广东省2017届高三上学期阶段性测评(一)理数试题Word版含答案
2017年广州市一模理科数学试题及标准答案
2017年广州市一模理科数学试题及标准答案2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）复数()221i 1i+++的共轭复数是（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i-+ （D ）1i --（2）若集合}{1M x x =≤，}{2,1N y y x x ==≤，则（A ）M N = （B ）M N ⊆ （C ）N M ⊆ （D ）M N =∅I（3）已知等比数列{}na 的各项都为正数, 且35412a ,a ,a 成等差数列,则3546aa aa ++的值是（A 51- （B 51+（C ）35- （D 35+（4）阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为（A ）2（B ）3 （C ）4（D ）5（5）已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 分别是双曲线C 的左，右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且17PF=, 则2PF 等于（A ）1 （B ）13 （C ）4或10 （D ）1或13 （6）如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,且该几何体的体积为83, 则该几何体的俯视图可以是（7）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为（A ）12 （B ）1532 （C ）1132（D ）516（8）已知1F ,2F 分别是椭圆C ()2222:10x y a b a b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C 上存在点P使12F PF ∠为钝角, 则椭圆C 的离心率的取值范围是（A）2⎛⎫⎪⎪⎝⎭（B ）1,12⎛⎫⎪⎝⎭（C）0,2⎛ ⎝⎭（D ）10,2⎛⎫⎪⎝⎭（9）已知:0,1xp x eax ∃>-<成立,:q 函数()()1xf x a =--是减函数, 则p 是q 的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC 为鳖臑, PA ⊥平面ABC ,2PA AB ==，4AC =,三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表 面积为（A ）8π （B ）12π （C ）20π（D ）24π （11）若直线1y =与函数()2sin 2f x x =的图象相交于点()11,P x y ，()22,Q x y ，且12x x-=23π，则线段PQ 与函数()f x 的图象所围成的图形面积是（A）23π+ （B）3π+ （C ）223π+ （D）23π（12）已知函数()32331248f x x x x =-++, 则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为（A ） 0 （B ）504 （C ）1008（D ）2016第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
广东省深圳高级中学2017届高三(上)第一次考试数学(理)试卷(解析版).doc
2016-2017学年广东省深圳高中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=e x B．y=lnx2C．y=D．y=sinx【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可．【解答】解：y=，y=e x为（0，+∞）上的单调递增函数，但不是偶函数，故排除A，C；y=sinx在整个定义域上不具有单调性，排除D；y=lnx2满足题意，故选：B．【点评】本题主要考查函奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的性质：单调性、奇偶性等性质，比较基础．2．函数f（x）=sinx﹣cos（x+）的值域为（）A．[﹣2，2] B．[﹣，] C．[﹣1，1] D．[﹣，] 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】通过两角和的余弦函数化简函数的表达式，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的值域．【解答】解：函数f（x）=sinx﹣cos（x+）=sinx﹣+=﹣+=sin（x﹣）∈．故选B．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的定义域和值域，考查计算能力．3．若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】由题意求导f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；从而化函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值为△=（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；从而求解．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，∴f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；又∵函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，∴△=（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；故a＞6或a＜﹣3；故选B．【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．4．若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【考点】定积分．【专题】导数的综合应用．【分析】利用回代验证法推出选项即可．【解答】解：若f（x）dx=﹣1，则：f（x）=x2﹣2，∴x2﹣2=x2+2（x2﹣2）dx=x2+2（）=x2﹣，显然A不正确；若f（x）dx=，则：f（x）=x2﹣，∴x2﹣=x2+2（x2﹣）dx=x2+2（）=x2﹣，显然B正确；若f（x）dx=，则：f（x）=x2+，∴x2+=x2+2（x2+）dx=x2+2（）=x2+2，显然C不正确；若f（x）dx=1，则：f（x）=x2+2，∴x2+2=x2+2（x2+2）dx=x2+2（）=x2+，显然D不正确；故选：B．【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，回代验证有时也是解答问题的好方法．5．在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°则BC边上的高等于（）A．B．C．D．【考点】解三角形．【专题】计算题；压轴题．【分析】在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB可求AB=3，作AD ⊥BC，则在Rt△ABD中，AD=AB×sinB【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB把已知AC=，BC=2 B=60°代入可得，7=AB2+4﹣4AB×整理可得，AB2﹣2AB﹣3=0∴AB=3作AD⊥BC垂足为DRt△ABD中，AD=AB×sin60°=，即BC边上的高为故选B【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，解答本题的关键是求出AB，属于基础试题6．函数y=lncosx（）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】数形结合．【分析】利用函数的奇偶性可排除一些选项，利用函数的有界性可排除一些个选项．从而得以解决．【解答】解：∵cos（﹣x）=cosx，∴是偶函数，可排除B、D，由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C，故选A．【点评】本小题主要考查复合函数的图象识别．属于基础题．7．将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（）A．B．C．（）D．（）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．【专题】计算题．【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质进行验证：若f（a）=0，则（a，0）为一个对称中心，确定选项．【解答】解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为再向右平移个单位得到图象的解析式为=sin2x当x=时，y=sinπ=0，所以是函数y=sin2x的一个对称中心．故选A．【点评】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高．8．设147()9a-=，159()7b=，27log9c=，则a, b, c的大小顺序是（）A、b a c<<B、c a b<<C、c b a<<D、b c a<<【考点】对数值大小的比较．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∴a＞b＞c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（2016•江门模拟）若f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，f（0）=，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出ω，由f（0）=求出φ的值，可得函数的解析式；再利用余弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=sin（ωx+ϕ+）（ω＞0）的最小正周期为=π，可得ω=2．再根据=sin（ϕ+），可得sin（ϕ+）=1，ϕ+=2kπ+，k∈Z，故可取ϕ=，y=sin（2x+）=cos2x．在上，2x∈（﹣，），函数f（x）=cos2x 没有单调性，故排除A、B；在上，2x∈（0，π），函数f（x）=cos2x 单调递减，故排出C，故选：D．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由f （0）=求出φ的值；余弦函数的单调性，属于基础题．10．（2011•湖南）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．11．（2016•湖南校级模拟）已知函数（x∈R），若关于x的方程f（x）﹣m+1=0恰好有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】讨论x的范围，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：当x≤0时，为减函数，f（x）min=f（0）=0；当x＞0时，，，则时，f'（x）＜0，时，f'（x）＞0，即f（x）在上递增，在上递减，．其大致图象如图所示，若关于x的方程f（x）﹣m+1=0恰好有3个不相等的实数根，则，即，故选：A．【点评】本题主要考查函数根的个数的判断，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题，求函数的导数，利用数形结合进行求解是解决本题的关键．12．（2016•湖南模拟）设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2] C．D．以上均不正确【考点】基本不等式；简单线性规划．【专题】转化思想；转化法；不等式．【分析】由基本不等式可得a≥，c≥2，再由三角形任意两边之和大于第三边可得，+2＞，且+＞2，且+2＞，由此求得实数p的取值范围．【解答】解：对于正实数x，y，由于≥=，c=x+y≥2，，且三角形任意两边之和大于第三边，∴+2＞，且+＞2，且+2＞．解得1＜p＜3，故实数p的取值范围是（1，3），故选：A．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意不等式的使用条件，以及三角形中任意两边之和大于第三边，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（2009•锦州一模）函数f（x）=，不等式f（x）＞2的解集为{x|1＜x＜2或x＞}．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】先分两段分别解不等式，最后所求将不等式解集合并即可【解答】解：不等式f（x）＞2⇔①或②由①得1＜x＜2，由②得x＞∴不等式f（x）＞2的解集为{x|1＜x＜2或x＞}故答案为{x|1＜x＜2或x＞}【点评】本题考查了函数与不等式的关系，特别是分段函数与不等式，解题时要分辨清楚何时求交集何时求并集，认真解不等式才可顺利解题14．（2016秋•深圳校级月考）已知，则=﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由已知利用两角差的正弦公式展开化简，然后结合辅助角公式可求sin（），最后利用诱导公式=﹣sin（）即可求解【解答】解：∵，展开可得，=∴由辅助角公式可得sin（）=则=﹣sin（）=﹣故答案为：【点评】本题主要考查了两角差的正弦公式、辅助角公式及诱导公式在三角函数的化简求值中的应用．15．（2015秋•哈尔滨校级期末）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=2，b=a，则△ABC面积的最大值为2．【考点】三角形的面积公式．【专题】方程思想；综合法；解三角形．【分析】先利用余弦定理求出cosC的值然后利用三角形面积公式可知S=a2sinC，然后化简变形求出S的最大值，注意取最大值时a的值．【解答】解：由公式c2=a2+b2﹣2abcosC和c=2，b=a得4=a2+2a2﹣2a2cosC可推出cosC=，又由公式S面积=absinC和b= a 得S=a2sinC=•=，当a2=12时，S面积取最大值2．三角形三边a+b＞c，b﹣a＜c所以得2+2＞a＞2﹣2，所以a=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角形中的几何计算，同时考查了余弦定理和二次函数的最值等有关基础知识，属于中档题．16．（2016秋•深圳校级月考）已知定义在R上的函数f（x）同时满足以下三个条件（1）f（x）+f（2﹣x）=0，（2）f（x）=（﹣2﹣x）（3）f（x）=则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上公共点个数为6个．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据f（x）的周期性和对称性做出f（x）在[﹣3，3]上的函数图象，再做出g（x）的函数图象，根据图象判断交点个数．【解答】解：∵f（x）=f（﹣2﹣x），∴f（x）的图象关于x=﹣1对称，又∵f（x）+f（2﹣x）=0，∴f（x）的图象关于点（1，0）对称，做出f（x）和g（x）在[﹣3，3]上的函数图象如图所示：由图象可知当x≤0时，f（x）与g（x）的图象有4个交点，设g（x）在（1，0）处的切线斜率为k，则k=﹣＜﹣1，又g（2）=f（2）=﹣1，∴当x＞0时，f（x）与g（x）只有两个交点（1，0）和（2，﹣1）．综上，f（x）与g（x）在[﹣3，3]上有6个交点．故答案为：6．【点评】本题考查了分段函数的图象，函数性质的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2014•郑州一模）如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足•=0．sin ∠BAC=，AB=3，BD=．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（I）通过向量的数量积，判断垂直关系，求出cos∠BAD的值，在△ABD中，由余弦定理求AD的长；（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，求出sin∠ADB，通过三角形是直角三角形，即可求cosC．【解答】解：（Ⅰ）∵•=0，∴AD⊥AC，∴，∵sin∠BAC=，∴…．（2分）在△ABD中，由余弦定理可知BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠BAD，即AD2﹣8AD+15=0，解之得AD=5或AD=3 …．（6分）由于AB＞AD，∴AD=3…..（7分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，又由，可知，∴=，∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DAC=，∴．…（12分）【点评】本题考查解三角形，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力．18．（12分）（2012•新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【考点】概率的应用；离散型随机变量的期望与方差．【专题】综合题．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．19．（12分）（2016•广州一模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（I）证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B﹣OB1﹣C的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】综合题；向量法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．【解答】证明：（1）∵A1O⊥面ABCD，且BD，AC⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵A1O∩AC=O，∴BD⊥面A1AC，∵BD⊂平面平面BB1D1D，∴平面A1CO⊥平面BB1D1D（2）建立以O为坐标原点，OA，OB，OA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵AB=AA1=2，∠BAD=60°，∴OB=1，OA=，∵AA1=2，∴A1O=1．则A（，0，0），B（0，1，0），A1（0，0，1），C（﹣，0，0），==（﹣，1，0），=（0，1，0），=（﹣，0，0），=（0，0，1），则=+=（﹣，1，1），设平面BOB1的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=，则y=0，z=3，即=（，0，3），设平面OB1C的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=﹣1，x=0，则=（0，1，﹣1），cos＜，＞===﹣，∵二面角B﹣OB1﹣C是钝二面角，∴二面角B﹣OB1﹣C的余弦值是﹣．【点评】本小题主要考查面面垂直的判断和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．20．（12分）（2016•蚌埠三模）设函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞2，xln（x﹣1）＞a（x﹣2）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求得函数的定义域，求导，根据二次函数图象及性质，利用△≤0，再对a 分类讨论即可求f（x）的单调区间；（Ⅱ）xln（x﹣1）＞a（x﹣2）恒成立，等价于f（x）﹣a＞0，构造辅助函数，根据（Ⅰ）讨论a的取值，判断f（x）的单调区间，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题易知函数f（x）的定义域为（1，+∞），∴，…（2分）设g（x）=x2﹣2ax+2a，△=4a2﹣8a=4a（a﹣2），①当△≤0，即0≤a≤2时，g（x）≥0，∴f'（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上是增函数，…（3分）②当a＜0时，g（x）的对称轴x=a，当x＞1时，g（x）＞g（1）＞0，∴g（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，设x1，x2（x1＜x2）是方程x2﹣2ax+2a=0的两个根，则x1=a﹣＞1，x2=a+，当1＜x＜x1或x＞x2时，f′（x）＞0，f（x）在（1，x1），（x2，+∞）上增函数，…（4分）当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，f（x）在（x1，x2）上是减函数；…综合以上可知：当a≤2时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），无单调减区间；当a＞2时，f（x）的单调递增区间为，单调减区间为；…（6分）（Ⅱ）当x＞2时，，…（7分）令h（x）=f（x）﹣a，由（Ⅰ）知：①当a≤2时，f（x）在（1，+∞）上是增函数，∴h（x）在（2，+∞）上增函数，∵当x＞2时，h（x）＞h（2）=0，上式成立；当a＞2时，f（x）在（a﹣，a+）是减函数，∴h（x）在（2，a+）是减函数，x∈（2，a+）时，h（x）＜h（2）=0，上式不成立，综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．…（12分）【点评】本题考查利用函数的导数求函数的单调性及恒成立问题综合应用，关键是通过分类讨论得到函数的单调区间及会转化利用已证的结论解决问题，属于难题．21．（12分）（2016秋•深圳校级月考）已知函数f（x）=5+lnx，g（x）=（k∈R）．（I）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与函数y=g（x）的图象相切，求k的值；（II）若k∈N*，且x∈（1，+∞）时，恒有f（x）＞g（x），求k的最大值．（参考数据：ln5≈1.61，ln6≈1.7918，ln（+1）=0.8814）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（I）由f（1）=5，且，f′（1）=1，利用导数的几何意义得到函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+4，设直线y=x+4与g（x）=，（k∈R）相切于点P（x0，y0），得g′（x0）=1，g（x0）+4，由此利用导当数性质能求出k的值．（II）当x∈（1，+∞）时，5+lnx＞恒成立，等价于当x∈（1，+∞）时，k＜恒成立，设h（x）=，（x＞1），则，（x＞1），记p（x）=x﹣4﹣lnx，（x＞1），则p′（x）=，由此利用导数性质能求出k的最大值．【解答】解：（I）∵函数f（x）=5+lnx，∴f（1）=5，且，从而得到f′（1）=1．∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣5=x﹣1，即y=x+4．…（2分）设直线y=x+4与g（x）=，（k∈R）相切于点P（x0，y0），从而可得g′（x0）=1，g（x0）+4，又，∴，解得或．∴k的值为1或9．…（II）当x∈（1，+∞）时，5+lnx＞恒成立，等价于当x∈（1，+∞）时，k＜恒成立．…（6分）设h（x）=，（x＞1），则，（x＞1）记p（x）=x﹣4﹣lnx，（x＞1），则p′（x）=1﹣=，∴p（x）在x∈（1，+∞）递增．又p（5）=1﹣ln5＜0，p（6）=2﹣ln6＞0，…（8分）∴p（x）在x∈（1，+∞）存在唯一的实数根m∈（5，6），使得p（m）=m﹣4﹣lnm=0，①∴当x∈（1，m）时，p（x）＜0，即h′（x）＜0，则h（x）在x∈（1，m）递减；当x∈（m，+∞）时，p（x）＞0，即h′（x）＞0，则h（x）在x∈（m，+∞）递增；所以x∈（1，+∞）时，h min=h（m）=，由①可得lnm=m﹣4，∴h（m）=，…（10分）而m∈（5，6），m+（），又h（3+2）=8，p（3+2）=2﹣1﹣ln（3+2）＞0，∴m∈（5，3+2），∴h（m）∈（，8）．又k∈N*，∴k的最大值是7．…（12分）【点评】本题考查实数值的求法，考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•佛山二模）如图，点A，B，D，E在⊙O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE=EB=BC．（1）证明：=；（2）若DE=2，AD=4，求DF的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（1）证明∠BAD=∠EAD，即可证明=；（2）证明△EAD∽△FED，可得．即可求DF的长．【解答】（1）证明：∵EB=BC，∴∠C=∠BEC．∵∠BED=∠BAD，∴∠C=∠BED=∠BAD．∵∠EBA=∠C+∠BEC=2∠C，AE=EB，∴∠EAB=∠EBA=2∠C又∠C=∠BAD，∴∠EAD=∠C，∴∠BAD=∠EAD．∴=；（2）解：由（1）知∠EAD=∠C=∠FED，∵∠EAD=∠FDE，∴△EAD∽△FED，∴．∵DE=2，AD=4，∴DF=1．【点评】本题考查两角相等的证明，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2015秋•石家庄校级期末）在极坐标系中，已知曲线C：ρ=sin（θ﹣），P为曲线C上的动点，定点Q（1，）．（Ⅰ）将曲线C的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（Ⅱ）求P、Q两点的最短距离．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】方程思想；分析法；直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）运用两角差的正弦公式和极坐标与直角坐标的关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，化简即可得到所求方程及轨迹；（Ⅱ）求得Q的直角坐标，以及Q到圆心的距离，由最小值d﹣r，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=sin（θ﹣）=2（sinθ﹣cosθ）=2sinθ﹣2cosθ，即有ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得曲线C：x2+y2+2x﹣2y=0，即为以（﹣1，1）为圆心，为半径的圆；（Ⅱ）Q（1，），即为Q（cos，sin），即Q（，），Q到圆心的距离为d==，即有PQ的最短距离为d﹣r=﹣．【点评】本题考查极坐标和直角坐标的互化，点与圆的位置关系，注意运用两点的距离公式，考查运算能力，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2014•赤峰模拟）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【专题】不等式．【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述．【点评】考查了绝对值的代数意义、一元二次不等式的应用、分段函数的解析式等基本，去绝对值体现了分类讨论的数学思想，属中档题．。
广东省广州市2017届高三3月综合测试(一)数学理试题(小题解析) Word版含解析
2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）复数()221i 1i+++的共轭复数是 （A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 答案：B 解析：()221i 1i+++＝211i i i +-=+，共轭复数为：1i - （2）若集合}{1M x x =≤，}{2,1N y y x x ==≤，则（A ）M N = （B ）M N ⊆ （C ）N M ⊆ （D ）M N =∅ 答案：C解析：集合}{11M x x =-≤≤，{01N y y =≤≤，故有N M ⊆ （3）已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且35412a ,a ,a 成等差数列,则3546a a a a ++的值是（A（B（C ）（D答案：A解析：依题意，有345a a a +=，即234111a q a q a q +=，化简，得：210q q --=，解得：12q =， 3546a a a a ++＝24211353111a q a q q a q a q q q ++=++＝1q＝12（4）阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为 （A ）2 （B ）3（C）4（D）5答案：B解析：解析：第1步：n＝16，k＝2；第2步：n＝49，k＝3；第3步：n＝148，k＝4；退出循环，k＝4。
（5）已知双曲线C222:14x ya-=的一条渐近线方程为230+=x y,1F,2F分别是双曲线C的左，右焦点, 点P在双曲线C上, 且17PF=, 则2PF等于（A）1（B）13（C）4或10（D）1或13答案：D解析：解析：依题意，有：223a=，所以，a＝3，因为17PF=所以，当点P在双曲线的左支时，有｜PF2｜－｜PF1｜＝2a，解得：｜PF2｜＝13 当点P在双曲线的右支时，有｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，解得：｜PF2｜＝1，故选D。
广东省广州市海珠区2017届高三上学期调研测试(一)数学理试题 Word版含答案
海珠区2017届第一学期高三综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效． 4．考试结束，将答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若复数z 满足(1i)2z +=,则z 的虚部为（A ）1-（B ）i -（C ）i（D ）1（2）已知集合2{|16},{|}A x x B x x m =<=<，若A B A = ，则实数m 的取值范围是 （A ）[)4,-+∞ （B ）[)4,+∞ （C ）(,4]-∞- （D ）(,4]-∞ （3）设偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,x ∈+∞时，()f x 是增函数，则 ()()()2,,3f f f π--的大小关系是（A ）()()()23f ff π-<<- （B ）()()()23f f f π<-<-（C ）()()()23f f f π-<-< （D ）()()()32f f f π-<-<（4） 双曲线E 的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线28y x =的焦点，则双曲线E 的虚轴长等于（A ）4 （B （C ） （D ）（5）某食品厂为了促销，制作了3种不同的精美卡片，每袋食品中随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该食品4袋，能获奖的概率为（A ）427 （B ）827 （C ）49 （D ）89（6）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若12,s i n s i n s i n 2c a b B a A a C =-=，则sin B 为（A ）4 （B ）34 （C ）3（D ）13（7）公差不为0的等差数列{}n a 的部分项123,,k k k a a a,…构成等比数列{}n k a ，且121,2,6k k k === 231,2,6k k k ===，则4k 为 （A ）20 （B ）22 （C ）24 （D ）28（8）已知函数()ln f x x x =-，则()f x 的图像大致为（A ） （B ） （C ） （D ）（9）若,x y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪>⎩，则2z y x =-的最大值为（A ）8- （B ）4- （C ）1 （D ）2（10）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（A ）1- （B ）1 （C ）2- （D ）2 （11）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则||||BF AF 的值等于（A ）5 （B ）4（C ）3 （D ）2（12）已知函数()cos sin f x x x =，给出下列四个说法：①函数()f x 的周期为π；②若12()()f x f x =，则Z k k x x ∈+=,21π；③()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；④()f x 的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称．其中正确说法的个数是（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共４小题，每小题5分． （13）二项式6(2x 的展开式中常数项为_______．（14）已知4cos()35πα-=，则7sin()6πα+的值是_______． （15）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为 ．（16）已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，若2A B A C A O +=，且A C A O = ，则AB 与BC的夹角为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，141n n n a a S +=-．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明:12111...2nS S S +++<． （18）（本小题满分12分）社区服务是综合实践活动课程的重要内容.某市教育部门在全市高中学生中随机抽取200位学生参加社区服务的数据,按时间段[)75,80,[)80,85,[)85,90,[)90,95,[]95,100（单位：小时）进行统计,其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数,并估计从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率； （Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生,记X 为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，1CD SD ==，侧面SAB 为等边三角形． （Ⅰ）证明：AB SD ⊥；（Ⅱ）求二面角A SB C --的正弦值．（20）（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点(2,A 在椭圆上，且满足2120AF F F ⋅= ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）动直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，是否存在圆222x y r +=使得l 恰好是该圆的切线，若存在，求出r ；若不存在，说明理由．（21）(本小题满分12分) 已知函数()2ln (2a f x x x x x a a=--+ （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设两个极值点分别为12,x x ，证明:212x x e ⋅>．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于点E ， 2AB AC =． （Ⅰ）求证：2BE AD =；（Ⅱ）当1AC =，2EC =时，求AD 的长．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为()22cos ,2sin ,x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数212)(--+=x x x f . （Ⅰ）解不等式0)(≥x f ；（Ⅱ）若存在实数x ，使得a x x f +≤)(，求实数a 的取值范围．海珠区2017届第一学期高三综合测试（一）第22题图E D C B A理科数学试题答案及评分参考说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）二、填空题（每小题5分，共6小题，共20分） （13）60. （14）45- （15）32π （16）56π 三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （17）（本小题满分12分）解:（I ）由题设,112141,4 1.n n n n n n a a S a a S ++++=-=- 两式相减得121()4.n n n a a a a +++-= ………………1分由于10n a +≠,所以2 4.n n a a +-= ………………2分由题设,11a =,12141a a S =-,可得2 3.a = ………………3分故可得{}21n a -是首项为1,公差为4的等差数列,()2143=2211n a n n -=---；………………4分 {}2n a 是首项为3,公差为4的等差数列,241=221n a n n =-⋅-. ………………5分所以()21n a n n N *=-∈. (6)分 （Ⅱ）()21212n n n S n +-==， ………………7分当1n >时()2111111n n n n n<=---. ………………9分 2222121111111......123n S S S n+++=++++ 11111111...2112231n n n<+-+-++-=-- ………………11分121112nS S S ∴+++< ………………12分（18）（本小题满分12分） （1）根据题意,参加社区服务在时间段[)90,95的学生人数为2000.06560⨯⨯=（人）； ………………1分参加社区服务在时间段[)95,100的学生人数为2000.02520⨯⨯=（人）． ………………2分∴抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． ……………3分∴从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率为8022005P ==．……4分 （2）由（1）可知,从全市高中生中任意选取1人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率为25． 由已知得,随机变量X 的可能取值为0,1,2,3, ………………5分则()03032327055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()12132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()21232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3033238355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（每个等式给1分）……9分随机变量X 的分布列为………………10分（19）（本小题满分12分）解：（1）取AB 的中点E ，连接DE ，则四边形BCDE 为矩形， ∴BE DE ⊥， ………………1分 ∵SAB ∆为等边三角形，∴AB SE ⊥. ………………2分 ∵SE DE E = ， ………………3分 ∴AB ⊥平面SED ， ………………4分SD ⊂平面SED ，AB SD ⊥. ………………5分（2）由（1）知，DE DC ⊥，过D 作DF ⊥平面ABCD ，则,,DE DC DF 两两垂直，分别以,,DE DC DF的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，………………6分则(0,0,0),(2,1,0),(2,1,0),(0,1,0)D A B C -， ………………7分 ∵1,2,SDDE SE ===∴SD SE ⊥，∴SD ⊥平面SAB ，∴1(2S ，1(2DS =. ………………8分设平面SBC 的法向量为(,,)n x y z =. ∵1(,1,2SC =- ，(2,0,0)BC =- ， ∴20102n SC x n BC x y ⎧∙=-=⎪⎨∙=-+=⎪⎩，∴0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩.取1z =，则n = ， ………………9分 设二面角A SB C --为θ，则|cos |||7||||DS n DS n θ∙===………………11分∴二面角A SB C --的正弦值sin θ. ………………12分 （20）（本小题满分12分）解:（1）∵2120AF F F ⋅=∴212AF F F ⊥， ∵A 在椭圆上，∴220221y c a b +=，解得20b y a=. ………………1分∴22222c ba ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得228,4,a b ==. ………………3分 ∴椭圆22:184x y C +=. ………………4分（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，将:l y kx m =+代入22:184x y C +=得 222(12)4280k x kmx m +++-=， ………………5分∵0∆>，∴22840k m -+>， ………………6分且122412km x x k +=-+，21222812m x x k -=-+，∴22221212121228()()()12m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，………………7分∵OP OQ ⊥，∴12120x x y y +=，即2222228801212m m k k k--+=++， ∴22388m k -=， ………………8分由23808m -≥和2840k m -+>，得283m ≥即可. ………………9分因为l 与圆222x y r +=相切，∴222||813m r k ==+， ………………11分 存在圆2283x y +=符合题意. ………………12分（21）(本小题满分12分)解：(Ⅰ)依题，函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以方程()0f x '=在(0,)+∞有两个不同根. 即，方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根.………………1分（解法一）转化为，函数ln y x =与函数y ax =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点，如图. ………………3分 可见，若令过原点且切于函数ln y x =图像的直线斜率为k ，只须0a k <<. ………………4分 令切点00A(,ln )x x ，所以001|x x k y x ='==，又00ln x k x =，所以000ln 1x x x =，解得，0x e =，于是1k e=， ………………5分 所以10a e<<. ………………6分 （解法二）转化为，函数ln ()xg x x=与函数y a =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点. 又21ln ()xg x x-'=，即0x e <<时，()0g x '>，x e >时，()0g x '<，………………2分 所以()g x 在(0,)e 上单调增，在(,)e +∞上单调减.从而()()g x g e =极大1e=……………3分 又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →-∞，在在x →+∞时，()0g x →， 所以()g x 的草图如下， ………………5分可见，要想函数ln ()xg x x=与函数y a =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点， 只须10a e<<. ………………6分 （解法三）令()ln g x x ax =-，从而转化为函数()g x 有两个不同零点，而11()ax g x ax x x-'=-=（0x >） ………………2分 若0a ≤，可见()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调增， 此时()g x 不可能有两个不同零点. ………………3分 若0a >，在10x a <<时，()0g x '>，在1x a>时，()0g x '<， 所以()g x 在1(0,)a上单调增，在1(,)a+∞上单调减， 从而1()()g x g a =极大1ln1a=- ………………4分 又因为在0x →时，()g x →-∞，在在x →+∞时，()g x →-∞，于是只须：()0g x >极大，即1ln10a ->，所以10a e <<. ………………5分 综上所述，10a e<<………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根， 即11ln x ax =，22ln x ax =，设12x x >，作差得，1122ln()x a x x x =-，即1212ln x x a x x =-. ………………7分 原不等式212x x e ⋅>等价于()()12112122122ln ln 22lnx x x x x a x x x x x -+>⇔+>⇔>+ ………………8分 令12x t x =，则1t >，()()121212221ln ln 1x x t x t x x x t -->⇔>++ ………………9分设()()21ln ,11t g t t t t -=->+，()()()221'01t g t t t -=>+， ∴函数()g t 在()1,+∞上单调递增， ………………10分 ∴()()10g t g >=，E D C B A 即不等式()21ln 1t t t ->+成立， ………………11分 故所证不等式212x x e ⋅>成立． ………………12分（22）(本小题满分10分)解：（Ⅰ）如图所示，连接DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形， BDE BCA ∠=∠， ………………1分又DBE CBA ∠=∠，所以DBE ∆～CBA ∆， 即有BE DE BA CA=． ………………2分 又2AB AC =， 所以，2BE DE =， ………………3分 又CD 是ACB ∠的平分线，所以AD DE =，…………4分从而2BE AD =． …………5分（Ⅱ）因为1AC =，2EC =，所以22AB AC ==， ………………6分 设AD t =，根据割线定理得，BD BA BE BC ⋅=⋅，即()()22AB AD BA AD AD CE -⋅=⋅+， ………………7分 所以()()22222t t t -⨯=+，即22320t t +-=， ………………8分 解得()122t t ==-或舍去， ………………9分 即12AD =． ………………10分 （23）(本小题满分10分)解:（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入方程2240x y x +-=化简得θρcos 4=． 所以，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=． ………………5分 （Ⅱ） 直线l 的直角坐标方程为40x y +-=，由2240,4,x y x x y ⎧+-=⎨+=⎩得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2),(4,0)， 所以弦长22=OA ． ………………10分（24）(本小题满分10分)(Ⅰ)① 当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤-② 当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为φ ③ 当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥ 综合①②③不等式的解集为(][),31,-∞-⋃+∞ …………………5分 (Ⅱ)即12122122ax x a x x +-≤+⇒+-≤+ 由绝对值的几何意义，只需11322aa -≤+⇒≥-…………………10分。
广东省肇庆市高三数学上学期第一次统一检测试题 理(扫描版)
肇庆市中小学教学质量评估 2017届高中毕业班第一次统一检测题理科数学参考答案及评分标准一、选择题 1二、填空题13．2 14．1882y x =+ 15．10 16．94三、解答题（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1， （2分） 得x ＝0.007 5，∴直方图中x 的值为0.007 5. （3分） （Ⅱ）理科综合分数的众数是220＋2402＝230. （5分）∵（0.002＋0.009 5＋0.011）×20＝0.45＜0.5， （6分） ∴理科综合分数的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5， （7分） 解得a ＝224，即中位数为224. （8分） （Ⅲ） 理科综合分数在[220,240)的学生有0.012 5×20×100＝25（位），同理可求理科综合分数为[240,260)，[260,280)，[280,300]的用户分别有15位、10位、5位， （10分） 故抽取比为1125＋15＋10＋5＝15， （11分）∴从理科综合分数在[220,240)的学生中应抽取25×15＝5人． （12分）（18）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图，取PB 中点M ，连结AM ，MN .MN BCP 是△的中位线，∴1//2MN BC ． （1分）依题意得，1//2AD BC ，则有//AD MN （2分）∴四边形AMND 是平行四边形， ∴ //ND AM （3分） M NBCADP∵ND PAB ⊄面，AM PAB ⊂面 ∴//ND PAB 面 （5分）（Ⅱ）法一：取BC 的中点E ，则//AD CE ，所以四边形AECD是平行四边形， 所以//CD AE ，又因为AB AC =，所以AE BC ⊥，所以CD BC ⊥， 又//BC AD ，所以CD AD ⊥ （6分）PA ABCD ⊥面，CD ABCD ⊂面，所以PA CD ⊥ （7分）又PAAD A =，所以CD PAD ⊥面. （8分）在PAD 面内过A 做AF PD ⊥于F ，则C D A F ⊥，又C D P D D =，AF PDC ⊥面 ，连接NF ，则ANF ∠是AN 与面PND 所成的角. （10分） 在Rt ANF ∆中，1522AN PC ==，5AF ==sin AF ANF AN ∠==， 所以AN 与面PND （12分） 法二：取BC 的中点E ，则//AD CE ，所以四边形AECD 是平行四边形， 所以//CD AE ，又因为AB AC =，所以AE BC ⊥,AE = （6分）如图分别以AE ，AD 方向为x 轴，y 轴正半轴建立空间直角坐标系 ,)C,()0,0,4P ,()0,2,0D ,22N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， （7分）()0,2,4PD =-，()5,2,4PC =-. （8分）设(,,)n x y z =是平面PND 的一个法向量，则0,0.n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即240,240.y z y z -=⎧⎪+-= （9分） 令1z =，则0,2x y == ，所以(0,2,1)n =是平面PND 的一个法向量， （10分）52AN ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，设AN 与面PND 所成的角为θ，85sin 25AN n AN n θ==， ENBCADPF E NBCADPxyz F所以AN 与面PND. （12分）（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设i A 表示所抽取3名中有i 名新生儿评分不低于9分，至多有1名评分不低于9分记为事件A ，则3121241201331616121()()()140C C C P A P A P A C C =+=+=. （4分） （Ⅱ）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3. （5分）由表格数据知，从本市本年度新生儿中任选1名评分不低于9分的概率为41164=， （6分） 所以3327(0)()464P X ===，11231327(1)()()4464P X C ===，2213139(2)()()4464P X C ===，33311(3)()464P X C ===. 所以X 的分布列为（10分）所以272791()01230.7564646464E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（或1()30.754E X =⨯=）， 即X 的数学期望为0.75. （12分）（20）（本小题满分12分）解：(Ⅰ)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， （1分） 所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y)＝2x ＋3y ＋300. （2分）(Ⅱ)约束条件为()57410060010000,0,,x y x y x y x y x y N ++--≤⎧⎪--≥⎨⎪≥≥∈⎩（5分）整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y≤200，x ＋y≤100，x≥0，y≥0，x ，y ∈N.目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300.作出可行域．如图所示： （8分）初始直线0:230l x y +=，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值． （9分）B由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A(50,50)，所以max 550w = ． （11分）所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元． （12分）（21）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为E 是AC 的中点，PA PC =， 所以AC PE ⊥. （1分） 因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥. （2分） 又PEBD E = ，所以AC PDB ⊥面. （3分）又因为PB PDB ⊂面，所以AC PB ⊥. （4分） （Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知CE PDB ⊥面，PD PDB ⊂面，所以CE PD ⊥. （5分） 过E 作EH PD ⊥于H ，连接CH ，则PD CEH ⊥面，又CH ⊂面CEH ，则PD CH ⊥， （6分） 所以CHE ∠是二面角E PD C --的平面角． （7分） 由（Ⅰ）知PEB ∠是二面角P AC B --的平面角，所以60PEB ∠=︒． （8分）设AB a =，在Rt PBD ∆中，12PE BD BE ===，PBE ∆是等边三角形，2PB a =， EH 是PBD ∆的中位线，则12EH PB ==，（10分）2a CE =，CH ==， （11分） cos 7EH PEB CH∠==，即二面角E PD C --的余弦值为 7. （12分）方法二：由（Ⅰ）知AC PDB ⊥面. 如图，分别以ED ，EC 方向为x 轴，y 轴正半轴建立空间直角坐标系.设AB a =，则,0,02D a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,02a C ⎛⎫⎪⎝⎭. （5由（Ⅰ）知PEB ∠是二面角P AC B --的平面角，所以60PEB ∠=︒． （6在Rt PBD ∆中，122PE BD BE a ===， PBE ∆是等边三角形，所以3,0,4P a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， （7分）33,0,4PD a ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，,,02a DC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ （8分） 设1(,,)n x y z =是平面PDC 的一个法向量，则110,0.n DC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,2230.4aax y az ⎧-+=⎪⎪-= （9分） 令1x =，则y z ==，所以1(1,3,n =是平面PDC 的一个法向量. （10分）面EDP 即xoz 平面，它的一个法向量为2(0,1,0)n =. （11分） 设二面角EPD C --的平面角为θ，则1212cos 7||||1n n n n θ⋅===⋅+，所以二面角E PD C --的余弦值为7. （12分）（22）（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）24cos ,4cos ρθρρθ=∴=, 由222,cos x y x ρρθ=+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=. （2分）由1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去t 得：+10x =.所以直线l 的普通方程为+10x =. （4分）（Ⅱ）把1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 代入224x y x +=，整理得250t -+=， （6分） 因为272070∆=-=>，设其两根分别为 12,t t，则12125,t t t t +== （8分） 所以12PQ t t =-==（10分）（23）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）当1m =-时，不等式()3f x ≤ ，可化为1213x x -++≤ .当12x ≤-时，1213,x x -+--≤ ∴1x ≥-，∴112x -≤≤-； （1分） 当112x -<<时，1213,x x -+++≤，∴1x ≤，∴112x -<<； （2分）当1x ≥时，1213,x x -++≤∴1x ≤，∴1x =； （3分） 综上所得，11x -≤≤. （4分） （Ⅱ）()112122f x x m x x m x x =+++=+++++ （5分） ()1122x m x x ⎛⎫≥+-+++ ⎪⎝⎭ （6分） 1122m x =-++，当且仅当()102x m x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭时等号成立. （7分） 又因为111222m x m -++≥-，当且仅当12x =-时，等号成立. （8分） 所以，当12x =-时，()f x 取得最小值12m -. （10分）。
【全国区级联考】广东省海珠区2017届高三上学期调研测试(一)理数(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数z 满足(1)2i z +=，则z 的虚部为（ ）A ．-1B ．i -C ．iD ．1 【答案】A【解析】试题分析：因为(1)2i z +=，所以()()()2121111i z i i i i -===-++-，因此z 的虚部为1-，故选A.考点：1、复数的基本概念；2、复数的基本运算.2.已知集合2{|16}A x x =<，{|}B x x m =<，若AB A =，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[4,)-+∞B ．[4,)+∞C ．(,4]-∞-D ．(,4]-∞ 【答案】B【解析】考点：1、集合的表示；2、集合的基本运算.3.设偶函数()f x 的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大 小关系是（ ）A ．(2)()(3)f f f π-<<-B ．()(2)(3)f f f π<-<-C ．(2)(3)()f f f π-<-<D ．(3)(2)()f f f π-<-< 【答案】C【解析】试题分析：因为[0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数，所以(2)(3)()f f f π<<，又因为()f x 是偶函数，所以(3)f =(3)f -，(2)f =(2)f -，所以(2)(3)()f f f π-<-<，故选C.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.4.双曲线E 的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线28y x =的焦点，则双曲 线E 的虚轴长等于（ ）A ．4BC ．D ．【答案】D【解析】考点：1、双曲线的离心率；2、双曲线与抛物线的性质.5.某食品长为了促销，制作了3种不同的精美卡片，每袋食品中随机装入一张卡片，集齐3种卡 片可获得，现购买该食品4袋，能获奖的概率为（ ） A ．427 B ．827 C ．49 D ．89【答案】C【解析】试题分析：因为3种不同的精美卡片随机放进4袋食品袋中，根据分步计数乘法原理可知共有4381=种不同放法，4袋食品袋中3种不同的卡片都有的放法共有2242336C A ⨯⨯=种，根据古典概型概率公式得能获奖的概率为3681=49，故选C. 考点：1、分步计数乘法原理及排列组合的应用；2、古典概型概率公式.6.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2c a =，1sin sin sin 2b B a A a C -=，则sin B 为（ ）A B ．34 C D ．13【答案】A考点：1、正弦定理及余弦定理；2、同角三角函数之间的关系.7.公差不为0的等差数列{}n a 的部分项123,,,k k k a a a 构成等比数列{}n k a ，且11k =，22k =，36k =，则4k 为（ ）A ．20B ．22C ．24D ．28 【答案】B【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为126,,,d a a a 成等比数列,2216a a a ∴=, 即()()21115a d a a d +=+，1213,4d a a a ∴=∴=,所以等比数列123,,...k k k a a a 的公比4q =，433111464k a a q a a ∴===,又()()()414141113k a a k d a k a =+-=+-,()()1411141364,0,3264a k a a a k ∴+-=≠∴-=,422k ∴=,故选B.考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列的通项公式及性质.8.已知函数()ln ||f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）【答案】A【解析】考点：1、函数的图象和性质；2、利用导数研究函数的单调性.9.若,x y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪>⎩，则2||z y x =-的最大值为（ ）A ．-8B ．-4C ．1D ．2 【答案】D【解析】试题分析： 作出20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪>⎩所对应的可行域(如图ABC ∆),当0x ≥时, 可行域四边形OBCD , 目标函数可化为2z y x =-即2y x z =+,平移直线2y x =可知当直线经过点()0,2D 时, 直线截距最大,z 取最大值2,当0x <时, 可行域为三角形AOD ,目标函数可化为2z y x =+即2y x z =-+, 平移直线2y x =-可知当直线经过点()0,2D 时, 直线截距最大,z 取最大值2,综合可得2z y x =-的最大值为2，故选D.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．2【答案】D【解析】变换，其周期为6, 2017i =结束循环，201733661i ==⨯+，因为1i =时2S =，所以输出2S =，故选D.考点：1、程序框图；2、循环机构.11.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且倾斜角为60的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于,A B 两点，则||||AF BF 的值等于（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C考点：1、抛物线的性质；2、抛物线的定义及直线的方程.【方法点睛】本题主要考查抛物线的性质、抛物线的定义及直线的方程，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决．本题解答过程中就是把AF 、BF 转化为到焦点距离后求解的．12.已知函数()|cos |sin f x x x =，给出下列四个说法：①函数()f x 的周期为π；②若12|()||()|f x f x =，则12,x x k k Z π=+∈；③()f x 在区间[,]44ππ-上单 调递增；④()f x 的图象关于点(,0)2π-中心对称.其中正确说法的个数是（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 【答案】C考点：1、三角函数的周期性及三角函数的单调性；2、三角函数的图象、正弦的二倍角公式及简单的三角方程.【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察三角函数的周期性及三角函数的单调性、三角函数的图象、正弦的二倍角公式及简单的三角方程及数学化归思想，属于难题. 该题型往往出现在选择、填空题最后两题，综合性较强，考查知识点较多，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.二项式6(2x的展开式中常数项为 . 【答案】60【解析】试题分析：二项式6(2x的展开式的通项公式为()366621662()2(1)rr r r r r rr T C x C x x ---+=-=-,令3602r -=，解得4r =，所以该二项式展开式中常数项为464462(1)60C --=，故答案为60.考点：二项展开式的通项公式.14.已知4cos()35πα-=，则7sin()6πα+的值是 . 【答案】45-考点：1、诱导公式的应用；2、“拆角”技巧的应用.15.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为 .【答案】32π【解析】试题分析：由已知中的三视图可得,该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥,其外接球,与以俯视图为底面,以4为高的直三棱柱的外接球相同, 如图所示，由底面边长为4,高为2,故底面为等腰直角三角形, 可得底面外接圆的半径为:2r =, 由棱柱高为4,可得球心距为2,故外接球的半径为:R ==, 故外接球的表面积2432S R ππ==,故答案为32π.考点：1、几何体的三视图及空间想象能力；2、几何体外接球的性质及求表面积公式.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图及空间想象能力、几何体外接球的性质及求表面积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.16.已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若2AB AC AO +=，且||||AC AO =，则AB 与BC 的夹角为 . 【答案】56π【解析】考点：1、向量的几何运算及外接圆的性质；2、向量的夹角.【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及外接圆的性质、向量的夹角，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，141n n n a a S +=-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）证明：121112nS S S +++<. 【答案】（1）*21()n a n n N =-∈；（2）证明见解析. 【解析】（2）2(121)2n n n S n +-==，当1n >时，21111(1)1n n n n n<=---. 2222121111111123n S S S n +++=++++111111112112231n n n<+-+-++-=-- ∴121112nS S S +++<. 考点：1、等差数列的定义及通项公式；2、等差数列的前n 项和公式及“裂项相消法”求和. 18.（本小题满分12分）社区服务是综合实践活动课程的重要内容，某市教育部门在全市高中学生中随机抽取200位学生参加社 区服务的数据，按时间段[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]（单位：小时）进行统计， 其频率分布直方图如图所示.（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记X 为3位学生中参加社区服务时间不少于90 小时的人数，试求随机变量X 的分布列和数学期望EX .【答案】（1）25；（2）分布列见解析，65. 【解析】（2）由（1）可知，从全市高中学生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为25. 由已知得，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3，则00332327(0)()()55125P X C ===，11232354(1)()()55125P X C ===， 22132336(2)()()55125P X C ===，3303238(3)()()55125P X C ===，随机变量X 的分布列为∴27543686()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：1、古典概型概率公式；2、随机变量的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，1CD SD ==，侧面SAB 为等 边三角形.（1）证明：AB SD ⊥；（2）求二面角A SB C --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（2）由（1）知，DE DC ⊥，过D 作DF ⊥平面ABCD ，则,,DE DC DF 两两垂直，分别以,,DE DC DF 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0),(2,1,0),(2,1,0),(0,1,0)D A B C -，∵1,2,SD DE SE ===，∴SD SE ⊥，∴SD ⊥平面SAB ，∴1(2S，1(2DS =， 设平面SBC 的法向量为(,,)n x y z =.∵1(,1,2SC =-，(2,0,0)BC =-，∴20102n SC x n BC x y z ⎧∙=-=⎪⎨∙=-+-=⎪⎩，∴0x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，取1z =，则3(0,,1)n =， 设二面角A SB C --为θ，则32|cos |||||||7DS n DSn θ∙===∴二面角A SB C --的正弦值sin θ=. 考点：1、线面垂直的判定和性质；2、空间向量夹角余弦公式. 20.（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆上，且满足2120AF F F ∙=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，是否存在圆222x y r +=使得l 恰好是 该圆的切线，若存在，求出r ；若不存在，说明理由.【答案】（1）22:184x y C +=；（2）存在圆2283x y +=. 试题解析：（1）∵2120AF F F ∙=，∴212AF F F ⊥，∵A 在椭圆上，∴220221y c a b +=，解得20b y a=.∴22222c b a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得228,4a b ==， ∴椭圆22:184x y C +=.考点：1、待定系数求椭圆方程；2、韦达定理及点到直线距离公式.【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程、韦达定理及点到直线距离公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤：①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求． 21.（本小题满分12分） 已知函数2()ln ()2a f x x x x x a a R =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点. （1）求a 的取值范围；（2）设两个极值点分别为12,x x ，证明：212x x e ∙>. 【答案】（1）10a e<<；（2）证明见解析. 【解析】试题解析：（1）依题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以方程'()0f x =在(0,)+∞有两个不同根. 即，方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根. 转化为，函数ln ()xg x x=与函数y a =的图象在(0,)+∞上有两个不同交点. 又'21ln ()x g x x-=，即0x e <<时，'()0g x >，x e >时，'()0g x <， 所以()g x 在(0,)e 上单调增，在(,)e +∞上单调减，从而1()=()g x g e e=极大.又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →-∞，在x →+∞时，()0g x →， 所以()g x 的草图如下，可见，要想函数ln()xg xx=与函数y a=的图象在(0,)+∞上有两个不同交点，只需10ae <<.考点：1、利用导数研究函数的单调性及极值；2、利用导数证明不等式.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于点E ，2AB AC =. （1）求证：2BE AD =；（2）当1AC =，2EC =时，求AD 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）12AD =. 【解析】连接DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，BDE BCA ∠=∠，又DBE CBA ∠=∠， 所以DBE ∆～CBA ∆，即有BE DEBA CA=. 又2AB AC =， 所以，2BE DE =，又CD 是ACB ∠的平分线，所以AD DE =， 从而2BE AD =.考点：1、圆内接四边形的性质及相似三角形；2、割线定理的应用. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()4πρθ+=.（1）求曲线C 在极坐标系中的方程； （2）求直线l 被曲线C 截得的弦长.【答案】（1）4cos ρθ=；（2） 【解析】试题分析：（1）先将曲线C 的参数方程化为普通方程22(2)4x y -+=，再将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入方程2240x y x +-=即可；（2）直线方程与圆方程联立，求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可得弦长.考点：1、参数方程化为普通方程；2、直角坐标方程化极坐标方程及两点间距离公式. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|||2f x x x =+--. （1）解不等式()0f x ≥；（2）若存在实数x ，使得()||f x x a ≤+，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(,3][1,)-∞-+∞；（2）3a ≥-. 【解析】试题分析：（1）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后找并集即可；（2）()||f x x a ≤+等价于|21|2||2x x a +-≤+，即()max 2|21|2||a x x +≥+-，只需根据基本不等式求出|21|2||x x +-的最大值，解不等式即可.试题解析：（1）①当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤- ②当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为φ③当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥ 综合①②③不等式的解集为(,3][1,)-∞-+∞.（2）即1|21|2||2|+|||122ax x a x x +-≤+⇒-≤+ 由绝对值的几何意义，只需11322aa -≤+⇒≥-.考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式求最值及不等式恒成立问题.：。
【全国省级联考】广东省2017届高三上学期阶段性测评(一)理数(解析版)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}(){}1 ln 2A x x B x y x =≥-==-，，则R A C B = （ ）A ．[)1 2-，B ．[)2 +∞，C ．[]1 2-，D ．[)1 -+∞， 【答案】C 【解析】试题分析：[)()(]1 2 2R A B C B =-+∞=+∞=-∞，，，，，，∴[]1 2R A C B =- ，.选C. 考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.设函数()()1232 2log 1 2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，，，则()()2f f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C考点：分段函数求值【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.3.若实数 x y ，满足2301x y y x -+≥⎧⎨≥≥⎩，则z = ）A ．3BCD 【答案】D 【解析】试题分析：如图，z =.选D.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4.在区间[]0 1，上随机选取两个数x 和y ，则2y x >的概率为（ ） A.14 B ．12 C.34 D ．13【答案】A考点：几何概型概率 【方法点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．5.已知命题：2: 2sin 10p x R x x θ∀∈-+≥，；命题(): sin sin sin q R αβαβαβ∀∈+≤+，，.则下列命题中的真命题为（ ）A ．()p q ⌝∧B ．()p q ∧⌝ C.()p q ⌝∨ D ．()p q ⌝∨ 【答案】B考点：命题真假【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.6.三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，12AB BC AA ===，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．48πB ．32π C.12π D ．8π 【答案】C 【解析】试题分析：如图，由题可知矩形11AA C C 的中心O 为该三棱柱外接球的球心，OC ==.∴该球的表面积为2412ππ=.选C.【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．7.已知向量 AB AC AD，，满足 2 1AC AB AD AB AD =+== ，，， E F ，分别是线段 BC CD ，的中点，若54DE BF ⋅=- ，则向量AB 与AD 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC.23π D ．56π 【答案】B考点：向量夹角【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.8.已知双曲线()222210 0x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为12 F F ，，且2F 为抛物线224y x =的焦点，设点P为两曲线的一个公共点，若12PF F △的面积为 ）A ．221927x y -= B ．221279x y -= C.221169x y -= D ．221916x y -= 【答案】A【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.9.执行如图所示的程序框图，若[][] 0 4x a b y ∈∈，，，，则b a -的最小值为（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．5 【答案】A 【解析】试题分析：程序框图的功能为求分段函数21 04 0x x y x x x +<⎧=⎨-≥⎩，，的函数值， 如图可知[]2 a b ∈，，当0 2a b ==，或 2 4a b ==，时符合题意，∴2b a -≥.选A.考点：流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10.若()()72801281212x x a a x a x a x +-=++++…，则0127a a a a ++++…的值为（ ） A ．2- B ．3- C.253 D ．126【答案】C考点：赋值法求系数【方法点睛】赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n、(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.11.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线交于 M N ，两点，若4MF FN =，则直线l 的斜率为（ ）A ．32±B ．23± C.34± D ．43±【答案】D 【解析】试题分析：不妨设()()()111122 0 0 M x y x y N x y >>，，，，，∵4MF FN =，∴124y y =-，又212y y p =-， ∴22 28p py x =-=，，∴042382MN pk p p --==-.根据对称可得直线l 的斜率为43±.选D.考点：直线与抛物线位置关系12.函数()sin 1f x x x ωω=+的最小正周期为π，当[] x m n ∈，时，()f x 至少有12个零点，则n m-的最小值为（ ） A ．12π B ．73π C.6π D ．163π【答案】D 【解析】试题分析：由题知()()2sin 2 1 0 2sin 2133f x x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∴1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 由周期性可知16533n m πππ-≥+=，∴()min 163n m π-=.选D. 考点：三角函数性质二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.复数z 在复平面内的对应点是()1 1-，，则z = ． 【答案】1i +考点：复数概念14.定积分)10x dx +⎰的值为 ．【答案】142π+【解析】试题分析：)1100x dx xdx +=+⎰⎰⎰，由几何意义得4π=⎰，又121001122xdx x ==⎰.∴)1142x dx π+=+⎰. 考点：定积分【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．15.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则()37.5f 等于 ． 【答案】0.5 【解析】试题分析：∵()()2f x f x +=-，∴()()4f x f x +=且()()f x f x -=-，01x ≤≤时，()f x x =， ∴()()11137.5 1.5222f f f f ⎛⎫⎛⎫==--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：函数性质【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系16.将一块边长为6cm 的正方形纸片，先按如图（1）所示的阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图（2）放置，若其正视图为正三角形，则其体积为 2cm ．考点：三视图【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）在ABC △中，内角 A B C ，，所对的边分别是 a b c ，，，已知60 5 4A b c =︒==，，. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求sin sin B C 的值.【答案】（Ⅰ）a =（Ⅱ）57试题解析：（Ⅰ）由余弦定理得：2222cos 21a b c bc A =+-=，∴a =.……………………5分 （Ⅱ）∵()222228sin a R A ==， ∴()25sin sin 72bcB C R ==.……………………………………………………………………10分考点：正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，且122 21n n a d a a ==-，. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）()*21n a n n N =-∈（Ⅱ）2332nn +-【解析】试题解析：（Ⅰ）由题可得：()()11112412211a n a a n a +-=+--，解得1 1 2a d ==，.∴()()*1121n a a n d n n N =+-=-∈.………………………………………………5分（Ⅱ）∵2122n n n na nb -==， ∴231135232122222n n n n n S ---=+++++…. ① ∴231111252321222222n n n n n n n S -+3---=+++++….② -①②得：23111111212222222n n n n S +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ (2232321)112111112123121132222222222n nn n n n n n n S ---+⎛⎫=++++-=++++++-=- ⎪⎝⎭…….……12分 考点：错位相减法求和【方法点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn ”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 19.（本小题满分12分）某市为了解各校《国学》课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A 、B 、C 、D 四个等级.随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如下的分布图：（Ⅰ）试确定图中a 与b 的值；（Ⅱ）规定等级D 为“不合格”，其他等级为“合格”，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从甲、乙两校“合格”的学生中各选1名学生，求甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率. 【答案】（Ⅰ）15 0.5a b ==，（Ⅱ）851试题解析：Ⅰ）15 0.5a b ==，；……………………4分 （Ⅱ）记1E 表示事件“甲校国学成绩等级为A “，则()1654P E =；2E 表示事件“甲校国学成绩等级为B ”，则()21554P E =； 记1F 表示事件“乙校国学成绩等级为B 或C “，则()14251P F =；2F 表示事件“乙校国学成绩等级为C ”，则()21251P F =. 其中11 E F ，相互独立，22 E F ，相互独立，所以()1122642151285451545151P E F E F +=⨯+⨯=，即为所求.……12分考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.20.（本小题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，底面ABC 为正三角形.（Ⅰ）证明：AC PB ⊥；（Ⅱ）若平面PAC ABC ⊥平面，2AC PC ==，求二面角A PC B --的余弦值.【答案】试题解析：（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接PO ，BO ，∵PA PC =，∴PO AC ⊥，又AB CB =，∴AC POB ⊥平面，∴AC PB ⊥.………………………………5分（Ⅱ）平面PAC ABC ⊥平面且交于AC ，PO AC ⊥，∴PO ABC ⊥平面，则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.又 2PA PC AC PC ===，，ABC △为正三角形，∴(()()0 0 0 0 1 0 0P B C -，，，，，，，(()0 1 0PB BC ==-- ，，，，. 设() n x y z =，，为平面PBC 的法向量，则00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴00x =-=⎪⎩，∴z y x =⎧⎪⎨=⎪⎩， 取1y =-，则)1 1n =--，，为平面PBC 的一个法向量，又()0 0OB = ，为平面PAC 的一个法向量，∴cos n OB <>== ，则二面角A PC B -=分 考点：线面垂直性质与判定定理，利用空间向量求二面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21.（本小题满分12分） 椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12 F F ，. （Ⅰ）若椭圆E 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）若椭圆E 过点()0 2A -，，直线1AF ，2AF 与椭圆的另一个交点分别为点 B C ，，且ABC △的面积为509c ，求椭圆E 的方程. 【答案】（Ⅰ）35（Ⅱ）22154x y +=程与椭圆方程联立解得()2222242||2B c c a c x a c c +==++，|2|2B B x y c +=，代入求解可得21c = 试题解析：（Ⅰ）∵长轴长、短轴长、焦距成等差数列，∴()22222222 42 42b a c b a ac c a c a ac c =+=++-=++，，， ∴223520a c ac --=，两边同除以2a 得，25230c c +-=， 解得35c e a ==.………………………………5分 （Ⅱ）由已知得2b =，把直线22:2AF y x c =-代入椭圆方程22214x y a +=，得()222220a c x a cx +-=，∴()22222422c c a c x a c c +==++. ∴()224 2c c C y c ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭，. 由椭圆的对称性及平面几何知识可知，ABC △面积为： ()()222241222222c c S x y x c c c ⎡⎤+⎢⎥=⋅+==+⎢⎥⎣⎦， ∴()222425029c c c c c ⎡⎤+⎢⎥=-+⎢⎥⎣⎦，解得21c =， ∴25a =. 故所求椭圆的方程为22154x y +=.……………………………………12分 考点：椭圆离心率及标准方程22.（本小题满分10分）已知函数()2ln f x a x x x =+-，其中a R ∈.（Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）当18a ≥时，()f x 在()0 +∞，上为增函数，当108a <<时，()f x 在0 ⎛ ⎝， ⎫+∞⎪⎪⎭，上为增函数，在上为减函数.（Ⅱ）[)1 -+∞，减区间为（Ⅱ）()10f =，不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题：()2,1ln x x a x x -≥>的最大值，利用导数研究函数()2,1ln x x y x x-=>单调性，为单调递减，再利用洛必达法则得2121,11ln x x x x y xx--→=→=-，因此1a -…，也可直接构造差函数，分类讨论最值进行求解 试题解析：（Ⅰ）函数()2ln f x a x x x =+-的定义域为()0 +∞，， ()22'21a x x a f x x x x-+=+-=， 设()22 18g x x x a a =-+∆=-，， （1）当18a ≥时，()0 0g x ∆≤≥，成立，故()'0f x ≥成立，()f x 在()0 +∞，上为增函数； （2）当108a <<时，0∆>，令()0g x =，得12 x x ==，显然220x x >>，当()10 x x ∈，时，()()0 '0g x f x >>，，()f x 为增函数， 当()12 x x x ∈，时，()()0 '0g x f x <<，，()f x 为减函数， 当()2 x x ∈+∞，时，()0g x >，()'0f x >，()f x 为增函数， 综上，当18a ≥时，()f x 在()0 +∞，上为增函数， 当108a <<时，()f x在0 ⎛ ⎝， ⎫+∞⎪⎪⎭，上为增函数，在上为减函数.…………………………5分 （Ⅱ）显然()10f =，由1x ≥可知：当0a ≥时，2ln 0 0a x x x ≥-≥，，故()0f x ≥成立；当0a <时，180a ∆=->.令()0g x =，得12 x x ==，显然120 0x x <>，，当()20 x x ∈，时，()()()0 '0 g x f x f x <<，，为减函数， 当()2 x x ∈+∞，时，()0g x >，()'0f x >，()f x 为减函数； 若10a -≤<，则21x ≤，当1x ≥时，()f x 为增函数，故()()10f x f ≥=成立；若1a <-，则21x >，由()f x 在()20 x ，上为减函数可知，当()21 x x ∈，时，()f x 为减函数， ()()10f x f <=与题意不符，舍去.综上，a 的取值范围是[)1 -+∞，. 考点：利用导数研究函数单调性，利用导数研究不等式恒成立问题【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.。
2017年广东高考理科数学试题含答案(Word版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0:11,,60,.22B B =∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130, D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 . '5'0:530:5,5,35,530.x x x y y e y y x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= . 51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDF AEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ，（1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f . 55233:(1)()sin()sin , 3.121243223(2)(1):()3sin(),4()()3sin()3sin()443(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )4444323cos sin 6cos 426cos ,(0,),42f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得10sin 4331030()3sin()3sin()3sin 3.44444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D －AF －E 的余弦值.:(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CDDE CF CP EF DCDE DF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴=⋅======⋅∴====为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠==12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431,0),ADF CP (3,1,0),22AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,19||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--∴++-><->-++++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-+++<--<<-<-∴-<-<-<--+∴=-∞------+---+-+∞==-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞------++∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-<----<<--+-+--+<+->∴><+<<-+++<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii xx x x x kx x k k kg x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<<--+<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f --<<-+<-++<∴<>+->∴<++-+<---⋃--⋃-+⋃-+-+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。
广东省东莞市2017届高三上学期期末教学质量检查数学理试题含答案
东莞市2016—2017 学年度第一学期教学质量检查高三数学(理科）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1.已知集合 A ＝｛x ｜ x 2 －x －2＞0}，B ＝{x |1≤x ≤3｝，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．[1,2) B. (1，3] C. ［1，2］ D. （2,3]2.若复数z 满足z （1+i ) ＝－2i （i 为虚数单位)，z 是z的共轭复数，则z ·z ＝（ ）A ．14 B ．12 C ．2 D ．13。
已知函数()3sin()3f x x πω=+的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移6π个所得图象对应的函数为()y g x =,则关于函数为()y g x =的性质,下列说法不正确的是（ ）A ．g (x )为奇函数B ．关于直线2x π=对称C.关于点(π,0)对称 D ．在(,)64ππ-上递增 4.设D 为△ABC 所在平面内一点,且3BC CD =，则5.下方茎叶图为高三某班50名学生的数学考试成绩，算法框图中输入的ia 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ )A.m ＝38，n ＝12m B 。
＝26,n ＝12 C. m ＝12，n ＝12 D.m ＝24,n ＝106. 《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等,问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中,乙所得为（）A．43钱B．54钱C．65钱D．76钱7.已知函数，则函数y＝f （1－x) 的大致图象是( )8. 在投篮测试中,每人投3次，其中至少有两次投中才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0。
6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学能通过测试的概率为A. 0.352B. 0.432C. 0.36 D。
(精品word版)2017年广东省广州市高考一模数学理
2017年广东省广州市高考一模数学理一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数()2211i i+++的共轭复数是( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i解析：()()()()221212211111i i i i i i i i i -++=+=+-=+++-的共轭复数是1-i. 答案：B.2.若集合M={x||x|≤1}，N={y|y=x 2，|x|≤1}，则( ) A.M=N B.M N ⊆ C.N M ⊆ D.M N φ⋂=解析：由题意，N={y|y=x 2，|x|≤1}={y|0≤y ≤1}， ∴N M ⊆， 答案：C.3.已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，512a ，a 4成等差数列，则3546a aa a ++的值是( ) D.32解析：设等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0， ∵a 3，512a ，a 4成等差数列，∴2×512a ＝a 3+a 4，则a 3q 2＝a 3+a 3q ， 化简得，q 2-q-1=0，解得12q =，则12q =，∴353546351a a a a a a a q a q q ++====++， 答案：A.4.阅读如图的程序框图.若输入n=5，则输出k 的值为( )A.2B.3C.4D.5解析：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1； 第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，k=2； 第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，k=3； 第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件， 故输出k 值为3， 答案：B5.已知双曲线C ：22214x y a -＝的一条渐近线方程为2x+3y=0，F 1，F 2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=7，则|PF2|等于( )A.1B.13C.4或10D.1或13解析：由双曲线的方程、渐近线的方程可得223a，∴a=3.由双曲线的定义可得||PF2|-7|=6，∴|PF2|=1或13.答案：D.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )A.B.C.D.解析：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P-ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为D.答案：D.7.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( )A.1 2B.15 32C.11 32D.5 16解析：五个人的编号为1，2，3，4，5.由题意，所有事件，共有25=32种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，(2，5)，(3，5)，再加上没有人站起来的可能有1种，共11种情况，∴没有相邻的两个人站起来的概率为11 32，答案：C.8.已知F1，F2分别是椭圆C：22221x ya b-＝(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是( )1)B.(12，1)C.(0)D.(0，1 2 )解析：设P(x0，y0)，则|x0|＜a，又F1(-c，0)，F2(c，0)，又∠F1PF2为钝角，当且仅当120PF PF⋅＜有解，即()()()()2 00000000c x y c x y c x c x y---⋅--=---+，，＜，即有c2＞x02+y02有解，即c2＞(x02+y02)min.又2222002by b xa=-，∴22222220002[c x y b x b a a+=+∈，)，即(x 02+y 02)min =b 2.故c 2＞b 2，c 2＞a 2-c 2，∴2212c a ＞，即2e 又0＜e ＜1，＜e ＜1. 答案：A.9. 已知p ：∃x ＞0，e x -ax ＜1成立，q ：函数f(x)=-(a-1)x 是减函数，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：p ：∃x ＞0，e x -ax ＜1成立，则1x e a x -＞，令()1x e f x x -=，则()21x x e x e f x x-+'=. 令g(x)=e x x-e x +1，则g(0)=0，g ′(x)=xe x ＞0，∴g(x)＞0，∴f ′(x)＞0，∴a ＞0. q ：函数f(x)=-(a-1)x 是减函数，则a-1＞1，解得a ＞2. 则p 是q 的必要不充分条件. 答案：B.10.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P-ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( ) A.8π B.12π C.20π D.24π解析：由题意，PC 为球O 的直径，PC ==∴球O∴球O 的表面积为4π·5=20π， 答案：C.11.若直线y=1与函数f(x)=2sin2x 的图象相交于点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，且1223x x π-=，则线段PQ 与函数f(x)的图象所围成的图形面积是( )A.23π+B.3πC.223π+D.23π+解析：函数f(x)=2sin2x ， 周期T=π，令2sin2x=1，解得：12x k ππ=+或56k ππ+， 直线y=1与函数f(x)=2sin2x 的图象相交于点从左向右依次是12π，512π，1312π…， ∵1223x x π-=令x 1=512π，x 2=1312π，可得：线段PQ 与函数f(x)的图象所围成的图形面积324512222122sin 222sin 233S xdx xdx ππππππ=⨯-⎰-⎰=. 答案：A12.已知函数()32331248f x x x x =-++，则201612017k k f ⎛⎫⎪⎝⎭∑＝的值为( ) A.0B.504C.1008D.2016解析：()32323313311113248248424f x x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+-+=-+ ⎪⎝⎭. ∵120171020********k k --+-=，k=1，2，…2016. ∴3312017102017220172k k -⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k=1，2，…2016.∴201611201650420174k k f =⨯⎛⎫ ⎪⎝=⎭∑＝.答案：B.二、填空题：本小题共4题，每小题5分. 13.已知1a =，2b =，且()a ab ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角是____.解析：设向量a 与向量b的夹角是θ，则由题意可得()211cos 0a a b a a b θ⋅-=-⋅=-=，求得cos 2θ=，可得4πθ=，答案：4π.14.(3-x)n 的展开式中各项系数和为64，则x 3的系数为____(用数字填写答案) 解析：令x=1，则2n =64，解得n=6.(3-x)6的通项公式为：()()66166313rr r r r rr T C x rC x --+=⨯-=-⋅⋅，令r=3，则x 3的系数为3363C -⨯=-540.答案：-540.15.已知函数()12201log 0x x f x x x -⎧≤=⎨-⎩，，＞，若|f(a)|≥2，则实数a 的取值范围是____.解析：由题意知，()12201log 0x x f x x x -⎧≤=⎨-⎩，，＞，①当a ≤0时，不等式|f(a)|≥2为|21-a |≥2， 则21-a ≥2，即1-a ≥1，解得a ≤0；②当a ＞0时，不等式|f(a)|≥2为|1-log 2a|≥2， 则1-log 2a ≥2或1-log 2a ≤-2，即log 2a ≤-1或log 2a ≥3，解得0＜a ≤12或a ≥8； 综上可得，实数a 的取值范围是(-∞，12]∪[8，+∞)，答案：(-∞，12]∪[8，+∞).16.设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1=2，对任意p 、q ∈N*，都有a p+q =a p +a q ，则()601n S f n n +=+(n ∈N*)的最小值为____. 解析：∵对任意p 、q ∈N*，都有a p+q =a p +a q ，令p=n ，q=1，可得a n+1=a n +a 1，则a n+1-a n =2， ∴数列{a n }是等差数列，公差为2.∴()21222n n n S n n n -=+⨯=+. 则()260606011111n S n n f n n n n n +++===++-+++，令g(x)=x+60x (x ≥1)，则()22260601x g x x x-'=-=，可得x ∈[1)时，函数g(x)单调递减；x ∈+∞)时，函数g(x)单调递增. 又f(7)=14+ 12，f(8)=14+23. ∴f(7)＜f(8). ∴()601n S f n n +=+(n ∈N*)的最小值为292. 答案：292.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4.(Ⅰ)求∠ACP ；(Ⅱ)若△APB 的面积是2，求sin ∠BAP . 解析：(Ⅰ)在△APC 中，由余弦定理得AP 2-4AP+4=0，解得AP=2，可得△APC 是等边三角形，即可得解.(Ⅱ)法1：由已知可求∠APB=120°.利用三角形面积公式可求PB=3.进而利用余弦定理可求AB ，在△APB 中，由正弦定理可求sinBAP ∠=的值.法2：作AD ⊥BC ，垂足为D ，可求：PD ＝1，AD PAD ＝30°，利用三角形面积公式可求PB ，进而可求BD ，AB ，利用三角函数的定义可求sinBD BAD AB ∠＝，cosAD BAD AB ∠＝.利用两角差的正弦函数公式可求sin ∠BAP=sin(∠BAD-30°)的值.答案：(Ⅰ)在△APC 中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4， 由余弦定理得PC 2=AP 2+AC 2-2·AP ·AC ·cos ∠PAC ， 所以22=AP 2+(4-AP)2-2·AP ·(4-AP)·cos60°， 整理得AP 2-4AP+4=0， 解得AP=2. 所以AC=2.所以△APC 是等边三角形. 所以∠ACP=60°.(Ⅱ)法1：由于∠APB 是△APC 的外角，所以∠APB=120°.因为△APB 1sin 2AP PB APB ⋅⋅⋅∠. 所以PB=3.在△APB 中，AB 2=AP 2+PB 2-2·AP ·PB ·cos ∠APB=22+32-2×2×3×cos120°=19，所以AB在△APB 中，由正弦定理得sin sin AB PBAPB BAP∠∠＝，所以sin38BAP ∠==. 法2：作AD ⊥BC ，垂足为D ，因为△APC 是边长为2的等边三角形，所以PD ＝1，AD PAD ＝30°.因为△APB 的面积是2，所以122AD PB ⋅⋅=. 所以PB=3.所以BD=4.在Rt △ADB 中，AB所以sin BD BAD AB ∠＝＝，cos AD BAD AB ∠＝.. 所以sin ∠BAP=sin(∠BAD-30°)=sin ∠BADcos30°-cos ∠BADsin30°=12238=.18.近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品(Ⅱ)若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满 意的次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望EX.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++(其中n=a+b+c+d 为样本容量)解析：(Ⅰ)利用数据直接填写联列表即可，求出X ，即可回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；(Ⅱ)由题意可得X 的可能值，分别可求其概率，可得分布列，进而可得数学期望.222008010407011.11115050120(8)0K ⨯⨯-⨯≈⨯⨯⨯＝，因为11.111＞6.635，所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”. (Ⅱ)每次购物时，对商品和服务都满意的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3. ()332705125P X ⎛⎫⎪⎝⎭＝＝＝；()2132354155125P X C ⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝＝；()21232336255125P X C ⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝＝；()333238355125P X C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯＝＝＝.所以2754368601231251251251255EX ⨯+⨯+⨯+⨯＝＝.19.如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图2所示的几何体. (Ⅰ)求证：AB ⊥平面ADC ；(Ⅱ)若AD=1，二面角C-AB-D B-AD-E 的余弦值.解析：(Ⅰ)证明DC ⊥AB.AD ⊥AB 即可得AB ⊥平面ADC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知AB ⊥平面ADC ，即二面角C-AB-D 的平面角为∠CAD 二面角C-AB-D 的平面角的，解得AB ，如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz ，求出平面BAD 的法向量n ＝(0，1，0)，平面ADE 的法向量，即可得二面角B-AD-E 的余弦值 答案：(Ⅰ)因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD=BD ， 又BD ⊥DC ，所以DC ⊥平面ABD. 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB.又因为折叠前后均有AD ⊥AB ，DC ∩AD=D ， 所以AB ⊥平面ADC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知AB ⊥平面ADC ，所以二面角C-AB-D 的平面角为∠CAD. 又DC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AD.依题意tan CDCAD AD∠＝因为AD=1，所以CD设AB=x(x ＞0)，则BD . 依题意△ABD ～△BDC ，所以AB CDAD BD ＝，即1x .解得x AB BD 3BC .如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz ，则D(0，0，0)，，0，0)，C(00)，0E ⎫⎪⎪⎝⎭，0A ⎝⎭，所以3022DE ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝，，3033DA ⎛ ⎝⎭＝，. 由(Ⅰ)知平面BAD 的法向量n ＝(0，1，0). 设平面ADE 的法向量m ＝(x ，y ，z)由0m DE⋅＝，0m DA⋅＝得00x y x z＝＝. 令xy ＝z ＝所以(6m＝，.所以1cos 2n m n m n m ⋅⋅-＜，＞＝＝. 由图可知二面角B-AD-E 的平面角为锐角， 所以二面角B-AD-E 的余弦值为12.20.过点P(a ，-2)作抛物线C ：x 2=4y 的两条切线，切点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). (Ⅰ)证明：x 1x 2+y 1y 2为定值；(Ⅱ)记△PAB 的外接圆的圆心为点M ，点F 是抛物线C 的焦点，对任意实数a ，试判断以PM 为直径的圆是否恒过点F ？并说明理由.解析：(Ⅰ)求导，求得直线PA 的方程，将P 代入直线方程，求得211280x ax --＝，同理可知222280x ax --＝.则x 1，x 2是方程x 2-2ax-8=0的两个根，则由韦达定理求得x 1x 2，y 1y 2的值，即可求证x 1x 2+y 1y 2为定值；设切线方程，代入抛物线方程，由△=0，则k 1k 2=-2，分别求得切线方程，代入即可求证x 1x 2+y 1y 2为定值； (Ⅱ)直线PA 的垂直平分线方程为1112222y x a y x x -+-⎛⎫ ⎪⎝--⎭＝，同理求得直线PB 的垂直平分线方程，求得M 坐标，抛物线C 的焦点为F(0，1)，则2233022a a MF PF ⋅-＝＝，则MF PF ⊥.则以PM 为直径的圆恒过点F.答案：(Ⅰ)证明：法1：由x 2=4y ，得214y x ＝，所以12y x '＝.所以直线PA 的斜率为112x . 因为点A(x 1，y 1)和B(x 2，y 2)在抛物线C 上，所以21114y x ＝，22214y x ＝. 所以直线PA 的方程为()21111142y x x x x =--. 因为点P(a ，-2)在直线PA 上， 所以()211111242x a x x ---＝，即211280x ax --＝. 同理，222280x ax --＝.所以x 1，x 2是方程x 2-2ax-8=0的两个根.所以x 1x 2=-8.又()22212121211144416y y x x x x ⋅＝＝＝， 所以x 1x 2+y 1y 2=-4为定值.法2：设过点P(a ，-2)且与抛物线C 相切的切线方程为y+2=k(x-a)，()224y k x a x y⎧⎪⎨⎪⎩+-＝＝，消去y 得x 2-4kx+4ka+8=0， 由△=16k 2-4(4ak+8)=0，化简得k 2-ak-2=0. 所以k 1k 2=-2.由x 2=4y ，得214y x =，所以12y x '＝. 所以直线PA 的斜率为1112k x =，直线PB 的斜率为2212k x =.所以12124x x -＝，即x 1x 2=-8.又()22212121211144416y y x x x x ⋅＝＝＝，所以x 1x 2+y 1y 2=-4为定值.(Ⅱ)法1：直线PA 的垂直平分线方程为1112222y x a y x x -+-⎛⎫ ⎪⎝--⎭＝， 由于21114y x ＝，21182x ax -＝， 所以直线PA 的垂直平分线方程为111242ax x a y x x +---⎛⎫ ⎪⎝⎭＝.① 同理直线PB 的垂直平分线方程为222242ax x a y x x +---⎛⎫ ⎪⎝⎭＝.②由①②解得32x a ＝，212a y +＝， 所以点23122a M a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，. 抛物线C 的焦点为F(0，1)，则2322a MF a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝，，PF ＝(-a ，3).由于2233022a a MF PF ⋅-=＝， 所以MF PF ⊥.所以以PM 为直径的圆恒过点F.另法：以PM 为直径的圆的方程为()()2321022a x a x a y y --++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--＝.把点F(0，1)代入上方程，知点F 的坐标是方程的解.所以以PM 为直径的圆恒过点F. 法2：设点M 的坐标为(m ，n)，则△PAB 的外接圆方程为(x-m)2+(y-n)2=(m-a)2+(n+2)2， 由于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在该圆上，则(x 1-m)2+(y 1-n)2＝(m-a)2+(n+2)2，(x 2-m)2+(y 2-n)2＝(m-a)2+(n+2)2. 两式相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2-2m)+(y 1-y 2)(y 1+y 2-2n)=0，① 由(Ⅰ)知x 1+x 2＝2a ，x 1x 2＝-8，21114y x ＝，22214y x ＝，代入上式得(x 1-x 2)(4a-4m+a 3+4a-2an)＝0，当x 1≠x 2时，得8a-4m+a 3-2an=0，②假设以PM 为直径的圆恒过点F ，则MF PF ⊥，即(-m ，n-1)·(-a ，-3)=0， 得ma-3(n-1)=0，③ 由②③解得m ＝32a ，n ＝2112a +， 所以点23122a M a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，. 当x 1=x 2时，则a=0，点M(0，1).所以以PM 为直径的圆恒过点F.21.已知函数()af x lnx x=+(a ＞0). (Ⅰ)若函数f(x)有零点，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)证明：当2a e ≥，b ＞1时，()1f lnb b＞. 解析：(Ⅰ)法一：求出函数f(x)的导数，得到函数的单调区间，求出f(x)的最小值，从而求出a 的范围即可；法二：求出a=-xlnx ，令g(x)=-xlnx ，根据函数的单调性求出g(x)的最大值，从而求出a 的范围即可；(Ⅱ)令h(x)=xlnx+a ，通过讨论a 的范围，根据函数的单调性证明即可.答案：(Ⅰ)法1：函数()af x lnx x=+的定义域为(0，+∞). 由()a f x lnx x =+，得()221a x af x x x x-'-＝＝.因为a ＞0，则x ∈(0，a)时，f'(x)＜0；x ∈(a ，+∞)时，f'(x)＞0.所以函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a ，+∞)上单调递增. 当x=a 时，[f(x)]min =lna+1.当lna+1≤0，即10a e≤＜时，又f(1)=ln1+a=a ＞0，则函数f(x)有零点. 所以实数a 的取值范围为(0，1e ].法2：函数()af x lnx x=+的定义域为(0，+∞).由()af x lnx x=+＝0，得a=-xlnx.令g(x)=-xlnx ，则g'(x)=-(lnx+1).当x ∈(0，1e )时，g'(x)＞0； 当x ∈(1e，+∞)时，g'(x)＜0. 所以函数g(x)在(0，1e )上单调递增，在(1e，+∞)上单调递减.故x ＝1e 时，函数g(x)取得最大值1111g ln e e e e -⎛⎫⎪⎝⎭＝＝. 因而函数()a f x lnx x =+有零点，则0＜a ≤1e. 所以实数a 的取值范围为(0，1e].(Ⅱ)证明：令h(x)=xlnx+a ，则h'(x)=lnx+1.当0＜x ＜1e 时，h'(x)＜0；当x ＞1e时，h'(x)＞0. 所以函数h(x)在(0，1e )上单调递减，在(1e，+∞)上单调递增.当x ＝1e 时，[h(x)]min ＝-1e+a.于是，当a ≥2e 时，()11h x a e e≥-+≥.①令φ(x)=xe -x ，则φ'(x)=e -x -xe -x =e -x (1-x).当0＜x ＜1时，f'(x)＞0；当x ＞1时，f'(x)＜0.所以函数φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减. 当x=1时，[φ(x)]max ＝1e. 于是，当x ＞0时，φ(x)≤1e.② 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立. 故当x ＞0，a ≥2e时，xlnx+a ＞xe -x . 因为b ＞1，所以lnb ＞0.所以lnb ·ln(lnb)+a ＞lnb ·e -lnb . 所以()1a ln lnb lnb b +＞，即()1f lnb b＞.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为31x ty t⎨⎩-+⎧＝＝ (t 为参数).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值. 解析：(Ⅰ) 将直线l 的参数方程31x ty t ⎨⎩-+⎧＝＝消去t 参数，可得直线l 的普通方程，将ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，带入4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得曲线C 的直角坐标方程. (Ⅱ)法一：设曲线C上的点为()11P αα+，，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值.法二：设与直线l 平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C 相切时，得.答案：(Ⅰ) 由直线l 的参数方程31x ty t ⎨⎩-+⎧＝＝消去t 参数，得x+y-4=0，∴直线l 的普通方程为x+y-4=0.由&cos cos sin sin 2cos 2sin 444πππρθθθθθ⎛⎫⎫=-=++ ⎪⎪⎝⎭⎭＝.得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ.将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即(x-1)2+(y-1)2=2.(Ⅱ) 法1：设曲线C上的点为()11Pαα+，，则点P到直线l的距离为d==当sin14πα⎛⎫+-⎪⎝⎭＝，maxd＝∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0.当直线l'与圆Cb=0或b=-4(舍去).∴直线l'的方程为x+y=0.那么：直线l与直线l'的距离为d故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为选修4-5：不等式选讲23.已知函数f(x)=|x+a-1|+|x-2a|.(Ⅰ)若f(1)＜3，求实数a的取值范围；(Ⅱ)若a≥1，x∈R，求证：f(x)≥2.解析：(Ⅰ)通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；(Ⅱ)基本基本不等式的性质证明即可.答案：(Ⅰ)因为f(1)＜3，所以|a|+|1-2a|＜3.①当a≤0时，得-a+(1-2a)＜3，解得23a-＞，所以23-＜a≤0；②当0＜a＜12时，得a+(1-2a)＜3，解得a＞-2，所以0＜a＜12；③当a≥12时，得a-(1-2a)＜3，解得43a＜，所以1423a≤＜；综上所述，实数a的取值范围是2433⎛⎪-⎫⎝⎭，.(Ⅱ)因为a≥1，x∈R，所以f(x)=|x+a-1|+|x-2a|≥|(x+a-1)-(x-2a)|=|3a-1|=3a-1≥2.。
广东省2017届高三上学期阶段性测评(一)理数试题 含答案
理科数学第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}(){}1 ln 2A x x B x y x =≥-==-，，则R A C B =（ ）A ．[)1 2-，B ．[)2 +∞，C ．[]1 2-，D ．[)1 -+∞，2。
设函数()()1232 2log 1 2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，，，则()()2f f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3.若实数 x y ，满足230x y -+≥，则22z x y +的最小值为（ ）A ．3B ．5C 3D 24.在区间[]0 1，上随机选取两个数x 和y ，则2y x >的概率为( ) A.14 B ．12 C 。
34 D ．135。
已知命题：2: 2sin 10p x R xx θ∀∈-+≥，；命题(): sin sin sin q R αβαβαβ∀∈+≤+，，.则下列命题中的真命题为（ ）A ．()p q ⌝∧B ．()p q ∧⌝C 。
()p q ⌝∨D ．()p q ⌝∨ 6。
三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，12AB BC AA ===，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．48π B ．32π C 。
12π D ．8π7.已知向量 AB AC AD ，，满足 2 1AC AB AD AB AD =+==，，, E F ，分别是线段 BC CD ，的中点，若54DE BF ⋅=-，则向量AB 与AD 的夹角为（ )A ．6πB ．3πC 。
23πD ．56π8.已知双曲线()222210 0x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，且2F 为抛物线224yx=的焦点，设点P 为两曲线的一个公共点，若12PF F △的面积为366，则双曲线的方程为（ ） A ．221927x y -= B ．221279x y -= C.221169x y -= D ．221916x y -= 9。
广东省肇庆市2017届高三上学期第一次统一检测数学(理)试题 含答案
试卷类型:A肇庆市中小学教学质量评估2017届高中毕业班第一次统一检测理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共23小题，满分150分. 考试用时120分钟。
注意事项:1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县(市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔在准考证号填涂区将考号涂黑．2. 选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上．3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案,然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷一． 选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
（1）若集合{}2|40M x R xx =∈-<，集合{}0,4N =，则MN =（A)[]0,4 （B ）[0,4) （C ）(0,4] （D ）()0,4（2)设i 为虚数单位，复数3i z i-=，则z 的共轭复数z(A)13i -- （B)13i - （C ）13i -+ （D ）13i +（3）已知向量()(),2,1,1m a n a ==-，且m n ⊥，则实数a 的值为（A ）0 （B)2 （C ）2-或1 （D)2-（4)设复数z 满足()3112(i z i i +=-为虚数单位），则复数z 对应的点位于复平面内(A)第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D)第四象限（5）原命题p :“设,,a b c R ∈，若a b >,则22acbc >"以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（A ）0 (B ）1 （C)2 （D ）4（6）图（1）是某高三学生进入高中三年的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14。
2017年广州市一模理科数学试题答案
绝密 ★ 启用前2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自 己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应 位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）复数()221i 1i+++的共轭复数是 （A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- （2）若集合}{1M x x =≤，}{2,1N y y x x ==≤，则（A ）M N = （B ）M N ⊆ （C ）N M ⊆ （D ）M N =∅I （3）已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且35412a ,a ,a 成等差数列,则3546a a a a ++的值是（A ）512 （B ）512 （C ）352- （D ）352+ （4）阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 分别 是双曲线C 的左，右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且17PF =, 则2PF 等于（A）1（B）13（C）4或10（D）1或13（6）如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,且该几何体的体积为83, 则该几何体的俯视图可以是（7）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为（A）12（B）1532（C）1132（D）516（8）已知1F,2F分别是椭圆C()2222:10x ya ba b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C上存在点P使12F PF∠为钝角, 则椭圆C的离心率的取值范围是（A）22⎛⎫⎪⎪⎝⎭（B）1,12⎛⎫⎪⎝⎭（C）20,2⎛⎝⎭（D）10,2⎛⎫⎪⎝⎭（9）已知:0,1xp x e ax∃>-<成立, :q函数()()1xf x a=--是减函数, 则p是q的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC为鳖臑, PA⊥平面ABC, 2PA AB==，4AC=, 三棱锥-P ABC的四个顶点都在球O的球面上, 则球O的表面积为（A）8π（B）12π（C）20π（D）24π（11）若直线1y=与函数()2sin2f x x=的图象相交于点()11,P x y，()22,Q x y，且12x x-=23π，则线段PQ与函数()f x的图象所围成的图形面积是（A）233π+（B）33π（C）2323π（D）323π（12）已知函数()32331248f x x x x=-++, 则201612017kkf=⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为（A）0（B）504（C）1008（D）2016P CBA第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
理科数学 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}1 ln 2A x x B x y x =≥-==-，，则R A C B =（ ） A ．[)1 2-，B ．[)2 +∞，C ．[]1 2-，D ．[)1 -+∞， 2.设函数()()1232 2log 1 2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，，，则()()2f f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33.若实数 x y ，满足230x y -+≥，则z 的最小值为（ ） A ．3 BC4.在区间[]0 1，上随机选取两个数x 和y ，则2y x >的概率为（ ） A.14 B ．12 C.34 D ．135.已知命题：2: 2sin 10p x R x x θ∀∈-+≥，；命题(): sin sin sin q R αβαβαβ∀∈+≤+，，.则下列命题中的真命题为（ ）A ．()p q ⌝∧B ．()p q ∧⌝ C.()p q ⌝∨ D ．()p q ⌝∨6.三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，12AB BC AA ===，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．48π B ．32π C.12π D ．8π7.已知向量 AB AC AD ，，满足 2 1AC AB AD AB AD =+==，，， E F ，分别是线段BC CD ，的中点，若54DE BF ⋅=-，则向量AB 与AD 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C.23π D ．56π 8.已知双曲线()222210 0x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12 F F ，，且2F 为抛物线224y x =的焦点，设点P 为两曲线的一个公共点，若12PF F △的面积为 ）A ．221927x y -=B ．221279x y -= C.221169x y -= D ．221916x y -=9.执行如图所示的程序框图，若[][] 0 4x a b y ∈∈，，，，则b a -的最小值为（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．510.若()()72801281212x x a a x a x a x +-=++++…，则0127a a a a ++++…的值为（ ） A ．2- B ．3- C.253 D ．12611.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线交于 M N ，两点，若4MF FN =，则直线l 的斜率为（ ）A ．32±B ．23± C.34± D ．43±12.函数()sin 1f x x x ωω=++的最小正周期为π，当[] x m n ∈，时，()f x 至少有12个零点，则n m -的最小值为（ ） A ．12π B ．73π C.6π D ．163π第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.复数z 在复平面内的对应点是()1 1-，，则z = ．14.定积分)1x dx +⎰的值为 ．15.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则()37.5f 等于 ．16.将一块边长为6cm 的正方形纸片，先按如图（1）所示的阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图（2）放置，若其正视图为正三角形，则其体积为 2cm ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在ABC △中，内角 A B C ，，所对的边分别是 a b c ，，，已知60 5 4A b c =︒==，，. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求sin sin B C 的值. 18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，且122 21n n a d a a ==-，. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19.（本小题满分12分）某市为了解各校《国学》课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A 、B 、C 、D 四个等级.随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如下的分布图：（Ⅰ）试确定图中a 与b 的值；（Ⅱ）规定等级D 为“不合格”，其他等级为“合格”，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从甲、乙两校“合格”的学生中各选1名学生，求甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率.20.（本小题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，底面ABC 为正三角形.（Ⅰ）证明：AC PB ⊥；（Ⅱ）若平面PAC ABC ⊥平面，2AC PC ==，求二面角A PC B --的余弦值. 21.（本小题满分12分）椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12 F F ，.（Ⅰ）若椭圆E 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）若椭圆E 过点()0 2A -，，直线1AF ，2AF 与椭圆的另一个交点分别为点 B C ，，且ABC △的面积为509c，求椭圆E 的方程. 22.（本小题满分10分）已知函数()2ln f x a x x x =+-，其中a R ∈. （Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.2016-2017学年度高三年级阶段性测评（一）理科数学参考答案及评分参考一、选择题1-5:CCDAB 6-10:CBAAC 11、12：DD 解析：1.C 【解析】[)()(]1 2 2R A B C B =-+∞=+∞=-∞，，，，，，∴[]1 2R A C B =-，. 2.C 【解析】()()()()032log 3122f f f f e ===⨯=. 3.D【解析】z.4.A 【解析】2y x >的概率为11112214⨯⨯=. 5.B 【解析】()()22222:2sin 1sin 1sin sin cos 0p x x x x θθθθθ-+=-+-=-+≥，∴p 为真命题.:q 当54παβ==时，52παβ+=，()sin 1αβ+=，sin sin αβ+= ∴()sin sin sin αβαβ+>+，∴q 为假命题，∴()p q ∨⌝为真命题.6.C 【解析】如图，由题可知矩形11AA C C 的中心O 为该三棱柱外接球的球心，OC =.∴该球的表面积为2412ππ=.7.B 【解析】 22AD ABDE AB BF AD =-=-，，∴225555224244AB AD AD AB DE BF AB AD ⋅⋅=--+=-+⋅=-.∴1AB AD ⋅=，1cos 2AB AD <>=，，∴AB 与AD 的夹角为3π. 8.A 【解析】设P 点为第一象限点，且()11 P x y ，，1211122PF F S y =⨯⨯=△1y =，19x =，∴1226a PF PF =-=，∴ 2 a b ==，，故双曲线方程为221927x y -=.9.A 【解析】程序框图的功能为求分段函数21 04 0x x y x x x +<⎧=⎨-≥⎩，，的函数值， 如图可知[]2 a b ∈，，当0 2a b ==，或 2 4a b ==，时符合题意，∴2b a -≥.10.C 【解析】令1x =，得01283a a a a ++++=…，()7822256a =⨯-=-，∴0783253a a a ++=--=….11.D 【解析】不妨设()()()111122 0 0 M x y x y N x y >>，，，，，∵4MF FN =，∴124y y =-，又212y y p =-，∴22 28p py x =-=，，∴042382MN pk p p --==-.根据对称可得直线l 的斜率为43±.12.D 【解析】由题知()()2sin 2 1 0 2sin 2133f x x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∴1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由周期性可知16533n m πππ-≥+=，∴()min 163n m π-=. 二、填空题13.1i + 14.142π+15.0.5【解析】13.1z i =-，∴1z i =+.14.)110x dx xdx =+⎰⎰⎰，由几何意义得4π=⎰，又121001122xdx x ==⎰.∴)1142x dx π=+⎰. 15.∵()()2f x f x +=-，∴()()4f x f x +=且()()f x f x -=-，01x ≤≤时，()f x x =， ∴()()11137.5 1.5222f f f f ⎛⎫⎛⎫==--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16.由正视图为正三角形可知，图（1）中2PD CD =，∴23PD =⨯，∴正三角形的边长为PO∴四棱锥的体积为183=三、解答题17.解：（Ⅰ）由余弦定理得：2222cos 21a b c bc A =+-=，∴a =分 （Ⅱ）∵()222228sin a R A ==， ∴()25sin sin 72bcB C R ==.……………………………………………………………………10分 18.解：（Ⅰ）由题可得：()()11112412211a n a a n a +-=+--，解得1 1 2a d ==，.∴()()*1121n a a n d n n N =+-=-∈.………………………………………………5分 （Ⅱ）∵2122n n n n a n b -==， ∴231135232122222n n n n n S ---=+++++…. ① ∴231111252321222222n n n n n n n S -+3---=+++++….② -①②得：23111111212222222n n n n S +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ (2232321)112111112123121132222222222n n n n n n n n n S ---+⎛⎫=++++-=++++++-=-⎪⎝⎭…….……12分19.解：（Ⅰ）15 0.5a b ==，；……………………4分 （Ⅱ）记1E 表示事件“甲校国学成绩等级为A “，则()1654P E =；2E 表示事件“甲校国学成绩等级为B ”，则()21554P E =；20.（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接PO ，BO ， ∵PA PC =， ∴PO AC ⊥， 又AB CB =， ∴AC POB ⊥平面，∴AC PB ⊥.………………………………5分（Ⅱ）平面PAC ABC ⊥平面且交于AC ，PO AC ⊥，∴PO ABC ⊥平面，则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.又 2PA PC AC PC ===，，ABC △为正三角形，∴(()()0 0 0 0 1 0 0P B C -，，，，，，，()()0 3 3 1 0PB BC =-=-，，，，，.设() n x y z =，，为平面PBC 的法向量，则00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴00x =-=⎪⎩，∴z y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，取1y =-，则)1 1n =--，，为平面PBC 的一个法向量，又()0 0OB =，为平面PAC 的一个法向量，∴cos n OB <>==，则二面角A PC B -=.……………………………………12分 21.（Ⅰ）∵长轴长、短轴长、焦距成等差数列，∴()22222222 42 42b a c b a ac c a c a ac c =+=++-=++，，， ∴223520a c ac --=，两边同除以2a 得，25230c c +-=， 解得35c e a ==.………………………………5分 （Ⅱ）由已知得2b =，把直线22:2AF y x c=-代入椭圆方程22214x y a +=，得()222220a c x a cx +-=，∴()22222422c c a cx a c c +==++.∴()224 2c c C y c ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭，.由椭圆的对称性及平面几何知识可知，ABC △面积为：()()222241222222c c S x y x c c c ⎡⎤+⎢⎥=⋅+==+⎢⎥⎣⎦， ∴()222425029c c c c c ⎡⎤+⎢⎥=-+⎢⎥⎣⎦，解得21c =， ∴25a =.故所求椭圆的方程为22154x y +=.……………………………………12分22.解：（Ⅰ）函数()2ln f x a x x x =+-的定义域为()0 +∞，， ()22'21a x x af x x x x -+=+-=， 设()22 18g x x x a a =-+∆=-，， （1）当18a ≥时，()0 0g x ∆≤≥，成立，故()'0f x ≥成立，()f x 在()0 +∞，上为增函数；（2）当108a <<时，0∆>，令()0g x =，得12 x x ==，显然220x x >>，当()10 x x ∈，时，()()0 '0g x f x >>，，()f x 为增函数， 当()12 x x x ∈，时，()()0 '0g x f x <<，，()f x 为减函数， 当()2 x x ∈+∞，时，()0g x >，()'0f x >，()f x 为增函数， 综上，当18a ≥时，()f x 在()0 +∞，上为增函数，当108a <<时，()f x 在0 ⎛ ⎝⎭， ⎫+∞⎪⎪⎝⎭，上为增函数，在⎝⎭上为减函数.…………………………5分 （Ⅱ）显然()10f =，由1x ≥可知：当0a ≥时，2ln 0 0a x x x ≥-≥，，故()0f x ≥成立；当0a <时，180a ∆=->.令()0g x =，得12 x x ，显然120 0x x <>，，当()20 x x ∈，时，()()()0 '0 g x f x f x <<，，为减函数， 当()2 x x ∈+∞，时，()0g x >，()'0f x >，()f x 为减函数； 若10a -≤<，则21x ≤，当1x ≥时，()f x 为增函数，故()()10f x f ≥=成立；若1a <-，则21x >，由()f x 在()20 x ，上为减函数可知，当()21 x x ∈，时，()f x 为减函数，()()10f x f <=与题意不符，舍去.综上，a 的取值范围是[)1 -+∞，.。