5.2菱形(2)
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复习回顾
（1）在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，则∠B= 60 °, 30 ° △ABC是 等边 三角形，∠ABD的度数为________ 。
A
C
B C
D
D
O A
B
（2）已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O，且 AC=12，BD=16，则菱形ABCD的面积 为 96 ，边长为 10 ，周长为 40 。
回顾反思 类比猜想
菱形的定义与性质如下表．你认为可以从哪些角度 思考菱形的判定条件？
菱形的 定义
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
具有平行四边形的所有性质
D
A
菱形的 性质 C O 菱形的 判定
对角线互相垂直且平分每一组对角 菱形的四条边都相等
B
？
你的想法正确吗？ 如何证明你的猜想？
根据菱形的定义,可得菱形的判定方法1：
(1)必定是平行四边形. (2)当AB＝BC时,围成的四边形是菱形. (3)当∠B＝Rt∠时，围成的四边形是矩形
（4）平行四边形BEFD的面积是△ABC面积的一半；S△ADF＝S△FEC等
1.本节课你学到了哪些知识？在学习知识的过程中， 你体会或者应用到了哪些思想方法？
2. 你能归纳出菱形所有的判定方法吗？ 判定方法1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 判定方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 判定方法3：四条边都相等的四边形是菱形. 3.本节课你还存在什么疑惑吗？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 数学语言：
∵四边形ABCD是平行四边形， 且AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形.
B A O C D
求证：四边都相等的四边形是菱形． 定理1：四边都相等的四边形是菱形． 如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA．求证：四 边形ABCD是菱形． B 证明：∵ AB=CD, BC=DA C ∴四边形ABCD是平行四边形 A ∵AB=BC D
∴平行四边形AEDF是菱形.
2.已知:如图,在四边形ABCD中,AC＝BD.E,F,GGH是菱形.
∵E,F分别是AB,BC的中点, ∴EF是△ABC的中位线, ∴EF＝ 1AC(三角形的中位线等于第三边的一半).
1 1 1 同理,FG＝ BD,HG＝ AC,HE＝ BD 2 2 2
D
C
【课堂练习】
1.已知，AD是△ABC的角平分线， DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F。 求证：四边形AEDF是菱形。 E
证明:
∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形 ∵DE∥AC, ∴∠ADE=∠DAF.
B D
A
F
C
∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠DAE=∠DAF. ∴∠DAE=∠ADE. ∴AE=ED.
∴平行四边形ABCD是菱形
1. 你能归纳出菱形所有的判定方法吗？
判定方法1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 判定方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 判定方法3：四条边都相等的四边形是菱形.
三个角是直角
矩形
一组对边平行且相等 两组对边分别相等 四边形 两组对边分别平行 平行四边形
两组对角分别相等 对角线互相平分
四条边都相等
菱形
1、已知 □ ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别添加下列条件： （1）∠ABC=900 （2）AC ⊥BD （3）AB=BC （4）AC平分 ∠BAD （5）AO=DO 使得四边形ABCD是菱形的条件的序号有 (2) (3) (4) __________
2 、下列条件中,不能判定四边形ＡＢＣＤ为菱形的是（ C ）． Ａ、AC⊥BD ，AC与BD互相平分 Ｂ、AB=BC=CD=DA Ｃ、AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD A D Ｄ、AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且 AC⊥BD．求证： ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=OC ∵BD⊥AC ∴AD=CD
D O B C
A
∴ BD是AC的垂直平分线
又∵AC＝BD, ∴EF＝FG＝FG＝GH＝HE. ∴四边形EFGH是菱形(四条边相等的四边形是菱形).
2
【拓展延伸】
如图,DF,EF是△ABC的两条中位线.我们探究的问题是: 这两条中 位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与 原三角形的边或角有什么关系.建议按下列步骤探索: (1)围成的四边形是否必定是平行四边形? (2)在什么条件下,围成的四边形是菱形? (3)在什么条件下,围成的四边形是矩形? (4)你还能发现其他什么结论吗?
A B C
D
3.把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，试探究重叠 部分ABCD的形状，并说明理由。
解：重叠部分为菱形，理由如下： 过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F ∠AEB=∠AFD=900 因纸条等宽，故AE=AF 又 AB∥CD,AD∥BC ∴四边形ABCD为平行四边形 ∴∠ABE=∠ADF ∴△ABE≌△ADF(A.A.S) ∴AB=AD ∴四边形ABCD是菱形。
O
B
C
例1、如图，在 矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与 AD，BC分别交于E，F 求证：四边形AFCE是菱形
证明:∵四边形ABCD是矩形, E A ∴AE//FC(矩形的定义) ∴∠EAC=∠ACF O 又∵∠AOE=∠COF,AO=CO, ∴△AOE≌△COF, B F ∴EO=FO. ∴四边形是平行四边形 (对角线相互平分的四边形是平行四边形). ∵EF⊥AC ∴四边形AFCE是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
（1）在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，则∠B= 60 °, 30 ° △ABC是 等边 三角形，∠ABD的度数为________ 。
A
C
B C
D
D
O A
B
（2）已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O，且 AC=12，BD=16，则菱形ABCD的面积 为 96 ，边长为 10 ，周长为 40 。
回顾反思 类比猜想
菱形的定义与性质如下表．你认为可以从哪些角度 思考菱形的判定条件？
菱形的 定义
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
具有平行四边形的所有性质
D
A
菱形的 性质 C O 菱形的 判定
对角线互相垂直且平分每一组对角 菱形的四条边都相等
B
？
你的想法正确吗？ 如何证明你的猜想？
根据菱形的定义,可得菱形的判定方法1：
(1)必定是平行四边形. (2)当AB＝BC时,围成的四边形是菱形. (3)当∠B＝Rt∠时，围成的四边形是矩形
（4）平行四边形BEFD的面积是△ABC面积的一半；S△ADF＝S△FEC等
1.本节课你学到了哪些知识？在学习知识的过程中， 你体会或者应用到了哪些思想方法？
2. 你能归纳出菱形所有的判定方法吗？ 判定方法1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 判定方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 判定方法3：四条边都相等的四边形是菱形. 3.本节课你还存在什么疑惑吗？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 数学语言：
∵四边形ABCD是平行四边形， 且AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形.
B A O C D
求证：四边都相等的四边形是菱形． 定理1：四边都相等的四边形是菱形． 如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA．求证：四 边形ABCD是菱形． B 证明：∵ AB=CD, BC=DA C ∴四边形ABCD是平行四边形 A ∵AB=BC D
∴平行四边形AEDF是菱形.
2.已知:如图,在四边形ABCD中,AC＝BD.E,F,GGH是菱形.
∵E,F分别是AB,BC的中点, ∴EF是△ABC的中位线, ∴EF＝ 1AC(三角形的中位线等于第三边的一半).
1 1 1 同理,FG＝ BD,HG＝ AC,HE＝ BD 2 2 2
D
C
【课堂练习】
1.已知，AD是△ABC的角平分线， DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F。 求证：四边形AEDF是菱形。 E
证明:
∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形 ∵DE∥AC, ∴∠ADE=∠DAF.
B D
A
F
C
∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠DAE=∠DAF. ∴∠DAE=∠ADE. ∴AE=ED.
∴平行四边形ABCD是菱形
1. 你能归纳出菱形所有的判定方法吗？
判定方法1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 判定方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 判定方法3：四条边都相等的四边形是菱形.
三个角是直角
矩形
一组对边平行且相等 两组对边分别相等 四边形 两组对边分别平行 平行四边形
两组对角分别相等 对角线互相平分
四条边都相等
菱形
1、已知 □ ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别添加下列条件： （1）∠ABC=900 （2）AC ⊥BD （3）AB=BC （4）AC平分 ∠BAD （5）AO=DO 使得四边形ABCD是菱形的条件的序号有 (2) (3) (4) __________
2 、下列条件中,不能判定四边形ＡＢＣＤ为菱形的是（ C ）． Ａ、AC⊥BD ，AC与BD互相平分 Ｂ、AB=BC=CD=DA Ｃ、AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD A D Ｄ、AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且 AC⊥BD．求证： ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=OC ∵BD⊥AC ∴AD=CD
D O B C
A
∴ BD是AC的垂直平分线
又∵AC＝BD, ∴EF＝FG＝FG＝GH＝HE. ∴四边形EFGH是菱形(四条边相等的四边形是菱形).
2
【拓展延伸】
如图,DF,EF是△ABC的两条中位线.我们探究的问题是: 这两条中 位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与 原三角形的边或角有什么关系.建议按下列步骤探索: (1)围成的四边形是否必定是平行四边形? (2)在什么条件下,围成的四边形是菱形? (3)在什么条件下,围成的四边形是矩形? (4)你还能发现其他什么结论吗?
A B C
D
3.把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，试探究重叠 部分ABCD的形状，并说明理由。
解：重叠部分为菱形，理由如下： 过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F ∠AEB=∠AFD=900 因纸条等宽，故AE=AF 又 AB∥CD,AD∥BC ∴四边形ABCD为平行四边形 ∴∠ABE=∠ADF ∴△ABE≌△ADF(A.A.S) ∴AB=AD ∴四边形ABCD是菱形。
O
B
C
例1、如图，在 矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与 AD，BC分别交于E，F 求证：四边形AFCE是菱形
证明:∵四边形ABCD是矩形, E A ∴AE//FC(矩形的定义) ∴∠EAC=∠ACF O 又∵∠AOE=∠COF,AO=CO, ∴△AOE≌△COF, B F ∴EO=FO. ∴四边形是平行四边形 (对角线相互平分的四边形是平行四边形). ∵EF⊥AC ∴四边形AFCE是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形).