2017年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题2.10 函数最值(讲).doc
专题2.2 函数定义域、值域(讲)-2017年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)(解析版)
2017年高开数学讲练测（江苏版）（讲）第二章 函数 第二节 函数定义域、值域【最新考纲解读】【考点深度剖析】定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，难度中等． 【课前检测训练】 [判一判](1)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( )解析 错误.单调区间不能用并集符号连接. (2)函数y ＝1x在定义域上为减函数.( )解析 错误.函数y ＝1x 有两个单调递减区间，但在定义域上不是单调的.(3)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性.( )(4)若定义在R 上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R 上为增函数.( ) 解析 错误.不满足增函数定义中的任意性.(5)函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( ) 解析 错误.函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，说明[1，＋∞)是该函数单调递增区间的子集.(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.( ) 解析 正确.(7)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，那么这个函数在定义域上是增函数.( )解析 错误.如函数y ＝－1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，但这个函数在定义域上不是增函数. [练一练]1．若函数f(x)满足“对任意x 1，x 2∈R ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)”，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f(1)的实数x 的取值范围是_______解析 由题意知，函数f(x)为R 上的减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f(1)，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x|<1且|x|≠0.∴x ∈(－1,0)∪(0,1).故选C. 答案 (－1,0)∪(0,1)2．若函数f(x)＝|2x ＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为_______答案 －6 3．函数f(x)＝2x －1，x ∈[2,6].下列命题： ①函数f(x)为减函数；②函数f(x)为增函数；③函数f(x)的最大值为2；④函数f(x)的最小值为25.其中真命题的是_______________(写出所有真命题的编号).解析 易知函数f(x)＝2x －1在x ∈[2,6]上为减函数，故f(x)max ＝f(2)＝2，f(x)min ＝f(6)＝25. 答案 ①③④4．已知函数f(x)＝x2－2x －3，则该函数的单调增区间为_________.解析 设t ＝x 2－2x －3，由t≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞).因为函数t ＝x 2－2x －3的图像的对称轴为x ＝1，所以函数在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增.又因为y ＝t 在[0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的增区间为[3，＋∞). 答案 [3，＋∞) 【经典例题精析】 考点1 函数的定义域 【1-1】函数y（＋）的定义域为_________．【答案】(－∞，－1)∪(－1，0)． 【解析】由100x x x ≠⎧⎪⎨>⎪⎩＋，－，得10x x ≠⎧⎨<⎩－，，所以x<－1或－1<x<0，即定义域是(－∞，－1)∪(－1，0)．【1-2】函数22-25+1+)cos (=x x log y 的定义域为_________．【答案】33x x ππ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【1-3】设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为________．【答案】()()2,11,2 --【解析】由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<.故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈-- .故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()2,11,2 -- 【1-4】若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 【答案】[－1,0]【基础知识】1．已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有: (1)分式函数,分母不为0；(2)偶次根式函数,被开方数非负数； (3)一次函数、二次函数的这定义域为R ； （4）0x 中的底数不等于0； （5）指数函数xy a =的定义域为R ；（6）对数函数log a y x =的定义域为{}|0x x >； （7）sin ,cos y x y x ==的定义域均为R ；（8）tan y x =的定义域均为|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭； 2.求抽象函数的定义域:（1）由()y f x =的定义域为D ，求[()]y f g x =的定义域，须解()f x D ∈; （2）由[()]y f g x =的定义域D ，求()y f x =的定义域，只须解()g x 在D 上的值域就是函数()y f x = 的定义域;（3）由[()]y f g x =的定义域D ，求[()]y f h x =的定义域.3.实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义.【思想方法】(1)已知具体函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【温馨提醒】对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义；而分段函数的定义域是各段区间的并集、各个段上的定义域交集为空集，即各个段的端点处不能重复． 考点2 函数的值域【2-1】求函数y ＝x ＋4x(x <0)的值域．【答案】(－∞，－4]．【解析】∵x <0，∴x ＋4x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －4x ≤－4，当且仅当x ＝－2时等号成立． ∴y ∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]．【2-2】 求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域． 【答案】[0,15]．【2-3】 求函数y ＝1－x21＋x 2的值域．【答案】(－1,1]．【解析】y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x2－1，∵1＋x 2≥1，∴0<21＋x 2≤2.∴－1<21＋x2－1≤1.即y ∈(－1,1]． ∴ 函数的值域为(－1,1]．【2-4】 求函数f (x )＝x －1－2x .的值域．【答案】1(,]2-∞.【解析】法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是1(,]2-∞.法二：(单调性法)容易判断f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以11()22y f ≤=即函数的值域是1(,]2-∞.【2-5】 求函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域．【答案】1[,1)3-【基础知识】 函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是[a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围. (3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.(4)利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d ++ 或2ax bx ey cx d++=+ (a,c 至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.(5)利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其值域. (6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域 【思想方法】求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数． (2)换元法． (3)基本不等式法． (4)单调性法． (5)分离常数法．【温馨提醒】求函数值域的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法 【易错问题大揭秘】分段函数的参数求值问题，一定要注意自变量的限制条件． 如：已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为_______．【分析】当0a >时，11a -<，11a +>，由()()11f a f a -=+得2212a a a a -+=---，解得32a =-，不合题意；当0a <时，11a ->，11a +<，由()()11f a f a -=+得 1222a a a a -+-=++，解得34a =-．所以a 的值为34-．【易错点】没有对a 进行讨论，以为11a -<，11a +>直接代入求解而致误；求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误． 【练一练】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，x >0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))的值为________.【答案】 －2。
江苏省2017届高三数学一轮复习专题突破训练：函数Word版含答案.pdf
函数
一、填空题
1 、（ 2016 年江苏高考）设 f （ x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 - 1,1) 上，
x a, 1 x 0,
f (x) 2
其中 a
R. 若 f (
5 )
9 f ( ) ，则 f (5a) 的值是
▲
.
x ,0 x 1,
当 λ＋ 1≠0 时， F(x)的对称轴为 x＝
＝，
2（ λ＋ 1） λ＋ 1
因为 F(x) 在 (－ 1， 1]上是增函数，
1＋ λ <，0
f ( x)
2x
m 2x ，设
g( x)
f ( x), x 1, 若 函 数 y g (x) t 有 且 只 有 一 个 零 点 ， 则 实 数 t 的 取 值 范 围 是
f ( x), x 1,
▲ . 14、（泰州市 2016 届高三第一次模拟）设
f (x) 是 R 上的奇函数，当
x
0 时， f ( x)
12、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市
2016 届高三上期末）定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足当
x 0 时， f (x) log 2 (x 2) (a 1) x b （ a ， b 为常数），若 f (2) 1，则 f ( 6) 的值为
13、（南京、盐城市
2016 届高三上期末）设
f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且
2a
2a 2
2
由 | f (x) |≥ 1，得
1 ln(2 a)
1 ≥1
e a ≥ ．…………… 15 分
2
2
2
综上所述，实数 a 的取值范围为 a ≥ e ． …………… 16 分 2
(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.2 函数的单调性与最值
解析答案
(2) 已 知
f(x)
＝
2－ax＋1，x<1， ax，x≥1，
满 足 对 任 意 x1≠x2 ， 都 有
fxx11－－fx2x2>0 成立，那么 a 的取值范围是_[_32_，__2_)_.
解析 由已知条件得f(x)为增函数，
2－a>0， ∴a>1，
2－a×1＋1≤a，
解得32≤a<2， ∴a 的取值范围是[32，2).
12345
解析答案
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题型分类 深度剖析
题型一 确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出具体解析式的函数的单调性
例 1 (1)下列函数中，①y＝ln(x＋2)；②y＝－ x＋1；③y＝(12)x； ④y＝x＋1x，在区间(0，＋∞)上为增函数的是_①___. 解析 y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)， ∴在区间(0，＋∞)上为增函数.
解析答案
(2)函数 f x＝log1(x2－4)的单调递增区间是_(_－__∞__，__－__2_) _.
2
解析 因为y＝ lo g 1 t 在定义域上是减函数，
2
所以求原函数的单调递增区间， 即求函数t＝x2－4的单调递减区间， 结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2).
解析答案
(3)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为_(_－__∞__，__－__1_]_，__[0_,_1_] _. 解析 由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4； 当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， 二次函数的图象如图. 由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在 (－∞，－1]，[0,1]上是增函数.
解析答案
2017年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)(讲)专题2.1 函数的概念及其表示方法(解析版)含解析
【最新考纲解读】内容要求备注A B C函数概念与基本初等函数Ⅰ函数的概念√1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法）表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．【考点深度剖析】本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函数的图像、分段函数的考查是热点,另外，实际问题中的建模能力偶有考查．特别是函数的表达式及图像，仍是2016年高考考查的重要内容．【课前检测训练】［判一判］(1)函数是建立在其定义域到值域的映射.（）解析正确.函数是特殊的映射.(2)函数f（x）＝x2－2x与函数f（t）＝t2－2t是同一个函数。
( ）解析正确.定义域和对应关系都相同。
(3）函数y＝1与函数y＝x0是相同函数。
( )解析错误.函数y＝1的定义域为R，而函数y＝x0的定义域为(－∞,0)∪(0，＋∞).(4）若两个函数的定义域和值域相同,则这两个函数为相同函数。
（)解析错误.两个函数的定义域和值域相同时，不一定是同一个函数。
如y＝sin x和y＝cos x。
(5)分段函数的定义域等于各段函数定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集。
（）解析正确.根据分段函数的性质可得。
[练一练]1．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3）的定义域是________解析要使函数有意义，应满足x2＋2x－3〉0，解得x>1或x<－3,故函数的定义域是(－∞，－3）∪（1，＋∞).答案（－∞,－3）∪(1，＋∞)12) 2．函数f（x）＝｛1＋log22－x，2x－1错误!则f（－2)＋f（log2＝______解析∵f（－2)＝1＋log24＝3，f(log212）＝2log212－1＝错误!＝错误!＝6，∴f（－2)＋f（log212)＝9.答案93．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f（x)＝错误!＋错误!是函数；③函数y＝2x(x∈N）的图像是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合。
江苏省2017届高三数学一轮复习专题突破训练：函数Word版含答案.doc
江苏省 2017 年高考一轮复习专题突破训练函数一、填空题1 、（ 2016 年江苏高考）设 f （ x）是定义在R 上且周期为2 的函数，在区间- 1,1) 上，x a, 1 x 0,5 9f (x) 2 其中 a R. 若f ( f ( (5a) 的值是▲.x ) ) ，则 fx ,0 1, 2 252、（ 2015 年江苏高考）已知函数f ( x) | ln x | ，g( x)0,0 x 1，则方程 | f ( x) g ( x) | 1 | x2 4 | 2, x 1实根的个数为。
3、（2014 年江苏高考）已知函数 f ( x) x 2 mx 1，若对于任意 x [ m,m 1] ，都有 f (x) 0 成立，则实数 m 的取值范围是▲．4、（ 2014 年江苏高考）已知f ( x)是定义在R上且周期为 3 的函数，当x[0,3)时，f ( x) | x2 2x 1 |2 y f ( x) a 在区间 [ 3,4] 上有10 个零点（互不相同），则实数 a 的取值范围是▲．5、（南京市2016 届高三三模）设函数f(x)＝x－x1， x≥ a，g(x)＝ f(x)－ b．若存在实数 b，使得函e－x－ 1， x＜a，数 g(x)恰有 3 个零点，则实数 a 的取值范围为▲．y6 、（南通、扬州、泰州三市 2016 届高三二模）已知函数 f (x )=log a(x+b)f x log a x b （a 0, a 1,b R ）的图像如图所示，则a bO-3的值是▲．x 7 、（南通市2016 届高三一模）若函数-2x(x b), x 0(a 0,b 0) 为奇函数，则 f (a b) 的值f ( x)2), xax( x 0为8、（苏锡常镇四市 2016 届高三一模）已知函数f(x)= x2 4x,0 x 4 ,若存在x1 ， x2 ∈ R，log2 (x 2),4 x 6当 0≤x1<4 ≤ x2 ≤ 6 时，f(x 1)=f(x 2 )．则 x1f(x 2)的取值范围是。
高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题2.10 函数最值(讲)(含答案解析)
【最新考纲解读】【考点深度剖析】函数的最值是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，求函数最值的方法较多，需结合函数解析式进行选用．【课前检测训练】[判一判](1)y ′＝f ′(x)在点x ＝x 0处的函数值就是函数y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数值.( ) 解析 正确.(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( )解析 正确. (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )解析 错误.直线与曲线可能相交.(5)若f(x)＝f′(a)x 2＋ln x(a>0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋1x.( ) 解析 正确.由对数运算法则可知.[练一练]1．函数y ＝xcos x －sin x 的导数为________解析 y ′＝x ′cos x ＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x －xsin x －cos x ＝－xsin x.答案 －xsin x2．有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为_______解析 根据导数的物理意义，s′(2)表示机器人在t ＝2时的瞬时速度，∵s′(t)＝2t －3t －2，∴s′(2)＝4－34＝134， 答案 1343．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x>0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.答案 (1,1).4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b ＝________. 解析 y′＝1x ，令1x ＝12，得x ＝2，因此切点为(2，ln 2)，代入直线方程y ＝12x ＋b 得b ＝ln 2－1.答案 ln 2－1【经典例题精析】考点1 函数的最值【2-1】求函数y ＝x ＋4x(x <0)的最大值． 【答案】－4【解析】∵x <0，∴x ＋4x＝－⎝⎛⎭⎫－x －4x ≤－4， 当且仅当x ＝－2时等号成立．∴y ∈(－∞，－4]．∴函数的值域为(－∞，－4]．【2-2】 求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的最值．【答案】最大值为15，最小值为0.【解析】(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]．【2-3】求函数y ＝1－x 21＋x 2的最大值． 【答案】1【解析】y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x 2－1， ∵1＋x 2≥1，∴0<21＋x 2≤2. ∴－1<21＋x 2－1≤1.即y ∈(－1, 1]． ∴ 函数的值域为(－1,1]．【2-4】求函数f (x )＝x －1－2x .的最大值． 【答案】12.法二：(单调性法)容易判断f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以11()22y f ≤= 即函数的值域是1(,]2-∞. 【2-5】求函数y ＝x 2－x x 2－x ＋1的最小值． 【答案】最小值为13-. 【解析】(判别式法)由y ＝x 2－x x 2－x ＋1，x ∈R ， 得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0.∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1.又∵x ∈R ，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0，∴－13≤y <1. ∴函数的值域为1[,1)3- 【基础知识】函数最值的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是[a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围.(3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. (4)利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d++ 或2ax bx e y cx d ++=+ (a,c 至少有一个不为零)的函数,求其最值可用此法.(5)利用换元法:形如y ax b =+±,可用此法求其最值.(6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值【思想方法】求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．【温馨提醒】求函数最值的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法；在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．【易错问题大揭秘】求函数的值域或最值时，忽视函数的定义域导致错误．设()()()log 1log 3a a f x x x =++-（0a >且1a ≠），且()12f =，则()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是．【答案】2。
2017年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)专题3.2 利用导数研究函数的极值与最值(讲) 含解析
【最新考纲解读】内容要求备注A B C导数及其应用利用导数研究函数的单调性与极值√【考点深度剖析】【课前检测训练】(1）f′（x)>0是f（x)为增函数的充要条件。
( )解析错误。
若f′(x)>0，则f(x)为增函数;但f（x)为增函数时，应有f′（x)≥0,如函数y＝x3.(2）函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.（）解析错误。
可能有多个极大值也可能没有极大值。
（3）函数的极大值不一定比极小值大.（)解析正确。
（4）对可导函数f（x)，f′(x0）＝0是x0点为极值点的充要条件。
（)解析错误.例如函数f（x）＝x3，在x＝0处的导数为0,但f(0)不是它的极值。
(5）函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值。
( ）解析正确.当函数在区间的端点处取得最值时,该最值就不是极值. 1．函数y＝错误!x2－ln x的单调递减区间为_______解析函数y＝错误!x2－ln x的定义域为（0，＋∞),y′＝x－错误!＝错误!，令y′≤0,则可得0<x≤1。
答案（0，1］2．如图是f(x）的导函数f′（x）的图像,则f（x）的极小值点的个数为________。
解析由题意知在x＝－1处f′（－1）＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正。
答案13．已知f(x）＝x3－ax在上的最小值是________。
答案－17 3【经典例题精析】考点1 运用导数求函数的单调性【1-1】已知函数f(x）＝错误!（k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数），曲线y＝f(x）在点(1，f (1））处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x）的单调区间．【答案】(1) k＝1. (2）单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1,＋∞)．【1-2】已知f(x）＝x3－ax在上的最小值．【答案】（1）单调递减区间是(－∞，k－1）；单调递增区间是（k －1，＋∞）．(2）（1－k)e.设函数f（x）＝ln x－ax,g（x）＝e x－ax，其中a为实数．若f(x）在(1,＋∞)上是单调减函数，且g（x）在（1,＋∞）上有最小值，求a的取值范围．【答案】(e,＋∞）．综上，a的取值范围为（e，＋∞)．【基础知识】(1）在闭区间上连续的函数f（x)在上必有最大值与最小值．（2)若函数f(x）在上单调递增，则f(a）为函数的最小值,f（b）为函数的最大值；若函数f(x）在上单调递减，则f（a）为函数的最大值,f(b)为函数的最小值．【思想方法】求函数f(x)在上的最大值和最小值的步骤（1)求函数在（a ,b )内的极值；（2）求函数在区间端点的函数值f (a ），f （b )；（3）将函数f (x )的各极值与f （a ），f （b ）比较，其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．【温馨提醒】极值是函数局部性质，最值是函数整体性质【易错题型大揭秘】1、已知函数的极值求参数问题，一定要注意在极值点处左右两端导函数的符号．如:已知()3223f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，求a ，b 的值．【分析】()236f x x ax b '=++,由题意得()()1010f f '-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，即2630310a b a a b -++=⎧⎨+--=⎩,解之得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩，当1a =，3b =时,()()22363310f x x x x '=++=+≥恒成立，所以()f x 在1x =-处无极值，舍去．所以2a =,9b =．【易错点】用导数求极值时容易忽视左右两端导函数的符号而致误．。
2017年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)(讲) 专题2.11 函数与方程(解析版)含解斩
【最新考纲解读】内容要求备注A B C函数概念与基本初等函数Ⅰ函数与方程√1．结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解．【考点深度剖析】1．函数y＝f（x)的零点即方程f(x）＝0的实根，易误认为函数图像与x轴的交点．2．由函数y＝f（x)在闭区间a，b］上有零点不一定能推出f(a）·f(b）〈0，所以f（a)·f（b)〈0是y＝f(x）在闭区间a，b］上有零点的充分不必要条件．【课前检测训练】判一判]（1)f ′(x )>0是f （x )为增函数的充要条件。
（ ）解析 错误。
若f ′(x )〉0,则f （x ）为增函数；但f (x ）为增函数时，应有f ′（x )≥0，如函数y ＝x 3。
（2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的。
（ )解析 错误.可能有多个极大值也可能没有极大值。
(3)函数的极大值不一定比极小值大。
（ )解析 正确。
(4)对可导函数f (x ），f ′(x 0）＝0是x 0点为极值点的充要条件.（ ） 解析 错误。
例如函数f (x )＝x 3，在x ＝0处的导数为0,但f （0)不是它的极值.(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.（ ）解析 正确。
当函数在区间的端点处取得最值时，该最值就不是极值.练一练]1．函数y ＝错误!x 2－ln x 的单调递减区间为________解析 函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞），y′＝x －1x＝错误!，令y′≤0，则可得0〈x≤1。
答案 (0，1］2．如图是f （x ）的导函数f ′（x ）的图像，则f(x)的极小值点的个数为________。
解析由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0,且其左右两侧导数符号为左负右正。
答案13．已知f（x)＝x3－ax在1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________.解析f′（x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2,又∵x∈1，＋∞)，∴a≤3,即a 的最大值是3.答案34．函数f（x）＝错误!＋x2－3x－4在0,2]上的最小值是________.答案－错误!【经典例题精析】考点1 函数零点所在区间的判定【1—1】函数f（x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为_________．【答案】(1,2）．【解析】法一：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为（0，＋∞),并且在(0，＋∞)上递增、连续，又f(1)＝－1<0，f(2)＝log32〉0，所以函数f(x）＝log3x＋x－2有唯一的零点且零点在区间（1，2)内．法二:作出函数y＝log3x与y＝－x＋2的图像(图略)，不难看出其交点的横坐标在区间(1，2）内．【1-2】函数f(x)＝2x－错误!－a的一个零点在区间(1，2）内,则实数a 的取值范围是_________．【答案】（0,3）【解析】由条件可知f(1)f（2）〈0，即(2－2－a)（4－1－a)〈0，即a （a－3)<0,解得0<a<3.【基础知识】1．函数零点的定义对于函数y＝f（x）(x∈D)，把使f（x)＝0成立的实数x叫做函数y ＝f(x)(x∈D）的零点．2．二分法对于在区间a，b］上连续不断且f（a)·f(b)〈0的函数y＝f（x)，通过不断地把函数f（x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．【思想方法】函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f（x）＝0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点；（2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a,b]上是连续不断的曲线，且f（a)·f（b）<0，还必须结合函数的图像与性质（如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3）利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【温馨提醒】函数y ＝f （x )的零点即方程f (x ）＝0的实根，不要误为函数上的点．考点2 判断函数零点个数【2—1】函数f (x )＝2x ｜log 0。
(江苏版)高考数学一轮复习(讲 练 测)： 专题2.10 函数最值(测)
专题2.10 函数最值班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】已知函数2()|4||2|f x x a x =-+-[3,3]x ∈-．若()f x 的最大值是，则实数的取值范围是 ▲ ．【答案】(,5]-∞-【解析】2.设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．【答案】4【解析】y ＝1x ＋11－x ＝1x (1－x )，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14. ∴y ≥4.3.若x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，则函数z ＝x 2＋y 2的最大值是 .【答案】4【解析】∵3x 2＋2y 2＝6x ，∴2y 2＝6x －3x 2≥0，解得0≤x ≤2. z ＝x 2＋y 2＝x 2＋3x －32x 2＝－12x 2＋3x ＝－12(x －3)2＋92. ∵对称轴为x ＝3＞2，即z 在x ∈[0，2]上单调递增．∴当x ＝0时，z 有最小值0，当x ＝2时，z 有最大值44. y ＝a 2＋16（a －b ）b(a ＞b ＞0) 的最小值是 【答案】165.函数y ＝(12)的最小值为________． 【答案】12【解析】由于x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，结合函数y ＝(12)x 在(0,1]上的图像可知函数y ＝(12)1x 2＋1的最小值为为12． 6.若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ．【答案】[－5，－1]【解析】∵1≤f (x )≤3，∴1≤f (x ＋3)≤3.∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2，∴－5≤F (x )≤－1.7.设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域为 ． 【答案】{－1,0}【解析】∵f (x )＝1－12x ＋1－12＝12－12x ＋1， 又2x >0，∴－12<f (x )<12. ∴y ＝[f (x )]的值域为{－1,0}．8.若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝_________.【答案】149. f (x )＝||2x ＋1－||x －4最小值为 . 【答案】92-． 【解析】 ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ＜－12，3x －3，－12≤x ≤4，x ＋5，x ＞4，作出其图象，可知函数f (x )的最小值为92- 10. 已知函数f (x )＝ax 2＋x －b (a ，b 均为正数)，不等式f (x )＞0的解集记为P ，集合Q ＝{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠，则11a b -的最大值是▲________． 【答案】1.2【解析】由题意得b a f ≥-⇒≥-240)2(，241111--≤-a ab a ，令111,()422y a a a =->-，则221401(42)y a a a '=-+=⇒=-，当1a >时，0y '<；当112a <<时，0y '>；因此当1a =时，取最大值12；即11ab -的最大值是1.2二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。
2017版高考数学(江苏专用、理科)一轮复习习题：第二章 第2讲函数的单调性与最值 含答案
基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、填空题1。
(2015·苏北四市调研)下列四个函数：①y＝log2x;②y＝x错误!；③y＝－错误!错误!；④y＝错误!。
其中在区间（0，1）上是减函数的是________(填序号).解析y＝log2x在（0，＋∞）上为增函数；y＝x错误!在(0，＋∞)上是增函数;y ＝错误!错误!在（0，＋∞)上是减函数，y＝－错误!错误!在(0，＋∞）上是增函数；y＝错误!在(0，＋∞)上是减函数，故y＝错误!在(0，1）上是减函数.答案④2。
已知函数f(x）＝2ax2＋4（a－3)x＋5在区间（－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是________。
解析当a＝0时，f(x）＝－12x＋5,在（－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由错误!得0<a≤错误!，综上a的取值范围是错误!.答案错误!3。
函数f（x)＝log错误!(x2－4）的单调递增区间为________。
解析根据复合函数的单调性判断.因为y＝log错误!t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为（－∞，－2）。
答案（－∞,－2）4。
y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为________.解析由题意知当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1）2＋4；当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4,函数的图象如图。
由图象可知,函数y＝－x2＋2|x|＋3在（－∞，－1]，［0，1］上是增函数。
答案(－∞，－1］，[0，1]5.已知函数f（x)为（0,＋∞)上的增函数，若f（a2－a）＞f(a＋3），则实数a的取值范围为________.解析由已知可得错误!解得－3＜a＜－1或a＞3。
所以实数a的取值范围为（－3,－1)∪（3，＋∞）.答案(－3，－1)∪（3，＋∞）6。
（2015·南京、盐城模拟)函数f（x)＝错误!错误!－log2（x＋2）在区间[－1，1]上的最大值为________.解析由于y＝错误!错误!在R上递减，y＝log2（x＋2）在［－1，1]上递增，所以f（x）在[－1，1]上单调递减，故f(x）在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3。
高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题2.10 函数最值(练)(含答案解析)
1. 【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-.②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，因此()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-，故填：2，(,1)-∞-．2.设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．【答案】(1)1，(2)112a ≤<或2a ≥. ②若函数()2xg x a =-与x 轴有无交点，则函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有两个交点，当0a ≤时()g x 与x 轴有无交点，()4()(2)h x x a x a =--在1x ≥与x 轴有无交点，不合题意；当(1)20h a =-≥时，2a ≥，()h x 与x 轴有两个交点，x a=和2x a =，由于2a ≥，两交点横坐标均满足1x ≥；综上所述a 的取值范围112a ≤<或2a ≥.3.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则()x f 的最小值为_________．【答案】 1.-【解析】当0x >时2()11,f x x =+≥当0x ≤时()cos [1,1]f x x =∈-, 所以()x f 的值域为[1,1][1,)[1,).-+∞=-+∞4.已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则()f x 的最小值是 ． 【答案】3-22.【解析】当1≥x 时，322)(-≥x f ，当且仅当2=x 时，等号成立，当1<x 时，0)(≥x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，故)(x f 最小值为322-. 5.设函数g(x)＝x 2－2(x ∈R)，f(x)＝，则f(x)的最小值是_________．【答案】故函数f(x)的值域是∪(2，＋∞)．6.对于任意实数a,b 定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log 2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是________． 【答案】1【解析】依题意,h(x)=当0<x ≤2时,h(x)=log 2x 是增加的;当x>2时,h(x)=3-x 是减少的,所以h(x)=min{f(x),g(x)}在x=2时取得最大值h(2)=1.7.函数y +的最小值为______． 【答案】10【解析】函数y ＝f (x )的几何意义为：平面内一点P (x,0)到两点A (－3,4)和B (5,2)距离之和就是y 的值．由平面几何知识，找出B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)．连接AB ′交x 轴于一点P 即为所求的点，最小值y ＝|AB ′|＝82＋62＝10.即函数的值域为[10，＋∞)．8.已知函数y ＝mx 2＋43x ＋nx 2＋1的最大值为7，最小值为－1，则m ＋n 的值为______．【答案】69.函数f(x)=x+2的最大值为________．【答案】2 【解析】方法一:设=t(t ≥0),所以x=1-t 2. 所以y=x+2=1-t 2+2t=-t 2+2t+1=-(t-1)2+2.所以当t=1,即x=0时,y max =2. 方法二:f(x)的定义域为{x|x ≤1}, f ′(x)=1-.由f ′(x)=0,得x=0.当0<x ≤1时,f ′(x)<0,f(x)是减少的. 当x<0时,f ′(x)>0,f(x)是增加的. 所以当x=0时,f(x)max =f(0)=2.10.定义：区间[x 1，x 2](x 1＜x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________． 【答案】1【解析】[a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1. 11.函数y ＝xx 2＋x ＋1(x >0)的最大值是________．【答案】13【解析】由y ＝x x 2＋x ＋1(x >0)，得0<y ＝x x 2＋x ＋1＝1x ＋1x ＋1≤12x ·1x＋1＝13， 12.下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是________.【答案】{2,3,4,5}【解析】函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}．13. 设f (x )＝2,||1,||1x x x x ⎧≥⎨<⎩，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是______．【答案】[0，＋∞)14.若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，则ab 的值为______．【答案】9.2【解析】解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1.。
2017年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)(练)专题2.10 函数最值(原卷版)无答案
1. 【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩。
①若0a =,则()f x 的最大值为______________；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.2。
设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥ ①若1a =,则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．3。
已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则()x f 的最小值为_________． 4。
已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则()f x 的最小值是 ．5.设函数g(x ）＝x 2－2（x ∈R ），f(x ）＝,则f(x ）的最小值是_________．6。
对于任意实数a ，b 定义min ｛a ，b}=设函数f （x ）=-x+3，g(x)=log 2x,则函数h(x ）=min ｛f （x)，g(x ）}的最大值是________．7。
函数y 22(3)16(5)4x x ++-+______． 8。
已知函数y ＝错误!的最大值为7，最小值为－1，则m ＋n 的值为______．9。
函数f （x ）=x+2的最大值为________．10。
定义：区间x 1,x 2］(x 1＜x 2)的长度为x 2－x 1。
已知函数y ＝2|x ｜的定义域为a ，b ]，值域为1，2］，则区间a ，b ］的长度的最大值与最小值的差为________．11.函数y ＝xx 2＋x ＋1（x >0)的最大值是________．12.下表表示y 是x 的函数,则函数的值域是________. x 0〈x 〈5 5≤x <10 10≤x <15 15≤x≤20y 2 3 4 513. 设f (x )＝2,||1,||1x x x x ⎧≥⎨<⎩，g （x )是二次函数,若f （g （x )）的值域是0，＋∞），则g (x )的值域是______．14.若函数f (x )＝错误!x 2－x ＋a 的定义域和值域均为1，b ］(b >1)，则ab 的值为______．。
2017届高三数学一轮总复习(江苏专用)课件：第二章 第二节 函数的单调性与最值
2．讨论函数f(x)＝x2a－x 1(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．
解：法一(定义法)： 设－1<x1<x2<1， 则 f(x1)－f(x2)＝xa21－x11－xa22－x21 ＝ax1x22－x21－ax11－xa22x－2x121＋ ax2 ＝axx221－－x11xx212－x2＋11.
第二十九页，编辑于星期六：一点 十一分。
结束
“课后·三维演练”见“课时跟踪检测(五)” (单击进入电子文档)
＝－x2＋2 在 x＝0 处取得最大值，为 f(0)＝2.
故函数 f(x)的最大值为 2.
答案：2
第二十一页，编辑于星期六：一点 十一分。
角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小
2．(2016·苏州调研)已知函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，当
x2>x1>1 时，[f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0 恒成立，设 a＝f －12，
即 aa>>12， ， a－2－1≤0，
解得 2<a≤3， 即实数 a 的取值范围是(2,3]． 答案：(2,3]
第二十七页，编辑于星期六：一点 十一分。
[方法归纳] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)求函数值域或最值．常用方法有：单调性法、图象法、 基本不等式法、导数法、换元法． (2)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同 一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (3)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往 是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等 式求解．此时应特别注意函数的定义域．
第二页，编辑于星期六：一点 十一分。
2017届高三数学一轮总复习(江苏专用)课件：第三章 第二节 第二课时 导数与函数的极值、最值
[题点全练] 角度一：已知函数求极值 1．已知函数 f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线 方程； (2)求函数 f(x)的极值．
第二页，编辑于星期六：一点 十பைடு நூலகம்。
(解2)：由由f′题(意x)＝知1函－数ax＝f(xx－)x的a定，义x＞域0为知(0：，＋∞)，f′(x)＝1－ax. ①当 a≤0 时，f′(x)＞0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数， 函(1)数当fa(＝x)无2 时极，值f；(x②)＝当x－a＞2ln0 x时，，f′由(xf)′＝(1x－)＝2x0(x，＞解0)得，x＝a.又 当 x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0， 从因而为函f(1数)＝f(1x，)在f′x＝(1a)＝处－取1得，极小值，且极小值为 f(a)＝a－aln a所，以无曲极线大y值＝．f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x 综－上1)，，即当 xa＋≤y0－时2＝，0函. 数 f(x)无极值；当 a＞0 时，函数 f(x) 在 x＝a 处取得极小值 a－aln a，无极大值．
第五页，编辑于星期六：一点 十分。
3．若函数 f(x)＝13ax3－ax2＋(2a－3)x＋1 在 R 上存在 极值，则实数 a 的取值范围是________．
第六页，编辑于星期六：一点 十分。
解析：由题意知，f′(x)＝ax2－2ax＋2a－3， 因为函数 f(x)＝13ax3－ax2＋(2a－3)x＋1 在 R 上存在极值， 所以 f′(x)＝0 有两个不等实根， 其判别式 Δ＝4a2－4a(2a－3)＞0， 所以 0＜a＜3， 故实数 a 的取值范围为(0,3)． 答案：(0,3)
2017年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)(讲) 专题2.4 函数单调性(解析版)含解斩
【最新考纲解读】内容］要求备注A B C函数概念与基本初等函数Ⅰ函数的基本性质√1．理解函数的单调性及其几何意义．2．会运用函数图像理解和研究函数的性质．3．会求简单函数的值域，理解最大（小)值及几何意义．【考点深度剖析】函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．【课前检测训练】判一判]（1)函数y＝(x＋1）3，y＝x3＋1,y＝错误!都是幂函数。
（）解析错误。
根据幂函数的定义可知，y＝错误!是幂函数,而y＝（x＋1)3和y＝x3＋1都不是幂函数。
（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈m，n］的最值一定是错误!。
（)（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数。
( ）解析错误。
当b＝0时,二次函数为偶函数。
(4）幂函数的图像都经过点(1，1）和点（0，0）.（）解析错误。
y＝错误!是幂函数，但图像不过点(0,0).(5)当n〉0时，幂函数y＝xn是（0，＋∞)上的增函数.( ）解析正确。
由幂函数的图像可知.（6）关于x的不等式ax2＋bx＋c〉0恒成立的充要条件是错误!（）解析错误.当a＝0，b＝0，c〉0时也恒成立。
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是错误!练一练]1．已知点M错误!在幂函数f(x)的图像上,则f(x)的表达式为_______解析设f(x)＝xα，则3＝错误!α,∴α＝－2，即f（x)＝x－2。
答案f(x)＝x－22．如果二次函数f(x）＝3x2＋2(a－1）x＋b在区间（－∞，1)上是减函数，则_______答案C a≤－23．函数f(x）＝x2－4x＋3，x∈0,4]，则f（x）的最大值、最小值分别为________、________.解析因为f（x）＝（x－2)2－1,x∈0，4]，所以x＝2时，f（x）min ＝－1,f(x)max＝f（0）＝f（4）＝3.4．二次函数f(x）的图像与x轴有两个交点A(1,0），B(－2，0）,且图像过点（0,3),则f(x）＝__________。
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【最新考纲解读】
【考点深度剖析】
函数的最值是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，求函数最值的方法较多，需结合函数解析式进行选用．
【课前检测训练】
[判一判]
(1)y ′＝f ′(x)在点x ＝x 0处的函数值就是函数y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数值.( ) 解析 正确.
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( )
解析 正确. (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )
解析 错误.直线与曲线可能相交.
(5)若f(x)＝f′(a)x 2＋ln x(a>0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋1x
.( ) 解析 正确.由对数运算法则可知.
[练一练]
1．函数y ＝xcos x －sin x 的导数为________
解析 y ′＝x ′cos x ＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x －xsin x －cos x ＝－xsin x.
答案 －xsin x
2．有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t
(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬
时速度为_______
解析 根据导数的物理意义，s′(2)表示机器人在t ＝2时的瞬时速度，∵s′(t)＝2t －3t －
2，∴s′(2)＝4－34＝134
， 答案 134
3．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x
(x>0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.
答案 (1,1).
4．直线y ＝12
x ＋b 是曲线y ＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b ＝________. 解析 y′＝1x ，令1x ＝12，得x ＝2，因此切点为(2，ln 2)，代入直线方程y ＝12
x ＋b 得b ＝ln 2－1.
答案 ln 2－1
【经典例题精析】
考点1 函数的最值
【2-1】求函数y ＝x ＋4x
(x <0)的最大值． 【答案】－4
【解析】∵x <0，∴x ＋4x
＝－⎝⎛⎭⎫－x －4x ≤－4， 当且仅当x ＝－2时等号成立．
∴y ∈(－∞，－4]．
∴函数的值域为(－∞，－4]．
【2-2】 求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的最值．
【答案】最大值为15，最小值为0.
【解析】(配方法)
y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，
∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数，
∴0≤y ≤15，
即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]．
【2-3】
求函数y ＝1－x 21＋x 2
的最大值． 【答案】1
【解析】y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x 2
－1， ∵1＋x 2≥1，
∴0<21＋x 2≤2. ∴－1<21＋x 2
－1≤1.即y ∈(－1, 1]． ∴ 函数的值域为(－1,1]．
【2-4】
求函数f (x )＝x －1－2x .的最大值． 【答案】12.
法二：(单调性法)容易判断f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以11()22
y f ≤= 即函数的值域是1(,]2
-∞. 【2-5】
求函数y ＝x 2－x x 2－x ＋1
的最小值． 【答案】最小值为13-. 【解析】(判别式法)
由y ＝x 2－x x 2－x ＋1
，x ∈R ， 得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0.
∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1.
又∵x ∈R ，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0，
∴－13
≤y <1. ∴函数的值域为1[,1)3
- 【基础知识】
函数最值的求法:
(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是[a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.
(2)利用配方法:形如2
(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围.
(3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. (4)利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d
++ 或2ax bx e y cx d ++=+ (a,c 至少有一个不为零)的函数,求其最值可用此法.
(5)利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其最值.
(6)利用基本不等式:
(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值
【思想方法】
求函数最值的五个常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
【温馨提醒】求函数最值的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法；在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．
【易错问题大揭秘】
求函数的值域或最值时，忽视函数的定义域导致错误．
设()()()log 1log 3a a f x x x =++-（0a >且1a ≠），且()12f =，则()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值是．【答案】2。