《高数总复习》第四讲
《高数总复习》PPT课件
2021/4/24
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期末答疑安排：
十八周周一-周五(6月23日-6月27日) 时间：9：00-11：00，3：00-5：00 地点：新一教B座2楼教员休息室
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第七章、空间解析几何与向量代数
(一)向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的积
向量的 表示法
数量积
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向量积
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
f (x)的形式及其 特解形式
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1.二次曲面的特点(如旋转曲面方程的特点).
球面,椭球面 椭圆抛物面 双曲抛物面(马鞍面) 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面 利用二次曲线得到旋转曲面或柱面
yoz坐标面上的曲线 f ( y, z) 0绕z轴旋转一周的 旋转曲面方程为 f ( x2 y2 , z) 0,
高斯公式
P
(
x
Q y
R )dv z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
一定是封闭曲面才能用高斯公式
例 模拟题(一)三题4,模拟题(一)四题2,
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9.无穷级数的敛散性,绝对收敛,条件收敛.
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
在微积分的微分法的几何应用中取到二次曲面 在重积分,曲线曲面积分中取到二次曲面
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2.多元函数,偏导数和全微分,方向导数存在性 及其之间的关系,计算方法.
ห้องสมุดไป่ตู้
函数连续
函数可导
函数可微
高数总复习题4参考答案
第四章不定积分参考答案一、填空题1.设()f x 是连续函数,则()_______df x dx dx=⎰. );(x f 2.设()f x 是连续函数,则()______.f x dx '=⎰ ;)(C x f +3．设C x F dx x f +=⎰)()(，则=⋅⎰dx x f x )(cos sin C x F +-)(cos5．设C x F dx x f +=⎰)()(，则=⎰dx x xf )(' C x F x xf +-)()(8．若2x e-是)(x f 的一个原函数，则()xf x dx '=⎰ 2221()xx e C ---+9.已知一曲线在各点的切线斜率为其切点横坐标的3倍，且通过点（0，1），此曲线方程为______________.2322.y x =+ 12．如果22)]([)(12x f dx d x f x=+，且0)0(=f ，则=)(x f x arctan 15．设x x f +='1)(ln （0>x ），则=)(x f C e x x++ 二、单项选择题1.下列函数中,是同一函数的原函数的是( C )A.212sin .x 与124cos ;x B. ln ln x 与2ln ;x C.212sin x 与124cos ;x - D. 22tan x与22csc .x2. 下列等式中正确的是( A )A.sin cos ;xdx x C =-+⎰ B. 344();x dx x C ---=+⎰ C. 23;x dx x C =+⎰ D. 33.x x dx C =+⎰3. 函数cos xex 是函数（B ）的原函数A ．sin ;xex - B. (cos sin );x e x x - C. sin ;x e x D. (cos sin ).x e x x +4. 在积分曲线族⎰中,过点(0,1)的积分曲线方程为( B )A. 1;B. 5215;+ C. D. 552.C +5. 若函数()f x 的导函数是sin x ,则()f x 的一个原函数为( B )A. 1sin ;x +B. 1sin ;x -C. 1cos ;x +D. 1cos .x -6.设()x f 是()x g 的原函数，则下列各式中正确的是 BA ．()()C x g dx x f +=⎰B ．()()C x f dx x g +=⎰ C ．()()C x g dx x f +=⎰'D ．()()C x f dx x g +=⎰'7.函数()x x f 2=是函数()xx g 21=的 CA ．反函数B ．导函数C ．原函数D ．不定积分8.下列各式中等于()x f 的是 D A ．()⎰x df B ．()dx x f d⎰ C ．()dx x f ⎰' D ．()()'dx x f ⎰’9.设C x dx x f ++=⎰12)(2，则=+⎰dx x xf )12(2DA ．C x x ++122B ．C x ++12212 C ．C x ++12412 D ．C x +++1)12(2412 10．设导数)(')('x f x g =，则下列各式中正确的是 BA ．)()(x f x g =B ．C x f x g +=)()(C ．dx x f dx x g ⎰⎰=)()(D ．C dx x f dx x g +=⎰⎰)()(11．函数x 2cos π的一个原函数是_______________ A A ．x 2sin2ππB ．x 2sin2ππC ．x 2sin2ππ-D ．x 2sin2ππ-14．设C x dx x f x++=⎰)1ln()(，则=⎰dx x x f )( D A ．C x ++)1ln(1B ．C x x ++)1ln( C ．C x x ++3232D ．C x x ++22 15．在区间),(b a 内，如果)(')('x g x f =，则下列各式中一定成立的是 A .)()(x g x f = B .1)()(+=x g x fC .[][]')(')(⎰⎰=dx x g dx x f D .dx x g dx x f ⎰⎰=)(')('16．若x 2sin 是)(x f 的一个原函数，则=⎰dx x f x )( D A .sin 2cos 2x x x C ++ B .sin 2cos 2x x x C -+C .C x x x +-2cos 212sinD .C x x x ++2cos 212sin 18．不定积分=⎰dx x22sin C A .C x+22cos 2 B .C x x ++sin C .Cx x +-)sin (21 D .C x+-22sin 21 19．对于不定积分()f x dx ⎰，在下列等式中正确的是 D .（A ）[()]()d f x dx f x =⎰； （B ）()()df x f x =⎰；（C ）()()f x dx f x '=⎰； （D ）()()df x dx f x dx=⎰. 20．f (x)在[a,b]连续，()()d xax f t t φ=⎰，则（ A ）。
高数学习资料(讲义及全部重点)(四)
第四章不定积分之马矢奏春创作教学目的与要求1．理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。
2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。
3．求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
在第二章中，我们讨论了怎样求一个函数的导函数问题，本章将讨论它的反问题，即要求一个导函数的原函数，也就是求一个可导函数，使它的导函数等于已知函数。
这是积分学的基本问题之一。
4.1 不定积分的概念与性质一原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有 或， 那末函数就称为（或）在区间上的原函数。
例如，x^2是2x 的原函数，lnx 是1/x 的原函数因，，故是的原函数。
注：1由此定义上问题是：已知f(x),如何去求原函数2．那一个函数具备何种条件，才干包管它的原函数一定存在呢？若存在是否唯一定理1：若f(x)在I 上连续，则f(x)在I 上一定有原函数。
注意：其实不是任意在I 上有定义的函数都有原函数，反例⎩⎨⎧<≥=0,00,1)(x x x f定理2：设f(x)在区间I上有原函数，且F(x)是其中一个原函数，则1．f(x)的任意两个原函数相差一个常数2．F(x)+C也是f(x)的原函数定义2 在区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间上的不定积分，记作。
其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量。
由此定义及前面的说明可知，如果是在区间上的一个原函数，那么就是的不定积分，即。
因而不定积分可以暗示的任意一个原函数。
第一，如果有，那么，对任意常数C，显然也有，即如果是的原函数，那也是的原函数。
第二，当为任意常数时，表达式就可以暗示的任意一个原函数。
也就是说，的全体原函数所组成的集合，就是函数族。
例 1 求.解由于=，所以是的一个原函数。
因此.例 2求.解 当时,由于=,所以是在内的一个原函数。
因此，在内， 当时，由于==，由上同理，在内， 将结果合并起来，可写作例3、 已知()x F 是x x ln 的一个原函数，求：()x sin dF 解：x lnx(x)F /=例4、()x f 的导函数是x sin ，则()x f 的原函数21c x c x sin ++-，(1c 、2c 为任意常数)例5、在下列等式中，正确的结果是CA 、()⎰=x f (x)dx f /B 、⎰=f(x)df(x)C 、⎰=f(x)(x)dx f dx dD 、⎰=f(x)(x)dx f d二基本积分表由于积分是微分的逆运算，因此可以有微分基本表导出积分表。
高数期末复习第四章 不定积分
帮
高数高上数第四章重点
数 高
郭啸龙主编
帮
帮 《不定积分》
数
数
本章说明
高
高
汇总了求不定积分的所有方法与题型，含所有公式
帮 数 高
帮 数 高
帮
帮 第四章 不定积分重要知识点
考点
重要程度
分值
1.直接积分 2.凑积分 3.换元法
数必考
0~3
4.分部积分法
6~10
5.有理化积分
1. kdx kx C
帮 (4) cot xdx ln | sin x | C
(6) csc xdx ln | csc x cot x | C
数 (8)
dx sin 2 x
csc2 xdx cot x C
高 (10) csc x cot xdx csc x C
帮
帮 定义：在区间 I 上， F(x) f (x) （或 dF (x) f (x)dx ）,则 F (x) 称为 f (x) 在区间 I 上
即 x 3 (A B)x (3A 2B) .
帮 数
因是恒等式，两端关于 x 的同次幂的系数应相等,即
A B 1 3A 2B 3,
帮 从中解得 A 5,B 6 .
x2
x
3 5x
dx 6
x52dx
x
6
dx 3
5
ln
|
x
2
|
6
|
x
3
|
C
数
高
数 高
高
帮 数 高
帮 数 高
的一个原函数.
数 定义 f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分,记作 f (x)dx ,
高等数学第四讲(4学分)
称
第二类间断点:左右极限至少有一个不存在的间断点。
无穷间断点:属于第二类间断点。
x x0
lim f ( x)
或
x x0
lim f ( x)
17
x , x 1 y f ( x) 1 2 , x 1
显然 lim f ( x) 1 f (1)
x1
x 1
问：当a取何值时，函数在1处连续？ 解： x1
x 1
lim f ( x ) lim ( x 3 ) 4 lim f ( x) lim ( a / x) a
x 1
欲使函数在 1处有极限，则 a 4.
a 4时，x 1的函数值恰好是 4。
当a 4时， lim f ( x) 4 f (1)
27
例如, 无最大值和最小值
y 1
又如,
o
1
x
y
2
1
也无最大值和最小值
o
1
2
x
28
推论. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
二、介值定理
定理2. ( 零点定理 )
且
使
至少有一点
( 证明略 )
29
中间值定理
一点
设 f ( x) C [ a , b ] , 且 f ( a ) A , f (b) B , A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有 使
f ( x)
4 x 2 1 2 x 1
的间断点
例：考察x=0是不是符号函数
1 x0 f ( x ) sgn x 0 x 0 1 x 0
的间断点。
16
间断点分类:
同济第七版高等数学总复习ppt课件
P ( y ) dy
4
高阶微分方程
1、可降阶的高阶微分方程的解法
( n ) ( 1 )y f ( x )型
接连积分n次，得通解．
( 2 )y f ( x , y ) 型
不显含未知函数 y.
令 y P ( x ),
2 2 2 x y z 2 2 1 2 a b c
x2 y2 z 2p 2q
( p与 q 同号 )
x y z
2 2
2
29
4.空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G (x, y,z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t) y y(t) z z(t)
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos 2 2 2 2 2 2 a a a b b x y z b x y z
a b
a b a b a b x x y y z z
a b 0 a b a b a b 0 x x y y z z
17
3、向量积
z
旋 转 椭 球 面
o
x
y
22
（1）球面
（2）圆锥面
（3）旋转双曲面
x y z 1
2 2 2
x y z
2 2
2
x y z 2 2 1 2 a a c
2
2
2
2 2 2 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) R 0 0 0
23
2. 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
i
y C1 e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C2 sin x )
高等数学期末总复习PPT课件
函数性质
包括有界性、单调性、奇偶性、 周期性等，这些性质反映了函数 图像的形态和变化趋势。
常见函数类型
包括一次函数、二次函数、指数 函数、对数函数、三角函数等， 每种函数都有其独特的图像和性 质。
极限概念与性质
01
极限定义
极限是描述当自变量趋近于某个 特定值时，函数值趋近于某个确 定值的过程。
极限性质
空间曲面与平面的交线
求空间曲面与给定平面的交线方程，以及交 线的性质。
空间曲面与曲面的交线
求两空间曲面的交线方程，以及交线的性质。
08
多元函数微分学及其应用举 例
多元函数概念及性质
多元函数定义
设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组( x1,x2,…,xn)∈D，通 过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。
全微分计算方法
全微分反映的是多元函数在某一点附近的全增量与自变量增量之间的线性关系。对于多元函数z=f(x,y)， 其在点(x0,y0)处的全微分dz可以用公式dz=∂z/∂xΔx+∂z/∂yΔy计算。
多元函数极值问题求解方法
无条件极值求解方法
通过求解多元函数的驻点（即偏导数等 于零的点），然后利用二阶偏导数判断 驻点是否为极值点。若驻点的二阶偏导 数矩阵正定，则该点为极小值点；若负 定，则为极大值点；若不定，则需要进 一步判断。
多元函数的性质
包括有界性、单调性、周期性、连续性等。这些性质在研究和应用多元函数时非常重要。
偏导数和全微分计算方法
偏导数计算方法
偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率，可以通过求导法则和链式法则进行计算。对于多元函数 z=f(x,y)，其关于x的偏导数记为∂z/∂x或fx(x,y)，关于y的偏导数记为∂z/∂y或fy(x,y)。
高考数学总复习讲座第四讲复习三角函数
第四讲 复习三角函数一、本讲进度《三角函数》复习二、本讲主要内容1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式；包括诱导公式；同角三角函数关系式和差倍半公式等；3、三角函数的图象及性质。
三、学习指导1、角的概念的推广。
从运动的角度；在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。
这样一来；在直角坐标系中；当角的终边确定时；其大小不一定（通常把角的始边放在x 轴正半轴上；角的顶点与原点重合；下同）。
为了把握这些角之间的联系；引进终边相同的角的概念；凡是与终边α相同的角；都可以表示成k ·3600+α的形式；特例；终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800；k ∈Z}；终边在y 轴上的角集合{α|α=k ·1800+900；k ∈Z}；终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900；k ∈Z}。
在已知三角函数值的大小求角的大小时；通常先确定角的终边位置；然后再确定大小。
弧度制是角的度量的重要表示法；能正确地进行弧度与角度的换算；熟记特殊角的弧度制。
在弧度制下；扇形弧长公式=|α|R ；扇形面积公式||R 21R 21S 2α==；其中α为弧所对圆心角的弧度数。
2、利用直角坐标系；可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。
三角函数定义是本章重点；从它可以推出一些三角公式。
重视用数学定义解题。
设P(x ；y)是角α终边上任一点（与原点不重合）；记22y x |OP |r +==；则r y sin =α；r xcos =α；xy tan =α；yxcot =α。
利用三角函数定义；可以得到（1）诱导公式；即α+πt 2k与α之间函数值关系（k ∈Z ）；其规律是“奇变偶不变；符号看象限”；（2）同角三角函数关系式；平方关系；倒数关系；商数关系。
3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式；诱导公式是和差公式的特例；对公式要熟练地正用、逆用、变用。
如倍角公式；cos2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形后得22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα-=α；可以作为降幂公式使用。
高三数学二轮复习——第四讲 主干考点 函数与导数
第四讲主干考点函数与导数对于函数部分的备考，应先掌握基本概念和基本运算，牢记基本初等函数的图象与性质，重视函数与方程、数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想方法在解题中的应用，导数是高中数学知识的一个重要知识点，主要考查与导数有关的概念、计算和应用，利用导数的工具性研究函数的有关性质，把导数应用于函数的单调性、极值、最值等常规问题求解的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明等．有关导数问题的求解过程又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法，这些对培养考生的应用能力和创新意识都大有益处．【考点思维脑图】【重要考点串讲】一、函数1．函数及其表示(1)概念：非空数集A f−−−−→对应关系非空数集B 的对应（B 中有唯一y 与A 中的x 对应）．(2)三要素：定义域A 、值域C (C B ⊆)、对应关系f ． (3)表示方法：解析法、图象法、列表法． ◆求函数定义域的主要依据 ①分式的分母不为零； ②偶次方根被开方数不小于零；③对数函数的真数必须大于零，且当对数函数或指数函数的底数中含变量时，底数需大于0且不等于l ；④由有限个基本初等函数运算合成的函数，其定义域一般是各基本初等函数定义域的交集；⑤由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 【注意】对于复合函数[()]y f g x =的定义域，应遵循先内后外的原则，①若已知()f x 的定义域为[,]a b ，则[()]f g x 的定义域由()a g x b ≤≤求出，②若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ，则()f x 的定义域为()g x 在[,]a b 上的值域．◆求函数值域的常用方法①直接法：利用常见函数的值域来求，如：y ax b =+(0a ≠)的定义域为R ，值域为R ．2()f x ax bx c =++(0a ≠)的定义域为R ，当0a >时，值域为24{|}3ac b y y a-≥；当0a <时，值域为24{|}3ac b y y a-≤； ②配方法：利用二次函数的特征来求值域，常化为2()f x ax bx c =++，(,)x m n ∈的形式；③换元法：利用化归思想通过变量代换转化为容易求值域的函数；④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数的有界性来求值域； ⑤基本不等式法：转化成(0)ky x k x=+>的形式，利用基本不等式来求值域．不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧；⑥单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性，进而求其最值和值域．要特别注意定义域对值域的制约作用；⑦数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围；⑧分离常数法：即将有理分式转化为“反比典例函数类”的形式，便于求值域． 2．函数的性质(1)单调性 注意：先求出定义域，单调区间是定义域的子集． (2)判断方法：①定义法：设12,x x A ∈，且12x x <，作差12()()f x f x -，确定差值的符号．若为负，()f x ；若为正，()f x ．②导数法：若()f x 在区间(,)a b 内可导，则()0()()0()f x f x f x f x '⎧⇔⎨'⇔⎩≥≤．【提醒】复合函数[()]y f g x =的单调性遵循“同增异减”法则． ◆一些有用的结论①在公共定义域内：增+增=增；减+减=减；增−减=增；减−增=增． ②函数(0,0)by ax a b x=+>>在(,-∞，)+∞上单调递增；在[，上单调递减． ③单调函数的等价定义：12,x x A ∈，且12x x <，12121212()()()0[()()]()0f x f x f x f x f x x x x x -⇔>⇔-->-．12121212()()()0[()()]()0f x f x f x f x f x x x x x -⇔<⇔--<-．(2)奇偶性→对于先判定函数的定义域是否关于原点对称★ ①奇偶性定义：对于函数()f x 的定义域内任意一个x 都有()()f x f x -=-． 图象特征：关于原点对称，且在对称区间上的单调性相同．【注意】若()f x 的定义域中有0，则必有(0)0f =，但(0)0f =是()f x 为奇函数的必要不充分条件．②偶函数定义：对于函数()f x 的定义域内任意一个x 都有()()f x f x -=． 图象特征：关于y 轴对称，且在对称区间上的单调性相反． ◆判定函数奇偶性的常用方法及思路 ①定义法N ()()Y f x f x -→→非奇非偶函数定义域关于确定确定定义域原点对称与的关系结论②图象法()()()f x f x y f x 关于原点对称为奇函数的图象关于轴对称为偶函数③性质法在公共定义域内：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇． 【提醒】判断分段函数的奇偶性，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x -的关系，得出结论，也可以利用图象判断．(3)周期性周期性往往和单调性、奇偶性、函数的图象及其解析式相关联出现，注意从代数变换角度分析．抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形： ①若()()f x a f x b +=+()a b ≠，则()f x 的一个周期是||T a b =-． ②若()()f x a f x +=-，则()f x 的一个周期是2||T a =．③若1()()f x a f x +=或1()()f x a f x +=-，则()f x 的一个周期是2||T a =． (4)函数图象的对称性 ①一个函数图象的对称性a ．若()y f x =满足()()f a x f a x +=-，即()(2)f x f a x =-,则()f x 的图象关于直线x a =对称．b ．若()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则()f x 的图象关于直线2a bx +=对称． c ．若()y f x =满足()2(2)f x b f a x =--，则()f x 的图象关于点(,)a b 成中心对称．②两个函数图象的对称性a ．函数()y f a x =+与()y f a x =-的图象的对称轴为0x =，并非直线x a =．b ．函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象的对称轴为2b ax -=． c ．函数()y f x a b =-+与()y f a x b =--+的图象关于点(,)a b 对称． (5)图象变换 ①平移变换0||0||()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−→=-，右移个单位，左移个单位； 0||0||()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−→=+，右移个单位，左移个单位． ②对称变换()()x y f x y f x =−−−−−→=-关于轴对称；()()y f x y f x =−−−−−→=-关于y 轴对称；()(2)x a y f x y f a x ==−−−−−→=-关于对称；()()y f x y f x =−−−−−→=--关于原点对称．③伸缩变换10111()()y f x y f x ωωωωω<<>=−−−−−−−−−−→=，横坐标伸长到原来的倍，横坐标缩短到原来的倍； 011()()A A A A y f x y Af x <<>=−−−−−−−−−→=，纵坐标缩短到原来的倍，纵坐标伸长到原来的倍． ④翻折变换 a ．左右翻折变换：()()(||)f x y y f x y f x =−−−−−−−−→=先画出在轴右侧的图象再将此部分图象关于y 轴翻折． b ．上下翻折变换：()()|()|f x x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=先画出的图象再将轴下方的图象关于轴翻折． 二、函数的图象和性质 1．二次函数的图象和性质R 24[,)4ac b a-+∞24(,]4ac b a--∞bb2．指数函数、对数函数的图象和性质恒过定点(0,1)恒过定点(1,0)3．幂函数ay x =的图象和性质(1)所有的幂函数在(0,)+∞上都有定义，且都过点(1,1)． (2)0a >时，图象通过原点，并且在[0,)+∞上是增函数， 特别地，当1a >时，图象下凸；当01a <<时，图象上凸．(3)0a <时，图象在(0,)+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．4．对数的运算性质log log log aa a MM N N=-；log ()log log a a a MN M N =+； log log n a a M n M =；log a N a N =．（0a >且1a ≠，0M >，0N >） 换底公式：log log log c a c bb a=（a ,c 均大于零且不等于1，0b >）．三、函数与方程 1．函数的零点方程()0f x =有实数根①⇔()y f x =的图象与x 轴有交点⇔()y f x =有零点②．【注】①有根，函数才有零点，②一个实数，即()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标． 函数()()()y F x f x g x ==-的零点问题⇔()y f x =与()y g x =的图象交点问题．2．二次函数2y ax bx c =++(0a >)的图象与零点的关系1(,0)x ，2(0)x1(,0)x无交点 213．判断函数零点的主要方法①零点定理法：根据连续函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅<，判断函数在(,)a b 内存在零点．②数形结合法：函数()y f x =的零点是函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标， 【注意】利用零点定理法求解时，①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点． 四、导数1．导数的几何意义(1)()y f x =在0x x =处的导数()f x '就是()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率，即0()k f x '=．(2)()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-．【提醒】求曲线的切线时要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．2．导数的正负与函数单调性的关系(l)()0f x '>是()f x 为增函数的充分不必要条件，即()0f x '>⇒()f x 为增函数，反之不成立．如函数3()f x x =在(,)-∞+∞上单调递增，但()0f x '≥．(2)()0f x '≥是()f x 为增函数的必要不充分条件，即()f x 在(,)a b 内单调递增⇒()0f x '≥，反之不成立．当函数在某个区间内恒有()0f x '=时，则()f x 为常数，不具有单调性． 3．导数的运算法则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±. ②[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+. ③[()]()Cf x Cf x ''=．④2()()()()()[]()()f x f x g x f x g x g x g x ''-'=(()0g x ≠)． ⑤21()[]()()g x g x g x ''=-(()0g x ≠)． 复合函数求导：设()y f u =，()u x ϕ=，则x u x y y u '''=．4．导数的应用(1)利用导数研究函数单调性的思维导图(2)利用导数研究函数极值的思维导图(3)利用导数研究函数最值的思维导图 ①求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值求导数()f x '→求(,)a b 内所有使()0f x '=的根→求出根所对应的函数值与端点处的函数值→比较大小得结论． ②求()f x 在非闭区间上的最值求导数()f x '→判断()f x 的单调性→下结论【注意】(1)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(2)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值． 5．生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，利用导数解决生活中优化问题的基本思路为：五、定积分与微积分基本定理 1．定积分的性质(1)()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰(2)()()b b a a kf x dx k f x dx =⎰⎰(k 为常数) (3)1212[()()]()()bb b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰2．微积分基本定理一般地，如果函数()f x 在区间[,]a b 上是连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()ba f x dx Fb F a =-⎰．3．定积分在几何中的应用由曲线()y f x =与直线x a =，x b =()a b <和0y =所围成的曲边梯形的面积为S ．(1)当()0f x >时，()ba S f x dx =⎰．(2)当()0f x <时，()ba S f x dx =-⎰．(3)当[,]x a c ∈时，()0f x >；当[,]x c b ∈时，()0f x <，则()()cba c S f x dx f x dx =-⎰⎰． 【注意】平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值．【方法技巧突破】必考点1 有关函数图象问题的求解【典例1】(2019年全国Ⅰ卷)函数2sin ()cos x x f x x x +=+在[,]-ππ的图像大致为A BC D【解析】∵22sin()()sin ()()cos()()cos -+-+-==-=--+-+x x x x f x f x x x x x，∴()f x 为奇函数，排除A ；∵22sin ()0cos 1πππππππ+==>+-+f ，∴排除C ；∵sin11(1)cos11+=+f ，且sin1cos1>，(1)1>f ，∴排除B ．故选D ．【方法探究】利用特殊值和函数的奇偶性判断．【典例2】(2018全国卷Ⅲ)函数422y x x =-++的图像大致为【解题思路】由函数的奇偶性判断函数422y x x =-++的图象关于y 轴对称，然后利用导数判断函数的单调性即可确定该函数的图象．【解析】当0x =时，2y =，排除A ，B ．由3420y x x '=-+=，得0x =或2x =±， 结合三次函数的图象特征，知原函数在(1,1)-上有三个极值点，所以排除C ，故选D ．【方法总结】判断高次函数图象题目，注意运用导数的极值点．【典例3】(2017全国卷Ⅰ)函数sin 21cos x y x=-的部分图像大致为【解析】由题意知，函数sin 21cos x y x =-为奇函数，故排除B ；当x π=时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 21cos 2y =-，因为22ππ<<，所以sin 20>，cos20<，故0y >，排除A ．故选C ．【思路点拨】破解此类由函数的解析式判断函数的图象问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的单调性与奇偶性来排除不适合的选项；二是利用特殊点，排除不适合的选项，从而得出合适的选项．【典例4】(2016全国卷Ⅰ) 函数2||2x y x e =-在[–2,2]的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【解析】当0x ?时，令函数2()2x f x x e =-，则()4x f x x e '=-，易知()f x '在[0，ln 4）上单调递增，在[ln 4，2]上单调递减，又(0)10f '=-<，1()202f '=>，(1)40f e '=->，2(2)80f e '=->，所以存在01(0,)2x ∈是函数()f x 的极小值点，即函数()f x 在0(0,)x 上单调递减， 在0(,2)x 上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图像为D ．【思路点拨】破解已知函数的解析式判断函数的图象题时，不仅要会用特殊点法排除，而且要会利用导数法，判断图象的单调性或利用导数的几何意义去识别．【典例5】若函数log a y x =(0a >且1)a ≠的图象如图所示，则下列函数图象正确的是A ．B ．C ．D ．【解析】因为函数log a y x =的图象过点(3,1)，所以1log 3a =，解得3a =，所以函数3x y -=的图象不可能过点(1,3)，排除A ；函数33()y x x =-=-的图象不可能过点(1,1)，排除C ；函数3log ()y x =-的图象不可能过点(3,1)--，排除D ．故选B ．【方法探究】求解此类函数图象判断题的关键：一是从已知函数图象过特殊点，求出参数的值；二是利用特殊点法或函数的单调性来判断函数图象．总之，有关函数图象的判断题常利用“特殊点”与“函数的性质”来求解．【典例6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ．将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π的图象大致为A．B．C．D．【解析】由题意知,()|cos|sinf x x x=⋅，当[0,]2xπ∈时,1()cos sin sin22f x x x x=⋅=；当(,]2xππ∈时，1()cos sin sin22f x x x x=-⋅=-，故选B．【典例7】已知函数1()ln(1)f xx x=+-，则()y f x=的图象大致为【解析】解法一（函数性质法）函数()f x满足10x+>，且ln(1)0x x+-≠，即1x>-且ln(1)0x x+-≠．设()ln(1)g x x x=+-，则1()11g xx'=-+．由于10x+>，显然当10x-<<时，()0g x'>，当0x>时，()0g x'<，所以函数()g x在0x=处取得极大值，也是最大值，故()(0)0g x g=≤，当且仅当0x=时，()0g x=，所以函数()f x的定义域是( 1.0)(0,)-+∞，且函数()g x在( 1.0)(0,)-+∞上的值域为(,0)-∞，故函数()f x的值域也是(,0)-∞，且在0x=附近函数值无限小，观察各选项中的函数图象，只有选项B中的图象符合要求，解法二（特殊值检验法）当0x=时，函数无意义，排除选项D中的图象，当11xe=-时，11(1)011ln(11)(1)f eee e-==-<-+--，除选项A、C中的图象，故只能是选项B中的图象．【方法探究】研究函数的图象要从研究函数的性质入手，即研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、特殊点等，通过函数的性质判断函数图象的大致形状，以选择题形式出现的函数图象问题，宜采用排除法，排除的依据主要是函数的定义域、单调性、奇偶性、函数图象的变换、特殊值等．必考点2 有关函数性质问题的求解【典例1】(2019年北京)设函数()-=+x x f x e ae (a 为常数)．若()f x 为奇函数，则a =___；若()f x 是R 上的增函数，则a 的取值范围是______．【解析】∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，x x x x eae e ae --+=--， ∴(1)(1)0x x a e a e -+++=，∴1a =-；∵()f x 单调递增， ∴2()0x x x x e a f x e ae e--'=-=≥，∴20x e a -≥，0a ≤， 故a 的取值范围是(,0]-∞．【方法探究】利用奇偶性的定义和导数的运用．【典例2】(2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ．若(1)2=f ，则(1)(2)(3)(50)++++=…f f f fA ．50-B ．0C ．2D ．50【解析】解法一 ∵()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()()-=-f x f x ．且(0)0=f ．∵(1)(1)-=+f x f x ，∴()(2)=-f x f x ，()(2)-=+f x f x∴(2)()+=-f x f x ，∴(4)(2)()+=-+=f x f x f x ，∴()f x 是周期函数，且一个周期为4，∴(4)(0)0==f f ，(2)(11)(11)(0)0=+=-==f f f f ，(3)(12)(12)(1)2=+=-=-=-f f f f ，∴(1)(2)(3)(50)120(49)(50)(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=+=f f f f f f f f ， 故选C ．解法二 由题意可设()2sin()2f x x π=，作出()f x 的部分图象如图所示．由图可知，()f x 的一个周期为4，所以(1)(2)(3)(50)+++⋅⋅⋅+f f f f ，所以(1)(2)(3)(50)120(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=f f f f f f ，故选C ．【思路点拨】寻找特殊函数可以快速解决与函数性质有关的题目．【典例3】(2017天津)已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解析】通解 由()f x 为奇函数，知()()g x xf x =为偶函数．因为()f x 在R 上单调递增，(0)0f =，所以当0x >时，()f x >0，所以()g x 在(0，+∞)上单调递增，且()g x >0．又22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.8(2)b g =，(3)c g =， 0.822222log 4log 5.1log 83<=<<=，所以b a c <<，选项C 符合．优解 取()f x x =，则2()g x x =为偶函数且在(0，+∞)上单调递增，然后进行判断可知b a c <<，故选C ．【思路点拨】特值法在处理选择题时不仅简化了运算，还大大地提高了正确率，解题时要学会运用．【典例4】(2017全国卷Ⅰ)已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在(0,2)单调递增B ．()f x 在(0,2)单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于点(1,0)对称【解析】解法一 由题易知，()ln ln(2)f x x x =+-的定义域为(0，2)， 2()ln[(2)]ln[(1)1]f x x x x =-=--+，由复合函数的单调性知，函数()ln ln(2)f x x x =+-在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以排除A ，B ；又1113()lnln(2)ln 2224f =+-=，3333()ln ln(2)ln 2224f =+-=， 所以133()()ln 224f f ==，所以排除D ，故选C ． 解法二 由题易知，()ln ln(2)f x x x =+-的定义域为(0，2)， 2(1)()(2)x f x x x -'=-，由()002f x x '>⎧⎨<<⎩，得01x <<；由()002f x x '<⎧⎨<<⎩，得12x <<， 所以函数()ln ln(2)f x x x =+-在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以排除A ，B ； 又1113()lnln(2)ln 2224f =+-=，3333()ln ln(2)ln 2224f =+-=， 所以133()()ln 224f f ==，所以排除D ，故选C ． 【方法探究】破解此类问题需注意：一是定义域优先意识，有关函数的单调性、奇偶性的研究，需先考虑函数的定义域；二是判断复合函数的单调性，注意“同增异减”在解题中的应用；三是不要混淆函数中的中心对称与轴对称．【典例5】(1)(2019年全国Ⅲ)设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->> C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->> D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->> (2)(2016天津)已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增．若实数a 满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是______．【解析】(1)根据函数()f x 为偶函数可知，3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=， 因为2303230222log 4--<<<<，且函数()f x 在(0,)+∞单调递减， 所以233231(2)(2)(log )4f f f -->>．故选C ．(2)由()f x 是偶函数可知，(,0)-∞单调递增；(0,)+∞单调递减，又|1|(2)(a f f ->，(f f =，可得，|1|2a -<1|1|2a -<，∴1322a <<． 【典例6】函数()f x = A ．1(0,)2 B ．(2,)+∞ C ．1(0,)(2,)2+∞ D ．1(0,][2,)2+∞ 【解析】22(log )10x ->，即2log 1x >或2log 1x <-，解得2x >或102x <<，故所求的定义域是1(0,)(2,)2+∞．选C ． 【方法探究】已知函数的解析式求解函数定义域的具体步骤：①写出使函数式有意义的不等式（组）；②解不等式（组）；③写出定义域（即不等式（组）的解集）．如本题，按照此步骤即可轻松解题．常见求解函数定义域的问题主要包含三类式子：分式、根式、对数式，本题中这三类式子都含有．【典例7】函数22()log (1)f x x =-的单调递减区间为 ． 【解析】复合法：根据对数函数的单调性求解．由210x ->得1x >或1x <-，即函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞．令21t x =-，因为2log y t = 在(0,)+∞上为增函数，21t x =-在(,1)-∞-上是减函数，所以函数22()log (1)f x x =-的单调递减区间为(,1)-∞-．【方法探究】解答此类试题可采用复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数，如本题的求解．【答题提醒】1．求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题．2．函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；一个函数如果有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接，【典例8】设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是A ．()()f x g x 是偶函数B ．|()|f x ()g x 是奇函数C ．()f x |()|g x 是奇函数D ．|()()|f x g x 是奇函数【解析】因()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，故()()f x g x 为奇函数，()f x |()|g x 为偶函数，|()|f x ()g x 为奇函数，|()()|f x g x 为偶函数，故选C ．【典例9】(1)偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -= ．(2)已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，(2)0f =．若(1)0f x ->，则x 的取值 范围是 ．【解析】(1)因为()f x 的图象关于直线2x =对称，所以()(4)f x f x =-，()(4)f x f x -=+，又()()f x f x -=，所以()(4)f x f x =+，则(1)(41)(3)3f f f -=-==．(2)因为()f x 为偶函数，所以()()(||)f x f x f x -==，故不等式(1)0f x ->可化 为(|1|)0f x ->．因为()f x 在[0,)+∞上单调递减，且(2)0f =，所以|1|2x -<，即212x -<-<，解得13x -<<．所以x 的取值范围是(1,3)-．【方法探究】函数性质的综合应用主要包括求值与解不等式两个方面：①求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性将自变量转化到指定区间内，然后代入函数解析式求值，如本题的第(1)题；②解不等式问题主要利用函数的奇偶性与单调性将函数值的大小转化为自变量之间的大小关系求解，如本题的第(2)题．【典例10】已知122a -=，21log 3b =，121log 3c =，则 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 【解析】122a -=(0,1)∈，21log 3b =(,0)∈-∞，121log 3c =2log 3=(1,)∈+∞， 所以c a b >>．选C ．【方法探究】比较指数函数、对数函数、幂函数值的大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较，本题利用指数函数、对数函数的单调性及特殊点的函数值来解答．必考点3 函数零点问题的求解【典例1】(2019年浙江卷)已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⎪⎩≥．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．1a <-，0b <B ．1a <-，0b >C ．1a >-，0b <D ．1a >-，0b > 【解析】由题意可得，当0x ≥时，3211()(1)32f x ax b x a x b =--=-+-． 令()0f x ax b --=，则322111(1)[23(1)]326b x a x x x a =-+=-+．因为对任意的x ∈R ，()0f x ax b --=有3个不同的实数根，所以要使满足条件， 则当0x ≥时，21[23(1)]6b x x a =-+必须有2个零点， 所以3(1)02a +>，解得1a >-．所以0b <．故选C ． 【方法探究】利用函数与方程的思想解决零点问题．【典例2】(2018天津)已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++=⎨-+->⎩≤若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 ．【解析】当0x ≤时，由22x ax a ax ++=，得2a x ax =--；当0x >时，由222x ax a ax -+-=，得22a x ax =-+．令22,0(),0x ax x g x x ax x ⎧--=⎨-+>⎩≤，作出直线y a =，2y a =，函数()g x 的图象如图所示，()g x 的最大值为222424a a a -+=，由图象可知，若()f x ax =恰有2个互异的实数解，则224a a a <<，得48a <<． 【方法探究】含参数的零点类题目，学会借助函数的图象直观的分析． 【典例3】(2017全国卷Ⅲ)已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1 【解析】解法一 由211()2()x x f x x x a ee --+=-++，得221(2)1(2)(2)2(2)()x x f x x x a e e ----+-=---++=2112()x x x x a e e --+-++，所以(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 图象的对称轴． 由题意，()f x 有唯一零点，所以()f x 的零点只能为1x =，即21111(1)121()0f a e e --+=-⨯++=，解得12a =．故选C ． 解法二 令()0f x =，则方程112()2x x a e e x x --++=-+有唯一解，设2()2h x x x =-+，11()x x g x e e --+=+，则()h x 与()g x 有唯一交点，又11111()2x x x x g x ee e e --+--=+=+≥，当且仅当1x =时取得最小值2．而2()(1)11h x x =--+≤，此时1x =时取得最大值1，()()ag x h x =有唯一的交点，则12a =．选C ． 【典例4】函数22,0()26ln ,0x x f x x x x ⎧-=⎨-+>⎩≤的零点个数是 ．【解析】①当0x ≤时，令220x -=，解得x =②（函数单调性法）当0x >时，()26ln f x x x =-+，因为1()20f x x'=+>，所以函数()26ln f x x x =-+在(0,)+∞上单调递增，因为(1)26ln140f =-+=-<，(3)ln30f =>，所以函数()26ln f x x x =-+在(0,)+∞ 上有且只有一个零点．综上，函数()f x 的零点个数为2．（数形结合法）当0x >时，由()0f x =，得26ln x x -+=0，即ln 62x x =-． 如图，分别作出函数ln y x =和62y x =-的图象，显然，由图可知两函数的图象只有一个交点，且在y 轴的右侧，故当0x >时，()0f x =只有一个解，综上，函数()f x 共有2个零点．【方法探究】函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数()f x 在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【技巧点拨】解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围的大前提，以及函数单调性和数形结合在判断零点个数时的强大功能．【典例5】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[0,3)x ∈时，21()|2|2f x x x =-+． 若函数()y f x a =-在区间[3,4]-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 ．【解析】函数()y f x a =-在区间[3,4]- 上有互不相同的10个零点，即函数()y f x =，[3,4]x ∈-与y a =的图象有10个不同交点，在同一平面直角坐标系中作出函数()f x 在一个周期内的图象如图，可知当102a <<时满足题意， 【典例6】(2019年全国Ⅱ卷)已知函数1()n 1l x f x x x -+=-．(1)讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；(2)设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线e x y =的切线．【解析】(1)()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞．因为212()0(1)f x x x '=+>-，所以()f x 在(0,1)，(1,)+∞单调递增． 因为e 1()10e 1f e +=-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以()f x 在(1,)+∞有唯一零点1x ，即1()0f x =．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-， 故()f x 在(0,1)有唯一零点11x ． 综上，()f x 有且仅有两个零点．(2)因为0ln 01e x x -=，故点001(ln ,)B x x -在曲线x y e =上． 由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，连接AB ， 故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----．曲线xy e =在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是1x ， 所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线xy e =的切线．【方法探究】用导数判断函数的单调性，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调性．【典例7】(2016全国卷Ⅰ) 已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-有两个零点．(1)求a 的取值范围； (2)设1x ，2x 是的两个零点，证明：122x x +<．【解析】(1)'()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a =-+-=-+．（i ）设0a =，则()(2)xf x x e =-，()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >． 所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln2ab <，则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->， 故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-． 若2ea ≥-，则ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >， 因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <， 所以()f x 不存在两个零点． 若2ea <-，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <； 当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -上单调递减， 在(ln(2),)a -+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0,)+∞．(2)不妨设12x x <，由(1)知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞， 又()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-， 即2(2)0f x -<． 由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=， 所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)xx g x xex e -=---，则2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <． 从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<．【思路点拨】本题主要考查导数的应用，意在考查考生的运算求解能力以及逻辑思维能力．(1)由函数有两个零点，得关于a 的不等式求解；(2)构造函数证明不等式．【方法探究】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．（如本题）必考点4 利用导数研究函数的性质问题【典例1】设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a =A ．0B ．1C ．2D ．3 【解析】11y a x '=-+，由题意得0|2x y ='=，即12a -=，所以3a =． 【误区警示】本题求导中涉及“复合求导”，若将题中函数换为ln(1)y ax x =-+，则容易忽视“复合求导”步骤而导致出错，【突破策略】解决函数切线的相关问题，要抓住两个关键点：其一，切点是交点，其二，在切点处的导数是切线的斜率，因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程（组）．【典例2】(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【解析】通解 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以()()-=-f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ，因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0) 处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ， 所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解二 易知322()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．【方法探究】利用函数的性质求出3()=+f x x x 是解题的关键，进而运用导数求出切线的斜率．【典例3】(2019年浙江卷)已知实数0a ≠，设函数()=ln f x a x 0x >．(1)当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2)对任意21[,)ex ∈+∞均有()f x 求a 的取值范围． 注：e=2．71828…为自然对数的底数．【解析】(1)当34a =-时，3()ln 04f x x x =->．3()4f 'x x =-=， 所以，函数()f x 的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3,)+∞．(2)由1(1)2f a≤，得04a <≤．当0a <≤()f x ≤2ln 0x -≥．令1t a=，则t ≥设()22ln ,g t t x t =≥，则2()2ln g t t x=--．(i)当1[,)7x ∈+∞()2ln g t g x =≥．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x ===．故所以，()(1)0p x p =≥．因此，()2()0g t g p x =≥≥．。
高等数学上第四讲
a2
n
nLeabharlann n (n2a2n ) n要使 | n2 a2 1|
n
只须 a 2 n
即 n a2
取 N [a2 ]
当n>N时, 有 | n2 a2 1|
n
所以
lim n2 a2 1 n n
结束
若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时,
都有 |xna|<,
则
lim
n
xn
a
例2. 证明 lim1cosn 0
若 >0, 正整数N, 使得当n>N时,
对任意的
总存在
都有|xna|<,则称a是数列{xn}当n
无限增大时的极限, 或称{xn}收敛于a,
记作
n l ix m n a,或 , x n a (n )
(n l ix m n a,或 , x n a (n ) )
这时, 也称{xn}的极限存在, 否则, 称{xn}的 极限不存在, 或称{xn}是发散的.
a <xn< a
xn(a , a +)=U(a, ).
xn以a为极限,就是对任何以a为中心, 以任意小的
正数 为半径的 邻域, 总能找到一个N,
从第N+1项开始, 以后各项都落在邻域 U(a, ) 内,
而只有有限项落在U(a, )外部.
xN+5
xN+1 xN
x1
x2
(
a-
a
)
a+
x3
x
(10)
若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时,
解
lim
n
xn
0
>0
高数学习资料含讲义及全部内容
第一章 函数与极限函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。
§1、 函 数一、集合、常量与变量1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。
通常用大写字母A 、B 、C ……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。
若事物a 是集合M 的一个元素，就记a ∈M （读a 属于M ）；若事物a 不是集合M 的一个元素，就记a ∉M 或a ∈M （读a 不属于M ）；集合有时也简称为集。
注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。
2：集合的表示方法：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++======等。
中在点；为我校的学生；须有此性质。
如：中的元素必中，且，即：有此性质的必在所具有的某种性质合可表示为：，那么该集若知其元素有某种性质不到元素规律的集合，、列不出全体元素或找为全体偶数集；，，，然数集，为全体自，，，写出，如：元素的规律，也可类似、对无限集，若知道其；鸡一只猫，一只狗，一只的方法来表示，如：可用列举出其全体元素、若集合为有限集，就枚举法}),(),{(}{}0375{}{)(}642{}321{)(}{},10,,3,2,1{)(23D y x y x C x x B x x x x A A A x x A iii B A ii B A i ΛΛΛΛΛΛ 3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R 。
以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。
4：集合间的基本关系：若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若有A x ∈，必有B x ∈，就称A 为B 的子集，记为B A ⊂,或A B ⊃(读B 包含A)。
显然：R Q Z N ⊂⊂⊂.若B A ⊂,同时A B ⊂,就称A 、B 相等,记为A=B 。
5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。
《高数总复习》课件
导数与微分
总结词
理解导数和微分的概念、性质和计算方法， 掌握导数的几何意义和物理意义。
详细描述
导数是研究函数变化率的重要工具，微分则 是导数的近似值。学生需要理解导数和微分 的概念、性质和计算方法，如导数的定义、 求导法则、微分的定义和计算方法等，同时 掌握导数的几何意义和物理意义，如切线斜
率、速度和加速度等。
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分析法
从问题的结论出发，逆向思维，逐步推 导到已知条件或已知定理，从而解决问
题。
类比法
根据两个或多个对象的某些相似性质 ，推断它们在其他性质上也可能相似
的方法。
综合法
从已知条件出发，利用已知定理或性 质逐步推导出结论，从而解决问题。
反证法
通过否定结论，然后利用已知条件和 已知定理推导出矛盾，从而证明结论 成立的方法。
高数模拟试题三
总结词：难题
详细描述：试题三难度较大，主要针 对学有余力的学生，考察学生对高数 知识的深度理解和创新应用，包括一 些数学史上的经典问题和开放性问题 。
模拟试题解析
总结词：详细解析
VS
详细描述：针对每套模拟试题，提供 详细的解析过程，帮助学生理解题目 思路，掌握解题方法，提高解题能力 。
积分
总结词
理解积分的概念、性质和计算方法，掌握定积分和不定积分的联系和区别。
详细描述
积分是研究面积、体积等问题的基本工具。学生需要理解积分的概念、性质和计算方法 ，如定积分和不定积分的定义、性质和计算方法等，同时掌握定积分和不定积分的联系
和区别，如牛顿-莱布尼茨公式等。
微分方程
要点一
总结词
理解微分方程的概念、分类和求解方法，掌握一阶常系数 线性微分方程的解法。
高数考研总复习四微分方程
则
提示: 将特解
0
1
2
13
代入方程 , 比较两端同
类项系数 .
选择题 ( 4 -5 )
4. 设 a , b , A , 均是待定常数 , 则方程
的一个特解具有形式 (
( A) a x cos x b sin x (C ) x cos ( A x )
B
)
( B) A x sin ( x ) ( D) x sin ( A x )
复习– 5
主要考点:
一阶特殊类型求解 二阶可降阶方程求解
微分方程
二阶常系数线性方程求解 微分方程与其它内容综合
实例分析
填空题 ( 题 1-3 )
1
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
g ( y )dy f ( x)dx
形如
解法
(2)
g( y )dy f ( x )dx
(3)
y f ( y, y)
型
特点
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1) 形如
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x )是方程(1)的两个解,那 末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.（ C1 , C 2 是常数）
L
sin yd x
f ( x) cos y d y
与路径无关 , 则 f (x) = (
(A) (C)
x 1 (e 2 x 1 (e 2
A
)
(B)
1 x (e 2
e e
x x
) ) 1
e )
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4( x 2) f ( x) , 3 x 令 f ( x) 0, 得
8( x 3) f ( x) . 4 x
x 2, x 3.
令 f ( x) 0,
得
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列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
2 1 (1 y ) (1 e ) R x k y e 3 2
3 2x 2
1 d R (1 e ) (2e 1) 令 0 x ln 2 x 2 dx e 由驻点的唯一性及实际问题最小值存在性知，在
2x
1 2x 2
1 x ln 2 处 2
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3 R最小 ＝ 3 2
g ( x) g ( x) f (0) x 0 时，g (0) lim x 0 x0 2
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6
于是
xf ( x) f ( x) , x0 2 x g ( x) (0) f , x0 2
当x 0时，g ( x)显然连续；
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1
2. 设 f ( x) 在闭区间 [0,2a]上连续, 且 f (0) f (2a),
证明必有一点 [0, a]使得 f ( ) f ( a).
证明: 令 F ( x) f ( x) f ( x a), 则 F ( x)在[0, a]上连续.
2 x [ f x x f x ] F x 0
2 x 2 [ f f x ] 0
F 0 0
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11
9. 设 f ( x) C[0,2], 求 f ( x)在 0 , 2 上的最值， 其中
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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18
14.求曲线 x y 2 6 y 8 0 与直线 y x 4 所围成
平面图形的面积A， 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积 Vx .
解： x y 6 y 8 0
2
x 1 y 32
A 6 y y2 8 y 4 d y 9 1 2
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3
(2) 若 f (0) f (a), 由零点定理,可知 必存在 [0, a] 使得
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f ( x) ,x0 2 4. 设 f ( x) C (,), 且 f (0) 0, g ( x) x a, x 0 (1) 确定 a 的值，使 g ( x) 在 (,) 连续；
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9
补充点: (1 3,0), (1 3,0);
A (1,2),
作图
B (1,6),
y
6 B
C (2,1).
1
3 2 1
C
1 2
o
x
2
A
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3
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10
6. 设 f ( x)在 [ 0 , ] 上单调减少的连续函数，
2x
0
x f (t )d t 2 t f (2t ) d t 2 x 3 ( x 1)
x
0
解： 原式两端同时对 x 求导
2x
0
2 3 6 x 8 x f (t ) d t x f (2 x) 2 2 x f (2 x)
上式两端同时再对 x 求导
f (2 x) 2 24 x 2 12 x
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13.求曲线 y 4 x 32 与 x 轴所围成平面图形
绕 y 轴旋转而成的旋转体体积。 y
解:
y0 曲线开口向下， x 1 x 5
4
v y 2 x[4 x 3 ]d x
5 1
2
o 1
3
5
x
1 1 2 3 4 6
4
y x4
y 0,4
y 3 1 x
3,1
1,3
x
0
Vx [ x 4 3 1 x ] d x
0 2 3 1
2
79 [3 1 x 3 1 x ] d x 0 2
2 2
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f (0) 0
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f ( x) 3x( x 1) 1 f ( x) 6 x 3 x 2 3 1 f ( ) f (2) 6 2 4 最小值
最大值
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14
10. 求曲线 y e x 的最小曲率半径. 解:
y y e x
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且
F (0) f (0) f (a), F (a) f (a) f (2a) f (a) f (0) [ f (0) f (a)]
(1) 若 f (0) f (a), 则 F (0) F (a), 于是 0，a, 使得 f ( ) f ( a). f ( ) f ( a).
又
xf ( x) f ( x) f (0) lim g ( x) lim g (0) 2 x 0 x 0 x 2
所以 g ( x) 在x 0连续， 故g ( x) 在 (,) 处处连续；
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4 ( x 1 ) 5. 作函数 f ( x) 2 的图形. 2 x
(2) 对(1)中确定 a值，证明 g ( x) 在 (,) 一阶导数连续；
f ( x) 解: (1) lim g ( x) lim f (0), g (0) a x 0 x 0 x a f (0) xf ( x) f ( x) ( 2) x 0 时，g ( x) x2
x ( ,3)
f ( x ) f ( x )
f ( x)
3 0
拐点
( 3, 26 ) 9
( 3,2) 2 ( 2,0) 0
(0, )
0
不存在
间断点
极值点
3
4( x 1) lim f ( x) lim [ 2] 2, 得水平渐近线 y 2; 2 x x x 4( x 1) lim f ( x) lim [ 2] , 得铅直渐近线 x 0. 2 x 0 x 0 x
《高数总复习》第四讲 微积分应用
一、基本知识点 1.导数的应用 (1) 几何应用: 单调性、极值、 凸凹性、拐点、 渐近线、 曲率、相关变化率
(2)实际应用: 对于实际问题求解最值，即“用料最省” 、 “效率最高”、“成本最低”等 2. 定积分的应用
弧长、 体积、 表面积 . 几何应用 : 面积、 物理应用 : 质量、 作功、 侧压力、引力、 转动惯量 .
证明
证明： 令 F x
x 2 x 0
3 t 2 f t d t 0
x 2 x 0
3 t 2 f t d t
x 0
x 2 2 x x f t dt 3 t f t d t 0 0
2 2 F x 2 x f t dt x f x 3x f x