组合数学1-3章

组合数学第五版答案

组合数学第五版答案简介《组合数学第五版答案》是对组合数学第五版的习题答案进行整理和解答的参考资料。

组合数学是一门研究集合之间的组合方式和规律的数学科学。

它广泛应用于计算机科学、统计学、运筹学等领域，在算法设计、图论分析等方面有着重要的应用价值。

本文档包含了《组合数学第五版》中各章节的习题答案，主要内容涵盖了排列组合、图论、生成函数、递推关系、容斥原理等多个重要主题。

通过对这些习题的解答，可以帮助读者更好地理解组合数学的基本概念、方法和应用。

目录•第一章：基本概念和方法•第二章：排列组合•第三章：图论•第四章：生成函数•第五章：递推关系•第六章：容斥原理第一章：基本概念和方法1.习题1：证明排列的总数为n! (阶乘)。

2.习题2：计算组合数C(n, m)的值。

3.习题3：探究组合数的性质并给出证明。

第二章：排列组合1.习题1：计算排列数P(n, m)的值。

2.习题2：解决带有限制条件的排列问题。

第三章：图论1.习题1：证明图论中的握手定理。

2.习题2：解决图的着色问题。

第四章：生成函数1.习题1：利用生成函数求解递推关系。

2.习题2：应用生成函数解决组合数学问题。

第五章：递推关系1.习题1：求解递推关系的通项公式。

2.习题2：应用递推关系解决实际问题。

第六章：容斥原理1.习题1：理解容斥原理的基本思想并给出证明。

2.习题2：应用容斥原理解决计数问题。

结论通过对《组合数学第五版答案》中的习题进行解答，读者可以更好地掌握组合数学的基本概念和方法。

组合数学在计算机科学、统计学、运筹学等领域具有广泛的应用，通过学习和理解组合数学，读者可以提高解决实际问题的能力，并为进一步深入研究相关领域打下坚实的基础。

注：本文档中的习题答案仅供参考，请读者在独立思考和解答问题时加以思考和验证，以深入理解组合数学的核心概念和方法。

组合数学讲义3章递推关系

组合数学讲义3章递推关系递推关系§3.1 基本概念（一）递推关系定义3.1.1 （隐式）对数列aii 0 和任意自然数n，一个关系到an和某些个ai i n 的方程式，称为递推关系，记作F a0,a1, ,an 0 (3.1.1)__例an an 1 an 2 a0 n 0an 3an 1 2an 2 2a1 1 0定义3.1.1＇（显式）对数列aii 0 ，把an与其之前若干项联系起来的等式对所有n≥k均成立（k为某个给定的自然数），称该等式为ai 的递推关系，记为an F an 1,an 2, ,an k (3.1.1)＇例an 3an 1 2an 2 2a1 1 （二）分类（1）按常量部分：① 齐次递推关系：指常量＝0，如Fn Fn 1 Fn 2；② 非齐次递推关系，即常量≠0，如hn 2hn 1 1。

（2）按ai的运算关系：组合数学讲义① 线性关系，F是关于ai的线性函数，如（1）中的Fn与hn均是如此；② 非线性关系，F是ai的非线性函数，如hn h1hn 1 h2hn2 hn 1h1。

（3）按ai的系数：① 常系数递推关系，如（1）中的Fn与hn；② 变系数递推关系，如pn npn 1，pn 1之前的系数是随着n而变的。

（4）按数列的多少：① 一元递推关系，其中的方程只涉及一个数列，如(3.1.1)和(3.1.1)＇均为一元的；② 多元递推关系，方程中涉及多个数列，如an 7an 1 bn 1bn 7bn 1 an 1（5）显式与隐式：yn 1（三）定解问题xn 1yn h yn 1 2 yn 1定义3.1.2 （定解问题）称含有初始条件的递推关系为定解问题，其一般形式为F a0,a1, ,an 0,(3.1.2)a0 d0,a1 d1, ,ak 1 dk 1所谓解递推关系，就是指根据式(3.1.1)或(3.1.2)求an的与a0、a1、、an－1无关的解析表达式或数列{an}的母函数。

组合数学引论教学设计

组合数学引论教学设计引言组合数学是数学中非常重要的分支，其研究对象是离散的结构和离散的问题。

组合数学的研究范围非常广阔，涉及到很多计算机、统计学、优化问题等领域，因此其教学也非常重要。

本文主要介绍组合数学引论的教学设计，旨在提高学生的兴趣，增强其掌握组合数学的能力。

教学目标•了解组合数学的基本概念和方法•掌握组合数学的常见应用•能够熟练运用组合数学的知识解决实际问题教学内容第一章：组合数学基础知识•排列与组合的定义•排列与组合的计算公式•排列与组合的应用第二章：图论与组合•图的基本概念•图的遍历算法•图的连通性问题•图的匹配问题第三章：树形计数•卡特兰数的定义•卡特兰数的递推公式•卡特兰数的应用第四章：生成函数•生成函数的定义•普通生成函数与指数型生成函数•生成函数的应用第五章：容斥原理•容斥原理的定义•容斥原理的应用•容斥原理的拓展应用教学方法•讲授法•课堂演示法•问题解决法•案例分析法教学评价课堂表现•准确性：理论知识掌握情况是否正确•严谨性：掌握概念和运算的准确性•灵活性：是否能够根据问题选择正确的解决方法•应用性：是否能够将理论知识用于实际问题的解决考试成绩•课堂测试：每章的小测验•期末考试：覆盖整个课程的考试教学资源•教材：《组合数学引论》（第2版）•幻灯片：基础概念、定理和例子的演示•作业：课后习题教学时间安排章节时间（周）第一章 2第二章 2第三章 2第四章 2第五章 2章节时间（周）期末复习 1期末考试 1总共时间10总结组合数学引论的教学设计任务繁重，但是非常重要。

本文提出了教学目标、教学内容、教学方法、教学评价、教学资源和教学时间安排等方面的指导，旨在帮助教师制定更有针对性的教学计划，提高学生的学习效果。

同时，在教学实践中，还应根据学生的实际情况不断调整教学内容和方法，使教学更加灵活、科学、高效。

组合数学卢开澄课后习题答案

组合数学卢开澄课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科，它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。

卢开澄是中国著名的组合数学家，他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。

在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。

下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。

第一章：集合与命题逻辑1.1 集合及其运算习题1：设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。

答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。

习题2：证明若A∩B=A∩C，且A∪B=A∪C，则B=C。

答案：首先，由A∩B=A∩C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。

然后，由A∪B=A∪C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。

综上所述，B=C。

1.2 命题逻辑习题1：将下列命题用命题变元表示：（1）如果今天下雨，那么我就带伞。

（2）要么他很聪明，要么他很勤奋。

答案：（1）命题变元P表示今天下雨，命题变元Q表示我带伞，命题可表示为P→Q。

（2）命题变元P表示他很聪明，命题变元Q表示他很勤奋，命题可表示为P∨Q。

习题2：判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式：（1）(P∨Q)→(P∧Q)（2）(P→Q)∧(Q→P)答案：（1）该命题为可满足式，因为当P为真，Q为假时，命题为真。

（2）该命题为永真式，因为无论P和Q取何值，命题都为真。

第二章：排列与组合2.1 排列习题1：从10个人中选取3个人，按照顺序排成一队，有多少种不同的结果？答案：根据排列的计算公式，共有10×9×8=720种不同的结果。

习题2：从10个人中选取3个人，不考虑顺序，有多少种不同的结果？答案：根据组合的计算公式，共有C(10,3)=120种不同的结果。

2.2 组合习题1：证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。

答案：根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k)，因此组合恒等式成立。

组合数学第一章排列组合4允许重复的排列与组合及不相邻的组合

设所求方案数为p(m+n；m，n)
则P(m+n；m，n)·m!·n!=(m+n)!
故P(m+n;m,n)=
—(mm—+!nn—!)!
=
(
m+n m
)
=(m+nn
)
=C(m+n,m)

设c≥a,d≥b,则由(a,b)到(c,d)的简单格路数
为|(a,b)(c,d)|=(
(c-a)+(d-b) c-a
y y=x
(m,n)
y x-y=1
(m,n. )
(0,1) . .
0 (1,0)
x (0,0) .. ..
x
(1,-1)
容易看出从(0,1)到(m,n)接触x=y的格路与
(1,0)到(m,n)的格路(必穿过x=y)一一对应
故所求格路数为( m+mn-1)－( mm+n-1-1)
=
(—m+—n-1—)!
例A {1, 2,3, 4,5, 6, 7}，取3个作不相邻的组合的组合数。
例已知线性方程 x1 x2 ... xn b, n和b都是整数，n 1, 求此方程的非负整数解的个数
例
简单格路问题
|(0,0)→(m,n)|=(
m+n m
)
从 (0,0)点出发沿x轴或y轴的正方向每步
走一个单位，最终走到(m,n)点，有多少
m!(n-1)!
－(m—+n—-1)—!
(m-1)!n!
=(m—(m-1+—)!n(-n—1-)1!)—!
( m1—
－
1n—)
=
—n-n—m
(

组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)

21
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:

组合数学课件--第一章第二节允许重复的组合与不相邻的组合

11
一、序数法
怎样建立a(3)a(2)a(1)p(1)p(2)p(3)p(4)
a(3) 确定4的位置,a(2)确定3的位置
a(1)确定2的位置,剩余的位置就是1的位置例3:021, 3 2 1 4 例3: 201, 2 4 1 3
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一、序数法
求n个不同的数的全排列，主要有以下两步：
1、求出0到n!-1之间各数对应的序列{an-1, an-2,…, a1} m=an-1(n-1)!+an-2(n-2)!+…a2 * 2!+a1*1! 2、由{an-1, an-2,…, a1}确定排列序列p1p2…pn an-1,确定n的位置， an-2确定n-1的位置， ……………………… a1确定2的位置，剩下的是1的位置。
9
一、序数法
推论从0到n!-1的n!个整数与序列{an-1, an-2,…, a1} 一一对应。这里 0a1 1,0 a2 2, …, 0 an-1 n-1 算法: int a[]={0}; int m,n;// 0=<m<=n!-1 int b=m； int index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
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一、序数法
2、对于0,1,2,…,n!-1共n!个数求序列a[i]
for( i = 0; i < fact; i++ ) { int b=i, index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);

《组合数学》教案1章讲解

《组合数学》教案1章讲解组合数学教案第一章讲解一、教学目标：1.了解组合数学的基本概念和方法2.掌握排列和组合的计算方法3.学会应用排列和组合解决问题二、教学重点：1.排列和组合的基本概念2.排列和组合的计算方法三、教学难点：1.排列和组合的应用问题的解决四、教学准备：1.教材《组合数学》2.课件3.黑板、粉笔五、教学过程：1.导入通过举例引入排列和组合的概念，引发学生对组合数学的兴趣。

例如：小明有5本不同的书，他想从这些书中选出三本看。

那么他有多少种不同的选择方法？2.引入通过引入数学公式引出排列和组合的计算方法以及其应用。

首先引入乘法原理，介绍排列的概念和计算方法。

然后引入除法原理，介绍组合的概念和计算方法。

3.排列的概念和计算方法从实际问题中引出排列的概念，如小红有4个不同的糖果，她想把这些糖果排成一排，一共有多少种不同的排列方法？然后介绍排列的计算方法，如何计算排列的种数。

4.组合的概念和计算方法从实际问题中引出组合的概念，如小明有8个不同的苹果，他想从中选出3个苹果吃，一共有多少种不同的选择方法？然后介绍组合的计算方法，如何计算组合的种数。

5.排列和组合的应用问题解决通过实际问题的解决引出排列和组合的应用。

如有5个不同的音乐家，要从中选出3人组成一支乐队，一共有多少种不同的组合方法？然后引出组合计数原理，帮助学生解决应用问题。

6.练习和总结让学生通过练习巩固排列和组合的计算方法，解决应用问题。

然后总结排列和组合的基本概念和计算方法。

七、课堂小结通过本节课的学习，我们了解了组合数学的基本概念和计算方法，掌握了排列和组合的计算方法，并学会应用排列和组合解决问题。

八、作业布置布置相关习题作业，巩固所学知识。

九、课后拓展鼓励学生自学相关拓展内容，如组合数学的其他应用等。

以上是《组合数学》第一章的教案讲解，通过本节课的学习，相信学生能够掌握排列和组合的基本概念和计算方法，并能够应用排列和组合解决问题。

组合数学讲义(南基洙大连理工大学应用数学系)

1、洛书的构造
相传在四千多年前的中国,大禹为了治理好滔天的洪水,领导人民日夜奔忙,三过家门而不入.在大禹治好那汹涌澎湃的洪水之后,就有一龙马自河中跃出,献给大禹一幅河图,另外在洛河里也有一神龟背驮了洛书献给大禹.据传这两部书都包含了治国安邦、平治天下的大道理.以至于在《论语》中,圣人孔子因为当时的世风日下,人心不古,而感叹“河不出图”.
在中国古代,由于 3 阶幻方中配置的 9 个数是如此的均衡和完美,它产生了极大的美学冲击,以至使我们的先人认为其中包含了某种至高无上的真理.如我们的先人把 3 阶幻方和“九宫说”等同起来、把 3 阶幻方用来占卜吉凶,以及把它视为举行国事大典的建筑格局等等.自从幻方从中国传到世界其他地区之后, 引起了人们的广泛兴趣和重视,一代又一代的学者对它进行了不懈的研究,取得了非常丰富的成果,有关的文献资料不胜枚举---“单单是关于幻方的著作就足够办一个规模可观的图书馆了”(J.R.Newman).虽然关于幻方的研究开展的很早,但是目前还没有一般的普遍适用的方法.有些想知道的结论也不是十分清楚,
如 n 阶幻方的个数等.在此我们仅就幻方的构造问题作一简单的介绍.
容易验证下面的图构成 4 阶幻方
16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1
注记,在上图中将对角线及斜对角线上的数字对称换位后,我们可以得到按顺序添成的下面图:
- 2-
1234 5678 9 10 11 12 13 14 15 16
注记：在上图中将主对角线及斜对角线上的元素对称换位,短线上的元素逆时针方向移动 8 个格,则可以得到按数字顺序添画的图:
12345678 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

组合数学课件--第一章：排列与组合

1.3：排列与组合
1、排列的定义：设A={a1,a2,…,an}是n个不同的元素的集合，任取A中r个元素按顺序排成一列，称为从A中取r个的一个排列，r满足0≤r≤n。
(1) (2) (3) (…) (r)
从n个不同的球中取一个球放在第一个盒子中，从余下的n-1个球中取一个球放在第二个盒子中， ………………………………… 从余下的n-(r-1)个球中取一个放在第r个盒子中。根据乘法法则： 19 P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)=n!／(n-r)!
p2
2 a2
... pm
2 am
C (2a1 1,1) C (2a2 1,1) ... C (2am 1,1)
34
练习题
1.13、有n个不同的整数，从中取出两组来，要求第1组的最小数大于另一组的最大数。设取的第一组数有a个,第二组有b个,
要求第一组数中最小数大于第二组中最大的，即只要取出一组m个数(设m=a+b),从大到小取a个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为C(n,m)。从m个数中取第一组数共有m-1中取法。 (m-1)C(n,m)
17
1.2 一一对应 1 2 5 任给一个序列B{b1,b2,b3,…,bn-2} 1、从A找到最小的不属于B的元素,设为a1,与b1连接，从A中去掉a1，从B中去掉b1. 2、重复以上过程只到B为空，A中剩余两个 3、连接剩余的两个顶点。
*
18
树的顶点集合为12345
3 4
这棵树对应序列（2，3，2）
****
2
(4)哪些最优？
选用教材
组合数学
(第四版) 卢开澄卢华明著
清华大学出版社

组合数学习题解答

第一章：1.2. 求在1000和9999之间各位数字都不相同，而且由奇数构成的整数个数。

解：由奇数构成的4位数只能是由1，3，5，7，9这5个数字构成，又要求各位数字都不相同，因此这是一组从5个不同元素中选4个的排列，所以，所求个数为：P(5,4)=120。

1.4. 10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式？如果其中有两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？解：这显然是一组10个人的全排列问题，故共有10！种就坐方式。

如果两个人坐在一起，则可把这两个人捆绑在一起，如是问题就变成9个人的全排列，共有9！种就坐方式。

而这两个人相捆绑的方式又有2种（甲在乙的左面或右面）。

故两人坐在一起的方式数共有2*9！，于是两人不坐在一起的方式共有 10！- 2*9！。

1.5. 10个人围圆桌而坐，其中两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？解：这是一组圆排列问题，10个人围圆就坐共有10!10 种方式。

两人坐在一起的方式数为9!92⨯,故两人不坐在一起的方式数为：9！-2*8！。

1.14. 求1到10000中，有多少正数，它的数字之和等于5？又有多少数字之和小于5的整数？解：(1)在1到9999中考虑，不是4位数的整数前面补足0，例如235写成0235,则问题就变为求：x 1+x 2+x 3+x 4=5 的非负整数解的个数，故有F （4，5）=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=515456 (2)分为求：x 1+x 2+x 3+x 4=4 的非负整数解，其个数为F （4，4）=35x 1+x 2+x 3+x 4=3 的非负整数解，其个数为F （4，3）=20x 1+x 2+x 3+x 4=2 的非负整数解，其个数为F （4，2）=10x 1+x 2+x 3+x 4=1 的非负整数解，其个数为F （4，1）=4x 1+x 2+x 3+x 4=0 的非负整数解，其个数为F （4，0）=1将它们相加即得，F （4，4）+F （4，3）+F （4，2）+F （4，1）+F （4，0）=70。

第一章排列与组合

在气象学方面。他曾亲自组织人力进行过大气压和天气状况的观察
1691年，莱布尼茨致信巴本，提出了蒸汽机的基本思想。 1677年，莱布尼茨发表《通向一种普通文字》，以后他长时
期致力于普遍文字思想的研究，对逻辑学、语言学做出了一定贡献。今天，人们公认他是世界语的先驱
……………………
2020/4/23
一种常见的思路是按轮计场，费事。
另一种思路是淘汰的选手与比赛(按场计)集一一对应。99场比赛。
2020/4/23
组合数学-上海理工大学
20
例10 设凸n边形的任意三条对角线不共点，求对角线在多边形内交点的个数。
可以先计算对角线的个数，然后计算交点，但是存在在多边形内无交点的情形，比较复杂。
可以考虑对应关系：多边形内交点to多边形四个顶点。
2020/4/23
组合数学-上海理工大学
15
例6 (1) n=73*112*134，求除尽n的数的个数； (2) n=73*142，求除尽n的数的个数；
(1)4×3×5＝60；7 i 1 j 1 1 k 0 3 i 3 ,0 j 2 ;0 k 4 (2) 6×3＝18
例7 在1000和9999之间有多少每位上的数字均不同的奇数？
2020/4/23
组合数学-上海理工大学
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乘法法则：设具有性质A的事件有m个，具有性质B 的事件有n个，则具有性质A和B的事件有mn个。
集合论语言：若 |A| = m , |B| = n , AB = {(a,b) | aA,bB} , 则
| AB | = mn 。
例3 从A到B有三条道路，从B到C有两条道路，则从A经B到C有 32 = 6 条道路。
1646.7.1.—1716.11.14.）德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。

组合数学课件--第三章第二节棋盘多项式和有限制条件的排列

甲乙丙丁
1 2 3 4
11
3.4 棋盘多项式和有限条件的排列
例4:甲乙丙丁4个人住店,有5个房间1,2,3, 4,5,甲不住1,2,3号房间,乙不住2,3,4房间,丙不住1、4号房间,丁不住1,2,4号房间,求满足要求的方案数。
甲乙丙丁
1 2 3 4列
i
r1 ( n 1)!
34
3.5 有禁区的排列
两个棋子落入禁区的方案数设为r2,而其余n2个棋子为无限制条件的排列，方案数是(n-2)!。
A A
i 1 j i i
n
j
r2 (n 2)!
布n个棋子无一落入禁区的方案数应为：
A1 A2 ... An N Ai Ai A j
棋盘C
C(I)
C(e)
R(C) = 1+ 5x+6x2+2x3 R(C(i)) = 1+ 2x+x2 R(C(e)) = 1+ 4x+4x2+x3
20
3.4 棋盘多项式和有限条件的排列
公式2、 R(C ) xR(C(i ) ) R(C( e ) )
证明： R(C ) rk (C ) x
容斥原理与鸽巢原理31demorgan定理32容斥原理33容斥原理举例34棋盘多项式与有限制的排列35有禁区的排列36广义的容斥原理37广义容斥原理的应用28第二类stirling数的展开式29欧拉函数n210n对夫妻问题211mobius反演定理212鸽巢原理213鸽巢原理举例214鸽巢原理的推广215ramsey数34棋盘多项式和有限制条件的排列一有限制的排列对有重复的排列或无重复的排列可以对一个或多个元素的出现次数进行限制也可以对某些元素出现的位置进行限制这两种情况统称为有限制条件的排列

组合数学习题答案.

第一章答案第二章答案第三章答案第四章答案第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。

8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。

11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。

组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。

12．考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。

当第二组最大数为a k 时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。

组合数学：1-3 组合意义的解释与应用举例.

能级k 0 1 2 3 4 (1) k2+1 1 2 5 10 17 (2) 2(k2+1) 2 4 10 20 34 能量分布 (1) (2) 能量分布 (1) (2)
状态数
0,0,0,4 0,0,1,3 0,0,2,2 — 1· 1· 1· 17 1· 1· 2· 10 1· 1· C(5,2) C(2,3)· 34 C(2,2)· 4· 20 C(2,2)· C(10,2) 0,1,1,2 1,1,1,1 — — 1· C(2,2)· 5 C(2,4) 72 2 ·C(4,2)· 10 C(4,4) 246
例3 有4个相同质点,总能量为4E0，E0是常数。每个质点所具能量为kE0,k=0,1,2,3,4. (1) 若能级为kE0的质点可有k2 +1种状态，而且服从 Bose-Einstein分布，即同能级的质点可以处于相同的状态，问系统有几种不同的状态?(或图像) (2) 若能级为kE0的质点可有2(k2 +1)种状态，而且服从Fermi-Dirac分布，即不允许同能级的两个质点有相同状态,问系统有几种不同状态?(或图像)
y
x-y=1 (m,n .) (0,1). .
m n 1 m n 1 m m 2
. .. . ..
(m n 1)! (m n 1)! m !(n 1)! (m 2)!(n 1)!
x
(2,-1)
n 1 m m n . n1 m
解释2：右边表示从(0,0)到(n+1,r)的非降路径数。
这些路径一定过且仅过一条带箭头的边。而过这些边的路径有(从下到上)
n n 1 n r n , n ,..., n . 故有

组合数学第三章答案

3.1题（宗传玉）某甲参加一种会议，会上有6位朋友，某甲和其中每人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇一次，1人也没有遇见的有5次，问某甲共参加了几次会议解:设A i为甲与第i个朋友相遇的会议集，i＝1，…，6．则故甲参加的会议数为:28+5=33.3.2题（宗传玉）求从1到500的整数中被3和5整除但不被7整除的数的个数.解:设A3：被3整除的数的集合A5：被5整除的数的集合A7：被7整除的数的集合所以3.3.题（宗传玉）n个代表参加会议，试证其中至少有2人各自的朋友数相等。

解:每个人的朋友数只能取0，1，…，n－1．但若有人的朋友数为0，即此人和其他人都不认识，则其他人的最大取数不超过n－2．故这n个人的朋友数的实际取数只有n－1种可能．，所以至少有２人的朋友数相等．3.4题（宗传玉）试给出下列等式的组合意义.解:(a) 从n 个元素中取k 个元素的组合，总含有指定的m 个元素的组合数为)()(kn m n mk m n --=--。

设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m ,Ai 为不含a i 的组合（子集），i=1,…,m.()∑∑∑==∈⊄==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ml l m l l m i i lj i lk l n k m A k n k n m n k l n l j 01),(),...,(1m1i i i i i 1)1(A A A A 111213.5题（宗传玉）设有三个7位的二进制数：a1a2a3a4a5a6a7，b1b2b3b4b5b6b7，c1c2c3c4c5c6c7．试证存在整数i 和j，1≤i≤j≤7，使得下列之一必定成立：a i=a j=b i=b j，a i=a j=c i=c j，b i=b j=c i=c j．证：显然，每列中必有两数字相同，共有种模式，有０或１两种选择．故共有·2种选择．·2=6．现有7列，．即必有２列在相同的两行选择相同的数字，即有一矩形，四角的数字相等．3.6题（宗传玉）在边长为1的正方形内任取5个点试证其中至少有两点，其间距离小于证：把１×１正方形分成四个(1/2)×(1/2)的正方形．如上图.则这５点中必有两点落在同一个小正方形内．而小正方形内的任两点的距离都小于．3.7题（王星）在边长为1的等边三角形内任取5个点试证其中至少有两点，期间距离小于1/2．证：把边长为１的三角形分成四个边长为1/2的三角形，如上图：则这５点中必有两点落在同一个小三角形中．小三角形中任意两点间的距离都小于1/2．3.8题（王星）任取11个整数，求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数。

组合数学第一章答案

组合数学第一章答案组合数学第1章答案１. 1来自哪里？1，2，， 50? 找到两个数字吗？a、 b满足它（1）|a?b|?5；（2） | a？b |？五a?b?5a?b??5解：（1）根据|a?b|?5可得或则有共45种，45种，90种。

（2）根据|a?b|?5得{b?5?a?b?5a,b?(1,2,,50)那么：B什么时候？5点，B？1，1? A.有6种B？2，1? A.有7种B？3，1? A.有8种B？4，1? A.有9种B？5，1? A.10，5时有10？B45:00，B？6，1? A.11，有11种B？7，2? A.12，有11个.........b?45，40?a?50，则有11种当45?b?50时，有b?46，41?a?50，则有10种b?47，42?a?50，则有9种b?48，43?a?50，则有8种b?49，44?a?50，则有7种b?50，45?a?50，则有6种因此：总共40个？11? 2(10?9?8?7?6)? 520种1.2（1）先把女生进行排列，方案为5！，然后把女生看成1个人和7个男生进行排列，共有5个方案！× 8！（2）女生不相邻，则先把男生进行排列，方案为7！再把女生插入男生之间8个空缺物种中的任何5个，计划总数为7个！×p85（3）应该是a女生x女生y女生zb,或是b女生x女生y女生za的形公式，从5个女孩中选择3个女孩，并安排她们。

这项计划是成功的。

考虑到a和B 可以转置，方案为2×P53，然后将其作为一个整体，与剩余的2个女孩和5个男孩，共7人进行安排。

方案总数为2×81.3m个男生,n个女生,排成一行,其中m,n都是正整数,若（a）男生不相邻（m≤n+1）；（b） N女孩组成一个整体；（c）男孩a和女孩B被安排在一起；讨论有多少种选择。

解决方案：(a)n!p(n+1,m)(b)(m+1)!n!(c)2(m+n-1)!1.426个英文字母排列。