数值分析第一章1.1
数值分析第一章PPT
1.1.2 计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算 科学计算 的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 （Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学 模型为基础进行模拟研究。
一些边缘学科的相继出现：
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起.005 0 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
数值分析
第1章
数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 什么是数值分析 数值分析是计算数学的主要部分,计算数学是数学 科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的 数值计算方法及其理论与软件实现.这门课程又称为(数 值)计算方法、科学与工程计算等。
•
在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天， 需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计 算机解决科学计算问题时大致要经历如下几个过程:
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
数值分析第一张,引言
模型(móxíng)设计
算法设计
上机计算
问题的解
共四十七页
结束(jiéshù)
其中算法设计是数值(shùzí)分析课程的主要内容.
数值分析课程(kèchéng)研究常见的基本数学问题的数值解法.包含了
数值代数(线性方程组的解法、非线性方程的解法、矩阵求逆、 矩阵特征值计算等)、数值逼近、数值微分与数值积分、常微分方程 及偏微分方程的数值解法等.它的基本理论和研究方法建立在数学 理论基础之上，研究对象是数学问题，因此它是数学的分支之 一.
3! 5! 7!
(2n 1)!
( 1.1)
这是一个无穷级数，我们只能(zhī nénɡ)在适当的地方“截断 ”，使计算量不太大，而精度又能满足要求.
如计算 sin 0.5，取n=3 sin 0.5 0.5 0.53 0.55 0.57 0.479625
3! 5! 7!
共四十七页
结束
据泰勒余项公式(gōngshì)，它的误差应 为
• 1998年7月30-31日，美国DOE/FNS 共同联合组织召开了 关于“先进科学计算”的全国会议，会议强调科学模拟的重
要性，希望应用科学模拟来攻克复杂的科学与工程难题。
共四十七页
数值分析是计算数学的一个主要部分，方法解决科学研究或 工程技术问题，一般按如下途径进行：
实际 (shíjì)问
题
程序设计
R (1)9 9
9!
0,
4
R ( / 4)9 3.13 10 7
362880
( 1.2)
可见结果(jiē guǒ)是相当精确的.实际上结果(jiē guǒ)的六位数字都是 正确的.
2 算法常表现(biǎoxiàn)为一个连续过程的离 散化
数值分析1-误差及有效数字
（避免绝对值很大的数为乘数）
x1 1 x1 e e x ex 2 （避免 x2 为很小的数为除数） 1 2 x x x2 2 2
er x1 x2 x1 x2 er x1 er x 2 x1 x2 x1 x2
er x1 x2
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p
其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分；
β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.4 误差危害的防止 （1）使用数值稳定的计算公式
数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足
en 1 1 en
，则称该计算公式是绝对稳定的
例：建立积分In=
1
0
xn dx x5
（n=0,1.........,20）
递推关系式，并分析误差传播影响。
解： I +5I
n
n-1=
x 5x 0 x 5 dx
1 n n -1
1
0
x n-1dx
x n
n
1
0
1 n
I 0=
1 0 x 5dx
1
ln x 5
1 0
=ln6-ln5
1 In -5In -1 n ∴递推式： I 0 ln6 - ln5
2
x1 x 2
2
e x1 e x 2
数值分析基础
数值分析基础整理：朱华伟参考文献：张卫国讲义一、绪论1.1数值分析理论1、课程介绍数值分析：是指用计算机求解各类数学问题的方法与理论。
数值分析中需要考虑的问题：a、理论可靠性：指由数值分析算法得出的结果值不值得信赖；b、计算复杂性包括时间复杂性和空间复杂性。
时间复杂性是指算法运行时间的长短；空间复杂性是指数据占据空间的大小，这里理解为数据占据计算机存储空间的大小。
c、结构要好：指实现算法的程序可移植性要好，可修改性要好等等。
早期主要考虑计算复杂性，现在主要考虑结构性要好，计算复杂度适中即可，也就是，在保证结构性要好的同时，计算复杂度要尽可能的小。
2、主要内容主要的数学模型：a、方程求根模型，如，一元二次方程。
可以用迭代法求解，迭即是重复，代即是代入。
b、线性方程组模型，可以用迭代法，直接法求解。
c、特征值的特征向量模型。
d、插值方法与数值微分模型。
e、数值逼近与数值拟合模型。
f 、 数值积分模型。
g 、 微分方程组的解的模型。
1.2误差及有效数字 1、误差的来源解决一个实际问题的过程： 分析问题假设、简化、抽象数学模型构造算法 编程求解误差有四种：a 、模型误差：由数学模型与实际问题的差别所造成。
b 、方法（算法）误差：有些问题需要截断进行处理，这样就会产生余项误差。
c 、舍入误差：计算机存储时出现的误差。
d 、观测（测量）误差：在进行实际数据的测量时产生的误差。
在数值分析中我们只关心舍入误差和观测误差。
2、误差的度量 有三种方式：a 、绝对误差与绝对误差界， 是绝对误差的界， 为准确值，x 为 的一个近似值。
，n 的取值取决于具体的b 、相对误差与相对误差界， 是相对误差的界。
通常c、有效数字有两种方法表示：1、如果舍去部分不超过所取值的最后一位的一半，则有效数字取到所取值的最后一位；如果舍去部分超过所取值的最后一位的一半，则有效数字取到所取值的最后一位的前一位。
2、规格法设，k>0且取整，取1~9，取0~9，若=，则x有n位有效数字，的取值取决于方法1，然后经过换算即可求出n。
数值分析 第一章 基础知识
郑州大学研究生课程（2010-2011学年第一学期）课程主要内容课程主题 讨论如何构造高效适用的计算机数值算法，来求 解科学与工程中的数值计算问题。
课程内容 各类数值算法的构造、理论评价及程序实现。
数值分析 Numerical Analysis任课教师：万建军 wanjj@Department of Mathematics of Zhengzhou University （郑州大学数学系）算法和误差分析； 数据代数插值； 数据拟合； 数值微分和数值积分； 解线性代数方程组的直接法和迭代法； 非线性方程和非线性方程组解法； 常微分方程初值问题的数值解法； 计算工具C/Matlab和Mathematica；3/68 郑州大学2010-2011学年研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2/68郑州大学2010-2011学年研究生课程 数值分析 Numerical Analysis预备知识 微积分和常微分方程； 线性代数； 数值计算程序设计 （C/Matlab和Mathematica）第一章 基础知识§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 §1.7 §1.85/68§1.1 计算—第三种科学方法“当今，科学活动可分为三种:理论、实验和计算。
定义计算科学最好是 通过比较它的核心活动和实验及理论的核心活动。
试验科学家从事于测 量和设计科学设备及利用这些设备去进行测量，致力于可控、可重复试 验的设计以及分析这些试验的误差；理论科学家研究实验数据之间的关 系、这些关系满足的原理（如牛顿定律、对称性原理等）及把这些原理 运用到具体特殊情形所需的数学概念和技术；计算科学家构造求解科学 问题的计算方法，把这些方法软件化，设计和进行试验，分析这些数值 试验的误差。
他们研究计算方法的数学特征，通过计算揭露所求解科学 问题的基本性质和规律。
1.1数值分析的研究对象和特点
第一章 绪论 现在， 现在，科学与工程中的数值计算已经成为各门自然学科和工程技术科学 研究的一种重要手段，成为与实验和理论并列的一个不可缺少的环节。 研究的一种重要手段，成为与实验和理论并列的一个不可缺少的环节。 所以，数值分析既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科， 所以，数值分析既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科， 与其他学科的联系十分紧密。 与其他学科的联系十分紧密。 用数值方法求解数学问题首先要构造算法，即由运算规则（ 用数值方法求解数学问题首先要构造算法，即由运算规则（包括算术 运算、逻辑运算和运算顺序）构成的完整的解题过程。同一个数学问题可 运算、逻辑运算和运算顺序）构成的完整的解题过程。 能有多种数值计算方法，但不一定都有效。 能有多种数值计算方法，但不一定都有效。评价一个算法的好坏主要有两 条标准：计算结果的精度和得到结果所付出的代价。 条标准：计算结果的精度和得到结果所付出的代价。 我们自然应该选择代 价小又能满足精度要求的算法。计算代价也称为计算复杂性， 价小又能满足精度要求的算法。计算代价也称为计算复杂性，包括时间复 杂性和空间复杂性。时间复杂性好是指节省时间，主要由运算次数来决定。 杂性和空间复杂性。时间复杂性好是指节省时间，主要由运算次数来决定。 空间复杂性好是指节省储存量，主要由使用的数据量决定。 空间复杂性好是指节省储存量，主要由使用的数据量决定。
数值分析第五版1-3章
* r
1 2a1
10(n1)
反之，若x*的相对误差限
* r
1 2(a1 1)10(n1) Nhomakorabea则x*至少具有n位有效数字.
2020/2/10
6 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
3 数值运算的误差估计
1. x1*与x2*为两近似数, 误差限为 ( x1* ), ( x2* ), 则 : ( x1* x2* ) ( x1* ) ( x2* ); ( x1* x2* ) x2* ( x1* ) x1* ( x2* );
3.多元函数误差限(多元函数Taylor展式) A f (x1,L , xn )
( A*)
n k 1
f ( xk
)*
(xk* ),
2020/2/10
r ( A*)
n k 1
( f )* xk
(xk* )
A*
7 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
1.3 误差定性分析及避免误差危害
概率分析法 向后误差分析法 区间分析法
1. 病态问题与条件数 病态问题 输入(微小的扰动)
输出(相对误差很大)
条件数 C p
对于f (x)， x有微小的扰动x x x*
er* ( f (x* ))
第1章 数值分析与科学计算引论
数值分析研究对象、作用与特点 数值计算的误差 误差定性分析与避免误差危害 数值计算中算法设计的技术 数学软件
数值分析
* * 1 2 * 1 * * 1 * * * * * * * * * * *
到x *的第一位非零数字共有 n位，就说x * 有n位有效数字.
即
x* 10m (a1 a2 101 an 10( n1) ) 1 x x * 10mn1 2
(2.1)
其中a1 0 . 并且 (2.2)
例1
• 按四舍五入写出下述各数具有5位有效数字的近似 数： 187.9325 0.037 855 51 8.000 033 2.718 281 8
加法和减法结果的误差
(x
* 1
x2 ) ( x1 x2 )
* 1
*
(x
x1 ) ( x2 x2 )
*
*
e( x ) e( x2 )
* 1
误差限： (x x ) (x ) (x )
* 1 * 2 * 1 * 2
乘法的结果误差
x x x1 x2 x x ( x x1 x )(x2 x2 x2 ) x1 x2 ( x1 e( x1 ))(x2 e( x2 )) x x x x x e( x2 ) x2 e( x ) e( x )e( x2 ) x e ( x2 ) x2 e ( x ) e ( x ) e ( x 2 )
例2 重力加速度
若以m/s2为单位, g≈9.80m/s2, 1 m n 1 1 * 10 g 9.80 102 , 2 2 * 1 按(2.1)， m 0, n 3. 绝对误差限 1 102. 2 若以km/s2为单位, g≈0.00980m/s2, 1 g 0.00980 105 , 2 * 1 按(2.1)， m 3, n 3. 绝对误差限 2 105. 2 而相对误差限相同：
数值分析原理课件第一章
第一章 绪 论本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题．§1.1 引 言计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。
由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法． 这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括(1)非线性方程的近似求解方法；(2)线性代数方程组的求解方法；(3)函数的插值近似和数据的拟合近似；(4)积分和微分的近似计算方法；(5)常微分方程初值问题的数值解法；(6)优化问题的近似解法；等等从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”． 之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关．计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差．我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，从而产生截断误差． 如的计算是无穷过程，当用作为的 +++=!21!111e !1!21!111n e n ++++= e 近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了截断误差．e e n - 当用计算机计算时，因为舍入误差的存在，我们也只能得到的近似值，也就是n e n e *e 说最终用近似，该近似值既包含有舍入误差，也包含有截断误差．*e e 当参与计算的原始数据是从仪器中观测得来时，也不可避免得有观测误差．由于这些误差的大量存在，我们得到的只能是近似结果，进而对这些结果的“可靠性”进行分析就是必须的，它成为计算方法的第二个显著特点． 可靠性分析包括原问题的适定性和算法的收敛性、稳定性．所谓适定性问题是指解存在、惟一，且解对原始数据具有连续依赖性的问题． 对于非适定问题的求解，通常需要作特殊的预处理，然后才能做数值计算． 在这里，如无特殊说明，都是对适定的问题进行求解．对于给定的算法，若有限步内得不到精确解，则需研究其收敛性． 收敛性是研究当允许计算时间越来越长时，是否能够得到越来越可靠的结果，也就是研究截断误差是否能够趋于零．对于给定的算法，稳定性分析是指随着计算过程的逐步向前推进，研究观测误差、舍入对于同一类模型问题的求解算法可能不止一种，常希望从中选出高效可靠的求解算法． 如我国南宋时期著名的数学家秦九韶就提出求n 次多项式值0111a x a x a x a n n nn ++++-- 的如下快速算法；n a s =； k n a t -=t sx s +=),,2,1(n k =它通过n 次乘法和n 次加法就计算出了任意n 次多项式的值． 再如幂函数可以通过如下64x 快速算法计算出其值；x s =；循环6次s s s ⋅=如上算法仅用了6次乘法运算，就得到运算结果．算法最终需要在计算机上运行相应程序，才能得到结果，这样就要关注算法的时间复杂度(计算机运行程序所需时间的度量)、空间复杂度(程序、数据对存储空间需求的度量)和逻辑复杂度(关联程序的开发周期、可维护性以及可扩展性)． 事实上，每一种算法都有自己的局限性和优点，仅仅理论分析是很不够的，大量的实际计算也非常重要，结合理论分析以及相当的数值算例结果才有可能选择出适合自己关心问题的有效求解算法． 也正因如此，只有理论分析结合实际计算才能真正把握准算法．§1.2 误差的度量与传播一、误差的度量误差的度量方式有绝对误差、相对误差和有效数字．定义1.1 用作为量的近似，则称为近似值的绝对误差．*x x )(:**x e x x =-*x 由于量x 的真值通常未知，所以绝对误差不能依据定义求得，但根据测量工具或计算情况，可以估计出绝对误差绝对值的一个较小上界，即有ε (1.1)ε≤-=x x x e **)(称正数为近似值的绝对误差限，简称误差． 这样得到不等式ε*x εε+≤≤-**x x x 工程中常用ε±=*x x 表示近似值的精度或真值x 所在的范围．*x 误差是有量纲的，所以仅误差数值的大小不足以刻划近似的准确程度． 如量 (1.2)m m cm s μ50001230000005.023.15.0123±=±=±=为此，我们需要引入相对误差定义1.2 用作为量的近似，称为近似值的相对误差． 当0*≠x x )(:**x e xxx r =-*x 是x 的较好近似时，也可以用如下公式计算相对误差*x (1.3)***)(xx x x e r -= 显然，相对误差是一个无量纲量，它不随使用单位变化． 如式(1.2)中的量s 的近似，无论使用何种单位，它的相对误差都是同一个值．同样地，因为量x 的真值未知，我们需要引入近似值的相对误差限，它是相*x )(*x r ε对误差绝对值的较小上界． 结合式(1.1)和(1.3)，相对误差限可通过绝对误差限除以近似*x 值的绝对值得到，即(1.4)***)()(xx x r εε=为给出近似数的一种表示法，使之既能表示其大小，又能体现其精确程度，需引入有效数字以及有效数的概念．定义1.3 设量的近似值有如下标准形式x *x p n ma a a a x 21*.010⨯±= (1.5)()pm p n m n m m a a a a ----⨯++⨯++⨯+⨯±101010102211 ＝其中且，m 为近似值的量级． 如果使不等式}9,,1,0{}{1 ⊂=pi i a 01≠a (1.6)n m x x -⨯≤-1021*成立的最大整数为n ，则称近似值具有n 位有效数字，它们分别是、、… 和 ． *x 1a 2a n a 特别地，如果有，即最后一位数字也是有效数字，则称是有效数．p n =*x 从定义可以看出，近似数是有效数的充分必要条件是末位数字所在位置的单位一半是绝对误差限． 利用该定义也可以证明，对真值进行“四舍五入”得到的是有效数． 对于有效数，有效数字的位数等于从第一位非零数字开始算起，该近似数具有的位数． 注意，不能给有效数的末位之后随意添加零，否则就改变了它的精度．例1.1 设量，其近似值，，． 试回答这三个近π=x 141.3*1=x 142.3*2=x 722*3=x 似值分别有几位有效数字，它们是有效数吗？解 这三个近似值的量级，因为有1=m 312*110211021005.000059.0--⨯=⨯=≤=- x x 413*2102110210005.00004.0--⨯=⨯=≤=- x x571428571428.3*3=x 312*310211021005.0001.0--⨯=⨯=≤=- x x 所以和都有3位有效数字，但不是有效数． 具有4位有效数字，是有效数．*1x *3x *2x 二、误差的传播这里仅介绍初值误差传播，即假设自变量带有误差，函数值的计算不引入新的误差． 对于函数有近似值，利用在点处),,,(21n x x x f y =),,,(**2*1*n x x x f y =),,,(**2*1n x x x 的泰勒公式(Taylor Formula)，可以得到 )(),,,()(*1**2*1**i i ni n i x x x x xf y y y e -≈-=∑=(1.7))(),,,(*1**2*1i ni n i x e x x xf ∑== 其中，是的近似值，是的绝对误差． 式(1.7)表明函ii x f f ∂∂=:*i x i x )(*i x e *i x ),,2,1(n i =数值的绝对误差近似等于自变量绝对误差的线性组合，组合系数为相应的偏导数值． 从式(1.7)也可以推得如下函数值的相对误差传播近似计算公式 (1.8))(),,,()(***1**2*1*i r i ni ni r x e yx x x x f y e ∑=≈对于一元函数，从式(1.7)和(1.8)可得到如下初值误差传播近似计算公式)(x f y = (1.9))()()(***x e x f y e '≈ (1.10))()()(*****x e yx x f y e r r '≈式(1.9)表明，当导数值的绝对值很大时，即使自变量的绝对误差比较小，函数值的绝对误差也可能很大．例1.2 试建立函数的绝对误差(限)、相对误差n n x x x x x x f y +++== 2121),,,(的近似传播公式，以及时的相对误差限传播公式．{}ni i x 1*0=> 解 由公式(1.7)和(1.8)可分别推得和的绝对误差、相对误差传播公式如下(1.11)∑∑==≈ni i ini nix e x e x x xf y e 1**1**2*1*)()(),,,()(＝ (1.12)∑∑==≈ni i r i i r i ni ni r x e yx x e y x x x x f y e 1******1**2*1*)()(),,,()(＝ 进而有∑∑∑===≤≤≈ni i n i ini ix x e xe y e 1*1*1**)()()()(ε于是有和的绝对误差限近似传播公式 ∑=≈ni ixy 1**)()(εε当时，由式(1.3)推得相对误差限的近似传播公式{}ni i x 1*=>)(max )(max )(max )()()(*11***11***11****1**i r ni ni i ir n i ni i i r n i ni i r i ni ir x yx x yx x x y x yxy εεεεεε≤≤=≤≤=≤≤====≤=≈∑∑∑∑ 例1.3使用足够长且最小刻度为1mm 的尺子，量得某桌面长的近似值3.1304*=a mm ，宽的近似值mm (数据的最后一位均为估计值)． 试求桌子面积近似值的绝8.704*=b 对误差限和相对误差限．解 长和宽的近似值的最后一位都是估计位，尺子的最小刻度是毫米，故有误差限 mm ，mm 5.0)(*=a ε5.0)(*=b ε面积，由式(1.7)得到近似值的绝对误差近似为ab S =***b a S = )()()(*****b e a a e b S e +≈进而有绝对误差限 mm 255.10045.03.13045.08.704)()()(*****=⨯+⨯=+≈b a a b S εεε相对误差限 %11.00011.08.7043.130455.1004)()(***=≈⨯=≈S S S r εε§1.3 数值实验与算法性能比较本节通过几个简单算例说明解决同一个问题可以有不同的算法，但算法的性能并不完全相同，他们各自有自己的适用范围，并进而指出算法设计时应该注意的事项． 算例1.1 表达式，在计算过程中保留7位有效数字，研究对不同)1(1111+=+-x x x x 的x ，两种计算公式的计算精度的差异．说明1：Matlab 软件采用IEEE 规定的双精度浮点系统，即64位浮点系统，其中尾数占52位，阶码占10位，尾数以及阶码的符号各占1位． 机器数的相对误差限(机器精度)eps=2－52≈2.220446×10－16，能够表示的数的绝对值在区间(2.2250739×10－308，1.797693×10308)内，该区间内的数能够近似表达，但有舍入误差，能够保留至少15位有效数字． 其原理可参阅参考文献[2, 4]．分析算法1： 和算法2： 的误差时，精确解用双精111)(1+-=x x x y )1(1)(2+=x x x y 度的计算结果代替． 我们选取点集中的点作为x ，比较两种方法误差的差异．301}{=i i π 从图1.1可以看出，当x 不是很大时，两种算法的精度相当，但当x 很大时算法2的精度明显高于算法1． 这是因为，当x 很大时，和是相近数，用算法1进行计算时出x 111+x 现相近数相减，相同的有效数字相减后变成零，于是有效数字位数急剧减少，自然相对误差增大． 这一事实也可以从误差传播公式(1.12)分析出． 鉴于此，算法设计时，应该避免相近数相减．在图1.2中我们给出了当x 接近时，两种算法的精度比较，其中变量x 依次取为1-． 从图中可以看出两种方法的相对误差基本上都为，因而二者的精度相当．{}3011=--i iπ710-图1.1 算例1.1中两种算法的相对误差图（）+∞→x图1.2 算例1.1中两种算法的精度比较)1(-→x 算例1.2 试用不同位数的浮点数系统求解如下线性方程组⎩⎨⎧=+=+2321200001.02121x x x x 说明2：浮点数系统中的加减法在运算时，首先按较大的阶对齐，其次对尾数实施相应的加减法运算，最后规范化存入计算机．算法1 首先用第一个方程乘以适当的系数加至第二个方程，使得第二个方程的的系1x 数为零，这时可解出；其次将带入第一个方程，进而求得(在第三章中称该方法为高2x 2x 1x 斯消元法)． 当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法1a 和算法1b ． 算法 2 首先交换两个方程的位置，其次按算法1计算未知数 (第三章中称其为选主元的高斯消元法)． 当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法2a 和算法2b ．方程组的精确解为， ，用不同的算法计算出的...25000187.01=x ...49999874.02=x 结果见表1.1．表1.1 对算例1.2用不同算法的计算结果比较算例1.2*1x )(*1x r ε*2x )(*2x r ε算法1a 0.00000.10×1010.50000.25×10－7算法2a 0.25000.75×10－70.50000.25×10－7算法1b 0.26000000.40×10－10.49999870.10×10－6算法2b0.25000200.50×10－80.50000000.25×10－7对于算例1.2，表中的数据表明，当用4位尾数计算时，算法1给出错误的结果，算法2则给出解很好的近似． 这是因为在实现算法1时，需要给第一个方程乘以加00001.0/2－至第二个方程，从而削去第二个方程中的系数，但在计算的系数时需做如下运算1x 2x(1.13)661610000003.0104.0103.0104.03200001.02⨯⨯⨯⨯=+⨯＋＝－＋－－对上式用4位尾数进行计算，其结果为． 因为舍入误差，给相对较大的数加以6104.0⨯－相对较小的数时，出现大数“吃掉”小数的现象． 计算右端项时，需做如下运算(1.14)661610000002.0102.0102.0102.02100001.02⨯⨯⨯⨯=+⨯＋＝－＋－－同样出现了大数吃小数现象，其结果为． 这样，得到的变形方程组6102.0⨯－⎩⎨⎧⨯-=⨯-⨯=⨯+⨯62612114102.0104.0101.0102.0101.0x x x 中没有原方程组中第二个方程的信息，因而其解远偏离于原方程组的解． 该算法中之所以出现较大数的原因是因为运算，因而算法设计中尽可能避免用绝对值较大的数00001.0/2－除以绝对值较小的数． 其实当分子的量级远远大于分母的量级时，除法运算还会导致溢出，计算机终止运行．虽从单纯的一步计算来看，大数吃掉小数，只是精度有所损失，但多次的大数吃小数，累计起来可能带来巨大的误差，甚至导致错误． 例如在算法1a 中出现了两次大数吃小数现象，带来严重的后果． 因而尽可能避免大数吃小数的出现在算法设计中也是非常必要的． 当用较多的尾数位数进行计算，舍入误差减小，算法1和2的结果都有所改善，算法1的改进幅度更大些．算例1.3 计算积分有递推公式，已知⎰+=1055dx x x I n ),2,1(511 =-=-n I nI n n ． 采用IEEE 双精度浮点数，分别用如下两种算法计算的近似值．56ln 0=I 30I算法1 取的近似值为，按递推公式计算0I 6793950.18232155*0=I *1*51--=n n I nI *30I 算法2 因为，取的近似值为)139(5156)139(611039103939+⨯=<<=+⨯⎰⎰dx x I dx x 39I ，按递推公式计算3333330.004583332001240121*39≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=I ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-**1151n n I n I *30I 算法1和算法2 的计算结果见表1.2． 误差绝对值的对数图见图1.3．表1.2 算例1.3的计算结果算法1算法2n *nI n n I I -*n *nI nn I I -*18.8392e-002 1.9429e-01639 4.5833e-0033.9959e-0042 5.8039e-0029.8532e-016384.2115e-0037.9919e-0053 4.3139e-002 4.9197e-01537 4.4209e-003 1.5984e-0054 3.4306e-002 2.4605e-01436 4.5212e-003 3.1967e-0065 2.8468e-002 1.2304e-01335 4.6513e-003 6.3935e-0076 2.4325e-002 6.1520e-01334 4.7840e-003 1.2787e-007………33 4.9255e-003 2.5574e-00825 1.1740e+001 1.1734e+00132 5.0755e-003 5.1148e-00926-5.8664e+001 5.8670e+00131 5.2349e-003 1.0230e-00927 2.9336e+002 2.9335e+002 305.4046e-003 2.0459e-01028-1.4667e+003 1.4668e+003 297.3338e+0037.3338e+003 30-3.6669e+004 3.6669e+004图1.3 算例1.3用不同算法计算结果的误差绝对值的对数图从表1.2中的计算结果可以看出，算法1随着计算过程的推进，绝对误差几乎不断地以5的倍数增长，即有0*02*221*1*555I I I I I I I I n n n n n n n -≈≈-≈-≈----- 成立． 对于逐步向前推进的算法，若随着过程的进行，相对误差在不断增长，导致产生不可靠的结果，这种算法称之为数值不稳定的算法． 对于算法1绝对误差按5的幂次增长，但真值的绝对值却在不断变小且小于1，相对误差增长的速度快于5的幂次，导致产生错误的结果，因而算法1数值不稳定，不能使用． 而算法2随着计算过程的推进，绝对误差几乎不断地缩小为上一步的1/5，即有m m n m n n n n n n n I I I I I I I I 5/5/5/*22*21*1*++++++-≈≈-≈-≈- 成立． 绝对误差不断变小，真值的绝对值随着过程向前推进却在变大，这样相对误差也越来越小，这样的方法称之为数值稳定的算法． 算法1和算法2的误差对数示意图见图1.3． 这个算例告诉我们应该选用数值稳定的算法．知识结构图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧算法设计要点数值方法的稳定性数值方法的收敛性算法多元函数一元函数传播有效数字相对误差（限）绝对误差（限）度量截断误差舍入误差误差的产生误差误差与算法习题一1 已知有效数，，． 试给出各个近似值的绝对误105.3*1-=x 4*210125.0⨯=x 010.0*3=x 差限和相对误差限，并指出它们各有几位有效数字．2 证明当近似值是x 的较好近似时，计算相对误差的计算公式和相差一个*x x x x -***xxx -和同阶的无穷小量．2*⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x x 3 设x 的近似值具有如式(1.5)的表示形式，试证明*x 1)若具有n 位有效数字，则相对误差；*x n r a x e -⨯≤11*1021)(2)若相对误差，则至少具有n 位有效数字．n r a x e -⨯+≤11*10)1(21)(*x 4 试建立二元算术运算的绝对误差限传播近似计算公式．5 试建立如下表达式的相对误差限近似传播公式，并针对第1题中数据，求下列各近似值的相对误差限．1) ； 2) ； 3) *3*2*1*1x x x y +=3*2*2x y =*3*2*3/x x y =6若例题1.3中使用的尺子长度是80mm ，最小刻度为1mm ，量得某桌面长的近似值mm ，宽的近似值mm ． 试估计桌子长度、宽度的绝对误差限，并3.1304*=a 8.704*=b 求用该近似数据计算出的桌子面积的绝对误差限和相对误差限．7 改变如下计算公式，使其计算结果更为精确．1) 且0,cos 1≠-x xx1<<x 2)1,1ln )1ln()1(ln 1>>--++=⎰+N N N N N xdx N N3) 1,133>>-+x x x 8 (数值试验)试通过分析和数值试验两种手段，比较如下三种计算近似值算法的可靠性．1-e 算法1 ；∑=--≈mn nn e 01!)1( 算法2 ；101!1-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛≈∑m n n e算法3 ；101)!(1-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈∑m n n m e9 (数值试验)设某应用问题归结为如下递推计算公式 ，，72.280=y 251-=-n n y y,2,1=n 在计算时取为具有5位有效数字的有效数． 试分析近似计算公式的2*c **1*5c y y n n -=-绝对误差传播以及相对误差传播情况，并通过数值实验验证 (准确值可以用IEEE 双精度浮点运算结果代替)，该算法可靠可用吗？。
数值分析第一章
x1系数 a3 3 b2 x* 10 b3 7 c2 x* 42 c3 49 p(2)
常数项 a4 4 b3 x* 14 b4 10
1.4
数值计算中算法设计的技术
迭代法与开方求值 以直代曲与化整为“零” 加权平均的松弛技术
2
ε x 的相对误差上限 /* relative accuracy */ 定义为 ε * |x |
* r
1.2 数值计算的误差
有效数字 /* significant digits */
* m 用科学计数法，记 x 0.a1a2 an 10（其中 a1 0 ）。若 | x x* | 0.5 10mn（即 a n 的截取按四舍五入规则），则称 x * 为有n 位有效数字，精确到 10m n 。 897932 ; * 3.1415 例 3.1415926535
对一个数值问题本身, 如果输入数据有微小扰动（即误 差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是病
态问题.
例如计算函数值 f ( x)x*)的相对误差为 x
f ( x) f ( x*) f ( x)
1.3 避免误差危害的若干原则
ε* 0 .5 10m n 10 n εr * m x* 0 .a1a 2 an 10 2 0 .a1 1 10 n1 2a1
1.2 数值计算的误差
相对误差限 有效数字
已知 x* 的相对误差限可写为 εr *
10 n 1 则 | x x* | εr * | x* | 0 .a1a 2 10m 2(a1 1)
算法设计的好坏不但影响计算结果的精度，还可以
大量节省计算时间.
多项式求值的秦九韶算法
应用数值分析(一)
机上解决数学问题的理论和可行的数值方法。
•数值分析要解决的数学问题：
“高等数学”中的微积分计算
“线性代数”中的矩阵计算，例如：线性方程组的求
解，矩阵特征值计算，等等
2023/10/14
数值分析解决的问题？
输入复杂问题或运算
x,
x
a ,
b
f ( x )dx ,
2023/10/14
泛函分析与数值算法的关系
• 泛函分析是进行数值算法研究的理论基础，属于分
析数学。对数值算法而言，运用泛函分析的观点与语
言可使数值算法中很多定理与方法的推导变得简洁、
直观。
• 本课程只介绍与数值算法有密切关系的泛函分析的基
本概念和理论。（范数、内积、不动点理论等等）
2023/10/14
a
近似解
2023/10/14
ln x ,
Ax b ,
d
f ( x ),
dx
数值
分析
......
计算机
插值法
数值逼近
最佳逼近
数值积分和数值微分
数值分析
求解线性方程组
数值代数
非线性方程的求根法
代数特征值问题的数值解法
Байду номын сангаас微分方程数值解
2023/10/14
常（偏）微分方程数值解
什么是泛函分析？
0.5
e( y ) 0.5
0.05%, *
5%
*
x
1000
y
10
Ｘ卷尺更精确！
决定一个量近似值的优劣，除了要考虑绝对误差的大
数值分析 第1章
3．计算复杂性尽可能小 从实际需要出发，我们还需要考虑计算量的大小， 即所谓计算复杂性问题。它由以下两个因素决定的： 使用中央处理器 CPU）的时间，主要由四则运算 使用中央处理器（ 的时间 主要由四则运算 的次数决定； 占用内存储器的空间，主要由使用的数据量来决 定。
4．要有数值化结果 数值计算的许多方法是建立在离散化的基础上进 行的， 其解决问题的最终结果不是解析解而是数值近似 解。对于给定的数学模型，采用不同的离散手段可以导 致不同的数值方法，应该通过计算机进行数值试验，进 行分析、比较来选定算法。 对新提出的算法，有的在理论上虽然还未证明其 收敛性，但可以从具体试验中发现其规律，为理论证明 提供线索。
x2 =
−b − b 2 − 4ac 2c = 2a −b + b 2 − 4ac
9
来严重影响 应尽量避免 来严重影响，应尽量避免。 例3
，
在 4 位浮点十进制数下，用消去法解线性方程
⎧0.00003 x1 − 3 x 2 = 0.6 ⎨ x1 + 2 x 2 = 1 . ⎩
组
2 ×10 =1 . 109 + 109
§1.1
预备知识
一、集合
把一些确定的彼此不相同的事物汇集在一起成为一 个整体，称为集合。 表示方法：描述法；列举法。 分类：有限集；无限集（可列集，不可列集） 。
9
10
可列集（可数集） ： 设 A 是无限集，若 A 中的一切元素可以用自然数 编号（即 A 与自然数集 N 一一对应） ，使 A 写成 A={ A { a1 , a2 , a3 ,L an ,L },则称 A 为可列集 （或可数集） 。 否则，称为不可列集。 如：有理数集是可列集，数列构成的集合是可列 集；无理数集、[0，1]中的全体实数构成的集合是不 可列集。
数值分析-1绪论
数值分析刘立新西安电子科技大学推荐教材及参考资料•李庆扬，王能超，易大义编，《数值分析》（第四版武汉华中科技大学出版社年四版），武汉：华中科技大学出版社，2006•沈剑华主编，《数值计算基础》（第二版），同济大学出版社，2004年济大学出版社其值教材•其他数值分析教材2课程要求先修课程和后续课程：修先修课程：高等数学，线性代数，计算机语言等。
后继课程：数值代数，数值逼近，最优化方法等。
课程评分方法：•平时成绩（20%）考•考试（80%）3建立各种数学问题的数值计算算法的方法和理论通俗地本课程的任务•建立各种数学问题的数值计算算法的方法和理论。
通俗地讲，就是为各种实际问题提供有效的数值近似解方法。
提供在的理论的计算•计算机上实际可行的、理论可靠的、计算复杂性好的各种常用算法。
学习的目的、要求•会套用、修改、创建公式•编制程序完成计算4课程内容•第一章绪论第章•第二章插值与逼近•第四章数值积分与数值微分•第五章常微分方程数值解法•第六章方程求根•第七章线性方程组的解法51第1 章绪论6本章内容111.1 光波的特性1.1 数值分析的对象与特点1.2 光波在介质界面上的反射和折射1.2 误差来源与误差分析的重要性1.3 误差的基本概念1.3 光波在金属表面上的反射和折射1.4数值运算中误差分析的方法与原则7本章要求•主要内容：算法的基本概念，误差的基本概念。
主容•基本要求–(1) 了解数值计算的研究对象与基本特点以及科学计算的重要性；的要性；–(2) 理解绝对误差、相对误差和有效数字的概念；(3)了解数值计算中应注意的些问题。
–了解数值计算中应注意的一些问题•重点、难点–重点：数值计算方法的含义；重点数值计算方法的含义–难点：误差的理解。
81.1 数值分析的对象与特点11什么是数值分析?什么是数值分析•“数值分析”就是研究在计算机上解决数学问题的数值方法及其理论；数值算构计算公式算步•数值算法的构造：计算公式和算法步骤；算法的理论分析误差分析、收敛性、稳定性等•算法的理论分析：误差分析、收敛性、稳定性等。
数值分析课件(第1章)
使用教材:数值分析 华南理工大学出版社 韩国强 林伟健等编著
数值分析
林伟健
制作
华南理工大学计算机学院
本课程介绍的内容：使用计算机来 解决某些数学问题的近似方法。
《数 值 分 析》目录
第 1 章 误差 第 2 章 代数插值与数值微分 第 3 章 数据拟合 第 4 章 数值积分 第 5 章 解线性代数方程组的直接法 第 6 章 解线性代数方程组的迭代法 第 7 章 非线性方程和非线性方程组的数值解 第 8 章 矩阵特征值和特征向量的数值解法 第 9 章 常微分方程初值问题的数值解法
2
从而得到
p n 3
而
3.1415 0.31415101 p 1
近似值 3.1415 的误差限为该值小数点后
第三位的半个单位，由有效数字的定义得知，
具有4位有效数字。 顺便指出，准确值我们通常称它具有无穷多位有效
数字。
4. 有效数字与误差限的关系
设准确值 x 的近似值为 x* ，且将 x* 表示为
x 0.1 2 m 10 p（p为整数，1,2,,m
3.1416 1 104
2 3.14159
1 105
2
2
这个数经过四舍五入之后所得到的近似值，它的误差
限是它末位的半个单位。
可以证明：对任何数经过四舍五入之后所得到的 近似值，它的误差限都是它末位的半个单位。
定义1-3 若近似值x*的误差限为该值的某一位的半个单位，
例如， 0.045678 0.0457 3 位 具有3 位有效数字 又如， 8.0005 8.00 3 位 具有3位有效数字
例1-2 若 的近似值为 3.141，5 则 有多少位有效数字?
第一章数值分析与科学计算引论
第一章 数值分析与科学计算引论1.1误差采用数值方法求解问题，获得的是近似解。
若近似程度满足不了实际问题的需要，这方法就将失效。
因此构造一个合理的数值方法时必须注重误差分析，注意误差的影响. 1.1.1误差来源(1) 模型误差：数学描述与实际问题之间的误差(2) 观测误差： 数值问题的原始数据，一般由观测或实验手段获得。
由于测量或实验工具的精度有限，因此总有误差。
(3) 截断误差：实际计算只能用有限次运算来完成，而理论上的精确值往往要求用无限的过程来实现，因此需要将无穷过程进行截断。
这样产生的误差通常称作截断误差(与具体算法有关)。
如：!201!21!111++++≈ e 产生的误差. (4) 舍入误差：计算机数系是有限集。
因此大多数数只能用计算机数系中和它们比较接近的数来表示。
由此而产生的误差就是舍入误差，如：取14159265.3≈π产生的误差。
每一步的舍入误差虽是微不足道的，但经过计算过程的传播和积累，舍入误差甚至可能会“淹没”所要求的真解。
从上述四种误差的来源来看，模型误差和观测误差往往是科学计算工作者不能独立解决的，甚至是尚待解决的问题。
因此在数值计算过程，一般只讨论截断误差和舍入误差，讨论它们在计算过程中的传播和对计算结果的影响，研究控制它们的影响以保证最终结果有足够的精度，既希望解决问题的算法简便而有效，又使最终结果准确而可靠。
1.1.2 绝对误差和相对误差为了刻划近似数的精确程度，引入绝对误差和相对误差的概念。
绝对误差：设数x 精确值，*x 为其近似值，*x x e -=称为近似数*x 的绝对误差。
绝对误差限：准确值x 是未知的，因此绝对误差e 也是未知的。
因此我们常常设法估计x 的取值范围，即求出一个正数ε使ε≤-=||||*x x e称ε为近似值*x 的绝对误差限或精度。
则有：εε+<<-**x x x 或表示成: ε±=*x x 相对误差:***x x x x x e r --=或相对误差限r ε： r r e ε≤ 注：1、绝对误差限与相对误差限惟一；2、绝对误差限与相对误差限越小，近似值的近似程度越高；3、实际中通常按四舍五入取近似值。
数值分析：第一章绪论PPT课件
x
*
是指对每一个 1 i
n
都有lim k
xi( k )
x
* i
可以。理解为 | |
x
(
k
)
x*
||
0
定义1.2.3
若存在常数
C1、C2
>
0
使得，
C1 || x ||B || x ||A C2 || x ||B
则称 || ·||A 和|| ·||B 等价。
可以理解为对任何
向量范数都成立。
数值分析课程中所讲述的各种数值方 法在科学与工程计算、信息科学、管理 科学、生命科学等交叉学科中有着广泛 的应用
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应用问题举例
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1、一个两千年前的例子
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗；
上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉， 实三十四斗；
上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉， 实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾 一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四 分斗之三。-------《九章算术》
定理1.2.1 Rn 上一切范数都等价。
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二. 矩阵范数
定义1.2.4
Rmn空间的矩阵范数 || ·|| 对任意A, B R满mn足： (1) || A || 0 ; || A || 0 A 0 （正定性)
(2) || A || | | || A || 对任意 C (齐次性) (3) || A B || || A|| || B || （三角不等式)
1 1
(1
I1*
)
0.63
212056
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我们仅仅是幸运吗?
数值分析实验指导书
dx(n?0,1,?,20)的递推关系，并在计算机上实现解题 建立积分In??05?x
nn?11x?5x11??xn?1dx?。建立下列两种递推公式： 提示：由In?5In?1??005?xn
111??I??5I?I??I??n?n?1n?1n?1（A）?n （B）?55n，讨论数值计算的稳定性
数字。
解 由?x?3.142?3.1415926???0.00041, 误差限为??1?10?3. 2
?3因m?0,n??3，由定义知x具有4位有效数字，准确到10位的近似数。
2例3 已知近似数a?1.2864,b?0.635,求b,a?b的误差限和准确数位。
解 因（?a）?11?10?4，（?b）??10?3， 22
1
2?3 ??bb??b?b?b?b?2b??b??2?0.635??10
所以 ?b1??10?2 2?10???1
22?2, b2准确到10?2位。
?(a?b)??a??b??(a)??(b)??10?2,则a?b准确到10?2位。
1.3 数值实验 12
xn
A． 0.5 B. 0.05
C． 0.005 D. 0.0005.
解 因 45.0?0.450?10，它为具有3位有效数字的近似数， 2
11?10?3?102??10?1。所以，答案为B. 22
*例2 已知x???3.1415926??, 求近似值x?3.142的误差限，准确数字或有效其误差限为 ??
数值分析实验指导
第一章 绪论
1.1 主要内容
误差的来源与分类：计算误差，截断误差（方法误差）
误差和误差限的概念及计算：绝对误差，绝对误差限，相对误差，相对误差限. 有效数位，有效数字的判断
《数值分析》ppt课件
7.
er
a b
er
(a)
er
(b)
30
例4
ε(p)
设有三个近似数
p ≈ 6.6332
≈0.02585
a=2.31,b=1.93,c=2.24
它们都有三位有效数字，试计算p=a+bc，e ( p)和e r ( p) 并问：p的计算结果能有几位有效数字？
2位
例5
设f (x, y) cos y , x 1.30 0.005, y 0.871 0.0005. x
er
e x
x x x
.
由于精确值 x 未知, 实际上总把
e x
作为x*的
相对误差，并且仍记为er , 即
er
e x
.
❖定义 近似值 x* 的相对误差上限(界) (relative accuracy)
εr
|
ε x
|.
注:相对误差一般用百分比表示.
17
例1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆
注:理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
15
提问：绝对误差限的大小能否完全地 表示近似值的好坏？ 例如：有两个量
x 10 1 , y 1000 5
思考
问：谁的近似程度要好一些？
16
❖定义 近似值 x* 的相对误差 (relative error)
a 2.18
e r(b) e (b) 0.00005 0.0024%
b 2.1200
19
➢有效数字 ( significant digits)
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1.1 数值分析的研究对象和特点
Introduction
数值分析 能够做什么？
第一章 绪论
数值分析是研究用计算机求解各种数
学问题的数值方法及其理论的一门学科。 数值分析也称为数值计算方法。
研究对象由数学模型提出求解的
数值计算方法并编程计算出结果， 然后进行误差分析。
数值逼近 (Ch. 2 — 4) 内容 数值代数 (Ch. 5 — 7) 微分方程数值解 (Ch. 8 , 9)
第一章 绪论
方法:
离散化
计算离散点上的近似值
构造性
方法的构造，解的存在唯一性的证明
递推性
复杂计算过程转化成简单的计算过程的多次重复 （适合计算机计算）
近似替代
在误差允许的范围内，无限次的计算用 有限次计算替代
第一章 绪论
特点:
1、方法是近似的；
2、与计算机不能分离：上机实习
（掌握一门语言：C语言或Fortran语言， 会用一种数学软件：Matlab 或 Mathematica ，Maple）
作为数值分析的基础知识，本课程不可能面面俱到。除构造算法 外，各章根据内容自身的特点，讨论的问题有所侧重。学习时我们首 先要注意掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与 计算机的结合，要重视误差分析、收敛性和稳定性的基本理论。其次， 要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题，熟悉数值方 法的计算过程。最后，为了掌握本课程的内容，还应做一定数量的理 论分析与计算练习。
在我们今后的讨论中，误差将不可回避，
上机实习是需要大家创造条件完成的
第一章 绪论
用计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法
编写程序 机求数学问题的数值解不是简单地构造算法，它涉
及多方面的理论，例如，算法的收敛性和稳定性等。除理论分析外，
一个数值方法是否有效，最终要通过大量的数值实验来检验。数值 计算方法具有理论性、实用性和实践性都很强的特点。