24.6(2)实数与向量相乘(二)
九年级数学上册246实数与向量相乘教案沪教版五四制
实数与向量相乘教学内容：一、实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。
若是0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =； ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时ka 与a 反方向，若是0k =或0a =，那么0ka =。
二、 实数与向量相乘知足的运算律：设m 、n 为实数，那么（1）实数与向量相乘的结合律：()()m na mn a =；（2）实数与向量相乘关于实数加法的分派律：()m n a ma na +=+； （3）实数与向量相乘关于向量加法的分派律：()m a b ma mb +=+。
3、平行向量定理 若是向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =。
4、单位向量长度为1的向量叫单位向量。
设e 为单位向量，那么1e =。
单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。
关于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a 。
由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a =。
精解名题： 例一、如图，已知非零向量a ，求作：（1）223a a -+； (2) 532a a - −→−a例2、 计算：（1）33()22a a b -+-； （2） 1112()5(2)324a b a b +-+例3、如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC a =， AD b =。
用a 、b 表示以下向量：（1）AB ；（2）CA ；（3）BE ；（4）CF 。
例4、以下语句中，错误的选项是（ ） A ．单位向量与任何向量都平行；B ．已知a 、b 、c 是非零向量，若是a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；C ．已知a 、b 、c 是非零向量，若是2a b c +=，3a b c -=，那么a 与b 是平行向量；D ．关于非零向量a ，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0a ，由实数与向量的乘积，可知015a a =． 例5、如图，在△ABC 中，AB a =，AC b =，延长AB 到点1B ，使15AB AB =，延长AC 到点1C ，使15AC AC =，连接11B C ，求BC 和11B C ，并判定BC 与11B C 是不是平行。
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第2课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第2课时）教学设计一. 教材分析《实数与向量相乘》是沪教版数学九年级上册第24.6节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了实数和向量的基本概念，以及向量的数乘运算的基础上进行学习的。
实数与向量相乘是向量运算中的一个重要部分，它不仅加深了学生对向量运算的理解，也为后续学习向量的线性组合以及向量空间等高级内容打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于实数和向量的基本概念有一定的了解。
但是，对于实数与向量相乘的理解可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师通过生动的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握这一概念。
三. 教学目标1.让学生理解实数与向量相乘的概念和运算规则。
2.培养学生运用实数与向量相乘解决实际问题的能力。
3.提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
四. 教学重难点1.实数与向量相乘的概念。
2.实数与向量相乘的运算规则。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
通过生动具体的例子，引导学生思考和探索实数与向量相乘的概念和运算规则，通过小组合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例。
2.准备教学PPT和板书设计。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出实数与向量相乘的概念。
例如，在平面直角坐标系中，给定一个向量和一个实数，如何通过平移的方式得到一个新的向量。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示实数与向量相乘的定义和运算规则，同时给出相关的实例，让学生直观地理解和感受实数与向量相乘的概念。
3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，练习实数与向量相乘的运算，教师在这个过程中，及时给予指导和反馈，帮助学生理解和掌握实数与向量相乘的规则。
4.巩固（5分钟）通过一些选择题和填空题，让学生巩固实数与向量相乘的概念和运算规则。
5.拓展（5分钟）让学生思考和探索实数与向量相乘的应用，例如，在物理中，实数与向量相乘可以表示力的大小和方向，引导学生将数学知识应用到实际问题中。
上海初中数学九年级---24.6(2)实数与向量相乘
24.6 实数与向量相乘（2）一、填空题：1. 若a →与b →方向相同，那么a →＋b →的方向和它们的方向__________．2. m ，n 是非零实数，a →是非零向量，则m (n a →)＝__________，(m ＋n )a →＝__________， m (a →＋b →)＝________.3. 化简：3(a →－b →)－2(a →＋b →)＝__________.4. AB →－AC →＝__________，AB →＋BC →＋CD →＝__________.5. 已知AB →＝－4a →＋3b →，BC →＝3a →－2b →，OC →与AC →反向，且||OC →＝34||AC →，用a →、b →表示OC →，则OC →＝__________.6. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的三等分点，设AB →＝a →，AD →＝b →，若用a →、b →表示AF →、BE →，则AF →＝__________，BE →＝__________.(第6题图)二、 选择题:7. 已知a →＝2m n -u r r ，b →＝1136n m -r u r ，那么2a →＋3b →等于( ) A.236m n -u r r B. 236m u r C.72m n -u r r D. 72m u r 8. 下列命题(1)若a b =r r ，则a →＝b →； (2)若a →、b →为两个非零向量，则+a b r r ≥a b -r r ； (3)若a →、b →为两个非零向量，则+a b r r <a b -r r ； (4)若a →、b →为两个不平行的非零向量， 则a b +r r >+a b r r 中，真命题的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、 简答题：9．已知不平行的两个向量a →、b →，求作向量:(1)－2(a →－b →) (2)－12a →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a →－34b → ＋b →10. 化简: （1） 5（a r -2b r ） （2）（a r -2b r ）-12a r（3）（a r +2b r -c r ）-（2a r -3c r ）(4) 23(2a →＋3b →－c r )＋34(2a →＋4b →＋3c r )－45b →.11. 已知向量a →、b →、x r 满足关系：23a →＋12(4b →－x r )＝0r ，请用a →、b →表示向量x r .12. 如图，已知：点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ∶BD ＝1∶2，AB →＝a →，AC →＝b →，用a →、b →表示CB →，DE →.24.6 实数与向量相乘（2）1. 相同2. (mn )a →；ma →＋na →；ma →＋mb →3. a →－5b →4. CB →，AD →5. 34a →－34b →6. 23(a →＋b →)；13b →－23a → 7. C 8. A 9. 略 10.（1）510ab -r r ；(2)122a b -r r ；(3)22a bc -++r r r ；(4)1721196512a b c ++r r r 11. x →＝43a →＋4b → 12. CB →＝a →－b →，DE →＝－13a →＋13b →。
24.6(1)实数与向量相乘(一)
（5）向量模： 向量的长度。
模可以比较大小但向量不可以
课前复习:
1.向量的加法运算
三角形法则
AB+BC= AC
A B
C
平行四边形法则
B C
OA+OB= OC
O A
首尾相接首尾连
课前复习:
多边形法则
E
F
D
AB + BC+ CD+ DE+ EF
C
A
= AF
九年级第一学期数学
24.6（1）实数与向量相乘
课前复习:
向量定义： 既有大小 又有方向 的量叫向量。
向量的表示：
几何表示： 有向线段
字母表示： a 、 AB 等
课前复习:
重要概念：
（1）零向量： 长度为0的向量，记作0.
（2）平行向量：方向相同或相反的向量.
（3）相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
ka 与a同方向； 3. ka 的方向：1)当k＞0时，
2)当k＜0时， ka 与a反方向；
ka ＝0. 3)若K＝0或a＝0，则：
1.如图：设A,B为两定点，且PA=mAB (m为实数）， O为直线外一点，若OA=a,OB=b,试用a，b表示OP． A B P
OP OA AP
解:
CF CA AF 1 1 1 a m (m a ) 2 2 2 1 3 m a 2 4
B A
F
E G
D
C
1.实数与向量相乘的意义及表示法；
2.若 k≠O，且a ≠O,则：ka的长度为： ka k a .
沪教版(上海)九年级上册数学 24.6 实数与向量相乘 课件(共17张ppt)
(2) a≠0
当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0 或a=0时, λa=0
λa中实数的λ,叫做向量a 的系数
λa
a a 数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反 方向放大或缩短.若a 0,当 1时，沿 a的方 a 向放大了 倍.当〈 0 〈1时沿， 的方向缩短了 倍. a 当 1时,沿 的反方向放大了 倍.当 〈1 〈0时， a沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出
导入新课
a
3a = a +
a
+
a
A
B
C
D
a
-
3a
＝(-
a
)
+ (-
a
) + (-
a)
A
B
C
D
? 相同向量相加后,和的长度与方向有什么变化
a
aaa
-a -a -a O
A 3a B
C
N
M
Q
P
-3a
一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，
它的长度和方向规定如下：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
a、b,
、1、2，
对于任意的向量
以及任意实数
恒有
(1a 2b)=1a 2b
基础知识反馈
(1).设 a 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是
( B).
A. a与 a的方向相反 C. a a
B. a与2 a的方向相同 D. a a
(2).下列四个说法正确的个数有( C ).
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第1课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第1课时）教学设计一. 教材分析沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》是本册教材中的一个重要内容，主要让学生了解实数与向量相乘的定义和性质。
本节课的内容对于学生来说是比较抽象的，需要通过具体实例和实际操作来理解和掌握。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生逐步掌握实数与向量相乘的方法和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的实数和向量的基础知识，对于实数与向量的乘法有一定的了解。
但是，对于实数与向量相乘的定义和性质，以及其在实际问题中的应用，还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，需要注重学生的实际操作和思考，通过具体的实例和问题，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。
三. 教学目标1.了解实数与向量相乘的定义和性质。
2.能够运用实数与向量相乘的方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.实数与向量相乘的定义和性质。
2.实数与向量相乘的方法和应用。
五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的实例，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。
2.问题驱动法：通过提出实际问题，引导学生运用实数与向量相乘的方法解决问题。
3.小组合作法：通过小组合作讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材和教学参考书。
2.教学PPT或者黑板。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如一个人在平面上向右移动3个单位，向上移动2个单位，引导学生思考如何用数学语言来描述这个人的移动。
2.呈现（15分钟）介绍实数与向量相乘的定义和性质，通过具体的实例来解释和展示实数与向量相乘的方法。
3.操练（15分钟）让学生分组进行实际操作，利用实数与向量相乘的方法解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，检验学生对实数与向量相乘的理解和掌握程度。
实数与向量相乘及向量的线性运算(基础) 知识讲解
实数与向量相乘及向量的线性运算（基础） 知识讲解【学习目标】1．理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律；2. 对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量； 3．认识两个平行向量的代数表达形式；4. 在向量的线性运算和平行向量定理的学习与应用中体会代数与几何的联系. 【要点梳理】要点一、实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的意义：一般地，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n表示n 个a 相加；用an -表示n 个-相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与同向且长度为a mn的向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；-P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反.2．向量数乘的定义一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向；（2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘.要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（4）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3. 实数与向量的相乘的运算律： 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b ）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 要点二、平行向量定理1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a=.2.平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =. 要点诠释： （1）定理中，b m a=，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =. （5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB//BC ⇔若存在实数λ，使 AB BC λ=. 要点三、向量的线性运算 1．向量的线性运算定义：向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．向量的分解：平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. 要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底. 一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e 相互垂直时，就称为向量的正分解.(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同． 3．用向量方法解决平面几何问题： （1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．（2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 【典型例题】类型一、实数与向量相乘1. 已知非零向量a，求作,a 3,a 25- 并指出它们的长度和方向. 【答案与解析】解：如下图， (1)在平面内任取一点O ，作OA a =； (2)在射线OA 上，取5OB OA 2=，则5OB a 2=；a 25的长度是5a 2且与a 同向.(3)在射线OA 的反向延长线上，取OC =，则OC 3a =-a 且与a 反向.【总结升华】向量既有大小又有方向，作实数与向量相乘的积向量时两方面都要考虑. 举一反三：【变式】已知单位向量e ，若向量a 与e 的方向相同，且长度为4，则向量a = （用e 表示）.【答案】4e2. 已知平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，EG 与FH 相交于点O.设AD a =，BA b =，请用向量a 或b 表示向量,OE OF ，并写出图中与向量OE 相等的量.【答案与解析】解：11OE FA BA b 22===；11OF EA AD a 22==-=-与OE 相等的向量有：BF ，FA ，GO ，CH ，HD【总结升华】用已知向量表示未知向量，既要看未知向量与已知向量之间的大小关系又要看方向关系.类型二、向量的线性运算3．（1）3(a -b )-2(a +2b )； （2）2(2a +6b -3c )-3(-3a +4b -2c )【答案与解析】解：（1）原式＝（3a -3b )+（－2）a +（－2）2b ＝ 3a -3b －2a －4b ＝a -7b（2）原式＝2(2a )+2（6b ）-2（3c ）+（-3）(-3a )+（-3）)（4b ）+（-3）(-2c )＝（4a +12b -6c )+9a -12b +6c ＝（4+9）a +（12-12）b +（-6+6）c ＝13a【总结升华】向量的线性运算与多项式的运算相类似. 举一反三：【变式】计算：（1）(3)4a -⨯； （2）3()2()a b a b a +---； 【答案】解：（1）原式=12a -； （2）原式=5b ．4．已知向量a 和向量b ，求作向量a -2b .【答案与解析】解：如图，在平面内任取一点O ，作OA a =，2OB b =，则2BA OA OB a b =-=-即BA 即为所求.【总结升华】解题的关键是向量加法，减法及数乘运算法则，掌握数形结合思想的应用. 举一反三：【变式】已知向量a 表示“向东航行1km ”，向量b 表示“向南航行1km ”，则向量a+b 表（ ）.A ．向东南航行2km C ．向东北航行2km D ．向东北航行2km 【答案】A5.如图，点M 是△ABC 的边AB 的中点.设CA a =，CB b =，试用a b、的线性组合表示向量CM .【答案与解析】解：∵ M 是线段AB 的中点， ∴12AM AB =,得12AM AB =. 又∵AB b a =-∴111()222CM CA AM a b a a b =+=+-=+【总结升华】若点M 是△ABC 的边AB 的中点，则1122CM CA CB =+，应熟练记忆并灵活运用.举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，点G 是△ABC 的重心，设AB a =，AC b = 则向量AG ＝ （用a ，b 表示）．【答案】1()3a b +【答案与解析】解：∵AD 是△ABC 中BC 边上的中线，点G 是△ABC 的重心， AB=a ，AC=b ， ∴1()2AD a b =+，而2211()()3323AG AG a b a b ==⨯+=+ ．类型三、平面向量定理的应用6. 如果2,3a b c a b c +=-=，其中c 是非零向量，求证：//a b【答案与解析】证法一：由2,3a b c a b c +=-=，可得：3()2()a b a b +=-， 化简得：5a b =- 由平面向量定理得：//a b证法二：把已知的向量关系式看作关于,a b 的方程，得向量组：23a b ca b c⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 解得: 51,22a cbc ==-由平行向量定理得：//,//a c b c 所以//a b【总结升华】已知条件是两个向量的关系式，其中有三个向量.为判断a 与 b 是否平行，一种思路是利用已知两个向量的关系式，消去c ，找到a 与 b 之间的关系式；另一种思路是把这两个向量的关系式看作关于a 、b 的向量方程，通过解由它们组成的向量方程组，可将这两个向量用c 表示出来.7.如图，已知向量,OA OB 和,p q ，求作：（1）向量p 分别在,OA OB 方向上的分向量； （2）向量q 分别在,OA OB 方向上的分向量.【答案与解析】解：(1)如图1，作向量OP p =；再过点P 分别作//PE OA ,//PD OB ,E 为直线PE 与直线OB 的交点，D 为直线PD 与直线OA 的交点，作向量,OD OE , 则,OD OE 是向量p 分别在,OA OB 方向上的分向量.(2) 如图2，作向量OQ q =；再过点Q 分别作//QF OA ,//QG OB ,F 为直线QF 与直线OB 的交点，G 为直线QG 与直线OA 的交点，作向量,OG OF , 则,OG OF 是向量q 分别在,OA OB 方向上的分向量.【总结升华】这种分解与向量加、减法及数乘运算紧密联系，实际上是这些运算的综合应用. 类型四、综合应用8.如图，已知点A 、B 、C 在射线OM 上，点A 1、B 1、C 1在射线ON 上，111OB OB k OA OA ==，121OC OC k OA OA ==.设OA a =，1OA b =. （1） 分别求向量111AA BB CC 、、关于a 、b 的分解式；（2） 判断向量111AA BB CC 、、是否平行，再指出直线111AA BB CC 、、的位置关系. 【答案与解析】 解：（1）111OB OB k OA OA ==，121OC OC k OA OA ==. 设OA a =，1OA b =可得：12,OB k a OC k a ==，1112,OB k b OC k b == 由向量减法的三角形法则可得：11AA OA OA b a =-=-，11111()BB OB OB k b k a k b a =-=-=-； 11222()CC OC OC k b k a k b a =-=-=-(2)由（1）得：111BB k AA =, 121CC k AA = 由平行向量基本定理得： 11//BB AA ,11//CC AA , 所以 111////BB AA CC ，又它们所在的直线不共线， 所以直线111AA BB CC 、、相互平行. 【总结升华】若证直线AA 1与BB 1平行，需证向量1AA 与1BB 平行且没有公共点；若证A 、A 1 、B 、B 1四点共线，需证向量1AA 与1BB 平行且有公共点. 举一反三：【变式】设1e 和2e 是两个不共线的非零向量，若向量1232AB e e =-，1224BC e e =-+ ，1224CD e e =--，试证明：A 、C 、D 三点共线.【答案】证明：12121232(24)2,AC AB BC e e e e e e =+=-+-+=+∴122,CA e e =--又1224,CD e e =-- ∴2,CD CA =∴CD 与CA 共线， ∴A 、C 、D 三点共线.。
24.6 实数与向量相乘
第四节 平面向量的线性运算§24.6实数与向量相乘教学目标(1)理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法；对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量。
(2)知道实数与向量相乘的运算律，会根据运算律对向量算式进行计算、化简。
(3)知道平行向量定理，会用向量关系式表示两个向量的平行关系；知道单位向量的意义，知道一个非零向量与同方向的单位向量之间的联系。
(4)在从数的运算到向量的运算的认识过程中体会类比的思想；在实数与向量相乘和平行向量定理的学习中体会代数与几何的联系。
教学重点引进实数与向量相乘的运算，使学生掌握实数与向量相乘的表示方法和画图方法。
引进实数与向量相乘的运算律，并用于化简关于向量的算式。
引进平行向量定理和单位向量，并让学生了解利用向量关系式判断两个向量平行的方法。
知识精要1.实数与向量相乘的意义：一般地，设n 为正整数，a 为向量，那么我们用na 表示n 个a 相加；用na -表示n 个a -相加。
又当m 为正整数时，n a m 表示与a 同向且长度为na m的向量。
2.实数与向量相乘的运算规定：设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。
如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向。
如果0k =或0a ≠，那么0ka =。
根据实数与向量相乘的意义，可知//ka a 。
ka 实际上将a 的长度进行放缩，方向与a 相同或相反。
ka 表示实数k 与a 相乘的运算，规定应把实数写在向量的前面并省略乘号；注意不要将表示向量的箭头写在数字上面。
3.同向的两个向量相加，和向量的方向取同向，长度取和；反向的两个向量相加，和向量的方向同较长向量，长度取差正；相反向量的和向量为零向量。
4.一般地，如果m n 、是非零实数，a 是非零向量，那么 ()m n a ma na +=+。
实数与向量的乘积
实数与向量的应用
实数与向量的乘积在物理、工程 等领域有着广泛的应用，如力的 合成与分解、速度的计算等。
03
实数与向量的乘积运算
乘积的运算规则
结合律
对于任意实数λ、μ和向量a，有λ(μa) = (λμ)a。
分配律
对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ + μ)a = λa + μa，λ(a + b) = λa + λb。
来得到。
在工程中的应用
结构力学
在工程学中，实数与向量的乘积被广泛应用 于结构力学。例如，桥梁或建筑物的结构分 析需要考虑各种力的作用，这些力可以用向 量表示，并通过实数与向量的乘积进行计算 和分析。
电气工程
在电气工程中，电流、电压和电场强度等物 理量都是向量。实数与向量的乘积可以用来 计算电路中的功率、能量等参数。
03
代数性质
实数与向量的乘积满足一系列代数性 质，如结合律、分配律等，这些性质 使得向量运算更加灵活和方便。
对未来研究的展望
拓展应用领域
实数与向量的乘积作为一种基础的数学工具，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。未来可以进一步探 索其在其他领域的应用，如机器学习、数据分析等。
高维向量空间的研究
目前对实数与向量的乘积的研究主要集中在二维和三维向量空间。未来可以拓展到更高维度的向量空间，研究高维空 间中实数与向量的乘积的性质和应用。
与其他数学概念的结合
实数与向量的乘积可以与其他数学概念相结合，如矩阵、张量等，产生更丰富的数学结构和性质。未来 可以探索这些结合所带来的新的数学理论和应用。
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九年级数学上册246实数与向量相乘教案沪教版五四制
实数与向量相乘教学内容：1、实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。
如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时ka 与a 反方向，如果0k =或0a =，那么0ka =。
2、 实数与向量相乘满足的运算律：设m 、n 为实数，则（1）实数与向量相乘的结合律：()()m na mn a =；（2）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：()m n a ma na +=+；（3）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：()m a b ma mb +=+。
3、平行向量定理如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =。
4、单位向量长度为1的向量叫单位向量。
设e 为单位向量，则1e =。
单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。
对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a 。
由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a =。
精解名题：例1、如图，已知非零向量a ，求作：（1）223a a -+； (2) 532a a - −→−a例2、 计算：（1）33()22a a b -+-； （2） 1112()5(2)324a b a b +-+（3）(3)2(3)a b c a b c +--+- （4）3(22)(32)a b c a b ----例3、如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC a =， AD b =。
用a 、b 表示下列向量：（1）AB ；（2）CA ；（3）BE ；（4）CF 。
例4、下列语句中，错误的是（ ）A ．单位向量与任何向量都平行；B ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；C ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果2a b c +=，3a b c -=，那么a 与b 是平行向量；D ．对于非零向量a ，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0a ，由实数与向量的乘积，可知015a a =． 例5、如图，在△ABC 中，AB a =，ACb =，延长AB 到点1B ，使15AB AB =，延长AC 到点1C ，使15AC AC =，连接11B C ，求BC 和11B C ，并判断BC 与11B C 是否平行。
课题：24.6实数与向量相乘
设计者：向化中学顾国章
一、教学目标：
1、通过类比几个相同的数连加的运算，认识整数与向量相乘的规定的合理性，理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法，对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出他们相乘所得的向量。
2、领悟类比的思想，增强概括能力。
二、教学重点、难点：
实数与向量相乘的几何意义。
三、教学内容分析：
在学生已经学习向量的有关概念和加、减运算的基础上，本节通过将“几个相同向量连加”与“几个相同数的连加”类比，引入了正整数与向量相乘的运算，然后说明了整数与向量相乘的意义。
四、教学过程:。
2019年201X学年高一数学《向量与实数相乘》知识点巩固-实用word文档 (4页)
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实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义??表示n个一般的，设n为正整数，为向量，我们用na表示n个相加;用?na?相加.又当m为正整数时，要点诠释：设P为一个正数，Pa就是将a的长度进行放缩，而方向保持不变;—Pa也就是将a的长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义如下：n?n?a表示与同向且长度为a的向量. mm??一般地，实数k与向量a的相乘所得的积是一个向量，记作ka，它的长度与方向规定?(1)如果k?0,且a?0时，则：???①ka的长度：|ka|?|k||a|;?????②ka的方向：当k?0时，ka与a同方向;当k?0时，ka与a反方向; ?????(2)如果k?0,或a=0时，则：ka?0，ka的方向任意.实数k与向量a相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：(1)向量数乘结果是一个与已知向量平行(或共线)的向量; (2)实数与向量不能进行加减运算;示向量的箭头写在数字上面;(4)向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则：?(3)ka表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表??(1)m(na)?(mn)a(结合律);???(2)(m?n)a?ma?na(向量的数乘对于实数加法的分配律);????)=ma?mb (向量的数乘对于向量加法的分配律) (3)m(a+b4.平行向量定理(1)单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：????????????1?任意非零向量a与它同方向的单位向量a0的关系：a?aa0，a0?a.a????(2)平行向量定理：如果向量b与非零向量a平行，那么存在唯一的实数m，使b?ma.要点诠释：。
实数与向量相乘
实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n 表示n 个a 相加；用a n -表示n 个a -相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与a 同向且长度为a mn 的向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；—P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向； （2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（3）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3）m （+b ）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a=.（2）平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =.要点诠释： （1）定理中，b m a=，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =. （5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB//BC ⇔若存在实数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. 要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e 相互垂直时，就称为向量的正分解.每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。
26 实数与向量相乘
24．6实数与向量相乘1．教学目标（1）通过类比几个相同的数连加的运算，认识整数与向量相乘的规定的合理性；理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法；对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量。
（2）知道实数与向量相乘的运算律，会依据运算律对向量算式进行计算、化简。
（3）知道平行向量定理，会用向量关系式表示两个向量的平行关系；知道单位向量的意义，知道一个非零向量与同方向的单位向量之间的联系。
2．教材分析及教学建议本节的主要内容是实数与向量相乘的定义、运算律及其初步运用。
内容的展开，以问题、例题为载体，从特殊到一般、从具体到抽象，注重基本知识的归纳和形成。
在学生已经学习向量的有关概念和加、减运算的基础上，本节通过将“几个相同的向量连加”与“几个相同的数连加”类比，引进了正整数与向量相乘的运算，然后说明了整数与向量相乘的含义，再给出实数与向量相乘的定义。
联想向量的加法和实数的乘法都有它们的运算律，接着就对实数与向量相乘的运算律进行探讨，通过例题讨论，归纳得到实数与向量相乘满足实数与向量相乘的交换律、对于实数加法的分配律、对于向量加法的分配律，从而建立了实数与向量相乘的运算结构。
根据实数与向量相乘的意义，可知实数与向量相乘的积是平行于已知向量的一个向量；于是考虑：如果两个非零向量是平行向量，那么其中一个向量能否用某一实数与另一个向量相乘来表示？利用具体图形，通过具体问题讨论，得到了平行向量定理。
这样，“两个向量平行”与“实数与向量相乘”就可以相互表示，为今后向量工具解决几何问题提供了一个思考依据。
在实数集中，0和1是两个特殊的数。
在平面向量中，已经规定了零向量（0），现在再引进单位向量（e），是建立向量代数结构的需要。
（通常，这类集合中含零元和单位元。
）在教学中，要注意以下几点：（1）关于实数与向量相乘的运算的引进，课本中是从数的乘法切入，引导学生进行类比联想和归纳，形成认知基础，然后给出实数与向量相乘的定义，这是一条代数的思路，可能比较容易纳入学生已有的知识结构。
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3. 在⊿ABC中，D,E,F分别为AB,BC,CA的中点， G为重心，求证：GD+GE+GF=0. A ， 解:设 AB a， BC b CA c 1 F D AE AB BE a + b G 2 1 C BF BC CF b 2 c B E 1 CD CA AD c a 1 1 2 GD GE GF ( AE BF CD) (a b c) 0 3 2
1 解: AB AD DB m a 2 1 CA CD DA a m 2
BE BA AE 1 1 1 m a ( a m) 2 2 2 1 3 m a 2 4
ab
O
a
a
a
B
b
b b
b
ab ab
A
2 a b
与
2a 2b
C –b –b –a D
相等吗? 作图说明
a
–a O a
b
OC 2(a b) OC 2a 2b 2(a b) 2a 2b
M N
F A
1.实数与向量相乘对于实数加法的分配律；
2.实数与向量相乘对于实数加法的结合律 3.含向量加法，减法，数与向量相乘等运算 与多项式的运算的异同点；
练习. 如图：已知△ABC，AD、BE、CF是中线，
且BC = a，AD = m，用a、m表示下列向 量．（1）AB；（2）CA；（3）BE；（4）CF.
4.已知四边形ABCD是等腰梯形 ，E,F分别是两腰 BC,AD的中点,M,N是线段EF上的两个点,且EM=MN=NF, 下底AB长是上底CD长的2倍，设AB=a ，BC=b ， 3 1 C D 求：AM． a b 4 2
AM AB BE EM E AB a B 1 BE b 2 1 1 1 1 1 EM EF [ ( a a )] a 3 3 2 2 4
2.O为△ABC内一点，点D,E分别在边AB和AC上，且 AD 1 AE 1 , , 若OB=a,OC=b,试用a，b表示向 AB 4 EC 3 A 量DE. AD 1 AE 1 AD AE ， ， = D E AB 4 EC 3 AB AC ∴DE∥BC DE AD 1 1 O = 即DE BC BC AB 4 4 B 1 1 1 C BC OC OB b a DE BC b a 又 DE与BC方向相同 4 4 4
实数与向量相乘对于实数加法满足分配律 设非零实数m、n，向量a ≠0 （m+n)a=ma+na
例3. 如图：已知非零向量a,b,
等式3(a+b)=3a+3b成立吗？试作图验证所得的结论；
a b
OA 3(a b) OA 3a 3b 3(a b) 3a 3b
1 例1.已知非零向量 a，求作：2a+ a； 2 5 a a 2 1
A a
a
1 a 2
B
AB 2a a 2
5 例2.已知非零向量 a，求作：2a- a； 2 1 a 2 5
D C
a
2a a (2 ) a a 2 2 2 5 5 1 2a a (2 ) a a 2 2 2
F A
E
G
B
D
C
例4. 如图：已知△ABC，AD、BE、CF是中线，
且BC = a，AD = m，用a、m表示下列向 量．（1）AB；（2）CA；（3）BE；（4）CF. 解:
CF CA AF 1 1 1 a m (m a ) 2 2 2 1 3 m a 2 4
ab
b A
3(a b) 3a 3b 2(a b) 2a 2b
实数与向量相乘对于向量加法满足分配律 设非零实数k， 非零向量a、b k(a+b)=ka+kb
实数与向量相乘的结合律：对于任意非零实数 m,n和非零向量a， 总有：m(na)=(mn)a． a 2(3a)与 6a相等？
B A
F
E
G
D
C
–a –a –a –a a –a a –a a
–3a
–3a
2(3a)= 6a
设m,n为实数，则：
1)m(na)=(mn)a;
2)(m+n)a=ma+na;
3)m(a+b)=ma+mb.
1.计算：
(1)
(2)
(3)
(4) (5)
3a+15b 3( + 5b ) a 3 5 3 3 a- b a+ (a b ) 2 2 2 2 ( 5) ( ) 4a - 20a 7( a b ) 4(a b ) 3a 6a 11b 5( a b c) 2(a b c) 3c 3a 3b
九年级第一学期数学
24.6（2）实数与向量相乘
a 设k是一个实数，是向量，那么k与 a 相乘所得的积 向量 是一个 ，记作 ： ka k a 的长度 k a = k a 当a≠0 k k＞0时， a 与 a 同方向； k＜0时，k a 与 a 反方向；
若k＝0 或 a ＝0，则 k a＝ 0 ka a