福建省仙游金石中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试卷

金石中学2017—2018学年度上学期期中考试卷高三年数学理科考试时间：120分钟 满分150分 命题教师：连明星 审核教师：陈凌燕第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的）1.设集合{}2320M x x x =++>，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N ，则 M N =（ ）A ．{}2x x ≥- B ．{}1x x >-C ． {}2x x ≤-D ．R2.已知复数531iz i+=-，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4i B. z 的共轭复数为14i -C ．5z = D. z 在复平面内对应的点在第二象限3. 已知直角坐标系内的两个向量()()1,3,,23a b m m →→==-使平面内的任意一个向量c →都可以唯一地表示成c a b λμ→→→=+，则m 的取值范围是（ ）A ．3m ≠-B ．97m ≠C ．3m <-D ．97m >4. 已知数列{}n a 是等差数列，且74326,2a a a -==， 则公差=d ( ) A ．B ．4C ．8D ．165. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的3n =，则输出的结果为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．96.已知α是第二象限角，(P x 为其终边上一点，且cos x α=，则x ＝( )7. 已知),1(x a =和)2,2(-+=x b ，若a b ⊥ ，则=+b a （ ）A ．5B ．8CD ．64 8.下列四个命题中真命题的个数是（ ）①“1x =”是“2430x x -+=”的充分不必要条件； ②命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是“,sin 1x R x ∃∈>”； ③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题；④命题p ：[)1,,lg 0,x x ∀∈+∞≥命题q ：2,10x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真命题． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9. 函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象是( )10.要得到函数)32cos()(π+=x x f 的图象，只需将函数()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度11.对于函数)(x g y =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列n 满足：1，且对于任意，点1n n +都在函数)(x g y =的图像上，则122015x x x +++= ( ) A ．4054 B ．5046C ．5075D ．604712.已知函数2ln 2,0,()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩ 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(,1)2 B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,2)2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知1tan 2x =,则2sin 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 14.正项等比数列{}n a 中，510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++= ． 15.若幂函数)(x f 过点()4,2，则满足不等式)1()2(->-a f a f 的实数a 的取值范围是 ．16.已知锐角ABC ∆的外接圆的半径为1，6B π∠=，则BA BC ⋅的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题12分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的一系列对应值如下表：（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若在ABC ∆中，2AC =，3BC =，1()2f A =-，求ABC ∆的面积．18.（本小题12分）某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如右：根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y （元），满足关系式： 20,200400,40,400800,80,8001200.x y x x ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≤≤⎩根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题： （Ⅰ）对于任意一个学生，校服务部可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望; （Ⅱ）若校服务部计划每月预留月利润的29，用于资助在校月消费低于400元的学生，那么受资助的学生每人每月可获得多少元？19.（本小题12分）已知函数()3234f x x ax bx =+++.（Ⅰ）若31=a ，且函数)(x f 在区间]1,2[-是增函数，求b 的取值范围； （Ⅱ）若函数)(x f 在1x =-处取得极小值0，求)(x f 在[]2,0-上的最大值和最小值.20.（本小题12分）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：312135721n a a a a n ++++<+ .21.（本小题12分）已知函数21()ln 2f x x ax =-，a R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式()(1)1f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程 直直角坐标系xOy 中，直线⎩⎨⎧-==ty t x l 3:（t 为参数），曲线⎩⎨⎧+==θθsin 1cos :1y x C （θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的方程为θθρsin 32cos 2+-=．（Ⅰ）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 交曲线1C 于A O ,两点，直线l 交曲线2C 于B O ,两点，求AB 的长． 23.（本小题10分）选修4-5：不等式选讲 已已知函数()13f x x x =+--. （Ⅰ）解不等式()1f x ≥；（Ⅱ）若存在x R ∈,使()24f x a >-，求实数a 的取值范围.2017—2018学年度上学期高三年级期中考试数学（理科）试卷答案一、选择题1-5: 6-10: 11-12：二、填空题13. 14.50 15. 16.三、解答题17.解：（1）可知，函数的周期为，所以………………2分由，，所以………………4分所以函数的解析式为（或者）………………5分（2）∵，∴或………………7分当时，在中，由余弦定理得，故，∴，∴．………………10分同理可求得,当时, ………………12分18.解：（Ⅰ）月消费值落入区间、、的频率分别为0.05、0.80、0.15；……………………………3分因此，，………………6分即的分布列为的数学期望值………………9分（Ⅱ）服务部的月利润为（元）……………………………10分受资助学生人数为…………………………………………11分每个受资助学生每月可获得（元）…………………12分19.解：（1）由得………1分因为函数在区间是增函数，所以，恒成立，………2分令，在区间单调递减，在区间单调递增………4分，.………6分(2) 由得………7分因为函数在处取得极小值0，，解得………9分在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值0符合题意，所以在上的最小值为0 ………11分故在的最大值为4………12分20.………6分（2）由（1），………8分∴.……………12分21.解：（1），且函数的定义域为．…………2分当时，，则在区间内单调递增；………………3分当时，令，则或（舍去负值），………………4分当时，，为增函数，当时，，为减函数．………………5分所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．…………6分（2）由，得，因为，所以原命题等价于在区间内恒成立．…………7分令，则，……………… 8分令，则在区间内单调递增，由，，所以存在唯一，使，即，所以当时，，为增函数，当时，，为减函数，………………10分所以时，，所以，又，则,因为，所以，故整数的最小值为2．………………12分22.解：（1）圆的标准方程为：即：圆的极坐标方程为：即：………………2分圆的方程为：即：圆的直角坐标方程为：………………5分（2）直线的极坐标方程为圆的极坐标方程为：，所以………………7分圆的方程为，所以………………9分故：．………………10分23.解：（1）,由得的解集为.………………5分（2）由（1）知最大值为,由题意,得,,即的取值范围是.………………10分。