西安交大计算方法第二章
西交计算方法总结
1
t
l
1 lt
2
由于1
d1
,有
x
1
l
x fl( x) 1 1t
x
2
第1章 绪论
例.为了使计算y 10 3 4 6 的乘除法次数尽可
x -1 x -12 x -13
能少,应该式如何计算:_______
例.在浮点数系下,计算x2 16x 1 0的两个根,应如何 计算才能使精度较高？
例: 设x ( x1 , x2 , x3 )T ,则 x1 2x2 3x3 是否是范数, x1 2x2 3x3 是否是范数
条件数:当输入数据具有 x的误差,引起问题的结果误差为 f (x) 则cond( f ) sup f (x) x
5.方法的稳定性
数值稳定:若初始误差导致最终解的误差能被有效地控制 数值不稳定:若初始误差导致最终解的误差不能被有效地控制
6.算法 由有限个无二义性法则组成的一个计算过程
算法的特点,描述
第2章 线性代数方程组
1
-
1
1
2
例:矩阵A= 1
3
01
,则A1 _______, A ___, A ___
1
1 4
0 0 1
P36, P37
2 1
例:
若矩阵A
1
2
a
可以分解为GGT的形式,
其中G为下三角阵,
a 1
且对角元均为正,问a的取值范围,并请按此要求将此a分解
第2章 线性代数方程组
3
6
8,
1 6 ,19601 6930
3 8
8,
1
19601 6930
8
第1章 绪论
例.证明在浮点数系F ( ,t, L,U )中,浮点数的相对误差
计算方法 数值分析 第二章考点总结CH.2(1)
1第二章 解线性方程组的直接法解线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b+++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪⎩或写成矩阵式Ax b =其中()1212,(,,,),(,,,)T Tij n n n nA a x x x x b b b b ⨯=== Gauss 消去法（矩阵行变换法）第k 次消元公式()()(1)()()(1)()()/(1,,)(,1,,)(1,,)k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k i i ik k m a a i k n a a m a i j k n b b m b i k n ++==+=-=+=-=+计算中，中间结果不必保留，进行一次变换后原来存放(1)k A -的单元存放()k A，(1)k b-的单元存放()k b。
因此，我们得到Gauss消去法的算法：2循环：1,2,,k = n-1何时可行？即第k 步 Gauss 消去法可实行，易见充要条件是()0k kk a ≠若A 的各阶顺序主子式 *det()0ij k k a ≠ 1,,1k n =- ，则有：()**()()()1122()det()det() ||k ij k k ij k kk k k kk k kk a a a a a a =⇔≠ 消元过程可进行到 1k n =-。
因此，可以用Gauss 消去法解线性方程组的充要条件是系数矩阵的各阶顺序主子式不为0。
最后得到()()() n n n A x b A =是上三角阵()()k k A x b =与Ax b =同解2,,k n =解()()n n A x b=只需递推（回代过程）2211112()/, ,,1(0 = 1)nk k kjj kk j k k k i i i k i k x b ax a k n k k a a =+===-=>=∑∑∏ 当时，规定：3计算量 第k 步消元计算ik m 用(n-k )次除法，算诸()k ij a 用2(-)n k 乘法和2(-) n k 次加减法， 对1,,1k n =- 相加，可得消元过程共需2(1)/3n n -⨯÷次(1)(21)/6n n n -- 右端 (1)()n bb →(1)/2 n n -⨯÷ (1)/2 +n n -－(1)/2 (1)/2 +-n n n n -⨯÷-回代3233 /3/3 /3(1)(25)/6 /3n n n n n n n n +-≈-+≈总数：乘除法加减法矩阵的三角分解（用矩阵乘法分解的观点看Gauss 消去法）对A 作行变换相当于左乘初等矩阵，例如(1)(2)AA →(2)1A L A =其中421131110-1 -01-001n m L m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭＝ 类似的讨论易知：()()1111 ,,n n n n AL L A b L L b --==1,,100001 00000001 k k k n k L m m k +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭＝第列令()1111111121313212,1= := 110=11n n n n n n n U A A L L U L L L m m m m m m -------=⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上三角阵则单位下三角阵5定理：**(),det()0 1,,1ij n n ij k k A a a k n =≠=- ，则A 可表示为A=LU L ：单位下三角阵，U 上三角阵，且分解唯一。
西安交大-计算机系统结构复习提纲(可打印)
1. 开发 ILP 的两种方法 硬件动态，软件静态
2. 流水线中的调度策略 集中式调度、分布式调度 动态调度——乱序 Tomasulo 算法 分布式检测：重命名（换名）
3. 动态分支预测 针对控制相关，由硬件处理， 分支历史表 BHT——历史状态， 分支目标缓冲器 BTB——历史目标地址
5. 指令结构功能设计 CISC 机：三个目标优化 （也反映了编译，操作系统和系统结构的关系） 面向目标程序、面向高级语言、面向操作系统
RISC 机： 导致 RISC 机产生的缘由； （2-8 定理；控制器负责；不易纠错修改） 设计 RISC 机遵循的基本原则；
三、计算与设计
1. 指令格式设计 2. 指令格式的优化
延迟转移技术（延迟槽） 9. 流水线中的中断处理
不精确断点、精确断点 10. 向量处理机
向量数据表示，向量指令 向量处理方式
三、计算与设计
1. 时空图 2. 性能分析 3. 非线性流水线最小平均启动时间
第四章：指令级并行
一、基本概念——名词
超标量，超流水，动态调度，静态调度，超长指令字，保留站，Tomasulo 算法，ILP，BHT， BTB，ROB，前瞻执行（先执行再确认）
计算机系统结构是机器语言程序员或编译程序编写者所看到的外特性。所谓外特性，就 是计算机的概念性结构和功能特性。
（还有一个系统结构定义，这是由于存在计算机系统层次结构，不同的人看到不同的计 算机结构） 2. 计算机系统结构、组成与实现的三者关系：
系统结构——存在某个部件 计算机组成——罗技实现，门一级实现 计算机实现——物理实现，器件一级实现
第三章：流水线技术
一、基本概念——名词
先行控制，流水线，单功能流水线，标量流水线，重定向，分支预取，专用通道，无冲突调 度方法，冲突向量，启动距离，性能分析，时空图，缓冲技术，预处理等
应用数学系研究生课程介绍(西安交通大学)
研究生课程介绍课程编码：课程名称：计算方法(A)Computational Methods (A)学分：3课内总学时数：72上机（实验）学时数：18课程内容简介：本课程讲授电子计算机上使用的各种基本的数值计算方法, 如插值法, 最小二乘法, 最佳一致逼近, 数值微积分, 方程求根法, 线性与非线性代数方程组解法, 矩阵特征值与特征向量求法, 常微分方程初值问题的解法, 求解数理方程定解问题的差分法, 有限元法等. 书中重点讨论了各种计算方法的构造原理和使用, 对稳定性, 收敛性, 误差估计等也作了适当讨论. 本课程适合于计算数学专业以外的理工科各专业研究生学习。
先修课：高等数学, 线性代数, C 语言或FORTRAN 语言参考书目：1. 邓建中,刘之行编, 计算方法，西安交通大学出版社，2002执笔人：梅立泉、李乃成、高静审定人：彭济根课程编码：课程名称：计算方法（B）Computational Methods (B)学分：3课内总学时数：54上机（实验）学时数：48课程内容简介：由于现代计算机技术的迅速发展，数值方法已成为科学研究的最重要的手段之一。
本课程在介绍数值计算的基本问题，包括浮点数、误差形成等的基础上，主要介绍：线性方程组的直接解法与迭代解法、离散数据的连续化处理（包括多项式插值、分段插值和最小二乘法）、数值积分和数值导数、非线性方程解法简介、常微分方程数值解法、以及最优化方法简介。
通过听课与相应的上机练习等途径，理解数值方法的形成原理，掌握最基本的数值方法，了解采用数值方法时应注意的主要问题，为以后在科研和工程技术工作中设计算法、应用数值软件进行数值计算奠定必要的基础。
先修课：高等数学、线性代数、算法语言（Fortran、C、C++、或Matlab 等）参考书目：1.凌永祥、陈明逵编，计算方法教程（第二版）西安交通大学出版社，2005执笔人：黄昌斌、苏剑、马军审定人：彭济根课程名称：工程优化方法及其应用Engineering Optimization Methods and Its Applications学分：2课内总学时数：40上机（实验）学时数：课程内容简介：讲述工程优化的数学基础，凸集、凸函数、凸规划的基本概念与基本理论；突出非线性规划各类算法的共性分析及其在计算机上可实现的步骤，并指出每类算法中所包含各种常用和著名算法；简介工程中常用到的几类特殊规划，如：线性规划、二次规划、几何规划和多目标规划的基本概念、常用和最新算法；简介工程优化设计应用实例（包括建立优化模型，根据模型特点构造或选用相适应的算法、计算流程图）。
西安交大计算方法A考点总结【1-9章】
x* xk 0
计算方法 A 知识点总结 仅供参考[2014 级化机]
矩阵收敛的充要条件是 lim
k
A* Ak 0
lim Bk 0 谱半径 B 1
k
2、迭代法的一般格式 3、雅克比迭代
xk 1 Bxk g （注：B 是个对角元素均为 0 的方阵）
i 1 n bi aij xjk 1 aij xjk ） j 1 j i
SOR 迭代格式（加松弛因子 w） ： xi 变形为 xSOR
k 1 k 1 1 xk xG S
k 1
xik rik 1 / aii
改进平方根法：A=LU=LDLT 比平方根法多了 5、追赶法（三对角方程组） 本质是三对角矩阵的 LU 分解。 6、向量范数
x
非负性；齐性；三角不等式。
x1 x
2
元素绝对值之和； 元素平方和的平方根； 元素绝对值的最大值；
x
7、矩阵范数
A
非负性；齐性；三角不等式；相容性。
A1 A2
列范数（第 1 到第 n 列元素绝对值之和的最大值） 谱范数（ AT A 的特征值的最大值的平方根） 行范数（第 1 行到第 n 行元素绝对值之和之和的最大值）
Dxk 1 1 Dxk Exk 1 Fxk b
1）迭代法收敛的充分条件：迭代矩阵 B 的范数 2）迭代法收敛的充要条件： lim B
k k
B 1
0 谱半径 B 1
3）超松弛迭代法收敛的必要条件是： 0 2
计算方法 A 知识点总结 仅供参考[2014 级化机]
第一章 1、误差的来源与分类：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差。 2、准确到 n 位小数：
大学计算机基础习题答案(西安交大)
习题参考答案习题一1．第一代计算机的主要部件是由（电子管和继电器）构成的。
2．未来全新的计算机技术主要指（光子计算机），（生物计算机）和（量子计算机）。
3．按照Flynn分类法，计算机可以分为（单指令流单数据流），（单指令流多数据），（多指令流单数据流）和（多指令流多数据流）4种类型。
4．计算机系统主要由（硬件系统）和（软件系统）组成。
5．说明以下计算机中的部件是属于主机系统、软件系统、还是属于外部设备。
（1）CPU （主机系统）（2）内存条（主机系统）（3）网卡（主机系统）（4）键盘和鼠标（外设）（5）显示器（外设）（6）Windows操作系统（软件系统）6．控制芯片组是主板的的核心部件，它由（北桥芯片）部分和（南桥芯片）部分组成。
7．在计算机系统中设计Cache的主要目的是（提高存去速度）。
8．计算机各部件传输信息的公共通路称为总线，一次传输信息的位数称为总线的（宽度）。
9．PCIE属于（系统）总线标准，而SATA则属于（硬盘接口或外设）标准。
10．在微机输入输出控制系统中，若控制的外部设备是发光二极管，最好选用的输入输出方法是（程序控制）方式；若控制的对象是高速设备，则应选则（DMA）控制方式。
11．操作系统的基本功能包括（处理器管理或进程管理）、（文件管理）、（存储器管理）、（设备管理）和用户接口。
12．虚拟存储器由（主内存）和（磁盘）构成，由操作系统进行管理。
13．CPU从外部设备输入数据需要通过（输入接口），向外设输出数据则需要通过（输出接口）。
14．简述CPU从外部设备输入数据和向外设输出数据的过程。
请参见教材第18页关于输入输出过程的描述。
15．普适计算的主要特点是（是一种无处不在的计算模式）。
习题二1．在计算机内，一切信息的存取、传输和处理都是以（二进制码）形式进行的。
2．在微机中，信息的最小单位是（bit）。
3．在计算机中，1K字节表示的二进制位数是（1024×8bit）。
西安交通大学计算方法C讲义--资料
计算方法（C）目录第1章绪论1.1 数值计算1.2 数值方法的分析1.2.1计算机上数的运算1.2.2算法分析第2章线性代数方程组2.1 Gauss消去法2.1.1消去法2.1.2主元消去法2.2 矩阵分解2.2.1Gauss消去法的矩阵意义2.2.2矩阵的LU分解及其应用2.2.3其他类型矩阵的分解2.2.4解三对角矩阵的追赶法2.3线性方程组解的可靠性2.3.1向量和矩阵范数2.3.2残向量与误差的代数表征2.4解线性方程组解的迭代法2.4.1基本迭代法2.4.2迭代法的矩阵表示2.4.3收敛性第3章数据近似3.1 多项式插值3.1.1插值多项式3.1.2Lagrange插值多项式3.1.3Newton插值多项式3.1.4带导数条件的插值多项式3.1.5插值公式的余项3. 2 最小二乘近似3.2.1 最小二乘问题的法方程3.2.2 正交化算法第4章数值微积分4.1 内插求积，Newton-Cotes公式4.1.1Newton-Cotes公式4.1.2复化求积公式4.1.3步长的选取4.1.4Romberg方法4.1.5待定系数法4.2数值微分4.2.1插值公式方法4.2.2Taylor公式方法(待定系数法)4.2.3外推法第5章非线性方程求解5.1 解一元方程的迭代法5.1.1简单迭代法5.1.2Newton法5.1.3割线法5.1.4区间方法5.2 收敛性问题5.2.1简单迭代——不动点5.2.2收敛性的改善5.2.3Newton法的收敛性5.2.4收敛速度第1章绪论1.1数值计算现代科学的发展，已导致科学与技术的研究从定性前进到定量，尤其是现代数字计算机的出现及迅速发展，为复杂数学问题的定量研究与解决，提供了强有力的基础。
通常我们面对的理论与技术问题，绝大多数都可以从其物理模型中抽象出数学模型，因此，求解这些数学模型已成为我们面临的重要任务。
一、本课程的任务：寻求解决各种数学问题的数值方法——如何将高等数学的问题回归到初等数学（算术）的方法求解——了解计算的基础方法，基本结构（否则只须知道数值软件）——并研究其性质。
高等数学教材西安交大
高等数学教材西安交大西安交通大学高等数学教材第一章：导数与微分1.1 导数的概念1.2 导数的求法1.3 微分的概念1.4 微分的应用第二章：不定积分2.1 不定积分的定义2.2 基本积分公式2.3 分部积分法2.4 替换法2.5 径向函数积分计算第三章：定积分3.1 定积分的定义3.2 定积分的性质3.3 牛顿—莱布尼茨公式3.4 定积分的计算方法3.5 微积分基本定理第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念4.2 一阶微分方程的解法4.3 高阶微分方程的解法4.4 常系数齐次线性微分方程4.5 变量分离与恰当方程4.6 非齐次线性微分方程第五章：级数与幂级数5.1 数列的极限5.2 级数的概念与性质5.3 正项级数收敛判别法5.4 幂级数的收敛与发散5.5 幂级数的求和与应用第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的概念与性质6.2 偏导数与全微分6.3 隐函数与参数方程6.4 向量值函数与参数曲线第七章：多元函数积分学7.1 二重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 曲线与曲面积分7.4 三重积分的概念与性质7.5 三重积分的计算方法第八章：无穷级数与场论8.1 函数项级数的收敛性8.2 广义积分8.3 函数项级数的一致收敛性8.4 Fourier级数8.5 傅里叶变换以上是西安交通大学高等数学教材的章节目录。
本教材包含了导数与微分、不定积分、定积分、微分方程、级数与幂级数、多元函数微分学、多元函数积分学以及无穷级数与场论等内容。
通过学习本教材，学生将掌握高等数学的基础知识和方法，为进一步学习数学及相关学科打下坚实的基础。
本教材内容丰富，注重理论与实践相结合，能够帮助学生提高数学思维能力和解决问题的能力。
教材由西安交通大学数学系编写，经过多年的教学实践和修订，具有很高的教学质量。
希望广大学生能够认真学习本教材，并能够在学习中体会到数学的美妙与应用的广泛性。
祝愿大家在高等数学学习中取得优异的成绩！。
西安交通大学计算方法B进度表
周次
内容
备注
2
第一章绪论
第二章§1 Gauss消去法（1）
9.8
3
§1 Gauss消去法（2），
§2矩阵分解
9.15
4
§3解的可靠性，§4迭代法（1）
§4迭代法（2）
9.22Байду номын сангаас
5
第三章§1多项式插值（1），Lagrange，Newton插值
§1多项式插值（2）余项
9.29
6
§2分段插值（1）
10.6
7
§3最小二乘近似（1）
§3最小二乘近似（2）
10.13
8
第四章§1内插求积（1）：Cotes公式、复化求积、
§1内插求积（2）：待定系数法、§2 Romberg方法
10.20
9
§3自适应积分，§4 Gauss型求积公式（1）
§4 Gauss型求积公式（1）
10.27
10
§5数值微分
第五章§1一元方程迭代法
11.3
11
§2收敛性问题
§3非线性方程组
11.10
12
第六章§1初值问题（1）Eular法，多步法
§1初值问题（2）性态与稳定性
11.17
13
§1初值问题（3）误差、预估-校正法
§1初值问题（4）Runge-Kutta方法
11.24
14
第六章§2边值问题
第七章§1最优化问题
12.1
15
§2无约束优化方法
§3约束优化方法简解
12.8
注：1.讲课进度根据具体情况可能略有调整。
2.课堂教学54学时，上机另行安排。
计算方法课件适合打印版
在F (2,3, -1, 2)中
2
(0.100 2 ) (0.110 2 ) 0.110 2
在F (2,3, -1, 2)中
(0.100 20 ) (0.111 20 ) 0.1101 21
(0.100 20 ) (0.110 21 ) 0.110 22
第1章 绪论
1.2 数值方法的分析
1.2 数值方法的分析
1.2.1 计算机上数的运算 浮点数运算结果产生误差的情况 (3)在浮点数系中数据的尾数字长t是有限
1.2.1 计算机上数的运算
浮点运算应注意
(4)在相同的指数条件下，两个数量相差较大的数字相 加（减）时，较小数的有效数字会被丧失
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算； (2)避免“大”“小”数相加减； (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失； (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数。
算法SUM4(A,n,S) 将数组A中的数按其符号分成两组,分别按算法 SUM3求和,最后计算和S 1. 0->n1;0->n2; 2. For i=1,2,…,n 2.1 if a[i]>=0 then n1+1->n1; a[i]->b[n1]; else n2+1->n2; a[i]->c[n2]; 3. 调用SUM3(B,n1,S1); 4. 调用SUM3(C,n2,S2); 5. S1+S2->S
定义 通常以计算机完成操作 a+b*c ,即一次浮点加法 一次浮点乘法，所需的时间作为一个时间单位，称为 浮点运算，记为flop.
例1.3 设A1 , A2 , A3 , A4分别为10 20, 20 50,50 1,1100的矩阵,则按 结合律,有
西安交通大学820计算机软件基础历年考研真题汇编附答案
西安交通大学820计算机软件基础历年考研真题汇编最新资料，WORD格式，可编辑修改！目录说明：2006年之前计算机软件基础科目代码是496，2007年改为431，2015年科目代码是820。
2015年西安交通大学820计算机软件基础考研真题（回忆版）820只考C语言与数据结构，难度不大，非常基础，具体题目记不清楚由于09年以后的试题基本没有，就大体回忆一下，也算是感谢半年来大家资源的相互分享，以供参考题型：选择 2 X 10；判断 2 X 10；简答共三道20分；编程4 X 10；问答题5 X 10数据结构部分：第一章：概述，非重点章，一个概念；一道时间复杂度都是选择，都不难第二章：线性表，次重点章，15分左右，一道编程大题，计算单链表中值为X的结点数量，其他的记不清了，总之，非常基础，重点在理解概念，熟悉算法操作，代码量很少第三章：栈和队列，次重点章，15分左右，一道大题，循环队列判空判满，入队出队，及出队入队后rear/front指针的位置，简单吧，代码量少且基础；今年竟然没有栈的考题第四章：串，非重点章，一道选择题，模式匹配的概念第五章：数组，非重点章，一道判断题，行优先和列优先存储第六章：树，重点章，考题很多，但均为概念和算法思想与过程，基本无代码，大题：树的中序、后序遍历，二叉树转化为森林，森林的先序遍历，二叉排序树的概念，性质，创建，哈夫曼树的概念，创建，哈夫曼编码的过程；题目较多，选择，判断，简答，问答都有，分值应该超过30了吧第七章：图，重点章，考题很多，但均为概念和算法思想与过程，基本无代码，大题：拓扑排序的概念和应用场合，图的邻接矩阵，广度优先，生成树，克鲁兹科尔算法过程；题目较多，选择，判断，简答，问答都有，分值应该也超过30了吧，选择，判断重在概念第八章：查找，次重点章，一道大题：哈希查找表的生成，处理冲突，ASL，无代码，这不科学第九章：排序次重点章，大题涉及：选择排序的流程图，直接插入排序的过程，基数排序的过程，无代码，这更不科学语言部分：四道编程题，其中一道为单链表的第一道：编写函数实现二维数组对角元素的和第二道：编写函数分别计算字符串中数字、字母和其他字符的个数第三道：编写程序实现选举结果的输出第四道：编写函数计算单链表中值为X的结点个数注：问答题中有循环队列出队、入队的伪码实现可以看到，整张试卷难度不大，代码量甚少，重基础，重概念，重算法过程，数据结构部分，只要认真看教材，做到熟悉，记忆准确就可以及格了，语言部分甚至可以不用复习，我就是这样的，熟悉任何一门语言即可说明：以上仅为15年考题情况，由于记忆有限，各章分值分布也只是大概，重点与否自行判断，大题知识点基本就这些，遗漏不了多少！交大的讲义啊，期末题啊，复习大纲之类的，可以不用，不是说没有，只是用了和认真看教材没区别，只要认真看书了，就应该不会差2007年西安交通大学431计算机软件基础考研真题．2004年西安交通大学496计算机软件基础考研真题。
西安交通大学计算方法上机作业
计算方法上机作业1.对以下和式计算：0142118184858616n n S n n n n ∞=⎛⎫=--- ⎪++++⎝⎭∑，要求： (1)若只需保留11个有效数字，该如何进行计算； (2)若要保留30个有效数字，则又将如何进行计算；（1）解题思想和算法实现：根据保留有效位数的要求，可以由公式得出计算精度要求。
只需要很少内存，时间复杂度和d 呈线性，不需要高浮点支持。
先根据while 语句求出符合精度要求的n 值的大小，然后利用for 语句对这n 项进行求和，输出计算结果及n 值大小即可。
（2）matlab 源程序：保留11位有效数字时； clear clcformat long n=0;sum=1/(16^n)*(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1/(8*n+6)); while sum>=5*10^(-11); n=n+1;sum=1/(16^n)*(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1/(8*n+6)); endfor i=0:n-1;sum=sum+1/(16^i)*(4/(8*i+1)-2/(8*i+4)-1/(8*i+5)-1/(8*i+6)); endvpa(sum,11) n保留30位有效数字时； clear clcformat long n=0;sum=1/(16^n)*(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1/(8*n+6)); while sum>=5*10^(-30); n=n+1;sum=1/(16^n)*(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1/(8*n+6)); endfor i=0:n-1;sum=sum+1/(16^i)*(4/(8*i+1)-2/(8*i+4)-1/(8*i+5)-1/(8*i+6)); endvpa(sum,30) n（3）实验结果分析图1.1 保留11位有效数字的n值及计算结果图图1.2 保留30位有效数字的n值及计算结果图由计算结果可知，通过合理的误差控制，分别通过7次和22次循环，可以实现题目所要求的精确度。
西安交大计算方法
西安交通大学计算方法上机实验班级：(xxx)姓名：(xxx)学号：21116010041.按两种顺序计算y，哪个接近真值？Y = 1000 + + + … +用java 语言编写：public class Add {public static void main(String[] args){double s=0,y=1000;for(double a=1001.0;a<=2000.0;a++){y+=1.0/a;}for(double a=2000.0;a>=1001.0;a--){s+=1.0/a;}s=s+1000;System.out.println("正序和"+s);System.out.println("逆序和"+y);}}运行结果：结论：显然假设是double类型的数据时，先算大数的过程吃掉了末尾的小数被进位所埋没，导致了大数吃小数的误差，按从小到大（从右向左）的计算顺序所得的结果与真值相近，而按从大到小（从左到右）的计算顺序所得的结果与真值的误差较大。
1-18.设(x) = 1 + x + + + … + , 计算(-5)和1/(5)，哪个接近？解法一：用JAVA 语言编写：public class second{ public static void main(String[] args){double s1=1 ,s2=1;double e=1,sum=1; //e的初值为1，sum用来存放n！int a=1;while(sum<Math.pow(10, 1000000)){sum=a*sum;e=1.0/sum+e;a++;}double b=1.0/(e*e*e*e*e);System.out.println("较为精确的值1/e^5="+b);for(int i=1;i<=24;i++){s1+=cimi1(i);s2+=cimi2(i);}s1=1.0/s1;System.out.println("1/S24(5)="+s1);System.out.println("S24(-5)="+s2);}public static double cimi1(int ai){double xi=1;for(int i=ai;i>=1;i--){xi=xi*(5.0/i);}return xi;}public static double cimi2(int ai){double xi=1;for(int i=ai;i>=1;i--){xi=xi*(-5.0/i);}return xi;}}运行结果：解法二：用matlab编程并运行，如下：(1)计算(-5)运行结果如下：(2)计算1/(5)运行结果如下：而的真是结果为0.006737946比较得1/(5)的计算结果与真实值更接近解法三：也可以用C++编写：#include "stdafx.h"#include"stdio.h"#include "iostream"using namespace std;int main(int argc, char* argv[]){ int func1(int );double func2(int);double y=0;int i;for(i=1;i<25;i++){ int z=func1(i);double e=func2(i);y+=z/e;}cout<<"----------------------------------------"<<endl;cout<<"1/S(5)的运算结果是："<<" "<<1.0/(y+1)<<endl;cout<<"----------------------------------------"<<endl;return 0;}int func1(int x){int y=1;int k;for (k=0;k<x;k++)y*=5;return y;}double func2(int n){double y=1;int j;for (j=1;j<=n;j++)y*=j;return y;}运行结果如下图：结论：通过比较上述的几种编程结果，可以看出1/S(5),更接近真实值，而且用matlab更为简便，可以直接利用函数库，并可以轻松的嵌入秦九韶算法，大大减少运算量和时间。
精品课件-计算方法(蔺小林)-第2章
第二章 线性代数方程组求解方法
定理2.3 设A∈Rn×n为对称矩阵，若det(Ak)>0(k=1, 2, …，n)，或A的特征值λi>0(i=1, 2, …，n)，则A为对称 正定矩阵。
定理2.4(Jordan(若当)标准型) 设A为n 阶矩阵，若存 在一个非奇异矩阵P
第二章 线性代数方程组求解方法
第二章 线性代数方程组求解方法
所以当|xi-yi|→0(i=1，2，…，n)时，有‖x‖→‖y‖。
第二章 线性代数方程组求解方法
定理2.6(等价性定理) 设‖·‖p以及‖·‖q是Rn上两 种向量范数，则存在正常数c1，c2
c1‖x‖p≤‖x‖q≤c2‖x‖p 对任何x∈Rn成立。
证明 当x=0时结论显然成立。下证x≠0时结论也成立。
其中, λ1，λ2, …，λr为A的互不相同的特征值，
第二章 线性代数方程组求解方法
r
为若当块， ni≥1(i=1, 2, …，r)，且 ni n i 1
就是矩阵A的若当标准型。
，这
(1) 当A的若当标准型中所有若当块Ji均为一阶块时，此 标准型变为对角型矩阵；
(2) 若A的特征值各不相同，则若当标准型必为对角阵
第二章 线性代数方程组求解方法
进一步，若对给定的矩阵范数‖·‖M，它与某个向量范 数‖·‖V满足条件(5)，则称矩阵范数‖·‖M与向量范 数‖·‖V相容。
(5) 对任意A∈Rn×n， x∈Rn，有 ‖Ax‖V≤‖A‖M‖x‖V成立。
第二章 线性代数方程组求解方法
设A=(aij)n×n∈Rn×n
在矩阵范数中还有一种由向量范数导出的矩阵范数。
diag(λ1，λ2，…，λn)。
第二章 线性代数方程组求解方法
西安交大景思睿、张鸣远版《流体力学》复习资料
流体力学知识要点第一章 流体及其主要物理性质1. 流体的连续介质模型a) 流体的定义：任何微小的剪切力都会导致连续变形的物质b) 质点：含有足够多分子数，并且具有确定宏观统计特征的分子集合。
c) 连续介质模型：（欧拉）假定组成流体的最小物理实体是流体质点而不是流体分子，即：流体是由无穷多个、无穷小的、紧密毗邻、连绵不断的流体质点所组成的一种绝无间隙的连续介质。
2. 流体的主要物理性质a) 流体的密度：表征流体在空间某点质量的密集程度i. 密度：'limV V mV（'V 特征体积，此时具有统计平均特性和确定性）ii.比容：1vb) 压缩性：当作用在一定量流体上的压强增加时，其体积将减小, 用单位压强所引起的体积变化率表示 i.压缩性系数b : /b dV Vdpii.体积弹性模量E ：1/bdp VdpE dV V dV(Pa)v dp E d (1/)(1/)/V dpVdp dp dpm dp dV d dV d d m对气体： (等温 E p ；等熵 E p ，一般 1.4 )对液体，无明确比例可压缩流体和不可压缩流体液体的体积弹性模量值大，液体平衡和运动的绝大多数问题可以用不可压缩流体解决。
气体的体积弹性模量值小，气体平衡和运动的大多数问题需要按可压缩流体来解决。
c) 流体的粘性：是流体抵抗剪切变形或相对运动的一种固有属性，表现为流体内摩擦 i. 粘性内摩擦力产生的原因：分子间吸引力（内聚力）产生阻力 分子不规则运动的动量交换产生的阻力 ii. 牛顿粘性实验U U F AF A h h牛顿内摩擦定律：/UF A h（μ动力粘性系数，Pa ·s ） du d dy dt（d dt 角变形率） iii.粘性系数动力粘性系数 Pa ·s 运动粘性系数2/m s iv. 影响粘性的因素 压强：0pp e正相关温度：液体温度大粘度小 气体温度大粘度大 v. 理想流体：不具有粘性（对应粘性流体，一切实际流体都具有粘性） vi. 牛顿流体：满足牛顿内摩擦定律的流体（对应非牛顿流体，不满足牛顿内摩擦定律）3. 作用在流体上的力 （ 表面力 质量力）a) 表面力：作用在所取的流体分离体表面上的力。
西安交通大学计算方法习题(证明)答案
习题答案——证明题 第2章 线性方程组求解p. 79——第14题证明：a. 由于 是范数，它必满足范数的三条件；由于Mx x =M，所以⑴ 非负性：,0≥=Mx xM且 0==Mx xM当且仅当 0Mx =，又由M 的非奇性，当且仅当0x =时才有0Mx =，因此：0=Mx 当且仅当0x =；⑵ 正齐性：MMx Mx Mx x M xααααα====)()(⑶ 三角不等式：MMMyxMy Mx My Mx y x M yx +=+≤+=+=+)(因此，按此定义的范数Mx 是范数；b. 仿前，容易证明1-=MAM A M 定义了一种矩阵范数。
关于相容性： MM MxA Mx MAM Mx MAM MAx Ax 11=≤==--第3章 数据近似p.129——第6题：a. 取,1)(=x f 则对插值节点n i x i ,,2,1,0)1,( =，其Lagrange 插值多项式为∑==ni i x l x L 0)()(，又由函数、插值多项式与余项的关系，及余项公式，有1)(0)()!1()()(1)()(0)1(0≡⇒≡+=-=-∑∑=+=ni i n ni i x l x n f x l x L x f ωξ此处，用到：0)(,1)()1(≡∴=+x f x f nb. 证明同上，只是将k x x f =)(，由于n k ≤，所以仍有0)()1(≡+x f n ；c. 由二项式定理：()0)1()()1()()1()()(000000=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑∑∑∑∑=-==-==-=kkj j k j j k j k j n i i jk i j j k j ni ik j j k i j j k j ni i ki x x x x C x l x x C x l x x C x l x x此处，用到了b.已证明的结论：k j x x l x j k ni i j k i ,,1,0,)(0==-=-∑；d. 只需注意到由于)(x y 是m 次多项式，又n m ≤，因此0)()1(≡+x y n ；因此，由余项公式：()0)()!1(1)()()1(=+=-+x y n x P x y n ωξ，此即所要的证明。
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2 x1 1 3 x2 2
按Gauss消去法为
0.10000 *104 1 0.20000 *10 0.10000 *104
第2章 解线性代数方程组的直接法
求解方法 方法1
Ax b
A1 Ax A1b xA b
计算量为矩阵求逆 矩阵求逆的方法:初等行变换法、伴随矩阵法、高 斯约当法
1
第2章 解线性代数方程组的直接法
求解方法 方法2 Crammer法则
xi
Ai A
, i 1,2,...,n
其中: A 是方程组的系数矩阵的行列式 Ai 是以右端常量向量b替代A的第i列所得矩阵的行列式
例 使用高斯消去法解方程组
演示
第2章 解线性代数方程组的直接法
列主元Gauss消去法
Gauss消去法可以顺利执行的条件
( k 1) akk 0
( k 1) 这里,将akk 称为第k步的主元
若在Gauss消去过程中出现以下两种情况
( k 1) (1) akk 0
(2)
akk aik
因此, 计算一个行列式需要(n -1)n!次浮点运算
使用Cramer法则求解方程组需要N (n2 -1)n!次浮点运算
第2章 解线性代数方程组的直接法
Gauss消去法
2 x1 x2 3 2 x1 x2 3 从第二个方程解出x2 1 3 3 x1 x2 0 x2 2 2 代入第一个方程,得到x1 1
a11 a1i 1 b1 a1i 1 a1n a21 a2i 1 b2 a2i 1 a2 n an1 ani 1 bn ani 1 ann xi a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
i k 1,..., n
则Gauss消去过程中会出现问题
第2章 解线性代数方程组的直接法
列主元Gauss消去法
原因
则
若有误差 j j
ij ij likkj ij lik (kj ) ij likkj lik ij lik
Gauss消去法
时间复杂度分析 1.消去算法运算量
分为n -1步 , 第k步变换n - k行 : 求倍数 , 再从n 1- k个元素中减去
第k行对应列的倍数 ,因此所需浮点运算次数: n 1 n3 n2 5n N1 (n k )(n k 2) 3 2 6 k 1
( k 1) aik lik ( k 1) akk (k ) ( k 1) ( k 1) aij aij lik akj , j k 1,..., n
(0) a1, k 1 ( k 1) ak , k 1 (0) ak 1, k 1 (k ) an , k 1
消去法的过程 1.将n元方程组的n-1个方程通过“消元”，形成一个与原 方程组等价的新方程组 2.继续将n-1个方程通过“消元”形成与之等价的新方程 组 3.直到最后一个方程为一元一次方程为止
4.从最后一个方程中解出最后一个未知量，然后回代得到 其它的解
第2章 解线性代数方程组的直接法
Gauss消去法
2.2 for k n -1, n - 2,...,1 2.2.1 k S 2.2.2 For j k 1, k 2,..., n 2.2.2.1 S - akj x j S 2.2.3 S / akk xk
N-k次 N-1次 N-k次 N-k次 N-1次
第2章 解线性代数方程组的直接法
第2章 解线性代数方程组的直接法
Gauss消去法
程序示例: 系数矩阵A存放于数组A中，右端向量放在数组b中
I .[消去] 1 For k 1, 2,..., n -1 1.1 If akk 0 then 输出错误信息; stop 1.2 For i k 1, k 2,..., n 1.2.1 aik / akk aik 1.2.2 for j k 1, k 2,..., n 1.2.2.1 aij aik akj aij 1.2.3 i aik k i II .[回代] 2.1 n / ann xn
b1(0) (0) b2 (0) b3 (0) bn
第2章 解线性代数方程组的直接法
2.1 Gauss消去法 2.1.1 消去法 依此类推，消去的第k步，得到矩阵
(0) a11 a1(0) k ( k 1) akk (k ) (k ) (A b ) 计算关系式
第2章 解线性代数方程组的直接法
Gauss消去法
经过n-1步消去后，得到 (0) a11 ( n 1) ( n 1) (A b )
(0) a12 (1) a22 (0) a13 (1) a23
a1(0) n
(1) a2 n (2) a3 n ( n 1) ann
(2) a33
b1(0) (1) b2 b3(2) ( n 1) bn
然后，经过回代，得到所有的解
( n 1) bn xn ( n 1) ann n ( k 1) x 1 b( k 1) a x kj j , k n 1, n 2,...,1 ( k 1) k k akk j k 1
a1(0) n
(0) a2 n (0) a3 n (0) ann
( A(0)
ai(0) 1 将矩阵的第i行分别减去第一行的倍数li1 (0) , i 2,3,..., n, 得到 a11 (0) (0) (0) 其中 a11 a12 a13 a1(0) b1(0) n (1) (0) (0) (1) (1) (1) (1) a a l a ij ij i 1 1 j 0 a22 a23 a2 n b2 (1) (0) (0) (1) (1) (1) (1) b b l b ( A(1) b(1) ) 0 a32 a33 a3 b i i i 1 1 n 3 j 2,3,..., n 0 a (1) a (1) a (1) b (1) i 2,3,..., n n2 n3 nn n
基本思想:
将求解n元方程组的问题通过降维,变为等价的n-1元 方程组进行求解，逐次进行直至变为一个一元一次方程 为止，然后求解，再逐步回代得到其余的解
消去法的基本步骤：消去、回代
第2章 解线性代数方程组的直接法
Gauss消去法
消去过程 对于以下的增广矩阵 (0) (0) (0) a11 a12 a13 (0) (0) (0) a a a 22 23 21 (0) (0) (0) b (0) ) a31 a32 a33 a (0) a (0) a (0) n2 n3 n1
若A非奇则可以通过选主元的方式继续执行消去过程
第2章 解线性代数方程组的直接法
列主元Gauss消去法
列主元消去法
I .[消去] 1 For k 1, 2,..., n -1 1.1 找到满足 a k k max aik 的下标 k
ik
1.2 If ak k 0 then 输出错误信息; stop 1.3 For j k 1, k 2,..., n 1.3.1 akj ak j 1.4 k k 1.5 For i k 1, k 2,..., n 1.5.1 aik / akk aik 1.5.2 for j k 1, k 2,..., n 1.5.2.1 aij aik akj aij 1.5.3 i aik k i
列主元Gauss消去法
第1种情况下
5 x2 x3 2 2x1 x2 x3 1 4 x x x 0 1 2 3 2x1 x2 x3 1 交换第1行和第2行, 5 x2 x3 2 4 x x x 0 1 2 3
(1)若A非奇，则可以通过交换方程组中各方程的行序,可 以继续执行消去过程
性质 :当系数矩阵非奇时， 在消去过程中有
( k 1) akk 0
(2)若A奇异，则不能继续执行消去过程
第2章 解线性代数方程组的直接法
列主元Gauss消去法
第2种情况下
10-5 例:在浮点数系F (10,5, 10,10)下,求解 2
可以写为矩阵形式
(2 1)
Ax b
其中
11 12 22 21 A n1 n 2 1n 2n , nn x1 b1 x b 2 x , b 2 . x n bn
i 1, 2,..., n
J (i1 , i2 ,, in )
第2章 解线性代数方程组的直接法
求解方法 方法2 Crammer法则
计算量为求矩阵的行列式
A (1)J (i1 ,i2in ) 1i12i2 nin
其中 : J ( i1 , i2 in )是{1, 2, ..., n}变换到{i1 , i2 , ..., in }所需的 置换次数
Gauss消去法
空间复杂度分析
(1)系数矩阵A占用空间为n2 , 则空间复杂度为 o(n2 ) (2)常量b占用空间为n, 则空间复杂度为 o(n) (3)变量x占用空间为n, 则空间复杂度为 o(n) (4)消去过程中认为没有使 用额外存储空间 因此,消去法的总的空间复杂 度为o(n2 )
第2章 解线性代数方程组的直接法