第三单元 一元二次方程知识点及单元练习
一元二次方程复习知识点和习题(包括答案)
一元二次方程复习一）一元二次方程的定义)0a (0c bx ax 2≠=++是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
0ax 0c ax 0bx ax 222==+=+；；这三个方程都是一元二次方程。
求根公式为()0ac 4b a2ac 4b b x 22≥--±-=二）)0a (0c bx ax 2≠=++。
a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项，注意的是系数连同符号的概念。
这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？ 1、ac 4b 2-∆＝当Δ>0时方程有2个不相等的实数根； 2、当Δ＝0时方程有两个相等的实数根； 3、当Δ< 0时方程无实数根.4、当Δ≥0时方程有两个实数根（方程有实数根）;5、ac<0时方程必有解,且有两个不相等的实数根;ab -7、当a 、b 、c 是有理数，且方程中的Δ是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数根。
8若1x ,2x 是一元二次方程)0a (0c bx ax 2≠=++的两个实数根， 即① ab x x 21-=+ a cx x 21=•（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足Δ≥0这个条件，否则解题就会出错。
）例：已知关于X 的方程()0m x 2m 2x 22=+--,问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由。
②一元二次方程)0a (0c bx ax 2≠=++可变形为()()0x x x x a 21=++的形式。
可以用求根公式法分解二次三项式。
9、以两个数x 1 x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2-（x 1+ x 2）x+ x 1 x 2＝0 10几种常见的关于21x ,x 的对称式的恒等变形①()212212221x x 2x x x x -+=+②()()()()[]2122121222121213231x x 3x x x xx x x x x x x x -++=+-+=+③()2121221221x x x x x x x x +⋅=⋅+⋅④()()()2212121a x x a x x a x a x +++⋅=++ ⑤212121x x x x x 1x 1⋅+=+ ⑥()()22121221222122212221x x x x 2x x x x x x x 1x 1⋅-+=⋅+=+⑦()()2122122121x x 4x x x x x x -+=-=-三）例题1如果方程x 2-3x+c=0有一个根为1，求另一个根及常数项的值。
一元二次方程知识点总结及相关练习题
一元二次方程知识点总结及相关练习题一、一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
它的一般形式为ax^2+bx+c=0（其中a≠0），其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
二、一元二次方程的解法1.直接开平方法直接开平方法是利用平方根的定义直接开平方求解一元二次方程的方法。
它适用于解形如(x+a)=b的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当b≥0时，x=-a±b；当b<0时，方程没有实数根。
2.配方法配方法的理论根据是完全平方公式a±2ab+b=(a±b)^2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x±2bx+b=(x±b)^2.配方法的步骤是：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式。
3.公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程ax^2+bx+c=0的求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。
公式法的步骤是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c。
4.因式分解法因式分解法是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法。
这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤是：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式、公式法或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式。
5.XXX定理利用韦达定理可以求出一元二次方程中的各系数。
韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。
在题目中，XXX定理是很常用的。
三、一元二次方程根的判别式根的判别式指的是一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ=b^2-4ac。
七年级上册数学第三章一元二次方程知识框架知识点及相应中考真题
七年级上册数学第三章一元二次方程知识框架、知识点及中考真题一、知识框架二、具体知识点（一）、基本概念1、等式：用“=”号链接而成的式子。
2、方程：含未知数的等式。
3、方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值4、移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边。
5、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，未知数的系数不是零的整式方程。
ab是未知数，ax是已知数，且bx+a,6、一元一次方程的标准形式：)0=(0≠（二）、等式的性质1、等式两边都加上（或减去）同一个数或式子，结果仍相等。
2、等式两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，结果仍能相等。
（三）、解一元一次方程的步骤1、化简方程2、去分母（同乘最简公分母）3、去括号（注意符号变化）4、移项（变号）5、合并同类项6、系数化为1（四）、常见应用题类型1、商品销售问题商品利润=商品销售额—商品总成本商品利润=（单件商品售价—单件成本价）⨯销售量商品销售额=商品售价⨯商品销量商品利润率=%100⨯商品成本价商品利润 例1：某商场将一款小家电按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件小家电仍能获利40元。
问这款小家电的进价是多少元？若设这款小家电的进价为x 元，那么所列方程为 80% ⨯（1+45%）50=-x .例2：某件商品的价格是按获利润25%计算出的，后因库存积压和急需加收资金，决定降价出售，如果每件商品仍能获得10%的利润，试问应按现售价的几折出售（减价到原标价的百分之几就叫做几折，例如标价一元的商品售价七角五分，叫做“七五折”）？(88折)2、方案选择问题例：某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多地对蔬菜进行细加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行细加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成； 你认为哪种方案获利最多，为什么？（方案一利润：630000元，方案二利润：725000元，方案三利润：810000元）3、储蓄利息问题利息=本金⨯利率⨯期数本息和=本金+利息利率=%100⨯本金每个期数内的利息 例：为了准备6年后小颖上大学的学费20000元，她的父母现在就参加了教育储蓄，下面有三种储蓄方式：（1）直接存入一个6年期；（2）先存入一个三年期，3年后将本息和自动转存下一个三年期；（3）先存入一个一年期，后将本息和自动转存下一个一年期；已知教育储蓄利率为一年期的年利率为2.25%，三年期的年利率为2.70%，六年期的年利率为2.88%你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？（（1）开始需存入17053.21元，（2）需存入17115.07元，（3）需存入17500.49元）4、工程问题工作量=工作效率⨯工作时间例1：一项工程，甲单独做需12天，乙单独做需8天，先甲先做2天，然后甲乙一起做，则甲乙一起做还需多少天？（4天）例2：某地原有沙漠108公顷，绿洲54公顷，为改善生态环境，防止沙化现象，当地政府实施了“沙漠变绿洲”工程，要把部分沙漠改造为绿洲，使绿洲面积占沙漠面积的80%.设把x 公顷沙漠改造为绿洲，则可列方程为( )A ．54＋x ＝80%×108B ．54＋x ＝80%(108－x)C ．54－x ＝80%(108＋x)D ．108－x ＝80%(54＋x)（B ）5、行程问题路程=速度⨯时间相遇问题：快行距离+慢行距离=原距离；追及问题：快行距离-慢行距离=原距离航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度逆水（风）速度=静水（风）速度—水流（风）速度例1：一列匀速行驶的高铁列车在行进途中经过一条长1200米的隧道，已知列车从车头开始进入隧道到车尾离开隧道共需8秒．出隧道后与另一列长度和速度都相同的列车相遇，从车头相遇到车尾离开仅用了2秒，则该列车的长度为_____400___米例2：一架飞机在两城间飞行，顺风要5.5小时，逆风要6小时，风速为24千米/时，求两城距离x 的方程是4.26245.5+=-x x 6、数字问题关键是弄清楚数的表示方法：如一个三位数的百位数为c b a ，个位数为十位数为,（),90,90,91,,≤≤≤≤≤≤c b a c b a 均为整数，且其中则这个三位数表示为：c b a ++10100例：一个两位数，个位上的数是十位数上的数的2倍，如果把十位数与个位上的数对调，那么所得的两位数比原来的两位数大36，求原来的两位数.（48）三、相应中考真题1、（2017浙江杭州）设c y x ,,是实数，则下列等式正确的是（ ）A ．c y c x y x -=+=则若, B. yc xc y x ==则若, C. c y c x y x ==则若, D. y x cy c x 32,32==则若 2、（2018四川成都）已知a c b a c b a 则且,62,456=-+==的值为 . 3、（2017湖北武汉）解方程：).1(234-=-x x4、（2016广西贺州）解方程：54306=--x x . 5、（2018江苏南通）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之。
(完整版)一元二次方程知识点和经典例题
一元二次方程一.基本概念定义：形如：02=++c bx ax （0≠a ）的方程,叫做一元二次方程的一般式. 例题：若方程32)1(1=--+x x m m 是关于x 的一元二次方程，求m 的值.二.一元二次方程的解法（1）直接开方法： 02=+c ax , 开平方求出未知数的值：ac x -±= （2）因式分解法：0)(2=++-mn x n m x ,因式分解得：0))((=--n x m x ∴m x =1，n 2=x（3）配方法:061232=-+x x ,得：242=+x x ,∴222)2(2)2(4+=++x x 即：6)2(2=+x ∴621+-=x ，622--=x（4）公式法：解法步骤：○1先把一元二次方程化为一般式； ○2找出方程中a 、b 、c 等各项系数和常数的值；○3计算出ac b 42-的值；○4把a,b, ac b 42-的值代入公式;○5求出方程的两个根.例题：解方程： x(x+12)=8x+12解：原方程化简得：01242=-+x x ,方程中：a=1,b=4,c=-12∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64.∴28412644±-=⨯±-=x =42±- ∴原方程根为：21=x ，=2x -6.一元二次方程解法练习题：（1）用直接开方法解一元二次方程： ○1 (2x-1)2=7 ○222)43()43(x x -=- ○30144)3(2=--x（2）用因式分解法解一元二次方程：○11)1(3-=-x x x ○25x(x-3)=6-2x ○32(x +2)(x -1)=(x +2)(x +4)○4025)2(10)2(2=++-+x x ○542)2)(1(+=++x x x ○60)4()52(22=+--x x（3）用配方法解一元二次方程：○1x(x+4)=8x+12 ○226120x x --= ○30223)12(22=-+-+x x（4）用公式法解一元二次方程：○123520x x -+= ○5(3)(1)2x x +-=- ○112x 2-33x+130=0（5）选择适当的方法解下列方程:○122(2)9x x -= ○22299990x x +-= ○32(101)10(101)90x x +-++=○42690x x -+= ○5x(37)2x x -= ○6}113111[1()]222323x x x x ⎧--+-+=⎨⎩三.一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式：把ac b 42-=∆叫做一元二次方程：02=++c bx ax （0≠a ）的根的判别式.利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况：20(1)00(2)400.b ac ∆>⇔⎧∆≥⇔⎨∆=⇔⎩∆=-∆<⇔当时方程有两个不相等的实根；当时方程有两个实数根；当时方程有两个相等的实数根；当的值小于时，即：时方程无实数根例1.不解方程判断下列方程跟的情况：（1）08822=+-x x （2）24120x x +-= （3）20232=+-x x解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8，∆=ac b 42-=(-8)2-4×2×8=64-64=0∵∆=0 ∴原方程有两个相等的实数根.（2）方程中：a=1,b=4,c=-12，∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64 ∵∆>0 ∴原方程有两个不相等的实数根.（3）方程中：a=2,b=-3,c=2，∆=ac b 42-=(-3)2-4×2×2=9-16=-7∵∆<0 ∴原方程无实数根.例2.关于x 的一元二次方程（m －1）x 2－2（m －3）x ＋m ＋2＝0有实数根，求m 的取值范围.解：当m －1≠0时, 即：m 1≠时，该方程是关于x 一元二次方程.∵原方程有实数根∴0≥∆，即：Δ＝［－2（m －3）］2－4（m －1）（m ＋2）＝－28m ＋440≥ 解得：711≤m ∴m 的取值范围是711≤m 且m 1≠. 例3. 求证：关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根. 证明：∵224=[2(1)]4(2)(1)4(3)b ac k k k k ∆=-----+=-且k 3≤，∴总有0≥∆ ∴关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根.四.一元二次方程根与系数的关系1.定理：设一元二次方程02=++c bx ax (0≠a 且042≥-ac b )的两个根分别为1x 和2x ，则：ab 2x 1x -=+； a 2x 1xc =• 特别地：对于一元二次方程20x px q ++=，根与系数的关系为：12x x p +=-； 12x x q =注：○1此定理成立的前提是0∆≥．也就是说必须在方程有实．．数根．．时才可使用. ○2此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理。
人教版九年级-一元二次方程知识点总结及基础题型
一元二次方程知识点一：一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程，一般形式是),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++类型：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠=++≠=+≠=+≠=000000002222a c bx ax a c axa bx ax a ax ④③②①判断一元二次方程的步骤例1：1.下列方程时一元二次方程的是①2032=+x x ；②04322=+-xy x ；③412=-x x ；④02=x ；⑤0332=+-x x ⑥x 2﹣1=y ⑦（x+2）（x+1）=x 2 ⑧ 6x 2=5 ⑨⑩2x +3x +y=0 ；⑪ x+y+1=0 ；⑫ 213122+=+x x ； ⑬ 0512=++x x⑭；⑮3y 2﹣2y=﹣1；⑯2x 2﹣5xy+3y 2=0；⑰⑱ ；⑲ ；⑳ ；④ ；⑤ ；⑥；⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩（）． 2．关于x 的方程mx 2+3x=x 2+4是一元二次方程，则m 应满足条件是 _________ ．3．关于x 的一元二次方程ax 2﹣3x+2=0中，a 的取值范围是 _________ ．4．当m= _________ 时，方程（m 2﹣1）x 2﹣mx+5=0不是一元二次方程．1.把方程化成一般形式),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++2.最高次数=23.最高次项的系数≠05．若关于x 的方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣5=0是一元二次方程，则k 的取值范围是__________ 例2：当=m 时，方程072)1(1=-+-+x x m m 为一元二次方程6．若是关于x 的一元二次方程，则a= _________ ．7．若关于x 的方程（m ﹣1）﹣mx ﹣3=0是一元二次方程，则m= _________ ．8．当k= _________ 时，（k ﹣1）﹣（2k ﹣1）x ﹣3=0是关于x 的一元二次方程． 9．方程（m+2）x |m|+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则m=__________10．关于x 的方程（m ﹣2）x |m|﹣mx+1=0是一元二次方程，则m=___________知识点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项①0≠a ；②指出二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号③一元二次方程化为一般形式时，若没出现一次项bx ，并不是没有，而是0=b例3： 把方程（1）()()1231=+-x x （2）（3）（4）化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是_______________2.一元二次方程142=+x x 的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3.一元二次方程2x －3x = 4的一般形式是 ，一次项系数为 。
一元二次方程知识总结及习题
一元二次方程的定义与解法知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2。
同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）x x 2752=； （2）()()832=+-x x ； （3）()()()22343+=+-x x x例2 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解例 1 关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 有一个根为0，则=a例 2 已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有一个根为1，一个根为1-，则=++c b a ，=+-c b a例3 已知c 为实数，并且关于x 的一元二次方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程032=-+c x x 的一个根，求方程032=-+c x x 的根及c 的值。
一元二次方程综合复习(含知识点和练习)(含答案)
一元二次方程本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节是本章的起始内容，主要学习下列三个内容：建立一元二次方程此内容是本节课的难点之一，在后续的内容中将继续学习，为此设计较易的[拓展应用]的例4及其变式题，[课时作业]的第6、7题。
１．一元二次方程的概念此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计[拓展应用]的例1、例3，[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。
2.一元二次方程的解的含义利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计[拓展应用]的例2，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。
点击一：一元二次方程的定义答案：（5）针对练习。
答案：一元二次方程二次项的系数不等于零。
故m≠－3点击二：一元二次方程的一般形式元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax2+bx+c＝0（a≠0）的一般形式.其中，尤其注意a≠0的条件，有了a≠0的条件，就能说明ax2+bx+c＝0是一元二次方程.若不能确定a≠0，并且b≠0，则需分类讨论：当a≠0时，它是一元二次方程；当a＝0时，它是一元一次方程.针对练习3:答案：原方程化为一般形式是:5x2+8x－2=0(若写成－5x2－8x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).点击三：一元二次方程的根的定义的意义一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根，则m 必然满足该方程，将m 代入该方程，便有am 2+bm +c ＝0（a ≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m 能使am 2+bm +c ＝0（a ≠0）成立，则m 一定是ax 2+bx +c ＝0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.针对练习答案： m 3+2m 2+2009＝m 3+ m 2+m 2+2009＝m （m 2+ m ）+ m 2+2009＝m+ m 2+2009＝1+2009＝2010.类型之一：一元二次方程的定义例1.关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？ 【解析】先把这个方程变为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.【解答】由mx 2－3x=x 2－mx+2得到（m －1）x 2+（m －3）x －2=0,所以m －1≠0，即m≠1.所以关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足m≠1.【点评】要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了.当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程.类型之二：考查一元二次方程一般形式一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是已知数，a≠0），其中a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数c 叫做常数项．只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项．这里特别要注意各项系数的符号。
一元二次方程知识点总结及典型题
一元二次方程知识点总结及典型题一． 一元二次方程的条件含有一个未知数；未知数的最高次数为2；必须是等式；二次项系数不为0。
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）①ax 2+bx+c=0；②（k 2+1）x 2+kx+1=0；③2（x+1）（x-4）=x （x-2）；④（2x+3）（2x-3）=4x （x-3）A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①③2．的值是多少？的一元二次方程，则是关于m x x m x m m 05)3()2(22=+-+-- 3.方程032)1(12=-+-+mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值是多少？4. 关于x 的方程05)1(12=+++-x k kx k ，满足什么条件时是关于x 的一元二次方程？5．若方程（m-2）x |m|+x-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．±2B ．2C ．-2D ．不能确定6．已知方程是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 ( )A. m≠l B ．m>1 C ．m≥0 D ．m≥0且m≠17.已知关于x 的方程．(1)当m 为何值时，该方程是一元二次方程? (2)当m 为何值时，该方程是一元一次方程?8．若方程（m －2）x m2－5m+8+(m+3)x+5=0是一元二次方程，求m 的值二． 一元二次方程的一般形式及其系数一般形式为 )0(02≠=++a c bx ax ，其中c b a 、、为一元二次方程的系数。
1．把2122x x -=化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
2．将一元二次方程(x -2)(2x +1)=3x 2-5化为一般形式 .其中二次项系数 ，常数项3．方程2x 2=3（x-2）化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．2、3、-6B ．2、-3、-6C ．2、-3、6D ．2、3、64.一元二次方程4x 2-45=31x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别可能为（ ） A ．4、-45、31 B ．4、31、-45 C ．4、-31、-45 D ．4、-45、-315.下列说法正确的是（ ）A ．方程8x 2-7=0的一次项系数为-7B ．一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0C ．当k=0时，方程kx 2+3x-1=x 2为一元二次方程D ．当m 取所有实数时，关于x 的方程（m 2+1）x 2-mx-3=0为一元二次方程 三．如果已知一元二次方程的解，就能代入一元二次方程1．如果x ＝4是一元二次方程223a x x =-的一个根，那么常数a 的值是多少。
九年级数学一元二次方程知识点及练习
知识点总结：一元二次方程知识框架知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程知识点总结及习题
2、判断下列方程是否为一元二次方程：
(1). x2 x 1
(2).x2 1
2 =0.
(4) x 3 -x 2 =1.
(8)(x+2)(x-2)=(x+1)
(5) x 2 -2y-1=0.
2.
(9)3x 2 - 4 +6=0.
x
1 (3).x
x (4).x2 3x 2 y 0 (5).x2 3 (x 1)( x 2) (6).ax 2 bx c 0 (7).mx2 0( m为不等于 0的常数 )
5、若关于 x 的方程 a(x－ 1)2=2 x2－ 2 是一元二次方程，则 a 的值是
（
）
（ A） 2
（ B）－ 2
（C） 0
（ D）不等于 2
6、已知关于 x 的方程 m
2
1x
2
n 3 x p 0 ，当
时，方程为一次方程；当
时，两根中有一个为零 a 。 7、已知关于 x 的方程 m 2 xm2 2 x m 0 ：
3、下列方程中，关于 x 的一元二次方程是
2
（A） 3 x 1 2 x 1
11
（B） x2
20 x
（
）
（ C） ax2 bx c 0
（D ） x2 2x x2 1
4、下列方程中，不是一元二次方程的是
（
）
（ A） 2x2+7=0
（ B） 2x2+2 3 x+1=0
（ C） 5x2+ 1 +4=0 x
（ D） 3x2+(1+x) +1=0
（ 1） m 为何值时方程为一元一次方程； （ 2） m 为何值时方程为一元二次方程。
一元二次方程知识点总结和例题
知识点总结：一兀二次方程一元二次方程是初中数学的重要内容，是中考的热点，它是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。
学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程。
应该说，一元二次方程是本书的重点内容。
一、目标与要求1.了解一元二次方程及有关概念，一般式ax2+bx+c=0 （a冬0）及其派生的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单题目。
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程，掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法，应用熟练掌握以上知识解决问题。
二、重点1.一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。
2.判定一个数是否是方程的根；3.用配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程。
4.运用开平方法解形如（x+而2=n （n>0）的方程，领会降次——转化的数学思想。
5.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题.三、难点1.一元二次方程配方法解题。
2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，？再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。
3.用公式法解一元二次方程时的讨论。
4.通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+n）2=n （n> 0）的方程。
5.建立一元二次方程实际问题的数学模型，方程解与实际问题解的区别。
6.由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。
、知识框架四、知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
一元二次方程知识点总结与习题精练
一）【一元二次方程的定义】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，并且等号两边都是整式的方程叫做一元二次方。
其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2为二次项，bx为一次项，a、b、c为常数项。
判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：①整式方程②方程中只含有一个未知数③未知数的最高次数是2.④二次项系数不为0.例1）下列各方程中，属于一元二次方程的是()①；②t2=2；③；④；⑤x3-x2=5；⑥(x+1)2+x-2=0．A.①②③B.②③④C.①②⑥D.①②例2）方程3(x-1)2=5(x+2)的二次项系数()；一次项系数()；常数项()。
例3）方程化为一元二次方程的一般形式是()例4）若是一元二次方程，则m=()例5）关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，则m应满足的条件是() 例6）关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-2m=0的常数项为0，则m的值为() 二）【一元二次方程的基本解法】【直接开平方法】利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．对于形如x2=m或(ax+b)2=m(a≠0,m≥0)的一元二次方程，即一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。
可以解得x1=m,x2=−m或者x1=m−ba ,x2=−m−ba例7）x2-49=0 2x2=8 (x-2)2=4例8）(x2+y2+1)2=81，则x2+y2的值是_____．【配方法】一般步骤：第一步：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；第二步：方程两边同时除以二次项系数；第三步：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(ax+b)2= m的形式；第四步：用直接开平方解变形后的方程．例 9）解方程x2-4x-2=0 3x2-6x+1=0 x2+x-1=0 x2-6x+1=0例10）代数式x2+8x+5的最小值是_____．例11）对于任意实数x ，多项式x 2-2x+3的值是一个()A.正数B.负数C.非负数D.不能确定例12）不论x 取何值，x-x 2-1的值都()A.大于等于-34B.小于等于-34C.有最小值-34 D.恒大于零 【公式法】推导过程： )0(02≠=++a c bx ax因为0≠a ,所以02=++ac x a b x . 移项,得a c x a b x -=+2. 配方,得222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++,即22244)2(a ac b a b x -=+. 因为0≠a ,所以4a 2>0,当042≥-ac b 时,直接开方,得aac b a b x 2422-±=+ 所以aac b a b x 2422-±-= 即a ac b b x 2421-+-=,aac b b x 2422---= 一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式，并写出 c b a 、、 的值；（2）求出ac b 42-的值,判断方程是否有实数根；（3）若042≥-ac b 代入求根公式求值 ；（4） 写出方程的解1x ，2x .根的判别式：在计算∆=ac b 42-的值时，会出现三种情况：①∆=042 ac b -，方程有两个不相等的实数根；②∆=042 ac b -，方程没有实数根；③∆=042=-ac b ，方程有两个相等的实数根， 1x =2x =ab 2-例13）用公式法解方程x 2-2x=15 x 2-3x+1=0 (x-1)2-5(x-1)+6=0例14）关于x 的一元二次方程x 2-(k+1)x+k=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.总有实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根例15）关于x 的一元二次方程x 2-4x-a=0无实数根，则实数a 的取值范围是_____． 例16）若方程3x 2-6x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是() A. B.C. D.【因式分解法】一般步骤：第一步：将已知方程化为一般形式，使方程右边为 0；第二步：将方程的左边分解为两个一次因式的积；第三步：令方程左边两个因式分别为 0，得到两个一次方程，它们的解就是原方程的解．例17）用因式分解法解方程x 2-6x+5=0 x 2=x+56 3x 2+4x-4=0 (x-2)(x-3)=12 例 18）若x 2-3xy-4y 2=0，则xy =_____．（3）【一元二次方程根与系数的关系】(韦达定理)推导过程：关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根分别为： x 1=a ac b b 242-+-， x 2=----aac b b 242 所以：12x x +=a ac b b 242-+-+aac b b 242--- =aac b b ac b b 24422----+- = −ba 12.x x =a acb b 242-+-×aac b b 242--- =2224)4)(4(a ac b b ac b b ----+-=22224)4()(aac b b --- = c a由此得出，一元二次方程的根与系数的关系：12x x +=a b -，12.x x =a c 例19）已知关于x 的一元二次方程x 2-2x-a=0．(1)如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围； (2)如果此方程的两个实数根为x 1，x 2，且满足1x +1y =−23，求a 的值． 例10）若方程x 2-ax-3a=0的一个根为6，则另一个根为_____．（4）【一元二次方程解应用题】一般步骤：（1）分析题意，找出等量关系，分析题中的数量及其关系； （审）（2）用字母表示问题里的未知数；（设）（3）根据等量关系列出方程；（列）（4）解方程，求出未知数的值；（解）（5）检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案. （检）。
一元二次方程(知识点+考点+题型总结)
一元二次方程(知识点+考点+题型总结)类型三、配方法()002≠=++a c bx ax 222442a acb a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题：例1、 试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。
例2、 已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
例3、 已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。
例4、 分解因式：31242++x x针对练习：★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。
★★2、已知041122=---+x x x x ，则=+x x 1.★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。
★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。
类型四、公式法⑴条件：()04,02≥-≠ac b a 且⑵公式： a acb b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x例2、在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ； （2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --说明：①对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成c bx ax ++2=))((21x x x x a --.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。
一元二次方程知识点总结&练习
一元二次方程的解法【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75(3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c将二次项系数化为1：x 2+b a x=-c a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b 2a)2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=± ∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x= (b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8(2) 2x2+3x=0(3) 6x2+5x-50=0(4)x2-2(+)x+4=0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
初一数学上册(人教版)第三章一元二次方程3.4知识点总结含同步练习题及答案
2. 已知 x − y = 4 ，|x| + |y| = 7 ，那么 x + y 的值是 ( A．±
答案： C
3 2
B．±
11 2
C．±7
3. 当 k 的取值范围为 ( A．k > 3
答案： D 解析：
) 时，关于 x 的方程 2 |x − 2| &#; 2 至少有 3 个解．
② 当 c = 0 时，原方程变为 |ax + b| = 0 ，即 ax + b = 0，解得 x = − ③ 分段求解方程：在每一个区间内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区间内的解．
例题： 解含绝对值方程 |x − 1| = 2． 解：根据题意，可得
x − 1 = ±2，
解得
x1 = 3，x2 = −1．
①当 x < 2 时， 2 (2 − x) + k = x + (5 − x) + 2 ， x =
4. 已知关于 x 的方程 mx + 2 = 2 (m − x) 的解满足 |x − A．10 或
C．−10 或
答案： A
2 5
2 5
1 | − 1 = 0 ，则 m 的值是 ( 2 2 B．10 或 − 5 2 D．−10 或 − 5
) −1 ± √5 2 1 + √5 D．± 2
B．
1 ± √5 2 1 ± √5 −1 ± √5 C． 或 2 2
A．
答案： D 解析： 讨论
x 的取值： 1）当 x ⩾ 0 时，求方程 x 2 − x − 1 = 0 满足条件的解即可； 2）当 x < 0 时，求方程 x 2 + x − 1 = 0 满足条件的解即可． )
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第三单元 一元二次方程知识点及单元练习（1）
知识回顾：
1、一元二次方程的一般形式：ax 2
+bx+c=0 （a ≠0）
2、直接开平方法适应的类型是（1）ax 2＝c （a ≠0,C ≥0（2）（ax+b ）2＝c （a ≠0,c ≥0）
3、配方法的解题步骤：
（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项 （3）方程两边各加上一次项系数一半的平方 （4）将方程变形为（x+P ）2=q （5）用直接开平方法解方程 4、公式法：求根公式（x ＝a
ac b b 242-±-，b 2－4ac ≥0） 公式法的解题步骤：（1）化为一般形式（2）确定a 、b 、c （3）求出 b 2
－4ac 的值（4）代入求根公式求根
5、因式分解法：（一元二次方程化成一般形式后，若左边是二次三项式，常用十字相乘法分解因式解方程）
6、理解根的判别式：（Δ＝b 2－4ac ）
若：Δb 2－4ac ＞0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根 若：Δb 2－4ac ＝0 ⇔ 方程有两个相等的实数根
若：Δb 2－4ac ﹤0 ⇔ 方程无实数根 若：Δb 2
－4ac ≥0 ⇔ 方程有两个实数根
7、若ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)两根是x 1,x 2则有x 1＋x 2＝－
a b ，x 1·x 2=a c 8、百分率问题。
Q=a(1±x)n a 表示初产量，Q 表示终产量，x 表示增长率（或减低率），n
表示增长次数，当求增长率时取“＋”，当求减少率时取“－”。
巩固练习：
一．选择题：
1、下列方程中无论a 取任何值总是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A 、（2x －1）（x 2＋3）=2x 2－2
B 、ax 2＋2x ＋4＝0
C 、ax 2＋x ＝x 2－1
D 、（a 2＋1）x 2＝0
E 、ax 2＋bx ＋c ＝0 2、已知kx 2＋（k-1）x ＋k 2－5＝0是关于x 的一元二次方程，那么k 的取值范围是___________。
3、方程（m-2）x 852--m m +(m-3)x-5=0，m 取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解。
4.解方程：（1）16x 2－25=0 （2 ）
2
1（x ＋1）2＝9 （3）x 2－6x ＋4＝0 （4）3x 2－1＝6x
（5）2t 2－7t ＋4＝0 （6）x 2－6x ＋4=0 （7）3y 2－1＝2y （8）x （2x ＋7）＝3（2x ＋7）
（9）－6x 2－7x －2＝0 （10）4（2x ＋1）2－4（2x ＋1）＋1＝0
5、用适当方法解下列方程
（1）
21（x －2）2＝3（2）－2x 2＋7x －3＝0 （3）t 2－3t ＋1＝0 （4）x 2＝2x
6、计算下列各方程的根的判别式的值：
（1）3x 2＋2x －1＝0 （2）3x 2＋4x ＝0 （3）3x 2－4＝0
7、掌握用判别式判断方程（含字母系数）根的情况
（1）已知关于x 的方程x 2＋（2m+1）x+(m －2)2＝0，m 取什么值时
①方程有两个不相等的实数根②方程有两个相等的实数根③方程无实数根
（2）k 取什么值时，方程4x 2－（k ＋2）x ＋k －1＝0有两个相等的实根，求出这时方程的根
（3）求证：关于x 的方程x 2＋（2k ＋1）x ＋k －1=0方程有两个不相等的实数根。
（4）已知a ，b ，c 是三角形的三边，若方程a(x 2－1)－2cx ＋b(x 2+1)＝0有两个相等的实数根，判断该三角形的形状。
（5）方程x 2－2（kx －4）－6=0无实数根,k 的最小整数值是多少？
（6）关于x 的一元二次方程kx 2－4x ＋3＝0有实数根，求k 的非负整数值。
（7）若式子x 2＋kx ＋1、9x 2－mx ＋5、x 2＋3x ＋a 是完全平方式，求k 、m 、a 的值。
（8）关于x 的一元二次方程mx 2＋2（m+1）x+（m －1）＝0有实数根，求m 的范围。
9.（1）若方程x 2－px ＋1=0的一根为1－2则它的另一根和P 各为多少？
（2）以3－22 ，3＋22为两根的一元二次方程是什么？
10、设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两根，则（1）（x 1+1）(x 2＋1) （2）21x x ＋12x x 11（1）某产品现在每件成本200元，计划经过两年把每件的成本降低为162元，求百分率是多少？
（2）某校办厂今年3月份生产课桌椅1000套，二月份因放假减产10%，三月、四月份产
量逐月上升，四月份产量达到1296套，求三月、四月份增长率。
（3）一公司成立三年来，累积向国家上交利税1400万元，其中第一年上交只有200万元，求上交利税平均年增长率。
第三单元 一元二次方程单元练习（2）
一、填空题：
1、方程x 2－2x ＝0的两根是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2、已知Kx 2+ (K+1) x + K 2-5 =0是关于x 的方程，那么K 的取值范围是＿＿
3、二次三项式x 2-5x-6因式分解的结果为＿＿＿＿＿＿＿。
4、若关于x 的方程x 2+Kx+4=0, 有两个相等的实数根，则K ＝＿＿
5、方程：A ：2
2
x - 3x =1； B ：x x x x -=+13 ； C ：2122x x =- ； D ：041212=-x 中是分式方程是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
6、用换元法解方程0344
222=--+-x x x x 时，如果设y=422-x x , 那么原方程可化为＿＿ ＿
7、方程x 2-3x+k 2-1=0，其中k 为实数，此方程的根的情况是＿＿＿＿。
8、方程 0242=--x
x 的根是＿＿＿＿＿。
9、方程2132=+-x x 的根是＿＿＿＿＿＿＿。
10、关于x 的方程x 2+4x+k=0, 有实根，则k 的取值范围是＿＿＿＿。
11、一元二次方程ax 2+bx+c=0,有一个根是零根的条件是＿＿＿＿＿。
12、若x 1、x 2是方程x 2-2x-1=0的两个实根，则x 12+x 22=____________.
13、一元二次方程的求根公式＿＿＿＿＿＿＿。
14、方程x 2+x-2=0的根是＿＿＿＿＿＿＿。
15、方程3x 2+4x=0的判别式的值是＿＿＿＿＿＿＿。
16、一元二次方程3x (x-2) =2 (x+4)的一次项系数是___，二次项系数是＿，常数项是＿。
17、关于x 的一元二次方程mx 2-2x+1=0有两个相等的实数根,则m=__.
18、已知方程2x 2+kx-6 = 0的一个根为x 1=3，则另一个根为x 2=____, k=____。
19、x 2 +3 x + _______= (x + ______)2
二、解答题
20、解方程（x +3 )2 = 43x
三、解下列应用题
21、某厂1月份生产总产值为50万元，3月份增加到60.5万元，求生产总产值平均每月增
长率是多少？
22，甲、乙两人合作某项工作，4天后甲另有任务，乙再独做6天才完成，若单独做，甲比乙快3天，求甲、乙两人单独完成这项工作各需多少天？
23、已知a、b、c是三角形三边，若方程（c - a）x2 + 2 ( b - a) x- ( a - b) =0,有两个相等的实数根，求证：三角形是等腰三角形。
24.一个两位数等于它的个位上数字与十位上数字与的积的3倍，并且十位上的数比个位上的数小2，求这个两位数。
25.美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，某市城区近几年来通过拆旧房、植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加。
（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2001年底的绿地面积为______公
顷，比2000年底增加了_______公顷，在1990年、2000
年、2001年这三年中绿地面积增加最多的是＿＿＿年。
（2）为满足城市发展的需要，计划2003年底使城区绿地
总面积达到72.6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增
长率。