第9课时——分段函数——教师版

第九课时 分段函数
【学习导航】
知识网络
分段函数⎪⎩
⎪
⎨⎧分段函数图象分段函数定义域值域分段函数定义
学习要求
1、了解分数函数的定义；
2、学会求分段函数定义域、值域；
3、学会运用函数图象来研究分段函数；
自学评价：
1、分段函数的定义
在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数； 2、分段函数定义域，值域；
分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”) 3、分段函数图象
画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；
【精典范例】
一、含有绝对值的解析式
例1、已知函数y=|x －1|+|x+2| (1)作出函数的图象。

(2)写出函数的定义域和值域。

【解】：
(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x=1，第二个绝对值的分段点x=－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，+∞)
所以已知函数可写为分段函数形式：
y=|x －1|+|x+2|=⎪⎩
⎪
⎨⎧>+≤<--≤--)1(12)12(3)2(12x x x x x
在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象。

（图象略）
(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R ，值域为[3，+∞）
二、实际生活中函数解析式问题
例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。

写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。

【解】：
先考虑由甲地到乙地的过
程：
0≤t ≤2时， y=6t 再考虑在乙地耽搁的情况： 2<t ≤3时， y=12
最后考虑由乙地返回甲地的过程：
3<t ≤6时， y=12－4(t －3) 所以S(t)=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<+-≤<≤≤)63(244)32(12)20(6t t t t t
函数图象（略）
点评：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象.
三、二次函数在区间上的最值问题
例3、已知函数f(x)=2x 2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a). (1)求g(a)的函数表达式 (2)求g(a)的最大值。

【解】： 对称轴x=讨论分12
];1,1[2122>-∈-<a
a ；a a 得g(a)⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧>+-≤≤---<+)2(52)22(23)2(522
a a a a a a
利用分段函数图象易得：g(a)max =3
点评：二次函数在闭区间上的最值问题往往结合图象讨论。

追踪训练
1、设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤+)
2(,2)
2(,22x x x x 则
f(－4)=___________,若f(x 0)=8，则x 0=________
答案：18；6-或4。

2、已知函数f(x)=⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>)0(0)0(1)0(2x x x x
求f(1)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值.
答案：1；1；1。

3、出下列函数图象
y=┃x+2┃－┃x －5┃
解：原函数变为
y=⎪⎩
⎪
⎨⎧+∞∈-∈---∞∈-),5[,7)5,2(,32]2(,7x x x ，x 下面根据分段函数来画出图象 图象（略）。

听课随笔
4、已知函数
y=⎪⎩
⎪
⎨⎧-+=+==)1()()1(3)1(1)0(n nf n f n f f f ，则f(4)=_______.
答案：22。

5、已知函数
f(x)=1
|
1|122+++
+-x x x x (1)求函数定义域；
(2)化简解析式用分段函数表示； (3)作出函数图象
答案：（1）函数定义域为{x ┃
x R x ∈-≠,1}
( 2 ) f(x)=┃x-1┃+
1
|
1|++x x =⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<---<-1,11,21,x x x x x x
(3) 图象（略）。

【师生互动】。