专题九解析几何第二十五讲直线与圆十年高考数学(理科)真题题型分类汇编

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历届高考直线与圆试题汇编

历届高考直线与圆试题汇编专题九：解析几何第二十五讲直线与圆一、选择题1.(2018全国卷Ⅲ) 直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆 (x-2)²+y²=2 上，则ΔABP 面积的取值范围是：A。

[2,6]B。

[4,8]C。

[2,32]D。

[22,32]2.(2018天津) 已知圆 x+y-2x=0 的圆心为 C，直线 y=3-x相交于 A，B 两点，则ΔABC 的面积为：3.(2018北京) 在平面直角坐标系中，记 d 为点P(cosθ,sinθ) 到直线 x-my-2=0 的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为：A。

1B。

2C。

3D。

44.（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C：(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a>b>0) 的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为：A。

√(3/32)B。

1/√(3/32)C。

√(3/8)D。

1/√(3/8)5.（2017新课标Ⅲ）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上。

若AP=λAB+μAD，则λ+μ 的最大值为：A。

3B。

2√2C。

5D。

26.（2015山东）一条光线从点 (-2,-3) 射出，经 y 轴反射后与圆 (x+3)²+(y-2)²=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为：A。

-2/5 或 5/2B。

-5/2 或 2/5C。

-2/3 或 3/2D。

-3/2 或 2/37.（2015新课标2）已知圆 C1：(x-1)²+y²=1，圆 C2：(x-2)²+y²=4，则圆 C1 与圆 C2 的公共弦所在直线的斜率为：A。

1/3B。

1/2C。

2/3D。

3/48.（2015新课标2）过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1,-7) 的圆交于 y 轴于 M、N 两点，则 MN 的长度为：A。

高考数学真题分类汇编专题直线与圆理科及答案

专
题
八
直
线
与
圆
1. 【 2015 高考重庆，理 8】已知直线 l ： x+ay-1=0 （ a R）是圆 C： x2 y2 4x 2 y 1 0
的对称轴 . 过点 A（ -4 ， a）作圆 C的一条切线，切点为 B，则 | AB|=
（）
A、 2
B
、4 2
C
、6
D
、 2 10
【答案】 C
【解析】圆 C 标准方程为 ( x 2) 2 ( y 1)2 4 ，圆心为 C(2,1) ，半径为 r 2 ，因此
2 a 1 1 0 ，a 1 ，即 A( 4, 1) ， AB
2
AC
r2
( 4 2)2 ( 1 1)2 4 6 .
选 C. 【考点定位】直线与圆的位置关系 . 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点
2
2
x3
y 2 1 相切，则反射光线所在直线的斜率为（
）
（ A）
5
或
3
35
3
4
【答案】 D
3
2
（ B）
或
2
3
54
（ C）或
45
4
（ D）或
3
整理： 12 k2 25k 12 0 ，解得： k
4 ，或 k
3
3
, 故选 D．
4
【考点定位】 1、圆的标准方程； 2、直线的方程； 3、直线与圆的位置关系 .

高考数学真题汇编---专题9_直线和圆_理

【2012年高考试题】1.【2012高考真题重庆理3】任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是（1）相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心2.【2012高考真题浙江理3】设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4.【2012高考真题陕西理4】已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（） A.l 与C 相交 B. l 与C 相切 C.l 与C 相离 D. 以上三个选项均有可能【答案】A.【解析】圆的方程可化为4)2(22=+-y x ，易知圆心为)0,2(半径为2，圆心到点P 的距离为1，所以点P 在圆内.所以直线与圆相交.故选A.5.【2012高考真题天津理8】设，若直线与圆相切，则m+n 的取值范围是（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】圆心为)1,1(，半径为 1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足R n m ∈,02)1()1(=-+++y n x m 1)1()1(22=-+-y x ]31,31[+-),31[]31,(+∞+⋃--∞]222,222[+-),222[]222,(+∞+⋃--∞1)1()1(|2)1()1|22=+++-+++n m n m （，即2)2(1n m mn n m +≤=++，设z n m =+，即01412≥--z z ，解得,222-≤z 或,222+≥z6.【2012高考江苏12】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ．8.【2012高考真题湖南理21】（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x-5）2＋y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C 1的方程；（Ⅱ）设P(x 0,y 0)（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值. 【答案】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤于是由②，④，⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=22001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400. 【2011年高考试题】一、选择题:1．(2011年高考江西卷理科9)若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 A ．(．(-0)∪(0) c ．[．(-∞，+∞) 、解析：选 B ，由题意，AC 为直径，设圆心为F ，则FE BD ⊥,圆的标准方程为()()221310x y -+-=，故()1,3F ，由此，易得：AC =又31210EF k -==-，所以直线BD 的方程为112y x =-+，F 到BD=BD =四边形ABCD的面积为1122AC BD =⨯=g 二、填空题:1.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线2.(2011年高考重庆卷理科15)设圆C 位于抛物线22y x =与直线3x =所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为1。

2010～2019十年高考理科数学分类汇编专题9解析几何第二十五讲直线与圆答案

专题九解析几何第二十五讲直线与圆答案部分 2019年1.解析由直线l 的参数方程消去t ，可得其普通方程为4320x y -+=．则点（1，0）到直线l 的距离是d ==2. 解析解法一：由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-，解得000)x x =>．所以曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，4=．解法二：由题意可设点P 的坐标为4,x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭()0x >，则点P 到直线0x y +=的距离222242x d ⎛⎫+ ⎪==⨯⨯=…，当且仅当x =所以点P 到直线0x y +=的距离的最小值为4. 3.解析解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为3 4 .因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为43 -，直线PB的方程为42533 y x=--.所以P（−13，9），15PB==.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，联结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：36(44)4y x x=-+-剟.在线段AD上取点M（3，154），因为5OM==，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q（a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 4.解析：解法一：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得1122m +=-，解得2m =-．所以圆心为（0，-2），则半径r ==．解法二：由r ==，得2m =-，所以r ==2010-2018年1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d == 所以点P到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB = 所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ． 2．12【解析】直线的普通方程为20x y +-=，圆的标准方程为22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为1，点C 到直线20x y +-=的距离2d ==以||AB ==11222ABC S ∆==． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ．4．A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，c e a ==，故选A ．5．A 【解析】如图建立直角坐标系，x则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)Px y 所以圆的方程为224(2)5x y -+=，所以(,1)AP x y =-，(0,1)AB =-，(2,0)AD =，由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=，点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3，即λμ+的最大值为3，选A ．6．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，则1d==，|55|k +=43k =-或34-．7．A 【解析】设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c，则=，所以c =250x y ++=或250x y +-=．8．C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-，所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x =，得24200y y +-=，设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以12||||MN y y =-==9．C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===．选C ．10．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在R t O M N '∆中，sin 32OMN '∠=<，则45OMN '∠<，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =合题意，排除C ，故选A ．11．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=． 12．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ． 13．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C，121,r r ==1212||15C C r r =+==，所以9m =．14．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．15．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d == 所以2422r a =+=-，故4a =-16．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+∈．故选B ．17．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 18．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-． 19．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=，故选A ．20．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离=1d =，半径r =，所以最后弦长为4=.21．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =，（2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令1112A BD S ∆=得212b a b =-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+,∵0a >, ∴22410b b -+<，解得1122b -<<+综上：1122b -<<，选B 22．B 【解析】点M(a ,b )在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离1d =<=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．23．C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)==12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-，即2a =，选C ． 24．A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =25．C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF |=3|BF |，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时1y ==±1y =1(3,(,33A B -,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-。

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学专题11直线与圆

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题11 直线与圆一、选择题1.(2019·全国2·理T11文T12)设F 为双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为( ) A.√2 B.√3 C.2 D.√5【答案】A【解析】如图,设PQ 与x 轴交于点A,由对称性可知PQ ⊥x 轴. ∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=c2.∴PA 为以OF 为直径的圆的半径,A 为圆心, ∴|OA|=c 2.∴P c 2,c2.又点P 在圆x 2+y 2=a 2上,∴c 24+c 24=a 2,即c 22=a 2, ∴e2=c 2a 2=2,∴e=√2,故选A.2.(2018·北京·理T7)在平面直角坐标系中,记d 为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m 变化时,d 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C【解析】设P(x,y),则{x =cosθ,y =sinθ,x 2+y 2=1.即点P 在单位圆上,点P 到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+2=1+2.当m=0时,d max =3.3.(2018·全国3·理T6文T8)直线x+y+2=0分别与x 轴、y 轴交于A,B 两点,点P 在圆(x-2)2+y 2=2上,则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2,6] B.[4,8]C.[√2,3√2]D.[2√2,3√2]【答案】A【解析】设圆心到直线AB 的距离d=√2=2√2.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即√2≤d'≤3√2.又AB=2√2,∴S△ABP=12·|AB|·d'=√2d',∴2≤S△ABP≤6.4.(2016·山东·文T7)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离【答案】B【解析】圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d=√1+1=√22a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2√R2-d2=2√a2-(√22a)2=√2a,由题意可得√2a=2√2,故a=2.而|MN|=√(1-0)2+(1-2)2=√2,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.5.(2016·全国2·理T4文T6)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-4B.-3C.√3D.2【答案】A【解析】圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,圆心坐标为(1,4).所以d=2=1,解得a=-43,故选A.6.(2015·全国2·理T7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.10【答案】C【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得{D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0,D-7E+F+50=0,解得{D=-2,E=4,F=-20.则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根, 由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y 2|=√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=√16+80=4√6.7.(2015·全国2·文T7)已知三点A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.√213C.2√53D.43【答案】B【解析】由题意知,△ABC 外接圆的圆心是直线x=1与线段AB 垂直平分线的交点为P,而线段AB 垂直平分线的方程为y-√32=√33(x -12),它与x=1联立得圆心P 坐标为(1,2√33),则|OP|=√12+(2√33)2=√213.8.(2015·北京·文T2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2 【答案】D【解析】圆的半径r=√2 ,标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.9.(2015·广东·理T5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0 【答案】A【解析】设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m ≠1), 因为直线2x+y+m=0与圆x 2+y 2=5相切, 所以√5=√5,|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.10.(2015·山东·理T9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.-53或-35 B.-32或-23 C.-54或-45D.-43或-34【答案】D【解析】如图,作出点P(-2,-3)关于y 轴的对称点P 0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P 0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0. ∴圆心到直线的距离d=√1+k=1,解得k=-43或k=-34.11.(2015·重庆·理T8)已知直线l:x+ay-1=0(a ∈R)是圆C:x 2+y 2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C 的一条切线,切点为B,则|AB|=( ) A.2 B.4√2 C.6 D.2√10【答案】C【解析】依题意,直线l 经过圆C 的圆心(2,1),因此2+a-1=0,所以a=-1,因此点A 的坐标为(-4,-1).又圆C 的半径r=2,由△ABC 为直角三角形可得|AB|=√|AC |2-r 2. 又|AC|=2√10,所以|AB|=√(2√10)2-22=6.12.(2014·全国2·文T12)设点M(x 0,1),若在圆O:x 2+y 2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是( ) A.[-1,1] B.[-12,12] C.[-√2,√2] D.[-√22,√22]【答案】A【解析】建立三角不等式,利用两点间距离公式找到x 0的取值范围.如图,过点M 作☉O 的切线,切点为N,连接ON.M 点的纵坐标为1,MN 与☉O 相切于点N. 设∠OMN=θ,则θ≥45°,即sin θ≥√22, 即ON OM ≥√22.而ON=1,∴OM≤√2.∵M 为(x 0,1),∴√x 02+1≤√2,∴x 02≤1,∴-1≤x 0≤1,∴x 0的取值范围为[-1,1].13.(2014·浙江·文T5)已知圆x 2+y 2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是( ) A.-2B.-4C.-6D.-8【答案】B【解析】圆的方程可化为(x+1)2+(y-1)2=2-a,因此圆心为(-1,1),半径r=√2-a .圆心到直线x+y+2=0的距离d=√2=√2,又弦长为4,因此由勾股定理可得(√2)2+(42)2=(√2-a )2, 解得a=-4.故选B.14.(2014·安徽·文T6)过点P(-√3,-1)的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.(0,π] B.(0,π] C.[0,π6] D.[0,π3]【答案】D【解析】设过点P 的直线方程为y=k(x+√3)-1,则由直线和圆有公共点知√3k √1+k ≤1,解得0≤k≤√3.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0,π3].15.(2014·北京·文T7)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C 上存在点P,使得∠APB=90°,则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B【解析】因为A(-m,0),B(m,0)(m>0),所以使∠APB=90°的点P 在以线段AB 为直径的圆上,该圆的圆心为O(0,0),半径为m.而圆C 的圆心为C(3,4),半径为1. 由题意知点P 在圆C 上,故两圆有公共点. 所以两圆的位置关系为外切、相交或内切, 故m-1≤|CO|≤m+1,即m-1≤5≤m+1,解得4≤m ≤6. 所以m 的最大值为6.故选B.16.(2014·四川·文T9)设m ∈R,过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是( ) A.[√5,2√5] B.[√10,2√5] C.[√10,4√5] D.[2√5,4√5]【答案】B【解析】由题意,得A(0,0),B(1,3),因为1×m+m×(-1)=0,所以两直线垂直,所以点P在以AB为直径的圆上,所以PA⊥PB.所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,设∠ABP=θ,则|PA|+|PB|=√10sin θ+√10cos θ=2√5sin(θ+π4).因为|PA|≥0,|PB|≥0,所以0≤θ≤π2.所以√10≤|PA|+|PB|≤2√5,故选B.17.(2013·重庆·理T7)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P 为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )A.5√2-4B.√17-1C.6-2√2D.√17【答案】A【解析】圆C1,C2的圆心分别为C1,C2,由题意知|PM|≥|PC1|-1,|PN|≥|PC2|-3,∴|PM|+|PN|≥|PC1|+|PC2|-4,故所求值为|PC1|+|PC2|-4的最小值.又C1关于x轴对称的点为C3(2,-3),所以|PC1|+|PC2|-4的最小值为|C3C2|-4=√(2-3)2+(-3-4)2-4=5√2-4,故选A.18.(2013·湖南·理T8)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P为边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )A.2B.1C.83D.43【答案】D【解析】以A为原点,AB为x轴,AC为y轴建立直角坐标系如图所示. 则A(0,0),B(4,0),C(0,4).设△ABC的重心为D,则D点坐标为(43,43 ).设P点坐标为(m,0),则P点关于y轴的对称点P1为(-m,0),因为直线BC方程为x+y-4=0,所以P点关于BC 的对称点P2为(4,4-m),根据光线反射原理,P1,P2均在QR所在直线上,∴k P 1D =k P 2D ,即4343+m=43-4+m 43-4, 解得,m=43或m=0.当m=0时,P 点与A 点重合, 故舍去.∴m=43.19.(2012·浙江·理T3)设a ∈R,则“a=1”是“直线l 1:ax+2y-1=0与直线l 2:x+(a+1)y+4=0平行”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】l 1与l 2平行的充要条件为a(a+1)=2×1且a×4≠1×(-1),可解得a=1或a=-2,故a=1是l 1∥l 2的充分不必要条件.20.(2010·安徽·文T4)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 【答案】A【解析】设直线方程为x-2y+c=0,将点(1,0)代入,解得c=-1,故直线方程为x-2y-1=0. 二、填空题1.(2019·江苏·T10)在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线y=x+4x (x>0)上的一个动点,则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是 . 【答案】4【解析】当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x 相切位置时,切点Q 即为点P 到直线x+y=0的最小距离的点,有y'=(x +4x )'=1-4x 2=-1(x>0),得x=√2(-√2舍). 此时y=√2√2=3√2,即切点Q(√2,3√2),则切点Q 到直线x+y=0的距离为d=√2+3√2|√1+1=4,即为所求最小值.2.(2019·天津·理T12)设a ∈R,直线ax-y+2=0和圆{x =2+2cosθ,y =1+2sinθ(θ为参数)相切,则a 的值为____.【答案】34【解析】由{x =2+2cosθ,y =1+2sinθ(θ为参数),得(x-2)2+(y-1)2=4, 圆心为(2,1),r=2. 由直线与圆相切,得√2=2,解得a=3.3.(2019·浙江·T 12)已知圆C 的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C 相切于点A(-2,-1),则m= ,r= . 【答案】-2 √5【解析】由题意知k AC =-12⇒AC:y+1=-12(x+2),把(0,m)代入得m=-2,此时r=|AC|=√4+1=√5. 4.(2018·天津·文T12)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 . 【答案】x 2+y 2-2x=0【解析】画出示意图如图所示,则△OAB 为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y 2=1,即x 2+y 2-2x=0.5.(2018·全国1·文T15)直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A,B 两点,则|AB|= . 【答案】2【解析】圆的方程可化为x 2+(y+1)2=4,故圆心C(0,-1),半径r=2,圆心到直线y=x+1的距离d=√2=√2,所以弦长|AB|=2√r 2-d 2=2√4-2=2√2.6.(2018·天津·理T12)已知圆x 2+y 2-2x=0的圆心为C, 直线{x =-1+√22t ,y =3-√22t (t 为参数)与该圆相交于A,B两点,则△ABC 的面积为_____________. 【答案】12【解析】圆C 的方程可化为(x-1)2+y 2=1,得圆心为C(1,0),半径为1.由{x =-1+√22t ,y =3-√22t(t 为参数),可得直线的普通方程为x+y-2=0.所以圆心C(1,0)到直线x+y-2=0的距离d=√1+1=√22.所以|AB|=2√1-(√22)2=√2. 所以S △ABC =12·|AB|·d=12×√2×√22=12.7.(2016·全国1·文T15)设直线y=x+2a 与圆C:x 2+y 2-2ay-2=0相交于A,B 两点,若|AB|=2√3,则圆C 的面积为 . 【答案】4π【解析】圆C 的方程可化为x 2+(y-a)2=2+a 2,直线方程为x-y+2a=0, 所以圆心坐标为(0,a),半径r 2=a 2+2,圆心到直线的距离d=√2.由已知(√3)2+a 22=a 2+2,解得a 2=2,故圆C 的面积为π(2+a 2)=4π.8.(2016·上海·理T3)已知平行直线l 1:2x+y-1=0,l 2:2x+y+1=0,则l 1,l 2的距离是 . 【答案】2√55 【解析】d=12√A +B =√2+1=2√55.9.(2016·浙江·文T10)已知a ∈R,方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .【答案】(-2,-4) 5【解析】由题意,可得a 2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x 2+y 2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x 2+4y 2+4x+8y+10=0,(x +12)2+(y+1)2=-54不表示圆.10.(2016·天津·文T12)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M(0,√5)在圆C 上,且圆心到直线2x-y=0的距离为4√55,则圆C 的方程为 . 【答案】(x-2)2+y 2=9【解析】设圆心C 的坐标为(a,0)(a>0),√5=4√55⇒a=2.又点M(0,√5)在圆C 上,则圆C 的半径r=√22+5=3.故圆C 的方程为(x-2)2+y 2=9.11.(2016·全国3·理T16文T15)已知直线l:mx+y+3m-√3=0与圆x 2+y 2=12交于A,B 两点,过A,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C,D 两点.若|AB|=2√3,则|CD|= .【答案】4【解析】因为|AB|=2√3,且圆的半径R=2√3,所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-√3=0的距离为√R 2-(|AB |2)2=3.由√3|2=3,解得m=-√33.将其代入直线l 的方程,得y=√33x+2√3,即直线l 的倾斜角为30°. 由平面几何知识知在梯形ABDC 中, |CD|=|AB |cos30°=4. 12.(2015·江苏·T10)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m ∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 【答案】(x-1)2+y 2=2【解析】(方法一)设A(1,0).由mx-y-2m-1=0,得m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点P(2,-1),即该方程表示所有过定点P 的直线系方程.当直线与AP 垂直时,所求圆的半径最大.此时,半径为|AP|=√(2-1)2+(-1-0)2=√2.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y 2=2.(方法二)设圆的半径为r,根据直线与圆相切的关系得r=√2=√m 2+2m+1m 2+1=√1+2mm 2+1,当m<0时,1+2m m 2+1<1,故1+2mm 2+1无最大值; 当m=0时,r=1;当m>0时,m 2+1≥2m(当且仅当m=1时取等号). 所以r≤√1+1=√2,即r max =√2, 故半径最大的圆的方程为(x-1)2+y 2=2. 13.(2015·全国1·理T14)一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为___________. 【答案】(x -32)2+y 2=254【解析】由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a>0),所以√(a -0)2+(0-2)2=4-a,解得a=32,故圆心为(32,0),此时半径r=4-32=52,因此该圆的标准方程是(x -3)2+y 2=25.14.(2014·重庆·理T13)已知直线ax+y-2=0与圆心为C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a= .【答案】4±√15【解析】由△ABC 为等边三角形可得,C 到AB 的距离为√3,即(1,a)到直线ax+y-2=0的距离d=2=√3,即a 2-8a+1=0,可求得a=4±√15.15.(2014·陕西·理T12)若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x 对称,则圆C 的标准方程为 .【答案】x 2+(y-1)2=1【解析】因为(1,0)关于y=x 的对称点为(0,1),所以圆C 是以(0,1)为圆心,以1为半径的圆,其方程为x 2+(y-1)2=1.16.(2011·浙江·文T12)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= .【答案】1【解析】由题意知1×2+(-2)·m=0,即m=1.17.(2010·全国·理T15)过点A(4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C 的方程为 .【答案】(x-3)2+y 2=2【解析】由题意知A,B 两点在圆C 上,∴线段AB 的垂直平分线x=3过圆心C.又圆C 与直线y=x-1相切于点B(2,1),∴k BC =-1.∴直线BC 的方程为y-1=-(x-2),即y=-x+3.y=-x+3与x=3联立得圆心C 的坐标为(3,0),∴r=|BC|=√(3-2)2+(0-1)2=√2. ∴圆C 的方程为(x-3)2+y 2=2. 18.(2010·全国·文T13)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为 .【答案】x 2+y 2=2【解析】圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离R=√1+1=√2.∴圆的方程为x 2+y 2=2.三、计算题1.(2015·全国1·文T20)已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N 两点.(1)求k 的取值范围;(2)若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,其中O 为坐标原点,求|MN|. 【解析】(1)由题设,可知直线l 的方程为y=kx+1.因为l 与C 交于两点, 所以√1+k <1.解得4-√73<k<4+√73. 所以k 的取值范围为(4-√73,4+√73). (2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k 2)x 2-4(1+k)x+7=0.所以x 1+x 2=4(1+k )1+k 2,x 1x 2=71+k 2.OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =(1+k 2)x 1x 2+k(x 1+x 2)+1=4k (1+k )1+k 2+8. 由题设可得4k (1+k )1+k 2+8=12,解得k=1,所以l 的方程为y=x+1.故圆心C 在l 上,所以|MN|=2.2.(2015·广东·理T20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.【解析】(1)由x 2+y 2-6x+5=0,得(x-3)2+y 2=4,从而可知圆C 1的圆心坐标为(3,0).(2)设线段AB 的中点M(x,y),由弦的性质可知C 1M ⊥AB,即C 1M ⊥OM.故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆,该圆的圆心为C (32,0),半径r=12|OC 1|=12×3=32,其方程为(x -32)2+y 2=(32)2,即x 2+y 2-3x=0.又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内,所以√(x -3)2+y 2<2.又x 2+y 2-3x=0,所以可得x>53.易知x≤3,所以53<x≤3. 所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0(53<x ≤3).(3)存在实数k 满足题意. 由(2)知点M 的轨迹是以C (32,0)为圆心,32为半径的圆弧EF ⏜(如图所示,不包括两个端点),且E (53,2√53),F (53,-2√53). 又直线L:y=k(x-4)过定点D(4,0),当直线L 与圆C 相切时,由|k (32-4)-0|√k +1=32,得k=±34. 又k DE =-k DF =-0-(-2√53)4-53=2√5,结合上图可知当k ∈{-3,3}∪[-2√5,2√5]时,直线L:y=k(x-4)与曲线C 只有一个交点.3.(2014·全国1·文T20)已知点P(2,2),圆C:x 2+y 2-8y=0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A,B 两点,线段AB 的中点为M,O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l 的方程及△POM 的面积.【解析】设M(x,y),则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y-4),MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x,2-y). 由题设知CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心,√2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM. 因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为-13,故l 的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=2√2,O 到l 的距离为4√105,|PM|=4√105,所以△POM 的面积为165.4.(2013·江苏·T17)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C 的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.【解析】(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在. 设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意,√k+1=1,解得k=0或k=-34,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点M(x,y),因为MA=2MO,所以√x2+(y-3)2=2√x2+y2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1, 即1≤√a2+(2a-3)2≤3.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤125.所以点C的横坐标a的取值范围为[0,125].。

高考理科数学2010—2018真题分类专题九解析几何第二十五讲直线与圆(带答案)

专题九解析几何第二十五讲直线与圆一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C．D．2．(2018天津)已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,32⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为．3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABC．3D ．135．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．3 B． CD ．26．（2015山东）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为 A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 7．（2015广东）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y +=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y -=8．（2015新课标2）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =A ．26B ．8C ．46D ．109．（2015重庆）已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝A ．2B ．C ．6D ．10．（2014新课标2）设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．⎡⎣ D ．⎡⎢⎣⎦11．（2014福建）已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+= 12．（2014北京）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．413．（2014湖南）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =A ．21B ．19C ．9D ．11-14．（2014安徽）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]60π，（ B ．]30π，（ C ．]60[π， D ．]30[π， 15．（2014浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－816．（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．17．（2014江西）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π18．（2013山东）过点(3，1)作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=19．（2013重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A ．4B 1C ．6- D20．（2013安徽）直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．21．（2013新课标2）已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，直线y ax b =+(0)a >将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．113⎛⎤- ⎥ ⎦⎝D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭22．（2013陕西）已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定23．（2013天津）已知过点P (2，2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =A ．12-B ．1C ．2D ．1224．（2013广东）垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=25．（2013新课标2）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为A ．1y x =-或1y x =-+B ．(1)3y x =-或1)3y x =--C ．1)y x =-或1)y x =-D ．(1)2y x =-或1)2y x =-- 26．（2012浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1[1+3,+)-∞∞C ．[2-D ．(,2[2+22,+)-∞-∞28．（2012湖北）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +…分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=29．（2012天津）在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于A ．B ．CD ．130．（2011北京）已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为 A ．4B ．3C ．2D ．131．（2011江西）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(B ．(0)(0C ．[D ．(-∞，- ，+∞) 32．（2010福建）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A ．22++2=0x y xB ．22++=0x y xC ．22+y =0x x -D ．22+2=0x y x -33．（2010广东）若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y +=B ．22(5x y +=C ．22(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++= 二、填空题34．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为．35．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是．36．（2015湖北）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）37．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为．38．（2014重庆）已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________．39．（2014湖北）直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________．40．（2014山东）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为．41．（2014陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为____．42．（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．43．（2014湖北）已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则（Ⅰ）b = ；（Ⅱ）λ= .44．（2013浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________. 45．（2013湖北）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=(π02θ<<)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .46．（2012北京）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 .47．（2011浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =__． 48．(2011辽宁)已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__． 49．(2010新课标)圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为． 50．(2010新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线0x y -=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为．三、解答题51．(2016年全国I)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．52．(2014江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO ．（I ）求新桥BC 的长；（II ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？53．（2013江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C的半径为1，圆心在l 上.（I ）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（II ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 54．(2013新课标2)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为在y轴上截得线段长为（I ）求圆心P 的轨迹方程；（II ）若P 点到直线y x =P 的方程． 55．（2011新课标）在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a-+=交于A ，B 两点，且,OAOB ⊥求a 的值．56．（2010北京）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，直线y t =椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ,圆心为P ．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设(,)Q x y 是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．专题九解析几何第二十五讲直线与圆答案部分1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d == 所以点P到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB = 所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ． 2．12【解析】直线的普通方程为20x y +-=，圆的标准方程为22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为1，点C 到直线20x y +-=的距离2d ==，所以||AB ==，所以1122ABC S ∆==． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=sin ϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d1=+，∴当0m=时，d取得最大值3，故选C．4．A【解析】以线段12A A为直径的圆是222x y a+=，直线20bx ay ab-+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a==，整理为223a b=，即()22222323a a c a c=-⇒=，即2223ca=，cea==，故选A．5．A【解析】如图建立直角坐标系，x则(0,1)A，(0,0)B，(2,1)D，(,)Px y所以圆的方程为224(2)5x y-+=，所以(,1)AP x y=-，(0,1)AB=-，(2,0)AD=，由AP AB ADλμ=+，得21xyμλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy-+，设12xz y=-+，即102xy z-+-=，点(,)P x y在圆上，所以圆心到直线102xy z-+-=的距离小于半径，≤，解得13z≤≤，所以z的最大值为3，即λμ+的最大值为3，选A．6．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，则1d ==，|55|k +=43k =-或34-．7．A 【解析】设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c，则=，所以c =250x y ++=或250x y +-=．8．C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-，所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x =，得24200y y +-=，设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以12||||MN y y =-==9．C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===．选C ．10．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在R t O M N '∆中，sin OMN '∠=<，则45OMN '∠<，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =合题意，排除C ，故选A ．11．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=．12．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．13．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r =1212||15C C r r =+==，所以9m =．14．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．15．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d == 所以2422r a =+=-，故4a =-16．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+∈．故选B ．17．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 18．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-． 19．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=，故选A ．20．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d =，半径r =，所以最后弦长为4=.21．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =，（2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令1112A BD S ∆=得212b a b=-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+,∵0a >,∴22410b b -+<，解得1122b -<<+综上：112b <<，选B 22．B 【解析】点M(a ,b )在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离1d =<=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．23．C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)==12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-，即2a =，选C ． 24．A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =25．C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF |=3|BF |，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时1y ==±1y =1(3,(,)33A B -,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-。

高考数学试题分项版解析专题09 直线与圆(学生版) 理

高考数学试题分项版解析专题09 直线与圆（学生版）理09 直线与圆一、选择题: 1．(2012年高考浙江卷理科3)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2012年高考江西卷理科7)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222PA PBPC +=（）A ．2B ．4C ．5D ．105.(2012年高考重庆卷理科3)对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是( )A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心二、填空题:1. （2012年高考江苏卷12）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是．2．(2012年高考浙江卷理科16)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________．3．(2012年高考上海卷理科4)若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.三、解答题:2.(2012年高考新课标全国卷理科20)（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心， FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.。

历届高考数学真题汇编专题9_直线和圆最新模拟_理

【备战2017年】历届高考数学真题汇编专题9 直线和圆最新模拟理1、（2017济南一中模拟）直线1l :kx +(1-k )y -3=0和2l :(k -1)x +(2k +3)y -2=0互相垂直，则k =A. -3或-1B. 3或１C. -3或１D. -1或32、（2017滨州二模）直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点（－2,3），则直线l 的方程为：（A ）x ＋y －3＝0 （B ）x ＋y －1＝0 （C ）x －y ＋5＝0 （D ）x －y －5＝03、（2017德州一模）若直线100ax by (a,b (,))+-=∈+∞平分圆222220x y x y +---=，则12a b+的最小值是( )A ．．3+．2 D ．5 答案：B解析：圆方程化为：（x －1）2＋（y －1）2＝4，圆心坐标为（1,1），因为直线平分圆，所以它必过圆心，因此，有：a ＋b ＝1，12a b +＝121()a b +⨯＝12()(a b )a b ++＝3＋2b a a b+≥3＋3+，故选B 。

4、（2017临沂3月模拟）直线l 过点)04(，且与圆25)2()1(22=-+-y x 交于B A 、两点，如果8=AB ，那么直线l 的方程为____________。

【答案】020125=--y x 或4=x5、（2017临沂二模）设圆222x y +=的切线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于点A B 、，当AB 取最小值时，切线l 的方程为________________。

6、（2017青岛二模）函数y =等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是A ．34B C D 【答案】D【解析】函数等价为0,9)5(22≥=+-y y x ，表示为圆心在)0,5(半径为3的上半圆，圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列，则最大的公比q 应有228q =，即2,42==q q ，最小的公比应满足282q =，所以21,412==q q ，所以公比的取值范围为221≤≤q ，所以选D. 7、（2017青岛二模）已知直线y x a =+与圆224x y +=交于A 、B 两点，且0OA OB ⋅=，其中O 为坐标原点，则正实数a 的值为 .8、（2017青岛3月模拟）已知圆222()()x a y b r -+-=的圆心为抛物线24y x =的焦点,且与直线3420x y ++=相切,则该圆的方程为A.2264(1)25x y -+=B.2264(1)25x y +-= C. 22(1)1x y -+= D.22(1)1x y +-=9、（2017日照5月模拟）直线kx y =与函数)10(<<=a a y x 的图象交与A ，B 两点（点B 在A 上方），过B 点做x 轴平行线交函数x b y =图象于C 点，若直线y AC //轴，且3a b =，且A 点纵坐标为 .答案：3.【解析】设A 点的横坐标为)0(00≠x x ，由题意C 点的纵坐标为0xb ，又0033,x x a ba b ==∴B 点横坐标为03x ，又O B A ,,三点共线，3,3000003==∴x x x a x a x a .10、（2017泰安一模）过点A （2，3）且垂直于直线052=-+y x 的直线方程为 A.042=+-y x B.072=-+y x C.032=+-y xD.052=+-y x11、（2017烟台二模）已知倾斜角为α的直线l 与直线x 2y 20-+=平行，则tan 2α的值为A.45B.43C.34D.23答案：B解析：依题意，得：tan α＝12，22tan tan 21tan ααα=-＝1114-＝43。

2010-2019“十年高考”数学真题分类汇总直线与圆 (可下载)

2010-2019“十年高考”数学真题分类汇总解析几何——直线与圆（附详细答案解析）1.（2019北京文8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β。

图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β（B ）4β+4sin β（C ）2β+2cos β（D ）2β+2sin β【答案】（B）.【解析】由题意和题图可知，当P 为优弧 AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，设圆心为O ，2AOB β∠=，()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-.此时阴影部分面积BOP AOP AOB S S S S ∆∆++=扇形()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=βπβsin 2221222212ββsin 44+=.故选B.2.（2019北京文11）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】()2214x y -+=.【解析】24y x =的焦点为()1,0，准线为1x =-，故符合条件的圆为()2214x y -+=.3.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当︒<∠90OBP 时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当︒≥∠90OBP 时，对线段PB 上任意一点F ，OB OF ≥，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ==此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，∴直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+- .在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+4.（2019浙江12）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r 。

高三高考数学总复习《直线与圆》题型归纳与汇总

高考数学总复习题型分类汇《直线与圆》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一倾斜角与斜率 (3)题型二直线方程 (3)题型三直线位置关系的判断 (4)题型四对称与直线恒过定点问题 (4)题型五圆的方程 (5)题型六直线、圆的综合问题 (6)【巩固训练】题型一倾斜角与斜率 (7)题型二直线方程 (8)题型三直线位置关系的判断 (9)题型四对称与直线恒过定点问题 (10)题型五圆的方程 (11)题型六直线、圆的综合问题 (12)高考数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 的方程为310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α．故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值.【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35a k a k CB AB +=-= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y =【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m+=，代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。

高考理科数学专题九解析几何第二十五讲直线与圆答案

专题九解析几何第二十五讲直线与圆答案部分1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离222d == 所以点P 到直线的距离1[2,32]d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||22AB =所以ABP ∆的面积111||22S AB d d ==．因为1[2,32]d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ． 2．12【解析】直线的普通方程为20x y +-=，圆的标准方程为22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为1，点C 到直线20x y +-=的距离222d ==，所以22||21()22AB =-，所以121222ABC S ∆==． 3．C 【解析】由题意可得2211d m m ==++221sin(1m m +==+（其中2cos 1m ϕ=+2sin 1m ϕ=+），∵1sin()1θϕ--≤≤,∴22211m d m +++22221111m m m ++=++∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ．4．A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离22d a a b ==+，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a = ，6c e a ==，故选A ．5．A 【解析】如图建立直角坐标系，y xPABCD则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)P x y 5所以圆的方程为224(2)5x y -+=，所以(,1)AP x y =-，(0,1)AB =-，(2,0)AD =，由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=，点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，1514+，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3，即λμ+的最大值为3，选A ．6．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，则211d k ==+，2|55|1k k +=+43k =-或34-．7．A 【解析】设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c 22521=+，所以5c =±线的方程为250x y ++=或250x y +-=．8．C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-，所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x =，得24200y y +-=，设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以2121212||||()446MN y y y y y y =-=+-9．C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，2222(42)(11)46AB AC r =-=--+---．选C ．10．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M 的坐标为(2,1)时，3OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在Rt OMN '∆中，32sin OMN '∠=<，则45OMN '∠<，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即02x C ，故选A ．11．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=．12．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m 为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ． 13．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,25r r m ==- 1212||1255C C r r m =+=-=，所以9m =．14．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．15．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离211d ==+ 所以2422r a =+=-，故4a =-16．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠102)4PAB π=∠+10,25]∈．故选B ．17．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时25r =，得5r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==．18．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-．19．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－42223344524(-)+(--)=，故选A ．20．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离1+4-5+55d =，半径5r =，所以最后弦长为222(5)14-=.21．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =，（2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令1112A BD S ∆=得212b a b=-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+,∵0a >,∴22410b b -+<，解得2211b <<+y x A 1D 2D 1A 2③②①y=ax+bD OABC综上：21122b -<<，选B 22．B 【解析】点M(a , b )在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离221d a b=<+=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．23．C 【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)到直线22251k k k +-=+2251kk -=+12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-，即2a =，选C ． 24．A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得2k =25．C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF |=3|BF |，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时11223y =±=±，若123y =1233),(,3A B , 此时3AB k =此时直线方程为3(1)y x =-。

理科数学高考真题分类汇编第二十五讲直线与圆答案

专题九解析几何第二十五讲直线与圆答案部分1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d == 所以点P到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB = 所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ． 2．12【解析】直线的普通方程为20x y +-=，圆的标准方程为22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为1，点C 到直线20x y +-=的距离2d ==以||AB ==11222ABC S ∆==． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=），∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ．4．A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，c e a ==，故选A ．5．A 【解析】如图建立直角坐标系，x则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)Px y 所以圆的方程为224(2)5x y -+=，所以(,1)AP x y =-，(0,1)AB =-，(2,0)AD =，由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=，点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3，即λμ+的最大值为3，选A ．6．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，则1d==，|55|k +=43k =-或34-．7．A 【解析】设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c，则=，所以c =250x y ++=或250x y +-=．8．C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-，所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x =，得24200y y +-=，设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以12||||MN y y =-==9．C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===．选C ．10．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在R t O M N '∆中，sin 32OMN '∠=<，则45OMN '∠<，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =合题意，排除C ，故选A ．11．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=． 12．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ． 13．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C，121,r r ==1212||15C C r r =+==，所以9m =．14．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．15．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d == 所以2422r a =+=-，故4a =-16．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+∈．故选B ．17．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 18．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-． 19．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=，故选A ．20．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离=1d =，半径r =，所以最后弦长为4=.21．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =，（2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令1112A BD S ∆=得212b a b =-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+,∵0a >, ∴22410b b -+<，解得1122b -<<+综上：1122b -<<，选B 22．B 【解析】点M(a ,b )在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离1d =<=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．23．C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)==12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-，即2a =，选C ． 24．A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =25．C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF |=3|BF |，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时1y ==±1y =1(3,(,33A B -,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-。

专题九解析几何第二十五讲椭圆十年高考数学(文科)真题题型分类汇编

专题九分析几何第二十五讲椭圆2019年1.（2019 全国2的直线与C 交于A ，B1文12）已知椭圆C 的焦点为F 1(1,0),F 2(1,0)，过F两点若|AF 2| 2|F 2B|，|AB||BF 1|，则C 的方程为.A ．x 2y 21 B ．x 2y 21C ．x 2y 21 D ．x 2y 2123 24 3542.（2019 全国 II 文 2 x 2y 21的一个焦点，则9）若抛物线y=2px （p>0）的焦点是椭圆p3pp=A ．2B ．3C ．4D ．83.（2019x 2y 21的右焦点为 (1,0)，且经过点 A(0,1)．北京文19）已知椭圆C: 2 b 2 a（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线l:ykx t(t1)与椭圆C 交于两个不一样点 P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM|·|ON|=2，求证：直线 l 经过定点．4.（2019江苏16）如图，在平面直角坐标系 x 2 y 21(a b 0)的焦点 xOy 中，椭圆C:b 2a 2为F （–1、0），F （1，0）．过F 作x 轴的垂线l ，在x轴的上方，l 与圆F:(x 2 y 2 4a 2 1 2 2 2 1) 交于点A ，与椭圆 1并延伸交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1= 5． 2（ 1）求椭圆C 的标准方程；2）求点E 的坐标．5.（2019 浙江15）已知椭圆x 2y 21的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，9 5若线段PF 的中点在以原点 O 为圆心， OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.6.（2019 全国II 文20）已知F 1,F 2是椭圆C: x 2y 2b0)的两个焦点，P 为C上a 2 21(ab一点，O 为坐标原点．（1）若△POF 2为等边三角形，求 C 的离心率；（2）假如存在点 P ，使得PF 1 PF 2，且△F 1PF 2 的面积等于 16，求b 的值和a 的取值范围.7.（2019 天津文 19）设椭圆 x 2y 21(ab 0)的左焦点为F ，左极点为A ，极点为 a 2 b 2B.已知 3|OA| 2|OB|（O 为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为3的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C同时与x 轴和 4直线l 相切，圆心C 在直线x 4上，且OC∥AP，求椭圆的方程.x 2+ y 21的两个焦点，M 为C 上一点且在第一 8.(2019全国III 文15）设F 1，F 2为椭圆C:20 36象限.若△MF 1F 2为等腰三角形，则 M 的坐标为___________.9.（2019 北京文 19）已知椭圆C: x 2y 21 的右焦点为(1,0)，且经过点 A(0,1)． a 2 b 2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线l :yk x t(t1)与椭圆C 交于两个不一样点 P ，Q ，直线 A P 与x轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点．2010-2019年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x2y 21 的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为a 241 1 C ．2 2 2A ．B ． D ． 33 2 22．(2018全国卷Ⅱ)已知F 1 ，F 2是椭圆C 的两个焦点， P 是C 上的一点，若 PF 1 PF 2，且PF 2F 160 ，则C 的离心率为3 B ．23C ．3 1D ．31A ．1223．(2018上海)设P 是椭圆x 2y 2P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为5 1上的动点，则3A ．22B ．23C ．25D ．42x 2y 21的离心率是4．（2017浙江）椭圆4913 52D ．5A ．B ．C ．93335．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆 x 2y 21(ab 0)的左、右极点分别为 A 1，A 2，C ：b 2a 2且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx a y 2ab0相切，则C 的离心率为 6 B ．3C ．2 1A ．33 D ．33x 2y 21长轴的两个端点，若C 上存在点M6．（2017新课标Ⅰ）设A 、B 是椭圆C ：m3知足AMB =120°，则m的取值范围是A ．(0,1][9,)B．(0,3][9,)C．(0,1 ][4,)D．(0,3][4,)7．（2016年全国I卷）直线l经过椭圆的一个极点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的1，则该椭圆的离心率为14123A．B．C．323D．48．（2016年全国IIIx2y21(a b0)的左焦卷）已知O为坐标原点，F是椭圆C：b2a2点，A，B分别为C的左，右极点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为A．1B．1C．2D．332349．（2015新课标1）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为1，E的右焦点与抛物线C：2y28x的焦点重合，A、B是C的准线与E的两个交点，则ABA．3B．6C．9D．1210．（2015广东）已知椭圆x2y21（m0）的左焦点为F14,0，则m 25m2A．2B．3C．4D．9x2y21(a b 0)的右焦点为F．短轴的一个端点为M，11．（2015福建）已知椭圆E:22a b直线l:3x4y 0交椭圆E于A,B两点．若AF BF4，点M到直线l的距离不小于4，则椭圆E的离心率的取值范围是5A．(0,3]B．(0,3]C．[3,1)D．[3,1)242422 x 22 上的点，则P,Q 两点间． (2014福建 ) 设 P,Q 分别为x y 6 2和椭圆 y 11210的最大距离是A ．52B ．462C ．72D ．62x2y21(a b 0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交13．（2013新课标1）已知椭圆b2a2椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝1A．45363627271818914．（2013广东）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于1，则C的方2程是x2y2x2y21C．x2y21x2y21A．1B．342D．3344415．(20 12新课标)设F1、F2是椭圆Ex2y21(a b0)的左、右焦点，P为直线：2b2ax3a 上一点，F2PF1是底角为30o的等腰三角形，则E的离心率为212C、34A、B、4D、235二、填空题16．(2018浙江)已知点P(0,1)，椭圆x2y2m(m 1)上两点A，B知足AP2PB，4则当m=___时，点B横坐标的绝对值最大．17．（2015浙江）椭圆x2y21（ab 0）的右焦点Fc,0对于直线y b x的对称a2b2c 点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．1的直线与椭圆C x2y21(a b0)订交18．（2014江西）过点M(1,1)作斜率为：b22a2于A,B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．19．（2014辽宁）已知椭圆C：x2y2M对于C的焦91，点M与C的焦点不重合，若4点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN||BN|．2220．（2014江西）设椭圆C:x2y21ab0的左右焦点为F1，F2，作F2作x轴的垂a b线与C交于A，B两点，F1B与y轴订交于点D，若AD F1B，则椭圆C的离心率等于________．21．（2014安徽）设F1,F2分别是椭圆E:x2y21(0b1)的左、右焦点，过点F1的b2直线交椭圆E于A,B两点，若AF13BF1,AF2x轴，则椭圆E的方程为____．22．（2013福建）椭圆x2y21(a b0)的左、右焦点分别为F1,F2，焦距为2c．若:b2a2直线y3x c与椭圆的一个交点M知足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于．23．（2012江西）椭圆x2y21(a b0)的左、右极点分别是A,B，左、右焦点分别a2b2是F1,F2．若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．24．（20 11浙江）设F1,F2分别为椭圆x2y21的左、右焦点，点A,B在椭圆上，若3F1A5F2B；则点A的坐标是．三、解答题25．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C1，焦点过点(3,)2F1(3,0),F2(3,0)，圆O的直径为F1F2．yF1OF2x(1)求椭圆C及圆O的方程；(2 )设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l 与椭圆C 交于A,B 两点．若△OAB的面积为2 6，求直线l 的方程．726．（2018全国卷Ⅲ）已知斜率为x 2y 21 交于A ，B 两点．线段 k 的直线l 与椭圆C ：34 AB 的中点为M(1,m)(m 0)． (1)证明：k 1；2(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FPFA FB 0．证明： 2|FP||FA||FB|．2 26，焦距为22．斜 27．（2018北京）已知椭圆M:x 2 y21(ab 0)的离心率为 a b3 率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不一样的交点 A ，B ．求椭圆M 的方程；若k1，求|AB|的最大值；(3)设P(2,0)，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M的另一个交点为D ．若C ，D 和点Q(7,1) 共线，求k ．4 2x 2 y 2 1(a b 0)的右极点为A ，上极点为B ．已知椭圆的离 28．（2018天津）设椭圆b 2 a 2心率为5，|AB| 13．3(1)求椭圆的方程；(2)设直线l:ykx(k0)与椭圆交于P,Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值． 29．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x2y 21上，过M 做x 轴2的垂线，垂足为N ，点P 知足NP 2NM ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x3上，且OPPQ1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C的左焦点F．x2y21(a b0)的左焦点为F(c,0)，右极点为A，点E30．（2017天津）已知椭圆b2a2的坐标为(0,c)，△EFA的面积为b2．2（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设点Q在线段AE上，|FQ|3c，延伸线段FQ与椭圆交于点P，点M，N 2在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM 的面积为3c．i）求直线FP的斜率；ii）求椭圆的方程．x2y231．（2017山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:a2b21(ab0)的离心率为2，椭圆C截直线y 1所得线段的长度为22．2(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)动直线l：ykx m(m0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M对于O的对称点，N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与N分别相切于点E，F，求EDF的最小值．ylMBADxOFEN32．（2017北京）已知椭圆C的两个极点分别为A(2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为3．2（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不一样的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：BDE 与BDN的面积之比为4:5．33．（2017江苏）如图，在平面直角坐标系x2y21(a b0)的左、xOy中，椭圆E：2b2a右焦点分别为F1，F2，离心率为1，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位2于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．34．（2016年北京）已知椭圆x2y21过A(2,0)，B(0,1)两点．C：b2a2（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．x2y2kk＞0的直线35．（2016年全国II卷）已知A是椭圆E：1的左极点，斜率为43交E与A，M两点，点N在E上，MA NA.（Ⅰ）当AM AN时，求AMN的面积；（Ⅱ）当AM AN时，证明：3k 2.x2y21(ab0)的长轴长为4，焦距为2．36．（2016年山东）已知椭圆C：b2a2（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过动点M(0，m)(m>0)的直线交且M是线段PN的中点．过点交C于点B．x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，P作x轴的垂线交C于另一点Q，延伸线QM(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明k为定值；k(ii)求直线AB的斜率的最小值．37．（20 16x2y23）的右焦点为F，右极点为A，已知年天津）设椭圆1（aa23113e |OF|，此中O为原点，e为椭圆的离心率.|OA||FA|（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF HF，且MOA MAO，求直线的l斜率.38．（2015新课标2）已知椭圆C：x2y21(a b0)的离心率为2，点(2,2)a2b22在C上．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）直线l可是原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．x2y21(ab 0)的上极点为B，左焦点为F，离心率为39．（2015天津）已知椭圆b2a25．5（Ⅰ）求直线BF的斜率；（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），故点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与y轴交于点M，|PM|=|MQ|．i）求的值；（ii）若|PM|sinBQP=75，求椭圆的方程．940．（2015陕西）如图，椭圆E ：x2y 21（a>b>0）经过点A(0,1)，且离心率为2．a 2b 22（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不一样的两点 P,Q （均异于点A ），证明：直线 AP 与AQ 的斜率之和为2．x 2 y 21（a>b>0）的左、右焦点分别为 F 1,F 2，且过F 2的 41．(2015重庆)如图，椭圆b 2a 2直线交椭圆于 P,Q 两点，且PQ PF 1．（Ⅰ）若PF 1 22|，PF 2 2 2|，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PQPF 1，且 3 ≤ ≤4 ，试确立椭圆离心率e 的取值范围． 4 342．(2014新课标1)已知点A(0,2)，椭圆E ：x2 y 23，2 21(ab0)的离心率为a b2F 是椭圆E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 3，O 为坐标原点．3（Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 订交于P,Q 两点，当 OPQ 的面积最大时，求l 的方程．43．(2014浙江)如图，设椭圆C:x2 y 22 21ab0,动直线l 与椭圆C 只有一个公共点a bP，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a,b,k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l 1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab．yl1PO xl44．（2014新课标2）设F1，F2分别是椭圆C：x2y21ab0的左，右焦点，Mb2a2是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（Ⅰ）若直线MN的斜率为3，求C的离心率；4（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN5F1N，求a,b．x2y21(ab0)的左、右焦点，过点F1 45．（2014安徽）设F1,F2分别是椭圆E：b2a2的直线交椭圆E于A,B两点，|AF1|3|BF1|（Ⅰ）若|AB|4,ABF2的周长为16，求|AF2|；（Ⅱ）若cos3，求椭圆E的离心率．AF2B52246（．2014山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y21(a b0)的离心率为3，a b2直线yx被椭圆C截得的线段长为410．5（Ｉ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的极点）．点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．(ⅰ)设直线BD，AM的斜率分别为k1,k2，证明存在常数使得k1k2，并求出的值；(ⅱ)求OMN面积的最大值．47．（2014湖南）如图5，O为坐标原点，双曲线C1:x2y21(a10,b10)和椭圆a12b12C2:x2y21(a2b20)均过点P(23,1)，且以C1的两个极点和C2的两个a22b223焦点为极点的四边形是面积为2的正方形．（Ｉ）求C1,C2的方程；（Ⅱ）能否存在直线l，使得l与C1交于A,B两点，与C2只有一个公共点，且|OAOB||AB|？证明你的结论．x2y248．（2014四川）已知椭圆C：a2b21（a b 0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点组成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上随意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．i）证明：OT均分线段PQ（此中O为坐标原点）；（ii）当|TF|最小时，求点T的坐标．|PQ|492013C:221(ab0)的焦距为4，且过点P(2，3).．（安徽）已知椭圆x2y2a b（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设Q(x 0,y 0)(x 0y 0 0)为椭圆C 上一点，过点 Q 作x 轴的垂线，垂足为E ．取点A(0,22),连结AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 对于 y 轴的对称点，作直线 QG ，问这样作出的直线 QG 能否与椭圆C 必定有独一的公共点？并说明原因.50．（2013湖北）如图，已知椭圆 C 1与C 2的中心在座标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为 2m ，2n(mn)，过原点且不与 x 轴重合的直线l 与C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小挨次为A ，B ，C ，D ．记m，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1n 和S 2．（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若S 1 S 2，求的值；（Ⅱ）当变化时，能否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1 S 2？并说明原因． 51．(2013天津)设椭圆x2y 21(ab0)的左焦点为F ，离心率为3，过点F 且与x a 2 b 23 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 4 3．3(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设A ，B 分别为椭圆的左、右极点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D两点．若AC·DB AD·CB8，求k 的值．x 2 y 23 ， 52．（2013山东）椭圆C: b 21(ab0)的左、右焦点分别是1 2，离心率为2 a 2 F,F过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连结PF 1,PF 2．设F 1PF 2的角均分线PM 交C 的长轴于点M m,0，求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2，若k011，试证明kk为定kk12值，并求出这个定值．a2b21(ab0)的一个极点为A(2,0)，离心率为53．（2012北京）已知椭圆C:x2y2直线y k(x 1）与椭圆C交于不一样的两点M,N.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN得面积为10时，求k的值.3x2+y2=1（a b0）的左、右焦点，54．（2013安徽）如图，F1,F2分别是椭圆C：2b2a是椭圆C的极点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF2=60°．yAO F2xF1B 2. 2A（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）已知△AF1B的面积为403，求a,b的值．．（2012广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2y21(ab0)的离心55a2b2率e 2C Q(0,2)的距离的最大值为3，且椭圆上的点到．3（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C上，能否存在点M(m,n)使得直线l：mxny 1与圆O：x2y21订交于不一样的两点A,B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明原因．56．（2011陕西）设椭圆C:x2y21a b0过点(0，4)，离心率为3．a2b25（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点(3，0)且斜率为4的直线被C所截线段的中点坐标．557．（2011山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2y21．如下图，斜率为3k(k＞0)且可是原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x 3于点D(3,m)．（Ⅰ）求m2k2的最小值；（Ⅱ）若OG 2OD?OE，（i）求证：直线l过定点；（ii）试问点B，G可否对于x轴对称？若能，求出此时ABG的外接圆方程；若不可以，请说明原因．yDA lGEx-3OB58．（2010新课标）设F1,F2分别是椭圆2E：x+y2b2=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过F1的直线l与E订交于A、B两点，且AF2，AB，BF2成等差数列．（Ⅰ）求AB；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．x2y259．（2010辽宁）设椭圆C：2b 21(ab0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆Ca订交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o，AF2FB．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）假如|AB|=15，求椭圆C的方程．4。

2010-2019十年高考数学(理)真题专题9解析几何第26讲椭圆分类汇编

专题九解析几何第二十六讲椭圆2019年1．（2019全国I 理10）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F ()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B ，1||||AB BF ，则C 的方程为A ．2212x yB ．22132x y C ．22143x y D ．22154x y 2.（2019全国II 理21（1））已知点A(-2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为-12.记M 的轨迹为曲线C.（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；3.（2019北京理4）已知椭圆222210xy a b ab的离心率为12，则（A ）22.2a b （B ）22.34ab （C ）2ab（D ）34ab4.（2019全国III 理15）设为椭圆C :的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M 的坐标为___________.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆22221(0)：x y C a bab的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，12△PF F 为等腰三角形，12120F F P，则C 的离心率为12F F ，22+13620xy12MF F △A ．23B ．12C ．13D ．142．(2018上海)设P 是椭圆22153xy上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A ．22B ．23C ．25D ．423．（2017浙江）椭圆22194xy的离心率是A ．133B ．53C ．23D ．594．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y abab的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab相切，则C 的离心率为A ．63B ．33C ．23D ．135．(2016年全国III)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b ab的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．23D ．346．(2016年浙江)已知椭圆1C ：2221xym(1m)与双曲线2C ：2221x yn(0n )的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则A ．m n 且121e e B ．m n 且121e e C ．mn 且121e e D ．mn 且121e e 7．(2014福建)设Q P,分别为2622y x 和椭圆11022yx上的点，则Q P,两点间的最大距离是A ．25B ．246C ．27D ．268．（2013新课标1）已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A ．x 245＋y236＝1B ．x 236＋y227＝1C ．x 227＋y218＝1D ．x 218＋y29＝19．(2012新课标)设1F 、2F 是椭圆E ：)0(12222b a by ax 的左、右焦点，P 为直线23ax上一点，12PF F 是底角为o30的等腰三角形，则E 的离心率为A 、21B 、32C 、43D 、54二、填空题10．(2018浙江)已知点(0,1)P ，椭圆224xym (1m )上两点A ，B 满足2AP PB ，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．11．(2018北京)已知椭圆22221(0)xy M a bab：，双曲线22221xy N mn：．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．12．(2016江苏省)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆222210x y a b ab的右焦点，直线2b y与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ，则该椭圆的离心率是．13．（2015新课标1）一个圆经过椭圆221164xy的三个顶点，且圆心在x 的正半轴上，则该圆的标准方程为_________．F CBOyx14．（2014江西）过点(1,1)M 作斜率为12的直线与椭圆C ：22221(0)x y ab ab相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于．15．（2014辽宁）已知椭圆C ：22194xy，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN ．16．（2014江西）设椭圆01:2222ba by ax C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ，两点，B F 1与y 轴相交于点D ，若B F AD1，则椭圆C 的离心率等于________．17．（2014安徽）设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为_____．18．（2013福建）椭圆的左、右焦点分别为，焦距为．若直线3y x c 与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于19．（2012江西）椭圆22221(0)x y a b ab的左、右顶点分别是,A B ，左、右焦点分别是12,F F ．若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．20．（2011浙江）设12,F F 分别为椭圆2213xy的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B ；则点A 的坐标是．三、解答题21．（2018全国卷Ⅰ）设椭圆:C 2212xy的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．21,F F )10(1:222b by xE 1F E B A,x AF BF AF 211,3E )0(1:2222ba by ax 21,F F c 2M 12212F MF F MF(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：OMAOMB ．22．（2018全国卷Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22143xy交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m．(1)证明：12k；(2)设F 为C 的右焦点，P 为上一点，且FP FA FB 0．证明：||FA ，||FP ，||FB 成等差数列，并求该数列的公差．23．(2018天津)设椭圆22221xx ab(0ab )的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(,0)b ，且62FB AB ．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：(0)y kx k 与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若52sin 4AQ AOQ PQ(O 为原点) ，求k 的值．24．（2017新课标Ⅰ）已知椭圆C ：22221(0)x y a bab，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，33(1,)2P ，43(1,)2P 中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1，证明：l 过定点．25．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212xy上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NPNM ．（1）求点P 的轨迹方程；C（2）设点Q 在直线3x 上，且1OP PQ ．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．26．（2017江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b ab的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．27．（2017天津）设椭圆22221(0)x y a bab的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)ypx p 的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD△的面积为62，求直线AP 的方程．28．（2017山东）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程；xOy E 22221xy a b0a b222E（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为．求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率．29．(2016年北京)已知椭圆C ：22221(0)xy a b ab的离心率为32，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM 为定值．30．(2015新课标2）已知椭圆C ：2229xym (0m)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3m m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．31．（2015北京）已知椭圆C ：222210xy a b ab的离心率为22，点01P ，和点A m n，l 132yk xE ,A B C E OC2k 1224k k M OC :2:3MC ABM MC ,OS OT M ,S T SOT l C TS OM BAlxy0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQMONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．32．（2015安徽）设椭圆E 的方程为222210x y a bab，点O 为坐标原点，点A 的坐标为0a ，，点B 的坐标为0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA ，直线OM 的斜率为510．（Ⅰ）求E 的离心率e ；（Ⅱ）设点C 的坐标为0b ，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．33．（2015山东）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab的离心率为32，左、右焦点分别是1F 、2F ．以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222144xya b，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线ykx m交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．( i )求||||OQ OP 的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值．34．(2014新课标1) 已知点A (0,2)，椭圆E ：22221(0)x y a b ab的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．（Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求l 的方程．35．(2014浙江)如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限．（Ⅰ）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；（Ⅱ）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为．36．（2014新课标2）设1F ，2F 分别是椭圆C ：222210y x a bab 的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MNF N ，求,a b ．37．（2014安徽）设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b ab的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF （Ⅰ）若2||4,AB ABF 的周长为16，求2||AF ；（Ⅱ）若23cos 5AF B，求椭圆E 的离心率．,01:2222ba by ax C l C P P l k k b a ,,P O 1l l P 1l b a xyPl 1lO38．（2014山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b ab的离心率为32，直线y x 被椭圆C 截得的线段长为4105．（Ｉ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且ADAB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．(ⅰ)设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数使得12k k ，并求出的值；(ⅱ)求OMN 面积的最大值．39．（2014湖南）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)xyC a b a b 和椭圆222222222:1(0)xy C a b a b 均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ｉ）求12,C C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB 证明你的结论．40．（2014四川）已知椭圆C ：22221xy ab（0a b ）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x 上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（ii ）当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标．41．（2013安徽）已知椭圆的焦距为4，且过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为．取点,连接，过点作的垂线交轴于点．点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．42．（2013湖北）如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记，△和△的面积分别为和．（Ⅰ）当直线与轴重合时，若，求的值；（Ⅱ）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得？并说明理由．43．(2013天津)设椭圆的左焦点为F ，离心率为，过点F 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．(Ⅰ) 求椭圆的方程；2222:1(0)x y C a bab(23)P ，0000(,)(0)Q x y x y C Q x E (0,22)A AE A AE x D G D y QG QG 1C 2C O MN x 2m 2()n m n x l 1C 2C m nBDM ABN 1S 2S l y 12S S 12S S 22221(0)x y a b ab33433OxyB A 第20题图C DMN(Ⅱ) 设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D两点．若，求k 的值．44．（2013山东）椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为l ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接．设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点．设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值．45．（2012北京）已知椭圆C :22221(0)x y a b ab的一个顶点为(2,0)A ，离心率为22．直线(1y k x ）与椭圆C 交于不同的两点M,N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当△AMN 得面积为103时，求k 的值．46．（2013安徽）如图，21,F F 分别是椭圆C ：22ax +22by =1（0b a ）的左、右焦点，A是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F A 2F =60°．··8AC DBAD CB2222:1(0)x y C a bab12,F F 321F x C C P C 12,PF PF 12F PF PM C ,0M m m P k l l C 12,PF PF 12,k k 0k1211kk kk x y OAF 1F 2B（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a, b 的值．47．（2012广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab的离心率23e，且椭圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny与圆O ：221xy相交于不同的两点,A B ，且OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB 的面积；若不存在，请说明理由．48．（2011陕西）设椭圆C:222210x y a bab过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．49．（2011山东）在平面直角坐标系中，已知椭圆．如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i ）求证：直线过定点；（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由．xOy 22:13xC y(0)k k ＞l C A B AB E OEC G 3x(3,)D m 22m k 2OG OD OE l B G x ABG50．（2010新课标）设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b=1（01b ）的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列．（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值．51．（2010辽宁）设椭圆C ：22221(0)x y a bab的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o，2AF FB ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=154，求椭圆C 的方程．GxyE-3lBA OD专题九解析几何第二十六讲椭圆答案部分1. 解析如图所示，设2BF x ，则22AF x ，所以23BF ABx .由椭圆定义122BF BF a ，即42xa .又1224AF AF ax ，22AF x ，所以12AF x .因此点A 为椭圆的上顶点，设其坐标为0,b .由222AF BF 可得点B 的坐标为3,22b .因为点B 在椭圆222210x y a bab上，所以291144a.解得23a.又1c ，所以22b.所以椭圆方程为22132xy.故选B.2．解析（1）由题设得1222y y x x，化简得221(||2)42xyx ，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．3. 解析由题意，12c ea，得2214c a，则22214ab a，所以22244aba ，即2234ab ．故选B ．4. 解析设(,)M m n ，,0m n，椭圆C ：22:13620xyC 的6a，25b ，2c ，y xF 2F 1OBA23c ea，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得12||||MF MF ，12MF F △为等腰三角形，可能1||2MF c 或2||2MF c ，即有2683m，即3m，15n；2683m，即30m，舍去．可得(3,15)M .2010-2018年1．D 【解析】由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设12||2F F c ，所以12PF F 为等腰三角形，且12=120F F P ，∴212||||2PF F F c ，∵2||OF c ，∴点P 坐标为(2cos60,2sin 60)c c c ，即点(2,3)P c c ．∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3326c ca，解得14c a．∴14e，故选D ．2．C 【解析】由题意25a，5a ．由椭圆的定义可知，P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为225a，故选C ．3．B 【解析】由题意可知29a，24b，∴2225cab，∴离心率53c ea，选B4．A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222xya ，直线20bxay ab 与圆相切，OyxPF 2F 1A所以圆心到直线的距离222ab da ab，整理为223ab ，即22222323a acac ，即2223c a，63c ea，故选A ．5．A 【解析】设(0,)E m ，则直线AE 的方程为1x y ab，由题意可知(,)mc M c ma，(0,)2m 和(,0)B a 三点共线，则22mcm mma ca，化简得3a c ，则C 的离心率13c ea．故选A ．6．A 【解析】由题意知2211mn ，即222m n ，222221222221111()2mn n n e e m nnn 4242422111122nnnnnn，所以121e e ．故选A ．7．D 【解析】由题意可设(10cos ,sin)Q ，圆的圆心坐标为(0,6)C ，圆心到Q 的距离为2222||(10cos )(sin 6)509(sin )50523CQ ≤，当且仅当2sin3时取等号，所以max max||||52262PQ CQ r ≤，所以QP,两点间的最大距离是62．8．D 【解析】设，则=2，=－2，①②①－②得，∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴椭圆方程为，故选 D.1122(,),(,)A x y B x y 12x x 12y y 2211221x y ab2222221x y ab1212121222()()()()0x x x x y y y y abAB k 1212y y x x 212212()()b x x a y y 22b aABk 01311222b a122c 22a b 2b 2a 221189xy9．C 【解析】是底角为的等腰三角形221332()224c PF F F a c c ea10．5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2APPB ，得1212212(1)x x y y ，即122x x ，1232y y ．因为点A ，B 在椭圆上，所以222222224(3)44x x mx y m，得21344y m ，所以2222221591(32)(5)444244xm y mmm ≤，所以当5m时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2．11．312；【解析】设椭圆的右焦点为(,0)F c ，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知3(,)22c cA ，由点A 在椭圆M 上得，22223144cca b，∴22222234b c a c a b ，222b ac ，∴22222222()34()ac ca ca ac ，∴4224480a a cc，∴428+40e e 椭椭，∴2423e 椭，∴31e 椭（舍去）或31e 椭，∴椭圆M 的离心率31，∵双曲线的渐近线过点3(,)22ccA ，渐近线方程为3yx ，故双曲线的离心率2222mne m双．12．63【解析】由题意得,0F c ，直线2b y 与椭圆方程联立可得3,22a bB，3,22a bC，21F PF 30yxAFO由90BFC可得0BF CF，3,22a b BFc ，3,22a b CFc，则22231044ca b，由222b ac 可得223142ca ，则2633c ea．13．22325()24xy【解析】由题意圆过(4,0),(0,2),(0,2)-三个点，设圆心为(,0)a ，其中0a >，由244a a，解得32a =，所以圆的方程为22325()24xy．14．22【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，分别代入椭圆方程相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y ab，根据题意有12122,2x x y y ，且121212y y x x ，所以22221()02ab，得222ab ，整理222ac ，所以22e．15．12【解析】设MN 交椭圆于点P ，连接1F P 和2F P ，利用中位线定理可得AN BN122222412F PF Paa ．16．33【解析】由题意可得2(,)bA c a，2(,)bB c a，由题意可知点D 为1F B 的中点，所以点D 的坐标为2(0,)2ba，由B F AD 1，所以11AD F Bk k ，整理得232bac ，解得33e．17．22312xy【解析】由题意得通径22AF b ，∴点B 坐标为251(,)33c B b 将点B 坐标带入椭圆方程得22221()53()13b c b，又221bc ，解得222313bc∴椭圆方程为22312xy．18．【解析】由题意可知，中，，所以有，整理得，故答案为．19．55【解析】由椭圆的性质可知：1AF a c ，122F F c ，1F Ba c .又已知1AF ，12F F ，1F B 成等比数列，故2()()(2)ac a c c ，即2224acc ，则225ac .故55c ea.即椭圆的离心率为55．20．(0,1)【解析】设点A 的坐标为(,)m n ，B 点的坐标为(,)c d ．12(2,0),(2,0)F F ，可得1(2,)F A mn ，2(2,)F Bc d ，∵125F A F B ，∴62,55m n cd，又点,A B 在椭圆上，∴2213mn，2262()5()135m n，解得0,1m n ，∴点A 的坐标是(0,1)．21．【解析】(1)由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x ．由已知可得，点A 的坐标为2(1,)2或2(1,)2．所以AM的方程为222y x 或222y x ．(2)当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMAOMB ．1321F MF 90,30,60211221MF F F MF F MF 12212221222132)2(MF MF aMF MF c F F MF MF 13ac e 13当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)yk x k，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x ，22x ，直线MA ，MB 的斜率之和为212122MAMBx x y y k k ．由11y kx k ，22y kx k 得121212(23()42)(2)MAMBx x x x k k x x kk k ．将(1)y k x 代入2212xy 得2222(21)4220kx k xk．所以，2122421k kx x ，21222221x k kx ．则3131322244128423()4021k k kk kk k kkx x x x ．从而0MA MBk k ，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ．综上，OMA OMB ．22．【解析】(1)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143xy，2222143xy．两式相减，并由1212y y k x x 得1212043x x y y k．由题设知1212x x ，122y y m ，于是34k m．①由题设得302m ，故12k．(2)由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)x y x y x y ．由(1)及题设得3123()1x x x ，312()20y y y m．又点P 在C 上，所以34m，从而3(1,)2P ，3||2FP ．于是222211111||(1)(1)3(1)242xx FA x yx ．同理2||22x FB ．所以121||||4()32FA FB x x ．故2||||||FP FA FB ，即||FA ，||FP ，||FB 成等差数列．设该数列的公差为d ，则2121212112||||||||||()422d FB FA x x x x x x ．②将34m代入①得1k ．所以l 的方程为74yx，代入C 的方程，并整理得2171404x x ．故122x x ，12128x x ，代入②解得321||28d ．所以该数列的公差为32128或32128．23．【解析】设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a，又由222abc ，可得23ab ．由已知可得，FBa ，2ABb ，由62FBAB，可得6ab ，从而3a ，2b．所以，椭圆的方程为22194xy．(2)设点P 的坐标为11(,)x y ，点Q 的坐标为22(,)x y ．由已知有120y y ，故12sin PQ AOQy y ．又因为2sin y AQOAB，而4OAB，故22AQy ．由52sin4AQ AOQ PQ，可得1259y y ．由方程组22194ykx x y，，消去x ，可得12694k y k．易知直线AB 的方程为20xy ，由方程组20y kx xy，，消去x ，可得221k y k．由1259y y ，可得25(1)394kk，两边平方，整理得25650110k k ，解得12k，或1128k．所以，k 的值为111228或．24．【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点．又由222211134abab知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上．因此222111314bab，解得2241a b．故C 的方程为2214xy．（2）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为1k ，2k ，如果l 与x 轴垂直，设l ：xt ，由题设知0t，且||2t ，可得A ，B 的坐标分别为（t ，242t），（t ，242t ）．则22124242122ttk k t t，得2t ，不符合题设．从而可设l ：y kx m （1m ）．将y kx m 代入2214xy 得222(41)8440kx kmx m由题设可知22=16(41)0k m．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122841km x x k ，21224441m x x k．而12121211y y k k x x 121211kx m kx m x x 1212122(1)()kx x m x x x x ．由题设121k k ，故1212(21)(1)()0kx x m x x ．即222448(21)(1)04141m km k m k k．解得12m k．当且仅当1m 时，0，欲使l ：12m yxm ，即11(2)2m yx，所以l 过定点（2，1）25．【解析】（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)N x ，0(,)NPxx y ，0(0.)NMy ．由2NP NM 得0x x ，022y y ．因为00(,)M x y 在C 上，所以22122xy．因此点P 的轨迹方程为222x y．（2）由题意知(1,0)F ．设(3,)Q t ，(,)P m n ，则(3,)OQ t ，(1,)PF m n ，33OQ PF m tn ，(,)OPm n ，(3,)PQm tn ，由1OP PQ 得2231m m tnn，又由（1）知222mn，故330m tn ．所以0OQ PF，即OQPF ．又过点P 存在唯一直线垂直与OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．26．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a，228a c，解得2,1ac，于是223bac，因此椭圆E 的标准方程是22143xy.（2）由（1）知，1(1,0)F ，2(1,0)F . 设00(,)P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y .当01x 时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符. 当01x 时，直线1PF 的斜率为001y x ，直线2PF 的斜率为001y x .因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y ，直线2l 的斜率为001x y ，从而直线1l 的方程：001(1)x yx y ，①直线2l 的方程：001(1)x y x y . ②由①②，解得20001,x xx yy ，所以20001(,)x Q x y .因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y ，即2201xy或2201xy.又P 在椭圆E 上，故220143xy.由22002201143xyx y ，解得04737,77x y ；22002201143xyx y ，无解.因此点P 的坐标为4737(,)77.27．【解析】（Ⅰ）设F 的坐标为(,0)c .依题意，12c a，2p a ，12a c，解得1a ，12c，2p，于是22234ba c.所以，椭圆的方程为22413y x ，抛物线的方程为24yx .（Ⅱ）设直线AP 的方程为1(0)xmy m，与直线l 的方程1x联立，可得点2(1,)P m，故2(1,)Q m .将1xmy 与22413y x联立，消去x ，整理得22(34)60m ymy，解得0y，或2634m ym.由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m m B mm.由2(1,)Q m，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y mmmm，令0y ，解得222332m xm，故2223(,0)32m D m.所以2222236||13232m mAD mm.又因为APD △的面积为62，故221626232||2mmm ，整理得2326||20m m ，解得6||3m ，所以63m.所以，直线AP 的方程为3630xy ，或3630xy .28．【解析】（I ）由题意知，，所以，因此椭圆的方程为．（Ⅱ）设，联立方程得，由题意知，且，所以2211211221118121+2k kABkx x k．由题意可知圆M 的半径r 为2211211+1+8222332+1kk rABk由题设知，22c ea22c2,1ab E 2212xy1122,,,A x y B x y 2211,23,2xyyk x2211424310k xk x 0112122211231,21221k x x x x kk1224k k所以因此直线的方程为．联立方程得，因此．由题意可知，而，令，则，因此，当且仅当，即时等号成立，此时，所以，因此，所以最大值为．综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为．2124k k OC 124y x k 2211,22,4xyyx k 2221221181,1414k xyk k 2221211814k OC xyk 1sin21SOT r OC rOCr2121221121181411822321k OC k rk k k21221112324141kkk2112t k 11,0,1tt2223313112221121119224OC t rtt ttt 112t 2t 122k 1sin 22SOT26SOT SOT 3SOT 3l 122k29．【解析】（Ⅰ）由题意得,,121,23222c baab ac解得1,2b a.所以椭圆C 的方程为1422yx.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020y x.当00x 时，直线PA 的方程为)2(200x x y y.令0x ，得2200x y y M.从而221100x y y BM M .直线PB 的方程为1100x x y y.令0y，得100y x x N.从而12200y x x ANN.所以221120000x y y x BMAN 22884422484440000000000000220y x y x y x y x y x y x y x y x yx 4.当00x 时，10y ，,2,2AN BM所以4BM AN .综上，BM AN 为定值.30．【解析】(Ⅰ)设直线:l ykx b (0,0)kb，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx b 代入2229xym 得2222(9)20kxkbx bm，故12229Mx x kbx k，299MMb y kx bk．于是直线OM 的斜率9M OMMy k x k，即9OM k k ．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k ，3k ．由(Ⅰ)得OM 的方程为9yx k．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x k xy m 得2222981Pk m x k，即239Pkm x k．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b，因此2(3)3(9)Mmk k x k．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x ．于是239kmk2(3)23(9)mk k k．解得147k ，247k ．因为0,3iik k ，1i，2，所以当l 的斜率为47或47时，四边形OAPB 为平行四边形．31．【解析】（Ⅰ）由题意得2221,2,2.b ca abc 解得2a =2．故椭圆C 的方程为2212xy．设M (N x ，0)．因为0m ，所以11n ．直线PA 的方程为11n y x m，所以M x =1m n ，即(,0)1mM n．（Ⅱ）因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以(,)B m n ，设(,0)N N x ，则N x =1mn．“存在点(0,)Q Q y 使得OQM =ONQ 等价”，“存在点(0,)Q Q y 使得OM OQ=OQ ON”即Q y 满足2QM N y x x ．因为1Mm x n，1Nm x n ，2212mn，所以22221Q M N my x x n．所以Q y =2或2Qy ．故在y 轴上存在点Q ，使得OQM =ONQ ．点Q 的坐标为(0,2)或(0,2)．32．【解析】（1）由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b ，又510OMk ，从而5210b a，进而得225,2a b c abb ，故255c ea．（2）由题设条件和（I ）的计算结果可得，直线AB 的方程为15x y b b，点N 的坐标为51(,)22b b ，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则线段NS 的中点T的坐标为1517(,)4244x bb．又点T 在直线AB 上，且1NS ABk k ,从而有115174244157122552x b b b bb b x ，解得3b ，所以35b，故椭圆E 的方程为221459xy．33．【解析】（Ⅰ）由题意知42a ，则2a，又32c a ，222acb ，可得1b ，所以椭圆C 的方程为1422yx．（Ⅱ）由（I ）知椭圆E 的方程为141622yx．（i ）设||||),,(00OP OQ y x P ，由题意知),(00y x Q ，因为1422y x ，又14)(16)(2020y x ，即1)4(4202y x，所以2，即2||||OP OQ ．（ii ）设),(),,(2211y x B y x A ，将m kx y 代入椭圆E 的方程，可得01648)41(222m kmxx k ，由0，可得22164k m，则有222122141164,418k mx x kkm x x ，所以22221414164||k mkx x ．因为直线m kxy与y 轴交点的坐标为),0(m ，所以OAB 的面积||||2121x x m S22241||4162km m k222241)416(2kmm k 222241)414(2kmk m 令t km 2241，将m kxy代入椭圆C 的方程，可得0448)41(222mkmx x k ，由0≥，可得2241k m，。

十年高考理科数学真题专题九解析几何二十五直线与圆及答案

专题九解析几何第二十五讲直线与圆2019年1.（2019北京理3）已知直线l 的参数方程为x =1+3t y =2+4tìíî （t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ）15 （B ）25 （C ）45 （D ）652.（2019江苏10）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x =+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 .3（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．4．（2019浙江12）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.2010-2018年2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8] C． D．2．(2018天津)已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y t (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为． 3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A．3 B．3 C．3 D ．135．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最大值为A ．3 B． CD ．26．（2015山东）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34-7．（2015广东）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y +=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -+=或20x y -=8．（2015新课标2）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =A ．26B ．8C ．46D ．109．（2015重庆）已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝A ．2B ．C ．6D ．10．（2014新课标2）设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．⎡⎣D ．22⎡-⎢⎣⎦， 11．（2014福建）已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=12．（2014北京）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．413．（2014湖南）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m = A ．21 B ．19 C ．9 D ．11-14．（2014安徽）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]60π，（B ．]30π，（C ．]60[π，D ．]30[π， 15．（2014浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－816．（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．17．（2014江西）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π18．（2013山东）过点(3，1)作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=19．（2013重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A ．4B 1C ．6- D20．（2013安徽）直线250x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．21．（2013新课标2）已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，直线y ax b =+(0)a >将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．1123⎛⎤-⎥ ⎦⎝ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭22．（2013陕西）已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定23．（2013天津）已知过点P (2，2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =A ．12-B ．1C ．2D ．1224．（2013广东）垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=25．（2013新课标2）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为A ．1y x =-或1y x =-+B ．1)y x =-或1)y x =-C ．1)y x =-或1)y x =-D ．(1)2y x =-或(1)2y x =-- 26．（2012浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1)-∞-∞UC ．[2-D ．(,2)-∞-∞U28．（2012湖北）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +…分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=29．（2012天津）在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于A ．B ．CD ．130．（2011北京）已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 31．（2011江西）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(3-，3)B ．(3-，0)U (0，3)C ．[D ．(-∞，-U ，+∞) 32．（2010福建）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A ．22++2=0x y xB ．22++=0x y xC ．22+y =0x x - D ．22+2=0x y x -33．（2010广东）若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y +=B ．22(5x y +=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++= 二、填空题34．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，则点A 的横坐标为．35．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅u u u r u u u r ≤，则点P 的横坐标的取值范围是．36．（2015湖北）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NAMANB MB =； ②2NBMANA MB -=； ③22NBMANA MB +=．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）37．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为．38．（2014重庆）已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________．39．（2014湖北）直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________．40．（2014山东）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为3C 的标准方程为．41．（2014陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为____．42．（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．43．（2014湖北）已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则（Ⅰ）b = ；（Ⅱ）λ= .44．（2013浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________.45．（2013湖北）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=(π02θ<<)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .46．（2012北京）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 .47．（2011浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =__．48．(2011辽宁)已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__．49．(2010新课标)圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为．50．(2010新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线0x y -=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为．三、解答题51．(2016年全国I)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．52．(2014江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO ．（I ）求新桥BC 的长；（II ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？53．（2013江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C的半径为1，圆心在l 上. ylO A（I ）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（II ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．54．(2013新课标2)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22在y 轴上截得线段长为23（I ）求圆心P 的轨迹方程；（II ）若P 点到直线y x =2，求圆P 的方程． 55．（2011新课标）在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．56．（2010北京）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(2,0)，(2,0)6直线y t =椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ,圆心为P ．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设(,)Q x y 是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．专题九解析几何第二十五讲直线与圆答案部分2019年1.解析由直线l 的参数方程消去t ，可得其普通方程为4320x y -+=．则点（1，0）到直线l 的距离是d ==2. 解析解法一：由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x =+>切于0004(,)x x x +，由20411x-=-，解得000)x x =>．所以曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，4=．解法二：由题意可设点P 的坐标为4,x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭()0x >，则点P 到直线0x y +=的距离222242x d ⎛⎫+ ⎪==⨯⨯=…，当且仅当x = 所以点P 到直线0x y +=的距离的最小值为4.3.解析解法一：（1）过A作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H. 以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>，得a =4321+，所以Q （4321+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4321+，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4321(13)17321PQ =+--=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17321+（百米）. 4.解析：解法一：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得1122m +=-，解得2m =-．所以圆心为（0，-2），则半径r ==．解法二：由r ==，得2m =-，所以r ==2010-2018年1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d == 所以点P到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB = 所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ． 2．12【解析】直线的普通方程为20x y +-=，圆的标准方程为22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为1，点C 到直线20x y +-=的距离2d ==以||AB ==1122ABC S ∆==． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ．4．A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，3c e a ==，故选A ．5．A 【解析】如图建立直角坐标系，x则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)P x y 所以圆的方程为224(2)5x y -+=，所以(,1)AP x y =-u u u r ，(0,1)AB =-u u u r ，(2,0)AD =u u u r，由AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12x y -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=，点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3，即λμ+的最大值为3，选A ．6．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，则1d ==，|55|k +=43k =-或34-．7．A 【解析】设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c，则=，所以c =250x y ++=或250x y +-=．8．C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-，所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x =，得24200y y +-=，设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以12||||MN y y =-==9．C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===．选C ．10．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=o，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在Rt OMN '∆中，sin 2OMN '∠=<，则45OMN '∠<o ，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =合题意，排除C ，故选A ．11．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=． 12．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．13．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r ==1212||15C C r r =+==，所以9m =．14．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．15．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d == 所以2422r a =+=-，故4a =-16．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+∈．故选B ．17．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 18．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-． 19．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=，故选A ．20．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离=1d =，半径r =，所以最后弦长为4=.21．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =，（2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令1112A BD S ∆=得212b a b =-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+,∵0a >, ∴22410b b -+<，解得1122b -<<+综上：112b -<<，选B 22．B 【解析】点M(a, b )在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离1d =<=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．23．C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)==12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-，即2a =，选C ． 24．A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =25．C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF |=3|BF |，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时1y ==±1y =1(3,(,3A B ,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-。

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