高中数学必修一3.3幂函数
3.3 幂函数(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
【变式】幂函数 y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq 的图象如图，则将 m、n、p、
n<q<m<p
q 的大小关系用“<”连接起来结果是________.
[解析] 过原点的指数α>0，不过原点的α<0，
∴n<0，
当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，
∴p>1,0<m<1,0<q<1；
即幂函数 = 是增函数.
【变式】求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性.
(1)y＝x
2
.(2)y＝x3
－2
.
1
[解析] (1)y＝x－2＝x2，定义域是{x|x≠0}，是偶函数．
2
(2)y＝x3
3
＝ x2，定义域是 R，是偶函数．
题型五：幂函数性质的综合应用
例5.已知函数() =
（2）幂函数的图象都不过第二、四象限. （ × ）
（3）当幂指数取1,3， 时，幂函数 = 是增函数.（ √ ）
（4）若幂函数 = 的图象关于原点对称，则 = 在定义域内随的增大
而增大.（ ×）
4.若四个幂函数图象 = , = , = , = 在同一坐标系中的图象如图所示，
1
2 +
( ∈ ∗ ).
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在定义域上的单调性；
解：(1)∵2 + = ( + 1), ∈ ∗ ,
∴与 + 1中有一个必为偶数，
∴该函数的定义域为[0, +∞),
由幂函数的性质知，该函数在定义域上单调递增.
例5.已知函数() =
3.3 幂函数(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
3.3幂函数（精练）1．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数()f x 的图象经过点()8,4，则()f x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设()f x x α=，因为()f x 的图象经过点()8,4，所以84α=，即3222α=，解得23α=，则()23f x x ==，因为()()f x f x -===，所以()f x 为偶函数，排除B 、D ，因为()f x 的定义域为R ，排除A ．因为()23f x x =在[)0,∞+内单调递增，结合偶函数可得()f x 在(],0-∞内单调递减，故C 满足，故选：C.2．（2023·山东聊城）已知421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．a b c>>D ．b<c<a【答案】B【解析】由已知，421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,+∞上单调递增，而15<14<13，所以222333111543<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2022秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）设 1.2111y =， 1.428y =，0.63130y =，则（）A ．231y y y >>B ．312y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】D【解析】由题意可知，()0.61.220.611111121y ===，()()1.40.61.43 4.270.628222128y =====，因为0.6y x =在()0,∞+上是增函数，130128121>>，所以321y y y >>.故选：D.4．（2023·福建南平）下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3377(2.1)(2.2)--<-D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】对于A 选项，因为0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，所以0.50.523()()32<，故A 错误，对于B 选项，因为1y x -=在(,0)-∞上单调递减，所以1123()()35--->-，故B 错误，对于C 选项，37y x =为奇函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以37y x =在(,0)-∞上单调递增，因为333777115(2.2)511--⎭==⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，又()337752.111⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以3377(2.1)(2.2)--<-，故C 正确，对于D 选项，43y x =在[0,)+∞上是递增函数，又443311()()22-=，所以443311()()23>，所以443311()()23->，故D 错误.故选：C.5．（2022秋·河南·高一统考期中）()3a π=-，27b =-，()05c =-，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．<<c a bD ．c b a<<【答案】A【解析】 3()f x x =，在R 上单调递增，而()(3)a f b f π=-=-，，根据单调递增的性质，得0a b <<，又1c =，所以a b c <<.故选：A6（2022秋·福建泉州·高一校联考期中）下列比较大小正确的是（）A 12433332-->>B ．12433332-->>C ．12433332--->>D ．21433323--->>【答案】C2242333π---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，21333--=又23y x -=在()0,∞+上单调递减，2π>，所以2223332π---<<，所以12433332-->>.故选：C7．（2023·江苏常州）下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【解析】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D8．（2023春·江苏南京）幂函数2223()(1)m m f x m m x --=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值为（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1【答案】A【解析】 幂函数2223()(1)mm f x m m x --=--，211m m ∴--=，解得2m =，或1m =-；又,()0x ∈+∞时()f x 为减函数，∴当2m =时，2233m m --=-，幂函数为3y x -=，满足题意；当1m =-时，2230m m --=，幂函数为0y x =，不满足题意；综上，2m =，故选：A ．9．（2022·高一单元测试）幂函数()()22231mm f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】幂函数()()22231m m f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，∴2211230m m m m ⎧--=⎨+-⎩＞，解得m ＝2，∴5()f x x =，∴()f x 在R 上为奇函数，由0a b +>，得a b >-，∵()f x 在R 上为单调增函数，∴()()()f a f b f b >-=-，∴()()0f a f b +>恒成立．故选：A ．10．（2023·浙江台州）（多选）关于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），结论正确的是（）A ．幂函数的图象都经过原点()0,0B ．幂函数图象都经过点()1,1C ．幂函数图象有可能关于y 轴对称D ．幂函数图象不可能经过第四象限【答案】BCD【解析】对于A ：幂函数1y x -=不经过原点()0,0，A 错误对于B ：对于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），当1x =时，1y =，经过点()1,1，B 正确；对于C ：幂函数2y x =的图像关于y 轴对称，C 正确；对于D ：幂函数图象不可能经过第四象限，D 正确.故选：BCD.11．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知幂函数()f x 的图象经过点(，则（）A ．()f x 的定义域为[)0,∞+B ．()f x 的值域为[)0,∞+C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[)0,∞+【答案】ABD【解析】设()()a f x x a =∈R ，则()22af ==12a =，则()12f x x ==，对于A 选项，对于函数()f x =0x ≥，则函数()f x 的定义域为[)0,∞+，A 对；对于B 选项，()0f x =≥，则函数()f x 的值域为[)0,∞+，B 对；对于C 选项，函数()f x =[)0,∞+，定义域不关于原点对称，所以，函数()f x 为非奇非偶函数，C 错；对于D 选项，()f x 的单调增区间为[)0,∞+，D 对.故选：ABD.12．（2023·宁夏银川）（多选）幂函数()()211m f x m m x --=+-，*N m ∈，则下列结论正确的是（）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,∞+【答案】ABD【解析】因为()()211m f x m m x --=+-是幂函数，所以211m m +-=，解得2m =-或1m =，又因为*N m ∈，故1m =，A 正确；则()2f x x -=，定义域为{|0}x x ≠，满足()2()()f x x f x --=-=，故()f x 是偶函数，B 正确；()2f x x -=为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，故()()2(2)3f f f -=>，C 错误；函数()221f x x x -==的值域为()0,∞+，D 正确，故选：ABD13．（2022秋·广东惠州）（多选）已知函数()()21m mf x m x -=-为幂函数，则（）A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递减【答案】BC【解析】因为()()21mmf x m x -=-为幕函数，所以11m -=，即2m =，所以()2f x x =．函数()2f x x =的定义域为R ，()()()22f x x x f x -=-==，所以函数()f x 为偶函数，又函数()2f x x =在()0,∞+为增函数．故选：BC.14．（2023春·河北保定）（多选）若幂函数()()1f x m x α=-的图像经过点()8,2，则（）A ．3α=B ．2m =C ．函数()f x 的定义域为{}0x x ≠D ．函数()f x 的值域为R【答案】BD【解析】因为()()1f x m x α=-是幂函数,所以11m -=,解得2m =,故B 正确;所以()f x x α=,又因的图像经过点()8,2,所以3282αα==,所以31α=,解得13α=,故A 错误;因为()13f x x =,则其定义域,值域均为R ,故C 错误,D 正确.故选:BD.15．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）（多选）已知幂函数()()23mx m x f =-的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0∞-上为减函数D ．()f x 在()0,∞+上为减函数【答案】AD【解析】根据幂函数定义可得231m -=，解得2m =±；又因为图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以可得2m =-，即()221f x x x -==；易知函数()f x 的定义域为()()0,,0+∞⋃-∞，且满足()()()2211f x f x xx -===-，所以()f x 是偶函数，故A 正确，B 错误；由幂函数性质可得，当()0,x ∈+∞时，()2f x x -=为单调递减，再根据偶函数性质可得()f x 在(),0∞-上为增函数；故C 错误，D 正确.故选：AD16．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）（多选）对幂函数()32f x x -=，下列结论正确的是（）A ．()f x 的定义域是{}0,R x x x ≠∈B ．()f x 的值域是()0,∞+C ．()f x 的图象只在第一象限D ．()f x 在()0,∞+上递减【答案】BCD【解析】对幂函数()32f x x -=，()f x 的定义域是{}0,R x x x >∈，因此A 不正确;()f x 的值域是()0,∞+，B 正确;()f x 的图象只在第一象限，C 正确;()f x 在()0,∞+上递减，D 正确;故选:BCD ．17．（2023·四川成都）（多选）已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当120x x >>时，1212()()f x f x x x -<-【答案】AC【解析】设幂函数()f x x α=，则()993f α==，解得12α=，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，()()12442f x f ≥==，故C 正确，当120x x >>时，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()12f x f x >，即()()12120f x f x x x ->-，故D 错误．故选：AC.18．（2023·湖北）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（）A ．一定是单调函数B ．可能是非奇非偶函数C ．图像必过点(1,1)D ．图像不会位于第三象限【答案】AD【解析】幂函数的解析式为()ay x a =∈R .当2a =时，2y x =，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，A 选项错误；当2a =时，2y x =，定义域为R ，此函数为偶函数，当12a =时，y =，定义域为{}0x x ≥，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B 选项正确；当1x =时，无论a 取何值，都有1y =，图像必过点()1,1，C 选项正确；当1a =时，y x =图像经过一三象限，D 选项错误.故选：AD.19．（2023·高一课时练习）有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是______．①幂函数的图像关于原点对称或者关于y 轴对称；②两个幂函数的图像至多有两个交点；③图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称；④如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同．【答案】①②④【解析】①，12y x ==y 轴对称，所以①错误.②④，由3y x y x =⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩或00x y =⎧⎨=⎩，即幂函数y x =与3y x =有3个交点，所以②④错误.③，由于幂函数过点()1,1，所以图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称，③正确.故答案为：①②④20．（2023·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)若函数()()1f xg x x+=，根据定义证明()g x 在区间()1,+∞上单调递增.【答案】(1)()2f x x =；(2)见解析.【解析】（1）因为()()2133m f x m m x +=-+是幂函数，所以2331m m -+=,解得1m =或2m =.当1m =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2m =时，()3f x x =为奇函数，不满足题意.故()2f x x =.（2）由（1）得()2f x x =，故()()11f xg x x x x+==+.设211x x >>,则()()()12212121212112121111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因为211x x >>，所以210x x ->，121x x >，所以12110x x ->,所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，故()g x 在区间()1,+∞上单调递增.21．（2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末）已知幂函数()ag x x =的图象经过点(，函数()()241g x bf x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数b 的值；(2)判断函数()f x 在区间()1,1-上的单调性，并用的数单调性定义证明.【答案】(1)()g x =b =(2)()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析【解析】（1）由条件可知2a=12a =，即()12g x x ==，所以()42g =，因为()221x b f x x +=+是奇函数，所以()00f b ==，即()221xf x x =+，满足()()f x f x -=-是奇函数，所以0b =成立；（2）函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，证明如下，由（1）可知()221xf x x =+，在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <，()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.22．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考期中）已知幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝.(1)求实数a 的值，并用定义法证明()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)函数()g x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()g x f x =，求满足()1g m -≤m 的取值范围.【答案】(1)12α=-，证明见解析；(2)46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【解析】(1)由幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝12α⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12α=-证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x<11222121()()f x f x x x ---=-==210x x >> ，120x x ∴-<0>21()()0f x f x ∴-<，即21()()f x f x <所以()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)当0x ≥时，()()g x f x =，()f x 在区间[)0,∞+内是减函数，所以()g x 在区间()0,∞+内是减函数，在区间(),0∞-内是增函数，又15g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)g m -1(1)5g m g ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭函数()g x 是定义在R 上的偶函数，则115m -≥，解得：65m ≥或45m ≤所以实数m 的取值范围是46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 23．（2023福建）已知幂函数()21()22m f x m m x +=-++为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()30h x f x ax a =++-≥在区间[2,2]-上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()f x x =；（2）[7,2]-.【解析】（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得1m =或12m =-()f x 为偶函数∴当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去所以2()f x x =（2）22()()324a a h x x a =+--+，令()h x 在[2,2]-上的最小值为()g a ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a h a =-=-≥，所以73a ≤又4a >，所以a 不存在；②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a ag a h a =-=--+≥所以62a -≤≤.又44a -≤≤，所以42a -≤≤③当22a->，即4a <-时，()(2)70g a h a ==+≥所以7a ≥-.又4a <-所以74a -≤<-.综上可知，a 的取值范围为[7,2]-1．（2023广西）（多选）已知幂函数()nm f x x =（m ，*n ∈N ，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（）A ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是减函数E ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 的定义域为R 【答案】ACE【解析】()nm f x x ==当m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数，幂函数/()f x 在0x <时无意义，故B 中的结论错误当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数，故C 中的结论正确；01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是增函数，故D 中的结论错误；当m ，n 是奇数时，幂函数()f x =R 上恒有意义，故E 中的结论正确.故选：ACE.2．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）（多选）已知幂函数()()22922mm f x m m x+-=--对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若()()0f a f b +>，则（）A ．0a b +<B ．0a b +>C ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】因为()()22922mm f x m m x+-=--为幂函数，所以2221m m --=，解得1m =-或3m =，因为对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增，所以290m m +->当1m =-时，2(1)(1)990-+--=-<，不合题意，当3m =时，233930+-=>，所以3()f x x =因为33()()f x x x -=-=-，所以()f x 为奇函数，所以由()()0f a f b +>，得()()()f a f b f b >-=-，因为3()f x x =在R 上为增函数，所以a b >-，所以0a b +>，所以A 错误，B 正确，对于CD ，因为0a b +>，所以333()()2222f a f b a b a b a b f ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33322344(33)8a b a a b ab b +-+++=33223()8a b a b ab +--=223[()()]8a ab b a b ---=23()()08a b a b -+=≥，所以()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以C 错误，D 正确，故选：BD3．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数13()f x x =，且12x x <，则（）A ．()()()()12120x x f x f x -->B ．()()1122x f x x f x ->-C ．()()1221f x x f x x -<-D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭【答案】AC【解析】由幂函数的性质知，13()f x x =在R 上单调递增.因为12x x <,所以()()12f x f x <，即120x x -<，()()120f x f x -<，所以()()()()12120x x f x f x -->．故A 正确；令120,1x x ==，则0(0)1(1)0f f -=-=，故B 错误；令()13()g x f x x x x =+=+，则由函数单调性的性质知，13()f x x =在R 上单调递增，y x =在R 上单调递增，所以13()y f x x x x =+=+在R 上单调递增，因为12x x <，所以()12()g x g x <，即()()1122f x x f x x +<+，于是有()()1221f x x f x x -<-，故C 正确；令121,1x x =-=，则1202x x +=，所以因为(1)(1)(0)02f f f +-==，故D 错误．故选：AC.4．（2022秋·江西九江·高一统考期末）已知幂函数()()223mm f x x m --+=∈N 的图像关于直线0x =对称，且在()0,∞+上单调递减，则关于a 的不等式()()33132mma a --+<-的解集为______．【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】由()()223mm f x x m --+=∈N 在()0,∞+上单调递减得，2230m m --<，故13m -<<，又m +∈N ，故1m =或2，当1m =时，()4f x x =－，满足条件；当2m =时，()3f x x =－，图像不关于直线0x =对称，故1m =.因为函数13()g x x -=在()(),0,0,-∞+∞为减函数，故由不等式()()1133132a a --+<-得，10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10320a a +<⎧⎨->⎩.解得2332a <<或1a <-，综上：23132a a <-<<或.故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．（2023·山西太原）已知函数()3f x x x =+．若对于任意[]2,4m ∈，不等式()()240f ma f m m-++恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】6a ≥【解析】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()3f x x x =+是R 上的奇函数，因为3,y x y x ==均是R 上的增函数，所以()3f x x x =+是R 上的增函数，因为()()240f ma f m m-++，所以()()24f m mf ma +--，即()()24f m mf ma +-所以24m m ma +-，由[]2,4m ∈知0m >，故41a m m++，令()41g m m m=++，[]2,4m ∈设1224m m <，()()1212121212444411g m g m m m m m m m m m ⎛⎫-=++-++=-+- ⎪⎝⎭()()()21121212121244m m m m m m m m m m m m ---=-+=由1224m m <，得120m m -<，124m m >，则()()120g m g m -<，即()()12g m g m <，所以()g m 在[]2,4上单调递增，当4m =时，()g m 取得最大值6，故6a ．故答案为：6a ．6．（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =++-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．【答案】(1)2m =，()3f x x =；(2)2a =±.【解析】（1）幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增，故25110m m m ⎧+-=⎨+>⎩，解得2m =，故()3f x x =；（2）由（1）知：()3f x x =，所以()22121g x ax a x ax a =+-=-++-，所以函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线x a =；由于()g x 在[]0,2上的最大值为3，①当2a ≥时，()g x 在[]0,2上单调递增，故()()max 2333g x g a ==-=，解得2a =；②当0a ≤时，()g x 在[]0,2上单调递减，故()()max 013g x g a ==-=，解得2a =-；③当02a <<时，()g x 在[]0,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减，故()()2max 13g x g a a a ==+-=，解得1a =-（舍去）或2a =（舍去）．综上所述，2a =±．7．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+是其定义域上的增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()h x x af x =+，[]1,9x ∈，是否存在实数a 使得()h x 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；(3)若函数()()3g x b f x =-+，是否存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)()f x =(2)存在1a =-(3)9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()()23122233p p f x p p x--=-+是幂函数，所以2331p p -+=，解得1p =或2p =当1p =时，()1f x x=，在()0,∞+为减函数，当2p =时，()f x =在()0,∞+为增函数，所以()f x =（2）()()h x x af x x =+=+t =，因为[]1,9x ∈，所以[]1,3t ∈，则令()2k t t at =+，[]1,3t ∈，对称轴为2a t =-．①当12a-≤，即2a ≥-时，函数()k t 在[]1,3为增函数，()min ()110k t k a ==+=，解得1a =-．②当132a <-<，即62a -<<-时，2min ()024a a k t k ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得0a =，不符合题意，舍去．当32a-≥，即6a ≤-时，函数()k t 在[]1,3为减函数，()min ()3930k t k a ==+=，解得3a =-．不符合题意，舍去．综上所述：存在1a =-使得()h x 的最小值为0.（3）()()3g x b f x b =-+=()g x 在定义域范围内为减函数，若存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则()()g m b n g n b m ⎧==⎪⎨==⎪⎩①②，②-①()()33m n m n =-=+-+，=+，1=③．将③代入②得：1b m m ==+令t m n <，0≤<，所以10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．所以2219224b t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，在区间10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭单调递减，所以924b -<≤-故存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，实数b 的取值范围且为9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦．8．（2023·福建龙岩）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)k g x f x k x=+∈．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k ≤，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)2k =(2)12k <≤【解析】（1）对于幂函数()21()2910m f x m m x -=-+，得229101m m -+=，解得32m =或3m =，又当32m =时，12()f x x =不为偶函数，3m ∴=，2()f x x ∴=，2()k g x x x∴=+，(2)452kg ∴=+=，解得2k =；（2）关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，即22102k x k x +->在[1,)+∞上恒成立，即22min 12k x k x ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦，先证明()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增：任取121x x >>，则()()()()1212221212121212x x x x k k k h x h x x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121x x >> ，120x x ∴->，()12122x x x x +>，又2k ≤，()12120x x x x k ∴+->，()()120h x h x ∴->，即()()12h x h x >，故()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增，()()min 11h x h k ∴==+，2112k k ∴+>，又2k ≤，解得12k <≤.9．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设R m ∈，已知幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数.(1)求m 的值；(2)设R a ∈，若函数()[],0,2y f x ax a x =-+∈的最小值为1-，求a 的值.【答案】(1)1m =(2)1a =-或5a =.【解析】（1）因为幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数，所以2331m m +-=且1m +为偶数，解得：1m =或4m =-（舍），则1m =，所以()2f x x =.（2）令()()2y g x f x ax a x ax a ==-+=-+的开口向上，对称轴2a x =，①当02a≤即0a ≤，()g x 在[]0,2上单调递增，所以()()min 01g x g a ===-，所以1a =-；②当022a <<即04a <<，()g x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()22min1242a a a g x g a ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭，解得：2a =+2a =-③当22a≥即4a ≥，()g x 在[]0,2上单调递减，所以()()min 241g x g a ==-=-，解得：5a =所以5a =.综上：1a =-或5a =.10．（2022秋·河南·高一校联考期中）已知幂函数223()(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增．(1)求实数m 的值；(2)若对[]2,2x ∀∈-，[2,2]a ∃∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)3m =；(2)实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.【解析】（1）因为幂函数()223(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增，所以()2213230m m m ⎧-=⎪⇒=⎨->⎪⎩；（2）由（1）可得3()f x x =因为对[2,2]x ∀∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立所以2max ()21f x at t a ≤+++，其中[2,2]x ∈-，由（1）可得函数()f x 在[]22-,上的最大值为8，所以2218at t a +++≥，又[2,2]a ∃∈-，使得2218at t a +++≥都成立所以()2max 270a t t ⎡⎤++-≥⎣⎦，因为220t +>，所以()227y a t t =++-是关于a 的单调递增函数，∴()()22max272270a t t t t ⎡⎤++-=++-≥⎣⎦，即2230t t +-≥，∴32t ≤-或1t ≥，所以实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.11．（2023·浙江）已知幂函数()()2223mf x m m x =--．(1)若()f x 的定义域为R ，求()f x 的解析式；(2)若()f x 为奇函数，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()2f x x=(2)(),1-∞-【解析】（1）因为()()2223mf x m m x =--是幂函数，所以22231m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()2f x x =，定义域为R ，符合题意；当1m =-时，()11x xf x -==，定义域为()(),00,∞-+∞U ，不符合题意；所以()2f x x =；（2）由（1）可知()f x 为奇函数时，()11x xf x -==，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，即[]1,2x ∃∈，使131x k x>+-成立，所以[]1,2x ∃∈，使113k x x-<-成立，令()[]13,1,2h x x x x=-∈，则()max 1k h x -<，[]12,1,2x x ∀∈且12x x <，则()()()1212211212111333h x h x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为1212x x ≤<≤，所以211210,0x x x x ->>，所以()2112130x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即()()12h x h x >，所以()13h x x x=-在[]1,2上是减函数，所以()()max 1132h x h ==-=-，所以12k -<-，解得1k <-，所以实数k 的取值范围是(),1-∞-。
新教材人教A版数学必修第一册第3章 3.3 幂函数
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)作
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(4)当幂指数 α＝－1 时，幂函数 y＝xα 在定义域上是减函数．
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( )养
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[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
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2．下列函数中不是幂函数的是( )
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A．y＝ x
B．y＝x3
1．幂函数的图象过点(2， 2)，则该幂函数的解析式是(
)
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A．y＝x－1
课
合 以是“0”或“1”.
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情
1．理解 1 个概念——幂函数的概念
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判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合 y＝xα(α 结
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为常数)的形式．
人教版高中数学必修1--第三章 幂函数的图象与性质3
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第三章 函数的概念与性质
1
y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x ，y＝x－1 这五个幂函数在第一象限内 2
的图象大致情况可以归纳为“正抛负双、大竖小横”，即对于 y＝xα， 当 α＞0 且 α≠1 时，其图象在第一象限内是抛物线型(当 α＞1 时，其 图象是竖直抛物线型，当 0＜α＜1 时，其图象是横卧抛物线型)；当 α ＜0 时，其图象在第一象限内是双曲线型．
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第三章 函数的概念与性质
课后提升训练(二十四)
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由图象可知， ①当 x＞1 或 x＜－1 时，f(x)＞g(x)； ②当 x＝±1 时，f(x)＝g(x)； ③当－1＜x＜1 且 x≠0 时，f(x)＜g(x).
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第三章 函数的概念与性质
解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂的指数大小，相关结论如下： ①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指 大图低)； ②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离 x 轴(简记为 指大图高). (2)依据图象确定幂的指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在
(2)幂函数的性质 幂函数 y＝x y＝x2
定义域 R__
Rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_
值域
R [0，＋∞)
y＝x3
1
y＝x 2
y＝x－1
_R_
_[_0_，__＋__∞_)__
___(－__∞__，__0_)∪____ ___(0_，__＋__∞__) ____
{y|y∈R， R [0，＋∞)
且 y≠0}
3.3幂函数(共43张PPT)
解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大， 幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂 函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内 的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断.
()
解析：选 D.由题意设 f(x)＝xn， 因为函数 f(x)的图象经过点(3， 3)， 所以 3＝3n，解得 n＝12， 即 f(x)＝ x， 所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数，故选 D.
4.函数 y＝x－3 在区间[－4，－2]上的最小值是_____________. 解析：因为函数 y＝x－3＝x13在(－∞，0)上单调递减， 所以当 x＝－2 时，ymin＝(－2)－3＝(－12)3＝－18. 答案：－18
B.－3 D.3
()
【解析】 (1)②⑦中自变量 x 在指数的位置，③中系数不是 1，④中解析式 为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
(2)因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以 m2＋2m－2＝1， m>0， 所以 m＝1.
【答案】 (1)B (2)A
所以( 2)－32＞( 3)－32.
6
6
6
6
(3)因为 y＝x5为 R 上的偶函数，所以(－0.31)5＝0.315.又函数 y＝x5为[0，
＋∞)上的增函数，且 0.31＜0.35，
6
6
6
6
所以 0.315＜0.355，即(－0.31)5＜0.355.
必修一第三章--3.3幂函数
§ 幂函数课时目标 1.通过具体问题，了解幂函数的概念.2.从描点作图入手，画出y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝12x ，y ＝x －1的图象，总结出幂函数的共性，巩固并会加以应用．1．一般地，形如______________________叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝12x ，y ＝x －1的图象．3．结合2中图象，填空．(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义． (2)若α>0时，幂函数图象过点________________________________，且在第一象限内______；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象______． (3)若α<0，则幂函数图象过点______，并且在第一象限内单调______，在第一象限内，当x 从＋∞趋向于原点时，图像在y 轴右方无限地逼近于y 轴，当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴． (4)当α为奇数时，幂函数图象关于______对称；当α为偶数时，幂函数图象关于______对称．(5)幂函数在第____象限无图象．一、选择题1．下列函数中不是幂函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 3C ．y ＝2xD ．y ＝x －12．幂函数f (x )的图象过点(4，12)，那么f (8)的值为( )B ．64C ．223．下列是y ＝23x 的图象的是( )4．图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－125．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫⎪⎝⎭，c ＝2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a6．函数f (x )＝x α，x ∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f (x )>|x |成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是( ) A ．0B ．2 C ．3D ．4题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．给出以下结论：①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限． 则正确结论的序号为________．8．函数y ＝12x ＋x －1的定义域是________． 9．已知函数y ＝23m x --的图象过原点，则实数m 的取值范围是____________________．三、解答题10．比较121.1、121.4、131.1的大小，并说明理由．11．如图，幂函数y ＝x 3m －7(m ∈N )的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，求此函数的解析式．能力提升12．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·21m m x +-，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．13．点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．1．幂函数在第一象限内指数变化规律：在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．2．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数n m中的m 是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数n m中的m 、n 是奇数还是偶数．y ＝x α，当α＝n m(m 、n ∈N *，m 、n 互质)时，有：nmy ＝n mx 的奇偶性定义域 奇数 偶数 非奇非偶函数 [0，＋∞) 偶数 奇数 偶函数 (－∞，＋∞) 奇数奇数奇函数(－∞，＋∞)3.幂函数y ＝n mx 的单调性，在(0，＋∞)上，n m >0时为增函数，n m<0时为减函数．§ 幂函数知识梳理1．函数y ＝x α(a ∈R )的函数 3.(1)(1,1) (2)(0,0)，(1,1) 递增 下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点 y 轴 (5)四 作业设计1．C [根据幂函数的定义：形如y ＝x α的函数称为幂函数，选项C 中自变量x 的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C 不是幂函数．]2．A [设幂函数为y ＝x α，依题意，12＝4α，即22α＝2－1，∴α＝－12.∴幂函数为y ＝12x-，∴f (8)＝128-＝18＝122＝24.] 3．B [y ＝23x ＝3x 2，∴x ∈R ，y ≥0，f (－x )＝3－x2＝3x 2＝f (x )，即y ＝23x 是偶函数，又∵23<1，∴图象上凸．]4．B [作直线x ＝t (t >1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]5．A [根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y ＝25x 在x >0时是增函数，所以a >c ，y ＝(25)x在x >0时是减函数，所以c >b .]6．B [因为x ∈(－1,0)∪(0,1)， 所以0<|x |<1.要使f (x )＝x α>|x |，x α在(－1,0)∪(0,1)上应大于0， 所以α＝－1,1显然是不成立的． 当α＝0时，f (x )＝1>|x |；当α＝2时，f (x )＝x 2＝|x |2<|x |；当α＝－2时，f (x )＝x －2＝|x |－2>1>|x |. 综上，α的可能取值为0或－2，共2个．] 7．④解析 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，故①不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确． 8．(0，＋∞)解析 y ＝12x 的定义域是[0，＋∞)，y ＝x －1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．9．m <－32解析 由幂函数的性质知－2m －3>0，故m <－32.10．解 考查函数y ＝，∵>1， ∴它在(0，＋∞)上是增函数．又∵12>13，∴121.1>131.1.再考查函数y ＝12x ，∵12>0，∴它在(0，＋∞)上是增函数． 又∵>， ∴121.4>121.1，∴121.4>121.1>131.1.11．解 由题意，得3m －7<0.∴m <73.∵m ∈N ，∴m ＝0,1或2，∵幂函数的图象关于y 轴对称， ∴3m －7为偶数．∵m ＝0时，3m －7＝－7， m ＝1时，3m －7＝－4， m ＝2时，3m －7＝－1.故当m ＝1时，y ＝x －4符合题意．即y ＝x －4. 12．解 (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1± 2.13．解 设f (x )＝x α，则由题意，得2＝(2)α，∴α＝2，即f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，由题意，得14＝(－2)β，∴β＝－2，即g (x )＝x －2.在同一平面直角坐标系中作出f (x )与g (x )的图象，如图所示． 由图象可知：(1)当x >1或x <－1时， f (x )>g (x )；(2)当x ＝±1时，f (x )＝g (x )；(3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．。
(新教材)高中数学必修第一册第3章 3.3 幂函数
跟踪训练 1 (1)已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点12， 22，则 k＋α 等于
1 A.2
B.1
√3
C.2
D.2
解析 由幂函数的定义知k＝1. 又 f 12＝ 22，所以12α＝ 22， 解得 α＝12，从而 k＋α＝32.
(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于
(2)下列关于函数 y＝xα 与 y＝αxα∈－1，12，2，3的图象正确的是
√
反思
感悟 (1)幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在 第一象限内的图象. ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂 函数f(x)在其他象限内的图象. (2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同， 所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同.同时，注意分类讨论思想的应用.
A.1
√B.2
C.3
D.4
解析 幂函数有①⑥两个.
(2)已知 y＝(m2＋2m－2)xm2－2＋2n－3 是幂函数，求m，n的值.
解 由题意得m2n2－＋32＝m－0，2＝1，
m＝－3， m＝1，
解得n＝32
或n＝32.
所以 m＝－3 或 1，n＝32.
反思
感悟 判断函数为幂函数的方法 (1)自变量x前的系数为1. (2)底数为自变量x. (3)指数为常数.
在(0，＋∞)上_减__， _增__
在(－∞，0)上_减__
知识点三 一般幂函数的图象特征
1.所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 (1,1) . 2.当α>0时，幂函数的图象通过 原点 ，并且在区间[0，＋∞)上是 增 函数.特别地，当 α>1时，幂函数的图象 下凸 ；当0<α<1时，幂函数的图象 上凸 . 3.当 α<0 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数. 4.幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称. 5.在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序， 幂指数按从 小 到 大 的顺序排列.
新人教版高中数学必修第一册3.3 幂函数
判断一个函数是不是幂 函数的依据是该函数是否为
( 为常数)的形式. 反过来，若一个函数为幂函 数，那么它也一定具有这个 形式.在我们解决某些问题的 时候这个结论有奇效.
【1】已知幂函数
的图像经过点
【解】由题意设函数的表达式为
把点
代入，得：
，求这个函数的表达式.
即
，所以
所以这个函数的表达式为
和初中解决一次函数一样，利用待定系数法.因为幂函数只有一个系 数，所以只需要一个点的坐标就可以求写出幂函数的表达式.
幂函数
奇偶性的判断方法
奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 非奇非偶函数
证明幂函数的增减性 【例题】证明幂函数
是增函数.
【证明】函数的定义域是[0，+∞).
因为 即幂函数
， 是增函数.
，所以
“ THANKS ”
为正奇数，所以函数的定义域为R.
由
为正奇数，得
，所以
为 为增函数.
因为
，所以
在定义域内为增函数.
是正的奇次方根，所以
幂函数的性质
和
两种情况下幂函数的图像变化及性质表：
在(0，+∞)上都有定义，定义域与a的取值有关
图像过点(0，0)和点(1，1) 在(0，+∞)上是增函数
图像过点(1，1) 在(0，+∞)上是减函数
v是t的函数；
可以发现，这些函数的表达式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，
幂的指数都是常数.分别是1，2，3，0.5，-1；它们都是形如
的函数.
一般地，函数
叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
【1】在函数①
ห้องสมุดไป่ตู้
高数数学必修一《3.3幂函数》教学课件
在_(－_∞__，_0_) __上递 减，在_(0_，_＋_∞__) __ 上递增
在R上递 增
在[_0，__＋_∞_)__ 上递增
在(－∞， 0)和(0，＋ ∞)上递减
函数 y＝x
y＝x2
y＝x3
1
y＝x2
y＝1x
图象
过定点
__________(0_，_0_)，__(1_，_1_) ______________
解析：(1)因为f(x)＝(2m2＋m－2)x2m＋1是幂函数，所以2m2＋m－2＝1，解得m＝－32或m＝1， 又f(x)是增函数，2m＋1>0即m>－12，∴m＝1，则f(x)＝x3. (2)因为f(x)为增函数，所以由f(2－a)<f(a2－4)可得2－a<a2－4，解得a>2或a<－3， ∴a的取值范围是{a|a>2或a<－3}．
3.3 幂函数
预学案
共学案
预学案
一、幂函数❶ 一 般 地 ， 函 数 __y_＝_x_α ___ 叫 做 幂 函 数 ， 其 中 ____x____ 是 自 变 量 ， ____α____是常数．
微点拨❶
幂函数的特征： (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有同时满足这三个条件，才是幂函数．形如y＝(2x)α，y＝2x5，y ＝xα＋6的函数都不是幂函数．
提示：这些活动的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数．
例1 已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函 数．
解析：因为函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3为幂函数，则m2－m－1＝1， 解得m＝－1或m＝2.
原创1：3.3 幂函数（导学式）
①若α<0，在第一象限内，图象下凹.
y=
–1
O 1
–1
–2
–3
y = x3
x
y = x−
2
3
4x
典例精讲：题型二：幂函数的图象
【例3】幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m、n、
p、q的大小关系用“<”连接起来结果是________．
[思路探索] x>1时，逆时针方向α依次增
故所求m的值为2.
课堂练习
2．用“>”或“<”填空：
(1) 1.30.5
＜ 1.50.3
(2) . −
＜
(3)−.
＞
. −
−.
归纳小结
1.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1);
2.如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数；
(3)因为函数f(x) = x
所以2.6
−
> 2.7
−
.
−
在 (0，＋∞)上为减函数，又2.6<2.7，
典例精讲：题型四：函数值大小的比较
(4)因为函数f(x)＝1.7x在 (0，＋∞)上为增函数，又3.5>3
所以1.73.5>1.73.
(5)因为1.30.5>1.30=1，0.51.3<0.50=1，
3 −x
).
③y = x−
⑥y =
C.5
x
D.6
[思路分析]抓住幂函数的结构特征解题：自变量在底数位置.
人教A版(2019)高中数学必修1第三章3.3幂函数 课件(共20张PPT)
1
0.5
0.125
0
0
知识点二 五个幂函数的图象
定义域
值域
奇偶性
单调性
R
R
奇
增
知识点二 五个幂函数的图象
在同一平面直角坐标系内画出以上五个函数图象.
- 9 -
知识点三 一般幂函数的性质
在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系?
- 10 -
知识点三 一般幂函数的性质
不管指数是多少,图象都经过哪个定点?
知识点三 一般幂函数的性质
- 14 -
百“炼”成钢，熟能生巧
幂函数性质的应用
比较幂值大小关键是看指数相同还是底数相同，若指数相同利用幂函数的单调性；若底数相同，利用“指大图高”判断；若底数，指数都不相同，构造中间量。
规律总结
- 15 -
课堂练习
-1
-16 -
- 17 -
了解幂函数的概念会画常见幂函数的图象结合图像了解幂函数图象的变化情况和简单性质会用幂函数的单调性比较两个底数不同而指数相同课老师：
时间：2024年9月15日
- -
幂函数
01/
幂函数的概念
目录
02/ 幂函数的图象与性质
03/ 综合应用
-0 -
情景导入
写出下列y关于x的函数关系式：(1)购买每千克1元的蔬菜x千克，需要支付的钱数y；(2)正方形的边长为x，正方形的面积y；(3)正方体的边长为x，正方体的体积y；(4)正方形的面积为x，正方形的边长y；(5)某人x s内骑车进行了1 km，她骑车的平均速度y；
- 5 -
知识点二 五个幂函数的图象
函数
定义域
R
R
值域
人教A版高中数学必修第一册3.3幂函数【课件】
α
∴f(2)=,∴2 =,解得 α=-2,
∴f(x)=x-2.
f(x)的图象如图所示.
f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调递减区间为(0,+∞),单调递
增区间为(-∞,0).
反思感悟
1.幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四
象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第
(2)y= 的图象位于第一象限,因为函数为增函数,所以函数图
象是上升的,函数 y= -1 的图象可看作由 y= 的图象向下平
移 1 个单位长度得到(如选项 A 中的图象所示),将 y= -1 的图
象关于 x 轴对称后即为选项 B 中的图象.
答案:(1)B (2)B
探究二 幂函数的性质及其应用
对称,且在区间(0,+∞)内单调递减,求满足(2a-1) <(3-a) 的实
数 a 的取值范围.
解:∵函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴3m-9<0,解得 m<3.
又 m∈N*,∴m=1,2.
又函数图象关于 y 轴对称,∴3m-9 为偶数,故 m=1,Leabharlann -
-
-
∴有(2a-1) <(3-a) .∵y= 在区间(-∞,0),(0,+∞)内均单调递减,
【例2】 比较下列各组数的大小:
(1)1.13,1.23;
(2)4.8-3,4.9-3;
(3) -
-
, -
-
.
解:(1)设f(x)=x3,因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,
3.3幂函数课件(新教材人教版必修第一册)
× 2 y 2x2
× 3 y x2 x
× 4 y x 12
× 5 y x
× 6 y 1
√ 7 y x0
√ 8 y 4 x3
注：1.判断一个函数是否是幂函数的标准： 只有形如y=xα 的函数才称为幂函数，即
底数是自变量x，指数α是一个常数，x前面的系数为1
基础知识讲解： 关于幂函数，主要学习下列几种函数的图象与性质.
（2）在第一象限内，函数值 随x的增大而增大，即在
（0，+∞)上是增函数。
（1）图象都过点（1，1）；
（2）在第一象限内，函数值随 x的增大而减小，即在
（0，+∞）上是减函数。
注：2.当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数
例1：证明幂函数 f (x) x 是增函数．
证明：函数的定义域是[0，+∞). 任取x1,x2∈[0，+∞)，且x1＜x2，（取值）
(0,+∞)减
公共点 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
注：2.当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
幂函数y=xα在第一象限的性质:
y y=x3 y=x2
y y=x－1
y=x－2
y=x－2
1
y=x1/2
1
y=x－1/2
0
1
X
α>0
0
1
X
α<0
（1）图象都过点（0，0）和 点（1，1）；
一、幂函数的定义： 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量， α是常数.
注意:幂函数中α可以为任意实数.
注：1.判断一个函数是否是幂函数的标准
高中数学必修一课件 3.3 幂 函 数
2，
则 k＋α＝
()
A．12
B．1
C．32
D．2
解析：∵幂函数 f(x)＝kxα(k∈R ，α∈R )的图象过点12，
2，
∴k＝1，f 12＝12α＝ 2，即 α＝－12，∴k＋α＝12. 答案：A
3．若 y＝ax a2＋12 是幂函数，则该函数的值域是________． 解析：由已知 y＝ax a2＋12 是幂函数，得 a＝1，所以
A．y＝x＋2
B．y＝x2
C．y＝ x
D．y＝x3
解析：设幂函数的解析式为 y＝xα，当 x＝2 时，y＝4，
故 2α＝4，即 α＝2.
答案：B
知识点二 五个幂函数的图象与性质 (一)教材梳理填空
解析式 y＝x
y＝x2 y＝x3
1
y＝x 2
图象
y＝1x
定义域 _R__
_R__
__R_ _[0_，___＋__∞__) {_x_|_x_≠__0_}
[精准训练]
1．下列不等式在 a＜b＜0 的条件下不能成立的是 ( )
A．a－1＞b－1
1
1
B．a 3 ＜b 3
C．b2＜a2
-2
-2
D．a 3 ＞b 3
解析：分别构造函数
y＝x－1，y＝x
1 3
，y＝x2，y＝x -
2 3
，其
中函数 y＝x－1，y＝x2 在(－∞，0)上为减函数，故 A、C
成立．而
2．已知函数 f(x)＝(a2－a－1)xa－1 2为幂函数，则 a＝(
)
A．－1 或 2
B．－2 或 1
C．－1
D．1
解析：因为 f(x)＝(a2－a－1)xa－1 2为幂函数，所以 a2－a －1＝1，所以 a＝2 或－1.又 a－2≠0，所以 a＝－1. 答案：C
3.3 幂函数-(新教材人教版必修第一册)(33张PPT)
性质，培养逻辑推
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 理的数学素养.
自主预习 探新知
1．幂函数的概念 一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量， α 是常数． 2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12， y＝x－1的图象如图所示：
谢谢~
数．( )
(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上
是减函数．( )
2．幂函数的图象过点(2， 2)， 则该幂函数的解析式是( )
A．y＝x－1 B．y＝x12 C．y＝x2 D．y＝x3
B [设f(x)＝xα，则2α＝ 2， ∴α＝12，∴f(x)＝x12. 选B.]
3．函数 y＝x54的图象是( )
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象
多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
(2)设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f12＝
12log23＝13.]
幂函数的图象及应用 【例2】 点( 2，2)与点－2，－12分别在幂函数f(x)，g(x)的图象 上，问当x为何值时，有： (1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．
m2＋2m－2＝1，
[解] 由题意得m2－1≠0， 2n－3＝0，
m＝－3， 解得n＝32，
所以m＝－3，n＝32.
判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的 形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2 底数为自变量；3系数为1.
高中数学必修一3.3幂函数-课件-人教A版
公共点
图象都过点(1,1)
性质总结
(1) 图像都过点（1，1)；
(2) y=x、y=x3、y=x-1是奇函数，y=x2是偶函
数；
1
(3) 在（0，+∞)上，y=x、y=x3、y=x2、y＝ x2单调递增，y=x-1单调递
(减4)；在第一象限内，y=x-1的图像向上与y轴无限接近，向右与x 轴无限接
高中数学人教A版（202X）必修第一册
3.3 幂函数
学习目标
幂函数定义的抽象
❖ 视察下面几个例子
❖ (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元;
❖ (2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 s=a2; ❖ (3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积V=b3;
1
c S2
❖ (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c= S
❖ (5)如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v= 1 km/s . t
这5个关系式都是函数关系，若将它们的自变量全部用x来 表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式分别是
t v 1
问题1：视察这五个函数的解析式，能不能找出它们的共同特征？能不能用 一个通式来表示这一类函数？
新知探究
问题2 （1）对于一类新函数，我们需要从哪些方面入手去研究？ （2）你能根据以前研究函数的思路，提出研究幂函数的方法吗？
（1）函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等． （2）通常先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再 利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．
新知探究
yx
y x2
y
3
x
1
y x2
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1.3
0.5＜
1.5
0.5
2） 5.1
2 ＜
5.092
3）（a 1) ＞
1.5
a
1.5
4）
(2 a )
2 2 3 ≤
2
2 3
小结：
1.学习了幂函数的概念。 2.会利用幂函数在第一象限内的图象特征， 根据奇偶性完成整个函数的图象，并掌握幂 函数的性质。 3.利用函数的单调性比较几个“同指数不同 底数”的幂的大小。 4.学会通过研究一般函数去研究一类具体函 数的方法，进而体会研究函数的一般思路， : 体会数形结合、分类讨论等思想方法的运用。
10
y
8
x y
0 0
1 1
2 1. 6
4 2. 5
6 3. 3
8
6
4
4
(8.4)
2
(4,2.5) (1,1)
-10
-5
o
5
10
x
-2
10
y
8
x y
0 0
1 1
2 1. 6
4 2. 5
6 3. 3
8
6
4
4
(8.4)
2
(4,2.5) (1,1)
-10
-5
o
5
10
x
-2
你来试试
比较下列各组数的大小
1）
幂函数在第一象限的图像。
yx
3
y x2
yx
yx
1 2
yx
1 3
y x 2
y x1
类否 问 的把 大 依他 家 题 据们 认 二 是分 真 什类 观 么， 察 ？若 这 能些 分图 类像 ，， 分能
观察（一）
3
yx
3
yx
2
2
1
0 0 1 2 3
观察（二）
3
2
yx yx
yx
1 3
y x 1
问题四
我们已经研究了幂函数在第一象限的图像，可 大家再看整个坐标系，有的函数在其他象限也 有图像，那怎么画，是否能发现什么捷径？
作出函数 y x 的图象，讨论它的
定义域，并根据图象说明函数的单调性、
2 3
应 用 举 例
奇偶性及值域。
（ , ) 定义域：
奇偶性：偶函数 值 域： [0, ) 单调性： 在 (-,0]上是减函数 在 [0, ) 上是增函数
课后作业：
1.课本P110习题3-3
A组: 1, 3;
B组: 1, 2(选做)1 2 Nhomakorabea2.根据本节探究内容填写下表:
yx
定义域 值域 奇偶性 单调性 定点
3
yx
2
y x
yx
y x 1
y x 2
跟踪练习
1．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别 取-1,1,1/2,2四个值，则相应图象依为： ． 1 2 2 e 2．在函数 y x3 , y 3x , y x x, y x
3 5 3 2 1 3 2 2
4. 在下列函数 y x , y x , y x , y x , y x 中，定义域为R的 函数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．若幂函数 f x xm1 在(0，+∞)上是减函数，则 ( ) A．m>1 B．m<1 C．m=l D．不能确定
（2） 当 0 时，图象都过点（0，0）和（1， 1），在（0，+∞）上是增函数； 当 0 时，图象都过点（1，1）， 在（0，+∞）上是减函数.
幂函数的图像
y= x3
结论：我们画完第一象
限的图像后，利用函数的 奇偶性能够帮助我们完成 左半平面内的图象。
y= x 2 y=x
yx
1 2
(1) (4)
2 （ 2 ） y=2x 答案:(1)(4)
（4）y=x
x 3 (6) y=-x
探究2
幂函数的图像和性质
y= x3 y= x 2 y=x
yx
1 2
问题一
大家从整个 坐标系看，发现幂函数 的图像有什么特点？
(1,1)
yx
1 3
y x 1
幂函数在第一象限都有图 像，即在（0，+∞）上都 有定义，但图像不过第四 象限
幂函数的性质与图象
荣成三中
教学目标： 通过实例，了解幂函数的概念；
结合函数的图像，了解它们的变
化情况。
教学重点： 幂函数的概念、图像和性质。
探究1 函数 解析式有什么共同特点？
1 y = x、 y = x 、y = x 、y = x 、y = x 、y = x
2 3 1 2 1 3
一般地，函数 y x 是常数. 其中x是自变量，
中，幂函数的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．用不等号填空： 1 1 ① 1.32 ________1.52 ；② 5.12 ________ 5.092； 1 1 1 1 ③ 0.21 ________ 0.27 ；④1.79 4 ________ 1.814 ；⑤ 45 ________ 54
几点说明：(与指数函数对应看)
一.幂函数的定义
叫做幂函数,
y x x 1) 中 前面系数是1,并且后面也没有常数项；
2)要确定一个幂函数，需要一个条件就可以，即把常数 确定下来;
思辨：下列函数中，哪几个函
数是幂函数？ （1）y = x （3）y=2x (5) y=x2 +2
1 2
1 2
1 3
1
0 0 1 2 3
观察（三）
3
2
1
0 0 1 2
yx 1 y x2 y x 3
1 2
归纳 ：幂函数图象在第一象限的分布情况：
1
0
0 1
是 问 什每 么一 题 ？类 三 图 像 的 共 同 性 质
探究结论 幂函数y x 在第一象限的性质:
（1）幂函数在（0，+∞）上都有定义，但图像 不过第四象限；图象都过点（1，1）。
变式训练: 如果函数 f ( x) (m m 1) x
2 m 2 2 m 3
是幂函数，且在区间（0，+∞） 内是减函数，求函数的解析式并 讨论其奇偶性
m2 m 1 1 f ( x) 由题意可得 2 m 2m 3 0 m 2或m 1 1 m 3 m 2 f ( x) x 3