等积变形例题
小学五年级 等积变形
第五讲等积变形答案方法与技巧：（1）等底等高的两个三角形面积相等。
（2）两个三角形如果有相等的底（或高），且其中一个三角形的高（或底）是另一个三角形高（或底）的若干倍，那么，这个三角形的面积是另一个三角形面积的若干倍。
【例1】如下图所示，四边形ABCD是直角梯形，两条对角线把梯形分为4个三角形，已知其中两个三角形的面积为4平方厘米和8平方厘米，求直角梯形ABCD的面积。
（18）【练习1】如图所示，三角形ABO的面积为9平方厘米，线段BO的长度是OD的3倍，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？（48）【例2】如图所示，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D点，把它的另一条边AC延长2倍到点E，得到一个较大的三角形ADE，三角形ADE面积是三角形ABC面积的多少倍？（6）【练习2】如图所示，AE=3AB，BD=2BC，△DEC的面积是△ABC面积的倍。
（4）【例3】已知三角形ABC面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍，则阴影部分的面积是多少平方厘米？（14）【例4】如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ADM与三角形BCN的面积和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是多少平方厘米？（1.8）【例5】如图所示，点M、N、P、Q分别在平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，且PE//GM//CB，HN//QF//AB。
若平行四边形ABCD的面积为600平方厘米、阴影部分的面积为80平方厘米。
请问四边形MNPQ的面积为多少平方厘米？（340）【例6】如图所示，在正方形ABCD的BC边上取一动点E，以DE为边作矩形DEFG，且FG边通过点A。
在点E从点B移动到点C过程中，矩形DEFG的面积（）（E）（A）一直变大。
（B）一直变小。
（C）先变小后变大。
（D）先变大后变小。
（E）保持不变。
【练习1】如左下图，△ABC中，D、E分别为边BC、AB的中点。
若图中阴影部分面积为1，则△ABC的面积为多少？（4）【练习2】如右上图所示，图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（24）【练习3】如图，六角形的6个顶点恰好是一个正六边形的6个顶点。
小学五年级数学思维专题训练—等积变形(含答案解析)
小学五年级数学思维专题训练—等积变形例1.长方形ABCD的面积是40平方厘米，E、F、G、H分别为AD、AH、DH、BC的中点，三角形EFG的面积是平方厘米例 2.梯形ABCD中，AE与DC平行，S ABE∆=15，S BCF∆= .例3。
如下图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD= 15.四边EFGO 的面积为。
例4.如下图所示，在平行四边形ABCD中，已知三角形ABP.BPC的面积分别是73、100，求三角形BPD的面积．例5.如下图所示，BD是平行四边形ABCD的对角线，EF平行于BD，如果三角形ABE的面积是12平方厘米，那么三角形AFD的面积是平方厘米。
例6.如下图所示，已知AE=EC，CD=DB，S ABC =60，求四边形FDCE的面积．例7.如右图所示，正方形ABC D和正方形ECGF并排放置，BF与CD相交于点H,已知AB=6厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．例8.如下图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，EG与FH交于点O,S1、S2、S3及S4分别表示4个小四边形的面积．试比较S1+S3与S2+S4的大小．例9.将长15厘米、宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连结，如右图所示，则阴影部分的面积是 平方厘米．例10.右图所示ABCD 是个直角梯形（∠DAB=∠ABC= 900），以 ， AD 为一边向外作长方形ADEF ，其面积为6.36平方厘米，连接BE 交AD 于P ，再连接PC ．则图中阴影部分的面积是 平方厘米。
A.6.36B.3.18C.2.12D.1.59例11.如下图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 。
A ．21B ．32C ．52D ．125例12.如下图所示，矩形ABCD 的面积是24平方厘米，三角形ADM 与三角形BCN 的面积之和是7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．例13.一个矩形分成4个不同的三角形（如下图），绿色三角形面积占矩形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？例14.如下图所示，正方形每条边上的三个点（端点除外）都是这条边的四等分点，则阴影部分的面积是正方形面积的。
等积变形例题
解 在直角三角形CDH和直角三角形EKD 中，CD=DE 又∵∠EDK=180°-∠CDH-90° ∠DCH=180°-∠CDH-90° ∴ DCH与 EDK完全相等。 而ABCD是等腰梯形
K A
E
故CH=(BC-AD) ÷2 =(35-23) ÷2
23
D F
=6(厘米) ∴DK=CH=6厘米
B
35
求绿色四边形的面积。 解 连BF，则四边形BCDF为梯形。 4 6 6 ∵S黄÷S红=6÷4=1.5 ∴S白÷S红=1.5×1.5=2.25 ∴S白=S红×2.25=4 ×2.25=9（平方厘米） ∴S绿=S白+S黄－S红 =9+6－4=11（平方厘米） 答：绿色四边形ABEF的面积为11平方厘米。
Ｓ ＫＧＥ=Ｓ Ｃ Ｄ Ｓ ＤＧＥ=Ｓ Ｆ Ｇ Ｐ 所以 阴影部分面积＝ Ｈ Ａ Ｂ 解：１４÷４＝３.５（厘米） 正方形ＢＥＦＧ的周长＝１４厘米， Ｅ Ｋ
ＦＧＥ ＢＧＥ
正方形ＢＥＦＧ的面积
３.５×３.５＝１２.２５（平方厘米） 求阴影部分面积。 答：图中阴影部分面积是 １２.２５平方厘米。
分析与解： 分析与解：
答：丙、丁两个三角形面 积之和是甲、乙两个三角 形面积之和的1.25倍。
分析与解：
等积变形
例5
G
F
∵∠DAB=∠GAE=90° ∴ ∠GAD+ ∠EAB =360°-90 °×2 =180°
D
A C
E
∴三角形BAE绕A点顺时针旋转， 使AB与AD重合，这时，点E落 在点H，且G,A,H在一条直线上。 ∵AG=AE=AH，三角形DAH与 三角形DAG等底同高， ∴S DAH=S DAG 答：内圈三角形石板的总面积 与外圈石板的总面积一样大。
等积变形的应用——两道赛题的解法
等积变形的应用——两道赛题的解法赛题一：给定一个三角形ABC，给定它的边长a，b，c，要求把它变形成一个等腰直角三角形，且其新的三边为x，x，y。
解题思路：由等积变形定理可知，三角形ABC与新三角形ABC满足：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{x}{\sin A'} = \frac{x}{\sin B'} = \frac{y}{\sin C'}$$解出新的三角形边长x，y的差分方程为：$$a\cdot\sin A = x\cdot\sin B = x\cdot\sin C = y\cdot\sinA'$$解得：$$x = \frac{a \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{a \cdot \sinA}{\sin C}$$$$y = \frac{a \cdot \sin A}{\sin A'}$$赛题二：给定一个三角形ABC，给定它的边长a，b，c，要求把它变形成一个三角形，且其新的三边为x，y，z。
解题思路：由等积变形定理可知，三角形ABC与新三角形ABC满足：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{x}{\sin A'} = \frac{y}{\sin B'} = \frac{z}{\sin C'}$$解出新的三角形边长x，y，z的差分方程为：$$a\cdot\sin A = x\cdot\sin A' = y\cdot\sin B' = z\cdot\sin C'$$解得：$$x = \frac{a \cdot \sin A}{\sin A'}$$$$y = \frac{a \cdot \sin A}{\sin B'}$$$$z = \frac{a \cdot \sin A}{\sin C'}$$。
典例分析(等积变形问题)
等积变形问题【例1】要锻造一个直径为100毫米，高为80毫米的圆柱形毛坯，应截取直径为160毫米的圆钢多长？分析：需要直径为100mm、高为80mm的圆柱，用直径为160mm的圆钢锻造，在锻造过程中，圆柱的直径、高都变了，没有变化的是圆柱的体积．因此本题的相等关系是锻造前的圆柱体积=锻造后的圆柱体积．[解]根据题意，得802x=502×8080x=2500x=31.25答：应截取的圆钢长为31.25毫米．[说明]1．等积类应用题的基本关系式是：变形前的体积=变形后的体积．2．有关圆柱、圆锥、球等体积变换问题中，经常给的条件是直径，而公式中用的是半径，不注意这一点就会犯错误．【例2】有一个底面半径为5cm的圆柱形储油器，油中浸有钢珠，若从中捞出546π克钢珠．问液面将下降多少厘米？(1cm3钢珠重7.8克) [分析]设液面下降xcm，列表：等量关系：液面下降后减少的体积=钢珠的体积[解]设液面下降x厘米，依题意得方程两边同除以π，得70=25xx=2.8答：圆柱形储油器内液面下降2.8cm．[说明]当方程两边的每一项中都含有圆周率π时，一般采用在等号两边同除以π将方程化简的方法，而不用以π的近似数代入计算的苯方法．【例3】一圆柱形水桶，它的高和底面直径都是22厘米，盛满水后把水倒入底面长、宽分别是30厘米和20厘米的长方体容器．问这个长方体容器的高至少要多少厘米？(π取3.14，结果精确到0.1)．[分析]本题是等积问题，其等量关系：圆柱的体积=长方体的体积．这类问题也可用列表来分析前后变化的体积关系．[解]设这个长方体容器的高至少要x厘米．依题意，得答：这个长方体容器的高至少要13.9厘米．【例4】现有一条直径为12cm的圆柱形铅柱，若铸造12只直径为12cm的铅球，问应截取多长的铅柱？(损耗不计)[分析]此类题是等积变形问题．解等积变形的应用题．一般利用几何变形前后的体积相等的等量关系来列出方程．如果设变形前的圆柱形铅柱长为xcm，则可依据如下的等量关系列出方程：变形前的xcm长的圆柱形的体积=变形后12个直径为12cm的球的体积．[解]设应截取的圆柱形铅柱长为xcm，由题意列方程：答：应截取的铅圆柱长为96cm．[说明]半径为R的球的体积公式是：【例5】要铸造一个零件毛坯，其上部是底面直径为6cm，高是2cm 的圆锥体；下部是直径和高度都是6cm的圆柱体．问需要熔解多长截面边长为4cm的正方形钢锭？(精确到1cm)[分析]这个问题涉及到三个几何体，成品中的圆锥体、圆柱体和原料中的长方体．解题的关键是正确表示出三个几何体的体积．等量关系是：组合体的体积=长方体的体积．[解]设需要该种钢锭xcm，那么钢锭的体积为：42·x；由题意可得：∴x≈12(cm)答：需要该种钢锭12cm．[说明]等体积变形问题往往用到一些体积公式，要注意复习这些公式．底圆半径为r，高为h的。
等积变形练习题
• 9、一个长8分米,宽5分米,高6分米 的玻璃缸内有2分米的水,将一个石 块放入水中,水面上升到2.5分米,这 个石块的体积有多大?
• 10、一个长方体玻璃缸,底面是2分 米的正方形,向容器内倒入5.4升水, 再把一个梨子放入水中,量得水深 1.5分米,这个梨子的体积有多大?
• 11、一个长方体玻璃缸，底面积是 200平方厘米，高是8厘米，里面 盛有4厘米深的水，现在将一块石 头放入水中，水面升高2厘米。这 块石头的体积是多少立方厘米？
• 12、一个长方体玻璃容器，从里面 量长和宽都为2分米。向容器中倒 入5.5升水，在把一个苹果浸没在 水中，这时容器内的水深是1.5分 米。这个苹果的体积是多少？
• 13、在一个长25厘米、宽12厘 米、高20厘米的长方体玻璃容 缸中放入一个棱长9厘米的正方 体铁块，然后在玻璃缸中加入 一些水，使铁块完全浸没在水 中。当铁块从水中取出时，玻 璃缸中的水会下降多少厘米？
• 6、两个容器，甲正方体（棱长6分 米），乙长方体（长8分米、宽和 高都是6分米），将甲容器的水装 满倒入乙容器，乙容器水面有多高？
•
• 7、一个货车的车厢是棱长4米,宽 2.5米,高1.5米的长方体,将它装满 石子,铺在一个长20米,宽5米的路 上,能铺多厚?
• 8、一个棱长5分米的玻璃缸 内有水100升,将一个石块投 入缸内,水面上升了1厘米,这 个石块的体积是多少?
一个货车的车厢是棱长4米宽25米高15米的长方体将它装满石子铺在一个长20分米的玻璃缸内有水100升将一个石块投入缸内水面上升了1厘米这个石块的体积是多少
等积变形练习题
1、用一块体积是2000立方厘米的钢块锻造 成一根横截面面积是20平方厘米长方体方
钢，这根长方体方钢长多少?
等积变形题目五年级
等积变形题目五年级等积变形是指图形在形状发生改变的过程中，其面积大小保持不变的一种变形。
例如，一个四边形可以变成正方形、长方形、梯形或不规则的其他几边形，只要其面积大小保持不变，就是等积变形。
1.问题：有一个长方体，它的长、宽、高分别是a、b、c（a＞b＞c），现在进行等积变形，把长方体的长变成d，宽和高保持不变。
请问变形后的长方体与原长方体的体积相比，是变大还是变小？解析：因为等积变形不改变物体的体积，所以原长方体和变形后的长方体的体积是相等的。
2.问题：有一个正方体，边长为a，现在进行等积变形，把正方体的边长变成d，请问变形后的正方体与原正方体的体积相比，是变大还是变小？解析：因为等积变形不改变物体的体积，所以原正方体和变形后的正方体的体积是相等的。
3.问题：有一个三角形，它的底边为a，高为h，现在进行等积变形，把三角形的底边变成d，高保持不变。
请问变形后的三角形与原三角形的面积相比，是变大还是变小？解析：因为等积变形不改变三角形的面积，所以原三角形和变形后的三角形的面积是相等的。
4.问题：有一个正方形，边长为a，现在进行等积变形，把正方形的边长变成d，请问变形后的正方形与原正方形的面积相比，是变大还是变小？解析：因为等积变形不改变正方形的面积，所以原正方形和变形后的正方形的面积是相等的。
5.问题：有一个长方形，长为a，宽为b，现在进行等积变形，把长方形的长变成d，宽保持不变。
请问变形后的长方形与原长方形的面积相比，是变大还是变小？解析：因为等积变形不改变长方形的面积，所以原长方形和变形后的长方形的面积是相等的。
等积变形问题
等积变形问题--一元一次方程的应用题
一知识点
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为:形状面积变了，周长没变；原料体积=成品体积。
二试试身手
1、一块正方形铁皮，四角截去4个一样的小正方形，折成底面边长是50cm的无盖长方体盒子，容积是45000.，求原来正方形铁皮的边长.
2、用直径为4cm的圆钢，锻造一个重0。
62kg的零件毛坯,如果这种钢每立方厘米重7。
8g，应截圆钢多长？
3、把直径6cm，长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢。
求锻造后的圆钢的长。
4、直径为30厘米,高为50厘米的圆柱形瓶里存满了饮料,现把饮料倒入底面直径为10厘米的圆柱形小杯中，刚好倒满20杯，求小杯子的高。
5 现有直径为0。
8米的圆柱形钢坯长30米,可足够锻造直径为0。
4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？
6 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水），向一个由底面积为125＊125mm，内高为81mm的长方体铁盒倒满水时,玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（结果保留整数，π=3。
14)
7 把内径为200mm,高为500mm的圆柱形铁桶，装满水后慢慢地向内径为160mm,高为400mm 的空木桶装满水后，铁桶内水位下降了多少？
8 要锻造一个直径为8cm高为4cm的圆柱形毛坯,至少应截取直径为4cm的圆钢多少cm.。
人教版数学6年级下册 第3单元(圆柱和圆锥)专项训练《等积变形》(含答案)
人教版六年级数学下册第三单元专项训练《等积变形》（含答案）1．把一个圆柱底面平均分成若千个扇形，沿高切开拼成一个近似长方体。
这个长方体的宽是4厘米，高是20厘米，这个圆柱的体积是多少？2．把一个棱长是8分米的正方体铁块熔铸成一个底面直径是10分米的圆柱，这个圆柱的高大约是多少？（得数保留一位小数）3．一个圆柱形水池装满水，它的底面积是12.56平方米，深3米，将水池的水全部倒入一个长8米、宽3米、深2米的长方体水池，长方体的水面高是多少米？4．把一个棱长8分米的正方体木块加工成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少立方分米？5．一个圆柱体，如果把它的高截短2厘米，它的表面积就减少94.2平方厘米，这个圆柱体的体积减少多少立方厘米？6．将一个底面直径是20厘米，高为12厘米的金属圆锥体，全部浸没在直径是20厘米的圆柱形水槽中，水槽水面会升高多少厘米？7．一个圆锥形沙堆，底面积12.56平方米，高1.2米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？8．一个圆锥形沙堆，底面积是24平方米，高是1.8米。
用这堆沙子去填一个长7.5米、宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？9．把一个长、宽、高分别是7厘米、3厘米、9厘米的长方体铁块和一个棱长是5厘米的正方体铁块，熔铸成一个底面直径是10厘米的圆柱，这个圆柱的高是多少？10．机灵狗有一块体积是753.6立方厘米的绿色橡皮泥，它用这块橡皮泥捏成了等底等高的一个圆柱体和一个圆锥体。
则这个圆柱体体积是多少立方分米？11．在底面半径为5厘米、高为18厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径3厘米、高为10厘米的圆锥形铅块，放水将铅块全部淹没。
当铅块取出后，玻璃缸中的水面下降了多少厘米？12．学校的跳远沙池长6.28米，宽2米，学校运来一堆沙子（堆放如图）。
如果把这些沙子均匀地铺在跳远沙池中，可以铺多厚？13．把一个棱长6分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，需要削去多少立方分米的木头？14．把一个长是10厘米，宽和高都是5厘米的长方体铁块和一个棱长是4厘米的正方体铁块，一起熔铸成一个底面周长是314厘米的圆柱。
五年级数学(下)长方体正方体等积变形有关题型专项练习
五年级数学（下）长方体正方体等积变形有关题型专项练习
1）体育场用 37.5 立方米的煤渣铺在一条长100米、宽7.5米的直跑道上。
煤渣可以铺多厚？
2）有一块棱长是80厘米的正方体的铁块，现在要把它溶铸成一个横截面积是20平方厘米的长方体，这个长方体的长是多少厘米？
3）学校运来7.6立方米的沙子，铺在一个宽5米，厚40厘米的沙坑里，可以铺多少米长？
4)一辆货车的车厢是长方体的，长4米，宽2米，高1.8米，里面装满了沙子。
把这些沙子铺到长30米，宽4米的公路上，可以铺多少厘米厚？
5)有一个正方体橡皮泥棱长6厘米。
现在把这块橡皮泥捏成一个长为8 cm，宽为3cm的长方体，这个长方体的高是多少厘米?
6）有一个正方体铝块，棱长是6cm。
如果把它锻造成长为9cm，宽为8cm（锻造过程中的损耗忽略不计）的长方体，长方体的高是多少厘米?
7）学校把 8m的黄沙填入沙坑，已知沙坑长5m，宽36 dm。
如果沙坑中至少需要填 40cm深的黄沙，这些黄沙够用吗?
8）如右图：一个长方体封闭容器长20厘米，宽15厘米，高
35厘米，里面装有25厘米高的水。
如果把这封闭容器如图放
倒，这时容器里面的水高是多少厘米？。
六年级数学等积变形
六年级数学等积变形1，一个盛水的圆柱形水桶,内底面周长为6028分米，当一个长方形的物体投入水中时，水面上升1分米，量得这个长方体的长为3；14分米，宽为1分米，他的高是多少？2,在长为15厘米，宽为12厘米的长方体水箱中，有10厘米深的水，现沉入一个高为10厘米的圆锥形铁块《全部浸入水中》，水面上升了2厘米，求圆锥的底面积?3,甲，乙两个圆柱体容器，底面积比为4:3,甲容器水深7厘米，以容器水深3厘米，再往两容器中各注入同样多的水，直到水深相等，这时水深多少厘米？4，一个棱长为1分米的正方体木块，从这个木块中各出一个最大的圆锥,求这个圆锥的表面积和体积？5，用一张长3米宽1米的长方形铁皮可以做成无底的圆柱形管子，此圆柱形管子的最大面积是多少？6，一个胶水瓶，它的瓶身呈圆柱形《不包括瓶颈》，容积是32；4立方厘米，当瓶子正放时，瓶内胶水深为8厘米，瓶子倒放时，空余部分为2厘米，则瓶内所装水的体积是多少？7；有A；B两个圆柱形容器，最初在容器A里装有2升水，容器B是空的。
现在往两个容器中以每分钟0；4升的流量注入水，4分钟后，两个容器的水面高度相等。
设B的底面半径为5厘米，那么A的底面直径是多少厘米？8；将一个圆柱体木块沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48平方厘米；若将这个圆柱体切成三块小圆柱体，表面积增加50；24平方厘米。
现在把这个圆柱体木块削成一个最大的圆锥体，体积减少多少立方厘米？9；圆钢切削成一个最大的圆锥体，切削掉的部分部分重8千克，这段圆钢重多少㎏？10；棱长是4分米的立方体钢坯切削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？11；一个体积为60立方厘米的圆柱，削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？12；一车箱是长方体，长4米，宽1；5米，高4分米，装满沙，堆成一个高5分米的圆锥，底面积多少㎡13；一个底面周长15；7m高10m的圆柱铁块，熔成一个底面积是25㎡的圆锥，圆锥的高是多少m？14；把一个体积是18㎝³的圆柱削成一个最大的圆锥，削成的圆锥体积是多少㎝³？15；正方体钢材，棱长6分米，把它削成一个最大的圆锥体零件，零件的体积是多少?。
等积变形专项练习
等积变形专项练习
1。
在一个底面积是31.4平方厘米的长方体玻璃容器中，有一个底面半径是1厘米的圆锥形铝块完全浸在水中,当从水中取出铝块时,容器的水面下降了0。
2厘米。
这个圆锥形铝块高多少厘米？
2。
用半径10cm高7cm的圆柱形泥巴揉成半径一样大的圆锥形，圆锥的高是多少厘米呢？
3.一个圆柱形的水桶，内部的底面半径是20厘米，高是45厘米，里面盛有30厘米深的水。
将一个底面半径是15厘米的圆锥形铁块完全沉进水里，水不溢出，水面上升了3厘米，圆锥形铁块的高是多少？
4.有一段钢可做一个底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件.如果把它改制成高是12厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？
5。
一个圆柱形容器的底面半径是4分米,高6分米，里面盛满水,把水倒在棱长是8分米的正方体容器中，水深多少分米？
6.将一个底面直径是20厘米、高是9厘米的金属圆锥，全部浸没在直径是40厘米的圆柱形水槽中且水未溢出。
水槽中的水面会升高多少厘米?
7。
把一个长2米的圆柱截去4分米后,原来的表面积就减少了25.12平方分米，原来圆柱的体积是多少立方分米?
8。
在一个底面是边长为2分米的正方形的长方形水槽中，放入一块青铜（完全浸没在水中），水面上升1分米且水未溢出.(水槽厚度忽略不计）
（1)求这块青铜的体积.
(2)如果把这块青铜铸成一个底面直径是2分米的圆柱,它的高是多少？(得数保留一位小数）
9.(拓展)在一个圆柱形储水桶里，把一段半径是5cm的圆钢全部放入水中,水面就上升9cm；把圆钢竖着拉出水面8cm长后，水面就下降4cm。
求圆钢的体积。
等积变形练习题
等积变形练习题等积变形是一种在数学中常见的概念，它涉及到图形或物体形态的变化，同时保持其面积或体积不变。
通过等积变形，我们可以研究图形之间的关系以及解决一些复杂的数学问题。
本文将介绍一些常见的等积变形练习题，帮助读者加深对等积变形的理解与应用。
1. 矩形的等积变形假设有一片固定面积的矩形，在等积变形的过程中，我们可以改变矩形的长和宽，但保持面积不变。
那么问题来了：在固定面积条件下，矩形的长和宽的关系是怎样的？解答：设矩形的长为x，宽为y，由题意可知xy=常数。
我们可以通过解方程的方法来找出x和y的关系。
将这个方程改写为y=常数/x的形式，其中常数为C。
这意味着y和x成反比例关系，当x增大时，y会减小；当x减小时，y会增大。
这样我们就找到了矩形的等积变形规律。
2. 圆的等积变形与矩形不同，圆的等积变形是指在保持圆的面积不变的情况下改变圆的半径。
现在考虑一个具体的例子：题目：一个圆的半径为r，它的面积为S。
将该圆按照一定的方式等面积地变形成一个新的圆，新的圆的半径为r'。
请问，r'与r之间的关系是怎样的？解答：圆的面积公式为S=πr²，保持面积不变意味着S=πr²=π(r')²。
将这个方程进行变形，可以得到r' = √(S/π)。
也就是说，在等积变形的过程中，圆的半径与原来的半径r之间的关系是r' = √(r²S/S')，其中S'是新圆的面积。
3. 立方体的等积变形对于一个正立方体，它的体积可以通过边长的立方来计算。
在等积变形中，我们可以改变立方体的边长，但保持体积不变。
接下来让我们看一个例子：题目：一个正立方体的边长为a，它的体积为V。
将该立方体等面积地变形成一个新的立方体，新的立方体的边长为b。
请问，b与a之间的关系是怎样的？解答：立方体的体积公式为V=a³，保持体积不变意味着a³=b³。
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答：丙、丁两个三角形面 积之和是甲、乙两个三角 形面积之和的1.25倍。
分析与解：
等积变形
例5
G ∠GAD+ ∠EAB =360°-90 °×2 =180°
D
A C
E
∴三角形BAE绕A点顺时针旋转， 使AB与AD重合，这时，点E落 在点H，且G,A,H在一条直线上。 ∵AG=AE=AH，三角形DAH与 三角形DAG等底同高， ∴S DAH=S DAG 答：内圈三角形石板的总面积 与外圈石板的总面积一样大。
H
C
∴三角形ADE的面积 =23×6÷2 =69（平方厘米） 答：三角形ADE的面积是69平方厘米。
解 连BF，则S深绿 =S 黄=6平方厘米
等积变形
∵S黄÷S红=6÷4=1.5 例7 ∴CE ÷EF=1.5 4 ∴S白=S深绿×1.5=9平方厘米
（单位：
？
平方厘米）
6 ∵S绿+S红=S黄+S白 ∴S绿=9+6-4=11（平方厘米） 答：绿色四边形ABEF的面积为11平方厘米。
等积变形
例４
60÷30=2 ÷ 80÷40=2 ÷ 假设丁的面积为１ 假设丁的面积为１，则 S甲=2×S丁＝２ 甲 × 丁 S乙=2×S丁＝２ 乙 × 丁 S丙= 丙 2×S甲=4×S丁＝４ × 甲 × 丁 所以 （4+1）÷（2+2） ） ） =1.25
问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、 乙两个三角形面积之和的多少倍？
Ｓ ＫＧＥ=Ｓ Ｃ Ｄ Ｓ ＤＧＥ=Ｓ Ｆ Ｇ Ｐ 所以 阴影部分面积＝ Ｈ Ａ Ｂ 解：１４÷４＝３.５（厘米） 正方形ＢＥＦＧ的周长＝１４厘米， Ｅ Ｋ
ＦＧＥ ＢＧＥ
正方形ＢＥＦＧ的面积
３.５×３.５＝１２.２５（平方厘米） 求阴影部分面积。 答：图中阴影部分面积是 １２.２５平方厘米。
分析与解： 分析与解：
求绿色四边形的面积。 解 连BF，则四边形BCDF为梯形。 4 6 6 ∵S黄÷S红=6÷4=1.5 ∴S白÷S红=1.5×1.5=2.25 ∴S白=S红×2.25=4 ×2.25=9（平方厘米） ∴S绿=S白+S黄－S红 =9+6－4=11（平方厘米） 答：绿色四边形ABEF的面积为11平方厘米。
B
H(E)
求内圈三角形石板 面积大还是外圈三角形 石板面积大？
F
D
A C
E
B
H(E)
如果两个三角形有一组对应角的和为180°， ° 如果两个三角形有一组对应角的和为 而夹这组角的两组对应边又分别相等， 而夹这组角的两组对应边又分别相等，那么它们的 面积相等。 面积相等。
等积变形
例6 CDEF是正方形，ABCD是 等腰梯形，它的上底AD=23 厘米，下底BC=35厘米，求 三角形ADE的面积。
等积变形
Z E 例1 C Y D D B F S X G W A H
Z E A C Y D D H
W
B F X Z E A C Y EFGH W D D B F X G H G
WXYZ=7.17平方厘米
AB∥EF,CD∥WX, 求S EFGH的面积。 WXYZ=1/2 S
解 S ACBD=1/2 S ∴S WXYZ= S
解 在直角三角形CDH和直角三角形EKD 中，CD=DE 又∵∠EDK=180°-∠CDH-90° ∠DCH=180°-∠CDH-90° ∴ DCH与 EDK完全相等。 而ABCD是等腰梯形
K A
E
故CH=(BC-AD) ÷2 =(35-23) ÷2
23
D F
=6(厘米) ∴DK=CH=6厘米
B
35
EFGH =7.17平方厘米
答：纸片EFGH的面积是7.17平方厘米。
等积变形
例2
问红、 问红、蓝两张三角形纸 片面积之和是多少？ 片面积之和是多少？
49×29÷2=710.5 × ÷
49 29
答：红、蓝两张三角形 纸片面积之和是710.5。 纸片面积之和是 。 29
49
29
等积变形
例３
分析： ＫＦ∥ＥＧ∥ＢＤ