第一章 集合的概念及运算(集合论讲义)

(4) 分配律 A ∪ (B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C) ， A ∩ (B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C)
(5) 德·摩根律 A ∪ B = A ∩ B ， A ∩ B = A ∪ B
A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C) ， A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C)
4
|
A1
|=
⎢ 250 ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
=
125
，|
A2
|=
⎢ 250 ⎢⎣ 3
⎥ ⎥⎦
=
83
，|
A3
|=
⎢ 250 ⎥ ⎢⎣ 5 ⎥⎦
=
50
，|
A4
|=
⎢ ⎢⎣
250 ⎥ 7 ⎥⎦
=
35
，
|
A1
∩
A2
|=
⎢ ⎢⎣
250 ⎥ 2× 3⎥⎦
=
41
，|
A1
∩
A3
|=
⎢ 250 ⎥ ⎢⎣2× 5⎥⎦
=
(6) 吸收律 A ∪ ( A ∩ B) = A ， A ∩ ( A ∪ B) = A (7) 零律 A ∪ E = E ， A ∩ ∅ = ∅ (8) 同一律 A ∪ ∅ = A ， A ∩ E = A (9) 排中律 A ∪ A = E
5
(10) 矛盾律 A ∩ A = ∅ (11) 全补律 ∅ = E ， E = ∅ (12) 双重否定律 A = A (13) 补交转换律 A − B = A ∩ B
3
还可以将交，并运算推广到集族上。
∪ 定义 2.3 设 A 为一个集族，称由 A 中全体集合的元素组成的集合为 A 的广义并集，记作 A ， ∪ 称 ∪ 为广义并运算符， A 可描述为
∪ A = {x : 存在A∈ A, 使得x ∈ A} 。 ∪ 例 2.1 设 A = {{a,b},{c, d},{d , e, f }} ，则 A = {a,b, c, d , e, f }。
A = {电机工程师，机械工程师，数学家，制图员，程序员} 表示，但从集合 A 中看不出所需要人员的数量。再如方程
x(x −1)3 = 0 的解集应以 {0,1,1,1} 表示。于是引出多重集合的概念。
定义 1.8 设全集为 E ， E 中元素可以不止一次在其中出现的集合 A ，称为多重集合。若 E 中 元素 e 在 A 中出现 k （ k ≥ 0 ）次，则称 e 在 A 中的重复度为 k 。
= 193
§1.3 基本的集合恒等式
交，并，补的综合运算规律。
设 E 为全集， A ， B ， C 为 E 的子集，则下面列出的运算规律成立。 (1) 等幂律 A ∪ A = A ， A ∩ A = A (2) 交换律 A ∪ B = B ∪ A ， A ∩ B = B ∩ A (3) 结合律 ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) ， ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
∩ 例 2.2 设 A = {{1, 2,3},{1, a,b},{1, 6, 7}}，则 A = {1} 。
∩ ∩ ∩ 当 A 是以 S 为指标集的集族时， A = {Aα :α ∈ S} = Aα 。 α∈S
有限集元素的计数：
（1）| A ∪ B |=| A | + | B | − | A ∩ B | ；（2）| A ⊕ B |=| A | + | B | −2 | A ∩ B |
不是 A 的元素，读作 a 不属于 A 。
可以用两种方法来表示集合。
a. 列举法：列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开，然后用花括号括起来。设 A 是以 a ， b ， c ， d 为元素的集合。则 A = {a, b, c, d}。
b. 描述法：即集合的成员可以用其具备的独特性质来描述。例如，
定理 2.1 设 A1 ， A2 ， ， An 为 n 个有限集合，则
∪ ∑ ∑ ∑ n
n
| Ai |= | Ai | − | Ai1 ∩ Ai2 | +
| Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 | +
i =1
i =1
i1 <i2
i1 <i2 <i3
∑ +(−1)k −1
| Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aik | +
第一章 集合的概念及运算
§1.1 集合的概念
自从 19 世纪末德国数学家康托为集合论做奠基工作以来，集合论在一百年的时间里，已 经称为数学中不可缺少的基本的描述工具。
集合作为数学中最基本的概念，是不能被严格定义的，只能加以描述。简单说来，一个 集合就是一些不同对象构成的整体。
一般地，人们用大写英文字母 A ， B ， C ， 表示集合，用小写英文字母 a ， b ， c ， 表示集合中的元素。用 a ∈ A 表示 a 为 A 的元素，读作 a 属于 A ；用 a ∉ A 表示 a
|
A1 ∩ A2 ∩
A4
|=
⎢ ⎢⎣
2
250 ×3×
7
⎥ ⎥⎦
=5，
|
A1
∩
A3
∩
A4
|=
⎢ ⎢⎣
250 2×5×
7
⎥ ⎥⎦
=
3
，|
A2
∩
A3
∩
A4
|=
⎢ 250 ⎢⎣3× 5×
7
⎥ ⎥⎦
=
2
，
|
A1
∩
A2
∩
A3
∩
A4
|=
⎢ ⎢⎣
2×
250 3×5×
7
⎥ ⎥⎦
=
1
，
所以，我们有
| A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 |= (125 + 83 + 50 + 35) − (41+ 25 +17 +16 +11+ 7) + (8 + 5 + 3 + 2) −1
注 1：空集是任何集合的子集；空集是唯一的。
定义 1.5 如果限定所讨论的集合都是某一集合的子集，则称该集合为全集，常记为 E 。
定义 1.6 设 A 为一个集合，称由 A 的所有子集组成的集合为 A 的幂集，记作 ρ ( A) 。
注 1：以 | A | 表示 A 中的元素个数，当 | A | 为有限数时，称 A 为有限集。元素个数为 n （ n 为自然数）的集合称为 n 元集。
例 1.1 设全集 E = {a, b, c, d , e}， A = {a, a, b, b, c}为多重集合，其中 a ， b 的重复度为 2 ，
2
c 的重复度为1，而 d ， e 的重复度为 0 。
其实，集合可看成是各元素重复度均小于等于 1 的多重集合。在图论部分，我们将会用到多重 集合的概念。
A = {x ∈ R : x ≥ 2} 。
注 1：对于集合的表示法应该注意以下几点： (1) 集合中的元素是各不相同的； (2) 集合中的元素不规定顺序； (3) 集合的两种表示法有时是可以互相转化的。
注 2：随意地用描述法来确定（定义）集合，可能导出不可预料的困难。设 B 是含10 个 以上元素的集合构成的集合，则有 B ∈ B 。设 C 是由集合构成的集合，使得
除了 ρ ( A) 这样由集合构成的集合外，我们还会遇到许多形式的由集合构成的集合，统称这样
的集合为集族。幂集是特殊的集族。
定义 1.7 设 A 为一集族， S 为一个集合，若 S 中的元素α 可一一对应到 A 中的元素 Aα ， 则称 A 是以 S 为指标的集族，记为 A = {Aα :α ∈ S}或 A = {Aα }α∈S 。
注：设 E 为全集， A ⊆ E ，称 E − A 为 A 的补集，记作 A 。
定义 2.2 设 A ， B 为两个集合，由属于 A 而不属于 B 或属于 A 而不属于 B 的元素组成的集 合称为 A 与 B 的对称差，记作 A ⊕ B ，称“ ⊕ ”为对称差运算符， A ⊕ B 可描述为
A ⊕ B = {x : x ∈ A但x ∉ B,或x ∈ B但x ∉ A}
∪ ∪ ∪ 当 A 是以 S 为指标集的集族时， A = {Aα :α ∈ S} = Aα 。 α∈S
定义 2.4 设 A 为非空集族，称由 A 中全体集合的公共元素组成的集合为 A 的广义交集，记作
∩ ∩ A ，称 ∩ 为广义交运算符。 A 可描述为 ∩ A = {x : 对任意A∈ A, 都有x ∈ A} 。
i1 <i2 < <ik
此定理称为包含排斥原理，简称容斥原理。
+ (−1)n | A1 ∩ A2 ∩
∩ An | 。
证明：采用数学归纳法易证。
例 2.3 求出在1和 250 之间，能被 2, 3, 5, 7 中任意一个数整除的整数的个数。
解：设 A1 ， A2 ， A3 ， A4 分别是1和 250 之间能被 2, 3, 5, 7 整除的整数集合。因为
C = {x : x是集合且x ∉ x} 那么 C ∈ C 还是 C ∉ C 呢，无论哪一个情况都会导出矛盾？这是一个悖论。是英国数理学
家罗素(Russell)提出的，称为罗素悖论。
除罗素悖论外，还有一些其他的悖论，说明不加限制地使用集合一词会出毛病。对集合概 念的运用必须制定一些规则，这就导致了公里化集合论。而把由康托开始建立的未进行公 理化的集合论称为朴素集合论。
特别要指出的是，有些运算规律，如结合律，分配律，德·摩根律，吸收律等可以推广到集族
的情况，设{Aα }α∈S 为集族， B 为一集合，则分配律的形式为
B ∪ (∩ Aα ) = ∩ (B ∪ Aα ) ， B ∩ (∪ Aα ) = ∪ (B ∩ Aα ) 。