1989年全国初中数学联合竞赛试题及解答
历年初中数学竞赛试题精选(含解答)
初三数学竞赛试题 4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（）A. m(1+a%)(1-b%)元B. m?a%(1-b%)元C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元解：选C。
设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。
由题可得关系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d＝2，故b=4，c=3，于是x＝a+b+c+d=9。
解：出发1小时后，①、②、③号艇与④号艇的距离分别为各艇追上④号艇的时间为对＞＞＞有，即①号艇追上④号艇用的时间最小，①号是冠军。
解：设开始抽水时满池水的量为，泉水每小时涌出的水量为，水泵每小时抽水量为，2小时抽干满池水需n台水泵，则由①②得，代入③得：∴，故n的最小整数值为23。
答：要在2小时内抽干满池水，至少需要水泵23台解：设第一层有客房间，则第二层有间，由题可得由①得：，即由②得：，即∴原不等式组的解集为∴整数的值为。
答：一层有客房10间。
解：设劳动竞赛前每人一天做个零件由题意解得∵是整数∴＝16（16＋37）÷16≈3.3故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3倍。
初中数学竞赛专项训练（2）（方程应用）一、选择题：答：D。
解：设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，根据题意知，从出发地点到A的路程为千米，到B的路程为千米，从而有方程：，化简得，解得不合题意舍去）。
应选D。
答：C。
解：第k档次产品比最低档次产品提高了（k－1）个档次，所以每天利润为所以，生产第9档次产品获利润最大，每天获利864元。
答：C。
解：若这商品原来进价为每件a元，提价后的利润率为，则解这个方程组，得，即提价后的利润率为16%。
答：B。
解：设甲乙合作用天完成。
由题意：，解得。
故选B。
答：A。
解：A与B比赛时，A胜2场，B胜0场，A与B的比为2∶0。
历年初中数学竞赛真题库含答案
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试 一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是（A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18． 答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）11=S 3S =132=S（C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+acb 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ，yx四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD ,AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(baa b . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N. 1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值. 其中正确的是(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B)53124x x x x x >>>>; (C)52413x x x x x >>>>; (D)24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5 6.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22-(B)22(C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于(A)cb a1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( ) 8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( ) 二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB ,AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题 第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A ，B 、C ，D ，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0 〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4 B．等于5C．等于6 D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
全国初中数学联赛试题及答案详细解析全集(1991——2015年)
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18．答（ ）３． 方程012=--x x 的解是 （A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４． 已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q pn m xx x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ， yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）． 11=S 3S =1 32=S 120135二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且 BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xky 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是答( ) 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ; 2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x 其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是 (A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>; (C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于5 6.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22-(B)22(C)23(D)21-.答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n,p ,那么m :n :p 等于(A)cb a 1:1:1; (B)c b a ::(C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( )二.填空题1.当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D ,E ,使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ;(3)求cb,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
1991-2013年全国初中数学联合数学竞赛试题及答案(word版本)
一九九一年第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35．答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18．答（ ）３． 方程012=--x x 的解是 （A ）251±； （B ）251±-；（C ）251±或251±-； （D ）251±-±．答（ ）４． 已知：)19911991(2111n nx --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d cb a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21；答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+acb 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m xx x x )1(1)1(+=-+恒成立，则=++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=， CD = 6，则AD = ．11=S3S =132=S120135第二试xx + y，x －y，x y，y四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．一九九二年第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是 (A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是 (A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xky 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于 (A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.一九九三年 第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ; 2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值; Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值. 其中正确的是(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B)53124x x x x x >>>>; (C)52413x x x x x >>>>; (D)24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解 (A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22-(B)22(C)23(D)21-.答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于(A)cb a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1.当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0 〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4 B．等于5C．等于6 D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001 D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
历年初中数学竞赛真题库含答案
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18．答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ， yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于 (A)c b a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________. 第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
第四届中国数学奥林匹克(1989年)
「家教吗」助您登上知识的高峰 更多试题下载请访问 第四届中国数学奥林匹克 (1989年)1. 在半径为1的圆周上，任意给定两个点集A 、B ，它们都由有限段互不相交的弧组成，其中B 的每段的长度都等于π/m ，m 是自然数。
用A j 表示将集合A 反时针方向在圆同上转动jπ/m 弧度所得的集合(j=1, 2, ...)。
求证：存在自然数k ，使得L(A j∩B)≧L(A)L(B)/(2π)。
这里L(x)表示组成点集x 的互示相交的弧段的长度之和。
2. 设x 1, x 2, ... , x n 都是正数(n ≧2)且x 1+ x 2+ ... +x n =1。
求证：。
3. 设S 为复平面上的单位圆同(即模为1的复数的集合)，f 为从S 到S 的映射，对于任意S 的元素z ，定义f (1)(z)=f(z)，f (2)(z)=f( f(z))，...，f (k)(z)=f( f (k-1)(z) )。
如果S 的元素c ，使得f (1)(z)≠c ，f (2)(c)≠c ，...，f (n-1)(c)≠c ，f (n)(c)≠c 。
则称c 为f 的n ─周期点。
设m 是大于1的自然数，f 定义为f(z)=z m ，试计算f 的1989─周期点的总数。
4. 设点D 、E 、F 分别在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上，且△AEF 、△BFD 、△CDE 的内切圆有相等的半径r ，又以r 0的R 分别表示△DEF 和△ABC 的内切圆半径。
求证：r+r 0=R 。
5. 空间中有1989个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数各不相同的30组，在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形。
6. 设f ：(1, +∞)→(0, +∞)满足以下条件：对于任意实数x 、y>1，及u 、v>0，有f(x u y v )≦f(x)1/(4u) f(y)1/(4v)。
试确定所有这样的函数。
全国初中数学竞赛试题及答案(1998年)
一九九八年全国初中数学联合竞赛试题第一试1、 填空题1.设,那么的整数部分是 .2.在直角三角形ABC中,两条直角边AB,AC的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于 厘米.3.已知,那么代数式的值是 .4.已知,是有理数,并且方程有一个根是,那么的值是 .5. 如图,ABCD为正方形,A,E,F,G在同一条直线上,并且AE=5厘米,EF=3厘米,那么FG= 厘米.6.满足19982+=19972+的整数对,共有 个.7.设平方数是11 个相继整数的平方和,则的最小值是 .8.直角三角形ABC中,直角边AB上有一点M,斜边BC上有一点P, 已知的面积等于四边形MPCA的面积的一半, BP=2厘米, PC=3厘米,那么直角三角形ABC的面积是__________平方厘米.9.已知正方形ABCD的面积35平方厘米, E, F分别为边AB, BC上的点, AF, CE相交于点G,并且的面积为5平方厘米,的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF的面积是____________平方厘米.10.把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有__________人.11.设为实数,那么的最小值是__________.12. 1, 2, 3,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_______.13.在右边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么A与B乘积的最大值是____________.14.直线AB和AC与圆O分别为相切于B,C两点,P为圆上一点,P到AB,AC的距离分别为4厘米,6厘米,那么P到BC的距离为 厘米.15.每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ,其中A B C DE F G H I 由九个数字排列而成,J是检查号码.令S=10A+9B+8C+7D+6E+5F+4G+3H+2I,r是S除以11所得的余数,若r 不等于0或1,则规定J=11-r.(若r=0,则规定J=0;若r=1,规定J用表示)现有一本书的书号是962707015,那么= .第二试1. 求所有正实数,使得方程仅有整数根.2. 已知P为▱ABCD内一点,O为AC与BD的交点,M、N分别为PB,PC的中点,Q为AN与DM的交点,求证:(1) P,Q,O三点在一条直线上;(2) PQ=2OQ.3.试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.一 九 九 八 年第 一 试1． 3，，∴ ，.2．如图，AD为直角A的平分线，过B作交CA的延长线于点E. ，，，又∽，，∴.3．2.4．3因为m、n为有理数，方程一根为，那么另一个根为，由韦达定理.得 ，，∴.5．由原图 ，∴(厘米).6．16,.显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m,n)，故满足条件的整数对(m,n)共(个).7．1111个相继整数的平方和为,则y最小时，从而，∴.8．∵ ∽，，,∴ ，..9．∵ ，同理,由原图，连BG.记，，，.又由已知 ，，解之得 ， .∴ .10．13由题意，设有n人，分苹果数分别为1,2,…,n≤100,∴ n≤13，所以至多有13人.11．-1≥-1.当 ，，即 ，时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为-1.12．73对(1≤m<n≤98 m,n为整数)因为n+m与n-m同奇同偶，所以x是奇数或是4的倍数，所以1至98共98个自然数中，满足条件的数有49+24=73个.13．15设算式acfBbeAdh+g显然：g=1,d=9,h=0.a+c+f=10+Bb+e=9+A∴ A≤6..∴ .欲令A·B最大，取A=5，B=3，此时b,e为6,8;a,c,f为2,4,7，故A·B最大值为15.14．如图，，，.P,Q,C,N四点共圆，P,Q,B,N四点共圆,，，∴ ∽，，(厘米).15．7∴ S被11除所得的余数等于被11除所得的余数.由检查号码可知，S 被11除所得的余数是11-5=6，因此7y被11除所得余数为6-1=5, ∴y=7第 二 试一、设两整数根为x,y(x≤y)，则≤y≤a,4≤x≤8.可推出， ∴ ，由于x为整数,∴ 时，，； 时，，；时，a不是整数；时，，.于是或18或16均为所求.说明 没有说明理由，仅指出a的每一个正确值给4分.二、证明 如原图，连PO，设PO与AN，DM分别交于点,.在中，∵，，∴为重心，在中，∵，，∴为重心，这样，并且,就是AN，DM的交点Q.故P,Q,O在一条直线上，且.三、1680，1692，1694，1695，1696为满足条件的5个数（注：答案不唯一）以上5个数可用以下步骤找出：第一步：2,3,4为满足要求的三个数.第二步：设a,a+2,a+3,a+4为满足条件的四个数，则a可被2,3,4整除.取a=12，得满足条件的四个数12，14，15，16.第三步：设b,b+12,b+14,b+15,b+16.取12,14,15,16的最小公倍数为b.即b=1680，得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696.。
1989年全国初中数学联赛试题
2 2 2
2
① ②
B 1
E 3 D 图4 C
（其中 a ， b 为正数）有一个公共根． 求
ab ba 的值． a b b a
三、设 A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6 是平面上的六点，共中任三点不共线． ⑴如果这些点之间任意连接 13 条线段，证明：必存在 4 点，它们每两点之间都有线段连接． ⑵如果这些点之间只连有 12 条线段， 请你画出一个图形， 证明⑴的结论不成立 （不必用文字说用） ．
D O C
4．已知三角形的外接圆半径为 4cm ，一个内角为 60 ，夹这个角的两边之 差为 4cm ，那么，这个三角形的面积为________ cm ． 5．如图 3，正方形 ABCD 的中心为 O ，面积为 1989cm2 ， P 为正方形内一 点且 OPB 45 ， PA : PB 5 :14 ，则 PB _______ cm ．
D． c 和 e
F D E A 图2 B C
DF 1．如图 2，四边形 ABCD 中，点 E ， F 分别在 BC ， CD 上， 1， FC CE 2 ，若 △ADF 的面积为 m ，四边形 AECF 的面积为 n(n m) ， EB
则四边形 ABCD 面积为_________． 2．在十进位中，各位数码是 0 或 1，并且能被 225 整除的最小自然数 是_________．
a 1 解（Ⅱ）得 ， c 5 因而 a c 6 ， lg( xy) lg x lg y a b c d 7 ，
故 xy 107 ． 【点评】 这道题的关键是大家要注意题目给出的非负的信息，通过这些信息，再分情况讨论，很快就 可以得出正确的答案． 4． 8 3 【解析】 不妨设 △ABC 中， A 60 ， b c 4 ， R 4 ，由余弦及正弦定理，得 a2 b2 c2 2bc cos60 (b c)2 bc 16 bc ， 及 a 2R sin A 4 3 ． 则 bc a2 16 32 ． 2 S bc sin A 8 3 ． 1 【点评】 这道题难度一般，主要考查三角形的正余弦定理，以及面积的相关关系，同学们要注意耐心 细致，把式子列出来，一步一步的代入，很快就可以得出答案． 5．42 【解析】 如图 2，连接 OA ， OB ，由 BAO BPO 45 ，知 A ， B ， P 四点共圆，则 APB AOB 90 ． 设 PA 5x ， PB 14 x ，则 (5x)2 (14 x)2 1989 ， D 解得 x 3 ，则 PB 42 ． 【点评】 这道题有一定的难度， 主要是要能够看到共圆的信息， 然后进一步运用 O P 方程的思想，设出未知数求解．
完整)历年全国初中数学联赛试题总汇
完整)历年全国初中数学联赛试题总汇1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题1.设等式 $a(x-a)+a(y-a)=x-a-a-y$ 在实数范围内成立，其中 $a$，$x$，$y$ 是两两不同的实数，则 $\dfrac{3x^2+xy-y^2}{2x-xy+y}=$ （A）3；（B）$\dfrac{1}{3}$；（C）2；（D）$\dfrac{15}{33}$。
答案：（B）2.如图，$AB\parallel EF\parallel CD$，已知 $AB=20$，$CD=80$，$BC=100$，那么$EF$ 的值是（A）10；（B）12；（C）16；（D）18.答案：（C）3.方程 $x^2-x-1=0$ 的解是 $\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$；$\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$ 或 $\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$。
答案：（A）4.已知：$x=(1991-1991n)$（$n$ 是自然数）。
那么 $(x-1+x^2)^n$ 的值是（A）$1991^{-1}$；（B）$-1991^{-1}$；（C）$(-1)^n1991$；（D）$(-1)^n1991^{-1}$。
答案：（B）5.若$1\times2\times3\times\cdots\times99\times100=12^nM$，其中$M$ 为自然数，$n$ 为使得等式成立的最大的自然数，则$M$ 能被（A）2 整除，但不能被3整除；（B）能被3整除，但不能被2整除；（C）能被4整除，但不能被3整除；（D）不能被3整除，也不能被2整除。
答案：（D）6.若 $a$，$c$，$d$ 是整数，$b$ 是正整数，且满足$a+b=c$，$b+c=d$，$c+d=a$，那么 $a+b+c+d$ 的最大值是（A）$-1$；（B）$-5$；（C）$0$；（D）$1$。
答案：（B）7.如图，正方形 $OPQR$ 内接于 $\triangle ABC$。
全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案This manuscript was revised on November 28, 2020中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为（ ）．（A ）2c a - （B ）22a b - （C ）a - （D ）a 1（乙）．如果22a =-+11123a+++的值为（ ）．（A ）2- （B 2（C ）2 （D ）22（甲）．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =x b（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．（A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2）2（乙）． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）．（A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）53（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）214a - （C ）12（D ）143（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）OAB CED4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p5（乙）．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 . 6（乙）.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b cb c c a a b+++++的值为 ．7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为215，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A 在半径为20的圆O 上，以OA为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，xyO ECABD若12OC =，则线段CE 、BD 的长度差是 。
1989第六届全国各地九年制义务教育初三数学竞赛试题及参考答案解析
1989第六届全国九年级义务教育初中中考数学联赛第一试一、选择题1.已知最简根式a 是同类根式,则满足条件a ,b 的值( ) A.不存在B.有一组C.有两组D.多于两组2.如果关于x 的方程22(2)50mx m x m -+++=没有实数根,那么关于x 的方程2(5)2(2)0m x m x m --++=实根个数为( )A.2B.1C.0D.不确定3.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图1所示,则下列6个代数式ab ,ac ,a b c ++,2a b +,2a b -中,其值为正的式子个数为( )A.2个B.3个C.4个D.4个以上4.在三角形内(不在边上)有3个点,连同原三角形的3个顶点,共有6个点,以这六个点为顶点作出所有不重叠的三角形,如果这6个点中无点共线,所有三角形的个数为0n ,如果这6个点中有三点共线(但无四点共线),所作三角形的个数为1n ,如果这六个点中有四点共线,所作三角形的个为2n ,那么( )A.012n n n ==B.012n n n >>C.012n n n >≥D.012n n n >≥5.水池装有编号a ,b ,c ,d ,e 的5条管,其中有些是进水管,有些是出水管,如果同时开放两条水管,注满水池的时间如下表那么单开一条水管,最快注满水池的水管编号为A.aB.bC.dD.c 和e 二、填空题1.如图2,四边形ABCD 中,点E ,F 分别在BC ,CD上,1DF FC =,2CEEB=,若ADF △的面积为m ,四边形AECF 的面积为()n n m >,则四边形ABCD 面积为_________.2.在十进位中,各位数码是0或1,并且能被225整除的最小自然数是_________.3.已知x ,y 都是大于10的实数,lg x 的首数是a ,尾数是b ,lg y 的首数是图 1图 2FCE D图 3OPDCBAc ,尾数是d ,且|1|1a -=,1b d +=,则xy =________.4.已知三角形的外接圆半径为4cm ,一个内角为60︒,夹这个角的两边之差为4cm ,那么,这个三角形的面积为________cm . 5.如图3,正方形ABCD 的中心为O ,面积为21989cm ,P 为正方形内一点且45OPB ∠=︒,:5:14PA PB =,则PB =_______cm .第二试一、如图4,三角形ABC 中,D ,E 分别是边BC ,AB 上的点,且123∠=∠=∠如果ABC △,EDB △,ADC △的周长依次为m ,1m ,2m ,证明:1254m m m +≤. 二、首项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=, ① 222(1)(2)(2)0b x b x b a --+++=. ②(其中a ,b 为正数)有一个公共根.求b ab aa b a b --++的值. 三、设1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,6A 是平面上的六点,共中任三点不共线.⑴如果这些点之间任意连接13条线段,证明:必存在4点,它们每两点之间都有线段连接.⑵如果这些点之间只连有12条线段,请你画出一个图形,证明⑴的结论不成立(不必用文字说用).1989第六届全国九年级义务教育初中中考数学联赛答案第一试一、选择题1.B【解析】 由272a b a b +=⎧⎨-=⎩,解得唯一一组解:31a b =⎧⎨=⎩.故选B.【点评】 这道题应该说非常简单,只需要大家在解方程的时候认真细心,同时加快速度.2.D【解析】 因前一个方程没有实根,则其判别式214(2)4(5)0m m m ∆=+-+<, 解得4m >.后一个方程在4m >且5m ≠时,其判别式 224(2)4(5)36160m m m m ∆=+--=+>, 有两个相异实根；而在5m =时,方程为一次方程,有一个实根,因而其实根个数不确定. 故选D.图 4321CEBA【点评】 这道题目主要考察的是一元二次方程的判别式,需要注意的就是对5m =的情况单独讨论,这个是比较容易忽略的地方.3.A【解析】 图像开口向下,则0a <；顶点横坐标012ba<-<,则0b >,20a b +<.因而0ab <,20a b -<.又当0x =时,0y c =<,因而0ac >,0a b c -+<.当1x =时,0y a b c =++>,所给6个数式中只有2个为正. 故选A.【点评】 这道题目比较简单,主要考察一元二次函数图象与系数的关系,利用题目给出的信息,列出正确的式子,下面的求解就比较容易了.4.A【解析】 无论是这三种情况中的哪一种,以这6个点为顶点作出所有不重叠的三角形个数都是7个,即0127n n n ===. 故选A.【点评】 这道题目并不困难,纯粹是一道列举的题目,同学们只要把三种情况列举出来,画一下就不难发现正确的答案.5.C【解析】 设编号为i 的水管每小时的流量为i Q (1i =,2,3,4,5,0Q <表示出水),由所列表相邻两柱比较可得:13Q Q >,24Q Q <,35Q Q <,41Q Q >,52Q Q <即4253Q Q Q Q >>>,413Q Q Q >>同时易知i Q 中必有为正的,其中4Q 最大,因而单开编号为4的水管,注满水池的时间最短. 故选C.【点评】 这道题目不难,但是同学们拿到题目以后往往第一感觉是列方程,这样做就慢了,其实,仔细观察题目给出的信息就会发现,通过相邻两列信息的比较,列不等式,可以更快的作出答案.二、填空题1.3122n m + 【解析】 如图1,连接AC ,据三角形面积公式知AFC ADF S S m ==△△,则ACE S n m =-△,122AEB ACE n mS S -==△△,故31222ABCD n m S m n n m -=++=+. 【点评】 这是一道涉及到面积计算的题目,题目本身并不困难,也没有用到什么技巧,只要同学们认真细心就可以了.2.11,111,111,100 【解析】 注意到2259=与25互质.而一个数的各位数码是0或1,它能被25整除,则它的末尾两位数字必须为00；它能被9整除,则它的各位数字之和必为9的倍数,即至少有9个1. 因而11,111,111,100满足题意.【点评】 这道题有一定的难度,涉及到知识点主要是整除,尤其是能被9整除的数的结论中,另外就是要想到把225分解为互质的两数之积.3.710【解析】 首数a ,c 都是正整数,|1|a -为非负整数,也为非负整数,则有A B D E CF图 1|1|10a -=⎧⎪,(Ⅰ)或|1|01a -=⎧⎪,(Ⅱ) 解(Ⅰ)得24a c =⎧⎨=⎩或04a c =⎧⎨=⎩(舍去)解(Ⅱ)得15a c =⎧⎨=⎩,因而6a c +=,lg()lg lg 7xy x y a b c d =+=+++=,故710xy =.【点评】 这道题的关键是大家要注意题目给出的非负的信息,通过这些信息,再分情况讨论,很快就可以得出正确的答案.4.【解析】 不妨设ABC △中,60A ∠=︒,4b c -=,4R =,由余弦及正弦定理,得22222cos60()16a b c bc b c bc bc =+-︒=-+=+,及2sin a R A =∠=则21632bc a =-=.2sin 1S bc A ==.【点评】 这道题难度一般,主要考查三角形的正余弦定理,以及面积的相关关系,同学们要注意耐心细致,把式子列出来,一步一步的代入,很快就可以得出答案.5.42【解析】 如图2,连接OA ,OB ,由45BAO BPO ∠=∠=︒,知A ,B ,P 四点共圆,则90APB AOB ∠=∠=︒.设5PA x =,14PB x =,则22(5)(14)1989x x +=, 解得3x =,则42PB =.【点评】 这道题有一定的难度,主要是要能够看到共圆的信息,然后进一步运用方程的思想,设出未知数求解.第二试一、 【解析】 证法1:如图3,设BC a =,AC b =,AB c =,则m a b c =++. ∵123∠=∠=∠, ∴ED AC ∥.得ABC EBD DAC △∽△∽△ 由DAC ABC △∽△, 得DC AD AC b b C a a===,AB C D P O图 2A BECD 123图 32()bm DC AC AD a b c a =++=++.同时22a b BD a DC a-=-=.由EBD ABC △∽△,得222ED BE BD a b b c a a -===, 2212()a b m ED BE BD a b c a -=++=++.因而22221221551244m m a b b b b b m a a a a a +-⎛⎫⎛⎫=+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤. 证法2:设BC a =,AC b =, ∵123∠=∠=∠, ∴ED AC ∥,得ABC EBD DAC △∽△∽△. 则DC AC AC BC=, 即2b DC a=.222b a b BD BC DC a a a -=-=-=. 因而2212m BD a b m BC a -==,2m AC b m BC a==.所以2222121221551244m m m m a b b b b b m m m a a a a a +-⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤. 【点评】 这是一道几何不等式的题目,这道题从要证明的结论看很难利用我们熟知的几何不等式,又由于题中给出了很多角相等的条件,所以我们考虑利用相似性求出1m ,2m ,将几何不等式转化为一个代数不等式.二、 【解析】 解法1:由条件知1a >,1b >,a b ≠解得①的两个根为a ,21a a +-,②的两个根为b ,21b b +-.∵a b ≠.∴21b a b +=-.③或21a b a +=-.④由③,④均得20ab a b ---=, 即(1)(1)3a b --=.因a ,b 均为正整数,则有 1113a b -=⎧⎨-=⎩或1311a b -=⎧⎨-=⎩, 解得24a b =⎧⎨=⎩或42a b =⎧⎨=⎩.代入所求值的表达式化简得 2442256b ab a b aa b a b a b--+==⋅=+. 解法2:由条件知1a >,1b >,a b ≠,设方程①,②的公共根为0x ,则22200(1)(2)(2)0a x a x a --+++=, ③ 22200(1)(2)(2)0b x b x b --+++=. ④(1)(1)b a ⨯--⨯-③④,整理得0()(2)(1)0a b ab a b x -----=.因a b ≠,则01x =,或20ab a b ---=若01x =,代入③即推得1a =,矛盾.因而01x ≠. ∴20ab a b ---=,即2ab a b =++.若1a b >>,则213b b a a=++<,得2b =,4a =.同样,若1b a >>,得2a =,4b =. 代入所求值的表达式得 424224161632825611241616b a b a a b a b ----+++===⨯=+++. 【点评】 这是一个不定方程组的问题,观察两个方程,容易想到上下相减,得出0()(2)(1)0a b ab a b x -----=,这之后再分情况讨论求出a ,b 的值.三、 【解析】 ⑴证法1:如果这6点中每两点都有线段相连,共可连15条线段,故由已知这6点中恰有两对之间无线段相连.若这两对点有一个公共点,不妨设是1A 与2A ,2A 与3A 之间无线段相连,则1A ,3A ,5A ,6A 这4个点符合题意.若这两对点无公共点,不妨设1A 与2A ,3A 与4A 之间无线段相连,则1A ,3A ,5A ,6A 这4个点符合题意.证法2:由已知条件知这6个点中至少有2个点(不妨设为1A ,2A )之间无线段连接(否则,这6个点可连15条线段,与已知矛盾).因连有13条线段,而1A ,2A 与其余4点的连线至多有8条,故3A ,4A ,5A ,6A ,之间至少有5条线段连接.若3A ,4A ,5A ,6A 之间只有5条线段相连,则该4点符合题意.其中仅有2点(不妨设是3A ,4A )无线段相连,这时1A ,2A 与其余4点都有线段相连,则1A ,3A ,5A ,6A 这4点符合题意.证法3:若某2点(不妨设为1A ,2A )之间无线段相连(否则,命题显然成立),则与1A 相连的线段至多4条；去掉1A 及与1A 相连的线段,则在其余2A ,3A ,4A ,5A ,6A 这5点之间,至少有9条线段相连,若这5点中仍有某2点(不妨设为5A ,6A )之间无线段相连(否则,命题显然成立),则与5A 相连的线段至多3条；去掉5A 及与5A 相连的线段,则剩下的4个点之间至少有6条线段相连,满足题意.⑵如图4.所画图中,若恰有3对点(各不相同)无线段连接,则⑴结论不成立,图中有1A ,4A ；2A ,5A ；3A ,6A 这3对点无线段连接.【点评】 这是一道图论的题目,图论的题目一般是比较难的,在图论中我们经常利用反证法.本题并不是很复杂,证法也比较多,也只需要分情况将可能情形都考虑到即可.图 4A 6A 5A 4A 3A 2A 1。
1991-2016全国初中数学联赛试题及详细解析全套
）
1 < c < 2 2
（Ｂ）0< c ≤
1 2
（C）c > 2
（D）c = 2
二、填空题 １．Ｅ是平行四边形 ABCD 中 BC 边的中点，AE 交对角线 BD 于 G，如 果△BEG 的面积是１，则平行四边形 ABCD 的面积是 ．
２．已知关于 x 的一元二次方程 ax bx c 0 没有实数解．甲由于看错了二次项系数， 误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，
S1 1
7． 如图，正方形 OPQR 内接于△ABC．已知△AOR、△BOP 和△CRQ 的面积分别是 S1 1 ， S 2 3 和 S 3 1 ，那么，正方形 OPQR 的 边长是（ ）
3
S2 3
S 3 =1
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（Ａ） 2
（Ｂ） 3
（Ｃ）2
（Ｄ）3
8． 在锐角△ABC 中， AC 1 ， AB c ， A 60 ，△ABC 的外接圆半径 R ≤1，则（ （Ａ）
135 120 来自第二试 一、实数 x 与 y，使得 x + y，x － y，x y， 具有这样性质的数对（x , y）．
x 四个数中的三个有相同的数值，求出所有 y
二、△ABC 中，AB＜AC＜BC，D 点在 BC 上，E 点在 BA 的延长线上，且 BD＝BE＝AC，△BDE 的外接圆与△ABC 的外接圆交于 F 点（如图）． 求证：BF＝AF＋CF．
1 5 2
） （C）
1 5 1 5 或 2 2
（B）
1 5 2
1
（D）
1 5 2
4．已知： x （Ａ） 19911
历年初中数学竞赛真题库（含答案）
历年初中数学竞赛真题库（含答案）1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第⼀试⼀、选择题本题共有8个⼩题，每⼩题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有⼀个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成⽴，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是（A ）3 ；（B ）31；（C ）2；（D ）35．答（）．如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10；（B ）12；（C ） 16；（D ）18．答（）．⽅程012=--x x 的解是（A ）251±；（B ）251±-；（C ）251±或251±-；（D ）251±-±．答（）．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是⾃然数）．那么nx x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-；（Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）11991)1(--n ．答（）．若M n1210099321= ，其中Ｍ为⾃然数，n 为使得等式成⽴的最⼤的⾃然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（）．若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满⾜c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最⼤值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（）．如图，正⽅形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的⾯积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正⽅形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（）11=S．在锐⾓ΔABC 中，1=AC ，c AB =，60=∠A，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ；（Ｂ）0< c ≤21；答（）（C ）c > 2；（D ）c = 2．答（）⼆、填空题１．Ｅ是平⾏四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对⾓线BD 于G ，如果ΔBEG 的⾯积是１，则平⾏四边形ABCD 的⾯积是．２．已知关于x 的⼀元⼆次⽅程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了⼆次项系数，误求得两根为２和４；⼄由于看错了某⼀项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a cb 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为⾮负数，且对⼀切x >０，q pnm x x x x )1(1)1(+=-+恒成⽴，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第⼆试x + y ， x － y ， x y ， y x四个数中的三个⼜相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．⼆、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且 BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正⽅形ABCD 分割为 2n 个相等的⼩⽅格（n 是⾃然数），把相对的顶点A ，C 染成红⾊，把B ，D 染成蓝⾊，其他交点任意染成红、蓝两⾊中的⼀种颜⾊．证明：恰有三个顶点同⾊的⼩⽅格的数⽬必是偶数．120 1351992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第⼀试⼀.选择题本题共有8个题,每⼩题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有⼀个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满⾜1=+-ab b a 的⾮负整数),(b a 的个数是 (A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是⼀元⼆次⽅程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=?与平⽅式20)2(b ax M +=的关系是(A)?>M (B)?=M (C)?>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是 (A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有⼀内接多边形,若它的边长皆⼤于1且⼩于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正⽐例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反⽐例函数)0(>=k x ky 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ?和COD ?的⾯积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在⼀个由88?个⽅格组成的边长为8的正⽅形棋盘内放⼀个半径为4的圆,若把圆周经过的所有⼩⽅格的圆内部分的⾯积之和记为1S ,把圆周经过的所有⼩⽅格的圆内部分的⾯积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是(A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )=∠60A ,⼜E 7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,是底边AB 上⼀点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于 (A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x 均为正整数,且 921x x x9x x -的最⼩值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) ⼆.填空题1.若⼀等腰三⾓形的底边上的⾼等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三⾓形的⾯积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最⼤值是__________. 3.在ABC ?中,B AC ∠∠=∠和,90的平分线相交于P 点，⼜AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=?EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(b a a b .第⼆试⼀、设等腰三⾓形的⼀腰与底边的长分别是⽅程062=+-a x x 的两根，当这样的三⾓形只有⼀个时，求a 的取值范围.⼆、如图，在ABC ?中，D AC AB ,=是底边BC 上⼀点，E 是线段AD 上⼀点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第⼀试⼀.选择题本题共有8个⼩题,每⼩题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有⼀个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是 (A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内⾓相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内⾓相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最⼩值;Ⅱ.只有⼀个x 使y 取到最⼩值;Ⅲ.有有限多个x (不⽌⼀个)使y 取到最⼤值; Ⅳ.有⽆穷多个x 使y 取到最⼩值. 其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,xx x x x 满⾜⽅程组=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的⼤⼩顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解 (A )等于4 (B )⼩于4 (C )⼤于5 (D )等于56.在ABC ?中,BC AO O A =∠,,是垂⼼是钝⾓, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是(A)22-(B)22(C)23 (D)21-. 答( )7.锐⾓三⾓ABC 的三边是a , b , c ,它的外⼼到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于(A)c b a 1:1:1; (B)c b a ::(C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( ) ⼆.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最⼩值是___________.2.放有⼩球的1993个盒⼦从左到右排成⼀⾏,如果最左⾯的盒⾥有7个⼩球,且每四个相邻的盒⾥共有30个⼩球,那么最右⾯的盒⾥有__________个⼩球.3.若⽅程k x x =--)4)(1(22有四个⾮零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐⾓三⾓形ABC 中,?=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三⾓形ABC 分成三⾓形ADE 与四边形BDEC ,设它们的⾯积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第⼆试⼀.设H 是等腰三⾓形ABC 垂⼼,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A ⾄底边BC 的距离变⼩,这时乘积HBC ABC SS 的值变⼩,变⼤,还是不变?证明你的结论.⼆.ABC ?中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D ,E , 使线段DE 将ABC ?分成⾯积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最⼩长度.三.已知⽅程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<(3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第⼀试(4⽉3⽇上午8：30—9：30)考⽣注意：本试共两道⼤题，满分80分.⼀、选择题（本题满分48分，每⼩题6分）本题共有8个⼩题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有⼀个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每⼩题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过⼀个（不论是否写在圆括号内），⼀律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不⼩于0B．都不⼤于0C．⾄少有⼀个⼩0于D．⾄少有⼀个⼤于0〔答〕( )3．如图1所⽰，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA 相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平⾏直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所⽰的图形，则共得同旁内⾓A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐⾓三⾓形ABC的三条⾼AD，BE，CF相交于H。
全国初中数学联合数学竞赛试题及标准答案(word版本)
一九九一年第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35．答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18．答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-；（C ）251±或251±-； （D ）251±-±．答（ ） ４．已知：)19911991(2111n nx --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５．若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８．在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21；答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+acb 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m xx x x )1(1)1(+=-+恒成立，则=++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC ο135=，∠BCD ο120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．11=S3S =132=Sο120ο135第二试xx + y，x －y，x y，y四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．一九九二年第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xky 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90ο的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.一九九三年 第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ; 2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值; Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>; (C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于5 6.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22-(B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于(A)cb a 1:1:1; (B)c b a ::(C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1.当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D ,E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z A．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题〔共5小题，每题6分，共30分.〕1〔甲〕．如果实数a ，b ，c 22||()||a a b c a b c ++-+可以化简为〔 〕．〔A 〕2c a - 〔B 〕22a b - 〔C 〕a - 〔D 〕a 1〔乙〕．如果22a =- 〕．〔A 〕2- 〔B 2 〔C 〕2 〔D 〕22〔甲〕．如果正比例函数y = ax 〔a ≠ 0〕及反比例函数y =xb 〔b ≠0 〕的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为〔－3，－2〕，那么另一个交点的坐标为〔 〕． 〔A 〕〔2，3〕 〔B 〕〔3，－2〕 〔C 〕〔－2，3〕 〔D 〕〔3，2〕2〔乙〕． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标〔x ，y 〕的个数为〔 〕． 〔A 〕10 〔B 〕9 〔C 〕7 〔D 〕53〔甲〕．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数及中位数之差的绝对值是〔 〕． 〔A 〕1 〔B 〕 〔C 〕12 〔D 〕143〔乙〕．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5， 那么CD 的长为〔 〕． 〔A 〕23 〔B 〕4 〔C 〕52 〔D 〕4〔甲〕．小倩和小玲每人都有假设干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你假设给我2元，我的钱数将是你的n 倍〞；小玲对小倩说：“你假设给我n 元，我的钱数将是你的2倍〞，其中n 为正整数，那么n 的可能值的个数是〔 〕．OAB CED〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕44〔乙〕．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数〕的正根小于3， 那么这样的方程的个数是〔 〕．〔A 〕 5 〔B 〕 6 〔C 〕 7 〔D 〕 85〔甲〕．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，那么0123p p p p ，，，中最大的是〔 〕．〔A 〕0p 〔B 〕1p 〔C 〕2p 〔D 〕3p5〔乙〕．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，那么经过99次操作后，黑板上剩下的数是〔 〕． 〔A 〕2021 〔B 〕101 〔C 〕100 〔D 〕99二、填空题〔共5小题，每题6分，共30分〕6〔甲〕．按如图的程序进展操作，规定：程序运行从“输入一个值x 〞到“结果是否>487？〞为一次操作. 如果操作进展四次才停顿，那么x 的取值范围是 .6〔乙〕.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么的值为 ． 7〔甲〕．如图，正方形ABCD 的边长为215， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 及DE ，DB分别交于点M ，N ，那么△DMN 的面积是 . 7〔乙〕.如下图，点A 在半径为20的圆O 上，以OA 为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，假设12OC =，那么线段CE 、BD 的长度差是 。
1989年全国高中数学联赛试题及解答
1989年全国高中数学联赛(10月15日上午8∶00—10∶00)一．选择题(本题满分30分，每小题5分)： 1．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则复数 z=(cos B －sin A )+i (sin B －cos A ) 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．函数f (x )=arctan x +12arcsin x 的值域是( )A ．(－π，π)B ．[－34π，34π]C ．(－34π，34π)D ．[－12π，12π]3．对任意的函数y=f (x )，在同一个直角坐标系中，函数y=f (x －l )与函数y=f (－x +l )的图象恒( )A ．关于x 轴对称B ．关于直线x=l 对称C ．关于直线x=－l 对称D ．关于y 轴对称 4．以长方体8个顶点中任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为( ) A ．0 B ．6 C ．8 D ．245．若M={z | z=t 1+t +i 1+tt，t ∈R ，t ≠－1，t ≠0}， N={z | z=2[cos(arcsin t )+i cos(arccos t )]，t ∈R ，|t |≤1}． 则M ∩N 中元素的个数为A ．0B ．1C ．2D ．46．集合M={u |u=12m +8n +4l ，其中m ，n ，l ∈Z } N={u |u=20p +16q +12r ，其中p ，q ，r ∈Z }的关系为A ．M=NB ．M ⊄N ，N ⊄MC ．M ⊂≠ND ．N ⊂≠M 三．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．若log a 2<1，则a 的取值范围是 ．2．已知直线l ：2x +y=10，过点(－10，0)作直线l '⊥l ，则l '与l 的交点坐标为 ．3．设函数f 0(x )=|x |，f 1(x )=|f 0(x )－1|，f 2(x )= |f 1(x )－2|，则函数y =f 2(x )的图象与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是 .4．一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 ． 5．如果从数1，2，3，…，14中，按由小到大的顺序取出a 1，a 2，a 3，使同时满足 a 2－a 1≥3，与a 3－a 2≥3，那么，所有符合上述要求的不同取法有 种．6．当s 和t 取遍所有实数时，则 (s +5－3|cos t |)2+(s －2|sin t |)2 所能达到的最小值为 ．三．(本题满分20分)已知a 1，a 2，…，a n 是n 个正数，满足 a 1∙a 2∙…∙a n =1． 求证：(2+a 1)(2+a 2)…(2+a n )≥3n ． 四．(本题满分20分)已知正三棱锥S —ABC 的高SO=3，底面边长为6，过点A 向其所对侧面SBC 作垂线，垂足为O '，在AO '上取一点P ，使APPO '=8，求经过点P 且平行于底面的截面的面积． 五．(本题满分20分)已知：对任意的n ∈N *，有a n >0，且n Σj=1a 3j =(nΣj=1a j )2．求证：a n =n ．第二试 (上午10∶30—12∶30)一．(本题满分35分)已知 在ΔABC 中，AB >AC ，∠A 的一个外角的平分线交ΔABC 的外接圆于点E ，过E 作EF ⊥AB ，垂足为F ．求证 2AF=AB -AC ．二．(本题满分35分)已知x i ∈R (i=1，2，…，n ；n ≥2)，满足n Σi=1|x i|=1，nΣi=1x i=0，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪nΣi=1x i i ≤12－ 12n．三．(本题满分35分)有n ×n （n ≥4)的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数中的一个，现将表内n 个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项．试证明：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和总能被4整除（即总能表示成4k 的形式，其中k ∈Z ）．A BC EF SB CAO1989年全国高中数学联赛解答第一试一．选择题(本题满分30分，每小题5分)： 1．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则复数 z=(cos B －sin A )+i (sin B －cos A ) 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：0°<A 、B <90°<A +B <180°．故90°>A >90°－B >0°，sin A >cos B ，cos A <sin B ． 故cos B －sin A <0，sin B －cos A >0．点Z 位于第二象限．选B 2．函数f (x )=arctan x +12arcsin x 的值域是( )A ．(－π，π)B ．[－34π，34π]C ．(－34π，34π)D ．[－12π，12π]解：因x ∈[－1，1]，故arctan x ∈[－π4，π4]，12arcsin x ∈[－π4，π4]，且f (－1)=－π2，f (1)= π2．选D3．对任意的函数y=f (x )，在同一个直角坐标系中，函数y=f (x －l )与函数y=f (－x +l )的图象恒( )A ．关于x 轴对称B ．关于直线x=l 对称C ．关于直线x=－l 对称D ．关于y 轴对称 解：令x －1=t ，则得f (t )=f (－t )，即f (t )关于t=0对称，即此二图象关于x=1对称．选B4．以长方体8个顶点中任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为( ) A ．0 B ．6 C ．8 D ．24 解：以不相邻的4个顶点为顶点的四面体的8个面都是锐角三角形．其余的三角形都不是锐角三角形．选C ．5．若M={z | z=t 1+t +i 1+tt，t ∈R ，t ≠－1，t ≠0}， N={z | z=2[cos(arcsin t )+i cos(arccos t )]，t ∈R ，|t |≤1}． 则M ∩N 中元素的个数为A ．0B ．1C ．2D ．4解：M 的图象为双曲线xy=1(x ≠0，x ≠1)N 的图象为x 2+y 2=2(x ≥0)，二者无公共点．选A ．6．集合M={u |u=12m +8n +4l ，其中m ，n ，l ∈Z } N={u |u=20p +16q +12r ，其中p ，q ，r ∈Z }的关系为A ．M=NB ．M ⊄N ，N ⊄MC ．M ⊂≠ND ．N ⊂≠M解：u=12m +8n +4l=4(3m +2n +l )，由于3m +2n +l 可以取任意整数值，故M 表示所有4的倍数的集合．同理u=20p +16q +12r=4(5p +4q +3r )也表示全体4的倍数的集合．于是M=N ． 三．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．若log a 2<1，则a 的取值范围是 ．解：若0<a <1，则log a 2<0，若a >1，则得a >2．故填(0，1)∪(2，+∞)2．已知直线l ：2x +y=10，过点(－10，0)作直线l '⊥l ，则l '与l 的交点坐标为 ． 解：直线l '方程为(x +10)－2y=0，解得交点为(2，6)．3．设函数f 0(x )=|x |，f 1(x )=|f 0(x )－1|，f 2(x )= |f 1(x )－2|，则函数y =f 2(x )的图象与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是 .解 图1是函数f 0(x )=|x |的图形，把此图形向下平行移动1个单位就得到函数f 0(x )=|x |－1的图形，作该图形的在x 轴下方的部分关于x 轴的对称图形得出图2，其中在x 轴上方的部分即是f 1(x )=|f 0(x )–1|的图象，再把该图象向下平行移动2个单位得到f 0(x )=|x |－2的图象，作该图象在x 轴下方的部分关于x 轴的对称图形得到图3，其中x 轴上方的部分即是f 2(x )= |f 1(x )–2|的图象。
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即 Q4 Q2 Q5 Q3 ， Q4 Q1 Q3 同时易知 Qi 中必有为正的，其中 Q4 最大，因而单开编号为 4 的水管，注满水池的
4
时间最短． 故选 C． 二、填空题
3 1 1． n m 2 2
第二试
一、 【解析】 证法 1：如图 3，设 BC a ， AC b ， AB c ，则 m a b c ． ∵ 1 2 3 ， ∴ ED ∥ AC ． 得 △ABC ∽△EBD ∽△DAC 由 △DAC ∽△ABC ，得
m2 DC AC AD DC AD AC b ， b c a a
2
二、首项系数不相等的两个二次方程
(a 1) x2 (a2 2) x (a2 2a) 0 ， (b 1) x2 (b2 2) x (b2 2a) 0 ．
① ②
（其中 a ， b 为正数）有一个公共根．求
ab ba 的值． a b b a
三、设 A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6 是平面上的六点，共中任三点不共线． ⑴如果这些点之间任意连接 13 条线段，证明：必存在 4 点，它们每两点之间都有线段 连接． ⑵如果这些点之间只连有 12 条线段，请你画出一个图形，证明⑴的结论不成立（不必 用文字说用） ．
PA : PB 5:14 ，则 PB _______ cm ．
第二试
一、 如图，三角形 ABC 中，D ，E 分别是边 BC ， AB 上的点， 且 1 2 3 如果 △ABC ，
△EDB ， △ADC 的周长依次为 m ， m1 ， m2 ，证明：
m1 m2 5 ≤ ． m 4
b 1 ，则 b 0 ， 2a b 0 ． 2a
因而 ab 0 ， 2a b 0 ． 又当 x 0 时， y c 0 ，因而 ac 0 ， a b c 0 ． 当 x 1 时， y a b c 0 ，所给 6 个数式中只有 2 个为正． 故选 A． 4．A 【解析】 无论是这三种情况中的哪一种， 以这 6 个点为顶点作出所有不重叠的三角形个数都 是 7 个，即 n0 n1 n2 7 ． 故选 A． 5．C 【解析】 设编号为 i 的水管每小时的流量为 Qi （ i 1 ，2，3，4，5， Q 0 表示出水） ， 由所列表相邻两柱比较可得：
D． c 和 e
1
二、填空题 1．如图，四边形 ABCD 中，点 E ， F 分别在 BC ， CD 上，
DF CE 1， 2 ，若 △ADF 的 FC EB
面积为 m ，四边形 AECF 的面积为 n(n m) ，则四边形 ABCD 面积为_________． 2．在十进位中，各位数码是 0 或 1，并且能被 225 整除的最小自然数是_________． 3．已知 x ， y 都是大于 10 的实数，lg x 的首数是 a ，尾数是 b ，lg y 的首数是 c ，尾数是 d ， 且 |1 a | c 4 1 ， b d 1 ，则 xy ________． 4．已知三角形的外接圆半径为 4cm ，一个内角为 60 ，夹这个角的两边之差为 4cm ，那么， 这个三角形的面积为________ cm ． 5．如图，正方形 ABCD 的中心为 O ，面积为 1989cm2 ， P 为正方形内一点且 OPB 45 ，
）
A．2 个 C．4 个
B．3 个 D．4 个以上
4．在三角形内（不在边上）有 3 个点，连同原三角形的 3 个顶点，共有 6 个点，以这六个 点为顶点作出所有不重叠的三角形，如果这 6 个点中无点共线，所有三角形的个数为 n0 ， 如果这 6 个点中有三点共线（但无四点共线） ，所作三角形的个数为 n1 ，如果这六个点中有 四点共线，所作三角形的个为 n2 ，那么（ A． n0 n1 n2 B． n0 n1 n2 ） C． n0 n1 ≥ n2 D． n0 ≥ n1 n2
5．水池装有编号 a ， b ， c ， d ， e 的 5 条管，其中有些是进水管，有些是出水管，如果同 时开放两条水管，注满水池的时间如下表 开放水管号 注满水池的时间（小时）
a、b
b 、c
c 、d
d 、e
e、a
2
15 ）
6
3
10
那么单开一条水管，最快注满水池的水管编号为（ A． a B． b C． d
b (a b c) ． a
同时 BD a DC
a 2 b2 ． a
ED BE BD a 2 b2 ， b c a a2
由 △EBD ∽△ABC ，得
m1 ED BE BD
a 2 b2 (a b c ) ． a2
2 2
m m2 a 2 b2 b b b b 1 5 5 1 ≤ ． 因而 1 2 m a a a a a 2 4 4
3
1989 年全国初中数学联合竞赛试题 答案
第一试
一、选择题 1．B
2a b 7 a 3 【解析】 由 ，解得唯一一组解： ． a b 2 b 1
故选 B． 2．D 【解析】 因前一个方程没有实根，则其判别式 1 4(m 2)2 4m(m 5) 0 ，解得 m 4 ． 后一个方程在 m 4 且 m 5 时， 其判别式 2 4(m 2)2 4m(m 5) 36m 16 0 ， 有两个相异实根； 而在 m 5 时，方程为一次方程，有一个实根，因而其实根个数不确定． 故选 D． 3．A 【解析】 图像开口向下，则 a 0 ； 顶点横坐标 0
nm 3 1 n m． 2 2 2
因而 a c 6 ， lg( xy) lg x lg y a b c d 7 ，故 xy 107 ． 4． 8 3 【解析】 不妨设 △ABC 中， A 60 ， b c 4 ， R 4 ，由余弦及正弦定理，得
(m 5) x2 2(m 2) x m 0 实根个数为（
） C．0 D．不确定
A．2
B．1
3．已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示，则下列 6 个代数式
ab ， ac ， a b c ， 2a b ， 2a b 中，其值为正的式子个数为（
1989 年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题 1．已知最简根式 a 2a b 与 a b 7 是同类根式，则满足条件 a ， b 的值（ A．不存在 B．有一组 C．有两组 ）
D．多于两组
2 ． 如 果 关 于 x 的 方 程 mx2 2(m 2) x m 5 0 没 有 实 数 根 ， 那 么 关 于 x 的 方 程
证法 2：设 BC a ， AC b ， ∵ 1 2 3 ， ∴ ED ∥ AC ，得 △ABC ∽△EBD ∽△DAC ． 则
b2 b2 a 2 b2 DC AC ，即 DC ． BD BC DC a ． a a a AC BC
因而
m1 BD a 2 b2 m AC b ， 2 ． m BC a2 m BC a
代入所求值的表达式化简得
ab ba ab ba 42 24 256 ． a b b a
解法 2：由条件知 a 1 ， b 1 ， a b ， 设方程①，②的公共根为 x0 ，则
2 (a 1) x0 (a2 2) x0 (a2 2) 0 ，
b2 ．③ b 1 a2 ．④ a 1
a2 b2 ，②的两个根为 b ， ． a 1 b 1
由③，④均得 ab a b 2 0 ， 即 (a 1)(b 1) 3 ．
a 1 1 a 1 3 因 a ， b 均为正整数，则有 或 ， b 1 3 b 1 1 a 2 a 4 解得 或 ． b 4 b 2
所以
m1 m2 m1 m2 a 2 b2 b b b b 1 5 5 1 ≤ ． 2 m m m a a a a a 2 4 4
6
2知 a 1 ， b 1 ， a b 解得①的两个根为 a ， ∵a b． ∴a 或b
ab ba 24 42 16 16 32 8 256 ． b a 4 2 1 1 a b 2 4 16 16
b 2 3， a a
7
三、 【解析】 ⑴证法 1：如果这 6 点中每两点都有线段相连，共可连 15 条线段，故由已知这 6 点中恰有两对之间无线段相连． 若这两对点有一个公共点， 不妨设是 A1 与 A2 ，A2 与 A3 之间无线段相连， 则 A1 ，A3 ，
③ ④
2 (b 1) x0 (b2 2) x0 (b2 2) 0 ．
③ (b 1) ④ (a 1) ，整理得 (a b)(ab a b 2)( x0 1) 0 ．
因 a b ，则 x0 1 ，或 ab a b 2 0 若 x0 1 ，代入③即推得 a 1 ，矛盾．因而 x0 1 ． ∴ ab a b 2 0 ，即 ab a b 2 ． 若 a b 1 ，则 b 1 得b 2，a 4． 同样，若 b a 1 ，得 a 2 ， b 4 ． 代入所求值的表达式得
【解析】 如图，连接 AC ，据三角形面积公式知 S△ AFC S△ ADF m ， 则 S△ ACE n m ， S△ AEB 故 S ABCD m n 2．11111111100 【解析】 225 9 ×25 且 9 和 25 互质． 而一个数的各位数码是 0 或 1，它能被 25 整除，则它的末尾两位数字必须为 00； 它能被 9 整除，则它的各位数字之和必为 9 的倍数，即至少有 9 个 1． 因而 11111111100 满足题意． 3． 107 【解析】 首数 a ， c 都是正整数， |1 a | 为非负整数，由已知推得 c 4 也为非负整数，则 有