第10讲反比例函数的图象及其解析式--提高班

第10讲 反比例函数的图象及其性质
知识点1反比例函数的概念
1．反比例函数的概念
一般地，函数x
k
y =
（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成1
-=kx y 的形式。

自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2．反比例函数解析式的确定
由于在反比例函数x
k
y =
中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

【典例】
1.下列函数中，表示y 是x 的反比例函数的是（ ） A. y=
B. y=
C. y=2x
D. y=
【答案】B.
【解析】解：根据反比例函数的定义，可判断出只有y=表示y 是x 的反比例函数． 故选：B ．
2.已知反比例函数的图象过点M （﹣1，2），则此反比例函数的表达式为（ ）
A. y=
B. y=﹣
C. y=
D. y=﹣
【答案】B.
【解析】解：设反比例函数的解析式为（k≠0）．
∵该函数的图象过点M（﹣1，2），
∴2=，
得k=﹣2．
∴反比例函数解析式为y=﹣．
故选：B．
3.函数y=（m+1）x是y关于x的反比例函数，则m=．
【答案】3
【解析】解：∵函数y=（m+1）x是y关于x的反比例函数，
∴m2﹣2m﹣4=﹣1且m+1≠0，
解得m=3．
故答案是：3
4.如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO的顶点A、C的坐标分别为A（2，0）、C（﹣1，2），反比例函数y=（k≠0）（k≠0）的图象经过点B，则求反比例函数的表达式为．
【答案】y=
【解析】解：设BC与y轴的交点为F，过点B作BE⊥x轴于E，如图．
∵▱ABCO的顶点A、C的坐标分别为A（2，0）、C（﹣1，2），
∴CF=1，OF=2，OA=2，OC=BA，∠C=∠EAB，∠CFO=∠AEB=90°．
在△CFO和△AEB中，
，
∴△CFO≌△AEB（AAS），
∴CF=AE=1，OF=BE=1，
∴OE=OA﹣AE=2﹣1=1，
∴点B的坐标为（1，2）．
∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点B，
∴k=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为y=．
故答案是：y=．
【方法总结】
反比例函数解析式注意1-
y，x的次数为-1，求解析式时可用k=xy.
=kx
【随堂练习】
1．（2017•和平区校级模拟）下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是（）A．正方形的面积S与边长a的关系
B．正方形的周长L与边长a的关系
C．长方形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系
D．长方形的面积为40，长为a，宽为b，a与b的关系
【解答】解：A、根据题意，得S=a2，所以正方形的面积S与边长a的关系是二次函数关系；故本选项错误；
B、根据题意，得l=4a，所以正方形的周长l与边长a的关系是正比例函数关系；
故本选项错误；
C、根据题意，得S=20a，所以正方形的面积S与边长a的关系是正比例函数关系；故本选项错误；
D、根据题意，得b=，所以a与b的关系是反比例函数关系；故本选项正确．故选：D．
2．（2018•汶上县三模）若函数y=（m+2）x|m|﹣3是反比例函数，则m的值为____．【解答】解：∵函数y=（m+2）x|m|﹣3是反比例函数，
∴m+2≠0且|m|﹣3=﹣1，解得m=±2，
∴m=2．
故答案为2．
知识点2反比例函数的图象及其性质
（1）反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

（2）反比例函数的性质
【典例】
1.对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（）
A. 图象分布在第二、四象限
B. 当x＞0时，y随x的增大而增大
C. 图象经过点（1，﹣2）
D. 若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
【答案】D.
【解析】解：A、k=﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
B、k=﹣2＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
C、∵﹣=﹣2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确；
D、点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y=﹣的图象上，若x1＜x2＜0，则y1＜y2，故本选项错误．
故选：D．
2.已知a＞﹣，若当1≤x≤2时，函数y=（a≠0）的最大值与最小值之差是1，则a的值为（）
A. ﹣1
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C.
【解析】解：当＜a＜0时，
函数y=（a≠0）中在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵当1≤x≤2时，函数y=（a≠0）的最大值与最小值之差是1，
∴=1，得a=﹣2（舍去），
当a＞0时，
函数y=（a≠0）中在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵当1≤x≤2时，函数y=（a≠0）的最大值与最小值之差是1，
∴=1，得a=2，
故选：C．
3.已知关于x的方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有实数解，且反比例函数y=的图象经过第二、四象限，若k是整数，则k的值为______
【答案】1
【解析】解：∵关于x的方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有实数解，
∴△≥0，即（2k+1）2﹣4（k﹣2）2≥0，解得k≥；
∵反比例函数y=的图象经过第二、四象限，
∴2k﹣3＜0，即k＜，
∴≤k＜，
∴整数K为1
【方法总结】
1.双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.
2.选择题考对称性时酌情考虑用特殊点排除不正确的答案.
【随堂练习】
1．（2018•长清区模拟）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1），若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是______．
【解答】解：当反比例函数过点A时，k值最小，
此时k=1×2=2；
∵1×3=3×1，
∴反比例函数图象与直线BC的切点在线段BC上，
设直线BC的解析式为y=ax+b，
∴有，
解得：，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，
将y=﹣x+4代入y=中，得：﹣x+4=，
即x2﹣4x+k=0，
∵反比例函数图象与直线BC只有一个交点，
∴△=（﹣4）2﹣4k=0，
解得：k=4．
综上可知：2≤k≤4．
故答案是：2≤k≤4．
2．（2018春•开封期末）有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=的自变量x的取值范围是_____；
（2）下表是y与x的几组对应值．
﹣﹣
﹣﹣
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根
据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_____．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：x≥﹣2且x≠0．
故答案为：x≥﹣2且x≠0．
（2）当x=2时，m==1．
（3）图象如图所示．
（4）观察函数图象发现：当﹣2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．故答案为：当﹣2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．
3．（2018•普陀区二模）小张同学尝试运用课堂上学到的方法，自主研究函数y=的图象与性质．下面是小张同学在研究过程中遇到的几个问题，现由你来完成：
（1）函数y=的定义域是___；
（2）下表列出了y与x的几组对应值：
﹣﹣﹣
表中m的值是______；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，试由描出的点画出该函数的图象；
（4）结合函数y=的图象，写出这个函数的性质：_______．（只需写一个）
【解答】解：（1）函数y=的定义域是x≠0，故答案为：x≠0；
（2）当y=1时，=1，
解得：x=1或x=﹣1，
∴m=﹣1，
故答案为：﹣1；
（3）如图所示：
（4）图象关于y轴对称，
故答案为：图象关于y轴对称．
4．（2018春•邗江区期中）（1）在下列表格中填上相应的值
平滑曲线举例
（2）若将上表中的变量用y来代替（即有y=），请以表中的x，y的值为点的坐标，在下方的平面直角坐标系描出相应的点，并用平滑曲线顺次连接各点；（3）在（2）的条件下，可将y看作是x的函数，请你结合你所画的图象，写出该函数图象的两个性质：________
（4）结合图象，借助之前所学的函数知识，直接写出不等式的解集：_______
【解答】解：（1）把x=﹣4，x=﹣2，x=﹣1，x=1，x=3，x=4代入解析式y=，可得：
﹣
（2）如图所示：
（3）从函数图象对称性来说：该函数图形是一个轴对称（中心对称）（即是轴对称又是中心对称）图形； 或该函数经过一、三象限；
或该函数在每个象限内，y 随x 增大而增小（x ＞0 或x ＜0，y 随x 增大而增小）； 或与x 轴y 轴无交点； （4）根据图象可得：不等式
的解集为：x ＜﹣3或0＜x ＜2，
故答案为：（3）该函数经过一、三象限；该函数在每个象限内，y 随x 增大而增小（x ＞0 或x ＜0，y 随x 增大而增小）；（4）x ＜﹣3或0＜x ＜2．
知识点3系数K 的几何意义
①过双曲线x
k
y =
(k ≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为k 。

②过双曲线x k
y =
(k ≠0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段，连接该点和原点，所得三角形（如图）的面积为
2
k ．
③双曲线x
k
y
(k ≠0) 同一支上任意两点1P 、2P 与原点组成的 三角形（如图）的面积=直角梯形1221P P Q Q 的面积．
【典例】
1.函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P 是y=的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点B ．给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA=AP ．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②④
【答案】C.
【解析】解：∵A、B是反比函数y=上的点，
∴S△OBD=S△OAC=，故①正确；
当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；
∵P是y=的图象上一动点，
∴S矩形PDOC=4，
∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；
连接OP，
===4，
∴AC=PC，PA=PC，
∴=3，
∴AC=AP；故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
2.如图，点A与点B分别在函数y=与y=的图象上，线段AB的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是________
【答案】4
【解析】解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
∴AC∥BD∥y轴，
∵M是AB的中点，
∴OC=OD，
设A（a，b），B（﹣a，d），
代入得：k1=ab，k2=﹣ad，
∵S△AOB=2，
∴（b+d）•2a﹣ab﹣ad=2，
∴ab+ad=4，
∴k1﹣k2=4，
3.如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是12，则k=______
【答案】32
5
【解析】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD=3AD，
∴D（，b）
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴=k，
设E的坐标为（a，y），
∴ay=k
∴E（a，），
∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣k﹣k﹣••（b﹣）=12，
∴4k﹣k﹣+=12
k=
【方法总结】
反比例函数的比例系数k具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用比例系数k的几何意义解决问题．
【随堂练习】
1．（2018春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABE的顶点E 在y轴上，原点O在AB边上，反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过顶点A 和B，并与BE边交于点C，若BC：CE=3：1，△OBE的面积为，则k的值为（）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣7
【解答】解：连接OC．作CK⊥x轴于K，BF⊥x轴于F．
∵BC：CE=3：1，△OBE的面积为，
∴S△OBC=×=，
设B（m，），则B（4m，），
∵S△OBC=S四边形OCBF﹣S△OBF=S四边形OCBF﹣S△OKC=S梯形CKFB，
∴=•（﹣﹣）×3m，
∴k=﹣7，
故选：D．
2．（2018•乐山）如图，曲线C2是双曲线C1：y=（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y=x上，且PA=PO，则△POA的面积等于（）
A．B．6 C．3 D．12
【解答】解：如图，将C2及直线y=x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．
双曲线C3，的解析式为y=﹣
过点P作PB⊥y轴于点B
∵PA=PB
∴B为OA中点．
∴S△PAB=S△POB
由反比例函数比例系数k的性质，S△POB=3
∴△POA的面积是6
故选：B．
3．（2018•湘潭）如图，点M在函数y=（x＞0）的图象上，过点M分别作x 轴和y轴的平行线交函数y=（x＞0）的图象于点B、C．
（1）若点M的坐标为（1，3）．
①求B、C两点的坐标；
②求直线BC的解析式；
（2）求△BMC的面积．
【解答】解：（1）①∵点M的坐标为（1，3）
且B、C函数y=（x＞0）的图象上
∴点C横坐标为1，纵坐标为1
点B纵坐标为3，横坐标为
∴点C坐标为（1，1），点B坐标为（，3）
②设直线BC解析式为y=kx+b
把B、C点坐标代入得
解得
∴直线BC解析式为：y=﹣3x+4
（2）设点M坐标为（a，b）
∵点M在函数y=（x＞0）的图象上
∴ab=3
由（1）点C坐标为（a，），B点坐标为（，b）
∴BM=a﹣，MC=b﹣
∴S△BMC=
综合运用：反比例函数图象及其性质1.m为何值时，下列函数是反比例函数？
（1）y=（m﹣1）；
（2）y=．
【解析】解：（1）由题意得：m2﹣2=﹣1，且m﹣1≠0，
解得：m=﹣1；
（2）由题意得：m+2≠0，|m|﹣1=1，
解得：m=2．
2.【探究函数y=x+的图象与性质】
（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是；
（2）下列四个函数图象中，函数y=x+的图象大致是；
（3）对于函数y=x+，求当x＞0时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．解：∵x＞0，∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+．
∵（﹣）2≥0，∴y≥．
【拓展说明】
（4）若函数y=（x＞0），求y的取值范围．
【解析】解：（1）∵y=x+，
∴x的取值范围是x≠0，
故答案为：x≠0；
（2）∵函数y=x+，
∴当x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，
故选：C；
（3）∵x＞0，
∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+2．
∵（﹣）2≥0，
∴y≥2，
故答案为：2、2；
（4）∵x＞0，
∴y==x﹣5+=（x﹣4+）﹣1=（）2﹣1≥﹣1，
即y的取值范围是y≥﹣1．
3.小张同学尝试运用课堂上学到的方法，自主研究函数y=的图象与性质．下面是小张同学在研究过程中遇到的几个问题，现由你来完成：
（1）函数y=的定义域是；
（2）下表列出了y与x的几组对应值：
表中m的值是；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，试由描出的点画出该函数的图象；
（4）结合函数y=的图象，写出这个函数的性质：．（只需写一个）
【解析】解：（1）函数y=的定义域是x≠0，
故答案为：x≠0；
（2）当y=1时，=1，
解得：x=1或x=﹣1，
∴m=﹣1，
故答案为：﹣1；
（3）如图所示：
（4）图象关于y轴对称，
故答案为：图象关于y轴对称．
4.如图，已知反比例函数的图象的一支位于第一象限．
（1）该函数图象的另一分支位于第象限，m的取值范围是；
（2）已知点A在反比例函数图象上，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为3，求m的值．
【解析】解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m﹣7＞0，则m＞7；
故答案是：三，m＞7；
（2）∵点A在第一象限，
∴AB⊥x轴，
∴S△OAB=，
∴m﹣7=6，
解得m=13．
5.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5．
（1）求k和m的值；
（2）当x≥8时，求函数值y的取值范围．
【解析】解：（1）∵A（2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴S△AOB=•OB•AB=×2×m=5，
∴m=5，
∴点A的坐标为（2，5），
把A（2，5）代入y=，得k=10；
（2）∵当x=8时，y=，
又∵反比例函数y=在x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当x≥8时，y的取值范围为0＜y≤．
6.（1）点（3，6）关于y轴对称的点的坐标是．
（2）反比例函数关于y轴对称的函数的解析式为．
（3）求反比例函数（k≠0）关于x轴对称的函数的解析式．
【解析】解：（1）由于两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；
则点（3，6）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，6）；
（2）由于两反比例函数关于y轴对称，比例系数k互为相反数；
则k=﹣3，
即反比例函数关于y轴对称的函数的解析式为y=﹣；
（3）由于两反比例函数关于x轴对称，比例系数k互为相反数；
则反比例函数（k≠0）关于x轴对称的函数的解析式为：y=﹣．
故答案为：（﹣3，6）、y=﹣．
7.如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC ⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．
【解析】解：（1）由题意得，k=xy=2×3=6
∴反比例函数的解析式为y=．
（2）设B点坐标为（a，b），如图，
作AD⊥BC于D，则D（2，b）
∵反比例函数y=的图象经过点B（a，b）∴b=
∴AD=3﹣．
∴S△ABC=BC•AD
=a（3﹣）=6
解得a=6
∴b==1
∴B（6，1）．
设AB的解析式为y=kx+b，
将A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得，
解得，
直线AB的解析式为y=﹣x+4．。