求解非线性方程组的改进粒子群算法

合集下载

一种求解非线性约束优化问题的粒子群优化算法

速度被最大速度ａ限制，即若Ｖ＞ａ，则令Ｖ＝Ｖ，若Ｖ＜一ｍ，也令Ｖ＝ｆｘｆｘｍｆＶｆ．
粒子群算法求解约束优化问题的难点是约束条件的处理．文献【】１采用分离目标函数与约束条件的方法，将约束条件转化为调节函数和目标函数一起作为粒子的适应函数，每个粒子的优劣由
形式：
收稿日期：２１－５１０１ —８０
基金项目：福建省自然科学基金项目（０９００１；闽江学院科技启动项目（ＫＱ９０）２０Ｊ５１）Ｙ００１作者简介：罗金炎（９５，男，福建上杭人，副教授，硕士，研究方向：计算数学，智能优化算法１７一） ① Ｋｅｎｄ，ｂｒａｔ．ａｔｌｓｒｏｔｚｔｎ［］／ｒｃｅｉｇ— ＥｔｒａｉｎｌｏｆｒｎｅｏｕａｎｅｙＪＥｅｈｒＲＣＰｒｃｍｉａｏｃ／ＰｏｅｄｎｓＥＥＩｅｎｔａＣｎｅｅｃｎＮｅｒｌｉｅｗａｐｍｉｉＩｎｏ
其中，ｘＥＲ，厂是被优化的目标函数，ｍ是等式约束个数，ｎ是不等式约束个数．（）粒子群算法与其它进化类算法相似，采用 “ 群体 ”与 “ 进化 ”的概念，同时依据个体（子）粒的适应值的大小进行操作，但粒子群算法不像其它进化算法那样对于个体使用进化算子，而是将每个个体看作是在搜索空间中的一个没有重量和体积的粒子，并在搜索空间中以一定的速度飞行，每个粒子的飞行速度根据其本身的飞行经验和群体的飞行经验调整．粒子群算法根据下列公

非线性方程组求解方法的比较研究

非线性方程组求解方法的比较研究在数学中，非线性方程组是指其中一个或多个方程不满足线性关系的方程组。

尽管有解析解的一些特殊情况，但大多数非线性方程组需要使用数值方法来计算近似解。

本文将比较介绍几种非线性方程组求解方法，包括牛顿法，拟牛顿法，全局优化方法和粒子群算法。

1. 牛顿法牛顿法是求解非线性方程组最常用的迭代方法之一。

它基于局部线性逼近，每次迭代使用当前解的一阶导数信息来计算下一次迭代的更新方向。

令F(x)表示非线性方程组，J(x)=∇F(x)表示F(x)的雅可比矩阵。

给定一个当前近似解x_k，牛顿法的更新方程可以表示为：x_(k+1) = x_k - J(x_k)^(-1)F(x_k)其中，J(x_k)^(-1)是J(x_k)的逆矩阵。

如果J(x_k)是奇异的，则牛顿法不适用。

与其他迭代方法相比，牛顿法通常收敛更快，因为它基于二次局部逼近，而其他方法通常只适用于一次局部逼近。

但是，牛顿法要求计算和存储雅可比矩阵的逆，这可能是一个瓶颈。

2. 拟牛顿法拟牛顿法是一类不需要精确计算和存储雅可比矩阵逆的牛顿法。

它使用最小化当前近似解和实际解之间差异的信息来逼近Hessian矩阵的逆。

拟牛顿法的基本思想是建立一个称为拟Hessian矩阵的对称正定矩阵B_k，B_k的逆用于计算更新方向。

拟Hessian矩阵通过对不同x_k和x_(k+1)的F(x_k)和F(x_(k+1))差的比较来构建。

在每个迭代步骤k，拟牛顿法将F(x_k)和F(x_(k+1))的差异的值的与相对应的x_k和x_(k+1) 的差异相关联的拟Hessian方程式称为：B_k(x_(k+1) - x_k) = ∇F(x_(k+1))- ∇F(x_k)其中∇F(x) 是F(x)的梯度。

这个拟Hessian方程的解，将给出优化的下降方向。

拟牛顿法不需要计算和存储雅可比矩阵的逆，但它需要存储一个两倍于原始变量数的矩阵B_k。

3. 全局优化方法全局优化方法是一类寻找非线性方程组所有可能解的算法。

求解非线性方程组的混沌粒子群算法及应用

基金项目 : 国家自然科学基金( 20276063) 资助项目 . 作者简介 : 莫愿斌( 1969 -) , 男 , 博士生 ; 陈德钊＊( 1945 -) , 男 , 教授 , 博士生导师 ; 胡上序( 1934 -) , 男 , 教授 , 博士生导师 .
η 2 3( pgd ( j)-x i ( j) ) x i( j +1)= xi ( j)+v i ( j +1)
1 2( vi ( j +1)= ω 1 vi ( j)+η pid ( j)-x i ( j) )+
Υ ( x)=
i =1
x) , x =( x 1 , x 2 , …, x n) ∑f i (
2
将求解非线性方程组转化为求解能量函数极小值点。给定一个实常数 ε , 在求根区域内搜索 x0 = ( x 10 , x 20 , …, x n0) , 使得 Υ ( x0 )< ε , 则 x0 是收稿日期 : 2005-06 -13 ; 修改稿收到日期 : 2006 -04-25 .
第 4 期
莫愿斌 , 等 : 求解非线性方程组的混沌粒子群算法及应用
507
应值 f ( xi ) , 有 pBest i = x i , 经比较得出 gBest 。 S tep2 将 xi 的每个分量通过式( 6)的变换 , 映射为混沌变量 cx i , 各分量 cx i ∈ ( 0 ,1. 0) 。 S tep3 各粒子将通过式( 3 , 4) 算式 , 计算速度 v i , 并调整至新位置 xi , 进而计算适应值 f ( x i) 。 S tep4 混沌变量 cx i 的各分量经式( 5)作混沌运动 , 并变换为 cy i 。 S tep5 将 cy i 的每个分量通过式( 7) 变换 , 映射为 { ai , bi } i =1 间的普通变量 y i , 并计算 f ( yi) 。 S tep6 比较 f ( x i) , f( pBest i )与 f ( yi) , 以其中的最优值 , 确定下一迭代步的 pBest i 。 S tep7 比较各 f ( pBest i )与 f ( gBest ) , 确定下一迭代步的 gBest 。 S tep8 判断是否已满足终止条件 , 若是 , 终止算法运行 , 输出当前的最优解与最优值 ; 否则 , 返回到 S tep2 , 继续运行。

求解非线性方程组的量子行为粒子群算法

求解非线性方程组的量子行为粒子群算法摘要：介绍了利用量子行为粒子群算法解决非线性方程组的问题。

求方程组的解归结为一个最优化问题，当方程组有多个解时，它的适应值函数就是具有多个最优解的多峰函数。

为此，引进一种物种形成原理算法，该算法根据群体微粒的相似度并行地分成子群体。

每个子群体是围绕一个群体种子而建立的。

对每个子群体进行QPSO最优搜索，从而保证方程组中每个可能的解都能被搜索到，具有良好的局部寻优特性。

对几个重要的测试函数进行仿真实验，结果证明了所用算法可以保证找到方程组所有的解，并且具有很好的精确度。

关键词：粒子群算法；量子行为粒子群算法；非线性方程组；物种形成原理0引言方程组的求解是数值代数的基本问题之一，许多自然生活和工程科学的计算问题最后都可归结为求解方程组；因此，对方程组的解法的研究具有重要的意义。

方程组可以分为线性方程组和非线性方程组。

传统求解方程组的数值解法分为直接法和迭代法。

如果考虑时间约束条件，在实时系统中现存的数值解法都可能无法对方程组进行精确求解。

为此利用进化算法使用计算机模拟大自然的进化过程，可以求解许多传统数值计算方法难以解决的复杂问题。

由于求方程组的解归结为一个最优化问题，当方程组有多个解时，它的适应值函数就是具有多个最优解的多峰函数。

求具有多个解的方程组问题就可以转换为对多峰函数寻优的问题。

粒子群(Particle Swarm Optimization，PSO)算法和量子行为粒子群（Quantum－behaved Particle Swarm Optimization, QPSO）算法都属于进化算法，它们都具有群体智能、迭代过程相对简单和收敛速度较快等优点。

其中QPSO是全局收敛的而PSO却不能保证收敛到全局最优解[1]。

本文在QPSO算法的基础上引进物种形成原理算法（Speciation Algorithm），提出了改进的基于物种形成的QPSO算法，即SQPSO（Species－based QPSO）算法。

电力系统潮流计算机算法

电力系统潮流计算机算法电力系统潮流计算是电力系统分析中最基本的一项计算，其目的是确定电力系统中各母线电压的幅值和相角、各元件中的功率以及整个系统的功率损耗等。

随着计算机技术的发展，电力系统潮流计算算法也在不断更新和完善。

以下是电力系统潮流计算的一些常用算法：1. 牛顿-拉夫逊法（Newton-Raphson Method）：这是一种求解非线性方程组的方法，应用于电力系统潮流计算中。

该方法在多数情况下没有发散的危险，且收敛性较强，可以大大节约计算时间，因此得到了广泛的应用。

2. 快速迪科法（Fast Decoupled Method）：这是一种高效的电力系统潮流计算方法，将电力系统分为几个子系统进行计算，从而提高了计算速度。

3. 最小二乘法（Least Squares Method）：这是一种用于求解线性方程组的方法，通过最小化误差平方和来获得最优解。

在电力系统潮流计算中，可用于优化电压幅值和相角。

4. 遗传算法（Genetic Algorithm）：这是一种全局优化搜索算法，应用于电力系统潮流计算中，可以解决一些复杂和非线性问题。

5. 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization）：这是一种启发式优化算法，通过模拟鸟群觅食行为来寻找最优解。

在电力系统潮流计算中，可用于优化网络参数和运行条件。

6. 模拟退火算法（Simulated Annealing）：这是一种全局优化搜索算法，应用于电力系统潮流计算中，可以在较大范围内寻找最优解。

7. 人工神经网络（Artificial Neural Network）：这是一种模拟人脑神经网络的计算模型，可用于电力系统潮流计算。

通过训练神经网络，可以实现对电力系统中复杂非线性关系的建模和预测。

以上所述算法在电力系统潮流计算中起着重要作用，为电力系统运行、设计和优化提供了有力支持。

同时，随着计算机技术的不断发展，未来还将出现更多高效、精确的电力系统潮流计算算法。

基于Hénon混沌与动态非线性方程的改进粒子群优化算法

重：对适应度值比平均值差的粒子，用所设计的动态Ｈｎｎ混沌映射公式调整惯性权重，复杂多变的环境中逐６ｏ在
步摆脱局部最优值，态寻找全局最优值；动对适应度值好于或等于平均值的粒子，用提出的动态非线性方程调整
惯性权重，保存相对有利环境的基础上逐步向全局最优处收敛。两种方法前后相辅相成、态协调，两个动在动使
ｐｌｙｄｔｅｉｔｏｕｄｄｎｍｉｏｌｎｅｒｅｕｔｏｓｔｍｏｆｈｅｉｅｉｉｈ，ｗｈｃｃｕｌｅａｎｆｖｒｂｅｃｎｉｉｎｓｏｅｈｅｎｗｎｒｄｃｅｙａｃｎｎｉａｑａｉｎｏｄｉｙｔｎｒａｗｅｇｔｔｉｈｏｄｒｔｉａｏａｌｏｄｔｏａｄｃｎｅｇｏｔｅｇｏｌｏｔｍａｃｎｉａｌｎｏｖｒｅｔｈｌｂａｐｉｏｔｎｕｌｙ．Ｔｗｏｍｅｈｄｓｃｏｄｉａｅｔａｈｏｔｒｄｎａｉａｌｔｏｏｒｎｔｄｗｉｅｃｈｅｙｍｃｌｙ，ａｄｍａｅｔｎｍｉｈｎｄｗｏｄｙａｃｓｒｏｐｒｔｏｅｏｖ．Ｓｏｅｗｅｌｋｏｅｃｗａｍｓｃｏｅａｅｔｖｌｅｍｌ— ｎｗｎｂｎｈｍａｋｆｃｉｎｓｗｉｉｆｒｎｏｌｘｔｅｒｍｐｏｅｏｔｓｈｅｐｒｒｕｎｔｏｔｄｆｅｅｔｃｍｐｅｉｉｓｗｅｅｅｌｙｄｔｅｔｔｅ－ｈ
第２７卷第１期
２１００年１月

改进的粒子群理论及在非线性方程组中的应用

Ｃｍｕｒｎｉｅｉｄｐｌａｏｓｏｐｔｇｅｒｇａｐｉｔｎ计算机工程与应用ｅＥｎｎｎＡｃｉ
改进的粒子群理论及在非线性方程组中的应用
高雷阜，齐微
，
。
Ｇｅｆ，ＩＷｅＡＯＬｉＱｉｕ
辽宁工程技术大学理学院数学与系统科学研究所，辽宁阜新１３０２００
摘要：针对基本粒子群优化算法的“ 早熟” 及参数设置的缺陷，提出基于变尺度的粒子群优化算法。该算法利用变尺度法局部收敛快的特点，使改进后的算法能有效地跳出局部最优解，快速地搜索到全局最优解。仿真结果表明新算法提高了最优解的精度和优化效率；同时验证了算法有较好的鲁棒性，新然后把改进算法成功应用于非线性方程组求解问题。
ｉｒｖｄａｇｒｔｍＳｓｃｅｓｕｌｐｌｄｔｏｖｈｒｂｅｏｏｌｅｒｅｕｔｎ．ｍｐｏｅｌｏｉｈｉｕｃｓｆｌａｐｉｏｓｌｅｔｅｐｏｌｍｆｎｎｉａｑａｉｓｙｅｎｏ
Ｋｅｒｓｌｂｌｏｔｚｔｎ；ａｔｌｗａｍｐｉｉａｉｎａｇｒｈ；ａｉｂｅｍｅｒｃａｇｒｔｍ；ｏｌｅｑａｉｎｙｗｏｄ：ｇｏａｐｉａｉｐｒｉｅＳｒｏｔｚｔｌｏｉｍｖｒａｌｔｌｏｉｍｉｏｃｍｏｔｉｈｎｎｉａｅｕｔｓｎｒｏ
Ａｐｉａｏｓ２１。７３）４－０ｐｌｔｎ。０１４（５：８５．ｃｉ
Ａｂｓｒｃ：Ｐｒｃｅｓｒｏｔｚｔｎｌｏｔｍａｅｎｖｒａｌｍｅｒｃｍｅｈｄｓｐｏｏｅｏｈｄｆｃｓｆｅｅｎａｙｔａｔａｔｌｗａｍｐｉａｉａｇｒｈｂｓｄｏａｂｅｉｍｉｏｉｉｔｔｏｉｒｐｓｄｆｒｔｅｅｅｔｉｏｌｍｅｔｒｐｒｉｌｗａｍｐｉｚｔｎａｇｒｔｍ ” ｒｍａｕｅａｄｔｅｐｒｍｅｅｅｔｇＴｅａｇｒｍｓｓｆｓｌｃｌｃｎｅｇｎｅｃａａ・ａｔｅｓｒｏｔｃｍｉａｉｌｏｈｏｉｐｅｔｒ ” ｎｈａａｔｒｓｔｎ．ｈｌｏｉｉｈｔｕｅａｔｏａｏｖｒｅｃｈｒｃ

求解非线性方程组的混合粒子群算法

ＣｍｕｅＥｇｎｅｉｎＡｐｉｔｎ计算机工程与应用ｏｐｔｎｉｒｇａｄｐｌａｉｓｒｅｎｃｏ
２１，７９０１４（）
３３
求解非线性方程组的混合粒子群算法
欧阳艾嘉刘利斌乐光学，肯立，，～李
ｆｎｔｏｓＣｏｕｅｇｎｅｉｇａｄＡｐｌａｏｓ２１４（：３３．ｕｃｎ．ｍｐｔｒＥｎｉｅｒｎｎｐｉｔｎ。０１，７９）３－６ｉｃｉ
Ａｂｔａｔｓｒｃ：ＡｂｉＰｒｉｌＳｒＨｙｒｄａｔｅｗａｍＯｐｉｚｔｎ（ＳｃｔｍｉａｉＨＰＯ）ａｇｒｈ，ｉｈｃｍｂｎｓｈａｖｎａｅｏｈｍｅｈｄＨｏｋ－ｏｌｏｔｍｗｈｃｏｉｅｔｅｄａｔｇｓｆｔｅｉｔｏｏｅＪｅｅ（）ａｄＰｒｉｌｗａｍＯｐｉｚｔｎ（ＳｅｖｓＨＪｎａｔｅｃＳｒｔａｉＰＯ），ｓｕｆｒｒｔｓｌｅｙｔｍｓｆｎｎｉｅｒｕｃｉｎ，ｎｔａｂｍｉｏｉｐｔｏｗａｄｏｏｖｓｓｅｏｏｌａｆｎｔｓａｄｉｎｏｃｎｅ
ＯＡＮＧＡｉＬＵｉｉＹｕｎｘｅＬｎｉＵＹｉａ，ＩＬｂｎ，ＵＥＧａｇｕ，ＩＫｅｌｉ１兴学院数理与信息工程学院，江嘉兴３４０．嘉浙１０１
２池州学院数学与计算机科学系，．安徽池州２７０４００３南大学计算机与通信学院，．湖长沙４０８１０２

求解非线性方程及方程组的粒子群算法

求解非线性方程及方程组的粒子群算法
近年来，随着计算机技术的发展，大量的复杂非线性方程及方程组可以用计算机求解，而粒子群优化(PSO)是最近比较受欢迎的一种优化技术。

粒子群算法不仅可以有效地求解非线性方程，而且能够在求解过程中提高算法的最优性。

粒子群优化算法(PSO)是一种迭代优化算法，它基于设置一群搜索实体，其最佳个体状态由迭代计算过程得出，这种方法无需指定任何搜索步骤或优化函数，可以有效地求解复杂非线性方程及方程组。

相对于传统的穷举法，粒子群算法的优点在于它对算法的参数开发要求较低，只需设置一些特定的参数，如粒子数、空间维数以及初始位置、速度等，就可以得到满足某种条件（如最小化和最大化）的最优解。

粒子群算法也拥有自我学习的能力，它可以记忆上一次结果，并根据最优值更新参数，以达到最优解。

这里的最优解可以是最小值或最大值，也可以是最小平方和。

此外，粒子群算法可以改进研究中的初始值，当非线性方程的参数发生变化时，粒子群算法也能根据环境的变化而自行调整，从而达到最优解。

粒子群算法在非线性方程和方程组方面有着巨大的潜力。

复杂的非线性方程，特别是多元非线性方程，可以有效地使用粒子群算法。

例如多元方程可以表示多维空间某一点的分布状况，利用粒子群算法可以更好地找到最佳解来描述该点在多维空间中的位置，从而解决多元非线性方程。

总结来说，粒子群算法具有自适应地特性，能够有效地解决复杂的非线性方程及方程组，从而在求解过程中提高算法的最优性。

未来，粒子群算法将继续受到计算机科学领域的广泛应用，用于多种复杂的求解问题。

非线性规划算法介绍

非线性规划算法介绍在优化问题中，线性规划被广泛应用，但是有时候我们需要解决一些非线性问题。

非线性规划问题是指目标函数或约束条件至少有一个是非线性的优化问题，求解非线性规划问题是在一些工程和科学领域中很重要的任务。

这篇文章将会介绍非线性规划算法的一些概念和原理。

1. 概述非线性规划（Non-linear programming，简称NLP）是指存在非线性的目标函数和约束的最优化问题。

相对于线性规划问题，非线性规划问题的求解要困难得多，因此需要更复杂的算法来解决。

然而，在实际应用中非线性规划问题比比皆是，如金融风险管理、科学研究、交通规划等，因此非线性规划算法的研究意义非常重大。

2. 常见算法(a) 梯度下降法梯度下降法（Gradient descent algorithm）是求解最小化目标函数的一种方式。

在非线性规划问题中，该方法利用目标函数的梯度方向来确定下降的方向，迭代调整参数，直到梯度为零或达到可接受的误差范围。

梯度下降法有多种变形，包括共轭梯度法、牛顿法等。

(b) 拟牛顿法拟牛顿法（Quasi-Newton methods）是用来求解非线性约束优化问题的经典算法之一。

拟牛顿法利用牛顿法的思想，但不需要求解目标函数的二阶导数，转而用近似的Hessian矩阵来取代二阶导数，并用更新步长向量的方式近似求解目标函数的最小值。

虽然有缺点，但启发式算法具有较强的鲁棒性和适应性，可用于非线性规划问题的求解。

常见的启发式算法包括模拟退火、遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等。

3. 应用案例非线性规划算法在实际应用中发挥着不可或缺的作用。

这里介绍两个基于非线性规划算法的应用案例。

(a) 水利工程在水利工程中，常常需要寻找最优的方案来解决水库调度、灌溉、排洪等问题。

非线性规划算法能够通过寻找水资源的最优利用方法，保证水利工程的经济和社会效益。

粒子群优化算法的研究及改进

粒子群优化算法的研究及改进粒子群优化算法(PSO)是一种仿生计算算法，灵感来自鸟群中鸟类的行为。

PSO算法通过模拟鸟群中鸟类食物的过程，来解决优化问题。

PSO 算法初期，将粒子当作优化问题中的候选解，每个粒子代表一个解。

粒子通过迭代更新自己的位置和速度，并与其它粒子进行信息交流，以找到最优解。

PSO算法的研究主要集中在两个方面：算法的收敛性分析和算法的改进。

对于收敛性分析，研究者主要关注PSO算法是否能在有限的迭代次数内收敛到最优解，以及算法的收敛速度。

收敛性的分析可以通过数学方法进行，例如利用非线性动力学理论以及马尔可夫随机过程分析算法的稳定性和收敛性。

此外，还可以通过数值实验来验证算法的性能。

对于算法的改进，研究者提出了许多方法来改进PSO算法的性能。

以下列举几种常见的改进方法：1.参数调整：PSO算法中有许多参数需要调整，例如惯性权重、学习因子等。

通过合理地调整这些参数，可以提高算法的性能。

研究者通过实验和理论分析，提出了很多参数调整方法，例如自适应参数调整、混合权重策略等。

2.多种群方法：多种群方法是将PSO算法的种群划分为多个子种群，并让这些子种群相互竞争和合作，以增加空间的覆盖率。

这种方法可以避免算法陷入局部最优解，并提高全局的性能。

3.基于混沌的PSO算法：混沌理论在优化问题中有着广泛的应用。

研究者将混沌理论引入PSO算法中，通过混沌序列来改变粒子的速度和位置，以增加的多样性和全局性。

4.多目标优化PSO算法：在传统的PSO算法中，通常只考虑单个目标函数。

然而，在实际问题中，往往存在多个冲突的优化目标。

因此，研究者提出了多目标优化PSO算法，以同时优化多个目标函数。

总之，粒子群优化算法是一种有效的优化算法，已经在多个领域得到了广泛的应用。

研究者通过对算法的收敛性分析和算法的改进，提高了算法的性能和优化效果。

未来，随着研究的深入，PSO算法还有很大的改进和应用潜力。

matlab粒子群优化算法约束条件

matlab粒子群优化算法约束条件
粒子群优化算法是一种基于群智能思想的优化算法，适用于求解非线性、非凸、多极
值函数优化问题。

该算法模拟自然界中各种生物群体的智能行为，通过模拟粒子群在解空
间中寻找最优解的过程，不断更新粒子的位置和速度，最终找到全局最优解。

在实际问题中，往往需要对求解过程加以限制，即在优化时需要考虑一些约束条件。

例如，在某些最优化问题中，决策变量必须满足线性或非线性等约束条件。

在使用粒子群
优化算法时，如何加入约束条件也是一个需要注意的问题。

具体来说，当存在约束条件时，粒子的位置和速度不能随意更新，必须满足约束条件。

常见的约束条件有：
1. 等式约束：将决策变量的取值代入等式中，得到结果必须等于某一个给定的值。

解决约束条件就需要将其纳入目标函数中，构建新的适应度函数。

在构建新的适应度
函数时，将不符合约束条件的解排除在外，只考虑满足约束条件的解。

在使用粒子群优化算法时，可以采用以下方法来处理约束条件：
1. 检查每个粒子的位置，如果违反了约束条件，就使用随机数重新生成位置。

2. 在计算适应度函数时，将不符合约束条件的解的适应度设为一个极大值，从而避
免产生影响。

3. 引入罚函数法，将不符合约束条件的解的适应度进行惩罚，使得最优解在满足约
束条件的前提下更趋向于全局最优解。

总之，在应用粒子群优化算法求解具有约束条件的最优化问题时，需要将约束条件纳
入目标函数中，并采用相应的处理方法，从而保证算法的有效性和精确性。

粒子群算法在求解方程组中的应用

Ｏ引言
科学和工程计算中，求解方程组是非常重要的内容。以往
粒子群算法的实际计算步骤如下。第一步：对每个粒子的速度和位置进行初始化；
第二步：算每个粒子的适应值；计
求解线性方程组多采用消去法和迭代法，而求解非线性方程组则多采用牛顿迭代法和其各种改进的算法。这些方法虽然有
计算机时代２１年第１期００Ｏ
粒子群算法在求解方程组中的应用
孟纯青
（东大学第二附属中学，山东济南２０６）山５０１
摘要：提出了采用粒子群算法求解线性方程组和非线性方程组的智能算法。采用粒子群算法求解方程组具有形式简单、收敛迅速和容易理解等特点，能在一次计算中多次发现方程组的解，以解决非线性方程组多解的求解问题，且可为线
２本文算法介绍
本文针对线性方程组和非线性方程组各自的特点详细内容可参阅参考文献【Ｊ［】本文仅用了不同的粒子群算法。求解线性方程组时采用上面给出的ｌ和２，标准的粒子群算法，求解非线性方程组时采用改进算法。作以下简单介绍。
群算法步骤如下。第一步：对每个粒子的速度和位置作初始化；第二步：计算每个粒子的适应值；
通过反复调整使得整体向着最优值靠近。
在实际的粒子群算法中，每个个体被称为粒子。每个粒子包含以下参数：当前位置矢量，历史最优位置，速度矢量，当前适应值，历史最优适应值。粒子按照下面的公式调整自己的速度和位置：

粒子群算法应用

粒子群算法应用粒子群算法（ParticleSwarmOptimization，简称PSO）是一种基于群智能（swarm intelligence）的进化计算方法，它受到了自然界中鸟类聚集捕食行为的启发，是不断搜索空间以寻求最优解的一种优化算法，它不像遗传算法（genetic algorithms）和模拟退火（simulated annealing）那样需要用户设定许多的参数，PSO的使用简单方便，有效易于实现。

粒子群算法是一种用于求解非线性优化问题的算法，它能够同时考虑待优化函数多个最优化点乃至局部最优解，并利用具有社会行为性质的粒子搜索空间以实现最优搜索，得到多个最优解，是一种光滑连续非线性最优化问题的有效求解器。

粒子群算法的应用大体可以分为三类，即优化问题、分类与预测问题、模糊控制问题。

其中，优化问题包括最小化函数最大化函数，函数调整，控制参数调整以及计算机视觉相关应用等，分类与预测问题应用于人工神经网络的训练，机器学习技术的开发以及数据挖掘等，模糊控制问题在多媒体处理中的应用以及虚拟现实系统的控制等方面均有所体现。

接下来介绍粒子群算法在优化问题中的应用。

粒子群算法主要用于求解最优化问题，在这里，它能够用于解决多元函数极值问题，使用粒子群算法可以更快地搜索出最优解，而且算法的收敛速度较快，具有良好的收敛性，即使在复杂多极局部最优点的情况下也能找出最优解，因此，粒子群算法在求解非线性函数极值问题方面有着广泛的应用。

粒子群算法也可以用于解决函数调整问题。

在函数调整问题中，常常需要求解优化函数最小化或最大化的参数，如寻找最佳参数权值，这时可以使用粒子群算法来解决。

粒子群算法的优点是无需设定参数，运行和调整都十分简便，但搜索过程可能会耗时较长，适用于解决复杂的函数调整问题，它能够有效的搜索出参数空间中的最优解，从而获得更好的性能和更低的计算复杂度，是一种较为有效的函数优化和参数调整算法。

粒子群算法也可以用于控制参数调整问题。

cma-es和粒子群算法 -回复

cma-es和粒子群算法 -回复什么是CMA-ES算法？CMA-ES（Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy，协方差矩阵适应进化策略）是一种基于进化策略的优化算法，用于解决连续非线性优化问题。

它是由Nikolaus Hansen等人在1996年提出的，经过多年的发展和改进，已经成为求解高维优化问题的一种有效工具。

CMA-ES算法的基本思想是通过进化策略来自适应地调整当前解的分布，从而使目标函数值逐渐趋近于全局最优解。

具体而言，CMA-ES 算法维护一个候选解的分布，通过适应性地更新协方差矩阵和均值向量，来生成新一代解。

通过不断迭代，CMA-ES算法能够有针对性地搜索解空间，并找到一个较优的解。

CMA-ES算法的关键步骤有以下几个：1. 初始化：设定初始均值向量和协方差矩阵。

2. 生成候选解：根据当前的均值向量和协方差矩阵，利用多元高斯分布生成一组候选解。

3. 评估候选解：计算每个候选解的目标函数值。

4. 更新协方差矩阵：根据候选解的质量和适应度，调整协方差矩阵的估计。

5. 更新均值向量：根据候选解的适应度和协方差矩阵，更新均值向量。

6. 判断停止条件：如果满足停止条件，则终止算法；否则返回第2步继续迭代。

相比于其他优化算法，CMA-ES算法具有以下几个优点：1. 自适应性：CMA-ES算法通过更新均值向量和协方差矩阵来自动调整解的分布，从而适应不同的优化问题。

2. 收敛性：CMA-ES算法具有较好的全局搜索性能和局部搜索性能，能够在有限的迭代次数内找到较优解。

3. 高效性：CMA-ES算法通过选择合适的参数设置和使用高效的数值计算方法，能够快速求解高维优化问题。

而粒子群算法（Particle Swarm Optimization，简称PSO）也是一种常用的进化优化算法。

粒子群算法模拟鸟群捕食行为，通过不断调整粒子的速度和位置，使粒子趋向于全局最优解。

解非线性方程组的一个改进牛顿法

解非线性方程组的一个改进牛顿法
改进牛顿法（Improved Newton’s Method）是一种算法，通过误差函数的偏导数来求解非线性方程组。

与传统的牛顿法不同的是，它改进了求解的过程，使之更加准确、易于使用。

改进牛顿法基于牛顿法。

它们的区别在于牛顿法只能用于求解非线性方程组，而改进牛顿法除此之外，还可以用于求任意给定的函数极值（最大值和最小值）。

改进牛顿法的原理是使用函数的一阶偏导数的斜率来模拟函数的行为，然后根据斜率来决定如何前进，最后求函数极值。

改进牛顿法的具体实施步骤如下：
（1）首先，给定一个起始点和最大迭代次数；
（2）求出当前点的偏导数；
（3）通过使用偏导数来选择最佳迭代步长；
（4）用最佳步长更新当前点；
（5）重复步骤2-4直到收敛；
（6）返回极值解。

另外，改进牛顿法有一些优点，首先，改进牛顿法更加精确，因为它考虑了函数形式的对搜索点的影响，这使得它不太容易出现搜索参数差错的情况；其次，改进牛顿法的收敛速度快，它能够使迭代成比传统牛顿法更快；此外，改进牛顿法可以有效地避免局部极小值的问题，它有助于快速收敛到最优解。

改进牛顿法在求解非线性方程组方面具有良好的效果及得到了广泛的应用。

它比传统牛顿法更准确、更有效，收敛快，防止出现局部极小值问题，得到了广泛的应用。

未来，改进牛顿法还可以用于更多的科学和工程应用，帮助我们更快地找到更准确的解决方案。

求解非线性方程组的拟牛顿_粒子群混合算法_张安玲

[1]
其中， ai≤xi≤bi， i=1， …， n。ai 和 bi 为变量向量 X 的分量 xi 的上下限。求解方程组（1 ）等价于求解下面一个极值优化问题： Find：X= （x1， x2， …， xn ） ai≤xi≤bi， i=1， …， n （2 ）（3 ）
n 2 s.t. min （ f X ） =ΣC （（）） ai≤xi≤bi， i=1， …， n j f j x j=1
（1+x1x2 ） x3 3 x2
3
x1
置 Xj ，则第（k+1 ）代第 j 个粒子的速度及位置为： Vj
（k+1 ）
=ω
（k+1 ）（k ）
Vj + c 1 r 1 （Pj -Xj ） + c 2 r2 （Pg -Xj ） j=1， 2， …， m （5 ）
（k ）（k+1 ）
（k ）
（k ）
步骤2计算每个粒子的适应度值fitness步骤3对每个粒子将其适应度值fitness与其历史最好位置p比较若较好则将其作为当前的最好位置p步骤4对每个粒子将其适应度值fitness与全局所经历的最好位置p比较若较好则将其作为当前的全局最好位置p步骤5用式4和式5计算步骤6若达到终止条件达到预设最大代数m返回当前全局最优个体p转向步骤7
* 2 2 2 2 2 2 *
例2
其中： -1≤x1 ， x2 ， x3 ≤1，精确解为： x = （0， 0 ）。
姨姨姨1 姨姨姨姨姨2 姨姨姨姨姨3
f （x ） =x1 +e +2x2 +x3 +1=0 f （x ） =-x1 +x2 +x2 +2e -3=0 f （x ） =-2x2 +x3 +e +1=0 1 2 x x x +0.75=0 4 2 4 6

改进的粒子群算法求解非线性约束优化问题

第ｔ＋１代的速度和位置：
ｖｉ（ｄｔ＋１）＝ｗｖｉ（ｄｔ）＋ｃ１ｒ（１ｐ（ｂｅｓｔｉｄｔ）－ｘｉ（ｄｔ））＋ｃ２ｒ（２ｇ（ｂｅｓｔｄｔ）－ｘｉ（ｄｔ））（２）
ｘｉ（ｄｔ＋１）＝ｘｉ（ｄｔ）＋ｖｉ（ｄｔ＋１））
（３）
１≤ｉ≤ｐｏｐｓｉｚｅ，１≤ｄ≤Ｄ
在求解非线性约束优化问题时，无论采取什么方法，处理约束的机制都是其中的一个重要环节［２－１０］。约束处理的一个原则是将处于非可行域内（Ｓ－Ｆ）的解通过一定的方法引导到可行解区域Ｆ中来，目前在实际应用中，处理约束机制主要包括罚函数法和ｌａｇｒａｎｇｉａｎ乘数法，将有约束问题转化为无约束问题进行求解。
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｓａｎＩｍｐｒｏｖｅｄＰａｒｔｉｃｌｅＳｗａｒｍＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ（ＩＰＳＯ）．ＩＰＳＯａｄｏｐｔｓａｎｅｗｍｕｔａｔｉｏｎｏｐｅｒａｔｏｒａｎｄａｎｅｗｍｅｔｈｏｄｔｈａｔｃｏｎｇｒｅｇａｔｅｓｓｏｍｅｎｅｉｇｈｂｏｒｉｎｇｉｎｄｉｖｉｄｕａｌｓｔｏｆｏｒｍｍｕｌｔｉｐｌｅｓｕｂ－ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｓｉｎｏｒｄｅｒｔｏｌｅａｄｐａｒｔｉｃｌｅｓｔｏｅｘｐｌｏｒｅｎｅｗｓｅａｒｃｈｓｐａｃｅ．Ａｄｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ，ｔｈｉｓａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｅｓａｍｅｃｈａｎｉｓｍｗｉｔｈａｓｉｍｐｌｅａｎｄｅａｓｙｐｅｎａｌｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎｔｏｈａｎｄｌｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ．Ｔｈｕｓ，ｔｈｉｓａｌｇｏｒｉｔｈｍｈａｓｓｔｒｏｎｇｇｌｏｂａｌｅｘｐｌｏｒａｔｏｒｙｃａｐａｂｉｌｉｔｙａｎｄｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｗｈｉｌｅｂｅｉｎｇａｐｐｌｉｅｄｔｏｓｏｌｖｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｏｎ－ｓｔｒａｉｎｅｄｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ．ＥｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓｉｎｄｉｃａｔｅｔｈａｔｔｈｅＩＰＳＯｉｓｒｏｂｕｓｔａｎｄｅｆｆｉｃｉｅｎｔｉｎｓｏｌｖｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐａｒｔｉｃｌｅｓｗａｒｍ；ｍｕｌｔｉｐｌｅｓｕｂ－ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｓ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

明显提高，且实用性和通用性都很强．关键词：粒子群算法；非线性方程组；蒙特卡罗算法
中圈分类号：Ｏ２４１．７文献标识码：Ａ
Ｏ引言
非线性方程组求解是一个具有重要实践意义
为函数优化问题，在ＰＳＯ算法的基础上融合蒙特
其当前搜索到的最好位置记为ｐｂｅｓｔ，所有为ｇｂｅｓｔ．对第ｋ＋１次
迭代，第ｉ个粒子的第维状态（１ ≤ ≤ ）根据式
（１～４）更新．
一删＋
服经典算法的缺点，文献［２］利用遗传算法的全局搜索能力，结合经典算法的快速局部搜索设计了求解非线性方程组的混合遗传算法，使得算法具有较高的收敛速度和求解精度，但依然对方程组
程度上依赖于初始点的选择，对于某些非线性方程组容易导致求解失败，有效性较低，同时对于性
态较差的非线性方程组收敛效果很差［１］．为了克
ｔｉｏｎＡｇｏｒｉｔｈｍ）．实验证明了该算法的有效性，求
第２７卷第３期
２０１３年５月
甘肃联合大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧａｎｓｕＬｉａｎｈｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）
卡罗算法设计了一种求解非线性方程组数值解的
通用算法ＭＰＳＯ（ＭｄｉｆｉｅｄＰｒｔｉｃｌｅＳａｒｍＯｔｉｍｉｚａ —
的问题，许多工程实践问题最后都归结为求取非线性方程组的解．长期以来，人们在理论和数值计算方面对非线性方程组作了大量的研究，但是非线性方程求解仍然是困扰人们的一个难题．求解非线性方程组方法有经典算法以及近年来流行的遗传算法．牛顿法及其改进形式（修正牛顿法，拟牛顿法等）是目前应用最广泛的非线性方程组求解的经典算法，该类算法具有较快、与迭代初值有关的局部收敛性，但是此类算法的收敛性在很大
解的精度高，而且无需方程组的各种信息．
１基础知识
１．１标准粒子群算法设在Ｄ维的搜索空间中，种群规模Ｎ，第ｉ个粒子的当前位置和速度分别记为黾一（
…
，
，
）且 ≤ Ｘ ≤ ｂ和Ｉ，ｉ一（ｎ，ｆ２， …，＂Ｕ／Ｄ），
【
＜Ｘ￣／１
ａｊ
ｆｚ＞ｂｊ．ｚ一６Ｊ，ｉ＞．
其中ｉ一１，２， …，Ｎ，＝＝＝１，２， …，Ｄ．参数说明：称为惯性权重，它决定了粒子历
数要求较少（例如无需梯度信息）等特点，因此近
Ｖｏ１．２７Ｎｏ．３
Ｍａｙ２０１３
文章编号：１６７２ — ６９１Ｘ（２０１３）０３ — ０００１ — ０５
求解非线性方程组的改进粒子群算法
任燕，王洪涛
（河南理工大学数学与信息科学学院，河南焦作４５４００Ｏ）
和编码方法有很高要求．粒子群优化ＰＳＯ算法，是由Ｋｅｎｎｅｄｙ和
ｃ１Ｒ１（ｐｂｅｓｔ一硝）＋Ｃ２Ｒ２（ｇｂｅｓｔ一ｚ），
（１）
．ｚ一硝＋
，
… ，＜一 … ，
（２）
ｌ
：一一Ｖｍａｘ９，讦ｉｆ＜＞一Ｖｍａｘ
一一，
ｃ３㈤
Ｅｂｅｒｈａｒｔ基于一种社会心理学模型中的社会影响和社会学习而提出的．由于该算法通用性强、原理简单、收敛速度快、参数设置少，并且对目标函
年来受到学术界的广泛重视，已成为一种重要的
史速度信息对当前速度信息的影响．Ｃ，Ｃ。称为
学习因子，表示粒子受个体认知和社会认知的影
优化工具．本文将求解非线性方程组的问题转化
摘要：针对传统非线性方程组求解方法易导致求解失败和精确度、有效性偏低的问题，提出了一种改进粒子
群优化算法．该算法在进化初期采用线性递减权重粒子群进行粗略搜索，后期利用蒙特卡罗算法进行随机搜索，提高了求解精度，对５个典型算例的测试结果表明，ＭＰＳＯ在求解精度、稳定性和全局搜索能力等方面都有