数字信号处理chap7_第5讲
数字信号处理课件ppt
| rws (k ) |2
2 w
1 dz 1 C Sss ( z) H opt ( z)S xs ( z ) z 2πj
通过前面的分析, 因果维纳滤波器设计的一般方法可以按 下面的步骤进行:
(1) 根据观测信号x(n)的功率谱求出它所对应的信号模型的
传输函数,即采用谱分解的方法得到B(z)。 S xs ( z) (2) 求 B( z 1 ) 的Z反变换,取其因果部分再做Z变换,即 S xs ( z ) 舍掉单位圆外的极点,得 B( z 1 ) (3) 积分曲线取单位圆,应用(2.3.38)式和(2.3.39)式,计 算Hopt(z), E[|e(n)|2]min。
1 ˆ' rxx (m) N
N |m|1
n 0
x ( n ) x ( n m)
平稳随机序列通过线性系统:
y (n)
k
h( k ) x ( n k )
k
m y E[ y (n )]
h(k ) E[ x(n k )]
k
ryy (m)
m0
k=0, 1, 2, …
利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程:
x(n)=s(n)+υ (n)
H(z) (a)
ˆ y ( n) s ( n)
x(
x(n)
1 B( z )
w(n)
G(z) (b)
ˆ y ( n) s ( n)
x(
图2.3.5 利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程
D (m)
2 x
rxx (m)
2 x (m)
数字信号处理基础-ppt课件信号分析与处理
4.filtering modified the spectrum of a signal by eliminating one or more frequency elements from it.
5.digital signal processing has many applications, including speech recognition,music and voice synthesis,image processing,cellular phones,modems,and audio and video compression.
2020/4/13
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第2章 模数转换和数模转换
2.1 简单的DSP系统(A Simple DSP System) 2.2 采样(Sampling) 2.3 量化(Quantization) 2.4 模数转换(Analog-to-Digital Conversion) 2.5 数模转换(Digital-to-Analog Conversion) 小结 (Chapter Summary)
2020/4/13
1.5 语音、音乐、图像及其他 1.5 SPEECH,MUSIC,IMAGES,AND MORE
DSP在许多领域都有惊人的应用,并且应用的数量与日俱增。
1)利用数字语音信号(speech signals)中的信息可以识别连续语 音中的大量词汇。
2)DSP在音乐和其他声音处理方面有着重要的作用。
数字信号处理ppt课件
三.自相关函数与 自协方差函数的性质
24
性质1 :相关函数与协方差函数的关系
Cxx m rxx m mx 2
Cxy m rxy m m*xmy
当 mx 0
Cxx m rxx m Cxy m rxy m
25
性质2:均方值、方差与相关函数和协方差函数
rxx
0
E
xn
2
Cxx 0 rxx 0 mx 2
五、功率谱密度
44
维纳——辛钦定理
1. 复频域
rxx
(m)
1
2
j
c Sxx (z)zm1dz,
Sxx
(z)
m
rxx
(m)z
m
C (Rx , Rx )
45
2. 频域
{ rxx(m)
1
2
Pxx (e j )e jm d
2
Pxx (e j ) rxx (m)e jm
m
46
3.性质
实平稳随机信号 rxx m rxx m
rxx m E x x n1 n1m
x1x2 p x1 , x2 ; m dx1dx2
18
自协方差函数
Cxx (m) E (xn1 mx )*(xn2 mx ) E (xn1 mx )*(xn1m mx )
rxx m mx 2
19
对于均值为零的随机过程 rxx m Cxx m
①偶函数
Pxx e j Pxx e j
②实函数
Pxx e j Pxx e j
③极点互为倒数出现
Sxx
z
Sxx
1 z
47
④功率谱在单位圆上的积分等于平均功率
E
x2
数字信号处理基础-ppt课件信号分析与处理
2020/6/22
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第2章 模数转换和数模转换
2.1 简单的DSP系统(A Simple DSP System) 2.2 采样(Sampling) 2.3 量化(Quantization) 2.4 模数转换(Analog-to-Digital Conversion) 2.5 数模转换(Digital-to-Analog Conversion) 小结 (Chapter Summary)
高频信号(high frequency signal): 随时间变化较快。
2020/6/22
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1.4 数字滤波(DIGITAL FILTERING)
滤波器(filter): 可以改变信号频率特性,让一些信号频率通过, 而阻塞 另一些信号频率。
低通滤波器(low pass filter):使低频(low-frequency)成分通过 。 (男低音)
2020/6/22
图1.6
2)对模拟值进行量化和数字化
quantize and digitize the analog values
采样结束后,转化器(converter)选择与采样保持电平最 接近的量化电平(quantization level),然后分配一个二进 制数字代码(digital codes)来标识这个量化电平 (quantization level)。
3.a digital signal is said to lie in the time domain, its spectrum,which describes in frequency content,lies in the frequency domain.
4.filtering modified the spectrum of a signal by eliminating one or more frequency elements from it.
数字信号处理课件--数字信号处理5-精品文档
0 t t p NT 其余n
n
F[ w(t )] W ( j )
N 1 n 0
x(n) x(t ) w(t )
x(t )w(t ) (t nT) x(nT) (t nT )
sin(N 2) 其中: W ( j ) sin( 2)
~ X (k )W kn
k 0
N 1
~ ~ X ( k ) DFS [ x (n)] 为周期序列的付氏变换 DFS。记为 课件
3
说明: 离散周期信号、离散周期频谱的序列周期都为 N 。 表达式中隐含了离散周期信号的采样间隔 n nT 和离散周期频谱的频 率间隔(频率分辨率) k k1 或 k k1 , k kF 。 几个物理量之间的关系: 1 2F
2 s , 1 1T , NT N
fs 1 1 F 。 (频率分辨率) t p NT N
对于周期序列实际计算只需要计算一个周期的值(0 ~ N-1) ,其余值可以 通过周期扩展得到。 所以可以定义一个有限序列(长度为周期 N )的傅氏变换便于计算。
课件
4
3.1.2离散傅氏变换DFT的定义及用途 1、离散傅氏变换DFT的定义
数字信号处理
第 3 章
数字信号处理多媒体教学系统
离散傅氏变换DFT
2019。3 第2版
版权所有:yuning
(2)
课件
1
3.1 离散傅氏级数(DFS)和离散傅氏变换(DFT)的导出 3.1.1 周期序列的离散傅氏级数(DFS)
~ x (t ) ~ x (n) 离散周期信号 (周期 t p )
x(n) 对于有限长序列 x(n) 0
数字信号处理英文课件Chapter7
■
Four Types of Linear Phase FIR Filters
h(n)
Type I
h(n)
Type II
0
M/2
M
n
0
M/2
M
n
h(n)
H(z) =
z –M ⁄ 2
h(M ⁄ 2) +
M⁄2–1 n=0
Type III
2
3
4
and
Φ ( ω ) = –Φ ( –ω )
y ( n ) = 0.5 y ( n – 1 ) + x ( n ) – x ( n – 2 )
1 – cos 2 ω + j sin 2 ω 1 – e –j 2 ω = ------------------------------------------------H ( j ω ) = -------------------------ω – j 1 – 0.5 cos ω + j sin ω 1 – 0.5 e
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C h a p t e r
7 :
A
F r a m e w o r k
f o r
D i g i t a l
F i l t e r
D e s i g n
C h a p t e r
7 :
A
F r a m e w o r k
f o r
D i g i t a l
2.3 Finite Impulse Response (FIR) Filters
• Duration of h ( n ) : N = M + 1 < ∞ , i.e., h ( n ) = 0 as • FIR filters are nonrecursive; i.e., all coefficients a k = 0 . • Causal FIR filters can be represented as follows: n → ∞.
数字信号处理chapter7
2
2 n0
N 1 N 1
z 2
h(n)
1
n N 1
[z 2
n N 1
z 2]
n0
2
Chapter7 FIR Digital
z e j
j N 1 N 1
je 2
n0
h(n) sin[(n N 1)]
2
j N 1 j N 1
e 2 2
Chapter7 FIR Digital Filter Design
Chapter7 FIR Digital Filter Design
7.1 Linear-Phase FIR Digital Filter 7.2 Design of FIR Filter Using Windows 7.3 Comparison of IIR and FIR Digital Filter
h(0 ) y(n)
Chapter7 FIR Digital Filter Design
z- 1
z- 1
z- 1
z- 1
h(1 )
z- 1 h(2 )
z- 1
h(N/2 - 1) z- 1
N=偶数
z- 1
z- 1
z- 1
h(1 )
z- 1 h(2 )
z- 1
N=奇数
z- 1
h((N- 1)/2 )
Structure of first form linear phase
Chapter7 FIR Digital Filter Design
(1) Prove of first form linear phase:
N 1
H (z) h(n)zn
n0
N 1
数字信号处理 清华大学出版社chapter 5
m
y [n m L]
L
0≤n≤L-1
where L is the number of points making the circular convolution of g[n] and h[n].
Conclusions
6. Linear convolution using the DFT-based approach
5.1 Introduction
x(t)
X(jω)
CTFT
P(t)
Ts P(jω) ωs
ωs=2π/Ts
x[n]
X(jω)
DTFT
q(t)
T
…
Q(jω)
Ω0
…
Ω0= 2π/T DFT
Goback
5.2 The Discrete Fourier Transform
5.2.1 Definition of the DFT Given a length-N sequence x[n], defined for 0≤n ≤N-1, its N-point DFT X[k] is defined by
5.1 Introduction
By sampling, we can get a discrete-time sequence with finite-duration from a timelimited continuous-time signal; By periodically extending, we obtain the sequence which is both discrete and periodic.
Conclusions
Problem: Given two length-5 discrete-time sequences g[n] and h[n] given by g[n] = {2 2 2 2 2}, h[n] = {1 1 1 1 1} respectively. If we want to determine the linear convolution of g[n] and h[n] using DFT-based approach, 1. What is the number of points of the DFTs of g[n] and h[n] so that the linear convolution is correct? 2. Let the number of points of the DFTs be 4, determine the linear convolution of g[n] and h[n] using DFT-based approach?
数字信号处理 第五章
第五章离散时间信号的数字处理Q5.1运行程序P5.1,产生连续时间序号及其抽样形式,并显示它们。
clf;t = 0:0.0005:1;f = 13;xa = cos(2*pi*f*t);subplot(2,1,1)plot(t,xa);gridxlabel('时间, msec');ylabel('振幅');title('连续时间序号 x_{a}(t)');axis([0 1 -1.2 1.2])subplot(2,1,2);T = 0.1;n = 0:T:1;xs = cos(2*pi*f*n);k = 0:length(n)-1;stem(k,xs);grid;xlabel('时间 n');ylabel('振幅');title('离散事件序号 x[n]');axis([0 (length(n)-1) -1.2 1.2])Q5.2 正弦信号的频率是多少赫兹?抽样周期是多少秒?正弦信号的频率f=13Hz,抽样周期T=0.1s。
Q5.3 解释两个axis命令的效果。
给x,y轴标刻度。
Q5.4 以比在程序P5.1中列出的抽样周期低的两个抽样周期和高的两个抽样周期的四个其他值,运行程序P5.1.评论你的结果。
T=0.04s T=0.08sT=0.15s T=0.3s由上图可以发现:当取的T越小时,得到的图形越接近原图形。
Q5.5 通过将正弦信号的频率分别变为3HZ和7HZ,重做习题Q5.1。
相应的等效离散时间信号与习题Q5.1中产生的离散时间信号之间有差别么?若没有,为什么没有?f=3Hz f=7Hz由图可以看出,变换频率得到的两个图没有区别,因为他们的抽样周期一样。
Q5.6 运行程序P5.2,产生离散时间信号x[n]及其连续时间等效ya[t],并显示它们。
clf;T = 0.1;f = 13;n = (0:T:1)';xs = cos(2*pi*f*n);t = linspace(-0.5,1.5,500)';ya = sinc((1/T)*t(:,ones(size(n))) - (1/T)*n(:,ones(size(t)))')*xs;plot(n,xs,'o',t,ya);grid;xlabel('时间, msec');ylabel('振幅');title('重构的连续时间序号 y_{a}(t)');axis([0 1 -1.2 1.2]);图1 图2Q5.7 在程序P5.2中,t的范围和时间增量的值是什么?在图中,t的范围是什么?改变t的范围,显示上述程序所计算的全范围ya[t]并再次运行程序P5.2,。
数字信号处理第五章
b1 w1 b2
y(n)
w1(n) w2 (n 1) w2 (n) w'2 (n 1) w'2 (n) x(n) a1w2 (n) a2 w1(n)
-a2 (a)
y (n) b2 w1(n) b1w2 (n) b0 w'2 (n)
W1 ( z ) W2 ( z ) z 1 W2 ( z ) W '2 ( z ) z 1
x(n)
z-1
h(0)
N 1
z-1
h(1)
z-1
h(2)
z-1
h(N-2) h(N-1)
y(n)
2、级联型结构
将H(z)系统函数进行因式分解,并将共轭成对的零点放在一 起,形成一个系数为实数的二阶形式,这样级联型网络结构 就是由一阶或二阶因子构成的级联结构,其中每一个因式都 用直接型实现。
H(z ) h(n) Z n ( 0i 1i z 1 2i z 2 )
§5.3 无限长脉冲响应基本网络结构
IIR网络的特点:信号流图中含有反馈支路,即存在 环路,其单位脉冲响应是无限长的。有三种结构: 直接型、级联型、并联型 1、直接型
y ( n)
M
i b z i M
H1(z)
H(z)=H1(z)H 2(z)
N
H (z)
1 ai z i
i 1
b0 x ( n) w’2 z-1 -a1 w2 z-1 b1 w1 b2 (b) y(n)
H(z)
-a2 (a)
基本信号流图
非基本信号流图
根据信号流图可以求出网络的系统函数,方法是列出各个节 点变量方程,求解该方程,推导出输出与输入之间的关系。
离散时间信号处理(英文版)chap7-第5讲
差分方程用于描述离散时间信号的处理过程 ,例如数字滤波器、离散控制系统等。
state equation
定义
01
状态方程是描述离散时间系统动态行为的另一种数学
模型,它给出了系统内部状态变量的变化规律。
形式
02
状态方程的一般形式为 x[n] = f(x[n-1], x[n-2], ...,
u[n])
分类
根据系统对初始条件的敏感度,可以分为渐近稳定、指数稳定和不稳定。
stability criterion
劳斯-赫尔维茨准则
对于线性时不变离散系统,如果系统 的特征方程的所有根都位于复平面的 左半部分,则该系统是稳定的。
尼可拉斯-贝塔朗准则
对于线性时不变离散系统,如果系统 的所有状态方程的系数矩阵都是稳定 的,则该系统是稳定的。
Sequences are the most basic representation, where each element in the sequence corresponds to a point in time.
Arrays and matrices are more complex representations that can encode additional information about the relationships between different points in time.
The discrete time signal processing has its roots in the development of digital computers in the 1940s. With the advent of digital technology, it became possible to process signals in a discrete manner, rather than continuously. This led to the development of various algorithms and techniques for discrete time signal processing.
《数字信号处理基础》课件
信号压缩等。
Z变换
Z变换的定义
Z变换是一种将离散时间信号转换为复数域信号的方法,通过将离 散时间信号转换为复数域中的函数,可以更好地分析信号的特性。
Z变换的性质
Z变换具有线性、时移、频域平移、复共轭等性质,这些性质在信 号处理中有着广泛的应用。
Z变换的应用
Z变换在信号处理中有着广泛的应用,如离散控制系统分析、数字滤 波器设计等。
自适应滤波器应用场景
广泛应用于噪声消除、回声消除、信 号预测等领域。
05 数字信号处理应用
音频处理
音频压缩
通过降低音频数据的冗余度,实 现音频文件的压缩,便于存储和
传输。
音频增强
利用数字信号处理技术,改善音频 质量,如降低噪音、增强语音等。
音频分析
对音频信号进行特征提取和分类, 用于语音识别、音乐信息检索等领 域。
IIR滤波器应用场景
广泛应用于语音处理、图像处理等领 域。
FIR滤波器设计
FIR滤波器定义
FIR滤波器特点
FIR滤波器,即有限冲激响应滤波器,是一 种离散时间滤波器,其冲激响应有限长。
FIR滤波器具有线性相位、设计灵活、计算 量大等特性。
FIR滤波器设计方法
FIR滤波器应用场景
通过窗函数法、频率采样法等进行设计, 常用的设计方法有汉明窗法、凯泽窗法等 。
课程目标
掌握数字信号处理的基本概念、原理和方法。
学会使用数字信号处理软件进行信号处理和分析 。
了解数字信号处理在通信、图像处理、音频处理 等领域的应用。
02 基础知识
信号与系统
信号定义与分类
信号是信息传输的载体,可以是离散 的或连续的,也可以是时间的函数。 信号分类包括周期信号、非周期信号 、确定信号、随机信号等。
《数字信号处理》课件
05
数字信号处理中的窗函 数
窗函数概述
窗函数定义
窗函数是一种在一定时间 范围内取值的函数,其取 值范围通常在0到1之间。
窗函数作用
在数字信号处理中,窗函 数常被用于截取信号的某 一部分,以便于分析信号 的局部特性。
窗函数特点
窗函数具有紧支撑性,即 其取值范围有限,且在时 间轴上覆盖整个分析区间 。
离散信号与系统
离散信号的定义与表示
离散信号是时间或空间上取值离散的信号,通常用序列表示。
离散系统的定义与分类
离散系统是指系统中的状态变量或输出变量在离散时间点上变化的 系统,分类包括线性时不变系统和线性时变系统等。
离散系统的描述方法
离散系统可以用差分方程、状态方程、传递函数等数学模型进行描 述。
Z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
1 2 3
Z变换的定义与性质
Z变换是离散信号的一种数学处理方法,通过对 序列进行数学变换,可以分析信号的频域特性。
DTFT的定义与性质
DTFT是离散时间信号的频域表示,通过DTFT可 以分析信号的频域特性,了解信号在不同频率下 的表现。
Z变换与DTFT的关系
Z变换和DTFT在某些情况下可以相互转换,它们 在分析离散信号的频域特性方面具有重要作用。
窗函数的类型与性质
矩形窗
矩形窗在时间轴上均匀取值,频域表现为 sinc函数。
汉宁窗
汉宁窗在时间轴上呈锯齿波形状,频域表现 为双曲线函数。
高斯窗
高斯窗在时间轴上呈高斯分布,频域表现为 高斯函数。
海明窗
海明窗在时间轴上呈三角波形状,频域表现 为三角函数。
窗函数在数字信号处理中的应用
信号截断
通过使用窗函数对信号进行截 断,可以分析信号的局部特性
数字信号处理第5章
第5章 数字滤波器的基本结构5.1 学习要求1 掌握IIR 数字滤波器的基本网络结构,包括直接型、级联型和并联型;2 掌握FIR 数字滤波器的基本网络结构,包括直接型、级联型和频率抽样型;3 了解数字信号处理中的量化效应和数字信号处理的实现。
5.2 学习要点5.2.1 数字滤波器的结构特点与表示方法一个数字滤波器可以用系数函数表示为:01()()()1Mkk k N kk k b zY z H z X z a z -=-===-∑∑ (5-1) 直接由此式可得出表示输入输出关系的常系数线性差分方程为:1()()()N Mk k k k y n a y n k b x n k ===-+-∑∑ (5-2)由式(5-2)看出,实现一个数字滤波器需要几种基本的运算单元—加法器、单位延时和常数乘法器。
这些基本的单元可以有两种表示法:方框图法和信号流图法,如图5-1所示。
用方框图表示较明显直观,用流图表示则更加简单方便。
z ⊕aa单位延时乘常数相加方框图表示法信号流图表示法图5-1 基本运算过程的表示5.2.2 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的基本结构无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器有以下几个特点:(1) 系统的单位脉冲响应()h n 是无限长的;(2) 系统函数()H z 在有限z 平面(0z <<∞)上有极点存在; (3) 结构上存在着输出到输入的反馈,也就是结构上是递归型。
同一种系统函数()H z 的基本网络结构有直接I 型、直接Ⅱ型、级联型和并联型四种。
1直接I 型直接型按式(5-2)差分方程式将输入采样值(序列))(n x 延迟并乘以系数k b ,将输出采样(序列))(n y 延迟并乘以系数k a ,再把它们加起来,这种结构称为直接I 型,结构流图如图5-2所示。
由图可看出,总的网络)(z H 由Mkk k b z-=∑和11Nkk k a z-=-∑两部分网络级联组成,第一个网络实现零点,第二个网络实现极点,从图中又可看出,直接I 型结构需要N M +级延时单元。
《数字信号处理基础》课件信号分析与处理bilingual
a.描述可获得所有行频率的滤波器形状。指出该滤波器的 类型(type)(低通、高通还是带通)及截止频率(cut-off frequency)。
b.描述可获得所有行频率的滤波器形状。并指出该滤波器 的类型(低通、高通还是带通)及截止频率。
对于图像(images),也有低通和高通滤波器。 低频部分指颜色变化缓慢的部分。
图像 高频部分对应边缘或颜色突变部分。
低通滤波器:使图像模糊。 高通滤波器:可锐化边缘及确定数字图像中边界物体。
习题1.15 詹姆士•邦德(James Bond)将一张密探的机密名单照片带回英
国情报总部(MI6),这张照片是他在克格勃(KGB)总部 通过藏在礼服第二个纽扣中的微型照相机拍摄的,请问将使 用低通还是高通滤波器来处理这幅照片?
图1.6
2)对模拟值进行量化和数字化
quantize and digitize the analog values
采样结束后,转化器(converter)选择与采样保持电平最 接近的量化电平(quantization level),然后分配一个二进 制数字代码(digital codes)来标识这个量化电平 (quantization level)。
数字系统(digital system)优于模拟系统(analog system):
1)模拟系统是由元器件搭建而成的电路,元器件制造误差大, 会受温度影响,从而改变电路性能(circuit’s behavior)。
2)数字系统主要取决于软件(software),性能不受以上因素影
响。比模拟系统有更好的抗噪声性能;体积小、功耗低
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小 结(CHAPTER SUMMARY)
1.an analog signal is defined at every point in time and may take any amplitude. A digital signal is defined only at sampling instants and may take only a finite number of amplitudes.
数字信号处理ppt课件
Computed tomography image
. This is a CT slice of a human abdomen, at the level of the navel. Many organs are visible, such as the (L) Liver, (K) Kidney, (A) Aorta, (S) Spine, and (C) Cyst covering the right kidney. CT can visualize internal anatomy far better than conventional medical xrays.
– images from remote space probes, – voltages generated by the heart and brain, – radar and sonar echoes, – Seismic地震 vibrations, – countless other applications.
电子工业出版社 中译本:门爱东等译,ISBN号:7-121-00063-6(2019-7)
Digital Signal Processing
Chapter 1 iscrete-time system
digital
• Of, relating to, or resembling a digit, especially a finger. 手指的:手指的、与手指有关的或类似手指的 • Operated or done with the fingers: 用手指操作或工作的:
• A message communicated by such means. • 信号:用这种手段传达的信息 • Electronics An impulse or a fluctuating electric quantity, such as
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ω
c的两边
ω
=
ωc
±
2π
M +1
的地方出现最大肩峰,肩峰的两侧形
成起伏震荡,震荡的幅度取决于窗谱旁瓣的相对幅度,震荡的
多少则取决于旁瓣的多少。
吉布斯(Gibbs)效应
改变M,只能改变窗谱的主瓣宽度,但不能改变主瓣与旁 瓣的相对比例,这个相对比例是取决于窗函数的形状。因此, 增加M,只能使“过渡带”变窄,但不能改变肩峰的相对值。
)dθ
⎫ ⎬ ⎭
=
jAo(ω)e− jωM /2
—— generalized linear phase
22
1 + δ1 1− δ1
H (ω )
H d (ω )
δ2 −δ 2
ωp
ω st
Notice:
z windowing method: δ1 = δ2
z transition width: Δω = ωst −ωp < Δω m
13
Commonly Used Windows
Rectangular
wR
[n]
=
⎧1, ⎨⎩0,
0≤n≤M otherwise
Bartlett (triangular)
⎧ 2n / M , w[n] = ⎪⎨2 − 2n / M ,
⎪⎩ 0,
0≤n≤ M /2 M /2<n≤ M
otherwise
(
β
=
7.阻865带) 最小衰减只由窗形状决定,与M无关
21
7.2.2 Incorporation of Generalized Linear Phase
In designing FIR filters, it is desirable to obtain causal systems with generalized linear phase response.
18
Kaiser Window
(M=20)
z β 越大,窗越窄(两端越尖),窗
谱的旁瓣越低,主瓣也就越宽
z 固定 β ,增加M,可减小主瓣宽
度,且不影响旁瓣幅度
(β = 6)
19
Kaiser Window
Empirical Equation: Given Δω = ωs − ωp , A = −20 logδ
z For the ideal filter:
Hd
(e
jω
)
=
⎧⎪e− jωα
⎨ ⎪⎩
0
ω ≤ωc ωc < ω <π
= Hd (ω)e− jαω = Hd (ω)e− jωM/2
where,
Hd
(ω)
=
⎧⎪1, ⎪⎩⎨0,
ω ≤ ωc ωc < ω < π
z For the obtained filter:
π −π
Hd
(e
jθ
)WR
e j(ω−θ )
dθ
H(ejω) 逼近 Hd(ejω) 的好坏, 完全取决于窗函数的频率特性 W(ejω)。
z For the rectangular window:
∑ ∑ WR(ejω)
∞
= wR(n)e− jωn
n=−∞
=
M
1⋅e− jωn
n=0
=
1 − e− jω (M +1) 1 − e− jω
⎫ ⎭⎬
=
H
(ω)e−
jωM
/
2
So, the magnitude response of the obtained filter:
∫ H (ω) = 1
2π
π −π
Hd
(θ
)WR
(ω
−
θ
)dθ
H
d
(ω
)
=
⎧⎪1, ⎨⎪⎩0,
ω ≤ ωc ωc < ω < π
,
WR
(ω)
=
sin[ω(M sin(ω
∫ Then
H(e
jω
)
=
e−
jωM
/
2
⎧ ⎨⎩
1
2π
π −π
He
(θ
)We
(ω
−θ
)dθ
⎫ ⎭⎬
=
Ae
(ω)e−
jωM
/
2
z If hd[M −n] = −hd[n]
Hd(ejω) = jHo(ω)e−jωM/2
∫ Then
H
(e
jω
)
=
e−
jωM
/
2
⎧ ⎨ ⎩
1
2π
π −π
jHo
(θ
)We
(ω
−θ
Then
⎧0.1102( A − 8.7),
β = ⎪⎨0.5842(A− 21)0.4 + 0.07886(A− 21),
⎩⎪0.0,
A > 50 21≤ A ≤ 50 A < 21
M
=
A−8
2.285Δω
20
Comparison of Commonly Used Windows
过渡带宽与窗形状和窗长M都有关
For all the windows above,
w[n]
=
⎧w[M
⎨ ⎩
0,
−
n],
0≤n≤M otherwise
W (e jω ) = We (ω)e− jωM /2
—— lead to causal filters
z If hd[M − n] = hd[n]
Hd (ejω) = He(ω)e− jωM/2
比如,对于矩形窗,不管M如何改变,最大相对肩峰总是 8.95% ,这种现象称Properties of Commonly Used Windows
肩峰的大小直接决定了通带内的平稳和阻带的衰减,对滤 波器的性能影响很大。
矩形窗截断造成的最大肩峰为8.95% ,则阻带最小衰减为 20 log10(8.95%) = −21dB ,这个衰减在工程上往往是不够的。
where α = M / 2
I0 (⋅): the zeroth-order modified Bessel function of the first kind
Two parameters
M+1: length β : shape parameter
Vary (M+1) and β , the window length and shape can be adjusted to trade side-lobe amplitude for main-lobe width.
7.2 Design of FIR Filters by Windowing
Techniques for Designing FIR filters
Windowing (窗函数法) Optimum approximation(最优逼近法) Frequency sampling(频率采样法)
Blackman
z 矩形窗主瓣最窄,旁瓣峰值最大 z 矩形加窗后的滤波器过渡带最窄,
但肩峰和纹波最大 z 随着窗形状的变化,旁瓣峰值逐渐下
降,主瓣宽度也逐渐加宽 17
Kaiser Window
w[n]
=
⎧ ⎪ ⎨
I0
[
β
(1
−
[(n I0
−α) (β )
/
α
]2
)1/
2
]
,
0
≤
n
≤
M
⎪⎩0,
otherwise
∫ ( ) H(ejω) = 1 2π
π −π
Hd
(e
jθ
)WR
e j(ω−θ )
dθ
( ) WR(ejω ) =WR(ω)e− jωM /2
∫ = 1
2π
π −π
Hd
(θ)e−
jθM
/
2
⋅WR
(ω
−θ
)e−
j
(ω−θ
)M
/
2dθ
∫ =
e−
jωM
/
2
⎧ ⎨⎩
1
2π
π −π
Hd
(θ
)WR
(ω
−θ
)dθ
为了加大阻带衰减,只能改善窗函数的形状。
一般希望窗函数满足两项要求:
z 窗谱主瓣尽量窄,以获得较陡的过渡带 z 尽量减小窗谱最大旁瓣的相对幅度,即使能量尽量集中在
主瓣内,这样可以减小肩峰和纹波,增大阻带的衰减。
两者不能同时满足,往往是增加主瓣宽度以换取对旁瓣 的抑制,即以牺牲过渡带来换取较小的阻带纹波(也就是加大 阻带衰减)和较好的通带平坦性。
infinite, noncausal
α
4
Select w[n]
hd [n]
wR[n]
=
⎧1, ⎨⎩0,
0≤n≤M otherwise
wR[n]
α
h[n] = hd [n]wR [n]
Then,
h[n] = hd [n]wR[n] = ⎧⎨⎩h0d,[n],
0≤n≤M otherwise
Linear phase: α = M / 2
z
The cutoff frequency:
ωc
ωp
+ ωst
2
Steps of FIR Filter Design by Windowing
(i) Specifications: ωp ,ωst ,δ1,δ2 (ii) Determine hd [n] (iii) Determine w[n]