高考理科数学山东专用二轮专题复习课件：专题六第讲随机变量及其分布
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2012数学二轮复习课件 随机变量及其分布
2．常见的离散型随机变量的分布
(1) ห้องสมุดไป่ตู้点分布
分布列为(其中0 < p < 1)： ξ 0 1 P 1-p p
( 2 ) 二项分布在n次独立重复试验中，事件A发生的
次数ξ 是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1, 2,
k 3， ，n，并且P (ξ = k ) = Cn p k q n − k (其中k = 0,1, 2， ， … …
( 3) 记“甲同学在一次数学竞赛预赛中成绩高于80分
6 3 为事件A，则P( A) = = . 8 4 3 随机变量ξ的可能取值为0、 2 3，且ξ ～B(3， )， 1、、 4 k 3 k 1 3− k 所以P(ξ = k ) = C3 ( ) ( ) ，k = 0,1, 2,3. 4 4 所以随机变量ξ的分布列为：
甲 9 8 4 5 8 2 3 1 7 8 9 0 0 0 2 乙 5 3 5 5
( 2 ) 派甲参加比赛比较合适．理由如下：
1 x甲 = (70 × 2 + 80 × 4 + 90 × 2 + 8 + 9 + 1 + 2 + 4 + 8 + 3 + 8 5) = 85， 1 x乙 = (70 ×1 + 80 × 4 + 90 × 3 + 5 + 0 + 0 + 3 + 5 + 0 + 2 + 8 5) = 85， 1 2 2 2 2 s = [( 78 − 85 ) + ( 79 − 85 ) + ( 81 − 85 ) + ( 82 − 85 ) + 8
(1) 设甲、乙两人同时承担H 任务为事件A，
专题六第2讲概率、随机变量及其分布列
菜 单
训 练 高 效 提 能
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
[自主解答]
(1)该项新技术的三项不同指标甲、乙、
丙独立通过检测合格分别为事件 A、B、C，则事件“得 分不低于 8 分”表示为 ABC＋A－ B C. ∵ABC 与 A－ B C 为互斥事件，且 A、B、C 为彼此独 立， ∴ P(ABC ＋ A － B C) ＝ P(ABC) ＋ P(A － B C) ＝
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
考 点 核 心 突 破
【例 2】中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母， “辽宁”号以 4 台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力 安全性，科学家对蒸汽轮机进行了 170 余项技术改进， 增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须 对其中的三项不同指标甲、 乙、 丙进行通过量化检测． 假 如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概 3 2 1 率分别为 、 、 .指标甲、乙、丙合格分别记为 4 分、2 4 3 2 分、4 分；若某项指标不合格，则该项指标记 0 分，各 项指标检测结果互不影响． (1)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率； (2)求该项新技术的三个指标中被检测合格的指标不 少于 2 个的概率．
考 点 核 心 突 破
3 C. 4π
1 D. 2π
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
训 练 高 效 提 能
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第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
[自主解答]
(1)该项新技术的三项不同指标甲、乙、
丙独立通过检测合格分别为事件 A、B、C，则事件“得 分不低于 8 分”表示为 ABC＋A－ B C. ∵ABC 与 A－ B C 为互斥事件，且 A、B、C 为彼此独 立， ∴ P(ABC ＋ A － B C) ＝ P(ABC) ＋ P(A － B C) ＝
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菜
单
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第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
考 点 核 心 突 破
【例 2】中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母， “辽宁”号以 4 台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力 安全性，科学家对蒸汽轮机进行了 170 余项技术改进， 增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须 对其中的三项不同指标甲、 乙、 丙进行通过量化检测． 假 如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概 3 2 1 率分别为 、 、 .指标甲、乙、丙合格分别记为 4 分、2 4 3 2 分、4 分；若某项指标不合格，则该项指标记 0 分，各 项指标检测结果互不影响． (1)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率； (2)求该项新技术的三个指标中被检测合格的指标不 少于 2 个的概率．
考 点 核 心 突 破
3 C. 4π
1 D. 2π
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菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
随机变量及其分布复习课PPT学习教案
X服从二项分布 X ～ B(n, p) 并称p为成功概率
第6页/共42页
10、离散型随机变量的均值
数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
E X x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
11、数学期望的性质
E(aX b) aEX b
之间通过的概第率16页/共．42页
[解析] 记 Ai 表示事件：电流能通过 Ti，i＝1,2,3,4， A 表示事件：T1，T2，T3 中至少有一个能通过电流， B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过． (1)－A ＝－A 1·－A 2·－A 3，A1，A2，A3 相互独立， P(－A )＝P(－A 1·－A 2·－A 3)＝P(－A 1)P(－A 2)P(－A 3)＝(1－p)3. 又 P(－A )＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001， 故(1－p)3＝0.001，p＝0.9.
记为 X N(, 2 )
第12页/共42页
19.正态曲线的性质
1
( x)
y
2
y
e
(
x )2 2 2
, x (, )
y
μ= -1
μ= 0
μ= 1
σ=0.5
σ=0.5
σ=0.5
-2
-1
0
2
-2
-1
0
2
-2
-1
0
2
-3
1
x
-3
1
x
-3
1
x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
第7页/共42页
12、如果随机变量X服从两点分布，
第6页/共42页
10、离散型随机变量的均值
数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
E X x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
11、数学期望的性质
E(aX b) aEX b
之间通过的概第率16页/共．42页
[解析] 记 Ai 表示事件：电流能通过 Ti，i＝1,2,3,4， A 表示事件：T1，T2，T3 中至少有一个能通过电流， B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过． (1)－A ＝－A 1·－A 2·－A 3，A1，A2，A3 相互独立， P(－A )＝P(－A 1·－A 2·－A 3)＝P(－A 1)P(－A 2)P(－A 3)＝(1－p)3. 又 P(－A )＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001， 故(1－p)3＝0.001，p＝0.9.
记为 X N(, 2 )
第12页/共42页
19.正态曲线的性质
1
( x)
y
2
y
e
(
x )2 2 2
, x (, )
y
μ= -1
μ= 0
μ= 1
σ=0.5
σ=0.5
σ=0.5
-2
-1
0
2
-2
-1
0
2
-2
-1
0
2
-3
1
x
-3
1
x
-3
1
x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
第7页/共42页
12、如果随机变量X服从两点分布，
《高考总复习》数学(理科)课件：第九章-第6讲-离散型随机变量及其分布列
为12，参加第五项不合格的概率为23. (1)求该考生被录取的概率； (2)设该考生参加考试的项数为 X，求 X 的分布列.
解：(1)若该考生被录取，则前四项最多有一项不合格，并 且第五项必须合格.
记“前四项均合格且第五项合格”为事件 M. “前四项中仅有一项不合格且第五项合格”为事件 N，
则 P(M)＝124×1－23＝418， P(N)＝C14×12×1－123×1－23＝112. 因为 M，N 互斥， 所以 p＝P(M)＋P(N)＝418＋112＝458.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
1 6
2 3
1 6
故 ξ 的期望 E(ξ)＝0×16＋1×23＋2×16＝1.
(3)在这 100 名患者中，服药者指标 y 数据的方差大于未服 药者指标 y 数据的方差.
【规律方法】对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布 列可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问 题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几何分布是一个重 要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于抽查产品，摸不 同类别的小球等概率模型.
(2)该考生参加考试的项数 X 可以是 2，3，4，5.
P(X＝2)＝12×12＝14， P(X＝3)＝C121－12×12×12＝14， P(X＝4)＝C131－12×122×12＝136， P(X＝5)＝1－14－14－136＝156. 则 X 的分布列为：
X2
3
4
5
P
1 4
1 4
3
5
16 16
B(n，p)，并称 p 为成功概率.其分布列如下表：
X
0
1
…
k
…
n
P Cn0p0(1－p)n Cn1p1(1－p)n－1 … Cknpk(1－p)n－k … Cnnpn(1－p)0
解：(1)若该考生被录取，则前四项最多有一项不合格，并 且第五项必须合格.
记“前四项均合格且第五项合格”为事件 M. “前四项中仅有一项不合格且第五项合格”为事件 N，
则 P(M)＝124×1－23＝418， P(N)＝C14×12×1－123×1－23＝112. 因为 M，N 互斥， 所以 p＝P(M)＋P(N)＝418＋112＝458.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
1 6
2 3
1 6
故 ξ 的期望 E(ξ)＝0×16＋1×23＋2×16＝1.
(3)在这 100 名患者中，服药者指标 y 数据的方差大于未服 药者指标 y 数据的方差.
【规律方法】对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布 列可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问 题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几何分布是一个重 要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于抽查产品，摸不 同类别的小球等概率模型.
(2)该考生参加考试的项数 X 可以是 2，3，4，5.
P(X＝2)＝12×12＝14， P(X＝3)＝C121－12×12×12＝14， P(X＝4)＝C131－12×122×12＝136， P(X＝5)＝1－14－14－136＝156. 则 X 的分布列为：
X2
3
4
5
P
1 4
1 4
3
5
16 16
B(n，p)，并称 p 为成功概率.其分布列如下表：
X
0
1
…
k
…
n
P Cn0p0(1－p)n Cn1p1(1－p)n－1 … Cknpk(1－p)n－k … Cnnpn(1－p)0
高考数学：专题六 第二讲 概率、随机变量及其分布列课件
本 讲 栏 目 开 关
解析 设 AC＝x，CB＝12－x，
所以 x(12－x)<32，所以 x>8 或 x<4 4＋4 2 又因为 0<x<12，所以 P＝ 12 ＝3.
考点与考题
0≤x≤2， 3.(2012· 北京)设不等式组 0≤y≤2
第二讲
表示的平面区域为 D， 在区域 D
本 讲 栏 目 开 关
本 讲 栏 目 开 关
解析 分别从两个集合中各取一个数共有 15 种取法，其中满足 b>a 3 1 的有 3 种取法，故所求事件的概率为 P＝15＝5.
题型与方法
第二讲
(2)学生通过演示实验来估算不规则图形的面积，先在平面内画 4 条直 线 x＝0，x＝5，y＝－2，y＝1 围成矩形，再画 2 条曲线 y＝log2x，y ＝log2(x－3)， 2 条直线 y＝－2， 称 y＝1 和 2 条曲线 y＝log2x， y＝log2(x
本 讲 栏 目 开 关
回答互不影响. (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
解 (1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i＝
1,2,3,4)，
4 3 2 则 P(A1)＝ ，P(A2)＝ ，P(A3)＝ ， 5 5 5 1 P(A4)＝5，
第二讲
本 讲 栏 目 开 关
ξ P
0 3 8
1 7 16
2 1 6
3 1 48
3 7 1 1 5 所以 E(ξ)＝0×8＋1×16＋2×6＋3×48＝6.
题型与方法
第二讲
方法提炼 求出概率.
(1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变
随机变量及分布PPT课件
P( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
fY
(
y
)
dFY ( dy
y
)
1
2
y
0,
fX
(
y ) fX(
y ) , y 0 y0
y 1
fX (
y
)
2
0
y 1
0
y 1
fX (
y
)
2
1 y 0
其它
0
其它
则 Y=X2 的概率密度为：
1
fY
(
y)
2
( y
0
y 1 2
U 的概率密度
P{ X
u 1} 3
FX
{
u
3
1)
fU (u)
dFU (u) du
f
X
(
u
3
1
)
(
u
3
1
)u
fU
(u)
2.
u
3
1
.
1 3
0
即
fU
(u)
2 9
(u
1)
0
0 u1 1 3
其它
1 u 2 其它
例4(P62-例3) 设随机变量X的概率密度为fX(x)(x R),求:
z0
0
z0
（3）备用方式： 系统L的寿命 Z=X+Y
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
积分区域
z
x
x
0
0
即0 x z
fZ (z)
z e x e (zx)dx e z
0
z e( ) xdx
高考数学二轮专题复习第20课时随机变量及其分布课件理
2．二项分布的识别策略：(1)凡是所考虑的试 验可以看作是一个只有两个可能结果A和的试验的 n次独立重复，则n次试验中A发生的次数ξ就服从二 项分布．(2)凡是服从二项分布的随机变量一定只取 有限个实数为其值，否则，随机变量不服从二项分 布．(3)凡是服从二项分布的随机变量在被看作是n 次试验中某事件发生的次数时，此事件在每次观察 中出现的概率相等，否则不服从二项分布．
3， 10
PX
3
C11C31C22 C62C42
1 ，随机变量X的分布列为 30
EX 7.
6
16
3.二项分布 【例3】(2011·3月新昌中学模拟)一袋中有6个黑球， 4个白球． (1)依次取出3个球，不放回，已知第一次取出的是 白球，求第三次取到黑球的概率； (2)有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是 白球，求第三次取到黑球的概率； (3)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数X的 分布列和数学期望．
(123, 234，，789)，因此P X
2
7 C93
1. 12
X 1有42种情况，即 12 4,5, 6, 7,8,9 6个，
23 5, 6, 7,8,9 5个， 34 1, 6, 7,8,9 5个，
ห้องสมุดไป่ตู้
45 1, 2, 7,8,9 5个， 56 1, 2,3,8,9 5个，
20
【变式训练】(2011 4月金华一中模拟)检测部门决定对某 市学校教室的空气质量进行检测，空气质量分为A、B、 C三级，每间教室的检测方式如下：分别在同一天的上 、下午各进行一次检测，若两次检测中有C级或两次都 是B级，则该教室的空气质量不合格，设各教室的空气 质量相互独立，且每次检测的结果也是相互独立，根据 多次抽检结果，一间教室一次检测空气质量为A、B、C 三级的频率依次为 3，1，1。
3， 10
PX
3
C11C31C22 C62C42
1 ，随机变量X的分布列为 30
EX 7.
6
16
3.二项分布 【例3】(2011·3月新昌中学模拟)一袋中有6个黑球， 4个白球． (1)依次取出3个球，不放回，已知第一次取出的是 白球，求第三次取到黑球的概率； (2)有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是 白球，求第三次取到黑球的概率； (3)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数X的 分布列和数学期望．
(123, 234，，789)，因此P X
2
7 C93
1. 12
X 1有42种情况，即 12 4,5, 6, 7,8,9 6个，
23 5, 6, 7,8,9 5个， 34 1, 6, 7,8,9 5个，
ห้องสมุดไป่ตู้
45 1, 2, 7,8,9 5个， 56 1, 2,3,8,9 5个，
20
【变式训练】(2011 4月金华一中模拟)检测部门决定对某 市学校教室的空气质量进行检测，空气质量分为A、B、 C三级，每间教室的检测方式如下：分别在同一天的上 、下午各进行一次检测，若两次检测中有C级或两次都 是B级，则该教室的空气质量不合格，设各教室的空气 质量相互独立，且每次检测的结果也是相互独立，根据 多次抽检结果，一间教室一次检测空气质量为A、B、C 三级的频率依次为 3，1，1。
随机变量及其分布PPT课件
35
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
32
例7. 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的 3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
34
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
第三章
随机变量及其分布
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
32
例7. 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的 3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
34
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
第三章
随机变量及其分布
随机变量及其分布复习课件.ppt
有
F(x) x f(t)dt，
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率 密度函数，简称概率密度。
（II）概率密度的性质
( 1 ) 非 负 性 ： f( x ) 0 ， x R .
(2)规 范 性 ：f(x)dx1. 4
( 3 )对 于 任 意 实 数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之：
17
（1）区间的一个端点是无穷大，即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2，求x .
利用 或
然后反查标准正态分布表，即可求出x （2）区间关于μ对称，不妨设为(μ−a,μ+a)，而 P(μ−a<X<μ+a) = p，求a
18
四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的 离散型分布
均指 正 匀数 态 分分 分 布布 布
二项分布的 正态近似
二项分布的 泊松近似
二项 分布
泊几
松何
分分 布 布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击 每人的命中率依 次为03 04 06 设每人射击一次 试求3人命中总 数之概率分布律 分析 求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次，求(1)恰好得到一个6点的概 率；(2)至少得到一个6点的概率；(3)为了以0.5的概率保 证至少得到一个6点，则至少要投掷几次？
所以至少要投掷4次.
24
例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.
F(x) x f(t)dt，
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率 密度函数，简称概率密度。
（II）概率密度的性质
( 1 ) 非 负 性 ： f( x ) 0 ， x R .
(2)规 范 性 ：f(x)dx1. 4
( 3 )对 于 任 意 实 数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之：
17
（1）区间的一个端点是无穷大，即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2，求x .
利用 或
然后反查标准正态分布表，即可求出x （2）区间关于μ对称，不妨设为(μ−a,μ+a)，而 P(μ−a<X<μ+a) = p，求a
18
四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的 离散型分布
均指 正 匀数 态 分分 分 布布 布
二项分布的 正态近似
二项分布的 泊松近似
二项 分布
泊几
松何
分分 布 布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击 每人的命中率依 次为03 04 06 设每人射击一次 试求3人命中总 数之概率分布律 分析 求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次，求(1)恰好得到一个6点的概 率；(2)至少得到一个6点的概率；(3)为了以0.5的概率保 证至少得到一个6点，则至少要投掷几次？
所以至少要投掷4次.
24
例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.
高考数学二轮复习 专题六 概率与统计 第2讲 随机变量及其分布课件 理
所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19. (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元). 当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200 ＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.
P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝15×18＝410，i＝1，2，…，5，j＝1，2，…， 8.设事件 E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由 题意知，E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2 ∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4. 因此 P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3) ＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3) ＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×410＝38. (3)μ1＜μ0.
解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年 内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2， 0.4，0.2，0.2，从而 P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；
《随机变量及其分布》PPT课件
个普通函数,因而可用微积分的方法来研究随机变量.
随机点 X
概率论与数理统计
x 实数点
x
F(x) P( X x), x
问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什么区 别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？
X是随机变量, x是参变量. F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.
随机变量通常用大写字母X,Y,Z,…或希腊字母, ,
η, ζ,….等表示. 概率论与数理统计
随机变量与普通函数的区别
普通函数的定义域是实数 集,而随机变量的定义域是样本空 间(样本点不一定为实数);
普通函数随自变量的变化所取的函数值无概 率可言,而随机变量随样本点(试验结果)的变化所取 的函数值是具有一定概率的,且因试验的随机性使得 随机变量的取值也具有随机性,即知道随机变量的取 值范围,但在概一率论次与数试理统验计 前无法确定它取何值.
概率论与数理统计
总之，随机变量X有如下特点:
X是定义在样本空间Ω上的单值实值函数,其定 义域为样本空间Ω,值域为实数集 ;
利用X可以描述随机事件; X的取值是随机的,且取值具有一定的概率.
随机变量
离散型 非离散型
连续型
概率论与数理统计
其它
在实际问题中，有两类重要的随机变量：
实例11、观离察散掷型一随个机骰变子量出—现—的取点值数有。限随或机可变列量无X限的可 能值是1，2，3，4，5，6； 则事件“出现偶
概率论与数理统计
分布函数F(x)具有下列性质: 、 0≤F(x)≤1;
注意这些性 质在图形上
的表现
、F(-∞)=0,F(+∞)=1；[确定待定参数]
、F(x)至多有可列个间断点,且在间断点处是
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P(X＝2)＝P(A1B1)＝13×35＝15， P(X＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3) ＝12×15＋15×16＝125， P(X＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3) ＝12×35＋13×15＝3110， P(X＝6)＝P(A3B3)＝12×15＝110.
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事件 F 表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”. 则 F 表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取， 即 F1 ＝ A B C ， 于是 P(F)＝1－P( F )＝1－P( A )P( B )P( C ) ＝1－0.64×0.7×0.7＝0.686 4. 即经过两次考试后，至少有一人被预录取的概率是 0.686 4.
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探究提高 对于复杂事件的概率，要先辨析事件的构成，理清 各事件之间的关系，并依据互斥事件概率的和，或者相互独立 事件概率的积的公式列出关系式；含“至多”“至少”类词语 的事件可转化为对立事件的概率求解；并注意正难则反思想的 应用(即题目较难的也可从对立事件的角度考虑).
第2讲 随机变量及其分布
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高考定位 概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥 事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是 重点中的“热点”，多在解答题的前三题的位置呈现，常考查独 立事件的概率，超几何分布和二项分布的期望等.
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解 (1)分别记“甲、乙、丙三个同学笔试合格”为事件 A1、A2、 A3；E 表示事件“恰有一个通过笔试”， 则 P(E)＝P(A1 A2 A3 )＋P( A1 A2 A3 )＋P( A1 A2 A3) ＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.4＝0.38. 即恰有一人通过笔试的概率是 0.38. (2)分别记“甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格”为事件 A、 B、C，则 P(A)＝0.6×0.6＝0.36， P(B)＝0.5×0.6＝0.3，P(C)＝0.4×0.75＝0.3.
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(2)设事件 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知，C＝ A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6. 因 此 P(C) ＝ P(A4B1) ＋ P(A5B1) ＋ P(A6B1) ＋ P(A7B1) ＋ P(A5B2) ＋ P(A6B2) ＋ P(A7B2) ＋ P(A7B3) ＋ P(A6B6) ＋ P(A7B6) ＝ 10P(A4B1) ＝ 10P(A4)P(B1)＝1409. (3)a＝11 或 a＝18.
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＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝130， 所以小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上的概率为130. (2)由题意，随机变量 X 可能的取值为 0，1，2，3，4，6， 由事件的独立性和互斥性，得 P(X＝0)＝P(A0B0)＝16×15＝310， P(X＝1)＝P(A1B0＋A0B1)＝P(A1B0)＋P(A0B1) ＝13×15＋16×35＝16，
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4.超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次 品，则 P(X＝k)＝CkMCCNnnN－－kM，k＝0，1，2，…，m，其中 m＝ min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变 量 X 服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超几 何分布中的参数是 M，N，n.
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解析 若该智能汽车移动 6 次恰好到点(3，3)，则智能汽车在移
动过程中沿 x 轴正方向移动 3 次、沿 y 轴正方向移动 3 次，因此
智能汽车移动 6 次后恰好位于点(3，3)的概率为 P＝C36233·1－233
＝20×7829＝176209.
5.离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量 ξ 可能取的值为 x1，x2，…，xi，…，ξ 取每一个值 xi 的概率为 P(ξ＝xi)＝pi，则称下表
ξ x1 x2 x3 … xi … P p1 p2 p3 … pi …
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为离散型随机变量 ξ 的分布列. (2)离散型随机变量 ξ 的分布列具有两个性质：①pi≥0； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＝1(i＝1，2，3，…). (3)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 ξ 的数学期望 或均值. D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn －E(ξ))2·pn 叫做随机变量 ξ 的方差. (4)性质 ①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)； ②X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)； ③X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
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热点二 离散型随机变量的分布列 [微题型 1] 利用相互独立事件、互斥事件的概率求分布列 【例 2－1】 乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图， 甲上有两个不相交的区域 A，B，乙被划分为两个不相交的 区域 C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向 乙回球.规定：回球一次，落点在 C 上记 3 分，在 D 上记 1 分，其他情况记 0 分.对落点在 A 上的来球，队员小明回球 的落点在 C 上的概率为12，在 D 上的概率为13；对落点在 B 上的来球，小明回球的落点在 C 上的概率为15，在 D 上的概 率为35.假设共有两次来球且落在 A，B 上各一次，小明的两 次回球互不影响.求：
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则 P(B3)＝15，P(B1)＝35，P(B0)＝1－15－35＝15. 记 D 为事件“小明两次回球的落点中恰有 1 次落点在乙上”. 由题意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3， 由事件的独立性和互斥性，得 P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋＋A0B3) ＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3) ＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3)
答案
160 729
探究提高 在解题时注意辨别独立重复试验的基本特征：(1)在每 次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；(2)在每次试验 中，事件发生的概率相同.
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【训练1】 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招 生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将 成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过 程相互独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、 乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6、0.5、0.4，能 通过面试的概率分别是0.6、0.6、0.75. (1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率； (2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率.
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真题感悟 (2015·山东卷)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十
位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如
137，359，567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所
有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分
规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5
整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1
分；若能被10整除，得1分.
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(1)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ； (2)若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 E(X).
解 (1)个位数是 5 的“三位递增数”有 125，135，145，235， 245，345. (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为 C39＝84， 随机变量 X 的取值为：0，－1，1， 因此 P(X＝0)＝CC3839＝23， P(X＝－1)＝CC2439＝114，
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(2) 如果 a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (3) 当 a 为何值时，A，B 两组病人康复时间的方差相等？(结论 不要求证明) 解 设事件 Ai 为“甲是 A 组的第 i 个人”， 事件 Bi 为“乙是 B 组的第 i 个人”，i＝1，2，…，7. 由题意可知 P(Ai)＝P(Bi)＝17，i＝1，2，…，7. (1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于 14 天”等价于“甲 是 A 组的第 5 人，或者第 6 人，或者第 7 人”，所以甲的康复 时间不少于 14 天的概率是 P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝37.
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[微题型 2] 独立重复试验的概率 【例 1－2】 (2015·合肥模拟)在全国大学生智能汽车总决赛中，
某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系 的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿 x 轴 正方向移动的概率是23，沿 y 轴正方向移动的概率为13，则该 智能汽车移动 6 次恰好移动到点(3，3)的概率为________.