10.3.1.2图形的旋转特征应用

◆什么叫图形的旋转?
在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样 的图形运动叫做图形的旋转.这个定点叫旋转中心.旋转的 角度称为旋转角.
◆图形旋转的性质是什么?
1.旋转前、后的图形全等. 2.对应点到旋转中心的距离相等.
旋转角
3.每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等. 4.图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度决定. 旋转的要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度.
┖
例练2
如图，点D是等边△ABC内一点, 若将△ABD
旋转到△ACP, 则旋转中心是 点A ; 旋转角是
∠BAC = 60 度; ⑴若连结DP,
A
则△ADP是 等边 三角形.
⑵已知AD=4, BD=3, 又连
4
B
P
结CD, 且CD=5, 则△DCP
3
D
5
C
是 直角 三角形; ∠ADB= 150 度.
等； 2、线段垂直平分线 的性质。
C
A B
D
E F
.O
旋转中心与图形的 位置关系有几种？
旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。
把下列格点图形顺时针旋转90°
这样旋转几次可以 与原来的图形重合?
A
A′
·
O
B′
A
1、如图，△ABC是等边三角 形，D是BC上一点，△ABD经 过旋转后到达△ACE的位置。 （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）如果M是AB的中点， 那么经过上述旋转后，点M转 到了什么位置？
结论：线段绕一点旋转90°后与原线段垂直
如图,在正方形ABCD中, ABE旋转后能与ADF重合 试说出线段AF与BE的关系?
A
E
1 3
D
O F
2
B
C
解：相等且互相垂直，证明如下： ∵ ABE旋转后能与ADF重合 ∴AF=BE且∠1=∠2， 又∠思考：旋转中心在哪？ 2+∠3=90° ∴∠1+∠3=90° ∴∠AOE=90°即AF⊥BE ∴AF=BE 且AF⊥BE
（1）指出旋转中心、旋转方向和旋转角度？
（2） ACR是否可以直接通过把BQC旋转 得到？ A
R P B Q C
5.在等腰直角△ABC中，∠C=900， BC=2cm，如果以AC的中点O为旋 转中心，将这个三角形旋转1800， 点B落在点B′处，求BB′的长度.
A′ B′
C
O
C′ A
B
6.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=1200， 以BC为边向形外作等边三角形△BCD， 把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转600 后得到△ECD，若点A、C、E三点共线， 且AB=3，AC=2，求∠BAD的度数与AD 的长. E
5、旋转中心：对应点所连线段的中垂线的交点。
1.下列现象中属于旋转的有 ( C )个. × × ①地下水位逐年下降；②传送带的移动； √ √ ③方向盘的转动； ④水龙头的转动； √ √ ⑤钟摆的运动； ⑥荡秋千 . A.2 B.3 C.4 D.5
2. 如图，如果把钟表的指针看做四边形AOBC，它绕O点旋转
得
到四边形DOEF. 在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么? 旋转中心是O
点D和点E的 （2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？ 位置 （3）旋转角是什么？ ∠AOD和∠BOE都是旋转角 AO=DO （4）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？
（5）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？
BO=EO
115° (2)若已知∠DCB=200，则∠CDB=_______ ，
115° ∠BAE=____ ∠AEC=____, 90°
E
A
(3)如果连结DE，那么 等腰直角 三角形。 △DCE是________
C
D B
4. 如图：P是等边ABC内的一点，把ABP 按不同的方向通过旋转得到BQC和ACR，
∠AOD=∠BOE
例题1.
画△ABC绕顶点A顺时针旋转45°的图形
画法: ⑴以A为顶点, AB为边顺 时针方向作∠BAB′ =45°,
′
B
C
A
并截取AB =AB; ′ ′; ⑵同样画边AC′ , 并连结BC ′ ′ 就是所求作的旋转图形. 则△ABC
45°
45°
B′
C′
你能说说旋转中的对应元素吗? 你知道对应线段成多少度角吗？
1 、如图 ,△ABC 是等边三角形 ,△AEC 顺时针 旋 转后能与△ADB重合 . A 60° (1)旋转中心是点_____,旋转度数是 BD___, A 线段CE的对应边是线段_____; (2)若连结等边 DE,则△ADE D 是 三角形.
E B
C
2、下图是由正方形ABCD旋转而成。 点A （1）旋转中心是__________
（45°）
例题2.
画ABC绕三角形外一点O逆时针旋转90°. 画法:
⑴连结OA、OB、OC; C′ ⑵分别画OA、OB、OC 绕点O逆时针旋转90°
0 · 90°
B′
′ ′ ′ 的线段OA、OB、OC ; ′ ′、BC ′ 、 ′ CA ′′ . ⑶顺次连结AB
A′ C
°） 你发现对应线段成多少度角吗？ （90 A
A C
B
D
课后思考题
1.如图是一个直角三角形的苗圃，有正方形花坛和 两块直角三角形的草皮组成，如果两个直角三角形 的两条斜边长分别为3米和6米，问草皮的面积是多 少？
B E A
D
F
C
如图 ：通过旋转图形，我们可以把两个直角 三角形拼结成一个直角三角形，而这个直角 三角形的两条直角边正好是3米和6米。
例练3
已知Rt△ABC中, ∠ACB=90° , ∠A=35° ,
以直角顶点C为旋转中心, 将
△ABC旋转到△DEC的位置,
B
D
O
斜边DE恰好过点B, 直角边
E C A
CD交AB于O, 求∠BOC的度数.
例练4 如图中, 正方形ABCD和正方形AKLM 试用旋转的思想说明线段BK和DM的关系
D 解: 由正方形得: L AB=AD, AK=AM 且∠ BAD=∠KAM M K =90° ∴△ABK绕点A逆时针 A 旋转90°恰与△ADM重合 ∴对应线段BK和DM相等且垂直. C
C C' D B'
0 45 B (2) 旋转的角度是_________
D'
A
(3) 若正方形的边长是1， 2 -1 则C’D=_________
3、如图，△ABC是等腰直角三角形，D 是AB上一点，△CBD经旋转后到达 △CAE的位置。问：
点C 旋转的度数是____ 90° (1)旋转中心是_____,
B
结论：图形旋转后对应线段所成度数都等于旋转角的度数
旋转作图的步骤
1、确定旋转中心和旋转角的大小，旋转的方向； 2、确定关键点旋转后的对应点； 3、顺次连结各对应点，得到旋转后的图形。
1、如图,ΔDEF是由△ABC绕某一中心 旋转一定的角度得到,请你找出这旋转中心.
提示：1、对应点到
旋转中心的距离相
B E A
D
F
C
2.如图，正方形ABCD和正方形CDEF有公共边CD,请 设计方案,使正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重 合,你能写出几种方案? 解: 方案一: 把正方形ABCD绕点D 顺时针旋转90°. 方案二: 把正方形ABCD绕点C
B A
C
· O
D
F E
逆时针旋转90°.
方案三: 把正方形ABCD绕CD的 中点O旋转180°.
B
例练5
已知正方形ABCD的边长为2, 对角线相
交于O,另有正方形OEFG
绕O旋转任意角度,OE、
D
C
O
N G
OG分别交AB、BC于M、N ⑴观察△OCN和△OBM A 的关系，求CN+AM； ⑵求四边形OMBN的面积.
M
E
B
F
1、掌握旋转的特征并灵活运用其特征； 2、能按要求作出简单平面图形旋转后的图 形，能说出旋转中心与旋转角度； 3、能通过旋转前后图形找到旋转中心
例练1
如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点， 以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出 旋转后的图形. A D 解: 因为AB=AD,∠DAB=90° ┖ 所以AD旋转与AB重合 E 直角D旋转到角B向外 作直角, 即延长CB 于是延长CB到F,并取 B C F BF=DE,连结AF,得到 若连结FE,则△AEF △ABF为旋转后的图形. 的形状有何特征?
解 （1）旋转中心是点A.
M
E
B
D
C
（2）旋转了60 （3）点M 转到了AC的中点位置上
2 如图15.2.7(1)，点M是线段ＡＢ上一点，将线段 ＡＢ绕着点M顺时针方向旋转90°，旋转后的线段 与原线段的位置有何关系?如果逆时针方向旋转 90°呢?
解 顺时针方向旋转90°，如图15.2.7(2)所示， A′B′与ＡＢ互相垂直． 逆时针方向旋转90°，如图15. 2. 7(3)所示， A″B″与ＡＢ互相垂直．
（对应点所连线段的中垂线的交点）；
4、会利用旋转的特征解决问题。
D
D
旋转中心
旋转角 ∠A1
B1
线段OA1
∠BOB1、∠AOA1 点O ∠MON 90
点E
EAD
等腰直角
AE
等腰直角
12cm 6cm2
△BCF ∠ACB、 ∠FCE ∠ ACF是旋转角吗？为什么？
点C
注意旋转方向
分析旋转图案的形成,关键是找出 基本图案、旋转中心和旋转角。