知识讲解-正弦定理

正弦定理【学习目标】1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题； （1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）. 【要点梳理】要点一：学过的三角形知识 1.ABC ∆中（1）一般约定：ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ； （2）0180A B C ++=；（3）大边对大角，大角对大边，即B C b c >⇔>； 等边对等角，等角对等边，即B C b c =⇔=；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即a c b +>，a c b -<. 2.Rt ABC ∆中，090C ∠=， （1）090B A +=，（2）222a b c += （3）sin a A c =，sin bB c =，sin 1C =； cos b A c =，cos aB c=，cos 0C =要点二：正弦定理及其证明正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：sin sin sin a b c A B C==直角三角形中的正弦定理的推导证明：sin a A c =， s i nbB c =， s i n 1C =， 即：sin a c A =，sin b c B =，sin cc C =，∴sin sin sin a b cA B C==． 斜三角形中的正弦定理的推导 证明： 法一：向量法（1）当ABC ∆为锐角三角形时过A 作单位向量垂直于，则+=两边同乘以单位向量，得j ⋅ (+)=j ⋅， 即j AC j CB j AB ⋅+⋅=⋅∴0||||cos90||||cos(90)||||cos(90)j AC j CB C j AB A ⋅+⋅-=⋅-，∵0j AC ⋅= ，||1j = ，||CB a = ，||AB c =，cos(90)sin C C -= ，cos(90)sin A A -=∴A c C a sin sin =， ∴sin sin a cA C=， 同理：若过C 作垂直于CB 得：sin sin b cB C= ∴sin sin sin a b cA B C==，（2）当ABC ∆为钝角三角形时设90A ∠>，过A 作单位向量垂直于向量， 同样可证得：sin sin sin a b cA B C==． 法二：构造直角三角形 （1）当ABC ∆为锐角三角形时如图，作AB 边上的高线CD 交AB 于D ，则:在Rt CBD ∆中,sin CDB a =，即sin CD a B =， 在Rt ACD ∆中, sin CDA b=,即sin CD b A =, ∴sin sin a B b A =，即sin sin a bA B=. 同理可证sin sin b cB C = ∴sin sin sin a b cA B C==（2）当ABC ∆为钝角三角形时如图，作AB 边上的高线CD 交AB 于D ，则:在Rt CBD ∆中,sin CDB a =，即sin CD a B =， 在Rt ACD ∆中, sin(180)CDA b=- ,即sin(180)sin o CD b A b A =-=,∴sin sin a B b A =，即sin sin a bA B=. 同理可证sin sin b cB C = ∴sin sin sin a b cA B C== 法三：圆转化法（1）当ABC ∆为锐角三角形时如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，直径为2AD R =，则C D ∠=∠，∴sin sin 2c C D R==， ∴2sin cR C=（R 为ABC ∆的外接圆半径） 同理：2sin a R A =，2sin bR B =故：2sin sin sin a b cR A B C=== （2）当ABC ∆为钝角三角形时如图，sin sin sin 2a A E F R===. 法四：面积法任意斜ABC ∆中，如图作CH AB ⊥，则sin CH AC A =111sin sin 222ABC S AB CH AB AC A bc A ∆=⋅=⋅= 同理：1sin 2ABC S ab C ∆=，1sin 2ABC S ac B ∆=故111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，两边同除以abc 21即得：sin sin sin a b cA B C== 要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆半径）；灵活利用正弦定理，还需知道它的几个变式，比如： ::sin :sin :sin a b c A B C =，sin sin ,sin sin a B b A b C c B ==,sin sin c A a C =等等.要点三：利用正弦定理解三角形一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边和三角.在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，然后再进一步求出其他的边和角. 要点诠释：已知a ，b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况；(1)若A 为锐角时：a bsin Aa bsin A()bsin A a b ()a b ()<⎧⎪=⎪⎨<<⎪⎪≥⎩无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角如图：(2)若A 为直角或钝角时：a b a b ()≤⎧⎨>⎩无解一解锐角判断三角形形状判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等？要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。

但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。

比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。

此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.【典型例题】类型一：正弦定理的简单应用： 【高清课堂：正弦定理 例1】例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =，30C =，求,a b 和B.【思路点拨】本题考查正弦定理及特殊角的三角函数值，三角形中边与角的对应关系等。

由正弦定理列出边a 满足的方程，再根据三角形内角和来确定角B 的值。

【解析】sin sin a cA C=，∴sin 10sin 45sin sin 30c A a C ⨯===∴ 180()105B A C =-+= ， 又sin sin b c B C=，∴sin 10sin10520sin 7520sin sin 304c B b C ⨯====⨯=【总结升华】1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在∆ABC 中，已知075B =，060C =，5c =，求a 、A . 【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=，根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =，∴3a =. 【变式2】在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ） A.30 B.60 C.30或150 D.60或120 【答案】由A b a sin 23=可得23sin b A a =，由正弦定理可知B b A a sin sin =，故可得23sin =B ，故=B 60或120。

故选B.【变式3】ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB【答案】由正弦定理得：32sin sin sin sin sin sin sin()33b c b c b cB C B C B B ππ++====++-， 得b ＋c＝B ＋sin(23π－B )]＝6sin()6B π+．故三角形的周长为：3＋b ＋c ＝36sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB ，故选D ． 例2.已知下列三角形的两边及其一边的对角，判断三角形的情况，有解的作出解答。

(1)a=7,b=9,A=1000(2) a=10,b=20,A=750(3)a=10,c=56,C=600 (4) a=2030A 6b 3==，，【思路点拨】已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体有几解可以借助于要点梳理中要点三中的方法解决。

【解析】（1）∴=<==0100,,9,7A b a b a 本题无解。

（2）∴<∴=>=.sin 31060sin 2075sin 20sin 0A b a A b 本题无解。

（3）∴=∴=C a c a sin ,3560sin 0 本题有一个解。

利用正弦定理，可得：000sin sin 45,180()752a C B B A B C c =====-+=10sin 1)sin a Ab B∴=== （4）∴>==<=<==A b a A b A b a b a sin 330sin 6sin ,9030,,6,32000，又 本题有两解。

由正弦定理得：.120,60,23sin sin 0201====B B a A b B 当.32C 120B ;3490C 6020210101=====时，当，时，c B综上所述：.3230C 120B ;3490C 602020210101======c c B ，，，， 【总结升华】已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体方法可以借助于下了表格：举一反三：【变式1】在ABC ∆中，60B =，14a =, b =求A ∠.【答案】由正弦定理，得226760sin 14sin sin 0=⨯==b B a A . ∵a b <, ∴A B <，即 060A <<∴45A =【变式2】在60,1ABC b B c ∆=== 中，，求a 和A ，C ． 【答案】由正弦定理得：sin sin b cB C=， ∴sin 1sin2c B C b === ，（方法一）∵0180C <<， ∴30C =或150C =， 当150C =时，210180B C +=>，（舍去）；当30C =时，90A =，∴2a ==．（方法二）∵b c >，60B =， ∴C B <，∴60C < 即C 为锐角， ∴30C = ，90A =∴2a =． 【高清课堂：正弦定理 例3】【变式3】在ABC ∆中，c =45A = ，2a =，求b 和,B C ．【答案】∵sin sin a c A C =， ∴sin sin c A C a ===， ∵0180C <<， ∴60C =或120C =∴当60C =时，75B =，sin 751sin sin 60c B b C ===； ∴当120C =时，15B =，sin 1sin sin 60c B b C ===；所以，1,75,60b B C ==或1,15,120b B C === ． 类型三：利用正弦定理判断三角形的形状 例3.根据下列条件，判定ABC ∆的形状.(1)cos cos ;(2)cos cos cos a b c a A b B A B C=== 【思路点拨】利用正弦定理将边化成角，分析角之间的关系，再利用正弦定理将角化为边，进而判断三角形的形状.【解析】(1)由正弦定理得2sin cos 2sin cos 2sin cos 2sin cos sin 2sin 222222R A A R B BA AB B A B A B A B A B A B ππ==⇒==+=⇒=+=或或 故ABC ∆是等腰三角形或直角三角形(2) 由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===2sin 2sin 2sin cos cos cos cos cos cos tan tan tan (0,)3a b c R A R B R CA B C A B C A B C A B C A B C ππ==⇔==⇔==∈⇒===、、 故ABC ∆是等边三角形 【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。