代数式最值

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代数式求值的常用方法

代数式求值的常用方法一、代入法代入法是最常见和最简单的一种代数式求值方法。

它的基本思想是将代数式中的未知数换成给定的具体数值，然后计算出结果。

代入法的具体步骤如下：1.将未知数换成给定的具体数值，常用的数值有整数、分数、小数等；2.将代入后的具体数值代入代数式中，计算代数式的值。

举例来说，假设给定的代数式是4x+3，要求当x取2时的值。

那么按照代入法，我们将代数式中的x换成2，并进行计算：4×2+3=8+3=11、所以，当x取2时，代数式4x+3的值为11除了求给定的代数式的值外，代入法还可以用来验证代数等式的真假。

比如，已知等式2x+3=11，我们可以将等式中的x换成具体的数值，然后计算出等式的右边和左边的值，如果两边的值相等，就说明该等式成立。

二、化简法化简法是将复杂的代数式通过一系列的化简步骤，简化成更简洁的形式。

在实际问题中，常常遇到一些复杂的代数式，如果直接代入数值计算，会非常繁琐。

此时，我们可以利用化简法将代数式化简成更简单的形式，从而便于计算。

化简法的基本思想是运用代数式的基本运算法则，比如合并同类项、分配律、移项等，将代数式中的项进行合并和简化。

举例来说，假设给定的代数式是(x+2)(3x-4)，我们可以运用分配律将其展开，并结合同类项进行简化：x×3x+x×(-4)+2×3x+2×(-4)=3x^2-4x+6x-8=3x^2+2x-8通过化简，原来的复杂代数式被简化成了一个二次多项式。

这样，在给定具体数值后，就可以直接计算出其值。

三、分解法分解法是将代数式中的复杂项分解成多个简单项的乘积，并进一步进行计算的方法。

具体而言，分解法包括提取公因式、配方法、平方差公式等。

1.提取公因式：通过将代数式中的公共因子提取出来，将代数式分解成多个因子的乘积。

比如，对于代数式3x+6，可以提取公因式3，得到3(x+2)。

2.配方法：通过运用二次项的平方公式，将代数式分解成两个平方项的差、和的形式。

用绝对值的几何意义解题

例2.2方程│3x+5│-│3x-7│=1的解为__________．
三、求字母的取值范
例3.1若|x+1|+|2－x|＝3，则x的取值范围是________．
例3.2对于任意数x，若不等式|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，则a的取值范围是___________．
四、解不等式
例4不等式|x＋2|+|x－3|＞5的解集是__________．
【
前节知识回顾：|x-2|+|3x+6|
例1：在公路AD段有四个车站，依次为A、B、C、D。现准备在公路AD段建一个加油站M，要求使A、B、C、D各站到加油站M的总路程最短。加油站M应该建在何处？
1．如图1，如果四个车站中，每两个车站之间的距离都是5千米，加油站M应建在何处？各车站到加油站的最小的总路程是多少？
2．如图2，如果四个车站不是均匀分布的，只知道A、D距离为a千米，B、C距离为b千米，加油站M应建在何处？
各车站到加油站的最小的总路程是多少？
3．原题中，各车站到加油站的最小的总路程（用线段的和表示）是多少？
与A、B、C、D每相邻两点之间的距离有关系吗？
4．如图3，如果有A、B、C、D、E
五个车站，加油站M应建在何处？
4、|3x+6|+|2x-4|
5、|x+4|+|3x-3|+|3x+6|+|2x-4|
【课后过手训练一】
| x+4|+|3x-3|+| x+6|+|2x-4|
【课后过手训练
1．若方程的解分别是、，则 =______．（希望杯邀请赛试题）
2．方程的解是______．（希望杯邀请赛试题）

求代数式的最值的解题策略

求代数式的最值的解题策略田素伟(上海市泥城中学ꎬ上海２０１３００)摘㊀要:求最值与恒成立问题是高中数学中的一类非常重要的问题ꎬ在求某些代数式的最值时ꎬ常用的是二元变量的权方和不等式.关键词:权方和不等式ꎻ最值ꎻ等号成立中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００５２－０４收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:田素伟ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀求代数式的最值问题是高中数学中的一类非常重要的问题ꎬ在求某些代数式的最值时ꎬ特别是对于知和求和型求最值ꎬ对于解决这类问题的关键是合理选择恰当的方法.在这类问题中如果能正确利用权方和不等式会起到事半功倍的效果ꎬ下面通过具体例题说明权方和不等式在求最值问题上的解题策略[１].１直接利用权方和不等式求最值例１㊀已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ满足２ａ＋ｂ＝４ꎬ则２ａ＋２＋２ｂ的最小值是.分析㊀为了使２ａ＋２＋２ｂ中分母的和为定值ꎬ对所求代数式进行变形使它出现２ａ＋ｂ＝４ꎬ所以变形为４２ａ＋４＋２ｂ就可以使用权方和不等式了.解析㊀由权方和不等式ꎬ得４２ａ＋４＋２ｂȡ(２＋２)２２ａ＋４＋ｂ＝６＋４２８＝３＋２２４ꎬ当且仅当２ａ＋ｂ＝４ꎬ２２ａ＋４＝２ｂꎬìîíïïï即ａ＝６－４２ｂ＝８２－８{时等号成立.所以２ａ＋２＋２ｂ的最小值为３＋２２４.评析㊀权方和不等式作为柯西不等式的分式形式ꎬ在求二元变量最值时有非常广泛的应用ꎬ权方和不等式:设ａꎬｂꎬｘꎬｙ>０ꎬ则ａ２ｘ＋ｂ２ｙȡ(ａ＋ｂ)２ｘ＋ｙꎬ当且仅当ａｘ＝ｂｙ时等号成立.利用权方和不等式求最值时的一般步骤:第一步:先看分式的分母之和是不是定值ꎬ分子之和是不是定值ꎬ若不是定值ꎬ能否通过变形后使之变成定值ꎻ第二步:使用权方和不等式公式ꎬ让分子的指数比分母大１即可ꎻ第三步:检验等号成立的条件.变式１㊀已知ａ>０ꎬｂ>０且满足ａ＋ｂ＝３ꎬ则２０２２ａ＋２０２１＋２０２２ｂ＋２０２０的最小值是.解析㊀因为已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ所以２０２２ａ＋２０２１＋２０２２ｂ＋２０２０ȡ(２０２２＋２０２２)２ａ＋２０２１＋ｂ＋２０２０＝４ˑ２０２２４０４４＝２ꎬ当且仅当２０２２ａ＋２０２１＝２０２２ｂ＋２０２０ａ＋ｂ＝３ꎬìîíïïïꎬ即ａ＝１ꎬｂ＝２{时等号成立.所以２０２２ａ＋２０２１＋２０２２ｂ＋２０２０的最小值为２.变式２㊀已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ且１ａ＋２＋２ｂ＝２３ꎬ则２ａ＋ｂ的最小值为.解析㊀因为ａ>０ꎬｂ>０ꎬ１ａ＋２＋２ｂ＝２２ａ＋４＋２ｂȡ(２＋２)２２ａ＋ｂ＋４＝８２ａ＋ｂ＋４ꎬ又因为１ａ＋２＋２ｂ＝２３ꎬ所以２３ȡ８２ａ＋ｂ＋４.所以２ａ＋ｂ＋４ȡ１２.即２ａ＋ｂȡ８ꎬ当且仅当２２ａ＋４＝２ｂꎬ１ａ＋２＋２ｂ＝２３ꎬìîíïïïï即ａ＝１ꎬｂ＝６{时等号成立.所以２ａ＋ｂ的最小值为８.变式３㊀已知ｘ>０ꎬｙ>０满足１ｘ＋１ｙ＝１ꎬ则３ｘｘ－１＋４ｙｙ－１的最小值为.分析㊀通过变形再利用权方和不等式求最值.解析㊀因为３ｘｘ－１＋４ｙｙ－１＝３１－１/ｘ＋４１－１/ｙȡ３＋２()２１－１/ｘ＋１－１/ｙ＝７＋４３１＝７＋４３ꎬ当且仅当１ｘ＋１ｙ＝１ꎬ３１－１/ｘ＝２１－１/ｙꎬ{即ｘ＝２＋３２ꎬｙ＝２３＋３３{时等号成立.变式４㊀已知正实数ａꎬｂꎬ且ａ＋２ｂ＝２ꎬ求１ａ＋１＋ａ＋１２ｂ＋１的最小值.解析㊀由ａ＋２ｂ＝２可得ａ＝２－２ｂ.因为１ａ＋１＋ａ＋１２ｂ＋１＝１ａ＋１＋２－２ｂ＋１２ｂ＋１＝１ａ＋１＋４－(２ｂ＋１)２ｂ＋１＝１ａ＋１＋４２ｂ＋１－１ꎬ因为１ａ＋１＋４２ｂ＋１ȡ(１＋２)２ａ＋１＋２ｂ＋１＝９４ꎬ所以１ａ＋１＋４２ｂ＋１－１ȡ９４－１＝５４ꎬ当且仅当１ａ＋１＝２２ｂ＋１ꎬａ＋２ｂ＝２ꎬ{即ａ＝１３ꎬｂ＝５６ìîíïïïï时等号成立.㊀所以１ａ＋１＋ａ＋１２ｂ＋１的最小值是５４.变式５㊀已知ａ>０ꎬｂ>０满足２ａ＋ｂ＝３ꎬ则２ａ２＋１ａ＋ｂ２－２ｂ＋２的最小值是.解析㊀因为２ａ＋ｂ＝３ꎬ所以２ａ２＋１ａ＋ｂ２－２ｂ＋２＝２ａ＋１ａ＋(ｂ２－４)＋２ｂ＋２＝２ａ＋１ａ＋ｂ２－４ｂ＋２＋２ｂ＋２＝２ａ＋１ａ＋ｂ－２＋２ｂ＋２＝２ａ＋ｂ－２＋１ａ＋２ｂ＋２＝１＋１ａ＋２ｂ＋２＝１＋２２ａ＋２ｂ＋２ȡ１＋２＋２()２２ａ＋ｂ＋２＝１３５ꎬ当且仅当２２ａ＝２ｂ＋２ꎬ２ａ＋ｂ＝３ꎬ{即ａ＝５４ꎬｂ＝１２{时等号成立.所以２ａ２＋１ａ＋ｂ２－２ｂ＋２的最小值是１３５２通过权方和不等式再利用换元和重要不等式求最值㊀㊀例２㊀已知ｘ>１ꎬｙ>１ꎬ则ｘ２ｙ－１＋ｙ２ｘ－１的最小值是.解析㊀设ｘ＋ｙ－２＝ｔ(ｔ>０)ꎬｘ２ｙ－１＋ｙ２ｘ－１ȡｘ＋ｙ()２ｘ＋ｙ－２＝ｔ＋２()２ｔ＝ｔ＋４ｔ＋４ȡ８ꎬ当且仅当ｘ＋ｙ－２＝２ꎬｘｙ－１＝ｙｘ－１ꎬ{即ｘ＝２ꎬｙ＝２{时等号成立.３与三角函数有关的问题求最值例３㊀己知锐角αꎬβ满足α＋β＝π６ꎬ则１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβ的最小值为.分析㊀可以观察代数式１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβ两个分母之和是一个常数ꎬ所以可用权方和不等式求最小值解析㊀因为己知锐角αꎬβ满足α＋β＝π６ꎬ所以１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβȡ(１＋３)２ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ＝１６ｓｉｎ(α＋β)＝１６ｓｉｎπ/６＝３２ꎬ当且仅当α＋β＝π６ꎬｃｏｓαｓｉｎβ＝３ｓｉｎαｃｏｓβ时等号成立.所以１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβ的最小值是３２.评析㊀本题利用权方和不等式求最小值ꎬ简单明了ꎬ可以起到事半功倍的效果.４与函数性质有关的求最值例４㊀函数ｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２(０<ｘ<２０)的最小值为.解析㊀因为ｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２(０<ｘ<２０)ꎬ又因为０<ｘ<２０ꎬ所以４００－ｘ２>０.所以当０<ｘ<２０时ꎬｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２ȡ(２＋３)２ｘ２＋４００－ｘ２＝１１６ꎬ当且仅当２ｘ２＝３４００－ｘ２ꎬ即ｘ＝４１０时等号成立.所以函数ｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２(０<ｘ<２０)的最小值为１１６.评析㊀本题还可以先用换元法再利用基本不等式求解ꎬ但是计算量比较大.变式题㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)ꎬ若对任意的正数ａꎬｂꎬ满足ｆ(ａ)＋ｆ(３ｂ－１)＝０ꎬ则３ａ＋１ｂ的最小值为.分析㊀先求函数的奇偶性与单调性ꎬ再根据ｆ(ａ)＋ｆ(３ｂ－１)＝０ꎬ得ａ＋３ｂ＝１ꎬ最后根据权方和不等式求最值.解析㊀因为ｘ２＋１－ｘ>０恒成立ꎬ所以函数ｆｘ()的定义域为Ｒ.因为ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)ꎬ所以ｆ－ｘ()＝ｌｏｇ２ｘ２＋１＋ｘ().因为ｆｘ()＋ｆ－ｘ()＝ｌｏｇ２ｘ２＋１－ｘ()＋ｌｏｇ２(ｘ２＋１＋ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１＋ｘ)(ｘ２＋１－ｘ)＝０ꎬ所以ｆｘ()＋ｆ－ｘ()＝０.所以ｆｘ()＝－ｆ－ｘ().所以ｆｘ()为奇函数.又因为ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)在(－¥ꎬ０)单调递减ꎬ所以ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)单调递减ꎬｆ(ｘ)在ｘ＝０处连续ꎬ所以ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)在(－¥ꎬ＋¥)单调递减.因为ｆａ()＋ｆ３ｂ－１()＝０ꎬ所以ｆａ()＝ｆ１－３ｂ().所以ａ＝１－３ｂ.即ａ＋３ｂ＝１.所以３ａ＋１ｂ＝３ａ＋３３ｂȡ(３＋３)２ａ＋３ｂ＝１２１＝１２ꎬ当且仅当３ａ＝３３ｂꎬａ＋３ｂ＝１ꎬìîíïïï即ａ＝１２ꎬｂ＝１６ìîíïïïï时等号成立.所以３ａ＋１ｂ的最小值为１２.评析㊀易错点是利用权方和不等式求最值时ꎬ要注意必须验证等号成立的条件ꎬ若不能取等号则这个定值就不是所求的最值ꎬ这也是最容易发生错误的地方.５与数列有关的问题求最值例５㊀已知正项等比数列ａｎ{}满足ａ３＝ａ２＋２ａ１ꎬ若存在ａｍꎬａｎꎬ使得ａｍａｎ＝１６ａ２１ꎬ则１ｍ＋４ｎ的最小值为.分析㊀设等比数列ａｎ{}的公比为ｑꎬ且ｑ>０ꎬ根据已知条件求出ｑ的值ꎬ由已知条件可得出ｍ＋ｎ＝６ꎬ再利用权方和不等式可求得１ｍ＋４ｎ的最小值.解析㊀设等比数列ａｎ{}的公比为ｑꎬ则ｑ>０.由ａ３＝ａ２＋２ａ１可得ｑ２－ｑ－２＝０.因为ｑ>０ꎬ所以ｑ＝２.因为ａｍａｎ＝１６ａ２１ꎬ则ａ２１２ｍ－１２ｎ－１＝１６ａ２１.所以ｍ＋ｎ－２＝４.可得ｍ＋ｎ＝６.由已知ｍꎬｎɪＮ∗ꎬ所以１ｍ＋４ｎȡ(１＋２)２ｍ＋ｎ＝９６＝３２ꎬ当且仅当１ｍ＝２ｎꎬｍ＋ｎ＝６ꎬ{即ｍ＝２ꎬｎ＝４{时等号成立.所以１ｍ＋４ｎ的最小值为３２.６与向量有关的问题求最值例６㊀已知ＡꎬＢꎬＣ三点共线(该直线不过原点Ｏ)ꎬ且ＯＡң＝ｍＯＢң＋２ｎＯＣң(ｍ>０ꎬｎ>０)ꎬ则２ｍ＋１ｎ的最小值为.分析㊀先根据三点共线ꎬ求出ｍ＋２ｎ＝１ꎬ再利用权方和不等式求最值.解析㊀因为ＡꎬＢꎬＣ三点共线(该直线不过原点Ｏ)ꎬ且ＯＡң＝ｍＯＢң＋２ｎＯＣң(ｍ>０ꎬｎ>０)ꎬ所以ｍ＋２ｎ＝１.所以２ｍ＋１ｎ＝２ｍ＋２２ｎȡ(２＋２)２ｍ＋２ｎ＝８ꎬ当且仅当２ｍ＝２ｎꎬｍ＋２ｎ＝１ꎬìîíïïï即ｍ＝１２ꎬｎ＝１４ìîíïïïï时等号成立.所以２ｍ＋１ｎ的最小值为８.评析㊀因为ＡꎬＢꎬＣ三点共线(该直线不过原点Ｏ)ꎬ且ＯＡң＝λＯＢң＋μＯＣңꎬ所以λ＋μ＝１.以上各题都是对于知和求和型求最值ꎬ是以不等式㊁三角㊁数列㊁向量为载体ꎬ实际上还是考查不等式性质的应用ꎬ可以转化为１的应用来考查基本不等式ꎬ但是如果熟练掌握利用权方和不等式求最值ꎬ可以简化计算ꎬ使解题变得简单.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]。

初中数学最小值问题

初中数学最小值问题在初中数学中，最小值问题是一个常见的问题，涵盖了多个方面，包括代数式求最值、一次函数或二次函数的最值、几何图形中的最值问题、方程式的最值以及数据分析中的最小值问题。

下面我们将逐一介绍这些方面。

1. 代数式求最值代数式求最值是初中数学中的一个重要问题。

通常，我们需要通过配方、平方和、平方法等技巧，将代数式转化为能够求最值的表达式。

例如，对于一个二次函数y=ax²+bx+c，当a>0时，函数存在最小值，这个最小值可以通过公式求得。

2. 一次函数或二次函数的最值一次函数或二次函数的最值也是初中数学中常见的问题。

对于一次函数，可以通过观察图像或者利用一次函数的性质来求最值。

对于二次函数，可以通过配方或者利用二次函数的顶点坐标来求最值。

3. 几何图形中的最值问题几何图形中的最值问题通常涉及到长度、角度、面积等方面。

这类问题需要结合几何知识，运用相关的定理和公式来求解。

例如，在矩形ABCD中，E是AD的中点，点F在BC上，且∠FBE=∠ABE。

求证：EF最短。

4. 方程式的最值方程式的最值问题通常涉及到求解方程的最小或最大值。

这类问题需要运用相关的代数知识，通过对方程进行变形或者利用判别式等方法来求解。

例如，对于方程x²+2x+1=0，我们可以利用配方法将其转化为(x+1)²=0，从而求解。

5. 数据分析中的最小值问题在数据分析中，最小值问题通常涉及到在一组数据中找到最小值。

这类问题需要运用相关的统计知识，通过观察数据分布或者利用计算最小值的方法来求解。

例如，在一组数据中，我们可以观察到数据分布的情况，从而找到最小值。

总之，初中数学最小值问题是一个涵盖多个方面的问题。

在求解最小值时，我们需要根据不同的情况运用不同的方法来求解。

通过掌握这些方法，我们可以更好地解决最小值问题。

提优专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧(原卷版)

专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧（原卷版）专题诠释：代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，七最重要的技巧就是代数式的恒等变形。

恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。

通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。

第一部分典例剖析+变式训练类型一通过代数式的恒等变形求代数式的值典例1 （大城县校级四模）设m ＞n ＞0，m 2+n 2＝4mn ，则m 2−n 2mn 的值等于（） A ．2√3B ．√3C ．√6D ．3 变式训练1．（达州中考）已知：m 2﹣2m ﹣1＝0，n 2+2n ﹣1＝0且mn ≠1，则mn+n+1n 的值为．2．（2020秋•锦江区校级期末）已知2a ﹣3b +1＝0，则代数式6a ﹣9b +1＝．3．（2022秋•吉县期中）请阅读下面解题过程：已知实数a 、b 满足a +b ＝8，ab ＝15，且a ＞b ，求a ﹣b 的值．解：因为a +b ＝8，ab ＝15，所以：（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2＝a 2+2ab +b 2﹣4ab ＝（a +b ）2﹣4ab ＝82﹣4×15＝4因为a ＞b ，所以a ﹣b ＞0，所以a ﹣b ＝2．请利用上面的解法，解答下面的问题．已知实数x 满足x −1x =√8，且x ＜0，求x +1x的值．类型二通过代数式的恒等变形求代数式的值典例2 （2021秋•下城区期中）已知实数m ，n 满足m ﹣n 2＝1，则代数式m 2+2n 2+4m ﹣2的最小值等于．变式训练1．（2022•蓝山县校级开学）若m ，n 是方程x 2﹣2ax +1＝0且a ≥1的两个实数根，则（m ﹣1）2+（n ﹣1）2的最小值是．2．（2022秋•海淀区校级月考）阅读下列材料，并解答问题：材料：将分式x 2−x+3x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母x +1，可设x 2﹣x +3＝（x +1）（x +a ）+b ；则x 2﹣x +3＝（x +1）（x +a ）+b ＝x 2+ax +x +b ＝x 2+（a +1）x +a +b ．∵对于任意上述等式成立，∴{a +1=−1a +b =3解得：{a =−2b =5． ∴x 2−x+3x+1=(x+1)(x−2)+5x+1=x ﹣2+5x+1．这样，分式x 2−x+3x+1就拆分成一个整式x ﹣2与一个分式5x+1的和的形式．（1）将分式x 2+5x−4x−1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；（2）已知整数使分式2x 2−x−12x−3的值为整数，直接写出满足条件的整数的值．类型三通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围典例3（2021•杭州三模）已知2a ﹣3x +1＝0，3b ﹣2x ﹣16＝0（1）用含x 的代数式分别表示a ，b ；（2）当a ≤4＜b 时，求x 的取值范围．变式训练4．平面直角坐标系中，已知点（a ，b ）在双曲线(0)k yk x 上，且满足22a b m ，22b a m ，a b ，求k 的取值范围。

代数式求最值的方法

代数式求最值的方法
嘿，朋友！今天咱就来好好唠唠“代数式求最值的方法”。

先来说说配方法吧！就好比把一堆杂乱的积木整理好搭成一个漂亮的建筑。

比如x²+6x+5，咱就可以把它配成(x+3)²-4，这样不就能轻松找到最值啦！
然后呢，是利用不等式求最值，这就好像是给代数式装上了一个约束的框框。

比如说 2x+3y，咱知道x≥0，y≥0，x+y=4，那就能根据这些条件找出最值咯！
还有换元法哦！就像是玩一个变身游戏。

例如，看到根号下x²+1，可以令 t=根号下x²+1，哇，是不是顿时感觉不一样啦！
另外，判别式法也很厉害呀！就如同侦探在找线索一样。

例如对于二次函数y=ax²+bx+c，通过判别式来判断有没有最值，是不是超有趣的！
总之，这些方法各有各的奇妙之处，就看你怎么去运用啦！赶紧去试试吧，朋友！你一定会发现其中的乐趣和奥秘的！。

高一数学代数式的最值练习题

高一数学代数式的最值练习题【例1】若0x >，则423x x++的最小值是_________．【例2】设a 、b ∈R ，则3a b +=，则22a b +的最小值是_________．【例3】若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是．典例分析【例4】已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x y ，恒成立，则正实数a 的最小值为（） A ．8B ．6C ．4D ．2【例5】当___x =时，函数22(2)y x x =-有最值，其值是．【例6】正数a 、b 满足9a b =，则1a b+的最小值是．【例7】若x 、*y ∈R 且41x y +=，则x y ⋅的最大值是_____________．【例8】设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则的最大值为．【例9】已知0x >，0y >，1x y +=，则1111x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为【例10】设0a b >>，那么21()a b a b +-的最小值为（） A ．2B ．3C ．4D ．5【例11】设221x y +=，则()()11xy xy -+的最大值是最小值是．【例12】已知()23200x y x y+=>>，，则xy 的最小值是．【例13】已知2222,,x y a m n b +=+=其中,,,0x y m n >，且a b ≠，求mx ny +的最大值．【例14】 0,0,4,a b a b >>+=求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值．【例15】设x ，y ，z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是．【例16】已知x 、y +∈R ，且2520x y +=，当x = ，y = 时，xy 有最大值为．【例17】若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是，此时a = ，b = ．【例18】求函数2y =的最小值．【例19】将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记()2s =梯形的周长梯形的面积，则s 的最小值是．【例20】设实数x ，y 满足238xy ≤≤，249x y ≤≤，则34x y的最大值是．【例21】求函数y =的最小值．【例22】求函数2211()1f x x x x x =++++的最小值．【例23】已知3x ≥，求4y x x =+的最小值．【例24】求函数2y =A ．1B ．2C ．3-D ．2-【例26】 ⑴求函数2241y x x =++的最小值，并求出取得最小值时的x 值．⑵求y =的最大值．【例27】 ⑴求函数211ax x y x ++=+（1x >-且0a >）的最小值． ⑵求函数312y x x=--的取值范围．【例28】 ⑴求函数22(2)y x x =-的最大值． ⑵求2y = ⑶求函数2y =的最值．【例29】 ⑴已知54x <，求函数11454y x x=-+-的最小值． ⑵求函数312y x x=--的取值范围． ⑶求函数22(2)y x x =-的最大值．【例30】 ⑴已知，a b 是正常数，a b ≠，(0)，，x y ∈+∞，求证：222()≥a b a b x y x y+++，指出等号成立的条件； ⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0)2，x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．【例31】分别求2213()32(0)g x x x x x x =-++->和2213()32(0)f x x x x x x=+++->的最小值．【例32】求函数422331x x y x ++=+的最小值．【例33】函数()f x =的最大值为（）A ．25B ．12CD ．1【例34】设函数1()21(0)f x x x x =+-<，则()f x （） A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数【例35】设222()S x y x y =+-+，其中x ，y 满足22log log 1x y +=，则S 的最小值为．【例36】设00，a b>>3a与3b的等比中项，则11a b+的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．1 4【例37】已知：0x>，求234xx+的最小值．【例38】已知：,,0,1x y z x y z>++=，求149x y z++的最小值．【例39】已知a、b、c+∈R且1a b c++=【例40】求1111sin cos y a a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值π02a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．【例41】若0,0a b >>，且2a b +=，求22a b +的最小值．【例42】已知0,0a b >>，1a b +=2．【例43】已知给定正数a ，b 和未知数x ，y ，且0x >，0y >，满足10a b +=，1a b x y+=，x y +的最小值为18，求a ，b 的值．【例44】若，a b +∈R ，且1ab a b =++，分别求a b +和ab 的最小值．【例45】若a 是12b +与12b -的等比中项，则22ab a b +的最大值为（）A ．1552 B ．42 C D。

巧求最值问题八种方法

巧求最值问题八种方法如何求“最值"问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。

一、利用配方求最值例1 ：若X,y是实数，则x2 xy y2 3x 3y 1999的最小值是____________ 。

分析：由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。

原^式=1(x22xy y2) 1(x26x 9) 1 (y26y 9) 1990=2(x y)21(x 3)21(y 3)21990显然有(x-y) 2> 0, (x-3) 2> 0, (y-3) 2> 0,所以当x-y=0,x-3=0,y-3=0 时，得x=y=3 时, 代数式的值最小，最小是1990;例2，设x为实数，求y=x2x丄3的最小值。

x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的 x 取值相同。

由于y=x 22x i x - 2 i=（x i ）2（依斗）2i ,要求 y 的最小x J x '值，必须有X-仁0,且眉士 0，解得x=1,Vx于是当x=1时，y=x 2x - 3的最小值是-1。

x二、利用重要不等式求最值例3 :若xy=1,那么代数式丄二的最小值 x 4y分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最小值，可考虑用不等式的性质来解此题，所以：4角的最小值是1x 4y三、构造方程求最值例 4:已知实数 a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4. 求a 、b 、c 中的最大者的最小值.分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系，构造方程来解。

解：设c 为最大者，由已知可知，c>0,得：a+b=2-c, ab=4,则 a 、b 可以看作 x 2（2 c ）x 40 的两c c1 （xy ）2=11 ~4 x1 4y 4（27）2根，因为 a 、b 是实数，所以（2 c ）24^ 0，即 c 7c 3 4c 2 4c 16 0, (c 2)( c 2)(c 4) 0,得 c 2 或 c 4,因为 C 是最大者,所以c的最小值是4.四、构造图形求最值例5：使x 24 （8—x ）2—16取最小值的实数X 的值为______ 」分析：用一般方法很难求出代数式的最值，由于 X 24（8一XL16=心―0厂（0一2）28厂（0一4）2,于是可构造图形，转化为：在x 轴上求一点c （x,0）,使它到『两点A （0,2）和B （8, 4）的距离 * 和CA+CB 最小，利用对称可求出 C 点坐标，这样，通过构造图形使问题迎刃而解。

中考数学复习指导：构造一元二次方程巧求代数式的最值

将上式整理成关于 x 的二次方程，得 x 2 + ( z − 5) x + z 2 − 5 z + 3 = 0 . ∵ x 为实数，
∴ ∆ = ( z − 5) 2 − 4( z 2 − 5 z + 3) ≥ 0 ，即 3 z 2 − 10 z − 13 ≤ 0 .
13 . 3 13 ∴ z 的最大值是，最小值是－1. 3
设 p + q = m ①，代入上式，得， pq = 化简整理，得 m ≤ 8 ，故 m ≤ 2 ，即 p + q 的最大值为 2.
3
1 (1 + y) ③. 2
1 (1 − y)2 ④. 4 1 1 2 2 由③、④可知 a 2 、 b 2 是二次方程 t − (1 + y )t + (1 − y ) = 0 的两个实数根. 2 3
①－②，得 2ab = 1 − y ，即 a b =
2 2
1 1 1 ∴∆ = − (1 + y ) − 4 ×1× (1 − y ) 2 = (1 + y ) 2 − (1 − y ) 2 ≥ 0 . 4 4 2
解
设 a + ab + b − a − 2b = y ，将其整理成关于 a 的二次方程，得
2 2
a 2 + (b − 1) a + (b 2 − 2b − y ) = 0 .
∵ a 为实数.
∴∆ = (b − 1) 2 − 4(b 2 − 2b − y ) ≥ 0 . ∴ 4 y ≥ 3b 2 − 6b − 1 = 3(b − 1) 2 − 4 ≥ −4,∴ y ≥ −1 .
解之得 −1 ≤ z ≤ 例 5 已知 a 、 b 均为实数，且满足 a 2 + ab + b 2 = 1 ①,则代数式 a 2 − ab + b 2 的最大值与最小值的和解 .

代数式最值问题

当涉及到代数式的最值问题时，我们通常需要找到使代数式达到最大或最小值的变量值。

这类问题可以通过以下步骤来解决：
1. 理解问题：仔细阅读问题并确保对所给信息有清晰的理解。

了解我们需要找到代数式的最大值还是最小值。

2. 定义变量：为问题中涉及的未知量或变量定义符号。

这将有助于建立代数式。

3. 建立代数式：使用定义的变量来建立与问题相关的代数式。

这可以涉及单个方程式或多个方程式的组合。

4. 求导（可选）：如果代数式是一个多项式或可导函数，我们可以通过对其求导来找到驻点（导数为零的点）。

这些驻点可能对应于最值点。

5. 解方程（可选）：如果我们有一个或多个方程式，我们可以使用代数方法来解方程组，找到方程式的解，这些解可能对应于最值点。

6. 分析边界：检查变量的取值范围。

例如，如果变量是实数，确定是否存在无界的情况，或者是否存在最大或最小的限制。

7. 使用数学工具：使用代数、图形或数值方法来找到代数式的最大或最小值。

这可能涉及求解方程，使用图形方法（例如绘制函数图像）或使用数值计算（例如迭代或优化算法）。

8. 验证答案：找到最大或最小值后，将其代入原始问题中，确保它们满足给定条件。

这些步骤将帮助您解决代数式的最值问题。

请提供具体的问题或代数式，以便我可以为您提供更详细的指导。

代数式取值范围

代数式取值范围1.引言1.1 概述代数式是数学中常见的一种表达式形式，由运算符、变量和常数组成。

在实际问题中，经常需要对代数式的取值范围进行分析和计算。

代数式的取值范围可以帮助我们了解代数式可能的取值范围，对于解决实际问题和推理数学性质都具有重要意义。

代数式的取值范围计算方法是通过对代数式中的变量赋予不同的取值进行分析。

在计算过程中，我们需要考虑代数式中的运算法则、约束条件以及变量的定义域等因素。

通过合理的推导和计算，我们可以得到代数式的取值范围，从而更好地理解和应用代数式。

本文将首先介绍代数式的定义和基本概念，包括代数式的结构、运算符的优先级和结合律等。

随后，我们将详细探讨代数式的取值范围计算方法，包括如何根据代数式的特点和约束条件进行分析和推导。

通过具体的例子和实际问题，我们将展示不同类型的代数式取值范围计算方法和技巧。

在结论部分，我们将总结代数式取值范围的重要性，包括其在解决实际问题中的应用和对代数性质的理解。

同时，我们也将对代数式取值范围计算方法的局限性和未来的研究方向进行展望。

通过本文的阅读，读者将对代数式的取值范围有更深入的理解，并能够运用相关的计算方法分析和解决实际问题。

同时，本文也将为进一步研究代数式的取值范围和相关领域提供一定的参考和启示。

文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构文章的结构分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分主要介绍本篇文章的背景和目的，概述代数式取值范围的重要性，并概括了文章的整体结构。

通过引言部分，读者可以对本文的核心内容有一个初步的了解。

正文部分包括了代数式的定义和基本概念以及代数式的取值范围计算方法。

首先，我们会详细介绍代数式的定义和基本概念，包括代数式的含义、常见的代数运算符号等。

然后，我们会详细讲解代数式的取值范围计算方法，包括常见的一元一次方程、一元二次方程的解法，以及不等式的求解方法等。

通过正文部分的阐述，读者可以对代数式取值范围的计算方法有一个清晰的了解。

基本不等式

基本不等式学习目标 1.掌握利用基本不等式求最值的方法.2.能构造基本不等式的形式求代数式的最值问题.3.会利用基本不等式解决生活中的实际问题．一、分离消元法求最值例1 已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，求x ＋2y 的最小值．解由x ＋2y ＋2xy ＝8，可知y ＝8－x2＋2x，因为x >0，y >0，所以0<x <8.所以x ＋2y ＝x ＋8－x x ＋1＝x ＋9－1－x x ＋1＝x ＋9x ＋1－1＝x ＋1＋9x ＋1－2≥29－2＝4，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时等号成立．所以x ＋2y 的最小值为4.延伸探究已知x >0，y >0，满足xy ＝x ＋y ＋3，求xy 的最小值．解由题意可知y ＝x ＋3x －1，所以xy ＝x ·x ＋3x －1＝x 2＋3x x －1＝x 2－2x ＋1＋5x －5＋4x －1＝x －1＋4x －1＋5≥24＋5＝9，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．所以xy 的最小值为9.反思感悟含有多个变量的条件最值问题的解决方法对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题．跟踪训练1 已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为________．答案 5＋26解析由2a ＋b ＝ab －1，得a ＝b ＋1b －2，因为a >0，b >0，所以a ＝b ＋1b －2>0，b ＋1>0，所以b >2，所以a ＋2b ＝b ＋1b －2＋2b ＝(b －2)＋3b －2＋2(b －2)＋4＝2(b －2)＋3b －2＋5≥22(b －2)·3b －2＋5＝5＋26，当且仅当2(b －2)＝3b －2，即b ＝2＋62时等号成立．所以a ＋2b 的最小值为5＋2 6.二、利用基本不等式求参数的值或取值范围例2 已知4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a 的值为________．答案 36 解析 4x ＋ax≥24x ·ax＝4a ，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2＝3时，等号成立，∴a ＝36.反思感悟求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题．(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．跟踪训练2 已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7 答案 B解析因为a >0，b >0，所以2a ＋b >0，所以要使2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，只需m ≤(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝4＋2a b ＋2ba ＋1≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以m ≤9. 三、基本不等式的综合运用例3 已知a >0，b >0，求1a ＋1b ＋2ab 的最小值．解 ∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＋2ab ≥21ab＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．反思感悟多次使用基本不等式时，一定要保证几次等号成立的条件能同时成立，要善于发现“定值”，在使用时可采用拼凑法、换元法、常数代换等方法．跟踪训练3 设a >0，b >0，a ＋b ＝5，求a ＋1＋b ＋3的最大值．解设a ＋1＝m ，b ＋3＝n ， ∴m >0，n >0，且m 2＋n 2＝a ＋b ＋4＝9.由(m ＋n )2＝m 2＋n 2＋2mn ≤2(m 2＋n 2)，即(m ＋n )2≤18，∴m ＋n ≤32，当且仅当m ＝n ＝322时，等号成立，即a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.1．知识清单： (1)分离消元法求最值． (2)利用基本不等式求参． (3)基本不等式的综合运用．2．方法归纳：消元法、换元法、拼凑法．3．常见误区：在同一个题目多次使用基本不等式时，一定要注意等号成立的条件是否一致．1．下列等式中最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝2t ＋1tC ．y ＝4t ＋1t (t >0)D ．y ＝t ＋1t答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5<4； B 中t ＝－1时，y ＝－3<4； C 中y ＝4t ＋1t≥24t ·1t＝4，当且仅当t ＝12时，等号成立；D 中t ＝－1时，y ＝－2<4.2．已知x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，则使不等式x ＋y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是( )A ．m ≥18B ．m ≤18C ．m ≥16D ．m ≤16答案 D解析因为x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝1＋9x y ＋yx ＋9≥10＋29x y ·yx ＝16，当且仅当9x y ＝yx，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝12时，等号成立；又不等式x ＋y ≥m 恒成立，所以只需m ≤16. 3．当x >0时，y ＝2xx 2＋1有( ) A ．最小值1 B ．最大值1 C ．最小值2 D ．最大值2答案 B解析因为x >0，所以y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22x ·1x ＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．即y ＝2xx 2＋1有最大值1. 4．若a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，则(a ＋1)(b ＋1)的最大值是________．答案 94解析因为a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，所以(a ＋1)(b ＋1)≤⎝⎛⎭⎫a ＋1＋b ＋122＝94，当且仅当a ＋1＝b ＋1，即a ＝b ＝12时，等号成立．课时训练基础题型1．下列命题中，正确的是( ) A ．x ＋4x 的最小值是4B.x 2＋4＋1x 2＋4的最小值是2 C ．如果a >b ，c >d ，那么a －c >b －d D ．如果ac 2>bc 2，那么a >b答案 D解析选项A 中，若x <0，则无最小值，所以错误；选项B 中，t ＝x 2＋4≥2，当且仅当x 2＋4＝1，该方程无解，所以错误；选项C 中，若a ＝c ，b ＝d ，则a －c ＝b －d ，所以错误；选项D 中，如果ac 2>bc 2，则c ≠0，所以c 2>0，所以可得a >b .2．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5 答案 C解析由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1， ∴2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×(2a ＋b ) ＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2ba ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2ab ＝2ba ，即a ＝b ＝18时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.3．若x >0，则x ＋2 020x ≥a 恒成立的一个充分条件是( )A ．a >80B ．a <80C ．a >90D ．a <90答案 B解析因为x >0，由基本不等式x ＋2 020x≥2x ·2 020x＝4505，当且仅当x ＝2 020x ，即x ＝2505时，取等号，要使得x ＋2 020x ≥a 恒成立，则a ≤4505，所以x ＋2 020x ≥a 恒成立的一个充分条件是a <80.4．设x >0，那么3－1x－x 有( )A ．最大值1B ．最小值1C ．最大值5D ．最小值－5 答案 A解析 ∵x >0, ∴1x＋x ≥21x ·x ＝2，当且仅当1x＝x 即x ＝1时取得等号． ∴－1x －x ≤－2，∴3－1x－x ≤3－2＝1.5．若x >4，则y ＝x 2－4x ＋9x －4( )A ．有最大值10B ．有最小值10C ．有最大值6D ．有最小值6答案 B解析因为x >4，所以y ＝x 2－4x ＋9x －4＝(x －4)2＋4x －16＋9x －4＝(x －4)＋9x －4＋4≥2(x －4)·9x －4＋4＝10，当且仅当x －4＝9x －4，即x ＝7时，等号成立．即y ＝x 2－4x ＋9x －4有最小值10，y ＝(x －4)＋9x －4＋4在x >4上无最大值．6．(多选)下列函数中最小值为2的是( ) A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝x ＋1xC ．y ＝x 2＋3＋1x 2＋3D ．y ＝x ＋4x ＋2(x >－2)答案 BD解析 x <0时，y ＝x ＋1x <0，A 错；x >0，y ＝x ＋1x≥2x ×1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立，B 正确；同理y ＝x 2＋3＋1x 2＋3≥2，但x 2＋3＝1x 2＋3时，等号才能成立，而x 2＋3＝1x 2＋3无解．故2取不到，C 错； x >－2，则x ＋2>0，y ＝x ＋4x ＋2＝(x ＋2)＋4x ＋2－2≥2(x ＋2)·4x ＋2－2＝2，当且仅当x ＋2＝4x ＋2，即x ＝0时等号成立，D 正确．7．已知a >0，b >0且a ＋b ＝3.式子 2 021a ＋2 019＋ 2 021b ＋2 020的最小值是________．答案 2解析令a ＋2 019＝x ，b ＋2 020＝y ，则x >2 019，y >2 020且x ＋y ＝4 042，∴14 042(x ＋y )＝1， ∴2 021a ＋2 019＋ 2 021b ＋2 020＝2 021⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝2 021⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·14 042(x ＋y )＝1＋12⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≥1＋12×2y x ·xy＝2，当且仅当y x ＝xy，即x ＝y ＝2 021，a ＝2，b ＝1时等号成立．8．若对∀x >－1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≤0解析因为x >－1，所以x ＋1>0，则x ＋1x ＋1－1＝x ＋1＋1x ＋1－2 ≥2(x ＋1)×1x ＋1－2＝2－2＝0，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立，由题意可得a ≤⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋1－1min ＝0，即a ≤0. 9．(1)若0<x <4，求y ＝x (12－3x )的最大值； (2)求y ＝x 2＋6x ＋12x ＋3，在x >－3时的最小值．解 (1)∵0<x <4，∴12－3x >0， ∴y ＝x (12－3x )＝13×3x (12－3x )≤13⎝⎛⎭⎫3x ＋12－3x 22＝12，当且仅当3x ＝12－3x ，即x ＝2时，等号成立；所以函数y ＝x (12－3x )的最大值为12. (2)y ＝x 2＋6x ＋12x ＋3＝(x ＋3)2＋3x ＋3＝x ＋3＋3x ＋3，∵x >－3，∴x ＋3>0，∴x ＋3＋3x ＋3≥23，当且仅当x ＋3＝3x ＋3，即x ＝3－3时，等号成立， ∴函数y ＝x 2＋6x ＋12x ＋3的最小值为2 3.10．已知实数a ，b 满足0<a <1,0<b <1.(1)若a ＋b ＝1，求⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值； (2)设0<m <12，求1m ＋112－m 的最小值．解已知实数a ，b 满足0<a <1,0<b <1.(1)若a ＋b ＝1，⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋a b ⎝⎛⎭⎫2＋b a ＝4＋2b a ＋2a b ＋1≥4＋4＋1＝9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故最小值为9.(2)∵0<m <12，∴m >0,12－m >0， ∵m ＋(12－m )＝12， ∴m 12＋12－m 12＝1， ∴1m ＋112－m ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋112－m ⎝⎛⎭⎫m 12＋12－m 12 ＝16＋12－m 12m ＋m 12()12－m ≥16＋16＝13，当且仅当m ＝6时，等号成立， ∴1m ＋112－m 的最小值为13. 综合提升11．若x >0，y >0，x ＋y ＝1，且1x ＋4xy >m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m <3B ．m <6C ．m <5D ．m <9 答案 C解析因为x >0，y >0，所以y x >0，4xy>0，又因为x ＋y ＝1，所以1x ＋4x y ＝x ＋y x ＋4x y ＝y x ＋4xy ＋1≥2y x ·4xy＋1＝5，当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝2x ＝23时，等号成立，因为1x ＋4xy >m 恒成立，所以m <⎝⎛⎭⎫1x ＋4x y min ＝5，所以实数m 的取值范围是m <5.12．若正数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最大值为( )A.13B.38C.37 D ．1 答案 A解析因为x ＋4y －xy ＝0，化简可得x ＋4y ＝xy ，左右两边同时除以xy 得1y ＋4x ＝1，求3x ＋y的最大值，即求x ＋y 3＝x 3＋y 3 的最小值，所以⎝⎛⎭⎫x 3＋y 3×1＝⎝⎛⎭⎫x 3＋y 3×⎝⎛⎭⎫1y ＋4x ＝x 3y ＋4y 3x ＋13＋43 ≥2x 3y ×4y 3x ＋13＋43＝3，当且仅当x 3y ＝4y3x ，即x ＝6，y ＝3时取等号，所以3x ＋y的最大值为13.13．已知x >0，y >0，且xy ＝10，则下列说法正确的是( ) A ．当x ＝y ＝10时，2x ＋5y 取得最小值B ．当x ＝y ＝10时，2x ＋5y 取得最大值C ．当x ＝2，y ＝5时，2x ＋5y 取得最小值D ．当x ＝2，y ＝5时，2x ＋5y 取得最大值答案 C解析 ∵x >0，y >0，且xy ＝10， ∴2x >0，5y >0，10xy ＝1， ∴2x ＋5y≥22x ×5y＝210xy＝2，当且仅当2x ＝5y 即x ＝2，y ＝5时，等号成立，∴当x ＝2，y ＝5时，2x ＋5y取得最小值，最小值为2.14．已知正实数a ，b 满足ab 2(a ＋2b )＝4，则a ＋b 的最小值为________．答案 2解析由ab 2(a ＋2b )＝4，得a (a ＋2b )＝4b 2，故(a ＋b )2＝a (a ＋2b )＋b 2＝4b 2＋b 2≥24b 2·b 2＝4(当且仅当b ＝2，a ＝2－2时取等号)．所以a ＋b 的最小值为2.15．设x >0，y >0，x ＋2y ＝7，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为________．答案 8 解析 (x ＋1)(2y ＋1)xy ＝x ＋2y ＋2xy ＋1xy＝2xy ＋8xy ＝2xy ＋8xy≥8，当且仅当xy ＝4时，等号成立．16．已知x ，y 是正数，且满足x ＋2y ＋xy ＝30. (1)求xy 的最大值及此时的x ，y 值； (2)求x ＋y 的最小值及此时的x ，y 值．解 (1)∵x ＋2y ＋xy ＝30，∴y ＝30－x x ＋2，由于x ，y 是正数，则x >0且30－xx ＋2>0，可得0<x <30， ∴xy ＝x (30－x )x ＋2＝30x －x 2x ＋2＝(－x 2＋30x ＋64)－64x ＋2＝32－x －64x ＋2＝34－(x ＋2)－64x ＋2＝34－⎣⎡⎦⎤(x ＋2)＋64x ＋2≤34－2(x ＋2)·64x ＋2＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3时，等号成立，所以xy 的最大值为18.(2)x ＋y ＝x ＋30－x x ＋2＝x ＋32－(x ＋2)x ＋2＝x ＋32x ＋2－1＝(x ＋2)＋32x ＋2－3≥2(x ＋2)·32x ＋2－3＝82－3，当且仅当⎩⎨⎧x ＝42－2，y ＝42－1时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为82－3.。

3 例析利用参数法解题题型 -2022届高三数学二轮复习讲义

【学生版】例析利用参数法解题题型辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律；参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系；参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支；运用参数法解题已经比较普遍。

所谓参数法：就是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。

换元法就是引入参数，等价转化的典型例子。

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。

一、利用参数法求代数式最值有些代数式直接用配方法、不等式法可能难以求得；由此可以分析变量的限制条件，找出相应的参数方程，设参求解，反而简便。

例1、实数a 、b 、c 满足a b c 1++=，求：222a b c ++的最小值。

【提示】【解析】【评注】例2、已知229x 4y 36+=，求：代数式3x 2y 8+-的最值。

【提示】【解析】【评注】二、利用参数法证明不等式数学的各分支是相互联系，相互渗透的；从数学的不同分支去看待同一问题，往往会获得不同的感知和联系。

例3、已知x 、y 、z 及m 、n 均为正实数，且222x y z +=22z m n≤+。

例4、设i a 0(i N*)>∈，且n i i 1a 1==∑，证明：n2i i 11a n=≥∑，等号当且仅当12n a a a ===时成立。

由已知条件求函数的解析式，是函数部分的重点内容之一，它不仅深化函数概念，而且常联系着一些重要的解题方法与技巧；如：利用设参数求f (x)的方法，对形如：f[g(x)]h(x)=问题尤为奏效。

例5、已知432f (x 2)x 8x 24x -=-+，求：f (x)。

四、利用参数法解、证解析几何问题解析几何中，参数是个最具“活力”的元素，在求轨迹方程、证明相公结论时，有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x 、y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程或证得结论。

用配方法求代数式的最值公开课

初中数学华东师大版八年级上
用配方法求代数式的最值源自方法：将一个式子变为完全平方式，称为配方，它是完全平方公式的逆用。配方法是一种重要的数学方法，它是恒等变形的重要手段，又是求最大值最小值的
常用方法。
知识回顾完全平方式：
a b 2 2ab 2 (a b)2
公式特征：左边是一个二次三项式，其中两项为平方项且符
号相同，第三项为两平方项底数乘积的2倍，符号可正可负；
右边为两平方项底数和或差的平方。
典例讲解
例1：求代数式x2+4x+9的最小值
典例讲解
例2：-2x2 +4x+7的最大值
知识小结配方法求最值的步骤是怎样的？

代数式最小值的解法

代数式最小值的解法针对初中生的文章《轻松找到代数式的最小值》同学们，咱们在数学的世界里经常会碰到求代数式最小值的问题。

别担心，其实很简单！比如说，咱们来看这个代数式：$x^2 + 2x + 3$。

咱们可以把它变形一下，变成$(x + 1)^2 + 2$。

这时候你发现了吗？因为任何数的平方都大于等于 0，所以$(x + 1)^2$最小就是 0，那么整个代数式的最小值就是 2 啦！再比如，$5 (x 2)^2$。

这里呢，还是因为任何数的平方都大于等于 0，所以$(x 2)^2$最小是 0，那整个式子的最大值就是 5 啦。

怎么样，是不是没那么难？多练习练习，你就能轻松搞定啦！《代数式最小值？小菜一碟！》同学们，今天咱们来聊聊怎么找出代数式的最小值。

比如说，有个代数式是$4x x^2$。

咱们可以把它变个形，写成$(x^2 4x)$，然后再凑一凑，就成了$(x^2 4x + 4 4) = ((x 2)^2 4)$。

这下清楚啦，$(x 2)^2$最小是 0，所以整个式子的最大值就是4 。

再举个例子，$2 + \sqrt{x^2 + 1}$。

因为$x^2$总是大于等于 0 的，所以$x^2 + 1$最小是 1，那$\sqrt{x^2 + 1}$最小就是 1，整个式子的最小值就是 3 。

是不是觉得挺有意思的？加油，数学可好玩啦！《学会这几招，代数式最小值不再难》亲爱的小伙伴们，咱们在数学里经常会碰到求代数式最小值的题目。

别害怕，我来教你几招！比如说，有个代数式$3x^2 + 6x + 5$。

我们可以先提出一个 3，变成$3(x^2 + 2x) + 5$，然后再配方，得到$3(x + 1)^2 + 2$。

因为$(x + 1)^2$最小是 0，所以这个式子的最小值就是 2 。

还有一个例子，$y = \frac{1}{x^2 + 2}$。

因为$x^2$最小是0，所以$x^2 + 2$最小是 2，那么$y$的最大值就是$\frac{1}{2}$。

代数式的定义及其基本性质

代数式的定义及其基本性质代数式是由变量、数字和基本运算符组成的表达式。

在代数中，代数式是一种非常重要的形式化工具，它允许我们用符号表示复杂的数学关系。

在本文中，我们将简要介绍代数式的定义及其基本性质。

一、代数式的定义代数式是由变量、数字和基本运算符组成的表达式。

变量是代数式中最基本的构建块，它们可以表示任何数量的未知数。

数字和基本运算符（加、减、乘、除）则用于描述变量之间的数学关系。

例如，下面是一个代数式的示例：2x + 3y - 4在这个代数式中，变量 x 和 y 分别乘以 2 和 3，然后减去 4。

这个代数式的值取决于变量 x 和 y 的值。

二、代数式的基本性质1. 代数式的值可以根据变量的值进行计算代数式描述的是变量之间的数学关系，因此它的值是取决于变量的值的。

例如，对于上面的代数式，如果 x = 2，y = 3，那么它的值就是 2x + 3y - 4 = 2(2) + 3(3) - 4 = 9。

2. 代数式可以进行基本运算代数式可以进行加、减、乘、除等基本运算。

例如，对于上面的代数式，可以对它进行整体加减、因式分解、乘法分配律等运算。

3. 代数式可以用多个变量表示代数式可以用多个变量表示，例如，下面的代数式就用了三个变量：xyz + 2(x + y) - 3z这个代数式描述了变量 x、y 和 z 之间的复杂数学关系。

4. 代数式可以用形式化的符号表示代数式可以用形式化的符号表示，这使得我们可以用一个简单的形式来描述复杂的数学关系。

这种形式化符号的表示方法是数学中的一个非常重要的发明，它使得我们能够准确地描述和分析数学问题。

总之，代数式是数学中的重要组成部分，它允许我们用符号表示复杂的数学关系，并进行基本运算。

在学习代数的过程中，我们需要深入理解代数式的定义及其基本性质，以便更好地理解和解决数学问题。

《代数式》中的计算与规律

《代数式》中的计算与规律代数式是数学中最重要的概念之一，被广泛用于日常生活中的各种问题的解决。

虽然它的表达式和计算可能看起来晦涩难懂，但它拥有强大的威力，可以用来解决复杂的问题。

本文将讨论《代数式》中计算和规律，以帮助读者理解代数式的基本原理。

首先，让我们来看看《代数式》中的计算。

在解决任何一个代数问题之前，首先需要将代数式转化为一个可解决的方程，这就是一般意义上的计算。

一般情况下，当存在两个或更多个变量时，需要使用线性代数的计算原理，即矩阵的乘法和加法，来求解问题。

如果只有单个变量，则可以使用一元多项式的计算原理来解决问题，比如求根，最大值和最小值等。

此外，在《代数式》中也有一些规律，它们在解决复杂的问题上也非常有用。

其中最常用的规律就是对称性原理。

由于对称原理的存在，代数式可以在某种程度上建模，从而更容易找出问题的解决方案。

另一个重要的规律是维数原理。

它表明，将一组相同的变量分到不同的维度中，将会大大减少这组变量之间的数量关系，从而显著提高解决问题的效率。

另外，也有一些与文艺类向量有关的规律，可以应用于文字分析和图像处理等领域，以帮助人们快速解决问题。

最后，另一个非常重要的规律就是代数式的可求解性原理。

这原理的核心在于，任何一个有限的代数式都有一个唯一的解，这意味着大多数代数式都是可求解的。

因此，只要给出一条准确的求解方法，就可以解决一个代数式，而不需要太多时间，努力和费用。

综上所述，《代数式》中的计算和规律是数学领域中最有用的概念，它们可以帮助我们更加有效地解决各种复杂的问题。

从本文中可以看出，通过熟悉代数式的计算和规律，对于熟练地运用它来解决问题具有重要意义。

因此，我们应该继续努力，加深对代数式的了解和理解，以期效率更高地求解一个复杂的代数问题。

不等式均值不等式求含两个未知量的代数式的最值

1、 32418时，积最大为当==y x把36写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？2、 m y x 819时，最大面积为当==一个矩形的周长为m 36，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？3、 27210826-=时，最大面积为当x 设矩形ABCD ()BC AB >的周长为24，把它沿对角线AC 对折，折过去后，AB 交DC 于点P ，设x AB =，求ADP ∆的最大面积以及相应x 的值；4、 221最大值为时，当xy y x ⎩⎨⎧== 已知点()y x P ,在直线042=-+y x 上运动，求它的横、纵坐标之积的最大值，以及此时点的坐标；5、 2255cm cm 时，矩形面积最大值为矩形长、宽均为用m 20长的一段铁丝折成一个面积最大的矩形，这个矩形的长、宽各为多少？并求出这个最大值；6、 612131最大值为时，当ab b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧== 已知+∈R b a ,，且223=+b a ，求ab 的最大值以及相应的a 和b 的值；7、 421时，最小值为当==b a 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求b a 11+的最小值； 8、 147时，和最小为当==y x把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？9、 m y x 4010时，最短周长为当==一个矩形的面积为2100m ，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？10、 2010时，和最小值为两直角边均为已知直角三角形的面积为50，问两直角边各为多少时，它们的积最小？这个最小值是多少？ 11、时，用料最省铁盒底面长、宽均为cm 5用铁皮做一个体积为250cm ，高为m 2的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长、宽各为多少时，用料最少？12、 184时，原式最大值为当⎩⎨⎧==y x 已知2>x ，4>y ，32=xy ，求4log 2log 22y x ⋅的最大值以及相应的x 和y 的值； 13、 41 已知1>x ，1>y ，10=xy ，求y x 22log log ⋅，则的最大值为；14、 S r =在面积为定值S 的扇形中，半径是多少时，扇形的周长最小？15、 4P r = 在周长为定值P 的扇形中，半径是多少时，扇形的面积最大？16、 ba v = 甲、乙两地相距Skm ，汽车从甲地角匀速行驶到乙地，速度不超过h ckm /，已知汽车每小时的运输成本（单位：元），由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （单位：h km /）的平方成正比，且比例系数为b ，固定部分为a 元()2bc a <，为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？17、 C如果0>x ，0>y ，2=++xy y x ，则y x +的最小值为（）A ．23B ．31+C ．232-D ．32- 18、 5102 设,x y 为实数，若1422=++xy y x ，则2x y +的最大值是 .19、 332 若实数x ，y 满足122=++xy y x ，则y x +的最大值是 .20、 3log 22-若实数a ，b ，c 满足b a b a +=+222，c b a c b a ++=++2222，则c 的最大值是 . 21、 C若函数()()221>-+=x x x x f 在x a =处取最小值，则a =().A ． 1B ． 1C ． 3D ． 4 22、 [)+∞,2 求函数()()01>+=x x x x f 的值域； 23、 (][)+∞⋃-∞-,22,求函数()()01>+=x x x x f 的值域；24、 ()()2323min -==f x f求函数()()0322>+-=x xx x x f 的最小值，以及取得最小值时x 的值；25、 ()()23232min +=+=f x f求函数()223>-+=x x x y 的最小值，以及此时x 的值； 26、1 已知45<x ，则函数54124-+-=x x y 的最大值为； 27、 ()()42max ==f x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上，函数()()R b c bx x x f ∈++=2与()x x x x g 12++=在同一点取得相同的最小值，求()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的最大值； 28、 ()()53==f x f m im 求函数()1142>-+-=x x x x y 的最小值，以及此时x 的值； 29、 ()62126max -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f求函数()()0322>-+-=x xx x x f 的最大值，以及此时x 的值； 30、 ()()22max -==f x f 求函数()042>--=x x x y 的最大值，以及此时x 的值； 31、 ()()20==f x f m im求函数()1222++=x x x f 的最小值以及相应x 的值；32、 ()()4224max =±=f x f求函数()()0242≠+=x x x x f 的最大值以及相应的x 值； 33、元时，总造价最低为，宽为池底为2976004040cm cm某工厂建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为34800m ，深度为m 3，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少元？ 34、元时，总造价最低为地面长、宽均为365005m要建一个地面面积为225m ，墙高为m 3的长方体形的简易工棚，已知工棚屋顶每21m 的造价为500元，池壁每21m 的造价为400元，怎样设计地面的长与宽，能使总造价最低？最低造价是多少元？35、 cm cm 5588，画宽为画高为设计一幅宣传画，要求画面面积为24840m ，画面的宽与高的比为()1<λλ，画面的上下各留m 8空白，左右各留m 5空白，怎样设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张的面积最小？36、 ()()时视角最大距墙c b c a --挂在墙上的一幅画的上边沿A 离地面m a ，画的下边沿B 离地面m b ，某人的眼睛C 离地面()b c m c <，这个人站在离墙多远的地方看画时的视角最大？37、 ()24=⎪⎭⎫ ⎝⎛=πθf f mim 已知20πθ<<，求函数()θθθcot tan +=f 的最小值以及相应的θ值；38、 ()()2230==f x f mim 求函数()2322++=x x x f 的最小值以及相应x 的值；39、 ()94=⎪⎭⎫ ⎝⎛=πθf f mim 已知20πθ<<，求函数()()θθθ2sin 22sin 2+=f 的最小值以及相应的θ值； 40、 421max ===x y y用两种方法求函数()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+-=23211223x x x x f 的最大值及相应的的值； 41、 D函数()()x x x f --=111的最大值是（）A ．54B ．45C ．43D ．34。

巧用方差求最值

巧用方差求最值方差是用以描述一组数据的离散程度的。

同学们学过这部分知识后往往会认为方差公式仅仅是为了统计计算而已。

事实上，方差公式在初中数学解题中的应用范围很广，它不仅可以用于计算，还可以用于解决数学中的一些最值问题，并且在中考、数学竞赛中也有广泛的应用。

因此，为使同学们更好的掌握和灵活运用方差公式解决问题，本文将例述运用方差公式解决一些最值问题的方法、技巧，供同学们在学习过程中借鉴和参考。

方差公式：设n 个数据n x x x ,,,21 的平均数为x ,则其方差为：[]222212)()()(1x x x x x x n s n -++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++=22122221)(1)(1n n x x x n x x x n 。

（其中)(121n x x x nx +++= ）显然20s ≥（当且仅当x x x x n ==== 21时取等号）。

利用方差公式可简捷、巧妙地解决一些最值问题。

一、求字母的最值例1 （加拿大第七届中学生数学竞赛试题）确定最大的实数z ，使得实数,x y 满足：5x y z ++=，3xy yz zx ++=.解：由已知，得5x y z +=-，()()233553xy z x y z z z z =-+=--=-+。

,x y 的方差 ()()22221122s x y x y ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦()211222x y xy ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦ ()()22115253022z z z ⎡⎤=---+≥⎢⎥⎣⎦，2310130z z ∴--≤，解得1313z -≤≤.所以z 的最大值为133。

例2（2005数学学习与研究5—6中考模拟题库）已知实数a 、b 、c 满足⎪⎩⎪⎨⎧=+---=+--)2(0222)1(0122 c b bc a bc a a 求证：a ≥1证明：由（1），得)3(12 +-=a a bc ，由（2），得)4(2222 +-=+bc a c b ，将（3）代人（4），得)5(2 a c b =+，2)5(，得bc a c b 24222-=+=)6(222)1(24222 -+=+--a a a a a ，因为b 、c 的方差为2s =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+222)(21)(21c b c b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+22)2(21)222(21a a a ≥0，整理得a ≥1。