第三章 控制系统的时域分析方法

a6 a7 c43


s n 1
s n2

s n 3
c44

s n4

c45

s2 s1 s0
c1,n1 c1,n
c1,n1 an
c2,n1
例 3.2：设系统特征方程为 s 2s 3s 4s 5 0 ，判定系统的稳定性，并
4 3 2
确定系统右半复平面上特征根的个数。 解：列写劳斯表如下。
块 的 平 衡 位 置 ， 现 在 假 设 系 统 的 初 始 条 为 y(0) y0 ， y (0) v0 ， F (t ) A sin t 。
0 y
k
F (t )
m
f
描述系统运动的微分方程为
my F (t ) fy ky
由此得到系统的传递函数为
Y ( s) 1 2 F ( s) ms fs k
2 4 2 1 1 1 0.5 2 1 2 0 1
1 1




1

0.5 1 1
0.5 2 0.5

0.5 1 1
s
0

0
0.5
1
劳斯表中第一列中的元素不全为正，有正到负以及负到正的两次符号的变化，故系统不稳定，有 2 个特征根在右半复平面。
二、典型输入信号 控制系统中常用的典型信号有单位阶跃函数、单位斜坡（速度）函数、单 位加速度（抛物线）函数、单位脉冲函数和正弦函数，典型信号作用下系统的 响应是对系统实际运行情况的一种近似和模拟。 三、典型响应 系统在零初始条件下的响应是最为基本的， 零初始条件下系统对典型输入 信号的响应称为典型响应。 脉冲响应、 阶跃响应、 斜坡响应是最为重要的三种响应过程， 分别用 k (t ) 、
C ( s) RC ( s) R( s) NC ( s) N ( s)
B1 ( s) B ( s) R( s ) 2 N ( s ) A( s) A( s)
分别为由参考输入到输出以及由扰动输入到输出的传递函数。式中
A(s) sn a1sn1 an1s an 为系统的特征多项式， n 为系统的阶次， A( s) 0 或 1 Gc (s)G0 (s) H (s) 0 为系统的特征方程， B1 ( s) 、 B2 (s) 为阶次 n 1 的 s 的多项式。
t
§3-2 控制系统的稳定性和代数判据
一、稳定性的定义 下图所示的凹凸面由位置 1 到位置 2 间的水平面，位置 3 处的凸台，位 置 4 处的凹坑，位置 5 处的凸台组成，凸台 5 略高于凸台 3，铁球与凹凸面 之间有一定的滚动摩擦。 下面通过对铁球的三种运动状态和三种平衡状态的 说明，来阐述运动稳定性的概念。
%
h(t p ) h() h( )
100%
控制系统的抗扰性能一般用脉冲扰动或阶跃扰动作用下系统的调节特性来考察。
c(t )
c() c() c()
c ( ) c()
cm
5%c()
0
ts
t
最大偏移量 cm ：扰动作用下系统输出的最大波动量。
稳态偏移量 c() ：扰动作用下的稳态波动量，即 c() c() c() 。 扰动调节时间 t s ：扰动响应到达并保持在系统稳态输出的 5% 或 2% 误差带内所需 的最短时间。 五、稳态性能指标 控制系统的稳态指标是系统控制精度的一种度量。设控制系统希望输出与实际输出的 差为 e(t ) ，稳态误差为误差信号的稳态值，用 ess 表示， ess lim e(t ) e() 。若 ess 0 ， 则系统称为无静差的，反之称为有静差的。
h(t ) 、 (t ) 表示，设系统的传递函数为 G ( s ) ，则三种响应依次有
k (t ) L1 G(s)
1 h(t ) L G( s) s
1
(t ) L1 G( s)

1 s2
四、动态性能指标
h(t )
h ( ) 0.9h()
若系统的初始条件不为零，则
C (s)
B ( s) B1 ( s) B (s) R( s ) 2 N (s) 3 A( s) A( s) A( s)
式 中 B3 (s) sn1c(0 ) sn2[a1c(0 ) c(0 )] an1c(0 ) an2c(0 ) c( n1) (0 ) 是 阶 次小于等于 n 1 的多项式。
外部冲击力
3
5
1
2
4
c(t )
c(t )
0
t
0
t
(a)
c(t ) c(t )
(b)
1
0
t
0
t
二、线性定常系统稳定的充分必要条件 闭环控制系统的典型框图如下图所示。
N (s)
R( s)
Gc ( s ) G0 ( s )
C (s)
H (s)
若系统的初始条件为零，则参考输入和扰动输入共同作用下系统的输出为
例 3.4：设系统特征方程为 s s 6s 5s 9s 4s 4 0 ，判定系统的稳定性，并确定系统
6 5 4 3 2
右半复平面上特征根的个数。 解：列写劳斯表如下。
s6 s5 s4 s3
1 1 1 0
6 5 5 0
9 4 4 4
s2 s1 s0
4 10 2.5 4 3.6 4
5%h()
0.1h()
0
td tr
tp
tr td
ts
t
延迟时间 t d ：响应从零第一次到达稳态值 10% 所需的时间。 上升时间 t r ：对于单调无超调响应，上升时间定义为从稳态值的 10% 上升到稳态值的 90% 的时间，对于有超调的振荡响应，上升时间则定义为响应从零开始第一次到达稳态值的时间。 峰值时间 t p ：响应从零超过稳态值到达第一个峰值所需的时间。 调节时间 t s ：响应到达并保持在规定误差带（终值的 5% 或 2% ）内所需的最短时间。 超调量 % ：响应曲线第一个峰值和稳态值之差与稳态值之比的百分数，即
s4 s3 s2 s1 s0
1 2 2 3 1 4 1 2 1 4 2 5 6 1 6 5 1 0 5 6
3 5 4 0 2 5 1 0 5 0 2 0 0 0 0
劳斯表中第一列中的元素不全为正，故系统不稳定。第一列元素变号两次，故 有 2 个特征根在右半复平面。
(t ) ，即 N ( s) 1 ，有
NC ( s) N ( s) B2 ( s) A( s)
分析方法同上，系统能够自动恢复到原来工作状态的充分必要条件，也是系统特征方 程 A( s) 0 的所有特征根的实部都小于零。
下图给出了平面上弹簧质量块系统的例子， f 0 为质量块与平面间 的摩擦系数， k 0 为弹簧的弹性系数， m 0 为质量块的质量， F (t ) 为外 力输入， y 为质量块的位移输出。图中横轴的零点为作用力 F (t ) 0 时质量
系统是稳定的； f 0 时，特征方程 ms k 0 有两个共轭虚根，零输入
2
响应为等幅振荡，不随时间趋于零，系统是临界稳定的。
y (t )
10
y (t )
20 10
5
0
0
-10 -20
-5 0 5 10 15 20
t
0
10
20
30
40
50
t
古尔维茨代数判据 设系统的特征方程为
A(s) a0 sn a1sn1 an1s an
r
c(t ) B j e 2 Ck e k t cos k t Ck
si t j 1 k 1
q
r
系统零输入响应随时间趋于零的充分必要条件是， 特征方程 A( s) 0 的所有特征根的实部 都小于零。 为考察扰动输入去除之后系统的自动恢复能力，可以假设扰动输入为单位脉冲函数
根据上面的讨论，非零初始条件下系统输出的拉氏变换为
y0 s a1 y0 v0 1 A Y ( s) 2 2 2 ms fs k s ms 2 fs k
式中，等号左边第一项为系统的零状态换，容易看出 f 0 时特征方程 ms fs k 0 的两个根 有负的实部，零输入响应随时间趋于零，系统响应随时间趋于零状态响应，

a2 a3
a a a a c23 1 4 0 5 a1 c a a c c24 13 5 1 33 c13 c c c c c25 14 33 13 34 c14

a4 a5
a a a a c33 1 6 0 7 a1 c a a c c34 13 7 1 43 c13 c c c c c35 14 43 13 44 c14
根据上述稳定性的定义和线性系统的性质，只考虑零输入响应项，即有
C ( s)
部分分式展开得
B3 ( s) A( s)
Ck Ck C ( s) s s j k 1 s ( k jk ) s ( k jk ) j 1 q
Bj
劳斯表中第一列中的元素全为正，故和 s 平面原点对称的根全都位于虚轴上，这些根可以利用辅助 方程求得。本例中，用全为零的上一行的元素作为系数构成的辅助方程为
s 4 5s 2 4 0
利用它求得和 s 平面原点对称的两对共轭虚根为 s1,2 j ， s3,4 2 j 。系统特征方程的另外两个 特征根为 s5,6
劳斯稳定性判据：设系统特征方程为 a0 sn a1s n1 an1s an 0 ，式中 a0 0 。用特征方程的系数 组成一个（n＋1）行的表称为劳斯表。