角的余弦值为A EF C --13D ．平面截正方体所得的截面周长为AEF +【答案】BD【分析】利用坐标法，对A ，由向量数量积与垂直的关系即可判断；对B ，由向量法求线面角；对C ，由向量法求面面角；对D ，分析得，则平面AEF 截正方体所得的截面为四边形1//EF AD，即可根据几何关系求周长，1EFD A 【详解】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则D xyz -，()()()()()()()110,0,0,2,0,0,2,0,2,0,2,1,0,0,2,0,2,0,1,2,0D A A F D CE 对A ， ，，故与不垂直，A 错；()()12,0,2,2,2,1A D AF =--=-140220A D AF ×=+-=¹1A D AF 对B ，，设平面AEF 的法向量为，则()()()11,2,0,2,2,1,0,2,2AE AF CD =-=-=-(),,n x y z =，令，则有，20220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩2x =()2,1,2n = 设与平面AEF 所成角为，则B 对；1D Cθ111||sin cos ,n CD θn CD n CD×===对C ，平面EFC 的一个法向量为，则，∴二面角()0,1,0m =1cos ,3m =的余弦值为，C 错；A EF C --13-对D ，由，，可得，平面AEF 截正方体所得的截()()12,0,2,1,0,1AD EF-=-=12AD EF=1//EF AD 面为四边形，1EFD A 则有AEF截正方体所得的截面周长为11AD EF AE D F ==D 对.故选：BD.三、填空题13．现从某校2022年高三上学期某次测试成绩中随机抽取部分学生的物理成绩作为样本进行分ξ析，成绩近似服从正态分布，且，则__________．ξ()273,N σ()770.78P ξ<=()6973P ξ<<=【答案】/0.28725【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.【详解】由题意可得：，则，()730.50P ξ≤=()73770.28P ξ<<=故.()()697373770.28P P ξξ<<=<<=故答案为：.0.2814．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为1a ，…，第行的第3个数字为，则___________.2a 1n +n a 12310a a a a ++++=【答案】220【分析】先利用二项式定理，得，再进行组合数计算即可.21C n n a +=【详解】由题意，得，21C n n a +=所以12310a a a a ++++ 222223411C C C C =+++⋅⋅⋅+65768798109111013610212121212121⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯13610152128364555=+++++++++.220=故答案为：220.15．在长方体中，，，若E 为的中点，则点E 到面1111ABCD A B C D -11AD AA ==2AB =AB 的距离是______.1ACD 【答案】13【分析】以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法DA DC 1DD能求出点E 到面的距离.1ACD 【详解】以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：DA DC 1DD ，，，，()1,1,0E ()1,0,0A ()0,2,0C ()10,0,1D ，，，()1,2,0AC =-()11,0,1AD =-()0,1,0AE =设平面的法向量，1ACD (),,n x y z =则，取，得，1200n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1y =()2,1,2n = ∴点E 到面的距离为.1ACD 13AE n d n ⋅==故答案为：.13【点睛】本题考查点到平面距离的向量求法，属于基础题.16．经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则34ξ取得最大值时的值为__________.()P k ξ=k 【答案】4【分析】由已知可得，，根据二项分布的分布列公式求出时的概率，即35,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭ 0,1,2,3,4,5ξ=可得出答案.【详解】由已知可得，，.0,1,2,3,4,5ξ=35,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭ 则，，()0553310C 1441024P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()141533151C 1441024P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，()23253390452C 1441024512P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3235332701353C 1441024512P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，()4145334054C 1441024P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5055332435C 1441024P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，当时，取得最大值.4k =()P k ξ=故答案为：.4四、解答题17．已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.22nx ⎛ ⎝(1)求展开式中所有二项式系数的和；(2)求展开式中的常数项.【答案】(1)1024(2)180【分析】（1）根据前三项的二项式系数之和列出方程，求出，进而求出所有二项式系数的和；10n =（2）利用展开式的通项公式，令的次数为0，求出，得到答案.x 9180T =【详解】（1）前三项的二项式系数和为，()0121C C C 1562n n n n n n -++=++=解得或-11（舍去），10n =中，展开式中所有二项式系数的和为；1022x ⎛ ⎝1021024=（2）的展开式通项公式为，1022x ⎛ ⎝()()1520102102211010C 21C 2rr r r r r r r T x x x ----+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭令得，故.52002r -=8r =()8829101C 2454180T =-⋅=⨯=18．已知向量，()1,0,1a =- ()1,2,0b =- (1)求与的夹角；a ()a b - (2)若与垂直，求实数t 的值．2a b + a tb -【答案】(1)π4(2)1【分析】(1)结合向量数量积性质夹角公式的坐标表示即可求解；(2)由向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】（1），，()1,0,1a =- ()1,2,0b =-∴()2,2,1a b -=- ，3a -= 令与的夹角为，a()a b -θ则，cos a a b a a bθ=→→→→→→⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭==⋅-则与的夹角为.a ()a b - π4（2），， ()21,2,2a b +=-- ()1,2,1a tb t t -=-- 又与垂直，，2a b + a tb - ∴()()20a b a tb +-= 即，解得.()()1122120t t -⨯--+⨯-+⨯=1t =19．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数.(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表.【答案】(1)5400（种）(2)840（种）(3)3360（种）【分析】（1）先选后排，分类讨论列式求解；（2）除去一定担任语文科代表的女生后先选后排，，先选后排计算可得；（3）先安排不担任语文科代表的该男生，先选后排计算可得.【详解】（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，所以先选有种，后排有种，32415353C C C C +55A 所以共有不同选法（种）.()3241553535C C C C A 5400+⋅=（2）除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法（种）.4474C A =840⋅（3）先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法（种）.414744C C A 3360⋅⋅=20．盒中有大小形状完全相同的8个红球和2个黑球．(1)现随机从中取出一球，观察颜色后放回，并加上与取出的球同色的球2个，再从盒中第二次取出一球，求第二次取出黑球的概率；(2)从中抽取3个球进行检测，随机变量表示取出黑球的个数，求的分布列及期望．X X 【答案】(1)15(2)分布列见解析，期望为.35【分析】（1）根据全概率公式即可求解，（2）根据超几何分布求解概率，进而可求分布列以及期望.【详解】（1）记第二次取出黑球为事件A,第一次取出红球记为事件,第一次取出黑球记为事件，1B 2B 所以.()()()()()112282241101210125P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯=（2）可能为0，1，2,X38310C 567(0)C 12015P X ====2182310C ×C 567(1)=C 12015P X ===.1282310C ×C 81(2)=C 12015P X ===的分布列为：X X012P 715715115.7713()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=21．某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况，以便及时补充医疗资源.从全市中小学生中随机抽取了100名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格：X 疼痛指数X10X ≤1090X <<90X ≥人数（人）10819名称无症状感染者轻症感染者重症感染者其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者.(1)统计学中常用表示在事件A 发生的条件下事件发生的似然比.现从样本中随机抽取()()P B A L P B A =∣∣B 1名学生，记事件：该名学生为有症状感染者，事件：该名学生为重症感染者，求似然比的A B L 值；(2)若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数近似的服从正态分布，且X ()2N 50,σ.若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取3名，设这3名学生中轻症感()19010P X ≥=染者人数为，求的分布列及数学期望.Y Y 【答案】(1)19(2)分布列见解析，2.4【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可；（2）应用，由二项分布分别写出求分布列及计算数学期望.4B 3,5Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【详解】（1）由题意得：，8199991981(),(),(),(),()10010100100100100P A P B P B P AB P AB +======，()()()9110091010P AB P B A P A ∴===∣，81()9100()9()1010P AB P B A P A ===∣.1()1109()910P B A L P B A ∴===∣∣（2），()()1109010P X P X ≤=≥= ，则，14(1090)12105P X ∴<<=-⨯=4B 3,5Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 可能的取值为，Y 0,1,2,3()()()3221233311141241480C ;1C ;2C ;51255512555125P Y P Y P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==⨯===⨯⨯===⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3334643C 5125P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭的分布列为：Y ∴Y0123P 1125121254812564125数学期望.∴()43 2.45E Y =⨯=22．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且.90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，，求二面角A −PB −C 的余弦值.90APD ∠=【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）由已知，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ．90BAP CDP ∠=∠=︒由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD ．又AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．⊂（2）在平面内作，垂足为，PAD PF AD ⊥F 由（1）可知，平面，故，可得平面.AB ⊥PAD AB PF ⊥PF ⊥ABCD 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F FAx AB .F xyz -由（1）及已知可得，，，.A ⎫⎪⎪⎭P ⎛⎝B ⎫⎪⎪⎭C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以，，，.PC ⎛=⎝ )CB =PA = ()0,1,0AB = 设是平面的法向量，则(),,n x y z = PCB 即0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩0,0,x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩可取.(0,1,n =- 设是平面的法向量，则(),,m x y z =PAB 即可取.0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩0,0.z y =⎪=⎩()1,0,1m =则，cos,n mn mn m⋅==所以二面角的余弦值为A PB C--【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.。
陕西省西安市第八十三中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
西安市第八十三中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一项符合要求）1. 已知是实数集，集合，，则（ ）A. B. C. D. 2. 为虚数单位，则（ ）A B. C. D. 3. 已知向量，，则与向量共线的向量的坐标可以是（ ）A. B. C. D. 4. 奇函数对任意都有，且，则（ ）A. B. 0 C. 1 D. 25. 为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下（单位cm ）：60，61，62，63，65，65，66，67，69，70，则第40百分位数是（ ）A. 62B. 63C. 64D. 656. 已知，则（ ）A. B. C. 1 D. 7. 函数的部分图像大致是（ ）A. B.C. D..R {}1,0,1A =-{}210B x x =-≥A B = {}1,0-{}11,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭i ()i 12i ⋅-=2i +2i -2i -+2i--1,12a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2,1b =r 2a b + ()3,1-()8,3-()9,4-()3,2-()f x x ∈R ()()12f x f x =+()81f -=-()2024f =1-2936m n ==112m n +=6log 18126log 5()22411x x f x x ++=+8. 设的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，则（ ）A B. C. D. 二、多选题（本小题4小题，每小题5分，共20分.每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为且支出在元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 估计众数为B.估计中位数是C. 估计平均数D. 支出在的频率为10. （多选）已知函数（），下列结论正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为B. 函数是偶函数C. 函数的图象关于直线对称D. 函数在区间上是增函数11. 如图，在直三棱柱中，底面为等边三角形，，，分别为，的中点，记过，，三点的平面与的交点为，则下列说法正确的是（ ）.为ABC V 35cos ,cos ,3513A B b ===c =1451351252n [)20,6043400943[)50,600.253π()sin 22f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭x ∈R ()f x π()f x ()f x π4x =()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦111ABC A B C -ABC 16AA AB ==E F 1BB 11A C A E F 11B C DA. 为的中点B. 三棱锥C. 截面的周长为D. 截面的面积为2412.设，，，则下列结论中正确的是（）A. B. 当时，C. 若，，则D. 当，时，三、填空题（本小题4小题，每小题5分，共20分）13. 函数的零点所在的区间是，则__________.14. 若实数满足，则的最小值为_________.15. 设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为__________．16. 已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率_______D 11B C 1B DEF -AEDF +AEDF ()23012312n n n x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+x ∈R *N n ∈()121231212222n n n n a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=-3n ≥()()2326141n a a n n a n n ++⋅⋅⋅+-=-87a a >89a a >12n =12000x =-2024n =()125n x ->()ln 23f x x x =+-()(),1N n n n +∈n =,a b 221a b +=22141a b ++()()sin f x x ωϕ=+π(0,0)2ωϕ><<π6x =()f x 23四、解答题（本题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数在时取得极值.（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最小值.18. 的内角A ，B ，C 所对的边分别为，已知.（1）求角C .（2）设D 为边AB 的中点，的面积为2，求的最小值.19. 一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球.（1）求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；（2）停止取球时，记总的抽取次数为X ，求X 的分布列与数学期望.20. 如图，长方体中，为线段的中点,.(Ⅰ)证明：⊥平面；(Ⅱ)求点到平面距离.21. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A 市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率悬多大?（2）从这8名跟角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数的期望与方差；（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出20位小学生，记其中佩戴角膜塑形镜的人数为Y ，求恰好时的概率（不用化简）及Y 的方差.的32()2f x x x ax =--+1x =()f x ()f x []22-,ABC ∆,,a b c cos 2cos 22sin sin 1A B A B ++=+cos 2C ABC ∆2CD 1111ABCD A B C D -EBC 11,2,AB AD AA ===X A 5Y =22. 已知椭圆C ：过点，过其右焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B两点，且（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ：与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中点为Q ，在y 轴上是否存在定点P ，使得∠EQP ＝2∠EFP 恒成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．()222210x y a b a b +=>>⎛ ⎝2F AB =12y kx =-西安市第八十三中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题简要答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一项符合要求）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A二、多选题（本小题4小题，每小题5分，共20分.每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】BCD【12题答案】【答案】ACD三、填空题（本小题4小题，每小题5分，共20分）【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】##45【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】四、解答题（本题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【17题答案】【答案】（1）递增区间是，递减区间是；（2）.【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1） （2）分布列略，【20题答案】【答案】(Ⅰ)略；(Ⅱ) 1【21题答案】【答案】（1）（2）， （3），【22题答案】.192()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭151(,)3-∞-+∞1(,1)3-8-3π335()275E X =13()34E X =()45112D X =()155520(5)C 0.0810.08P Y ==⨯⨯-() 1.472D Y =【答案】（1） （2）存在定点，2213x y +=()0,1P。
四川省成都市树德中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
成都市树德中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 4名同学分别报名参加足球队､篮球队､乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法有（ ）A. 81种B. 64种C. 24种D. 12种2. 下列结论正确的是（ ）A. B. C. 若，则 D. 若，则3. 已知数列满足，，则数列前2025项的积为（ ）A. 2B. 3C.D. 64. 如图，射线和圆，当从开始在平面上绕端点按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图象大致是（ ）AB. C. D.5. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）A. 14B. 12C. 6D. 36. 已知数列满足，，则等于（ ）.[]1ln(21)21x x '-=-0(1)(1)lim(1)x f x f f x∆→-∆-'=∆πcos4y =πsin 4y '=-2()(1)f x f x x '=-(1)1f '={}n a 12a =111nn na a a ++=-{}n a 12-{}n a 2542a a -=6a ={}n a 11a =()11N+*+-=∈n n n n a a na a n naAB.C.D.7. 已知函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，选对部分得部分分，多选、错选或不选得0分，共18分）9. 等差数列的前n 项和为，若，则下列结论正确的是（ ）AB. C. D.10. 设是三次函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为三次函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．设函数，则以下说法正确的是（ ）A. 拐点为 B. 有极值点，则C. 过的拐点有三条切线D. 若，，则11. 已知，.若存在，，使得成立，则下列结论中正确的是（ ）A. 当时， B. 当时，C. 不存在，使得成立D. 恒成立，则第Ⅱ卷三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）..的22n n -222n n -+22n n-222n n -+2()sin cos f x x x x x =++1(ln )ln2(1)f x f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭(,)e +∞(0,)e 10,(1,)e e ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭1e e⎛⎫ ⎪⎝⎭,()f x (),f x 'R ()f x ()1e f =()()e xf x f x +<'R ()()2e xf x x <-(),2-∞()2,+∞(),1-∞()1,+∞{}n a n S 9100,0a a <>109S S >170S <1819S S >190S >()f x '()y f x =()f x ''()f x '()0f x ''=0x 00(,())x f x ()y f x =32()f x x bx cx =++()f x ,33bb f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 230b c ->()f x 3b =-1c =(2)()2f x f x -+=-()e xf x x =()lng x x x =1x ∈R ()20,x ∈+∞()()12f x g x t ==0t >12x x t=0t >12eln t x x ≤t ()()12f x g x =''()()f x g x mx >+2m ≤12. 已知等比数列前项和为，若，，则________．13. 将5个人排成一排，若甲和乙须排在一起，则有__________种不同的排法．（用数字作答）14. 已知对任意，且当时，都有：，则的取值范围是__________.四、解答题（本大题共5题，15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分共77分）15. 在数列中，，点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n 项和.16. 已知函数.（1）当时，求的单调区间，并求的极值；（2）若函数在区间上的最大值为，求的值.17. 某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过年后，该项目的资金为万元.（1）求数列的通项公式.（2）求至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）；（3）若，，求数列的前项和.18. 已知函数.（1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若时，（i ）方程在上有唯一的实根，求的取值范围；（ii ）函数.若，是方程的两个实根，求证：.的{}n b n n T 31T =67T =9T =()12,0,x x ∈+∞12x x <()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-a {}n a 616a =()()1,n n a a n *+∈N 30x y -+={}n a 2nn n b a ={}n b n T ()ln f x ax x =+1a =-()f x ()f x ()f x (0,e)3-a n n a {}n a lg 20.3=1(1049)n b n a =-21n n n c b b +={}n c n n S ()e 1x f x ax =+-2a =()y f x =(0,0)1a =-()f x m =[1,2]-m ()()1)e 2(x f x b x F x +-+=1x 2x ()1F x =12123e e 2e x x x x +-+>19. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线可为双曲余弦函数的图象，类似的可定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.（1）类比正弦函数的二倍角公式，请写出（不证明）双曲正弦函数的一个正确的结论：________；（2）当时，比较与的大小，并说明理由；（3）证明：e e ch()2x xx -+=e e sh()2x xx --=sh(2)x =0x >sh()x x *22sh sh sh(2)sh(1)432(N )111tan121tan tan tan23n nn n n n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++>∈+成都市树德中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题简要答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，选对部分得部分分，多选、错选或不选得0分，共18分）【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】AB第Ⅱ卷三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题（本大题共5题，15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分共77分）【15题答案】【答案】（1）； （2）.【16题答案】【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值； （2）.【17题答案】【答案】（1）（2）12年 （3）【18题答案】【答案】（1） （2）（i ）或；（ii ）证明略【19题答案】【答案】（1） （2），理由略 （3）证明略4348(],2-∞32n a n =-1(35)210n n T n +=-⋅+(0,1)(1,)+∞(1)1f =-2e a =-158002504n n a -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭31142224n S n n =--++3y x =0m =21e 3em <≤-sh(2)2sh()ch()x x x =⋅sh()x x >。
2023-2024学年天津市武清区高二下学期期中数学试题(含解析)
2023-2024学年天津市武清区高二下册期中数学试题一、单选题1．下列运算正确的是（）A ．()33ln xx x'=B ．2sin cos sin x x x x x x '+⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()21log ln 2x x '=D ．2111x x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的四则运算逐个计算即可．【详解】对于A 选项，()33ln 3x x '=，故A 选项错误；对于B 选项，2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 选项错误；对于C 选项，()21log ln 2x x '=，故C 选项正确；对于D 选项，2111x x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，故D 选项错误；故选：C2．已知函数3()31f x x x m =-+-有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(1,3)-B ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞C ．(2,2)-D ．(,2)(2,)-∞-+∞ 【正确答案】A【分析】构造新函数3()31h x x x =-+并利用导数求得其极值，再利用函数()f x 的零点即函数3()31h x x x =-+与直线y m =的图像的交点横坐标，进而求得实数m 的取值范围.【详解】令3()31h x x x =-+，则2()33h x x '=-，由()0h x '>得，1x >或1x <-；由()0h x '<得，11x -<<，则当1x >或1x <-时3()31h x x x =-+单调递增；当11x -<<时3()31h x x x =-+单调递减.则=1x -时()h x 取得极大值(1)3h -=；1x =时()h x 取得极小值(1)1h =-.函数3()31f x x x m =-+-有三个零点，即函数3()31h x x x =-+与直线y m =的图像有3个不同的交点，则实数m 的取值范围是(1,3)-故选：A3．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A ．()f x 在区间()1,1-上单调递增B ．()f x 在区间()2,0-上单调递增C ．1-为()f x 的极小值点D ．2为()f x 的极大值点【正确答案】D【分析】由图象可确定()f x '在不同区间内的正负，由此可得()f x 单调性，结合极值点定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,1x ∈时，()0f x ¢>；()f x \在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，A 错误；对于B ，当()2,0x ∈-时，()0f x '<，()f x \在()2,0-上单调递减，B 错误；对于C ，()f x 在()2,0-上单调递减，1x ∴=-不是()f x 的极小值点，C 错误；对于D ，当()0,2x ∈时，()0f x ¢>；当()2,3x ∈时，()0f x '<；()f x \在()0,2上单调递增，在()2,3上单调递减，2x ∴=是()f x 的极大值点，D 正确.故选：D.4．若函数()2ln 1af x x x=+-在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(2,)-+∞D ．[2,)-+∞【正确答案】D【分析】先利用导数与函数单调性的关系列出关于实数a 的不等式，解之即可求得实数a 的取值范围.【详解】()2ln 1a f x x x =+-，则2222()a x a f x x x x +'=+=由函数()2ln 1af x x x=+-在区间(1,)+∞上是增函数，可得2222()0a x a f x x x x +'=+=≥在区间(1,)+∞上恒成立，即2a x ≥-在区间(1,)+∞上恒成立，又由(1,)x ∈+∞，可得2(,2)x -∈-∞-，则2a ≥-故选：D5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，且(1)0f =则()0f x >的解集为（）A ．(,1)(0,1)-∞-⋃B ．,1(),)1(-∞-⋃+∞C ．(1,0)(0,1)- D ．(1,0)(1,)-⋃+∞【正确答案】D【分析】设函数()()g x xf x =，其中x ∈R ，根据()f x 的奇偶性得出()g x 为偶函数和(0)0g =，根据(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<得出()g x 在定义域内的单调性，由(1)0f =得出(1)g 和(1)g -的值，画出简图，分类讨论即可得出()0f x >的解集．【详解】设函数()()g x xf x =，其中x ∈R ，则()()()g x f x xf x +''=，因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()()()g x x f x xf x g x -=-⋅-==，且(0)0f =，所以()g x 是R 上的偶函数，(0)0(0)0g f =⨯=，因为当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<，所以()0g x '<，即()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，因为(1)0f =，所以(1)0f -=，所以(1)1(1)0g f =⨯=，(1)1(1)0g f -=-⨯-=，画出()g x 的简图，如图所示，当0x >，()0f x >时，()()0g x xf x =>，则1x >，当0x <，()0f x >时，()()0g x xf x =<，则10x -<<，当0x =，()0f x =，不合题意，综上所述，()0f x >时，(1,0)(1,)x ∈-⋃+∞，故选：D6．已知函数()1ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A利用导数分析函数ln 1y x x =--的单调性以及函数值符号，由此可得出函数()y f x =的图象.【详解】对于函数ln 1y x x =--，该函数的定义域为()0,∞+，求导得111x y x x-'=-=.当01x <<时，0'<y ，此时函数ln 1y x x =--单调递减；当1x >时，0'>y ，此时函数ln 1y x x =--单调递增.所以，函数ln 1y x x =--的最小值为min 1ln110y =--=，即对任意的0x >，ln 10x x --≥.所以，函数()y f x =的定义域为()()0,11,+∞ ，且()0f x >，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.所以，函数()y f x =的图象如A 选项中函数的图象.故选：A.思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.7．如果自然数n 是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n 叫做“集中数”．那么数字0，1，2，3一共可以组成“集中数”个数有（）A ．20B ．21C ．25D ．26【正确答案】B【分析】由分类计数加法原理和分布计数乘法原理，分别讨论十位是0，1，2，3，再确定百位和十位的可能情况即可．【详解】当十位是0时，百位可选1，个位可选0和1，共2个，当十位是1时，百位可选1和2，个位可选0，1和2，共236⨯=个，当十位是2时，百位可选1，2和3，个位可选1，2和3，共339⨯=个，当十位是3时，百位可选2和3，个位可选2和3，共224⨯=个，综上所述，共269421+++=个，故选：B ．8．已知函数211,0()e ,0xx x f x x -⎧+≥=⎨<⎩，点M 、N 是函数()y f x =图像上不同的两个点，设O 为坐标原点，则tan MON ∠的取值范围是（）A ．22e 20,2e 1⎛⎫+ -⎝⎭B ．22e 20,2e 1⎛⎤+ ⎥-⎝⎦C ．22e 20,2e 1⎛⎫+ +⎝⎭D ．22e 20,2e 1⎛⎤+ ⎥+⎝⎦【正确答案】B【分析】作出函数()f x 的图形，求出过原点且与函数()f x 的图像相切的直线的方程，结合两直线夹角公式，数形结合可得出tan MON ∠的取值范围．【详解】当0x <时，1()x f x e -=，则1()0x f x e -'=-<，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，且()(0)f x f e >=，当0x ≥时，2()1f x x =+，作出函数()f x 的图像，如图所示，设过原点且与函数()(0)f x x ≥的图像相切的直线的方程为1y k x =，设切点为211(,1)x x +，斜率111()2k f x x '==，所以切线方程为：2111(1)2()y x x x x -+=-，将原点坐标代入切线方程可得，2111(1)2()x x x -+=-，即211x =，解得11x =，所以过原点且与函数()(0)f x x ≥的图像相切的直线的方程为2y x =，设过原点且与函数()(0)f x x <的图像相切的直线的方程为2y k x =，设切点为()212,e xx -，斜率212x k e -=-，所以切线方程为：22112()x x y ee x x ---=--，将原点坐标代入切线方程可得，22112()x x ee x ---=--，即21x =-，所以过原点且与函数()(0)f x x <的图像相切的直线的方程为2e y x =-，设直线2y x =与2e y x =-的夹角为θ，设直线2y x =的倾斜角为α，直线2e y x =-的倾斜角为β，则()2222tan tan e 2e 2tan tan 1tan tan 1(e )22e 1βαθβαβα---+=-===++-⨯-，结合图形可知，22e 20tan 2e 1MON ∠+<≤-，故选：B ．二、填空题9．设a 为实数，函数32()(3)f x x a x ax =+-+的导函数为()f x '，若()f x '是偶函数，则=a ___________．【正确答案】3【分析】求出()f x '，根据()f x '是偶函数即可得出a 的值．【详解】因为32()(3)f x x a x x α=+-+，所以2()32(3)f x x a x a '=+-+，又因为()f x '是偶函数，所以()f x '是关于y 轴对称的二次函数，所以2(3)06a --=，解得3a =，故3．10．若函数2()ln 2x f x x =-在区间1,2m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，则实数m 的取值范围为___________．【正确答案】1(,1)2【分析】首先求出()f x 的定义域和极值点，由题意得极值点在区间1,2m m ⎛⎫+ ⎝⎭内，且0m >，得出关于m 的不等式组，求解即可．【详解】函数2()ln 2x f x x =-的定义域为(0,)+∞，且2(11)1)1)((x f x x x x xx x -==+-'=-，令()0f x '=，得1x =，因为()f x 在区间1,2m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，所以0112m m m >⎧⎪⎨<<+⎪⎩，解得112m <<，故1(,1)2．11．若函数()ln f x x x x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值为M ，最小值为N ，则实数M N -=__________．【正确答案】2ln 21-【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可求出函数的极小值，再求出区间端点处的函数值，即可求出函数的最值，即可得解.【详解】因为()ln f x x x x =-，所以()ln f x x '=，所以当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时()0f x '<，(]1,2x ∈时()0f x '>，所以()f x 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,2上单调递增，所以函数在1x =处取得极小值，又111111ln 2222222f ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，()22ln 22f =-，()11f =-，因为()311115312ln 22ln 22ln 22ln 2ln 2ln 32ln e2222222⎛⎫----=-++=-=-> ⎝⎭，所以()max 2ln 22f x =-，()()min 11f x f ==-，所以2ln 22M =-，1N =-，则2ln 2212ln 21M N -+=-=-.故2ln 21-12．若函数()ln 2f x x x =--在区间()()*,1N k k k +∈上有零点，则实数k =__________．【正确答案】3【分析】先利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，再根据零点存在性定理求出函数()f x 的零点所在区间，进而确定k 的值.【详解】由()()ln 20f x x x x =-->，得()111x f x x x-'=-=，令()0f x ¢>，则1x >；令()0f x '<，则01x <<，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，而函数()f x 的极小值为()110f =-<，又22110e ef ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在()0,1上存在唯一零点1x ，此时0k =（舍去）；因为()31ln 30f =-<，()42ln 40f =->，所以函数()f x 在()3,4上存在唯一零点2x ，此时3k =.综上所述，3k =.故3.13．已知函数e ()xf x a x=-，当210x x >>时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为____________．【正确答案】(,1]-∞【分析】由当210x x >>时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，得出()()1122x f x x f x <，设函数()()e x g x xf x ax ==-，则()0g x '≥，其中,()0x ∈+∞，由e x a ≥即可得出实数a 的取值范围．【详解】因为当210x x >>时，()()12210f x f x x x -<恒成立，两边同乘以12x x ，得()()11220x f x x f x -<，即()()1122x f x x f x <，设函数()()e x g x xf x ax ==-，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，因为()x g x e a '=-，其中,()0x ∈+∞，所以()0g x '≥，即e x a ≥，因为,()0x ∈+∞时，e (1,)x ∈+∞，所以1a ≤，故(,1]-∞．14．为美化重庆市忠县忠州中学校银山校区的校园环境，在学校统一组织下，安排了高二某班劳动课在如图所示的花坛中种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求相邻区域颜色不同，则有______种不同方案．【正确答案】72【分析】根据题意，按选出花的颜色的数目分2种情况讨论，利用排列组合及乘法原理求出每种情况下种植方案数目，由加法原理计算可得答案【详解】如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，分2种情况讨论：①当选用3种颜色的花卉时，2，4同色且3，5同色，共有种植方案3343C A 24⋅=（种），②当4种不同颜色的花卉全选时，即2，4或3，5用同一种颜色，共有种植方案1424C A 48⋅=（种），则不同的种植方案共有244872+=（种）.故72三、解答题15．编号为1,2,3,4的四位同学，分别就座于编号为1,2,3,4的四个座位上．(1)每位座位恰好坐一位同学，求恰有两位向学编号和座位编号一致的坐法种数？(2)每位座位恰好坐一位同学，求每位同学编号和座位编号都不一致的坐法种数？(3)每位座位恰好坐一位同学，求编号1,2的两位同学必须相邻坐在一起的坐法种数？【正确答案】(1)6(2)9(3)12【分析】（1）由题意从4人中选出2人，他们的编号和座位编号一致，其余2人不一致，即可得答案；（2）考虑第一位同学先选，再分类考虑余下同学的选法，由分类和分步计数原理可求得答案;（3）考虑编号1,2的两位同学先选座位，再考虑其余两人选座位，由分步计数原理可得答案.【详解】（1）由题意从4人中选出2人，他们的编号和座位编号一致，其余两人的不一致，只有一种坐法，故坐法种数为24C 16⨯=；（2）不妨第一位同学先选座位，有3种选法，如果与他选的座位编号相同编号的同学选和第一位同学编号相同的座位，则其余两人只有1种坐法；如果与他选的座位编号相同编号的同学选其余两编号的座位，有2种选法，其余2人只有1种坐法，故共有的坐法种数为3(12)9⨯+=；（3）编号1,2的两位同学必须相邻，可以坐编号为1,2或2,3或3,4的座位，两人内部全排列，其余两人在余下的位置上随便选座位，有22A 2=种坐法，故共有的坐法种数为22223A A 12=.16．已知函数()e ,R x f x x a a =-⋅∈．(1)若曲线在点(0,(0))f 处切线与直线0x y +=平行，求a 的值；(2)若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)2a =；(2)10ea <<【分析】（1）先求得函数()f x 的导数，列出关于a 的方程，解之即可求得a 的值；（2）先将函数()f x 有两个零点转化为方程e x xa =有二根，再构造函数()xx h x e =，并利用导数求得其单调性和极值，进而求得实数a 的取值范围．【详解】（1）由()e ,R x f x x a a =-⋅∈，可得()1e x f x a '=-⋅，则(0)1f a '=-，则11a -=-，解之得2a =.（2）由函数()e ,R x f x x a a =-⋅∈有两个零点，可得方程e xxa =有二根，令()x x h x e=，则()21()x x xx e xe x h x e e --'==由()0h x '>，可得1x <；由()0h x '<，可得1x >，则当1x <时()h x 单调递增；当1x >时()h x 单调递减，则当1x =时()h x 时，()h x 取得极大值1(1)eh =，又(0)0h =，且当x 趋向于正无穷时，e x y =趋向于正无穷的速率远远大于y x =趋向于正无穷的速率，所以()xxh x e =趋向于0，则由方程e xxa =有二根，可得10e a <<17．已知函数()ln (1),R f x x a x a =+-∈．(1)当12a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；(2)当1x >时，()0f x >，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)3ln 202x y -+-=(2)[0,)+∞【分析】（1）利用导数运算法则求出()f x '，进而求出(2)f '和(2)f ，再利用导数的几何意义即可求出切线方程；（2）方法一：由当1x >时，()0f x >得出当1x >时，ln 1x a x >--恒成立，设ln ()1xg x x =-，(1,)x ∈+∞，判断出()0g x '<，再根据当x →+∞，()0g x →，即可得出实数a 的取值范围；方法二：先求出()f x '，再分别讨论0a =，0a >和a<0时()f x 的情况，即可得出实数a 的取值范围．【详解】（1）当12a =时，1()ln (1)2f x x x =+-，则11()2f x x '=+，1(2)ln 22f =+，所以11(2)122f '=+=，所以函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为：1(ln 2)22y x -+=-，即3ln 202x y -+-=．（2）方法一：参数分离因为当1x >时，()0f x >，所以ln (1)0x a x +->，即1x >时，ln 1xa x >--恒成立，设ln ()1xg x x =-，(1,)x ∈+∞，则2211(1)ln 1ln (1))(1()x x xx x g x x x ----=--'=，设1()1ln h x x x=--，(1,)x ∈+∞，因为当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，所以1()1ln h x x x=--在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0h x h <=，所以()0g x '<，即()g x 在(1,)+∞上单调递减，因为当x →+∞，ln 1)0(xx x g →-=，所以0a -≤，即0a ≥，所以当1x >时，()0f x >，实数a 的取值范围是[0,)+∞．方法二：分类讨论11()ax f x a x x+'=+=，①当0a =时，因为1x >，所以()0f x '>，即()f x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0f x f >=，符合题意；②当0a >时，因为1x >，所以()0f x '>，即()f x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0f x f >=，符合题意；③当a<0时，令()0f x '=，得1x a=-，当11a-≤，即1a ≤-时，()0f x '<，即()f x 在(1,)+∞单调递减，所以()(1)0f x f <=，不符合题意，当11a->，即10a -<<时，在1(1,)x a ∈-时，()0f x '>，则()f x 在1(1,)a-单调递增，在1(,)x a∈-+∞时，()0f x '<，则()f x 在1(,)a -+∞单调递减，所以1()()ln()1f x f a a a≤-=----，设()ln()1m a a a =----，(1,0)a ∈-，所以当(1,0)a ∈-时，()0m a '>，则()m a 在(1,0)-上单调递增，所以()(1)0m a m >-=，所以()0f x ≤，不合题意，综上所述，当1x >时，()0f x >，实数a 的取值范围是[0,)+∞．18．已知函数2()1,R ex ax f x a =-∈．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()f x 的极大值为5，求a 的值．【正确答案】(1)答案见解析(2)2e -【分析】（1）求出导数得()()2e xax x f x -'=，分0a >、a<0、0a =讨论得出单调性.（2）结合（1）中结论得到函数的极大值点，再代入计算可得.【详解】（1）因为2()1ex ax f x =-，x ∈R ，且()()()2222e e e e x x x x ax x ax ax f x --'=-=．①当0a >时，当(),0x ∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增．②当a<0时，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,2x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．③当0a =时()0f x '=，()f x 为常数函数，不具有单调性；综上所述：当0a >时，()f x 在(),0∞-，()2,+∞上单调递增，在()0,2上单调递减；当a<0时，()f x 在(),0∞-，()2,+∞上单调递减，在()0,2上单调递增；当0a =时，()f x 为常数函数，不具有单调性.（2）由（1）可得当0a >时()f x 在0x =处取得极大值，但()01f =，不符合题意；当a<0时()f x 在2x =处取得极大值，所以()222215ea f ⨯=-=，解得2e a =-，符合题意，综上可得2e a =-.19．已知函数()()222e (1)x f x x a x =-++.(1)若0a =，（i ）求()f x 的极值.（ii ）设()()()f m f n m n =≠，证明.3m n +<(2)证明：当e a ≥时，()f x 有唯一的极小值点0x ，且()02332e ef x -<<-.【正确答案】(1)（i ）()f x 的极小值为()31e ,2f x -无极大值；（ii ）证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）（i ）求导，结合函数的单调性求得极值；（ii ）由题分析得33,222m n <<<，设()()()33,,22g x f x f x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，结合()g x 的单调性可得()0g x >，进而得()0g n >即()()3f m f n >-，利用()f x 单调性即可证得结论；（2）利用导数可得()f x '在R 单调递增，()2140,15e 02e f a f -'⎛⎫-=-+>-=-< ⎪⎝⎭'，则011,2x ⎛⎫∃∈-- ⎪⎝⎭使()00f x '=，从而当()()0,,0x x f x '∈-∞<，()()0,,0x x f x ∈+∞>'，可证得当e a ≥时，()f x 有唯一的极小值点0x ，且011,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭；由()00f x '=得()()020023e 12x x a x -+=-，从而得()02200031e 22x f x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，令()2231e 22t t t t ϕ⎛⎫=--+ ⎝⎭，利用()t ϕ单调性可证得()02332e ef x -<<-.【详解】（1）（i ）若()()20,2e x a f x x ==-，则()()223e x f x x -'=，由()0f x '=，得32x =.当3,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>.()f x \的单调递减区间为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故()f x 的极小值为()331e ,22f f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭无极大值.（ii ）由（i ）可知，()f x 的极值点为()3,2f x 在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，当32x <时，()0f x <，又()20f =，不妨设m n <，则若()()()f m f n m n =≠，则33,222m n <<<，设()()()()()262332e 1e ,,22x xg x f x f x x x x -⎛⎫=--=---∈ ⎪⎝⎭，则()()()26223e e x x g x x -=--'.设()2623e e ,,22x xh x x -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为增函数，则()302h x h ⎛⎫>= ⎪⎝⎭.32,2302x x <<∴-> ，则()g x 在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，()302g x g ⎛⎫∴>= ⎪⎝⎭，32,()02n g n <<∴> 即()()()()()()330,3f m f n f n f n f m f n --=-->∴>-.33,2,31,22n n ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，又()3,,2m f x ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ 在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，3m n ∴<-，即3m n +<.（2）()()()223e 21x f x x a x =-++'，记()()p x f x '=，()()244e 2xp x x a =-+'，记()()()()2,421e xx p x q x q x '=-'=，当12x =时，()0q x '=，当()()1,,0,2x q x p x ⎛⎫'∈-∞< ⎝'⎪⎭在1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x 单调递减，当()()1,,0,2x q x p x ⎛⎫'∈+∞> ⎝'⎪⎭在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭单调递增，()1e,22e 02a p x p a ⎛≥''⎫≥∴=-≥ ⎪⎝⎭，()p x ∴在R 单调递增，即()f x '在R 单调递增，()12144e 0,15e 02e f a a f --⎛⎫-=-+=-+>-=-''< ⎪⎝⎭，011,2x ⎛⎫∴∃∈-- ⎪⎝⎭使()00f x '=，当()()()0,,0,x x f x f x ∈-∞<'在()0,x x ∈-∞单调递减，当()()()0,,0,x x f x f x ∞'∈+>在()0,x x ∈+∞单调递增，所以当e a ≥时，()f x 有唯一的极小值点0x ，且011,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()()()()()0202000023e 23e21012xx x f x x a x a x -=-++=∴+=-' ()()()00222200000312e 1e 22x x f x x a x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭ 令()()222231115e ,1,,2e 222416t t t t t t t t ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+∈--∴=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦' ，()11,,02t t ϕ⎛⎫∈--∴< '⎪⎝⎭ ()t ϕ∴在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，()()231312e 2e t ϕϕϕ⎛⎫∴-=-<<-=- ⎪⎝⎭即()02332e e f x -<<-.方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明．。
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高二数学下期中试题及答案
（考试时间：120分钟）
一、选择题：（本大题共10小题；每小题5分，共50分。
）
1.若a 、b 是异面直线，直线c ∥a ，那么b c 与 （ ） (A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线 (C) 不可能是相交直线 (D)不可能是平行直线
2. 右图用符号语言可表述为 （ ） (A) m =βα ，α⊂n ，m A ⊂，n A ⊂ (B) m =βα ，α∈n ，A n m = (C) m =βα ，α⊂n ，A n m = (D) m =βα ，α∈n ，m A ∈，n A ∈
3、将四名教师分配到三个班级去参加活动，要求每班至少一名的分配方法有 （ ）
A 、72种
B 、48种
C 、36种
D 、24种 4. n ∈N *，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于 （ ） A ．80
100n A - B ．n
n A --20100
C ．81100n A -
D ．8120n A -
5. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R ） （ ） A.
R π4
2 B. R 3π C. R 2π D. 3R
6．（1-x ）2n-1展开式中，二项式系数最大的项是 （ ）
A ．第n -1项
B ．第n 项
C ．第n -1项与第n +1项
D ．第n 项与第n +1项
7．在直二面角A —CD —B 中，∠ACD=30°,∠ACB=60°， 则sin ∠BCD 等于 ( )
A.33
2 B.36 C.22 D.3
3
8. 两个球的体积之比是27:8，那么这两个球的表面积之比为 （ ） (A)2∶3 (B)
2∶3 (C) 4∶9 (D)8∶27
9. 已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系是（ ）
m n
A
α
β
F
E D
C
B
A
(A)42=+V F (B)42=-V F (C)22=+V F (D) 22=-V F
10．二面角βα--l 为60°，直线α⊂m ，且直线m 与l 成
60角，那么直线m 与平面β所成角的正弦
值为 （ ） A ．43 B ．23 C ．4
3
D ．21
二、填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分。
）
11、某班有同学30人，暑假时约定互通一封信，互通一次电话，则共写信____封，共打电话____次。
12．已知)8,7,3(),7,5,3(--N M ，则MN 2
1
的坐标与线段MN 中点的坐标分别是
13.(1-2x)5=a 0+ a 1x+ a 2x 2+ a 3x 3+ a 4x 4+ a 5x 5 ,则a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5＝ 14、已知a 、b 是不同直线，α、β、γ是不同平面，给出下列命题：
①若α∥β，a ⊂α，则a ∥β ②若a 、b 与α所成角相等，则a ∥b ③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ ④若a ⊥α, a ⊥β，则α∥β 其中正确的命题的序号是______________________________________
三、解答题：（本大题共6小题；共80分。
）
15．（本小题12分）已知空间四边形ABCD ，,,DC DB AC AB == 求证：AD BC ⊥
16．(12分)如图，已知直棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，
30BAC ∠=︒，1BC =，16AA =，
M 是1CC 的中点。
求证：11AB A M ⊥
A
B
C
D
A
B
C
1
B 1
A 1C M
17、(本题满分14分) 如图，正方形ACDE与等腰直角△ACB所在的平面互相垂直，
且AC=BC=2，ACB=90
∠︒，F、G分别是线段AE、BC的中点．
求AD与GF所成的角的大小．
18 （14分）正三棱锥V-ABC的底面边长是a, 侧面与底面成60°的二面角。
求（1）棱锥的侧棱长；（2）侧棱与底面所成的角的正切值。
19．（14分）如图，P为□ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l。
（1）求证：BC∥l（2）问MN与平面PAD是否平行？并证明你的结论。
P l
N M
A
D
B
C
E G
F
A
B C D
20．（14分）已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为8，面的对角线B 1C=10，D 为AC 的中点， （1） 求证：AB 1//平面C 1BD;
（2） 求异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值; （3） 求直线AB 1到平面C 1BD 的距离。
参考答案
一. 选择题
1.D
2.C
3.C
4.C
5.B
6.D
7.A
8.C
9.B 10.A 二.填空题
11. 870 450 12. (0,1,-21) (3,6,-2
15
) 13. -2 14.① ④ 三.解答题
15. 取DB 的中点E ，连结AE 、CE
可证BD ⊥AE BD ⊥CE BD ⊥平面ACE BD ⊥BD
16．解： 以11C B 为x 轴，11C A 为y 轴，1C C 为z 轴建立空间直角坐标系
由1BC =，16AA =，
90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒， 易得1(0,3,0)A ，(0,3,6)A ，6
(0,0,
)2
M ，1(1,0,0)B 1(1,3,6)AB ∴=--，16(0,3,
)2
A M =- 116
03(6)02
AB A M ∴=++-⨯
= 11AB AM ⇒⊥ 所以11AB A M ⊥ 17、如图，正方形ACDE 与等腰直角△ACB 所在的
平面互相垂直，且AC=BC=2，ACB=90∠︒， F 、G 分别是线段AE 、BC 的中点． 求AD 与GF 所成的角的大小．
分析提示：以C 为原点建立空间直角坐标系C —x yz
A （0，2，0）
B （2，0，0） D （0，0，2） G （1，0，0） F （0，2，1）
(0,2,2
)AD =- (1,2,1)GF =- ||22AD = ||
6GF = 2A D G F ⋅=- 3
c o s ,6
||||A D G F A D G F A D G F ⋅<>==-⋅
AD 与GF 所成的角的大小为3cos
6
arc 18.解：（1）过V 点作V0⊥面ABC 于点0，VE ⊥AB 于点E ∵三棱锥V —ABC 是正三棱锥 ∴O 为△ABC 的中心 则OA=
a a 332332=⨯，OE=a a 6
3
2331=⨯ 又∵侧面与底面成60°角 ∴∠VEO=60° 则在Rt △VEO 中；V0=OE·tan60°=
2
363a
a =⨯ 在Rt △V AO 中，V A=6
211273422
2
2
2
a
a a a AO VO =
=+=+ 即侧棱长为
a 6
21
（2）由（1）知∠V AO 即为侧棱与底面所成角，则tan ∠V AO=23
3
3
2=
=a a
AO VO 19． (1)先证BC ∥平面PAD
(2)平行，取PD 中点E ，连结AE
证MN ∥AE
20. 解：（1）连结BC 1交B 1C 于点E ，则E 为B 1C 的中点，并连结DE ∵D 为AC 中点 ∴DE ∥AB 1
而DE ⊂面BC 1D ， AB 1⊂面BC 1D ∴AB 1∥面C 1BD
（2）由（1）知AB 1∥DE ，则∠DEB 或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角 由条件知B 1C=10， BC=8 则BB 1=6 ∵E 三棱柱中 AB 1=BC 1 ∴DE=5 又∵BD=
3482
3
=⨯
∴在△BED 中 25
1
5524825252cos 222=⨯⨯-+=∙-+=∠DE BD BD DE BE BED
故异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为
25
1
（3）由（1）知A 到平面BC 1D 的距离即为直线AB 1到平面BC 1D 的距离 设A 到平面BC 1D 的距离为h ，则由ABD C D BC A V V --=11得
C C S h S AB
D D BC 131
311∙∙=∙∙∆∆即h=D
BC ABD S CC S 11∆∆∙ 由正三棱柱性质得BD ⊥C 1D 则D C BD S D BC 1:2
1
1=
∆ ∴131312522446642
121
221111
=
=+⨯=∙=∙∙∙=D C CC AD D
C B
D CC AD BD h 即直线AB 1到平面的距离为13
13
12。