广义双连对角占优矩阵

第16卷第3期1998年9月徐州师范大学学报(自然科学版)J.of Xuzhou Normal Uni.(Natural Sciences )Vol.16,No.3Sep.,1998收稿日期:1996212218广义双连对角占优矩阵石茂忠1　张晓东2(1徐州师范大学数学系,徐州,221009;2安徽大学数学系,合肥,230039)摘要　引入广义双连对角占优矩阵的概念,证明广义双连对角占优的可逆性,讨论它们与M 矩阵的关系,并给出了广义双连对角占优矩阵特征值的一些性质.关键词　广义对角占优矩阵,M 矩阵,可逆性中图法分类号　O151.21对角占优矩阵有许多良好性质,它们在研究M 矩阵以及矩阵的数值分析方面起着重要的作用.因此,从各种角度推广对角占优矩阵,使之保留最有用的那些性质就受到了广泛关注.文[1～3]在这方面给出了许多有趣结果.本文沿着这个方向提出了广义双连对角占优矩阵的概念,给出它们的一些有用性质.本文除使用关于矩阵的各种常用记号外,用N 表示集合{1,2,…,n},用Z n 表示所有具有全部非正的非对角元的n 阶实方阵的集合.令A =(a ij )为n 阶复方阵,P u =∑j ∈N -{u}a uj ,Q v =∑j ∈N -{v}a jv .定义　复方阵A 称为广义对称对角占优,是指存在某数α∈[0,1],使得a ii ≥p αi Q 1-αi ,　Πi ∈N.(1)A 称为广义严格对称对角占优,则指(1)式都是严格不等式.复方阵A 称为广义双连对角占优,是指存在某数α∈[0,1],使得a ii a jj ≥p αi Q 1-αi p αj Q 1-αj ,　Πi ,j ∈N ,i ≠j.(2)A 称为广义严格双连对角占优,则指(2)式都是严格不等式.易见,当α=1(0)时,广义对称对角占优就变成通常的行(列)对角占优.故广义对称对角占优是通常的对角占优的推广.当矩阵A 满足(1)式时,显然也满足(2)式,所以,广义双连对角占优又是广义对称对角占优的推广.引理1[4]　广义严格双连对角占优矩阵是可逆的.定理1　n 阶不可约复方阵A 是广义双连对角占优,如果存在k ∈N ,使得a kk a jj ≥p αk Q 1-αkp αj Q 1-αj ,　Πj ∈N -{k}成立,则A 是可逆矩阵.证　由A 的不可约性知,存在a kr 1≠0,a r 1r 2≠0,…,a r t -1r t ≠0,　(k ≠r 1,r 1≠r 2,…,r t -1≠r t 且{k ,r 1,r 2,…,r t }=N ).由假设知p αk Q 1-αk p αj Q 1-αja kk a jj <1,　Πj ∈N -{k}.取适当的正数ε,使得max p αk Q 1-αk p αj Q 1-αj a kk a jj <ε<1.令D (1)=diag (1,…,ε,1,…,1),ε位于第(k ,k )位置.考虑A (1)=D (1)A D (1),由于D (1)为正对角阵,故A (1)也为不可约矩阵,且a (1)kk a (1)jj=a kk a jj ε2,P (1)αk Q (1)1-αk P (1)αj Q (1)1-αj <εP αk Q 1-αk P αj Q 1-αj≤ε2a kk a jj =a (1)kk a (1)jj , Πj ∈N -{k},0<P (1)r 1≤P r 1,　Q (1)r 1=Q r 1+(ε-1)a kr 1<Q r 1.因此P (1)αr 1Q (1)1-αr 1P (1)αj Q (1)1-αj <P αr 1Q 1-αr 1P αj Q 1-αj ≤a r 1r 1a jj =a (1)r 1r 1a (1)jj ,　Πj ∈N -{k ,r 1},P (1)αi Q (1)1-αi P (1)αj Q (1)1-αj <P αi Q 1-αiP αj Q 1-αj ≤a ii a jj =a (1)ii a (1)jj ,　i ≠j ,i ,j ∈N -{k}.因此A (1)中有I ={k ,r 1}<N ,使得a (1)ii a (1)jj ≥P (1)αi Q (1)1-αi P (1)αj Q (1)1-αj ,　Πi ≠j ,i ,j ∈N ,且a (1)ii a (1)jj >P (1)αiQ (1)1-αi P (1)αj Q (1)1-αj ,　i ∈I ={k ,r 1},j ∈N -{i}.依次类推,最后可得A (t )=D (t )…D (1)A D (1)…(t )中任何a (t )ii a (t )jj >P (t )αi Q (t )1-αi P (t )αj Q (t )1-αj ,　i ≠j ,i ,j ∈N.由引理1知A 是可逆的矩阵.下面讨论非奇异M 矩阵与我们所定义的两种广义对角占优矩阵的关系.定理2　设A ∈Z n ,a ii >0,Πi ∈N ,则下列各条件等价:i )A 为非奇异M 矩阵;ii )存在正对角阵D ,使得D -1A D 为广义严格对称对角占优矩阵;iii )存在正对角阵D ,使得D -1A D 为广义严格双连对角占优矩阵;iv )存在正对角阵D 1,D 2,使得D 1A D 2为广义严格对称对角占优矩阵;v )存在正对角阵D 1,D 2,使得D 1A D 2为广义严格双连对角占优矩阵.证　i )]ii )　因为A 为非奇异M 矩阵,则A-1为非负矩阵.令x =A -1e ,e =(1,…,1)T ,D =diag (x 1,x 2,…,x n ),x =(x 1,x 2,…,x n )T ,则D 为正对角阵,这是因为x i 等于A -1的第i 行和(若x i =0,则由A -1非负性知A-1第i 行每个元素均为0,便与A -1是可逆阵矛盾),此外A De =A x =e 给出了A D 是严格对角占优,从而D -1A D 为严格对角占优,取α=1,知D -1A D 为广义严格对称对角占优.ii )]iii )　显然.iii )]i )　令B (t )=(b ij ),其中b ij =a ij t ,i ≠j ;b ii =a ii ,Πi ∈N.由于D -1A D 为广义严格双连对角占优矩阵,则由引理1知det (D -1A D )≠0,即det A ≠0,det B (0)=a 11a 22…a nn >0,det B (1)=det A ≠0.若det A <0,则由于det B (t )是t 的连续函数,故存在0<t 0<1,使得det B (t 0)=0.但是,由题设知D -1A D 为广义严格双连对角占优,再由B (t )的构造知D -1B (t 0)D 为广义严格双连对角占优矩阵,由引理1知det B (t 0)≠0,矛盾.故det A =det B (1)>0.同理,由D -1A D 任何一个k 阶主子矩阵是广义严格双连对角占优,从而得到D -1A D 的任何k 阶主子式均大于0,即A 的所有主子式均大于0.又由于A ∈Z n ,由文[5]知A 为非奇异M 矩阵.iii )]v ),ii )]iv ),iv )]v )　显然.v )]i )　若存在正对角阵D 1,D 2,使得D 1A D 2为广义严格双连对角占优矩阵,则由i )]iii )知D 1A D 2为非奇异M 矩阵.由文[5]知(D 1A D 2)-1=D -12A -1D -11为非负矩阵,由此得A -1为非负矩阵,又A ∈Z n ,知A 为非奇异M 矩阵.推论1　设A 为广义严格双连对角占优,则存在正对角阵D ,使D -1A D 为广义严格对称对角占优.证　令B =(b ij ),其中b ij =-a ij ,i ≠j ;b ii =a ii ,i =j.则B 为广义严格双连对角占优矩阵,且B ∈Z n ,b ii >0,Πi ∈N.由定理2知存在正对角阵D ,使得D -1BD 为广义严格对称对角占优,即D -1A D 为广义严格对称对角占优.推论2　设不可约复方阵A 是广义双连对角占优,且存在k ∈N ,使得01徐州师范大学学报(自然科学版) 第16卷a kk a jj >P αk Q 1-αk P αj Q 1-αj ,　Πj ∈N -{k}成立,则存在正对角阵D ,使得D -1A D 为广义严格对称对角占优.证　由定理1证明过程知,存在正对角阵D 1,使得D 1A D 1为广义严格双连对角占优,再由定理2中ii )]v )知B =(b ij ),b ii =a ii ,b ij =-a ij ,i ≠j ,存在正对角阵D ,使得D -1BD 为广义严格对称对角占优,故D -1A D 为广义严格对称对角占优.定理3　设B ∈Z n ,b ii >0,Πi ∈N ,且存在正对角矩阵D ,使得A =DB T +BD 为广义严格对称对角占优或广义严格双连对角占优矩阵,则B 为非奇异矩阵.证　由定理2知A 为非奇异M 矩阵.又A T =(BD +DB T )T =BD +DB T =A ,知A 为对称矩阵,从而A 为对称正定矩阵.另一方面D 也为正定矩阵.由Lyapunov 定理知B 为正稳定矩阵,由此推出B 的每个特征值实部大于0.由文[5]知B 为非奇异M 矩阵.由定义不难看出,如果B ∈Z n ,b ii >0,Πi ∈N ,则B 为广义双连对角占优,当且仅当对任意正数ε>0,B +εI 为广义严格双连对角占优.此外,由[5,引理16.4.1]知方阵B 为M 矩阵,当且仅当任意正数ε>0,B +εI 为非奇异M 矩阵.这些结果与定理2,定理3联合分别给出:定理4　设A ∈Z n ,a ii >0,Πi ∈N ,则下列各条件等价:i )A 为M 矩阵;ii )存在正对角阵D ,使得D -1A D 为广义对称对角占优矩阵;iii )存在正对角阵D ,使得D -1A D 为广义双连对角占优矩阵;iv )存在正对角阵D 1,D 2,使得D 1A D 2为广义对称对角占优矩阵;v )存在正对角阵D 1,D 2,使得D 1A D 2为广义双连对称对角占优矩阵.定理5　设B ∈Z n ,b ii >0,Πi ∈N ,且存在正对角阵D ,使得A =BD +DB T 为广义对称对角占优或广义双连对角占优矩阵,则B 为M 矩阵.定理6　设A 为n 阶广义严格对称对角占优或广义严格双连对角占优的实方阵,且有p 个正对角元,q 个负对角元,则p +q =n ,且A 恰有p 个特征值的实部为正,q 个特征值实部为负.证　如果A 为n 阶广义严格对称对角占优矩阵,则由a ii >P αi a 1-αi≥0,从而a ii >0,Πi ∈N ,故p +q =n.令B (t )=(b ij ),b ij =a ij t ,i ≠j ;b ii =a ii ,Πi ∈N ,则对每个t ∈[0,1],矩阵B (t )显然是广义严格对称对角占优矩阵,且B (0)=diag (a 11,…,a nn )为对角阵,B (1)=A .令参数t 从0递增而连续地变动到1,则B (t )的特征值从B (0)的特征值a 11,…,a nn ,开始随t 变化而连续变化,对B (t )应用Ostrowski 定理知B (t )的各个圆盘Γi (t ):　Z -a ii ≤t P αi Q 1-αi,相应地从点a ii 连续地扩大到A 的圆盘.Γi (1):　Z -a ii ≤P αi Q 1-αi.设a k 1k 1>0,…,a k p k p >0,a k p +1k p +1<0,…,a k n k n <0.令S 1=∪p j =1Γkj (t ),S 2=∪n j =p +1Γkj (t ),则因B 为广义严格对称对角占优,故由Ostrowski 定理可推出区域S 1的最左边的一个点在0的右边,区域S 2的最右边一个点在0的左边.此外由于B (t )的每个圆盘包含在对应圆盘Γi (1)之内,故B (t )与B (0)的特征值a ii >0相对应的特征值λi 必在S 1内.同样,B (t )与B (0)的特征值a ii <0相对应的特征值必在S 2内.故A 恰有p 个特征值实部为正,q 个特征值实部为负.如果A 为广义严格双连对角占优矩阵,由推论1知,存在正对角阵D ,使得D -1A D 为广义严格对称对角占优矩阵,由D -1A D 与A 有相同的特征值和应用上面的结论即知定理成立.推论3　设n 阶不可约实方阵是广义双连对角占优,且有k ∈N 使得a kk a jj >P αk Q 1-αk P αj Q 1-αj ,　Πj ∈N -{k}成立,且有p 个正对角元,q 个负对角元,则p +q =n ,且A 恰有p 个特征值实部为正,q 个特征值实部为负.(下转第35页)11第3期 石茂忠等:广义双连对角占优矩阵参考文献1　陆新谦,金有豫.新编药物学.北京:人民卫生出版社,1996.1652　施佩君.瑞士Spirig 公司Ulfraprofen 上市.中国医药工业杂志信息版,1997,10:193　张霖泽,劳肇经,黄绍悦等.萘普生的葡辛胺拆分工艺.医药工业,1985,16(4):14　Eur 1981,0022529;(CA 1981,95;6907j )5　Morris R ,Nagarkatti J.Aldrich (1996～1997).Milwaukee (Wisconsin US ):Aldrich Chemical Com pany ,Inc.1997.869Isolation and R acemization of IbuprofenW ang Y ucheng ,W ang S uhui ,Dai Guiyuan ,S hi Daqi ng ,Cai Peij un(Department of Chemistry ,Xuzhou Normal University ,Xuzhou ,221009)Abstract N 2octyl 2d 2glucamine was used to isolate Ibuprofen to give Dexibuprofen in a single run of 26%yeild.The isomer of Ibuprofen was racemized in NaOH (30%)under reflux for 4h with a yield of 95%.K eyw ords Ibuprofen ,isolation ,Dexibuprofen(上接第11页)证　由于A 为不可约矩阵,故P i >0,Q i >0,Πi ∈N ,故a ii >0,Πi ∈N ,从而p +q =n.由推论2知,存在正对角阵D ,使得D -1AD 为广义严格对称对角占优,再由定理6即得.参考文献1　沈光星.连对角占优矩阵的一些性质.计算数学,1990,12(2):1322　游兆永,李磊.共轭广义对角占优矩阵的特征值分布.数学研究与评论,1989,19(2):3093　逄明贤.矩阵对角占优性的推广及应用.应用数学学报,1989,12(1):354　Ostrowski A.Uber das Nichverschwinden einer K lass von Determinanten und die Lokalisierun g der charakteristischenWurzeln von position Math ,1951,9:2095　Berman A ,Plemmons R J.Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences.New Y ork :Academic Press ,1979.132～161G eneralized Diagonal Pair Dominant MatricesS hi M aoz hong 1,Zhang Xiaodong 2(1Department of Mathematics ,Xuzhou Normal University ,Xuzhou ,221009;2Department of Chemistry ,Anhui University ,Hefei ,230039)Abstract In this paper ,we introduce the concept of generalized diagonal pair dominant matrices ,and prove the invertibility of them.Then we discuss relations between them and M 2matrices.Finally ,some properities of eigenvalues of generalized diagonal pair dominant matrices are given.K eyw ords generalized diagonal pair dominant matrix ,M 2matrix ,invertibility53第3期 王玉成等:布洛芬的拆分工艺。