(新人教A版必修4)数学：1.3《三角函数的诱导公式》课件1

3 5 11.已知cos(6 ) 3 ,求 cos( ) 的值. 6
1 12.已知 cos(75 ) ,α为第三象限角,求 3
0
cos( 0 ) sin( 150 ) 的值. 15
利用诱导公式 负转正，大变小
2 tan(-)=-tan成立的条件是（D ） A 为不等于/2的任意角 B 锐角 C R D k+/2,kZ且R
规律探索
2 3 1 : sin sin sin sin2 2 2 2 2 3 4
3 2

5 2 : sin sin sin sin sin sin2 3 3 3 3 3
1
3 2
0
0
3理 0 解 释
2 3 4 3 : cos cos cos cos cos 5 5 5 5
由对称性及单位圆上三角函数的定义可得：
诱导公式（三）
y 1
sin ( ) y sin cos( ) x cos y tan ( ) tan x
-1 0
-1

P(x,y) 1 x P′(x,-y)
正弦正切为奇函数、余弦为偶函数！！！
因为
sin cos sin2 ( 2 ) 2 sin cos 3 ,求 9.已知 sin cos tan( )(1 sin2 )
4 10、 ( ) 且 sin cos 0, 求 sin 5 2 sin ( ) 3 tan (3 ) 4 cos( 3 )

其中
k Z
实质：终边相同，三角函数值相等
用途：“大”角化“小”角
回忆:单位圆中
三角函数的定义？
y
P (x,y)
sin α y
o
x
cos x
y tan x
的终边与 的终边什么关系 ? P( x, y )与( x, y ) 关于原点对称
思考：
的终边与 的终边什么关系 ? P ( x, y )与( x, y ) 关于y轴对称
诱导公式的变形
3 因 为si n sin 2 2
cos
公式5 sin 2
公 式2
3 si n ( ) cos 2 3 cos( ) si n 2
1 7 6.已知 sin( ) 3 ,求tan(
1 17 cos( ) 3
) 的值.
1 7.已知 cos ,且 0 ,求 3 2 sin( ) 2 的值. cos( ) tan tan( )
8.已知 tan 3 ,求sin( ) cos( ) 的值.

诱导公式（六）
3 因 为si n sin 2 2
cos
公式5 sin 2
公 式2
3 si n ( ) cos 2 3 cos( ) si n 2
的终边与 的终边什么关系 ?
P( x, y )与( x, y )
关 于x轴 对称
y 由对称性及单位圆上三角函数的定义可得：
1
P(x,y)
诱导公式（二）
P′(-x,-y)
-1 0 -1

1
x
sin ( ) y sin cos( ) x cos y tan ( ) tan x

牛刀小试
1 5 3 : si n ( ) , si n ( ) 6 3 6
1 5 4 : cos( ) , cos( ) 6 3 6
挖掘角的相互关系，寻求诱导公式的应用


互补关系
牛刀小试
sin (

2
)等 于
A

3 A. si n ( ) B . cos( ) 2 2 C . cos( ) D . si n ( ) 2 2
诱导公式的变形
y 由对称性及单位圆上三角函数的定义可得： 1 P′(-x,y)

0
诱导公式（四）
-1

P(x,y) 1 x
sin y sin cos x cos y tan tan x
-1
α k 2π (k Z),α πα , 的三角函数值，等于的 α 同名函数值，前面加一 上 个把α看成锐角时原数 函 值的符号。
sin( ) sin2 cos( ) cos2 tan( ) tan2
所以
sin( ) sin 2 cos(2 ) cos tan(2 ) tan

4 在 第 四 象 限cos( ) ， 2 5 3 则 sin ( )的 值 是 2
牛刀小试

A
3 3 3 4 A. B. C . D. 5 5 5 5
牛刀小试
sin280 m, 则cos10 等于

B
A : m B : m C : 1 m D : 1 m
乘胜追击


-1
y 1 P′(y,x)

0
P(x,y) 1 x
诱导公式（五）
-1
si n ( ) x cos 2 cos( ) y si n 2


两角互余，正弦等于余弦
sin cos 6 3 sin ( ) cos( ) 4 4 sin ( ) cos( ) 3 6
1.3
三角函数的诱导公式
诱导公式（一）
sin( k 360 ) sin

sin( 2k ) sin tan( 2k ) tan 其中 k Z
cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos tan( k 360 ) tan
sin( ) sin 2 cos(2 ) cos tan(2 ) tan
共同点： 函数名不变,符号与前面值的正负一至.
sin ( ) x cos si n ( ) cos 2 2 cos( ) y sin cos( ) si n 2 2 3 3 si n ( ) cos sin ( ) cos
2 2
牛刀小试
1 2 sin( 2) cos( 2) 2 2


sin 2 cos 2
牛刀小试
tan( ) 3, 求下式的值 sin( ) cos( )
sin( ) cos( ) 2 2
sin( ) cos( )
2 3 cos( ) si n 2
2 3 cos( ) sin 2
共同点： 函数名改变,符号与前面值的正负一至.
※记忆方法：
奇变偶不变，符号看象限．
说明：
奇 偶 指 的 是 中k的 奇 偶 性 ； 2 符 号 指 的 是 前 面 三 角 数 的 符 号由 象 限 决 定 函 ( )
例题与练习
例3 已知sin(x+/6)=1/4, 求sin(7/+x)+sin2(5/6-x)的值。
例题与练习
已知cos (750+)=1/3, 求cos(1050-)+cos(2850-) 0
的值是_______.
3 化简
cos( 180 ) sin( 360 ) 0 0 sin( 180 ) cos(180 )
0 0
4.求值:1) (
2
1 2 sin 100 0 cos 100 0 cos 350 0 1 cos 2 170 0
函数名不变，符号看象限。
诱导公式一
sin( k ) sin ， 2 cos(2k ) cos ， tan(2k ) tan 。
诱导公式二
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
k
牛刀小试
1 1 : sin( ) , cos( ) 6 3 3

1 2 : cos( ) , sin( ) 4 3 4
挖掘角的相互关系，寻求诱导公式的应用

互余关系
变式练习：
1 3 cos( ) , ，则 6 3 2 2 2 si n ( ) 3
诱导公式三
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式四
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
的 终 边 与 的 终 边 什 么 关 系 ? 2 P ( x, y )与( y, x ) 关于直线 x对称 y





因 为s i n 公式 si n 4 2 2
cos

公式 5
si n 2
si n ( ) cos 2 cos( ) si n 2
0 2 0 0 2 0
(2) sin 150 sin 315 2 sin210 cos 225
5 ( 3) tan 675 cos 675 sin( ) 2
0 0
3 5.已知 2 , cos( 7 ) ,求 5 sin( )的值。 3