对称截面Timoshenko梁高阶固有频率的确定——连续梁结构
轴向运动Timoshenko固支梁固有频率的数值仿真
Ｙ ＋２ ｙ ＋（ 一１ Ｙ 埘一（ ｌ＋ ， ｖ， ）， ｋ ２＋
矗 （ ‘ ＋２ Ｂｌ ）一２ ｌ ＝０ ２ 垡 ｖ ’ 蠢ｖ Ｂ３ ，
（） ４
ｋ ３一ｋｖ） ， ＋（ ｌ＋ 一 ） ， ＋ ２ Ｙ ｋ ｌ ｙ 一
（） ５
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２ ｆ ０
把式 （ ） 成如 下矩 阵形 式 ： ４写
之＝Ａ ， ｚ
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（） ６
２ 数 值 方 法
下 面采用 Ｇ ｌ ｋｎ截断 方法 和 微分 求 积 法对 系 ａｅ ｉ ｒ 统进 行 求解 。
Ｏ
Ｏ
Ａ ＝
式中， ｚ＝（ 譬
’ ， 且 ） 并
比较 ， 现用微分求积法和 复模 态分析法得到 的结果几 乎重合 ， 用 Ｇ ｌｒｉ 方 法得到的结果 在随 刚度系数 的增加 发 而 ａ ｋｎ ｅ 和速度 的增 大时有所差异． 关键词 ： ｉｏｈｎ ｏ Ｔｍ ｓｅｋ 模型 ； 向运动梁 ； 轴 固有频率 ； ａ ｒｉ Ｇ ｌ ｋｎ方法 ； ｅ 微分求 积法
第 １ ７卷 第 ５期 ２１ 年 １ ０１ ０月
上海 戈
报 （ 自 科 学 版）
Ｖｏ ｜ ７ Ｎｏ ５ ｌ１ ． ０ｃ ． ２ ｔ ０１１
ＪＵ Ｎ ＬＯ Ｈ Ｎ Ｈ Ｉ ＮＶ Ｒ ＩＹ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ ＩＮ Ｅ Ｏ Ｒ Ａ ＦＳ Ａ Ｇ Ａ ＩＥ Ｓ （ Ａ Ｕ Ａ ＣＥ Ｃ Ｕ Ｔ
Ｚ ＨＡＮＧ Ｊ—ｕ ｎ ， ＨＵ Ｃ ａ ｏ ｇ ， Ｔ ｉｇ ａ ｇ ＇ ｈ ｏｒｎ ＡＮＧ Ｙｏ ． ｉ ｕ ｑ ， ＭＥＮ Ｌ ．ｕ ｎ Ｇ ｉ ａ ｙ （ ．Ｓａ ｇａ Ｉｓｔｔ ｏ ｐ ｌ ｄＭａｈｍ ｔ ｓａｄＭｅｈ ｎｃ，Ｓａ ｇａ Ｕ ｉ ｒｉ ， ｈ ｎｈｉ ０ ０２， ｈｎ ； １ ｈｎ ｈｉ ｎｔｕｅ ｆ ｐｉ ｔｅ ａｉ ｎ ｃａｉｓ ｈ ｎｈｉ ｎ ｅｓｙ Ｓ ａｇ ａ ２０ ７ Ｃ ｉａ ｉ Ａ ｅ ｃ ｖ ｔ
浅谈修正Timoshenko梁的发展和应用
浅谈修正Timoshenko梁的发展和应用Timoshenko梁模型是一种广为使用的理论模型，在许多结构分析领域被广泛应用。
但是在实际应用中，Timoshenko梁模型通常需要进行修正，以更好地预测实际工程中的复杂结构行为。
本文将探讨Timoshenko梁模型的发展和修正方法，并介绍修正后模型的应用。
Timoshenko梁模型最初是由Timoshenko在20世纪初提出的，用于描述横向剪切变形对梁挠曲刚度的影响。
该模型假设梁的变形由弯曲和剪切两部分组成，其中弯曲部分由Euler-Bernoulli梁理论描述，而剪切部分则由横向剪切变形产生。
该模型在许多工程领域有着广泛的应用，例如建筑、桥梁、飞机和船舶等。
然而，在实际工程中，Timoshenko梁模型存在着一些局限性。
例如，该模型假设梁为无限刚性，而实际中很少有完全刚性的结构体系。
此外，该模型也无法考虑到梁材料的非线性特性和梁截面形状的复杂变化等因素。
这些局限性导致Timoshenko梁模型在一些实际工程问题上表现不佳，需要进行修正。
为了修正Timoshenko梁模型的局限性，一些研究学者提出了各种修正方法。
其中比较常用的方法包括扭转刚度修正、截面修正和屈曲修正等。
这些修正方法能够更好地预测梁在实际工程中的行为，从而提高分析的精度和可靠性。
在扭转刚度修正中，将梁转角的变化和横向剪切变形联系起来，从而修正了Timoshenko梁模型中忽略的扭转刚度影响。
该修正方法需要根据梁截面形态和材料性质等因素进行具体计算。
例如，在圆形截面梁中，通过计算极性惯性矩和截面面积，可以得到扭转刚度修正系数。
在截面修正中，将梁截面形状的变化与其弯曲刚度和剪切刚度联系起来，并对其进行修正。
例如，在具有不同几何形状的梁中，截面修正可以通过计算梁的剩余刚度、惯性矩和重心位置等因素进行修正。
这些修正能够更好的反映实际工程中梁的变形和应力分布情况。
在屈曲修正中，考虑到实际梁在失稳时的扭转和弯曲行为，引入屈曲修正系数对梁的挠曲刚度进行修正。
Timoshenko梁理论
Timoshenko梁理论
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一般的梁单元,是基于初等力学中的平截面变形假定,在这个假定中,实际上认为弯曲变形是主要的变形,剪切变形是次要的变形,因而可以不计(想想材料力学中剪应力的计算方式,它是通过平衡方程而非变形协调议程得到的),这对于高度远小于跨度的实腹梁来说,不会引起显著的误差,但对于有些空腹梁,或都高跨比不是很小(有些书上认为要小于1/5)的梁来说,就不太精确了,所以,有必要计及剪切变形.
Timoshenko梁就是能考虑剪切变形的梁,具体地说,它的位移和截面转角是独立插值的,而不是由位移的导数来求得.具体的插值函数的形式,可以参考一下有限元方面的书,就不再多说了.
就是对于梁的高度（或者直径）较大，高跨比增加，必须考虑剪切变形和转动惯量的梁相对的，不需要考虑的就是欧拉-伯努力梁。
几何参数对Timoshenko梁固有频率的影响_龚善初
几何参数对 Timoshenko 梁固有频率的影响*
龚善初
( 广东揭阳学院机电工程系 揭阳 522000) 摘要 : 应 用最 小余能 原理 的理论 和方 法 , 对 Timo shenko 梁 进行 动力 分析 , 计 算了 简支 矩形 截面 Timoshenko 梁 的固有频 率 ; 通过 算例讨论了 梁的长度 、 截面高 度和阶 数对固 有频率 的影响 , 并作 出了固有频率的相对误差 E (k)% 随阶数 n 和梁长 l 与矩形截 面高 h 之比的变 化曲线 ,固有 频率 k 随阶数 n、梁长 l 以及截面高 h 的变化曲线 . 通过分析计算和作图 ,得到一些实用性结论 . 关键词 : 几何参数 ; Timoshenko 梁 ; 固有频率 ; 相对误差 ; 影响 中图法分类号 : T U 311
第 29 卷 第 3期 2005 年 6 月
武 汉 理 工 大 学 学 报 (与工程版 ) Jo urnal o f Wuhan Universi ty of Techno logy ( T ranspo r ta tio n Scie nce & Engineering )
交通科学
V o l. 29 No. 3 June 2005
则固有 频率 k n 随阶 数 n 的二维变 化曲线 k n = l k n ( n )| = 20 , 如图 3 所示 . h
3) 由式 ( 8) 知 , Ti moshenko 梁固有 频率 k n 与矩形截面宽度 b 无关 . kE = 3. 2和式 ( 5)知 , 剪切变形对简支 G 梁固有频率的影响是转动惯量对简支梁固有频率 影响的 3. 2 倍 . 4) 由 因 此 , 对于非细长梁 , 即 铁摩辛柯梁 ( Timoshenko Beam ) , 在 研究梁的横向振动问题时 , 除 了计算梁的弯曲变形之外 , 还必须将转动惯量和 剪切变形的影响考虑进去 .
Timoshenko梁的第二频谱分析
收稿日期：2020-09-22基金项目：国家自然科学基金资助项目（51278072），National Natural Science Foundation of China （51278072）；国家留学基金委资助项目（201808430114），China Scholarship Council （201808430114）；湖南省教育厅重点项目（18A131），Key Project of Education Department of Hu -nan Province （18A131）作者简介：夏桂云（1972—），男，湖南湘阴人，长沙理工大学教授，博士（后）†通信联系人，E-mail ：****************第48卷第11期2021年11月湖南大学学报（自然科学版）Journal of Hunan University （Natural Sciences ）Vol.48，No.11Nov.2021DOI ：10.16339/ki.hdxbzkb.2021.11.014文章编号：1674—2974（2021）11—0142—08Timoshenko 梁的第二频谱分析夏桂云†（长沙理工大学土木工程学院，湖南长沙，410114）摘要：推导Timoshenko 梁振动微分方程的初参数解，结合边界条件，建立简支梁的频率方程.当固有频率小于临界频率时，频率方程有双曲正弦函数与三角正弦函数之积的因式，当固有频率大于临界频率时，此因式变成为双三角正弦函数之积，此即Timoshenko 梁产生第二频谱的理论原因.推导出等截面等跨径的2~3跨连续Timoshenko 梁的频率方程，并从理论上预测存在第二频谱现象的其他结构.建立了简支Timoshenko 梁第一、二频谱的频率计算公式.通过实例验证第二频谱的存在.通过微分方程求解，论证了临界频率是结构固有频率的有效组成部分，其对应的竖向位移模态无振幅、转角位移模态的振幅为常数；指出数值分析时，由于计算机截断误差的影响，所预测的临界频率有误差、所对应的竖向位移模态为不规则模态等特点.关键词：频率分析；临界频率；第二频谱；Timoshenko 梁中图分类号：TU375文献标志码：AAnalysis on the Second Frequency Spectrum of Timoshenko BeamXIA Guiyun †（School of Civil Engineering ，Changsha University of Science and Technology ，Changsha 410114，China ）Abstract ：Incorporating the boundary conditions,initial parameter solutions of vibration differential equations forTimoshenko beam are used to derive the frequency equation of a simply-supported beam.When the natural frequency is less than the critical frequency,the frequency equation can be factorized into the hyperbolic sine function and the trigonometric sine function,while,when the natural frequency is greater than the critical frequency,the frequency e -quation can be factorized into double trigonometric sine functions,which is the crucial reason for the existence of the second frequency spectrum.Frequency equations for two-span and three-span continuous Timoshenko beams with u -niform cross sections and equal spans are derived.Other structures with the second frequency spectrum are forecasted theoretically.The formulas for the first and second frequencies are deduced for simply-supported Timoshenko beam.The existence of the second frequency spectrum is confirmed through the examples.Through solving the differential e -quation of motion,the critical frequency is proven to be an efficient part of the natural frequencies for the framed structures.The corresponding mode shape of the critical frequency contributes to the displacement mode shape with zero amplitude and rotation mode shape with constant amplitude.Due to the truncation error of the computer,the criti . All Rights Reserved.夏桂云：Timoshenko梁的第二频谱分析梁的弯曲振动是土木[1]、机械、石油、化工、航空航天等领域的重要问题，已有多种理论.最早、最经典的理论是Euler梁模型，该模型考虑了梁的弯曲和截面惯性力，适应于细长杆系结构的分析计算，但对高跨比较大的深梁结构，存在静力问题计算挠度偏小[2]、动力问题高估振动频率和有无限阶次频率[3]等不足.Elishakoff等[4]评述Rayleigh梁考虑了截面转动惯量的影响，对Euler梁进行改进.Shear梁模型考虑结构弯曲、剪切变形的影响和截面惯性力，但没有考虑截面转动惯量影响（此模型不同于一般的不考虑结构弯曲的简单剪切梁模型和纯剪切梁模型[5]）. 1921年Timoshenko[6-7]综合考虑截面弯曲和剪切变形、惯性力和转动惯量的影响，提出经典的Timo-shenko梁模型，该模型保留梁的平截面假定，放弃直法线假定，通过引入截面剪切修正系数来弥补剪切本构关系方面的不足（假定截面剪应力不均匀、剪应变均匀）[8-9].相比于Euler梁、Rayleigh梁和Shear梁，Timoshenko梁有显著进步，提高了计算精度，扩大了应用范围，杆系结构的静力、动力和稳定问题都可基于Timoshenko梁理论进行分析[1].但该理论颇具争议，至今仍众说纷纭的第二频谱问题[10-12]和截面剪切修正系数定义问题[8，13-15]，还有振动微分方程解耦后存在挠度关于时间四阶导数项，其物理意义不明确的问题，因此其后出现众多的修正理论.1927年Love[16]根据梁段微元体平衡，提出Timoshenko梁的修正模型，即忽略挠度关于时间四阶导数项，可称为Love梁.镕陈等[17]采用双挠度理论也推导出了与Love梁相同的微分方程，并认为导致Timoshenko梁模型中出现挠度关于时间四阶导数项的原因是，没有考虑剪切转角的转动惯量，如果舍弃挠度关于时间四阶导数项，则可考虑截面剪切转角的转动惯量影响.Elishakoff等[18-19]同样导出了与Love梁相同的微分方程，并认为此理论比Timoshenko梁理论更一致、更简单，其命名为截断Timoshenko梁.Love梁虽然形式比Timoshenko梁简化，微分方程求解方便，但是其没有对应的能量泛函，不能通过变分原理导出，也没有对应的有限元列式.Xia等[20]研究了考虑截面剪切变形和全转动惯量影响的Timoshenko梁振动特性，证明此种Timoshenko梁修正理论无第二频谱问题和结构固有频率有界特性.Timoshenko梁的第二频谱现象是指一种振型对应两个固有频率.两端简支、两端导向和简支-导向的单跨Timoshenko梁，多跨连续的等截面等跨径Timoshenko梁都存在第二频谱现象.Traill-Nash[21]于1953年最先发现和报道简支Timoshenko梁存在第二频谱现象，相继得到Anderson[22]、Dolph[23]等学者的确认，但也有学者[24-27]认为第二频谱没有物理意义而应舍弃.有些学者[4，28]则认为结构的振型包括了竖向变形和转角，如果将变形和转角同等看待，则振幅不一致的振型不能认为是同一振型，因此也就不存在第二频谱问题.现在越来越多的实验测试结果[29-32]证实了第二频谱现象不仅存在，而且实验测试的结构固有频率与Timoshenko梁理论预测结果符合较好，因此没有理由草率地去否定、甚至舍弃第二频谱.本文试图对Timoshenko梁第二频谱产生的原因进行理论解释，以期提高结构模态识别精度，促进以模态叠加法等为基础的动力分析方法的发展，谋求在Timoshenko梁第二频谱问题上取得共识.1Timoshenko梁振动的理论解析Timoshenko梁振动的微分方程[1，2，20]求解采用分离变量法，设竖向位移w（x）分解为竖向位移函数W（x）和时间函数T（t），如下：w（x，t）=W（x）·T（t）（1）式中：T（t）=a1sin（ωt）+a2cos（ωt）则解耦后的振动微分方程为：ə4Wəx4+ω2ρID+ρA C()ə2Wəx2+ρA·ρI·ω4D·C-ρAω2D()W=0（2）式中：D=EI、C=μGA，A、I和μ分别为截面的面积、抗弯惯性矩和剪切修正系数；E、G和ρ分别为材料的弹性模量、剪切模量和密度；ω为结构的圆频率.cal frequency predicted by the finite element method shows error,and the mode shape of the displacement is very ir-regular.Key words：frequency analysis；cutoff frequency；second frequency spectrum；Timoshenko beam第11期143 . All Rights Reserved.Timoshenko 梁振动存在临界频谱（或称为移频频率，其定义为ωC =C /ρl √），式（2）可根据结构固有频率ω与临界频率ωC 的大小关系有3种解.1）固有频率小于临界频率时（ω<ωC ）此时结构的竖向变形、转角、剪力和弯矩用初参数（即x =0时的W 0、ψ0、Q 0、M 0）表示为：W （x ）=a 1（x ）W 0+b 1（x ）ψ0+c 1（x ）Q 0+d 1（x ）M 0ψ（x ）=a 2（x ）W 0+b 2（x ）ψ0+c 2（x ）Q 0+d 2（x）M 0Q （x ）=a 3（x ）W 0+b 3（x ）ψ0+c 3（x ）Q 0+d 3（x ）M 0M （x ）=a 4（x ）W 0+b 4（x ）ψ0+c 4（x ）Q 0+d 4（x ）M 0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐（3）其中，波数定义为：α=ω2√-ρI D +ρA C ()+ρI D -ρA C ()2+4ρAD ω2√√β=ω2√ρI D +ρA C ()+ρI D -ρA C ()2+4ρA D ω2√√⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐相关系数定义为：γ=α1+ρA ω2C α2[]，φ=β1-ρA ω2C β2[]（4）式（3）振型函数a i （x ），b i （x ），c i （x ），d i （x ），i =1，2，3，4，详见文献[2，20]，为节约篇幅不再列出.2）固有频率大于临界频率时（ω>ωC ）此时结构的竖向变形、转角、剪力和弯矩仍可用式（3）表示，但波数、相关系数和振型函数需另行定义.波数定义为：α′=ω2√ρI D +ρA C ()+ρI D -ρA C ()2+4ρA D ω2√√β=ω2√ρI D +ρAC()+ρI D -ρAC()2+4ρAD ω2√√⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐（5）相关系数定义为：γ′=α1-ρA ω2C α2[]，φ=β1-ρA ω2C β2[]（6）振型函数a i （x ），b i （x ），c i （x ），d i （x ），i =1，2，3，4的具体表达式与文献[20]一致.3）固有频率等于临界频率时（ω=ωC ）微分方程退化为：ə4W əx 4+β2ə2W əx 2=0（7）式中：波数退化为α=0，β=A I +C D√.对于常规杆系结构，如果采用Timoshenko 梁单元进行结构的自由振动分析，可得到一固有频率与临界频率非常接近，位移振型较特别的模态，此模态说明临界频率是结构频谱的有效组成部分，其详细讨论在本文第5节进行.2简支梁的第二频谱现象对于两端简支的Timoshenko 梁，当ω<ωC 时，由边界条件知：当x =0时，W 0=M 0=0；当x =L 时，W L =M L =0，得到频率方程为sinh （αL ）sin （βL ）=0（8）结构固有频率解为sin （βL ）=0，即β=k i π/L ，k=1，2，3，…，k C .此时结构仅有一支固有频率.此支频率的最大个数为：k C =int L πA I +CD √()（9）当ω>ωC 时，同理可推导频率方程为：sin （α′L ）sin （βL ）=0（10）结构固有频率解为sin （α′L ）=0或sin （βL ）=0，对应解为α′=n π/L （n =1，2，3，…）或β=k π/L （k =k C +1，k C +2，…）结构有2支固有频谱.当k =n 时，结构振型相同（振幅归一化处理），但频率不同，即一种振型对应两种固有频率，出现第二频谱现象.频率方程式（10）出现两支解是简支Timoshenko 梁存在第二频谱的理论原因.由于简支Timshenko 梁的竖弯振型都呈正弦波形式，含有k 个半波正弦的振型所对应的第一、第二频率见式（11）.利用式（11）即可快速确定振型和第一、二频谱.ω1=ρA EI+k πL ()2ρI EI +ρAμGA()-ρA EI +k πL ()2ρI EI +ρA μGA ()[]2-4k πL()2ρI ·ρA EI ·μGA√2·ρI ·ρAEI ·μGA√ω2=ρA EI+k πL ()2ρI EI +ρAμGA()+ρA EI +k πL ()2ρI EI +ρA μGA ()[]2-4k πL()2ρI ·ρA EI ·μGA√2·ρI ·ρA EI ·μGA√⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐（11）湖南大学学报（自然科学版）2021年144. All Rights Reserved.3存在第二频谱现象的其他结构当固有频率从小于临界频率变化到大于临界频率时，如果频率方程有形如简支Timoshenko梁的变化规律，则在理论上存在第二频谱现象.有此特征的结构有两端导向（竖向位移活动、转角固定）单跨Timoshenko梁、简支-导向单跨Timoshenko梁、等截面等跨径的多跨连续Timoshenko梁等.3.1单跨Timoshenko梁的频率方程两端导向单跨Timoshenko梁、简支-导向单跨Timoshenko梁的频率方程如表1所示.表1两端导向和简支原导向的单跨Timoshenko梁频率方程Tab.1Frequency equations of one-span Timoshenkobeam with guided-guided and hinged-guided ends边界条件频率方程（ω<ωC）频率方程（ω>ωC）两端导向sinh（αL）sin（βL）=0sin（α′L）sin（βL）=0简支-导向cosh（αL）cos（βL）=0cos（α′L）cos（βL）=0从表1可以看出，两端导向和简支-导向的单跨Timoshenko梁，其频率方程随固有频率的变化都有如两端简支的单跨Timoshenko梁的特征，因此也存在第二频谱现象.3.2等截面等跨径的多跨连续Timoshenko梁利用式（3）建立传递矩阵法，可推导等跨径等截面的多跨连续Timoshenko梁的频率方程.1）等截面等跨径的二跨连续Timoshenko梁当ω<ωC时：sinh（αL）sin（βL）（φsinh（αL）cos（βL）-γcosh（αL）sin（βL））=0（12）当ω>ωC时：sin（α′L）sin（βL）（φsin（α′L）cos（βL）-γ′cos（αL）sin（βL））=0（13）2）等截面等跨径的三跨连续Timoshenko梁当ω<ωC时：sin（αL）sin（βL）{sinh（αL）sin（βL）[2γφ-2γφcosh（αL）sin（βL）+（γ2-φ2）sinh（αL）sin（βL）]+ 3[φsinh（αL）cos（βL）-γcosh（αL）sin（βL）]2}=0（14）当ω>ωC时：sin（α′L）sin（βL）{sin（α′L）sin（βL）[2γ′φ-2γ′φcos（α′L）sin（βL）-（γ′2-φ2）sin（α′L）sin（βL）]+ 3[φsin（α′L）cos（βL）-γ′cos（α′L）sin（βL）]2}=0（15）由式（12）~式（15）可知，等截面等跨径的二跨、三跨连续Timoshenko梁中，其频率方程中的第一个因式形如式（8）、式（10），因此理论上也存在第二频谱现象，其振动模态为单跨简支Timoshenko梁的振动模态在多跨连续结构中反对称扩展.对于等截面等跨径的多于三跨的连续Timoshenko梁，频率方程中同样存在形如式（8）、式（10）的因式和变化规律，因此理论上也存在第二频谱问题，但频率方程过于复杂，此处不再列出其具体表达式.对于等截面但跨径不等的多跨连续Timoshenko梁，当跨径比满足每跨内有整数半波的振动条件时，也同样存在第二频谱现象.由于跨数、跨径比、波长等参数变化过多，频率方程推导复杂，一般只能进行数值分析和验证.4算例验证两端简支单跨Timoshenko梁计算跨径10m，横截面为1.0m（宽）×1.8m（高）的矩形截面，其剪切修正系数为5/6，材料弹性模量为200GPa、剪切模量为80GPa，材料密度为7850kg/m3.结构前50阶频率的理论值（根据式（8）、式（10）求解）和Ansys数值结果如图1所示，无量纲波数α（即αL/π）、无量纲波数β（即βL/π）值如图2所示.理论解数值解600040002000001020304050模态阶次图1前50阶频率值比较Fig.1The comparison of the first50frequencies从图1可以看出，结构前50阶频率的理论结果与利用Ansys软件计算[33]的数值结果（结构划分为200个单元、Beam3单元）符合较好，最大误差不超过0.97%.图2中，无量纲波数αL/π、βL/π如果取整数夏桂云：Timoshenko梁的第二频谱分析第11期145 . All Rights Reserved.k （图2图标有填充时为整数，空心时为小数），其对应于含有k 个正弦半波的振型，此振型有2个固有频率.根据式（11），结构第一频谱的第1、2阶振动频率、无量纲波数和所对应的第二频谱的第1、2阶（按固有频率排序，其对应振型为第8、9阶振型）振动频率、无量纲波数如表2所示，即结构的第1阶和第8阶、第2阶和第9阶振动模态为频谱对.无量纲波数α无量纲波数β322824201612840100020003000400050006000频率/Hz 图2前50阶无量纲波数值Fig.2The first 50dimensionless wave numbers 表2结构前二阶振动频率和无量纲波数值Tab.2The first and second frequenciesand dimensionless wave numbers第一频谱第二频谱模态阶次频率值/Hz αL πβL π模态阶次频率值/Hzα′L πβL π第1阶59.7150.926 1.000第8阶962.2211.0006.018第2阶202.641 1.533 2.000第9阶1134.223 2.0006.907将振型归一化后，第一频谱的第1、2阶振型和所对应的第二频谱振型第1、2阶振型（对应振型为第8、9阶振型）的位移振型、转角振型如图3、图4所示.从图3、图4可以看出，将振型归一化后，第一频谱的第1、2模态与第二频谱的第1、2阶模态完全相同，验证了两端简支的单跨Timoshenko 梁存在第二频谱现象.简支-导向单跨Timoshenko 梁第一频谱的第1、2阶模态与第二频谱的第1、2阶模态（对应于第7、8阶模态）的位移、转角模态如图5、图6所示.从图5、图6可以看出，将模态归一化后，简支-导向的单跨Timoshenko 梁第一频谱的第1、2模态与第二频谱的第1、2阶模态完全相同，同样存在第二频谱现象.2.04.0 6.08.01.00.50-0.5-1.0模态1模态8模态2模态9位置/m图3简支-简支梁的第1、2阶位移模态图Fig.3The first and second displacement modesof hinged-hinged Timoshenko beam模态1模态8模态2模态92.04.0 6.08.01.00.50-0.5-1.0位置/m图4简支-简支梁的第1、2阶转角振型图Fig.4The first and second rotation modes of hinged-hinged Timoshenko beam模态1模态7模态2模态81.00.50-0.5-1.02.04.0 6.08.0位置/m图5简支-导向Timoshenko 梁第1、2阶位移模态Fig.5The first and second displacement modesof hinged-guided Timoshenko beam湖南大学学报（自然科学版）2021年146. All Rights Reserved.0 2.04.0 6.08.01.00.50-0.5-1.0模态1模态7模态2模态8位置/m图6简支-导向Timoshenko 梁第1、2阶转角模态Fig.6The first and second rotation modes of hinged-guided Timoshenko beam5临界频率的振型分析临界频率将Timoshenko 梁的振动分析为两区段的3种特例，其分界点即为临界频率.临界频率是结构频谱的有效组成部分，但其对应的模态非常特别，是Euler 梁、Love 梁、Shear 梁所没有的，需要特别分析.本文以简支Timoshenko 梁为例进行模态的理论分析.5.1临界频率所对应的模态特点当结构固有频率等于临界频率时，微分方程式（7）的解[24-25]为：W （x ）=A 1cos （βx ）+B 1sin （βx ）+C 1+D 1x ψ（x ）=a 1cos （βx ）+b 1sin （βx ）+c 1+d 1x{（16）根据Timoshenko 梁的平衡方程要求，有：əψəx =ə2W əx 2+ρA ω2DW（17）式（16）解中，待定系数间存在如下关系：a 1=C βD ·B 1，b 1=-C βD ·A 1，D 1=0，d 1=A I·C 1（18）将待定参数代入微分方程（7）的解中，有W （x ）=A 1cos （βx ）+B 1sin （βx ）+C 1θ（x ）=A 1C βD cos （βx ）-A 1C βD sin （βx ）+c 1+C 1A IxQ （x ）=-A 1AC βI sin （βx ）+B 1A C βI cos （βx ）-C 1A I x-c 1·CM （x ）=B 1C sin （βx ）+A 1C cos （βx ）-C 1ADI⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐（19）引入简支边界条件，即W （0）=M （0）=0，得A 1=C 1=0；W （L ）=M （L ）=0，得：B 1sin （βL ）=0，B 1C sin （βL ）=0（20）一般条件下sin （βL ）≠0，故B 1=0，有W （x ）=0，θ（x ）=c 1，Q （x ）=c 1·C ，M （x ）=0（21）此时结构振动为一种特殊模态，只有截面转动振动且振幅恒定，而竖向位移振动无振幅.如果结构的跨径满足sin （βL ）=0，即L =k π/β（k =1，2，3，…，∞），则B 1≠0，结构则为有幅振动，此时结构的模态为：W （x ）=B 1sin （βx ），θ（x ）=B 1C cos （βx ）/βD+c 1（22）5.2临界模态特征的有限元预测利用有限元软件进行杆系结构的固有频率、振型分析时，如果采用Timoshenko 梁单元，则可捕捉到临界频率和临界模态.但是有限元将自由振动分析转为特征值问题，由于计算机存在截断误差，会预报与临界频率理论值极为接近的频率值，所对应的竖向位移模态未能如理论预测那样为无振幅振动，而是有幅振动且不规则，但转角位移模态振幅恒定.如本文上述算例，采用Ansys 软件计算的临界频率（结构划分为200个单元、Beam3单元）为892.675Hz 、理论计算值为892.602Hz.竖向位移和转角位移模态如图7、图8所示.1.5×10-9-1.5×10-92.04.06.08.0位置/m图7临界频率对应的位移模态的Ansys 结果Fig.7Displacement mode of the criticalfrequency predicted by Ansys2.04.06.08.06.0×10-3-6.0×10-3位置/m图8临界频率对应的转角模态的Ansys 结果Fig.8Rotation mode of the critical frequency predicted by Ansys从图7可以看出，竖向位移模态（自由振动分析所对应的特征向量）最大振幅为1.4674×10-9，与其他模态振幅相比小6个数量级，因此可以认为此模夏桂云：Timoshenko 梁的第二频谱分析第11期. All Rights Reserved.态的振幅理论上应为0，但由于计算机截断误差的原因，出现一些不为0的伪数据，构成振幅无规律的模态，理应舍弃.从图8可以看出，转角位移模态则与理论预测一致，为振幅恒定的模态.6结论通过建立Timoshenko梁振动的初参数解，利用此解对Timoshenko梁第二频谱现象进行了理论研究.由于临界频率将结构的固有频率分为三部分，使得微分方程所对应的特征方程根与临界频率有关，其性质随固有频率发生变化，从而使得其频率方程有形如式（8）、式（10）的变化规律，当固有频率大于临界频率时，频率方程式（10）有两支解，即第二频谱产生的根本原因.1）所有频率方程（或者频率方程中的因式）有形如式（8）、式（10）变化特征的结构，都存在第二频谱现象，如两端简支、两端导向、简支-导向的单跨Timoshenko梁，等截面等跨径多跨连续Timoshenko 梁、满足每跨内有整数半波振型的等截面不等跨径多跨连续Timoshenko梁等.2）理论和数值分析表明，临界频率是Timoshenko 梁结构固有频率的有效组成部分.临界频率所对应的模态有无振幅竖向位移振型、有恒定振幅的转角位移振型；在特殊条件下，如跨径满足L=kπ/茁（k为整数）条件，临界模态也可转化为竖向位移有振幅的模态.3）利用Timoshenko梁单元进行杆系结构振动的有限元分析时，能预测与临界频率极为接近的固有频率、振幅非常小且无规则的竖向位移模态.此时应将固有频率视为临界频率、竖向位移模态视为无振幅模态，出现误差的原因是计算机的截断误差所引起.4）Timoshenko梁的第二频谱现象目前有不同的观点，但是此现象已被众多实验所证实，也能从理论上进行解释和分析，不应轻言其不合理而舍弃，而应通过更多研究或者提出更合理的深梁结构理论来验证.参考文献［1］张玲，欧强，朱幸仁.成层地基中考虑桩桩相互作用的双排桩受力变形分析［J］.湖南大学学报（自然科学版），2020，47（11）：120—126.ZHANG L，OU Q，ZHU X R.Analysis on forced deformation of dou-ble row piles considering pile-pile interaction in layered foundation ［J］.Journal of Hunan University（Natural Sciences），2020，47（11）：120—126.（In Chinese）［2］夏桂云，李传习.考虑剪切变形影响的杆系结构理论与应用［M］.北京：人民交通出版社，2008：1—5.XIA G Y，LI C X.Frame structure theory and its applications includ-ing the shear deformation effect［M］.Beijing：China Communica-tions Press，2008：1—5.（In Chinese）［3］BOTTEGA W J.Engineering vibrations［M］.Boca Raton：CRC Press，2006：511—675.［4］ELISHAKOFF I，KAPLUNOV J，NOLDE E.Celebrating the cente-nary of Timoshenko’s study of effects of shear deformation and ro-tary inertia［J］.Applied Mechanics Reviews，2015，67（6）：060802.［5］HAN S M，BENAROYA H，WEI T.Dynamics of transversely vibrat-ing beams using four engineering theories［J］.Journal of Sound andVibration，1999，225（5）：935—988.［6］TIMOSHENKO S P.On the correction for shear of the differential e-quation for transverse vibration of prismatic bars［J］.PhilosophicalMagazine，1921，41（6）：744—746.［7］TIMOSHENKO S P.On the transverse vibrations of bars of uniform cross-section［J］.Philosophical Magazine，1922，43（253）：125—131.［8］COWPER G R.The shear coefficients in Timoshenko's beam theory ［J］.Journal of Applied Mechanics，1966，33：335—340.［9］胡海昌.弹性力学的变分原理与应用［M］.北京：科学出版社，1983：139—147.HU H C.Variational principles in elasticity and applications［M］.Beijing：Science Press，1981：139—147.（In Chinese）［10］STEPHEN N G.The second spectrum of Timoshenko beam theory-Further assessment［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，292：372—389.［11］CAZZANI A，STOCHINO F，TURCO E.On the whole spectrum of Timoshenko beams.Part I：a theoretical revisitation［J］.ZeitschriftFür Angewandte Mathematik Und Physik，2016，67（2）：article24（1—30）.［12］CAZZANI A，STOCHINO F，TURCO E.On the whole spectrum of Timoshenko beams.PartⅡ：further applications［J］.Zeitschrift FürAngewandte Mathematik Und Physik（ZAMP），2016，67（2）：article25（1—21）.［13］STEPHEN N G.Timoshenko’s shear coefficient from a beam sub-jected to gravity loading［J］.Journal of Applied Mechanics，1980，47（1）：121—127.［14］HUTCHINSON J R.Shear coefficients for Timoshenko beam theory ［J］.Journal of Applied Mechanics，2001，68（1）：87—92.［15］王乐，王亮.一种新的计算Timoshenko梁截面剪切系数的方法［J］.应用数学和力学，2013，34（7）：756—763.WANG L，WANG L.A new method of obtaining Timoshenko’s湖南大学学报（自然科学版）2021年148. 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All Rights Reserved.。
用Timoshenko梁修正理论研究功能梯度材料梁的动力响应
混杂边界轴向运动Timoshenko梁固有频率数值解
动
与
冲
击
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩ ＢＲＡＴ ＯＮ Ｉ ＡＮＤ ＨＯＣＫ Ｓ
混 杂边 界 轴 向运 动 Ｔｍｏｈｎ ｏ梁 固有 频 率数 值 解 ｉ ｓｅｋ
胡超荣 ，丁 虎 ，陈立群
２ ０４ ２ 上海大学 力学系 ， ０ ４４，． 上海 ２０ ７ ） ０ ０ ２
（． １ 上海大学 上海 市应 用数 学和力学研究所 ， 上海
摘 要 ：运用微分求积方法求解两端带有扭转弹簧且弹簧系数均可任意变化的非对称下的轴向运动 Ｔｍ ｓｅｋ ｉｏ ｎｏ ｈ
梁的固有频率 。以权系数修改法处理轴 向运动 Ｔ ｏ ｅｋ 梁 的混 杂边界 。研 究系统 的前两 阶 固有 频率 随轴 向速 度 、 ｉ ｓ ｎｏ ｍ ｈ 刚 度系数 以及弹簧弹性 系数变化 的情 况 ， 并将数值计算结果 与半 解析半数值的研究结果进行 比较 ， 结果表明 ， 数值计算结果
ＨＵ ａ —ｏ ｇ Ｃｈ ｏ ｒ ｎ １
ｎ
（ ．Ｓａ ｇａ Ｉｓｔｔ ｏ ｐｌ ｄＭａ ｅ ｔ ｓａｄＭｅｈｎｃ，Ｓａ ｇａ Ｕ ｉ ｒ ｔ，Ｓａ ｇａ ２０４ Ｃ ｉａ １ ｈｎ ｈｉｎｔｕｅ ｆ ｐｉ ｔ ｍａ ｃ ｎ ｃａｉｓ ｈｎｈ ｉ ｎｖ ｓｙ ｈｎｈ ｉ ０ ４４， ｈｎ ； ｉ Ａ ｅ ｈ ｉ ｅｉ ２ ｅａｔ ｎ ｏ Ｍｅｈｎｃ ， ｈ ｎｈｉ ｎ ｅｓｙ Ｓ ａｇａ ２ ０ ７ Ｃ ｉａ ．Ｄ ｐｒ ｔ ｆ ｃａｉｓ Ｓ ａｇａ Ｕ ｉ ｒｉ ， ｈ ｎｈｉ ００ ２， ｈｎ ） ｍｅ ｖ ｔ
固定 边界 的轴 向运 动 Ｔｍｏｈｎｏ梁模 型 的横 向振 动 固 ｉ ｓｅｋ
于振动因素可能导致这些运输传送装置 的效率降低或 者造成噪声危 害等 。因此 ， 向运动连续 体广受研究 轴 者关 注 。 Ｅ ｌ 梁模型是 轴 向运动体 系的一种有效 的简化 ｕｅ ｒ 经典 模 型 。 Ｏ ［ 冯 志 华 、 树 辉 、 伟 ， ｉ ｚ 、 陈 张 Ｄｎ ｇ 等 分别利用 Ｅ ｌ 模型研究 了轴 向运动梁固有频率 、 ｕｒ ｅ
多跨弹性支撑Timoshenko梁的模态分析
图 １ 中 间 弹性 支撑 连续 梁
Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ ｂｅａｍｓ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅ ｅｌａｓｔｉｃ ｂｅａｒｉｎｇ
图 ２ 连 续 Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁 的相 当 系统
Ｆｉｇ．２ Ｔｈｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ ｂｅａｍｓ
梁模 型 在 实 际 工 程 结 构 分 析 中 的大 量 使 用 ， 使得梁 自由振动的研究 具有重要价值 ，其 研究成 果 已得 到许 多关 注 和应用 ．文 献 ［１］将 单跨 阶梯 梁 分成若干段 ，利用拉普拉斯变换求解 自由振动微 分 方程 ．文 献 ［２—３］根 据 力 的平 衡 条 件 建 立 了不 同边界 条 件 下 的 Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁 特 征 方 程 ，对 不 同 支 撑 的连续 梁 的模 态 和 固 有 频 率 进 行 分 析 ，分 别 考 虑 了转 动 惯 量 、剪 切 变 形 和 轴 向运 动 速 度 的 影 响．文献 ［４］研 究 了弹 簧 一质 量 连 续 梁 系 统 的 振 动 ，包 括连 续梁 系统 的 自由振 动 ，得 到 了连 续 梁 系 统 的固有频率和振型．文献 ［５—６］利用传递矩阵 法 ，导 出多跨 连续梁 振 动频 率 方 程 的统 一 公 式 ，并 对 不 同支 撑 刚 度 下 梁 的 各 阶 频 率 进 行 分 析 对 比． 文献 ［７—８］针 对 弹性 支 撑 梁 ，推 导 其 横 向 自由振 动模 态 的特征 方程并 考 虑 了支撑 弹性 系数 和 动 力 提 高系数 的影 响 ．文 献 ［９—１２］采 用 竖 向支座 反 力 代 替 复 杂 多 跨 结 构 的 中 间支 撑 的方法 ，研 究 了 中 间 带铰 支 撑 多跨 连 续 梁 、受 集 中轴 力 的层 合 连 续 梁 、中 间铰 支 撑 薄 膜 、长 索 等 结 构 的 自振 频 率 及 振 型 ．
用Timoshenko修正理论研究有梯度界面层双材料梁的振动特性
用Timoshenko修正理论研究有梯度界面层双材料梁的振动特性吴晓;罗佑新;黄翀;杨立军【摘要】采用Timoshenko梁修正理论研究了有梯度界面层双材料梁的振动问题,利用静力方程确定了有梯度界面层双材料梁的中性轴位置,在此基础上应用Timoshenko梁修正理论建立了有梯度界面层双材料梁的振动方程,求得其自振频率表达式及其在简谐荷载作用下强迫振动的解析解.讨论分析了梯度界面层高度等因素对有梯度界面层双材料梁的振动影响,并用有限元法验证了Timoshenko梁修正理论.通过实例计算,得到了梯度界面层高度等因素对有梯度界面层双材料梁振动特性有较大影响的结论.【期刊名称】《动力学与控制学报》【年(卷),期】2013(011)004【总页数】6页(P369-374)【关键词】Timoshenko梁;梯度界面层;中性轴;振动【作者】吴晓;罗佑新;黄翀;杨立军【作者单位】湖南文理学院,常德415000;湖南文理学院,常德415000;湖南文理学院,常德415000;湖南文理学院,常德415000【正文语种】中文功能梯度材料是基于一种全新的材料设计概念合成的新型复合材料［1－11］，日本科学家于二十世纪八十年代末年提出了功能梯度材料的概念以来，在航空航天、材料、汽车、电子等领域得到了越来越广泛的应用．功能梯度材料根据具体的要求，选择使用两种不同性能的材料，通过连续平滑地改变两种材料的组织和结构，使其结合部位的界面消失，从而得到功能相应于组织变化而变化的均质材料，最终减小或消除结合部位的性能不匹配因素．现工程实际中又出现了以功能梯度材料为夹芯的有梯度界面层的夹芯板梁结构，即在涂层和基层之间增加一层功能梯度材料粘结层以降低热应力和层间应力、提高抗冲击能力［12］．基于上述原因，本文研究了弹性模量沿梁高呈线性变化的梯度界面层各向同性双材料梁的振动问题，并讨论分析了有关因素对有梯度界面层双材料梁振动特性的影响．有梯度界面层双材料梁的模型如图1所示，上下层分别为不同的均质材料，中间界面层为功能梯度材料．上层的弹性模量、密度分别为E1、ρ1，中间界面层的弹性模量、密度分别为 E2(z)、ρ2(z)，下层的弹性模量、密度分别为E3、ρ3．假设坐标原点建立在有梯度界面层双材料梁的中性轴上，中间层功能梯度材料的弹性模量、剪切模量、密度取任意函数的麦克劳林级数展开项中的0次和1次项，即:根据Timoshenko梁修正理论假设φ为梁截面弯曲转角，y为梁的挠度，可知有梯度界面层双材料梁的应力表达式为:有梯度界面层双材料梁弯曲时横截面内力应满足下式式中z0为梁中性轴与下层底边之间的距离．把式(1)、式(2)代入式(3)中可以得到利用式(2)可得有梯度界面层双材料梁的弯矩、剪力表达式为式中，k为剪切因子，对于图1所示在横向动荷载作用下的有梯度界面层双材料梁，参阅文献［13－17］可知采用Timoshenko梁修正理论得到振动微分方程为把式(5)、式(6)代入式(7)中可以得到把式(8)解耦后可得修正Timoshenko梁振动方程为令有梯度界面层双材料梁的自由振动位移及外载荷分别为把式(10)代入式(9)中可以得到由式(11)可以求得有梯度界面层双材料梁振型函数为以简支梁为例，可知有梯度界面层双材料梁的边界条件为利用式(12)、式(13)可以求得有梯度界面层双材料梁的自振频率为所以，有梯度界面层双材料梁的振动位移为为了研究有梯度界面层双材料梁的强迫振动，可令式(9)解为:假设式(11)在简支梁的边界条件下，对应于ωi和ωj的两个振型函数为 Yi(x)和Yj(x)，把式(16)代入式(11)中，于是有将式(17)乘以 Yj(x)、式(18)乘以 Yi(x)，然后把所得的两个乘式相减，再沿梁全长积分，注意在积分式中代入铰支座边界条件，即得所需要的正交性方程式l把式(16)及简支梁振型函数代入式(9)中并应用式(19)可以得到假设分布荷载q(x，t)在时间上与空间上可分离，可令把式(21)代入式(20)中积分可得设功能梯度材料梁的初始条件为由式(23)可以确定若作用在梁上的外扰力为沿梁长为均匀分布的简谐干扰力，利用式(22)可以求得若在简支梁x=l0处作用有一简谐干扰力P0sinΩt，则有 q(x，t)=P0δ(x －l0)sinΩt，利用式(22)可以得到为了分析有简支有梯度界面层双材料梁的动力特性，取梁长对该梁按式(14)进行理论计算，同时采用有限元软件ANASYS进行数值计算．在有限元数值计算中，为了模拟弹性模量沿高度线性变化的中间梯度层，将其均匀划为10层，每层看作是均质的，材料的弹性模量取每层的中间值．计算结果如表1所示．在图2～图3中假设初始条件Ti(0)、Ti(0)皆等于零时，采用 y(x，t)=及式(25)、式(26)进行计算得到有梯度界面层双材料梁中点处的动力曲线．由表1可以知道:采用Timoshenko梁修正理论计算的有梯度界面层双材料梁固有频率与有限元法计算的有梯度界面层双材料梁固有频率非常接近，且随着固有频率阶数的的增加，Timoshenko梁修正理论计算结果与有限元法计算结果的误差也在增大，但是都没超过工程所允许的误差．这说明采用Timoshenko梁修正理论计算有梯度界面层双材料梁的固有频率还是比较合理的．对表1进行分析可以看出，随着有梯度界面层双材料梁中间梯度层的高度增加，有梯度界面层双材料梁的固有频率将减小;这说明中间梯度层的高度增加将使有梯度界面层双材料梁的刚度降低．而且中间梯度层的高度变化对梁固有频率增减的影响还是较大的，尤其是对有梯度界面层双材料梁低阶固有频率的影响是非常明显的．对图2、图3还可知道，随着有梯度界面层双材料梁中间梯度层的高度增加，有梯度界面层双材料梁在外激励载荷作用下，梁中点动力响应曲线的振幅将增大．原因是中间梯度层的高度增加将使有梯度界面层双材料梁的刚度降低，这样就导致了梁中点动力响应曲线的振幅的增大．集中载荷外激励作用在有梯度界面层双材料梁中点时的动力响应曲线振幅要大于均布载荷外激励作用在有梯度界面层双材料梁中点时的动力响应曲线振幅．由以上分析可以得到以下结论:1)采用Timoshenko梁修正理论计算梁的固有频率是比较合理的．2)随着有梯度界面层双材料梁中间梯度层的高度增加，有梯度界面层双材料梁的固有频率将减小，有梯度界面层双材料梁在外激励载荷作用下梁中点动力响应曲线的振幅将增大．3)集中载荷外激励作用在有梯度界面层双材料梁中点时的动力响应曲线振幅要大于均布载荷外激励作用在有梯度界面层双材料梁中点时的动力响应曲线振幅．2012－06－26 收到第 1 稿，2012－12－27 收到修改稿．【相关文献】1 吴晓，黄翀，杨立军，等．功能梯度材料圆板的非线性热振动及屈曲．动力学与控制学报，2012，10(1):52～57(Wu X，Huang C，Yang L J，et al．Nonlinear thermal vibration and buckling of functionally graded circular plate．Journal of Dynamics and control，2012，10(1):52 ～ 5 7(in Chinese))2 Zhong Z，Yu T．Vibration of a simply supported functionally graded piezoelectric rectangular plate．Smart Materials and Structures，2006，15:1404～14123 Zhong Z，Shang E T．Three－dimensional exact analysis of a simply supported functionally gradient piezoelectric plate．International Journal of Solids and Structures，2003，40(20):5335～53524 尚尔涛，仲政．功能梯度热释电材料平板柱形弯曲问题的精确解．应用力学学报，2003，20(4):122～125(Shang E T，Zhou Z．Exact solutions for functionally graded piezothermoelectric plates in cylindrical bending．Chinese Journal of Applied Mechanics，2003，20(4):122 ～125(in Chinese))5 Chen W Q，Ding H J．On free vibration of a functionally graded piezoelectric plates．Acta Mechanica，2002，153 ～2076 Wu X H，Chen C Q，Shen Y P，et al．A high order theory for functionally graded piezoelectric 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response of an unrestrained modified Timoshenko beam．Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2006，38(2):262 ～268(in Chinese))16 吴晓，罗佑新．用Timoshenko梁修正理论研究功能梯度材料梁的动力响应．振动与冲击，2011，30(10):245～248(Wu X，Luo Y X．Dynamic responses of a beam with functionally graded materials with Timoshenko beam correction theory．Journal of Vibration and Shock ，2011，30(10):245～248(in Chinese))17 李清禄，李世荣．功能梯度材料梁在后屈曲构形附近的自由振动．振动与冲击，2011，30(9):76 ～78，135(Li Q L，Li S R．Free vibration of FGM Euler beam with post－buckling configuration subjected to axial force．Journal of Vibration and Shock ，2011，30(9):76 ～78，135(in Chinese))*The project supported by the construct program of the key discipline in Hunanprovince(Mechanical Design and Theory)and the Natural Science Foundation of Hunan Education Committee(11A081)† Corresponding author E－mail:wx2005220@163．com。
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浅谈修正Timoshenko梁的发展和应用
浅谈修正Timoshenko梁的发展和应用梁是工程结构中常见的构件，对于梁的分析和设计一直是结构工程领域的重要课题。
在梁的理论研究中，Timoshenko梁理论是一种经典的梁理论，它考虑了梁的剪切变形和扭转变形，相对于简支梁理论和Euler-Bernoulli梁理论具有更广泛的适用范围。
Timoshenko梁理论也存在一些不足之处，为了解决这些不足，出现了修正Timoshenko梁理论，本文将就修正Timoshenko梁的发展和应用进行简要的介绍和讨论。
Timoshenko梁理论最早由俄裔美籍工程师斯捷潘·提莫申科（Stephen Timoshenko）于1921年提出，他在Timoshenko梁理论中加入了剪切变形和扭转变形的考虑，使得该理论适用于更多的工程问题。
Timoshenko梁理论也存在一些缺陷，一是无法正确描述大横向剪切变形下的梁的行为，导致在某些情况下计算结果不准确；二是在处理弹性基础上某些问题时，其结果也不够精确。
为了克服这些缺陷，学者们对Timoshenko梁理论进行了修正和扩展，提出了修正Timoshenko梁理论。
修正Timoshenko梁理论在考虑梁的扭转变形和剪切变形的基础上，还引入了梁的横向剪切变形效应，修正了Timoshenko梁理论在横向剪切变形方面的不足。
通过修正Timoshenko梁理论的完善，使得该理论在工程设计和分析中应用更加广泛和准确。
其次是混凝土结构工程中的应用。
在混凝土结构工程中，梁是承担着重要荷载的构件，对梁的分析设计要求也较高。
修正Timoshenko梁理论在处理混凝土梁的扭转变形和剪切变形方面有着独特的优势，能够更准确地描述混凝土梁的受力行为。
在混凝土结构工程中广泛应用修正Timoshenko梁理论，能够提高梁的设计精度和结构的安全性。
在桥梁工程、管道工程和飞机机翼等领域，修正Timoshenko梁理论也都有着重要的应用价值。
特别是在横跨大跨度的桥梁结构中，修正Timoshenko梁理论能够更准确地描述桥梁的受力特性，为桥梁工程的设计和施工提供重要的理论支持。
浅谈修正Timoshenko梁的发展和应用
浅谈修正Timoshenko梁的发展和应用Timoshenko梁理论是指由S. V. Timoshenko于1921年提出的一种应力和位移耦合的梁理论。
这个理论相对于传统的欧拉梁理论，考虑了横向剪切变形对纵向挠度和曲率的影响，更为精确地描述了梁的力学性能和挠度分布。
修正Timoshenko梁则是在Timoshenko 梁理论的基础上做了进一步修正和发展，以更好地适应实际工程中各类梁结构的分析和设计。
在修正Timoshenko梁理论中，考虑了两个主要的修正因素，即转角修正和位移修正。
转角修正主要是针对非常短、很扁平的梁结构，这种结构的侧向扭转刚度很大，对整体梁的变形和力学响应有很大影响。
位移修正则是针对长而细的梁结构，这种结构的侧向剪切刚度较小，会影响梁端的位移和应力分布。
通过这两个修正因素，修正Timoshenko梁理论可以更为准确地描述梁的挠度分布、截面变形和受力情况。
修正Timoshenko梁理论的应用十分广泛。
在结构分析领域，修正Timoshenko梁理论能够更精确地计算梁结构的挠度、位移和内力分布，对于偏心受力梁、刚度变化梁等复杂结构的分析具有优势。
在结构设计和优化领域，修正Timoshenko梁理论可以提供更准确的荷载响应和结构挠度情况，从而帮助设计人员更合理地设计结构，并满足工程要求。
在材料力学和结构动力学领域，修正Timoshenko梁理论也有重要的应用，如分析材料的屈曲性能和结构的动力响应。
虽然修正Timoshenko梁理论在梁结构分析和设计中具有广泛的应用，但也存在一些限制和局限性。
修正Timoshenko梁理论主要适用于小挠度情况，对于大变形和非线性问题的描述能力有限。
对于较短、较厚的梁结构，修正Timoshenko梁理论可能存在精度不高的问题。
在具体应用中，需要根据具体问题选择合适的梁理论和分析方法。
修正Timoshenko梁理论在结构分析和设计领域具有重要的地位和应用前景。
连续弹性体悬臂梁各阶固有频率及主振型测定(最全)word资料
实验十二 连续弹性体悬臂梁各阶固有频率及主振型测定一、一、实验目的1、 1、 用共振法确定连续弹性体悬臂梁的各阶固有频率和主振型。
2、 2、 观察分析梁振动的各阶主振型。
情况下，梁的振动是无穷多个主振型的迭加。
如果给梁施加一个合适大小的激扰力，且该力的频率正好等于梁的某阶固有频率，就会产生共振，对应于这一阶固有频率确定的振动形态叫做这一阶主振型，这时其它各阶振型的影响小得可以忽略不计。
用共振法确定梁的各阶固有频率及振型，我们只要连续调节激扰力，当梁出现某阶纯振型且振动幅值最大即产生共振时，就认为这时的激扰力频率是梁的这一阶固有频率。
实际上，我们关心的通常中最低几阶固有频率及主振型，本实验是用共振法来测定悬臂梁的一、二、l i β①根据《振动力学》，刘延柱，陈文良，陈立群著，1998版。
136页，例6.2-2式(g)A — A — 梁横截面积(m 2)l ρ—材料线密度(kg/m) l ρ=ρAρ—材料密度（kg/m 3） I —梁截面弯曲惯性矩(m 4)对矩形截面，弯曲惯性矩：123bhI = (m 4) (2)式中： b —梁横截面宽度(m) h —梁横截面高度(m) 本实验取l =( ) m b=( ) m h=( ) mE=20×1011Pa ρ=7800kg/m 3 各阶固有频率之比：f 1:f 2:f 3:f 4……=1:6.27:17.55 (3)理论计算可得悬臂梁的一、二、三阶固有频率的振型如图(3)所示：0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-10120 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2020 0.10.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.511.5beam transvers vibration with one end clasped四、四、实验方法1、 1、 选距固定端L/4之处为激振点，将激振器端面对准悬臂梁上的激振点，保持初始间隙δ=6~8mm 。
浅谈修正Timoshenko梁的发展和应用
浅谈修正Timoshenko梁的发展和应用梁是结构工程中常见的构件，用于承载和传递荷载。
Timoshenko梁理论是描述梁的弯曲和剪切变形的经典理论之一，而修正Timoshenko梁理论则是对传统Timoshenko梁理论的修正和补充。
本文将从修正Timoshenko梁理论的发展和应用两个方面进行探讨。
传统的Timoshenko梁理论是建立在假设梁截面内部剪切变形能忽略不计的基础上的。
当梁的截面尺寸较小时，传统Timoshenko梁理论的适用性将受到限制。
针对这一问题，学者们进行了深入的研究和探讨，提出了修正Timoshenko梁理论。
修正Timoshenko梁理论考虑了横向剪切变形对梁的影响，并引入了横向剪切变形的修正，在一定程度上提高了梁理论的适用范围。
修正Timoshenko梁理论得到了广泛的关注和应用，成为了解决实际工程问题的重要理论工具之一。
随着科学技术的不断发展和进步，修正Timoshenko梁理论也在不断地完善和发展。
学者们提出了多种修正Timoshenko梁理论的变种，如修正和完善了修正Timoshenko梁理论，使其更加符合实际工程需求。
修正Timoshenko梁理论的发展为结构工程领域提供了更为精准和有效的分析方法，为实际工程问题的解决提供了有力支持。
修正Timoshenko梁理论在结构工程领域有着广泛的应用。
在桥梁工程中，桥梁作为连接两个地点的重要交通设施，其结构设计和施工至关重要。
修正Timoshenko梁理论的应用可以有效地进行桥梁结构分析与设计，保证桥梁的安全性和稳定性。
在建筑领域，修正Timoshenko梁理论同样发挥着重要作用。
修正Timoshenko梁理论可以用于分析建筑结构的受力情况，指导建筑结构的设计和施工。
修正Timoshenko梁理论在建筑抗震设计中也有着重要的应用价值，可以帮助工程师们更好地把握建筑结构的受力特点，提高建筑物的抗震性能。
在工程领域的其他领域，如汽车制造、机械制造等，修正Timoshenko梁理论同样发挥着重要作用，为工程师们提供了精准的结构分析方法和设计指导。
粘弹性Timoshenko梁理论的历史与发展
粘弹性Timoshenko梁理论的历史与发展摘要：粘弹性Timoshenko梁是一种结合了粘弹性和Timoshenko梁理论的新型工程力学理论，其发展具有重要的工程实践意义。
本文将从概念、发展历程、应用前景等多个方面，全面介绍粘弹性Timoshenko梁的发展。
关键词：Timoshenko梁、粘弹性Timoshenko梁Timoshenko梁理论的发展可以追溯到19世纪末期。
当时，欧洲的一些工程师开始研究杆件的挠曲问题，以求解工程结构的稳定性和强度问题。
在这个时期，梁的挠曲问题被认为是一种不可逆的变形，也就是说，一旦梁发生了挠曲，它就永远无法恢复原状。
这个观点在当时得到了广泛的认可，但随着科学技术的不断发展，人们开始质疑这个观点的正确性。
在这个时期，Stephen Timoshenko开始研究梁的挠曲问题，并提出了自己的理论。
他认为，梁的挠曲是一种可逆的变形，也就是说，一旦梁发生了挠曲，它仍然有可能恢复原状。
Timoshenko的理论被广泛地认为是一种革命性的理论，因为它颠覆了当时的梁挠曲观点，并为工程师们提供了新的思路和方法。
Timoshenko梁理论的核心思想是考虑梁的剪切变形和扭转变形对挠曲的影响。
在这个理论中，梁被视为一个具有弹性的体系，其挠曲是由弹性应变和剪切应变引起的。
Timoshenko的理论引入了一个新的变量——梁的剪切变形，这使得工程师们能够更加准确地计算梁的挠曲和弯曲。
在Timoshenko梁理论的基础上，人们不断进行改进和完善。
在20世纪50年代，人们开始研究梁的非线性挠曲问题，这使得Timoshenko梁理论得到了进一步的发展。
人们提出了不同的非线性挠曲理论，如欧拉-伯努利-杆-康特拉格特理论和贝尔-特伦诺理论等。
这些理论将Timoshenko梁理论的基本思想与方法应用到非线性挠曲问题的研究中，为工程实践提供了更加准确和可靠的计算方法。
除了非线性挠曲问题，Timoshenko梁理论还被广泛应用于其他领域，如动力学、疲劳、非均匀材料、复合材料等。
黏弹性地基上变截面Timoshenko梁稳态谐振动分析
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荷载和瞬态荷载作用下的强迫振动问题;
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第２ １期 总第 １１期 ５ ２０ 年 １ 月 ０７ １
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（ ｓ 旱ｘ 三） ｉ ｘｎ
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一０ Ａ∞ ｙ＋ ｐ （ Ｉ １＋
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＝０ （ ） １ Nhomakorabeaｕ 上 式 中 ： ｙ ｘ） 设 定 的 振 型 函 数 ， 余 符 号 Ｙ＝ （ 为 其 定义 为 ：—— 杆 的 固有 频 率 ； ｍ Ａ— — 杆 横 截 面 的 面 积 ；— — 材 料 的 密 度 ； Ｉ — 杆 件 的 转 动 惯 量 ； ｐ ｐ— Ｅ、 Ｇ— — 材 料 的 弹 性 模 量 及 剪 切 弹 性 模 量 ； — — 剪 切 ｋ 形 状 系 数 ； — 杆 横 截 面 对 弯 曲 轴 的 惯 性 矩 。 Ｉ— 对 于 每 一 种 特 定 情 况 ， 上 式 可 确 定 相 应 问 题 由
．
跨 按 对 称 和 反 对 称 两 种 振 型 振 动 时 ， 称 截 面 连 续 梁 的 基 频 和 高 阶 固 有 频 率 ， 论 了 转 动 惯 量 及 剪 切 变 对 讨 形 效 应 对 各 阶 固有 频 率 的 影 响 。 关 键 词 ： 小 余 能 原 理 ； ｍｏ ｈ ｎ ｏ梁 ； 有 频 率 最 Ｔｉ ｓ ｅ ｋ 固 中图分类 号 ： ＴＵ３ １ １ 文献标 识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ７ ６ ２ （ ０ ７ ２ 一 Ｏ １～ Ｏ １０－ ９ １２０ ）１ ４１ ２ 的振 型 函 数 ， 而 求 出 满 足 动 平 衡 方 程 及 力 边 界 条 进 件 的 惯 性 内 力 ， 由 振 型 函 数 和 惯 性 内 力 表 示 的 杆 而 的总余能 可表示 成 ：
ｎ 一 ｄｘ
按 Ｔｉ ｓ ｅ ｋ ｍｏ ｈ ｎ ｏ梁 理 论 ， 研 究 梁 的 横 向 振 动 问 在 题 时 ， 的转 动 惯 量 及 剪 切 变 形 的 效 应 也 要 考 虑 。 梁 由 于 是 多种 变 形 参 与 计 算 ， 于 连 续 梁 ， 有 相 邻 跨 对 又 按 对 称 与 反 对 称 两 种 振 型 振 动 时 ， 及 位 移 边 界 条 力 件 的 特 殊 性 ， 而 使 问 题 变 得 非 常 复 杂 。 应 用 能 量 从 原 理 分 析 Ｔｉ ｓ ｅ ｋ ｍｏ ｈ ｎ ｏ理 论 下 连 续 梁 高 阶 固 有 频 率 的求 解 问 题 尚 无 文 献 记 载 ， 最 小 余 能 原 理 的 应 用 ， 而 为 处 理 这 类 动 力 学 问 题 开 辟 了一 条 新 的 途 径 。 １ 基 本 原 理 和 方 法 在 求 解 多 跨 连 续 梁 相 邻 跨 两 类 对 称 振 型 振 动 问 题 时 ， 对 中 间 边 界 及 外 边 界 作 相 应 处 理 。 将 各 跨 应 在 连 接 边 界 处 切 开 并 引 入 铰 支 座 ， 成 一 系 列 独 立 形 的 简 支 梁 结 构 ， 边 界 如 不 是 简 支 ， 将 其 化 成 简 外 也 支 ； 满 足 原 问 题 的 平 衡 条 件 ， 各 简 支 梁 对 应 切 开 为 在 截 面 的支 撑 处 及 对 应非 简 支 外 边 界 的 支 撑 处 均 有 集 中 力 偶 作 用 ， 中 间 边 界 而 言 ， 力 偶 为 切 开 截 面 处 对 该 的弯矩 ； 外边 界而言 ， 该处 的反力 矩 （ １。 对 为 图 ）
Ｎｏ ２０ ｖ． ０７
对称 截面Ｔ ０ ｅ ０ 阶固 率的 ｉ ｓ ｎ 梁高 有频 确定 ｍ ｈｋ
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连续梁结构
李 惠
１０ ６ ） ３０ ２
（ 林建 筑 工 程 学 院 职 业 技 术学 院 ， 吉 吉林 长 春
摘 要 ： 文 应 用 最 小 余 能 原 理 的 理 论 和 方 法 ， Ｔｉ ｓ ｅ ｋ 梁 进 行 动 力 分 析 ， 体 计 算 了 相 邻 本 对 ｍｏ ｈ ｎ ｏ 具
８ ｉ＝０ ｒ （ ３）
既满 足 问题 的位 移边 界 条件 及 变形 连 续条件 ， 从 而 给 出 求 解 动 力 学 问 题 的 基 本 方 程 强 ； 入 边 界 代
力 偶 值 可 求 出 结 构 的 固有 频 率 。
２ 全 部 简 支 连 续 梁 的 高 阶 固 有 频 率
研 究 三 跨 全 部 简 支 连 续 梁 结 构 ， 跨 跨 长 均 为 各 ｌ截 面 几 何 量 Ａ ， 物 理 量 ｐ ， Ｅ 均 为 常 数 ， 结 ， Ｉ， Ｉ Ｇ， 求
构 当相邻 跨按 对称 振型振 动时 的固有频率 。按前述 方法 进 行 简 化 后 ， 边 跨 为 简 支 梁 一 端 有 集 中 力 偶 两 作 用 ； 间跨 为简支梁 两端有 集 中力偶作用 的模型 。 中 求 中间 跨 的 余 能 ， 四 次 近 似 计 算 ， 振 型 函 数 为 ： 按 取