高中数学人教A版选修2-1高二年级理科第一学期期末复习测试(一)
2020秋高中数学人教A版选修2-1课时作业：本册学业质量标准检测1
本册学业质量标准检测(一)时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．在空间四边形OABC 中，OA →＋AB →－CB →等于( C ) A ．OA →B ．AB →C ．OC →D ．AC →[解析] 根据向量的加法、减法法则，得OA →＋AB →－CB →＝OB →－CB →＝OB →＋BC →＝OC →.故选C ． 2．若命题p ：0是偶数，命题q ：2是3的约数．则下列命题中为真的是( B ) A ．p 且q B ．p 或q C ．非pD ．非p 且非q[解析] 命题p ：0是偶数为真命题． 命题q ：2是3的约数为假命题，则p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，非p 为假命题，非p 且非q 为假命题， 故选B ．3．下列说法中正确的是( B ) A ．“x >5”是“x >3”的必要条件B ．命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1≤0”C ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数D ．设p 、q 是简单命题，若p ∨q 是真命题，则p ∧q 也是真命题[解析] 命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1≤0”，故选B ．4．(山西太原市2018－2019学年高二期末)已知空间直角坐标系中点P (2,1,3)，若在z 轴上取一点Q ，使得|PQ |最小，则点Q 的坐标为( C )A ．(0,0,1)B ．(0,0,2)C ．(0,0,3)D ．(0,1,0) [解析] 因为P (2,1,3)，若在z 轴上取一点Q ，使得|PQ |最小，只需PQ ⊥z 轴，所以Q 点竖坐标为3，故点Q 的坐标为(0,0,3)．故选C ．5．设p ：2x 2－3x ＋1≤0，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( A )A ．[0，12]B ．(0，12)C ．(－∞，0]∪[12，＋∞)D ．(－∞，0)∪(12，＋∞)[解析] 由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，¬p 为x <12或x >1，由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0得a ≤x ≤a ＋1，¬q 为x <a 或x >a ＋1.若¬p 是¬q 的必要不充分条件，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a <12，所以0≤a ≤12.故选A ．6．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，A 、B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率是( B )A ．12B ．55C ．13D ．22[解析] 点P 的坐标(－c ，b 2a )，于是k AB ＝－b a ，kPF 2＝－b 22ac ，由k AB ＝kPF 2得b ＝2c ，故e ＝c a ＝55. 7．已知a 、b 是两异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a 、b 所成的角为( B )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°[解析] 由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →， ∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1.cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12⇒〈AB →，CD →〉＝60°，故选B ．8．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12P A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( D )A ．216 B ．833C ．21060D ．21030 [解析] ∵OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ， ∴OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP .以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设AB ＝a ，则A (22a,0,0)、B (0，22a,0)、C (－22a,0,0)． 设OP ＝h ，则P (0,0，h )， ∵P A ＝2a ，∴h ＝142a . ∴OD →＝(－24a,0，144a )．由条件可以求得平面PBC 的法向量n ＝(－1,1，77)， ∴cos 〈OD →，n 〉＝OD →·n |OD →||n |＝21030.设OD 与平面PBC 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈OD →，n 〉|＝21030.二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．)9．已知A 、B 、C 三点不共线，对于平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是( BD )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝3OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →[解析] 若点M 与点A 、B 、C 一定共面，则OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →且x ＋y ＋z ＝1，故选BD ．10．已知曲线C 的方程为x 24－k ＋y 2k －3＝1，给定下列两个命题：p ：若k <3，则曲线C 为双曲线；q ：若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则3<k <4，其中是假命题的是( ACD )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧qD ．(¬p )∧(¬q )[解析] 若k <3时，则⎩⎪⎨⎪⎧4－k >0k －3<0，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，即命题p 是真命题．由4－k ＝k －3时，2k ＝7，得k ＝72时，方程不表示椭圆，即命题q 是假命题，则p ∧(¬q )为真命题，其余为假命题．故选ACD ．11.过抛物线y 4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|EF |，则直线AB 的斜率为( BD )A ．2B ．3C ．－2D ．－ 3[解析] 如图所示，当点A 在x ＝－12第一象限时，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D ，E ，过A 作x 轴的垂线，与EB 交于点C ，则四边形ADEC 为矩形．由抛物线定义可知|AD |＝|CE |＝3m ，所以|AB |＝4m ，在Rt △ABC 中，|BC |＝2m ，所以∠ABC ＝60°，所以直线l 的斜率为3；当点B 在第一象限时，同理可知直线l 的斜率为－ 3.12．已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( ACD )A ．双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1B ．双曲线C 的离心率为63C ．曲线y ＝e x ＋2－1经过C 的一个焦点 D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点[解析] A ．点(3，2)的坐标满足双曲线C 的方程x 23－y 2＝1，双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ，所以该选项正确； B ．双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1，所以双曲线离心率为e ＝23＝233，所以该选项不正确；C ．双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1，它的一个焦点为(－2,0)，把(－2,0)代入y ＝e x ＋2－1成立，所以该选项正确；D ．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －1＝0，x 2－3y 2＝3，得x 2＋6x －15＝0，Δ＝96>0，所以直线和曲线有两个公共点，所以该选项正确．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝34x ，则此双曲线的离心率为__54__.[解析] 由题意知b a ＝34，∴b 2a 2＝916，∴c 2－a 2a 2＝916，∴e 2＝2516，∴e ＝54.14．已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a 、OB →＝b 、OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝3MA ，N 为BC 中点，用a 、b 、c 表示MN →，则MN →＝__－34a ＋12b ＋12c __.[解析] 显然MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－34OA →＝12b ＋12c －34a .15．椭圆x 212＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过焦点F 1的直线交该椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2的内切圆面积为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则△ABF 2的面积S ＝__43__，|y 1－y 2|的值为__6__.[解析] ∵椭圆x 212＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，a ＝23，b ＝2，c ＝22，过焦点F 1的直线交该椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，△ABF 2的内切圆面积为π， ∴△ABF 2内切圆半径r ＝1.△ABF 2面积S ＝12×1×(AB ＋AF 2＋BF 2)＝2a ＝43，∴ABF 2面积S ＝12|y 1－y 2|×2c ＝12|y 1－y 2|×2×22＝43，∴|y 1－y 2|＝ 6.故答案为 6.16．过二面角α－l －β内一点P 作P A ⊥α于A ，作PB ⊥β于B ，若P A ＝5，PB ＝8，AB ＝7，则二面角α－l －β的度数为__120°__.[解析] 设P A →＝a ，PB →＝b ，由条件知|a |＝5，|b |＝8，|AB →|＝7， ∴AB 2＝|AB →|2＝|b －a |2 ＝|b |2＋|a |2－2a ·b ＝64＋25－2a ·b ＝49，∴a ·b ＝20，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12， ∴〈a ，b 〉＝60°，∴二面角α－l －β为120°.四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知p ：关于x 的方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0有实数根，q ：m ≤a ≤m ＋2.(1)若p 是q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围； (2)若m ＝－1时，“p ∨q ”是真命题，求实数a 的取值范围．[解析] (1)p 为真⇔(－2a )2－4(a ＋2)≥0⇔a 2－a －2≥0⇔a ≥2或a ≤－1 由p 是q 的必要非充分条件可得[m ，m ＋2]是(－∞，－1]∪[2，＋∞)的真子集， 所以m ＋2≤－1或m ≥2. 即m ≤－3或m ≥2.(2)当m ＝－1时，q ：－1≤a ≤1， 由“p ∨q ”是真命题，可知p 真或q 真 即a ≥2或a ≤－1，或－1≤a ≤1 实数a 的取值范围是a ≥2或a ≤1.18．(本小题满分12分)(2019年黑龙江省学业水平考试)如图，已知直线l 与抛物线y 2＝x 相交于A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)两点，O 为坐标原点，直线l 与x 轴相交于点M ，且y 1y 2＝－1.(1)求证：OA ⊥OB ； (2)求点M 的横坐标；(3)过A ，B 点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q ，求k QM ·k AB . [解析] 证明：(1)设直线的方程为：x ＝my ＋t ， 代入抛物线y 2＝x ，可得：y 2－my －t ＝0，由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1y 2＝－1， 可得y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－t ＝－1，t ＝1，由x 1x 2＝(y 1y 2)2＝1，可得x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝1－1＝0， 可得OA →·OB →＝0， 即：OA ⊥OB ；(2)由直线x ＝my ＋t ，令y ＝0， 可得x ＝1，即点M 的横坐标为1；(3)由y 2＝x ，两边对x 求导，可得2yy ′＝1，即y ′＝12y，可得A 处切线的斜率为12y 1， 切线方程为：y －y 1＝12y 1(x －x 1)，由y 21＝x 1，y 22＝x 2，可得y 1y ＝12(x ＋x 1) ①同理可得：B 处切线方程为y 2y ＝12(x ＋x 2) ②由①②可得：y ＝x 1－x 22(y 1－y 2)＝y 1＋y 22＝m2，xy 1y －x 1＝my 1－y 21＝(y 1＋y 2)y 1－y 21＝y 1y 2＝－1，故Q (－1，m 2)，可得：k QM ·k AB ＝0－m21＋1×y 1－y 2x 1－x 2＝－m 4×1y 1＋y 2＝－m 4×1m ＝－14.19．(本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．[解析] (1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1x ＋y ＝1，有两组不同的实数解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2且a ≠1，双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0<a <2且a ≠1，∴e >62，且e ≠2，即离心率e 的取值范围为(62，2)∪(2，＋∞) (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、P (0,1)，∵P A →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2，由于x 1、x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2. 消去x 2得，－2a 21－a 2＝28960. 由a >0，所以a ＝1713.20．(本小题满分12分)(2019·全国Ⅲ卷理，19)图①是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图②.(1)证明：图②中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； (2)求图②中的二面角B －CG －A 的大小．①②[解析] (1)证明：由已知得AD ∥BE ，CG ∥BE ，所以AD ∥CG ， 所以AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面． 由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，且BE ∩BC ＝B ， 所以AB ⊥平面BCGE .又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE . (2)解：作EH ⊥BC ，垂足为H .因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，且交于BC 所以EH ⊥平面ABC .由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°，可求得BH ＝1，EH ＝ 3.以H 为坐标原点，HC →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H －xyz ，则A (－1,1,0)，C (1,0,0)，G (2,0，3)，CG →＝(1,0，3)，AC →＝(2，－1,0)． 设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧CG →·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，2x －y ＝0.所以可取n ＝(3,6，－3)．又平面BCGE 的法向量可取m ＝(0,1,0)， 所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝32.因此二面角B －CG －A 的大小为30°.21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．[解析] 解法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，由E 为棱PC 的中点， 得E (1,1,1)．(1)BE →＝(0,1,1)、DC →＝(2,0,0)，故BE →·DC →＝0，所以BE ⊥DC .(2)BD →＝(－1,2,0)、PB →＝(1,0，－2)，设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0x －2z ＝0，不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量， 于是有cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n |·|BE →|＝26×2＝33.所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)向量BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)，AB →＝(1,0,0)，由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →，0≤λ≤1.故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)，由BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34，即BF →＝(－12，12，32)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面F AB 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0n 1·B F →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0－12x 1＋12y 1＋32z 1＝0，不妨令z 1＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面F AB 的一个法向量，取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010.易知，二面角F －AB －P 是锐角， 所以其余弦值为31010.解法二：(1)证明：如图，取PD 中点M ，连接EM 、AM .由于E 、M 分别为PC 、PD 的中点，故EM ∥DC ，且EM ＝12DC ，又由已知，可得EM ∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以BE ∥AM .因为P A ⊥底面ABCD ，故P A ⊥CD ，又CD ⊥DA ，P A ∩DA ＝A ，从而CD ⊥平面P AD ，因为AM ⊂平面P AD ，于是CD ⊥AM ，又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD .(2)连接BM ，由(1)有CD ⊥平面P AD ，得CD ⊥PD ，而EM ∥CD ，故PD ⊥EM ，又因为AD ＝AP ，M 为PD 的中点，故PD ⊥AM ，可得PD ⊥BE ，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD ，所以，直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE ⊥EM ，可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD ＝22，而M 为PD 中点，可得AM ＝2，进而BE ＝2，故在直角三角形BEM 中，tan ∠EBM ＝EM BE ＝AB BE ＝12，因此sin ∠EBM ＝33.所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)如图，在△P AC 中，过点F 作FH ∥P A 交AC 于点H ，因为P A ⊥底面ABCD ，故FH ⊥底面ABCD ，从而FH ⊥AC ，又BF ⊥AC ，得AC ⊥平面FHB ，因此AC ⊥BH ，在底面ABCD 内，可得CH ＝3HA ，从而CF ＝3FP .在平面PDC 内，作FG ∥DC 交PD 于点G ，于是DG ＝3GP ，由于DC ∥AB ，故GF ∥AB ，所以A 、B 、F 、G 四点共面，由AB ⊥P A ，AB ⊥AD ，得AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥AG ，所以∠P AG 为二面角F －AB －P 的平面角．在△P AG 中，P A ＝2，PG ＝14PD ＝22，∠APG ＝45°，由余弦定理可得AG ＝102，cos ∠P AG ＝31010. 所以，二面角F －AB －P 的余弦值为31010. 22．(本小题满分12分)(2019－2020学年湖南师大附中高二期中)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，离心率为32，P 是椭圆C 上位于第一象限内的任意一点，O 为坐标原点，P 关于O 的对称点为P ′，|P ′F |＋|PF |＝4，圆O ：x 2＋y 2＝b 2.(1)求椭圆C 和圆O 的标准方程； (2)过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，点T 在OP 的两侧．求四边形OFPT 面积的最大值．[解析] (1)设椭圆左焦点为F ′，连接PF ′，P ′F ′，因为|P ′O |＝|PO |，|OF |＝|OF ′|, 所以四边形P ′FPF ′为平行四边形，所以|PF |＋|PF ′|＝|PF |＋|P ′F |＝2a ＝4，所以a ＝2，又离心率为32，所以c ＝3，b ＝1.故所求椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1，圆O 的标准方程x 2＋y 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则x 204＋y 20＝1，故y 20＝1－x 204. 所以|TP |2＝|OP |2－|OT |2＝x 20＋y 20－1＝34x 20，所以|TP |＝32x 0， 所以S △OTP ＝12|OT |·|TP |＝34x 0. 又O (0,0)，F (3，0)，所以S △OFP ＝12|OF |·y 0＝32y 0. 故S 四边形OFPT ＝S △OFP ＋S △OTP ＝32·⎝⎛⎭⎫x 02＋y 0＝32x 204＋x 0y 0＋y 20＝321＋x 0y 0. 由x 204＋y 20＝1，得2x 204·y 20≤1，即x 0·y 0≤1，所以S四边形OFPT＝32·1＋x0y0≤62，当且仅当x204＝y2＝12，即x0＝2，y0＝22时等号成立．。
高中数学人教A版选修2-1高二数学第一学期期考试题(理科)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2010—2011学年兴宁一中高二数学第一学期期考试题（理科）2011-01-11注意：本试卷共4页,20小题,满分150分.考试时间120分钟. 必须将正确答案填写在答题卡规定的地方一、选择题：（本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.已知，，，)111(=a 则向量a 的模的大小为( )A ．3B .1C .3D . 22. 已知),0,1,1(),3,3,0(-==b a ，则向量b a 与的夹角为（ ）A. 030B. 045C. 060D.090 3.以41-=x 为准线的抛物线的标准方程为( ） A ．x y 212=B . y x =2C . y x 212= D . x y =24.命题p ：21<<x 是命题q ：0>x 的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.如果命题“非p ”是真命题，同时命题“p 或q ”是真命题，那么下列命题中，一定是真命题的是（ ）A ．qB .pC .非qD . p 且q6.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，化简1BB AB DA +-=（ ）A ．1CAB ．1AC C ．1BD D ．1DB7.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则=m （ ） A.23 B.26C. 38D.328.若椭圆154116252222=-=+y x y x 和双曲线的共同焦点为21,F F ，P 是两曲线的一个交点，则1PF ·2PF 的值为（ ）A ．221B . 84C . 3D .21 二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9.向量),,,2(),2,2,1(y x b a -=-=且→→b a //则=-y x ；10.双曲线1422=-y x 的渐近线方程是： ； 11.已知抛物线)0(22<=a ax y ，它的焦点坐标是 ；12.设A 、B 是两个命题，如果A 是 B 的充分不必要条件，则的是B A ⌝⌝ ；13.若椭圆14222=+a y x 与双曲线1222=-y a x 的焦点相同，则椭圆的离心率=e ____；14.已知点M 在平面ABC 内，对空间任意一点O ，有→→→→+-=OC OB OM x OA 42，则=x ；三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点)222(-，M ，求该抛物线的标准方程．16．（本小题满分12分）已知命题p ：方程012=++mx x 有两个不等负实数根；命题q ：方程01)2(442=+-+x m x无实根；若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．17．（本小题满分14分）如图，在长方体1AC 中，2,21===AA BC AB ，点E 、F 分别是面11C A 、面1BC 的中心． （1）求异面直线AF 和BE 所成的角； （2）求直线AF 和平面BEC 所成角的余弦值．18．（本小题满分12分）设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，已知直线l 过),0(),0,(b a 两点，且原点O 到直线l 的距离为c 43， 求此双曲线的离心率．19．（本小题满分14分）如图，以正四棱锥ABCD V -底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系xyz O -，其中AB Oy BC Ox //,//；已知kAB VA =，点E 是VC 的中点，底面正方形ABCD 边长为a 2，高为h ．（Ⅰ）求><DE BE COS ,；AA 1BC DB 1C 1D 1EF D CV（Ⅱ）当k 取何值时，BED ∠是二面角D VC B --的平面角，并求 二面角D VC B --的余弦值．20．（本小题满分14分）已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上.若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3． （1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M 、N ，当AN AM =时，求实数m 的取值范围.兴宁一中高二理数学期考试题参考答案 2011-01一.选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分)二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分,共30分)9. 8- 10. 02=±y x 11. )81,0(a12. 必要条件 13.2314. 1- 15、解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x 轴，并且经过点)222(-，M设它的标准方程为)0(22>=p px y ∴ 22)22(2⋅=-p解得：2=p ∴ x y 42= ……………… 7分（2）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是y 轴，并且经过点)222(-，M ， 设它的标准方程为)0(22>-=p py x ∴ )22(24-⋅-=p 解得：22=p ∴ y x 22-=所以 所求抛物线的标准方程为：x y 42=或y x 22-= …………… 14分16、解：若p 真，则：⎩⎨⎧<-=+≥-=∆04212m x x m 解得：2>m …………3分若q 真，则：016)2(162<--=∆m 解得：31<<m ………… 6分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C C D B A B A D由题意可知：p 、q 为一真一假（1）当p 真q 假时：3≥m … 8分 （2）当p 假q 真时：21≤<m …10分 综上所述 ),3[]2,1(+∞ 的取值范围为m …………… 12分17．解：（1）如图，以D 为坐标原点DA 、DC 、DD 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则：A （2，0，0），F （1，2，22） B （2，2，0），E （1，1，2），C （0，2，0） ∴ )2,1,1(),22,2,1(--=-=BE AF ， ∴ 0121=+-=∙→→BE AF所以AF 和BE 所成的角为090 …………… 6分（2）设平面BEC 的一个法向量为),,,(z y x n = 又 ),0,0,2(-=BC ),2,1,1(--=BE 则：02=-=∙x BC n 02=+--=∙z y x BE n∴0=x， 令1=z ，则：2=y ∴ )1,2,0(=→n …………… 10分∴ 333353222225,=⨯=∙∙>=<nAF n AF n AF COS 设直线AF 和平面BEC 所成角为θ 则：33335=θSin ………… 13分 ∴ 33662=θCOS 即 直线AF 和平面BEC 所成角的余弦值为33662 ……… 14分18．解：由题设条件知直线l 的方程为1=+bya x 即：0=-+ab bx ay ∵ 原点O 到直线l 的距离为c 43∴ c b a ab4322=+ ……… 4分 又 222b a c += ∴ 234c ab = 从而 42223)(16c a c a =-… 6分AA 1 BC DB 1C 1D 1EF∵ 0>a ∴ 01616324=+-e e 解得：42=e 或342=e …… 8分 ∵ b a <<0 ∴ 21222222>+=+=ab a b a e ……… 10分 ∴ 42=e 又 1>e所以 此双曲线的离心率为2 ……… 12分 19、解：（I ）由题意知B （a ，a ，0），C （―a ，a ，0），D （―a ，―a ，0），E ),2,2,2(h a a -由此得：),2,23,2(),2,2,23(ha a DE h a a BE =--= ,42322)232()223(22h a h h a a a a DE BE +-=⋅+⋅-+⋅-=⋅∴……… 3分.1021)2()2()23(||||22222h a h a a DE BE +=+-+-==……… 5分 由向量的数量积公式有：.10610211021423||||,cos 2222222222h a h a h a h a h a DE BE DE BE DE BE ++-=+⋅++-=⋅⋅>=<…… 7分 （II ）若BED ∠是二面角D VC B --的平面角，则CV BE ⊥∴ 0=∙CV BE 0=∙CV DE …… 8分由 C （－a ，a ，0），V （0，0，h ） 有 ),,(h a a CV-=又 ),2,2,23(h a a BE --=,02223222=++-=⋅∴h a a CV BE 解得：,2a h =……… 10分∴ .31)2(10)2(6106,cos 22222222-=++-=++->=<a a a a h a h a DE BE ……… 12分a OA VO VA 222=+= 又 k A BVA =且a AB 2= 从而 1=k 反之成立 ……… 13分因此 当1=k 时，BED ∠是二面角D VC B --的平面角，且二面角D VC B -- 的余弦值为31-．……… 14分20、解：（1）依题意可设椭圆方程为 )1(1222>=+a y ax ，则右焦点)0,1(2-a F由题设条件：322212=+-a 解得：32=a故 所求椭圆的标准方程为：1322=+y x .……… 5分 （2）设P 为弦MN 的中点，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x m kx y 得： 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k ……… 7分由于直线与椭圆有两个交点， ,0>∆∴即 1322+<k m ① …… 8分13322+-=+=∴k m kx x x N M p 从而 132+=+=k m m kx y p p mkk m x y k pp Ap 31312++-=+=∴ ……… 10分 又 MN AP AN AM ⊥∴=,则： km k k m 13132-=++-即： 1322+=k m ② ……… 12分 把②代入①得：22m m > 解得： 20<<m由②得：03122>-=m k 解得：21>m 故所求实数m 的取范围是)2,21( ……… 14分。
2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--第1课时椭圆的简单几何性质及其应用
2.2.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质及其应用基础过关练题组一 椭圆的性质及应用1.焦点在x 轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )A.x 24+y 23=1B.x 24+y 2=1 C.y 24+x 23=1 D.x 2+y24=1 2.过椭圆x 24+y 23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A.8,6B.4,3C.2,√3D.4,2√3 3.(2019陕西宝鸡高二上学期期末)把椭圆x 225+y 216=1的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P 1,P 2,…,P 7,F 是左焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|等于( ) A.21 B.28 C.35 D.424.设AB 是椭圆的长轴,点C 在椭圆上,且∠CBA=π4,若AB=4,BC=√2,则椭圆的两个焦点之间的距离为 .题组二 与椭圆离心率有关的问题5.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好是一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.√33D.√226.已知焦点在y 轴上的椭圆mx 2+y 2=1的离心率为√32,则m 的值为( )A.1B.2C.3D.4 7.已知焦点在x轴上的椭圆方程为x 2a2+y 2=1(a>0),过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A,B 两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为( ) A.√32B.12C.√154D.√338.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F 1,右顶点为A,点B 在椭圆上,且BF 1⊥x 轴,直线AB 与y 轴交于点P,其中AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则椭圆的离心率为 .题组三 与椭圆有关的范围问题 9.若点O 和点F分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 10.已知F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的两个焦点,若椭圆上存在一点P,使得∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A.[√22,1) B.(0,√22)C.[12,1) D.[12,√22) 11.已知点P 为椭圆x 2+2y 2=98上的一个动点,点A 的坐标为(0,5),则|PA|的最小值为 .12.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率e=√22,连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4√2. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设A,B 是直线l:x=2√2上的不同两点,若AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求|AB|的最小值.能力提升练一、选择题1.(2019辽宁抚顺六校期末联考,★★☆)已知椭圆x 2+y 2b 2+1=1(b>0)的离心率为√1010,则b 等于( )A.3B.13C.910D.3√10102.(2019山西大同高三开学考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为√22,过F 1的直线l交C 于A,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么椭圆C 的方程为( )A.x 236+y 218=1B.x 216+y 210=1 C.x 24+y 22=1 D.x 216+y 28=1 3.(2020重庆沙坪坝高二期末,★★☆)已知F 是椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点,经过原点的直线l 与椭圆E 交于P,Q 两点,若|PF|=2|QF|,且∠PFQ=120°,则椭圆E 的离心率为( ) A.√33 B.12C.13D.√224.(2019黑龙江大庆四中高二上学期期中,★★★)已知点P(x,y)(x≠0,y≠0)是椭圆x 216+y 28=1上的一个动点,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,O 是坐标原点,若M 是∠F 1PF 2的平分线上的一点,且F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为( ) A.[0,3) B.(0,2√2) C.[2√2,3) D.[0,4]二、填空题5.(2019皖西南联盟高二期末联考,★★☆)阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为35,面积为20π,则椭圆C的标准方程为.6.(2019河北石家庄二中高二月考,★★☆)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0),点P是椭圆上且在第一象限的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线,垂足为A,若|OA|=2b,则椭圆的离心率为.三、解答题7.(2019河北张家口高三开学考试,★★☆)设F1,F2分别是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上且在第一象限内的一点,且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b的值.8.(★★★)如图,F1,F2分别是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,AF1=F1F2.(1)求椭圆C的离心率;(2)已知△AF1B的面积为40√3,求a,b的值.答案全解全析 基础过关练1.A 依题意得a=2,a+c=3,故c=1,b=√22-12=√3,故所求椭圆的标准方程是x 24+y 23=1.2.B 过椭圆焦点的最长弦为长轴,其长度为4,最短弦为垂直于长轴的弦.易知c=1,将x=1代入x 24+y 23=1,得124+y 23=1,解得y 2=94,即y=±32,所以最短弦的长为2×32=3.故选B.3.C 设椭圆的右焦点为F',则由椭圆的定义得|P 1F|+|P 1F'|=10,由椭圆的对称性,知|P 1F'|=|P 7F|,∴|P 1F|+|P 7F|=10.同理,|P 2F|+|P 6F|=10,|P 3F|+|P 5F|=10.又|P 4F|=5,∴|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|=35. 4.答案4√63解析 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),由题意知2a=4,∴a=2. ∵∠CBA=π4,BC=√2,∴不妨设点C 的坐标为(-1,1). ∵点C 在椭圆上,∴14+1b 2=1,∴b 2=43,∴c 2=a 2-b 2=4-43=83,c=2√63,则椭圆的两个焦点之间的距离为4√63. 5.D 依题意得椭圆的焦距和短轴长相等,故b=c,∴a 2-c 2=c 2,∴e=√22. 6.D 将椭圆的方程化为标准形式为y 2+x 21m=1,由题意得a 2=1,b 2=1m ,∴c 2=a 2-b 2=1-1m ,∴离心率e=ca =√1-1m =√32,∴m=4.7.A 易知椭圆的焦点坐标为(±√a 2-1,0),∵|AB|=1,∴当x=±√a 2-1时,y=±12.不妨设A (√a 2-1,12),则a 2-1a 2+14=1,解得a=2,∴椭圆的离心率为e=√a 2-1a=√32.故选A.8.答案 12解析 如图,易知△ABF 1∽△APO, 则|AP ||AB |=|AO ||AF 1|,即23=aa+c ,所以a=2c,所以e=c a =12.9.C 由题意得F(-1,0),设点P(x 0,y 0),则y 02=3(1-x 024)(-2≤x 0≤2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+y 02=x 02+x 0+y 02=x 02+x 0+3(1-x 024)=14(x 0+2)2+2,当x 0=2时,OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值,最大值为6. 10. C 在△PF 1F 2中,设|PF 1|=m,|PF 2|=n,则m+n=2a,根据余弦定理,得(2c)2=m 2+n 2-2mncos 60°,整理得(m+n)2-3mn=4c 2,所以3mn=4a 2-4c 2, 所以4a 2-4c 2=3mn≤3(m+n 2)2=3a 2(当且仅当m=n 时,等号成立),即a 2≤4c 2,故e 2=c 2a 2≥14,又0<e<1, 所以12≤e<1.11.答案 2解析 设P(x,y),则|PA|=√x 2+(y -5)2=√x 2+y 2-10y +25. 因为点P 为椭圆x 2+2y 2=98上的一点,所以x 2=98-2y 2,-7≤y≤7,则|PA|=√98-2y 2+y 2-10y +25 =√-(y +5)2+148, 因为-7≤y≤7,所以当y=7时,|PA|min =2. 12.解析 (1)由题意得{ e =c a =√22,a 2=b 2+c 2,12×2a ×2b =4√2,解得{a =2,b =√2,c =√2.所以椭圆的标准方程为x 24+y 22=1.(2)由(1)知,F 1(-√2,0),F 2(√2,0),设直线l:x=2√2上的不同两点A,B 的坐标分别为(2√2,y 1),(2√2,y 2),则AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3√2,-y 1),BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-y 2),由AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得y 1y 2+6=0, 即y 2=-6y 1,不妨设y 1>0,则|AB|=|y 1-y 2|=y 1+6y 1≥2√6,当且仅当y 1=√6,y 2=-√6时等号成立,所以|AB|的最小值是2√6.能力提升练一、选择题1.B 易知b 2+1>1,由题意得(b 2+1)-1b 2+1=b 2b 2+1=110,解得b=13或b=-13(舍去),故选B.2.D 由△ABF 2的周长为16,得|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|=16,根据椭圆的性质,得4a=16,即a=4.又椭圆的离心率为√22,即c a =√22,所以c=2√2,b 2=a 2-c 2=8,则椭圆C 的方程为x 216+y 28=1.3.A 如图,设椭圆的右焦点为F',连接PF',QF',根据椭圆的对称性知,线段FF'与线段PQ 在点O 处互相平分,所以四边形PFQF'为平行四边形,∴|FQ|=|PF'|,∠FPF'=60°.根据椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a,又|PF|=2|QF|,∴|PF'|=23a,|PF|=43a,而|FF'|=2c.在△F'PF 中,由余弦定理,得(2c)2=(23a)2+(43a)2-2×23a×43a×cos 60°,即c 2a2=13,∴椭圆的离心率e=c a =√33.4.B 如图,延长PF 2,F 1M 交于点N,则△PF 1N 为等腰三角形,M 为F 1N 的中点,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12(|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)=12·||PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||.由图可知,当P 在短轴端点时,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值,此时|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0,当P 在长轴端点时,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最大值,此时|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2,但点P 不能在坐标轴上,所以|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为(0,2√2).二、填空题 5.答案y 225+x 216=1解析 设椭圆C 的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0),则椭圆C 的面积为S=πab=20π,又e=√1-b 2a 2=35,解得a 2=25,b 2=16.所以椭圆C 的标准方程为y 225+x 216=1.6.答案√32解析 如图,延长F 2A 交F 1P 的延长线于点M.由题意可知|PM|=|PF 2|,由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a, 则|PF 1|+|PM|=|MF 1|=2a. 易知OA 是△F 1F 2M 的中位线, ∴|OA|=12|MF 1|=a. 又|OA|=2b,∴2b=a,则a 2=4b 2=4(a 2-c 2), 即c 2=34a 2,∴e 2=34,又e∈(0,1),∴e=√32.三、解答题 7.解析 (1)根据c=√a 2-b 2及题设知M (c ,b 2a ),由k MN =k MF 1=34,得b 2a-0c -(-c )=34,即2b 2=3ac.将b 2=a 2-c 2代入,得2c 2+3ac-2a 2=0,即2e 2+3e-2=0,解得e=12或e=-2(舍去).故C 的离心率为12.(2)由题意知,原点O 为F 1F 2的中点,MF 2∥y 轴,设直线MF 1与y 轴的交点为D,则D(0,2)是线段MF 1的中点,故b 2a =4,即b 2=4a.①由|MN|=5|F 1N|,得|DF 1|=2|F 1N|, 则F 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .设N(x 1,y 1),由题意知y 1<0,则{2(-c -x 1)=c ,-2y 1=2,即{x 1=-32c ,y 1=-1, 代入C 的方程,得9c 24a 2+1b 2=1.② 由①②及a 2=b 2+c 2得9(a 2-4a )4a 2+14a =1,解得a=7,则b=√4a =2√7. 8.解析 (1)∵AF 1=F 1F 2, ∴a=2c,∴e=c a =12.(2)设|BF 2|=m,则|BF 1|=2a-m.∵AF 1=F 1F 2=AF 2,∴△AF 1F 2是等边三角形, ∴∠F 1F 2B=180°-∠F 1F 2A=180°-60°=120°.在△BF 1F 2中,|BF 1|2=|BF 2|2+|F 1F 2|2-2|BF 2||F 1F 2|cos∠F 1F 2B,即(2a-m)2=m 2+a 2-2am×(-12), ∴m=35a. ∵△AF 1B 的面积S=12|BA||F 1A|sin 60° =12×(a +35a)×a×√32=40√3,∴a=10,∴c=5,b=5√3.。
期末检测：选修2(1)试卷2
高二年级理科第一学期期末复习测试一、选择题1.以下命题：①直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．O B．1 C．2 D．32. 如图是由一些相同的小正方体构成的主体图形的三种视图，构成这个立体图形的小正方体的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．63. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A. B. C. D.4.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则（）A．B．C．D．5. 若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是( )A．[] B．[]C．[D．6. 设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（）A．9 B．6 C．4D．37. 设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8. 已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．9. 设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）A. B.C. D.10. 设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若＝－4，则点A的坐标是（）A．（2，±2） B. (1，±2) C.（1，2） D.(2，2)．11. 直线l经过A（2，1）、B（1，m2）(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（）A 、),0[πB 、),43[]4,0[πππ⋃C 、]4,0[πD 、),2(]4,0[πππ⋃ 12.设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为 ( ) A ．21B ．1C ．2D ．不确定二、填空题13. 一条直线过点P （3，2）且与轴、轴的正半轴分别交于A 、B 两点，则当面积最小时，直线方程为____________； 14. 点是直线上一点，直线外有一点，则方程表示的图形为____________；15. 已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是________16. 如图，是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段围成图形面积的取值范围是____________17. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是___________；18.已知抛物线22(0)y px p =>，过定点(,0)p 作两条互相垂直的直线12,l l ，若1l 与抛物线交于点,P Q ，2l 与抛物线交于,M N 点，1l 的斜率为k .某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为2(,)p p p k k+，请写出弦MN 的中点坐标 ． 三、解答题19.如图所示，已知直线01243:=-+y x l 与y x ,轴的正半轴分别交于B A ,两点，直线1l 和OA AB ,分别交于,,D C 且平分△AOB 的面积，求CD 的最小值.20.已知A ，O 是原点，点P （x, y）的坐标满足0,20,0.y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩(1)求||OA OPOA的最大值.； (2)求||OA OPz OP = 的取值范围.21. 在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程； （2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围22．已知点)5,0(-是中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的一个顶点，离心率为66 ， 椭圆的左右焦点分别为F 1和F 2 。
高中数学人教A版选修2-1_2-2__2-3综合测试(含答案)高二数学理科
高二下学期数学期末考试试卷(理)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1.在某项测量中，测量结果X 服从正态分布)0)(,1(2>σσN ，若X 在)2,0(内取值的概率为8.0，则X 在),0[+∞内取值的概率为A ．9.0B ．8.0C ．3.0D ．1.0 2.曲线x y sin =与x 轴在区间]2,0[π上所围成阴影部分的面积为 A ． 4- B ．2- C ．2 D ．4 3. 若复数z 满足 (1)i z i +⋅=，则z 的虚部为 A ． 2i -B ．12C ．2iD ． 12- 4.用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设.否定“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”时正确的反设为A ．自然数c b a ,,都是奇数B ．自然数c b a ,,都是偶数C ．自然数c b a ,, 中至少有两个偶数D ．自然数 c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数 5.已知在一次试验中，()0.7P A =，那么在4次独立重复试验中，事件A 恰好在前两次发生的概率是A ．0441.0B ．2646.0C ．1323.0D ．0882.06.某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：度）与气温x （单位：c ︒）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：x (单位：c ︒) 17 14 10 1- y (单位：度)24 343864由表中数据得线性回归方程：a x y +-=∧2.当气温为c ︒20时，预测用电量约为 A.20 B. 16 C.10 D.57.从6,5,4,3,2,1这六个数字中,任取三个组成无重复数字的三位数,但当三个数字中有2 和3时,2必须排在3前面(不一定相邻),这样的三位数有 A.108个 B.102个 C.98个 D.96个8.在吸烟与患肺病这两个事件的统计计算中，下列说法正确的是A.若2χ的观测值为6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误；D.以上三种说法都不正确.9.有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有A.36种B.60种C.72种D.80种10.一个袋子里装有编号为12,,3,2,1 的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回到袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是A ．163B ． 41C ．167D ．4311.若函数x cx x x f +-=232)(有极值点，则实数c 的范围为A ．),23[+∞ B ．),23(+∞ C ．),23[]23,(+∞--∞ D ．),23()23,(+∞--∞ 12.下列给出的命题中：①如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序数组z y x ,,使c z b y a x p ++=.②已知)1,1,1(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(C B A O .则与向量AB 和OC 都垂直的单位向量只有)36,66,66(-=n . ③已知向量OC OB OA ,,可以构成空间向量的一个基底，则向量OA 可以与向量OB OA +和向量OB OA -构成不共面的三个向量.④已知正四面体OABC ,N M ,分别是棱BC OA ,的中点，则MN 与OB 所成的角为4π. 是真命题的序号为A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题的横线上． 13.函数52)(24--=x x x f 在]2,1[-上的最小值为_____________________.14.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知0,01514><S S ，则=n _____时此数列的前n 项和取得最小值．15.已知长方体1111D C B A ABCD -中，E AD AA AB ,2,11===为侧面1AB 的中心，F为11D A 的中点，则=⋅1FC EF ．16.在数列}{n a 中，2,121==a a 且)()1(12*+∈-+=-N n a a n n n ,则=50S ．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知n x x )2(32+的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比是2:7. （Ⅰ）求展开式中含211x 项的系数； （Ⅱ）求展开式中系数最大的项.18.（本小题满分12分）为培养高中生综合实践能力和团队合作意识，某市教育部门主办了全市高中生综合实践知识与技能竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的团队按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，共选拔出甲、乙等六个优秀团队参加决赛. （Ⅰ）求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在第六位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的团队数记为X ，求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）观察下列等式11= 第一个式子 9432=++ 第二个式子 2576543=++++ 第三个式子 4910987654=++++++ 第四个式子照此规律下去（Ⅰ）写出第6个等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想.20. 已知点B （2，0），)22,0(=OA ，O 为坐标原点，动点P 满足34=++．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）当m 为何值时，直线l ：m x y +=3与轨迹C 相交于不同的两点M 、N ，且满足BN BM =？（Ⅲ）是否存在直线l ：)0(≠+=k m kx y 与轨迹C 相交于不同的两点M 、N ，且满足BN BM =若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D - 的底面ABCD 是平行四边形，45DAB ∠=，12AA AB ==，AD =，点E 是 11C D 的中点，点F 在11B C 上且112B F FC =.（Ⅰ）证明：1AC ⊥平面EFC ；（Ⅱ）求锐二面角E FC A --平面角的余弦值．22.（本小题满分14分）已知函数)1()(2+-+=a ax x e x f x，其中a 是常数.(Ⅰ) 当1=a 时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在定义域内是单调递增函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程k e x f x+=)(在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.ABCC 1ED 1A 1DFB 1高二下学期数学期末考试试卷(理)参考答案一.选择题： 每小题5分共60分 DD AACCA ADBDA ,, 二.填空题：13. 6- 14. 7 15.2116. 675 三：17解：（Ⅰ）解由题意知4272n n C C = ，整理得42(2)(3)n n =--，解得9n =… 2分∴ 通项公式为6279912r rr r xC T +-+⋅= 4分 令211627=+r ，解得6=r . ∴展开式中含211x 项的系数为67226969=⋅-C . ……………6分 （Ⅱ）设第1+r 项的系数最大，则有⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅-+----r r r r r r r r C C C C 819991019992222 ……………8分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤∴37310r r ，390=∴≤≤∈r r N r 且 . ……………10分 ∴展开式中系数最大的项为55639453762x x C T =⋅=. ……………12分18（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A ， 1分则1072)(66445566=+-=A A A A A P …………3分 所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为107. …………4分（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为4,3,2,1,0 …………………5分31)0(665522===A A A X P ， 154)1(66442214===A A A C X P 51)2(6633222224===A A A A C X P ,152)3(6633222234===A A A A C X P 151)4(664422===A A A X P ， (每个式子1分)…………………………10分随机变量X 的分布列为：因为 31541535215130=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX ，所以随机变量X 的数学期望为34. ……………………12分19.解：（Ⅰ）第6个等式21116876=++++ …………2分（Ⅱ）猜测第n 个等式为2)12()23()2()1(-=-+++++n n n n n …………4分 证明：（1）当1=n 时显然成立； （2）假设),1(+∈≥=N k k k n 时也成立，即有2)12()23()2()1(-=-+++++k k k k k …………6分 那么当1+=k n 时左边)13()3()13()23()2()1(+++-+-++++=k k k k k k2222]1)1(2[)12(8144)13()3()12()12(133)12()23()2()1(-+=+=++-=+++-+-=+++-+-++++++=k k k k k k k k k k k k k k k k而右边2]1)1(2[-+=k这就是说1+=k n 时等式也成立. …………10分 根据（1）（2）知，等式对任何+∈N n 都成立. …………12分20解：（Ⅰ）设点),(y x P ，则)22,(+=+y x OA OP ，)22,(-=-y x OA OP ． 由题设得34)22()22(2222=-++++y x y x ．………（3分）即点P 到两定点（0，22）、（0，－22）的距离之和为定值34，故轨迹C 是以（0，22±）为焦点，长轴长为34的椭圆，其方程为112422=+y x ．……（6分） （Ⅱ）设点M ),(11y x 、N ),(22y x ，线段MN 的中点为),(000y x M ，由BN BM =得0BM 垂直平分MN ． 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=.123,322y x m x y 消去y 得01232622=-++m mx x ．由0)12(24)32(22>--=∆m m 得6262<<-m ．………（10分）∴322210m x x x -=+=，2)32(30m m m y =+-=．即)2,32(0mm M -．由0BM ⊥MN 得1323220-=⋅--=⋅m m k k MN BM ．故32=m 为所求．（14分） （Ⅲ）若存在直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ),(11y x 、N ),(22y x ，且满足BN BM =，令线段MN 的中点为),(000y x M ，则0BM 垂直平分MN ．联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.123,12322222121y x y x 两式相减得))(())((321212121y y y y x x x x -+-=-+．∴k y x y y x x x x y y k MN =-=++-=--=021*******)(3． 又由0BM ⊥MN 得k x y k BM 12000-=-=．∴10-=x ，k y 30=．即)3,1(0kM -．又点0M 在椭圆C 的内部，故1232020<+y x ．即12)3()1(322<+-⋅k．解得1>k .又点)3,1(0kM -在直线l 上，∴m k k +-=3．∴3233≥+=+=k k k k m （当且仅当3=k 时取等号）．故存在直线l 满足题设条件，此时m 的取值范围为），∞+⋃--∞32[]32,(．21（本小题满分12分）解:（Ⅰ）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -．则依题意,可得以下各点的坐标分别为1(0,0,0),(4,20)(4,2,2),(32,2),A C C E ，，，10(,2)3F 4，3． ………………3分∴ 112(42,2)(,0),(1,0,2),33AC EF EC ==-=-，，，∴ 112(42,2)(,0)0.33AC EF ⋅==⋅-=，， 1(42,2)(1,0,2)0AC EC ⋅==⋅-=，∴1AC EF ⊥，1AC EC ⊥．又EFC EC EF 平面⊆,∴ 1AC ⊥平面EFC ． ………………6分（Ⅱ）设向量),,(z y x n =是平面AFC 的法向量，则 AF n AC n ⊥⊥,，而)2,34,310(),0,2,4(==AF AC ∴ 0234310,024=++=+z y x y x ，1A令1=x 得)31,2,1(--=n ． ………………9分 又∵1AC 是平面EFC 的法向量，∴ 13869441691413244||||,cos 111-=++⋅++--=⋅>=<AC n AC n ．… 11分 所以锐二面角E FC A --平面角的余弦值为13869．………………12分 22.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由)1()(2+-+=a ax x e x f x 可得 ]1)2([)(2+++='x a x e x f x.…2分 当1a =时,e f e f 5)1(,2)1(='=所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为)1(52-=-x e e y 即035=--e y ex ……………………………4分 （Ⅱ） 由(Ⅰ)知]1)2([)(2+++='x a x e x f x，若)(x f 是单调递增函数，则0)(≥'x f 恒成立， ……………………5分即01)2(2≥+++x a x 恒成立，∴04)2(2≤-+=∆a ，04≤≤-a ，所以a 的取值范围为]0,4[-. ………………………7分（Ⅲ）令)()()(2a ax x e e x f x g x x -+=-=，则关于x 的方程k x g =)(在[0,)+∞上有两个不相等的实数根.令0))2(()(2=++='x a x e x g x，解得(2)x a =-+或0x =.……………9分 当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，0)(≥'x g ，所以)(x g 是[0,)+∞上的增函数.所以 方程k x g =)(在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根.…………10分当(2)0a -+>，即2a <-时，)(),(x g x g '随x 的变化情况如下表由上表可知函数)(x g 在[0,)+∞上的最小值为2))2((+=+-a e a g . …………12分 因为 函数)(x g 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数， 且当+∞→x 时，+∞→)(x g所以要使方程k x g =)(即k e x f x+=)(在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是],4(2a ea a -++.…………14分。
2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--2.1.1 曲线与方程
第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程*2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程基础过关练题组一曲线与方程的概念1.已知曲线C的方程为x3+x+y-1=0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,0)B.(-1,3)C.(1,1)D.(-1,1)2.(2018天津耀华中学高二上学期月考)直线x-y=0与曲线xy=1的交点坐标是( )A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,1),(-1,-1)D.(0,0)3.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为( )A.π3 B.5π3C.π3或5π3D.π3或π64.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2√x”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件题组二 方程的曲线5.方程4x 2-y 2+6x-3y=0表示的图形是( ) A.直线2x-y=0 B.直线2x+y+3=0C.直线2x-y=0和直线2x+y+3=0D.直线2x+y=0和直线2x-y+3=06.下列四个选项中,方程与曲线相符合的是( )7.方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成图形的面积为 .题组三 求曲线的方程8.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则点P 的轨迹方程是( )A.(x-1)2+y 2=2B.(x-1)2+y 2=4C.y 2=2xD.y 2=-2x9.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A(1,0),B(2,2).若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),其中t∈R ,则点C 的轨迹方程为 .10.(2018湖南岳阳一中高二上学期期末)已知M 为直线l:2x-y+3=0上的一动点,A(4,2)为一定点,点P 在直线AM 上运动,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹方程.11.已知△ABC 中,AB=2,AC=√2BC. (1)求点C 的轨迹方程; (2)求△ABC 的面积的最大值.能力提升练一、选择题1.(2018海南海口一中高二上学期月考,★★☆)方程xy 2+x 2y=1所表示的曲线( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点中心对称D.关于直线y=x 对称 2.(2020鄂东南九校高二期中联考,★★☆)方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示的曲线为( ) A.一条线段和半个圆 B.一条线段和一个圆 C.一条直线和半个圆 D.两条线段3.(2020北京朝阳高三期末,★★☆)笛卡儿、牛顿都研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法:①该曲线关于y 轴对称;②该曲线关于原点对称;③该曲线不经过第三象限;④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是( ) A.②③ B.①④ C.③ D.③④4.(2019江西南昌高三开学摸底考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P 满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则动点P 的轨迹方程是( )A.y 2=4xB.x 2=4yC.y 2=-4xD.x 2=-4y5.(★★☆)方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线形状是( )6.(2018吉林长春五县期末,★★★)已知定点M(-3,0),N(2,0),若动点P满足|PM|=2|PN|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.100π9 B.142π9C.10π3D.9π二、填空题7.(2020贵州贵阳高二期末,★★☆)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA||MB|=√2,此时阿波罗尼斯圆的方程为.8.(2020北京房山高二期末,★★☆)已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.①请写出曲线W的一条对称轴方程: ;②曲线W上的点的横坐标的取值范围是.三、解答题9.(2019贵州铜仁一中高二入学考试,★★☆)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2∶1,记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点P(5,-4)作曲线C的切线,求切线方程.10.(2019上海七宝中学高二期末,★★★)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.答案全解全析 基础过关练1.B 点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上⇔f(x 0,y 0)=0.经验证知点(-1,3)在曲线C 上.2.C 由{x -y =0,xy =1,得{x =1,y =1或{x =-1,y =-1.故选C.3.C 将点P 的坐标代入方程(x-2)2+y 2=3,得(cos α-2)2+sin 2α=3,解得cos α=12.又0≤α<2π,所以α=π3或5π3.4.B 设M(x 0,y 0),由点M 的坐标满足方程y=-2√x ,得y 0=-2√x 0,∴y 02=4x 0,∴点M 在曲线y 2=4x 上.反之不成立,故选B.5.C ∵4x 2-y 2+6x-3y=(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=(2x-y)(2x+y+3)=0, ∴原方程表示直线2x-y=0和2x+y+3=0.6.D 对于A,点(0,-1)满足方程,但不在曲线上,排除A;对于B,点(1,-1)满足方程,但不在曲线上,排除B;对于C,由于曲线上第三象限的点的横、纵坐标均小于0,不满足方程,排除C.故选D.7.答案 2解析 方程表示的图形是边长为√2的正方形(如图所示),其面积为(√2)2=2.8.A 设圆(x-1)2+y 2=1的圆心为C,半径为r,则C(1,0),r=1,依题意得|PC|2=r 2+|PA|2,即|PC|2=2,所以点P 的轨迹是以C 为圆心,√2为半径的圆,因此点P 的轨迹方程是(x-1)2+y 2=2. 9.答案 y=2x-2解析 设点C(x,y),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y).因为点A(1,0),B(2,2),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1+t,2t),所以{x =t +1,y =2t ,消去t,得点C 的轨迹方程为y=2x-2. 10.解析 设M(x 0,y 0),P(x,y), 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,y-2),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0-x,y 0-y), 由题意可得{x -4=3(x 0-x ),y -2=3(y 0-y ),所以{x 0=4x -43,y 0=4y -23.因为点M(x 0,y 0)在直线2x-y+3=0上, 所以2×4x -43-4y -23+3=0,即8x-4y+3=0,所以点P 的轨迹方程为8x-4y+3=0.11.解析 (1)以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC=√2BC,得(x+1)2+y 2=2[(x-1)2+y 2],即(x-3)2+y 2=8,又在△ABC 中,y≠0,所以点C 的轨迹方程为(x-3)2+y 2=8(y≠0).(2)因为AB=2,所以S △ABC =12×2×|y|=|y|.因为(x-3)2+y 2=8(y≠0), 所以0<|y|≤2√2,所以S △ABC ≤2√2,即△ABC 的面积的最大值为2√2.能力提升练一、选择题1.D 设P(x 0,y 0)是曲线xy 2+x 2y=1上的任意一点,则x 0y 02+x 02y 0=1.设点P 关于直线y=x 的对称点为P',则P'(y 0,x 0),因为y 0x 02+y 02x 0=x 0y 02+x 02y 0=1,所以P'在曲线xy 2+x 2y=1上,故该曲线关于直线y=x 对称.2.A 由方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0得y=√1-x 2(y≥0)或3x-y+1=0,且满足-1≤x≤1,即x 2+y 2=1(y≥0)或3x-y+1=0(-1≤x≤1),∴方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示一条线段和半个圆.3.C 将x=-x 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy,方程改变,故该曲线不关于y 轴对称; 将x=-x,y=-y 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=-xy,方程改变,故该曲线不关于原点对称; 当x<0,y<0时,(x-1)(x-2)(x-3)<0,xy>0,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限;令x=-1,易得y=24,即(-1,24)在曲线上,同理可得(1,0),(2,0),(3,0)也在曲线上,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.4.A 设P(x,y),因为M(-1,2),N(1,0),所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x,2-y),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x,-y),因为|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|1+x|=√(1-x )2+(-y )2, 整理得y 2=4x.5.C 方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C. 6.A 设P(x,y),则由|PM|=2|PN|,得(x+3)2+y 2=4[(x-2)2+y 2],化简,得3x 2+3y 2-22x+7=0, 即(x -113)2+y 2=1009,所以所求图形的面积S=100π9.二、填空题7.答案 x 2+y 2-12x+4=0 解析 设M(x,y),因为|MA ||MB |=√2, 所以√(x+2)2+y 2√(x -2)+y 2=√2,整理得x 2+y 2-12x+4=0.8.答案 ①y=0(或x =52) ②[0,5]解析 ①由W 的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,点(52-x,y)与(52+x,y)也都是曲线上的点,因此直线x=52也是曲线W的一条对称轴.②由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.三、解答题9.解析(1)设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=√(x+1)2+y2,|MB|=√(x-2)2+y2所以√(x+1)2+y2√(x-2)+y2=2,化简得(x-3)2+y2=4.因此,动点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=4.(2)当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x-5=0,圆心C(3,0)到直线x-5=0的距离等于2,此时直线x-5=0与曲线C相切; 当过点P的切线斜率存在时,不妨设斜率为k,则切线方程为y+4=k(x-5),即kx-y-5k-4=0,由圆心到切线的距离等于半径,得√k2+1=2,解得k=-34.所以切线方程为3x+4y+1=0.综上所述,切线方程为x-5=0和3x+4y+1=0.10.解析(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为M(x,y), 因为点B在曲线Γ上,所以x02+y02=1.①因为M为线段AB的中点,所以{x=x0+22,y=y02,则{x0=2x-2,y0=2y,代入①式得(2x-2)2+4y2=1,化简得(x-1)2+y2=14,其中y≥0.则线段AB的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=14(y≥0).(2)如图所示,将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,易知点D(2,2),结合图形可知,点C在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,则问题转化为求原点O到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max=|OD|+1=2√2+1.。
高中数学人教A版选修2-1高二年级期末考试数 学 试 题(理 科).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高二年级期末考试数学 试 题（理 科）注意事项:1．答题前，考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、班级、考号填写在试题和试卷上。
2．请把所有答案做在试卷上，交卷时只交试卷，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分，考试时间120分钟。
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1． 双曲线16x 2－9y 2＝144的离心率为 A ．53 B ．43 C ．34 D ．352．“∃x ∈R ，x 20－x 0＋1≤0”的否定是A ．∃x ∈R ，x 20－x 0＋1＜0 B ．∀x ∈R ，x 20－x 0＋1＜0 C ．∃x ∈R ，x 20－x 0＋1≥0 D ．∀x ∈R ，x 20－x 0＋1＞03．已知直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则实数a ＝ A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．0或－1 4．“x 为无理数”是“x 2为无理数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 5．抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝2，则实数a 的值为 A ．－18 B ． 18C ．8D ．－86．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．24B ．36C ．72D ．1447．设直线2x ＋3y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线的方程是A ．3x －2y －3＝0B ．3x －2y ＋3＝0C ．2x －3y －3＝0D ．2x －3y ＋3＝0 8．下列命题错误的是A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，且α∩β＝l ，那么l ⊥γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 9．在四面体ABCD 中，E 、G ，分别是CD 、BE 的中点，若AG →＝xAB →＋yAD →＋zAC →，则x ＋y ＋z ＝ A ．13 B ．12C ．1D ．210．点M ，N 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1和B 1C 1的中点，则异面直线CM 与DN 所成的角的余弦值为A ．4515B ．515C ．315D ．41511．经过点M (2,1)作直线l 交双曲线x 2－y 22＝1于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为A ．4x ＋y ＋7=0B ．4x ＋y －7=0C ．4x －y －7＝0D ．4x －y ＋7=0 12．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 作直线交抛物线C 于,A B 两点，则AOB ∆的面积S 的最小值为A ． 2B ．2C ． 3D ．3二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上)13．边长为a 的正方体的内切球的表面积为 .24 正视图 侧视图俯视图3 8第6题图ABCDEG第9题图14．已知向量a →=(2,-1,3)，b →=(-4,2,x )，且a →⊥b →，则实数x 的值为________． 15．下列四个命题：①“若xy =0，则x =0且y =0”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题； ③若22,ac bc a b >>则；④“若tan α＝tan β，则α＝β”的逆命题；. 其中真命题为_______________(只写正确命题的序号)．16．椭圆x 225＋y 29＝1上的点到直线4x －5y ＋40＝0的最小距离为____________．三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17．(本题满分10分)已知圆C 的圆心在直线l ：x －2y －1＝0上，并且经过原点和A (2,1)，求圆C 的标准方程．18．(本题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且∠ABC ＝120°，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝2，P A ＝3，（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面P AC ； （Ⅱ）求三棱锥P -BDC 的体积．19．(本题满分12分)已知∆ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(-5,0)，(5,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于m (m ≠0)．（Ⅰ）求点C 的轨迹方程； （Ⅱ）讨论点C 的轨迹的形状．ABCDP第18题图20．(本题满分12分)已知命题p ：指数函数y ＝(1－a )x 是R 上的增函数，命题q ：不等式ax 2＋2x －1＞0有解．若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数a 的取值范围.21．(本题满分12分)在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，点E 是PC 的中点．（Ⅰ）求证：PA ∥平面EBD ；（Ⅲ）求二面角E -BD -P 的余弦值．22．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的左、右焦点分别是21F F 、，点M 为椭圆上的一个动点，12MF F ∆面积的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）P 为椭圆上一点，PF 1与y 轴相交于Q ，且F 1P →＝2F 1Q →．若PF 1与椭圆相交于另一点R ，求∆PRF 2的面积．ADBCEP第21题图2015-2016年度孝义市第一学期期末高二理科数学参考答案及评分标准一．选择题(每小题5分，共60分)ADDBAC ADCACB二．填空题(每小题5分，共20分)13．πa 214．10315．③16．154141三．解答题(本大题共6小题，共70分)17．解：O (0,0)和A(2,1)的中点坐标为(1, 12),线段OA 的垂直平分线的斜率为k=－2， ………3分 所以，线段OA 的垂直平分线的方程为：522y x =-+. ………5分由5202210x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪--=⎩ 得圆心坐标C 为61,510⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以，半径222920r AC ==.………8分 因此，圆C 的标准方程为22612951020x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ………10分18．(Ⅰ)证:∵BD ⊥AC ，BD ⊥P A ，P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ．又BD ⊂平面PBD 内，∴平面PBD ⊥平面P AC ． ………6分 (Ⅱ)解：13)232221(3131=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PA S V BDC ． ………12分19.解：(Ⅰ)设(,)C x y ，则由题知55y ym x x ⋅=-+， 即221(5)2525x y x m+=≠±-为点C 的轨迹方程. ………4分(Ⅱ)当0m >时，点C 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线；当1m <-时，点C 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆； 当1m =-时，点C 的轨迹为圆心为(0,0)，半径为5的圆；当10m -<<时，点C 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆. ………12分 20．解：命题p 为真命题时,1－a ＞1即a ＜0. ………2分 命题q ：不等式ax 2＋2x －1＞0有解，当a ＞0时，显然有解； 当a ＝0时， 2x －1＞0有解；当a ＜0时，∵ax 2＋2x －1＞0有解， ∴Δ＝4＋4a ＞0 ∴－1＜a ＜0. 从而命题q ：不等式ax 2＋2x －1＞0有解时a ＞－1.又命题q 是假命题，∴a ≤－1. ………10分 ∴p 是真命题 q 是假命题时，a 的取值范围(-∞,-1]． ………12分 21.解：(Ⅰ)法一：以点D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则()()0,0,0,0,0,1,(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)D P A B C ，………2分 ∴110,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,11(1,1,0),(0,,),(1,0,1)22DB DE PA ===-． ………4分设平面EBD 的法向量为1111(,,)n x y z =，可求得1(1,1,1)n =-,∴10n PA ⋅=,∴PA ∥平面EBD ． 即PA ∥平面EBD ．………6分法二：连接AC ，设AC∩BD ＝O ，连接OE ，则OE ∥PA ，∴PA ∥平面EBD . (Ⅱ)设平面PBD 的法向量为2(1,1,0)n AC ==-． ………9分∴126cos ,3n n =-，∴二面角E-BD-P 的平面角的余弦值为63. ………12分 22．解：(Ⅰ)由已知条件：12c e a ==，1232c b bc ⋅⋅==．∴2a =，3,1b c ==．∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．………4分(Ⅱ) 由F 1P →＝2F 1Q →，知Q 为1F P 的中点，所以设Q(0,y),则P(1,2y),又P 满足椭圆的方程，代入求得y=34．∴直线PF 方程为y ＝34(x+1)．由⎩⎨⎧y=34(x+1)x 24＋y 23＝1 得7x 2+6x -13=0, ………8分设P(x 1,y 1)，R(x 2,y 2), 则x 1+x 2=－67，x 1x 2=－137，∴1212627,,728y y y y +==- ∴()2212121211524.27PRF Sc y y c y y y y =⋅⋅-=⋅+-=………12分 说明：各题如有其它解法可参照给分．。
高中数学 第一章 常用逻辑用语章末综合测评(含解析)新人教A版高二选修2-1数学试题
章末综合测评(一) 常用逻辑用语(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句中是命题的为()①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④∀x∈R,5x－3>6．A．①③B．②③C．②④D．③④D[①不能判断真假，②是疑问句，都不是命题；③④是命题．]2．命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是() A．若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等B．若△ABC中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形C．若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形D．若△ABC中任何两个内角相等，则它是等腰三角形C[将原命题的条件否定作为结论，为“△ABC是等腰三角形”，结论否定作为条件，为“有两个内角相等”，再调整语句，即可得到原命题的逆否命题，为“若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形”，故选C．]3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B[根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B．]4．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．]5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立B ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立C ．∀x ∈R ，使得f (x )＞0成立D ．∀x ∈R ，f (x )≤0成立A [“关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于“存在实数x 0，使得f (x 0)＞0成立”．故选A ．]6．若命题(p ∨(q ))为真命题，则p ，q 的真假情况为( )A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假C [由(p ∨(q ))为真命题知，p ∨(q )为假命题，从而p 与q 都是假命题，故p 假q 真．]7．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x ≤1B [因为全称命题∀x ∈M ，p (x )的否定为∃x 0∈M ，p (x )，故p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1．]8．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0＜0．下列选项中为真命题的是( )A ．pB ．p ∨qC ．q ∧pD ．qC [很明显命题p 为真命题，所以p 为假命题；由于函数y ＝2x ，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以q 是真命题．所以p ∨q 为假命题，q ∧p 为真命题，故选C ．]9．条件p ：x ≤1，且p 是q 的充分不必要条件，则q 可以是( )A ．x >1B ．x >0C ．x ≤2D ．－1<x <0B [∵p ：x ≤1，∴p ：x >1，又∵p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q ，q 推不出p ，即p 是q 的真子集．]10．下列各组命题中，满足“p ∨q ”为真，且“p ”为真的是( )A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：在△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；q ：函数y ＝sin x 在第一象限是增函数C ．p ：a ＋b ≥2ab (a ，b ∈R )；q ：不等式|x |>x 的解集为(－∞，0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：过点M (0,1)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切的直线有两条C [A 中，p 、q 均为假命题，故“p ∨q ”为假，排除A ；B 中，由在△ABC 中，cos 2A ＝cos 2B ，得1－2sin 2A ＝1－2sin 2B ，即(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝0，所以A －B ＝0，故p 为真，从而“p ”为假，排除B ；C 中，p 为假，从而“p ”为真，q 为真，从而“p ∨q ”为真；D 中，p 为真，故“p ”为假，排除D ．故选C ．] 11．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值X 围为( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]A [由题意知p ，q 均为假命题，则p ，q 为真命题．p ：∀x ∈R ，mx 2＋1>0，故m ≥0，q ：∃x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0，则Δ＝m 2－4≥0，即m ≤－2或m ≥2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2得m ≥2．故选A ．] 12．设a ，b ∈R ，则“2a ＋2b ＝2a ＋b ”是“a ＋b ≥2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [利用基本不等式，知2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ·2b ，化简得2a ＋b ≥22，所以a ＋b ≥2，故充分性成立；当a ＝0，b ＝2时，a ＋b ＝2,2a ＋2b ＝20＋22＝5,2a ＋b ＝22＝4，即2a ＋2b ≠2a ＋b ，故必要性不成立．故选A ．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．命题“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”的逆否命题是________．若－3≤x ≤2，则x 2＋x －6≤0[“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”即为：“若x 2＋x －6>0，则x <－3或x >2”，根据逆否命题的定义可得：若－3≤x ≤2，则x 2＋x －6≤0．]14．写出命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的否命题为________．若x 2≠4，则x ≠2且x ≠－2 [命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的否命题为“若x 2≠4，则x ≠2且x ≠－2”．]15．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________． (－∞，－1][命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题．则∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0是真命题，∴Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1．∴实数a 的取值X 围是(－∞，－1]．]16．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值X 围是________．[－1,6][p ：－4<x －a <4⇔a －4<x <a ＋4，q ：(x －2)(3－x )>0⇔2<x <3．因为p 是q 的充分条件，即p ⇒q ，所以q 是p 的充分条件，即q ⇒p ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6．] 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．[解]“若p ，则q ”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．(真命题)逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．(真命题) 否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．(真命题)逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．(真命题)18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．(1)q ：所有的矩形都是正方形；(2)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(3)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋3＝0．[解](1)q ：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题． (2)r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)s ：∀x ∈R ，x 3＋3≠0，假命题．这是由于当x ＝－33时，x 3＋3＝0． 19．(本小题满分12分)(1)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件？(2)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件？[解](1)欲使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊆{x |x <－1或x >3}， 则只要－m 2≤－1，即m ≥2， 故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊇{x |x <－1或x >3}， 则这是不可能的，故不存在实数m 使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件．20．(本小题满分12分)已知p ：x 2－8x －33>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0(a >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值X 围．[解]解不等式x 2－8x －33>0，得p ：A ＝{x |x >11或x <－3}；解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0，得q ：B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q 但q p ，说明A B ．于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤11，1－a >－3或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a <11，1－a ≥－3，解得0<a ≤4，所以正实数a 的取值X 围是(0,4]．21．(本小题满分12分)证明：函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a ＝1． [证明](充分性)若a ＝1，则函数化为f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )．因为f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝12x－112x ＋1＝1－2x 1＋2x＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数． (必要性)若函数f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，所以a ·2－x ＋a －22－x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1， 所以a ＋(a －2)·2x 2x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1， 所以a ＋(a －2)·2x ＝－a ·2x －a ＋2，所以2(a －1)(2x ＋1)＝0，解得a ＝1．综上所述，函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a ＝1． 22．(本小题满分12分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R ．若p ∨q 为真，q 为假，某某数m 的取值X 围．[解]由方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根，得Δ＝m 2－4>0，解得m >2或m <－2． ∴命题p 为真时，m >2或m <－2；命题p 为假时，－2≤m ≤2．由不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R ，得方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0的根的判别式Δ′＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3．∴命题q 为真时，1<m <3；命题q 为假时，m ≤1或m ≥3．∵p ∨q 为真，q 为假，∴p 真q 假，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >2或m <－2，m ≤1或m ≥3，解得m <－2或m ≥3． ∴实数m 的取值X 围为(－∞，－2)∪[3，＋∞)．。
高中数学人教A版选修2-1理科期末答案.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2009-2010惠州一中高二年级第一学期期末考试理科数学答题卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题：（本大题共6小题，满分30分）9、 1211 10、 30 11、 125 12、 3 13、 (－４，０) 14、 )0(14322≠=+x y x三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15． (本题满分12分)解：(1) ∵,a b 取值的情况如表：即基本事件总数为16----------------------3分 设“方程()0f x =恰有两个不相等的实根”为事件A 则A 发生应满足条件2400b ac a ∆=->≠且即0b a a >≠且，即（1，2），（1，3），（2，3）即A 包含基本事件数为3, ……5分 ∴方程()0f x =恰有两个不相等实根的概率163)(=A P ----------------------6分 (2)∵b 从区间[0,2]中任取一个数，a 从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域}20,30),({≤≤≤≤b a b a 如图，其面积236S Ω=⨯=-------------9分设“方程()0f x =没有实根”为事件B,则事件B 所构成的区域为题号 12345678答案BACAACDCa b 0 1 2 3 0 00 01 02 03 1 10 11 12 13 2 20 21 22 23 330313233___姓名_______________________考号___________________试室号____________________座位号________________线——————内——————不——————要——————答——————题———————————————————3a=ba},20,30),({b a b a b a >≤≤≤≤ 如图中阴影部分，其面积M S =162242-⨯⨯=--------------------------11分42()63M S P B S Ω===--------------------12分 16. (本题满分12分)解：（1）∵)sin 31,1(A m -=,)1,(cos A n =，m ⊥ n∴m ·n =0sin 31cos =-+A A …………… 2分,即1)cos 21sin 23(2=-A A ,21)6sin(=-πA , …………… 4分 ∴66A k πππ-=+即3A k ππ=+∵()0,A π∈ ∴3A π=……………………… 6分(2)a c b 3=+,由正弦定理知：CcB b A a sin sin sin == 则A C B sin 3sin sin =+， ……………………… 8分由（1）知：3π=A ，∴sin sin()3sin33B B πππ+--=，3cos 3sin 3=+B B整理得：23cos 21sin 23=+B B …………………… 10分 即 23)6sin(=+πB …………………… 12分 17.（1）证明：建立空间直角坐标系如图，由已知得：A （2，0，0）)0,4,0(),0,4,2(11B A ，E （1，4，0），C （0，0，2），)2,4,0(1C …………….2分 ∵M 为线段的动点1CC ，N 为AM 的中点，设M 为（0，m y ，2），则N 为（1，2my ，1），(0,4,1)2m y NE =-- ∵1,BA BB BA BC ⊥⊥∴1BA BB C ⊥面 ∴(2,0,0)BA =为1BB C 面的法向量XYZ而E N ·(2,0,0)(0,4,1)02m y BA =⋅--=。
人教A版高中数学选修1上学期高二期末考试.docx
湖北省武汉市部分重点中学2012-2013学年度上学期高二期末考试数 学 试 卷 （文）命题人：武汉四十九中 唐宗保 审题人：武汉中学 王玉珍 全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数12z i=+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．“2<a ”是“022<-a a ”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3． 如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一焦点2F 的距离是 A. 14 B. 16 C.4 D 64．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是 A ．能被3整除的整数，一定能被6整除 B ．不能被3整除的整数，一定不能被6整除 C ．不能被6整除的整数，一定不能被3整除 D ．不能被6整除的整数，不一定能被3整除5． 已知ABC ∆中， 30=∠A ， 60=∠B ，求证b a <．证明：B A B A ∠<∠∴=∠=∠,60,30 ，b a <∴，画线部分是演绎推理的A ．大前提B ．结论C ．小前提D ．三段论 6．有如下四个命题：①命题“若2320x x -+=，则1x =“的逆否命题为“若21,320x x x ≠-+≠则” ②若命题2:R,10p x x x ∃∈++=，则10p x R x x ⌝∀∈++≠2为:,③若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题 ④“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件其中错误．．命题的个数是 A ．0个 B. 1个 C.2个 D.3个7．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m106115124103则哪位同学的试验结果体现A 、B 两变量有更强的线性相关性 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 8．设x y R ∈、则“x ≥2且y ≥2”是“22x y +≥4”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.即不充分也不必要条件9．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为c b a ,,，则三角形的面积为)(21c b a r s ++=，根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ，则这个四面体的体积为A.)(614321S S S S R v +++=B.)(414321S S S S R v +++= C.)(314321S S S S R v +++= D.)(214321S S S S R v +++=10.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，,M N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM PN 、的斜率分别为12k k 、，若1214k k =，则椭圆的离心率为A.12B. 22C. 32 D ．23第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共7小题，每小题5分，共35分.11．z 1＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数．则实数m 的值 。
人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：34【基础】空间向量的直角坐标运算
空间向量的直角坐标运算【学习目标】1.理解空间向量的基本定理，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的坐标运算、夹角公式、距离公式。
3.能通过坐标运算判断向量的共线与垂直. 【要点梳理】要点一、空间向量的基本定理 1. 空间向量的基本定理： 如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使p=xa+yb+zc ．2．基底、基向量概念：由空间向量的基本定理知，若三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc ，x 、y 、z ∈R}，这个集合可看做是由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{a 、b 、c}称为空间的一个基底．a 、b 、c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． 要点诠释：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（2）由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．要点二、空间向量的坐标表示 （1）单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，常用表示； （2）空间直角坐标系在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量。
通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；（3）空间直角坐标系中的坐标给定一个空间直角坐标系和向量a ，其坐标向量为i ，j ，k ，若a=a 1i+a 2j+a 3k ，则有序数组（a 1，a 2，a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作a=（a 1，a 2，a 3）． 在空间直角坐标系Oxyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量，若，则有序数1{,,}i j k O {,,}i j k O ,,i j k x y z O xyz -O ,,i j k xOy yOz zOx OA OA xi yj zk =++xyzOk ji组（x ，y ，z ）叫点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A （x ，y ，z ），其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫点A 的纵坐标，z 叫点A 的竖坐标．写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒．要点诠释：（1）空间任一点P 的坐标的确定． 过P 作面xOy 的垂线，垂足为P ＇，在面xOy 中，过P ＇分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、C ，则x=|P ＇C|，y=|AP ＇|，z=|PP ＇|．如图． （2）空间相等向量的坐标是唯一的；另外，零向量记作。
高中数学人教A版选修2-1高二数学(理科)期末考试题.doc.docx
梅州中学2010－2011学年高二第一学期期末试题理科数学（本试卷满分150分；考试时间120分钟）一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1. 不等式01032>++-x x 的解集为 ( )),5()2,( .+∞--∞ A ),2()5,( .∞--∞ B )2,5( .-C )5,2( .-D2、在ABC ∆中，33,3,120a b A ===︒，则角B 的值为 ( )A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒3、在同一坐标系中，方程2222210(0)x y ax by a b a b+=+=>>与的曲线大致是（ ）4、抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ．1716B ．1516C ．78D ．05、设双曲线焦点在y 轴上，两条渐近线为12y x =±，则该双曲线离心率e =（ ）A ．5B ．52C ．5D ．546、木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的 ( ) A ．60倍 B ．6030倍 C ．120倍 D ．12030倍7. 正四面体P-ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面结论不成立．．．的是( )A ．平面PDF ⊥平面ABCB ．DF ⊥平面PAEC ．BC//平面PDFD ．平面PAE ⊥平面ABC8．若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F 点”，下列曲线中存在“F 点”的是（ ）A ．1151622=+y x B ．1242522=+y x C ．11522=-y x D ．122=-y x二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9. 已知向量(2,4,),(2,,2)a x b y ==,若||6a =,且a b ⊥,则x y += .10.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若246,30,S S ==，则6S = 。
高中数学 学期综合测评(一)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若函数f (x )的导数为－2x 2＋1，则f (x )可以等于( ) A ．－2x 3＋1 B ．x ＋1 C ．－4x D ．－23x 3＋x答案 D解析 选项A 中函数的导数为f ′(x )＝－6x 2；选项B 中函数的导数为f ′(x )＝1；选项C 中函数的导数为f ′(x )＝－4；选项D 中函数的导数为f ′(x )＝－2x 2＋1.故选D.2．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题． 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x |＝| y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则P 是綈Q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }， ∴P ⇒綈Q ，但綈Q ⇒/P ，∴P 是綈Q 的充分不必要条件，选A.4．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 因为全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定綈p 是特称命题：∃x 0∈M ，綈p (x 0)，所以綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，故选C.5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题 答案 C解析 对于命题p ：取x ＝10，则有10－2>lg 10， 即8>1，故命题p 为真命题； 对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1， 此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题， 命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题， 故选C.6．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线C ：x 24－y 212＝1，则下列双曲线中与C 是“相近双曲线”的为( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1C ．y 2－2x 2＝1 D.y 29－x 272＝1 答案 B解析 双曲线C 的离心率为2，对于A ，其离心率为2，不符合题意；对于B ，其离心率为3，符合题意；对于C ，其离心率为62，不符合题意；对于D ，其离心率为3，不符合题意．故选B.7．从双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T .延长F 1T交双曲线右支于P 点，若M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系为( )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |＝b －aC ．|MO |－|MT |<b －aD ．不确定 答案 B解析 ∵F 1T 是圆的切线， ∴OT ⊥TF 1，∵|OF 1|＝c ，|OT |＝a ，∴|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝c 2－a 2＝b . 设接双曲线的右焦点为F 2， 连接PF 2，则|OM |＝12|PF 2|，又∵|F 1M |＝|MP |，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴12|PF 1|－12|PF 2|＝a ， ∴|PM |－|OM |＝a ， ∴b ＋|TM |－|OM |＝a ， ∴|OM |－|TM |＝b －a ，故选B.8．函数y ＝x 2e x的单调递减区间是( ) A ．(－1,2)B ．(－∞，－1)与(1，＋∞)C ．(－∞，－2)与(0，＋∞)D ．(－2,0) 答案 D解析 y ′＝(x 2e x )′＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)．∵e x >0，∴x e x(x ＋2)<0，即－2<x <0，故函数y ＝x 2e x的单调递减区间是(－2,0)．故选D.9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 C解析 因为f (x )在x ＝－2处取得极小值，所以在x ＝－2附近的左侧f ′(x )<0，当x <－2时，xf ′(x )>0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )>0，当－2<x <0时，xf ′(x )<0，故选C.10．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π答案 C解析 设圆柱的高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1，故选C.11．如图，F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 A解析 延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，在等腰三角形APF 1中，|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝12|AF 2|＝a .12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 B解析 ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如右图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |， 又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2， 即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“∃x ∈{正实数}，使x <x ”的否定为________，是________(填“真”或“假”)命题．答案 ∀x ∈{正实数}，使x ≥x 假解析 原命题的否定为“∀x ∈{正实数}，使x ≥x ”，是假命题．14．如图，椭圆的中心在坐标原点，当FB →⊥A B →时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.答案5－12解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧|AB |2＝a 2＋b 2，|BF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝a ＋c ，∵B F →⊥B A →，∴|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，∴(a ＋c )2＝a 2＋b 2＋a 2， ∴c 2＋ac －a 2＝0.∴e 2＋e －1＝0，又0<e <1， ∴e ＝5－12. 15．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1. 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a.又a >12，∴0<1a<2.当f ′(x )>0时，x <1a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递增；当f ′(x )<0时，x >1a，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ·1a＝－1，∴ln 1a＝0，得a ＝1.16．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于________．答案223解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.∴x 1＋x 2＝42－k2k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2， 又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2，代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴42－k2k 2＝5，∴k 2＝89，经检验Δ>0，又∵k >0，∴k ＝223.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，命题p ：A ∩B ＝∅，命题q ：A ⊆C .(1)若命题p 为假命题，某某数a 的取值X 围； (2)若命题p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围． 解 ∵y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}． (1)由命题p 是假命题，可得A ∩B ≠∅，即得a －1≤2，∴a ≤3.(2)∵“p ∧q 为假命题”，则其反面为“p ∧q 为真命题”， ∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ＝∅且A ⊆C ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a －1>2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得a >3.∴实数a 的取值X 围为a ≤3.18．(本小题满分12分)已知命题p ：∃x 0∈[－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，命题q ：∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，若命题p∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围．解 因为∃x 0∈ [－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，所以只需(x 20＋x 0－a ＋1)max ＞0，即3－a ＞0，所以命题p 真时，a ＜3.因为∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，所以t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＋1＞1，t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＞0，即(t －a )[t －(a ＋2)]＞0，对t ∈(0,1)恒成立，只需a ＋2≤0或a ≥1，得a ≤－2或a ≥1， 所以命题q 为真时，a ≤－2或a ≥1.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 两个命题一真一假． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜3，－2＜a ＜1，所以－2＜a ＜1.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ≤－2或a ≥1，所以a ≥3.综上所述：a 的取值X 围是(－2,1)∪[3，＋∞)． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 解 f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1. (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋23>0， ∴f (x )在R 上单调递增．(2)当k <0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴x ＝k3，且过点(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k ＋3)(k －3)≤0， 即－3≤k <0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．∴m ＝f (x )min ＝f (k )＝k ，M ＝f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12>0，即k <－3时，令f ′(x )＝0 得x 1＝k ＋k 2－33，x 2＝k －k 2－33，且k <x 2<x 1<0.∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}．又f (x 1)－f (k )＝x 31－kx 21＋x 1－k ＝(x 1－k )(x 21＋1)>0， ∴m ＝f (k )＝k ，又f (x 2)－f (－k )＝x 32－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]<0， ∴M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上，当k <0时，f (x )的最小值m ＝k ， 最大值M ＝－2k 3－k .20．(本小题满分12分)设椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心及C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：(1)求曲线C 1，C 2(2)设直线l 过抛物线C 2的焦点F ，l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，当OM →·ON →＝0时，求直线l 的方程．解 (1)由题意，可知点(－2,0)是椭圆的左顶点，再根据椭圆上点的横、纵坐标的取值X 围，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22在椭圆上． 设椭圆C 1的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由此可得a ＝2，24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.由点(3，－23)，(4，－4)在抛物线C 2上，知抛物线开口向右． 设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴12＝6p ，∴p ＝2， ∴抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x .(2)由(1)，知F (1,0)．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 2＝1，得l 与椭圆C 1的两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，∴OM →·ON →＝14≠0，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(1＋4k 2)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.∵OM →·ON →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1－1)·k (x 2－1)＝(1＋k 2)·x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(1＋k 2)·4k 2－41＋4k 2－k 2·8k 21＋4k2＋k 2＝0，解得k ＝±2，∴直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值X 围．解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝0，即ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0，得1≤a ≤9，即a 的取值X 围是[1,9]．22．(本小题满分12分)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.word - 11 - / 11。
高中数学人教A版选修2-1高二理科数学尖子班期末试卷.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作西安新东方学校高二理科数学尖子班期末试卷命题人：何超世 审核：徐加启考试范围：必修五、选修2-1 时间：60分钟第I 卷一、选择题(本题共10小题，每题5分，共计50分，请将正确答案填写在答题卡上)1．设x R ∈，则1x =是3x x =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．在△ABC 中，若2=a ,23b =,060B = ,则角A 的大小为（ ） A ．30B ．60C ．30或150D ．60或 1203．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b +≥ D ．22111a b+≤4． 已知0a >，,x y 满足约束条件1,3,(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）A ．14B ．12C ．1D ．25．已知数列{}n a 中，11a =，12(1)n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．2n n B ．12n n - C ．21n n - D ．12nn + 6．已知数列{}n a 是递增数列，且对*N n ∈，都有n n a n λ+=2，则实数λ的取值范围是（ ） A ．),27(+∞- B ．[)+∞,0C ．[)+∞-,2D ．),3(+∞-7．已知数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++ *()n N ∈，则n a =（ ）A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 8．如图8-218，直三棱柱111ABC A B C -中，若∠BAC =90°，AB =AC =1AA ，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．过点(2，-2)且与双曲线1222=-y x 有相同渐近 线的双曲线的方程是( )A ．12422=-y x B ．12422=-x yC ．14222=-y x D ．14222=-x y 10．过抛物线2y ax =(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF与FQ 的长分别为p 、q ，则11p q+等于( )A ．2aB ．12aC ．4aD ．4a二、填空题（本题共4小题，每题5分，共计20分，请将正确答案填写在答题卡上）11．将全体正整数排成一个三角形数阵，如下所示，则第n 行（3n ≥）从左到右的第3个数为__________ 12 34 5 67 8 9 1012．在 ABC ∆中，若12,7,cos 4,a b c B =+==-，则______.b = 13．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ,B 两点，若线段AB 的长为8，则p =_____．14．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点1F ，2F ，若P 为其上一点，且12||2||PF PF =，则此椭圆离心率的取值范围为____________第Ⅱ卷三、解答题（本题共2小题，每题15分，共计30分，请将正确答案及必要的演算过程填写在答题卡上）15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB=1，13AC AA ==，∠ABC=600．(Ⅰ)证明：1AB A C ⊥；（Ⅱ）求二面角A —1A C —B 的余弦值。
高中数学人教A版选修2-1高二月考数学试题
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作温岭中学高二月考数学试题命题：王玉龙 审题：瞿永刚一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分）)161,0.()161,0.()0,161.()0,1.()(4.12---=D C B A x y 的焦点坐标是抛物线既不充分也不必要充分必要条件必要不充分条件充分而不必要条件”的”是“，那么“设集合....)(}0)3(|},31|{.2D C B A N a M a x x x N x x M ∈∈<-=<<-=)0,3.()0,26.()0,25.()0,22.()(,12.322±±±±=-D C B A y x 则它的焦点坐标为双曲线方程为1.2.3.4.)(,023)0(19.4222D C B A a y x a y ax 的值为则的渐近线方程为双曲线=±>=-8.7.5.4.)(41210.522D C B A m y m y m x ==-+-，则轴上，若焦距为，长轴在已知椭圆既不充分也不必要充分必要条件必要不充分条件充分而不必要条件成等比数列的是....)(,,.6D C B A c b a ac b =3.4.41.3.)(134)41,1(.722--=+D C B A l M AB B A y x M l 斜率为的，则直线中点恰好为两点，若、相交于与椭圆过直线125.3.4.6.)(|,|23||4.82ππππD C B A NMF MN NF N M x F x y =∠==则为抛物线上一点，且，轴的交点为，准线与的焦点为已知抛物线 4.3.2.1.)(11,,,.9222121212121D C B A e e PF PF e e F F C C P =+⊥，则若双曲线的离心率为设椭圆的离心率点，分别是它们的左、右焦的一个交点，和双曲线为有公共焦点的椭圆若点034.045.053.043.)(|,|||)0,0(1,.1012212222221=±=±=±=±=>>=-y x D y x C y x B y x A PF F F F PF P b a by a x F F 为该双曲线的渐近线方程的距离等于实轴长，则到直线且满足，曲线上存在点的左、右焦点，若在双分别为双曲线设二、填空题（每小题3分，共计21分）._______2194.112122的距离为到上焦点，则的距离为到下焦点上一点椭圆F A F A y x =+._________________14.1222的离心率是双曲线=-y x.___________________4.132的准线方程为抛物线x y =._______)4(;)3(;)2(;)1(,00:;11,:.14个，其中真命题的个数有：给出下列四个复合命题则若设命题q p q p q p ab baq ba b a p ⌝⌝∧∨<⇔<<> .______________09.152的取值范围是数有两个不等实根，则实若方程b b x x =++-.__________4:3||:||,.,)0(1,.16221222221，则椭圆的离心率为若两点交于与的直线的左右焦点，过点：是椭圆设=⊥>>=+AF AB AF AB B A C l F b a by a x C F F ._________________7||,60)0,0(1,.1721222221方程为，则该双曲线的渐近线满足，存在点的焦点，若在双曲线上是双曲线为坐标原点，设a OP PF F P b a by a x F F O =︒=∠>>=-三、解答题（共5小题，共计49分）.),0(012:,6|4:|7.1822的取值范围分条件，求实数的必要不充是若分）已知（本小题m q p m m x x q x p ⌝⌝>≤-+-≤-.120:)2()1(1)6,3(10.19m ACB B A C m x y l C y x C C ，求两点，若、于交圆直线的方程；求圆相切，且和直线的圆心为分）圆（本小题︒=∠+==--.)2(.)1(,)0,4(4)10.(202若不存在，说明理由的坐标；轴平分？若存在，求出恒被，使得轴上是否存在一定点在求证：两点，，交抛物线于过，直线已知抛物线分本小题M x AMB M x OB OA B A AB x y ∠⊥=FBA MN lxO y为定值求证点，若交于轴两点，与交于中轨迹与设（与坐标轴不垂直），任意作直线过点的方程；的轨迹求点的中点是为的长上的两个动点，线段和分别是直线、分）已知（本小题μλμλ+==-==:,,,)1()0,1()2()1(.,32333310.21NQ RN MQ RM R y N M C l l Q C P AB P AB x y x y B A.)2()1(.4:)()().0,2(),0,1()0(1)12.(222222面积的最大值求上；恒在椭圆求证：点交于点与，直线轴交于点与轴的动弦，直线是垂直于若的方程；求椭圆且过点的一个焦点为：如图，椭圆分本小题AMN C M M BN AF N x x l x AB II C I F b a by a x C ∆=>>=+温岭中学高二月考数学试题参考答案命题：王玉龙 审题：瞿永刚考号__________得分______一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ABCCDBDABD二、填空题11_____4__________12.____25___________13._______1-=x _____. 14._____2__________15.__]3,23(--________16.______35_______. 17._____02=±y x __. 三、解答题.),0(012:,6|4:|7.1822的取值范围分条件，求实数的必要不充是若分）已知（本小题m q p m m x x q x p ⌝⌝>≤-+-≤-⎩⎨⎧≥+≤-≥-⌝⌝+≤≤-≤+---≤≤-≤-≤-91101211:0)]1()][1([:102646:m m m q p q p m x m m x m x q x x p 得故的充分不必要条件，是的必要不充分条件，故是由于即方法一：即解： 9011021001)2(2)2(2222≥⎩⎨⎧≤-+⋅-≤-+---m m m 得直接有：方法二：根分布知识，.120:)2()1(1)6,3(10.19m ACB B A C m x y l C y x C C ，求两点，若、于交圆直线的方程；求圆相切，，且和直线的圆心为分）圆（本小题︒=∠+==-- 5142252|63|2252)2(50)6()3(252|163|)1(6422或得则距离为到直线显然故圆方程为：分配解：建议分值==+--==-++=---=+m m r AB C y x r.)2(.)1(,)0,4(4)10.(202若不存在，说明理由的坐标；轴平分？若存在，求出恒被，使得轴上是否存在一定点在求证：两点，，交抛物线于过，直线已知抛物线分本小题M x AMB M x OB OA B A AB x y ∠⊥= OBOA y y y y y y x x OB OA y y m y y my y x y my x y x B y x A my x AB ⊥=+⋅=+=⋅-==+=--⎩⎨⎧=+=+=+故则，则得由方程为）设直线解：（分配建议044164016444),(),,(,416421222121212121222211 .)0,4(404)4(0)(440)()(0.0)0,()2(2121222112212211符合题意即存在定点故恒成立得即：即：即：恒成立，则必有假设存在满足题意的点M a m a y y a y y y y a x y a x y ax y a x y k k a M MB MA -==⋅--=+-⋅+⋅=-+-=-+-=+为定值求证点，若交于轴两点，与交于中轨迹与设（与坐标轴不垂直），任意作直线过点的方程；的轨迹求点的中点是为的长上的两个动点，线段和分别是直线、分）已知（本小题μλμλ+==-==:,,,)1()0,1()2()1(.,32333310.21NQ RN MQ RM R y N M C l l Q C P AB P AB x y x y B A 1919)1(322233332)1.........(123)()(12)3333()(,32||),(),33,(),33,()1(6422222222=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎩⎨⎧=-=+-=+==++-=++-∴=-+y x P y x y b a x b a b a y b a x b a b a b a b a AB y x P b b B a a A 的轨迹方程为即可得代入得而即设分配解：建议分值FBAMN lxO y4982)1(22)11(211)0,1(),(98,92082)9(191,1),0(),,(),,(,1)2(212132132313131113112212212222332211-=--⋅-+-=+⋅+-=++-=++-=+-=-=---=-=+-=+-=+∴⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++=-=+=mm y y y y y y y y y yy yy y y y x y y x MQ RM m y y m m y y my y m y x my x my y R y x N y x M my x l μλμλλλλ故同理得得得：由得由显然设方程为设直线.)2()1(.4:)()().0,2(),0,1()0(1)12.(222222面积的最大值求上；恒在椭圆求证：点交于点与，直线轴交于点与轴的动弦，直线是垂直于若的方程；求椭圆且过点的一个焦点为：如图，椭圆分本小题AMN C M M BN AF N x x l x AB II C I F b a by a x C ∆=>>=+642++建议分值分配134)(22=+y x I 椭圆方程为：解：.11008016936648025)52(412)85(3)523(4)5285()523,5285()4(4)1(1),(),()1)((020200202020202002000000000000000上恒在椭圆故点而联立方程可解得方程为：方程为：则，则设C M x x x x x x y x x y x x x y x x M x x y y BN x x y y AF y x B y x A II =+--++-=-+-=-+--------=--=-294118)(4131),1[13131181318)1(143118)43(36)43(36234)(23||)21439,436096)43(134,1)2(min 222222222222222=⋅=∴+=+∞++=+⋅=≥=+++=+++=-+=--⋅=+-=+-=+=-++=++=∆∆∆AMN AMN MA M A M A F N AMN M A M A S tt t t t tt t t S t t m m m m m m y y y y y y x x S m y y m m y y my y m y x my x AM 的最小值为时，上为增函数，故当在，则设（故则得代入的方程为设直线。
高中数学人教A版选修2-1-高二上学期期末复习(一)理科数学试题
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）高二数学期末复习 选修2-1模块测试A 一、选择题(12×5=60) 1．抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）A ．221169x y += B ．2211612x y += C ．22143x y += D ．22134x y += 3．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 4．设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则BD BC AB 2121++等于（ ）A ．ADB ．GAC ．AGD ．MGC 1D 1B 1A 1CDABPM6．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）A ．23x y =或23x y -= B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92= 7．抛物线y ＝x 2到直线 2x －y ＝4距离最近的点的坐标是 ( ) A ．)45,23(B ．(1，1)C ．)49,23( D ．(2，4) 8．向量)2,1,2(-=a ，与其共线且满足18-=⋅x a 的向量x 是 （ ）A ．)41,31,21(- B ．（4，－2，4） C ．（－4，2，－4） D ．（2，－3，4）9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 点P 是平面ABCD 上的动点，点M 在棱AB 上，且13AM =，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为4，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．直线10．过原点O 作两条相互垂直的直线分别与椭圆P ：2212x y +=交于A 、C 与B 、D ， 则四边形ABCD 面积最小值为( ) A 、83B 、42C 、22D 、4311.已知抛物线21x y =+上一定点(1,0)A -和两动点,P Q ,当PA PQ ⊥时,点Q 的横坐标的取值范围是( )A.(,3]-∞- B .[1,)+∞ C .[3,1]-D .(,3]-∞-[1,)+∞12.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=3|PF 2|, 则双曲线离心率的取值范围为 （ ）A.(1,2)B.(]1,2C.(3,+∞)D.[)3,+∞二、填空题（4×5=20分）13．命题“存在有理数x ，使220x -=”的否定为 。
高中数学人教A版选修2-1高二上学期数学理科月考试卷
高二上学期数学理科月考试卷 （总分：150分 ）考试时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.1.已知命题p ：∀x ∈R ，x>sin x ，则p 的否定（ )A ．﹁p ： 000sin ,x x R x <∈∃B ．﹁p ：x x R x sin ,≤∈∀C ．﹁p ：000sin ,x x R x ≤∈∃D ．﹁p ：00sin ,x x R x <∈∀2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( )A.13B.33C.12D.323.已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6,2μ－1,2)，若a ∥b ，则λ与μ的值分别为( )A.15，12 B ．5,2 C ．－15，－12D ．－5，－24.若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.1728122=+y x B.198122=+y x C.1817222=+y x D.181922=+y x5. 已知双曲线C ：12222=-by a x 的焦距为10，点P(2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.152022=-y x B.120522=-y x C.1208022=-y x D.1802022=-y x6. 已知在空间四边形OABC 中，c OC b OB a OA ===,,，点M 在线段OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于( )A.c b a 213221+- B.c b a 212132++- C.c b a 212121-+ D.c b a 213232-+ 7.若直线4=+ny mx 与圆O ：422=+y x 没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．08.命题“[]0,2,12≤-∈∀a x x ”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤59. 正方体1111D C B A ABCD -中，二面角11B BD A --的大小为( ) A ．90° B ．60° C ．120° D ．45°10.已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x ＜3x，命题q ：∀x ∈(0,1)，0log 2<x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(﹁q )C ．(﹁p )∧qD ．p ∧(﹁q ) 11.“1≠a 或0≠b ”是“1≠+b a ”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与C 相交于A ，B 两点．若FB AF 3=，则=k （ ）A.1B.2C.3D.2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13.已知命题p ：|x 2－x |≠6，q ：x ∈N ，且“p 且q ”与“﹁q ”都是假命题，则x 的值为________．14.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1的中点，则异面直线D 1E 与AC 所成的角的余弦值是________．15.在平面直角坐标系中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点)0,(2ca 作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.16.已知21,F F 为双曲线)0,0(12222b a b a by a x ≠>>=-且的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题（ ）.（1）．21F PF ∆的内切圆的圆心必在直线x a =上； （2）．21F PF ∆的内切圆的圆心必在直线x b =上； （3）．21F PF ∆的内切圆的圆心必在直线OP 上；（4）．21F PF ∆的内切圆必通过点)0,(a .其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其他每题12分，共70分.解答题应写出文字证明，证明过程或演算步骤.（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 17.设p ：实数x 满足03422<+-a ax x ，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧>-+≤--0820622x x x x .(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18.如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，O 为AD 中点． (1)求证：PO ⊥平面ABCD ； (2)求点A 到平面PCD 的距离．19.已知双曲线141622=-y x 的两焦点为21,F F . (1)若点M 在双曲线上，且021=⋅MF MF ，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．20.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点为21F F ，，点P 在椭圆C 上，且341=PF ，3142=PF ，21PF PF ⊥.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线L 过圆02422=-++y x y x 的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线L 的方程.21.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为11D A 和1CC 的中点． (1)求证：EF ∥平面1ACD ；(2)在棱1BB 上是否存在一点P ，使得二面角P －AC －B 的大小为30°？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．22.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是)0,(),0,(21c F c F -，Q 是椭圆外的动点，满足a Q F 21=.点P 是线段Q F 1与该椭圆的交点，点T 在线段Q F 2上，并且满足0||,022≠=⋅TF TF PT .（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca P F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△21MF F 的面积S=2b .若存在，求∠21MF F 的正切值；若不存在，请说明理由.数学答案：1—5 CDAAA 6—10 BBCCC 11—12 BB13.3 14.105 15.22 16.(1)(4) 17.解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0得(x －3a )·(x －a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，当a ＝1时，1＜x ＜3，即p 为真时，实数x 的取值范围是1＜x ＜3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，得2＜x ≤3， 即q 为真时，实数x 的取值范围是2＜x ≤3. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3.(2)法一：﹁p 是﹁q 的充分不必要条件， 即﹁p ⇒﹁q ，且﹁q ﹁p ，设A ＝{x |﹁p }，B ＝{x |﹁q }，则A B . 又A ＝{x |﹁p }＝{x |x ≤a 或x ≥3a }， B ＝{x |﹁q }＝{x ≤2或x ＞3}， 则0＜a ≤2，且3a ＞3，所以实数a 的取值范围是1＜a ≤2.法二：∵﹁p 是﹁q 的充分不必要条件， ∴﹁p ⇒﹁q ，且﹁q ﹁p ， 与它等价的命题是q ⇒p 且p q . 令M ＝{x |p }，N ＝{x |q }，则N M ，结合(1)在数轴上表示不等式如图，从而⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤23a ＞3，∴1＜a ≤2，∴实数a 的取值范围是(1,2]．18.解：(1)证明：如图所示，以O 为坐标原点，OC →、OD →、OP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz .则A (0，－1,0)，B (1，－1,0)，C (1,0，0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．所以OP →＝(0,0,1)，AD →＝(0,2,0)， OP →·AD →＝0，所以，PO ⊥AD ，又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD .(2)设平面PCD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，CP →＝(－1,0,1)，CD →＝(－1,1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CP →＝0n ·CD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 0＋z 0＝0－x 0＋y 0＝0，即x 0＝y 0＝z 0，取x 0＝1，得平面PCD 的一个法向量为 n ＝(1,1,1)．又AC →＝(1,1,0)，从而点A 到平面PCD 的距离d ＝|AC →·n ||n |＝23＝233.19.解：(1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ， MF 1→·MF 2→＝0， 则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，② 由①②得m ·n ＝8， ∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ， ∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4＜λ＜16)， 由于双曲线C 过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.20. 解：(1) ∵点P 在椭圆C 上，∴6221=+=PF PF a ，a=3.在Rt △PF 1F 2中，,52212221=-=PF PF F F353234314222212221=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==PF PF F F c 故椭圆的半焦距c=353,从而b 2=a 2－c 2=928, ∴椭圆C 的方程为1928922=+y x . (2)已知圆的方程为（x+2）2+(y －1)2=5, ∴圆心M 的坐标为（－2，1）.设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2). 由题意x 1≠x 2且192892121=+y x ……① 192892222=+yx ……②由①－②得0928))((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x ……③又∵A 、B 关于点M 对称，∴x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2, 代入③得2121x x y y --＝8156，即直线l 的斜率为8156， ∴直线l 的方程为y －1＝8156（x+2），即01938156=+-y x . 此时方程（*）的 0≥∆，故所求的直线方程为01938156=+-y x .21.解：如图，分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，由已知得D (0,0,0)、A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0)、B 1(2,2,2)、E (1,0,2)、F (0，2,1)．(1)证明：易知平面ACD 1的一个法向量DB 1→＝(2,2,2)． ∵EF →＝(－1,2，－1)，∴EF →·DB 1→＝－2＋4－2＝0， ∴EF →⊥DB 1→，而EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1.(2)设点P (2,2，t )(0<t ≤2)，平面ACP 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AP →＝0.∵AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(0,2，t )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，2y ＋tz ＝0，取n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，－2t .易知平面ABC 的一个法向量BB 1→＝(0,0,2)，依题意知〈BB 1→，n 〉＝30°或〈BB 1→，n 〉＝150°，∴|cos 〈BB 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4t 2·2＋4t2＝32，即4t 2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4t 2，解得t ＝63. ∵63∈(0,2]，∴在棱BB 1上存在一点P ，当BP 的长为63时，二面角P －AC －B 的大小为30°.22.本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力。
高中数学人教A版选修2-1第一学期高二数学期末考试数学(理)试卷.docx
P高中数学学习材料唐玲出品第一学期高二数学期末考试数学(理)试卷第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、 选择题：（共12道小题，每小题3分，共36分） 1．“|x |<2”是“x 2-x -6<0”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题3.下列有关命题的说法中错误的是（ ） A ．若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题. B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.C ．命题“若2320,x x -+=则1x =”的逆否命题为：“若1,x ≠则2320x x -+≠”.D ．对于命题:p x R ∃∈使得21x x ++＜0，则:p x R ⌝∃∈，使210x x ++≥. 4．如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=900，PA⊥平面ABC ，则四面体P-ABC中共有（ ）个直角三角形A.4B.3C.2D.15．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，a 、b 的夹角的余弦值为89， 则λ的值为( ) A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－2556．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于( ) A ．627B ．637C ．647D ．6577．下列曲线中离心率为62的是（ ） A ．22124x y -= B ．22146x y -= C ． 22142x y -= D ． 221410x y -=8．以41-=x为准线的抛物线的标准方程为( ）A ．x y 212=B . y x =2C . y x 212= D . x y =29．如图，椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为( ) A ．8 B ．2 C ． 4 D ．23 10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12B ．1C ．2D ．411.已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2 + y 2b 2 = 1(a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB, 若△AF 1B 的周长为16,椭圆的离心率e= 32, 则椭圆的方程为（ ）A x 24 + y 23 = 1B x 216 + y 23 = 1C x 216 + y 212 = 1D x 216 + y24 = 112.若椭圆154116252222=-=+y x y x 和双曲线的共同焦点为21,F F ，P 是两曲线的一个交点，则1PF ·2PF 的值为（ ）A ．221B . 84C . 3D .21第Ⅱ卷（非选择题 共64分）二、填空题：（共6道小题，每小题3分，共18分）13.设A 、B 是两个命题，如果A 是 B 的充分不必要条件，则的是B A ⌝⌝ ；14.双曲线1422=-y x 的渐近线方程是： ；15.已知抛物线)0(22<=a ax y ，它的焦点坐标是 ；16．椭圆的焦点在y 轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4, 短轴长为8, 则椭圆的标准方程是 ;17．已知)6,6,3(+=→λλa ，)2,3,1(λλ+=→b 为两平行平面的法向量，则λ= 。
高中数学人教A版选修2-1第一学期期末考理科试试题.docx
惠州市2011-2012学年第一学期高二期末考试理科数学试题说明：1、全卷分为两个部分，基础测试部分和期末考试部分，满分150分，时间120 分钟；2、答卷前，考生务必将自己的姓名、县区、学校、班级、试室、座位号填写在答题卷上；3、考试结束后，考生将答题卷交回．第一部分 基础测试（共100分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题:,2p x R x ∀∈≥，那么命题p ⌝为（ ）A ．,2x R x ∀∈≤B ．00,2x R x ∃∈≤C ．2,-≤∈∀x R xD ．00,2x R x ∃∈<-2．给出如下三个命题：①若函数()3ln f x x x =-+的整数点为m ，则m 所在的区间为（2，3）． ②空间中两条直线都和同一平面平行，则这两条直线平行． ③两条直线没有公共点，则这两条直线平行． 其中不正确的序号是（ ）A.①②③B.①②C.②③D.①③3．ABC ∆的顶点分别为(1,1,2)A -，(5,6,2)B -，(1,3,1)C -，则AC 边上的高BD 等于 ( )A ．5 B.41 C ．4 D ．2 54．某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次被抽到的可能性为a ，第二次被抽到的可能性为b ，则 ( )32A. a=,b=109 11B. a=,b=109 33C. a=,b=1010 11D. a=,b=10105．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A.35 B.34C.45 D.23 6．下表是x 与y 之间的一组数据，则y 关于x 的线性回归方程 y ^＝b ^x ＋a ^必过点( )x 0 1 2 3 y1357A. (2,2) B ．(1.5,2) C ．(1,2)D ．(1.5,4)7．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．942π+ Ｂ．3618π+ Ｃ．9122π+ Ｄ．9182π+8．若椭圆2212516x y +=上一点P 到焦点1F 的距离为6， 则点P 到另一个焦点2F 的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 9．已知P 为抛物线24y x =上一个动点，直线12:1,:30l x l x y =-++=，则P 到直线12,l l 的距离之和的最小值为（ ）A ．22B ．4C．2D ．3212+ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填写在答题卷中指定的横线上。
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高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2009-2010年合肥一中高二年级理科第一学期期末复习测试(一)一、选择题1.以下命题：①直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．O B．1 C．2 D．32. 如图是由一些相同的小正方体构成的主体图形的三种视图，构成这个立体图形的小正方体的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．63. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A. B. C. D.4.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5. 若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( )A．[] B．[] C．[D．6. 设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（）A．9 B．6 C．4 D．37. 设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（）A．B． C．D．8. 已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．9. 设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）A. B.C.D. 10. 设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若＝－4，则点A 的坐标是（ ） A ．（2，±2） B. (1，±2) C.（1，2） D.(2，2)．11. 直线l 经过A （2，1）、B （1，m 2）(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A 、),0[πB 、),43[]4,0[πππ⋃C 、]4,0[πD 、),2(]4,0[πππ⋃12.设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为 ( ) A ．21 B ．1 C ．2 D ．不确定二、填空题13. 一条直线过点P （3，2）且与轴、轴的正半轴分别交于A 、B 两点，则当面积最小时，直线方程为____________； 14. 点是直线上一点，直线外有一点，则方程表示的图形为____________； 15. 已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是________16. 如图，是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段围成图形面积的取值范围是____________17. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是___________；18.已知抛物线22(0)y px p =>，过定点(,0)p 作两条互相垂直的直线12,l l ，若1l 与抛物线交于点,P Q ，2l 与抛物线交于,M N 点，1l 的斜率为k .某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为2(,)p p p k k+，请写出弦MN 的中点坐标 ．三、解答题19.如图所示，已知直线01243:=-+y x l 与y x ,轴的正半轴 分别交于B A ,两点，直线1l 和OA AB ,分别交于,,D C 且平分△AOB 的面积，求CD 的最小值.20.已知(3,3)A ，O 是原点，点P （x, y ）的坐标满足30,320,0.x y x y y ⎧-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩(1)求||OA OPOA 的最大值.；(2)求||OA OP z OP =的取值范围.AC DBxy O21. 在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程；（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围22．已知点)5,0(-是中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的一个顶点，离心率为66 ，椭圆的左右焦点分别为F 1和F 2 。
（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）点M 在椭圆上，求⊿MF 1F 2面积的最大值；（Ⅲ）试探究椭圆上是否存在一点P ，使021=⋅PF PF ，若存在，请求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由。
23．如图所示的几何体ABCDE 中,⊥DA 平面EAB ，DA CB //,CB AB DA EA 2===， AB EA ⊥，M 是EC 的中点。
(Ⅰ)求证:EB DM ⊥；(Ⅱ）设二面角A BD M --的平面角为β，求βcos 。
EDCBA M24. 已知M(-3,0)﹑N(3,0),P 为坐标平面上的动点，且直线PM 与直线PN 的斜率之积为常数m(m ≥-1,m ≠0).(1)求P 点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？(2)若59m =-, P 点的轨迹为曲线C,过点Q(2,0)斜率为1k 的直线1与曲线C 交于不同的两点A ﹑B,AB 中点为R,直线OR(O 为坐标原点)的斜率为2k ，求证12k k 为定值；（3）在（2）的条件下，设QB AQ λ=，且[2,3]λ∈，求1在y 轴上的截距的变化范围.高二年级理科第一学期期末复习测试(一)参考答案：一、选择题1． A 2.C 3. A 4.B 5．B 6．B 7．B 8．C 9．D 10．B 11.D 12. C 二、填空题13．； 14．与平行的直线；15． 16．17. A 1C ＝ 18. 2(,)pk p pk +-三、解答题19．解：令,4,0==x y ∴)0,4(A ， 令,3,0==y x ∴)3,0(B.321,63421==∴=⋅⋅=∆∆∆AOB ACD AOB S S S 设,,n AC m AD ==则.53sin ==OA OB A.10,35321,3sin 21=∴=∴==∆mn mn A mn S ACD.416216 54102cos 22222222=-≥-+=⨯⨯-+=-+=mn n m n m A mn n m CD∴,2≥CD 当10==n m 时，CD 有最小值为2.20. （1）作出可行域如图，则||cos ||OA OPOP AOP OA =∠，又∠AOP 是OA OP 与的夹角， ∴目标函数||OA OPOA 表示OP OA 在上的投影， 过P 作OA 的垂线PH ，垂足为H ，当P 在可行域内移动到直线30x y -=和直线320x y -+=的交点(1,3)B 时，OP OA 在上的投影为||OH 最大，此时||||2OP OB ==，∠AOP ＝∠AOB ＝6π， ||OA OPOA ∴的最大值为||cos 2cos 36OB AOB π∠==（2）|OA|cos AOP ||OA OPz OA ==∠23cos AOP =∠， 因为5[,]66AOP ππ∠=，所以当6AOP π∠=时，max 23cos 36z π===；当56AOP π∠=时，min 523cos36z π==-。
||OA OPz OA ∴=的取值范围为[－3，3]。
21.解析：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，即，得圆的方程为．（2）不妨设． 由即得，设，由成等比数列，得，即．22．解：（Ⅰ）设椭圆方程为12222=+b y a x . 由已知，.66,5===a c e b222222221a b a b a a c e -=-==， 61512=-∴a . 解得62=a ∴所求椭圆方程为15622=+y xQO NPED CBAM （Ⅱ）令),,(11y x M ，则 ||221||||21112121y y F F S F MF ⋅⋅=⋅=∆ ∵551≤≤-y ，故||1y 的最大值为5∴当51±=y 时，21F MF S ∆的最大值为5。
（Ⅲ）假设存在一点P , 使021=⋅PF PF ，,0,021≠≠PF PF ∴21PF PF ⊥，∴⊿PF 1F 2为直角三角形，∴42212221==+F F PF PF ①又∵62221==+a PF PF ② ∴②2－①，得 ,20221=⋅PF PF ∴,52121=⋅PF PF 即21F PF S ∆=5，但由（1）得21F PF S ∆最大值为5，故矛盾， ∴不存在一点P , 使021=⋅PF PF 23． 解法一:分别以直线AD AB AE ,,为x 轴、y 轴、z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设a CB =， 则)2,0,0(),,2,0(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(a D a a C a B a E A所以)2,,(aa a M .(Ⅰ):),0,22(),23,-,(a a EB a a a DM -==002)(-2=+⋅+⋅=⋅a a a a EB DMEB DM ⊥∴,即EB DM ⊥.(Ⅱ)解:设平面MBD 的法向量为),,(z y x n =,),-22,0(a a DB = 由DB n ⊥,DM n ⊥得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅==⋅0z 23z 23-y x 0z 2-y 2y x zy a a a DM n a a DB n取2z =得平面MBD 的一非零法向量为)2,2,1(=n 又平面BDA 的一个法向量为)0,0,1(1=n31001221001,cos 2222221=++⋅++++>=<∴n n ，31cos =β即解法二:(Ⅰ)证明:取BE 的中点N ,连接AN MN ,,则DA CB MN ////,zyxE D CBA M故D A N M ,,,四点共面， ∵⊥DA 平面EAB ， EB DA ⊥∴. 又AB EA = EB AN ⊥∴ 由N AN MN =⋂，⊥∴EB 平面ANMD EB DM ⊥∴;(Ⅱ)取AC 的中点P ,连MP ,则,//EA MP ⊥∴MP 平面ABCD 过P 作BD PQ ⊥,连QM ,则BD QM ⊥MQP ∠∴是二面角A BD M --的平面角.设a CB =, AC 与BD 的交点为O ,记=∠AOD θ,=∠CAB α,则有221115()(2)2366OP AC a a a ∴=-=+=.221232sin sin(45)(sin cos )()225525θααα︒∴=+=+=+=。