初等变换应用与矩阵的秩结论

0 r 2r 0 1 3 1 r 5r
2
3
1 0 0 1 3 2 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1
2 5 3 2 1 1 3
1 0 0 1 3 2 r2 2 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1 r3 1 线性代数 第三章
r B PA， 或 可 叙 述 成 A ~ PA c 同理： A ~ B的 充 分 必 要 条 件 是 存 可 在逆 的 Q， r
使 得AQ B， ( A ~ AQ )
c
（ 2 ）结论 2： 由 结 论 1及 其 推 论 ， 易 得 如 下 论 结： m n矩 阵A ~ B的 充 分 必 要 条 件 是 ， 在 存m阶 可 逆 矩 阵P及n阶 可 逆 矩 阵 Q, 使 得 PAQ B
内容概括
转置变换乘逆阵恒等加上部分整体、合 并最小的不等式组成了秩的性质。从方 程组的最简型开始，定义同解方程组的 自由变量的值即得解的矩阵向量形式
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线性代数 第三章
第七讲：初等变换应用与矩阵的秩 本次课讲第三章第二节的应用，并讲授 第三章第三节第四节， 下次上课讲第三章第四节和第四章第一 节。 下次上课前完成作业19页到21页，交作 业19页到20页
对于方程AX B, 有X A1 B.因此 : 用初等行变换表示就是: ( A, b) ~ A1 ( A, b) ( E , A1b) ( E , X )
r
注意另外一类同系数矩 阵方程组 : AX 1 b1 , AX 2 b2 , AX k bk .对应的解为: X 1 A1b1 , X 2 A1b2 , X k A1bk .
1 2 3 1 0 0 r 2r 1 2 3 1 2 1 A | E 2 2 1 0 1 0 0 2 5 2 r 3 r 1 3 4 3 0 0 1 3 0 2 6 3
1 0 2 1 1 r3 r2 0 2 5 2 1 r1 r2 0 0 1 1 1
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第六讲：初等变换与初等矩阵
一、初等变换应用
推论：对Amn 施行k次初等行（列）变换， 相当于在A的 左（右）边乘上相当于 k个初等矩阵之积P P1 P2 Pk
1.任一可逆矩阵均是k个初等矩阵之积 定理：方阵 A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵
P1 P2 Pl
使得：A P1 P2 Pl .
1 0 0 1 3 0 1 0 2 0 0 1 1
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第七讲：初等变换应用与矩阵的秩
1 3 2 3 5 1 所以 A 3 . 2 2 1 1 1 （5）用初等变换求解方程组 我们采用利用初等变换求逆矩阵同样的办法求解线性方 程组AX=b,这里，假定A是方阵且可逆
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第六讲：初等变换与初等矩阵
2)必要性：设A可逆，因任何矩阵经初等变换均可变成初等 矩阵，设其标准形矩阵为 F,则 F 经有限次初等变换可以变成 A ,由定理1，即存在有限个初等矩阵
P1 P2 Pl , 使得： A P1 P2 Ps FPs1 Pl
因A可逆，初等矩阵可逆， P1 P2 Pl 可逆，所以 F可逆
Er 0 设F 0 0 , 其 中r n; 若r n, 则 F 0, 与F可 逆 矛 盾 ； 若 r n, 则F E， 即 ：A P1 P2 Pl
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第七讲：初等变换应用与矩阵的秩
2.逆矩阵表示初等变换的结论与应用
（ 1 ）结论 1：A ~ B的 充 要 条 件 是 存 在 可 矩 逆 阵P , 使 得
r
同样讨论列的情况：可得到如下结论：
A E
初等列变换
E A 1
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第七讲：初等变换应用与矩阵的秩
例1 设
解
1 A 2 3 2 2 4 3 1 , 求 A 1 . 3
0 0 1 0 0 1
证: 1)充分性： 若存在有限个初等矩阵 P1 P2 Pl 使得：A P1 P2 Pl .
因初等矩阵皆可逆，则 ： Pl 1 P21 P11 A Pl 1 P21 P11 P1 P2 Pl E
由逆矩阵定义，即得 A1 Pl 1 P21 P11
第七讲：初等变换应用与矩阵的秩
班级： 时间： 年 月 日 ；星期
教学目的
理解秩的性质，掌握、记住并会应用秩 的等式与不等式，掌握方程组秩的解法 定理。 秩的不等式及其应用 秩的不等式的性质 黑板与投影
作业
练习册 第 19-21 页 T6－10，其 中交 P19－20
重点 难点 媒体
讲授内容主 转置、变换均恒等，还有不等式，方程 线 组秩的判定定理，定理的证明、过程及 其解法
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第七讲：初等变换应用与矩阵的秩
（ 3 ）用初等变换求逆矩阵 对分块矩阵 ( A, E )施 行 一 系 列 初 等 行 变 ， 换即 左 乘 一 可逆矩阵 A1由 结 论 1： ( A, E ) ~ A1 ( A, E ) ( A1 A, A1 E ) ( E , A1 )
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第七讲：初等变换应用与矩阵的秩
令 : X ( X 1 , X 2 ,, X k ), B (b1 , b2 ,, bk ), 则得k个方程组的组合方程组: AX B, 其解为 : X ( X 1 , X 2 ,, X k ) A1 B A1 (b1 , b2 ,, bk ) ( A1b1 , A1b2 ,, A1bk ).用初等行变换表示即: