2018-2019学年苏教版必修一1.2子集、全集、补集教案

考察下列集合A＝{1,3}，B＝{1,3,5,6}；C＝{x|x是长方形}，D＝{x|x是平行四边形}；P＝{x|x是菱形}，Q＝{x|x是正方形}．问题1：观察集合中的元素，集合A与B，C与D具有什么关系？提示：集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，集合C中的任意一个元素都是集合D的元素．问题2：集合P与Q的关系与前两组相似吗？提示：不相似．集合P中的元素不都是集合Q中的元素，集合Q中的元素都是集合P 中的元素．问题3：集合{3}与{1,3}，元素3与{1,3}的关系是相同的吗？提示：不一样．前两者属集合与集合的关系，后两者是元素与集合的关系．1．子集2．子集的性质在知识点一所考察的A与B，C与D集合中．问题1：集合A是集合B的子集，那么集合B是集合A的子集吗？提示：集合B不是集合A的子集．问题2：集合D是集合C的子集吗？提示：集合D不是集合C的子集．问题3：你能指出集合C与D的元素的确切关系吗？提示：集合C中的元素都是集合D中的元素，但集合D中存在某元素x，它不属于集合C.[例1]指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(3)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；(5)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．[思路点拨]分析集合中元素及元素的特征，用子集、真子集及集合相等的概念进行判断．[精解详析](1)用列举法表示集合B＝{1}，(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．(3)∵Q中n∈Z，∴n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，∴P＝Q.(4)等边三角形是三边相等的三角形，故(5)(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可发现[一点通]判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是：先明确集合A、B中的元素，再分析集合A、B中的元素间的关系．当集合A中的元素都属于集合B时，有A⊆B；当集合A中的元素都属于集合B且B中至少有一个元素不属于集合A时，有当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素都属于集合A时，有A＝B.1．下列图形中，表示M⊆N的是__________．答案：③答案：①③④3．下面给出的几个关系中：①{∅}⊆{a，b}；②{(a，b)}＝{a，b}；③{a，b}⊆{b，a}；④∅⊆{0}．正确的是________．解析：①错．②错．③因为{a，b}＝{b，a}，所以{a，b}⊆{b，a}正确．④因为空集是任何一个集合的子集，所以∅⊆{0}正确．答案：③④[例2](湖北高考改编)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C有________个．[思路点拨]先确定集合A和B，再由A⊆C⊆B确定集合C.[精解详析]因为A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{1,2}，B＝{x|0<x<5，x∈N}＝{1,2,3,4}，所以当满足A⊆C⊆B时，集合C可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．故集合C有4个．[一点通](1)如果一个集合是有限集，且元素个数为n，那么其子集个数为2n个，真子集为2n－1个(除去与本身相等的)，非空真子集为2n－2个．(2)如果一个集合是无限集，那么其子集个数为无穷多个．4．若集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}，则A的子集个数为________．解析：A＝{1}，故有2个子集∅，A.答案：2解析：集合M中一定含有元素1,2,3，但同时M≠{1,2,3}且是{1,2,3,4,5,6}的真子集，所以集合M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,3,6}，{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,6}，{1,2,3,5,6}，共6个．答案：66．设S是非空集合，且满足两个条件：①S⊆{1,2,3,4,5}；②若a∈S，则6－a∈S.求集合S的个数．解：由题意知，S中的元素应满足的条件是：1,5同时选，2,4同时选，3单独选．用列举法表示出符合题意的全部集合S为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共有7个.[例3]已知集合A＝{1,3，x2}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B⊆A？若存在，求出集合A，B；若不存在，说明理由．[思路点拨]先假设B⊆A，分x＋2＝3或x＋2＝x2两种情况，求得x的值，再通过验证元素的特征确定A、B两个集合．[精解详析]假设存在实数x，使B⊆A，则x＋2＝3或x＋2＝x2.(1)当x＋2＝3时，x＝1，此时A＝{1,3,1}，不满足元素的互异性．故x≠1.(2)当x＋2＝x2时，即x2－x－2＝0，故x＝－1或x＝2.①当x＝－1时，A＝{1,3,1}，与元素互异性矛盾，故x≠－1.②当x＝2时，A＝{1,3,4}，B＝{4,1}，显然有B⊆A.综上所述，存在x＝2，使A＝{1,3,4}，B＝{4,1}满足B⊆A.[一点通]解决此类问题的步骤可归纳为：(1)化简：将所给定的集合化简(本题已说明确)；(2)讨论：根据包含关系的定义，对所有情况进行讨论；(3)构建：根据包含关系构建方程(或不等式)，并求解；(4)整合：整合各种情况得出结论．如果给定集合是连续数集时，有时也要运用到数形结合法．7．已知集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，B⊆A，求a的值．解：∵B⊆A，A≠∅，∴B＝∅或B≠∅.当B＝∅时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.当B≠∅时，此时a≠0，B＝{－1a}，∴－1a ∈A，即有－1a＝－2，得a＝12.综上所述，a ＝0或a ＝12.8．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值集合．解：(1)若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时，总有B ⊆A ，故m <2.(2)若B ≠∅，则m ＋1≤2m －1， 即m ≥2.由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ＋12m －1≤5，解得2≤m ≤3.综合(1)(2)可知m 的取值集合是{m |m ≤3}．课时达标训练（二）一、填空题1．集合A＝{0,1,2}的真子集个数是________．解析：集合A的真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}和{0,2}，共7个．答案：72．(江西高考改编)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝________.解析：a＝0时不适合题意：a≠0时需Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.答案：43．已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，C⊆A，C⊆B，则集合C最多含有________个元素．解析：由题意知C最多含有3个元素：4,5,6.答案：34．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为________．解析：由题意知集合B的元素为1或－1或者B为空集，故a＝－1或1或0.答案：{－1,1,0}5．设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，则实数a的取值范围是__________．解析：(如图)∴a≥2，即a的取值范围是{a|a≥2}．答案：{a |a ≥2}6．已知M ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R }，N ＝{x |－2≤x ≤4}，则集合M 与N 之间的关系是________．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2， ∴M ＝{y |y ≥－2}，二、解答题7．已知M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，N ＝{x |x 2－2x ＋a ＝0}，若N ⊆M ，求实数a 的取值范围． 解：∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}， 又N ⊆M ，∴N ＝∅，或N ＝{1}，或N ＝{2}，或N ＝{1,2}． (1)当N ＝∅时，方程x 2－2x ＋a ＝0的判别式 Δ＝4－4a <0，即a >1.(2)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(3)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(4)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．综上可知，实数a 的取值范围为a ≥1.解：(1)借助数轴可得，a 应满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－2，a ＋2≤3，或⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－2，a ＋2<3，解得0≤a ≤1.(2)同理可得a 应满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤－2，a ＋2≥3，得a 无解，所以不存在实数a 使B ⊆A .9．已知集合A ＝{x ||x －a |＝4}，集合B ＝{1,2，b }．(1)是否存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B ？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由；(2)若A ⊆B 成立，求出对应的实数对(a ，b )．解：(1)若对于任意实数b 都有A ⊆B ，当且仅当集合A 中的元素为1,2. ∵A ＝{a －4，a ＋4}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝2，a ＋4＝1，解方程组可知无解，∴不存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B . (2)由(1)易知若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝2，a ＋4＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝b ，a ＋4＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝b ，a ＋4＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝10，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－7，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－6.则所求实数对为(5,9)或(6,10)或(－3，－7)或(－2，－6)．第2课时 全集、补集观察下列各组中的3个集合．(1)S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A＝{1,2,3,4,5，}，B＝{6,7,8,9,10，}；(2)S＝R，A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x＜1，或x＞2}；(3)S＝{x|x为中国人}，A＝{x|x为江苏人}，B＝{x|x为不是江苏人的中国人}．问题1：各组中，它们都具备什么样的包含关系？提示：问题2：集合S与另两个集合比较具有什么特点？提示：集合S中的元素除了属于A的都属于B.1．补集2．全集如果集合包含我们所要研究的各个集合，那么这个集合可以看作一个全集，全集通常记作U.1．全集是相对于所要研究的几个集合而言的，在实数范围内讨论集合时，一般用R作为全集．2．∁U A的数学意义包括两个方面，首先必须具备A⊆U，其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．[例1](1)(四川高考改编)若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，则∁M N＝__________.(2)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，则∁U M＝__________.[思路点拨]利用补集的定义求解．首先明确全集．[精解详析](1)∵M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，根据补集的定义知∁M N＝{1,3,5}．(2)把集合M在数轴上表示出来(如图)．∵U＝R，∴∁U M＝{x|x>2或x<－2}．[答案](1){1,3,5}(2){x|x>2或x<－2}．[一点通]求给定集合A的补集通常利用补集的定义，即从全集U中去掉属于集合A 的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．1．下列说法：①若S＝{1,2,3}，A＝{2,1}，则∁S A＝{2,3}；②若U＝{1,2,3}，A＝∅，则∁U A＝A；③若U＝{1,2,3}，A＝{1,2,3}，则∁U A＝∅；④若U＝{1,2,3}，A＝{2,3}，则∁U A＝{1}．其中正确的有__________．(填序号)解析：①错．因为S＝{1,2,3}，A＝{2,1}，所以∁S A＝{3}．②错．因为U＝{1,2,3}，A＝∅，所以∁U A＝U.③对．因为U＝{1,2,3}，A＝{1,2,3}，所以∁U A＝∅.④对．因为U＝{1,2,3}，A＝{2,3}，所以∁U A＝{1}．答案：③④2．(1)设全集U＝{－1,0,1,2}，A＝{－1,0,1}，则∁U A＝__________.(2)设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9}，∁U A＝{5,7}，则a的值为__________．解析：(1)∵U＝{－1,0,1,2}，A＝{－1,0,1}，∴∁U A＝{2}．(2)∵U＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{5,7}，∴A＝{1,3,9}．又∵A＝{1，|a－5|,9}，∴|a－5|＝3即a＝2或8.答案：(1){2}(2)2或8补集的应用[例2]已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A⊆∁U B，求实数a的取值范围．[思路点拨]首先应对B是否为空集进行讨论，得出∁U B，然后再利用A⊆∁U B得关于a 的不等式求解即可．[精解详析]若B＝∅，则a＋1＞2a－1，∴a＜2.此时∁U B＝R，∴A⊆∁U B；若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2，此时∁U B＝{x|x＜a＋1，或x＞2a－1}，由于A⊆∁U B，如图，则a＋1＞5，∴a＞4，∴实数a的取值范围为a<2或a>4.[一点通]解决此类问题应注意以下几点：(1)空集作为特殊情况，不能忽略；(2)数形结合方法更加直观易懂，尽量使用；(3)端点值能否取到，应注意分析．3．设全集U＝{x|x≤4且x∈N}，集合M＝{2，a－5}，M⊆U，∁U M＝{0,1,3}，则a＝________.解析：由已知得：U＝{0,1,2,3,4}，且M⊆U，∁U M＝{0,1,3}，∴M＝{2,4}．又M＝{2，a－5}，∴a－5＝4，即a＝9.答案：94．已知全集U＝{1,3，x3＋3x2＋2x}，A＝{1，|2x－1|}，若∁U A＝{0}，求x的值．解：∵∁U A＝{0}，∴0∈U，但0∉A.∴x3＋3x2＋2x＝0，x(x＋1)(x＋2)＝0，∴x＝0或－1或－2.当x＝0时，|2x－1|＝1，A中已有元素1，不符合元素的互异性；当x＝－1时，|2x－1|＝3,3∈U；当x＝－2时，|2x－1|＝5，但5∉U.综上，x＝－1.关于全集、补集应注意以下四点：(1)求一个集合的补集必须要有前提条件——全集．(2)对于全集U中的每一个元素x，x∈A与x∈∁U A二者有且只有一个成立．(3)补集与全集的性质：①A⊆U，∁U A⊆U；②∁U(∁U A)＝A；③∁U U＝∅，∁U∅＝U.(4)与补集有关的常见结论：若A⊆B，则∁U A⊇∁U B；若∁U B⊆∁U A，则A⊆B；若A＝B，则∁U A＝∁U B；若∁U A＝∁U B，则A＝B.课时达标训练（三）一、填空题1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝________.解析：∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴3,4,5∈∁U A故∁U A＝{3,4,5}．答案：{3,4,5}2．(陕西高考改编)设全集为R，函数f(x)＝1－x的定义域为M，则∁R M为________．解析：因为函数f(x)的定义域为{x|x≤1}，即M＝{x|x≤1}，所以∁R M＝{x|x>1}．答案：{x|x>1}3．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝________.解析：∵U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∴∁U A＝{x|x<a或x>b}，又∵∁U A＝{x|x<3或x>4}，∴a ＝3，b＝4.∴a＋b＝7.答案：74．设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2－5x＋p＝0}，若∁U M＝{－1,1}，则实数p的值为________．解析：由补集的定义知，M＝{2,3}，则2,3是方程x2－5x＋p＝0的两根，则p＝2×3＝6.答案：65．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁U A＝{5}，则实数a的取值集合为__________．解析：∵∁U A＝{5}，∴5∈U，且5∉A，∴a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2或a ＝－4. 当a ＝2时，|2a －1|＝3≠5，符合题意， 当a ＝－4时，|2a －1|＝9≠5， 但是9∉U ，∴a 的取值集合为{2}． 答案：{2}6．设全集S ＝{x |x 2－8x ＋15＝0，x ∈R }，∁S A ＝{x |ax －1＝0}，则由实数a 组成的集合为________．解析：∵S ＝{3,5}，∁S A ＝{x |ax －1＝0}⊆S ， ∴∁S A ＝∅或{3}或{5}或{3,5}． 若∁S A ＝∅，则a ＝0； 若∁S A ＝{3}，则a ＝13；若∁S A ＝{5}，则a ＝15；若∁S A ＝{3,5}，则a 不存在， ∴实数a 组成的集合为{0，13，15}．答案：{0，13，15}二、解答题7．全集U ＝R ，A ＝{x |3≤x ＜10}，B ＝{x |2＜x ≤7}， (1)求∁U A ，∁U B ；(2)若集合C ＝{x |x >a }，A ⊆C ，求a 的取值范围． 解：(1)∵A ＝{x |3≤x ＜10}，B ＝{x |2＜x ≤7}， ∴借助于数轴知∁U A ＝{x |x <3，或x ≥10}， ∁U B ＝{x |x ≤2，或x ＞7}．(2)要使A ⊆C ，只需a <3即可．∴a 的取值范围为{a |a <3}．8．已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}．且求实数a 的取值范围．解：∵B ＝{x |1<x <2}，∴∁R B ＝{x |x ≤1，或x ≥2}． ∵∴分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论．(1)若A ＝∅，此时2a －2≥a ，∴a ≥2.(2)若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a ，a ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，2a －2≥2.∴a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2.9．已知集合U ＝{x |－1≤x ≤2，x ∈P }，A ＝{x |0≤x <2，x ∈P }， B ＝{x |－a <x ≤1，x ∈P }(－1<a <1)．(1)若P ＝R ，求∁U A 中最大元素m 与∁U B 中最小元素n 的差m －n ； (2)若P ＝Z ，求∁A B 和∁U A 中所有元素之和及∁U (∁A B )． 解：(1)由已知得∁U A ＝{x |－1≤x <0，或x ＝2}， ∁U B ＝{x |－1≤x ≤－a ，或1<x ≤2}， ∴m ＝2，n ＝－1； ∴m －n ＝2－(－1)＝3.(2)∵P ＝Z ，∴U ＝{x |－1≤x ≤2，x ∈Z }＝{－1,0,1,2}，A ＝{x |0≤x <2，x ∈Z }＝{0,1}，B ＝{1}或{0,1}．∴∁A B ＝{0}或∁A B ＝∅，即∁A B 中元素之和为0. 又∁U A ＝{－1,2}，其元素之和为－1＋2＝1. 故所求元素之和为0＋1＝1. ∵∁A B ＝{0}，或∁A B ＝∅，∴∁U (∁A B )＝{－1,1,2}或∁U (∁A B )＝∁U ∅＝U ＝{－1，0，1,2}．。