wj《二项式定理》课件(苏教版选修2-3)
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高中数学选修2-3优质课件：1.3.1 二项式定理
是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具
体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非
负整数，求解方式与求有理项一致.
跟踪训练 3 (1)若x－ax9 的展开式中 x3 的系数是－84，则 a＝__1____. 解析 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck9x9－k(－a)k1xk＝Ck9·(－a)kx9－2k(0≤k≤9， k∈N). 当9－2k＝3时，解得k＝3，代入得x3的系数，根据题意得C39 (－a)3＝－84， 解得a＝1.
题型探究
类型一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式.
解答
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋ …＋(－1)nCnn. 解 原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ckn (x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n ＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
解答
类型二 二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数 例 2 已知二项式(3 x－32x)10. (1)求展开式第4项的二项式系数； 解 (3 x－32x)10 的展开式的通项是
Tk＋1＝Ck10(3 x)10－k(－32x)k＝Ck10310－k(－23)k·x10－23k (k＝0,1,2，…，10).
解答
引申探究
将例1(1)改为求(2x－
1 x2
)5的展开式.
解 方法一 (2x－x12)5＝C05(2x)5－C15(2x)4·x12＋C25(2x)3·(x12)2－C35(2x)2·(x12)3＋
高中数学选修2-3课件1.3.1《二项式定理》课件
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b2 (a b)4 ?
(a b)n ?
…
探究1、 (a+b)4展开后有哪些项？ 各项的系数分别是什么？
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
展开后的每一项形式有何提点？
（1）形如： a xb y
次数:各项的次数等于二项式的次数 项数:次数+1
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a b)2
C 20a 2
C
1 2
ab
C
2 2
b2
(a b)3
C
0a
3
3
C
1 3
a
2b
C
2 3
ab2
C33 b3
(a
b)4
C 40a 4
C
1 4
a
3b
C 42a 2b2
C43ab3
C44b4
(a b)n ?
探究2：请分析(a b)n的展开过程
(a b)n (a b)( ab )(ab)
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
例7、若 ( x+ 1 )n 展开式中前三项系数成等差 24 x
(a b)n ?
…
探究1、 (a+b)4展开后有哪些项？ 各项的系数分别是什么？
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
展开后的每一项形式有何提点？
（1）形如： a xb y
次数:各项的次数等于二项式的次数 项数:次数+1
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a b)2
C 20a 2
C
1 2
ab
C
2 2
b2
(a b)3
C
0a
3
3
C
1 3
a
2b
C
2 3
ab2
C33 b3
(a
b)4
C 40a 4
C
1 4
a
3b
C 42a 2b2
C43ab3
C44b4
(a b)n ?
探究2：请分析(a b)n的展开过程
(a b)n (a b)( ab )(ab)
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
例7、若 ( x+ 1 )n 展开式中前三项系数成等差 24 x
高中数学苏教版选修2-3：1.5 第1课时 二项式定理
[例 3]
已知二项式3
x－32x10.
(1)求展开式中第 4 项的二项式系数；
(2)求展开式中第 4 项的系数．
[思路点拨] 利用二项式的通项直接求第 4 项的二项式系数及第
4 项的系数．
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
18
体健康，学业有成，金榜题名！
[精解详析]
3
x－32x10 的二项展开式的通项是
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
16
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5．求
x－ 1 4
2
8 x
的展开式中的有理项．
解：
x－ 1 4
2
8 x
的展开式的通项为
Tr＋1＝C8r (
－1
x)8－r24
r x
＝－12rCr8x16－4 必须是 4 的倍数，所以 r＝0,4,8，故共有
3 个有理项，分别是 T1＝－120C08x4＝x4，
T5＝－124C84x＝385x，T9＝－128C88x－2＝2516x2.
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
17
体健康，学业有成，金榜题名！
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
23
体健康，学业有成，金榜题名！
1．求二项展开式特定项的一般步骤
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
24
体健康，学业有成，金榜题名！
2.求二项展开式的特定项应注意的问题 通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求 第 r 项；②求含 xr(或 xpyq)的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理 项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整 数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要 求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有 根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误． 3．二项式系数与项的系数的区别 二项式系数 Crn与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一 定为正，而项的系数有时可以为负．
高中数学苏教版选修2-3课件1.5二项式定理说课课件
计
式
定
1.必做题：课本110页习题10.4的1、2；
理
2.选做题：展开(a+b+c)n(n∈N*）；
3.拓展延伸:查阅书籍或登陆数学网站,了解杨
辉三角的有关数学史料、性质、应用.
板书设计
二项式定理
二项式定理： 二项展开式的结构特征： 1.项数： 2.指数： 3.系数： 通项公式：
(a b)n an an-1b an-2b2 an-3b3 bn
1、创设情境——引出问题 2、存疑设问——突破难点
教 学
①推陈出新 ②初步归纳 ③理性思考
杨 (a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)
设 计
辉三
C
0
4
a4
C
1
4
a3b
C
2
4 首尾呼应
(a b)n Cn0an Cn1an-1b Cn2a b n-2 2 Cn3a b n-3 3 Cnran-rbr Cnnbn
1、创设情境——引出问题 2、存疑设问——突破难点
教 学
3、合作交流——深化认识
设
二 项
4、初步应用——不断领悟 5、归纳总结——画龙点睛
定
理
重视过程 突出方法
(a b)n Cn0an Cn1an-1b Cn2a b n-2 2 Cn3a b n-3 3 Cnran-rbr Cnnbn
1、创设情境——引出问题 2、存疑设问——突破难点
教 学
3、合作交流——深化认识
设
二
4、初步应用——不断领悟
计
项 例3.若今天是星期一，再过8100天后的那一天是星期几？ 式
角定
C1
苏教版高中数学选修2-3 1.5.1 二项式定理课件(31张)
1.5.1 二项式定理
11
跟踪训练 1 (1)展开(2 x＋ 1x)6； 解 (2 x＋ 1x)6＝x13(2x＋1)6 ＝x13[C60(2x)6＋C16(2x)5＋C26(2x)4＋C63(2x)3＋C46(2x)2＋C56(2x)＋C66] ＝64x3＋192x2＋240x＋160＋6x0＋1x22 ＋x13.
1.5.1 二项式定理
18
题型三 二项展开式通项的应用
例 3 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求： 24 x
(1)展开式中含 x 的一次项；
解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，
即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，或n＝1(舍去).
1.5.1 二项式定理
19
Tr＋1＝Cr8(
解 C37＝C47＝35，所以第 4 项与第 5 项的二项式系数等于 35.
1.5.1 二项式定理
17
(2)x－1x9 的展开式中，含有 x6 项吗？若有，系数为多少？含
有 x5 项吗？若有，系数为多少？ 解 根据通项(－1)rCr9x9－2r，当 9－2r＝6 时，r 无整数解； 当9－2r＝5时，解得r＝2，所以系数为36. 所以展开式中，不含x6项，含有x5项，系数为36.
＝x12(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
1.5.1 二项式定理
9
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 解 原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45 (x－1)＋C55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
最新苏教版选修2-3高中数学2.4《二项分布》ppt课件
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
课前自主学案
温故夯基
1．二项式定理 (a＋b)n＝ _C_0n_a_n_＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__kna_n_－_k_b_k＋__…__＋__C__nn_bn_(_n_∈__N_*_)_． 2．超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰 有 X 件次品，则事件{X＝k}发生的概率为 P(X＝k)
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
解：设 A＝{投保人能活到 65 岁}，则－A ＝{投保 人活不到 65 岁}． P(A)＝p＝0.6，∴P(－A )＝1－p＝1－0.6＝0.4. 3 个投保人活到 65 岁的人数 X 相当于 3 次独立 重复试验中事件 A 发生的次数，则 X～B(3,0.6)． (1)P(X＝3)＝C33·0.63·(1－0.6)0＝0.216； (2)P(X＝2)＝C23·0.62·(1－0.6)1＝0.432； (3)P(X＝1)＝C13·0.6·(1－0.6)2＝0.288； (4)P(X＝0)＝C03·0.60·(1－0.6)3＝0.064.
例1 在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只 有一个是正确的．若对4道选择题中的每一道都任 意选定一个答案，求这4道题中： (1)恰有两道题答对的概率； (2)至少答对一道题的概率． 【思路点拨】 每次选择每道题的答案的事件相互 独立且概率相等，故可看成n次独立重复试验．
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
(2)法一：至少有一道题答对的概率为：
1－P4(0)＝1－C0441
034 4
＝1－28516＝127556.
法二：至少有一道题答对的概率为：
课前自主学案
温故夯基
1．二项式定理 (a＋b)n＝ _C_0n_a_n_＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__kna_n_－_k_b_k＋__…__＋__C__nn_bn_(_n_∈__N_*_)_． 2．超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰 有 X 件次品，则事件{X＝k}发生的概率为 P(X＝k)
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解：设 A＝{投保人能活到 65 岁}，则－A ＝{投保 人活不到 65 岁}． P(A)＝p＝0.6，∴P(－A )＝1－p＝1－0.6＝0.4. 3 个投保人活到 65 岁的人数 X 相当于 3 次独立 重复试验中事件 A 发生的次数，则 X～B(3,0.6)． (1)P(X＝3)＝C33·0.63·(1－0.6)0＝0.216； (2)P(X＝2)＝C23·0.62·(1－0.6)1＝0.432； (3)P(X＝1)＝C13·0.6·(1－0.6)2＝0.288； (4)P(X＝0)＝C03·0.60·(1－0.6)3＝0.064.
例1 在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只 有一个是正确的．若对4道选择题中的每一道都任 意选定一个答案，求这4道题中： (1)恰有两道题答对的概率； (2)至少答对一道题的概率． 【思路点拨】 每次选择每道题的答案的事件相互 独立且概率相等，故可看成n次独立重复试验．
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
(2)法一：至少有一道题答对的概率为：
1－P4(0)＝1－C0441
034 4
＝1－28516＝127556.
法二：至少有一道题答对的概率为：
高中数学1.5.1《二项式定理》课件(苏教版选修2-3)
例3 化简：1－2C1n＋4C2n－8C3n＋…＋(－2)nCnn.
【思路点拨】 共有n＋1项，(－2)按升幂排列 符合二项式定理形式． 【解】 原式＝C0n＋C1n(－2)1＋C2n(－2)2＋C3n (－2)3＋…＋Cnn(－2)n＝(1－2)n＝(－1)n. 【名师点评】 对于这类问题，从项数、幂的 变化规律，判断是否符合二项式定理．
1.5.1 二项式定理 课件（苏教版选修 2-3）
1.5.1
学习目标 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
学习目标
1.理解并掌握二项式定理的项数、系数、二项 式系数、通项的特征，熟记它的展开式． 2．能够运用展开式中的通项求展开式中的特 定项．
课前自主学案
温故夯基
1．(a＋b)2＝____a_2＋__2_a_b_＋__b_2______. 2．(a＋b)3＝__a_3_＋__3_a_2_b_＋__3_a_b_2＋__b_3_____.
＝
1 32x10
(1024x15
－
3840x12
＋
5760x9
－
4320x6
＋
1620x3－243)
＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
求二项式的特定项
根据通项公式 Tr＋1，对 r 进行待定．通项公式的 主要作用是用来求展开式中的特定项．求二项展 开式的特定项常见题型有：(1)求第 k 项，Tk＝Ckn－1 an－k＋1bk－1；(2)求含 xr 的项(或 xpyq 的项)；(3)求常 数项；(4)求有理项．
例2 (本题满分 14 分)求( x－3 x)9 展开式中的 有理项．
【思路点拨】 写通项 → 化简
→ 令x的指数为整数 → 求r的值 → 写出各项 【规范解答】 二项式的展开式的通项 Tr＋1＝C9r x129－r－x13r ＝(－1)rC9rx276－r.4 分 令276－r∈Z，
最新--苏教版选修(2-3)1.5《二项式定理》课件2 精品推荐
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C44
C50
C51
C
2 5
C53 C54 C55
C
0 6C 61源自C2 6C63
C64
C65
C
6 6
11 121 1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（Blaise Pascal, 1623-1662）首先发现的， 他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨 辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可 见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自 豪的.
1.5.2 二项式系数的 性质和应用
知识回顾
1.二项式定理
一般地，对于nN*，有：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2 Cnranrbr
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式
Cnnbn
其中 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的通项，记作Tr+1
2.注意区别二项式系数与项的系数的概念
令:
定义域
f r
(r{0)，1，C，nrn}
14
当n= 6时, f (r) C6r
其图象是7个孤立点
6
O 36
函数思想
代数意义：C
m n
苏教版高中数学选修2-3课件 1.5.1 二项式定理课件1
名师点睛 二项式定理 (1)运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Crnan－rbr，Tr＋1表示的是 第r＋1项，而非第r项．(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们 展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题，另外 二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概 念，前者只指Crn，而后者是字母外的部分． (2)应用通项公式特别注意符号问题，要将通项中的系数和字母分 离开来，以便解决有关问题．
课前探究学习
课堂讲练互动
2．与二项式定理有关的概念及公式
பைடு நூலகம்
(1)各项的系数C
r n
(r∈{0,1,2，…，n})叫做
二项式系数，它与某项
的系数是 不同的 ．
(2)(a＋b)n的展开式的通项公式为Tr＋1＝Crnan－rbr， 这里r＝0,1,2，…，n，而(b＋a)n的展开式的通项公式为
Tr＋1＝Crnbn－rar. (3)二项展开式有以下特征： ①共有 n＋1 项；
解
(1)(2＋x)n的展开式中第三项的二项式系数为C
2 n
，由C
2 n
＝
3，得nn－ 2 1＝3，即n2－n－6＝0，
解之得n＝3或n＝－2(舍去)．
(2)在二项展开式中通项公式为：
Tr＋1＝Cr5(ax)r＝Cr5arxr，令r＝3， 得x3的系数为C53a3， 由C35a3＝－80，得a＝－2.
②各项的次数都等于二项式的次数 n ；
③字母a按降幂排列，次数由 n 递减到 0 ；字母b按升幂排列，次
数由 0 递增到 n .
课前探究学习
课堂讲练互动
想一想 二项式定理中将(a＋b)n中的a与b交换后通项公式相同吗？ 提示 (a＋b)n与(b＋a)n展开式中的通项公式不同．
数学选修2-3 1.3.1二项式定理
填一填
(x+2)8 的展开式中的第 6 项为 ,其二项式系数为 . 5 3 5 5 解析:展开式的第 6 项是 T6=C8 x· 2 =1 792x3,其二项式系数为C8 . 答案:1 792x3 56
-5-
1.3.1 二项式定理
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一二项式定理
1.简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开;对于形式较复杂 的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再 展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式是解答好与二 项式定理有关的问题的前提. 2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点.a 的指数是从高到 低,b 的指数是从低到高,a,b 的指数和都相等;如果项的系数是正负相间,则 是(a-b)n 的形式.
3
2x)
20-k
·-
∵系数为有理数,∴40-5k 是 6 的倍数,0≤k≤20,k∈Z,∴k=2,8,14,20.
答案:(1)C (2)A
-13-
1 ������ 2
= -
2 2
������
· ( 2)
3
20-k ������
C20 · x
20-k
=(-1)
k
40-5������ · 2 6 C������
0 C4 · (2
4
解:(1)方法一:直接利用二项式定理展开并化简:
1 4 ������
+
(2)原式 0 5 1 2 3 4 =C5 (x-1)5+C5 (x-1)4+C5 (x-1)3+C5 (x-1)2+C5 (x-1)+C5 -1=[(x-1)+1]5-1=x5-1.
高中数学新教材苏教版高二课件：二项式定理
∁24
= + −
−
2 2
+
∁34
−
2 3
+
∁44
−
2 4
再请分别说出例题1、变式1、变式2的展开式中，第二项的二项
式系数和系数分别是多少？
概念辨析
例 1：(1 +
0
1
1 4
0 1
1 1
) =∁4
+∁4
4
6
2
=1+ +
变式 2：(1 −
2 4
) =∁04
+
2 0
4
3
+
−
−
2 0
8
24
2
=1- +
+∁14
−
32
3
注意：公式中的a与b不能随意调换。
解：(1 −
+
3
3 1
∁4
1
变式 2 求( − ) 的展开式。
2 4
) =∁04
2
2 1
∁4
的展开式，并说出第2项是多少？
解：( + 1) = 4 +
+
1 1
2 项是多少？
−
−
+
2
16
4
+
+ =∁ + ∁ − + ⋯ + ∁ − + ⋯ + ∁ ∈ ∗
1 4
) 的展开式,并说出第
(教师用书)高中数学 1.5.1 二项式定理配套课件 苏教版选修2-3
【提示】在已展开的式子中，考虑 an－rbr 的同类项，由 于 an－rbr 是由 n－r 个因式(a＋b)中选 a， r 个因式(a＋b)中选 b 得到的，且 b 选定后，a 的选法也随之确定，因此，an－rbr 出 现的次数相当于从 n 个因式(a＋b)中取 r 个 b 的组合数 Cr n.所 以，合并同类项之后，an－rbr 的系数是 Cr n.
3 5 180 135 405 243 5 2 ) ＝32x －120x ＋ － 4 ＋ 7 － 10. 2x2 x x 8x 32x
3 5 3 5 （4x －3） 1 0 3 5 1 法 二 ： (2x － 2 ) ＝ ＝ 10 10 [C 5 (4x ) ＋ C 5 2x 32x 32x 3 3 2 3 3 2 3 4 3 4 (4x3)4·(－3)＋C2 (4 x ) ( － 3) ＋ C (4 x ) ( － 3) ＋ C (4 x )( － 3) ＋ 5 5 5
n－r r Cr a b n
＋„＋ C n n
bn(n∈N*)．这个公式所表示的定理叫做二项式定理．
二项展开式的通项 二项式系数
【问题导思】 1．二项展开式中第 m 项的二项式系数是否为 Cm n？
－1 【提示】(a＋b)n 展开式中第 m 项的二项式系数为 Cm n ，
m 不是 Cn .
2．二项展开式中项的系数与二项式系数有何区别？
180 135 405 5 5 5 2 C5(－3) ]＝32x －120x ＋ － 4 ＋ 7 － x x 8x
243 . 32x10
6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 1 (2)A－B＝37－C1 73 ＋C73 －C73 ＋C73 －C73 ＋C73 －1
1.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们 课标 解决与二项展开式有关的简单问题．(重点) 解读 2．利用二项展开式求特定项或项的系数．(难点) 3．二项式系数与项的系数的区别与联系．(易混点)
3 5 180 135 405 243 5 2 ) ＝32x －120x ＋ － 4 ＋ 7 － 10. 2x2 x x 8x 32x
3 5 3 5 （4x －3） 1 0 3 5 1 法 二 ： (2x － 2 ) ＝ ＝ 10 10 [C 5 (4x ) ＋ C 5 2x 32x 32x 3 3 2 3 3 2 3 4 3 4 (4x3)4·(－3)＋C2 (4 x ) ( － 3) ＋ C (4 x ) ( － 3) ＋ C (4 x )( － 3) ＋ 5 5 5
n－r r Cr a b n
＋„＋ C n n
bn(n∈N*)．这个公式所表示的定理叫做二项式定理．
二项展开式的通项 二项式系数
【问题导思】 1．二项展开式中第 m 项的二项式系数是否为 Cm n？
－1 【提示】(a＋b)n 展开式中第 m 项的二项式系数为 Cm n ，
m 不是 Cn .
2．二项展开式中项的系数与二项式系数有何区别？
180 135 405 5 5 5 2 C5(－3) ]＝32x －120x ＋ － 4 ＋ 7 － x x 8x
243 . 32x10
6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 1 (2)A－B＝37－C1 73 ＋C73 －C73 ＋C73 －C73 ＋C73 －1
1.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们 课标 解决与二项展开式有关的简单问题．(重点) 解读 2．利用二项展开式求特定项或项的系数．(难点) 3．二项式系数与项的系数的区别与联系．(易混点)
推荐高中数学选修2-3优质课件：二项式定理 精品
∴k能被2整除，且20－k能被3整除．
故k为偶数，20－k是3的倍数，0≤k≤20，
∴k＝2,8,14,20.
(2)Tk＋1＝Ck5(
x
)5－k－
1 3 x
k＝Ck5(－1)kx52－56k，令
52－
5k 6
＝0，
得k＝3，所以A＝－C35＝－10.
[答案] (1)A (2)－10
[类题通法]
1．在通项公式Tk＋1＝C
8－43k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·C68·122＝7.
答案：C
3．在2x2－1x6的展开式中，中间项是________．
解析：由n＝6知中间一项是第4项，因T4＝C
3 6
(2x2)3·－1x
3
＝C36·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3.
答案：－160x3
4.x2－21x9的展开式中，第4项的二项式系数是______，第4项
[对点训练](1)求ຫໍສະໝຸດ x－214
x
的展开式．
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
解：(1)法一：
x－2
1
x
4＝C
0 4
(
x
)4－C
1 4
(
x
)3·2
1
x
＋C
2 4
( x)2·2 1 x2－C34 x·2 1 x3＋C442 1 x4＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
解：T3＝C
2 5
(x3)3
2 3x2
2＝C
2 5
4 ·9
x5，所以第三项的系数为
C52·49＝490.
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恰有 3 个括号中取
C 种 , ab 系数为 C ;
3 3 3 4 4
四个括号中都取
C 种 , b 系数为 C .
4 4 4 4 4
按上述方法，我们能写出 ( a b ) 展开式吗？
n
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n 1 n 1 r nr r n n n n n
二项展开式系数：是指二项展开式中各项的系数.
例题分析
例 1：求 (1 2 x ) 的展开式 .
5
分析：直接利用二项式
n 0 n 1 n 1 n n
定理展开 .
r nr r n n n n
(a b) C a C a b C a b C b
解：1 2 x ) C 1 ( 2 x ) C 1 ( 2 x ) C 1 ( 2 x ) (
公式 T
r2
r 1
C 2 x ,
r r r 10
依题意 T 项的系数不小于
C 2 C 即 C 2 C
r r 10 r r 10 r 1 10 r 1 10
T 项及 T 项系数 .
r
r 1 r 1
2 2
（ 2 11 r ） r 解得： （ r 1 2 10 r ） 19 3 r 22 3 项为第 8 项 . . r N
6
间项？
解析：利用通项公式 前三项分别为：
1 5 1 6
C （2 x ) ( 1) 64 x ；
0 6 0 6 6 5 2 4 2 4 6
C （2 x ) ( 1) 192 x ； C （2 x ) ( 1) 240 x
中间项即为第四项： T
3 1
4
4
3
2
2
3
4
在上面四个括号中，每
个都不取
b 的情况，有
4
C 种，
0 4 0 4
a 系数为 C ; b 的情况，有 b 的情况，有 b 的情况，有 b 的情况，有 C 种 , a b 系数为 C ;
1 3 1 4 4
恰有 1 个括号中取
恰有 2 个括号中取
C 种 , a b 系数为 C ;
2 2 2 2 4 4
1
ab a 2 ab b
2 3 2 2
2
3
a 3 a b 3 ab b
2
3
.......... .......... .......... .......... ..
下面对系数进行研究，你会发现什么规律？ ( a b ) ( a b )( a b )( a b )( a b ) ? a ? a b ? a b ? ab ? b
1 x
) 的展开式 .
4
分析：直接利用二项式定理公式套用
解析：（x
2 2
1
）=C 4 x ( ) C 4 x ( ) x x x
0 4 0 1 3 3 1
4
1
1
1
C4 x ( ) C4 x ( ) C4 x ( ) x x x
2 3 4 0
1
4,
5
二：预习1.32
5 0 5 0 1 4 1 2 4 5 5 5
2
C 1 (2 x ) C 1 (2 x ) C 1 (2 x )
3 2 3 4 1 4 5 0 5 5 5
5
1 10 x 40 x 80 x 80 x 32 x
2 3 4
5
动动手： 求 ( x
r
T
r 1
C a b ( r 0 ,1, 2 ,...., n )
r nr n
解 ： T 5+ 1 C 8 x
5
85
(
1 x
) C 8 ( 1)
5 5 5
5
1 x
2
二项式系数为
C 56 , 系数为 C 56 .
5 8 8
练习： 求（ 2 x 1 的展开式中前三项和中 ）
引入课题
(1) 今天是星期几？那么7天后 的这一天是星期几呢? (2)如果是15天后的这一天呢？ (3)如果是 8
100
天后的这一天呢？
1.3二项式定理
(a b) ?
n
尝 试 二 项 式 定 理 的 发 现
观察下面式子，从右边的项数、每项的次数、系数进 行研究，你会发现什么规律？
(a b) (a b) (a b)
5
练一练
化简： C C 3 C 3 C 3 ....... C 3
0 1 2 2 3 3 n n n n n n n
解：原式
Hale Waihona Puke (1 3 ) 4nn
例 2: 已 知 （ x
1 x
）
8
求它的展开式的第六项的二项式系数和系数.
分析：利用二项式定理
通项公式
1
1
4
x 4x 6
4 2
4 x
2
1 x
4
变式
化简： C 2 C 2 x C 2 x
0 5 1 4 2 3 5 5 5
2
C 2 x C 2 x C x
3 2 3 4 1 4 5 5 5 5
5
分析：本题考查二项式
定理逆应用
解：原式
（2 x ）
r 7 , 故展开式中系数最大的
课时小结：
2、通项 : T
r 1
C a b ( r 0 ,1, 2 ,...., n )
r nr r n
3、二项式系数依次为
C n 、 C n、 C n 、 C n 、 、 C n
注意：区别二项式系数与系数。
0
1
2
3
n
作业:
一：P３６
2(2),
n
特点：（ 1 ）二项式展开式共有 （2）二项式展开式按 a 和 b 的指数和都等于
n 1 项； a 的降幂排列，且各项中
n .且 n N , r 0， 2 .... n . 1，
3.二项式系数：是指二项展开式中各项的组合数，
即：
C 、C 、C 、C 、 、C
0 1 2 3 n n n n n n
C （2 x ) ( 1) 160 x
3 3 3 6
3
拓展探究一：
(3)今天是星期三，那么 8 100 天后 的这一天是星期几？
7 C （
0 100
7 C ） 1
99 99 100
被7除余数是1，所以是星期四
拓展探究二：
解析：设第
r 1
r 1 项的系数最大，由通项