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专练19 函数中的三角形存在问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(原卷版)

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中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习(含答案解析)

中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习(含答案解析)

中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习（含答案解析）一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x 轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D （t ，t 2+t ﹣4），连接OD ．令y ＝0，则x 2+x ﹣4＝0，解得x ＝﹣4或2，∴A （﹣4，0），C （2，0），∵B （0，﹣4），∴OA ＝OB ＝4，∵S △ABD ＝S △AOD +S △OBD ﹣S △AOB ＝×4×（﹣﹣t +4）+×4×（﹣t ）﹣×4×4＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4，∵﹣1＜0，∴t ＝﹣2时，△ABD 的面积最大，最大值为4，此时D （﹣2，﹣4）； （3）如图2中，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥抛物线的对称轴于点M ．则N （﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC 于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE ＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC 与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC ＝S△ABC时，求点P的坐标；（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．令y＝0，得．解得x1＝﹣2，x2＝8．∴点B的坐标为（8，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b．把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．∵抛物线的解析式为，∴顶点D的坐标为．∴S四边形ABDC ＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC 于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）41。

2020年中考数学难题突破：函数中特殊三角形存在性问题解析与练习及参考答案

2020年中考数学难题突破：函数中特殊三角形存在性问题解析与练习及参考答案

(3 ) ①x＝ 1 (1 ，a)
②三 AQ＝ BQ，AB＝BQ， AQ＝AB
解： (1) ∵直线 y＝3x＋ 3，
∴当 x＝0 时， y＝ 3，当 y＝0 时， x＝－ 1，
∴点 A 的坐标为 ( －1，0) ，点 B 的坐标为 (0 ，3) ．
(2) 设抛物线对应的函数表达式为
y＝ax2＋ bx＋c，由题意，得
③当 AQ＝ AB时，如图③， 由勾股定理，得 22＋a2＝ 10，解得 a＝± 6，此时点 Q的坐标是 (1 ， 6) 或(1 ，－ 6) ． 综上所述，存在符合条件的点 Q，点 Q的坐标为 (1 ，1) 或 (1 ，0) 或 (1 ， 6) 或(1 ，－ 6) ． 类型 2 直角三角形、全等三角形存在性问题 例 2 如图 2，已知直线 y＝kx －6 与抛物线 y＝ ax2＋bx＋c 相交于 A，B 两点，且点 A(1，－ 4) 为抛 物线的顶点，点 B 在 x 轴上．
解得
1－ m＝ 2
13
1＋ m＝ 2
13 ＞0，舍去
，
∴点 P 的坐标为
1－ 2
13 ，
13－1 . 2
(3) 如图，①当∠ Q1AB＝90°时，△ DAQ∽1 △ DOB，
AD DQ1
5 DQ1
∴OD＝ DB，即6＝ 3ຫໍສະໝຸດ ， 557
∴DQ1＝ 2，∴ OQ1＝2，
7 即点 Q1的坐标为 0，－ 2 ；
C(3，0) ．
(1) 求点 A，B 的坐标．
(2) 求抛物线对应的函数表达式．
图1
(3) 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△ ABQ是等腰三角形？若存在， 求出符合条件的点 Q的坐
标；若不存在，请说明理由．

第3讲 中考压轴题专题之三角形存在性问题

第3讲 中考压轴题专题之三角形存在性问题

第三讲中考压轴题专题之三角形存在性问题板块一、等腰三角形存在性1．在平面直角坐标系中，已知A（1，2）、B（3，0），AB＝2．在坐标轴上找点P，使A、B、P三点构成等腰三角形，这样的点P有（）个．A．5B．6C．7D．82．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为．3．（2016滨州）如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2014兰州）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．板块二、直角三角形5．如图，二次函数y＝x2+bx+c图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为M，△MAB为直角三角形，图象的对称轴为直线x＝﹣2，点P是抛物线上位于A，C两点之间的一个动点，则△P AC的面积的最大值为（）T5 T7 T8 A．B．C．D．36．将抛物线y＝﹣2x2﹣1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（）A．个单位B．1个单位C．个单位D．个单位7．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的一个动点，过点D 作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，连接EF，则线段EF长的最小值为．8．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．当△P AC为直角三角形时点P的坐标．9．（2015连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y＝x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？10．（2016黄岗）如图，抛物线y＝﹣与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l 交抛物线于点Q．（1）求点A、点B、点C的坐标；（2）求直线BD的解析式；（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．板块三、等腰直角三角形11．已知⼀次函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，将该函数图象绕点A旋转45°，旋转后的图象对应的函数关系式是．12．二次函数y＝x2+bx+c的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则b+2c＝．13．如图，P是抛物线C：y＝2x2﹣8x+8对称轴上的一个动点，直线x＝k平行于y轴，分别与直线y ＝x、抛物线C交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的k为．14．（2019青龙县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C （0，3），且OB＝OC．直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点Q是抛物线的顶点，设直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为m．（1）求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标．（2）连接CQ，直接写出线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系．（3）连接P A、PD，当m为何值时S△APD＝S△DAB？（4）在直线AD上是否存在一点H，使△PQH为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．【解答】解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，与坐标轴的交点P1，P2，P3，P4，P5符合题意；作AB的垂直平分线，与坐标轴的交点P6，P7符合题意，故选：C．2．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB＝90°，OC＝4，BC＝OA＝10，∵D为OA的中点，∴OD＝AD＝5，①当PO＝PD时，点P在OD得垂直平分线上，∴点P的坐标为：（2.5，4）；②当OP＝OD时，如图1所示：则OP＝OD＝5，PC＝＝3，∴点P的坐标为：（3，4）；③当DP＝DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED＝90°，DE＝＝3；分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE＝5﹣3＝2，∴点P的坐标为：（2，4）；当E在D的右侧时，如图3所示：OE＝5+3＝8，∴点P的坐标为：（8，4）；综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；故答案为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．3．【解答】解：（1）令y＝0得﹣x2﹣x+2＝0，∴x2+2x﹣8＝0，x＝﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x＝0，得y＝2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象①AB为平行四边形的边时，∵AB＝EF＝6，对称轴x＝﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积＝6×＝．②当点E在抛物线顶点时，点E（﹣1，），设对称轴与x轴交点为M，令EM与FM相等，则四边形AEBF是菱形，此时以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积＝×6×＝．（3）如图所示，①当C为等腰三角形的顶角的顶点时，CM1＝CA，CM2＝CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，CN＝＝，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为等腰三角形的顶角的顶点时，∵直线AC解析式为y＝﹣x+2，∴线段AC的垂直平分线为y＝x与对称轴的交点为M3（﹣1．﹣1），∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．4．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+mx+n得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）存在．抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，则D（，0），∴CD＝＝＝，如图1，当CP＝CD时，则P1（，4）；当DP＝DC时，则P2（，），P3（，﹣），综上所述，满足条件的P点坐标为（，4）或（，）或（，﹣）；（3）当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，则B（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），∴FE＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，∵S△BCF＝S△BEF+S△CEF＝×4×EF＝2（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x，而S△BCD＝×2×（4﹣）＝，∴S四边形CDBF＝S△BCF+S△BCD＝﹣x2+4x+（0≤x≤4），＝﹣（x﹣2）2+当x＝2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）．5．【解答】解：∵x＝﹣＝﹣2，且a＝1，∴b＝4；则，抛物线：y＝x2+4x+c；∴AB＝x B﹣x A＝＝＝2，点M（﹣2，c﹣4）；∵抛物线是轴对称图形，且△MAB是直角三角形，∴△MAB必为等腰直角三角形，则有：AB＝2＝2|c﹣4|，解得：c＝3；∴抛物线：y＝x2+4x+3，且A（﹣3，0）、B（﹣1，0）、C（0，3）．过点P作直线PQ∥y轴，交直线AC于点Q，如右图；设点P（x，x2+4x+3），由A（﹣3，0）、C（0，3）易知，直线AC：y＝x+3；则：点Q（x，x+3），PQ＝（x+3）﹣（x2+4x+3）＝﹣x2﹣3x；S△P AC＝PQ×OA＝×（﹣x2﹣3x）×3＝﹣（x+）2+，∴△P AC有最大面积，且值为；故选：C．6．解：设抛物线向上平移a（a＞1）个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，且这些交点能构成直角三角形，则有平移后抛物线的解析式为：y＝﹣2x2﹣1+a，AM＝a，∵抛物线y＝﹣2x2﹣1与y轴的交点M为（0，﹣1），即OM＝1，∴OA＝AM﹣OM＝a﹣1，令y＝﹣2x2﹣1+a中y＝0，得到﹣2x2﹣1+a＝0，解得：x＝±，∴B（﹣，0），C（，0），即BC＝2，又△ABC为直角三角形，且B和C关于y轴对称，即O为BC的中点，∴AO＝BC，即a﹣1＝，两边平方得：（a﹣1）2＝，∵a﹣1≠0，∴a﹣1＝，解得：a＝．故选：A．7.【解答】解：如图，连接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短，可得当CD⊥AB时，CD最短，即线段EF的值最小，此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，即×4×3＝×5•CD，解得CD＝2.4，∴线段EF长的最小值为2.4．故答案为：2.48．【解答】解：∵直线y＝x+2过点B（4，m），∴m＝6，∴B（4，6）．将A、B两点坐标代入抛物线解析式得：，解得：∴抛物线的解析式为：y＝2x2﹣8x+6．①若A为直角顶点，如图1，设AC的解析式为：y＝﹣x+b，将A点代入y＝﹣x+b得b＝3∴AC的解析式为y＝﹣x+3，由，解得：或（舍去）令P点的横坐标为3，则纵坐标为5，∴P（3，5）；②若C为直角顶点，如图2，令，解得：x＝或x＝（舍去），令P点的横坐标为，则纵坐标为，∴P（，）；故答案为：（3，5）或（，）．9．【解答】解：（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，∴y＝×（﹣2）2＝1，A点的坐标为（﹣2，1），设直线的函数关系式为y＝kx+b，将（0，4），（﹣2，1）代入得，解得，∴直线y＝x+4，∵直线与抛物线相交，∴x+4＝x2，解得：x＝﹣2或x＝8，当x＝8时，y＝16，∴点B的坐标为（8，16）；（2）如图1，连接AC，BC，∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB2＝325．设点C（m，0），同理可得AC2＝（m+2）2+12＝m2+4m+5，BC2＝（m﹣8）2+162＝m2﹣16m+320，①若∠BAC＝90°，则AB2+AC2＝BC2，即325+m2+4m+5＝m2﹣16m+320，解得：m＝﹣；②若∠ACB＝90°，则AB2＝AC2+BC2，即325＝m2+4m+5+m2﹣16m+320，解得：m＝0或m＝6；③若∠ABC＝90°，则AB2+BC2＝AC2，即m2+4m+5＝m2﹣16m+320+325，解得：m＝32；∴点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）（3）设M（a，a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，在Rt△MQN中，由勾股定理得MN＝＝a2+1，又∵点P与点M纵坐标相同，∴+4＝a2，∴x＝，∴点P的横坐标为，∴MP＝a﹣，∴MN+3PM＝+1+3（a﹣）＝﹣a2+3a+9，∴当a＝﹣＝6，又∵﹣2≤6≤8，∴取到最大值18，∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18．10．【解答】解：（1）∵令x＝0得；y＝2，∴C（0，2）．∵令y＝0得：﹣＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．（2）∵点C与点D关于x轴对称，∴D（0，﹣2）．设直线BD的解析式为y＝kx﹣2．∵将（4，0）代入得：4k﹣2＝0，∴k＝．∴直线BD的解析式为y＝x﹣2．（3）如图1所示：∵QM∥DC，∴当QM＝CD时，四边形CQMD是平行四边形．设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），则M（m，m﹣2），∴﹣m2+m+2﹣（m﹣2）＝4，解得：m＝2，m＝0（不合题意，舍去），∴当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形；（4）存在，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形，∴①当∠QBD＝90°时，由勾股定理得：BQ2+BD2＝DQ2，即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2+20＝m2+（﹣m2+m+2+2）2，解得：m＝3，m＝4（不合题意，舍去），∴Q（3，2）；②当∠QDB＝90°时，由勾股定理得：BQ2＝BD2+DQ2，即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2＝20+m2+（﹣m2+m+2+2）2，解得：m＝8，m＝﹣1，∴Q（8，﹣18），（﹣1，0），综上所述：点Q的坐标为（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．11．【解答】解：如图1，∵⼀次函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，∴A（0，1），B（﹣2，0），当直线y＝x+1绕点A顺时针旋转45°后的图象为直线l，过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，过B作BE⊥FD延长线于E，则△ABD为等腰直角三角形，易得△ADF≌△DBE（AAS），设AF＝a，则DE＝a，∵点A（0，1），点B（﹣2，0），∴DF＝BE＝OF＝1+a，EF＝ED+DF＝a+1+a＝OB＝2，∴a＝，∴DF＝OF＝1+a＝，∴D（﹣，），设直线l的解析式为y＝kx+1，则＝﹣k+1，解得k＝﹣，∴y＝﹣x+1；如图2，直线y＝x+1绕点A逆时针旋转45°后的图象为直线l，过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，作DE⊥x轴于E，则△ABD为等腰直角三角形，易得△ADF≌△BDE（AAS），设DF＝b，则DE＝b，∵点A（0，1），点B（﹣2，0），∴AF＝BE＝1+b，BO＝BE+OE＝b+1+b＝OB＝2，∴b＝，∴D（﹣，﹣），设直线l的解析式为y＝kx+1，则﹣＝﹣k+1，解得k＝3，∴y＝3x+1；综上，旋转后的图象对应的函数关系式是y＝﹣x+1或y＝3x+1．故答案为y＝﹣x+1或y＝3x+1．12．【解答】解：由已知，得C点的坐标为：（0，c），，，．过D作DE⊥AB于点E，则2DE＝AB，即，得：，所以或．又b2﹣4c＞0，所以．又OC＝OB，即：，得：．故答案为：2．13．【解答】解：∵直线x＝k分别与直线y＝x、抛物线y＝2x2﹣8x+8交于点A、B两点，∴A（k，k），B（k，2k2﹣8k+8），AB＝|k﹣（2k2﹣8k+8）|＝|2k2﹣9k+8|，①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，∠P AB＝90°，此时P A＝AB＝|k﹣2|，即|2k2﹣9k+8|＝|k﹣2|，解得k＝或1或3；②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA＝90°，此时PB＝AB＝|k﹣2|，结果同上．故答案为：或1或3．14．【解答】解：（1）直线y＝x+1与抛物线交于A点，则点A（﹣1，0）、点E（0，1）．∵OB＝OC，C（0，3），∴点B的坐标为（3，0），故抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），将点C的坐标代入，得﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，∴函数的对称轴为x＝1，故点Q的坐标为（1，4）．（2）CQ＝AE，且CQ∥AE，理由：∵Q（1，4），C（0，3），∴CQ＝＝，CQ的解析式为y＝x+3，又∵AE＝＝，直线AE的解析式为y＝x+1，∴CQ＝AE，CQ∥AE，（3）∵，∴，，∴点D的坐标为（2，3）．如图1，过点P作y轴的平行线，交AD于点K，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点K（m，m+1）∴S△P AD＝＝＝＝×4×3．解得m＝0或1．（4）存在，点P的坐标为（0，3）或．设点H（t，t+1），点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而点Q（1，4），①当∠QPH＝90°时，如图2，过点P作y轴的平行线，过点H、点Q作x轴的平行线，交过点P且平行于y轴的直线于点M、G，∵∠GQP+∠QPG＝90°，∠QPG+∠HPM＝90°，∴∠HPM＝∠GQP，∠PGQ＝∠HMP＝90°，PH＝PQ，∴△PGQ≌△HMP（AAS），∴PG＝MH，GQ＝PM，即4﹣n|＝|t﹣m|，|1﹣m|＝|n﹣（t+1）|，解得m＝2或n＝3．当n＝3时，3＝﹣m2+2m+3，解得m1＝0，m2＝2（舍去），∴点P（0，3）．②当∠PQH＝90°时，如图3所示，同理可得m1＝0，m2＝3（舍去），故点P为（0，3）．③当∠PHQ＝90°时，如图4，同理可得n＝2，解得m1＝1+（舍去），m2＝1﹣．故点P（1﹣，2）．综上可得，点P的坐标为（0，3）或（1﹣，2）．。

2021年九年级中考数学复习高频考点提升练《抛物线压轴题中的三角形问题》 考题专题练习

2021年九年级中考数学复习高频考点提升练《抛物线压轴题中的三角形问题》 考题专题练习

2021年中考数学复习高频考点提升练《抛物线压轴题中的三角形问题》经典考题专题练习1.如图，在平面直角坐标系中，函数223(0)y ax ax a a=-++>的图像交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E.过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE 并延长交y轴于点F，交抛物线于点G.直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK.（1）点E的坐标为：；（2）当△HEF 是直角三角形时，求a 的值；2.如图，二次函数y＝ax 2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－1．0)，B(4．0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E．垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2＋bx＋4和BC所在直线的表达式；（2）连接CP，CD，在移动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．CA O EFBPDlxy3. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．4. 在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”.如图，抛物线L1：223212--=xxy的顶点为D，交x轴于点A、B(点A在点B左侧)，交y轴于点C.抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P.(1)若抛物线L2经过点(2，- 12)，求L2对应的函数表达式；(2)当BP-CP的值最大时，求点P的坐标；(3)设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标.5. 已知直线1:210=-+l y x 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，二次函数的图象过,A B两点，交x 轴于另一点C ，4=BC ，且对于该二次函数图象上的任意两点()111,P x y ，()222,P x y ，当125>≥x x 时，总有12>y y . （1）求二次函数的表达式；（2）若直线2:(10)=+≠l y mx n n ，求证：当2=-m 时，21l l ；（3）E 为线段BC 上不与端点重合的点，直线3:2=-+l y x q 过点C 且交直线AE 于点F ，求∆ABE 与∆CEF 面积之和的最小值.6. 如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F 1：2264()515y a x =-+与x 轴交于点A （65-，0）和点B ，与y 轴交于点C .(1)求抛物线F 1的表达式；(2)如图2，将抛物线F 1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F 2，若抛物线F 1与抛物线F 2相交于点D ，连接BD ，CD ，BC . ①求点D 的坐标；②判断△BCD 的形状，并说明理由；(3)在(2)的条件下，抛物线F 2上是否存在点P ，使得△BDP 为等腰直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.7. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过A 、B 两点的抛物线2y ax b c =++与x 轴交于另一点()1,0C -． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使PAB OAB S S ∆∆=？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；8. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －6与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，OA ＝2，OB ＝4，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D 在x 轴的下方，当△BCD 的面积是29时，求△ABD 的面积；9. 如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于点A ，B 两点，与y 轴DA O CB l-11 -1 xy交于点C ，且点A 的坐标为（－2,0），点C 的坐标为（0,6），对称轴为直线x ＝1．点D 是抛物线上的一个动点，设点D 的横坐标为m （1＜m ＜4），连接AC ，BC ，DC ，DB ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值；10.如图，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ．直线122y x =-经过B 、C 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的一动点，过点P 且垂直于x 轴的直线与直线BC 及x 轴分别交于点D 、M ．PN BC ⊥，垂足为N ．设(),0M m ．①点P 在抛物线上运动，若P 、D 、M 三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m 的值；②当点P 在直线BC 下方的抛物线上运动时，是否存在一点P ，使PNC △与AOC △相似．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11.已知直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的一个交点为A （﹣1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的动点．（1）当直线γ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标； （2）在（1）的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当S △EQM 12=S △ACE 时，求m 的值； 、12. 如图所示，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点M 为抛物线的顶点． （1）求点C 及顶点M 的坐标．（2）若点N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN 、CN 求△BCN 面积的最大值及此时点N 的坐标．（3）直线CM 交x 轴于点E ，若点P 是线段EM 上的一个动点，是否存在以点P 、E 、O 为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13. 如图，抛物线26y ax x c =-+交x 轴于, A B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-+经过点,B C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 与直线BC 相交于点P ，连接,AC AP ，判定APC △的形状，并说明理由；14.如图，抛物线的顶点为A (h ，－1)，与y 轴交于点B 1(0,)2，点F （2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l 是过点C （0，－3）且垂直于y 轴的定直线，若抛物线上的任意一点P （m ，n ）到直线l 的距离为d ，求证：PF ＝d ；（3）已知坐标平面内的点D （4，3），请在抛物线上找一点Q ，使△DFQ 的周长最小，并求此时△DFQ 周长的最小值及点Q 的坐标．15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，的最大值；记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求S1S2（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

专题23 以函数为背景的直角三角形的存在性问题-2021年中考数学重难点专项突破(全国通用)

专题23 以函数为背景的直角三角形的存在性问题-2021年中考数学重难点专项突破(全国通用)

1 专题23 以函数为背景的直角三角形的存在性问题【知识讲解】 1、 知识内容：在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。

另外，较困难的情况则需要用到全等/相似或者勾股定理的计算来确定直角三角形．2、 解题思路：（1） 按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；（2） 计算出相应的边长等信息；（3） 根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标．【例题讲解】1、如图，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；（2）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．xyA B CO2【答案】（1）A 、B 的坐标分别为（4-，0），（2，0）；（2）直线l 解析式为334y x =-+或334y x =-． 【解析】（1）解方程2333084x x --+=， 可得：A 、B 的坐标分别为（4-，0），（2，0）；（2）设AB 中点为D ，D 点为（1-，0），以D 为圆心，AD 为半径作圆，若l 与y 轴平行，则找不到3个M 点，使ABM ∆为直角三角形．∴l 不与y 轴平行．∴必定存在2个M 点，使90A ∠=︒或90B ∠=︒． 要满足“以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个”，即直线l 与圆D 相切，设切点为M 0，过M 0作M 0H ⊥x 轴于H ，∵5DE =，03DM AD ==， ∴95DH =，0125M H =． ∴M 0的坐标为41255⎛⎫ ⎪⎝⎭，或41255⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∴直线l 解析式为334y x =-+或334y x =-． 【总结】本题主要考查二次函数背景下的直角三角形的存在性问题，注意认真分析题目中的条件，从而求出正确的结果．2、在平面直角坐标平面内，O 为原点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过点A （1-，0）和点B （0，3），顶点为P ．3（1）求二次函数解析式及点P 的坐标；（2）如果点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形，求点Q 的坐标．【答案】（1）解析式：223y x x =-++，顶点（1，4）；（2）点Q 的坐标是（1，0）或（9，0）．【解析】（1）由题意得103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得：2b =，3c =；∴二次函数解析式为()222314y x x x =-++=--+，∴点P 的坐标是（1，4）；（2）P （1，4），A （1-，0），∴220AP =设点Q 的坐标是（x ，0），则()221AQ x =+，()22116PQ x =-+．○1当90AQP ∠=︒时，222AQ PQ AP +=，∴()()22111620x x ++-+=，解得：11x =，21x =-（不合题意，舍去），∴点Q 的坐标是（1，0）；○2当90APQ ∠=︒时，222AP PQ AQ +=，∴()()22201161x x +-+=+，解得：9x =，∴点Q 的坐标是（9，0）．○3当90PAQ ∠=︒时，不合题意．综上所述，所求点Q的坐标是（1，0）或（9，0）．【总结】本题一方面考查二次函数的解析式及顶点坐标的确定，另一方面考查二次函数背景下的直角三角形的存在性，注意利用勾股定理确定点的坐标．4。

三角形中的面积和周长问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)

三角形中的面积和周长问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)

专练03三角形中的面积和周长问题1.已知 ΔABC 的面积是 120 ，请完成下列问题：（1）如图1所示，若 AD 是 ΔABC 的 BC 边上的中线，则 ΔABD 的面积________ ΔACD 的面积．（填“ > ”“ < ”或“ = ”）（2）如图2所示，若 CD ， BE 分别是 ΔABC 的 AB ， AC 边上的中线，求四边形 ADOE 的面积可以用如下方法：连接 AO ，由 AD =DB 得： S ΔADO =S ΔBDO ，同理： S ΔCEO =S ΔAEO ，设 S ΔADO =x ， S ΔCEO =y 则 S ΔBDO =x ， S ΔAEO =y ．由题意得： S ΔABE =12S ΔABC =60 ， S ΔADC =12S ΔABC =60 ，可列方程组为 {2x +y =60x +2y =60 ，解得________，通过解这个方程组可得四边形 ADOE 的面积为________． （3）如图3所示， AD:DB =1:3 ， CE:AE =1:2 ，请你计算四边形 ADOE 的面积，并说明理由． 【答案】（1）如图1，过A 作 AH ⊥BC 于H ，∵AD 是 △ABC 的 BC 边上的中线， ∴BD =CD ，∴ S △ABD =12BD ·AH ， S △ACD =12CD ·AH ， ∴ S △ABD =S △ACD ， （2）解方程组得 {x =20y =20 ， ∴S △AOD =S △BOD =20 ，∴S 四边形ADOB =S △AOD +S △AOE =20+20=40 ， 故答案为： {x =20y =20 ，40； （3）解：如图3，连结 AO ，∵AD:DB =1:3 ， ∴ S △ADO =13S △BDO ，∵CE:AE =1:2 ， ∴ S △CEO =12S △AEO ，设 S △ADO =x ， S △CEO =y ，则 S △BDO =3x ， S △AEO =2y ， 由题意得： S △ABE =23S △ABC =80 ， S △ADC =14S △ABC =30 ， 可列方程组为： {x +3y =304x +2y =80 ， 解得： {x =18y =4， ∴S 四边形ADOE =S △ADO +S △AEO =x +2y =36 ．2.如图1，Rt △ABC 中，∠ACB=Rt ∠，AC=8，BC=6，点D 为AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿AC 方向以每秒1个单位的速度向终点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，以每秒2个单位的速度先沿CB 方向运动到点B ，再沿BA 方向向终点A 运动，以DP ，DQ 为邻边构造▱PEQD ，设点P 运动的时间为t 秒．（1）当t=2时，求PD 的长；（2）如图2，当点Q 运动至点B 时，连结DE ，求证：DE ∥AP. （3）如图3，连结CD ．①当点E 恰好落在△ACD 的边上时，求所有满足要求的t 值；②记运动过程中▱PEQD 的面积为S ，▱PEQD 与△ACD 的重叠部分面积为S 1 ， 当 S 1S＜ 13 时，请直接写出t 的取值范围．【答案】 （1）解：如图1中，作DF ⊥CA 于F ，=3，当t=2时，AP=2，DF=AD•sinA=5× 35=4，∵AF=AD•cosA=5× 45∴PF=4-2=2，∴PD= √DF2+PF2= √32+22= √13．（2）证明：如图2中，在平行四边形PEQD中，∵PE∥DQ，∴PE∥AD，∵AD=DQ．PE=DQ，∴PE=AD，∴四边形APED是平行四边形，∴DE∥AP．（3）解：①分三种情况讨论：Ⅰ．当点E在CA上时，DQ⊥CB（如图3所示），∵∠ACB=Rt∠，CD是中线，∴CD=BD，∴CQ= 12CB=3即：t= 32Ⅱ．当点E在CD上，且点Q在CB上时（如图4所示），过点E作EG⊥CA于点G，过点D作DH⊥CB于点H，易证Rt△PGE≌Rt△PHQ，∴PG=DH=4，∴CG=4-t，GE=HQ=CQ-CH=2t-3，∵CD=AD，∴∠DCA=∠DAC∴在Rt△CEG中，tan∠ECG= GECG = 2t−34−t= 34，∴t= 2411Ⅲ．当点E在CD上，且点Q在AB上时（如图5所示），过点E作EF⊥CA于点F，∵CD=AD，∴∠CAD=∠ACD．∵PE∥AD，∴∠CPE=∠CAD=∠ACD，∴PE=CE，∴PF= 12PC= 8−t2，PE=DQ=11-2t，∴在Rt△PEF中，cos∠EPF= PFPE =8−T211−2t= 45∴t= 4811综上所述，满足要求的t的值为32或2411或4811；7225＜t＜5617②如图6中，PE交CD于E′，作E′G′⊥AC于G′，EG⊥AC于G．当△PDE′的面积等于平行四边形PEDQD的面积的13时，PE′：EE′=2：1，由（Ⅱ）可知CG=4-t ，GE=2t-3，∴PG=8-t-（4-t）=4，∵E′G′∥EG，∴PG′PG = E′G′EG= PE′PE= 23，∴PG′= 83，E′G′= 23（2t-3），CG′=8-t- 83= 163-t ，∵tan∠ECG= E′G′CG′=23(2t−3)163−t=34，解得t= 7225．如图7中，当点Q在AB上时，PE交CD于E′，作E′G′⊥AC于G′．∵△PDE′的面积等于平行四边形PEDQD的面积的13，∴PE′：EE′=2：1，由Ⅲ可知，PG′= 12PC=4- 12t ，PE′= 23DQ= 23（11-2t），∵cos∠E′PG′= PG′PE′= 45，∴4−12t23(11−2t)=45，解得t= 5617，综上所述，当S1S ＜13时，请直接写出t的取值范围是7225＜t＜5617．3.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t ，已知点A坐标为（a ，b），且满足（a﹣6）2+| √3a﹣b|=0．（1）求A点坐标；（2）如图1，连接BP、OQ交于点C ，请问当t为何值时，∠OCP=60°；（3）如图2，D为OB边上的中点，P ，Q在运动过程中，D ，P ，Q三点是否能构成使∠PDQ=120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由．【答案】（1）解：∵（a﹣6）2+| √3a﹣b|=0，又∵(a﹣6)2≥0，| √3a﹣b|≥0，∴a=6，b=6 √3∴点A（6，6 √3）；（2）解：如图1中，∵△AOB是等边三角形，点A（6，6 √3）∴AO=BO=AB=12，∠AOB=∠ABO=60°=∠A，∵∠OCP=60°=∠AOB，∴∠AOB=∠QOB+∠AOQ=∠QOB+∠PBO=∠PCO=60°，∴∠AOQ=∠PBO，且AO=BO，∠A=∠AOB=60°，∴△AOQ≌△OBP（ASA），∴OP=AQ，∴12﹣2t=3t，∴t=2.4，∴当t=2.4时，∠OCP=60°；（3）解：如图2中，过点D作DF⊥AO，DE⊥AB，连接AD，∵△ABO是等边三角形，D是OB中点，点A（6，6 √3）∴OD=BD=6，∠AOB=∠ABO=60°，AD=6 √3，又∵∠DFO=∠DEB=90°，∴△ODF≌△BDE（AAS）∴OF=BE，DF=DE，∵AO=AB，∴AO﹣OF=AB﹣BE∴AF=AE，∵DF=DE，PD=DQ，∴Rt△DFP≌Rt△DEQ（HL）∴PF=EQ，∵OD=6，∠AOD=60°，∠DFO=90°，∴∠ODF=30°，∴OF=3，DF= √3OF=3 √3，∴AF=AO﹣OF=9=AE，BE=OF=3，∵AP+AQ=AP+AE+EQ=AP+PF+AE=AF+AE=2AF=18，∴2t+3t=18，∴t=3.6，∴当t=3.6时，D，P，Q三点是能构成使∠PDQ=120°的等腰三角形，∵Rt△DFP≌Rt△DEQ，∴S△DFP=S△DEQ ，∴S四边形APDQ=S四边形AFDQ=S△AOB﹣2S△OFD= 12×12×6 √3﹣2×12×3×3 √3=27 √3．4.如图，△ABC为等边三角形，边长为6，P ，Q分别为AB ，AC边上的动点，点P ，点Q同时个单位每秒的速度从点A向点B运动，点Q以2个单位每秒的速度从点A向点C 从点A出发，若P以32运动，设运动时间为t ．（1）如图1，①当t＝________时，P是线段AB的中点，此时线段AQ与AC的数量关系是AQ＝________AC ．②在点P、Q运动过程中，△APQ是否能构成等腰三角形？________；A ．有可能B ．不可能C ．无法确定（2）如图2，连接CP、BQ交于点M ，请问当t为何值时，∠BMP＝60°；（3）如图3，D为BC边上的中点，P ，Q在运动过程中，D ，P ，Q三点是否能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形？若能，试求：①运动时间t；②设四边形APDQ的面积为S1，△ABC的面积为S2．请直接写出S1与S2的关系式；若不能，请说明理由．＝2，【答案】（1）①当P是AB中点时，AP＝3，故t＝3÷32AC ，此时AQ＝2×2＝4，故AQ＝23；②假设△APQ可以成为等腰三角形，故答案为2，23∵△ABC为等边三角形，即∠A＝60°，则△APQ为等边三角形，而AP≠AQ ，故△APQ不可能为等腰三角形，故答案为B；（2）解：∵△ABC为等边三角形且边长为6，∴AB＝BC＝AB＝6，∠ABC＝∠ACB＝60°＝∠A，∵∠PMB＝60°＝∠ABC，∴∠ABC＝∠QBC+∠ABQ＝∠QBC+∠PCB＝∠PBC，∴∠ABQ＝∠PCB，且AB＝BC，∠A＝∠ABC，∴△ABQ≌△BCP（ASA），∴AQ＝BP，∴6﹣32t＝2t，∴t＝127，∴当t＝127时，∠BMP＝60°；（3）解：①如图，过点D作DF⊥AC，DE⊥AB，连接AD，∵△ABC是等边三角形，D是CB中点，∴CD＝BD＝3，∠ABC＝∠ACB＝60°，AD＝3 √3，又∵∠DFB＝∠DEC＝90°，∴△BDF≌△CDE（AAS），∴BF＝CE，DF＝DE，∵AB＝AC，∴AB﹣BF＝AC﹣CE，∴AF＝AE，∵DF＝DE，PD＝DQ，∴Rt△DFP≌Rt△DEQ（HL），∴PF＝EQ，∵BD＝3，∠ABD＝60°，∠DFB＝90°，∴∠BDF＝30°，∴BF＝32，DF＝√3BF＝3√32，∴AF＝AB﹣BF＝92＝AE，CE＝BF＝32，∵AP+AQ＝AP+AE+EQ＝AP+PF+AE＝AF+AE＝2AF，∴32t+2t＝9，∴t＝187，∴当t＝187时，D，P，Q三点是能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形；②∵Rt△DFP≌Rt△DEQ，∴S△DFP＝S△DEQ ，而S△AOB＝6×3√32，∴S四边形APDQ＝S四边形AFDQ＝S△AOB﹣2S△OFD＝6×3√32﹣2×12×3√32×32＝27√34，故S1=34S2．5.（感知）如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，易知：△ADC≌△BEA．（1）（探究）如图②，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BA、CB的延长线上，且AD=BE，△ADC 与△BEA还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．（2）（拓展）如图③，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，点D、E分别在BA、FB的延长线上，且AD=BE，若AF= 32CF=2BE，S△ABF=6，则S△BCD的大小为________．【答案】（1）解：△ADC与△BEA全等，理由：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，∴∠DAC=180°﹣∠BAC=120°，∠EBA=180°﹣∠ABC=120°，∴∠DAC=∠EBA，∵AD=BE，∴△ADC≌△BEA；（2）拓展：∵∠1=∠2，∴AF=BF，∠DAC=∠EBA，∵AD=BE，AC=AB，∴△ADC≌△BEA（SAS），∴S△ADC=S△BEA ，∵AF=2BE，AF=BF，∴BF=2BE，∴S△ABE= 12S△ABF=3（同高的两三角形的面积比是底的比），∴S△ADC=3，∵AF= 32CF，∴S△BFC= 23S△ABF=4（同高的两三角形的面积比是底的比），∴S△BCD=S△BCF+S△ABF+S△ADC=13，故答案为13． 6.（1）如图1，在△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点画直线EF 与AC 相交于E ， 与AB 的延长线相交于F ， 使BF ＝CE ．①已知△CDE 的面积为1，AE ＝kCE ， 用含k 的代数式表示△ABD 的面积为多少； ②求证：△AEF 是等腰三角形；（2）如图2，在△ABC 中，若∠1＝2∠2，G 是△ABC 外一点，使∠3＝∠1，AH ∥BG 交CG 于H ， 且∠4＝∠BCG ﹣∠2，设∠G ＝x ， ∠BAC ＝y ， 试探究x 与y 之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）、（2）的条件下，△AFD 是锐角三角形，当∠G ＝100°，AD ＝a 时，在AD 上找一点P ， AF 上找一点Q ， FD 上找一点M ， 使△PQM 的周长最小，试用含a 、k 的代数式表示△PQM 周长的最小值________．（只需直接写出结果） 【答案】 （1）解： ①∵AE ＝kCE ， ∴S △DAE ＝kS △DEC ， ∵S △DEC ＝1， ∴S △DAE ＝k ，∴S △ADC ＝S △DAE+S △DEC ＝k+1， ∵D 为BC 中点，∴S △ABD ＝S △ADC ＝k+1．②如图1，过B 点作BG ∥AC 交EF 于G ．∴ ∠BGD =∠CED ， ∠BGF =∠AED 在△BGD 和△CED 中， {∠BGD =∠CED BD =CD ∠BDG =∠CDE，∴△BGD≅△CED（ASA），∴BG＝CE，又∵BF＝CE，∴BF＝BG，∴∠BGF=∠F，∴∠F=∠AED∴AF＝AE，即△AEF是等腰三角形．（2）解：如图2，设AH与BC交与点N，∠2＝α．则∠3＝∠1＝2∠2＝2α，∵AH∥BG，∴∠CNH＝∠ANB＝∠3＝2α，∵∠CNH＝∠2+∠4，∴2α＝α+∠4，∴∠4＝α，∵∠4＝∠BCG﹣∠2，∴∠BCG＝∠2+∠4＝2α，在△BGC中，∠3+∠BCG+∠G=180°，即：4α+x=180°，在△ABC中，∠1+∠2+∠BAC=180°，即：3α+y=180°，x+45°．联立消去α得：y＝34（3）如图3，作P点关于FA、FD的对称点P'、P''，连接P'Q、P'F、PF、P''M、P''F、P'P''，则FP'＝FP＝FP''，PQ＝P'Q ，PM＝P''M ，∠P'FQ＝∠PFQ ，∠P''FM＝∠PFM ，∴∠P'FP''＝2∠AFD ，∵∠G＝100°，∴∠BAC＝34∠G+45°＝120°，∵AE＝AF ，∴∠AFD＝30°，∴∠P'FP''＝2∠AFD＝60°，∴△FP'P''是等边三角形，∴P'P''＝FP'＝FP ，∴PQ+QM+PM＝P'Q+QM+MP''≥P'P''＝FP ，当且仅当P'、Q、M、P''四点共线，且FP⊥AD时，△PQM的周长取得最小值．∵AE=kCE，AF=AE，BF=CE，∴ABAF =k−1k，∴S△ADF=kk−1S△ABD=k(k+1)k−1，∴当FP⊥AD时，FP=2S△ADFAD =2k(k+1)(k−1)a，∴△PQM的周长最小值为2k(k+1)(k−1)a．7.如图，在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=120°，AB=6，点D是射线AM上一点（不与A、B两点重合），点D从点A出发，沿射线AM的方向运动，以CD为一边在CD的右侧作ΔCDE，使CE=CD，∠DCE=∠ACB，连结BE．（1）求∠ABE的度数；（2）是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出线段BD的长；若不存在，请说明理由；（3）ΔBDE的周长是否存在最小值？若存在，求出ΔBDE的最小周长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵AC=BC，∠ACB=120°，∴∠A=∠ABC=30°．∵∠DCE=∠ACB，∴∠DCE－∠DCB=∠ACB－∠DCB，即∠ACD=∠BCE．在ΔACD 与ΔBCE 中，{AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，∴ΔACD≌ΔBCE(SAS)，∴∠A=∠CBE=30°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°（2）解：当点D在线段AB上时，由（1）得∠DBE=60°恒成立，∴∠DBE≠90°，∴ΔDBE为直角三角形分两种情况讨论．①当∠DEB=90°时，∵∠DBE=60°，∴DB=2BE，∵ΔACD≌ΔBCE（已证），∴AD=BE．∵AD+DB=6，∴BE+DB=6，即3BE=6，∴BE=2，∴BD=4；②当∠EDB=90°时，∵∠DBE=60°，∴BE=2BD，∵ΔACD≌ΔBCE（已证），∴AD=BE，∵AD+DB=6，BE=6，∴BE+DB=6，即32∴BE=4，∴BD=2；当点D在AB的延长线上时，∵ΔACD≌ΔBCE（已证），∴∠A=∠CBE=30°，∴∠ABC+∠CBE=30°+30°=60°，∴∠DBE=120°，∴不存在直角三角形，综上所述：当ΔDBE为直角三角形时，BD的长为4或2．（3）解：∵ΔACD≌ΔBCE（已证），∴AD=BE，∴ΔBDE的周长=DB+BE+DE=DB+AD+DE=AB+DE=6+DE，∵CE=CD，∠DCE=∠ACB=120°，∴ DE = √3CD，∴ΔBDE的周长= 6+√3CD，当CD⊥AB时，CD取得最小值为√3，ΔBDE的周长取最小值为9 8.据图回答问题：（1）感知：如图①．AB=AD ，AB ⊥AD ，BF ⊥AF 于点F ，DG ⊥AF 于点G ．求证：△ADG ≌△BAF ； （2）拓展：如图②，点B ，C 在∠MAN 的边AM ，AN 上，点E ，F 在∠MAN 在内部的射线AD 上，∠1，∠2分别是△ABE ，△CAF 的外角，已知AB=AC ，∠1=∠2=∠BAC ．求证：△ABE ≌△CAF ； （3）应用：如图③，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点在D 边BC 上，CD=2BD ，点E ，F 在线段AD 上，∠1=∠2=∠BAC ．若△ABC 的面积为12，则△ABE 与△CDF 的面积之和为________． 【答案】 （1）证明：∵AB ⊥AD ，BF ⊥AF ， ∴∠DAG+∠BAF=90°，∠B+∠BAF=90°， ∴∠DAG=∠B ， 在△ADG 和△BAF 中， {∠DAG =∠B∠AGD =∠BFA =90∘AD =AB ，∴△ADG ≌△BAF （AAS ）； （2）证明：∵∠1=∠2， ∴∠AEB=∠CFA ，∠1=∠ABE+∠BAE ，∠BAC=∠CAF+∠BAE ，∠1=∠BAC ， ∴∠ABE=∠CAF ， 在△ABE 和△CAF 中， {∠AEB =∠CFA ∠ABE =∠CAF AB =AC，∴△ABE ≌△CAF （AAS ）； （3）∵CD=2BD ， ∴S △ADC= 23 S △ABC=8， 由（2）得，△ABE ≌△CAF ，∴△ABE 与△CDF 的面积之和=△CAF 与△CDF 的面积之和=S △ADC=8， 故答案为8．9.在△ABC 中，AB=AC ，P 为平面内一点（1）如图1，若∠BAP=∠CAP求证：BP=CP（2）如图2，若∠APB=∠APC求证：BP=CP（3）如图3，BD为AC边上的高，BE平分∠ABD交AC于点E，EF ⊥BC于F，EF与BD交于点G，若ED= a，CD= b，求△BGC的面积（用含a，b的代数式表示）.【答案】（1）证明：如图1∵AB=AC、∠BAP=∠CAP、AP=AP∴△ABP≌△ACP（SAS）∴BP=CP.（2）解：如下图2过A分别作CP、BP的垂线，交它们的延长线于M、N∴∠AMP=∠ANP=90°∵∠APB=∠APC∴∠APM=∠APN又∵AP=AP∴△APM≌△APN∴AM=AN、PM=PN又∵AB=AC∴△ACM≌△ABN（HL）∴CM=BN∴BP=CP.（3）解：如下图3∵BD⊥CD∴∠DBC=90°-∠ACB又∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=∠ABC-(90°-∠ACB)=2∠ABC-90°∵BE平分∠ABD∴∠EBD=∠ABC-45°∴∠EBF=∠EBD+∠DBC=∠ABC-45°+90°-∠ACB=45°又∵EF ⊥ BC于F∴∠BEF=45°∴∠BEF=∠EBF∴EF=BF∵∠BDE=∠EFB=90°、∠BGF=∠EGD∴∠GBF=∠FEC∴△BGF≌△ECF∴BG=EC=ED+DC=a+b∴△BGC的面积为: BG⋅CD2= b(a+b)2=12ab+12b2 .10.已知：如图1，RtΔABC中，∠ACB=90°，CA=CB，等边ΔCDE的边CE在CB上，点D在AB上.（1）求证：∠ACD=2∠BDE（2）如图2，将ΔADC沿着CD翻折，得到ΔCDF.连接EF，求证：AD=EF（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥CD交CB延长线于点G，若BE=m，DG=4+2m.求ΔFDE的面积.【答案】（1）证明：∵CA=CB，∠ACB=90°，ΔCDE是等边三角形，∴∠B=45°，∠CED=∠DCE=60°，∴∠BDE=∠DEC−∠B=60∘−45∘=15∘，∠ACD=90∘−∠DCE=90∘−60∘=30∘，∴∠ACD=2∠BDE（2）证明：如图示：由折叠可知，∠DFC=∠A=45°，∠ACD=∠FCD=30∘，∴∠FCB=90∘−∠ACD−∠FCD=90∘−30∘−30∘=30∘，在ΔDFG和ΔCGB中，∠DFG=∠B=45°，∠DGF=∠CGB，∴∠FDG=∠FCB=30∘，∴∠FDO=∠FDG+∠GDO=30∘+15∘=45∘，即有：∠FDO=∠FDO=45∘∴ΔDFO是等腰直角三角形，∴OD=OF∵ΔCDE是等边三角形，∠FCB=∠FCD=30∘，∴OD=OE=OF，∴ΔFOE是等腰直角三角形，并ΔFOE≅ΔFOD则ΔDFE是等腰直角三角形，∴DF=FE∴AD=FE；（3）解：如图3所示，∵∠DCG=60∘，DG⊥CD，∴∠DGC=30∘，∴CDDG =CD4+2m=√3，∴CD=√3(4+2m)3，∴DE=CD=√3(4+2m)3，由（2）可知，ΔDFE是等腰直角三角形，∴DFDE=√3(4+2m)3=√2，∴DF=√6(2+m)3，∴SΔFDE=12DF2=12×[√6(2+m)3]2=(2+m)23.11.如图,在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，点D为AB的中点，AE=CF.求证：（1）DE=DF；（2）DE⊥DF；（3）若AC=3，求四边形CFDE的面积.【答案】（1）证明：如图，连接CD.∵BC=AC，∠BCA=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵D为AB中点，∴BD=CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB.∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠FCD=90°，∴∠A=∠FCD，在△ADE和△CFD中，{AE=CF∠A=∠FCDAD=CD，∴△ADE≌△CFD（SAS），∴DE=DF（2）证明：由（1）知，△ADE≌△CFD（SAS），∴∠ADE=∠CDF.∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°，即DE⊥DF（3）证明：∵△ADE≌△CFD，∴S△AED=S△CFD ，∴S四边形CEDF=S△ADC ，∵D是AB的中点，∴S△ACD= 12S△ACB= 12×3×3=4.5.∴S四边形CEDF=4.5.12.在RtΔABC中，∠C=90°,AC=8,BC=6，P、Q分别为边AB、AC的动点.（1）若AP=a，则当AQ=________时，ΔAPQ与ΔABC相似（用含a的式子表示）；（2）若点P从点A处出发，沿线段AB以每秒钟5个单位的速度向点B运动，同时点Q从点C处出发，沿线段CA以每秒钟4个单位的速度向点A运动：①当运动到第几秒时，BQ⊥CP?②令线段PQ的中点为M，则运动过程中，ΔMBC的周长的最小值是多少?【答案】（1）∵∠C=90°,AC=8,BC=6∴AB= √AC2+BC2=√82+62=10当ΔAPQ∼ΔACB时，可知APAB =AQAC，即a10=AQ8解得AQ=45a同理，当ΔAPQ∼ΔABC时，可知APAC =AQAB，即a8=AQ10解得AQ=54a故答案为：45a或54a；（2）解：①如图，过点P做PD⊥AC于点D设两点运动时间为t，则AP=5t，CQ=4t∵DP∥CB∴ADAC =DPCB=APAB∴AD=4t，DP=3t∴DC=8-4t∵∠ACB=90°, BQ⊥CP ∴∠DCP=∠CBQ∵∠ACB=∠PDC=90°∴ΔDCP∼ΔCBQ∴CBDC =CQDP，即68−4t=4t3t解得t= 78，t=0（舍去）②如图，分别取AC、AB中点E、F，接EF，交EF于点M 过点P做PN⊥EF与点N由已知，PF=5-5t∵EF∥CB ，PN∥AC∴ΔPNF∼ΔACB∴PN=4-4t∴PN=QE∵∠QEM=∠PNM=90°∠EMQ=∠NMP∴ΔEMQ≅ΔNMP∴M为PQ中点，故在P、Q运动过程中，PQ中点M在EF上运动. ∵EF为RtΔABC中位线∴点C与点A关于直线EF对称∴当点M与点F重合时，MB+MC最小此时MB+MC=AB=10则ΔMBC的周长的最小值是10+6=16.。

中考压轴题存在性问题——存在等腰、直角三角形问题专项训练 -答案版

中考压轴题存在性问题——存在等腰、直角三角形问题专项训练 -答案版

中考压轴题存在性问题——存在等腰、直角三角形问题专项训练评卷人得分一．解答题（共50小题）1．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当＝时，求t的值；（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．5．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积最大？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．7．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．8．如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△P AM≌△PBM，求点P的坐标；（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S 的最大值；（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．12．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图1，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S，求点E的坐标；△CGO（3）如图2，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．13．如图1，抛物线y＝﹣x2+2x﹣1的顶点A在x轴上，交y轴于B，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与x轴交于C，D，顶点为E（1，4）．（1）求点B的坐标和平移后抛物线的解析式；（2）点M在原抛物线上，平移后的对应点为N，若OM＝ON，求点M的坐标；（3）如图2，直线CB与平移后的抛物线交于F．在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以C，F，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴分别交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t（t＞0）个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．15．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y＝x2+bx﹣的图象经过点C．（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB平分∠CAO；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB＝4OA，tan∠BCO＝2．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒个单位的速度向点C运动，同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点M作MP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．设点M、点N的运动时间为t（s），当t为多少时，△PNE是等腰三角形？18．已知抛物线y＝﹣x2﹣x的图象如图所示：（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为．（2）判断△ABC的形状，并说明理由．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．19．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．20．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC 交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．21．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P 的坐标．24．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C （0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．25．如图1，抛物线y1＝ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．26．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB 于点E，使PE＝DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点B（3，0），经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为C（4，），与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）过点P作PE⊥AC，垂足为点E，作PF∥y轴交直线AC于点F，设点P的横坐标为t，线段EF的长度为m，求m与t的函数关系式．（3）点Q在抛物线的对称轴上运动，当△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P的坐标．30．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0）．与y轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．31．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M 是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在抛物线上找出两点P1，P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出点P1，P2的坐标；（3）在对称轴上是否存在点Q，使得∠BQC为直角，若存在，作出点Q（用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点Q的坐标．32．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，a≠0）经过两点A（2，4），B（4，4），交x轴正半轴于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx的解析式．（2）过点B作BD垂直于x轴，垂足为点D，连接AB，AD，将△ABD以AD为轴翻折，点B的对应点为E，直线DE交y轴于点P，请判断点E是否在抛物线上，并说明理由．（3）在（2）的条件下，点Q是线段OC（不包含端点）上一动点，过点Q垂直于x轴的直线分别交直线DP及抛物线于点M，N，连接PN，请探究：是否存在点Q，使△PMN 是以PM为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．33．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．如图，已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y 轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0，）时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C 的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．35．如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC．（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接P A、PB，设点E运动的时间为t（0＜t ＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△PEF是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b1（k1，b1为常数，且k1≠0），直线l2：y＝k2x+b2（k2，b2为常数，且k2≠0），若l1⊥l2，则k1•k2＝﹣1．解决问题：①若直线y＝3x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，求m的值；②抛物线上是否存在点P，使得△P AB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB 的距离的最大值．38．已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．（1）求c1的解析式；（2）若直线l1：y＝x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y＝n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△P AB为等腰三角形．39．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．①当PE＝2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．40．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2过点A（﹣2，0），B（2，2），与y轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx+2的函数表达式；（2）若点D在抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；（3）在抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．41．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C （0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．42．如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设S△BCD：S△ABD＝k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．43．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D （2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△P AE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．44．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x＝1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N 从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．45．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N 从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．46．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．47．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3），直线BC与y轴交于点D，E为二次函数图象上任一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点E在直线BC的上方，过E分别作BC和y轴的垂线，交直线BC于不同的两点F，G（F在G的左侧），求△EFG周长的最大值；（3）是否存在点E，使得△EDB是以BD为直角边的直角三角形？如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．48．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），C（0，3），将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE面积S的最大值；（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的坐标．49．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．50．如图，在矩形OABC纸片中，OA＝7，OC＝5，D为BC边上动点，将△OCD沿OD折叠，当点C的对应点落在直线l：y＝﹣x+7上时，记为点E，F，当点C的对应点落在边OA上时，记为点G．（1）求点E，F的坐标；（2）求经过E，F，G三点的抛物线的解析式；（3）当点C的对应点落在直线l上时，求CD的长；（4）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以E，F，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．中考压轴题存在性问题——存在等腰、直角三角形问题专项训练参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点C、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）当△AOC∽△AEB时，＝（）2＝（）2＝，求出y E＝﹣，由△AOC∽△AEB得：，即可求解；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，即可求解；（4）①当点Q为直角顶点时，由Rt△QHM∽Rt△FQM得：QM2＝HM•FM；②当点H为直角顶点时，点H（0，2），则点Q（1，2）；③当点F为直角顶点时，同理可得：点Q（1，﹣）．【解答】解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）由题，∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时＝（）2＝（）2＝，∵S△AOC＝1，∴S△AEB＝，∴AB×|y E|＝，AB＝4，则y E＝﹣，则点E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：∴；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CF sin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝AB cos∠ABE＝AB cos∠ACO＝4×＝，|y|＝OB tan∠ABE＝OB tan∠ACO＝3×＝，∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：由（3）易得F（0，﹣），∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m+），解得：m＝，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣）；综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、三角形相似、图形的面积计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x2﹣4x﹣12）＝ax2﹣4ax﹣12a，即：﹣12a＝6，即可求解；（2）①将点M的坐标代入抛物线表达式，即可求解）；②分∠BMD为直角、∠MBD为直角、∠MDB为直角三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x2﹣4x﹣12）＝ax2﹣4ax ﹣12a，即：﹣12a＝6，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，令y＝0，解得：x＝4或﹣2，故点A（﹣2，0），函数的对称轴为：x＝2，故点D（2，8）；（2）将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：，解得：，故直线AD的表达式为：y＝2x+4，设点N（n，2n+4），∵MN＝OA＝2，则点M（n+2，2n+4），①将点M的坐标代入抛物线表达式得：2n+4＝﹣（n+2）2+2（n+1）+6，解得：n＝﹣2±2，故点M的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）；②点M（n+2，2n+4），点B、D的坐标分别为（6，0）、（2，8），则BD2＝（6﹣2）2+82，MB2＝（n﹣4）2+（2n+4）2，MD2＝n2+（2n﹣4）2，当∠BMD为直角时，由勾股定理得：（6﹣2）2+82＝（n﹣4）2+（2n+4）2+n2+（2n﹣4）2，解得：n＝，当∠MBD为直角时，同理可得：n＝﹣4，当∠MDB为直角时，同理可得：n＝，故点M的坐标为：（﹣2，﹣4）或（，）或（，）或（，）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理的运用等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．。

中考数学压轴题专题--函数图象中点的存在性问题（很好的一个专题训练并有试题详细解析及参考答案）

中考数学压轴题专题--函数图象中点的存在性问题（很好的一个专题训练并有试题详细解析及参考答案）

中考数学压轴题专题--函数图象中点的存在性问题（很好的⼀个专题训练并有试题详细解析及参考答案）1、如图1，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的⼤⼩；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1．详细解析及参考答案：（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂⾜为H ．在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°，所以AH ＝1，OH 3A (13)-．因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，设y ＝ax (x －2)，代⼊点A (13)-，可得3a =．图2 所以抛物线的表达式为23323(2)y x x =-=．（2）由22323331)y x x ==- 得抛物线的顶点M 的坐标为3(1,．所以3tan BOM ∠=．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A (13)-、B (2,0)、M 3(1,，得3tan 3ABO ∠=，23AB =233OM =．所以∠ABO ＝30°，3OAOM=因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°．△ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：①如图3，当BA OABC OM ==时，2BC ===．此时C (4,0)．②如图4，当BC OABA OM==时，6BC ===．此时C (8,0)．图3 图4考点伸展：在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标．如图5，因为△BOM 是30°底⾓的等腰三⾓形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底⾓为30°的等腰三⾓形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．图52、如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（⽤含b 的代数式表⽰）；（2）请你探索在第⼀象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的⾯积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直⾓顶点的等腰直⾓三⾓形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进⼀步探索在第⼀象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三⾓形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1详细解析及参考答案：（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂⾜分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ??+??=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3 （3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =?时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14bb =-．解得8b =±Q 为(1,2．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

中考数学压轴题目十大类型之三角形的存在问题目备考练习

中考数学压轴题目十大类型之三角形的存在问题目备考练习

中考数学压轴题目十大类型之三角形的存在问题目备考练习
【中考数学压轴题】十大类型之三角形的存在性
问题备考练习
一、解答题(共2道，每道50分)
1.如图，已知直线l1的解析式为y=3x+6，直线l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线l2经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（1＜t＜10）．（1）求直线l2的解析式．（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式．（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？
2.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x
轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连结AC、BC，A、C两点的坐标分别为A(-3,0)、C，且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等．（1）求实数a、b、c的值；（2）若点M、N 同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC 边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．。

九年级数学中考复习：压轴训练之图形存在性问题(包含答案)

九年级数学中考复习：压轴训练之图形存在性问题(包含答案)

2021 中考数学压轴训练之图形存在性问题〔含答案〕1.如图，抛物线 y＝ax2＋ bx＋ 4 与 x 轴交于点 A(－ 1， 0)、B(8， 0)，与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线的分析式；(2)点 P 是线段 BC 上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，交 x 轴于点 N，过点 M 作 MH ⊥ BC 于点 H ，求△ PMH 周长的最大值；(3)在 (2) 的条件下，能否存在点 P，使得以点 P、 C、 M 为极点的三角形与△ OBC 相像？假定存在，求出点P 的坐标，假定不存在，请说明原因．第1题图解： (1)将点 A(－ 1， 0)， B(8， 0)分别代入 y＝ ax2＋ bx＋ 4 中，a－ b＋ 4＝ 0得，64a＋ 8b＋ 4＝01a＝－2解得，7b＝217∴抛物线的分析式为 y＝－2x2＋2x＋ 4；(2)对于 y＝－12x2＋72x＋ 4，令 x＝ 0，那么 y＝ 4，∴点 C 的坐标为 (0， 4)，设直线 BC 的分析式为 y＝ kx＋ t，将点 B(8， 0)， C(0，4)分别代入得，8k＋t ＝ 0k＝－12，，解得t＝ 4t＝ 4∴直线 BC 的分析式为 y＝－1x＋4，2设点 P 的坐标为 (m，－112＋72m＋4) ，那么点 M 的坐标为 (m，－2m2m＋4)，∴PM＝－12711212＋8，2m＋2m＋4－ (－2m＋ 4)＝－2m ＋ 4m＝－2(m－ 4)1∵－2<0 ，∴当 m ＝ 4 时， PM 有最大值，其最大值为 8，∵ MH ⊥ BC ， MN ⊥AB ， ∴∠ MHP ＝∠ PNB ＝ 90°，∵∠ MPH ＝∠ BPN ， ∴∠ HMP ＝∠ ABC ，∵∠ MHP ＝∠ BOC ＝ 90°， ∴△ MPH ∽△ BCO ，∵ OC ＝ 4， OB ＝ 8， ∴ BC ＝ 42＋ 82＝ 4 5，∴△ OBC 的周长为 4＋ 8＋ 4 5＝ 12＋ 4 5，设△ PMH 的周长为 L ，那么L＝ 8 ，解得 L ＝24 5＋8，12＋4 5 4 55245∴△ PMH 周长的最大值为＋ 8；(3)存在，①当∠ MCP ＝90°时，易得△ MPC ∽△ BCO ，第1题解图①如解图①，过点 M 作 MG ⊥OC 于点 G ，∴∠ GCM ＋∠ BCO ＝∠ OBC ＋∠ BCO ＝ 90°， ∴∠ GCM ＝∠ OBC ，∵∠ CGM ＝∠ BOC ＝90°， ∴△ CMG ∽△ BCO ，MG OC 1∴ CG ＝OB ＝2，1∴MG ＝2CG ，由 (2)知，点 P 的坐标为 (m ，－12m ＋4)，点 M 的坐标为 (m ，－ 12m 2＋72m ＋4) ，∴ m ＝ 1CG ＝1(OG － OC)＝ 1(－ 1m 2＋7m ＋ 4－ 4)，22222 整理得 m 2－ 3m ＝ 0，解得 m ＝ 0(舍去 ) 或 m ＝3，5∴点 P 的坐标为 (3， 2)；第1题解图②②当∠ PMC ＝90°时，如解图②，易得△CPM ∽△ BCO，∵∠ MNO ＋∠ CMP ＝ 180°，∴CM∥ OB，∴MN＝ OC＝ 4，17∴－ m2＋ m＋ 4＝ 4，22解得 m＝ 0(舍去 ) 或 m＝7，1∴点 P 的坐标为 (7，2)，综上所述，存在知足条件的点51)．P，点 P 的坐标为 (3， ) 或(7，222. 如图，以 D 为极点的抛物线 y＝－ x2＋ bx＋c 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，直线 BC 的表达式为 y＝－ x＋3.(1)求抛物线的表达式；(2)在直线 BC 上有一点 P，使 PO＋PA 的值最小，求点P 的坐标；(3)在 x 轴上能否存在一点Q，使得以 A、C、 Q 为极点的三角形与△BCD 相像，假定存在，恳求出点Q的坐标；假定不存在，请说明原因．第2题图解： (1)∵直线 y＝－ x＋3 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，当 x ＝ 0 时， y＝ 3，当 y＝ 0 时， x＝ 3，∴B 点坐标是 (3，0)， C 点坐标是 (0， 3)，∵抛物线 y＝－ x2＋ bx＋ c 经过 B， C 两点，c＝3，解得c＝ 3∴，－9＋ 3b＋ c＝ 0b＝ 2∴抛物线的分析式为：y＝－ x2＋ 2x＋ 3；(2)如解图，作点O 对于直线BC 的对称点O′，连结 O′C， O′ B， O′ A，O′O，∵点 B， C 两点的坐标分别是(3， 0)和 (0， 3)，∴四边形COBO ′为正方形，∴ O ′的坐标为 (3， 3)，∵抛物线 y ＝－ x 2＋ 2x ＋ 3 交 x 轴于 A ，B 两点， ∴当 y ＝0 时，－ x 2＋2x ＋ 3＝ 0，解得： x 1＝－ 1， x 2＝ 3，∴ A 点坐标是 (－ 1，0) ， 设直线 AO ′的分析式为 y ＝ kx ＋ b ， ∵ A(－1， 0)， O ′ (3， 3)，3∴ －k ＋ b ＝ 0 k ＝ 4，解得，3k ＋ b ＝ 3 b ＝ 3433∴直线 AO ′的分析式为： y ＝ 4x ＋ 4，直线 AO ′与直线 BC 的交点就是使PO ＋PA 的值最小的点 P 的地点，3 3x ＝ 9 ∴联立直线 AO ′与直线 BC 的分析式，得7y ＝ 4x ＋4 ，解得，12y ＝－ x ＋3y ＝ 7∴点 P 的坐标是 (9，127 7)；(3)存在．抛物线的分析式可化为 y ＝－ (x － 1)2＋ 4，∴点 D 的坐标是 (1， 4)，∵ B(3， 0)，C(0， 3)，∴ BC ＝ 3 2， CD ＝ 2， BD ＝ 2 5，∴ BC 2＋ CD 2＝ BD 2，即∠ DCB ＝ 90°， ∵点 Q 在 x 轴上， ∴∠ CAQ ≠ 90 °，①当∠ CQA ＝ 90°时， Q 点与原点重合，此时 AQ ＝ 1， CQ ＝3， AC ＝ 10，∵AQ ＝ CQ ＝ AC ＝ 2，DCBCDB 2∴△ ACQ ∽△ DBC ，此时 Q(0， 0);②当∠ ACQ ＝ 90°时，△ ACQ ∽△ DCB ∽△ AOC ，∴OA ＝AC， 1 ＝10，∴ AQ ＝ 10，CA AQ 10 AQ∵ A(－1， 0)，∴ Q(9， 0)；综上所述，在 x 轴上存在点 Q ，使得以 A 、 C 、 Q 为极点的三角形与△ BCD 相像，点 Q 的坐标是 (9， 0)或(0 ，0)．第 2题解图3.如图，抛物线 y＝ x2－ 2x－ 3 经过点 A 〔 2，－ 3〕，与 x 轴负半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，且OC＝ 3OB.(1)求点 B，C 的坐标；(2)假定点 D 在 y 轴上，且∠ BDO＝∠ BAC，求点 D 的坐标；(3)假定点 M 为抛物线上一点，点N 在抛物线的对称轴上，能否存在以点A、B、M、N平行四边形？假定存在，求出全部切合条件的点M 的坐标，假定不存在，请说明原因．为极点的四边形是第3题图解： (1)令 x＝0 得 y＝－ 3，∴C(0，－ 3)，∴OC＝ 3，∵OC＝ 3OB，∴OB＝ 1，∴B(－1， 0)，把 A(2，－ 3)， B(－ 1，0)分别代入 y＝ ax2＋ bx－3 得：a－b－ 3＝ 0，解得4a＋2b－ 3＝－ 3a＝ 1，b＝－ 2∴抛物线的分析式为(2)如解图①，过点y＝ x2－ 2x－3；B 作 BE⊥AC，交AC 延伸线于点 E.第3题解图①∵C(0，－ 3)， A(2，－ 3)，∴ AC∥ x 轴，∴ BE＝ 3，又∵ OB＝1，∴AE＝ 3，∴ AE＝ BE，∴∠ BAE＝45°，∵∠ BDO＝∠ BAC＝ 45°，∴OB＝ OD，∴D 点的坐标为 (0， 1)或 (0，－ 1)，(3)存在．如解图②.第3题解图②当 AB∥ MN 时，由 AB＝ MN ＝ 3 2，可知点 M 与对称轴的距离为3，由 y＝ x2－ 2x－ 3 可得对称轴为直线 x＝ 1，∴点 M 的横坐标为 4 或－ 2，把 x＝ 4 和－ 2 分别代入 y＝ x2－ 2x－ 3 可得点 M 坐标，把x＝－ 2 代入 y＝x2－2x－ 3 得 y＝ 4＋ 4－3＝ 5，∴M1(－ 2， 5)．把 x＝ 4 代入 y＝ x2－ 2x－ 3 得 y＝16－ 8－ 3＝ 5，∴ M2(4， 5)，当 MN 与 AB 相互均分时，四边形AMBN 是平行四边形，由AC＝ BN＝2，可知点 M 与点 C 重合，∴点 M3坐标为 (0，－ 3)，∴M 的坐标为 (－ 2， 5)或 (0，－ 3)或 (4， 5)．4.如图，抛物线极点 P(1， 4)，与 y 轴交于点 C(0， 3)，与 x 轴交于点 A， B.(1)求抛物线的分析式；(2)Q 是抛物线上除点P 外一点，△ BCQ 与△ BCP 的面积相等，求点Q 的坐标；(3)假定 M， N 为抛物线上两个动点，分别过点M， N 作直线 BC 的垂线段，垂足分别为D，E，能否存在点 M， N 使四边形MNED 为正方形？假如存在，求正方形MNED 的边长；假如不存在，请说明原因．第2题图解： (1)设抛物线分析式为： y＝ a(x－1) 2＋4(a≠0)．∵抛物线过点 C(0， 3)，∴a＋ 4＝ 3，∴ a＝－ 1.∴ y ＝－ (x －1) 2＋4＝－ x 2＋ 2x ＋ 3； (2)由 (1) 得，抛物线的分析式为 y ＝－ x 2＋ 2x ＋ 3，令 y ＝ 0，解得 x 1＝－ 1， x 2＝ 3，∴ A(－1， 0)， B(3， 0)，∵ C(0， 3)，∴直线 BC 的分析式为 y ＝－ x ＋3， ∵ S △ BCP ＝ S △ BCQ ，∴点 P 、 Q 到 BC 的距离相等．①当点 P 、 Q 位于 BC 的同侧时，如解图①，过点 P 作 PQ ∥BC 交抛物线于 Q ，又∵ P(1， 4)，∴直线 PQ 的分析式为 y ＝－ x ＋5，联立y ＝－ x ＋ 5，y ＝－ x 2＋ 2x ＋3.x 1＝ 1 x 2 ＝ 2解得 (舍去 )， ，y 1＝ 4 y 2 ＝ 3∴ Q 1(2，3)．第4题解图①②当点 P 、 Q 位于 BC 的异侧时，设抛物线的对称轴交 BC 于点 G ，交 x 轴于点 H ，∴ G(1， 2)，∵此时点 P 、H 到 BC 的距离相等，∴ H(1， 0)， ∴ PG ＝ GH ＝ 2，如解图①，过点 H 作 Q 2Q 3∥BC 交抛物线于点Q 2，Q 3.直线 Q 2Q 3 的分析式为 y ＝－ x ＋1， 联立y ＝－ x ＋ 1，y ＝－ x 2＋ 2x ＋3.x 1＝ 3＋ 173－ 172x 2＝ 2解得，，y 1＝－1－ 17－1＋ 172y 2＝2∴ Q 2( 3－ －1＋ 173＋ 17， －1－ 1717，)， Q 3(2)．2 22综上所述，知足条件的点Q 的坐标为 (2，3)或(3－17，－1＋ 17)或 (3＋17，－ 1－17 22)；22第4题解图②(3)存在知足条件的M，N.如解图②，过点那么△ MNF 与△NEHM 作 MF ∥ y 轴，过点都是等腰直角三角形．N 作NF∥ x 轴交MF于点F ，过点N 作NH ∥ y 轴交BC于点H.设 M(x1， y1)，N(x2， y2)，直线MN的分析式为y＝－ x＋ b.y＝－ x＋ b，∵y＝－ x2＋ 2x＋ 3，∴x2－ 3x＋ (b－3)＝ 0.∴NF2＝ |x1－ x2|2＝(x1＋ x2)2－ 4x1x2＝ 21－ 4b.∵△ MNF 为等腰直角三角形，∴MN 2＝ 2NF 2＝ 42－ 8b.∵直线 MN 与 y 轴交点 (0， b)到点 C(0， 3)的距离为 |b－3|，∴NH2＝ (b－ 3)2，2∵ NE＝2 NH，1∴ NE2＝2(b－ 3)2.假如四边形MNED 为正方形，∴NE2＝ MN 2，∴42－8b＝12(b2－ 6b＋9) ．∴b2＋ 10b－ 75＝ 0，∴b1＝－ 15， b2＝ 5.∵正方形边长为MN ＝42－ 8b，∴MN＝ 9 2或 2，∴正方形MNED 的边长为9 2或 2.5. 如图，抛物线y＝ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)的对称轴为直线x＝－ 1，且抛物线与x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，此中 A(1，0)， C(0， 3)．(1)假定直线 y＝mx＋ n 经过 B， C 两点，求直线BC 和抛物线的分析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－ 1 上找一点M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求点M 的坐标；(3)设点 P 为抛物线的对称轴x＝－ 1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．第5题图－ 2a b＝－ 1解： (1)由题意得： a ＋ b ＋ c ＝0，c ＝ 3a ＝－ 1解得 b ＝－ 2，c ＝ 3∴抛物线分析式为 y ＝－ x 2－ 2x ＋3，∵对称轴为 x ＝－ 1，抛物线经过 A(1， 0)， ∴ B(－3， 0)，∴把 B(－ 3， 0)、 C(0， 3)分别代入 y ＝ mx ＋ n ，－3m ＋n ＝ 0 得 ，n ＝3m ＝1解得 ，n ＝ 3∴直线 BC 的分析式为y ＝ x ＋ 3；第 5题解图(2)设直线 BC 与对称轴 x ＝－ 1 的交点为 M ，如解图，连结 AM ，∵ MA ＝MB ，∴ MA ＋MC ＝MB ＋MC ＝BC ，∴使 MA ＋ MC 最小的点 M 应为直线 BC 与对称轴 x ＝－ 1 代入直线 y ＝ x ＋3，得 y ＝ 2， ∴ M(－ 1， 2)，(3)设 P(－ 1， t)，∵ B(－ 3， 0)， C(0， 3)，∴ BC 2＝ 18，PB 2＝ (－1＋ 3)2＋ t 2＝ 4＋ t 2，PC 2＝ (－ 1)2 ＋ (t － 3)2＝ t 2－ 6t ＋ 10，①假定 B 为直角极点，那么 BC 2＋ PB 2＝ PC 2，即 18＋ 4＋ t 2＝ t 2－ 6t ＋10，解得 t ＝－ 2；②假定 C 为直角极点，那么 BC 2＋ PC 2＝ PB 2，即 18＋ t 2－ 6t ＋ 10＝ 4＋ t 2，解得 t ＝ 4；③假定点 P 为直角极点，那么PB 2 ＋PC 2＝ BC 2，即 4＋ t 2＋ t 2－ 6t ＋ 10＝ 18，解得 t 1＝3＋17， t 2＝ 3－ 17，2 2 综上所述， 知足条件的点3＋ 17P 共有四个， 分别为为 P 1(－1，－2) ，P 2(－ 1，4)，P 3(－ 1，2 )，P 4(－ 1，3－ 172)．6. 如图，二次函数 y ＝4x 2＋ bx ＋ c 的图象与 x 轴交于 A(3，0) 、B(－ 1， 0)，与 y 轴交于点 C.假定点 P 、3Q 同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 AB 、 AC 运动，此中一点抵达端点时，另一点也随之停止运动．(1)求该二次函数的分析式及点C 的坐标；(2)当 P 、 Q 运动 t 秒时，将△ APQ 沿 PQ 翻折，点 A 恰巧落在抛物线上 D 点处，判断四边形APDQ 的形状，并说明原因； (3)当点 P 运动到 B 点时，点角形为等腰三角形？假定存在，恳求出第6题图Q 停止运动，这时，在x 轴上能否存在点E 点坐标，假定不存在，请说明原因．E ，使得以A 、E 、Q 为极点的三4解： (1)∵二次函数 y ＝ 3x 2＋ bx ＋ c 的图象与 x 轴交于 A(3 ，0) 、B(－ 1， 0)两点，40＝ 3× 9＋ 3b ＋ c∴，0＝ 43× 1－ b ＋ c8解得b ＝－3，c ＝－ 4∴二次函数的分析式为y ＝4x 2－ 8x － 4，3 3∴ C(0，－ 4)；(2)四边形 APDQ 为菱形，原因以下：如解图①所示，第6题解图①∵AP＝ AQ＝ t， AP＝ DP ，AQ＝ DQ ，∴ AP＝ AQ＝ DQ＝ DP，∴四边形 APDQ 为菱形；(3)存在．如解图②，过点Q 作 QM⊥OA 于点 M，此时 QM∥OC，第6题解图②∵A(3， 0)，B(－ 1， 0)，C(0，－ 4)，∴ AB＝ 4，OA＝ 3， OC＝ 4，∴AC＝ 32＋ 42＝ 5，∵当点 P 运动到 B 点时，点 Q 停止运动， AB＝ 4，∴AQ＝ 4.∵QM∥ OC，∴△ AMQ ∽△ AOC，∴QMOC＝AMAO＝AQAC，∴QM＝AM＝ 4，4351612∴QM＝5，AM＝5，316 设 E(x，0) ，∵ Q(5，－5 )，那么 AE2＝ (3－ x)2， AQ2＝ AB2＝ 16， EQ2＝ (35－ x)2＋ (165)2，①当 AE 2＝ AQ2，即 (3－ x)2＝ 16 时，解得 x1＝－ 1， x2＝ 7，②当 AE 2＝ EQ2，即 (3－ x)2＝ (3－ x)2＋ (16)2，551解得 x3＝－3，③当 AQ 2＝ EQ2，即 (35－ x)2＋ (165)2＝ 16 时，9解得 x3＝－5， x4＝ 3(舍 )，综上所述，存在知足条件的点E，点 E 的坐标为 (－13， 0)或 (－95， 0)或 (－ 1， 0)或 (7， 0)．7.如图，抛物线经过原点 O(0，0)，与 x 轴交于点 A(3， 0)，与直线 l 交于点 B(2，－ 2)．(1)求抛物线的分析式；第7题图(2)点 C 是 x 轴正半轴上一动点，过点 C 作 y 轴的平行线交直线l 于点 E，交抛物线于点 F ，当 EF＝ OE 时，恳求出点 C 的坐标；(3)点 D 为抛物线的极点，连结OD，在抛物线上能否存在点P，使得∠ BOD＝∠ AOP？假如存在，请直接写出点P 的坐标；假如不存在，请说明原因．解： (1) 由题意可设抛物线的分析式为y＝ ax2＋ bx，将A(3， 0)， B(2，－ 2)代入y＝ ax2＋ bx中，得9a＋ 3b＝0a＝ 1，解得，4a＋ 2b＝－ 2b＝－ 3∴抛物线的分析式为y＝ x2－ 3x；(2)方法一：设直线l 的分析式为y＝ kx，将 B(2，－ 2)代入 y＝kx 中，得－ 2＝ 2k，解得 k＝－ 1，∴直线 l 的分析式为 y＝－ x，设点 C 的坐标为 (n， 0)，那么点 E 的坐标为 (n，－ n)，点 F 的坐标为 (n，n2－3n)．①当点 C 在点 A 的左边时，如解图①所示， EF＝－ n－ (n2－ 3n)＝－ n2＋ 2n，OE＝n2＋〔－ n〕2＝2n，∵EF＝ OE，∴－ n2＋ 2n＝2n，解得 n1＝0(C， E， F 三点均与原点重合，舍去)， n2＝ 2－2，∴点 C 的坐标为 (2－2， 0)；②当点 C 在点 A 的右边时，如解图②所示，EF＝ n2－ 3n－(－ n)＝ n2－ 2n，OE＝n2＋〔－ n〕2＝2n ，∵EF＝ OE，∴n2－ 2n＝ 2n，解得 n1＝0(C， E， F 均与原点重合，舍去)， n2＝2＋2，∴点 C 的坐标为 (2＋2， 0)；方法二：设直线l 的分析式为y＝ kx，将点 B(2，－ 2) 代入 y＝ kx 中，得－ 2＝ 2k，解得 k＝－ 1，∴直线 l 的分析式为y＝－ x，∴∠ AOB＝ 45°，∵CF∥ y 轴，∴△ OCE 为等腰直角三角形，∴OE＝ 2CE，∵ EF＝ OE，∴EF＝ 2CE.设点 C 的坐标为 (m，0)，那么点 E 的坐标为 (m，－m)，点 F 的坐标为 (m， m2－3m)，当点 C 在点 A 左边时，如解图①所示，EF ＝－ m－(m2－ 3m)＝－ m2＋2m， CE＝ m，由 EF＝ 2CE 得－ m2＋ 2m＝ 2m，解得 m1＝ 0(C，E， F 点均与原点重合，舍去)， m2＝2－2，∴ C 点的坐标为 (2－2， 0)；第7题解图①当点 C 在 A 点右边时，如解图②所示， EF＝ m2－ 3m－ (－ m)＝ m2－ 2m，CE ＝m，由 EF＝ 2CE 得 m2－2m＝ 2m，解得 m 3＝ 0(C ，E ， F 三点均与原点重合，舍去 )，m 4＝ 2＋ 2，∴ C 点的坐标为 (2＋ 2， 0)．综上所述，当 EF ＝ OE 时，点 C 的坐标为 (2－2， 0)或 (2＋ 2， 0)；第7题解图②14 1416 16 (3)存在点 P 使得∠ BOD ＝∠ AOP ，点 P 的坐标为 ( 5，－25)或 ( 5 ，25)．8.如图，点 A(－ 1，0) ，B(3， 0)， C(0， 1)在抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋c 上．第8题图(1)求抛物线分析式；(2)在直线 BC 上方的抛物线上求一点P ，使△ PBC 面积为 1；(3)在 x 轴下方且在抛物线对称轴上，能否存在一点 Q ，使∠ BQC ＝∠ BAC ？假定存在，求出Q 点坐标；假定不存在，说明原因．1 2x ＋ 1；解： (1)抛物线的分析式为 y ＝－ x 2＋3 31(2)由 B(3， 0)， C(0， 1)可得直线 BC 分析式为 y ＝－ 3x ＋ 1，如解图①，过点 P 作直线 PD ⊥ x 轴交直线BC 于点 D .连结 PC ， PB ，第8题解图①设 P(x，－1 2213x ＋3x＋ 1)，易得 D(x，－3x＋ 1)，∴PD＝－13x2＋ x，∴S△PBC＝ S△PDC＋ S△PDB＝12PD(x B－ x C)＝－12x2＋32x，又∵ S△PBC＝ 1，∴－1x2＋3x＝ 1，∴ x2－ 3x＋ 2＝ 0，224解得 x2＝ 1， x2＝ 2，∴ P1(1，3)， P2(2， 1)；(3)存在，原因以下：如解图，∵A(－1， 0)， C(0， 1)，∴OC＝ OA＝1，∴∠ BAC＝ 45°，∵∠ BAC＝∠ BQC，∴∠ BQC＝ 45°，∴点 Q 为△ ABC 外接圆与抛物线对称轴在x 轴下方的交点．设△ ABC 外接圆心为M，∵线段 AC 的垂直均分线为直线y＝－ x，线段 AB 的垂直均分线为直线x＝ 1，∴点 M 为直线 y＝－ x 与直线 x＝ 1 的交点，即M(1，－ 1)．∴∠ BMC ＝ 2∠ BQC ＝ 90°，又∵ MQ ＝ MB ＝5，∴ y Q＝－ (1＋5)＝－ 1－5，∵点 Q 在直线 x＝ 1 上，∴ x Q＝ 1，∴ Q(1，－ 1－5) ．第8题解图②9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 交 x 轴于 A、B 两点 (A 在 B 的左边 )，且 OA＝3， OB＝ 1，与 y 轴交于 C(0， 3)，抛物线的极点坐标为D(－ 1， 4)．第9题图(1)求 A、 B 两点的坐标；(2)求抛物线的分析式；(3)过点 D 作直线 DE ∥y 轴，交 x 轴于点 E，点 P 是抛物线上 B、 D 两点间的一个动点 (点 P 不与 B、D两点重合 )， PA、 PB 与直线 DE 分别交于点 F 、 G，当点 P 运动时， EF ＋ EG 能否为定值？假定是，试求出该定值；假定不是，请说明原因．解： (1)由题意得，点 A 的坐标为 (－ 3， 0)，点 B 的坐标为 (1， 0)；(2)设抛物线的分析式为y＝ a(x＋ 3)(x－ 1)，将点 C(0， 3)代入得 3＝ a× 3× (－ 1)，∴ a＝－ 1，∴抛物线的分析式为y＝－ (x＋ 3)(x－ 1)＝－ x2－ 2x＋ 3；(3)EF ＋ EG 为定值， EF ＋EG＝ 8.如解图，过点P 作 PQ∥ y 轴，交 x 轴于点 Q，第 9题解图设 P(t，－ t2－ 2t＋ 3)，那么 PQ＝－ t2－2t ＋ 3， AQ＝ 3＋t，QB＝ 1－ t，∵ DE∥ y 轴，∴ PQ∥ DE，∴△ AEF ∽△ AQP ，∴AE＝EF，点 E 的横坐标与点 D 的横坐标同样，AQ PQ∵A(－3， 0)， E(－ 1，0)， B(1， 0)，∴ AE ＝ BE ＝ 2，∴EF ＝ AE · PQ ＝ 2×〔－ t 2－ 2t ＋ 3〕 ＝2×〔 1－ t 〕〔 t ＋ 3〕 ＝ 2(1－ t)，AQ3＋ t3＋t又∵ PQ ∥EG ， ∴△ BEG ∽△ BQP ，BE EG ∴ BQ ＝ PQ ，∴ EG ＝ BE · PQ ＝2×〔－ t 2－ 2t ＋ 3〕＝ 2×〔 1－t 〕〔 t ＋3〕 ＝ 2(t ＋ 3)，BQ 1－ t 1－ t ∴ EF ＋ EG ＝ 2(1－t)＋ 2(t ＋ 3)＝ 8.10.如图，抛物线 y ＝ 12x 2＋ bx －2 与 x 轴订交于 A ， B 两点，与 y 轴交于 C 点，且点 A(－1， 0)．(1)求抛物线的分析式及极点D 的坐标；(2)判断△ ABC 的形状，并证明你的结论；(3)点 M 是 x 轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M 的坐标．第10题图解： (1)∵ A( －1， 0)在抛物线上，∴ 0＝1× (－ 1)2－ b － 2，2解得 b ＝－32，∴抛物线的分析式为y ＝ 12x2－32x － 2，∵ y ＝ 12 3 13 2252x－2x － 2＝ 2(x － 2) － 8 ，∴ D 点坐标为 (3，－25)；28(2)△ ABC 为直角三角形，证明以下：1231 2 3∵在 y ＝2x － 2x － 2 中，令 y ＝ 0，可得 0＝2x －2x － 2，解得 x ＝－ 1 或 x ＝4， ∴ B(4， 0)，令 x ＝ 0，可得 y ＝－ 2，∴ C(0，－ 2)，∴ OA ＝ 1，OB ＝ 4， OC ＝ 2，由勾股定理可得， AC 2 ＝OA 2 ＋OC 2＝ 1＋ 4＝ 5， BC 2＝ OB 2＋OC 2＝ 16＋ 4＝ 20，又∵ AB 2＝ 52＝ 25，∴AC2＋ BC2＝ AB2，∴△ ABC 为直角三角形；(3)如解图，作点 C 对于 x 轴的对称点E，连结 DE 交 x 轴于点 M，第 10 题解图∵C(0，－ 2)，∴ E(0， 2)，设直线 DE 的分析式为y＝ kx＋ b′，把 D、 E 坐标代入可得，2＝ b′253，－8＝2k＋ b′41解得k＝－12，b′＝ 2∴直线 DE 的分析式为 y＝－4124，12x＋ 2，令 y＝0，可得 x＝41∴当△ DCM 的周长最小时，点M 的坐标为 (24， 0)．41。

2021届中考数学压轴题专题突破09 三角形问题【含答案】

2021届中考数学压轴题专题突破09 三角形问题【含答案】

2021届中考数学压轴题专题突破09 三角形问题【含答案】一、单选题1．如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A 同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ 为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】D【关键点拨】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．2．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，并以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE.试判断下列结论：①AE=BD；②AE与AB所夹锐夹角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2 .正确的序号有（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，又∵AC=BC，CE=CD，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，∴∠BAE=120°，∴∠EAD=60°，②正确，∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴AC=AD，∵CE=DE，∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，∵∠AEC=∠BDC，∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，故正确的结论有①②④，故选C.【关键点拨】此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E是BC上的两点，且∠DAE=30°，将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，连接DF.下列结论中正确的个数有（）①∠FBD=60°；②△ABE∽△DCA；③AE平分∠CAD；④△AFD是等腰直角三角形.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B∴∠BAD＋∠EAC＝120°−∠DAE＝90°，∴∠ABC＋∠BAD＜90°，∴∠ADC＜90°，∴∠DAC＞60°，∴∠EAC＞30°，即∠DAE≠∠EAC，∴③错误；∵将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，∴AF＝AE，∠EAC＝∠BAF，∵∠BAC＝120°，∠DAE＝30°，∴∠BAD＋∠EAC＝90°，∴∠DAB＋∠BAF＝90°，【关键点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．4．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定【答案】C【解析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．【关键点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，且AB=，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE=（）A．B．C．2 D．【答案】A【解析】6．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH、BE与相交于点G，以下结论中正确的结论有（）（1）△ABC是等腰三角形；（2）BF＝AC；（3）BH：BD：BC＝1：：；（4）GE2+CE2＝BG2．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵CD⊥AB，∴∠ABE+∠A＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCA，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形；故（1）正确；，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF＝AC；故（2）正确；（3）∵在△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝45°，∴∠DCB＝45°，∴BD＝CD，BC＝BD．由点H是BC的中点，∴DH＝BH＝CH＝BC，∴BD＝BH，∴BH：BD：BC＝BH：BH：2BH＝1：：2．故（3）错误；（4）由（2）知：BF＝AC，∵BF平分∠DBC，∴∠ABE＝∠CBE，又∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB，在△ABE与△CBE中，【关键点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行线的性质，勾股定理,熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．7．如图，∠AOB=30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP=4，点M、N分别为OA、OB 边上动点，则△MNP周长的最小值为( )A．2B．4C．D．【答案】B【解析】【关键点拨】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称-最短路线问题的应用，正确作出辅助线，确定M、N的位置，证明△OP1P2是等边三角形是解题关键．8．如图，，，，点D、E为BC边上的两点，且，连接EF、BF则下列结论：≌；≌；；，其中正确的有( )个．A．1B．2C．3D．4【答案】D②∵△AED≌△AEF,∴AF=AD,∵,∴∠FAB=∠CAD,∵AB=AC，∴≌，②正确；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．④正确．故答案为D．【关键点拨】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．9．如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的角平分线恰相交于一点P，记△APD、△APB、△BPC、△DPC 的面积分别为S1、S2、S3、S4，则有（）A．B．C．D．【答案】A【关键点拨】本题考查了角平分线性质定理,作高线和理解角平分线性质定理是解题关键.10．如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（）A．①③B．①②④C．①②③④D．①③④【答案】C③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，∴∠BDE=∠AFE．∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF．在△AEF和△BED中，∵，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD=AF；故③正确；④∵AD=BC，BD=AF，∴CD=DF．∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形．∵DE⊥CE，∴EF=CE，∴S△AEF=S△ACE．∵△AEF≌△BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故④正确．故选C．【关键点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．11．如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值【答案】D【解析】A、连接OA、OC，由折叠得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，∴∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE，∴OD=OG，OE=OF，∠OGF=∠ODF=∠ODB，∠OFG=∠OEG=∠OEB，∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD=CG，AF=CE，∴△ADF≌△CGE，故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF=GF=GE，【关键点拨】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形和四边形面积及周长的确定以及折叠的性质，有难度，本题全等的三角形比较多，要注意利用数形结合，并熟练掌握三角形全等的判定，还要熟练掌握角平分线的逆定理的运用，证明FO平分∠DFG是本题的关键. 12．如图，点D 是等腰直角△ABC 腰BC 上的中点，点B 、B′ 关于AD 对称，且BB′ 交AD 于F，交AC 于E，连接FC 、AB′，下列说法：①∠BAD=30°；②∠BFC=135°；③AF=2B′ C；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，∴BD=BC=AB，∴tan∠BAD=，∴∠BAD≠30°，故①错误；如图，连接B'D，∴BF=CB'=B'F，∴△FCB'是等腰直角三角形，∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正确；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C，故③正确；∵AF＞BF=B'C，∴△AEF与△CEB'不全等，∴AE≠CE，∴S△AFE≠S△FCE，故④错误；故选B．【关键点拨】本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．13．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④【答案】A【关键点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．14．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②AQ=PQ；③△PQR≌△CPS；④AC﹣AQ=2SC，其中正确的是（）A．②③④B．①②C．①④D．①②③④【答案】B【解析】如图【关键点拨】本题主要考查三角形全等及三角形全等的性质.15．如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，连结AO，则图中共有全等三角形的对数为（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C∴△AOE≌△AOD（HL），∴∠OAC=∠OAB，∵∠B=∠C，AB=AC，∠OAC=∠OAB，∴△AOC≌△AOB.（ASA）∵∠B=∠C，BE=CD，∠ODC=∠OEB=90°，∴△BOE≌△COD（ASA）．综上：共有4对全等三角形，故选C.【关键点拨】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要从已知条件开始结合全等的判定方法逐一验证，由易到难，不重不漏．二、填空题16．如图所示，已知：点A(0，0)，B（，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第个等边三角形的边长等于__________．【答案】【关键点拨】本题主要考查等边三角形的性质及解直角三角形，从而归纳出边长的规律．17．如图，∠MON=30°，点B1在边OM上，且OB1=2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3、A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△A n B n+1C n的面积为__．（用含正整数n的代数式表示）【答案】（）2n﹣2×…，△A n B n+1C n的边长为（）n﹣1×，∴△A n B n+1C n的面积为×[（）n﹣1×]2=（）2n﹣2×，故答案为：（）2n﹣2×.【关键点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的面积公式、解直角三角形等知识，熟练掌握相关性质得出等边三角形的边长的规律是解题的关键.18．如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则S n=_____．【答案】【关键点拨】本题考查了规律题，涉及等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等，有一定难度，熟练掌握并灵活运用等边三角形的性质、勾股定理等解本题的关键．19．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为________．【答案】∴A(,0);∴OA=,设D(x,) ,∴E(x,- x+2),延长DE交OA于点F，∴EF=-x+2,OF=x,在Rt△OEF中利用勾股定理得：,解得：x1=0(舍），x2=；∴EF=1,∴S△AOE=·OA·EF=2.故答案为：.【关键点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了菱形的性质.20．如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD 与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，给出下列结论：①CD=CP=CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④．③如图，过点Q作QE⊥PC交PC延长线于E，∵∠PCQ=120°，∴∠QCE=60°，在Rt△QCE中，tan∠QCE=，∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°=CQ，∵CP=CD=CQ，∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=，∴CD最短时，S△PCQ最小，即：CD⊥AB时，CD最短，过点C作CF⊥AB，此时CF就是最短的CD，∵AC=BC=4，∠ACB=120°，∴∠ABC=30°，∴CF=BC=2，即：CD最短为2，∴S△PCQ最小===，∴③错误；④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，∵∠DAC=30°，∴∠APD=60°，∴△APD是等边三角形，∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等边三角形，∴DQ=BD，∠BDQ=60°，∴∠PDQ=60°，∵当点D在AB的中点，∴AD=BD，∴PD=DQ，∴△DPQ是等边三角形，∴④正确，故答案为：①②④．21．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角.（1）如图2，在△ABC中，∠B>∠C，若经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C的等量关系是_______；（2）如果一个三角形的最小角是20°，则此三角形的最大角为______时，该三角形的三个角均是此三角形的好角。

专练05 三角形中的最值问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(原卷板)

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专练05三角形中的最值问题1.几何探究题（1）发现：在平面内，若AB=a，BC=b，其中b>a．当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为________；当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为________．（2）应用：点A为线段BC外一动点，如图2，分别以AB、AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE．①证明：CD=BE；②若BC=5，AB=2，则线段BE长度的最大值为________．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(7，0)，点P为线AB 外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM＝90°．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．2.阅读下列材料，解决提出的问题：【最短路径问题】如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B 的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求.如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B 的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B’，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB’，从而把问题（2）变为问题（1）.因此，线段AB’与直线l的交点C的位置即为所求.为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C’，连接AC’，BC’，B’C’.因为AB’≤AC’+C’B’，∴AC+CB≤AC’+C’B，即AC+BC最小.（1）【数学思考】材料中划线部分的依据是________.（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是.（填字母代号即可）A.转化思想B.分类讨论思想C.整体思想（3）【迁移应用】如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为C边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB ＝6cm，求BP+DP的最小值.3.如图（1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，则PB________PC（填“ >”“ <”或“=”）；（2）探索：如图2，小明发现，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则S△ABDS△ADC =ABAC，请帮小明说明原因.（3）应用：如图3，在小区三条交叉的道路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿站D，P，E，工作人员每天来回的路径为P→D→E→P，①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？4.如图（1）探索1：如图1，点A 是线段BC 外一动点，若AB＝2，BC＝4，填空：当点A 位于________线段AC 长取得最大值，且最大值为________；（2）探索2：如图2，点A 是线段BC 外一动点，且AB＝1，BC＝3，分别以AB、BC 为直角边作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形CBE，连接AC、DE.①请找出图中与AC 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段DE 长的最大值；（3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0）、B（5，0），点P、M 是线段AB 外的两个动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.（提示：在图 4 中作PN⊥PA，PN=PA，连接BN 后，利用探索 1 和探索2中的结论，可以解决这个问题）5.在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6 √2，D是射线CB上的动点，过点A作AF⊥AD（AF始终在AD上方），且AF=AD，连接BF（1）如图1，当点D在线段BC上时，BF与DC的关系是________.（2）如图2，若D、E为线段BC上的两个动点，且∠DAE=45°，连接EF，DC=3，求ED的长.（3）若在点D的运动过程中，BD=3，则AF=________.（4）如图3，若M为AB中点，连接MF，在点D的运动过程中，当BD=________时，MF的长最小？最小值是________.6.（1）发现如图①所示，点A为线段BC外的一个动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为________（用含a、b 的式子表示）.（2）应用点A为线段BC外一个动点，且BC=4，AB=1.如图②所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值_▲ .（3）拓展如图③所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），点P为线段AB外一个动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°.请直接写出线段AM的最大值________及此时点P的坐标________.7.在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6√2，D是射线CB上的动点，过点A作AF⊥AD （AF始终在AD上方），且AF=AD，连接BF.（1）如图1，当点D在线段BC上时，BF与DC的关系是________；（2）如图2，若点D，E为线段BC上的两个动点，且∠DAE=45°，连接EF，DC=3，求ED 的长；（3）若在点D的运动过程中，BD=3，则AF=________；（4）如图3，若M为AB中点，连接MF，在点D的运动过程中，当BD=________时，MF的长最小？最小值是________.8.如图1，已知直线l的同侧有两个点A，B，在直线l上找一点P，使P点到A，B两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题（1）如图2，在平面直角坐标系内，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(5，4)，动点P在x轴上，求PA+PB 的最小值；（2）如图3，在锐角三角形ABC中，AB=8，∠BAC=45°，∠BAC的角平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为________（3）如图4，∠AOB=30°，OC=4，OD=10，点E，F分别是射线OA，OB上的动点，则CF+EF+DE的最小值为________。

专练04 三角形中的比值问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(原卷板)

专练04 三角形中的比值问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(原卷板)

专练04三角形中的比值问题1.请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．（1）如图（1），将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，另一边交BA的延长线于点G．求证：EF=EG．（2）如图（2），移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF________ EG（用“＝”或“≠”填空）．（3）运用（1）、（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图（3），将（2）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A（即点G、A重合），其余条件不变，若AB=4，BC=3，求EF的值．EG2.阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，求AP的值．PD小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：AP的值为．PD参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC：AC=1：2：3 ．的值；（1）求APPD（2）若CD=2，则BP=________．3.已知点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°.（1）当α＝60°时（如图1），①判断△ABC的形状，并说明理由；②求证：BD＝√3AE；的值.（2）当α＝90°时（如图2），求BDAE4.据图回答问题：如图①如图②如图③（1）如图①，在△ABC中，点D为边BA延长线上的点，若ADAB =12，过点D作DE//BC交CA延长线于点E，若DE=5，求BC的长．（2）（探究）如图②，在△ABC中，点D时边AB上的点，点E是边AC的中点，连结BE、CD交于点F，DFCF =23，小明尝试探究EFBF的值，在图②中，小明过点D作DM//AC交BE于点M，易证△DFM~△CFE，则DMCE =DFCF=23，从而得到DMAE的值为________；易证△DBM~△ABE，则BMBE=DMAE，从而得到BMME 的值为________；从而得到EFBF的值为________．（3）（应用）如图③，在△ABC中，点D是边AB上的点，E为边CA延长线上的点，连结BE，延长CD，交BE于点F，若ADBD =12，AEBC=13且△ACD的面积为1，则△BDF的面积为________．5.如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE 且AF=AE．（1）如图1，过F点作FG⊥AC交AC于G点，求证：△AGF≌△ECA；（2）如图2，连接BF交AC于G点，若AC=BC=4，AG=3，求证：E点为BC中点；（3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若BCBE =43，求ADCD的值．6.如图1，ΔACB为等腰三角形，∠ABC=90∘，点P在线段BC上（不与B、C重合），以AP为腰长作等腰直角ΔPAQ，QE⊥AB于E.（1）求证：ΔPAB≅AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC=2PB，求PCMB的值.（3）如图2，过Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B,C重合），式子QF−DPDF的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由..7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，M是AC边上的一点，连接BM，作AP⊥BM于点P，过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E.（1）如图1，求证：AM=CE；（2）如图2，以AM,BM为邻边作▱AMBG，连接GE交BC于点N，连接AN，求GEAN的值；（3）如图3，若M是AC的中点，以AB,BM为邻边作▱AGMB，连接GE交BC于点M，连接AN，经探究发现NCBC =18，请直接写出GEAN的值.8.如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，BE=CE，点G在线段CD上，CG=CA，GF=DE，∠AFG=∠CDE。

(全国通用)中考数学难点攻克：函数中特殊三角形存在性问题解析与练习

(全国通用)中考数学难点攻克：函数中特殊三角形存在性问题解析与练习

中考数学难题突破——函数中特殊三角形存在性问题特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、直角三角形、全等三角形等特殊三角形．解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解．类型1等腰三角形存在性问题例1 如图1，直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0)．(1)求点A，B的坐标．(2)求抛物线对应的函数表达式．图1(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分层分析】(1)如何求一次函数图象与坐标轴的交点坐标？(2)如何求抛物线对应的函数表达式？根据题意，设抛物线对应的函数表达式时，应该用哪种形式？(3)①根据抛物线对应的函数表达式求出对称轴为直线________，所以可设点Q的坐标为________；②△ABQ是等腰三角形可分为________种情况，分别是____________________；③根据勾股定理分别列出方程即可求出点Q的坐标．【解题方法】对于等腰三角形的分类应分三种情况．可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角形．【解答】【分层分析】(1)令一次函数表达式中的x 或y 为0，即可求出图象与y 轴或x 轴的交点坐标．(2)求抛物线对应的函数表达式一般有三种方法：一般式法、顶点式法和交点式法．本题利用一般式法或交点式法都比较简单． (3)①x ＝1 (1，a)②三 AQ ＝BQ ，AB ＝BQ ，AQ ＝AB 解：(1)∵直线y ＝3x ＋3，∴当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝－1， ∴点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(0，3)．(2)设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax2＋bx ＋c ，由题意，得⎩⎨⎧0＝a －b ＋c ，3＝c ，0＝9a ＋3b ＋c ，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－x2＋2x ＋3.(3)∵抛物线对应的函数表达式为y ＝－x2＋2x ＋3，配方，得y ＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，设Q(1，a)．①当AQ＝BQ时，如图①，设抛物线的对称轴交x轴于点D，过点B作BF⊥DQ于点F.由勾股定理，得BQ＝BF2＋QF2＝（1－0）2＋（3－a）2，AQ＝AD2＋QD2＝22＋a2，得（1－0）2＋（3－a）2＝22＋a2，解得a＝1，∴点Q的坐标为(1，1)．②当AB＝BQ时，如图②，由勾股定理，得（1－0）2＋（a－3）2＝10，解得a＝0或6，当点Q的坐标为(1，6)时，其在直线AB上，A，B，Q三点共线，舍去，∴点Q的坐标是(1，0)．③当AQ＝AB时，如图③，由勾股定理，得22＋a2＝10，解得a＝±6，此时点Q的坐标是(1，6)或(1，－6)．综上所述，存在符合条件的点Q，点Q的坐标为(1，1)或(1，0)或(1，6)或(1，－6)．类型2直角三角形、全等三角形存在性问题例2如图2，已知直线y＝kx－6与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，B两点，且点A(1，－4)为抛物线的顶点，点B在x轴上．2(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．【分层分析】(1)已知点A的坐标可确定直线AB对应的函数表达式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线对应的函数表达式设为________式，再代入________的坐标，依据________法可解．(2)△ABQ为直角三角形，直角顶点没确定，故分别以________为直角顶点，进行分类讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解或者利用勾股定理列方程求解．【解题方法】本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题．【解答】【分层分析】(1)顶点点B待定系数(2)点A，B，Q解：(1)把(1，－4)代入y＝kx－6，得k＝2，∴直线AB对应的函数表达式为y＝2x－6.令y＝0，解得x＝3，∴点B的坐标是(3，0)．∵点A为抛物线的顶点，∴设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x －1)2－4， 把(3，0)代入，得4a －4＝0， 解得a ＝1，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝(x －1)2－4＝x2－2x －3. (2)存在．∵OB ＝OC ＝3，OP ＝OP ， ∴当∠POB ＝∠POC 时，△POB ≌△POC ， 此时OP 平分第二象限，即直线PO 对应的函数表达式为y ＝－x. 设P(m ，－m)，则－m ＝m2－2m －3， 解得m ＝1－132⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＝1＋132＞0，舍去， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132，13－12.(3)如图，①当∠Q1AB ＝90°时，△DAQ1∽△DOB ， ∴AD OD ＝DQ1DB ，即56＝DQ13 5，∴DQ1＝52，∴OQ1＝72， 即点Q1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－72；②当∠Q2BA ＝90°时，△BOQ2∽△DOB ， ∴OB OD ＝OQ2OB ，即36＝OQ23，∴OQ2＝32，即点Q2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32；③当∠AQ3B ＝90°时，过点A 作AE ⊥y 轴于点E ， 则△BOQ3∽△Q3EA ，∴OB Q3E ＝OQ3AE ，即34－OQ3＝OQ31，∴OQ32－4OQ3＋3＝0，∴OQ3＝1或3， 即点Q3的坐标为(0，－1)或(0，－3)．综上，点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－72或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32或(0，－1)或(0，－3)．专项训练1．如图3，点O(0，0)，A(2，2)，若存在点P ，使△APO 为等腰直角三角形，则点P 的个数为________．图32．如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx(k>0)分别交反比例函数y＝1x和y＝9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝1x的图象于点C，连结AC.若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．图43．如图5所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，点B(2，－3)．试问坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图54．如图6，已知抛物线C1的顶点坐标为A(－1，4)，与y轴的交点为D(0，3)．(1)求C1的解析式；(2)若直线l1：y＝x＋m与C1仅有唯一的交点，求m的值；(3)若将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，平行于x轴的直线记作l2：y＝n.试结合图象回答：当n为何值时，l2与C1和C2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；(4)若将C2与x轴正半轴的交点记作B，试在x轴上求点P，使得△PAB为等腰三角形．图65. 如图7，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值．(3)点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．图76．如图8，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A，B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线对应的函数表达式．(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连结CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标．(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图8参考答案1.【解答】6【解析】先根据等腰直角三角形的判定和点A的坐标即可得出使△APO为等腰直角三角形点P的个数。

专练01 三角形中的动点问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)

专练01 三角形中的动点问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)

专练01三角形中的动点问题1.已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s) ，（1）如图1，若PQ∥AB，则x的值为________(s)。

（2）如图2，若PQ⊥AC，求x的值。

（3）如图3，当点Q在AB上运动时，PQ与△ABC的高AD交于点0，0Q与OP是否总是相等？请说明理由。

【答案】（1）43（2）解：依题意得：PC=4-x，CQ=2x，∵PQ⊥AC，∠C=60°，∴∠QPC= 30°，∴CQ= 12PC，即2x= 12(4-x)，解得：x= 45（3）解：OQ=PO，理由如下：作QH⊥AD于H，如图3，∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC ，∴∠QHO=∠PDO=90°，∠QAH=30°，BD= 12BC=2，∴QH= 12AQ= 12(2x-4)=x-2，∵DP=BP-BD=x-2， ∴QH= DP ，在△OQH 和△OPD 中， {∠QOH =∠POD ∠QHO =∠PDO QH =PD ，∴△OQH ≌△OPD(AAS)， ∴OQ=OP2.如图①，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，BC=6cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2 cm/s 。

以AQ 、PQ 为边作四边形AQPD ，连接DQ ，交AB 于点E ，设运动的时间为t(单位： s)(0<t≤4)，解答下列问题：（1）用含有t 的代数式表示AE=________；（2）如图②，当t 为何值时，四边形AQPD 为菱形； （3）求运动过程中，四边形AQPD 的面积的最大值。

【答案】解：（1）在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6 ∴由勾股定理，BA=10∵点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为2 ∴BP=2∴AP=AB-BP=10-2t∵四边形AQPD 为平行四边形 ∴AE=12AP=5-t （2）解：如图①，当四边形AQPD是菱形时，DQ⊥AP，则AEAQ =ACAB即5−t2t =810，解得t= 2513∴当t= 2513时，四边形AQPD是菱形；（3）解：如解图②，作PM⊥AC于M，设平行四边形AQPD的面积为S∵PM∥ BC，∴△APM∽△ABC，∴APAB =PMBC即10−2t10=PM6∴PM= 65(5-t)，∴S=AQ·PM=2t·65(5-t)= −125t2+12t= −125(t- 52)2+15 (0<t≤4)，∵−125<0，∴当t= 52时，S有最大值，最大值为15cm23.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m ，BC=6m ，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A 匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的13？（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？（3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．【答案】（1）解：设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的13，由题意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，则12×2x（6﹣x）= 13×12×8×6，解得：x=2或x=4．故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的13；（2）解：设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似．当△PCQ与△ACB相似时，则有CPCA =CQCB或CPBC=CQCA,所以2t8=6−t6或2t6=6−t8,解得t= 125，或t= 1811.因此，经过125秒或1811.秒，△OCQ与△ACB相似；（3）解：有可能．由勾股定理得AB=10．∵CD为△ACB的中线，∴∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，又PQ⊥CD，∴∠CPQ=∠B，∴△PCQ∽△BCA，∴CPBC =CQCA, 2y6=6−y8,解得y= 1811.因此，经过1811秒，PQ⊥CD．4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,D为边AB的中点.P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→A匀速运动，回到点A时停止运动，同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→B向终点B匀速运动，连结PQ、DP、DQ.设点P的运动时间为t（s).（1）当点P沿A→C运动，且DP ⊥AB时，求t的值.（2）当△CPQ与△ABC相似时，求t的值【答案】（1）解：∵DP⊥AB，∠C=90°∴∠C=∠ADP=90°根据勾股定理可得，AC=√AB2−BC2=4∵∠A=∠A∴△APD∽△ABC∴APAB =ADAC∴2t5=2.54∴t=2516（2）解：当△CPQ∽△CAB时，CPCA =CQCB∴4−2t4=t3∴t=65当△CPQ∽△CBA时，CPCB =CQCA∴4−2t3=t4∴t=16115.已知在Rt△ABC中，∠ACB=90 °，AC=4、BC=3，CD⊥AB于D，点M从点D出发，沿线段DC向点C 运动，点N从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，运动速度都是每秒1个单位长度。

中考压轴题全面突破之四：三角形的存在性含答案13页.doc

中考压轴题全面突破之四：三角形的存在性含答案13页.doc

题型特点三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算．解题思路①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；②分类讨论，画图；③建等式，对结果验证取舍．对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题．难点拆解①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k值乘积为 1；②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．1.（2012云南改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误!未找到引用源。

的图象经过点(2，4)，且与直线错误!未找到引用源。

交于A，B两点．（1）求抛物线的函数解析式．（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标．（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2009广西钦州）如图，已知抛物线错误!未找到引用源。

与坐标轴交于A，B，C三点，A点的坐标为(﹣1，0)，过点C的直线错误!未找到引用源。

与x 轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0<t<1．（1）点C的坐标是____________，b=_______，c=______．（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）．（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．3.（2012海南）如图，顶点为P(4，﹣4)的二次函数图象经过原点(0，0)，点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M，N关于点P对称，连接AN，ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点A的坐标是(6，﹣3)，求△ANO的面积．（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①证明：∠ANM=∠ONM；②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．4.（2011湖北天门）在平面直角坐标系中，抛物线错误!未找到引用源。

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专练19函数中的三角形存在问题
1.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线在第四象限内图象上一个动点，设点D的横坐标求为x，四边形ABDC的面积为y1
①求四边形ABDC的面积y1关于x的解析式；
②求出使得四边形ABDC的面积y1最大的点D的坐标；
（3）在抛物线y＝ax2+bx+c上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．
2.在直角坐标系xOy中，定义点C（a，b）为抛物线L：y=ax2+bx（a≠0）的特征点坐标．
（1）已知抛物线L经过点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0），求出它的特征点坐标；
（2）若抛物线L1：y=ax2+bx的位置如图所示：
①抛物线L1：y=ax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为________；
②若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上，试求a、b之间的关系式；
③在②的条件下，已知抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，当一点C、M、N为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求a的值．
4.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（-1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C （5，0）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，设点P的横坐标为m.
①当PE=2ED时，求P点坐标；
②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由.
5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的两个交点分别为A（－1，0）、B（3，0），与y轴的交点为点D，顶点为C，
（1）求出该抛物线的对称轴；
（2）当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，求出4×nπ
180=4π
3
的取值范围；
（3）作直线CD交x轴于点E，问：在y轴上是否存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由。

6.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）.动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动.其中点M沿OA 向终点A运动，点N沿BC向终点C运动.过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP，已知动点运动了x秒.
（1）求点P的坐标（用含x的代数式表示）.
（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值.
（3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的探索结果.
7.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P 是抛物线上的一个动点.
（1）求直线BD的解析式；
（2）当点P在第一象限时，求四边形BOCP面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BDP是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
8.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A(−6，0)，D(−2，−8)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A，C重合，过点P作x轴的垂线交AC于点E，求ΔACP面积的最大值及此时P点坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得ΔACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.
（1）请直接写出点A，C，D的坐标；
（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；
（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，连接AC，已知B(−1,0)，10.如图，抛物线y=ax2−4
3
且抛物线经过点D(2,−2).
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且S△ACE=1
2
S△ABC，求E的坐标；
（3）若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标.
11.如图所示，抛物线y1＝﹣x2与直线y2＝﹣3
2x﹣9
2
交于A，B两点.
（1）求A，B两点的坐标.
（2）根据图象回答：
①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？
②当x取何值时，y1＜y2？
（3）求△AOB的面积.
（4）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（5）抛物线上找一点Q，使得△ABQ是直角三角形，请直接写出Q点横坐标
12.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1.
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；
（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q.设运动时间为t（t＞0）秒.
①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；
②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.。

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