2 Chap 5 拉普拉斯变换

F(s)的单边拉普拉斯逆变换为
r
K1i i −1 s1t −1 f (t ) = L [ F ( s )] = ∑ t e ε (tt)) + u( i =1 (i − 1)!
r
j = r +1
K j e j ε (t ) ∑ u (t )
st
n
3s + 5 , F(s)的单边拉氏逆变换。 例 5.3-3 已知求 F ( s ) = 2 ( s + 1) ( s + 3)
3s + 5 K 3 = ( s + 3) 2 ( s + 1) ( s + 3)
于是得
s = −3
= −1
1 1 1 F ( s) = + − 2 ( s + 1) s +1 s + 3
ut f (t ) = L−1[ F ( s )] = (te − t + e − t − e −3t )ε ((t)
1. F(s)仅有单极点 仅有单极点 仅有单极点 若A(s)=0仅有n个单根si(i=1, 2, …, n)，则根据附录A中式 (A-2)，无论si是实根还是复根，都可将F(s)展开为
n B( s ) B( s) Ki F ( s) = = =∑ A( s ) ( s − s1 )( s − s2 ) L ( s − sn ) i =1 s − si
第5章 连续系统的复频域分析
1. 拉普拉斯变换的公式 双边拉普拉斯变换：
F (s) = f (t ) =
∫
∞ −∞
f (t )e
− st
dt
st
1 2π j
∫σ
σ + j∞
− j∞
F (s )e
ds
单边拉普拉斯变换：
常用信号的单边拉普拉斯变换 ：参见拉普拉斯变换表
1 . δ (t ) ↔ 1, Re [s ] > −∞
σ
B
图 5.3-2 拉普拉斯逆变换的积分路径
若给积分路径AB补充一半圆C，如图 5.3 - 2 所示，则构 成一闭合路径L(ACBA)。若令G(s)=F(s)est，且G(s)的奇点全部 是极点，根据留数定理， 则有
1 σ + j∞ 1 st F ( s )e ds + F ( s )e st ds 2πj ∫σ − j∞ 2πj ∫C 1 st = ∫L F ( s)e ds 2πj =
t<0 t>0
留数定理的内容为：若复变函数G(s)在闭合曲线L上及其 内部，除内部的有限个孤立奇点外处处解析，则G(s)沿闭合曲 线L的积分等于2πj乘以G(s)在这些奇点(si)的留数之和，即
∫ G( s)ds = 2πj ∑
L
Re s[G ( s )]
si
L内奇点
jω A C D
o
σ1
σa σ2
r B( s) K1i F ( s) = =∑ + r i ( s − s1 ) ( s − sr +1 ) L ( s − sn ) i =1 ( s − s1 )
Ki ∑1 s − s j =r + j
n
= F1 ( s ) +
式中：
j = r +1
∑ s−s
n
Kj
1
r
K1i F1 ( s ) = ∑ ( s − s1 ) i i =1 1 d r −i K1i = [( s − s1 ) r F ( s )]s = s1 (r − i )! ds r −i
s = −2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=3
s+5 K 2 = ( s + 3) ⋅ ( s + 2)( s + 3)
所以
s = −3
= −2
3 2 F ( s) = − s+2 s+3
于是得
f (t ) = L [ F ( s )] = (3e
−1
−2 t
ut − 2e )ε ((t))
−3t
2. F(s)有重极点 有重极点 有重极点 若A(s)=0在s=s1处有r重根，而其余(n-r)个根sj(j=r+1, …，n)， 这些根的值是实数或复数，则由附录A中式(A-8)和(A-11)可得
− jϕ ( −α + jβ ) t
e
]ε (t ) u(t
= K1 e −αt e j ( β +ϕ ) t + e − j ( β +ϕ ) t = 2 K1 e
−αt
[
]
cos( βt + ϕ )ε (t ) u (t )
对于F(s)的一对共轭复极点s1=-α+jβ和s2=-α-jβ，只需要计 算出系数K1=|K1|ejφ(与s1对应)，然后把|K1|、φ、α、β代入式(4.3 - 8)， 就可得到这一对共轭复极点对应的部分分式的原函数。
例 5.3-7 已知 F ( s ) =
1 , 求F(s)的单边拉氏逆变换。 − 2s 1+ e
解 F(s)不是有理分式，不能展开为部分分式。F(s)可 以表示为
(1 − e ) = (1 − e ) F ( s) = (1 + e )(1 − e ) 1 − e 对于从t=0 起始的周期性冲激序列 δ (t − nT ), 其单 ∑
m −n
D( s) D( s ) + = N ( s) + A( s ) A( s )
N ( s ) = c0 + c1s + L + cn −1s
m −n
式中，ci(i=0, 1, 2, …, n-1)为实数。N(s)为有理多项式，其逆变
D( s) 换为冲激函数及其一阶到m-n阶导数之和。 为有理真分 A( s )
2T
t
图5.3-1 因果周期信号
* 4.3.3 反演积分法
单边拉普拉斯逆变换也可以用单边拉普拉斯逆变换的定义 式求逆变换，这种方法称反演积分法 反演积分法。 反演积分法 单边拉普拉斯逆变换的定义为
0 f (t ) = 1 σ + j∞ st ∫σ − j∞ F ( s)e ds 2πj
−1 −t −2 t
B( s ) 为有理真分式， 可直接展开为部分分式 A( s ) 后求逆变换。要把F(s)展开为部分分式，必须先求出A(s)=0的
若 F ( s) = 根。因为A(s)为s的n次多项式，所以A(s)=0有n个根si(i=1, 2, …, n)。si 可能为单根，也可能为重根；可能为实根，也可能为 复根。si又称为F(s)的极点 极点。F(s)展开为部分分式的具体形式 极点 取决于si的上述性质。
式，可展开为部分分式后求逆变换。例如，
2 s 3 + 7 s 2 + 10s + 6 3s + 4 F ( s) = = (1 + 2 s ) + 2 s + 3s + 2 ( s + 1)( s + 2) 1 2 = (1 + 2 s ) + + s +1 s +1
则
f (t ) = L [ F ( s )] = δ (t ) + 2δ（t） ( e + 2e )ε (t ) ' + u(t
解 F(s)有二重极点s=-1和单极点s=-3。因此，F(s)可展开为
K12 K11 K3 F ( s) = + + 2 ( s + 1) s +1 s + 3
3s + 5 K12 = ( s + 1) ( s + 1) 2 ( s + 3)
2
s = −1
=1
3s + 5 d 2 K11 = ( s + 1) 2 s =−1 = 1 ds ( s + 1) ( s + 3)
s+5 ，求F(s)的单边拉氏逆 2 s + 5s + 6
解 F(s)的分母多项式A(s)=0的两个根分别为s1=-2, s2=-3。 因此，F(s)的部分分式展开式为
s+5 K1 K2 F ( s) = = + ( s + 2)( s + 3) s + 2 s + 3
s+5 K1 = ( s + 2) ⋅ ( s + 2)( s + 3)
先求F1(s)的逆变换，因为
1 1 i −1 t ε (t) ↔ i u (t ) (i − 1)! s
由复频移性质，可得
1 1 s1t i −1 ut e t ε ((t) ↔ i (i − 1)! ( s − s1 )
K1i i −1 s1t t ∑ (i − 1)! t e εu((t) ↔ F1 ( s) i =1
3. F(s)有复极点 有复极点 如果A(s)=0的复根为s1,2=-α±jβ，则F(s)可展开为
B( s ) K1 K2 F ( s) = = + ( s − α − jβ )( s + α + jβ ) s + α − jβ s + α + jβ K1 K1* = + s + α − jβ s + α + jβ
式中，K2=K*1。 令K1=|K1|ejφ, 则有
K1 e jϕ K1 e − jϕ F ( s) = + s + α − jβ s + α + jβ
由复频移和线性性质得F(s)的原函数为
f (t ) = L [ F ( s )] = [ K1 e e
−1
jϕ ( −α + jβ ) t