高中数学人教A版选修4-4课时跟踪检测(十一) 双曲线的参数方程 抛物线的参数方
人教A版高中数学选修4-4同步课时跟踪检测：第2讲 参数方程 二
第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程课时跟踪检测一、选择题1．(2019·泉州检测)参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)表示的曲线为( )A ．射线B ．双曲线的右支C ．半圆D ．抛物线右半部分解析：把x ＝t 代入y ＝t ，得y ＝x 2(x ≥0)，所以该参数方程表示的曲线为抛物线的右半部分，故选D ．答案：D2．曲线y ＝x 2的一个参数方程为( ) A ．⎩⎨⎧ x ＝t 2，y ＝t 4(t 为参数) B ．⎩⎨⎧x ＝sin t ，y ＝sin 2t (t 为参数) C ．⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)D ．⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)解析：由x 的取值范围可知，只有D 符合． 答案：D3．(2019·天津市和平区模拟)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝3tan θ(θ为参数)表示的曲线的离心率为( )A ．2B ． 3C ．3D ．4解析：参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝3tan θ(θ为参数)，消去参数θ，得曲线的普通方程为x 2－y 23＝1，这表示焦点在x 轴上的双曲线，其中a 2＝1，b 2＝3，∴c 2＝4，∴其离心率e ＝ca ＝2，故选A ．答案：A4．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t 为参数，t ∈R )，它们的交点坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，55B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，55D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，255 解析：由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)知x 25＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t 为参数)得x ＝54y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，x ＝54y2得x 2＋4x －5＝0，解得x ＝－5或x ＝1.又x ＝54y 2>0，∴x ＝1，y ＝±255，由于0≤θ<π，∴y ＝sin θ>0，故y ＝255. ∴它们的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255. 答案：B5．(2019·衡水期中)过抛物线⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝3t (t 为参数)的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为( )A ．π3 B ．π3或2π3 C ．π6D ．π6或5π6解析：将抛物线⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝3t (t 为参数)，消去参数t ，得到抛物线的普通方程为y 2＝32x ，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫38，0.因为过焦点的弦长为2≠32，所以直线的斜率一定存在，设为k ，则直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －38，代入y 2＝32x 得k 2x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k 2＋32x ＋964k 2＝0，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)为弦的两端点，由根与系数的关系知，x 1＋x 2＝34k 2＋32k 2＝34＋32k 2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝32＋32k 2＝2，解得k ＝±3，∴直线的倾斜角为π3或2π3，故选B ．答案：B6．已知曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，点A ，B 在曲线上对应的参数分别为t 1和t 2.若t 1＋t 2＝0，则|AB |等于( )A ．2p (t 1－t 2)B ．2p (t 21＋t 22)C ．2p |t 1－t 2|D ．2p (t 1－t 2)2解析：由题意得x 1＝2pt 21，x 2＝2pt 22， ∴x 1－x 2＝2p (t 21－t 22)＝2p (t 1＋t 2)(t 1－t 2)＝0，∴|AB |＝|y 1－y 2|＝2p |t 1－t 2|. 答案：C 二、填空题7．曲线y ＝x 2－2t x 的顶点轨迹的普通方程为________．解析：y ＝x 2－2t x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t 2－1t 2，该曲线是抛物线，其顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，－1t 2.设所求轨迹上任意一点M (x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝－1t 2，消去t 得y ＝－x 2(x ≠0)．答案：y ＝－x 2(x ≠0)8．(2019·洛阳一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的方程为x －2y＋8＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s (s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值为________．解析：因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )，所以点P 到直线l ：x －2y ＋8＝0的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45..∴当s ＝2时，d min＝455. 答案：4559．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴)中，直线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则曲线C 1与C 2的交点的个数为________．解析：由题意，曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)可化为普通方程x 24＋y 23＝1，直线C 2的极坐标方程ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0可化为直角坐标方程x －y ＋1＝0.联立两个方程，消去y 可得，x 24＋(x ＋1)23＝1，即7x 2＋8x －8＝0.因为Δ＝82＋4×7×8>0，所以直线与椭圆相交，且有两个交点．答案：2 三、解答题10．设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于点Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．解：设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)． 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1t x ， 直线QF 的方程为y ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1t x ，y ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定．两式消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.∴M 的轨迹方程为2x 2＋y 2－px ＝0(x ≠0)．当t ＝0时，M (0,0)满足题意且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. ∴所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.11．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝4t 1＋t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．解：(1)由x ＝1－t 21＋t 2得，t 2＝1－x 1＋x ，又y 2＝16t 2(1＋t 2)2，∴y 2＝16×1－x 1＋x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1－x 1＋x 2＝4(1＋x )(1－x )＝4－4x 2.整理可得C 的直角坐标方程为x 2＋y24＝1.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)设C 上点的坐标为(cos θ，2sin θ)，则C 上的点到直线l 的距离 d ＝|2cos θ＋23sin θ＋11|7＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋117，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝－1时，d 取最小值，则d min ＝7.12．(2019·南海中学，仲元中学等联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 ＝2a (a ≠0)．(1)求曲线C 1的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若P 为C 1上的点，且PQ ⊥l ，垂足为Q ，|PQ |的最小值为2，求a 的值． 解：(1)⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)利用cos 2θ＋sin 2θ＝1消去参数θ得C 1的普通方程为x 2＋y 23＝1.ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2a ⇒22(ρcos θ＋ρsin θ)＝2a ，l 的直角坐标方程为x ＋y －2a ＝0.(2)设P (cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得 |PQ |＝|cos θ＋3sin θ－2a |2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3－2a 2，a ≠0.a ＞0时，|PQ |min ＝|2－2a |2＝2，解得a ＝2； a ＜0时，|PQ |min ＝|－2－2a |2＝2，解得a ＝－2.所以a ＝2或a ＝－2.13．(2019·天津河北区模拟)若点P 是椭圆x 22＋y 2＝1上的动点，则P 到直线l ：y ＝x ＋1的距离的最大值是________．解析：椭圆x 22＋y 2＝1的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)， 设P (2cos θ，sin θ)，则P 到直线l ：x －y ＋1＝0的距离d＝|2cos θ－sin θ＋1|2＝|3cos(θ＋φ)＋1|2，其中tan φ＝22.∴当cos(θ＋φ)＝1时，d有最大值6＋2 2.答案：6＋2 2由Ruize收集整理。
双曲线的参数方程课件 新人教a版选修4
M
x
2 2 a2(sec2 -tan2 ) a a = sin2 = tan b ab . 2 4cos 2 2 a 2
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。
xt
练习:
1.已知参数方程
1 t 1 (t 是参数, t >0) y t t
化为普通方程,画出方程的曲线.
2.参数方程
x a sec y b tan ( 是参数, 2 2 )
表示什么曲线?画出图形.
x2 y 2 3.若双曲线 2 2 1(b a 0)上有两点A, B与它的 a b 中心的连线互相垂直. 1 1 求证: 为定值. 2 2 |OA| |OB|
的实质是三角代换.
sec 1 tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程
例 2、
x2 y 2 如图，设M 为双曲线 2 2 1( a 0, b 0)任意一点，O为原点， a b 过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。 探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
x a sec 所以M的轨迹方程是 (为参数) y b tan
x2 y2 消去参数后，得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
y a A B' o B b
x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b
2
2
a y 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec ,btan）,
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
b A 则直线MA的方程为：y b tan ( x a sec ). ① a b 将y= x代入①，解得点A的横坐标为 O a a B xA = （sec tan）. 2 a 同理可得，点B的横坐标为xB = （sec tan）. 2 b 设AOx= ,则tan . a xA xB sin2 = 所以MAOB的面积为 S MAOB =|OA||OB|sin2 cos cos
【同步练习】2020人教A版选修4-4课后练习本《双曲线的参数方程和抛物线的参数方程》含答案解析)
2020人教A 版选修4-4课后练习本： 双曲线的参数方程和抛物线的参数方程一、选择题1.方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t，y ＝e t －e －t(t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支 D ．双曲线下支2.已知点M(3，m)在以F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，则|MF|=( )A ．1B ．2C ．3D ．43.已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R)，它们的交点坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1，255 B ．(5,2) C ．(5，－2) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，454.已知过曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P 和原点O 的连线PO 的倾斜角为π4，则P 点的坐标是( ) A ．(3,4) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，125 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫322，22 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫125，1255.下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29=1B.y 23－x 29=－1C.y 23－x 2=1D.y 23－x 2=－16.若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1(θ为参数)与直线x=m 相交于不同的两点，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0，1)D ．[0，1)7.点P(1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (参数t∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．28.P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2=16(y≠0)B ．9x 2＋16y 2=16(y≠0)C ．9x 2－16y 2=1(y≠0)D ．9x 2＋16y 2=1(y≠0)二、填空题9.如果双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θ，y ＝6tan θ(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的左焦点距离是________．10.双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec 2，y ＝tan 2的顶点坐标为________．11.设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．12.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)=－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．三、解答题13.过点A(1，0)的直线l 与抛物线y 2=8x 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．14.已知直线l过点A(1，0)，抛物线C的方程为y2=8x，若直线l与抛物线C交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．答案解析1.答案为：B ；解析：因为x 2－y 2=e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t)=4，且x=e t ＋e －t ≥2e t ·e －t=2，所以表示双曲线的右支．2.答案为：D ；解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t得⎩⎪⎨⎪⎧t 2＝x 4，t ＝y4，∴y 216=x 4，即y 2=4x ，∴p=2，∴|MF|=3＋p 2=4.故选D ．3.答案为：A ；解析：由⎩⎨⎧x ＝ 5 cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)，得x 25＋y 2=1(y≥0)．由x=54t 2，y=t(t ∈R)得x=54y 2，∴5y 4＋16y 2－16=0，解得y 2=45或y 2=－4(舍去)．所以x=54y 2=1.又θ≥0，得交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.4.答案为：D ；解析：直线PO 的方程是y=x ，又点P 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ上一点，故3cos θ=4sin θ即tan θ=34，因为倾斜角为π4，0≤θ≤π，所以曲线与直线的交点在第一象限，故sin θ=35，cos θ=45，所以x=y=125.5.答案为：B ；解析：双曲线的普通方程为x 23－y 2=1，离心率为23=233，渐近线为y=±33x.B 中y 23－x 29=－1，即x 29－y 23=1.其离心率为233，渐近线为y=±33x ，故选B.6.答案为：D ；解析：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1化为普通方程得(y ＋1) 2=－(x －1)(0≤x ≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m<1.7.答案为：B ；解析：设Q(x ，y)为曲线上任一点，则d 2=|PQ|2=(x －1)2＋y 2=(t 2－1)2＋4t 2=(t 2＋1)2.由t 2≥0得d 2≥1，所以d min =1.8.答案为：A ；解析：由题意知a=4，b=3，可得c=5，故F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设P(4sec θ，3tan θ)，重心M(x ，y)，则x=－5＋5＋4sec θ3=43sec θ，y=0＋0＋3tan θ3=tan θ.从而有9x 2－16y 2=16(y≠0)．9.答案为：10或6；解析：由双曲线参数方程可知a=1，故P 到它左焦点的距离|PF|=10或|PF|=6. 10.答案为：(±3，0)；解析：由双曲线的参数方程知双曲线的顶点在x 轴，且a=3，故顶点坐标为(±3，0)．11.答案为：ρcos 2θ－sin θ=0；解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y=x 2，由于ρcos θ=x ，ρsin θ=y ， 所以化为极坐标方程为ρsin θ=ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ=0.12.答案为：(2，－4)；解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y=－2，曲线C 2的普通方程为y 2=8x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2，y 2＝8x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)． 13.解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M(8t 21，8t 1)，N(8t 22，8t 2)，则k MN =8t 2－8t 18t 22－8t 21=1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.所以kAP=4（t 1＋t 2）4（t 21＋t 22）－1. 由k MN =k AP 知t 1·t 2=－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（t 21＋t 22），y ＝4（t 1＋t 2），则y 2=16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)=16⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－14=4(x －1)．所以所求轨迹方程为y 2=4(x －1)．14.解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M(8t 21，8t 1)，N(8t 22，8t 2)，则k MN =8t 2－8t 18t 22－8t 21=1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.所以k AP =4（t 1＋t 2）4（t 21＋t 22）－1. 由k MN =k AP 知t 1·t 2=－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（t 21＋t 22），y ＝4（t 1＋t 2），则y 2=16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)=16⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－14=4(x －1)．所以所求轨迹方程为y 2=4(x －1)．。
2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A版选修4-4
2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A 版选修4-41．椭圆的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数)．(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？【提示】 椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．2．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？【提示】 sec φ＝1cos φ，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠32π.3．类比y 2＝2px (p >0)，你能得到x 2＝2py (p >0)的参数方程吗？【提示】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2.(p >0，t 为参数，t ∈R )椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎨⎧cos θ＝x 5，sin θ＝y 3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a 、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，化为⎩⎨⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4)．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t ，(t 为参数)，曲线C 2：x 264＋y 29＝1.(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值．【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M 的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3. ∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆．曲线C 2：x 264＋y 29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)(2)依题设，当t ＝π2时，P (－4,4)；且Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．又C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中φ由sin φ＝35，cos φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d 取得最小值855.1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M 的轨迹上的点到直线C 3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．(xx·开封质检)已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值．【解】 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0,2π)． 又直线l ：x ＋2y ＝0.因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22|sin θ＋π4|5.所以，当sin(θ＋π4)＝1，即θ＝π4时，d 取得最大值2105.双曲线参数方程的应用 求证：双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b 2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b 2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2 φ－tan 2 φ＝1的应用．如图2－2－1，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图2－2－1【证明】 设P (sec φ，tan φ)，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1， |PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. ∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)，当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t (x －p2)，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎨⎧y ＝1txy ＝－2t x －p2确定， 两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x (x －p2)，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)．当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．(xx·天津高考)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E (－p 2，±6p )，F (p 2，0)，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2(教材第34页习题2.2，第5题)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别与x轴交于P 、Q 两点，O 为椭圆的中心．求证：|OP |·|OQ |为定值．(xx·徐州模拟)如图2－2－2，已知椭圆x24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点．图2－2－2求证：|OP |·|OQ |为定值． 【命题意图】 本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用，考查学生推理与数学计算能力．【证明】 设M (2cos φ，sin φ)(φ为参数)， B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝|2cos φ1－sin φ|.∴|OP |·|OQ |＝|2cos φ1＋sin φ|·|2cos φ1－sin φ|＝4.因此|OP |·|OQ |＝4(定值).1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x24＝1【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ，(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax，代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D3．(xx·陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)4．(xx·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________. 【解析】 将曲线C 1与C 2的方程化为普通方程求解．∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将(32，0)代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a＝32. 【答案】32(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝5sin φ，(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2y ＝2＋sin α，(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3)D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】 因为x 2＝1＋sin α，所以sin α＝x 2－1. 又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤ 3.∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C3．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B4．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点的坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22) C ．(－3，－4) D ．(125，125) 【解析】 由题意知，3cos θ＝4sin θ， ∴tan θ＝34，又0≤θ≤π，则sin θ＝35，cos θ＝45，∴x ＝3×cos θ＝3×45＝125， y ＝4sin θ＝4×35＝125， 因此点P 的坐标为(125，125)． 【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝2 3. 得点M 的坐标为(1,23)．直线OM 的斜率k ＝231＝2 3. 【答案】 236．(xx·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝0三、解答题(每小题10分，共30分)7．(xx·平顶山质检)如图2－2－3所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图2－2－3【解】 抛物线标准方程为x 2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝2t 2.得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎨⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t 2(t 为参数)， 消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．8．(xx·龙岩模拟)已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，①x 24＋y 2＝1，② ①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85. 设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，(85，－35)，则|AB |＝－35－12＋852＝825. 故所求的弦长为825. 9．(xx·漯河调研)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos αy ＝sin α (α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. 教师备选10．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．【解】 设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ，其中，a >b >0,0≤θ<2π. 由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－(b a )2可得b a ＝1－e 2＝12即a ＝2b . 设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2cos 2θ＋(b sin θ－32)2 ＝a 2－(a 2－b 2)sin 2θ－3b sin θ＋94＝4b 2－3b 2sin 2θ－3b sin θ＋94＝－3b 2(sin θ＋12b)2＋4b 2＋3， 如果12b >1即b <12，即当sin θ＝－1时，d 2有最大值，由题设得(7)2＝(b ＋32)2，由此得b ＝7－32>12，与b <12矛盾． 因此必有12b≤1成立， 于是当sin θ＝－12b时，d 2有最大值， 由题设得(7)2＝4b 2＋3，由此可得b ＝1，a ＝2.所求椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.由sin θ＝－12，cos θ＝±32可得，椭圆上的点(－3，－12)，点(3，－12)到点P 的距离都是7..。
高中数学新人教A版选修4-4 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程
由 kPA＝x－y 1，又 k MN＝xy11－－xy22＝y1＋8 y2＝4y， ∴x－y 1＝4y.∴y2＝4(x－1)． ∴线段 MN 的中点 P 的轨迹方程为 y2＝4(x－1)．
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是________．
x＝tan t，
(2)将方程y＝11－ ＋ccooss
2t 2t
化为普通方程是________．
[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解； (2)利用代入法消去 t. [解析] (1)将yx＝＝62se3ctαan α， 化为3y62 －1x22＝1， 可知双曲线焦点在 y 轴上，且 c＝ 36＋12＝4 3， 故焦点坐标是(0，±4 3)． (2)由 y＝11－ ＋ccooss 22tt＝22csions22tt＝tan2t， 将 tan t＝x 代入上式，得 y＝x2 即为所求方程． [答案] (1)(0，±4 3) (2)y＝x2
二 圆锥曲线的参数方程
2～3.双曲线的参数方程 抛物线的参数方程
1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线xa22－yb22＝1 的参数
方程是xy＝＝batsaenc
φ， φ，
规定参数 φ 的取值范围为[0,2π)且 φ≠π2，
φ≠32π.
(2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线ya22－bx22＝1 的参数 方程是yx＝＝absteacnφφ.，
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
[悟一法] 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲 线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解 过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可 将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．
[通一类] 1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶 点．
证明：设双曲线为 x2－y2＝a2，取顶点 A(a,0)， 弦 B′B∥Ox，B(asecα，atan α)，则 B′(－asecα，atan α)． atan α atan α ∵kB′A＝ ，kBA＝ ， －asecα－a asecα－a ∴kB′A·BA＝－1. k ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点.
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为
x＝2pt2 y＝2pt
，t∈ R .
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点 连线的 斜率的倒数 ．
[小问题·大思维]
1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？ 提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点 M的离心角)，而不是OM的旋转角．
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长 线上， M 为线段 OP 且
x＝2t， 的中点， 抛物线的参数方程为 y＝2t2，
x0＝4t， 由中点坐标公式得 y0＝4t2，
1 2 变形为 y0＝4x0，即 x2＝4y. 表示的为抛物线．
[悟一法] 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需 要引入一个中间变量即参数(将 x，y 表示成关于参数的函数)，然 后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点 的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
平方得 1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即 5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 3 解得 sin φ＝1 或 sin φ＝－5. sin φ＝1 时，cos φ＝0(舍去)． 3 4 sin φ＝－5时，cos φ＝± . 5 5 3 5 3 ∴P 的坐标为(4，－4)或(－4，4)．
[通一类] 2．已知抛物线
x＝2t2 C： y＝2t
(t 为参数)，设 O 为坐标原点，点 M
在抛物线 C 上，且点 M 的纵坐标为 2，求点 M 到抛物线焦点 的距离．
高中数学 第二讲 参数方程测评习题(含解析)新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学试题
第二讲测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若直线l 的参数方程为{x =2017+3t ,y =2016-t (t 为参数),则直线l 的斜率等于()A.3B.-3C.1D.-13l 的斜率k=-13=-13.2.直线3x-4y-9=0与圆:{x =2cosθ,y =2sinθ(θ为参数)的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心(0,0),半径为2,圆心到直线3x-4y-9=0的距离d=95<2,故直线与圆相交但直线不过圆心.3.参数方程为{x =t +1t ,y =2(t 为参数)表示的曲线是()A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线2表示一条平行于x 轴的直线,而由x=t+1t知x ≥2或x ≤-2,所以参数方程表示的曲线是两条射线.4.已知椭圆的参数方程为{x =2cost ,y =4sint(t 为参数),点M 在椭圆上,对应参数t=π3,点O 为原点,则直线OM的斜率为() A.√3 B.-√33C.2√3D.-2√3t=π3时,x=1,y=2√3,则M (1,2√3),所以直线OM 的斜率k=2√3. 5.已知圆的渐开线{x =r (cosφ+φsinφ),y =r (sinφ-φcosφ)(φ为参数)上一点的坐标为(3,0),则渐开线对应的基圆的面积为()A.πB.3πC.4πD.9π(3,0)代入参数方程得{3=r (cosφ+φsinφ), ①0=r (sinφ-φcosφ),②由②得φ=tan φ,即φ=0.再代入①得r=3,即基圆的半径为3,故其面积为9π.6.已知直线l 的参数方程为{x =a +t ,y =b +t (t 为参数),l 上的点P 1对应的参数是t 1,则点P 1与点P (a ,b )之间的距离是() A.|t 1| B.2|t 1| C.√2|t 1|D.√22|t 1|P 1的坐标为(a+t 1,b+t 1),则点P 1与点P 之间的距离为√t 12+t 12=√2|t 1|.7.直线{x =1+12t ,y =-3√3+√32t(t 为参数)和圆x 2+y 2=16相交于A ,B 两点,则线段AB 中点的坐标为() A.(3,-3) B.(3,-√3) C.(√3,-3)D.(-√3,3)(1+12t)2+(-3√3+√32t)2=16,得t 2-8t+12=0.设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=8,t 1+t 22=4.所以线段AB 的中点的坐标满足{x =1+12×4,y =-3√3+√32×4, 即{x =3,y =-√3.故所求的中点坐标为(3,-√3).8.已知经过曲线{x =3cosθ,y =4sinθ(θ为参数,0≤θ≤π)上的一点P 与原点O 的直线PO ,若它的倾斜角为π4,则点P 的极坐标为() A.(3,π4) B.(3√22,π4) C.(-125,π4)D.(12√25,π4)将曲线化成普通方程为x 29+y 216=1(y ≥0),将其与直线PO :y=x 联立可得点P 的坐标为(125,125).利用直角坐标与极坐标的互化公式可得点P 的极坐标为(12√25,π4).9.与普通方程x 2+y-1=0等价的参数方程是() A.{x =sint ,y =cos 2t (t 为参数) B.{x =tanφ,y =1-tan 2φ(φ为参数) C.{x =√1-t ,y =t (t 为参数) D.{x =cosθ,y =sin 2θ(θ为参数)A 中,由于普通方程x 2+y-1=0中x 可以取得一切实数,但A 中x 大于等于-1,小于等于1,故错误;选项B 中,结合正切函数的图象可知,满足题意;选项C 中,由偶次根式的定义可知,x 不可能取得一切实数,故错误;选项D 中,结合余弦函数的有界性可知x 不能取得一切实数,错误.故选B .10.已知直线l :{x =√3t ,y =2-t (t 为参数)和抛物线C :y 2=2x ,l 与C 分别交于点P 1,P 2,则点A (0,2)到P 1,P 2两点的距离之和是() A.4+√3 B.2(2+√3) C.4(2+√3)D.8+√3{x =-√32t ',y =2+12t '(t'为参数,t'=-2t ),将其代入y 2=2x ,得t'2+4(2+√3)t'+16=0. 设t'1,t'2分别为方程的根,则t'1+t'2=-4(2+√3),t'1t'2=16>0,由此可知t'1,t'2均小于零,则|AP 1|+|AP 2|=|t'1|+|t'2|=|t'1+t'2|=4(2+√3).11.若曲线C 的参数方程为{x =2+3cosθ,y =-1+3sinθ(θ为参数),直线l 的方程为x-3y+2=0,则曲线C 上到直线l的距离为7√1010的点的个数为() A.1B.2C.3D.4C 的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半径为3的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d=√10=7√1010,且3-7√1010<7√1010, 故过圆心且与l 平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.12.导学号73574066过抛物线{x =2t 2,y =√3t (t 为参数)的焦点的弦长为2,则弦长所在直线的倾斜角为() A.π3 B.π3或2π3 C.π6D.π6或5π6y 2=32x ,它的焦点坐标为(38,0).设弦所在直线的方程为y=k (x -38),由{y 2=32x ,y =k (x -38)消去y ,得64k 2x 2-48(k 2+2)x+9k 2=0.设弦的两个端点的坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(34·k 2+2k 2)2-916=√1+k2,解得k=±√3.故倾斜角为π3或2π3.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在平面直角坐标系xOy 中,若直线l 1:{x =2s +1,y =s (s 为参数)和直线l 2:{x =at ,y =2t -1(t 为参数)平行,则常数a 的值为.1的普通方程为x=2y+1,l 2的普通方程为x=a ·y+12,即x=a2y+a2,因为l 1∥l 2,所以2=a2,故a=4.14.设P (x ,y )是圆C :(x-2)2+y 2=4上的动点,记以射线Ox 为始边、以射线OP 为终边的最小正角为θ,则以θ为参数的圆C 的参数方程为.C 的圆心坐标为(2,0),半径为2,如图,由圆的性质知以射线Cx 为始边、以射线CP 为终边的最小正角为2θ,所以圆C 的参数方程为{x =2+2cos2θ,y =2sin2θ(θ为参数).x =2+2cos2θ,y =2sin2θ(θ为参数)15.在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ=4的直线与曲线{x =t 2,y =t 3(t 为参数)相交于A ,B 两点,则|AB|=.ρcos θ=4化为直角坐标方程是x=4,而由曲线的参数方程消参得x 3=y 2,所以y 2=43=64, 即y=±8.所以|AB|=|8-(-8)|=16.16.若直线{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数)与圆{x =4+2cosα,y =2sinα(α为参数)相切,则此直线的倾斜角α=.y=x ·tan α,圆(x-4)2+y 2=4,如图所示,sin α=24=12,则α=π6或α=5π6.5π6三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线: (1){x =7cosφ,y =4sinφ(φ为参数);(2){x =1-5t ,y =7t (t 为参数).因为{x =7cosφ,y =4sinφ,所以{x7=cosφ,y4=sinφ.两边平方相加,得x 249+y 216=cos 2φ+sin 2φ=1,故所求的普通方程为x 249+y 216=1,它表示焦点在x 轴上,且长轴长为14,短轴长为8,中心在原点的椭圆. (2)因为{x =1-5t ,y =7t ,所以将t=y 7代入x=1-5t ,得x=1-5·y7,即7x+5y-7=0.故所求的普通方程为7x+5y-7=0, 它表示过(0,75)和(1,0)的一条直线.18.(本小题满分12分)已知直线l 1的方程为{x =1+t ,y =-5+√3t (t 为参数),直线l 2的方程为x-y-2√3=0.求直线l 1和直线l 2的交点P 的坐标及点P 与点Q (2√3,-5)间的距离.{x =1+t ,y =-5+√3t代入x-y-2√3=0,得t=2√3,∴点P 的坐标为(1+2√3,1).又点Q 为(2√3,-5),∴|PQ|=√12+62=√37.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为{x =1+3cost ,y =-2+3sint (t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,直线l 的方程为√2ρsin (θ-π4)=m (m ∈R ).(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程; (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2,求m 的值.消去参数t ,得圆C 的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.由√2ρsin (θ-π4)=m , 得ρsin θ-ρcos θ-m=0.所以直线l 的直角坐标方程为x-y+m=0. (2)依题意,圆心C 到直线l 的距离等于2, 即2=2,解得m=-3±2√2.20.(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为{x =3+2cosθ,y =-4+2sinθ(θ为参数).(1)以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C 的极坐标方程; (2)若A (-2,0),B (0,2),圆C 上任意一点M (x ,y ),求△ABM 面积的最大值.因为圆C 的参数方程为{x =3+2cosθ,y =-4+2sinθ(θ为参数),所以其普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得(ρcos θ-3)2+(ρsin θ+4)2=4,化简得ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.故圆C 的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.(2)由题意知直线AB 的方程为x-y+2=0,点M (x ,y )到直线AB :x-y+2=0的距离d=√2,△ABM 的面积S=12×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=|2√2sin (π4-θ)+9|.所以△ABM 面积的最大值为9+2√2. 21.导学号73574067(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数,t ≠0),其中 0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2√3cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB|的最大值.曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0.联立{x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-2√3x =0,解得{x =0,y =0或{x =√32,y =32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32).(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α<π.因此点A 的极坐标为(2sin α,α),点B 的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α-π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,且最大值为4. 22.导学号73574068(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程是{x =2cosφ,y =3sinφ(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,π3). (1)求点A ,B ,C ,D 的直角坐标;(2)设P 为C 1上的任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值X 围.由已知可得A ,B ,C ,D 的直角坐标分别为A (2cos π3,2sin π3),B (2cos (π3+π2),2sin (π3+π2)), C (2cos (π3+π),2sin (π3+π)),D (2cos (π3+3π2),2sin (π3+3π2)),即A (1,√3),B (-√3,1),C (-1,-√3),D (√3,-1).(2)设P (2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2, 则S=16cos 2φ+36sin 2φ+16=32+20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1,所以S 的取值X 围是[32,52].。
2020年高中数学人教A版选修4-4课时跟踪检测 参数方程的概念(含答案解析)
(x-acos θ)2＋(y-bsin θ)2=a2cos2θ＋b2sin2θ.
x＝acos θ，
∴
(θ为参数)．
y＝bsin θ
这就是所求的轨迹方程．
12.解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ=θ，
由 PQ⊥OA，PB∥OA，得
x=OD=OQcos θ=OAcos2θ=2acos2θ，
程．
12.如图所示，OA 是圆 C 的直径，且 OA=2a，射线 OB 与圆交于 Q 点，和经过 A 点的切线交于 B 点，作 PQ⊥OA，PB∥OA，试求点 P 的轨迹方程．
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13.试确定过 M(0,1)作椭圆 x2＋y2=1 的弦的中点的轨迹方程． 4
x＝3t，
14.已知曲线 C 的参数方程是
为( )
x＝acos φ， A.
y＝asin φ
x＝a 1＋cos φ ， B.
y＝asin φ
x＝acos φ， C.
y＝a 1＋sin φ
x＝a 1＋cos 2φ ， D.
y＝asin 2φ
6.由方程 x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4=0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )
x＝2t， A.
y＝t
x＝－2t，
x＝2t，
B.
C.
y＝t
y＝－t
x＝－2t， D.
y＝－t
二、填空题
x＝2sin θ＋1，
7.已知曲线
(θ为参数，0≤θ＜2π)．
y＝sin θ＋3
下列各点：A(1,3)，B(2,2)，C(-3,5)，其中在曲线上的点是________．
8.动点 M 作匀速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 9 和 12，运动开始时，点 M 位 于 A(1,1)，则点 M 的参数方程为________________________．
_学年高中数学课时跟踪检测(十一)双曲线的参数方程抛物线的参数方新人教A版选修4_4
课时跟踪检测(十一) 双曲线的参数方程 抛物线的参数方一、选择题1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2－1，y ＝2t ＋1(t 为参数)的焦点坐标是( )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0，－1)解析：选B 将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)， 该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到， 所以焦点为(0,1)． 2．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ是参数)的焦点坐标是( )A ．(－5,0)B ．(5,0)C ．(±5,0)D ．(0，±5)解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)得 x 216－y 29＝1，∴它的焦点坐标为(±5,0)．3．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t＋e －t，y ＝e t －e－t(t 为参数)的图形是( )A ．双曲线左支B ．双曲线右支C ．双曲线上支D ．双曲线下支解析：选B ∵x 2－y 2＝e 2t＋2＋e －2t－(e 2t －2＋e－2t)＝4.且x ＝e t＋e －t≥2e t ·e －t＝2. ∴表示双曲线的右支．4．点Μ0(0,2)到双曲线x 2－y 2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( )A ．1B ．2 C. 3 D ．3解析：选C ∵双曲线方程为x 2－y 2＝1，∴a ＝b ＝1. ∴双曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)．设双曲线上一动点为Μ(sec θ，tan θ)， 则||Μ0Μ2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1时，||Μ0Μ2取最小值3，此时有||Μ0Μ＝ 3. 二、填空题5．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22y ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程是________．解析：圆心轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2θ，y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θcos θ，y ＝－θ＋cos θ消去参数，得y 2＝1＋2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12.答案：y 2＝1＋2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤126．双曲线⎩⎨⎧x ＝3tan θ，y ＝sec θ(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．解析：将参数方程化为y 2－x 23＝1，此时a ＝1，b ＝3，设渐近线倾斜角为α，则tan α＝±13＝±33. ∴α＝30°或150°. 答案：30°或150°7．(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝ t(t 为参数)得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 答案：(1,1) 三、解答题8．已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值．解：由题意可知O 1(0,2)，∵Q 为双曲线x 2－y 2＝1上一点，设Q (sec θ，tan θ)， 在△O 1QP 中，|O 1P |＝1，|O 1P |＋|PQ |≥|O 1Q |. 又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5 ＝2(tan θ－1)2＋3.∴当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝ 3.∴|PQ |min ＝3－1.9．已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数．证明：设d 1为点Μ到渐近线y ＝x 的距离，d 2为点Μ到渐近线y ＝－x 的距离， 因为点Μ在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设点Μ的坐标为(sec α，tan α)．d 1＝||sec α－tan α2，d 2＝||sec α＋tan α2，d 1d 2＝||sec 2α－tan 2α2＝12， 故d 1与d 2的乘积是常数．10．过点A (1,0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：法一：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)，则k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t22.∴k AP ＝t 1＋t 2t 21＋t 22－1，由k MN ＝k AP 知t 1t 2＝－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 21＋t 22，y ＝t 1＋t 2，则y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－14＝4(x －1)．∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由M ，N 在抛物线y 2＝8x 上知⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减得y 21－y 22＝8(x 1－x 2)，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2.设线段MN 的中点为P (x ，y )，∴y 1＋y 2＝2y . 由k PA ＝yx －1，又k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝4y ， ∴yx －1＝4y.∴y 2＝4(x －1)． ∴线段MN 的中点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －1)．。
数学人教A版选修4-4课后导练 第二讲二圆锥曲线的参数
课后导练基础达标1.点P(x,y)在椭圆4)2(2-x +(y-1)2=1上,则x+y 的最大值是( )A.3+5B.5+5C.5D.3解析:由于点P(x,y)在椭圆4)2(2-x +(y-1)2=1上,有⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin 1,cos 22y x (φ为参数).∴x +y=3+2cosφ+sinφ.由三角函数性质知x+y 的最大值为3+5. 答案:A 2.参数方程⎩⎨⎧∙=+=θθθθcos sin ,cos sin y x (θ为参数)表示的曲线为( )解析:由x=sinθ+cosθ两边平方,得x 2=1+2sinθcosθ=1+2y. ∴y=21x 2-21, 且x=sinθ+cosθ=2sin(θ+4π)∈［2,2-］ 答案:C3.在椭圆42x +y 2=1上求一点P,使点P 到直线x-y+4=0的距离最小.解:∵点P 在椭圆42x +y 2=1上,可设P(2cosφ,sinφ),则有d=⇒-+=+-2sin cos 242|4sin cos 2|ϕϕϕϕd=2)sin(54θϕ--.当φ-θ=2π时,d 最小=21024254-=-. 这时P(51,54-).4.直线y=2x-21与曲线⎩⎨⎧==ϕϕ2cos ,sin y x (φ为参数)的交点坐标是____________. 解析:曲线方程消去参数得y=1-2x 2与y=2x-21联立得4x 2+4x-3=0. ∴x 1=21,x 2=23-. ∵-1≤x≤1,∴x=21,y=21. 答案:(21,21)5.曲线⎩⎨⎧==θθsin 32,cos 2y x (θ为参数)上一点到直线y=x-5的距离d 的最小值为( )A.225 B.229 C.22D.0 解析:d=2|5)3cos(4|2|5sin 32cos 2|-+=--πθθθ,∵-9≤4cos(θ+3π)-5≤-1, ∴d 的最小值为2221=. 答案:C6.设直线l:x+2y+1=0交椭圆C:4(x-1)2+9(y+2)2=36于A 、B 两点,在椭圆上求一点P,使△ABP 的面积最大.分析:因为A 、B 为两定点,AB 为定长,所以可将问题转化为在椭圆上求一点到直线的距离最大的问题.解:设椭圆C 上的点P(1+3cosθ,-2+2sinθ),由于定直线l 和定椭圆C 截得的弦长为定长,又设P 到直线l 的距离为d,则d=515|1)sin 22(2cos 31|=++-++θθ|5sin(θ+α)-2|,其中tanα=43.故当sin(θ+α)=-1,即θ=2kπ+23π-α,k ∈Z 时,d 有最大值,这时△ABP 的面积最大. ∵sinθ=sin(2kπ+23π-α)=-cosα=54-,cosθ=-sinα=53-,∴P(54-,518-)为所求.综合运用7.已知抛物线y 2=2px(p>0)上存在两点关于直线x+y-1=0对称,求p 的取值范围. 分析:利用抛物线的参数方程,设点A 、B 的坐标分别为(2px 12,2px 1),(2px 22,2px 2),又二者关于直线x+y-1=0对称,则可列出等价方程,建立p 的不等式.解:设抛物线上两点A 、B 的坐标分别为(2px 12、2px 1),(2px 22,2px 2)且关于直线x+y-1=0对称,则有⎪⎩⎪⎨⎧=--=+++.1)(2)(2,1)()(212212212221x x p x x p x x p x x p由第二个方程可得x 1+x 2=1,代入第一个方程得x 12+x 22=pp-1>0, 故0<p<1.又由)2(2212221x x x x +>+2,得pp -1>21, 即0<p<32为所求. 8.点P 在圆x 2+(y-2)2=41上移动,点Q 在椭圆x 2+4y 2=4上移动,求PQ 的最大值与最小值,及相应的点Q 的坐标.解:设Q(2cosα,sinα),O′(0,2),则O′Q 2=(2cosα)2+(sinα-2)2 =4cos 2α+sin 2α-4sinα+4=-3(sinα+32)2+8+34. 故当sinα=32-时,O′Q 2取最大值为328,O′Q=3212.当sinα=1,O′Q 2取最小值为1,O′Q=1. 又圆的半径为21, 故圆上的点P 与Q 的最大距离为PQ=21+3212, P 与Q 的最小距离为PQ=1-21=21.PQ 取最大值时,si nα=32-,cosα=±941-=±35,Q 的坐标为(32,352-)或(32,352--); PQ 取最小值时,sinα=1,cosα=0,点Q 的坐标为(0,1).9.(1)求椭圆2222by a x +=1的内接矩形的最大面积;(2)已知矩形ABCD 中,点C 坐标为(4,4),A 点在曲线x 2+y 2=9(x>0,y>0)上移动,且AB 、AD 两边始终分别平行于x 、y 坐标轴,求矩形ABCD 面积最小时点A 的坐标.解:(1)设内接矩形在第一象限内的顶点为P(acosθ,bsinθ),则有S 内接矩形=4S 矩形AOBP =4·acosθ·bsinθ=2absin2θ. ∵θ∈［0,2π］, ∴2θ∈［0,π］.∴S 内接矩形的最大值为2ab.(2)如图所示,设A(x,y),又设矩形ABCD 的面积为S,则有S=(4-x)(4-y)=16-4(x+y)+xy. ∵A(x,y)在曲线x 2+y 2=9上, ∴x 2+y 2=(x+y)2-2xy=9.∴xy=29)(2-+y x .∴S=16-4(x+y)+29)(2-+y x =21［(x+y)-4］2+27.又∵x=3cosθ,y=3sinθ(0<θ<2π), ∴x+y=3(cosθ+sinθ)=23sin(θ+4π). ∵4π<θ+4π<43π,∴3<x+y≤23. ∴当x+y=4时,S 有最小值.解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±=⎪⎩⎪⎨⎧=-=∙=+.224,224,272916,4 y x y x y x 得 ∴A 点坐标为(224,224-+)或(224,224+-).拓展探究10.已知直线l 过坐标原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上,若点A(-1,0)、B(0,8)关于l 的对称点都在C 上,求直线l 和抛物线C 的方程.分析:本题的运算量较大,如果直接用普通方程来求解,其计算量会更大,同学们不妨一试. 解:设A 、B 关于直线l 的对称点分别为A 1、B 1,由对称性知∠A 1OB 1=∠AOB=90°,由抛物线的参数方程可设A 1(2pt 12,2pt 1)(t 1<0),B 1(2pt 22,2pt 2),又OA 1=OA=1,OB 1=OB=8,则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.64)2()2(,1)2()2(2222221221pt pt pt pt两式相除得21412242t t tt ++=64.又∵211,111t k t k OB OA ==,OA 1⊥OB 1, ∴11O B O A k k ∙=-1,即t 1·t 2=-1. 则可将t 2=11t -代入上式,得t 16=641,t 1=-21.故有2p=554. ∴A 1(552,55-).∴251,2511+=-=t AA k k . 故所求直线l 的方程为y=251+x,抛物线C 的方程为y 2=554x.。
人教版数学选修4-4课后练 2.2 圆锥曲线的参数方程 课后 Word版含答案
第二讲一、选择题．(·华师一附中高三检测)参数方程(\\(＝θ＋θ，＝＋θ)) (θ为参数)所表示的曲线为( )．圆的一部分．抛物线的一部分．双曲线的一部分．椭圆的一部分解析：参数方程(\\(＝θ＋θ，＝＋θ))(θ为参数)化为普通方程为＝(≤≤)，表示抛物线的一部分．．已知过曲线(\\(＝θ，＝θ)) (θ为参数，≤θ≤π)上一点和原点的连线的倾斜角为，则点的坐标是( )．() ．．．解析：直线的方程是＝，又点为曲线(\\(＝θ，＝θ))上一点，故θ＝θ即θ＝，因为倾斜角为，≤θ≤π，所以曲线与直线的交点在第一象限，故θ＝，θ＝，所以＝＝.．点(，)是椭圆＋＝上的一个动点，则＋的最大值为( )．．．．解析：椭圆方程为＋＝，设(θ，θ)，则＋＝θ＋θ＝(θ＋φ)，故＋≤＋的最大值为.．双曲线：(\\(＝(φ)，＝φ))(φ为参数)的一个焦点为 ( )．() ．()．() ．()解析：由(\\(＝(φ)，＝φ))得(\\(()＝(φ)，,()＝φ，))于是－＝－φ＝，即双曲线方程为－＝，焦点为(±)．故选．．已知两曲线参数方程分别为(\\(＝()θ，＝θ))(≤θ＜π)和(\\(＝()，＝)) (∈)，它们的交点坐标为( )．．()．(，－) ．解析：由(\\(＝() θ，＝θ))(≤θ＜π)，得＋＝(≥)．由＝，＝(∈)得＝，∴＋－＝，解得＝或＝－(舍去)．所以＝＝.又θ≥，得交点坐标为.．(·湖北黄石月考)椭圆＋＝上的点到直线＋－＝的距离的最小值为( )．．．．解析：可设椭圆＋＝上的点为(θ，θ)，该点到直线＋－＝的距离＝＝≥＝.故选．二、填空题．(·湖南株洲模拟)在直角坐标系中，曲线的参数方程为(\\(＝α，＝()α))(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴的正半轴为极轴)中，直线的方程为ρ(θ－θ)＋＝，则曲线与的交点的个数为.解析：由题意，曲线的参数方程(\\(＝α，＝()α))(α为参数)可化为一般方程＋＝，直线的极坐标方程ρ(θ－θ)＋＝可化为普通方程－＋＝.联立两个方程，消去可得＋＝，即＋－＝.因为Δ＝＋××>，所以直线与椭圆相交，且有两个交点．．已知抛物线的参数方程为(\\(＝，＝)) (为参数)．若斜率为的直线过抛物线的焦点，且与圆(－)＋＝(>)相离，则的取值范围是 (，)．解析：由(\\(＝，＝))得＝，抛物线的焦点坐标为()，直线方程为＝－，即－－＝.因为直线＝－与圆(－)＋＝(>)相离，由题意得＝＝>.．(·山西太原一模)在直角坐标系中，曲线的参方程为(\\(＝＋()θ，＝()θ))(θ为参数)，点是曲线上的动点．点在曲线上，且＝，则曲线的普通方程为(－)＋＝.解析：设(′，′)是曲线上的动点，(，)是曲线上的点，则＝′，＝′.而(\\(′＝＋()θ，′＝()θ))(θ为参数)消去θ得(′－)＋′＝，∴曲线的普通方程为(－)＋＝.三、解答题．已知为椭圆＋＝上的点，()，求的取值范围．解析：由＋＝，得＋＝.令(\\(＝φ，＝φ))(φ为参数)，则＝(－φ)＋(－φ)＝φ－φ＋＝(φ－)－，∵φ∈[－]，∴∈[]，∴∈[]．．已知椭圆：＋＝与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，，动点是椭圆上任一点，求△面积的最大值．解析：∵在椭圆上，可设(α，α)，又：＋＝，到距离＝＝≤(＋)，∴(△)＝(＋)．。
数学人教A版选修4-4课后导练第二讲二圆锥曲线的参数方程含解析
课后导练基础达标 1.点P （x ，y)在椭圆4)2(2-x +(y —1）2=1上,则x+y 的最大值是（ )A.3+5B.5+5C 。
5D 。
3解析：由于点P （x,y)在椭圆4)2(2-x +(y-1)2=1上,有⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin 1,cos 22y x (φ为参数). ∴x+y=3+2cosφ+sinφ.由三角函数性质知x+y 的最大值为3+5。
答案:A2。
参数方程⎩⎨⎧•=+=θθθθcos sin ,cos sin y x (θ为参数)表示的曲线为( ）解析:由x=sinθ+cosθ两边平方,得 x 2=1+2sinθcosθ=1+2y。
∴y=21x 2-21，且x=sinθ+cosθ=2sin （θ+4π）∈［2,2-］ 答案：C 3。
在椭圆42x +y 2=1上求一点P,使点P 到直线x —y+4=0的距离最小。
解：∵点P在椭圆42x +y 2=1上，可设P （2cosφ，sinφ），则有d=⇒-+=+-2sin cos 242|4sin cos 2|ϕϕϕϕd=2)sin(54θϕ--。
当φ—θ=2π时,d 最小=21024254-=-。
这时P(51,54-）。
4.直线y=2x —21与曲线⎩⎨⎧==ϕϕ2cos ,sin y x (φ为参数)的交点坐标是____________.解析:曲线方程消去参数得y=1—2x 2与y=2x —21联立得4x 2+4x-3=0。
∴x 1=21，x 2=23-。
∵—1≤x≤1， ∴x=21，y=21.答案:（21,21）5.曲线⎩⎨⎧==θθsin 32,cos 2y x (θ为参数)上一点到直线y=x-5的距离d 的最小值为( ）A 。
225 B 。
229C 。
22 D.0解析：d=2|5)3cos(4|2|5sin 32cos 2|-+=--πθθθ,∵—9≤4cos（θ+3π)—5≤-1， ∴d 的最小值为2221=. 答案:C6。
高中数学人教A版选修4-4课时跟踪检测(十一) 双曲线的参数方程 抛物线的参数方
课时跟踪检测(十一) 双曲线的参数方程 抛物线的参数方一、选择题1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2－1，y ＝2t ＋1(t 为参数)的焦点坐标是( ) A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0，－1)解析：选B 将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)，该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0,1)．2．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ是参数)的焦点坐标是( ) A ．(－5,0)B ．(5,0)C ．(±5,0)D ．(0，±5)解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)得 x 216－y 29＝1， ∴它的焦点坐标为(±5,0)．3．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t ，y ＝e t －e －t (t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支 D ．双曲线下支 解析：选B ∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4.且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t ＝2.∴表示双曲线的右支． 4．点Μ0(0,2)到双曲线x 2－y 2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( )A ．1B ．2 C. 3 D ．3解析：选C ∵双曲线方程为x 2－y 2＝1，∴a ＝b ＝1.∴双曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)． 设双曲线上一动点为Μ(sec θ，tan θ)，则||Μ0Μ2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4)＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1时，||Μ0Μ2取最小值3，此时有||Μ0Μ＝ 3.二、填空题5．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22y ·sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程是________．解析：圆心轨迹的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝12sin 2θ，y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin θcos θ，y ＝－(sin θ＋cos θ).消去参数，得y 2＝1＋2x ⎝⎛⎭⎫－12≤x ≤12.答案：y 2＝1＋2x ⎝⎛⎭⎫－12≤x ≤126．双曲线⎩⎨⎧ x ＝3tan θ，y ＝sec θ(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．解析：将参数方程化为y 2－x 23＝1，此时a ＝1，b ＝3，设渐近线倾斜角为α，则tan α＝±13＝±33.∴α＝30°或150°.答案：30°或150°7．(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝ t (t 为参数)得y ＝x ，又由⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧ y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)．答案：(1,1)三、解答题8．已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值．解：由题意可知O 1(0,2)，∵Q 为双曲线x 2－y 2＝1上一点，设Q (sec θ，tan θ)， 在△O 1QP 中，|O 1P |＝1，|O 1P |＋|PQ |≥|O 1Q |.又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4)＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3.∴当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝ 3. ∴|PQ |min ＝3－1.9．已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数．证明：设d 1为点Μ到渐近线y ＝x 的距离，d 2为点Μ到渐近线y ＝－x 的距离， 因为点Μ在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设点Μ的坐标为(sec α，tan α)．d 1＝||sec α－tan α2，d 2＝||sec α＋tan α2， d 1d 2＝||sec 2α－tan 2α2＝12， 故d 1与d 2的乘积是常数．10．过点A (1,0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：法一：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)， 则k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.∴k AP ＝4(t 1＋t 2)4(t 21＋t 22)－1，由k MN ＝k AP 知t 1t 2＝－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(t 21＋t 22)，y ＝4(t 1＋t 2)， 则y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16⎝⎛⎭⎫x 4－14＝4(x －1)． ∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由M ，N 在抛物线y 2＝8x 上知⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1，y 22＝8x 2， 两式相减得y 21－y 22＝8(x 1－x 2)，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2.设线段MN 的中点为P (x ，y )，∴y 1＋y 2＝2y . 由k PA ＝y x －1，又k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝4y ， ∴y x －1＝4y .∴y 2＝4(x －1)． ∴线段MN 的中点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －1)．小课堂：如何培养学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
新课标人教版高中数学选修4-4第二讲第二节双曲线与抛物线的参数方程练习题2
帰时訓练10 珥曲绻与抠物缉的赛数方穩1■■ '- 4- -. *■ 1D.抛物线的一部分、这部分过点(-141». ti 知勵纯的壽?敕方榨沖『 “ \t 为壽#O,点A.B 虑曲纯匕时应的翕数分團为“和乩若巧十1円搭 亦=0*则帆El 零于C >&2扒气一岭〉B. 2^<^+tz)二"填空题⑴2+临1抄如为曇數)的渐近线的方耦为____________ .y "■ &ec <p +8. _____________________________________________ 抛物线疋一罕的顶点敕迹的普遹方程为__________________________________________________________ ・R. . - , , . 5 , , ■朿小■1| J ■■ ― V r ,JF1峙—»木 _________________________________ <r 为雾数川>0片则曲线C 的普通方程为 _____________________________ ・HE 设M 为拋物线工上的动点*结定点M s (-l t 0),点F 分的比为2 T’卿点尸的轨迹方 程基 *一“选择题4嬴E 怡甦蠶数)的像点坐标是(®帚3饰n 0扎(-5*0)監已知某条曲线的藝数方理为B. <5.0)L=^(a+-i), '1 / 1 \C.a 是裁数儿则该曲纯A.銭段Ia 双曲线为参数)的两然点坐标遷( t=5sec aA*【0,—4庙〉8 fe武；七：- ■ ' * -1/ -'，二u®W )*(o ，Q氏圆U 双曲純BM —必 屈 0)D.W;TW ；4.点F(bO)到曲线严T t 参数坨田上的点的最短距离为( =2; /：■■-A.0B.1.…. ^ ..-9亠十a cos y+sm@为参数，且0<tf<2K )«示( )尸評】+血冊■，' •弘■'. ■ . . '■^ 打 .1•J■..■ 「” ■ T. ”" ''■ >i-,1- g >A. 抛物线的一部分，这部分过点(l.y)1Ai S *. J 8 4J' " ' : "P - ■,「：. ..'* -B, 取曲銭的一支•这支过点(嗨)“——"bf)U 双曲线的一支，谊支过点>■1C, 2小一奇工双曲线 ，已知曲鰻C 的蠢数方程为三、解答题口设M为抛物线= 上的动点.定点M( —1沱片点P为线段M“M的币点，求点P的轨迹方程.12.已知圆O1 ’云+6 —2尸弓1上〜点P •与双曲线护一y = 1上一点Q,求F,Q两点距离的最小值*13.如图，址P为筹轴双曲线才一b = l上的一点，耳，F,是两个焦点，* r1:'圧明訂尸鬥I • \PF i\^\OP\\ ,厂，-参考答案：•,…• I丰 7 -■ ■;"课时训练e 双曲钱与抛物线的参数方程一*选探题*#_ ¥；'小.品出/⑴为秦#o,3tan 8：・00惟曲践是中心在廉点，洪轴在足轴上的取曲一'•-j IB.'i线皿=4/士 3.丄=,.・•.:■;■■ W ::::・;-..:、:Ac J=!a :1 + 6e ~25*i ・'・「=5・ 二它苗氷点坐标曲(士队0人■卜■r.• ■*■；(“十寺卜 > =■ ■-. . •两真枷加得工+』・"，®cos 2 务十昂讨-|'T F2CQ 3 y-sin 1 + sin ff t斗申'i ' a ■iti d-*k 、：,卓亠? ..j ・・； J] f T"1_•■■ •「・y -三F#且x>0.»表示抛杨线的J 邯分.bC 僅申由JT 严2曲丰苍=2pf 訂 ’• L ___JA JT , — J ；2—2p<(；—+^)((] —E J=-Q 则有 i AB|f |凶一”X V y r = 2^1* t T yi•启―■*I —2, h ; !|J V S ；{3. A 4, B 5. A 解析：lan a=^—seej2^3 6 ：,iij sec 1 or —： n ；得若— —h —6£<2^>! ' 36 12 * i "I W . i .AAA y 轴上，且』=□"+卅=48$■易痔戒曲践的駄点坐标是(0.-473),(0M#),r. _ 2 ■>^r 1 ■；f ：. ■.. Us --解析疽B=a —m+y =(严一M+*严=広十1尸a H- !，- ..■■■- .i「 ；丁疋R 匸逛.二1 J解析；苗養数汙程密JC'= !：■• i-r ■ 4 r ? • / -*. J :- S ,-二*填空题 ；'it ： ■ ■厂：「G ■/丁」—士*（工一21解箭’艰曲裁,的歌数才祂花为普通芳1 ' - II芒；；、"程菊b 一竺产=4取塾线的中占在段小几鶯点在 直线 X = 2 ±,<a=l f 6*-3f咒漸近議去段初=士专9一2匚 -;解析：拠畅蛭曲程可化为丿（比一+）；■ .■ /.'-> 上’：'■■/'；<：-7二其顶点弟（+，-*） d© MQ ：心）寿册求轨逵上（ 1 •;仃■姜旷得卅（上梓Oh9. +6 t# 析：国论 J ：所必 卅+ g = E 十丄=寻*E u I ・fet 曲歧C 时普通污程为3工*一，十或土①f1軌"=可工+不，解柝；血囲*母M （2iS2O J J Cx^>,V 点P 分M a M 的比为 2 < U」•FR2 " 3 .4消去参it 冇得，■百方粒三JMf ,、； 、 （. ■ ^ ;用11■解:设点 M （竝■ $•人壶F （』■$）■令 恥=则 竝=・. - B¥=2凡得抛勵减的舉數方輕为 $'列‘"为參 2 L 严如J 1 ■|r B - E■［亠 卡 」 I事 r ； •:, A如，即动点JVf （2i\2d,定点 H （-1JO ）\曲申甜 童■卜=寺（-1+2产），—_JL 十儿 标公却彳 印f2十八仃为(W十口七T 一一 Z1十20+2X2(工十g A ■ -4,和为卩松的轨徒…”■-T：U=X家数）是F点妁轨迹的泰數才萩•其化为普通方軽痈, i _T r<i.I I " 「二］—I " . +、：i .衬=H+豆. —，£*. =■■'・• * •@解：设Q（沁佻Urn £?）t A RtAOiQP 中・|0屮| =1, IOP| + |PQ"|QQ|「「' ^ X IO|Q|r ==1sec I（?+,（tan ' ■--:-,=Ktan:&+1）4-（tan1 ff— 4tan。
人教A版高中数学选修4-4同步练习双曲线的参数方程、抛物线的参数方程
2．4 双曲线的参数方程、抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程当以F 1，F 2所在的直线为x 轴，以线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，双曲线的普通方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．此时参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝□01a cos φ，y ＝□02b tan φ(φ为参数)．其中φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝□03b tan φ，y ＝□04a sec φ(φ为参数)．2．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝□052pt 2，y ＝□062pt(t ∈R )．(2)参数t 的几何意义是□07抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)双曲线x 29－y 216＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4sec φ，y ＝3tan φ(φ为参数)．( )(2)双曲线y 225－x 24＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2tan φ，y ＝5sec φ(φ为参数)．( )(3)y 2＝16x 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝16t 2，y ＝16t (t 为参数)．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是________．答案 (0，±43)(2)如果双曲线⎩⎨⎧x ＝sec θ，y ＝6tan θ(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的左焦点距离是________．答案 10或6(3)过抛物线⎩⎨⎧y ＝2t ，x ＝t 2(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6．则|AB |＝________．答案 8(4)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)表示的曲线的焦距为________．答案 42探究1 双曲线的参数方程的应用例1 在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为2． 解 本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出P 点的坐标，建立方程求解．设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos φ－sin φcos φ＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|， 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即5sin 2φ－2sin φ－3＝0． 解得sin φ＝1或sin φ＝－35． sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45．∴P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－34或⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，34．本例的求解充分利用了双曲线的参数方程．一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x ，y 都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果．【跟踪训练1】 求证：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．证明 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，得两条渐近线的方程是bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0，设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)，它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2， 则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋(－a )2＝|a 2b 2(sec 2φ－tan 2φ)|a 2＋b 2＝a 2b 2a 2＋b 2(定值)．探究2 抛物线参数方程的应用例2 连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．解 设M (x ，y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在OM 的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2t ，y ＝2t 2，由中点坐标公式得⎩⎨⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2，变形为y 0＝14x 20，即x 2＝4y ．表示的为抛物线．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数化为普通方程，如果动点轨迹与圆锥曲线有关，通常以圆锥曲线参数方程中的参数作为中间变量．【跟踪训练2】 已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l ．过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________．答案 2解析 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F p 2，0，所以p 2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．探究3 圆锥曲线的参数方程的综合应用例3 如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线⎩⎨⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．解 ∵双曲线的普通方程为x 216－y 29＝1， ∴右焦点(5，0)，右顶点(4，0)． 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∴a ＝5，c ＝4，b ＝3． ∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1． 设椭圆上一点P (5cos θ，3sin θ)，双曲线一渐近线为3x －4y ＝0， ∴点P 到渐近线的距离d ＝|3×5cos θ－12sin θ|5＝3|41sin (θ－φ)|5⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝54．∴d max ＝3415．在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．【跟踪训练3】 已知抛物线C ：⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M 的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解 由⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝2t 得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x ．又∵M 点的纵坐标为2，∴M 点的横坐标也为2． 即M (2，2)．又∵抛物线的准线方程为x ＝－12．∴由抛物线的定义知|MF |＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2＋12＝52．即点M 到抛物线焦点的距离为52．1．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数cot φ，sec φ，csc φ的意义分别为cot φ＝1tan φ，sec φ＝1cos φ，csc φ＝1sin φ．2．抛物线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，由于y x ＝1t ，因此t 的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数．3．利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等．1．曲线⎩⎨⎧x ＝t 2－1，y ＝2t ＋1(t 为参数)的焦点坐标是( )A ．(1，0)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(0，－1) 答案 B解析 将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)，该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0，1)．2．方程⎩⎨⎧x ＝e t ＋e －t ，y ＝e t－e－t (t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支 D ．双曲线下支 答案 B解析 ∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4． x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t ＝2． ∴表示双曲线的右支．3．抛物线⎩⎨⎧x ＝2m ，y ＝－m 2(m 为参数)的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝1C ．y ＝－2D ．y ＝2 答案 B解析 由抛物线的参数方程，消去参数m ，得抛物线的普通方程为x 2＝－4y ，则p ＝2，p2＝1，故该抛物线的准线方程为y ＝1．4．将方程⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos2t1＋cos2t化为普通方程是________．答案 y ＝x 2解析 由y ＝1－cos2t 1＋cos2t＝2sin 2t2cos 2t ＝tan 2t ，将tan t ＝x 代入上式，得y ＝x 2，即为所求方程．A 级：基础巩固练一、选择题1．已知某条曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (其中a 是参数)，则该曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分 答案 C解析 将所给参数方程的两式平方后相减， 得x 2－y 2＝1．并且由|x |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥1，得x ≥1或x ≤－1，从而易知结果． 2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t 2(t 为参数)所表示的曲线是( )A ．抛物线B ．一条直线C ．两条射线D ．两条曲线 答案 D解析 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＝t 2＋2＋1t 2，故把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t 2(t 为参数)消去参数，化为普通方程为x 2＝y ＋2(x ≥2或x ≤－2)表示两条曲线，故答案为D ．3．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1，|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4．4．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝4t (θ为参数)只有一个公共点的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条 答案 C解析 由⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝4t ，得y 2＝8x ，∴点M (2，4)在抛物线上．∴过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条．5．P 为双曲线⎩⎨⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0)B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0)C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0)D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0) 答案 A解析 由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ．从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)．6．若曲线⎩⎨⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1，M 2所对应的参数分别是t 1，t 2(且t 1≠t 2)，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2C ．1t 1＋t 2 D ．1t 1－t 2答案 A解析 设M 1(2pt 1，2pt 21)，M 2(2pt 2，2pt 22)，因为t 1≠t 2，所以kM 1M 2＝2pt 22－2pt 212pt 2－2pt 1＝2p (t 2＋t 1)(t 2－t 1)2p (t 2－t 1)＝t 2＋t 1．二、填空题7．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，且0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t 为参数，且t ∈R )，它们的交点坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，255 解析 两曲线的普通方程分别为x 25＋y 2＝1(y ≥0)，y 2＝45x (x ≥0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，y 2＝45x ，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝255.8．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P 为直线ρcos θ－ρsin θ－4＝0上一点，点Q 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝14t 2(t 为参数)上一点，则|PQ |的最小值为________．答案322解析 由题可知，点P 在直线x －y －4＝0上，点Q 在曲线y ＝14x 2上．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y ＝14x 2得x 2－4x －4b ＝0，由Δ＝0得b ＝－1．两直线x －y －4＝0，x －y－1＝0间的距离即为|PQ |的最小值，所以其最小值为|4－1|2＝322． 9．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ＝π4(ρ≥0)与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52解析 射线θ＝π4(ρ≥0)的直角坐标方程为y ＝x (x ≥0)，曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t为参数)的普通方程为y ＝(x －2)2．联立方程组⎩⎨⎧y ＝x (x ≥0)，y ＝(x －2)2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4.故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52．三、解答题10．已知抛物线⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p >0)上的点M ，N 对应的参数值为t 1，t 2，且t 1＋t 2＝0，t 1t 2＝－p 2，求M ，N 两点间的距离．解 由题知M ，N 两点的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)， ∴|MN |＝(2pt 21－2pt 22)2＋(2pt 1－2pt 2)2＝(2pt 1－2pt 2)2＝2p |t 1－t 2| ＝2p (t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4p 2． 故M ，N 两点间的距离为4p 2．B 级：能力提升练1．已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4t ，y ＝1－4t2(t 为参数)，则它在x 轴上截得的线段的长是多少？解 令y ＝0，得抛物线与x 轴的交点对应的参数t ＝±12．当t ＝12时，x ＝2；当t ＝－12时，x ＝－2．故抛物线与x 轴的交点坐标为(2，0)，(－2，0)， 所以它在x 轴上截得的线段的长为4．2．已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值．解 设Q (sec θ，tan θ)，在△O 1QP 中，|O 1P |＝1，|O 1P |＋|PQ |≥|O 1Q |． 又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4)＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3．当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝3．∴|PQ |min ＝3－1．。
高中数学选修4-4检测：双曲线和抛物线的参数方程(附解析)
1．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．方程⎩⎨⎧x ＝e t ＋e －t ，y ＝e t －e －t (t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支 D ．双曲线下支3．点P (1,0)到曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝2t (其中，参数t ∈R)上的点的最短距离是( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．24．若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则曲线C 上的点的轨迹是( ) A ．直线x ＋2y －2＝0 B ．以(2,0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段5．已知某条曲线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1(21)1(21a a y a a x (其中a 是参数)，则该曲线是( ) A ．线段 B ．圆 C ．双曲线 D ．圆的一部分6．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22·y sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πθ＝0(θ为参数)，则圆心的轨迹方程是________． 7．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.8．已知抛物线⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p ＞0)上的点M ，N 对应的参数值为t 1，t 2，且t 1＋t 2＝0， t 1t 2＝－p 2，求M ，N 两点间的距离．9．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为ρsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πθ＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，求椭圆C 的离心率1．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：抛物线方程化为普通方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，所以|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4.故选C.2．方程⎩⎨⎧x ＝e t ＋e －t ，y ＝e t －e －t (t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支 D ．双曲线下支解：∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4.且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t ＝2.∴表示双曲线的右支答案B3．点P (1,0)到曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝2t (其中，参数t ∈R)上的点的最短距离是( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．2解析：方程⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝2t 表示抛物线y 2＝4x 的参数方程，其中p ＝2，设点M (x ，y )是抛物线上任意一点，则点M (x ，y )到点P (1,0)的距离d ＝(x －1)2＋y 2＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|≥1，所以最短距离为1，选B.4．若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则曲线C 上的点的轨迹是( ) A ．直线x ＋2y －2＝0 B ．以(2,0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析：将曲线的参数方程化为普通方程得x ＋2y －2＝0(0≤x ≤2,0≤y ≤1)．答案：D5．已知某条曲线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1(21)1(21a a y a a x (其中a 是参数)，则该曲线是( ) A ．线段 B ．圆 C ．双曲线 D ．圆的一部分解析：将所给参数方程的两式平方后相减，得x 2－y 2＝1.并且由|x |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥1， 得x ≥1或x ≤－1，从而易知结果．答案：C6．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22·y sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πθ＝0(θ为参数)，则圆心的轨迹方程是________． 解析：圆心轨迹的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==)4sin(22sin 21πθθy x 即⎩⎨⎧x ＝sin θcos θ，y ＝－(sin θ＋cos θ).消参得：y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12) 7．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.解析：由⎩⎨⎧x ＝8t 2，y ＝8t 得y 2＝8x ，抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)，直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.因为直线y ＝x －2与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切，由题意得r ＝|4－0－2|2＝ 2. 9．已知抛物线⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p ＞0)上的点M ，N 对应的参数值为t 1，t 2，且t 1＋t 2＝0， t 1t 2＝－p 2，求M ，N 两点间的距离．解析：由题知M ，N 两点的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)，所以|MN |＝ (2pt 21－2pt 22)2＋(2pt 1－2pt 2)2＝ (2pt 1－2pt 2)2＝2p |t 1－t 2|＝2p (t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4p 2.9．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为ρsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πθ＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，求椭圆C 的离心率解：将参数方程与极坐标方程化为普通方程，再根据直线过焦点、直线与圆相切建立关于椭圆方程中a ，b ，c 的等式，再结合a 2＝b 2＋c 2求得离心率．由已知可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由ρsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πθ＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m ，又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 的右焦点(c,0)，可得c ＝m .又因为直线l 与圆O 相切，所|m| 2＝b，因此c＝2b，即c2＝2(a2－c2)，整理，得c2a2＝23，故椭圆C的离心率为e＝63.以。
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课时跟踪检测(十一) 双曲线的参数方程 抛物线的参数方
一、选择题
1．曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t 2
－1，
y ＝2t ＋1(t 为参数)的焦点坐标是( )
A ．(1,0)
B ．(0,1)
C ．(－1,0)
D ．(0，－1)
解析：选B 将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)， 该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到， 所以焦点为(0,1)．
2．圆锥曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4sec θ，
y ＝3tan θ(θ是参数)的焦点坐标是( )
A ．(－5,0)
B ．(5,0)
C ．(±5,0)
D ．(0，±5)
解析：选C 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)得 x 216－y 2
9＝1，
∴它的焦点坐标为(±5,0)．
3．方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝e t ＋e －
t
，
y ＝e t
－e －t (t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支
D ．双曲线下支 解析：选B ∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t
－(e 2t －2＋e
－2t
)＝4.
且x ＝e t ＋e －
t ≥2e t ·e －
t ＝2.
∴表示双曲线的右支．
4．点Μ0(0,2)到双曲线x 2－y 2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( )
A ．1
B ．2 C. 3
D ．3
解析：选C ∵双曲线方程为x 2－y 2＝1，∴a ＝b ＝1.
∴双曲线的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝sec θ，
y ＝tan θ(θ为参数)．
设双曲线上一动点为Μ(sec θ，tan θ)， 则||Μ0Μ2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2 ＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3.
当tan θ＝1时，||Μ0Μ2取最小值3， 此时有||Μ0Μ＝ 3. 二、填空题
5．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22y ·sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程是________．
解析：圆心轨迹的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝1
2sin 2θ，
y ＝－2sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π4.
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝sin θcos θ，
y ＝－(sin θ＋cos θ).消去参数，得 y 2＝1＋2x ⎝⎛⎭⎫－12≤x ≤1
2. 答案：y 2＝1＋2x ⎝⎛⎭⎫－12
≤x ≤1
2 6．双曲线⎩⎨⎧
x ＝3tan θ，
y ＝sec θ
(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．
解析：将参数方程化为y 2
－x 2
3
＝1，
此时a ＝1，b ＝3，
设渐近线倾斜角为α，则tan α＝±13＝±3
3.
∴α＝30°或150°. 答案：30°或150°
7．(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧
x ＝t ，
y ＝t (t
为参数)和⎩
⎨⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．
解析：由⎩⎨⎧
x ＝t ，y ＝ t (t 为参数)得y ＝x ，
又由⎩⎨⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ
(θ为参数)得x 2＋y 2＝2.
由⎩⎨⎧ y ＝x ，
x 2＋y 2＝2，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝1，
即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1) 三、解答题
8．已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值．
解：由题意可知O 1(0,2)，∵Q 为双曲线x 2－y 2＝1上一点，设Q (sec θ，tan θ)， 在△O 1QP 中，|O 1P |＝1，|O 1P |＋|PQ |≥|O 1Q |. 又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2 ＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5 ＝2(tan θ－1)2＋3.
∴当tan θ＝1，即θ＝π
4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝ 3.
∴|PQ |min ＝3－1.
9．已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数．
证明：设d 1为点Μ到渐近线y ＝x 的距离，d 2为点Μ到渐近线y ＝－x 的距离， 因为点Μ在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设点Μ的坐标为(sec α，tan α)． d 1＝
||
sec α－tan α2，d 2＝
||
sec α＋tan α2
，
d 1d 2＝
||
sec 2α－tan 2α2
＝12
， 故d 1与d 2的乘积是常数．
10．过点A (1,0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．
解：法一：设抛物线的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝8t 2
，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 2
1，8t 1)，N (8t 22，8t 2)，
则k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1
t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P (x ，y )，
则⎩⎨⎧
x ＝8t 21＋8t 2
22
，
y ＝8t 1
＋8t
2
2
.∴k AP ＝
4(t 1＋t 2)
4(t 21＋t 2
2)－1
，
由k MN ＝k AP 知t 1t 2＝－1
8，又⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4(t 21＋t 2
2)，y ＝4(t 1＋t 2)，
则y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2
)＝16⎝⎛⎭⎫x 4－14＝4(x －1)． ∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．
法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由M ，N 在抛物线y 2
＝8x 上知⎩⎪⎨⎪⎧
y 21＝8x 1，y 22＝8x 2， 两式相减得y 21－y 2
2＝8(x 1－x 2)，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)，
∴
y 1－y 2x 1－x 2＝8
y 1＋y 2
.设线段MN 的中点为P (x ，y )，∴y 1＋y 2＝2y . 由k PA ＝y x －1，又k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝4
y ，
∴
y x －1
＝4
y .∴y 2＝4(x －1)． ∴线段MN 的中点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －1)．。