空间中的角
空间角总结
空间角总结什么是空间角？空间角是几何学中的一个重要概念，用来描述两个向量之间的夹角。
空间角通常用希腊字母θ（theta）表示，其单位是弧度（rad）。
空间角的概念可以扩展到三维空间中，帮助我们描述物体之间的方向关系和位置关系。
空间角的特征空间角具有以下几个重要特征：1.空间角是无向角：空间角没有方向之分，只关注两个向量之间夹角的大小，与向量的起点和终点无关。
2.空间角的大小范围：空间角的取值范围是0到π（也就是0到180度）。
3.水平角和垂直角：当两个向量在同一平面内，夹角为水平角；当两个向量互相垂直，夹角为垂直角。
4.空间角的计算方法：可以使用余弦定理或向量的点积来计算空间角的大小。
空间角的计算方法余弦定理余弦定理是计算空间角的常用方法之一。
设有两个向量A和B，它们之间的夹角θ满足以下关系：cos(θ) = (A·B) / (|A| * |B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|表示向量A和向量B的模。
通过余弦定理，我们可以根据向量的数值计算出它们之间的夹角。
向量的点积另一种计算空间角的方法是使用向量的点积。
向量A·B的点积可以通过以下公式计算得到：A·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，θ表示向量A和向量B的夹角。
通过这个公式，我们可以根据两个向量的点积来计算它们之间的夹角。
球面角与立体角除了空间角之外，还有两个相关概念：球面角和立体角。
球面角球面角是指由球心发出的射线与球面上两个端点所夹的角。
球面角的单位是球面度（sr），1球面度是球面上的一个单位面积所占的立体角。
球面角可以通过球面面积和球半径来计算。
立体角立体角用来描述三维空间中的角度，是由空间中一点发出的射线与空间中的两个向量所夹的角。
立体角的单位是立体度（steradian，sr），1立体度表示空间中的一个单位面积所占的立体角。
立体角可以通过空间角和距离来计算。
高中数学精品课件：空间角
图7-46-8
与平面ABCD所成的角,由已知得∠MBA=45°,则MA=MB,此时O为AB的中点.
连接OC,由∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2DC,得四边形AOCD为矩形,所以
OC⊥AB,所以CO⊥平面MAB,又MA⊂平面MAB,所以OC⊥MA.
图7-46-8
[总结反思] (1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到 二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角,作二面角的平面角最常用的方法是 利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理). (2)对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出 两个平面的法向量,并转化为求两个法向量的夹角来完成.
.
题组二 常错题 ◆索引:二面角取值范围出错;线面角范围出错;不能正确构建线面垂直及斜线 段在底面上的射影.
6.在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为
(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为
.
7.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为 45° .
图7-46-8
图7-46-8
方法二:二面角D-MA-C的大小即为二面角B-MA-D的大小与二面角B-MA-C大
小的差,由(1)可知二面角B-MA-D的大小为90°,
所以二面角D-MA-C的正弦值即为二面角B-MA-C的余弦值.
过M作MO⊥AB于O(图略),因为平面MAB⊥平面ABCD,平面 MAB∩平面ABCD=AB,所以MO⊥平面ABCD,∠MBO即为MB
A
证明:连接AC(图略),由题知△ACD为等边三角形,因为M为AD的中点,所以 CM⊥AD,又AD∥BC,所以CM⊥BC,因为平面ABCD⊥平面PBC,且平面 ABCD∩平面PBC=BC,CM⊂平面ABCD,所以CM⊥平面PBC,故CM⊥PB.
空间三大角(定义法)
三大角一、异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)异面直线所成的角已知两条异面直线a，b，过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角称为异面直线a与b所成的角(或夹角).若两条异面直线a，b所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.探究一求异面直线所成的角[知能解读]对异面直线所成的角的认识理解的注意点(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关．(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算．(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为60°.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．[方法总结]求异面直线所成的角的一般步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法．当题设中有中点时，常考虑中位线；当异面直线依附于某几何体，且平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ即为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ即为所求.[训练1]如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成的角的度数是________．[训练2] 已知正方体ABCD-EFGH，则AH与FG所成的角是________．[训练3] (教材P147例1改编)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是________；(2)AC和D1C1所成的角是________；(3)AC和B1D1所成的角是________．[训练4]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成的角为()A．120°B．90°C．60° D．30°[训练5]如图，在三棱锥D-ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°[训练6] 如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，P A＝AB，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的正弦值为()A．25B．55C．155D．105[训练7](多空题)如图，若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为________，异面直线BD1与AD所成角的正弦值是________.二、直线与平面所成的角1．定义：一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A 的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠P AO就是斜线AP与平面α所成的角．2．当一条直线与平面垂直时，它们所成的角是90°．3．当一条直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.4．直线与平面所成的角θ的范围：0°≤θ≤90°．(教材P152例4改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于45°．探究三直线与平面所成的角[知能解读]直线与平面所成的角的理解和判断(1)斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角．(2)判断方法：若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为0°的角；若直线与平面垂直，此时直线与平面所成的角为90°；若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线(实际操作过程中，这一点的选取要有利于求角)，找出直线在平面内的射影，从而确定直线和平面所成的角，然后将这个角转化到直角三角形、等边三角形中求解．三棱锥S-ABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值．解题流程：第一步，泛读题目明待求结论：求SA与底面ABC所成角的余弦值．第二步，精读题目挖已知条件：三棱锥S-ABC的所有棱长都相等且为a.第三步，建立联系寻解题思路：设O为△ABC的中心，证∠SAO即为SA与平面ABC所成的角．第四步，书写过程养规范习惯．[方法总结]求直线与平面所成角的一般步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角．(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．[训练8]如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面ABC所成角的正弦值．[训练9]如图所示，若斜线段AB的长是它在平面α上的射影BO长的2倍，则斜线AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°[训练10]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为_______；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为________．[训练11](多空题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________；AB1与平面ADD1A1所成的角等于________；AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．三、二面角的平面角如右图，若满足下列条件：(1)O∈l，(2)OA⊂α，OB⊂β，(3)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α-l-β的平面角是∠AOB.6．二面角的平面角α的取值范围：0°≤α≤180°．平面角是直角的二面角叫做直二面角．探究二求二面角的大小如图，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB.(1)求二面角A-PD-C的大小；(2)求二面角B-P A-C的大小．[方法总结]解决二面角问题的策略(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．(2)求二面角的大小的方法：一作，即作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形求出平面角的三角函数值．其中关键是“作”．[训练12]如图，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且P A＝AC.求二面角P-BC-A 的大小．[训练13]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．[训练14]如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角BADC的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°[训练15]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2 3，CC1＝2，则二面角C1BDC的大小为________．三大角答案解 如图所示，取AC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG ∥AB 且EG ＝12 AB ， GF ∥CD 且GF ＝12CD . 从而可知∠GEF 为EF 与AB 所成的角，∠EGF 或其补角为AB 与CD 所成的角．∵AB 与CD 所成的角为30°，∴∠EGF ＝30°或150°.∵AB ＝CD ，∴EG ＝FG . ∴△EFG 为等腰三角形．当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝180°－30°2＝75°； 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝180°－150°2＝15°. 综上所述，EF 与AB 所成角的大小为15°或75°.[训练1] 45° [如图，连接B ′D ′，则E 为B ′D ′的中点，连接AB ′，则EF ∥AB ′.又CD ∥AB ，所以∠B ′AB 为异面直线EF 与CD 所成的角．由正方体的性质知，∠B ′AB ＝45°.][训练2] 45° [如图，连接BG ，则BG ∥AH ，所以∠BGF 为异面直线AH 与FG 所成的角.因为四边形BCGF 为正方形，所以∠BGF ＝45°.][训练3](1)90° (2)45° (3)90° [(1)根据正方体的性质可得AC 和DD 1所成的角是90°.(2)∵D 1C 1∥DC ，∴∠ACD 即为AC 和D 1C 1所成的角．由正方体的性质得∠ACD ＝45°.(3)连接BD ，∵BD ∥B 1D 1，BD ⊥AC ，∴B 1D 1⊥AC ，即AC 和B 1D 1所成的角是90°.][训练4]C [如图，连接AD 1，则AD 1∥BC 1.∴∠CAD 1(或其补角)就是AC 与BC 1所成的角．连接CD 1，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC ＝AD 1＝CD 1，∴∠CAD 1＝60°，即AC 与BC 1所成的角为60°.][训练5]B [如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG .∵E ，F ，G 分别是CD ，AB ，BC 的中点，∴FG ∥AC ，EG ∥BD ，且FG ＝12 AC ，EG ＝12BD . ∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角(或其补角).又∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG .又∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG .∴∠FGE ＝90°.∴△EFG 为等腰直角三角形．∴∠EFG ＝45°，即EF 与AC 所成的角为45°.][训练6]D [如图，连接AC ，BD 相交于点O ，连接OE ，BE .因为E 为AP 的中点，O 为AC 的中点，所以PC ∥OE .所以∠OED 为异面直线PC 与DE所成的角．不妨设正方形ABCD 中，AB ＝2，则P A ＝2.由P A ⊥平面ABCD ，可得P A ⊥AB ，P A ⊥AD .所以BE ＝DE ＝12＋22 ＝5 ，OD ＝12 BD ＝12 ×22 ＝2 . 因为BE ＝DE ，O 为BD 的中点，所以∠EOD ＝90°.故sin ∠OED ＝OD DE ＝25＝105 .] [训练7]33 306[因为AA 1∥DD 1，所以∠DD 1B 即为异面直线BD 1与AA 1所成的角．如图，连接BD .在Rt △D 1DB 中，sin ∠DD 1B ＝DB BD 1 ＝2226 ＝33 ，故异面直线BD 1与AA 1所成角的正弦值是33. 因为AD ∥BC ，所以∠D 1BC 即为异面直线BD 1与AD 所成的角．如图，连接D 1C .因为正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为4，所以D 1B ＝26 ，BC ＝2，D 1C ＝25 .所以D 1B 2＝BC 2＋D 1C 2.所以∠D 1CB ＝90°.所以sin ∠D 1BC ＝D 1C D 1B ＝2526＝306 . 故异面直线BD 1与AD 所成角的正弦值是306.]解 如图，过S 作SO ⊥平面ABC 于点O ，连接AO ，BO ，CO ，则SO ⊥AO ，SO ⊥BO ，SO ⊥CO .∵SA ＝SB ＝SC ＝a ，∴△SOA ≌△SOB ≌△SOC .∴AO ＝BO ＝CO .∴O 为△ABC 的外心．∵△ABC 为正三角形，∴O 为△ABC 的中心．∵SO ⊥平面ABC ，∴∠SAO 即为SA 与平面ABC 所成的角．在Rt △SAO 中，SA ＝a ，AO ＝23 ×32 a ＝33 a ，∴cos ∠SAO ＝AO SA ＝33. ∴SA 与底面ABC 所成角的余弦值为33 . [训练8]解 由题意知，AB 是MB 在平面ABC 内的射影，∴MA ⊥平面ABC .∴MC 在平面ABC 内的射影为AC . ∴∠MCA 即为直线MC 与平面ABC 所成的角．又∵在Rt △MBC 中，BM ＝5，∠MBC ＝60°，∴MC ＝BM ·sin ∠MBC ＝5×sin 60°＝5×32 ＝532. 在Rt △MAB 中，MA ＝MB 2－AB 2 ＝52－42 ＝3.在Rt △MAC 中，sin ∠MCA ＝MA MC ＝3532＝235. ∴MC 与平面ABC 所成角的正弦值为235. [训练9]A [∠ABO 即是斜线AB 与平面α所成的角，在Rt △AOB 中，AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝12，即∠ABO ＝60°.][训练10](1)45° (2)30° (3)90° [(1)由线面角定义知，∠A 1BA 为A 1B 与平面ABCD所成的角，∠A 1BA ＝45°.(2)如图，连接A 1D ，设A 1D ∩AD 1＝O ，连接BO ，则易证A 1D ⊥平面ABC 1D 1，∴A 1B 在平面ABC 1D 1内的射影为OB .∴A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角为∠A 1BO .∵A 1O ＝12 A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°. (3)∵A 1B ⊥AB 1，A 1B ⊥B 1C 1，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1D ，即A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角的大小为90°.][训练11] 45° 45° 0° [∠B 1AB 为AB 1与平面ABCD 所成的角，即45°；∠B 1AA 1为AB 1与平面ADD 1A 1所成的角，即45°；AB 1与平面DCC 1D 1平行，即所成的角为0°.]解 (1)∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD .又四边形ABCD 为正方形，∴CD ⊥AD . 又P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD .又CD ⊂平面PCD ，∴平面P AD ⊥平面PCD . ∴二面角A -PD -C 的大小为90°.(2)∵P A ⊥平面ABCD ， AB ，AC ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥P A ，AC ⊥P A .∴∠BAC 为二面角B -P A -C 的平面角．又四边形ABCD 为正方形，∴∠BAC ＝45°.即二面角B -P A -C 的大小为45°.[训练12]解 ∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .∵AB 是⊙O 的直径，且点C 在圆周上，∴AC ⊥BC .又∵P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥平面P AC .又PC ⊂平面P AC ，∴PC ⊥BC .又∵BC 是二面角P -BC -A 的棱，∴∠PCA 是二面角P -BC -A 的平面角．由P A ＝AC 知，△P AC 是等腰直角三角形，∴∠PCA ＝45°，即二面角P -BC -A 的大小是45°.[训练13] 45° [根据正方体中的线面位置关系可知，AB ⊥BC ，A 1B ⊥BC ，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA 1 即为二面角A -BC -A 1的平面角. 又AB ＝AA 1，且AB ⊥AA 1，∴∠ABA 1＝45°.][训练14] C [由已知得BD ＝2CD .翻折后，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，则∠BDC ＝60°.而AD ⊥BD ，CD ⊥AD ，故∠BDC 是二面角B -AD -C 的平面角，其大小为60°.][训练15] 30° [如图，取BD 的中点O ，连接OC ，OC 1.∵AB ＝AD ＝2 3 ，∴四边形ABCD 是正方形，BD ＝26 .∴CO ⊥BD ，CO ＝6 .∵CD ＝BC ，∴C 1D ＝C 1B . ∴C 1O ⊥BD .∴∠C 1OC 为二面角C 1BD C 的平面角．∵tan ∠C 1OC ＝C 1C OC ＝26＝33 ， ∴∠C 1OC ＝30°，即二面角C 1BD C 的大小为30°.]。
空间几何中的角度概念
空间几何中的角度概念角度是几何学中一个重要的概念，它在空间几何中具有广泛的应用。
本文将介绍角度的定义、分类以及与其他几何概念的关系，旨在帮助读者更好地理解和运用角度概念。
一、角度的定义角度是由两条射线共同确定的几何形状，通常用大写字母表示。
我们常用度（°）作为角度的单位进行计量。
例如，当两条射线在同一平面内时，它们之间的夹角即为角度。
二、角度的分类根据角度的大小，我们可以将角度分为三种不同的类型：锐角、直角和钝角。
1. 锐角锐角指的是小于90°的角度。
在平面几何中，锐角通常用尖角符号（<）表示。
例如，当两条射线之间的夹角小于90°时，我们可以称之为锐角。
2. 直角直角是指恰好等于90°的角度。
在平面几何中，直角通常用符号“⊥”或一个小方块表示。
例如，当两条射线之间的夹角等于90°时，我们称之为直角。
3. 钝角钝角是指大于90°但小于180°的角度。
在平面几何中，钝角通常用符号“>”表示。
例如，当两条射线之间的夹角大于90°时，我们可称之为钝角。
三、角度与其他几何概念的关系角度的概念在几何学中与其他几何概念密切相关，下面将介绍一些与角度相关的重要几何概念。
1. 相关性质角度的相关性质是指角度之间的比较关系，主要有对顶角、邻补角和对补角三种。
（1）对顶角对顶角是指两个相邻角度之间的关系，它们的和等于180°。
例如，在三角形中，对顶角之和等于180°。
（2）邻补角邻补角是指两个相邻角度之间的关系，它们的和等于90°。
例如，在直角三角形中，两个锐角是邻补角。
（3）对补角对补角是指两个相互补充的角度之间的关系，它们的和等于180°。
例如，在平行线产生的锐角与对顶角之间的关系就是对补角。
2. 角度的运算在几何学中，角度可以进行加法和乘法运算。
加法运算指的是两个角度进行相加，乘法运算指的是两个角度进行相乘。
空间几何中的角度和角度关系
空间几何中的角度和角度关系在空间几何中，角度是一个非常重要的概念。
角度指两条射线之间的夹角，通常用度数来表示。
通过研究角度和角度关系，我们可以深入理解空间中的图形和结构，进而解决各种几何问题。
一、角度的概念角度是描述两条射线之间夹角大小的量度。
一般来说，角度是以直线为基准的，从一条射线按逆时针方向转过去，所转过的度数就是角度的度数。
角度通常用“度”来表示，单位符号为“°”。
在空间几何中，角度的大小一般为0°到360°之间，0°表示射线重合，180°表示射线相互平行，360°表示射线重合。
不同大小的角度所代表的夹角也不同，小于90°的角称为锐角，等于90°的角称为直角，大于90°小于180°的角称为钝角，等于180°的角称为平角，大于180°小于360°的角称为全角。
二、角度的关系1. 同位角：同位角是指两条射线被第三条射线相交，形成角度对应的两对角。
同位角有三种关系，即内角、外角和对顶角。
内角是相交射线之间的角，外角是相邻射线之外的角，对顶角是位于相交射线两侧且不相邻的角。
2. 相关角：相关角是指两角可能相等、互补或补角的特殊角度。
相关角可以帮助我们简化计算，通过相关角的关系，我们可以推导出更多的几何性质和定理。
3. 平行线和角度：在空间几何中，平行线之间的夹角关系是非常重要的。
对于平行线和交叉线组成的角，我们可以根据平行线的性质来求解这些角度。
三、角度的应用1. 角度的测量：在几何学中，测量角度是解决问题的第一步。
通过工具如量角器可以准确测量角度的大小，进而进行相关计算和分析。
2. 角度的计算：在解决几何问题时，经常需要计算不同角度的大小。
通过角度的相关性质和计算方法，可以快速求解各种角度。
3. 角度的证明：在证明几何问题时，经常需要利用角度关系来推导出结论。
通过严谨的推理和分析，可以证明各种与角度有关的几何定理。
空间中角的范围
空间中角的范围引言在几何学中，角是指由两条射线共享一个公共端点而形成的图形。
角的范围是指角度的度量范围，通常以度数或弧度来表示。
在空间中，角的范围涉及到三维几何图形中的角度测量和角度范围的计算。
本文将介绍空间中角的定义、性质以及如何计算和测量角的范围。
空间中角的定义在空间中，角可以由三个点来定义，这三个点分别是角的顶点和两个边的端点。
一般来说，我们用大写字母表示角的顶点，用小写字母表示角的两个边的端点。
例如，角ABC表示由点A、点B和点C所确定的角。
空间中角的性质空间中的角具有以下性质：1.角的度量范围在0度到360度之间。
这意味着角可以是锐角（小于90度）、直角（等于90度）、钝角（大于90度）或者是一个完全的圆周角（等于360度）。
2.对于一个给定的角，它的度量范围是唯一确定的。
即使角的边的长度或位置发生变化，角的度量范围保持不变。
3.角的度量范围可以通过两种方式来表示：度数和弧度。
度数是最常用的表示方式，它将一个完整的圆周分为360个相等的部分。
弧度是一种更为抽象的表示方式，它将一个完整的圆的周长定义为2π，而一个直角的度数对应的弧度为π/2。
4.两个角的度量范围相等，当且仅当它们的度数或弧度相等。
计算空间中角的范围计算空间中角的范围通常涉及到三角函数的使用。
三角函数是一组用于计算角度的数学函数，包括正弦、余弦和正切等。
以下是一些常用的计算角范围的方法：1.使用三角函数计算：根据给定角的边长或比例关系，可以使用三角函数来计算角的度量范围。
例如，已知一个直角三角形的两条边的长度，可以使用正弦函数来计算角的度量范围。
2.使用三角恒等式计算：三角恒等式是一组将一个三角函数表示为其他三角函数的等式。
通过使用三角恒等式，可以将一个角的度量范围转换为其他角的度量范围，从而简化计算过程。
3.使用三角函数表格查找：三角函数表格提供了常见角度的正弦、余弦和正切值。
通过查找表格中的数值，可以确定给定角的度量范围。
空间角及其计算
建筑学中的应用
建筑设计
空间角在建筑设计中具有重要应用，如确定建筑物的朝向、布局和采光等。通 过合理利用空间角，可以优化建筑物的空间布局和采光效果，提高居住和使用 质量。
室内设计
在室内设计中，空间角的应用同样重要。通过合理调整室内家具和装饰品的摆 放角度，可以营造出更加舒适和美观的室内环境。
物理学中的应用
物理学
在物理学的力学、电磁学和光学等 领域，空间角也具有重要应用，如 描述带电粒子的运动轨迹、光的折 射和反射等。
02
空间角的计算方法
几何法
定义
几何法是利用空间几何知识，通 过作垂线、平行线、中线等手段， 将空间角转化为平面角或线线角，
然后进行计算的方法。
步骤
1. 作出相关垂线、平行线或中线； 2. 将空间角转化为平面角或线线 角；3. 利用平面几何知识计算角
空间角在其他领域的应用拓展
航天工程
利用空间角计算，优化航天器的轨道设计和姿态控制，提高航天 任务的可靠性和成功率。
机器人技术
通过空间角的计算，实现机器人的精准定位和自主导航，拓展机器 人在工业、医疗等领域的应用。
虚拟现实与游戏设计
利用空间角技术，提升虚拟环境的真实感和沉浸感，为游戏玩家和 设计师提供更加丰富的体验。
空间角及其计算
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用实例 • 空间角与空间几何的关系 • 空间角的未来发展与展望
01
空间角的基本概念
定义与性质
定义
空间角是指两个非平行直线或平 面在三维空间中形成的角度。
性质
空间角具有方向性，其大小和方 向可以通过几何学和三角函数来 描述。
光学研究
在光学研究中，空间角是描述光线传播方向和角度的重要参数。通过测量和计算 空间角，可以研究光线的反射、折射和散射等现象，进一步探索光与物质之间的 相互作用。
空间中角的范围
空间中角的范围
【实用版】
目录
1.空间中角的概念
2.角的范围及其分类
3.空间角的性质和应用
正文
一、空间中角的概念
在数学中，角是由两条射线共同确定的图形部分，通常用一个小圆圈表示。
在空间中，角是由两个射线或两个向量所围成的部分。
与平面上的角类似，空间中的角也可以分为锐角、直角、钝角等不同类型。
二、角的范围及其分类
1.锐角：锐角是指小于 90 度的角。
在空间中，两个向量所围成的角如果是锐角，那么这两个向量之间的夹角一定是锐角。
2.直角：直角是指等于 90 度的角。
在空间中，两个向量所围成的角如果是直角，那么这两个向量之间的夹角一定是直角。
3.钝角：钝角是指大于 90 度小于 180 度的角。
在空间中，两个向量所围成的角如果是钝角，那么这两个向量之间的夹角一定是钝角。
4.平角：平角是指等于 180 度的角。
在空间中，两个向量所围成的角如果是平角，那么这两个向量之间的夹角一定是平角。
5.优角：优角是指小于 180 度且大于 90 度的角。
在空间中，两个向量所围成的角如果是优角，那么这两个向量之间的夹角一定是优角。
三、空间角的性质和应用
空间角具有许多重要的性质，例如，任意两个角之和等于它们所夹的
平面角的度数，任意两个角的差等于它们所夹的平面角的补角的度数等。
这些性质在解决空间几何问题时非常有用。
此外，空间角还可以用于解决一些实际问题，例如，在计算机图形学中，空间角常用于计算物体的旋转和翻转，以及确定物体之间的相对位置等。
角的概念与分类
角的概念与分类角是几何学中的基本概念之一，在我们日常生活中，角也随处可见。
从广义上来说，角是由两条射线分享一个共同起点所围成的空间区域。
角的分类主要依据其大小和形状来进行。
在本文中，我们将对角的概念和各种分类进行详细探讨。
一、角的概念角是由两条射线共享一个起点所形成的空间区域。
我们可以将它想象为夹在两条射线之间的一部分平面，该平面被称为角的顶点。
射线的起点被称为角的起点。
每个角都有一个度数来表示其大小，度数通常用符号°来表示。
例如，一个直角的度数为90°，一个锐角的度数小于90°，一个钝角的度数大于90°。
根据度数的不同，角可以分为以下几类：1. 零角：零角是指两条射线在一条直线上的情况，即两条射线重叠在一起。
该角的度数为0°。
2. 直角：直角是指两条相互垂直的射线所形成的角。
该角的度数为90°。
3. 钝角：钝角是指大于90°且小于180°的角。
4. 锐角：锐角是指小于90°的角。
5. 平角：平角是指两条射线重合的情况，即两条射线在同一直线上但方向相反。
该角的度数为180°。
二、角的分类除了根据度数的分类外，角还可以根据其形状来进行分类。
根据角的形状，我们可以将角分为尖角、钝角和平角。
1. 尖角：尖角是指角的两条射线形成一个尖角的情况。
将尖角放在一个射线上，使其顶点位于射线上方，两条射线从该顶点开始，逆时针方向转动，尽量保持角度大小不变，当扫过一定弧长后，射线的延长线中的一部分与射线相交。
此时，该射线所对应的夹角称为尖角。
2. 钝角：钝角是指角的两条射线形成一个钝角的情况。
将钝角放在一个射线上，使其顶点位于射线上方，两条射线从该顶点开始，逆时针方向转动，尽量保持角度大小不变，当扫过一定弧长后，射线的延长线中的一部分与射线相交。
此时，该射线所对应的夹角称为钝角。
3. 平角：平角是指角的两条射线重合的情况。
空间角的概念和应用
空间角的概念和应用空间角是指两个射线在平面内的夹角。
它是几何学中一个非常基础的概念，但在实际应用中也有着广泛的作用。
本文将系统地介绍空间角的定义和性质，并讨论其在不同领域中的应用。
一、空间角的定义和性质在平面几何中，我们常见的角度分为两类：一个端点是顶点的角称为尖角，两个端点在一条直线上的角称为平角，两个端点分别位于两条相交直线上的角称为锐角或钝角。
而在三维几何中，射线可以在任意方向上延伸，在这种情况下，我们需要使用更为复杂的空间角概念。
具体来说，如果空间中有两个射线OA和OB，其中O是它们的公共起点，那么我们可以定义它们之间的空间角为AOB所在的平面与由OA和OB张成的空间角度量之间的夹角。
在大多数情况下，我们通常选取OA和OB所在的平面作为一个基准面，这样就可以将空间角化为一个平面角，方便我们进一步计算。
空间角的性质类似于平面角。
它们有一个共同的基本量度单位——弧度。
一个完整的圆周对应的弧度数为2π，任意角的弧度数等于它所对应的弧长与圆的半径之比。
此外，空间角也具有可加性、可减性、开放性和大小比较等性质。
二、空间角在物理学中的应用空间角在物理学、力学、天文学等领域中具有非常广泛的应用。
在物理学中，我们经常会利用空间角辅助描述一个系统中的物理过程。
例如，在热力学中，我们可以使用相角来描述多组态系统中的相变行为。
这是因为相角可以一目了然地表明不同相之间的相对状况，从而帮助我们更好地理解和说明相变热力学行为。
在力学中，相角还可以帮助我们描述复杂的运动状态。
例如，我们可以利用相角来表征旋转物体的自转轴和公转轴之间的夹角，从而更好地控制和预测它的运动状态。
此外，相角还可以用于描述阻力、电阻、电容、电感等物理量的相角特性。
三、空间角在计算机科学中的应用空间角在计算机科学中也有着非常广泛的应用。
例如，在计算机视觉和模式识别中，我们常常需要利用空间角计算两幅图像或对象之间的相似性。
在机器学习和自然语言处理中，两个向量的空间角可以作为它们之间相似性的一种度量方式。
空间几何中的角度和角度关系
空间几何中的角度和角度关系在空间几何中，角度是一个重要的概念，用于描述两个线段、射线或直线之间的旋转程度。
角度关系则是描述了不同角之间的相互关系。
本文将介绍空间几何中的角度和角度关系，并对其进行详细的讨论。
1. 角的定义在空间几何中，角是由两条射线或线段共同起点所形成的形状。
角由顶点、两个边和两个终点组成。
角的大小可以通过度数或弧度来表示。
度数以度为单位，弧度以弧长的比例来表示。
2. 角的分类在空间几何中，角可以按照大小、位置和性质进行分类。
2.1 按照大小分类根据角的大小，可以将角分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。
锐角指的是小于90度的角，直角是90度的角，钝角是大于90度小于180度的角，平角则是180度的角。
2.2 按照位置分类根据角的位置，可以将角分为相邻角、补角、邻补角、对顶角和对角等类型。
2.2.1 相邻角相邻角指的是共享公共边且顶点位于同一直线上的两个角。
它们的和为180度，也就是形成一条直线。
2.2.2 补角补角指的是两个角的度数之和为90度的角。
2.2.3 邻补角邻补角指的是两个角的度数之和为180度的角。
2.2.4 对顶角对顶角指的是共享公共边且两组对顶角的两条边互相平行。
对顶角的度数相等。
2.2.5 对角对角指的是一条直线上的两对对顶角。
3. 角度关系角度关系是描述不同角之间的相互关系，角度关系包括互补角、补角、对顶角等。
3.1 互补角互补角是指两个角的度数之和为90度。
3.2 补角补角是指两个角的度数之和为180度。
3.3 对顶角对顶角是指两组对顶角的度数相等。
4. 角度的测量方法在空间几何中，角度可以通过直角器、量角器或三角函数来测量。
4.1 直角器直角器是一种工具，用于测量和绘制直角。
通过将直角器放在两条线段或直线上，可以确定直角的位置。
4.2 量角器量角器是一种测量角度的工具。
通过将量角器放在角的顶点上，并与两条边对齐，可以测量角的大小。
4.3 三角函数三角函数是用于计算角度的函数，常见的三角函数包括正弦、余弦和正切等。
高中空间几何求各种角的公式
在高中的空间几何学习中，常见的几何形状包括点、线、面、体等，涉及到各种角的计算。
以下是一些常见的角的公式：
1. 平面内的角：
-顶点在圆心的圆心角和半圆角：圆心角等于对应的圆周角，半圆角为180度。
-对顶角：对顶角相等。
-同位角：同位角相等。
-内错角和内错角互补：内错角之和等于180度，内错角互补。
2. 空间内的角：
-平行线与截线：平行线与截线的对应角相等。
-直线与平面：直线与平面的夹角等于其倾斜角。
-平面与平面：两平面的夹角等于它们法向量的夹角。
3. 立体几何中的角：
-直线与立体的交角：直线与平面或立体的夹角等于90度减去它们的夹角余补角。
-两平面之间的夹角：两平面的夹角是它们的法线之间的夹角。
这些公式是空间几何中常见的角度计算原则，通过理解和掌握这些规律，可以更好地解决空间几何题目中涉及到的各种角度问题。
空间角的概念与性质
空间角的概念与性质概念：空间角是几何学中一个重要的概念，它是两个射线在三维空间中共面的情况下，通过共同端点形成的角。
与平面角类似，空间角同样由两个边构成，但由于存在三个维度，空间角的度量相对复杂一些。
性质：1. 角的度量：空间角的度量通常使用弧度制。
当两条射线在共同端点处的夹角为θ时，我们可以使用弧度来度量这个角。
一个直角等于π/2弧度，一个圆等于2π弧度。
因此，任意空间角的度量均可以转化为弧度的形式进行计算。
2. 空间角的几何关系：空间角的大小与其对应的几何关系有着密切的联系。
例如，当空间角为零时，即两个射线重合，形成的是一个平角；当空间角为直角时，两个射线相互正交，形成的是一个直角；当空间角大于直角时，两个射线夹角超过90度，形成一个钝角；当空间角小于直角时，两个射线的夹角小于90度，形成一个锐角。
3. 空间角与平行线：如果两个空间角的边分别平行，那么这两个角相等。
这是因为平行线之间的夹角为零，在三维空间中形成的空间角也不例外。
4. 空间角的投影：空间角的度量与其在投影面上形成的平面角的度量有关。
在垂直于投影面的方向上，空间角的投影是相等的。
5. 空间角的余角：与平面角类似，空间角也有余角的概念。
两个空间角的余角之和等于一个全角。
特别地，如果两个空间角之和为直角，那么这两个角即互为余角。
6. 空间角的三角函数：由于空间角的度量是以弧度为单位的，我们可以使用三角函数来计算和研究空间角。
其中，正弦、余弦和正切等三角函数与空间角的度量之间存在着特定的关系。
结论：空间角是三维空间中一组射线的几何特性的度量，它在几何学和物理学中具有广泛的应用。
在几何学中，对空间角的研究有助于解决射线之间的夹角关系以及空间图形的构造问题。
在物理学中，利用空间角可以描述物体在空间中的相对位置和方向，进而研究物体的运动规律和力学性质。
因此，空间角的概念与其性质具有重要的理论和实际意义。
空间角的范围
空间角的范围什么是空间角空间角是物体之间相对位置的一种度量，用于描述在三维空间中两个向量之间的夹角。
它是向量的方向性特征的量化表示。
在数学上，空间角可以通过向量的点积和模长来计算。
给定两个向量A和B，它们的空间角θ可以通过以下公式计算：θ = arccos(A·B / |A|·|B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长。
空间角的范围空间角的范围是从0到π之间的实数。
这是因为点积的值范围是从-1到1之间，而空间角θ的取值范围是从0到π之间。
当两个向量的方向相同时，它们的空间角为0。
当两个向量的方向完全相反时，它们的空间角为π。
当两个向量的方向相互垂直时，它们的空间角为π/2。
在实际应用中，空间角的范围可以用于描述物体之间的相对位置关系。
例如，在机器人技术中，空间角可以用于判断机器人的朝向和目标位置之间的夹角，从而实现精确的导航和定位。
空间角的应用空间角在物理学、工程学和计算机图形学等领域中具有广泛的应用。
在物理学中，空间角被用于描述光线的传播方向和反射方向之间的夹角。
通过测量空间角，可以计算出光线的折射角和反射角，从而研究光的传播规律和光学器件的设计。
在工程学中，空间角被用于描述机械零件之间的相对位置关系。
通过测量空间角，可以确定机械零件的装配方式和运动轨迹，从而实现机械系统的设计和优化。
在计算机图形学中，空间角被用于描述三维模型之间的相对位置关系。
通过计算空间角，可以确定三维模型的旋转角度和投影方向，从而实现计算机图形的渲染和动画效果。
总结空间角是一种用于描述物体之间相对位置的度量，可以通过向量的点积和模长来计算。
空间角的范围是从0到π之间的实数，用于表示两个向量之间的夹角。
空间角在物理学、工程学和计算机图形学等领域中具有广泛的应用，可以用于研究光的传播规律、机械系统的设计和优化，以及计算机图形的渲染和动画效果等方面。
通过深入理解空间角的概念和应用，我们可以更好地理解和应用三维空间中的向量和位置关系。
空间角的求法方法归纳
空间角的求法方法归纳
空间角的求法方法归纳
在数学和物理学中，空间角是一种非常重要的概念。
物体在空间中的角度关系经常被用到各种计算和分析中。
因此，求解空间角的方法也变得尤为重要。
本文将按类划分，总结空间角的求法方法。
立体角的求法
立体角是三维空间中用来描述四面体的角度大小的量，并且与其各个顶点相对应。
求解四面体的立体角可以通过以下公式进行计算：
V5 = 1/3(arccos(A1) + arccos(A2) + arccos(A3) - π )
其中V5指四面体的立体角，A1、A2、A3为三个向量的夹角余弦，pi 为圆周率。
平面角的求法
平面角是在二维平面中两个射线之间的角度大小，于是端点重合，两条射线叫做角的顶点，并记为O。
平面角的计算公式如下：
cosθ = a·b / |a||b|
其中，a和b分别表示两个向量，|a|和|b|表示向量的模，lala和lblb都为0，则cosθ没有定义。
球面角的求法
球面角是指在球面上相互靠近的两条弧（或线）之间的角度大小。
求解球面角需要先计算其对应的球面扇形的面积，然后进行换算即可，具体公式如下：
S = R²θ
其中R表示球体半径，θ表示对应的球面角。
总结
空间角的求法方法主要包括立体角、平面角和球面角三种。
其中立体角的求解需要根据四面体的三个向量夹角余弦值计算，平面角的计算需要先计算两个向量的点积并除以其模，而球面角的求解则需要先计算出对应的球面扇形面积。
这些空间角的求法方法可以帮助我们更准确地分析并解决各类问题。
空间立体角定义
空间立体角定义空间立体角是数学中的一个概念，在立体几何中极为重要。
正如我们熟悉的平面角可以度量平面上两条直线的夹角一样，空间立体角可以度量空间中三条直线的夹角。
为了更好地理解空间立体角，我们先来回顾一下平面角的概念。
平面角可以通过位于同一个平面上的两条射线来定义。
这两条射线的起点被称为角的顶点，而射线所在的直线被称为角的边。
我们通常用度来度量平面角的大小，一个直角对应着90度，而一个周角则对应着360度。
那么，在空间中我们如何定义立体角呢？让我们来看一个例子。
假设我们有三条不在同一平面内的直线，它们交于一个共同的点，我们把这个点称为顶点。
我们可以从这个顶点引出三条线段，每条线段都与其中两条直线相交，我们将这些线段的两个端点称为空间角的顶点，这些线段所在的直线被称为空间角的边。
然后我们可以通过这些端点之间的距离来度量空间角的大小。
需要注意的是，空间角并不仅仅是由于几何形状的夹角而产生的。
事实上，空间角的大小还取决于这三条直线所定义的平面的偏转程度。
这意味着，即使三条直线的夹角相同，但如果它们所在的平面不同，那么它们的空间角也会不同。
为了更好地理解空间角的概念，我们可以通过一个常见的例子来进行说明。
想象一下，我们用一根笔直的棍子代表第一条直线，然后我们将其与另外两根笔直的棍子相交。
现在，我们可以看到，将这三根棍子与顶点相连后，我们得到了一个锐角、直角或者钝角。
这个角度就是我们所说的空间角。
空间角的度量方法有很多种，最常见的是用立体弧度来表示。
一个立体弧度等于球面上半径为1的圆锥的底角所对应的平面角的弧度。
空间立体角的概念在物理、几何、计算机图形学等领域具有重要的应用价值。
它不仅可以用来描述物体的旋转和旋转速度，还可以用来计算光线的散射和折射等现象。
总之，空间立体角是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们度量空间中的三条直线之间的夹角，具有广泛的应用价值。
通过理解和运用空间立体角的概念，我们可以更好地理解立体几何的性质，并能够在实际问题中进行准确的度量和计算。
空间几何中的角与体积
空间几何中的角与体积角是几何中一个重要的概念，它不仅存在于平面几何中，也存在于空间几何中。
角的概念在几何学中具有广泛的应用，它不仅与形状的变化有关，还与体积的计算密切相关。
角的定义可以简单地理解为由两条线段或两条射线共同确定的图形部分。
在空间几何中，角通常由三个点来确定，这三个点分别位于三条线段或者射线上。
在空间几何中，角可以分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。
锐角是小于90度的角，直角是等于90度的角，钝角是大于90度小于180度的角，而平角则是等于180度的角。
角在空间几何中的应用十分广泛。
例如，在三角形中，角是构成三角形的基本要素，通过研究和计算角的大小，可以得到诸多三角形性质的推导。
在四面体中，角的概念同样重要，通过计算四个面的角的大小，可以得到四面体的体积。
对于空间几何中的体积计算，其中涉及到与角密切相关的多面体。
多面体是由若干个平面多边形构成的立体图形，常见的多面体有三棱柱、四棱柱、四棱锥、正方体等等。
以正方体为例，正方体拥有六个面，每个面都是一个正方形。
当正方体的边长为a时，它的体积V可以通过公式V=a³来计算。
在计算正方体体积的过程中，没有涉及角的计算，这是因为正方体的每个面都是直角。
然而，并非所有的多面体都如正方体一样简单。
对于复杂的多面体，我们可以通过将其分解为若干个简单的几何体来计算它的体积。
在进行多面体的体积计算时，角的概念则十分重要。
例如，在计算四面体的体积时，可以通过计算四面体的底面积与高之积来得到。
而这个高正是一个由底面平行于另一面所构成的角所确定的垂直线段。
此外，在计算棱锥的体积时，角的作用同样不可忽视。
棱锥是底面为一个多边形，侧面为多个三角形的多面体。
通过计算棱锥底面的面积与高之积，再乘以1/3，即可得到棱锥的体积。
而这个高正是由底面上的任意一点到对面所构成的角所确定的垂直线段。
通过以上的例子可以看出，角不仅仅是空间几何中的一个基本概念，更是在体积计算过程中不可或缺的要素。
空间几何的角度和体积的性质及其在物理学中的应用
空间几何的角度和体积的性质及其在物理学中的应用在数学中，空间几何是研究空间中点、线、面、体以及它们之间的关系的一个分支。
角度和体积是空间几何中的基本概念，它们具有重要的性质和广泛的应用。
一、角度的性质及应用角度是空间几何中描述物体之间夹角关系的一个重要概念。
在空间中，可以通过两条线的夹角来表示他们之间的关系。
角度具有以下性质：1. 角度的度量单位：角度一般用度来表示，常用符号“°”。
一个完整的圆共360°，对应于一个平面内的一周。
2. 角的分类：根据角的大小，可以将角分为锐角、直角、钝角和平角。
锐角指角度小于90°，直角指角度等于90°，钝角指角度大于90°而小于180°，平角指角度等于180°。
3. 角的性质：角的性质可以通过其对应的三角函数来描述。
例如，在直角三角形中，正弦、余弦和正切函数等与角度之间存在着特定的关系。
在物理学中，角度的概念和性质在描述物体的旋转、方向和运动等方面有着广泛的应用。
例如，在力学中，通过角度可以描述物体的转动和力矩的大小。
同时，在光学中，角度也与光的折射和反射有关。
二、体积的性质及应用体积是空间几何中用来描述三维物体占据空间大小的一个概念。
在空间中，物体的体积可以通过计算其长度、宽度和高度等尺寸得到。
体积具有以下性质：1. 体积的度量单位：体积一般用立方单位来表示，例如立方厘米（cm³）、立方米（m³）等。
一个物体的体积等于其三个方向尺寸的乘积。
2. 体积的运算：在几何中，可以通过计算图形的面积和高度来求得物体的体积。
例如，长方体的体积等于其底面积乘以高度。
3. 体积的性质：物体的体积与其形状、尺寸和密度等因素有关。
例如，在热力学中，可以根据物体的体积和密度来计算物体的质量。
在物理学中，体积的概念和性质在描述物体的质量、密度和浮力等方面有着重要的应用。
例如，在力学中，可以通过计算物体的体积和密度来求解物体的质量，进而用于计算物体在重力下的受力情况。
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空间中的角
一、异面直线所成的角：1．定义 2．范围
二、直线与平面所成的角：1．定义 2．范围 3．斜线与平面成的角范围
4．最小角定理 5．三角余弦定理
三、二面角：1．定义 2．范围 3．步骤：找—造（作）—证—求
4．常用方法：①定义法 ②垂线法 ③垂面法 ④射影面积法 ⑤向量法：A ．转化为异面直线所成的角 B ．方向向量法 C ．平面法向量法
四、举例
（一）异面直线所成的角
例1． 如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，SA=SB=SC ，且 <ASB=<BSC=<CSA=90°,M ，N 分别是AB 和SC 的中点，求异面 直线SM 与BN 所成的角。
练习： 在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，若 3EF ，求AD ，BC 所成的角。
（二）直线与平面所成的角
例2． 如图，四棱锥P —ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，AE ⊥PD ， 垂足为E ，EF//CD ，AM=EF 。
（1）证明：MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；
（2）若PA=3AB ，求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值。
（三）二面角
例3． 在正方体ABCD —A'B'C'D'中，求平面A'BC'与底面ABCD 所 成的锐二面角的正切值。
M B A S
C
N A F D E C B M F C
A B P E D C' D C B A A' D' B'
例4．过二面角α—L —β内的一点P 作PA ⊥α，PB ⊥β，（A ，B 为垂足），已知PA=5cm,PB=8cm,AB=7cm,求二面角角α—L —β的大小。
例5．平面四边形ABCD 中，AB=BC=CD=a ，︒=∠90B ,︒=∠135DCB ，沿对角线AC 将四边形折成直二面角。
（1）求证：AB ⊥面BCD （2）求面ABD 与面ACD 所成的二面角。
, ,
⇒
例6． （04北京）如图所示，四棱锥S —ABCD 的底边是边长为1的正方形， SD ⊥底面ABCD ，3SB =。
（1）求证：BC ⊥SC ；
（2）求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；
（3）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的 大小。
练习： 设∆ABC 和∆DBC 所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD ，<ABC=<DBC =120°。
求：（1）直线AD 和平面BCD 所成角的大小 （2）异面直线AD 与BC 所成角的大小
（3）二面角A —BD —C 的正切值。
S M D A
B C A
B D
C Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ
Ｄ Ｃ Ｂ。